2017上半年全国教师资格考试...

2017上半年全国教师资格考试

笔试考前重要分析

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数学学科高级中学知识与教学能力

中公教育·教师考试研究院制

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◢要点精编◣

考点一：线性方程组

1.向量组线性关系的判定

（1）向量线性相关的充要条件是；

（2）向量组线性相关的充要条件是其中至少有某一

向量可由其余向量线性表示.

（3）设（这里也可以写成列向量），

线性相关的充要条件是齐次线性方程组

有非零解.

（4）如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.

（5）设，

如果线性无关，则线性无关.

0

1 2, , , ( 2)s s L

(1 )i i s

1 2( , , , )( 1,2, )i i i ina a a i s L Li

1 2, , , s L

11 1 21 2 1

12 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

s s

s s

n n sn s

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

L

L

L L L L L L L L L L L

L

1 2

1 2 , 1

( , , , )( 1,2, )

( , , , , , , )( 1,2, )

i i i ir

i i i ir i r in

a a a i s

a a a a a i s

L L

L L L

1 2, , , s L 1 2, , , s L

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（6）设与两个向量组.如果

①向量组可以由线性表出，

② ，则向量组线性相关.

2.线性方程组有解的判别定理

线性方程组有解的充分必要条件为它的系

数矩阵与增广矩阵有相

同的秩.

3.方程组 Ax=b（A 为 m×n 矩阵）解的情况：

有唯一解

有无穷多解

无解，即 b 不能由 A 的列向量线性表出.

考点二：极限

1.求“0

0或

∞

∞”型极限的方法有：

1 2, , , r L 1 2, , , s L

1 2, , , r L1 2, , , s L

r s1 2, , , r L

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

s s sn s s

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

L

L

L L L L L L L L L L L

L

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

s s sn

a a a

a a aA

a a a

L

L

L L L L

L

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

s s sn s

a a a b

a a a bA

a a a b

L

L

L L L L L

L

( ) ( )r A r A n

( ) ( )r A r A n

( ) 1 ( )r A r A



①通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或无穷的因子，然后利用四

则运算法则；

②利用洛必达法则；

③变量替换与重要极限；

④等价无穷小因子替换.

2.求“0 ∙∞或∞ −∞”型极限的方法有：

求0 ∙∞型的方法和上述方法基本相同.必须注意的是为使用洛必达法则

需根据函数的特点先将0 ∙∞型化为0

0或

∞

∞型.注意，一般将较复杂的因子取作

分子，特别地含有对数因子时，将该因子取作分子.

求∞ −∞型，一般通过适当的方法将其化为0

0或

∞

∞型.若是两个分式函数

之差，则通分转化，若是与根式函数之和、差有关的，则需用分子有理化方

法转化.

3.“ ”型：先将此型转化成型或者是型，再利用洛必达法

则或者是等价无穷小理论进行求解。

4.洛必达法则

①概念：在分子与分母导数都存在的情况下，分别对分子分母进行求导

运算，直到该极限的类型为可以直接带入求解即可。

②适用类型：通常情况下适用于型或者是型极限。

5.利用两个重要极限

0

0

0

0



，（或）（）

考点三：概率

1.统计与概率——事件的关系与运算

定义符号表示

包含关系

如果事件 A 发生，则事件 B 一

定发生，这时称事件 B 包含事件

A（或称事件 A 包含于事件 B）

B⊇A（或 A⊆B）

相等关系若 B⊇A且 A⊇B A＝B

并事件

若某事件发生当且仅当事件 A

发生或事件 B 发生，称此事件为

事件 A 与事件 B 的和事件

A＋B

交事件

（积事件）

若某事件发生当且仅当事件 A

发生且事件 B 发生，则称此事件

为事件 A 与事件 B 的交事件（或

积事件）

A∩B（或 AB）

互斥事件若 A∩B 为不可能事件，则事

件 A 与事件 B 互斥 A∩B＝∅

0

sinlim 1x

x

x

1lim 1 e

x

x x

1

0lim(1 ) ex

xx

1



对立事件

若 A∩B 为不可能事件，A∪B

为必然事件，那么称事件 A 与事

件 B 互为对立事件

A∩B＝∅

P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

＝1

2.运算法则

分配律：

,A B C A C B C A B C A C B C .

对偶率： .

吸收率： .

3.概率密度的基本性质

假设 f x 为某连续型随机变量的概率密度，则有

（1）；（2） .

这两条性质也是一个函数可以作为某连续型随机变量概率密度的充要

条件

考点四：高中教育阶段课程基本理念

1.构建共同基础，提供发展平台

高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的

含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更

, ,A B AB AB A B A A

,A B AB A A B B

0f x 1f x dx



高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习

提供必要的数学准备。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，

必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满

足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。

2.提供多样课程，适应个性选择

高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同

的发展。

高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多

种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。学生可以在

教师的指导下进行自主选择，必要时还可以进行适当地转换、调整。同时，

高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间，他们可以根据学生的

基本需求和自身的条件，制定课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择

的课程。

3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课

程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。

这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导

下的“再创造”过程。同时，高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”

等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条

件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、

积极探索的习惯。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究



活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

4.注重提高学生的数学思维能力

高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目

标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观

察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、

演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，

有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能

力在形成理性思维中发挥着独特的作用。

5.发展学生的数学应用意识

20 世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。

当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使

得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广

阔的前景。我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他

学科的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方

面需要大力加强。近几年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数

学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于

增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。

高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展

“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数

学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及

其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。



6.与时俱进地认识“双基”

我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传

统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统。与此同时，随着时代的发展，

特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置

和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的

新的“双基”。例如，为了适应信息时代发展的需要，高中数学课程应增加

算法的内容，把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基

本技能；同时，应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节

的内容，克服“双基异化”的倾向。

7.强调本质，注意适度形式化

形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一

项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否

则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也

表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭

示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要

讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、

结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足

迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

8.体现数学的文化价值

数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应

用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对



数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创

新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成

正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的

内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。

9.注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等

方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机

整合（如把算法融入到数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利

于学生认识数学的本质。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学

中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算

器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运

用计算机、计算器等进行探索和发现。

10.建立合理、科学的评价体系

现代社会对人的发展的要求引起评价体系的深刻变化，高中数学课程应

建立合理、科学的评价体系，包括评价理念、评价内容、评价形式和评价体

制等方面。评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们数学学习的过

程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来

的情感态度的变化。在数学教育中，评价应建立多元化的目标，关注学生个

性与潜能的发展。例如，过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想

等过程的评价，关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以

及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神。



对于数学探究、数学建模等学习活动，要建立相应的过程评价内容和方法。

考点五：课堂导入技能的作用

1.激发学习兴趣，引起学习动机

兴趣是一个人积极探究某种事物或进行某种活动的意识倾向。学习兴趣

是学生对学习活动或学习对象的一种力求认识或趋近的意识倾向。兴趣是入

门的向导，是感情的体现，能促使动机的产生。学习兴趣是一种学习动机，

是学习积极性中很现实、很活跃的心理成分。当一个人对某种学科发生兴趣

时，就会使各种感觉器官和大脑处于最活跃的状态，总是积极主动，心情愉

快地进行学习，而不会觉得是一种负担。

在数学教学之初，或学习新课题时，教师应精心设计数学学习情境，将

学生置于该情境之中，激发学习兴趣，千方百计地诱发学生的求知欲，使学

生有一种力求认识世界，渴望获得知识，不断追求真理的意向，产生学习的

自觉性，迸发出极大的学习热情。

2.引起学生注意，为进入新知识的学习做好心理准备

注意是一种常见的重要心理现象。注意力是我们心灵的唯一门户，意识

中的一切，必然都要经过它才能进入。在引入新课时，教师可通过精心设计

的数学活动情境，给予学生较强烈的、较新颖的刺激，帮助学生收敛课前的

各种其他思维活动，让学生的注意迅速集中，并指向特定的教学任务和程序

之中，为完成新知识的学习做好心理上的准备。

例如，这时教师根据教学内容和学生已有知识，设计问题引导学生积极

发言，把学生的注意力吸引到问题是的讨论之中，并由此引向新的学习目标



和任务之中。

3.承上启下，以旧引新，建立新旧知识间的联系

数学以其系统性、严密性而著称，数学知识之间具有严密的逻辑关系；

同时，学习是循序渐进的，它要以掌握较低层次的知识为前提，才能保证对

与此相联系的较高层次知识的理解和掌握。同类知识要提升到新的层次，更

需要原有知识作铺垫。在学习新知识之前，教师根据学生认知结构中已有的

与新知识的内容密切相关的知识，注意引导学生温故而知新，通过复习、提

问、作习题等教学活动，或提供新旧知识联系的支点，为学习新知识、新概

念做好知识上的铺垫，使学生自然地进入新知识的学习；或利用知识迁移规

律，自如地引入新课，使学生感到新知识并不陌生，便于将新知识纳入原有

的认知结构之中；或揭示学生因某些经验、知识的不足而形成的错误观念。

4.使学生明确教学活动的目标

课堂教学是一种目的性很强的活动。要课题引入中，教师经过精心设计，

给学生以充分剌激，激发起学生强烈的求知欲和力求解决问题的强烈愿望。

当学生的积极性被调动起来，思维处于活跃状态时，教师就应注意因势利导，

适时地讲明节课学习的内容、要达到的目标、完成的任务及学习活动的方向

和方法，使每个学生都明白他们要做什么，应达到什么程度，或要得到什么

结果，从而使学生学习活动有明确的导向。只有如此才能使学生持久地保持

注意力，并自觉地控制和调节自己的学习活动。

◢考题汇编◣



1．线性方程组的增广矩阵为1 2

2 1 4A

，则线性方程组有无穷多

解时的值为（）

A．1 B．4

C．2 D．1

2

【答案】D。解析：1 2 1 2

2 1 4 0 1 2 0A

有无穷多解

时，1 2 0 即1

2 。

2.极限

11

lim(1 )n

n n 的值是（）

A.0 B.1

C.e D.1

e

【答案】B。解析：

11 1 1 1

ln(1 ) lim ln(1 )01

lim(1 ) lim 1n

nn n n n

n ne e e

n

。故选 B。



3．设随机变量 x 的分布密度为

0 1

( ) 1 2

0

x x

f x a x x

≤

≤

其他

，则 a 的值为

（）

A．2 B．0

C．-1 D．-3

【答案】A。解析：随机变量有分布密度，即在 x R 时 ( )f x 连续，

所以当 x=1 时左连续，得 a-1=1，所以 a=2。

4．设幂级数

1

)(

n

n

n

ax 在点 2x 收敛，则实数a 的取值范围是（）

A. 31 a B. 31 a

C. 31 a D. 31 a

【答案】D。解析：令 tax ，

1 1

)(

n n

nn

n

t

n

ax ，收敛半径 1R ，

收敛域为 )1,1[t ，故

1

)(

n

n

n

ax 的收敛域为 )1,1[ aa 。∵



)1,1[2 aa ，∴ 121 aa ，∴ 31 a 。

5.设概率空间为Ω={1,2,3,4,5,6}，且这六个数的出现概率均为1

6。设事

件 A={1,3,5},事件 B={1,2}。请回答事件 A 和 B 是否独立，并说明理由。

【答案】事件 A 和 B 相互独立。解析：因为P(A) =3

6=

1

2，P(B) =

2

6=

1

3,

而事件 A,B 同时发生只有一种情况，即出现 1，所以P(AB) =1

6，所以P(AB) =

P(A)P(B)，所以事件 A 和事件 B 为独立事件。

6.求证：非齐次性方程组：ax by c

a x b y c

有唯一解，当且仅当向量

( , )m a a ， ( , )n b b 线性无关。

【答案】见解析。证明：（1）当非齐次性方程组：ax by c

a x b y c

有唯

一解时，假设向量 ( , )m a a ， ( , )n b b 线性相关，则 n km ，即

,b ka b ka ，原方程组可化为ax kay c

a x ka y c

当c

c

a

a

时，非齐

次线性方程组有无穷多解，与方程组有唯一解矛盾；



当c

c

a

a

时，非齐次线性方程组无解，与方程组有唯一解矛盾，

所以 ( , )m a a ， ( , )n b b 线性无关。

（2）当向量 ( , )m a a ， ( , )n b b 线性无关时， a b

a b

可逆，

则1

x a b c

y a b c

，即ax by c

a x b y c

有唯一解。

7.方式 1.实数有加法运算，那么下列集合的关系呢？

方式 2.班里有会弹钢琴的，会打拳击的会……（给出集合的并集的定义）

方式 3.前面学习了集合，集合的表示、基本关系，接下来呢……

（1）分析三种引入方式的特点；

（2）对于方式 3，教师可以引导学生进一步提出哪些问题；

（3）数学概念引入的关键点是什么？如何使数学概念的引入更加自

然？

【参考答案】

（1）方式一的引入，从学生熟悉的实数加法运算入手，降低了认知难

度。但是集合间的运算的交、并、补、差。与实数的运算虽然有一定的联系，

但是些差别在教学过程中注意引导学生思考探究避免出现运算误区。

方式二的引入，利用学生身边的人创设问题情景，降低对新知识的陌生



感，引发学生思维的共鸣。

方式三的引入，复习以前学过的的知识内容，进行新旧知识的衔接过渡，

降低学生对新知识的认知难度。但是缺乏具体内容的回顾，只是简单的提及，

不能够全面的顾及到班上的所有学生对已有知识的复现达到降低对新知识

认知难度的目的。

（2）问题 1.集合之间是否也具备一些运算规律呢？

问题 2.集合的并集运算与实数的加法运算有什么异同点？

问题 3.集合的补集运算与实数的减法运算有什么异同点？

问题 4.集合的交际运算需要注意的问题有什么？

（3）数学概念的引入的关键点为①注意运用新、旧知识之间的内在联

系；②调动学生认知结构中已有感性经验和知识，去感知理解材料，创设具

体情境，从具体事例抽象出数学概念。

在利用新旧知识之间的联系引入概念时，注意创设类比发现的问题情境，

关注新旧知识的链接，尝试引入新的概念，这样引入容易使学生在原有的认

知结构中得到同化和建构。

通过创设情境，从具体事例抽象出数学概念时要求充分调动学生认知结

构中已有感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃，

继而组织成完整的概念图式。在具体引入概念的过程中可以通过实例、绘图

或是多媒体辅助引导学生分析数学概念的特点，使学生思维由感性认识自然

过渡到理性认识。



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