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Born to win
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求
的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.
(1)设 3 3
1 2 3cos 1 , ln 1 , 1 1a x x a x x a x .当 0x 时,以上 3 个无穷小量按照从
低阶到高阶的排序是
(A) 1 2 3, ,a a a (B) 2 3 1, ,a a a
(C) 2 1 3, ,a a a (D) 3 2 1, ,a a a
【答案】(B)
【解析】当 0x 时
2
12
1~1cos xxxa
6
5
32 ~1ln xxxa
xxa3
1~11 3
1
3
故从低阶到高级顺序: 132 ,, aaa ,选 B
(2)已知函数 2 1 , 1
ln , 1
x xf x
x x
,则 f x 的一个原函数是( )
2 2
2 2
1 , 1 1 , 1
ln 1 , 1 ln 1 1, 1
1 , 1 1 , 1
ln 1 1, 1 ln 1 1, 1
x x x xA F x B F x
x x x x x x
x x x xC F x D F x
x x x x x x
【答案】(D)
【解析】由原函数必连续,故 A,C 排除。又 1x 时, xxx ln'11ln ,故选D
(3)反常积分①
10
2
1,xe dx
x ②
1
20
1xe dx
x
的敛散性为
(A)①收敛②收敛 (B)①收敛②发散
(C)①收敛②收敛 (D)①发散②发散
【答案】(B)
【解析】 110|1 0
110
2
xx edxe
x 收敛
2 2
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eedxex
xx 1|1
0
11
0 2 发散
(4)设函数 ( )f x 在 , 内连续,其导函数的图形如图所示,则
(A)函数 ( )f x 有 2 个极值点,曲线 ( )y f x 有 2 个拐点
(B)函数 ( )f x 有 2 个极值点,曲线 ( )y f x 有 3 个拐点
(C)函数 ( )f x 有 3 个极值点,曲线 ( )y f x 有 1 个拐点
(D)函数 ( )f x 有 3 个极值点,曲线 ( )y f x 有 2 个拐点
【答案】(A)
【解析】由 xf ' 两个零点左右都反号,故极值点有两个,
又拐点是 xf ' 的极值点,故拐点有两个。选A
(5)设函数 ( )( 1, 2)if x i 具有二阶连续导数,且 ''
0( ) 0( 1,2)if x i ,若两条曲线 ( )( 1,2)iy f x i 在点
0 0( , )x y 处具有公切线 ( )y g x ,且在该点处曲线 1( )y f x 的曲率大于曲率 2( )y f x 的曲率,则在 0x 的
某个邻域内,有
1 2( ) ( ) ( ) ( )A f x f x g x 2 1( ) ( ) ( ) ( )B f x f x g x
1 2( ) ( ) ( ) ( )C f x g x f x 2 1( ) ( ) ( ) ( )D f x g x f x
【答案】
【解析】
(6)已知函数 ( , )xe
f x yx y
,则
' ' ' '
' ' ' '
( ) 0 ( ) 0
( ) ( )
x y x y
x y x y
A f f B f f
C f f f D f f f
【答案】(D)
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【解析】 2
'
yx
eyxef
xx
x
,
2'
yx
ef
x
y
故
f
yx
e
yx
yxeff
xx
yx
2
''
(7)设 ,A B是可逆矩阵,且 A与B 相似,则下列结论错误的是( )
(A) TA 与 TB 相似
(B) 1A 与 1B 相似
(C) TA A 与 TB B 相似
(D) 1A A 与 1B B 相似
【答案】(C)
【解析】此题是找错误的选项。由 A与 B 相似可知,存在可逆矩阵 ,P 使得1P AP B ,则
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
(1) ( ) ( ) ~ , A
(2) ( ) ~
(3) ( ) ~ ,
T T T T T T T TP AP B P A P B A B
P AP B P A P B A B B
P A A P P AP P A P B B A A B B D
故( )不选;
,故( )不选;
故( )不选;
此外,在(C)中,对于1 1 1( )T TP A A P P AP P A P ,若
1=P AP B
,则1( )T T T TP A P B ,
而1 TP A P
未必等于TB ,故(C)符合题意。综上可知,(C)为正确选项。
(8)设二次型2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3( , , ) ( ) 2 2 2f x x x a x x x x x x x x x 的正负惯性指数分别为1, 2,则
( )
(A) 1a
(B) 2a
(C) 2 1a
(D) 1a 或 2a
【答案】(C)
【解析】考虑特殊值法,当 0a 时, 1 2 3 1 2 2 3 1 3( , , ) 2 2 2f x x x x x x x x x ,
其矩阵为
0 1 1
1 0 1
1 1 0
,由此计算出特征值为 2, 1, 1 ,满足题目已知条件,故 0a 成立,因此(C)为
正确选项。
二、填空题:914 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸...指定位置上.
(9) 曲线 3
2
2arctan 1
1
xy x
x
的斜渐近线方程为
4 4
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【答案】2
xy
【解析】
11arctan
1limlim
2
2
2
x
x
x
x
x
yk
xx
2
1arctan1
lim
1arctan1
limlim
2
2
2
2
3
xx
x
xxx
xxyb
x
xx
故渐近线为2
xy
(10)极限 2
1 1 2lim sin 2sin sinn
nn
n n n n
L
【答案】sin1 cos1
【解析】由
1
01
21
sin1
sinlim1
sinlim xdxxnn
i
n
i
nn
iiI
n
in
n
in
1cos1sincos|cos1
0
1
0 xdxxx
(11)以2 xy x e 和
2y x 为特解的一阶非齐次线性微分方程为
【答案】22y y x x
【解析】令微分方程为 xqyxPy
则
xqexxPex
xqxxPx
xx 2
2
2
2
故 22,1 xxxqxP
(12)已知函数 f x 在 , 上连续,且 2
01 2
x
f x x f t dt ,则当 2n 时, 0n
f
【答案】22 5
【解析】由 22212' xfxxfxxf
则 40,10 ' ff
则 xfxf ''' 12 ,故 5210'' xf
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xfxf ''''' 2 ,故 5202 2''''' fxf
以此类推,得
52 1 nn xf ,故 5202 2''''' fxf
(13)已知动点P 在曲线3xy 上运动,记坐标原点与点P 间的距离为 l 。若点P 的横坐标时间的变化率
为常数 0v ,则当点P 运动到点 1,1 时, l 对时间的变化率是_________
【答案】 02 2v
【解析】令 tytxP , ,则 txty 3
又 tytxl 22
则
tytx
tytytxtx
dt
dl
22
''
又 0
'2'
0
' 33, vtxtxtyvtx
则 000 22
2
3v
vv
dt
dl
(14)设矩阵
1 1
1 1
1 1
a
a
a
与
1 1 0
0 1 1
1 0 1
等价,则a
【答案】2.
【解析】
1 1 1 1 0
1 1 , 0 1 1
1 1 1 0 1
a
A a B
a
,由 A与 B 等价,可得 ( ) ( )r A r B ,因为
1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 ( ) 2
1 0 1 0 0 0
B r B
初等行变换 ,故 ( ) 2 0 2r A A a 或-1,当 1a
时,有 ( ) 1r A ,这与 ( ) 2r A 矛盾,故 2a .
三、解答题:15—23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)求 4
1
0lim cos 2 2 sin x
xx x x
【解析】 4
1
0sin22coslim x
xxxx
6 6
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4
33
42
0
40
16
23
221
lim
1-sin22coslim
x
xox
xxxx
x
xxx
x
x
3
1
3
1
lim4
44
0
x
xox
x
(16)(本题满分 10 分)设函数 01
0
22 xdtxtxf ,求 xf ' 并求 xf 的最小值
【解析】【解析】当 11 x 时, 3
1
3
4 23122
0
22 xxdtxtdttxxfx
x
当 1x 时, 3
121
0
22 xdttxxf
则
13
1
103
1
3
4
013
1
3
4
13
1
2
23
23
2
xx
xxx
xxx
xx
xf
12
1024
0124
12
'2
2
xx
xxx
xxx
xx
xf
由导数的定义可知, 21',00',21' fff
故
12
1024
0124
12
'2
2
xx
xxx
xxx
xx
xf
由于 xf 是偶函数,所以只需求它在 ,0 上的最小值。
易知 ;1,0,0' xxf ;,1,0' xxf
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可知 xf 的最小值为 3
21 f 。
(17)(本题满分 10 分)已知函数 yxzz , 由方程 012ln22 yxzzyx 确定,求 yxzz ,
的极值
① 【解析】方程 012ln22 yxzzyx 两边对 x 求导
022 22
z
x
z
x
zyxxz (1)
令 0
x
z,则 01xz
② 方程 012ln22 yxzzyx 两边对 y 求导
022 22
z
y
z
y
zyxyz (2)
令 0
y
z,则 01yz
由
01
01
yz
xz得
xz
yx
1 ,
代入原方程知
1
1
z
yx,令 1,10 P
③ 求000 2
22
2
2
,, PPPy
z
yx
z
x
z
(一)方程(1)两边再对 x 求导:
011
222
'
2
2
2
222
x
z
zx
z
zx
zyx
x
zx
x
zxz
把
1
1
z
yx代入得 A
x
z
3
20P2
2
(二)方程(1)两边再对 y 求导:
011
222'2
22
yx
z
zx
z
zyx
zyx
x
zy
y
zx
8 8
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把
1
1
z
yx代入得 B
yx
z
0
2
(三)方程(2)两边再对 y 求导:
011
222
'
2
2
2
222
y
z
zy
z
zy
zyx
y
zy
y
zyz
把
1
1
z
yx代入得 C
y
z
3
22
2
则 02 BAC 且 0A ,故 0P 是极大值点,且极大值为 10 Pz
( 18)(本题满分 10 分)设 D 是由直线 xyxyy ,,1 围成的有界区域,计算二重积分
dxdyyx
yxyx
D
22
22
【解析】
21
2222
222
22
22
2
II
dxdyyx
xydxdy
yx
yyx
dxdyyx
yxyxI
DD
D
又区域 D 关于 y 轴对称,则 02 I
则 4322
2
1 2 IIdxdyyx
ydxdyI
DD
其中 13 D
dxdyI ,
dxyx
ydydxdy
yx
ydxdy
yx
yI
y
DD
1
0 0 22
2
22
2
22
2
4 442
1
又 yy
xy
y
xd
y
xydx
yx
y yyy
4arctan
1
10
0 20 22
2
故2
1
04
ydyI
则2
11
I
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(19)(本题满分 10 分)已知 xx exuxyexy 21 , 是二阶微分方程 02'12''12 yyxyx 的
解,若 10,1 ueu ,求 xu ,并写出该微分方程的通解
【解析】
21
2222
222
22
22
2
II
dxdyyx
xydxdy
yx
yyx
dxdyyx
yxyxI
DD
D
又区域 D 关于 y 轴对称,则 02 I
则 4322
2
1 2 IIdxdyyx
ydxdyI
DD
其中 13 D
dxdyI ,
dxyx
ydydxdy
yx
ydxdy
yx
yI
y
DD
1
0 0 22
2
22
2
22
2
4 442
1
又 yy
xy
y
xd
y
xydx
yx
y yyy
4arctan
1
10
0 20 22
2
故2
1
04
ydyI
则2
11
I
(20)(本题满分 11 分)设 D是由曲线 101 2 xxy 与
20
sin
cos
3
3
tty
tx围成的平面区域,
求 D绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积
【解析】1)设 D 绕 x 轴旋转一周的体积为V ,则
dttdttt
dttttdxx
VVV
2
0
92
0
27
0
2
261
0
2
sin3sin1sin33
2
sincos3sin1
小大
则
35
18
9
1
35
163
3
2V
2)设 D 绕 x 轴旋转一周的表面积为 S,则
10 10
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5
4sinsin62
sin2112
2
0
4
0
2
2'2'31
0
2'2
tdt
dtxyxxtdxxyxS
(21)(本题满分 11 分)已知 xf 在
2
3,0
上连续,在
2
3,0
内是函数32
cos
x
x的一个原函数 00 f
(1)求 xf 在区间
2
3,0
上的平均值
(2)证明 xf 在区间
2
3,0
内存在唯一零点
【解析】
(22)(本题满分 11 分)设矩阵
1 1 1 0
1 0 , 1
1 1 1 2 2
a
A a
a a a
,且方程组 Ax 无解,
(Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)求方程组T TA Ax A 的通解
【解析】
(Ⅰ)由方程组 Ax 无解,可知 ( ) ( , )r A r A ,故这里有 0A ,
1 1 1
1 0 0 0
1 1 1
a
A a a
a a
或 2a 。由于当 0a 时, ( ) ( , )r A r A ,而当 2a 时, ( ) ( , )r A r A 。综上,故 0a 符合题目。
(Ⅱ)当 0a 时,
3 2 2 1
2 2 2 , 2
2 2 2 2
T TA A A
,故
3 2 2 1 1 0 0 1
( , ) 2 2 2 2 0 1 1 2
2 2 2 2 0 0 0 0
T TA A A
,
因此,方程组T TA Ax A 的通解为
0 1
1 2
1 0
x k
,其中 k 为任意实数。
(23)(本题满分 11 分)
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已知矩阵
0 1 1
2 3 0
0 0 0
A
.
(Ⅰ)求 99A ;
(Ⅱ)设 3 阶矩阵 1 2 3( , , )B ,满足2B BA ,记
100
1 2 3( , , )B ,将 1 2 3, , 分别表示为
1 2 3, , 的线性组合。
【解析】
(Ⅰ)利用相似对角化。
由 0E A ,可得 A的特征值为 1 2 30, 1, 2 ,故
0
~ 1
2
A
.
当 1 0 时,由 (0 ) 0E A x ,解出此时 A的属于特征值 1 0 的特征向量为 1
3
2
2
;
当 2 1 时,由 ( ) 0E A x ,解出此时 A的属于特征值 2 1 的特征向量为 2
1
1
0
;
当 3 2 时,由 ( 2 ) 0E A x ,解出此时 A的属于特征值 3 2 的特征向量为 3
1
2
0
.
设 1 2 3
3 1 1
( , , ) 2 1 2
2 0 0
P
,由1
0
1
2
P AP
可得1A P P ,
99 99 1A P P ,
对于
3 1 1
2 1 2
2 0 0
P
,利用初等变换,可求出1
10 0
2
2 1 2
11 1
2
P
,故
99 99 98
99 99 1 100 100 99
99
10 0
3 1 1 0 2 2 1 2 2 22
2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2
2 0 0 2 1 0 0 01 1
2
A P P
12 12
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( Ⅱ )2 3 2 2 1 0 0 9 9B B A B B B A B A B A A B A B B A L , 由 于 1 2 3( , , )B ,
100
1 2 3( , , )B ,故
99 99 98
99 100 100 99
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 1 2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 1 2 2 2
0 0 0
A
,因此,
99 100 99 100 98 99
1 1 2 2 1 2 3 1 2( 2 2 ) ( 2 2 ) , (1 2 ) (1 2 ) , (2 2 ) (2 2 ) .