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FACULTAD DEINGENIERIAESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

DINÁMICA 2014

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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Estudia el movimiento sin hacer referencia alas fuerzas que looriginan.

Relaciona los aspectos geométricos del movimiento conconsideraciones de espacio y tiempo, en un marco de referencia enparticular.

Variables a utilizar:

Posici nVelocidad f !tiempo".#celeraci n

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CINEMATICA RECTILINEA: Posici n, velocidad yaceleraci n

POSICIÓN:• Una partícula que se mueve a lo largo de

una línea recta, se dice que se encuentraen movimiento rectilíneo.

• La coordenada de la posición de unapartícula esta definida por la distanciapositiva o negativa desde un origen fijosobre la línea hasta la ubicación de lapartícula.

• El movimiento de una partícula se conocesi la coordenada de posición se conocepara cualquier valor de tiempo t . El“itinerario del movimiento puedee!presarse en forma de una ecuación en x " t , tal como , o en una gr#fica de x en

función de t

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VELOCIDAD:Es la rapide' de cambio de posición. En función del intervalode tiempo relativamente grande o peque(o, podemos establecer lavelocidad media o la velocidad instant&nea, respectivamente.

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ACELERACIÓN: Es la rapide' del cambio de velocidad.

• $onsidere una partícula con velocidad v en elinstante t " v’ en t+Δt,

• La aceleración instant#nea puede ser%

• &ositiva% incremento de la velocidad positiva odisminución de la velocidad negativa

• 'egativa% disminución de la velocidad positivao incremento de la velocidad negativa

• &or definición de derivadas%

Ejemplo%

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CINEMATICA RECTILINEA: Posición, velocidad y aceleración

• $onsidere que el movimiento de una partícula estadado por

• En

• En

• En

• En

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)simismo, si se combinan las ecuaciones ,1- ' ,2-)

e*% %nand# e* (%e "#/ e$ "#$% *e # (ener na (erceraec ac%&n/ *a c a* n# e$ %nde"end%en(e de *a$ d#$an(er%#re$.

*i la aceleración es c#n$(an(e/ e$ "#$% *e %n(egrar *a$ec ac%#ne$ ,1-/ ,2- ' , - "ara # (ener 3&r *a$ ere*ac%#nen a/ 5/ $ ' (.

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$omo su nombre lo indica, el m vil se desplaza en l%nea recta y su velocidad se mantieneuniforme, invariable o constante& es decir la rapidez y la direcci n no var%an. Por e'emplo:

CINEMATICA RECTILINEA: Movimiento Rectilíneo Uniforme

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CINEMATICA RECTILINEA: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

(ada la aceleración podemos obtener elcambio de velocidad ) * )o entre los instantesto " t mediante integración o gr#ficamente%

V – Vo = a .(t – t o )

(ada la velocidad en f +t , obtenemos eldespla-amiento * o entre los instantes t o " tmediante integración o gr#ficamente%

X - Xo = Vo.(t – t o ) + ½.a .(t – t o )2

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Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado&ara una partícula en movimiento uniformemente acelerado, la aceleración de lapartícula es constante.

/i t o 0 1%

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&ara partículas movi2ndose de manera independiente a lolargo de la misma línea, es posible escribir ecuaciones demovimiento independientes para cada partícula3 el tiempodebe registrarse desde el mismo instante inicial " losdespla-amientos deben medirse desde el mismo origen "en la misma dirección.

CINEMATICA RECTILINEA: Movimiento de Varias partículas: Movimiento Relativo

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CINEMATICA RECTILINEA: Movimiento de Varias partículas: Movimiento Dependiente

• La posición de una partícula puede depender de laposición de otra o varias partículas.

• La posición del bloque B depende de la posición delbloque A. 4a que la cuerda es de longitud constante, sededuce que la suma de los segmentos de longitud debeser constante.

• La posición de tres bloques son dependientes.

• &ara posiciones linealmente relacionados, similaresrelaciones se mantienen entre las velocidades "aceleraciones.

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Determinación del movimiento de una partícula: Graficamente

6#r der%5ac%&n )*i se conoce la e$presión de la tra"ectoria en función del tiempo $ 7

8,(- :+a e$presión de la velocidad en función del tiempo 5 7 8,(- , see$presa como una derivada de la e$presión de la tra"ectoria conrespecto al tiempo, es decir, 5 7 d$9d( - , donde ds/dt #pendiente

de la curva s 0 t.

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En re$ en)

5 7 d$9d( ecuación -

a 7 d59d( ecuación 1

a .d$7 5.d5 ecuación 2

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6#r %n(egrac%&n )

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E:e "*# 2) El autom vil 4 est5 via'ando a una distancia d por delante del autom vil #.#mbos autos via'an a 60 p*s cuando de pronto el conductor de 4 frena, haciendo que suautom vil desacelere a 1+ p*s7. El conductor del #utom vil # requiere 0.83 segundos parareaccionar. $uando frena, desacelera a 13 p*s7. 9etermine la distancia m%nima d que deber%ae)istir entre los autom viles para evitar la colisi n.

d

A 3

E:e "*# ) (a magnitud de la aceleraci n de un punto moviéndose a lo largo de unarecta var%a de acuerdo a la ecuaci n a - 1+ /1*+, donde a-m*s+ y / en m, adem5s / es ladistancia del origen al punto. $uando t-+s y el punto est5 a 16m a la derecha del origen y suvelocidad es de +m*s a la derecha, la aceleraci n en ese instante es de 2m*s+ a la derecha.;allar la velocidad y aceleraci n al cabo de seg..

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E:e "*# 4)

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Ejemplo: Una pelota se lan-a con una velocidad de 51 m6s dirigida verticalmente haciaarriba desde una ventanilla ubicada sobre el suelo. /i se sabe que la aceleración de lapelota es constante e igual a 7.85 m6s 9 hacia abajo, determine a la velocidad v " laelevación y de la pelota sobre el suelo en cualquier tiempo t , b la elevación mas alta quealcan-a la pelota " el valor correspondiente de t , c el tiempo en el que la pelota golpea elsuelo " la velocidad correspondiente. (ibuje las curvas v-t " y-t.

a )elocidad " elevación

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b :#!ima elevación% se da cuando v01

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c La pelota golpea el suelo%

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Ejemplo% El mecanismo de freno que se usa para reducir el retroceso en ciertos tipos deca;ones consiste esencialmente en un 2mbolo unido a un ca;ón que se mueve en uncilindro fijo lleno de aceite. $uando el ca;ón retrocede con una velocidad inicial v 0 , el2mbolo se mueve " el aceite es for-ado a trav2s de los orificios en el 2mbolo,provocando que 2ste

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Ejemplo% Una pelota se lan-a verticalmente hacia arriba desde una altura de 59 m en elpo-o de un elevador con una velocidad inicial de 58 m6s. En el mismo instante unelevador de plataforma abierta pasa por el nivel de = m, movi2ndose hacia arriba conuna velocidad constante de 9 m6s. (etermine a cuando " donde golpea al elevador, b lavelocidad relativa de la pelota con respecto al elevador cuando 2sta la golpea.

• /e sustitu"e la posición, velocidad " aceleracióninicial de la pelota en la ecuación general delmovimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

• /e sustitu"e la posición " velocidad inicial delelevador en la ecuación para movimiento rectilíneouniforme.

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• /e escribe la ecuación para la posición relativa de lapelota con respecto al elevador " se soluciona paraposición relativa igual a cero +la pelota golpea el elevador .

• /e sustitu"e el tiempo del impacto en las ecuaciones parala posición del elevador " velocidad relativa de la pelotacon respecto al elevador.

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Ejemplo% El collarín A " el bloque B est#n conectados por medio de un cable que pasapor tres poleas C, D y E , como se indica. Las poleas C " E se mantienen fijas, en tantoque D est# unida a un collarín que se jala hacia abajo con una velocidad constante de >in6s. En t 01, el collarín A empie-a a moverse hacia abajo desde la posición K con unaaceleración constante " sin velocidad inicial. /i se sabe que la velocidad del collarín A es59 in6s cuando 2ste pasa por el punto L, determine el cambio de la elevación, lavelocidad " la aceleración del bloque B cuando el collarín A pasa por L.

• /e define el origen el la superficie hori-ontal superior " seelige la dirección positiva hacia abajo.

• El collarín ? tiene movimiento rectilíneo uniformementeacelerado. /e encuentra la aceleración " el tiempo tcuando el collarín pasa por L.

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• La polea D tiene movimiento uniforme. /e calcula elcambio de posición en el tiempo t.

• El movimiento del bloque B depende del movimiento delcollar A " polea D. /e escribe la relación del movimiento "se encuentra el cambio de posición del bloque @ en eltiempo t.

• La longitud del cable permanece constante

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• (iferenciado la relación del movimiento dos veces paradesarrollar las ecuaciones de velocidad " aceleración del

bloque B.