2.2.- rpta transitoria

7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria

1/123

1

Respuesta temporal de sistemas

PALABRAS CLAVE Y TEMAS Anlisis de la respuesta transitoria y estacionaria Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Sistemas de orden superior

Nociones de estailidad

!B"ET#V!S

Se$ales de pruea t%picas Polos y ceros en la respuesta de un sistema Tipos de respuestas Caracter%sticas de respuestas transitorias

2.2


2/123

2

Introduccin

Conocido el modelo matemtico del sistema, se realiza el

anlisis de su comportamiento dinmico La respuesta del sistema depende del propio sistema y del

estmulo exterior aplicado En la prctica no se conoce preiamente la se!al de entrada a

un sistema de control ya "ue #sta es de naturaleza aleatoria $nalizaremos la respuesta real de los sistemas a unas se!ales

%estmulos& de prue'a "ue de al(una )orma nos an a permitir

conocer y clasi)icar el comportamiento de los mismos

&'s(

g't(

*%s&

x%t&

+%s&

y%t&


3/123

-e!ales de prue'a tpicas

impulso escal)n

rampa

t/

/t

t/

/

t

f(t)

t//

t

f(t) f(t)

parola

t/

/

t

f(t)


4/123

0

1( )

Transformada de Laplace

ss

=

#mpulso unitarioSEAL IMPULSO:Parasimular fallas de granintensidad y poca

duracin

t/

/t

(t)

0

0

, 0( )( )

0, 0

( ) ESCALON UNITARIO

Por definicin el rea es i!al a !no

( ) 1

infinito tdu tt

tdt

u t

t dt

+

==

=


5/123

Escal)n o saltoPara simular falla repentina o sita

t/

/t

u(t)

" 0( )

0 " 0

Au t

=


6/123

Rampa: Para simular falla gradual

t/

/

t

u(t)

" 0( )

0 " 0

Atu t

= lano s j

>olo de sistema

=0

>lano s j

>olo de sistema

=2

>lano s j

>olo de sistema

>lano s j

Cero de sistema

= /

>lano s j

>olo de entrada

Respuesta transitoria

%


11/123

11

E9emplo

0-00.**-01$-01***-0)( $ += ttt eeety

Respuesta

estacionariaRespuesta transitoria

y%t&

A representamos (ra)icamente y%t&

yr%1&Gexp%p%1&Gt&Hr%2&Gexp%p%2&Gt&H... r%&Gexp%p%&Gt&Hr%0&Gones%1,len(t6%t&&D

plot%t,y,&D A en ne(ro

A representamos en la misma (ra)ica

A las respuestas transitoria y estacionaria

A "ue componen y%t& %en arios colores&

6old onD

A la respuesta transitoriayJtr%1&Gexp%p%1&Gt&Hr%2&Gexp%p%2&Gt&H...

r%&Gexp%p%&Gt&D

plot%t,yJt,'&D Aazul

A la respuesta estacionaria

yJsr%0&Gones%1,len(t6%t&&D

plot%t,yJs,r&D A ro9o

En @atla'4

%0


12/123

12

E9emplo

;%s&1


13/123

;tilizando -imulin


14/123


15/123

1

>olos, ceros y respuesta de un

sistema

Los polos determinan la naturaleza de la respuesta en el

tiempo4 Los polos de la )uncin de entrada determinan la )orma de

la respuesta estacionaria

Los polos de la )uncin de trans)erencia determinan la)orma de la respuesta transitoria

Los ceros y los polos de la entrada o )uncin de trans)erencia

contri'uyen a las amplitudes de los componentes de la respuesta

temporal

Los polos so're el e9e real (eneran respuestas exponenciales


16/123

1

In)luencia del polinomio caracterstico

en la respuesta transitoria$l denominador de la 7F (lo'al del sistema se le denomina polinomiocaracterstico. Las races del polinomio caracterstico an a de)inir el

comportamiento de la respuesta transitoria.


17/123

13


en la respuesta transitoria


18/123

18




19/123

1?




20/123

2/




21/123

21




22/123

22

-istemas de primer orden

Ecuacin di)erencial de 1M orden4

)()(01 tbxtyadt

dya =+

y%t&salida

x%t&entrada

ttiempo

a/, a1, b param. ctesCondiciones iniciales

nulas

01)(

)(

asa

b

sX

sY

+=

1)(

)(

0

1

0

+=

s

a

a

a

b

sX

sY

N

1)(

)(

+

=

s

K

sX

sY

La )uncin de trans)erencia

de un sistema de 1M orden

en )orma estndar

%1


23/123

2

-istemas de primer orden

*%s& +%s&

1+s

K

Los sistemas "ue tienen la misma )uncin de trans)erencia

presentarn la misma salida en respuesta a la misma entrada.

Caractersticas de la )orma estndar4

El se(undo t#rmino del denominador es 1N (anancia del sistema %el numerador&

constante de tiempo %el coe)iciente de s&El polo del sistema %la raz del denominador& es O1


24/123

20

-istemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un impulso en la

entrada

t/

)()()(

tKutydt

tdy=+

u%t&

$

-istema de primer orden

0)(#

)0(#0

==

==

yt

KAyt

La esta'ilidad iene

determinada por la posicin

del polo, no por el tipo deentrada

0

1

/

/1

/

1

)( ++

=+

=+

=

s

KAA

s

KA

s

KsY

;%s&$ +%s&

1+s

K

t

Resp.

Estac.Resp.Fransit

/

)( t

e

KA

ty

=

N$


25/123

2

-istemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un impulso en la

entrada%2


26/123

nB/ 2D

dB1

impulse%n,d&


27/123

23

-istemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un escaln en la entrada

1/1

/

1

)(

+

+=

+

=

+

=s

KA

s

KA

s

A

s

K

s

A

s

KsY

;%s&$


28/123

28

-istemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un escalon

1+s

K

U(s) 2(s))()(

)(tKuty

dt

tdy=+

)1()(

t

eKAty

=

"

3(")

4A5 0 cons"an"e de "ie'%o

Res%!es"a es"a6le, sin re"ardo

ni ca'6io de conca7idad 3so6rea'or"i!ada

8anancia & 4 & 4A/A

!(")

$

%2


29/123

2?

Interpretacin en el plano s %P/&

)1()( t

eKAty

=Plano s

9

polo en la parte real

iz"uierda del plano s

s:1&0

%olo & ;1/

Si 5 0# Res%!es"a es"a6le, sinca'6io de conca7idad 3

so6rea'or"i!ada

1+s

K

U(s) 2(s)

t

y(t)

4A

u(t)

$


30/123

/

Esta'ilidad entrada=salida %QIQK&

'ounded input


31/123

1

Interpretacin en el plano s %/&

t

)1()( t

eKAty

=

s:1&0

%olo & ;1/

%osi"i7o

Si < 0# Res%!es"a ines"a6le

1+s

K

U(s) 2(s)

y(t)

Plano s

9

polo en la parte real

derec6a del plano s


32/123

2

Fiempo de asentamiento o esta'lecimiento

t

y(t)

"=.

0-=.4A

Plano s

9

1


33/123

Constante de tiempo %&

KAeKAy

eKAtyt

>*$-0)1()(

)1()(

1 ==

=

KAdt

tyd

eKA

dt

tyd

t

t

=

=

=

0

)(

)()(

7eriada en el ori(en4

1+sK

U(s)&A/s 2(s)

Cuando tel sistema 6a alcanzadoel ,2A de su alor )inal

La pendiente de la tan(ente en

t/ es N$


34/123

0

Fiempo de su'ida Fr

Fiempo "ue tarda el sistema en ir del 1/A al ?/A del alor )inal

N$

/

1/A

t

y%t&

N$

$-$rT

?/A

rT


35/123

Entrada rampa

11)(

$$

++=

+=

s

AK

s

AK

s

AK

s

A

s

KsY

+%s&

1+s

K

t/ t

/

/

)(

)(t

t

eKAtKA

eKAKAKAtty

+=+=

/ t

$)(

s

AsU =

Attu =)(

/)()( teKAtKAty +=

Respuesta

transitoria

====

)(#

0)0(#0

yt

yt


36/123

E9emplo sistema de primer orden

Circuito RC

=

+=

t

c

t

diC

tv

diC

tRitv

0

0

)(1

)(

)(1

)()(

)(1

)(

)(1

)()(

sCs

s!

sCs

sRs!

c =

+=

)()( ssC!s c=

)(1

1)(

)()1()()1()(

s!RCs

s!

s!RCsssC!Cs

Rs!

c

cc

+=

+=+= ?!ncin de "ransferencia#

)(s! )(s!c

1+s

K

RC

K

=

=

1

%1


37/123

3

E9emplo sistema de primer ordenCircuito RC

)(s! )(s!c

1

1

+s

t/ t

%t& cam'ia de repente en

t/ de / a 5oltios

%t&

RC=

La respuesta de vC%t&

ante entrada escaln

para arios alores de

Constante de tiempo del sistema

1

2

%2


38/123

8


)(s! )(s!c

1

1

+s

t/ t

cam'ia de repente en t/ de

/ a 5oltios y uele a 'a9ar

inmediatamente a / 5oltios

%t&

RC=


ante entrada impulso

para arios alores de


12

%


39/123

?


)(s! )(s!c

1

1

+s

cam'ia en t/ (radualmente

con una pendiente i(ual a 1.

%t&t

RC=


ante entrada rampa para

arios alores de


t/t

12

%0


40/123

0/

-istema de primer orden

Entradas tpicas

;%s& +%s&

1+s

K

)()()(

tKutydt

tdy=+

u%t&$t

t

/

u%t&$

t

/

u%t&

t

/Rampa Escaln Impulso

$

dt

d

dt

d

)1()(

$ +=

ss

KAsY

)1()(

+=

ss

KAsY

)1()(

+=

s

KAsY

)()( / tetKAty += )1()( /teKAty =

/)( teKAty =


41/123

01

-istemas de se(undo orden

$

$ $$n

n n

bs s

+ +

U(s) 2(s)

$$ $

$

( ) ( )$ ( ) ( )n n n

d y t dy t y t b u t

dt dt + + =

Respuesta a una entrada escaln en u%t&

"&0!&0

!(")&!

banancia

"?ac"or de de a'or"i!a'ien"odepende de las caractersticas fsicas

n frec!encia %ro%ia/na"!ral no

a'or"i!ada

Es la frecuencia con !ue oscila un sistema en

ausencia de cual!uier tipo de amorti"uamiento

-ituar los polos de la )uncin

de trans)erencia en el plano

comple9o

%1


42/123

02

-istemas de se(undo orden

$ $ $ $ $ $ $

$

1,$

$ 0 ( 1)

0 ( 1) # %olos reales nea"i7os$

1$

0 ( 1) # %olos reales i!ales

n n n n n

n

n n

s s

s

+ + = = =

> >

= =

= =

1,$

$

1,$

0 ( 1) # %olos co'%le@os con@!ados

$ 1

$

n

nn n

s

js j

=

< n

%2


43/123

0

Caso P1Respuesta a un escaln en u

$ $

$ $

1 1( ) 1

$ 1 $ 1

At #t At #ty t e e bu e e

+ = + + = +

( )( )

bA#

s A s #+ +U(s) 2(s) 1 1

1 1

b

s sA #

+ +

3(")

'u

Respuesta esta'le, sin

retardo con cam'io deconcaidad y

so'reamorti(uada

:anancia # bu


44/123

00

Caso P1$nterpretacin en el plano s

Plano s

9

polos en la parte real


9;A;B

( ) At #t

y t e e

= + +

El polo ms a la derec6a

domina en la desaparicindel transitorio

( )( )

bA#

s A s #+ +

U(s) 2(s)$

$

$ $ $ $

1

1

( ) ( 1)

n n

n n

n n n

A

#

A#

=

= +

= =

3(")

'u

"&0

!&0!(")&!

u


45/123

0

$proximacin

3(")

"

La res%!es"a del sis"e'a de se!ndo

orden %!ede a%ro9i'arse %or la de!no de %ri'er orden 'as !n re"ardo

( )( )

bA#

s A s #+ +

1+

s

Ke ds

d

C 1%$ ti i t iti &


46/123

0

Caso 1%$morti(uamiento critico&

Respuesta a un escaln en u

( ) ( )

$

$ $( )

bA uY s

s s s As A s A

= = + +

++ +

$

$( )

bA

s A+

U(s) 2(s)

nA =

( )

(1 )

(0) 0 ( )

At At

At At

n

y t e te

bu e te

y y bu

= + + =

= +

= =

3(")

6!

!&0!(")&!

uuncin montona

creciente

>olos realesi(uales


47/123

03

Caso / 1%-u'amorti(uado&Respuesta a un escaln en u

[ ]

$

$ $

;1 $

$

$

( )$

1

( ) L ( ) 1 ( 1 )1

1

n

n

n n

t

n

b uY s

ss s

y t Y s bu e sen t

arct$

=+ +

= = +

=

U(s) 2(s)$$ $$

n

n n

b

s s

+ +

"

3(")

Si "n50Res%!es"a es"a6le,

sin re"ardo 3

s!6a'or"i!ada

>olos

comple9os

con9u(ados

%1


48/123

08

%d& frecuencia natural amorti"uada (rad's)

Es la frecuencia con la !ue oscila

un sistema cuya relacin de

amorti"uamiento es distinta de cero

pero menor !ue la unidad

Caso /1Respuesta a un escaln en u

$

$

$

11( ) 1 ( )

1

( ) 1 (cos ( ))1

0 0

n

n

t

d

td d

c t bu e sen t arct$

c t bu e t sen t

c% & ' c% & bu

= +

= +

= =

U(s) C(s)$$ $$

n

n n

b

s s

+ +

"

3(")

'u

$ 1d n

( ( =

%2


49/123

>armetros de respuesta de

sistemas de se(undo orden

'u


50/123

1.=Fiempo de retardo, td

Es el tiempo re"uerido para "ue

la respuesta alcance la primera

ez la mitad del alor )inal.

2 Fi d i i t


51/123

1

2.=Fiempo de crecimiento

o Leantamiento%tr&

Plano s9

Es el tiempo re"uerido

para "ue la respuesta

aumente de / al 1//A

n

$1n

U(s) C(s)$$ $$

n

n n

b

s s

+ +

T

9U

$

$

$ $

( ) 1 (cos ( ))1

(cos ( )) 01

1 11"an arc"an( )

cos

n r

n r

t

r d r d r

t

d r d r

d r r

d

r

d d

c t bu e t sen t bu

e t sen t

t t

t

= + =

+ =

= =

= =

=

n

d


52/123

2

.=Fiempo de pico%tp&

tp

"

c(")

'u

$

$ $

( )0

cos ( ) ( )( ) 01 1

( ) 0C 0, , $ ,

(s)

d n

d p n d p d

d p d p

p

d

c t

t

t sen t

sen t t

t

=

+ + =

= =

=

tp Es el tiempo

re"uerido para

"ue la respuesta

alcance el primer

pico de impulso

0 =-o'repico maximo so'reimpulso


53/123

0. -o'repico maximo, so'reimpulso

maximo%K5ER -VKF&%p&

$

$

1

( ) C en

( ) (cos ( )1

( )

D 100

n d

nd

p p p

d

d d

d d

p

p

) c t bu t

c t bu e sen

c t bu e

) e

= =

= +

=

=

tp

"

c(")

'u

p -o'repico mximoso'reimpulso maximo

@p

Fi d t i t


54/123

0

.=Fiempo de asentamiento o

esta'lecimiento

"

c(")

'u

ts

D$

R#(imen

permanenteR#(imen

transitorio

$proximadamente4

C $D

*C D

s

n

s

n

t criterio del

t criterio del

=

=

Fiempo re"uerido para "ue el

transitorio decai(a a un alorpe"ue!o de modo "ue c%t& est# casi

en estado estacionario %dentro de

una 'anda de S 2A&

,$

1

$

( ) 1 (cos ( ))1

( ) 1 (cos ( ))1

1

n

n

t

d d

t

d d

n

c t bu e t sen t

c t bu e t sen t

T

= +

= +

=

W0X


55/123

Caso /Respuesta a un escaln en u

[ ]

$

$ $

;1

( )

( ) L ( ) 1 ( )$

n

n

n

b uY s

s s

y t Y s bu sen t

=+

= = +

U(s) 2(s)$

$ $

n

n

b

s

+

"

3(")Como / la respuestano se amorti(ua nunca.

Respuesta en el lmite

de la esta'ilidad

6!

>olos

ima(inarios

puros

La respuesta transitoria no se extin(ue

Caso no amorti(uado

$ 1d n n( ( = =


56/123

Caso /$nterpretacin en s

Plano s

9

9

nj+

[ ];1( ) L ( ) 1 ( )$

ny t Y s bu sen t

= = +

nn jss ==+ 0#%olos$$

nj

Polos so6re el e@ei'ainario# l'i"e

de es"a6ilidad

U(s) 2(s)$

$ $

n

n

b

s

+

"

3(")

6!

C /


57/123

3

Caso /Respuesta a un escaln en u

"

3(")

9

9

n

$1n

>olos en el semiplano derec6o4 sistema inesta'le

0>n

1 0 < olos realesi(uales

9

1<

>olos realespositios

9

Kscilaciones crecientes 3(")

"@onotonicamente

inesta'le


58/123

8

E9emplo sistema de se(undo orden

* *

-istema mecnico en el cual

una 'arra r(ida, sin masa, est

suspendida del tec6o a tra#s

de un resorte y un amorti(uador.

-upn(ase "ue en t/ una

persona salta y se su9eta a la'arra.

Considerando "ue esta persona

se "ueda col(ada de la 'arra

-cul es es mo.imiento!'t( dela arra/

xmm

%1


59/123

?


( ) )()()()()()(

)(

$

$

s*sX+bsms

s+XsbsXs*sXms

+xxbtfxm

=++

== ?(s) F(s)

$

1( )G s

ms #s + =

+ +

La persona actYa como unaentrada escaln al sistema$

$ $$ $

$

$ $ $

1 1>0( )

1.0 0$

>0 >0

1

>0

$ * =

n

n n

n

n n

bmG s

# + s ss s s s

m m

b

s s s s

= = =+ +

+ + + +

=+ + + +

Considerando4

>0 4

1.0 N;s/'

0 N/'

m

#

+

=

=

=

$

* rad/s

0

1 $ > rad/s0 001.

n

d n

,

( ( ,b ,

==

= =

Respuesta su'amorti(uada

%2


60/123

/


?(s) F(s)

"&0

+bsmssG

++=

$

1)(

ss

m$s*

..)( ==

$

* rad/s

0 1 $ > rad/s

0 001.

n

d n

,( ( ,

K ,

=

==

=

$ $

$

.. 1/ >0( ) C

* = * =

1-0..C 1-0.. *-$>>1-0.. 1-0.. *-$>>

( ) , -* =

( ) 1-0.. ----------------------------------

A #s CX s

s s s s s s

A # y Cs

X s resolviendo transf inversas s s

x t

+= = +

+ + + +

= = =

+= +

+ +

= +

%


61/123

>ro(rama en @$FL$Q

>ro(rama

nB/ / ?.8

dB1 ?D

t/4/.4

step%n,d,t&D(rid

$

1 =-.

( )* =

con )ATLA#

X ss s s

=

+ +


62/123


63/123


64/123

0


x

@

m

Respuesta impulso

;n proyectil de masa m se dispara

contra la masa @ %donde @PPm&.

-e supone "ue cuando el proyectil pe(a

en la masa @, se incrusta en ella.

-Cul es la respuesta

'despla0amiento 1( de la masa M

despu2s de ser golpeada por el

proyectil/

/

/

1 /4 la elocidad inicial del proyectil

14 la elocidad del proyectil despu#s del (olpe

%la elocidad de la masa @&

/PP 1 Cam'io sY'ito en la

elocidad del proyectil

t/

%0


65/123


Respuesta impulso

v

t

La )uerza de entrada tiene una duracin muy corta y un alor muy (rande

con lo "ue puede ser aproximada mediante una )uncin impulso4

v

t

t

Cam'io en aceleracin del proyectil cuando (olpea a la masa

=$

)()( ttAvmtf == )( 10 vvmtA = la ma(nitud de la entrada impulso

-e puede demostrar "ue 0vm)

)mf%t&

+

=

%


66/123


x

@

m

/

Respuesta impulso

)+sm)

mv

+)s

)

m)

mv

s*+)ssX

s+Xs*sX)s

+xtfx)

/

1

)(1

)(

)()()(

)(

$

0

$

0

$

$

++

=

++=

+=

=

=

Caso sin amorti(uamiento %/&

recuencia de oscilacin4 )+nd /==

%


67/123

3


?(s) F(s)

"&0

)+ssG

/

1)(

$ +=

'/s.00

N/'$00

G010

G0

0 =

=

=

=

v

+

,m

)Respuesta impulso

m)

mvs*

+

= 0)(

$

0 0

$ $

$

0 0

0

( )

( ) ( ) ( )

1 /( )

/ /

1-1*1$( )0

( )

0-0$$> ,-0,

)x f t +x

)s X s * s +X s

mv mv + )X s

) m s + ) ) m s + )

X ss

mv mv) + ) +x t sen t sen t

) m + ) ) + )

mv +sen t sen t

))+

=

=

= =

+ + + +

=

+

=

+

= =

&&

%3


68/123


69/123


70/123

EZE@>LK

+eterminar los valores, la "anancia # y la constante #-

de manera !ue el sobre.impulso m/ximo en la respuesta

del escaln unitario sea i"ual al 012 y el tiempo pico

i"ual a 3se", adem/s determine el tiempo de

establecimiento y crecimiento

R%-& C%-&H

=( )1

K

S S +

1-

K S+

=


71/123

-KL;CIK[%1&

-e tieneD

( )

( ) ( )

$1

$ $

$ $ $ $

$

$

$

$ $ $

D $0D

0-$0-)(>

0-$

1

1 C *-(*1 0-)(>

1 $

n

d

. .

p

p

. d

d

d n n

S n

- n nS

) ) e e

Ln ) Ln

Ln ) Ln

radt ss

rads

C K

R s K K s K s s

= = =

= = =

+ +

= = =

= = =

= =

+ + + + +


72/123

-KL;CIK[%2&

( )

$ $

$

*-(*

$ 1

$ 1 $ 0-)(> *-(* 1

*-(*

0-1,.

1-0=0->(* -

) )$-). -

0-)(> *-(*

n

n -

n-

-

r

d d

S

n

K

K K

K K

K

t se$

t se$

= =

= +

= =

=

= = =

= = =


73/123

EZE@>LK

Al si"uiente sistema se le aplica una

entrada escaln unitario

R%-& C%-&H

=( )1

K

S ST+


74/123


75/123

( )

( ) ( )

( )

( )

$

$

$ $$

$

$

C

*

1-1)$* 1 0-)

1

1 $

1 $

1 11-0=)(

$ $H0-)H1-1)$

1-0=)(H1-1)$ 1-)$,(

. d

d

n

S

S

S n

n nS

n n

n

radt

s

rads

C K

R s sT K

KCT

KR s ss sT T

KT T

T

K

= =

= =

=

+ +

= =

+ ++ +

= =

= = =

= =


76/123

3


)()()(

$

$

tvvdt

tdvRC

dt

tvdLC C

CC =++

Circuito RLC

1

1$ ++RCsLCs

I(s) IC(s)

%8


77/123

33

E)ecto de moer los polos4istema subamorti"uado

%1olos con lamisma parte real

djs =$,1

1dj

$dj

*dj

1dj

$dj

*dj

*$1

*$1

*$1

ppp

ppp

ddd

ttt

)))

>>


78/123

E) t d l l


79/123

3?

E)ecto de moer los polos4istema subamorti"uado%olos con el

n(ulo

constante%constante&

djs =$,1

1$*

pi(ual

1pt

$pt

*pt

*$1

*$1

*$1

*$1

ppp

sss

ddd

ttt

ttt

>>

>>


80/123

8/

>olos en el ori(en4 Inte(radores

( ) assssu

sas

KasY

+

++=

+

=

$)(

)( ass

Ka

+

U(s) 2(s)

Respuesta a un

escaln u en la

entrada

++=++=

++

+

==

atat

eataKuetty

assssYty

11

)(

LLL)(L)( 1$

111

"

3(")


81/123

81

E)ecto de ceros so're la respuesta

)(

1)(1

1)( ssG

csGs

csG +=

+

La respuesta a la misma entrada del sistema con un cero

en s =c, se o'tiene sumando a la respuesta del sistema

sin cero su deriada multiplicada por un )actor 1


82/123

82

E)ecto de ceros so're la respuesta

3(")

!

Con c P /, se adelanta larespuesta.

[o produce oscilaciones si

la respuesta sin cero no la

tiene, pero puede producir

so'repico

Plano s

9

cero en la parte real


9

;a;6;c

"

%2


83/123


84/123


85/123

-istemas de orden superior


86/123

8


8(s)U(s) C(s)

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

son reales

1 $

1 $

son reales

1 $

1 $

1

C

S S

S S S

ceros

m

n

polos

m

S

n

C G

R G /

K s 0 s 0 s 0

s . s . s .

aplicando escalon unitario

K s 0 s 0 s 0C

s s . s . s .

=

+

+ + +

=

+ + +

+ + +

=

+ + +

6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48

L

L1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3

L

L

%1


87/123


( )

( )

( )

( )

1 $

1 $

?racciones Parciales considerando %olos 3 ceros reales

1

1

j

n

S

n

ni

Si i

n. t

jtj

## #AC

s s . s . s .

#AC

s s .

C A A e

=

=

= + + + ++ + +

= ++

= +

L

1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 443

%2


88/123


-uponiendo "ue los ceros y polos de C%-& consisten enceros y polos reales y pares de ceros y polos con9u(ados, laecuacin anterior se puede escri'ir de la si(uiente )orma yaplicando escaln unitario

%2


89/123


El tipo de respuesta transitoria esta

determinado por los polos de lazo

cerrado %t#rminos exponenciales,cosenoidales, etc.& mientras "ue la

)orma de respuesta depende

principalmente de los ceros de lazo

cerrado %ma(nitudes y si(nos&

%2


90/123

?/

E)ecto del tercer polo

( ) ( )( )10$0$$00

$1 +++= ssssG

( )$0$

$0$1 ++

=ss

sG


91/123

?1


( )( )( )$$0$

0$1 +++

=sss

sG

( )$0$

$0$1 ++

=ss

sG


92/123

?2


( )( )( )100$0$

$000$1 +++

=sss

sG

( )$0$

$0$1 ++

=ss

sG


93/123

E) d l l


94/123

?0


Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Fiempo de esta'leciemiento

Ro3o* 45 orden

A0ul* 6 orden

Mage,* 7 orden

E) t d l t l


95/123

?


Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Fiempo de esta'lecimiento

Ro3o* 45 orden

A0ul* 6 orden

Mage,* 7 orden

E) t d l t l


96/123

?


Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Fiempo de esta'lecimiento

Ro3o* 45 orden

A0ul* 6 orden

Mage,* 7 orden

E)ecto del tercer polo4


97/123

?3

E)ecto del tercer polo4tiempo de esta'lecimiento real

-istemaprimer orden

-istema se(.Krden

-istema tercerorden

/.?1 .38 .8

1.? .38 .2

/./?1 .38 .3?

E)ecto del tercer polo4


98/123

?8

E)ecto del tercer polo4tiempo de esta'lecimiento aproximado

-010

1 ==

$$1 ==

0-0100

1 ==

1$0

$0n2

= =

>olo en =1/4

>olo en =24

>olo en =1//4

8

E) t d l t l


99/123

??


( )( )( )-0$0$

-0$1 +++

=sss

sG

( )$0$

$0$1 ++

=ss

sG


100/123


101/123

-i t d d i


102/123

1/2


$6ora ponemos los

polos ima(inarios

con9u(ados a la

iz"uierda de los

reales

Ro3o* 45 orden

A0ul* 8 orden

Mage,* 4 adicio,

R t d i t


103/123

1/

Respuesta dominante

La )orma de la respuesta "ue

predomina es la de los polos "ue

estn ms cerca del e9e ertical.

Fanto en el caso de polos o ceros

adicionales su e)ecto es menor

cuanto ms ale9ados estn de los

polos dominantes, es decir, cuantoms ale9ados estn del e9e ertical.


104/123


105/123

R d i d l d d i t


106/123

1/

Reduccin del orden de un sistema

Fercer polo en =2

[K^^^4 las respuestas son

muy di)erentes

\-e puede reducir]

Ro3o* 45 orden

A0ul* 6 orden

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8



107/123

1/3


-e localizan los polos y cerosdominantes.

Fodos los polos y ceros, cuya partereal este un mnimo de eces ms ala derec6a de los dominantes sepueden eliminar.

es el alor mnimo, esrecomenda'le "ue est#n al(o ms,por e9emplo so're 1/.



108/123

1/8


>olos

y

ceros

dominantes

>olos

y

ceros

ale9ados

a'

-i, _' _P _a _, entonces se

pueden eliminar los polos y

ceros a la iz"uierda de ese

alor.

Es pre)eri'le "ue se cumpla4_' _P1/ _a _

#MP!RTANTE* 9ay :ue

asegurar :ue el .alor ;inal

alcan0ado por el sistema esel mismo,

E9emplo4 reduccin orden


109/123

1/?

Est 0/ eces a la iz"uierda4-e puede eliminar


:%s&;%s& +%s&

0001.0$000

)100$)(0(

000

$*

$

+++

+++

sss

sss

Pole-Zero Map

Real Axis

ImagAxis

-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Los polos del sistema4 =1.//// H ?.?0??i

=1.//// = ?.?0??i

=0/

9ay :ue

asegurar :ue el .alor ;inalalcan0ado por el sistema es

el mismo


110/123



111/123

111

@ultiplicamos por 1

diidido entre el alor

a'soluto del polo "ue se

elimina


Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

60

70

\Cmo resoler el

pro'lema]

( ) )100$(

000$ ++= sssY malred

( )

)100$(

100

0

1

)100$(

000

$

$

++=

++=

ss

sssYred



112/123

112


Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Ro3o* reducido

A0ul* original

1100100

100$

1001$

0li'

==

++=

ssssy

sred

>ro(rama en @$FL$Q


113/123

11

>ro(rama en @$FL$Q

n1B/ / / 0///D d1B1 02 18/ 0///D n2B/ / 1//D d2B1 2 1//D t/4/.141/D Bc1,x1,tstep%n1,d1,t&D Bc2,x2,tstep%n2,d2,t&D plot%t,c1,t,c1,o,t,c2,t,c2,x& (rid


114/123


115/123

E9 l d i d


116/123

11

@ultiplicamos por el

alor a'soluto de los

ceros, polos y t#rminos

independientes "ue se

eliminan


\Cmo resoler el

pro'lema]

( ) )100$(

1$ ++= sssY malred

( )$

$

1 10

1 1$.( $ 100)

0-00$

( $ 100)

redY ss s

s s

=+ +

= + +

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

-4


117/123

113

n1B/ / / / 1 1/D d1B1 / 3 0/0/ 1?2///D n2B/ / /.//2D

d2B1 2 1//D t/4/.141/D Bc1,x1,tstep%n1,d1,t&D Bc2,x2,tstep%n2,d2,t&D plot%t,c1,t,c1,o,t,c2,t,c2,x& (rid


118/123


119/123

Respuesta en lazo cerrado con


120/123

12/

pertur'aciones

)()()(1

)()(

)()(1

)()()( s!

sRsG

s4s3

sRsG

sRsGsY

++

+=

8(s)R(s)U(s) 2(s)J(s) E(s)

:;

K(s)I(s)

::

La respuesta temporal ante cam'ios en `%t& o %t&

puede calcularse con la .F. en lazo cerrado4

Ecuacin caracterstica


121/123

121

Ecuacin caracterstica

El tipo de respuesta y la esta'ilidad en lazo

cerrado ienen determinadas por los polos de la)uncin de trans)erencia en lazo cerrado, "ue

son las races de la ecuacin caracterstica4

)()()(1

)()(

)()(1

)()()( s!

sRsG

s4s3

sRsG

sRsGsY

++

+=

0)()(1 =+ sRsG

La ecuacin caracterstica es la misma

independientemente de la presencia o ausencia

de pertur'aciones.

E9emplo


122/123

122

4%U(s)

:

;

2(s)J(s) E(s)

)()1)(1(

)1()(1

)(

11

1)(

11

1)()(1

)()(

)(1

)()(

s!sKKs

sKs3KKs

KK

s!

Ks

K

s

K

s3

Ks

K

Ks

K

s!KsG

s4s3

KsG

KsGsY

dp

d

p

p

p

d

d

p

p

pp

p

+++++

++=

=

++

++

++

+=+

++

=

I(s)

1+s

K

1+s

K

d

d

Ecuacin caracterstica4 0)(1 =+ pKsG 01 =++ pKKs

pKKs

+=

1

>olo l.c.

Ceros en lazo cerrado


123/123

Ceros en lazo cerrado

)()()()(

)(

)(1

)()()(1

)(s5ums4en

s4s4en

s4en

s5ums4

sRsGs4

+=+=+

)()(

)(

)(

)(1

)()(

)()(1

)()(

)(

)()()(

s5ums4en

s5um

s4en

s5um

s4ens5um

sRsG

sRsG

s4en

s5umsRsG

+=

+=

+

=

Los ceros en lazo

a'ierto aparecentam'i#n como

ceros en lazo

cerrado

)()()(1

)()()( s3sRsG

sRsGsY += )()()(1)( s!

sRsGs4

++

2.2.- rpta transitoria

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