8/16/2019 20121SICM019746_1

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INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICASECUACIONES DIFERENCIALES

PRIMERA EVALUACIÓN  Julio 06 de 2012 

RUBRICA DE CALIFICACIÓN 

1.-) Determine la solución del siguiente problema de valor inicial (10 puntos)

( )   ( )!" # " $ # %& y xy a x y y a− = + = ∈ℜC'ITE'IO (A)O'  

Identi*ica la ecuación como una ecuación de variablesseparables

  +asta #

 Usa *racciones parciales como t,cnica de integración +asta - Obtiene la solución general de la ecuación en *orma e.pl/cita +asta 0

 Determina el valor de la constante de Integración 1 e.presacorrectamente la solución particular de la ecuación

  +asta !

  TOTAL   10 PUNTOS

 

2.-) Determine la solución general de la siguiente ecuación di*erencial (10 puntos)

( )-!

! "" " ! "$ .2% x y y xy+ =

 

C'ITE'IO (A)O'  

'econoce como una ecuación de la *orma 1""3 * 41&1"5 +asta #+ace el cambio de variable 1 aplicar la regla de la cadena6 trans*ormar la ecuación en una de primer orden

+asta -

'esuelve la ecuación di*erencial de primer orden 7ue seobtiene con la trans*ormación 8

+asta 0

E.presa correctamente la solución +asta !TOTAL 10 PUNTOS

3.-)  Utili9ando la sustitución z 

 x e= & determine la solución general de la ecuación di*erencial  (10 puntos)

- !""" "" ! " ! %$ % x y x y xy y x+ − + = >

C'ITE'IO (A)O'   Determina y´(x),  y´´(x)  1 y´´´(x) en *unción de 9 aplicandola regla de la cadena

+asta -

Trans*orma la ecuación original como una ecuación:omog,nea de coe*icientes constantes de orden tres8

+asta !

 'esuelve la ecuación de coe*icientes constantes +asta 0 E.presa la solución en *unción de la variables originales +asta #

TOTAL 10 PUNTOS

 

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4!) 

Un ob;eto con masa de #%%<g se de;a caer desde una lanc:a :acia el agua 1 se lo de;a :undir$ produci,ndose sobre el cuerpo una *uer9a de empu;e 7ue es igual a #=0% veces el peso 1 una *uer9ade resistencia 7ue es directamente proporcional a la velocidad del ob;eto& con constante de

 proporcionalidad igual a #% Ns=m8 Considere la gravedad de #%m=s!8 Determine") )a ecuación del movimiento del cuerpo 1 el tiempo necesario para 7ue la velocidad del

cuerpo sea de >%m=s8 Considere la gravedad de #%m=s!

#) El tiempo apro.imado 7ue tardar? en llegar al *ondo si la pro*undidad es de !%% m8(10 puntos)

C'ITE'IO (A)O'  Modela correctamente el problema aplicando la!@8 )e1 de Neton 1 establece las condicionesde *rontera dadas& de*iniendo la variablevelocidad8

+asta !

'esuelve el modelo anterior determinando laconstante de integración 1 la velocidad para todotiempo t

+asta !

+alla el tiempo en 7ue la velocidad del ob;eto es

>% m=s +asta #Determina el modelo completo para de*inir lavariable espacio recorrido8

+asta #

'esuelve el modelo anterior 1 :alla el espaciorecorrido en todo tiempo t

+asta !

+alla el tiempo apro.imado en 7ue el ob;etollega al *ondo8

+asta !

  TOTAL  10 PUNTOS

5.-) Determinar la solución general de la ecuación di*erencial (10

 puntos)

( ) ! !"" # "

  x xy x y y x e− + + =

Considerando 7ue es una de las soluciones de la correspondiente ecuación :omog,nea es x

 y e=

C'ITE'IO (A)O'  Determina la segunda solución linealmente independienteusando 1a sea 'educción de orden o la identidad de Abel

+asta 0

Asume la *orma de la solución Bparticular aplicando elm,todo (ariación de ar?metros

+asta #

Determina los par?metros de la Bparticular asumida +asta 0E.presa la solución general de la ecuación di*erencial dada +asta #

TOTAL 10 PUNTOS

 6.-) Determinar la solución general de la siguiente ecuación di*erencial lineal no :omog,nea

 0

"" !   x y y x e

  ÷   − = −

 (10 puntos)

C'ITE'IO  (A)O' 'esuelve la ecuación :omog,neacorrespondiente

+asta -

Determine las soluciónes Bparticulares para cada *unción 7ue compone el t,rminono :omog,neo

+asta

E.presa la solución general de la ecuacióndada

 +asta #

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  TOTAL 10 PUNTOS

7.-) Determinar mediante desarrollo en series de potencias de  x  la solución general de la ecuación

di*erencial 4 #5 FF4 5 F4 5 % x y x y x− + =  . Adem?s determine las *unciones a las 7ue convergen las

series solución8

  C'ITE'IO (A)O'  Asume la solución como una serie de Maclaurin 1 la deriva !veces8

+asta #

'eempla9a la solución asumida 1 sus derivadas en laecuación e iguala potencias de los sumatorios

+asta !

Desarrolla los sumatorios& agrupa t,rminos seme;antes eiguala los coe*icientes de la misma potencia a cero&obteniendo relaciones particulares de los coe*icientes 1 la

relación general 4*órmula de recurrencia58

+asta !

Obtiene algunos coe*icientes & reempla9a en la soluciónasumida 1 agrupando reconoce las dos solucioneslinealmente independientes en *orma de series

+asta !

+ace los art/*icos algebraicos correspondientes parareconocer a 7ue *unciones sencillas conocidas convergen lasseries soluciones in*initas obtenidas de la ecuación8

+asta -

  TOTAL 10 PUNTOS