上一节，我们学习了解决“流感传播问题和平均增长 ( 下降 ) 率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。

例题解析例题解析1. 如图，用长为 18m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃 . 要围成苗圃的面积为 81m2,应该怎么设计 ?

解 : 设苗圃的一边长为 xm, 则另一边长（ 18-x ）m ，依题意得

81)18( xx

答 : 应围成一个边长为 9 米的正方形 .

921xx解得

2 、用 20cm 长的铁丝能否折成面积 30cm2 的矩形 , 若能够 , 求它的长与宽 ; 若不能 , 请说明理由 .解 : 设这个矩形的长为 xcm, 则宽为 cm, 依题意得)10( x

30)10( xx 即 x2-10x+30=0

这里 a=1,b= － 10,c=30,

0203014)10(4 22 acb

∴ 此方程无解 .答：用 20cm 长的铁丝不能折成面积为 30cm2 的矩形 .

3 ．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m ，所围的面积为 150m2 ，则此长方形鸡场的长、宽分别为 _______ ．

44 、、有一个面积为 150m2 的长方形鸡场 ,鸡场的一边靠墙 ( 墙长 18m,) 另三边用竹篱笆围城 , 如果竹篱笆的长为 35m, 求鸡场的长和宽各为多少 ?

18m

在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为 30cm ，宽为 20cm, 要使制成的长方形框的面积为 400cm2 ，求这个长方形框的框边宽。

X

X

30cm

20cm解 : 设长方形框的边宽为 xcm, 依题意 ,

得 30×20–(30–2x)(20–2x)=400

整理得 x2– 25x+100=0

得 x1=20, x2=5

当 x=20 时 ,20-2x= -20( 舍去 ); 当 x=5 时 ,20-2x=10答 : 这个长方形框的框边宽为 5cm

探究 1

分析 :

本题关键是如何用 x 的代数式表示这个长方形框的面积

要设计一本书的封面 , 封面长 27 ㎝ , 宽 21㎝ , 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 , 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 , 上、下边衬等宽 , 左、右边衬等宽 , 应如何设计四周边衬的宽度 ?( 精确到 0.1cm)

2721

分析 : 这本书的长宽之比是 9:7, 依题知正中央的矩形两边之比也为 9:7

解法一 : 设正中央的矩形两边分别为 9xcm ， 7xcm

依题意得

21274

379 xx

解得 2

331 x ),(

2

332 舍去不合题意x

故上下边衬的宽度为 :

左右边衬的宽度为 :

8.14

32754

2233

927

2

927

x

4.14

32142

2233

721

2

721

x

探究 2

要设计一本书的封面 , 封面长 27 ㎝ , 宽 21 ㎝ ,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 ,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 , 上、下边衬等宽 , 左、右边衬等宽 , 应

如何设计四周边衬的宽度 ?

27

21分析 : 这本书的长宽之比是 9:7, 正中央的矩形两边之比也为 9:7, 由此判断上下

边衬与左右边衬的宽度之比也为 9:7

解法二 : 设上下边衬的宽为 9xcm ，左右边衬宽为 7xcm依题意得 2127

4

3)1421)(1827( xx

解方程得4

336x

( 以下同学们自己完成 )

方程的哪个根合乎实际意义 ?

为什么 ?

例 1. (2004 年 , 镇江 ) 学校为了美化校园环境，在一块长 40 米、宽 20 米的长方形空地上计划新建一块长 9 米、宽 7 米的长方形花圃 .（ 1 ）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1 平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案 .

（ 2 ）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加 2 平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由 .

解 : (1) 方案 1 ：长为 米，宽为 7 米 ;7

19

方案 2 ：长为 16 米，宽为 4 米 ;方案 3 ：长 = 宽 =8 米 ;

注：本题方案有无数种（ 2 ）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加 2 平方米 .由题意得长方形长与宽的和为 16 米 . 设长方形花圃的长为 x米，则宽为（ 16-x）米 .

x(16-x)=63+2 ， x2-16x+65=0 ，

046514)16(4 22 acb∴ 此方程无解 .∴ 在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加 2 平方米

学校课外生物小组的实验园地是一块长 40 米，宽 2

6 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为 864 平方米，求小道的宽？

设小道的宽为 x 米。 根据题意得 :

(40 － 2x)(26 － x) = 864088462 xx

0)44)(2( xx

21 x 442 x（不合题意，舍去）

答：小道的宽为 2 米。

小道

小道26

40

40

26

探究3

我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）

某校为了美化校园 ,准备在一块长 32 米 ,宽 20 米的长方形场地上修筑若干条道路 ,余下部分作草坪 ,并请全校同学参与设计 ,现在有两位学生各设计了一种方案 ( 如图 ),根据两种设计方案各列出方程 , 求图中道路的宽分别是多少 ? 使图 (1),(2) 的草坪面积为 540 米 2.

(1) (2)

练习

(1)

解 :(1)如图，设道路的宽为 x 米，则

540)220)(232( xx化简得，

025262 xx

1,2521 xx解得

其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去 .

∴ 图 (1) 中道路的宽为 1米 .

(2)(2)

草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长×草坪宽 =540 米 2

(20-x)米（ 32-x)米

即 32 20 540.x x

化简得：21 252 100 0, 50, 2x x x x

再往下的计算、格式书写与解法 1相同。

例 4 ．某林场计划修一条长 750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2 ， �上口宽比渠深多 2m ，渠底比渠深多 0.4m ． （ 1 ）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （ 2 ）如果计划每天挖土 48m3 ，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm ，则上口宽为 x+2 ， �渠底为 x+0.4 ，那么，根据梯形的面积公式便可建模．

解：（ 1 ）设渠深为 xm

则渠底为（ x+0.4 ） m ，上口宽为（ x+2 ） m

依题意，得： 6.1)4.02(2

1 xxx

整理，得： 5x2+6x-8=0

解得： x1=0.8m ， x2=-2 （不合题意 , 舍去）∴ 上口宽为 2.8m ，渠底为 1.2m ．

（天）2548

7501.6(2)

答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m ；需要 25天才能挖完渠道．

例：如图，已知直线 AC 的解析式 ，点P从 A点开始沿 AO 边向点 O 以 1 个单位 /秒的速度移动，点 Q从 O点开始沿 OC向点 C 以 2 个单位 /秒的速度移动，如果 P 、 Q 两点分别从 A 、O 同时出发，经几秒钟，能使△ PQO 的面积为 8

个平方单位。

83

4 xy

A

C

OP

Q

x

y

1. 如图，宽为 50cm 的矩形图案由 10 个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】

A ． 400cm2 B ． 500cm2 C ． 600cm2 D ． 4000cm2

2. 在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2 ，设金色纸边的宽为 xcm ，那么 x满足的方程是【 】

A ． x2+130x-1400=0 B ． x2+65x-350=0C ． x2-130x-1400=0 D ． x2-65x-350=03. 如图，面积为 30m2 的正方形的四个角是面积为 2m2 的小

正方形，用计算器求得 a的长为（保留 3 个有效数字）【 】

A ． 2.70m B ． 2.66m C ． 2.65m D ． 2.60m80cmx

x

xx

50cm

a

A

B

C

问 (1)P 、 Q 两点从出发开始几秒时 , 四边形PBCQ 的面积是 33c㎡

例 5 如图 , 已知 A 、 B 、 C 、 D为矩形的四个顶点 ,AB=16 ㎝ ,AD=6

㎝ , 动点 P 、 Q 分别从点 A 、 C

同时出发 ,点 P 以 3 ㎝ /s 的速度向点 B 移动 , 一直到点 B 为止 ,点 Q

以 2 ㎝ /s 的速度向点 D 移动 .

A

P

D

Q

B C

(2)P 、 Q 两点从出发开始几秒时 ,点 P点 Q 间的距离是 10 ㎝

例 . (2003 年 ,舟山 ) 如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10 米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽 AB 为 x米，面积为 S 米 2 ，（ 1 ）求 S 与 x 的关系式 ; （ 2 ）如果要围成面积为 45 米 2 的花圃， AB 的长是多少米？【解析】 (1)设宽 AB为 x米，则 BC为 (24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件 -3x2+24x=45化为： x2-8x+15=0 解得 x1=5， x2=3∵0＜ 24-3x≤10 得 14/3≤x＜ 8∴x2 不合题意， AB=5，即花圃的宽 AB为 5米

问 (1)P 、 Q 两点从出发开始几秒时 , 四边形 PBCQ 的面积是 33c

㎡A

P

D

Q

B C(2)P 、 Q 两点从出发开始几秒时 ,点 P点 Q 间的距离是 10 ㎝

分析 : 四边形 PBCQ 的形状是梯形 , 上下底 ,高各是多少 ?

分析 :PQ 的长度如何求 ? 如图过 Q点作垂线 ,构造直角三角形