VIA TEHNIKA KOLA

SUBOTICA

mr. Rozgonji Endre

MEHANIKA

drugi deo

KINEMATIKA

SUBOTICA, 2001. god.

SADRAJ

1. UVOD1

2. KINEMATIKA TAKE2

2.1. Definisanje poloaja take u prostoru22.1.1.Vektorski postupak22.1.2. Analitiki postupak3

2.1.3. Prirodni postupak52.2. Brzina take72.2.1. Vektor brzine take72.2.2. Brzina take u Dekartovom koordinatnom sistemu82.2.3. Brzina take u prirodnom kooridnatnom sistemu9

2.2.4. Hodograf brzine102.3. Ubrzanje take112.3.1. Vektor ubrzanja112.3.2. Ubrzanje take u Dekartovom koordinatnom sistemu122.3.3. Prirodni koordinatni sitem132.4. Posebni sluajevi kretanja take172.4.1. Jednoliko pravolinijsko kretanje take172.4.2. Jednoliko krivolinijsko kretanje take192.4.3. Jednako promenljivo pravolinijsko kretanje take192.4.3.1. Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje take202.4.3.2. Jednako usporeno pravolinijsko kretanje take202.4.4. Jednako promenljivo krivolinijsko kretanje take212.4.4.1. Jednako ubrzano krivolinijsko kretanje take222.4.4.2. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje take23

2.4.5. Kruno kretanje take242.4.5.1. Jednoliko kruno kretanje take252.4.5.2. Jednako ubrzano kruno kretanje take262.4.5.3. Jednako usporeno kruno kretanje take272.4.6. Harmonijsko kretanje take28

3. KINEMATIKA KRUTOG TELA36

3.1. Translatorno kretanje krutog tela36

3.2. Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose393.2.1. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje393.2.2. Posebni sluajevi obrtnog kretanja413.2.2.1. Ravnomerno (jednoliko) obrtanje413.2.2.2. Ravnomerno promenljivo (jednako promenljivo)obrtanje413.2.3. Brzine taaka tela koje se obre oko nepokretne ose42

3.2.4. Ubrzanja taaka tela koje se obre oko nepokretna ose433.3. Ravno kretanje krutog tela473.3.1. Putanja taaka tela pri ravnom kretanju483.3.2. Brzine taaka tela koje vri ravno kretanje493.3.2.1. Teorema o projekcijama brzina513.3.3. Trenutni pol brzina523.3.4. Odreivanje brzina taaka pomou trenutnog pola brzina523.3.5. Posebni sluajevi odreivanja trenutnog pola brzina53

3.3.5.1.Ravna figura koja se kotrlja bez klizanja po

nepokretnoj povrini drugog tela53

3.3.5.2. Vektori brzina vrA i vrB su paralelni, a prava AB kojaspaja te take nije normalna na vektore bzina543.3.5.3. Vektori brzina vrA i vrB su paralelni, a prava AB koja

spaja te take normalna je na vektore bzina54

3.3.6. Ubrzanja taaka pri ravnom kretanju58

4. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE TAKE65

4.1. Jednaine kretanja65

4.2. Trenutna ugaona brzina69

4.3. Trenutno ugaono ubrzanje70

5. OPTE KRETANJE SLOBODNOG KRUTOG TELA76

5.1. Jednaine opteg kretanja slobodnog krutog tela76

5.2. Brzine tela koje vri opte kretanje76

5.3. Ubrzanje tela koje vri opte kretanje77

6. SLOENO KRETANJE TAKE80

6.1. Relativno, prenosno i apsolutno kretanje take80

6.2. Apsolutna brzina take806.3. Apsolutno ubrzanje take846.3.1. Konstrukcija Koriolisovog ubrzanja866.3.2. Primeri odreivanja smera Koriolisovog ubrzanja876.3.3. Posebni sluajevi odreivanja vektora prenosnog ubrzanja87

6.3.4. Odreivanje komponenata apsolutnog ubrzanja88

7. SLOENO KRETANJE KRUTOG TELA98

7.1. Apsolutna brzina tela98

7.2. Apsolutno ubrzanje997.3. Osnovni oblici sloenog kretanja997.3.1. Translatorna kretanja997.3.2. Obrtanje oko paralelnih osa1007.3.2.1. Sluaj kada su obrtanja tela usmerana u isom smeru 100

7.3.2.2. Sluaj kada su obrtanja tela usmerana u suprotnom

smeru101

7.4. Proraun planetarnih prenosnika103

8. LITERATURA109

1. UVOD

U uvodu prvog dela mehanike - statike izneti su osnovni zadaci mehanike, njen razvoj i podela na statiku, kinematiku i dinamiku.

Kinematika prouava kretanja tela ne uzimajui u obzir uzroke (masu i sile) koji izazivaju kretanja. Ta kretanja tela pri zadatim geometrijskim uslovima prouavaju se u zavisnosti od vremena. Kinematika predstavlja uvod u dinamiku, jer definie osnovne kinematske zavisnosti, koje su neophodne za prouavanje kretanja tela pod dejstvom sila. Kinematske metode me utim imaju i samostalan praktini znaaj, pri prouavanju kretanja delova raznih mehanizama. Upravo zbog pojave ovih problema u mainskoj tehnici, kinematika se izdvojila u samostalni deo mehanike u prvoj polovini 19. veka.

Pod kretanjem se u mehanici podrazumeva promena poloaja, koji jedno materijalno telo vri u odnosu na drugo, u prostoru.

Za definisanje poloaja pokretne take, tela u odnosu na tu taku ili tela prema kome se prouava kretanje, koristi se referentni koordinatni sistem, koji je vrsto vezan za taku ili telo u odnosu na koje se prouava kretanje. Ukoliko koordinate taaka izabranog koordinatnog sistema za sve vreme kretanja ostaju konstantne, tada se telo u odnosu na taj koordinatni sistem nalazi u mirovanju. Meutim, ako se koordinate ma koje take tela menjaju tokom vremena, tada se u odnosu na referentni koordinatni sistem telo kree.Prostor se u mehanici smatra trodimenzionalnim Euklidovim prostorom. Za jedinicu duine (L) pri merenju rastojanja u ovom prostoru usvaja se metar [m]. Vreme (t) se u mehanici smatra univerzalnim, tj. da te e na isti nain u svim koordinatnim sistemima. Za jedinicu vremena uzima se jedna sekunda [s]. Svi kinematiki elementi, kao to su: put (trajektorija), brzina i ubrzanje izraavaju se pomou ovih osnovnih jedinica.

Na ovaj nain definisan prostor i vreme izraavaju samo priblino realne osobine prostora. Meutim, kako pokazuju razni eksperimenti, za realna kretanja koja se pojavljuju u svakodnevnom ivotu, a koja se vre sa mnogo manjim brzinama od brzine prostiranja svetlosti, takvo pribliavanje je potpuno opravdano, jer za praktine primene daje potpuno zadovoljavajuu tanost.

Vreme u mehanici je pozitivna skalarna veliina, koja se neprekidno menja. U problemima kinematike vreme t se uzima za nezavisnu promenljivu veliinu. Sve ostale promenljive veliine u kinematici se posmatraju u funkciji vremena. Vreme se posmatra uvek od nekog poetnog trenutka vremena (t=0), koje se utvruje u svakom konkretnom problemu. Svaki odreeni trenutak vremena t definie se brojem sekundi, raunaju i od poetnog trenutka vremena. Svaka razlika izmeu bilo koja dva uzastopna trenutka vremena tokom kretanja, zove se vremenski interval.

U kinematici se sva razmatranja utvruju na osnovu praktinih iskustava, dok se zakljuci potvruju eksperimentima. Zbog toga, u kinematici nikakvi dopunski zakoni, ili aksiomi, za prouavanje kretanja nisu potrebni.

Za definisanje kinematikih karakteristika nekog kretanja, koje se eli prouiti, neophodno je da kretanja bude bilo kako definisano (zadato).

Kinematiki definisati kretanje ili zakon kretanja tela ili take, zna i definisati poloaj tog tela ili take u odnosu na dati referentni koordinatni sistem u bilo kojem trenutku vremena. Najvaniji zadatak kinematike je utvrivanje matematikih metoda za definisanje tog kretanja.

Po najosnovnijoj podeli kinematika se deli na: kinematiku take, kinematiku krutog tela.

2. KINEMATIKA TAKE

U kinematici take reavaju se dva osnovna problema:

1. Ustanovlajavanje analitikih postupaka za definisanje kretanja take u odnosu na utvreni koordinatni sistem.

2. Na osnovu zadatog zakona kretanja take, odreivanje kinematikih karakteristika kretanja take, kao to su: trajektorija take, brzina take, ubrzanje take.

Zamiljena neprekidna linija, koju opisuje pokretna taka M u prostoru zove se putanja ili trajektorija take.Deo putanje izmeu dva uzastopna poloaja take M je preeni put.

Ukoliko je trajektorija prava linija, taka vri pravolinijsko kretanje, ako je pak kriva linija, taka vri krivolinijsko kretanje.Za definisanje kretanja take u prostoru primenjuju se najee sledea tri postupka:1. vektorski, 2. analitiki (koordinatni), 3. prirodni postupak.

2.1. DEFINISANJE POLOAJA TAKE U PROSTORU

2.1.1. VEKTORSKI POSTUPAK

Poloaj take M u svakom trenutku vremena moe se odrediti vektorom poloaja rr u odnosu na poetak O Dekartovog koordinatnog sistema, prema slici 2.1. Poto je svaki vektor odreen sa tri podatka, za definisanje poloaja take

M potrebno je poznavati intenzitet, r

pravac i smer vektora poloaja rr . Pri kretanju take M menja se vektor r i po pravcu i po intenzitetu sa vremenom i predstavlja vektorsku funkciju vremena t

:

rr = rr(t).(2.1)

Jednaina (2.1) predstavlja zakon kretanja take u vektorskom obliku.Slika 2.1.r Vektorski postupak Pomou ove jednaine mogua je konstrukcija vektora r u svakom trenutku vremena, i na taj na in da se odreuje poloaj pokretne take. Geometrijsko mesto krajeva vektora rr odreuje putanju take M.U posebnom sluaju, kada je rr = const taka se nalazi u mirovanju.

2.1.2. ANALITIKI POSTUPAK (KOORDINATNI)

Koordinate take M su skalarni parametri (brojevi) ije vrednosti odreuju poloaj pokretne take. Skup ovih koordinata ini koordinatni sistem. Naje e kori en koordinatni sistem je pravougli Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije, koji se satoji od tri orijentisane ose Ox, Oy, Oz, koje prolaze kroz taku O i ne lee u istoj ravni. Ako su te ose meusobno normalne, Dekartov koordinatni sistem je pravougli (ortoganalan) . Ako smerovi osa odgovaraju palcu, kaiprstu i srednjem prstu desne ruke (sa dlanom navie), koordinatni sistem je desne orijentacije. U ovom sistemu gledajui iz smera ose Oz, obrtanjem ose Ox u obrnutom smeru kretanja skazaljke nasatu, dolazir do njenog poklapanja sa osom Oy. Jedinini vektori (ortovi) koordinatnihosa (ir , rj , k ) uzeti u istom smeru sa koordinatnim osama, ine jedinini trijedar, prema slici 2.1.Projekcijom vektora poloaja rr na ose Dekartovog koordinatnog sistema, poloaj take M odreen

je sa tri broja x,y,z, koji predstavljaju algebarske projekcije vektora pokretne take na koordinatne ose prema:

rr = x ir + y rj + z kr .(2.2)

gde su:rrr

- i, j, kjedinini vektori,

- x,y,z koordinate take M.

Poto se taka kree, sve tri koordinate se menjaju tokom vremena, pa jednaina (2.2) postaje:

rr(t) = x(t) ir + y(t) rj + z(t) kr .(2.3)

Za poznavanje zakona kretanja take, tj.da bi se mogao odrediti u svakom trenutku vremena poloaj take u prostoru, potrebno je poznavati promene koordinate take sa vremenom, definisane jednainama:

x = x(t),

y = y(t),(2.4)

z = z(t).

Jednaine (2.4) predstavljaju jednaine kretanja u analitikom obliku, ili skalarni oblik parametarske jednaine putanje. U ovim jednainama parametar je vreme t.Eliminacijom parametra t iz jednaina (2.4) dobija se jednaina linije putanje.

U posebnom slu aju, pri kretanju take u ravni, kretanje e biti odreeno sa samo dve jednaine kretanja, prema:

x = x(t) ; y = y(t).(2.5)

Primer 2.1.

Kretanje take odreeno je jednainama (x,y - u metrima, t - u sekundama):

x = 8t 4t 2 ,y = 6t 3t 2 .

Potrebno je odrediti liniju putanje take.

Reenje:Za odreivanje putanje, potrebno je eliminisati parametar, tj. vreme t iz navedenih jedna ina. Mnoenjem prve jednaine sa 3 , a druge sa 4, i oduzimanjem druge jednaine od prve, dobie se:

3x 4 y = 0 , ili

Slika 2.2. Ilustracija primera 2.1y = 43 x .

Na osnovu ove jednaine se vidi da je putanja prava linija, koja sa osom Ox zalkapa ugao a, pri emu je tg = 34 (slika 2.2).

Primer 2.2.

Kretanje take je dato sledeim jednainama:

x = 10 cos2t,y = 10 sin2t.

55

Potrebno je odrediti liniju putanje.

Reenje:

Iz gornjih jednaina potrebno je eliminisati vreme t. Delei obe strane jednaina sa 10, zatim dizanjem na kvadrat i sabiranjem se dobija jednaina:

x 2 + y 2 = 100 .

to predstavlja krunu liniju sa poluprenikom R=10.

Primer 2.3.

Kretanje take u ravni Oxy dato je vektorskom jednainom oblika: rr = br sin 2t + crcos 2t .Gde su vektorir rrr

b i c vektori odreeni koordinatamab ( 2;3 ), c( 3;4 ) .

Odrediti liniju putanje.Reenje:

Gore navedeni vektori predstavljeni pomou komponenata imaju oblike:

rrrrrrrrr,

r= x i+ y j ; b= 2 i+ 3 j ; c= 3 i+ 4 j

gde su: - ir, rj jedinini vektori koordinatnih osa.

Izjednaavajui vrednosti pored istih jedininih vektora, kretanje je definisano sistemom jednaina:

x = 2 sin 2t + 3 cos 2t, y = 3 sin 2t + 4 cos 2t .

Iz ovih jednaina potrebno je eliminisati vreme, izraavajui vrdenosti:

sin 2t = 3 y 4 x, cos 2t = 3x 2 y .

Dizanjem na kvadrat i sabiranjem jednaina, dobije se linija putanje u obliku:

( 3 y 4 x )2 + ( 3x 2 y )2 1 = 25x 2 36 xy + 13 y 2 1 = 0 .

to predstavlja jednainu elipse.

Primer 2.4.

Odrediti putanju sredine M klipne poluge klipnog mehanizma prema slici 2.3, ako je OA = AB = 2a , i ako pri okretanju krivaje ugao u toku vremena raste

proporcionalno vremenu: =t.

Reenje:

Za oznaene koordinatne ose prema slici 2.3. koordinate take M (x i y) iznosie:

x = 2a cos + a cos, y = a sin .

Zamenom ugla sa njegovom vrednou, jednaine kretanja take M iznosie:

Slika 2.3. Ilustracija primera 2.3x = 3acos t, y = a sin t .

Za odreivanje putanje take M jednaine kretanja se mogu napisati u obliku:

x= cos t,y= sin t .

3aa

Dizanjem na kvadrat i sabiranjem ovih jednaina se dobije:

x 2+y 2= 1 .

9a2a 2

to predstavlja elipsu sa poluosama 3ai a.

2.1.3. PRIRODNI POSTUPAK

Prirodni postupak definisanja kretanja take upotrebljava se u onim sluajevima, kada je putanja take unapred poznata. Tako je za poznatu putanju l po kojoj se kree taka M, mogue odrediti poloaj take tako, to se izabere poetna taka O za referentnu taku, a putanja take seusvoji za krivolinijsku koordinatnu osu, prema slici 2.4.

Krivolinijskomkoordinatom s = OM , koja je jednaka

rastojanju take M od referentne ta ke O, odreen je poloaj take na putanji. Rastojanje s mereno na jednu stranu se usvaja za pozitivno, a na drugu stranu za negativno (kao i kod drugih "obinih" koordinatnih osa), to je potrebno kod referentne

Slika 2.4. Prirodni postupak take obavezno i oznaiti.

Krivolinijska koordinata s pri kretanju take M po putanji se menja tokom vremena, i bie neka funkcija vremena prema:

s = s( t ).(2.6)

Jednaina (2.6) izraava zakon kretanja (zakon puta) take po putanji.

Za odreivanje kretanja take prirodnim postupkom, potrebno je poznavati:

1. putanju take, 2. poetak koordinatnog sistema na putanji sa utvrenim pozitivnim i negativnim smerom,

3.zakon kretanja take du putanje oblika s = s( t ) , gde rastojanje s odreuje krivolinijsku

koordinatu take.

Krivolinijsku koordinatu s = s( t ) treba razlikovati od preenog puta take M po putanji, jer se krivolinijskom koordinatom odreuje poloaj take M na putanji u datom trenutku vremena od referentne take. M 0 (poetni poloaj take), kada je vreme t=t0=0 (slika 2.4).

Za prouavanje kretanja take po liniji esto se primenjuje prirodni trijedar, koji e se izloiti u daljnjem.

U taki M putanje, prvo se nacrta

tangenta sa jedininim vektorom

Tr, zatimnormala na tangentu sa

jedininimvektorom Nr ,koja je

usmerenaprema centrukrivine

trajektorijetake. Ovi vektori

formiraju ravan, koji se zove

oskulatorna ravan (ravan koji se

priljubljuje na krivu ds), prema

slici 2.5. Trea koordinatna osa je

normalna na oskulatorni ravan u

tarki M, sa jedininim vektorom

B .

Navedeni jedinini vektori zovu

se:r

Tr- tangenta,

N - glavna normala,

Slika 2.5. Prirodni trijedarBr - binormala.

Pravougli koordinatni sistem, konstruisan u pokretnoj taki M sa koordinatnim osama usmerenim du tangente ( Tr ), glavne normale ( Nr ) i binormale ( Br ), zove se prirodni trijedar. Koordinate koje

odreuju poloaj take na liniji u odnosu na ovaj sistem zovu se prirodne koordinate. r r r rJedinini vektori rT i rN odreuju oskulatornu ravan, jedinini vektori N i B odreuju normalnuravan, a vektori T i B definiu rektifikacionu (tangentnu) ravan (slika 2.5).Ovaj prirodni trijedar pri kretanju take kree se zajedno sa njom, pa se i orijentacija osa trijedra stalno menja i svakom poloaju take odgovara poseban prirodni trijedar.

U ovom koordinatnom sistemu vae sledee relacije:

Br = Tr Nr - uslov normalnosti,

rr = rr( s ) - vektor poloaja ma koje take na trajektoriji, je funkcija krivolinijske koordinate,

Tr = drr - tangenta je izvod vektora poloaja po krivolinijskoj koordinati s, ds

r

dT = K Nr = 1 ds Rk

normale,

normale.

Nr - izvod tangente po koordinati s je jednak proizvodu krivine K i glavne

ili proizvodu reciprone vrednosti poluprenika krivine Rk i glavne

rr . t2.2. BRZINA TAKE

2.2.1. VEKTOR BRZINE TAKE

Brzina je jedna od osnovnih kinematikih parametara kretanja take. Za pokretnu taku M, koja se kree po odreenoj putanji u prostoru, poloaj take u trenutku vremena t bie odreen vektorom poloaja rr( t ) . U sledeem trenutku t1 = t+t, taka e se nalaziti u poloaju M1, odreenovektorom poloaja rr1 = rr + rr . Vektor rr odreuje pomeranje take za vremenski period t i

zove se vektor pomeranja take. Iz trougla OMM1 sa slike 2.6 vidi se da je vektor pomeranja take odreen razlikom vektora poloaja:

MM 1 = rr1 rr = rr .

Odnos vektora pomeranja take prema odgovarajuem vremenskom intervalu odreuje po intenzitetu, pravcu i smeru vektor srednje brzine i pokazuje kako se tokom vremena vri pomeranje ta ke M iz jednog poloaja u drugi.

vvSR =MM 1=rr. (2.7)

tt

Slika 2.6.Vektor brzine

Vektor srednje brzine ima isti pravac i isti smer sa vektorom rr u smeru kretanja, jer je vreme t uvek pozitivna skalarna veliina (delenjem sa tpravac vektora vrSR se ne menja, dok se menja samo intenzitet u poreenju sa intenzitetom vektorarr, slika 2.6).Ako se vremenski interval t tako menja da tei nuli, dobije se vektor brzine vr take M u datom

trenutku vremena:

vr = limt0 vrSR = limt0

Granina vrednost odnosa rrt kada t0 predstavlja prvi izvod vektorase oznaava sa:drr = rr& . dt

I na kraju, u konanom obliku se dobije:

r

vr = drdt = rr& .

rr po vremenu t, koji

(2.8)

Vektor brzine take u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora poloaja take po vremenu. Vektor brzine take u svakom trenutku vremena ima pravac tangente na putanju i usmeren je u smeru kretanja.

Osobine vektora brzine su:

1. Ako vektor brzine menja svoj pravac, kretanje je krivolinijsko.

2. Ako je konstantnog pravca, kretanje je pravolinijsko. 3. Ako je vektor brzine konstantnog intenziteta, kretanje je ravnomerno. 4. Ako se intenzitet vektora brzine menja sa vremenom, kretanje je promenljivo. Dimenzija brzine je m .

s

2.2.2. BRZINA TAKE U DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU

Poloaj take M u Dekartovom koordinatnom sistemu odreen je na osnovu jednaine (2.3) izrazom: rr( t ) = x( t ) ir + y( t ) rj + z( t ) kr .

Vektor brzine take je jednak prvom izvodu vektora poloaja po vremenu i na osnovu (2.8) iznosi:rdrr& r& r&rrrr

v== x i+ y j+ zk= v x i+ v y j+ vz k .

dt

Sa slike 2.7 se vidi da projekcije vektora brzine vr iznose:

vx =dx&dy&dz&

dt= x, v y =dt= y, vz =dt= z

(2.9)

Projekcije vektora brzine take na ose Dekartovog koordinatnog sistema jednake su prvim izvodima koordinata po vremenu.

Za poznate projekcije brzine njen intenzitet se odreuje po izrazu:

Slika 2.7. Projekcije brzine take

r= v =222=&2&2&2.(2.10)

vvx+ v y+ vzx+ y+ z

Pravac vektora brzine definisan je uglovima ,,, koje vektor vr zalkapa sa koordinatnim osama (slika 2.7). Kosinusi tih uglova su:

rrv=&,

cos ( v ,i ) = cos =x2x2

v&&&2

x+ y+ z

rrvy&

y2 ,

cos ( v , j ) = cos =v=2&2&.(2.11)

&

x+ y+ z

rr=v=&,

cos ( v ,k ) = cos z2z2

v&&&2

x+ y+ z

Za sluaj ravanskog kretanja z=0, izrazi (2.10 i 2.11.) imaju sledee oblike:

v =&2&2,

x+ y

cos =vx,cos =v y.

vv

2.2.3. BRZINA TAKE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SISTEMU

Zakon kretanja take u prirodnom koordinatnom sistemu, na osnovu (2.6) iznosi:

s = s( t ) .

Vektor poloaja take na trajektoriji je takoe poznat i ima oblik:

rr = rr( s ) .

Vektor brzine je po definiciji prvi izvod vektora poloaja po vremenu i dat je u sledeem obliku:rdrrdrrds

v==,

dge su:dtdsdt

drrje jedinini vektor tangente na trajektoriju tj. Tr ,

- prvi lan

dt

- drugi landspredstavlja izvod puta po vremenu tj.&

dt

s .

Vektor brzine ima oblik:

r&r, ili

v= sT

vr = v Tr(2.12)

.

Intenzitet projekcije vektora brzine vr (brojana vrednost brzine -v ) take, koja spada u pravac tangente na putanju, jednak je prvom izvodu krivolinijske koordinate po vremenu. Brzina ima znak + ili - u zavisnosti od smera kretanja take.

Ako je v = dsdt >0 (+), taka se kree u pozitivnom smeru (u stranu porasta krivolinijske koordinate),

ako je v = dsdt 1 [s], obe projekcije brzine su negativne, to znai, da je brzina usmerena od B ka A.

Na kraju, moe da se primeti i to, da je u trenutkut = 0 [s] x = 0 iy = 0; u trenutku t = 1 [s] x

= 4, y = 3 (taka B); u trenutku t = 2 [s] x = 0,y = 0; za t>2 [s]veliine x i y se poveavaju po

apsolutnoj vrednosti i ostaju za sve vreme kretanja negativne.

Jednaine date u uslovu primera 2.1, pokazuju tok kretanja take. Kretanje poinje iz take O poetnom brzinom v0 = 10 [m/s] i vri se du prave AB, koja zaklapa sa osom Ox ugao . Na delu puta OB taka stigne za jednu sekundu u poloaj B (4,3), u kom poloaju je brzina take jednaka nuli. Od ovog trenutka taka se kree u suprotnu stranu. U trenutku t = 2 [s] taka se ponovo nalazi na koordinatnom poetku i nastavlja da se kree du prave OA.

Primer 2.6.

Odrediti hodograf brzine za kretanje iz primera 2.2.Reenje:

Komponente brzina su:

&2 t = 25 y,&2 t =25 x .

x = 4 sin 5y = 4 cos 5

Intenzitet brzine je:

v = x&2 + y&2 = 4 .

Ukoliko se iz gornjih jednaina ( x& i y& ) eliminie vreme t dobie se hodograf brzine. Odmah se

vidi, da je hodograf brzine kruna linija poluprenika 4, sa polom koji se poklapa sa sreditem putanje.

Primer 2.7.

Odrediti brzinu sredine M klipne poluge iz primera 2.4.Reenje:

Komponente brzine take M su:

v x = x& = 3a sin t, v y = y& = a cos t .

Intenzitet brzine je jednak:

v = a 9 sin 2 t + cos 2 t .

Brzina je promenljiva veliina, koja se u toku vremena menja u granicama od vmin=a do vmaks=3a..

2.3. UBRZANJE TAKE

2.3.1. VEKTOR UBRZANJA

Ubrzanje take pri proizvoljnom krivolinijskom kretanju karakterie promenu intenziteta i pravca

vektora brzine u toku vremena.

Neka se u trenutku vremena t taka nalazi u poloaju M i ima brzinu vr , u trenutku t+t se nalazi u

poloaju M1 sa brzinom vr + vr ,

gde vr karakterie promenu

vektorabrzine(slika2.10).

Delei prirataj brzinevrsa

vremenskim intervalom t,

njihov odnos odreuje vektor

srednjeg ubrzanja take za dati

vremenski interval:

arSR= vr .(2.13)

t

Slika 2.10. Vektor ubrzanjarrrVektorvrsenajjednostavnije

odreuje konstrukcijom paralelograma vektoravi v+ v, kako je to prikazano na slici 2.10.

Povlaei vektore vr i vr + vr iz zajedniketakeO1, zbir vektoravr i vr definisaevektor

vr + vr tj. dijagonalu paralelograma, koja je ujedno i vektor brzine u taki M1.

Vektor vr je uvek usmeren u konkavnu (izdubljenu) stranu putanje. Vektor srednjeg ubrzanja takoe ima isti pravac kao i vektor vr i usmeren je u konkavnu stranu trajektorije.

Ubrzanje take u datom trenutku vremena t je vektorska veliina arkojoj tei vektor srednjeg ubrzanja arSR kada vremenski interval t tei nuli:rrvrdvr

a= limt0aSR = limt0t=, ili

dt

rdvrrd 2 rrr

a== v& == &r&.(2.14)

dtdt 2

Vektor ubrzanja ar take u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine po vremenu ili drugom izvodu vektora poloaja take po vremenu.Vektor ubrzanja karakterie promenu vektora brzine tokom vremena po intenzitetu i pravcu.

Bitno je odrediti kakav poloaj zauzima vektor ubrzanja ar u odnosu na putanju take. Poloaj vektora ar, ako je putanje take ravna kriva linija (taka se stalno kree u istoj ravni), tada vektor ubrzanja ar, (kao i vektor srednjeg ubrzanja arSR ) lei u ravni krive i usmeren je u konkavnu stranu

te krive.

Ako je putanje take prostorna kriva linija, tj. ne lei u jednoj ravni, tada e vektor srednjeg ubrzanja arSR biti usmeren u konkavnu stranu putanje i leae u ravni, koja prolazi kroz tangentu u

taki M i pravu, koja je paralelna tangenti u susednoj taki M1, prema prikazu na slici 2.10. U graninom slu aju, kada se take M i M1 poklapaju, ravan e zauzeti poloaj koji se priljubljuje uz krivu, koja za prostorne krive linije definie oskulatornu ravan.

Prema tome, u optem sluaju vektor ubrzanja arlei u oskulatornoj ravni i usmeren je u konkavnu stranu putanje.Dimenzija ubrzanja je m .s 2

2.3.2. UBRZANJE TAKE U DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU

U vektorskim jednainama koje sadre izvode, prelaz od zavisnosti izmeu vektora na zavisnost izmeu njihovih projekcija moe se izvesti korienjem teoreme koja glasi: projekcija izvoda na bilo koju nepominu osu jednaka je izvodu projekcije vektora na istu osu.

Vektor poloaja take u Dekartovom koordinatnom sistemu prema (2.2) iznosi: rr = x ir + y rj + z kr .

Vektor brzine iste take na osnovu (2.8) definisan je:

r vr = ddtr .

Vektor ubrzanja dat je zavisnou (2.14) prema:

r ar = ddtv ,

i na osnovu teoreme o projekciji izvoda vektora moe se napisati:

rd&r&r&r&&r&&r&&r

a= dtjk )i jk,

ili( x i+ y+ z= x+ y+ z

ar = a x ir + a y rj + az kr,

gde su:

dv xd2 x&&dv yd 2 y&&dvzd 2 z&&

a x====az ==.(2.15)

dtdt 2= x, a ydtdt 2= y,dtdt 2= z

Projekcije vektora ubrzanja naoseDekartovogkoordinarnogsistemajednake sudrugim

izvodima koordinata pokretne tae po

vremenu.

Intenzitet vektora ubrzanja na osnovu slike

2.11 odreuje se prema:

a =222=&&2&&2&&2.(2.16)

a x+ a y+ azx+ y+ z

Pravac vektora ubrzanja definie se uglovima, koje vektor ubrzanja zaklapa sa koordinatnim osama. Kosinusi ovih uglova se odreuju prema:

Slika 2.11. Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

cosa =a=&&,

x2x2

a&&&&&&2

x+ y+ z

cos a =a=&&,.(2.17)

y2y2

a&&&&&&2

x+ y+ z

cos a =a=&&.

z2z2

a&&&&&&2

x+ y+ z

Ako je kretanje definisano u Dekartovom koordinatnom sistemu jednainama (2.2) i (2.3), tada se brzina take odreuje prema obrascima (2.9) i (2.10) a ubrzanje prema (2.15) i (2.16). Ukoliko se kretanje take vri u ravni u navedenim jednainama trea projekcija otpada, jer je koordinata z=0.

2.3.3. PRIRODNI KOORDINATNI SISTEM

Po definiciji vektor ubrzanja moe se napisati:

r ar = ddtv .

Vektor brzine take u prirodnom koordinatnom sistemu definisan je na osnovu (2.12) i vektor ubrzanja postaje:

ar = dtd ( s&Tr ) = &s&Tr + s&Tr& .

Kao to se vidi vektor ubrzanje take odreen je vektorskim zbirom dve komponente ubrzanja.

Izvod vektora tangente Tr moe da se transformie na sledei nain (mnoei brojitelj i imenitelj sa ds):dTrdTrdsdTrdsNr&

=== s,

gde su:dtdtdsdsdtRK

r

-N glavna normala,

Rk poluprenik krivine s& brzina kretanja take.

Drugi izvod krivolinijske koordinate po vremenu je:

&s&= dtd ( s&) = dvdt .

I na osnovu gore navedenog, vektor ubrzanja postaje:

rrr2r

rdvNdv&

&&s

= dtRK= dtRK

aT + s sT + N .(2.18)

Ubrzanje take je odreeno vektorskim zbirom dveju komponenata, od kojih je jedna usmerena du tangente a druga du glavne normale. Poto jedinini vektori tangente i glavne normale definiu oskulatornu ravan sledi, da vektor ubrzanja uvek lei u oskulatornoj ravni.

Komponente ubrzanja kako je prikazano na slici 2.12. su:

art = dvdt Tr - zove se tangencijalno ubrzanje,

&2r

arn =s N - zove se normalno

RK

ubrzanje.

Vektorski zbir ovih komponenti daje vektor ubrzanje take:

Slika 2.12. Prirodne komponente ubrzanja

ar = at Tr + an Nr.(2.19)

Projektovanjem vektora ubrzanja na ose prirodnog trijedra, tj. komponente ubrzanja su:

at =dv=d& &&.(2.20)

dtdt( s ) = s

Projekcija vektora ubrzanja na tangentu tj. tangencijalno ubrzanje karakterie promenu brzine po intenzitetu i jednako je prvom izvodu projekcije brzine na pravac tangente (brojane - algebarske veliine brzine) ili drugom izvodu krivolinijske koordinate (rastojanja) po vremenu.

&2v2

an =s=.(2.21)

RKRK

Projekcija vektora ubrzanja na glavnu normalu tj. normalno ubrzanje karakterie promenu pravca vektora brzine, jednako je koli niku kvadrata brzine i poluprenika krivine putanje u datoj taki krive i usmereno je u konkavnu stranu putanje ka centru krivine.

Poto se ubrzanje take nalazi u oskulatornoj ravni, trea komponenta projekcije ubrzanja je:

aB = 0 .

Ovaj rezultat izraava jednu od veoma znaajnih teorema u kinematici take.

Ukoliko se nanesu komponente vektora art i

arn vektora ubrzanja r

du tangente T r iglavne normale N , koje su po veliini (brojano) jednake

at i an prema slici 2.13, komponenta

arn e uvek biti usmerena prema konkavnoj strani krive (veliina an je

Slika 2.13. Smer tangencijalnog ubrzanja uvek pozitivna),r dok komponenta atmoe biti usmerena ili prema pozitivnom, ili prema negativnom smeru tangente Tr u zavisnosti od znaka projekcije at . Ukoliko je:

at > 0 kretanje je ubrzano, at < 0 kretanje je usporeno.

Intenzitet ubrzanja, poto su komponente meusobno normalne iznosi:

dv2v 22

22

a = at + an =.

+

dtRK

Poloaj ubrzanja definisan je uglom n u odnosu na glavnu normalu, koji je dat izrazom:

tgn =at.

an

(2.22)

(2.23)

Ako je kretanje take definisano u prirodnim koordinatama, poznavajui zakon putanje (2.6) to podrazumeva i poznavanje poluprenika krivine u bilo kojoj taki, korienjem formula (2.8) i (2.18) do (2.23), mogu biti odreeni vektor brzinii vektor ubrzanja u bilo kom trenutku vremena.

Primer 2.8.

Odrediti ubrzanje take iz primera 2.1.

Reenje:

Komponente ubrzanja take se odreuju po formuli (2.15) i iznose:

a x =d 2 x&&=d 2 y&&= 6,

dt 2= x = 8, a ydt 2= y

ubrzanje iznosi:

a =22=( 8)2+ ( 6 )2= 10m.

a x+ a ys2

Ubrzanje take za razliku od brzine koja se menja po odreenom zakonu, je konstantno i iznosi 10

[m/s2]. Primer 2.9.

Odrediti ubrzanje take iz primera 2.4.Reenje:Komponente ubrzanja take M iznose:

&&= 3a2cos t = x2,&&= a2sin t = y2,

a x = xa y = y

ubrzanje take:

a = 4 (x 2 + y 2 )= r 2 ,

gde r predstavlja duinu OM tj. vektor poloaja take M. Veliina ubrzanja take se menja proporcionalno njenom rastojanju od centra elipse.Za odreivanje smera vektora ubrzanja arkoristie se izrazi (2.17):

ax&&xay&&y

cosa ==x= ,cos a ==y= .

aaraa

r

Ubrzanje take M za sve vreme kretanja usmereno je du prave OM prema centru elipse.

Primer 2.10.

Teret klatna za male oscilacije kree se po krugu poluprenika l prema slici 2.14. Zakon kretanja je s=Csint za koordinatni poetak u taki O, pri emu su veliine C i konstante. Odrediti brzinu, tangencijalno i normalno ubrzanje tereta i one poloaje u kojima ove veliine postaju nula.

Reenje:

Traene veli ine se odreuju pomou odgovarajuih formula i iznose:

Slika 2.14. Ilustracija primera 2.10.

v = dsdt = C cos t,

at = dvdt = C 2 sin t, an = vl2 = C 2l 2 cos 2 t.

Na osnovu zakona kretanja se vidi da teret vri du puta harmonijsku oscilaciju sa amplitudom C. U krajnjim takama A i B je sint= 1, pa je zato cost=0. U ovim takama (take A i B ) brzina i normalno ubrzanje postaju nula, ali u ovim poloajima tangencijalno ubrzanje ima najveu

vrednost koje iznosi atmaks=C2. Kada teret prolazi kroz koordinatni poetak O, bie s=0, pa je sint=0 a cost=1. U ovom poloaju je at=0, a v i an imaju maksimalne vrednosti:

vmaks = C,anmaks =C 2 2.

l

U ovom primeru se vidi da pri krivolinijskom neravnomernom kretanju u pojedinim takama putanje ubrzanja at i an mugu da budu jednaka nuli. Tangencijalno ubrzanje at=0 u onim takama u

kojima je dvdt = 0 , tj. tamo, gde v ima maksimum ili minimum. Normalno ubrzanje an=0 je u onim takama gde je v=0 ili gde je RK= - prevojna taka putanje.

2.4. POSEBNI SLUAJEVI KRETANJA TAKE

2.4.1. JEDNOLIKO PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAKE

Pravolinijsko kretanje take moe se smatrati specijalnim sluajem krivolinijskog kretanja, kadvai da je Rk=, pa je normalno ubrzanje an = v 2 = 0 .RkUkoliko je kretanje jednoliko, brzina take je stalna (konstantna) pa vai, da je:

v = v0 = const

dv a = 0.(2.24)

at == 0

dt

Potrebno je naglasiti, da je samo u sluaju jednolikog pravolinijskog kretanja ubrzanje jednako

nuli.

Slika 2.15. Pravolinijsko kretanje take

Pravolinijsko kretanje ta ke prikazano ja na slici 2.15. Ukoliko je poznata brzina take v, koja je jednolika:

s& = v = v0 = const, vr = vr0 = v0 ir,

tada se zakon kretanja take odreuje:

dsdt = v0 ,

ds = v0 dt .

Integriranjem obe strane jednaine se dobije: ds = v0 dt s = v0 t + C ,

integraciona konsranta C se odreuje iz poetnih uslova koji su:

za t = 0 s = s0 C = s0 ,

pa konano, zakon puta ima oblik:

s = s0 + v0 t.(2.25)

Veliina preenog puta, koju taka prelazi od poetnog poloaja prema slici 2.15. (s-s0=x) bie:

x = v0 t

Brzina take je odreena izrazom:

v0 = v = xt .

Slika 2.16. Kinematiki dijagrami jednolikog pravolinijskog kretanja

Kinematike veliine se grafiki predstavljaju kinemati kim dijagramima. Ovi dijagrami se crtaju u Dekartovom koordinatnom sistemu tako, to se na apscisu nanosi vreme (t) a na ordinatu odreena kinematika veliina.

Osnovni kinematiki dijagrami su :

a) Dijagram puta i vremena (x;t) dijagram,

b) Dijagram brzine i vremana (v;t) dijagram, c) Dijagram ubrzanja i vremena (a;t) dijagram.

Odgovarajui kinemati ki dijagrami jednolikog pravolinijskog kretanja prikazani su na slici 2.16. Dijagram pod a) predstavlja dijagram puta i vremena, koji je jedna prava linija pod uglom u odnosu na apscisu. Dijagram pod b) predstavlja dijagram brzine i vremena, koji je jedna paralelna linija sa apscisom. Dok dijagram pod c) predstavlja dijagram ubrzanja i vremena, koji je sama osa apscise, jer je ubrzanje a=0.

2.4.2 JEDNOLIKO KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAKE

Osnovna karakteristika jednolikog krivolinijskog kretanja take je stalna veliina brzine kretanja tj.:

v&= const,

0dv a = an =v 2.(2.26)

at== 0RK

dt

Ukupno ubrzanje kretanja je jednako normalnoj komponenti ubrzanja. Vektor ubrzanja ar je za sve vreme kretanja usmeren u pravcu glavne normale na putanju, kako je to prikazano na slici 2.17. Zakon kretanja se odreuje na osnovu poznate brzine kretanja:

dsdt = v0 ,

ds = v0 dt .

Integrirajui obe strane jednaine se dobije: ds = v0 dt s = v0 t + C , Slika 2.17. Krivolinijsko kretanje take

integraciona konstanta se odre uje na osnovu poetnih uslova, tako da se u poetku kretanja (t=0) taka nalazila na udaljenju s0 :

C = s0 ,

zakon puta ima oblik:

s = s0 + v0 t.(2.27)

Bitno je jo jednom da se naglasi, da ubrzanje nije jednako nuli, ve je jednako normalnom ubrzanju koje karakterie promenu pravca vektora brzine pokretne take.

2.4.3. JEDNAKO PROMENLJIVO PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAKE

Karakteristika jednako promenljivog pravolinijskog kretanja je, da je ubrzanje kretanja konstantno:

.(2.28)

a = const

Pri tome se razlikuju dva sluaja. Ukoliko je ubrzanje vee od nule (a>0) i ima isti znak sa brzinom, kretanje je jednako ubrzano. Ukoliko je ubrzanje negativan (a 0 .(2.29)

a = x

Slika 2.18. Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje

&x&= ddtx& dx& = &x& dt dx& = adt ,

Vektor ubrzanja ari vektor brzine vr imaju iste smerove, kako je to prikazano na slici 2.18.

Zakon brzine se dobija integriranjem jednaine (2.29) u odgovarajuim granicama:

&+ a t .(2.30)

x = v0

Brzina pri ovom kretanju raste proporcionalno sa vremenom (ravnomerno) i ima isti smer sa ubrzanjem.

Jednaina (2.30) moe da se napie u obliku:

x& = dxdt = v0 + a t dx = v0 dt + at dt .

Drugom integracijom jednaine (2.30) se dobije zakon puta jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja:

x = x0 + v0 t +a t 2.(2.31)

2

Slika 2.19. Kinematiki dijagrami jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja

Iz jednaine se vidi, da put raste sa kvadratom vremena.

Kinematiki dijagrami jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja prikazani su na slici 2.19.

2.4.3.2. Jednako usporeno pravolinijsko kretanje take

Ubrzanje pri ovom kretanju je takoe konstantno, ali ima negativan znak:

&&= const < 0.(2.32)

a = x

Slika 2.20. Jednako usporenoVektor ubrzanja arima suprotan smeru odnosu na

pravolinijsko kretanjevektor brzine vr, kako je to prikazano na slici 2.20.

Zakon brzine se dobija integriranjem jednaine (2.32) u odgovarajuim granicama:

& a t .(2.33)

v = x = v0

Brzina pri ovom kretanju stalno opada po linearnom zakonu sa vremenom, tj jednako usporeno kretanje uvek mora imati poetnu brzinu.

Drugom integracijom jednaine (2.33) se dobije zakon puta jednako usporenog pravolinijskog kretanja oblika:

x = x0 + v0 t a t 2.(2.34)

2

Poto brzina stalno opada tokom vremena, postoji vremenski trenutak (t1) kada brzina postaje jednaka nuli, kao to je prikazano na kinematikom dijagramu brzine slika 2.21:

za t = t1 v = 0 ,

pa sledi:

vv = v0 a t1 = 0 t1 = a0 .

Ukoliko se kretanje nastavlja, ona ima suprotan smer. U vremenskom trenutku t1 dijagram puta ima ekstremnu vrednost. Uvrtavajui vrednost za t1 u jednainu (2.34) dobija se ekstremna veliina puta pri kretanju (x1):

a t12v01v02

x1 = x0+ v0 t1= x0+ v0a

2a2a

te vrednost za x1 iznosi:

v 2 x1 = x0 + 20a .Slika 2.21. Kinematiki dijagrami jednakousporenog pravolinijskog kretanja Prikazujui kinematiki dijagram puta (slika 2.21) vidi se da se u poetku kretanja taka nalazila na

rastojanju x0 i udaljava se sve do veliine puta x1, koju dostie u vremenskom trenutku t1, gde ima ekstremnu vrednost. Pri daljem kretanju, taka menja smer kretanja (brzina postaje negativna) i kretanje se nastavlja u suprotnom smeru.

2.4.4. JEDNAKO PROMENLJIVO KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAKE

Pri krivolinijskom kretanju ubrzanje karakterie promenu intenziteta i pravca vektora brzine u toku vremena za razliku od pravolinijskog kretanja, gde postoji samo jedno ubrzanje, jer je pravac kretanja prava linija (an=0). Pri krivolinijskom kretanju tangencijalno ubrzanje karakterie promenu intenziteta brzine take, a normalno ubrzanje karakterie promenu pravca brzine take.

Za sluaj jednako promenljivog krivolinijskog kretanja, (slino kao i u slu aju jednako promenljivog pravolinijskog kretanja) za sve vreme kretanja ubrzanje je konstantno. Pri emu se za sluaj krivolinijskog kretanja to odnosi na tangencijalno ubrzanje.

Prema tome krivolinijsko kretanje take je jednako promenljivo, ako je za sve vreme kretanja tangencionalno ubrzanje konstantno:

at=dv&&= const.(2.35)

dt= s

I ovde se razlikuju dva slu aja. Ukoliko je tangencijalno ubrzanje ve e od nule (at>0) i ubrzanje ima isti znak sa brzinom, kretanje je jednako ubrzano. Ukoliko je tangencijalno ubrzanje negativan (at 0 . (2.36)

Vektor ubrzanja art i vektorbrzine vr imaju iste smerove, kako je to prikazano na slici 2.22.

Integriranjem leve i desne strane jednaine u odgovarajuim granicama (za t=0, put s=s0, a brzina v=v0) se dobija zakon brzine:

&= v0+ at t .(2.37)

s

Jo jednim integriranjem jednaine (3.37) se dobije zakon puta jednako ubrzanog krivolinijskog kretanja, sledeeg oblika:

s = s0+ v0 t +att 2.(2.38)

2

Normalno ubrzanje odreeno je izrazom:

&2(v0+ att)2

an =s=.(2.39)

RK

RK

Vektor ubrzanja arjednak je vektorskom zbiru vektoratangencijalnog art ivektora normalnog

ubrzanjarrr

an . Poto su vektori tangencijalnog ubrzanjaat i vektora brzinev istog znaka, ugao

izmeu ovih vektor bie otar (slika 2.22).

2.4.4.2. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje take

Karakteristika kretanja je konstantno tangencijalno ubrzanje koje je manje od nule (negativno):

&&= const < 0 .(2.40)

at = s

Vektor tangencijalnog ubrzanja art i vektor

brzine vr imaju razliite smerove, prema slici 2.23.Zakon brzine nakon integriranja jednaine (2.40) ima oblik:

Slika 2.23. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje

&= v0 at t.(2.41)

s

Zakon puta, posle ponovnog integriranja:

s = s0 + v0 t att 2.(2.42)

2

Normalno ubrzanje:

an =(v0 att)2.(2.43)

RK

Vektor ubrzanja arjednak je vektorskom zbiru vektora tangencijalnog art i vektora normalnog ubrzanja arn . Poto su vektori tangencijalnog ubrzanja art i vektora brzine vr razliitog znaka, ugao

izmeu ovih vektor bie tup (slika 2.23).

Izrazi (2.37), (2.38), (2.41) i (2.42) se razlikuju od odgovarajuih izraza (2.30), (2.31), (2.33) i (2.34) pravolinijskog kretanja po tome, to u njima umesto ukupnog ubrzanja a figurie tangencijalno ubrzanje at i umesto pravolinijske koordinate x stoji krivolinijska koordinata s. Prema tome kinematiki dijagrami oba kretanja imaju iste oblike.

Jo jednom rezimirajui razliku izmeu jednolikog pravolinijskog i jednolikog krivolinijskog kretanja take, sastoji se u sledeem: pri jednolikom pravolinijskom kretanju ukupno ubrzanje take je jednako nuli, pri jednolikom krivolinijskom kretanju ukupno ubrzanje je jednako normalnom ubrzanju.

Isto tako postoje razlike i pri jednako promenljivom pravolinijskom i jednako promenljivom krivolinijskom kretanju take, koje su:

- pri jednako promenljivom pravolinijskom kretanju ubrzanje je konstantno (pizitivno ili negativno) i jednako je tangencijalnoj komponenti ubrzanja,

- pri jednako promenljivom krivolinijskom kretanju ubrzanje je takoe konstantno ali je odreeno vektorskim zbirom dveju komponenti ubrzanja - tangencijalnom i normalnom:

a = at2 + an2 .

2.4.5. KRUNO KRETANJE TAKE

U sluaju da se taka kree takvim kretanjem, pri kojem postoje obe komponente ubrzanja (at i an) tj. kretanje je krivolinijsko, pri emu poluprenik krivine RK ima konstantnu vrednost, tada se taka M kree po krunoj putanji, prema slici 2.24. Dakle osnovni pokazatelji krunog kretaja su:dvv 2

at = 0,an = 0, Rk = const .

dt

RK

Put take (slika 2.24) moe da se izrazi u funkciji

ugla pomeranja i poluprenika putanje RK

(poluprenika onog kruga po kojem se taka kree)

prema:

s = R .(2.44)

Ukoliko je poznat zakon promene ugla po vremenu tj. zakon kretanja =(t), brzina kretanja je definisana izrazom:

&&.(2.45)

v = s= R

Brzina definisan izrazom (2.45) ser zove obimna brzina krunog kretanja, iji vektor v pada u pravac tangente na putanju.Izvod ugla po vremenu (& ) se zove ugaona brzinaSlika 2.24. Kruno kretanjekrunog kretanja i obeleava se sa ( =& ).

Komponente ubrzanja se definiu po poznatim izratima (2.20) i (2.21), pa tangencijalno ubrzanje krunog kretanja ima oblik:

at&&&&.(2.46)

= s = R

&&krunog kretanja i obeleava se sa

Gde se drugi izvod ugla po vremenu ( )zove ugaono ubrzanje

&&

(= ).

Normalno ubrzanje krunog kretanja definisano je izrazom:

&2

an=s,

RK

uzimajui u obzir izraz (2.45) normalno ubrzanje postaje:

an = R 2 R&2 ,

ili u konanom obliku:

&2.(2.47)

an = R

Ukupna vrednost ubrzanja se odreuje kao vektorski zbir komponenti, prema:

a = at + an ,

i na osnovu (2.46) i (2.47) ima oblik:

a = R &&2&4.(2.48)

+

Pravac ubrzanja je definisan uglom n u odnosu na pravac normalne komponente ubrzanja (slika 2.24), koji iznosi:

tgn = at , an

i na osnovu (2.46) i (2.47) ima oblik:

&&

tgn=R ,

&2

R

ili u konanom obliku:

tgn =&&.(2.49)

&2

U zavisnosti od karaktera ugaone brzine () i tangencijalnog ubrzanja, odnosno ugaonog ubrzanja () kruno kretanje moe imati oblik jednolikog (ravnomernog) krunog kretanja ili neravnomernog (jednako ubrzanog ili jednako usporenog) krunog kretanja.

2.4.5.1. Jednoliko kruno kretanje take

Kruno kretanje se naziva jednolikimako je brzina kretanja(obimnabrzina) konstantna

&= const ). Poto je poluprenik Rkonstantan, na osnovu (2.45) moe se zakljuiti da je i

( v = s

ugaona brzina () konstantna veliina (slika 2.25).

Ugaona brzina jednolikog krunog kretanja zove se

jo i kruna frekvencija.

Tangencijalno ubrzanje zbog konstantnosti brzine

kretanja i na osnovu (2.46) je jednako nuli. Dakle

osnovne karakteristike jednolikog krunog kretanja

su:

= const,(2.50)

at = 0.

Ugaona brzina kretanja po definiciji ima oblik:

&d

= =dt ,

Slika 2.25. Jednoliko kruno kretanje

ili

d = dt .

Iz ove jednaine, smatrajui da je u trenutku t = 0, ugao = 0, integriranjem leve i desne strane, uzimajui u obzir poetne uslove kretanja, dobije se zakon puta oblika:

=0 + t

ili.(2.51)

s = R( 0 + t)

U sluaju da taka obie ceo krug ( = 2), moe se napisati:

2 = T ,

gde je T =2vreme obilaska punog kruga.

Normalno ubrzanje na osnovu (2.47) i (2.50) ima oblik:

an = R 2= const.(2.52)

2.4.5.2. Jednako ubrzano kruno kretanje take

Kruno kretanje je jednako ubrzano, ako je tangencijalno ubrzanje konstantno i pozitivno:

&&&&.(2.53)

at = s= R = const > 0

Na osnovu gornje zavisnosti sledi da je ugaono ubrzanje konstantno i pozitivno:

&&= = const > 0 .(2.54)

Ugaono ubrzanje moe se napisati u obliku:

=&& = ddt& = ddt ,

ili

d = dt ,

Iz ove jednaine, smatrajui da je u trenutku t = 0, ugaona brzina = 0, integriranjem leve i desne strane, uzimajui u obzir poetne uslove kretanja, dobije se zakon brzine oblika:

&+ t .(2.55)

= =0

Iz jednaine (2.55) smatrajui da je u trenutku t = 0, ugaona brzina =0, a poloaj take po krunoj putanji odreen uglom = 0, jo jednim itegriranjem leve i desne strane, uzimajui u obzir poetne uslove, zakon puta ima oblik:

=0 + 0 t + t 2.(2.56)

Obimna brzina i komponente ubrzanja2

jednako ubrzanog krunog kretanja imaju oblike:

&+ t),

v = R = R( 0

&&

at = R = R ,

&2= R( 0+ t)2.

an = R

2.4.5.3. Jednako usporeno kruno kretanje take

Kruno kretanje je jednako usporeno, ako je tangencijalno ubrzanje konstantno i negativno:

&&&.(2.57)

at = s= R = const < 0

Ujedno i ugaono ubrzanje je konstantno i negativno:

&&= = const < 0 .(2.58)

Ako se ugaono ubrzanje napie u obliku:

d = dt .

Integrirajui levu i desnu stranu jednaine, smatrajui da je u trenutku t=0, ugaona brzina =0 i da je ugaono ubrzanje negativno, dobije se zakon brzine (ugaone brzine) oblika:

& t .(2.59)

= =0

Jo jednim integriranjem obe strane jednaine (2.59), uzimajui da je u trenutku vremena t=0, poloaj take odreen uglom =0, dobije se zakon puta oblika:

=0 + 0 t t 2.(2.60)

2

Obimna brzina, tangencijalno i normalno ubzanje jednako usporenog krunog kretanja imaju oblike:

v = R & = R( 0 t), at = R && = R ,

an = R &2 = R( 0 t)2 .

Moe se zakljuiti, da ukoliko ugaona brzina i ugaono ubrzanje imaju iste znake (2.55), obrtanje e biti jednako (ravnomerno) ubrzano, a ako su suprotnog znaka (2.59) obrtanje e biti jednako (ravnomerno) usporeno.

Takoe postoji analogija izmeu zakona pravolinijskog i krunog kretanja take. Uporeujui formule kojima su definisane kinematike karaktaristike pravolinijskog kretanja (2.25), (2.30), (2.31),(2.33) i (2.43) u kojima su figurisali x,v i a, zamenom sa , i se dobijaju formule za definisanje kinematikih karaktaristika krunog kretanja (2.51), (2.55),(2.56), (2.59) i (2.60).

2.4.6. HARMONIJSKO KRETANJE TAKE

Ukoliko se taka kree po pravolinijskoj putanji po zakonu kretanja koja ima oblik:

,

x = R sin( t +0 )(2.61)

gde su:

- R, i 0 konstante,

takvo kretanje take zove se harmonijsko kretanje.

Rastojanje x od koordinatnog poetka O se

menja po gore navedenom zakonu (2.61), pri

emu taka M vri oscilatorno kretanje izmeu

poloaja +R i -R , prikazano na slici 2.26.

Oscilovanje po zakonu (2.61) u tehnici ima

veoma vanu ulogu, koja se zove i prosto

Slika 2.26.Harmonijsko kretanjeharmonijsko oscilovanje.Veliina R, koja

predstavlja najvee udaljenje take od

koordinatnog poetka (centra oscilovanja), zove se amplituda oscilovanja.Taka koja poinje kretanje u trenutku t = 0 iz poloaja M0 (gde je =0) ponovo e doi u isti poloaj za vreme t1, za koji je sin(t1+0)=0 tj. t1 = 2.

Vremenski interval T=t1=2/, u kome taka izvri jednu punu oscilaciju, zove se period oscilacije.Reciprona vrednost perioda oscilacije f=1/T=/2 se zove frekvencija oscilacije.Merna jedinica frekvencije oscilacije je Herc [Hz], koja oznaava broj oscilovanja u jednoj sekundi.

Harmonijsko kretanje se moe veoma efikasno ilustrovati kao projekcija jednolikog krunog kretanja take, prikazano na slici 2.27. Zakon puta jednolikog krunog kretanja prema (2.51) iznosi:

=0 + t .

Projektujui poloaj take na x oxu ona iznosi:

x = R sin( t +0 ),

to predstavlja jednainu harmonijskog kretanja (2.61).

Za sluaj da taka polazi iz koordinatnog poetka O, kada vai da je za t=0, 0 =0, projekcija take na x osu definisano je jednainom:

x = R sin t .

Projektujui poloaj take na y osu, ona iznosi:

Slika 2.27. Ilustracija harmonijskog kretanja

y = R cos t .

Obe ove jednaine predstavljaju harmonijska kretanja, sa faznom razlikom od /2. Eliminisanjem parametra (t) iz gornjih jednaina, dobie se linija putanje tj.krug poluprenika R:

x 2 + y 2 = R 2 ,

pa se dve harmonijske oscilacije, sa faznom razlikom od /2, mogu smatrati komponentnim kretanjem take M po krunoj liniji.

Brzina take, koja vri harmonijsko kretanje iznosie:

&(2.62)

v = x = R cos( t +0 ).

Ubrzanje take pri harmonijskom kretanju iznosie:

&&= R 2sin( t +0 ).(2.63)

a = x

Prema tome, pri ovakvom kretanju i brzina i ubrzanje take tokom vremena, menjaju se po harmonijskom zakonu.

Kinematiki dijagrami kretanja predstavljaju sinusoidu i kosinusoidu, prikazane na slici 2.28.

Dijagram puta i vremena odreen izrazom: x = R sin( t +0 ) ,

za t =0,

x0 = R sin0 .

Dijagram brzine i vremena ima oblik: v = R cos( t +0 ) ,

maksimalna brzina je:

vmaks = R

Dijagram ubrzanja i vremena dat je izrazom: a = R 2 sin( t +0 ) ,

sa maksimalnom vrednou:

amaks = R 2

Slika 2. 28. Kinematiki dijagrami harmonijskog kretanja

Treba ovde istai, da dijagram kretanja (dijagram puta i vremena) treba razlikovati od putanje, koja je prava linija.

Pri reavanju zadataka u okviru kinematike ta ke, oni se najee odnose na odreivanje brzine i ubrzanja take, kao i u odreivanju duine puta koji taka prelazi u izvesnom vremenskom intervalu.

U prvom koraku neophodno je odrediti zakon kretanja take. Zakon kretanja moe biti dat neposredno uslovima zadatka, i to definasan jednainom kretanja ili karakteristikama, koje odreuju dato kretanje ("ta ka se kre e jednoliko", "taka se kree jednako usporeno"). U ovom sluaju se koriste izvedene formule za reavanje. U drugom sluaju zakon kretanja take nije dat, ali zavisi od kretanja neke druge take. U ovom sluaju reavanje zadatka treba poeti odreivanjem jednaine kretanja posmatrane take.

Primer 2.11.

Voz, koji se kretao brzinom v0=54 [km/h], zaustavio se za t1=2[min] posle poetka koenja. Smatrajui da se voz za vreme koenja kretao jednako usporeno, odrediti put za vreme koenja.Reenje:Iz uslova zadatka kretanje voza moe da se posmatra kao jednako usporeno pravolinijsko kretaje take, iji zakon je kretanja (puta) odreen jednainom (2.34):

x = v0 t a 2t 2 ,

gde se x meri od onog mesta, odakle je voz poeo koenje (prema tome x0=0). Brzina kretanja na osnovu (2.33) bie jednaka:

v = v0 a t ,

Poto se voz u trenutku vremena t=t1 zaustavio, to je u ton trenutku brzina v1=0. Smenjivanjem ove vrednosti u gornju jednainu, ona postaje:

0 = v0 a t1 ,

ili

a = v0 . t1

Sada je ovu vrednost ubrzanja potrebno zameniti u jednainu zakona kretanja i ako se stavi da je t=t1, dobije se traeni put:

x1=v0t1= 900 [m ].

2

Potrebno je skrenuti panju, da je pri proraunima

neophodno sve merne jedinice izraziti u istim jedinicama.

Obino rastojanje se izraava u metrima a vreme u

sekundama. U ovom primeru je:

v0 =54 1000=54= 15[m / s],t1 = 120[s ].

36003,6

Primer 2.12.

ovek visine h udaljava se brzinom v1 od lampe, koja se

nalazi na visini H, prikazano na slici 2.29. Odrediti kojom

brzinom se kree oveja senka?

Reenje:

Da bi se mogao reiti ovaj zadatak, potrebno je najpre da

se nae zakon po kome se kree oveja senka. Ako se

uzima za koordinatni poetak taka O, koja se nalazi na

istoj vertikali sa lampom, sa osom x u desno (slika 2.29).

Ako se ovek nalazina proizvoljnom rastojanju x1 na toj

Slika 2.29. Ilustracija primera 2.12.osi od take O, u tom sluaju kraj njegove senke bie

udaljen za x2 od take O.

Iz slinosti trouglova OAM i DAB moe se napisati:

x2=H x1 .

H h

Ova jednaina izraava zakon kretanja kraja senke M, ako je poznat zakon kretanja oveka, tj x1=x1(t).Ako se odredi izvod obe strane jednaine po vremenu, pri emu se uzima u obzir da je dxdt1 = v1 , a

dxdt2 = v2 , gde je v2 traena brzina, dobie se:

v2 = HH h v1 .

Ako se ovek kree konstantnom brzinom (v1=const), onda e i brzina v2 biti konstantna, ali uHodnosu H h vea od brzine oveka.

Neophodno je skrenuti panju, da jednaine kretanja treba postaviti za telo (ili mehanizam) koje se nalazi u proizvoljnom poloaju. Jedino u tom sluaju se mogu odrediti jednaine kretanja koje odreuju poloaj pokretne take u proizvoljnom trenutku vremena.

Primer 2.13.

Klizai A i B mehanizma prikazanog na slici

2.30, koji su spojeni polugom AB duine l=30

[cm], kreu se pri obrtanju krivaje OD, po

meusobno upravnim osama. Krivaja OD

duine l/2 vezana je zglobom za sredinu

poluge AB. Odrediti zakone kretanja klizaa A

i B ako se krivaja obre tako da se ugao

poveava proporcionalno vremenu (takvo

obrtanje naziva se jednoliko), inei dva

obrtaja u minutu. Koliko iznose brzine i

ubrzanja klizaa u trenutku kadajeugao

=30 ?

Reenje:Slika 2.30. Ilustracija primera 2.13.

Zakon kretanja taaka A i B mogusenai,

ukoliko se zna kretanje krivaje OD. Prema uslovima zadatka =t, gde je konstantni koeficijent. Poznato je da je u trenutku t=60 [s] ugao =4 (dva obrtaja); prema tome 4=60 odatle je =/15 [s-1].

Za koordinatne ose x i y po slici, odreuju se sada zakoni kretanja klizaa. Poto je OD = AD , sledi da OAB = . Tada je x A = l cos , yB = l sin , odnosno:

x A = l cos t, yB = l sin t .

Ove jedna ine odreuju zakone kretanja svakog klizaa. Kao to se vidi klizai vre harmonijske oscilacije. Diferencirajui izraze za xA i yB po vremenu, odreuju se brzine i ubrzanja klizaa, koje iznose:

&&&2cos t,

v A = x A = l sin t,a A = x A = l

&&&2sin t.

vB = yB = l cos t,aB = yB = l

Kada je ugao =30, veliina t=/6. U tom trenutku vremena bie:

&&&23= 1,14 [cm / s2],

v A = x A = 1 / 2l = 3,14 [cm / s],a A = x A = 1 / 2l

&= 5,44 [cm / s],&&= 1 / 2l2= 0,66 [cm / s2].

vB = yB 1 / 2l 3aB = yB

Znaci pokazuju smerove vektora brzine i ubrzanja. Kliza A se iz posmatranog poloaja kree ubrzano, a kliza B usporeno.

Primer 2.14.

Kretanje take M odreeno je jednainama x = R sin t, y = R cos t, z = u t ,gde su R, i u

konstantne veliine. Odrediti putanju, brzinu i ubrzanje take.

Reenje:

Diui prve dve jednaine na kvadrat i posle sabiranja, s obzirom da je sin 2 t + cos 2 t = 1, se dobija:

x 2 + y 2 = R 2 .

Putanje take se nalazi na krunom cilindru poluprenika R, ija se osa poklapa sa osom z, prema slici 2.31. Izraavajui vreme t iz tree jednaine, i zamenom u prvu se dobije:

x = R sin z .

u

Putanja take e biti linija koja se nalazi u preseku

cilindra sa poluprenikom R i sinusoidalne povrine, ija

je izvodnica paralelna sa osom y. U stvari ova linija je

jedna zavojnica. Iz jednaina kretanja se vidi da jedan

zavojak zavojnice taka pree za vreme t1, koji se

odreuje iz jednaine t1= 2 . Za to vreme taka e

se pomeriti du ose z za veliinu h = u t1= 2 u , koja

se zove hod (korak) zavojnice.

Brzine se odreuju diferenciranjem jednaine kretanja

po vremenu, koje iznose:

Slika 2.31. Ilustracija primera 2.14.

&&t,&

x = R cos t,y = R sin z = u ,

odakle je:(cos t)+ u

v =&2&2&2=R222 t + sin22=R22+ u2.

x+ y+ z

Sve veliine pod kvadratnim korenom su konstantne to zani, da se taka kree brzinom konstantnog intenziteta, koja je usmerena po tangenti putanje.

Komponente ubrzanja se dobijaju diferenciranjem izraza brzine po vremenu, koje iznose:

&&= R2sin t,&&= R2cos t,&&= 0,

xyz

odakle je:

a = &x&2 + &y&2 = R 2 .

Kretanje se vri sa ubrzanjem konstantnog intenziteta. Pravac vektora ubrzanja se odreuje pomou uglova pravaca prema (2.17), koji iznose:

ax&&xay&&yaz&&

cosa ==x= sin t = , cos a==y= cos t = ,cos a ==z= 0 .

aaRaaRaa

Sa slike se vidi da je:

x= cos,y= cos ,

RR

gde su uglovi i uglovi koje zaklapa poluprenik R sa osama x i y . Kako se uglovi a i a razlikuju od kosinusa uglova i samo po znaku, moe se zakljuiti, da je ubrzanje take usmereno, za sve vreme kretanja po polupreniku cilindra, prema njegovoj osi.

U ovom primeru se vidi da ubrzanje take nije jednako nuli, mada se ona kree brzinom konstantnog intenziteta. Poto se kretanje take odvija po povrini cilindra po zavojnici, njen pravac se stalno menja, to znai da postoji normalno ubrzanje take.

Primer 2.15.

Voz poinje da se kree jednako ubrzanim kretanjem po krivini poluprenika R = 800 [m], dostigne brzinu od v1 = 36 [km/h]. Odrediti brzinu i ubrzanje voza na sredini tog puta.Reenje:Poto se voz kree jednako ubrzano i kako je v0 = 0, to se zakon njegovog kretanja odreuje prema izrazu (2.38), pri emu je s0 = 0:

s = at 2t 2 ,

a brzina prema (2.37) iznosi:

v = at t .

Ukoliko se eliminie vreme t iz ovih jednaina, dobija se:

v 2 = 2at s .

Prema uslovima zadatka, kada je s = s1, tada je v = v1.Odatle se dobije:

v 2 at = 2s11 .

Na sredini puta, pri s2 = 1/2s1, brzina v2 bie jednaka:

v2 = 2at s2= at s1= 1 v1 .

2

Normalno ubrzanje na tom mestu putanje je jednako:

v 2v 2

an 2 =2=1.

R

2R

Ukupno ubrzanje voza na sredini puta iznosi:

a = a 2+ a 2= 1 v 21+1 .

tn21s12R 2

Smenjivanjem brojane vrednosti se dobije:

v2 7,1[m / s], a2 = 485 0,1[m / s 2 ].

Primer 2.16.

Taka izbaena horizontalnom brzinom kree se po zakonu, koji je odreen jednainama:

x = v0 t, y = 12 g t 2 ,

dge su v0 i g neke konstante.

Odrediti putanju, brzinu i ubrzanje take, kao i tangencijalno i normalno ubrzanje i poluprenik krivine putanje u proizvoljnom poloaju, s tim da se sve ove veliine izraze preko brzine take u tom poloaju.Reenje:

Iz prve jednaine, odreeno vreme kada se smeni u drugu jednainu dobije se:

y =gx 2 .

2v02

Putanja take je parabola, prema slici 2.32.

Diferenciranjem jednaina kretanja po vremenu, se dobija:

v x =dx&= v0, v y =dy&

dt= xdt= y = g t ,

odakle jeSlika 2.32. Ilustracija primera

2.16.

v = v x2 + v y2 =v02+ g 2 t 2 .(a)

U poetku kretanja (t = 0) brzina take je v = v0 , a zatim se u toku vremena brzina take neprekidno poveava.

Komponente ubrzanja take iznosi:

a x =d 2 x&&= 0, a y =d 2 y&&= g ,

dt2= xdt 2= y

Pa i ukupno ubrzanje take iznosi:

a = g .

Taka se kree konstantnim ubrzanjem koje je usmereno du ose y. Bez obzira na to, da je ubrzanje konstantno a = const, ipak taka se ne kree jednako promenljivim krivolinijskim kretanjem, jer za jednako promenljivo krivolinijsko kretanje treba da bude ispunjem uslov (2.35) tj. da je at = const, a ne a = const. Pri ovom kretanju, at nije konstantno.

Znajui zavisnost v od t, prema (a), tangencijalno ubrzanje iznosi:

at =dv=g 2 t=g 2 t,

dtv02+ g 2 t 2v

Iz jednaine (a) sledi da je v 2 = v02+ g 2 t 2 , pa prema tome vreme t iznosi:

t =1v 2 v02 .

g

Smenjujui vrednost za t u jednainu za at ono se dobija u funkciji v prema:

v 2 at = g 1 v02 .

Iz ove jednaine se moe zakljuiti, da je u poetnom trenutku kada je v = v0 ,at = 0. Zatim, sa poveanjm v, vrednost at raste i pri v, atg ,to znai, da e u graninom sluaju tangencijalno ubrzanje teiti totalnom ubrzanju g.Normalno ubrzanje an se dobija iz zavisnosti:

a 2 = at2 + an2 .

Odavde je:

22

2222v02 v0

2,

an= a at= g g1= g

v2v2

odnosno

v0 g

an=.

v

U poetnom trenutku vremena (v = v0) an = g, a zatim se sa poveanjem v vrednost an smanjuje i u graninom sluaju tei nuli.

Poluprenik krivine se odreuje iz izraza:

an=v 2.

RK

Odavde je:

Rk=v 2=v 2.

anv0g

U poetku kretanja poluprenik krivine ima najmanju vrednost:

v 2RK min = g0 ,

zatim sa poveanjem v poluprenik krivine raste, pa se krivina putanje K stalno smanjuje. Kada v i RK, a krivina K tei nuli.

Slika 3.1. Translatorno kretanje3. KINEMATIKA KRUTOG TELA

U prirodi su sva tela vrsta, koja su pri kretanju podvrgnuta deformacijama, to zna i da se rastojanja dveju taaka tela menja pod uticajem sila i spregova, i telo menja svoj oblik. Predmet prouavanja kinematike su kretanja krutih tela. Pod krutim telom se podrazumeva ono telo, kod koga se tokom kretanja meusobno rastojanje taaka tela ne menja. Takva tela u prirodi ne postoje, ona su samo zamiljena. Pri ispitivanju kretaja krutih tela u kinematici, zanemaruje se i njihova materijalnost tj. ispituju se kretanja samo geometrijskih oblika.

Pod krutim telom se podrazumeva skup geometrijskih taaka rasporeenih u prostoru, koje obrazuju sistem taaka.

Poloaj krutog tela u prostoru u optem sluaju se odreuje generalisanim koordinatama.

Generalisane koordinate su nezavisni parametri pomou kojih se jednoznano moe odrediti poloaj tela u svakom trenutku vremena u odnosu na izabrani koordinatni sistem. Broj generalisanih koordinata je identi an sa brojem stepeni slobode kretanja. O pojmu generalisanih koordinata i broju stepeni slobode kretanja, bilo je ve rei u prvom delu mehanike, u analitikoj statici.

Kretanje krutog tela u optem obliku, tj osnovna kretanja slobodnog krutog tela su translatorno i obrtno kretanje. Iz ovih osnovnih kretanja sastoje se sva ostala kretanja, koja se odnose na delimino vezana (neslobodna) kruta tela, koje su:

1. Translatorno kretanje krutog tela (ista translacija), 2. Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose (ista rotacija), 3. Ravno kretanje krutog tela (translacija + rotacija u ravni), 4. Obrtanje krutog tela oko nepokretne take, 5. Opte kretanje slobodnog krutog tela, 6. Sloeno kretanje krutog tela.

U daljem delu prouie se sva navedena kretanja.

3.1. TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TELA

Kretanje krutog tela naziva se translatornim, pri kojem u toku kretanja, linija koja spaja dve take krutog tela uvek ostaje sama sebi paralelna. Pri translatornom kretanju sve take krutog tela opisuju istovetne putanje.Translatorno kretanje ne treba meati sa pravolinijskim kretanjem. Pri translatornom kretanju

putanje taaka tela mogu da budu proizvoljne krive linije. Prema tometranslacijamoedabudepravolinijska i krivolinijska, kako je prikazano na slici 3.1. Na ovoj slici

proizvoljna prava AB tela premeta se

u poloaj A1B1 tako da ostaje sama sebi uvek paralelna. Ova translacija

moe da bude izvedena po pravoj liniji

(puna linija) ili pak po proizvoljnoj krivoj liniji (takasta linija).Poloaj taaka A i B u trenutku vremena t odreen je vektorima poloaja rrA i rrB . Vektror r kojiodreuje poloaj take A u odnosu nartaku B je konstantan, jer je telo kruto.Isto tako ni pravac vektora se ne menja, jer se telo kree translatorno. Pa se moe zapisati:

AB = r = const ,

rrB = rrA + r.(3.1)

Pri kretanju tela vektori poloajarrAirrBse menjaju tokom vremena. Brzine taaka A i B se

odreuju diferenciranjem obe strane jednaine (3.1) po vremenu, to daje:

vr=drrB=d(rr+ r)=drrA+dr,

dtdtdtdt

gde su:BA

r

-drAbrzina take A,

dt

rr

d

-= 0 jer je vektor konstantna veliina.

dt

Konano, sledi da je:

vrA = vrB.(3.2)

to znai, da su brzine taaka A i B u bilo kom trenutku vremena jednake po intenzitetu, pravcu i smeru.Diferenciranjem obe strane jednaine (3.2) po vremenu se dobija:

dvrA=dvrB,

dtdt

ili

arA = arB.(3.3.)

Prema tome i ubrzanja taaka A i B u bilo kom trenutku vremena su jednaka po intenzitetu, pravcu i smeru.Iz dobijenih rezultata moe se zakljuiti, da se pri translatornom kretanju krutog tela sve take tela kreu na isti nain, imaju istovetne putanje, vektore brzina i vektore ubrzanja. Translatorno kretanje krutog tela je potpuno odreeno kretanjem samo jedne njegove take, na pr. teita.

Translatorno kretanje ima tri stepena slobode kretanja n = 3 i jednaine kretanja u analitikom obliku su jednake:

xC = xC ( t ), yC = yC ( t ), zC = zC ( t ).

Neki primeri translatornih kretanja su:

1. Klipovi u motoru sa unutranjim sagorevanjem, ili karoserija automobila na pravom i ravnom putu. Oba ova kretanja su pravolinijska, jer putanje svih taaka su prave linije. 2. tap AB prikazan na slici 3.2. pri obrtanju poluge O1A i O2B se kree translatornim kretanjem

pod uslovom da su poluge jednake duine ( O1 A = O2 A = R ).

Za poznat zakon promene ugla po vremenu, tj. zakon kretanja oblika:

= k t ,

gde je:

- k konstanta.

Projekcije take A za oznaen koordinatni sistem iznose:

x A = R cos = R cos k t, y A = R sin = R sin k t.

Izraavajuitrigonometrijske

funkcije izgornjih jednaina seSlika 3.2. Translatorno kretanje tapa AB

dobija:x A

cos k t =,

R

sin k t =y A.

R

Dizanjem jednaina na kvadrat i sabiranjem se eliminie parametar t pa se dobija putanja oblika:

cos 2 k t + sin 2 k t =x 2y 2= 1 ,

A+A

R 2R 2

ili

x 2 + y 2 = R 2 .

to predstavlja krunu putanju. Zakon puta bie jednak:

s A = R = R k t .

Brzina kretanja:v A =ds A= R k = const ,

dt

pri emu su vektori brzina svih taaka iste:

vrA = vrB = vrC .

Komponente ubrzanja (poto se radi o krivolinijskom kretanju) iznose:

a At =dv A= 0 ,

dt

a An =v 2= R k2.

R

Na osnovu gornjih jednaina moe se zakljuiti, da se take tapa AB kreu po krunim linijama sa jednolikim krunim kretanjem. Vektori brzina imaju pravac tangente na putanju, a vektori ubrzanja (postoji samo normalno ubrzanje) imaju pravac glavne normale na putanju.

U ovom primeru prikazano je krivolinijsko translatorno kretanje.

Bitno je jo jednom napomenuti, da je pri translatornom kretanju brzina vr svih taaka ista i zove se brzina translatornog kretanja, ubrzanje arje takoe zajedniko za sve take tela i zove se ubrzanje translatornog kretanja. Vektori vr i ar mogu biti ucrtani u bilo koju taku tela pri translatornom kretanju.

Brzina i ubrzanje tela ima smisla samo pri translatornom kretajnu. U svim ostalim sluajevima kretanja tela, pojedine take tela kreu se razliitim brzinama i razliitim ubrzanjima.

3.2. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE OSE

Slika 3.3. Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose

Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose je takvo kretanje, pri kome bilo koje dve take tela ostaju za vreme kretanja nepokretne. Ako su te dve take tela A i B nepokretne, onda se kroz njih moe postaviti prava, koja se zove nepokretna osa. Sve take krutog tela koje se nalaze na ovoj osi ostaju nepokretne, dok ostale take tela pri ovom obrtanju opisuju krune putanje u ravnima normalnim na nepokretnu osu obrtanja prema slici 3.3. Na ovoj slici nepokretna osa sa jednim krajem se nalazi u sferni zglob, drugim krajem u voici. Postoje i takvi sluajevi obrtaja tela oko ose, pri kojima nijedna taka tela ne pripada obrtnoj osi, na pr. guma automobilskog toka.

Poloaj tela pri obrtanju, poto take tela opisuju krune putanje odreen je uglom , koji se meri u odnosu na referentnu, nepominu ravan O. To znai, da ovo kretanje ima samo jedan stepen slobode kretanja, za ega je potrebno imati samo jedan podatak.

Da bi poloaj tela u svakom vremenskom trenutku bio odreen, potrebno je poznavati zavisnost ugla od vremena t oblika:

=( t ).(3.4)

Jednaina (3.4) definie zakon obrtnog kretanja krutog tela.

3.2.1. UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE

Kinematike karakteristike krutog tela pri njegovom obrtanju oko nepokretne ose su:

ugaona brzina - ,

ugaono ubrzanje -.

Obe ove kinematike karakteristike proizilaze zbog promene ugla obrtanja po vremenu.

Ako se telo obrne iz poloaja M1 u M2 za ugao = 2 - 1 u vremenu t = t2 - t1, tada se odnos prirataja ugla obrtanja i intervala vremena t zove srednja ugaona brzina tela, koja iznosi:

sr==2 ( t2 ) 1 ( t1 ) .

tt2 t1

Ugaona brzina tela u datom trenutku vremena t je veliina kojoj tei srednja ugaona brzina sr, kada interval vremena tei nuli, dakle:

= limt0,

t

ili

=d=&.(3.5)

dt

Na taj na in, ugaona brzina krutog tela, koje se obre oko nepokretne ose jednaka je po intenzitetu prvom izvodu ugla obrtanja po vremenu.

Dimenzija ugaone brzine je:

= vremeugao = sekundaradijan = 1s = [s 1 ].

Pri neravnomernom obrtanju ugaona brzina se menja tokom vremena. Veliina koja karakterie promenu ugaone brzine tokom vremena je ugaono ubrzanje.

Ako u trenutku vremena t1 ugaona brzina iznosi 1 a u trenutku t2 = t1+t iznosi 2, tada se kolinik prirataja ugaone brzine = 2 - 1 i intervala vremena t zove srednje ugaono ubrzanje, koje iznosi:

sr==2 ( t2 ) 1 ( t1 ) .

tt2 t1

Ugaono ubrzanje tela u datom trenutku vremena t, je veliina kojoj tei srednje ugaono ubrzanje sr, kada interval vremena tei nuli, dakle:

= limt0 sr = limt0,

t

ili

=d=&=d 2=&&.(3.6)

dtdt 2

Ugaono ubrzanje krutog tela, koje se obre oko nepokretne ose u datom trenutku vremena, po intenzitetu je jednako prvom izvodu ugaone brzine po vremenu ili drugom izvodu ugla obrtanja po vremenu.Dimenzija ugaonog ubrzanja je jednaka [s-2].

Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja su vektori u pravcu ose obrtanja (slika 3.4) :

rrrr

= k ,= k .

Intenzitet ovih vektora (brojana vrednost) se odreuje na osnovu zavisnosti (3.5) i (3.6). Smer vektora ugaone brzine r je u onu stranu ose, iz koje se vidi obrtanje tela u smeru suprotnom od kretanja skazaljke na satu.

za >0 obrtanje je pozitivno, za 0 (veliine i su istog znaka), odnosno razliitog su smera ako je kretanje usporeno tj. 0 je jednako ubrzano ( i imaju iste znake),

=const 2 moe

da se odredi taka C, ija je brzina u datom trenutku jednaka nuli. Ova taka nalazi se sa strane ugaone brzine sa veim intenzitetom tj. r1 , prema slici 7.4.

Slino kao i u prethodnom sluaju za brzine take C mogu se napisati izrazi:

vCr=1 ,

AC

vCp=2 ,

OC

ili

1=2 ,

ACOC

iz ega sledi:

1=2.(7.9)

OCAC

Intenzitet brzine take A moe da se napie u sledeim oblicima:

v A = OA 2 + 0 1 = OA 2 ,

Slika 7.4. Slaganje suprotnosmernih obrtanja v A = AC .

Na osnovu gornjih zavisnosti, i slike 7.4. moe da se napie sledee:

1

OAOCACOC

1 1=1 2 ,

=AC2=AC2=AC2=22

ili

=12.(7.10)

Ako telo uestvuje jednovremeno u dva obrtanja oko paralelnih osa sa ugaonim brzinama razliitih intenziteta i razliitih smerova, onda je apsolutno kretanje trenutno obrtanje ugaonom brzinom = 1 - 2, i vri se u stranu ugaone brzine veeg intenziteta oko trenutnog pola brzineC.

Uzimajui u obzir relaciju (7.9) mogu se napisati i sledee zavisnosti:

1=2=.(7.11)

OCACAO

Gornji rezultati dobijeni u ovom poglavlju, mogu se upotrebiti za kinematiki proraun cilindrinih zupastih prenosnika. Obini zupasti prenosnici su prenosnici kod kojih su ose svih meusobno ozubljenih zupanika nepomine. Bilo kod spoljanjeg (slika 7.3), bilo kod unutranjeg (slika 7.4)ozubljenjadvajuzupanika, bie (na osnovu formula 7.5 i 7.9)1 r1 =2 r2 , gde su

r1 =,r2 =odgovarajui poluprenici zupanika. Poto jebrojzubacaz spregnutih

ACOC

zupanika proporcionalan njihovim poluprenicima i da se obrtanje zupanika, pri unutranjem ozubljenju, vri u istom smeru, a pri spoljanjem ozubljenju u suprotnom smeru, dobije se:

1r2z21r2z2

= = ,==.(7.12)

2r12z1

spolj.z1unutr.r1

Pored "obinih" prenosnika postoje i t.z. planetarni prenosnici, iji e kinematiki proraun biti obraen u sledeem poglavlju.

7.4. PRORAUN PLANETARNIH PRENOSNIKA

Planetarni zupasti prenosnici su takvi prenosnici, u kojima se jedan ili vie zupanika u obliku planetarnog zupanika jednovremeno obre oko svoje ose i oko ose drugog zupanika. U stvari planetarni zup anici privreni su za jednu krivaju (AB), koja se obre oko centra nepokretnog zupanika (z1), prema slici 7.5. U slu aju, da zupanik z1 moe da se obre oko svoje ose nezavisno od krivaje AB, takav prenosnik se zove diferencijalni zupasti prenosnik.

Vratila ovih prenosnika su paralelna.Za proraun kinematikih karakteristika ovih prenosnika pogodno je primeniti metod zaustavljanja, ili metod Wilis- a (1841). Ova metoda sastoji se u tome, to se zamisli da je kretanje pogonske krivaje zaustavljeno i njena ugaona brzina sa suprotnim smerom preneta na sve lanove sistema. Zadatak se zatim dalje reava kao pri obrtanju sistema tela oko nepokretnih osa (odnosno kao problem "obinih" prenosnika). Primena metode ilustrovae se na nekoliko primera.

Primer 7.1.

U planetarnom mehanizmu prema slici 7.5 zupanik 1, poluprenika r1, je nepokretan, dok se krivaja AB obre konstantnom ugaonom brzinom AB. Potrebno je odrediti ugaonu brzinu zupanika 3, poluprenika r3.

Slika 7.5. Ilustracija primera 7.1. odnosi ugaonih brzina:

Reenje:

Apsolutne ugaone brzine obrtanja zupanika u odnosu na ose nepokretnog koordinatnog sistema (x1,y1) oznaavaju se sa 1 (1 =0), 2 i 3. Ako se celoj ravni Ax1y1 saopti obrtanje ugaonom brzinom -AB dobi e se obrtanja koja se vre ugaonim brzinama:

)1 = 0 AB , )2 =2 AB , )3 =3 AB , )AB = 0

Na ovaj nain se dobija "obi an" prenosnik, i na osnovu (7.12) mogu da se napiu sledei

)r)r

)1= 2,)2= 3,

rr

23

odakle je12

)rz

3

)1=3=.

rz

31

1

Vidi se, da je odnos ugaonih brzina krajnjih zupanika kod "obinih" prenosnika obrnuto proporcionalan njihovim poluprenicima (broju zubaca) i ne zavisi od poluprenika umetnutih zupanika.

Zamenom odgovarajuih ugaonih brzina se dobija:

AB=r3.

3ABr

1

Odavde je apsolutna ugaona brzina zupanika 3:

r1

31AB .

=r3

Ako je r3 > r1 tada se smer obrtanja zupanika 3 poklapa sa smerom obrtanja krivaje, a ako je r3 < r1 tada se ne poklapa.U sluaju r3 = r1 tada se dobije da je 3 = 0 i zupanik 3 u tom sluaju kree se translatorno.

Primer 7.2.

Krivaja OA obre se konstantnom ugaonom brzinom 0 oko ose nepokretnog zupanika sa brojem zuba z 0 =60. Za krivaju su zglobno vezani zupanici sa brojevima zubaca z 1=40, z 2=50, z 3=25 (prema slici 7.6). Odrediti ugaonu brzinu 3 zup anika 3.

Slika 7.6. Ilustracija primera 7.2.

Iz ovih jednaina proizilazi:

Reenje:

Krivaja OA vri obrtanje oko nepokretne ose, zupanici z1 ,z2,z3 ravno kretanje, a zupanik z0 je nepokretan. Kretanje poluge se zaustavlja i prenosi se njeno kretanje sa suprotnim znakom na sve lanove sistema (kako na pokretne, tako i na nepokretne). Zupanici imaju ugaone brzine:

)0 = 0 0 , )12 =12 0 , )3 =3 0 .

Primenjujui metod reavanja zadataka tela koja se obre oko nepokretnih osa dobija se:)r)r

)0= 1,)12= 3.

r

123r

02

)3=r2 r0)0 ,ili3 0=r2 r0( 0 ).

r1 r3r1 r3

Odavde, imajui u vidu da su brojevi zubaca zupanika proporcionalni sa poluprenicima, proizilazi:

r2 r0z2 z050 60

31010= 1 0 = 2 0 .

=r1 r3=z1 z340 25

Primer 7.3.

Ram I-I obr e se ugaonom brzinom 1 oko horizontalne nepokretne ose AB. Tokovi II i III koji su meusobno spojeni slobodno su postavljeni na vratilo rama. To ak II zahvata nepokretan to ak IV, a toak III zahvata toak V, koji se slobodno obre oko ose AB. Poluprenici tokova su: r2, r3, r4, r5 prema slici 7.7. Odrediti ugaonu brzinu 3 toka V.

Reenje:

Ako se u mislima zaustavi ram I i njegova

ugaona brzina se prenese na ostale lanove,

dobija se:

)1 = 0 1 , )2 =2 1 , )3 =3 1 .

Na osnovu prenosnih odnosa proizilazi:

)= r)r

)12 ,)3= 3 ,

2r2r

ili45

)3 = r3 )2= r3 r4 )1 ,

Slika 7.7. Ilustracija primera 7.3.r5r5 r2

Zamenom apsolutnih ugaonih brzina se dobije:

r3 r4r3 r4

3 1 = 11 .

r5 r23 = 1

r5 r2

Primer 7.4.Na slici 7.8 prikazan je planetarni prenosnik, koji se sastoji od nepokretnog zupanika 1 poluprenika r1=40 [cm], dva pokretna zup anika r2=20 [cm], i r3=30 [cm] na zajedni kom vratilu i zupanika sa unutranjim ozubljenjem poluprenika r4=90 [cm] na vratilu II. Vratilo I sakrivajomkojanosivratilapokretnih

zupanika ima nI=1800[o/min]. Odrediti

broj obrtaja vratila II.

Reenje:

Na osnovu metode zaustavljanja sledi:

)1 = 0 I , )2 =2 I , )II =II I

.

Na osnovu sprege pojedinih zupastih parova

sa slike sledi:

)r)r),

)1 = 22= 11

2rr

12

)=r)r)

)II3II= 3 2 ,

2rr

44

zamenom)2 izprethodnejednaine seSlika 7.8. Ilustracija primera 7.4.

dobija:

)II = r3 r1)1 .

r4 r2

Zamenom apsolutnih ugaonih brzina dobija se:

II I=r3 r1I ,

ilir4 r2

r1 r3

I .

II = r4+ 1

r2

Veza ugaone brzine vratila I i broja obrtaja:

I= n=1800 = 60 .

3030

Ugaona brzina vratila II iznosi:

403060 = 100 [s 1].

II=+ 1

20 90

Broja obrtaja vratila II iznosi:

nII =30 =30 100= 3000 [0 / min].

Primer 7.5.

Reduktor prikazan na slici 7.9 sastoji se iz sledeih elemenata:

nepominog zupanika 1, dva spregnuta zupanika 2 i 3, nasaena na krivaju, koja je spojena sa vodeim vratilom AC ,

zupanika 4, koji se nalazi na voenom vratilu B.

Broj zubaca pojedinih zupanika iznosi: z1=120, z2=40, z3=30, z4=50. Vodee vratilo se obre sa brojem obrtaja nA=1500 [o/min]. Odrediti broj obrtaja voenog vratila B.

Reenje:

Apsolutne ugaone brzine pojedinih elemanata reduktora se oznaavaju: vratilo A sa krivajom sa A; zupanik 4 zajedno

sa vratilom B sa B; zupanik 2 i 3 sa 23. Zupanik 1 je fiksiran, pa njegova ugaona brzina 1=0.

Saoptavajui elementima ugaonu brzinu -A, dobijaju se ugaone brzine zupanika:

)A = 0, )1 = 0 A , )23 =23 A , )4 =B A . Slika 7.9. Ilustracija primera 7.5.

Primenjujui za zupanike 1 i 2 i za zupanike 3 i 4 zavisnost (7.12.) dobija se:

)z2)z4

)1=,)23= .

23z14z3

Iz gornjih jednaina proizilazi:)zz

24,

)1 =

ili za apsolutne ugaone brzine4z1 z3

Az2 z4

= .

B A

z1 z3

Iz ove jednaine, imajui u vidu da je broj obrtaja n proporcionalan sa ugaonon brzinom se dobije:

z1 z3120 30

nB1+n A = 1 +1500 = 4200 [0 / min].

=z2 z440 50

Primer 7.6.

Reiti zadatak 7.5. pod uslovom da se zup anik 1 obre u istom smeru sa vodeem vratilom AC sa brojem obrtaja n1=1100 [o/min] (reduktor sa diferencijalnim prenosnikom).

Reenje:

Zadatak se reeva na isti nain kao i prethodni (7.5.), s tom razlikom to je sada 1 0 i prema uslovima zadatka znaci za 1 i 2 poklapaju i dobija se da je: )1 =1 A .

Na osnovu proporcije iz prethodnog zadatka:)z2 z4,

)1=

z1

4 z3

se dobija:z2 z4

1 A = .

z1

B A z3

Odnos brojeva obrtaja iznosi:

nB= n A +z1 z3(n A n1 )= 2220 [ o / min] .

z2 z4

Ukoliko bi zupanik 1 imao suprotan smer obrtaja od smera obrtaja vratila AC, tada u dobijenom rezultatu treba promeniti znak kod n1.

Primer 7.7.

Kod prenosnika prema slici 7.10, vodee vratilo O obre se ugaonom brzinom 0 i dovodi do kretanje vratilo na kome su postavljeni zupanici II i III. Zupanik II se kotrlja unutar nepokretnog zupanika V. Odrediti ugaone brzine zupanika I i IV, ako su poluprenici zupanika r1, r2, r3,,r4.

Reenje:

Ugaone brzine pojedinih zupanika pre i posle zaustavljanja vodeeg vratila prikazane su u sledeoj tabeli:

KRIVAJAZUPANICI

IIIIIIIVV

PRE0

ZAUSTAVLJA01224

NJA

POSLE0

ZAUSTAVLJA1-02-02-04-0-0

NJA

Na osnovu meusobnih veza zupanika (slika 7.10) i tabele dobijaju se sledei odnosi:

10= r21 0= r2( 2 0 ),

20r1

r1

20= r44 0= r3( 2 0 ),

40r3

r4

2 0 =r52 0=r2( 0 ).

0r2r1

Odakle sledi:

r

1510,

r1

rr0 .

351

4r4

r2

Slika 7.10. Ilustracija primera 7.7.

8. LITERATURA

1. D. Rakovi:

Mehanika II kinematika (Nauna knjiga, Beograd 1950.)

2. Davorin Bazjanac:

Tehnika mehanika, Kinematika (Tehnika knjiga, Zagreb 1959.)

3. S.M.Targ:

Teorijska mehanika, Kratak kurs (Graevinska knjiga, Beograd 1985.)

4. Vladimir ikoparija: Kinematika (Nauna knjiga, Beograd 1983.)

5. Vladimir ikoparija:

Kinematika, zbirka reenih zadataka iz mehanike II (Nauna knjiga, Beograd 1990.)

6. Pattantys:

Gpsz s villamosmrnkk kziknyve (Mszaki knyvkiad, Budapest 1961.)