КАНДИДАТСТУДЕНТСКИ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА

УАСГ

13.07.2008г.

Тема 2

Задача 1. Дадено е уравнението

2

2

8( 4) log ( 1) ( 4) log ( 1) log ( 1)

3a a ax x x x x+ + − − − = − ,

където a е параметър.

а) (2 точки) Ако 3

4x = е корен на уравнението да се докаже, че а=2.

б) (2 точки) Решете уравнението

2 2

4 2 2

47 log ( 1) log ( 1) log ( 1)

3x x x+ + − = −

в) (2 точки) Пресметнете границата 2 5

1log ( 1)

3 sinlim

x

x

x

x

x x

++

→+∞

+

+.

Задача 2. Две окръжнсти с центрове 1O и 2O и радиуси съответно r и x се допират

външно в точка T и до едната си обща допирателна съответно в точки A и B .

а) (2 точки) Докажете, че AB 2 rx= и че триъгълникът ABT е правоъгълен.

б) (2 точки) Докажете, че лицето на триъгълника ABT е 2

( )

rx rx

r x+.

в) (3 точки) Нека 1r = и 2 1O O A α=∢ . Пресметнете стойностите на x , за които

изразът 2( ) 1 sin .cosf α α α= − достига най-голямата и най-малката си стойност.

Задача 3. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM е връх M . Дължината на

основния ръб е b , а на височината MO е 3

2b . Равнината λ , минаваща през точка A ,

е успоредна на BD , сключва ъгъл α с основата ABCD и пресича ръба MC в точка T .

а) (2 точки) Пресметнете синуса на ъгъла между равнината λ и правата AB в

зависимост от α .

б) (3 точки) Докажете, че

6AT

2sin3

b

πα

=

+

.

в) (2 точки) Пресметнете лицето на сечението на пирамидата с равнината λ , ако

4

πα = .