22818013 aturan sinus dan kosinus
TRANSCRIPT
ATURAN SINUS DAN KOSINUS
A. ATURAN SINUS
Untuk menurunkan aturan sinus pada sebuah segitiga pandnglah segitiga ABC lancip pada gambar dibawah, AP, BQ, CR masing-masing merupakan garis tinggi pada sisi a, b, dan c.
Pada ∆ ACR Pada ∆ BCR
b
CRSinA =
a
CRSinB =
CR = b Sin A………..….(1) CR = a Sin B…………...(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
B Sin A = a Sin B
SinB
b
SinA
a = ……….…..….(3)
Pada ∆ BAP Pada ∆ CAP
c
APSinB =
b
APSinC =
AP = c Sin B……..……..(4) AP = b Sin C…………….(5)
Dari persamaan (4) dan (5) diperolehc Sin B = b Sin C
SinC
c
SinB
b = ………..….…..……(6)
Akhirnya dari persamaan (3) dan (6) diperoleh
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
2
C
P
b Q a
A R B c
SinC
c
SinB
b
SinA
a == …………....(7)
pada persamaan (7) inilah yang dinamakan aturan sinus / dalil sinus.
Kesimpulan ;1. Dalam setiap segitiga perbandingan panjang sisi dengan sinus yang
menghadap sisi itu adalah sma untuk tiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut.
2. Pada setiap segitiga ABC, aturan sinus dapat dituliskan dengan persamaan ;
SinC
c
SinB
b
SinA
a ==
contoh 1
jika diketahui 050=∠A , 070=∠B , 060=∠C dan panjang sisi b = 6 cm.tentukan 2 unsur yang lain dalam satu ketelitian decimal?Penyelesaian :
Diketahui : Segitiga ABC 050=∠A , 070=∠B , 060=∠C , b = 6 cmDitanya : Dua unsure yang lain?
Jawab :
Panjang sisi a Panjang sisi c
SinB
b
SinA
a =SinC
c
SinB
b =
a = SinB
b x Sin A c =
SinB
b x Sin C
= 00
5070
6xSin
Sin = 0
060
70
6xSin
Sin
= 766,09397,0
6x = 866,0
9397,0
6x
a = 4.9 cm c = 5,6 cm
jadi panjang sisi a = 4,9 cm dan panjang sisi c = 5,6 cm
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
3
C
60
A
70 A c B
Penggunaan aturan sinus.
Aturan sinus secara umum dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur pada sebuah segitiga yang belum diketahui. Apabila unsur-unsur yang lainya telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam segitiga kemungkinan ialah :
1. sisi, sudut, sudut disingkat dengan Ss, Sd, Sd2. sudut, sisi, sudut disingkat dengan Sd, Sd, Sd3. sisi, sisi, sudut disingkat Ss, Ss, Sd
untuk memahami penggunaan aturan sinus marilah kita simak beberapa contoh berikut ini.
Contoh 2
Dari gambar dibawah unsure-unsur yang diketahui pada segitiga ABC ada dalam unsure sisi, sudut, sudut (Ss, Sd, Sd).
Diketahui : Pada gambar disampingDitanya : Unsur-unsur yang
belum diketahui.Jawab :
a. ∠C dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan :∠ C = )(180 0 BA ∠+∠−
= )6438(180 000 +− = 078
b. Panjang sisi a dan panjang sisi c ditentukan dengan aturan sinus :
Panjang sisi a Panjang sisi c
SinB
b
SinA
a = SinC
c
SinB
b =
a = SinB
b x Sin A c =
SinB
b x Sin C
= 00
3864
6xSin
Sin = 0
078
64
6xSin
Sin
= 6157,0899,0
6x = 9781,0
8988,0
6x
a = 3,4 cm c = 5,4 cm
∴panjang sisi a = 3,4 cm dan panjang sisi c = 5,4 cm
B. ATURAN KOSINUS
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
4
C ?
b=5 a
64 38 A c B
Untuk menentukan aturan sinus pada sebuah segitiga, pandanglah segitiga ABC lancip pada gambar dibawah CD=h adalah garis tinggi pada sisi c
Dengan menerapkan teorema Phytagoras pada ∆ siku-siku BCD diperoleh :
222 )(BDha += …………………...(1)
pada ∆ siku-siku ACD diperoleh :
h = b Sin A………………………...(2)
dan
AD = b Cos A, sehingga BD = AB – AD = c – b Cos A………..…….(3)
Subtitusi persamaan (2) dan (3) kepersamaan (1), diperoleh :
222 )()( bCosAcbSinAa −+== ACosbbcCosAcASinb 22222 2 +−+= bcCosAcACosSinb 2)( 2222 −++ ⇒ 1)( 22 =+ ACosSin
bcCosAcba 2222 −+= ……….………….(4)
a b
Dengan mengggunakan ∆ ABC pada gambar a dan b kita dapatkan hubungan :
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
5
C
b ah
A c D B
B
a ch
C b D A
A
c bh
B a D C
acCosBcab 2222 −+= …………..…….……(5)abCosCbac 2222 −+= ……………..………(6)
Persamaan (4), (5), dan (6) inilah yang dinamakan aturan kosinus / dalil kosinus
Kesimpulan :Pada setiap segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan.
bcCosAcba 2222 −+=acCosBcab 2222 −+=abCosCbac 2222 −+=
contoh 3.
Diketahui segitiga ABC dengan sisi b = 5, c = 6 dan 052=∠A , hitunglah panjang sisi a.
Penyelesaian :Pada gambar dibawah unsure-unsur yang diketahui dalam segitiga ABC ada dalam
unsure sisi, sudut, sisi.
Diket : b = 5 c = 6 cm 052=∠A
Ditanya : Panjang Sisi a ?
Jawab :Aturan cosinus pada segitiga ABC
bcCosAcba 2222 −+== 222 52.6.5.2(65 Cos−+= 25 + 36 – 60 . 0,6157= 61 – 36,9= 24,1
a = 1,24
a = 4,91∴Panjang sisi a ialah 4,91 cm
Soal Latihan
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
6
C
b=5 cm a
52 B A c = 6 cm
1 Diketahui segitiga ABC 047=∠A , 065=∠B dan panjang sisi b = 6 cm. tentukan 3 unsur yang lain dalam satu ketelitian decimal?
a. C∠b Panjang sisi ac Panjang sisi c
2.Suatu hari andi dan bagus ingin mengukur tingginya suatu menara BTS, jarak andi dan bagus ialah 50 m. sudut pandang Andi ke tower BTS 35 0 sedangkan Bagus sudut pandng ketower BTS 62 0 ? Berapakah tinggi Tower BTS tersebut?
3 Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7 cm, b = 8 cm, dan sisi c = 9 cm. hitunglah besar sudut CdanBA ∠∠∠ , ?
4. Dalam Segitiga PGR diketahui panjang sisi r = 5 cm, q = 7 cm dan 052=∠P . Hitunglah: a.Panjang sisi a
b.Besar B∠c Besar C∠
Kunci Jawaban Soal Latihan
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
7
1. Diketahui : segitiga ABC 047=∠A 065=∠B
b = 6 cmDitanya : a. C∠ b Panjang sisi a c Panjang sisi cJawab :
a. C∠ = BA ∠−∠−0180 = 000 6547180 −− = 68 0
b. Sin A = b
t t = b Sin A
= 6 Sin 47 0
= 6 x 0,7314 = 4,3884 t = 4,39 Cm
Sin B = b
t a sin B = t
a = SinB
t
= 065
39,4
Sin
= 9063,0
39,4
= 4,8438 a = 4,84 Cm
c. Cos A = b
AP AP = b Cos A
= 6 cos 47 0
= 6 x 0,6820= 4,0920= 4,09 Cm
Cos B = a
BP BP = a Cos B
= 4,84 Cos 65 0
= 4,84 x 0,4226= 2,0454= 2,05 Cm
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
8
C
b t a
A c P B
Maka c = AP + BP = 4,09 + 2,05 = 6,14 Cm
2. Diketahui : Tower BTS Jarak andi ke Bagus 50 cm Sudut pandang Andi ke Tower BTS 35 0
Sudut pandang Bagus ke Tower BTS 62 0
Ditanya : Tinngi Tower BTS tersebut?
Jawab :Dapat digambarkan Sbb :
)62(180 00 −=∠ABC= 118 0
)35118(180 000 +−=∠ACB= 180 0 - 143 0
= 27 0
00 3527 Sin
BC
Sin
AB = Sin 62 0 = BC
T
BC . Sin 27 0 = AB . Sin 35 0 T = BC. Sin 62 0
BC = 0
0
27
35.
Sin
SinAB = 63,24 x 0,882
= 453,0
573,050 x = 55,8 M
BC = 63,34 M
Jadi tinggi Tower BTC tersebut adalah 55,8 M
3. Diketahui : segitiga ABC a = 7 cm, b = 8 cm, dan sisi c = 9 cm.
Ditanya : hitunglah besar sudut CdanBA ∠∠∠ , ?
Jawab :
Cos A = ab
acb
2
222 −+Cos B =
ac
bca
2
222 −+
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
9
C
T
62 35
B 50 M A
= 9.8.2
798 222 −+ =
9.7.2
897 222 −+
= 144
498164 −+ =
126
818149 −+
Cos A = 144
96Cos B =
126
66
= 0,666 = 0,5238 A = 48,2 0 B = 58,4 0
)(180 0 BAC ∠+∠−=∠ = )4,582,48(180 000 +− = 73,4 0
∴Besarnya 000 4,734,58,2,48 =∠=∠=∠ CdanBA
4. Diketahui : Segitiga PGR sisi r = 5 cm, q = 7 cm dan 052=∠P .
Ditanya : a. Panjang sisi p b. Besar G∠ c Besar R∠
Jawab :
a. Panjang sisi p0222 52.2 Cosqrrqp −+=
= 022 52.5.7.257 Cos−+= 49 + 25 – 70. 0,615
p 2 = 30,90p = 90,30
p = 5,56
b. Besar G∠
Cos G = pr
qrp
2
222 −+
= pr
qrp
2
222 −+
= 5.56,5.2
7556,5 222 −+
= 6,55
492590,30 −+
= 6,55
690
Cos G = 0,1241B∠ = 82,9 0
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
10
c. Besar R∠)(180 0 PQR ∠+∠−=∠
= 180 0 - (82,9 0 + 052 ) = 45,1 0
.
DAFTAR PUSTAKA
• Sartono Wirodikromo Drs,1994. Matematika smu ‘aturan sinus dan kosinus’ :
Jakarta : penerbit Erlangga
• Abdurahman Maman Drs,2000.Matematika SMK Bisnis dan Manajemen Tingkat
I : bandung : CV ARMICO
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
11
• http://sombronbest.blogspot.com/2009/09/aturan-sinus-dan-cosinus.html
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
12
STANDAR KOMPETENSI:
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
13
Standar Kompetensi
Menerapakan perbandingan fungsi persamaan dan identitas trigonometri dalam
pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar
Menerapkan aturan sinus dan kosinus
Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Seminr Matematika.
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Aturan Sinus dan Kosinus” ini
dengan baik.
Makalah ini merupakan salah satu tugas wajib mata kuliah seminar matematika
untuk mahasiswa / mahasiswi STKIP PGRI NGANJUK, serta diharapkan dapat
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
14
ii
Oleh : AGUNG WIBOWO2006.030.185
meningkatkan motivasi belajar dan pengetahuan mahasiswa dalam mempelajari mata
kuliah matematika..
Makalah ini dapat terselesaikan setelah melalui berbagai tahap kegiatan dan
berkat upaya serta partisipasi berbagai pihak .Oleh karena itu kami mengucapkan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah mencurahkan segala
perhatian dan bantuannya selama menyusun dan penyempurnaan makalah ini ,khususnya
kepada Ibu Dra.Yatini,M.Si sebagai dosen dan penilai.
Mudah-mudahan makalah ini dapat memenuhi fungsinya dalam mendukung
tercapainya tujuan Pendidikan Nasional , khususnya dalam mencapai tujuan mata kuliah
seminar matematika di STKIP PGRI NGANJUK. Makalah ini masih jauh dari sempurna
, untuk itu kami mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi penyempurnaan .
Nganjuk, Desember 2009
Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL…………………………………………………………. i
KATA PENGANTAR………………………………………………………... ii
DAFTAR ISI………………………………………………………………….. iii
Aturan Sinus dan Kosinus………………………………...………………….. 2
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
15
iii
A. Aturan Sinus .…...…………..……………………………………………... 2
Penggunaan aturan Sinus………………………………………………….. 4
B. Aturan Kosinus …………………….…………………………………….... 5
Soal Latihan …………...…………………………………….……….............. 7
Kunci Jawaban Soal Latihan …………………………………………………. 8
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………. 12
Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”
16