8/16/2019 20112SICM019744_1

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INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICASECUACIONES DIFERENCIALES

 PRIMERA EVALUACIÓN    Diciembre 02 de 2011

  B ICA

1) Determinar la solución de las siguientes problemas:

a) 2 2 2 dy ( ) ; (1) 1 xy y x x y dx y= + + = . (10 puntos)

CRITERIOS PUNTAJE

Reconocer la ecuación coo una ecuación !"oo#$nea% yreali&ar la 'u'iución adecuada de una nuea aria*lede+endiene y o*ener la deriada de y re'+eco a , en -unciónde la nuea aria*le

"a'a 2

Su'iuir dy.d, en la ecuación ori#inal y ran'-orarla en unaecuación de i+o 'e+ara*le/

"a'a 2

Re'oler la ecuación 'e+ara*le / "a'a 0E,+re'ar la 'olución #eneral en $rino' de la aria*leori#inal/

"a'a 1

O*ener el alor de la con'ane y e,+re'ar la 'olución/ "a'a 2  TOTAL 10

b) 10 12 3   xiv y y y y y xe− + − + =   (10 puntos)

CRITERIOS 4UNTA5E

  A'uir la 'olución de la 6oo#$nea corre'+ondiene ydeerinar la ecuación caracer7'ica

 "a'a 2

 Re'oler la ecuación caracer7'ica y deerinar la 'oluciónco+leenaria( 'olución de la 6oo#$nea corre'+ondiene)

 "a'a 0

  A'uir de acuerdo al $odo de lo' coe-iciene'indeerinado' la 'olución !+aricular% y deerinar el'i'ea de ecuacione' 8ue de-ine al alor de lo' coe-iciene'/

  "a'a 2

Re'oler el 'i'ea de ecuacione' y deerinar la 'olución!+aricular% de la ecuación   "a'a 2

E,+re'ar la 'olución #eneral de la ecuación di-erencial dada/  "a'a1

TOTAL 10

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 2)  Considere la ecuación diferencial:y(,) 2 2y(,) 9 9 y ( ) :

,  x x= −   (A)

a) Determine el valor de k (< )∈ ∞ tal que y0(x) = k x sea solución de la ecuación (A)..b) Demuestre que si y es solución de la ecuación diferencial dada entonces:

;

1( )

( ) ( )

 z x

 y x y x

=

−es solución de la ecuación diferencial:

1( ) ( ) ( ) 1 z x x z x

 x

+ + =   (B)

c) esolver la ecuación (B) para !.d) "allar la solución general de la ecuación (A) para y. (10 puntos)

  CRITERIO PUNTAJE

Ree+la&ar la 'olución dada en la ecuación(A) y deerina elalor de la con'ane = 

"a'a 2

Deriar &(,) do' ece'< ree+la&ar en (>) y deo'rar 8ue la'ai'-ace "a'a 0

Re'oler (>) +ara la aria*le &"a'a 0

 Deerinar la 'olución de (A)"a'a 2

  TOTAL 10

 

3) Resuelva la siguiente ecuación diferencial : 2(1 ) 2(1 )   x x y xy y x e−− + − = − < si se 

conoce la solución y 1 (x)= x  de la #omog$nea correspondiente. (10 puntos) 

CRITERIOS PUNTAJE

E'+eci-icar la' e,+re'ione' +ara o*ener una 'e#unda 'oluciónlinealene inde+endieneene de la corre'+ondiene ecuación6oo#$nea( ya 'ea el eorea de A*el o el $odo de Reducción deOrden)

"a'a 1

O*ener correcaene la 'e#unda 'olución linealeneinde+endiene de la corre'+ondiene ecuación 6oo#$nea

"a'a 0

Calcular el ?ron'=iano de la' do' 'olucione' linealeneinde+endiene'/

"a'a 1

E,+re'ar la 'olución +aricular ediane el $odo de ariación de +ar@ero'< e'+eci-icando la' condicione' 8ue de*en cu+lir/

"a'a 1

Deerinar lo' do' +ar@ero' +ara o*ener la 'olución +aricular dela ecuación no 6oo#$nea

"a'a 2

Ree+la&ar lo' +ar@ero'< 'i+li-icar y e'+eci-icar la 'olución +aricular de la ecuación no 6oo#$nea/

"a'a 1

E,+re'ar la 'olución #eneral de la ecuación no 6oo#$nea/ "a'a 1  TOTAL 10

4-) Ba%o circunstancias naturales& la población de ratones de una cierta isla podr'a aumentarcon una rapide! proporcional al nmero de ratones presentes en cualquier tiempo&considerando que en la isla no #ab'a gatos.

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n la isla no #ubo gatos desde principios de *+,- #asta principios de *++& y durante estetiempo la población de ratones se triplicó& alcan!ando el nmero de *,-.--- a principios de*++. n este tiempo la gente de la isla se alarmó por el nmero cada ve! mayor de ratones/por ello& a inicios de *++& importó un cierto nmero de gatos para acabar con ellos.0i la rapide! de crecimiento natural indicado para ratones fue de a#' en adelantecontrarrestado por la actividad de los gatos& los que mataron *.1-- ratones por mes/ 2cu3ntosratones quedaban a principios de *++,4 (15 puntos)

 CRITERIO PUNTAJE

 E'a*lecer el odelo ae@ico del +ro*lea "a'a 3

 Re'oler el odelo y 6allar el nero de raone' enodo ie+o (ya 'ea en e'e' o en aBo') en $rico' dela con'ane de +ro+orcionalidad y la de ine#ración

"a'a 0

"allar la' con'ane' con la' condicione' del odelo "a'a 3Deerinar la re'+ue'a del +ro*lea deerinado elnuero de raone' a +rinci+io' de 1:: ('in #ao') yre'ando lo' 8ue 'e coieron $'o' de'de inicio' de1:: 6a'a inicio' de 1::

"a'a 3

  TOTAL 15 

5.-) "alle la solución del siguiente problema de valores iniciales. esuelva la ecuación usandoseries infinitas de potencias en la vecindad del punto X0=0.

2( 1 2 ) 2 ( 1 , ) y 9 2 y ; y(1)F2; y(1)F91 x x y− − =   (15 puntos)

  CRITERIO PUNTAJE

A'uir la 'olución coo una 'erie de Maclaurin y laderiar 2 ece'/

"a'a 2

Ree+la&ar la 'olución a'uida y 'u' deriada' en laecuación e i#ualar +oencia' de lo' 'uaorio'

"a'a 2

De'arrollar lo' 'uaorio'< a#ru+ar $rino'

'eeGane' e i#uala lo' coe-iciene' de la i'a +oencia a cero< o*eniendo relacione' +ariculare' delo' coe-iciene' y la relación #eneral/

"a'a 0

O*ener al#uno' coe-iciene' < ree+la&ar en la'olución a'uida y a#ru+ando reconocer la 'olucióncoo la co*inación lineal de do' +olinoio'/

"a'a 3

Deerinar el alor de la' con'ane' de laco*inación lineal de la 'olución con la' condicione'dada' y e,+re'ar la re'+ue'a

"a'a 3

 

TOTAL  15