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Meccanica2017-2018

Dinamica del punto materiale

7

PRESENZA DI “FORZE ESTERNE”

VARIAZIONE DELLA VELOCITA’

accelerazione forza


Principio d’inerzia

segnala la presenza di una forza che agisce sul punto materialeUn moto accelerato (variazione di velocità in modulo e/o direzione)

P

)(tθ

R

v

O

Esempio: Moto circolare uniforme

E’ necessaria una forza centripeta (diretta verso il centro) per mantenere il punto materiale nella traiettoria circolare

a�

RR

vaN

22

ω==

Accelerazione:

0=Ta

Un corpo permane nel suo stato di moto rettilineo uniforme (o di quiete) a meno che non intervenga una forza esterna (I Legge di Newton)


II Legge di NewtonLegame tra forza e accelerazione: formulazione quantitativa

amF�

�

=

Punto “materiale”: La massa m è essenziale per descrivere la dinamica del moto

m

Fa

�

� =L’accelerazione prodotta da una certa forza sarà inversamente proporzionale alla massa m

amF�

�

=dt

vdm�

=2

2

dt

rdm�

= Legge fondamentale della dinamica del punto

a

F

a

Fm ==�

�

Note forza e accelerazione possiamo trovare la massa

Definizione di forza e massa inerziale

AccelerazioneForza Quantità vettoriale diretta come

l’accelerazione (resistenza alla variazione del moto)Massa inerziale

kg][ →massa 2s m kg][ −→forza N≡ NewtonUnità di misura (SI):

Forza � Accelerazione � Leggi del moto

Per un punto materiale di massa m:


III Legge di Newton

Il corpo A esercita una forza sul corpo B

Consideriamo DUE corpi A e B

Il corpo B esercita una forza uguale e contraria sul corpo A

ABBA FF ,,

��

−=Quantitativamente:

• Le forze non agiscono mai isolatamente, ma a coppie• L’interazione a due corpi è sempre “reciproca”

“Principio di azione e reazione”

Forza attrattiva

,A BF�

,B AF�

A

B

Forza repulsiva

,A BF�

,B AF�

A

B


Quantità di moto, impulsoDefiniamo la grandezza fisica

p mv≡� �

quantità di moto

Possiamo riscrivere la legge della dinamica come:

dt

vdmF�

�

=dt

vmd )(�

=dt

pd�

=

(Forma valida anche nel caso relativistico)

L’applicazione di una forza determina una variazione della quantità di moto

0p p= −� �

p�∆=

0 0

( )t p

t pF t dt dp=∫ ∫

�

�

�

�

Integriamo in un intervallo finito di tempo:

≡J�

Impulso della forza )( 0vvm�� −=

J p= ∆�

�

“Teorema dell’impulso”

( )F t dt dp=�

�

Azione della forza in un intervallo infinitesimo di tempo

In generale la forza varia nel tempo: ( )F F t=� �


Quantità di moto, impulso

Se la forza è costante:

0

t

tF dt p= ∆∫�

� pF

t

∆=∆

�

�

In generale:

0

( )t

tF t dt p= ∆∫�

�

mF t p∆ = ∆�

�

m

pF

t

∆=∆

�

�

In assenza di forze esterne la quantità di moto di un punto materiale si conserva

t∆

Conservazione della quantità di moto

Quando non c’è variazione di quantità

della moto

0F =�

0

J ( )t

tF t dt p= = ∆∫

� �

�

m

t

tFdttF

t

��

=∆ ∫0

)(1Valor medio

della forza

1 2F F+� �


Risultante delle forzeForza = grandezza vettoriale

Se su un corpo agiscono più forze, il moto avviene come se agisse solo la loro somma vettoriale(“forza risultante”)

∑=

=N

iiF

1

�

∑=

=N

iia

1

�

Per l’accelerazione:

TOTTOT Fm

a�

� 1= ∑=

=N

iiF

m 1

1 � In presenza di più forze sul punto materiale, ciascuna agisce in modo indipendente dalle altre

NB: Dall’osservazione del moto del punto materiale abbiamo informazione solo sulla risultante delle forze

In particolare 0TOTa =�

NON SIGNIFICA necessariamente che sul punto

non agiscono forze, SIGNIFICA che la loro risultante è nulla

NTOT FFFFF��

....321 +++=TOTF�

3F�

1F�

2F�

� Condizione per l’equilibrio statico0TOTF =�

( 0)TOTa =�

2F�

Equilibrio staticoCondizione per avere equilibrio statico (punto materiale):

0i TOTiF F= =∑� �

Il punto rimane in QUIETE nel sistema di riferimento scelto se la sua velocità iniziale è nulla

0, =∑i xiF

0, =∑i yiF

0, =∑i ziF

0, =xTOTF

0, =yTOTF

0, =zTOTFAltrimenti mantiene il suo stato di moto rettilineo uniforme

021 =+= FFFTOT

��

Equilibrio statico per il punto P soggetto a 2 forze:

0321 =++= FFFFTOT

��

Nel caso di 3 forze:

1F�

P

1 2F F+� �

3F� Disposte

come i lati di un triangolo

3F�

1F�

2F�

2 1F F= −� �

1F�

2F�

P

3 1 2( )F F F= − +� � �

Se conosco due forze posso determinare la terza:

Disposte lungo un poligono chiuso

NF�

1F�

2F�

3F�

4F�

N forze:

1F�

2F�

3F�

4F�

x

yDinamica del punto materiale

Equilibrio staticoEsempio.Sul punto P agiscono le forze (note)

0321 =++ FFF��

1 2, F F� �

Quale forza devo applicare per avere equilibrio statico?

� Condizione per l’equilibrio statico:

0,3,2,1 =++ xxx FFF 0,3,2,1 =++ yyy FFF

0sinsin0 32 =+− φθ FF 0coscos 321 =++− φθ FFF

φθ

sin

sin23 FF =

0cossin

sincos 221 =++− φ

φθθ FFF

θφθ

costan

sin212 FFF −=

θθφ

cos

sintan

21

2

FF

F

−=

Il problema è sul piano x,y

Devo trovare: 3F�

φ 3F�

3 ,F φ→

2

1 2

sinarctan

cos

F

F F

θφθ

= −

1F�

2F� θ


Reazione vincolareSe sappiamo che su un corpo agisce una forza, ma questo rimane fermo…

Il “vincolo” si deforma e produce una forza sul corpo, tale da realizzare le condizioni di equilibrio statico:

1 0TOTF F N= + =� � �

1N F= −� �

Risultante delle forze applicate

Reazione vincolare

1F�

� Esiste una forza uguale econtraria che annulla la risultante

N�

m

La reazione vincolare non ha una forma predefinita: dipende dal caso particolare che si sta considerando

N�

m

1F�

NF�

TF�


Azione delle forze

Moto rettilineo uniforme: 0a = →�

0=F�

Moto uniformemente accelerato: cost.a =�(in modulo e direzione)

cost.F ma→ = =�

�

Moto piano curvilineo: T Na a a= + →� � �

NT amamF��

�

+=

NT uR

vmu

dt

dvm

��

2

+=

TT udt

dvmF

�

�

=

NN uR

vmF

�

�

2

=

Forza tangenziale

� Variazione del modulo della velocità

Forza centripeta

� Variazione della direzione

amF�

�

=Legge di Newton:

Na�

Ta�

2

N N

vF m u

R=

�

�

Forza centripeta

NF�

v�


Forza pesoAccelerazione di gravità

TOTF N P ma= + =� � �

�

Risultante delle forze

ma mg= −� �

)( gam�� −=

a�

a� � Ascensore (e.g. verso l’alto)

NB - La sensazione di peso è data dalla forza vincolare

)( zz uguam�� +=

zugam�

)( += mgN > La “sensazione di peso” aumenta

Non c’è sensazione di pesoga�� = (caduta libera)

“forza peso“proporzionale alla massa

Forza associata: gmP�

�

=za g gu= = −� � �

29.8 msg −≅

� Reazione vincolare?

N ma P= −� �

�

Supponiamo che il piano d’appoggio subisca una accelerazione

� BilanciaP

mg

=Oggetto appoggiato sul tavolo:La forza peso è bilanciata dalla reazione vincolare

0TOTF N P= + =� � �

P mg=�

�

N�

m

z

zu�

Osserviamo che il corpo NON si muove finché il modulo della forza non supera un valore critico

NF Sµ≤Condizione di quiete

NF Sµ>Condizione di moto

Lungo x: AS x xf u Fu− =� �

Lungo y: 0y yN u mg u− =� �

Forza di attrito statico

Coefficiente di attrito statico

Proporzionale alla reazione vincolare N

Il vincolo esercita una forza che dipende dalla forza applicata

0 AS Sf Nµ≤ <ASf�

F�

NFF Sµ>=�

Per avere accelerazione:

Applichiamo la forza orizzontale F�

F�

Equilibrio statico: abbiamo una forza in grado di bilanciare F�

ASf�

ASf�

P mg=�

�

Punto materiale di massa m � forza peso , reazione vincolare N�

P mg=�

�

N�

m

y

xO xu�

yu�


Attrito radente


Attrito radente• Forze di coesione (di natura elettrica) a livello molecolare • Rugosità delle superfici a contatto

Fotomicrografia SEM di una superficie nichelata. Rugosità ~ 0.1 µm

Fotomicrografia SEM di una superficie di acciaio inox. Rugosità ~ 3 µm

SEM = microscopio elettronico a scansione

y

xO

NDµ

NSµ

Attrito radente


Attrito radente

Equazione del moto (lungo x):

ADF f ma− =

Una volta in movimento, la forza fAD nondipende dalla velocità del corpo

Aumentiamo la forza orizzontale F�

Coefficiente di attrito dinamico

SD µµ <Si osserva che per ogni materiale:

I valori dipendono dal materiale, dalla forma e rugosità delle superfici, temperatura, etc.

F�

Si osserva che al moto si oppone una forza di attrito radente dinamico, di modulo:

AD Df Nµ=ADf�

NF Sµ>Quando

il corpo si mette in movimentoa�

P mg=�

�

N�

m

DF N maµ− =


Coefficienti di attrito radente (per unità di superficie)

Superfici µS (statico) µD (dinamico)

Legno - legno 0,50 0,30Acciaio - acciaio 0,78 0,42Acciaio - acciaio lubrificato 0,11 0,05Acciaio - alluminio 0,61 0,47Acciaio - ottone 0,51 0,44Acciaio - teflon 0,04 0,04Acciaio - ghiaccio 0,027 0,014Acciaio - aria 0,001 0,001Rame - acciaio 1,05 0,29Rame - vetro 0,68 0,53Gomma - asfalto (asciutto) 1,0 0,8Gomma - asfalto (bagnato) 0,7 0,6Vetro - vetro 0,9 - 1,0 0,4Legno sciolinato - neve 0,10 0,05

Superfici molto lisce: “coesione”

L’attrito non si elimina mai completamente � Aria, olio, …: lubrificantiSe si trascura l’attrito radente: “superficie liscia”. Altrimenti “superficie scabra”

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