20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
![Page 1: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/1.jpg)
Комбинаторные сложностные характеристикибесконечных слов
Анна (Эдуардовна) Фрид
ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск[email protected]
Лекция 5, 16.10.2011
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 1/42
![Page 2: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/2.jpg)
Комбинаторная сложность
ОпределениеКомбинаторной сложностью бесконечного слова w называетсяфункция pw (n), равная числу его подслов длины n.
ExampleВ слове Туэ-Морса
0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 · · ·
не встречаются слова 000 и 111, поэтому pTM(3) = 6.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 2/42
![Page 3: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/3.jpg)
Комбинаторная сложность
ОпределениеКомбинаторной сложностью бесконечного слова w называетсяфункция pw (n), равная числу его подслов длины n.
ExampleВ слове Туэ-Морса
0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 · · ·
не встречаются слова 000 и 111, поэтому pTM(3) = 6.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 2/42
![Page 4: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/4.jpg)
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 3/42
![Page 5: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/5.jpg)
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;
Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 3/42
![Page 6: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/6.jpg)
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;
Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 3/42
![Page 7: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/7.jpg)
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 3/42
![Page 8: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/8.jpg)
Свойства функции сложности (продолжение)
Минимальная сложность непериодических слов равна n + 1 (словаШтурма).
Сложность автоматных слов растет линейно.Сложность неподвижных точек морфизмов растет как O(n2),O(n log n), O(n log log n), O(n) или O(1) [Pansiot 1984].Сложность морфических слов растет как O(n1+1/k) длянекоторого k или как O(n log n) (или медленнее) [Devyatov, 2008:доказательство опубликовано частично].Если сложность слова растет линейно, то ее первые разностиограничены [Cassaigne, 1996].
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 4/42
![Page 9: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/9.jpg)
Свойства функции сложности (продолжение)
Минимальная сложность непериодических слов равна n + 1 (словаШтурма).Сложность автоматных слов растет линейно.
Сложность неподвижных точек морфизмов растет как O(n2),O(n log n), O(n log log n), O(n) или O(1) [Pansiot 1984].Сложность морфических слов растет как O(n1+1/k) длянекоторого k или как O(n log n) (или медленнее) [Devyatov, 2008:доказательство опубликовано частично].Если сложность слова растет линейно, то ее первые разностиограничены [Cassaigne, 1996].
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 4/42
![Page 10: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/10.jpg)
Свойства функции сложности (продолжение)
Минимальная сложность непериодических слов равна n + 1 (словаШтурма).Сложность автоматных слов растет линейно.Сложность неподвижных точек морфизмов растет как O(n2),O(n log n), O(n log log n), O(n) или O(1) [Pansiot 1984].
Сложность морфических слов растет как O(n1+1/k) длянекоторого k или как O(n log n) (или медленнее) [Devyatov, 2008:доказательство опубликовано частично].Если сложность слова растет линейно, то ее первые разностиограничены [Cassaigne, 1996].
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 4/42
![Page 11: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/11.jpg)
Свойства функции сложности (продолжение)
Минимальная сложность непериодических слов равна n + 1 (словаШтурма).Сложность автоматных слов растет линейно.Сложность неподвижных точек морфизмов растет как O(n2),O(n log n), O(n log log n), O(n) или O(1) [Pansiot 1984].Сложность морфических слов растет как O(n1+1/k) длянекоторого k или как O(n log n) (или медленнее) [Devyatov, 2008:доказательство опубликовано частично].
Если сложность слова растет линейно, то ее первые разностиограничены [Cassaigne, 1996].
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 4/42
![Page 12: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/12.jpg)
Свойства функции сложности (продолжение)
Минимальная сложность непериодических слов равна n + 1 (словаШтурма).Сложность автоматных слов растет линейно.Сложность неподвижных точек морфизмов растет как O(n2),O(n log n), O(n log log n), O(n) или O(1) [Pansiot 1984].Сложность морфических слов растет как O(n1+1/k) длянекоторого k или как O(n log n) (или медленнее) [Devyatov, 2008:доказательство опубликовано частично].Если сложность слова растет линейно, то ее первые разностиограничены [Cassaigne, 1996].
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 4/42
![Page 13: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/13.jpg)
Метод специальных слов
Рассмотрим продолжаемый факторный язык F — например, языкподслов бесконечного слова.
Продолжаемый: ∀u ∈ F∃a, b ∈ Σ : aub ∈ F .Факторный: замкнутый относительно взятия подслова.
Обозначим через l(u) (r(u)) множество символов, которыми слово uможет быть продолжено влево (вправо), и назовем специальным влево(вправо) слово, у которого l(u) 6= 1 (r(u) 6= 1).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 5/42
![Page 14: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/14.jpg)
Метод специальных слов
Рассмотрим продолжаемый факторный язык F — например, языкподслов бесконечного слова.
Продолжаемый: ∀u ∈ F∃a, b ∈ Σ : aub ∈ F .Факторный: замкнутый относительно взятия подслова.
Обозначим через l(u) (r(u)) множество символов, которыми слово uможет быть продолжено влево (вправо), и назовем специальным влево(вправо) слово, у которого l(u) 6= 1 (r(u) 6= 1).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 5/42
![Page 15: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/15.jpg)
Метод специальных слов
Обозначим через F (n) множество всех слов языка F длины n, а черезL(n) — множество его специальных слов длины n.
Тогда первые разности комбинаторной сложности:
p′(n) = p(n + 1)− p(n) =∑
u∈F (n)
(l(u)− 1) =∑
u∈L(n)
(l(u)− 1).
p′(n) = p(n + 1)− p(n) =∑
u∈F (n)
(r(u)− 1) =∑
u∈R(n)
(r(u)− 1).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 6/42
![Page 16: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/16.jpg)
Метод специальных слов
Обозначим через F (n) множество всех слов языка F длины n, а черезL(n) — множество его специальных слов длины n.Тогда первые разности комбинаторной сложности:
p′(n) = p(n + 1)− p(n) =∑
u∈F (n)
(l(u)− 1) =∑
u∈L(n)
(l(u)− 1).
p′(n) = p(n + 1)− p(n) =∑
u∈F (n)
(r(u)− 1) =∑
u∈R(n)
(r(u)− 1).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 6/42
![Page 17: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/17.jpg)
Биспециальные слова
Слово биспециально, если оно специально справа и слева. МножествоB(n).
Степень биспециальности:
b(v) = #{(a, b)|a, b ∈ Σ, avb ∈ F} − l(v)− r(v) + 1
p(n + 2)− 2p(n + 1) + p(n) = p′′(n) =∑
v∈F (n)
b(v) =∑
v∈B(n)
b(v).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 7/42
![Page 18: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/18.jpg)
Биспециальные слова
Слово биспециально, если оно специально справа и слева. МножествоB(n).Степень биспециальности:
b(v) = #{(a, b)|a, b ∈ Σ, avb ∈ F} − l(v)− r(v) + 1
p(n + 2)− 2p(n + 1) + p(n) = p′′(n) =∑
v∈F (n)
b(v) =∑
v∈B(n)
b(v).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 7/42
![Page 19: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/19.jpg)
Биспециальные слова
Слово биспециально, если оно специально справа и слева. МножествоB(n).Степень биспециальности:
b(v) = #{(a, b)|a, b ∈ Σ, avb ∈ F} − l(v)− r(v) + 1
p(n + 2)− 2p(n + 1) + p(n) = p′′(n) =∑
v∈F (n)
b(v) =∑
v∈B(n)
b(v).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 7/42
![Page 20: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/20.jpg)
Граф биспециальности
1
2
1
2
r(v)
L(v) R(v)
l(v)
История: Cassaigne 1994,1997; Августинович 1994 (Туэ-Морс),Августинович-Фрид 1998.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 8/42
![Page 21: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/21.jpg)
Граф биспециальности
1
2
1
2
r(v)
L(v) R(v)
l(v)
История: Cassaigne 1994,1997; Августинович 1994 (Туэ-Морс),Августинович-Фрид 1998.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 8/42
![Page 22: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/22.jpg)
Линейная сложность
Характеризации бесконечных слов с линейной комбинаторнойсложностью нет.
S-adic conjectureБесконечное слово имеет линейную комбинаторную сложность тогда итолько тогда, когда каким-то образом задается морфизмами.
S. Ferenczi продвинулся дальше всех
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 9/42
![Page 23: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/23.jpg)
Линейная сложность
Характеризации бесконечных слов с линейной комбинаторнойсложностью нет.
S-adic conjectureБесконечное слово имеет линейную комбинаторную сложность тогда итолько тогда, когда каким-то образом задается морфизмами.
S. Ferenczi продвинулся дальше всех
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 9/42
![Page 24: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/24.jpg)
Арифметическая сложность
Арифметическим замыканием бесконечного слова w = w0w1 · · ·wn · · ·называется множество
Aw = {wkwk+dwk+2d · · ·wk+(n−1)d |k ≥ 0, d > 0}.
Арифметическая сложность aw (n) определяется как
aw (n) = #(Aw ∩ Σn).
Avgustinovich, Fon-Der-Flaass, Frid 2000 (2003).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 10/42
![Page 25: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/25.jpg)
Арифметическая сложность
Арифметическим замыканием бесконечного слова w = w0w1 · · ·wn · · ·называется множество
Aw = {wkwk+dwk+2d · · ·wk+(n−1)d |k ≥ 0, d > 0}.
Арифметическая сложность aw (n) определяется как
aw (n) = #(Aw ∩ Σn).
Avgustinovich, Fon-Der-Flaass, Frid 2000 (2003).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 10/42
![Page 26: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/26.jpg)
Свойства арифметической сложности
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
pw (n) ≤ aw (n) ≤ qn;
Функция aw (n) не убывает;Функция aw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Theorem (Ван-дер-Варден)∀w ∀n ∃a ∈ Σ | an ∈ Aw .
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 11/42
![Page 27: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/27.jpg)
Свойства арифметической сложности
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
pw (n) ≤ aw (n) ≤ qn;Функция aw (n) не убывает;
Функция aw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Theorem (Ван-дер-Варден)∀w ∀n ∃a ∈ Σ | an ∈ Aw .
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 11/42
![Page 28: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/28.jpg)
Свойства арифметической сложности
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
pw (n) ≤ aw (n) ≤ qn;Функция aw (n) не убывает;Функция aw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Theorem (Ван-дер-Варден)∀w ∀n ∃a ∈ Σ | an ∈ Aw .
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 11/42
![Page 29: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/29.jpg)
Свойства арифметической сложности
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
pw (n) ≤ aw (n) ≤ qn;Функция aw (n) не убывает;Функция aw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Theorem (Ван-дер-Варден)∀w ∀n ∃a ∈ Σ | an ∈ Aw .
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 11/42
![Page 30: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/30.jpg)
Естественные вопросы
Какова арифметическая сложность слова Туэ-Морса?
Слова дракона?Слов Штурма?Когда сложность минимальна?Когда сложность линейна?Какой она вообще может быть?
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 12/42
![Page 31: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/31.jpg)
Естественные вопросы
Какова арифметическая сложность слова Туэ-Морса?Слова дракона?
Слов Штурма?Когда сложность минимальна?Когда сложность линейна?Какой она вообще может быть?
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 12/42
![Page 32: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/32.jpg)
Естественные вопросы
Какова арифметическая сложность слова Туэ-Морса?Слова дракона?Слов Штурма?
Когда сложность минимальна?Когда сложность линейна?Какой она вообще может быть?
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 12/42
![Page 33: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/33.jpg)
Естественные вопросы
Какова арифметическая сложность слова Туэ-Морса?Слова дракона?Слов Штурма?Когда сложность минимальна?
Когда сложность линейна?Какой она вообще может быть?
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 12/42
![Page 34: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/34.jpg)
Естественные вопросы
Какова арифметическая сложность слова Туэ-Морса?Слова дракона?Слов Штурма?Когда сложность минимальна?Когда сложность линейна?
Какой она вообще может быть?
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 12/42
![Page 35: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/35.jpg)
Естественные вопросы
Какова арифметическая сложность слова Туэ-Морса?Слова дракона?Слов Штурма?Когда сложность минимальна?Когда сложность линейна?Какой она вообще может быть?
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 12/42
![Page 36: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/36.jpg)
Арифметическая сложность некоторых слов
Theorem (AFF)Арифметическая сложность слова Туэ-Морса равна 2n.
Доказательство: a, b ∈ ATM одинаковой длины =⇒ a⊕ b ∈ ATM .
Theorem (AFF)Арифметическая сложность слова дракона равна 8n начиная с n = 14.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 13/42
![Page 37: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/37.jpg)
Арифметическая сложность некоторых слов
Theorem (AFF)Арифметическая сложность слова Туэ-Морса равна 2n.
Доказательство: a, b ∈ ATM одинаковой длины =⇒ a⊕ b ∈ ATM .
Theorem (AFF)Арифметическая сложность слова дракона равна 8n начиная с n = 14.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 13/42
![Page 38: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/38.jpg)
Арифметическая сложность некоторых слов
Theorem (AFF)Арифметическая сложность слова Туэ-Морса равна 2n.
Доказательство: a, b ∈ ATM одинаковой длины =⇒ a⊕ b ∈ ATM .
Theorem (AFF)Арифметическая сложность слова дракона равна 8n начиная с n = 14.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 13/42
![Page 39: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/39.jpg)
Слово дракона (paperfolding word)
w = w1w2w3 · · · ∈ {1,−1}ω
P = 1 � −1�
w(0) = � � � � � � � � � � � � � � �w(1) = 1 � -1 � 1 � -1 � 1 � -1 � 1 � -1w(2) = 1 1 -1 � 1 -1 -1 � 1 1 -1 � 1 -1 -1w(3) = 1 1 -1 1 1 -1 -1 � 1 1 -1 -1 1 -1 -1
w = 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1
Это код кривой дракона: 1 — налево, -1 — направо (или наоборот).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 14/42
![Page 40: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/40.jpg)
Арифметическая сложность слов Штурма
α
00 0 10 0 1
1−α
y= x+γβ
x
y
1
Это из предыдущей лекции: Cassaigne, F., 2007. O(n3).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 15/42
![Page 41: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/41.jpg)
Минимальная арифметическая сложность
Avgustinovich, Cassaigne, Frid, 2006: минимальная арифметическаясложность из равномерно рекуррентных слов у следующих словТeплица:
P0,k = 0 · · · 0︸ ︷︷ ︸k
�
P1,k = 1 · · · 1︸ ︷︷ ︸k
�
(Здесь k просто!)k = 3:
w(0) = � � � � � � � � � � � � � � �w(1) = 0 0 � 0 0 � 0 0 � 0 -0 � 0 0 �w(1) = 0 0 1 0 0 1 0 0 � 0 -0 1 0 0 1
w = 001001000 001001000 001001001 001001000 · · · = P0,3·P1,3·P0,3 · · · .
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 16/42
![Page 42: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/42.jpg)
Линейная арифметическая сложность
Theorem (Frid, 2005)Арифметическая сложность равномерно рекуррентного слова линейнатогда и только тогда, когда его множество подслов такое же, как услов Теплица, порожденных периодичной (возможно, с предпериодом)последовательностью p-регулярных шаблонов Теплица, где p просто.
p-регулярный шаблон:
T = a1a2 · · · ap−1 � ap+1 · · · a2p−1 � · · · a(k−1)p+1 · · · akp−1 � .
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 17/42
![Page 43: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/43.jpg)
Промежуточная арифметическая сложность
Theorem (Salimov, 2009)Существуют бесконечные слова с арифметической сложностью,растущей быстрее, чем любой полином, но медленнее, чем αn длялюбого α > 1.
Ср. с
Theorem (Cassaigne, 2002)Существуют бесконечные слова с комбинаторной сложностью,растущей быстрее, чем любой полином, но медленнее, чем αn длялюбого α > 1.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 18/42
![Page 44: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/44.jpg)
Промежуточная арифметическая сложность
Theorem (Salimov, 2009)Существуют бесконечные слова с арифметической сложностью,растущей быстрее, чем любой полином, но медленнее, чем αn длялюбого α > 1.
Ср. с
Theorem (Cassaigne, 2002)Существуют бесконечные слова с комбинаторной сложностью,растущей быстрее, чем любой полином, но медленнее, чем αn длялюбого α > 1.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 18/42
![Page 45: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/45.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 19/42
![Page 46: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/46.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 20/42
![Page 47: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/47.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 21/42
![Page 48: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/48.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 22/42
![Page 49: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/49.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 23/42
![Page 50: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/50.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 24/42
![Page 51: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/51.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 25/42
![Page 52: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/52.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 26/42
![Page 53: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/53.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 27/42
![Page 54: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/54.jpg)
Сложность Камаэ
T = {0,m1, . . . ,mk−1}: k-окно.
Для слова u = u0u1 · · · un · · · :
un+T = unun+m1 · · · un+mk−1— T -подслово;
pu(T ) = {un+T |n = 0, 1, . . .} — T -сложность слова u;
max|T |=k
pu(T ) = p∗u(n) — максимальная шаблонная сложность или
сложность Камаэ слова u.
[Kamae, Zamboni, 2002]
01001010100101 · · · T = (0, 2, 5)
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 28/42
![Page 55: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/55.jpg)
Низкая сложность Камаэ
Theorem (Kamae, Zamboni, 2002)Бесконечное слово w не периодично тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ 2n для всех достаточно больших n.
Слова со сложностью 2n: все слова Штурма, простые слова Теплица...и другие.
Theorem (KZ 2002)Сложность Камаэ слова Туэ-Морса равна 2n.
Kamae, Salimov недавно разобрались со сложностью Камаэнеподвижных точек бинарных однородных морфизмов.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 29/42
![Page 56: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/56.jpg)
Низкая сложность Камаэ
Theorem (Kamae, Zamboni, 2002)Бесконечное слово w не периодично тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ 2n для всех достаточно больших n.
Слова со сложностью 2n: все слова Штурма, простые слова Теплица...и другие.
Theorem (KZ 2002)Сложность Камаэ слова Туэ-Морса равна 2n.
Kamae, Salimov недавно разобрались со сложностью Камаэнеподвижных точек бинарных однородных морфизмов.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 29/42
![Page 57: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/57.jpg)
Низкая сложность Камаэ
Theorem (Kamae, Zamboni, 2002)Бесконечное слово w не периодично тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ 2n для всех достаточно больших n.
Слова со сложностью 2n: все слова Штурма, простые слова Теплица...и другие.
Theorem (KZ 2002)Сложность Камаэ слова Туэ-Морса равна 2n.
Kamae, Salimov недавно разобрались со сложностью Камаэнеподвижных точек бинарных однородных морфизмов.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 29/42
![Page 58: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/58.jpg)
Низкая сложность Камаэ
Theorem (Kamae, Zamboni, 2002)Бесконечное слово w не периодично тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ 2n для всех достаточно больших n.
Слова со сложностью 2n: все слова Штурма, простые слова Теплица...и другие.
Theorem (KZ 2002)Сложность Камаэ слова Туэ-Морса равна 2n.
Kamae, Salimov недавно разобрались со сложностью Камаэнеподвижных точек бинарных однородных морфизмов.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 29/42
![Page 59: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/59.jpg)
Перестановки и слова
Пусть a = a0, a1, a2, . . . и b = b0, b1, b2, . . . две последовательностидействительных чисел, и
a ∼ b : ai < aj ⇐⇒ bi < bj
(Конечная или бесконечная) перестановка — это класс эквивалентностα = a = b.Последовательности a и b — представители перестановки α.
Пример: −100, 200, 197 = 90, 100, 98 = 1, 3, 2
Можно писать просто α = 1 3 2, но лучше различать перестановки иих представители.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 30/42
![Page 60: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/60.jpg)
Перестановки, порожденные словами
wTM = 0110100110010110 · · · — слово Туэ-Морса
Рассмотрим последователь-ность aTM сдвигов:0, 01101001 · · · ,0, 11010010 · · · ,0, 10100110 · · · ,0, 01001100 · · · ,0, 10011001 · · · ,0, 00110010 · · · , и т.д.
αTM = aTM
1
0
0,1
Естественно рассматривать перестановки, порожденные бинарнымисловами.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 31/42
![Page 61: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/61.jpg)
Подперестановки или факторы
По аналогии с подсловами:
011010011001 · · ·
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 32/42
![Page 62: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/62.jpg)
Подперестановки или факторы
По аналогии с подсловами:
011010011001 · · ·
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 33/42
![Page 63: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/63.jpg)
Перестановочная сложность
DefinitionПерестановочной сложностью tw (n) непериодического бесконечногослова w называется число подперестановок заданной длины nпорожденной им бесконечной перестановки.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 34/42
![Page 64: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/64.jpg)
Свойства перестановочной сложности
Все нижеследующее верно только для бинарных слов!
tw (n) ≥ pw (n − 1).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 35/42
![Page 65: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/65.jpg)
Свойства перестановочной сложности
Все нижеследующее верно только для бинарных слов!
tw (n) ≥ pw (n − 1).
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 35/42
![Page 66: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/66.jpg)
Свойства перестановочной сложности
Наибольшая перестановочная сложность бесконечного бинарногослова равна
t(n) =n−1∑t=1
ψ(t) · 2n−1−t ,
где ψ(t) =∑
d |t µ(t/d) · 2d — число различных примитивных словдлины t.
t(n + 1) = 2n(n − α + O(n2−n/2); α = 1.3827 · · ·
[Макаров, 2005]
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 36/42
![Page 67: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/67.jpg)
Свойства перестановочной сложности
Перестановочная сложность слов Штурма равна n, и этоминимум для перестановочной сложности слов.[Макаров, 2006]
Перестановочная сложность слова Туэ-Морса нашел S. Widmer(2011); Валюженич успел обобщить.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 37/42
![Page 68: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/68.jpg)
Свойства перестановочной сложности
Перестановочная сложность слов Штурма равна n, и этоминимум для перестановочной сложности слов.[Макаров, 2006]Перестановочная сложность слова Туэ-Морса нашел S. Widmer(2011); Валюженич успел обобщить.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 37/42
![Page 69: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/69.jpg)
Первый дополнительный слайд с красивой картинкой
[Fon-Der-Flaass, Frid, 2005]
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 38/42
![Page 70: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/70.jpg)
Второй дополнительный слайд с красивой картинкой
Перестановки Штурма
0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0
Фиксируем x , y > 0 и пола-гаем
ai+1 =
{ai + x при wi = 0,
ai − y при wi = 1.
Частный случай:x = σ, y = 1− σ
[Макаров, 2006]: это в точности перестановки, порожденные словамиШтурма.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 39/42
![Page 71: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/71.jpg)
Низкая сложность Камаэ
Theorem (Avgustinovich, F., Kamae, Salimov, 2011)Бесконечная перестановка w непериодична тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ n для всех достаточно больших n.
Несомненно, это аналог
Theorem (Kamae, Zamboni, 2002)Бесконечное слово w не периодично тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ 2n для всех достаточно больших n.
НО! Перестановки со сложностью ровно n — это в точностиперестановки Штурма.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 40/42
![Page 72: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/72.jpg)
Низкая сложность Камаэ
Theorem (Avgustinovich, F., Kamae, Salimov, 2011)Бесконечная перестановка w непериодична тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ n для всех достаточно больших n.
Несомненно, это аналог
Theorem (Kamae, Zamboni, 2002)Бесконечное слово w не периодично тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ 2n для всех достаточно больших n.
НО! Перестановки со сложностью ровно n — это в точностиперестановки Штурма.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 40/42
![Page 73: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/73.jpg)
Низкая сложность Камаэ
Theorem (Avgustinovich, F., Kamae, Salimov, 2011)Бесконечная перестановка w непериодична тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ n для всех достаточно больших n.
Несомненно, это аналог
Theorem (Kamae, Zamboni, 2002)Бесконечное слово w не периодично тогда и только тогда, когдаp∗w (n) ≥ 2n для всех достаточно больших n.
НО! Перестановки со сложностью ровно n — это в точностиперестановки Штурма.
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 40/42
![Page 74: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/74.jpg)
Третий красивый слайд
Определим морфизм ϕ : [−1, 1]→ [−1, 1]2:
ϕ(x) =
{12x , 1
2x − 1, if x > 0;12x , 1
2x + 1, if x ≤ 0
0, 1,1
2,−1
2,
1
4,−3
4,−1
4,
3
4,
1
8,−7
8,−3
8,
5
8,−1
8,
7
8,
3
8,−5
8, . . .
[Makarov, 2009]
−1
1
0
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 41/42
![Page 75: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture05](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022051612/54bbacfd4a79593f368b461f/html5/thumbnails/75.jpg)
Перестановка Туэ-Морса
Два совсем разных представителя!
1
0
0,1
−1
1
0
Лекция 5 Комбинаторные сложности и всякая всячина 42/42