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1
Born to win
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
（1）设 3 3
1 2 3cos 1 , ln 1 , 1 1a x x a x x a x .当 0x 时，以上 3 个无穷小量按照从
低阶到高阶的排序是
（A） 1 2 3, ,a a a （B） 2 3 1, ,a a a
（C） 2 1 3, ,a a a （D） 3 2 1, ,a a a
【答案】（B）
【解析】当 0x 时
2
12
1~1cos xxxa
6
5
32 ~1ln xxxa
xxa3
1~11 3
1
3
故从低阶到高级顺序： 132 ,, aaa ，选 B
（2）已知函数 2 1 , 1
ln , 1
x xf x
x x
，则 f x 的一个原函数是（ ）
2 2
2 2
1 , 1 1 , 1
ln 1 , 1 ln 1 1, 1
1 , 1 1 , 1
ln 1 1, 1 ln 1 1, 1
x x x xA F x B F x
x x x x x x
x x x xC F x D F x
x x x x x x
【答案】（D）
【解析】由原函数必连续，故 A，C 排除。又 1x 时， xxx ln'11ln ，故选Ｄ
（3）反常积分①
10
2
1,xe dx
x ②
1
20
1xe dx
x
的敛散性为
（A）①收敛②收敛 （B）①收敛②发散
（C）①收敛②收敛 （D）①发散②发散
【答案】（B）
【解析】 110|1 0
110
2
xx edxe
x 收敛
2 2
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eedxex
xx 1|1
0
11
0 2 发散
（4）设函数 ( )f x 在 , 内连续，其导函数的图形如图所示，则
（A）函数 ( )f x 有 2 个极值点，曲线 ( )y f x 有 2 个拐点
（B）函数 ( )f x 有 2 个极值点，曲线 ( )y f x 有 3 个拐点
（C）函数 ( )f x 有 3 个极值点，曲线 ( )y f x 有 1 个拐点
（D）函数 ( )f x 有 3 个极值点，曲线 ( )y f x 有 2 个拐点
【答案】（A）
【解析】由 xf ' 两个零点左右都反号，故极值点有两个，
又拐点是 xf ' 的极值点，故拐点有两个。选Ａ
(5)设函数 ( )( 1, 2)if x i 具有二阶连续导数，且 ''
0( ) 0( 1,2)if x i ，若两条曲线 ( )( 1,2)iy f x i 在点
0 0( , )x y 处具有公切线 ( )y g x ，且在该点处曲线 1( )y f x 的曲率大于曲率 2( )y f x 的曲率，则在 0x 的
某个邻域内，有
1 2( ) ( ) ( ) ( )A f x f x g x 2 1( ) ( ) ( ) ( )B f x f x g x
1 2( ) ( ) ( ) ( )C f x g x f x 2 1( ) ( ) ( ) ( )D f x g x f x
【答案】
【解析】
（6）已知函数 ( , )xe
f x yx y
，则
' ' ' '
' ' ' '
( ) 0 ( ) 0
( ) ( )
x y x y
x y x y
A f f B f f
C f f f D f f f
【答案】（D）
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【解析】 2
'
yx
eyxef
xx
x
，
2'
yx
ef
x
y
故
f
yx
e
yx
yxeff
xx
yx
2
''
（7）设 ,A B是可逆矩阵，且 A与B 相似，则下列结论错误的是（ ）
（A） TA 与 TB 相似
（B） 1A 与 1B 相似
（C） TA A 与 TB B 相似
（D） 1A A 与 1B B 相似
【答案】（C）
【解析】此题是找错误的选项。由 A与 B 相似可知，存在可逆矩阵 ,P 使得1P AP B ，则
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
(1) ( ) ( ) ~ , A
(2) ( ) ~
(3) ( ) ~ ,
T T T T T T T TP AP B P A P B A B
P AP B P A P B A B B
P A A P P AP P A P B B A A B B D
故（ ）不选；
，故（ ）不选；
故（ ）不选；
此外，在（C）中，对于1 1 1( )T TP A A P P AP P A P ，若
1=P AP B
，则1( )T T T TP A P B ，
而1 TP A P
未必等于TB ，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。
（8）设二次型2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3( , , ) ( ) 2 2 2f x x x a x x x x x x x x x 的正负惯性指数分别为1, 2，则
（ ）
（A） 1a
（B） 2a
（C） 2 1a
（D） 1a 或 2a
【答案】（C）
【解析】考虑特殊值法，当 0a 时， 1 2 3 1 2 2 3 1 3( , , ) 2 2 2f x x x x x x x x x ，
其矩阵为
0 1 1
1 0 1
1 1 0
，由此计算出特征值为 2, 1, 1 ，满足题目已知条件，故 0a 成立，因此（C）为
正确选项。
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
（9） 曲线 3
2
2arctan 1
1
xy x
x
的斜渐近线方程为
4 4
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【答案】2
xy
【解析】
11arctan
1limlim
2
2
2
x
x
x
x
x
yk
xx
2
1arctan1
lim
1arctan1
limlim
2
2
2
2
3
xx
x
xxx
xxyb
x
xx
故渐近线为2
xy
（10）极限 2
1 1 2lim sin 2sin sinn
nn
n n n n
L
【答案】sin1 cos1
【解析】由
1
01
21
sin1
sinlim1
sinlim xdxxnn
i
n
i
nn
iiI
n
in
n
in
1cos1sincos|cos1
0
1
0 xdxxx
（11）以2 xy x e 和
2y x 为特解的一阶非齐次线性微分方程为
【答案】22y y x x
【解析】令微分方程为 xqyxPy
则
xqexxPex
xqxxPx
xx 2
2
2
2
故 22,1 xxxqxP
（12）已知函数 f x 在 , 上连续，且 2
01 2
x
f x x f t dt ，则当 2n 时， 0n
f
【答案】22 5
【解析】由 22212' xfxxfxxf
则 40,10 ' ff
则 xfxf ''' 12 ，故 5210'' xf
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xfxf ''''' 2 ，故 5202 2''''' fxf
以此类推，得
52 1 nn xf ，故 5202 2''''' fxf
（13）已知动点P 在曲线3xy 上运动，记坐标原点与点P 间的距离为 l 。若点P 的横坐标时间的变化率
为常数 0v ，则当点P 运动到点 1,1 时， l 对时间的变化率是_________
【答案】 02 2v
【解析】令 tytxP , ，则 txty 3
又 tytxl 22
则
tytx
tytytxtx
dt
dl
22
''
又 0
'2'
0
' 33, vtxtxtyvtx
则 000 22
2
3v
vv
dt
dl
（14）设矩阵
1 1
1 1
1 1
a
a
a
与
1 1 0
0 1 1
1 0 1
等价，则a
【答案】2.
【解析】
1 1 1 1 0
1 1 , 0 1 1
1 1 1 0 1
a
A a B
a
，由 A与 B 等价，可得 ( ) ( )r A r B ，因为
1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 ( ) 2
1 0 1 0 0 0
B r B
初等行变换 ,故 ( ) 2 0 2r A A a 或-1,当 1a
时，有 ( ) 1r A ，这与 ( ) 2r A 矛盾，故 2a .
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）求 4
1
0lim cos 2 2 sin x
xx x x
【解析】 4
1
0sin22coslim x
xxxx
6 6
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4
33
42
0
40
16
23
221
lim
1-sin22coslim
x
xox
xxxx
x
xxx
x
x
3
1
3
1
lim4
44
0
x
xox
x
（16）（本题满分 10 分）设函数 01
0
22 xdtxtxf ，求 xf ' 并求 xf 的最小值
【解析】【解析】当 11 x 时， 3
1
3
4 23122
0
22 xxdtxtdttxxfx
x
当 1x 时， 3
121
0
22 xdttxxf
则
13
1
103
1
3
4
013
1
3
4
13
1
2
23
23
2
xx
xxx
xxx
xx
xf
12
1024
0124
12
'2
2
xx
xxx
xxx
xx
xf
由导数的定义可知， 21',00',21' fff
故
12
1024
0124
12
'2
2
xx
xxx
xxx
xx
xf
由于 xf 是偶函数，所以只需求它在 ，0 上的最小值。
易知 ;1,0,0' xxf ;,1,0' xxf
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可知 xf 的最小值为 3
21 f 。
（17）（本题满分 10 分）已知函数 yxzz , 由方程 012ln22 yxzzyx 确定，求 yxzz ,
的极值
① 【解析】方程 012ln22 yxzzyx 两边对 x 求导
022 22
z
x
z
x
zyxxz （1）
令 0
x
z，则 01xz
② 方程 012ln22 yxzzyx 两边对 y 求导
022 22
z
y
z
y
zyxyz （2）
令 0
y
z，则 01yz
由
01
01
yz
xz得
xz
yx
1 ，
代入原方程知
1
1
z
yx，令 1,10 P
③ 求000 2
22
2
2
,, PPPy
z
yx
z
x
z
（一）方程（1）两边再对 x 求导：
011
222
'
2
2
2
222
x
z
zx
z
zx
zyx
x
zx
x
zxz
把
1
1
z
yx代入得 A
x
z
3
20P2
2
（二）方程（1）两边再对 y 求导：
011
222'2
22
yx
z
zx
z
zyx
zyx
x
zy
y
zx
8 8
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把
1
1
z
yx代入得 B
yx
z
0
2
（三）方程（2）两边再对 y 求导：
011
222
'
2
2
2
222
y
z
zy
z
zy
zyx
y
zy
y
zyz
把
1
1
z
yx代入得 C
y
z
3
22
2
则 02 BAC 且 0A ，故 0P 是极大值点，且极大值为 10 Pz
（ 18）（本题满分 10 分）设 D 是由直线 xyxyy ,,1 围成的有界区域，计算二重积分
dxdyyx
yxyx
D
22
22
【解析】
21
2222
222
22
22
2
II
dxdyyx
xydxdy
yx
yyx
dxdyyx
yxyxI
DD
D
又区域 D 关于 y 轴对称，则 02 I
则 4322
2
1 2 IIdxdyyx
ydxdyI
DD
其中 13 D
dxdyI ，
dxyx
ydydxdy
yx
ydxdy
yx
yI
y
DD
1
0 0 22
2
22
2
22
2
4 442
1
又 yy
xy
y
xd
y
xydx
yx
y yyy
4arctan
1
10
0 20 22
2
故2
1
04
ydyI
则2
11
I
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（19）（本题满分 10 分）已知 xx exuxyexy 21 , 是二阶微分方程 02'12''12 yyxyx 的
解，若 10,1 ueu ，求 xu ，并写出该微分方程的通解
【解析】
21
2222
222
22
22
2
II
dxdyyx
xydxdy
yx
yyx
dxdyyx
yxyxI
DD
D
又区域 D 关于 y 轴对称，则 02 I
则 4322
2
1 2 IIdxdyyx
ydxdyI
DD
其中 13 D
dxdyI ，
dxyx
ydydxdy
yx
ydxdy
yx
yI
y
DD
1
0 0 22
2
22
2
22
2
4 442
1
又 yy
xy
y
xd
y
xydx
yx
y yyy
4arctan
1
10
0 20 22
2
故2
1
04
ydyI
则2
11
I
（20）（本题满分 11 分）设 D是由曲线 101 2 xxy 与
20
sin
cos
3
3
tty
tx围成的平面区域，
求 D绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积
【解析】1）设 D 绕 x 轴旋转一周的体积为V ，则
dttdttt
dttttdxx
VVV
2
0
92
0
27
0
2
261
0
2
sin3sin1sin33
2
sincos3sin1
小大
则
35
18
9
1
35
163
3
2V
2)设 D 绕 x 轴旋转一周的表面积为 S，则
10 10
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5
4sinsin62
sin2112
2
0
4
0
2
2'2'31
0
2'2
tdt
dtxyxxtdxxyxS
（21）（本题满分 11 分）已知 xf 在
2
3,0
上连续，在
2
3,0
内是函数32
cos
x
x的一个原函数 00 f
（1）求 xf 在区间
2
3,0
上的平均值
（2）证明 xf 在区间
2
3,0
内存在唯一零点
【解析】
（22）（本题满分 11 分）设矩阵
1 1 1 0
1 0 , 1
1 1 1 2 2
a
A a
a a a
，且方程组 Ax 无解，
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求方程组T TA Ax A 的通解
【解析】
（Ⅰ）由方程组 Ax 无解，可知 ( ) ( , )r A r A ，故这里有 0A ，
1 1 1
1 0 0 0
1 1 1
a
A a a
a a
或 2a 。由于当 0a 时， ( ) ( , )r A r A ，而当 2a 时， ( ) ( , )r A r A 。综上，故 0a 符合题目。
（Ⅱ）当 0a 时，
3 2 2 1
2 2 2 , 2
2 2 2 2
T TA A A
，故
3 2 2 1 1 0 0 1
( , ) 2 2 2 2 0 1 1 2
2 2 2 2 0 0 0 0
T TA A A
，
因此，方程组T TA Ax A 的通解为
0 1
1 2
1 0
x k
,其中 k 为任意实数。
（23）（本题满分 11 分）
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已知矩阵
0 1 1
2 3 0
0 0 0
A
.
（Ⅰ）求 99A ；
（Ⅱ）设 3 阶矩阵 1 2 3( , , )B ，满足2B BA ，记
100
1 2 3( , , )B ，将 1 2 3, , 分别表示为
1 2 3, , 的线性组合。
【解析】
（Ⅰ）利用相似对角化。
由 0E A ，可得 A的特征值为 1 2 30, 1, 2 ，故
0
~ 1
2
A
.
当 1 0 时，由 (0 ) 0E A x ，解出此时 A的属于特征值 1 0 的特征向量为 1
3
2
2
;
当 2 1 时，由 ( ) 0E A x ，解出此时 A的属于特征值 2 1 的特征向量为 2
1
1
0
;
当 3 2 时，由 ( 2 ) 0E A x ，解出此时 A的属于特征值 3 2 的特征向量为 3
1
2
0
.
设 1 2 3
3 1 1
( , , ) 2 1 2
2 0 0
P
，由1
0
1
2
P AP
可得1A P P ，
99 99 1A P P ，
对于
3 1 1
2 1 2
2 0 0
P
，利用初等变换，可求出1
10 0
2
2 1 2
11 1
2
P
，故
99 99 98
99 99 1 100 100 99
99
10 0
3 1 1 0 2 2 1 2 2 22
2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2
2 0 0 2 1 0 0 01 1
2
A P P
12 12
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（ Ⅱ ）2 3 2 2 1 0 0 9 9B B A B B B A B A B A A B A B B A L ， 由 于 1 2 3( , , )B ，
100
1 2 3( , , )B ，故
99 99 98
99 100 100 99
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 1 2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 1 2 2 2
0 0 0
A
，因此，
99 100 99 100 98 99
1 1 2 2 1 2 3 1 2( 2 2 ) ( 2 2 ) , (1 2 ) (1 2 ) , (2 2 ) (2 2 ) .