2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12....
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
2016年度秋学期 応用数学(解析)
浅野 晃 関西大学総合情報学部
第4部・複素関数論ダイジェスト 孤立特異点と留数
第13回
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
なにをするんでしたっけ?
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分は∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線を
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線をy
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線をy
複素平面に拡張
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線を
実部
y 虚部
複素平面に拡張 z = x + yi
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線を
実部
y 虚部
複素平面に拡張 z = x + yi
こういう周C上で
C
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線を
実部
y 虚部
複素平面に拡張 z = x + yi
こういう周C上で
C
∮
C
1
z4 + 1dz
を計算すると
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線を
実部
y 虚部
複素平面に拡張 z = x + yi
こういう周C上で
C
∮
C
1
z4 + 1dz
を計算すると
上の積分も求まる
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
前回の復習 コーシーの積分定理
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分定理複素関数 f(z) が,領域 D での正則関数で経路 C が, D 内にある単純閉曲線ならば
ず∫
Cf(z)dz = 0
積分定
−1−0.5
00.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分定理複素関数 f(z) が,領域 D での正則関数で経路 C が, D 内にある単純閉曲線ならば
ず∫
Cf(z)dz = 0
積分定
−1−0.5
00.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分定理複素関数 f(z) が,領域 D での正則関数で経路 C が, D 内にある単純閉曲線ならば
ず∫
Cf(z)dz = 0
積分定
−1−0.5
00.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez 積分は0
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ここからの話は正則でない点を囲んで積分したら?
f(z) = 1 / z−1
−0.50
0.51
−1
−0.5
0
0.5
1−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ここからの話は正則でない点を囲んで積分したら?
f(z) = 1 / z−1
−0.50
0.51
−1
−0.5
0
0.5
1−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ここからの話は正則でない点を囲んで積分したら?
f(z) = 1 / z−1
−0.50
0.51
−1
−0.5
0
0.5
1−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
積分は?
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ここからの話は正則でない点を囲んで積分したら?
f(z) = 1 / z−1
−0.50
0.51
−1
−0.5
0
0.5
1−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
積分は?
正則でない「穴」によって決まる
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
f(z) = zn の積分
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考える関数をべき級数で表して 各項の積分を考えるため
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考える関数をべき級数で表して 各項の積分を考えるため
f(z) = zn を,単位円周C に沿って正の向きに回って積分する
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考える関数をべき級数で表して 各項の積分を考えるため
f(z) = zn を,単位円周C に沿って正の向きに回って積分する
複素平面において 原点を中心とする 半径1の円周
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考える関数をべき級数で表して 各項の積分を考えるため
f(z) = zn を,単位円周C に沿って正の向きに回って積分する
複素平面において 原点を中心とする 半径1の円周
実軸
虚軸
1
1
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考える関数をべき級数で表して 各項の積分を考えるため
f(z) = zn を,単位円周C に沿って正の向きに回って積分する
複素平面において 原点を中心とする 半径1の円周
実軸
虚軸
1
1
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考える関数をべき級数で表して 各項の積分を考えるため
f(z) = zn を,単位円周C に沿って正の向きに回って積分する
複素平面において 原点を中心とする 半径1の円周
実軸
虚軸
1
1 正の向き
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考える
n = 0, 1, 2, … のとき
f(z) = z0, z1, z2, … は単位円周C の内部で正則
。∮
Cf(z)dz = 0
コーシーの積分定理により
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるn = –1, –2, –3, … のときややこしいので,あらためて
f(z) =1
zn
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるn = –1, –2, –3, … のときややこしいので,あらためて
f(z) =1
zn
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
∮
Cf(z)dz =
∫ 2π
0e−inθ dz
dθdθ
=
∫ 2π
0e−inθieiθdθ
= i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるn = –1, –2, –3, … のときややこしいので,あらためて
f(z) =1
zn
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
∮
Cf(z)dz =
∫ 2π
0e−inθ dz
dθdθ
=
∫ 2π
0e−inθieiθdθ
= i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
実軸
虚軸
1
1
C
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるn = –1, –2, –3, … のときややこしいので,あらためて
f(z) =1
zn
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
∮
Cf(z)dz =
∫ 2π
0e−inθ dz
dθdθ
=
∫ 2π
0e−inθieiθdθ
= i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
経路 C 上で
実軸
虚軸
1
1
C
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるn = –1, –2, –3, … のときややこしいので,あらためて
f(z) =1
zn
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
∮
Cf(z)dz =
∫ 2π
0e−inθ dz
dθdθ
=
∫ 2π
0e−inθieiθdθ
= i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
経路 C 上で
z = eiθ
(0 � θ < 2π)
実軸
虚軸
1
1
C
![Page 37: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/37.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるn = –1, –2, –3, … のときややこしいので,あらためて
f(z) =1
zn
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
∮
Cf(z)dz =
∫ 2π
0e−inθ dz
dθdθ
=
∫ 2π
0e−inθieiθdθ
= i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
経路 C 上で
z = eiθ
(0 � θ < 2π)
実軸
虚軸
1
1
C
置換積分
![Page 38: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/38.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるn = –1, –2, –3, … のときややこしいので,あらためて
f(z) =1
zn
とおいて n = 1, 2, 3, …とする
∮
Cf(z)dz =
∫ 2π
0e−inθ dz
dθdθ
=
∫ 2π
0e−inθieiθdθ
= i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
経路 C 上で
z = eiθ
(0 � θ < 2π)
実軸
虚軸
1
1
C
置換積分
![Page 39: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/39.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるについて n = 1のとき
f(z) =1
zn
∮
C
1
zdz =
i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
![Page 40: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/40.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるについて n = 1のとき
f(z) =1
zn
∮
C
1
zdz =
i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
n = 1
![Page 41: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/41.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるについて n = 1のとき
f(z) =1
zn
∮
C
1
zdz =
i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
n = 1
= i
∫ 2π
0dθ = 2πi
![Page 42: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/42.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるについて n = 1のとき
f(z) =1
zn
∮
C
1
zdz =
i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
n = 1
= i
∫ 2π
0dθ = 2πi
n = 2, 3, … のとき
![Page 43: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/43.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるについて n = 1のとき
f(z) =1
zn
∮
C
1
zdz =
i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
n = 1
= i
∫ 2π
0dθ = 2πi
n = 2, 3, … のとき
∮
C
1
zndz =
i
i(1− n)
[ei(1−n)θ
]2π0
=1
1− n
[e2(1−n)πi − 1
]
![Page 44: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/44.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるについて n = 1のとき
f(z) =1
zn
∮
C
1
zdz =
i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
n = 1
= i
∫ 2π
0dθ = 2πi
n = 2, 3, … のとき
∮
C
1
zndz =
i
i(1− n)
[ei(1−n)θ
]2π0
=1
1− n
[e2(1−n)πi − 1
]
e2(1−n)πi = cos(2(1− n)π) + i sin(2(1− n)π) = 1
より
![Page 45: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/45.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるについて n = 1のとき
f(z) =1
zn
∮
C
1
zdz =
i
∫ 2π
0ei(1−n)θdθ
n = 1
= i
∫ 2π
0dθ = 2πi
n = 2, 3, … のとき
∮
C
1
zndz =
i
i(1− n)
[ei(1−n)θ
]2π0
=1
1− n
[e2(1−n)πi − 1
]
e2(1−n)πi = cos(2(1− n)π) + i sin(2(1− n)π) = 1
より
∮
C
1
zndz =
0
![Page 46: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/46.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるつまり
∮
C
1
zndz =
{2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
∮
C
1
zdz =
2πi
![Page 47: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/47.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるつまり
∮
C
1
zndz =
{2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
∮
C
1
zdz =
2πi
また,a を中心とする半径1の円周を C とすると
![Page 48: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/48.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるつまり
∮
C
1
zndz =
{2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
∮
C
1
zdz =
2πi
また,a を中心とする半径1の円周を C とすると
実軸
虚軸
C
a
![Page 49: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/49.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
zn の積分を考えるつまり
∮
C
1
zndz =
{2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
∮
C
1
zdz =
2πi
また,a を中心とする半径1の円周を C とすると
∮
C
1
(z − a)ndz =
{2πi n = 1
0 n = 2, 3, . . .
実軸
虚軸
C
a
![Page 50: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/50.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 51: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/51.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
![Page 52: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/52.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式正則関数の任意の点での値は, その点を囲む閉曲線上の値だけできまる
領域 D で正則な関数fの点 z における値 f(z) は, D 内で点 z を囲み,正の方向に1周する閉曲線 C 上の積分
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ
で表される
z = 0 のときは 原点を囲み,正の方向に1周する閉曲線 C 上の積分
f(0) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
で表される
![Page 53: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/53.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
−1−0.5
00.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez
正則関数の任意の点での値は, その点を囲む閉曲線上の値だけできまる
![Page 54: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/54.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
−1−0.5
00.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez
正則関数の任意の点での値は, その点を囲む閉曲線上の値だけできまる
正則関数は 「折り目なく」 曲がっているから,
![Page 55: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/55.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
−1−0.5
00.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez
正則関数の任意の点での値は, その点を囲む閉曲線上の値だけできまる
正則関数は 「折り目なく」 曲がっているから,
![Page 56: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/56.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
−1−0.5
00.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f(z) = ez
正則関数の任意の点での値は, その点を囲む閉曲線上の値だけできまる
正則関数は 「折り目なく」 曲がっているから,周囲(囲む閉曲線上)の 値によって その中心の値が決まって しまっても不思議ではない
![Page 57: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/57.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
![Page 58: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/58.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
![Page 59: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/59.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
![Page 60: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/60.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路で
![Page 61: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/61.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路でを積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 62: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/62.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路でを積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 63: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/63.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路でを積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 64: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/64.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路でを積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 65: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/65.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路でを積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 66: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/66.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路でを積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 67: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/67.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路でを積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 68: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/68.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路でを積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 69: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/69.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路でを積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 70: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/70.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路で
原点では正則でないが
を積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 71: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/71.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路で
原点では正則でないが
グレーの部分では正則
を積分f(ζ)
ζ
関数
![Page 72: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/72.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式f(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
を考える
O
C
Cr
P
Q
原点
こういう経路で
原点では正則でないが
グレーの部分では正則
を積分f(ζ)
ζ
関数
コーシーの積分定理により,積分=0
![Page 73: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/73.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
![Page 74: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/74.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
![Page 75: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/75.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
![Page 76: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/76.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
![Page 77: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/77.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
![Page 78: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/78.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
![Page 79: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/79.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
![Page 80: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/80.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
C とは逆回りだからマイナス
同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
![Page 81: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/81.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
C とは逆回りだからマイナス
同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ = −
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
![Page 82: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/82.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
グレーの部分では正則 コーシーの積分定理により,∮
C
f(ζ)
ζdζ +
∫ Q
P
f(ζ)
ζdζ +
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ +
∫ P
Q
f(ζ)
ζdζ = 0
C とは逆回りだからマイナス
同じ経路を逆方向だから 打ち消し合う
∮
−Cr
f(ζ)
ζdζ = −
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
つまり∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
![Page 83: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/83.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
![Page 84: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/84.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
内側の円の半径→0とすると∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
![Page 85: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/85.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
内側の円の半径→0とすると∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
![Page 86: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/86.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
内側の円の半径→0とすると∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
∮
Cr
f(0)
ζdζ
に収束する (詳細略)
![Page 87: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/87.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
内側の円の半径→0とすると∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
∮
Cr
f(0)
ζdζ
に収束する (詳細略)
∮
Cr
f(0)
ζdζ = f(0)
∮
Cr
1
ζdζ = 2πif(0)
![Page 88: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/88.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
内側の円の半径→0とすると∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
∮
Cr
f(0)
ζdζ
に収束する (詳細略)
∮
Cr
f(0)
ζdζ = f(0)
∮
Cr
1
ζdζ = 2πif(0)
![Page 89: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/89.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
内側の円の半径→0とすると∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
∮
Cr
f(0)
ζdζ
に収束する (詳細略)
∮
Cr
f(0)
ζdζ = f(0)
∮
Cr
1
ζdζ = 2πif(0)
![Page 90: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/90.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
内側の円の半径→0とすると∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
∮
Cr
f(0)
ζdζ
に収束する (詳細略)
∮
Cr
f(0)
ζdζ = f(0)
∮
Cr
1
ζdζ = 2πif(0)
よって
![Page 91: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/91.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
コーシーの積分公式
O
C
Cr
P
Q
内側の円の半径→0とすると∮
C
f(ζ)
ζdζ =
∮
Cr
f(ζ)
ζdζ
∮
Cr
f(0)
ζdζ
に収束する (詳細略)
∮
Cr
f(0)
ζdζ = f(0)
∮
Cr
1
ζdζ = 2πif(0)
よってf(0) =
1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζdζ
![Page 92: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/92.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 93: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/93.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
孤立特異点と ローラン級数展開
![Page 94: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/94.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ここからの見通し孤立特異点とは
f(z) = 1 / z−1
−0.50
0.51
−1
−0.5
0
0.5
1−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
こういう,正則関数にあいた「穴」(1点を除いて正則)
![Page 95: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/95.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ここからの見通し孤立特異点をもつ関数について
孤立特異点の周りの積分を使って 関数が級数に展開できる(ローラン級数展開)
−1−0.5
00.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20ローラン級数を 積分することで
孤立特異点の周りの 積分は「留数」だけで 表されることがわかる
留数を別途求められれば,積分が簡単に求まる
![Page 96: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/96.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開孤立特異点の周りの経路で積分
前と同じ考えで,コーシーの積分公式より
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
前と同じ経路で
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
![Page 97: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/97.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開孤立特異点の周りの経路で積分
前と同じ考えで,コーシーの積分公式より
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
前と同じ経路で
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
![Page 98: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/98.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開孤立特異点の周りの経路で積分
前と同じ考えで,コーシーの積分公式より
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
前と同じ経路で
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
![Page 99: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/99.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
![Page 100: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/100.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
![Page 101: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/101.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
1
ζ − z=
1
(ζ − a)− (z − a)=
1
ζ − a· 1
1− z − a
ζ − a
![Page 102: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/102.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
1
ζ − z=
1
(ζ − a)− (z − a)=
1
ζ − a· 1
1− z − a
ζ − a
![Page 103: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/103.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
等比級数の形
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
1
ζ − z=
1
(ζ − a)− (z − a)=
1
ζ − a· 1
1− z − a
ζ − a
![Page 104: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/104.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
等比級数の形
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
1
ζ − z=
1
(ζ − a)− (z − a)=
1
ζ − a· 1
1− z − a
ζ − a
![Page 105: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/105.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
等比級数の形
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
1
ζ − z=
1
(ζ − a)− (z − a)=
1
ζ − a· 1
1− z − a
ζ − a
ζ は外側の経路上だから
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
![Page 106: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/106.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
等比級数の形
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
1
ζ − z=
1
(ζ − a)− (z − a)=
1
ζ − a· 1
1− z − a
ζ − a
ζ は外側の経路上だから
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
絶対値が1より小さく,収束する
![Page 107: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/107.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
等比級数の形
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
1
ζ − z=
1
(ζ − a)− (z − a)=
1
ζ − a· 1
1− z − a
ζ − a
ζ は外側の経路上だから
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
絶対値が1より小さく,収束する
1
ζ − z=
1
ζ − a
{1 +
z − a
ζ − a+
(z − a
ζ − a
)2
+ · · ·}
![Page 108: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/108.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
1
ζ − z=
1
ζ − a
{1 +
z − a
ζ − a+
(z − a
ζ − a
)2
+ · · ·}
![Page 109: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/109.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
1
ζ − z=
1
ζ − a
{1 +
z − a
ζ − a+
(z − a
ζ − a
)2
+ · · ·}
![Page 110: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/110.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
こちらの ζ は内側の経路上
1
ζ − z=
1
ζ − a
{1 +
z − a
ζ − a+
(z − a
ζ − a
)2
+ · · ·}
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
![Page 111: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/111.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開
f(z) =1
2πi
∮
C
f(ζ)
ζ − zdζ − 1
2πi
∮
C′
f(ζ)
ζ − zdζ
こちらの ζ は内側の経路上
1
ζ − z=
1
ζ − a
{1 +
z − a
ζ − a+
(z − a
ζ − a
)2
+ · · ·}
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
1
ζ − z=
−1
ζ − a
{1 +
ζ − a
z − a+
(ζ − a
z − a
)2
+ · · ·}
![Page 112: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/112.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開以上からf(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
an =1
2πi
∮
C
f(ζ)
(ζ − a)n+1dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )
![Page 113: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/113.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開以上からf(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
an =1
2πi
∮
C
f(ζ)
(ζ − a)n+1dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )
孤立特異点 a のまわりのローラン級数
![Page 114: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/114.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
an =1
2πi
∮
C
f(ζ)
(ζ − a)n+1dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )
![Page 115: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/115.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
an =1
2πi
∮
C
f(ζ)
(ζ − a)n+1dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )
ところで
![Page 116: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/116.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
an =1
2πi
∮
C
f(ζ)
(ζ − a)n+1dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )
ところでa
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
![Page 117: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/117.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
an =1
2πi
∮
C
f(ζ)
(ζ − a)n+1dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )
ところでa
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
1
2πi
∮
Cf(ζ)(ζ − a)n−1dζ − 1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ = 0
![Page 118: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/118.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
an =1
2πi
∮
C
f(ζ)
(ζ − a)n+1dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )
ところでa
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
グレーの部分で f(z) は正則なので,コーシーの積分定理より
1
2πi
∮
Cf(ζ)(ζ − a)n−1dζ − 1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ = 0
![Page 119: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/119.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ローラン級数展開f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
an =1
2πi
∮
C
f(ζ)
(ζ − a)n+1dζ (n = 0, 1, 2, . . . )
a−n =1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ (n = 1, 2, . . . )
ところでa
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
グレーの部分で f(z) は正則なので,コーシーの積分定理より
1
2πi
∮
Cf(ζ)(ζ − a)n−1dζ − 1
2πi
∮
C′f(ζ)(ζ − a)n−1dζ = 0
よってan =
1
2πi
∮
Cf(ζ)(ζ − a)−n−1dζ (n = 0,±1,±2, . . . )
![Page 120: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/120.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 121: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/121.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
留数と「n位の極」
![Page 122: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/122.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
留数
f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
関数 f(z) を展開して, C′′ に沿って積分
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
![Page 123: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/123.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
留数
f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
関数 f(z) を展開して, C′′ に沿って積分
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
![Page 124: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/124.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
留数
f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
関数 f(z) を展開して, C′′ に沿って積分
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
ここしか残らない 積分すると 2πi
![Page 125: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/125.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
留数
f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
関数 f(z) を展開して, C′′ に沿って積分
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
ここしか残らない 積分すると 2πi
つまり
![Page 126: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/126.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
留数
f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
関数 f(z) を展開して, C′′ に沿って積分
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
ここしか残らない 積分すると 2πi
a−1 =1
2πi
∮
C′′f(z)dz
つまり
![Page 127: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/127.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
留数
f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
関数 f(z) を展開して, C′′ に沿って積分
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
ここしか残らない 積分すると 2πi
a−1 =1
2πi
∮
C′′f(z)dz
つまり
f(z) の孤立特異点 a における [留数 (residue)]という
![Page 128: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/128.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
留数
f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
関数 f(z) を展開して, C′′ に沿って積分
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
ここしか残らない 積分すると 2πi
a−1 =1
2πi
∮
C′′f(z)dz
つまり
f(z) の孤立特異点 a における [留数 (residue)]という
Res(a; f)
![Page 129: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/129.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
留数
f(z) = · · ·+ a−n
(z − a)n+
a−(n−1)
(z − a)n−1+ · · ·+ a−1
z − a+
a0 + a1(z − a) + · · ·+ an−1(z − a)n−1 + an(z − a)n + · · ·
関数 f(z) を展開して, C′′ に沿って積分
a
C
Cʹ
P
Q
Cʹʹ
ここしか残らない 積分すると 2πi
a−1 =1
2πi
∮
C′′f(z)dz
つまり
f(z) の孤立特異点 a における [留数 (residue)]という
Res(a; f)
留数を別の方法で求められれば,積分は簡単に計算できる
![Page 130: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/130.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数ローラン級数がa-nから始まるような 孤立特異点を,[n位の極]というf(z) =
a−n
(z − a)n+ · · ·+ a−1
z − a+ a0 + a1(z − a) + · · ·
![Page 131: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/131.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数ローラン級数がa-nから始まるような 孤立特異点を,[n位の極]というf(z) =
a−n
(z − a)n+ · · ·+ a−1
z − a+ a0 + a1(z − a) + · · ·
(z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · ·+ a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · ·
![Page 132: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/132.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数ローラン級数がa-nから始まるような 孤立特異点を,[n位の極]という
両辺を (n – 1) 回微分すると
f(z) =a−n
(z − a)n+ · · ·+ a−1
z − a+ a0 + a1(z − a) + · · ·
(z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · ·+ a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · ·
![Page 133: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/133.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数ローラン級数がa-nから始まるような 孤立特異点を,[n位の極]という
両辺を (n – 1) 回微分すると
f(z) =a−n
(z − a)n+ · · ·+ a−1
z − a+ a0 + a1(z − a) + · · ·
(z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · ·+ a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · ·
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
![Page 134: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/134.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数ローラン級数がa-nから始まるような 孤立特異点を,[n位の極]という
両辺を (n – 1) 回微分すると
f(z) =a−n
(z − a)n+ · · ·+ a−1
z − a+ a0 + a1(z − a) + · · ·
(z − a)nf(z) = a−n + a−n+1(z − a) + · · ·+ a−1(z − a)n−1 + a0(z − a)n + · · ·
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
微分によって,a-1 の手前の項まで消える
![Page 135: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/135.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
![Page 136: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/136.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
![Page 137: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/137.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
z→a のとき,これらの項は0
![Page 138: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/138.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
z→a のとき,これらの項は0よって
![Page 139: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/139.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
z→a のとき,これらの項は0よって
Res(a; f) = a−1 =1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
![Page 140: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/140.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
z→a のとき,これらの項は0よって
Res(a; f) = a−1 =1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
孤立特異点を囲んだ閉曲線上の積分は 留数で表される
![Page 141: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/141.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
z→a のとき,これらの項は0よって
Res(a; f) = a−1 =1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
孤立特異点を囲んだ閉曲線上の積分は 留数で表される a−1 =
1
2πi
∮
C′′f(z)dz
![Page 142: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/142.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
z→a のとき,これらの項は0よって
Res(a; f) = a−1 =1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
孤立特異点を囲んだ閉曲線上の積分は 留数で表される a−1 =
1
2πi
∮
C′′f(z)dz
n位の極については,留数は別途求まる
![Page 143: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/143.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
「n位の極」と留数dn−1
dzn−1(z − a)nf(z) = (n− 1)!a−1 +
n!
1!a0(z − a) +
(n+ 1)!
2!a1(z − a)2 + · · ·
z→a のとき,これらの項は0よって
Res(a; f) = a−1 =1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
孤立特異点を囲んだ閉曲線上の積分は 留数で表される a−1 =
1
2πi
∮
C′′f(z)dz
n位の極については,留数は別途求まる
![Page 144: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/144.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
孤立特異点がいくつあってもb1
C
C1
b2
C2
b3
C3
![Page 145: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/145.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
孤立特異点がいくつあってもb1
C
C1
b2
C2
b3
C3
∮
Cf(z)dz −
∮
C1
f(z)dz −∮
C2
f(z)dz − · · · = 0
![Page 146: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/146.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
孤立特異点がいくつあってもb1
C
C1
b2
C2
b3
C3
∮
Cf(z)dz −
∮
C1
f(z)dz −∮
C2
f(z)dz − · · · = 0
1
2πi
∮
Cf(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
![Page 147: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/147.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
孤立特異点がいくつあっても
いくつかの孤立特異点を囲んだ 閉曲線上の積分は それぞれの孤立特異点での 留数がわかれば求められる
b1
C
C1
b2
C2
b3
C3
∮
Cf(z)dz −
∮
C1
f(z)dz −∮
C2
f(z)dz − · · · = 0
1
2πi
∮
Cf(z)dz = Res(b1; f) + Res(b2; f) + · · ·
![Page 148: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/148.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 149: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/149.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ようやく,最初の問題へ
![Page 150: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/150.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線を
実部
y 虚部
複素平面に拡張 z = x + yi
![Page 151: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/151.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線を
実部
y 虚部
複素平面に拡張 z = x + yi
こういう周C上で
C
![Page 152: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/152.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線を
実部
y 虚部
複素平面に拡張 z = x + yi
こういう周C上で
C
∮
C
1
z4 + 1dz
を計算すると
![Page 153: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/153.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな積分はまっとうには計算できません。
そこで
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
1
x
数直線を
実部
y 虚部
複素平面に拡張 z = x + yi
こういう周C上で
C
∮
C
1
z4 + 1dz
を計算すると
上の積分も求まる
![Page 154: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/154.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する
∮
C
1
z4 + 1dz
を計算する
経路は
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
![Page 155: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/155.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する
∮
C
1
z4 + 1dz
を計算する
経路は
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1
z4 + 1=
1
(z − 1+i√2)(z − −1+i√
2)(z − −1−i√
2)(z − 1−i√
2)
![Page 156: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/156.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する
∮
C
1
z4 + 1dz
を計算する
経路は
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1
z4 + 1=
1
(z − 1+i√2)(z − −1+i√
2)(z − −1−i√
2)(z − 1−i√
2)
1 + i√2,−1 + i√
2,−1− i√
2,1− i√
2
孤立特異点 は,すべて1位の極
![Page 157: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/157.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する
∮
C
1
z4 + 1dz
を計算する
経路は
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1
z4 + 1=
1
(z − 1+i√2)(z − −1+i√
2)(z − −1−i√
2)(z − 1−i√
2)
1 + i√2,−1 + i√
2,−1− i√
2,1− i√
2
孤立特異点 は,すべて1位の極展開するまでもなく
![Page 158: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/158.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
![Page 159: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/159.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
![Page 160: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/160.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
![Page 161: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/161.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
それぞれ留数を求める
![Page 162: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/162.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
それぞれ留数を求めるRes(a; f) = a−1 =
1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
![Page 163: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/163.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
それぞれ留数を求めるRes(a; f) = a−1 =
1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
![Page 164: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/164.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
それぞれ留数を求めるRes(a; f) = a−1 =
1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
n=1だから微分しなくてよい
![Page 165: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/165.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
それぞれ留数を求めるRes(a; f) = a−1 =
1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
n=1だから微分しなくてよい
Res(1 + i√
2; f) = lim
z→ 1+i√2
(z − 1 + i√2)f(z)
=1
(1+i√2− −1+i√
2)(1+i√
2− −1−i√
2)(1+i√
2− 1−i√
2)
=−1− i
4√2
![Page 166: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/166.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
それぞれ留数を求めるRes(a; f) = a−1 =
1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
n=1だから微分しなくてよい
1
z4 + 1=
1
(z − 1+i√2)(z − −1+i√
2)(z − −1−i√
2)(z − 1−i√
2)
Res(1 + i√
2; f) = lim
z→ 1+i√2
(z − 1 + i√2)f(z)
=1
(1+i√2− −1+i√
2)(1+i√
2− −1−i√
2)(1+i√
2− 1−i√
2)
=−1− i
4√2
![Page 167: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/167.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
それぞれ留数を求めるRes(a; f) = a−1 =
1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
n=1だから微分しなくてよい
1
z4 + 1=
1
(z − 1+i√2)(z − −1+i√
2)(z − −1−i√
2)(z − 1−i√
2)
Res(1 + i√
2; f) = lim
z→ 1+i√2
(z − 1 + i√2)f(z)
=1
(1+i√2− −1+i√
2)(1+i√
2− −1−i√
2)(1+i√
2− 1−i√
2)
=−1− i
4√2
![Page 168: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/168.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分する経路の内部にある孤立特異点は2つ
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
それぞれ留数を求めるRes(a; f) = a−1 =
1
(n− 1)!limz→a
dn−1
dzn−1(z − a)nf(z)
n=1だから微分しなくてよい
1
z4 + 1=
1
(z − 1+i√2)(z − −1+i√
2)(z − −1−i√
2)(z − 1−i√
2)
Res(−1 + i√
2; f) =
1− i
4√2
同様に
Res(1 + i√
2; f) = lim
z→ 1+i√2
(z − 1 + i√2)f(z)
=1
(1+i√2− −1+i√
2)(1+i√
2− −1−i√
2)(1+i√
2− 1−i√
2)
=−1− i
4√2
![Page 169: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/169.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分するよって
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1
2πi
∮
Cf(z)dz = Res(
1 + i√2; f) + Res(
−1 + i√2
; f) = − i
2√2
∮
C
1
z4 + 1dz =
π√2
![Page 170: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/170.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分するよって
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1
2πi
∮
Cf(z)dz = Res(
1 + i√2; f) + Res(
−1 + i√2
; f) = − i
2√2
∮
C
1
z4 + 1dz =
π√2
では
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
は?
![Page 171: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/171.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分するよって
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1
2πi
∮
Cf(z)dz = Res(
1 + i√2; f) + Res(
−1 + i√2
; f) = − i
2√2
∮
C
1
z4 + 1dz =
π√2
では
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
は?
r→∞ のとき, 実軸上以外は0 (略,プリントで)
![Page 172: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/172.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
複素関数にして積分するよって
y
0
–1+i
rx
√2
1+i
√2
–r
r+rir–ri
C
1
2πi
∮
Cf(z)dz = Res(
1 + i√2; f) + Res(
−1 + i√2
; f) = − i
2√2
∮
C
1
z4 + 1dz =
π√2
では
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx
は?
r→∞ のとき, 実軸上以外は0 (略,プリントで)
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx =
π√2
よって
![Page 173: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第13回 孤立特異点と留数 (2016. 12. 22)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050800/58819f741a28ab1a398b4e49/html5/thumbnails/173.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
今日のまとめ孤立特異点とローラン級数展開 孤立特異点の周りの積分を使って 関数を級数に展開することができる
留数 ローラン級数の形で積分すると 孤立特異点の周りの積分は留数で表せる
留数を使って積分を求める n位の極については,留数を別の方法で 求めることで,積分が簡単に求められる