24 valószínűség-számítás
DESCRIPTION
Pázmány Egyetem tehetséggondozásTRANSCRIPT
-
1
24. Valsznsg-szmts
I. Elmleti sszefoglal
Esemnyek, esemnytr
A valsznsg-szmts a vletlen tmegjelensgek vizsglatval foglalkozik.
Azokat a jelensgeket, amelyeket a figyelembe vett vagy figyelembe vehet okok nem hatroznak
meg egyrtelmen, vletlen jelensgeknek nevezzk.
Ha valamely vletlen jelensg a figyelembe vett (azonos) krlmnyek kztt nagy szmban
megismtldik vagy megismtelhet, akkor azt vletlen tmegjelensgnek nevezzk.
Egy vletlen jelensg megfigyelst ksrletnek nevezzk.
Miutn megadtuk, hogy mit tekintnk egy ksrlet kimenetelnek, vizsglhatjuk a kimenetelek
halmazt.
Legyen H egy nemres halmaz, melyet esemnytrnek neveznk. o Az esemnytr rszhalmazait esemnyeknek nevezzk.
o Az esemnytr egyelem rszhalmazai az elemi esemnyek, a tbbelemek pedig az sszetett
esemnyek.
o Az (res halmaz) a lehetetlen esemny.
o A (az esemnytr) a biztos esemny.
Egy esemny bekvetkezik, ha a ksrlet kimenetele az adott esemnynek megfelel rszhalmaz-
ba tartoz elemi esemny.
A lehetetlen esemny sohasem kvetkezhet be, a biztos esemny pedig mindig bekvetkezik.
Kt esemny egyenl, ha a ksrlet brmely lehetsges kimenetele esetn vagy mindkt esemny
bekvetkezik, vagy egyik sem.
Az A esemny maga utn vonja a B esemnyt, ha A minden egyes bekvetkezsekor B is bek-
vetkezik.
Mveletek esemnyekkel, esemnyalgebra
Adott A s B esemnyek sszegn azt az esemnyt rtjk, amely pontosan akkor kvetkezik be, ha
az A s B esemnyek kzl legalbb az egyik bekvetkezik. Jele: .
Az A s B esemnyek szorzatn azt az esemnyt rtjk, amely pontosan akkor kvetkezik be, ha
mind az A, mind a B bekvetkezik. Jele: .
Azt az esemnyt, amely pontosan akkor kvetkezik be, ha az A esemny nem kvetkezik be, az A
esemny ellentett esemnynek (vagy komplementer esemnynek) nevezzk. Jele: .
A mveletek tulajdonsgai: sszeads Szorzs
Kommutatv tulajdonsg
Asszociatv tulajdonsg
Elnyelsi tulajdonsg
Lehetetlen esemny azonossgai
Biztos esemny azonossgai
Komplementer esemny azonossgai
Disztributv tulajdonsg
de Morgan-azonossgok
-
2
A H esemnytren rtelmezhet esemnyek halmazt a rajtuk rtelmezett sszeads, szorzs s
komplementer-kpzs mveletekkel egytt esemnyalgebrnak nevezzk.
Az A s B esemnyek klnbsgn ( esemnyen) azt az esemnyt rtjk, amely pontosan
akkor kvetkezik be, ha A bekvetkezik, de B nem.
Az A s B kizr esemnyek, ha egyszerre nem kvetkezhetnek be.
A H esemnytr esemnyeit teljes esemnyrendszernek nevez-
zk, ha pronknt kizrak minden s sszegk az ese-
mnytr .
Esemny gyakorisga, relatv gyakorisg, valsznsg
Ha n ksrletbl az A esemny k-szor kvetkezett be, akkor k-t az A esemny gyakorisgnak, a
hnyadost pedig az A esemny relatv gyakorisgnak nevezzk.
A valsznsg fogalma a Kolmogorov-fle aximk alapjn:
o A valsznsg aximi: Legyen H egy esemnytr. Megadhat az esemnytr rszhalmazain
rtelmezett olyan P fggvny, amelyre teljeslnek a kvetkezk:
I. Brmely A esemnyre .
II. .
III. Ha A s B kizr esemnyek, akkor .
o A valsznsg aximit teljest P fggvnyt valsznsgnek nevezzk.
Az n ksrletbl ll ksrletsorozatot nagyon sokszor megismtelve, tapasztalat szerint az A ese-mny relatv gyakorisga egy bizonyos szm krl ingadozik. Az ingadozs mrtke n nvels-
vel ltalban egyre kisebb vlik. Az a szm, amely krl a relatv gyakorisg ingadozik az A
esemny fentebb definilt valsznsge.
Tetszleges A esemnyre teljesl, hogy ( ) .
A H esemnytr tetszleges A, B, C esemnyeire teljesl, hogy:
, illetve
.
A H esemnytr tetszleges A s B esemnyeire teljesl: .
Klasszikus valsznsgi mez
Ha a H esemnytr nemres, vges, s elemi esemnyeinek bekvetkezse egyenl valsznsg,
akkor az esemnyteret az esemnyeivel s a kztk rtelmezett mveletekkel (sszeads, szorzs,
kivons, komplementer), klasszikus valsznsgi meznek nevezzk.
Ha H egy klasszikus valsznsgi mez esemnytere s A egy tetszleges esemny, valamint
| | s | | , akkor
| |
| |
.
A klasszikus valsznsgi mez esemnyei vges halmazok. Az esemnyek valsznsgeinek
meghatrozshoz vges halmazok szmossgait kell meghatrozni, amelyre a kombinatorika esz-
kzei alkalmasak.
Geometriai valsznsg
Ha egy ksrlettel kapcsolatos esemnyek egy H geometriai alakzat rszhalmazainak feleltethetk
meg gy, hogy egy A esemny valsznsge az esemnyhez rendelt rszhalmaz geometriai
mrtkvel arnyos ( : hossz, terlet, trfogat), akkor geometriai valsznsgrl beszlnk.
-
3
Geometriai valsznsgi mezben egy A esemny valsznsge:
Feltteles valsznsg, esemnyek fggetlensge
Legyen B olyan esemnye a H esemnytrnek, melyre . Az A esemnynek a B felttel
melletti | feltteles valsznsge az A esemny bekvetkezsnek valsznsgt jelenti,
feltve, hogy a B esemny bekvetkezett. |
.
Az A s B esemnyeket fggetlen esemnyeknek nevezzk, ha .
Ha A s B fggetlen esemnyek, akkor | .
(valsznsgek szorzsi szablya) Ha nem nulla valsznsg ese-
mnyek a H esemnytren, akkor
| | | .
(teljes valsznsg ttele) Ha olyan teljes esemnyrendszer a H esemnytren,
melynek egyetlen esemnye sem nulla valsznsg, s A egy tetszleges esemny, akkor
| | | .
(Bayes-ttel) Ha olyan teljes esemnyrendszer a H esemnytren, melynek
egyetlen esemnye sem nulla valsznsg, s A egy tetszleges esemny, akkor
| |
| | |
Valsznsgi vltozk, eloszls, vrhat rtk, vrhat abszolt eltrs, szrs
Valsznsgi vltoznak neveznk egy esemnytren rtelmezett, a vals szmok halmazba
kpez fggvnyt.
Ha egy valsznsgi vltoz lehetsges rtkeinek halmaza vges vagy megszmllhatan vgte-
len, akkor diszkrt valsznsgi vltoznak nevezzk.
Ha egy X diszkrt valsznsgi vltoz lehetsges rtkei s ezeket az rtkeket X
rendre valsznsgekkel veszi fel, akkor a szmokat az X eloszlsnak nevezzk.
Legyenek az X valsznsgi vltoz lehetsges rtkei s ezeket az rtkeket X
rendre valsznsgekkel vegye fel.
o Az X valsznsgi vltoz vrhat rtke:
o Az X valsznsgi vltoz vrhat abszolt eltrse az | | valsznsgi vltoz
vrhat rtke:
| |
o Ha az X valsznsgi vltoz vrhat rtke , akkor az valsznsgi vl-
toz vrhat rtkt (ha az ltezik) az X szrsngyzetnek nevezzk:
[ ]
-
4
o Az X szrsa pedig a szrsngyzet ngyzetgyke: [ ].
Ha az X valsznsgi vltoz vrhat rtke , szrsa , akkor:
.
Visszatevses mintavtel: binomilis eloszls
Ha az X valsznsgi vltoz lehetsges rtkeinek halmaza , ahol n pozitv egsz, s
eloszlsa: ( ) , ahol s , akkor X-et bino-
milis eloszls valsznsgi vltoznak nevezzk. (Az n s p az X valsznsgi vltoz para-
mterei.)
Az n s p paramter binomilis eloszls X valsznsgi vltoz vrhat rtke s szrsa:
, illetve .
A visszatevses mintavtel sorn a sokasg elemeit egyenknt emeljk ki, majd a vizsglati
eredmny rgztse utn visszatesszk a kivlasztott elemet. A kvetkez mintaelemet csak ezutn
vlasztjuk ki.
A visszatevses mintavtel felttelei teljeslnek abban az esetben is, ha egy ksrletet egymstl
fggetlenl tbbszr megismtelve csak azt vizsgljuk, hogy egy adott esemny bekvetkezett-e
vagy nem.
Tegyk fel, hogy egy ksrlet sorn az A esemny p valsznsggel kvetkezik be. Ismteljk
meg n-szer egymstl fggetlenl a ksrletet! Jelentse az X valsznsgi vltoz rtke azt, hogy
hnyszor kvetkezett be az n elem ksrletsorozatban az A esemny. Bizonythat, hogy ekkor az
X valsznsgi vltoz binomilis eloszls.
Visszatevs nlkli mintavtel: hipergeometrikus eloszls
Ha az X valsznsgi vltoz lehetsges rtkeinek halmaza , ahol n pozitv egsz, s
eloszlsa: ( )(
)
( )
, ahol , N s s olyan pozitv egszek, melyekre
, , akkor X-et hipergeometrikus eloszls valsznsgi vltoznak nevezzk.
(Az n, s s N az X valsznsgi vltoz paramterei.)
Az N, s s n paramter hipergeometrikus eloszls X valsznsgi vltoz vrhat rtke s
szrsa:
, illetve
(
)
.
A visszatevs nlkli mintavtel sorn vagy egyszerre emeljk ki a minta elemeit a sokasgbl,
vagy egyenknt, de ekkor nem tesszk vissza a mr kivlasztott elemeket.
Tegyk fel, hogy az N elem sokasgban s szm elem rendelkezik egy adott T tulajdonsggal.
Ezutn vlasszunk ki vletlenszeren n darab elemet visszatevs nlkl! ( , s .)
Legyen az X valsznsgi vltoz rtke az n-elem mintban kivlasztott T tulajdonsg elemek
szma. Bizonythat, hogy ekkor az X valsznsgi vltoz hipergeometrikus eloszls.
Megjegyzs:
Ha egy n, s, N paramter hipergeometrikus eloszls X valsznsgi vltoz esetben az n rtke
sokkal kisebb, mint az s s az N rtke, akkor eloszlsa elhanyagolhat mrtkben klnbzik egy n s
paramter binomilis eloszls Y valsznsgi vltoz eloszlstl. Ebben az esetben a
hipergeometrikus eloszls helyett szmolhatunk az egyszerbb binomilis eloszlssal.
-
5
II. Kidolgozott feladatok
1. Egy csomag magyar krtybl vletlenszeren kihzunk egy lapot. Tekintsk a kvetkez esem-
nyeket:
{a kihzott lap piros},
{a kihzott lap figura},
{a kihzott lap kirly},
{a kihzott lap makk}.
Mit jelentenek a kvetkez esemnyek?
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
Adja meg a kvetkez esemnyeket az A, B, C, D esemnyekkel vgzett mveletek segtsgvel!
A kihzott lap:
l) {piros kirly} m) {piros figura vagy makk kirly}
n) {zld kirly vagy tk kirly}
a)
Megolds:
Az A s B esemnyek kzl legalbb az egyiknek be kell kvetkeznie, ezrt a kihzott lap piros
vagy figura.
Teht {a kihzott lap piros vagy figura}.
b)
Megolds:
Az A s B esemny mindegyiknek be kell kvetkeznie, teht a kihzott lapnak pirosnak s figur-
nak is kell lennie, teht {a kihzott lap piros figura}.
c)
Megolds:
, mert az esemnyek sszeadsa asszociatv.
Mivel minden kirly figurs lap, a C esemny maga utn vonja a B esemnyt, vagyis , ezrt
.
{a kihzott lap makk vagy figura}.
d)
Megolds:
, mert az esemnyek szorzsa asszociatv.
Mivel , ezrt , gy
, vagyis A s C egyszerre kell, hogy bekvetkezzen, azaz a kihzott lap piros is s kirly is.
Teht {a kihzott lap piros kirly}.
-
6
e)
Megolds:
a disztributivits miatt.
Tudjuk, hogy , ezrt .
Ezt felhasznlva: .
Azonban , ezrt .
Teht {a kihzott lap kirly}.
f)
Megolds:
esemny pontosan akkor kvetkezik be, ha B is s D is bekvetkezik, ezrt
{a kihzott lap makk figura}.
esemny pontosan akkor kvetkezik be, ha a s a C esemnyek kzl legalbb
az egyik bekvetkezik, ezrt
{a kihzott lap makk figura vagy tetszleges szn kirly}.
g)
Megolds:
esemny pontosan akkor kvetkezik be, ha B bekvetkezik, de C nem, teht
{a kihzott lap figura, de nem kirly}
esemny pontosan akkor kvetkezik be, ha A bekvetkezik, de nem, azaz
{a kihzott lap piros nem figura, vagy piros kirly}.
Megjegyzs:
Az esemnyek klnbsge nem asszociatv.
h)
Megolds:
esemny pontosan akkor kvetkezik be, ha A nem, teht
{a kihzott lap nem piros}.
esemny pontosan akkor kvetkezik be, ha s B egyszerre bekvetkezik, teht
{a kihzott lap figura, de nem piros}.
Megjegyzs:
felhasznlsval is addik ugyanez az eredmny.
i)
Megolds:
esemny pontosan akkor kvetkezik be, ha A s D egyszerre bekvetkezik, teht a kihzott lap piros is s makk is egyszerre, ami lehetetlen esemny, teht
.
-
7
j)
Megolds:
{a kihzott lap nem piros}
{a kihzott lap nem makk}
esemny pontosan akkor kvetkezik be, ha s egyszerre bekvetkezik, teht a kihzott
lap nem piros s nem makk, azaz
{a kihzott lap zld vagy tk}.
Megjegyzs:
alakra hozhat a de Morgan-azonossgok miatt, gy a keresett esemny az
ellentett esemnye.
{a kihzott lap piros vagy makk}
{a kihzott lap zld vagy tk}.
k)
I. Megolds:
{a kihzott lap nem piros}
{a kihzott lap nem makk}
esemny pontosan akkor kvetkezik be, ha vagy kzl legalbb az egyik bekvetke-
zik, ami a biztos esemny.
Teht {a kihzott lap brmelyik lap lehet},
II. Megolds:
A de Morgan-azonossgok felhasznlsval:
, ami az esemny ellentett esemnye. Viszont egy korbbi feladat megoldsa
szerint , teht
, ami a biztos esemny.
Teht {a kihzott lap brmelyik lap lehet}, vagyis biztos esemny.
l) {piros kir ly}
Megolds:
{piros}
{kirly}
Piros kirlyt akkor hzunk, ha A s C egyszerre bekvetkezik, ezrt
{piros kirly} .
m) {piros figura vagy makk kirly}
Megolds:
{piros figura}
{makk kirly}
{piros figura vagy makk kirly} .
-
8
n) {zld kirly vagy tk kirly}
Megolds:
A kihzott lapnak kirlynak kell lennie, a szne pedig zld, vagy tk. Egy lap tk, vagy zld, ha
nem piros s nem makk.
{zld vagy tk}
A zld vagy tk lapok kzl kell kivlasztani a kirlyokat, teht az s a C esemnyeknek egyszerre kell bekvetkeznik.
{zld kirly vagy tk kirly} ( ) .
Megjegyzs:
A vgeredmny a de Morgan-azonossgokkal ( ) ( ) alakban is megadhat.
2. Kt dobkockval dobunk egyszerre. Az egyik piros, a msik srga szn. Jelentse az A esemny
azt, hogy a kt dobott szm sszege prm, a B esemny pedig azt, hogy legalbb az egyik kockval hatost dobtunk. Adja meg a kvetkez esemnyek valsznsgt!
a) A b) B c) d)
Mennyi a kt kockval dobott szmok sszegnek vrhat rtke, vrhat abszolt eltrse s sz-
rsa?
Megolds:
Szmt, hogy egy adott szmot melyik kockval dobtuk. Ezrt az esemnyteret mindazon rendezett
szmprok alkotjk, amelyekben az els helyen a piros, a msodikon a srga kockval dobott szm
ll. Az esemnytr szmossga: | | .
Mivel brmelyik szmprt (elemi esemny) egyenl valsznsggel dobhatjuk, klasszikus val-
sznsgi mezt kaptunk. Foglaljuk tblzatba a dobsok sorn kapott sszegeket!
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
A legkisebb sszeg 2, a legnagyobb 12, s kztk minden egsz szm szerepel. gy a lehetsges
prmek: 2, 3, 5, 7, 11.
A tblzatban az A esemnyhez tartoz prmek kkkel lettek jellve. | | .
A B esemnyhez tartoz sszegek zlddel lettek keretezve. | | .
Leolvashat a tblzatbl, hogy | | s | |
A keresett valsznsgek:
a) | |
| |
, b)
| |
| |
,
c) | |
| |
, d)
| |
| |
-
9
Megjegyzs:
Az esemny valsznsge az a), b), c), pontokban kiszmolt valsznsgeket felhasznlva
a szita-formulval is meghatrozhat:
A kt kockval dobott sszeg vrhat rtknek meghatrozshoz meg kell adnunk az egyes sz-
szegek dobsnak valsznsgeit. A gyakorisgok a fenti tblzatbl leolvashatk, gy a valsz-
nsgek:
sszeg : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
gyakorisg : 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
valsznsg :
Ezeket felhasznlva az sszeg M vrhat rtke:
A dobott szmok sszegnek vrhat abszolt eltrse:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
A dobott szmok sszegnek szrsa:
A fenti tblzatbl behelyettestve az s rtkeket, valamint a kiszmolt vrhat rtket:
Ebbl a szrs:
-
10
3. Egy nemzetkzi szverseny dntjbe bejutott 8 versenyz kzl 3 magyar. Mennyi a valszn-
sge annak, hogy
a) a dntt a hrom magyar sz nyeri;
b) a magyar szk kzvetlenl egyms utn rnek clba;
c) nincs kt kzvetlenl egyms utn clba r magyar sz;
d) legalbb kt magyar sz egyms utn r clba?
A dntben nem szletett holtverseny semelyik kt sz kztt sem, s minden helyezs szmt.
A krt valsznsgeket 4 tizedesjegyre kerektve adja meg!
Megolds:
Tegyk fel, hogy az szk brmelyik sorrendje egyenl valsznsg a dntben. Az egyes sor-
rendek az elemi esemnyek, ezrt klasszikus valsznsgi mezt kaptunk. Az sszes lehetsges
sorrend szma, az esemnytr szmossga: | | .
a) Legyen az A esemny az, hogy a dntt a hrom magyar sz nyeri. A 3 magyar sz a dobo-
gn 3! sorrendben llhat. Mindegyik dobogs sorrend mgtt a tbbi versenyz 5! sorrendben
vgezhet. Ezrt a kedvez esetek szma: | | .
| |
| |
b) Legyen a B esemny az, hogy a magyar szk kzvetlenl egyms utn rnek clba. Tekintsk
egyetlen elemnek a 3 magyar szt! gy 6 klnbz elem sszes ismtls nlkli permutci-
inak szmt kell megadnunk, ami 6!. Viszont e sorrendek mindegyikben a magyar verseny-
zk -fle sorrendben rhetnek clba. Ezrt a kedvez esetek szma: | | .
A keresett valsznsg:
| |
| |
c) Legyen a C esemny az, hogy nincs kt kzvetlenl egyms utn clba r magyar sz. A dnt 5 nem magyar rsztvevje 5! sorrendben vgezhet. A 3 magyar szt e sorrendekben
kell elhelyeznnk gy, hogy magyarok ne kerljenek kzvetlenl egyms mg.
1 2 3 4 5 6
Minden egyes sorrendben 6 hely kzl kell kivlasztani azt a hrmat, ahov a magyar szk
kerlhetnek, de a kivlasztott 3 helyen szmt a magyar szk sorrendje. Ezrt a kivlasztsi
lehetsgek szmt 6 klnbz elem harmadosztly ismtls nlkli variciinak szma ad-
ja, ami
. gy a kedvez esetek szma:
| |
A keresett valsznsg:
| |
| |
d) Legyen a D esemny az, hogy legalbb kt magyar sz egyms utn r clba. Ez az esemny
pontosan akkor kvetkezik be, ha a c) pontbeli C esemny nem kvetkezik be, teht .
( )
-
11
4. A skandinv lottn minden sorsolskor 35 szmbl ktszer hznak ki hetet. Egy kitlttt szelvny
mind a kt hzsnl rszt vesz a jtkban. Mekkora annak a valsznsge, hogy egy szelvnnyel
jtszva legalbb az egyik hzsnl 4 lesz a tallatok szma?
I. Megolds:
35 szmbl 7-et: (
)-flekppen lehet kivlasztani. Brmelyik 7 szm egyenl valsznsggel
hzhat ki, teht klasszikus valsznsgi mezt kaptunk.
Legyen az A esemny az, hogy az els hzsnl 4 a tallatok szma, a B esemny pedig az, hogy a msodik hzsnl van 4 tallatunk. Annak az esemnynek a valsznsgt keressk, hogy lega-
lbb az egyik hzsnl 4 a tallatok szma, vagyis -t.
A megoldshoz a szita-formult hasznljuk fel. Ehhez a
, s valsznsgeket kell elszr megadnunk.
4 tallat akkor alakul ki, ha a kihzott 7 szmbl 4, a ki nem sorsolt 28 szmbl pedig 3 szerepel a
szelvnynkn. Ez ( ) (
)-flekppen fordulhat el.
Ez mindkt hzs esetn igaz, teht: | | | | ( ) (
).
Ezrt: ( ) (
)
(
).
Az A s a B esemny fggetlen egymstl, ezrt (( ) (
)
(
))
.
Ezeket felhasznlva az esemny valsznsge:
( ) (
)
(
) (
( ) (
)
(
))
(
)
II. Megolds:
Felhasznljuk az els megoldsban kapott ( ) (
)
(
) eredmnyt, valamint azt,
hogy az A s a B fggetlen esemnyek, gy komplementereik is fggetlenek.
A komplementer esemny valsznsgnek meghatrozsval adjuk meg a krt valsznsget.
A legalbb egyszer 4 tallatos a szelvny esemny komplementer esemnye az, hogy egyszer
sem lett 4 tallatos a szelvny, ami az esemny.
( )
A de Morgan-azonossgok miatt: ( ) ( ).
A keresett valsznsg gy:
( )
-
12
5. Egy szablyos hromszg alak cltblba vletlenszer lvsek rkeznek. A cltblt egybevg
kisebb szablyos hromszgekre osztottuk fel s szneztk ki kkkel az albbi brkon lthat
mdon. A feloszts sorn az eredeti hromszg oldalait egyenl rszre osztottuk.
Mekkora valsznsggel tallja el a lvedk a cltbla kkkel festett rszt, ha
a) , b) , c) ?
Ha tetszleges pozitv egsz szm lehet, akkor milyen hatrok kztt vltozhat a tallati va-
lsznsg?
Megolds:
A keresett valsznsgeket geometriai valsznsgi mezben adjuk meg. Az esemnyek val-
sznsgvel arnyos mrtk a terlet. Az esemnytr a cltbla: , ahol T a cltbla ter-lete.
A feloszts sorn keletkez kis hromszgek hasonlk az eredeti hromszghz, a hasonlsg
arnya
. Felhasznlva, hogy hasonl skidomok terletnek arnya megegyezik a hasonlsg ar-
nynak ngyzetvel:
, azaz , ahol t-vel a felosztskor keletkez egy kis hromszg
terlett jelljk.
Legyen az A esemny az, hogy a lvedk a kk terletre csapdik be.
a) esetn az brn a kk kis hromszgeket megszmolva addik. Ezrt
b) esetn ugyangy kapjuk, hogy
c) esetn nem clszer az elbbi mdszert alkalmazni. Az brkat vizsglva ltszik, hogy
a cltbla fels cscstl lefel haladva az egymst kvet sorokban a kk hromszgek sz-
ma s gy terletsszegk is szmtani sorozatot alkot: s . A legals sorban n da-
rab kk hromszg tallhat, gy .
Az A esemny valsznsge e szmtani sorozat els n tagjnak sszegvel arnyos, gy
esetn:
, valamint Ezrt:
-
13
d) Vizsgljuk az A esemny valsznsgt n fggvnyben! Felhasznlva a korbban kapott sz-
szefggseket:
Az (
) sorozat szigoran monoton cskken s 0-hoz konvergl. Ezrt a fenti valsznsget
megad (
) sorozat is konvergens s szigoran monoton cskken.
li
(
)
Maximlis rtkt esetn veszi fel, ami
.
6. Tekintsk az msodfok egyenletet, melyben a p s q paramtereknek a [ ]
intervallumbl vletlenszeren vlasztva adunk rtket. Mennyi a valsznsge annak, hogy lesz
vals gyke a msodfok egyenletnek?
Megolds:
Akkor van vals gyke a msodfok egyenletnek, ha diszkriminnsa nemnegatv, azaz
Ebbl
addik. A [ ] intervallumbl vletlenszeren vlasztott p s q rtkeknek ezt a
felttelt kell teljestenik.
Tekintsk esemnytrnek a | [ ] po l a skbeli derkszg koor-
dinta-rendszerben. Minden kivlasztott p s q rtkprnak megfelel az esemnytr pontja. A keresett valsznsget geometriai valsznsgi mezben adjuk meg. Az esemnyek valszn-
sgvel arnyos mrtk a terlet.
Az esemnytr egy 2 egysg oldal ngyzet: .
Legyen az A esemnynek megfelel ponthalmaz a { |
[ ]}.
[ ]
-
14
A keresett valsznsg:
7. Egy dobozban 3 goly van: piros, fehr s zld. 5-szr hzunk visszatevssel. Feltve, hogy feh-
ret s zldet is hzunk legalbb ktszer, mennyi annak a valsznsge, hogy egyszer sem hzunk
pirosat?
Megolds:
Legyen A az az esemny, hogy egy piros goly sincs a kihzott 5 goly kztt, B esemny pedig
az, hogy fehret s zldet is legalbb ktszer hztunk.
A krds az, hogy mekkora valsznsggel kvetkezett be az A esemny, feltve, hogy B mr be-
kvetkezett, vagyis a |
feltteles valsznsg rtke mekkora.
Mivel visszatevssel hzunk, ezrt ugyanazt a golyt tbbszr is kivehetjk, s szmt a golyk
sorrendje. gy egy elemi esemny 3 elem egy td-osztly ismtlses varicija. Teht az ese-
mnytr szmossga: | | .
A B esemny 3 mdon kvetkezhet be.
2 fehr s 3 zld golyt hztunk. A sorrendek szma:
.
3 fehr s 2 zld golyt hztunk. A sorrendek szma:
.
2 fehr, 2 zld s 1 piros golyt hztunk. A sorrendek szma:
.
Ezrt | | s
.
Az esemny bekvetkezst a fenti tblzat azon sorrendjei adjk, amelyekben nincs piros
goly, gy | | s
.
A keresett feltteles valsznsg:
|
Megjegyzs:
A | feltteles valsznsg az albbi gondolatmenettel is meghatrozhat:
A B esemny bekvetkezsi lehetsgeinek szma a krdses valsznsg kiszmtshoz szk-sges sszes esetek szmt adja, ami a fenti tblzatbl addan 50.
A kedvez esetek szma a piros golyt nem tartalmaz sorrendek szma, ami a fenti tblzat els
kt sorbl addan 20. Ezeket felhasznlva a keresett valsznsg:
|
-
15
8. Kzti forgalmi ellenrzsek s mrsek sorn megllaptottk, hogy egy adott vrosban a jrm-
vek 50%-a szemlyaut, 35%-a teheraut, a fennmarad rsz pedig egyb kategriba sorolhat
jrm. A szemlyautk 15%-nl, a teherautk 20%-nl, az egyb kategrij jrmvek 35%-
nl valami mszaki problma fedezhet fel.
Ebben a vrosban egy jrmvet meglltva mennyi annak a valsznsge, hogy
a) a mszaki llapota kifogsolhat;
b) ha a mszaki llapota kifogsolhat, akkor teheraut?
Megolds:
Vezessk be a kvetkez esemnyeket! Az adott jrm:
{szemlyaut}; {teheraut}; {egyb jrm}; {hibs jrm}; {jrm}.
a) A valsznsg az albbi, a valsznsgeket szemlltet brrl megadhat.
Az A esemny hrom egymst pronknt kizr esemny sszege (hibs szemlyaut, hibs
teheraut vagy hibs egyb jrm). e hrom esemny valsznsgnek sszege.
II. Megolds az a) rszre:
Az , valamint pronknt kizr esemnyek, teht teljes esemnyrend-
szert alkotnak. Ezrt hasznlhatjuk meghatrozsra a teljes valsznsg ttelt:
| | |
Az albbi bra szemllteti a megoldst.
-
16
b) Mekkora a valsznsge annak, hogy egy jrm teheraut, feltve, hogy hibs? Teht a
| feltteles valsznsget keressk.
|
Felhasznltuk az a) rszben kapott s rtkeket.
II. Megolds a b) rszre:
Mivel teljes esemnyrendszert alkotnak, alkalmazhatjuk a Bayes-ttelt a krdses
| meghatrozsra:
| |
| | |
9. Hromszor dobunk fel egy szablyos pnzrmt. Legyen az A esemny az, hogy a dobsok kztt
fej s rs is elfordul, a B pedig az, hogy legfeljebb 1 rs fordul el. Fggetlenek-e az A s B esemnyek?
Megolds:
Elemi esemny egy 3 dobsos sorozat. A fej s az rs tbbszr is elfordulhat, ezrt az esemny-
teret 2 elem sszes harmadosztly ismtlses varicii alkotjk. Mindegyik dobssorozat egyenl
valsznsg, teht klasszikus valsznsgi mezt kaptunk. | | .
Az A esemny a kvetkez mdokon valsulhat meg:
1. 2 fej, 1 rs. A sorrendek szma: 3.
2. 1 fej, 2 rs. A sorrendek szma: 3.
| | | |
| |
A B esemny a kvetkez mdokon valsulhat meg:
1. 2 fej, 1 rs. A sorrendek szma: 3.
2. 3 fej, 0 rs. A sorrendek szma: 1.
| | | |
| |
Az esemny csupn a 2 fej, 1 rs lehetsges 3 sorrendje esetben kvetkezik be.
| | | |
| |
Ezutn:
ami azt jelenti, hogy A s B fggetlen esemnyek.
-
17
10. Egy csavargyrban az egyik gp meghibsodsa miatt az elkszlt csavarok 15%-a selejt. Vissza-
tevssel 4 elem mintt vesznk. Jellje az X valsznsgi vltoz a hibtlan csavarok szmt a mintban.
a) Adja meg X eloszlst, vrhat rtkt s szrst!
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy a mintban lesz selejtes csavar?
c) Mennyi annak a valsznsge, hogy a mintban legalbb kett csavar selejtes lesz?
d) Legalbb hny elem mintt kell vennnk ahhoz, hogy 80%-nl nagyobb valsznsggel le-
gyen benne selejtes csavar?
Megolds:
a) X eloszlsa, vrhat rtke s szrsa:
Mivel visszatevses mintavtel trtnik, s csak azt vizsgljuk, hogy egy kivlasztott csavar
hibtlan-e vagy nem, az X valsznsgi vltoz binomilis eloszls, s pa-
ramterekkel, ezrt eloszlst a ( ) kplet adja, ahol k az X lehet-
sges rtkein fut vgig.
Mivel 4 elem a minta, X rtkei: 0; 1; 2; 3; 4.
X eloszlsa:
0 ( )
1 ( )
2 ( )
3 ( )
4 ( )
X vrhat rtke:
X szrsa:
b) A 4 elem mintban akkor lesz legalbb egy selejtes csavar, ha nem mind a ngy hibtlan
, ami ppen az komplementer esemnye.
c) Legalbb 2 selejtes csavar akkor lesz a mintban, ha maximum 2 hibtlan .
d) Egy n elem mintban akkor lesz legalbb egy selejtes, ha nem mind az n hibtlan ,
ami ppen az komplementer esemnye. Ennek valsznsge:
( )
Ennek a valsznsgnek kell 80%-nl nagyobbnak lennie.
( )
-
18
Mivel mindkt oldal pozitv s a 10-es alap logaritmus szigoran monoton nvekv, a kt ol-
dal 10-es alap logaritmusai kztt is ugyanez a relci teljesl.
l l
l l
Mivel l , ezrt
l
l
Teht -re mr teljesl a kvnt felttel, gy legalbb 10 elem mintt kell vennnk ah-
hoz, hogy 80%-nl nagyobb valsznsggel legyen benne selejtes csavar.
11. Egy dobozban 20 db goly van, amelyek kzl 5 piros, a tbbi fehr szn. Vletlenszeren v-
lasztva kivesznk egyszerre 3 golyt. Jellje az X valsznsgi vltoz a piros golyk szmt a
mintban.
a) Adja meg X eloszlst, vrhat rtkt s szrst!
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy a mintban lesz legalbb egy piros goly?
c) Mennyi annak a valsznsge, hogy a mintban legfeljebb egy piros goly lesz?
Megolds:
a) Mivel visszatevs nlkli mintavtel trtnik, s csak azt vizsgljuk, hogy egy kivlasztott go-
ly a mintban rendelkezik-e egy adott tulajdonsggal vagy nem, az X valsznsgi vltoz
hipergeometrikus eloszls, , s s paramterekkel, ezrt eloszlst a
k ( )(
)
( )
kplet adja, ahol k az X lehetsges rtkein fut vgig.
Mivel 3 elem a minta, X rtkei: 0; 1; 2; 3.
X eloszlsa:
0 ( ) (
)
(
)
1 ( ) (
)
(
)
2 ( ) (
)
(
)
3 ( ) (
)
(
)
-
19
X vrhat rtke:
X szrsa:
(
)
(
)
b) A 3 elem mintban akkor lesz legalbb egy piros goly , ha nem teljesl az, hogy
nincs egy sem, ami ppen az komplementer esemnye, ezrt:
c) Annak valsznsge, hogy a mintban legfeljebb 1 piros goly lesz :
-
20
III. Ajnlott feladatok
1. Kt dobkockval dobunk egyszerre, s a dobott szmok sszegt vizsgljuk. Legyen az A ese-
mny az, hogy az sszeg pratlan, a B esemny az, hogy az sszeg 3-mal oszthat s a C pedig az,
hogy az sszeg nagyobb mint 6. Adja meg az albbi esemnyeket az A, B s C esemnyek segts-
gvel!
a) Az sszeg 6-tal oszthat;
b) Az sszeg htnl kisebb vagy pratlan szm;
c) Az sszeg 6-nl nagyobb pros szm;
d) Az sszeg 3-mal nem oszthat pros szm vagy 6-nl nagyobb;
e) Az sszeg ppen 6.
2. Egy 32 cm szles s 18 cm magas tglalap alak monitoron vletlenszeren felvillan egy-egy
pont. Tekintsk a kvetkez esemnyeket!
{a bal als sarokbl indul tl fltt villan fel a pont};
{a kperny jobb feln villan fel a pont};
{a kperny kzppontjhoz 4,5 cm-nl kzelebb villan fel a pont}.
Rajzolja le az albbi esemnyeknek megfelel kpernyrszeket!
a) b) c)
d) e) f)
Mekkora a valsznsge az a), b), c) pontokban megadott esemnyeknek?
3. Kt tvoli vros kztt vaston s lgi ton szlltanak rukat. Az A esemny jelentse azt, hogy
egy adott napon van vasti szllts, a B esemny pedig azt, hogy van lgi szllts. Adja meg a kvetkez esemnyek jelentst szvegesen!
a) b) c)
d) e) f)
4. Kt kalapba szmozott golykat raktunk. Az elsbe 6 darab pirosat 1-tl 6-ig szmozva, a mso-
dikba 4 darab fehret 1-tl 4-ig szmozva. Kihzunk mindkt kalapbl vletlenszeren egy-egy
golyt.
a) Jelentse az A esemny azt, hogy a kihzott golykon lv szmok szorzata 3-mal oszthat, B
esemny pedig azt, hogy a szmok szorzata 10-nl kisebb. Adja meg az
esemnyek valsznsgeit, valamint azt, hogy mekkora valsznsggel kvetkezik be A, fel-
tve, hogy B bekvetkezett! b) Mennyi a kihzott golykon lv szmok szorzatnak vrhat rtke, vrhat abszolt eltrse
s szrsa?
5. Domonkosnak sok szablyos dobkockja van. Elszr egy dobkockval kezd el jtszani, s a
dobls kzben a kvetkez krdseken gondolkozik:
a) Mennyi annak a valsznsge, hogy ngy egyms utni dobsbl legalbb egyszer sikerl ha-
tost dobni?
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy csak negyedikre sikerl elszr hatost dobni?
c) Mennyi annak a valsznsge, hogy legfeljebb 10-szer kell dobni az els hatosig?
Ezutn tbb kockval dob egyszerre, s a kvetkezkre kvncsi:
-
21
d) Legalbb hny kockt kell feldobni egyszerre ahhoz, hogy 90%-nl nagyobb valsznsggel
legyen kztk hatos?
e) Vajon hny kockt kell egyszerre feldobni ahhoz, hogy a legnagyobb valsznsggel legyen
kztk pontosan egy hatos?
Adja meg a helyes vlaszokat Domonkos fenti krdseire!
6. Egy 3 cm l fakockt befestettnk pirosra, majd feldaraboltuk 27 db 1 cm l kisebb kockra, s
utna mindet beleraktuk egy dobozba. Pakols kzben vletlenl kiborult a doboz, s a kockk
sztgurultak a fldn. Mekkora annak a valsznsge, hogy a sztgurult kockk kztt van olyan,
amelyiknek piros lapja van fell?
7. Egy jl megkevert 32 lapos magyarkrtya-paklibl kihzunk 5 lapot. Mennyi a valsznsge
annak, hogy a kihzott 5 lap kztt lesz
a) pontosan hrom zld;
b) legalbb hrom zld;
c) pontosan egy pr? (A pr kt azonos rtk, de klnbz szn lap. Pldul kt darab hetes.)
8. Egy tzijtk befejezseknt fellnek 4 kk, 3 srga s 5 zld raktt egyms utn. A raktk fel-
lvsi sorrendje vletlenszer. Az azonos szn raktkat nem klnbztetjk meg.
a) Mennyi annak a valsznsge, hogy a zld raktkat egyms utn lvik fel?
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy a felltt raktk kzl az els kt rakta zld, a harmadik
srga s az utols kk lesz?
c) Mennyi annak a valsznsge, hogy nem lnek ki egyms utn kt zld szn raktt?
9. A bergengc lottban ktszer hznak egy jtknapon. Bandi egy szelvnnyel jtszik, az adott
jtknapon mindkt hzsnl nyerhet ugyanazzal a szelvnnyel.
a) Mekkora annak a valsznsge, hogy egy adott jtknapon Bandinak legalbb egy telitallata
lesz, ha p annak a valsznsge , hogy egy szelvnyen egy hzs esetn telital-
lata lesz?
Megvltoztattk a jtkszablyokat: minden jtknapon csak egyszer hznak (ms jtkszably
nem vltozott). Bandi most kt (nem felttlenl klnbzen kitlttt) szelvnnyel jtszik.
b) Mekkora annak a valsznsge, hogy egy adott jtknapon Bandinak telitallata lesz valame-
lyik szelvnyn?
c) A telitallat szempontjbl az a)-ban vagy a b)-ben lert jtk kedvezbb Bandi szmra?
(Emelt szint matematika rettsgi 2010. oktber)
10. Egy gimnzium 10. vfolyamn sokan jrnak szakkrkre. Tbbek kztt matematika, fizika s
kmia szakkrre is. Vletlenl tallkozunk az iskola folyosjn egy tizedikes dikkal, s megkr-
dezzk tle, hogy milyen szakkrkre jr. Legyen az M esemny az, hogy ez a tanul jr matema-
tika szakkrre, F az, hogy fizikra, K pedig az, hogy kmia szakkrre. Ismerjk a kvetkez val-
sznsgeket:
; ; ; ;
; ; .
a) Mennyi annak a valsznsge, hogy ezek kzl legalbb az egyik szakkrre jr a tanul?
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy ezek kzl pontosan kt szakkrre jr?
-
22
11. Egy kosrban 25 hsvti tojst visznk. A kosrban vannak egyszn piros tojsok s hmes toj-
sok is. tkzben hozztdtt a kosr egy jrkelhz, gy tbb tojs megrepedt. A baleset utn
vletlenszeren kivlasztva egy tojst a kosrbl, 0,2 valsznsggel vesznk ki pen maradt pi-
ros tojst, 0,2 valsznsggel vlasztunk p hmes tojst s ugyancsak 0,2 valsznsggel meg-
repedt nem piros szn hmes tojst is. Piros szn hmes tojst
, repedt piros szn hmes tojst
pedig
valsznsggel vehetnk ki. Egy megrepedt nem hmes piros tojst ugyanakkora val-
sznsggel vlaszthatunk ki, mint egy repedt, se nem piros, se nem hmes tojst. Mekkora val-
sznsggel hzhatunk a kosrbl olyan pen maradt tojst, amelyik nem piros s nem is hmes?
12. Egy pk besztt hlval egy 6 cm sugar kr alak nylst az brn lthat mdon. A kzppont-
bl indulva sugrirnyban 1 cm-enknt kvetkeznek a pkfonalbl ksztett szablyos hatszgek.
A pk szrevette, hogy fennakadt egy muslinca a hlban. Felttelezzk, hogy a muslinca pontsze-
r s brhol a fonalon egyenl valsznsggel akadhatott fenn.
a) Mekkora a valsznsge annak, hogy sugrirny szlon akadt fenn?
b) Mekkora a valsznsge annak, hogy bellrl a harmadik hatszgn vagy attl befel lv
szlon akadt fenn a muslinca?
13. Egy 4 egysg oldal ngyzet kzppontja A, egyik oldalnak felezpontja B. Vletlenszeren ki-
vlasztjuk a ngyzet egy az AB egyenesre nem illeszked C pontjt. Mekkora annak a valszn-
sge, hogy az ABC hromszg
a) tompaszg;
b) derkszg lesz?
14. Az egyenletben a b paramter rtkt vletlenszeren vlasztjuk a [ ] inter-
vallumbl. Mekkora a valsznsge annak, hogy legfeljebb egy vals gyke lesz az egyenletnek?
-
23
15. Pter s Judit tallkozt beszlnek meg este 7 s fl nyolc kztt. Mivel tmegkzlekedsi esz-
kzzel utaznak, bizonytalan az rkezsk. Judit 5 percet hajland vrni Pterre, mg Pter 10 per-
cet Juditra. Mekkora valsznsggel sikerl tallkozniuk?
16. Egy zldsg-kiskereskedhz egy bann- s egy mandarinszlltmny rkezett. A szllts sorn a
mandarinszlltmny negyede vesztett az rtkbl, a bannszlltmny 60%-a tlrett, a gyml-
csk tbbi rsze els osztly maradt. A kiskeresked, mieltt tvette a kt szlltmnyt, ellenriz-
te az ru minsgt. Kivlasztott az egyik szlltmnybl vletlenszeren egy gymlcst. A kiv-
lasztott gymlcs els osztlynak bizonyult, ezrt visszatettk a helyre. Mennyi a valsznsge
annak, hogy ha ugyanabbl a gymlcsfajtbl megint kivesz egy darabot, az ismt els osztly
lesz?
17. Egy szmtgpgyr 3 tvol-keleti cgtl szerzi be ugyanazt az alaplapot: egy knai, egy tajvani s
egy koreai cgtl. A knai beszllttl az alaplapok 45%-t, melyek 0,5%-a hibs, a tajvani cgtl
az alaplapok 30%-t, melybl minden 100. hibs. A maradk alaplapokat a koreai cg gyrtja
3,5%-os hibaarnnyal. Mennyi a valsznsge annak, hogy
a) egy alaplapot vletlenszeren kivlasztva, az j;
b) az alaplap j, feltve, hogy knai a beszllt;
c) nem koreai az alaplap, feltve, hogy j;
d) j az alaplap, feltve, hogy nem koreai?
18. Vizsglja meg, hogy a lottsorsolsnl kihzott t nyerszmbl hny oszthat ttel! Jellje ezt a
szmot X-szel!
a) Adja meg az X valsznsgi vltoz eloszlst, vrhat rtkt, vrhat abszolt eltrst s
szrst!
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy a kihzott szmok kztt tbb ttel oszthat lesz, mint
ttel nem oszthat?
19. Egy rendezvnyre kszldve 50 poharat tesznek ki egy asztalra. A poharak kztt 5 olyan van,
amelyik hibs, mert csorba a szle.
a) Az egyik felszolgl az asztalrl elvesz 10 poharat, s ezekbe dtitalt tlt. Szmtsa ki annak
a valsznsgt, hogy legfeljebb 1 csorba szl lesz a 10 pohr kztt!
A poharakat elllt gyrban kt gpsoron kszlnek a poharak, amelyek klsre mind egyfor-
mk. Az els gpsoron gyrtott poharak 10%-a selejtes.
b) Szmtsa ki annak a valsznsgt, hogy az els gpsoron gyrtott poharak kzl 15-t vlet-
lenszeren, visszatevssel kivlasztva kzttk pontosan 2 lesz selejtes!
A msodik gpsoron kszlt poharak 4%-a selejtes. Az sszes pohr 60%-t az els gpsoron,
40%-t a msodik gpsoron gyrtjk, az elkszlt poharakat sszekeverik.
c) Az elkszlt poharak kzl vletlenszeren kivlasztunk egyet, s azt tapasztaljuk, hogy az se-
lejtes. Mekkora annak a valsznsge, hogy ez a pohr az els gpsoron kszlt?
(Emelt szint matematika rettsgi 2012. mjus)
-
24
20. Egy csald autval utazik, s a gyerekek abban versengenek, hogy ki lt meg hamarabb olyan
autt, amelyiknek a rendszmban legalbb kt kilences szerepel. Felttelezzk, hogy csak azok
az autk szmtanak, amelyek rendszmban hrom bett hrom szmjegy kvet, s az ilyen rend-
szm autk brmelyikvel egyenl valsznsggel tallkozhatnak. Ugyanazzal az autval tbb-
szr is tallkozhatnak.
a) Mekkora annak a valsznsge, hogy az els megltott aut rendszmban lesz legalbb kt
kilences?
b) Mekkora annak a valsznsge, hogy az els 20 aut kztt egy vagy kt ilyen rendszm
autval tallkoznak?
c) 100 autnknt tlagosan hny ilyen rendszm autra szmthatnak az t sorn a gyerekek?
d) Legalbb hny autval kell tallkozniuk ahhoz, hogy 80%-nl nagyobb valsznsggel lssa-
nak ilyen rendszmot?
21. Egy elzetes felmrs szerint egy 1200 fs faluban 600-an a kormnyprtra szavaznnak, 400-an
ms prtra s 200-an mg nem tudjk, vagy nem mennnek el szavazni. Egy kzvlemny-kutat
cg vletlenszeren kivlasztott 20 embert fog megkrdezni az elzetes felmrs szerinti biztos
szavazk kzl arrl, hogy a kormnyprtra szavazna-e, vagy nem. A cg matematikusai azt akar-
jk kiszmolni, mekkora a valsznsge annak, hogy
a) ppen hatan nem fognak a kormnyprtra szavazni a hszbl;
b) legalbb ketten a kormnyprtra fognak szavazni.
A matematikusok egyik rsze a visszatevs nlkli modellel (hipergeometrikus eloszlst feltte-
lezve), msik rsze pedig a visszatevses modellel (binomilis eloszlst felttelezve) szmol.
Mekkora lesz az eltrs az egyes krdsekre kapott eredmnyek kztt a kt matematikus csoport
esetben?
-
25
Az ajnlott feladatok megoldsai
1. Kt dobkockval dobunk egyszerre, s a dobott szmok sszegt vizsgljuk. Legyen az A ese-
mny az, hogy az sszeg pratlan, a B esemny az, hogy az sszeg 3-mal oszthat s a C pedig az,
hogy az sszeg nagyobb mint 6. Adja meg az albbi esemnyeket az A, B s C esemnyek segt-sgvel!
a) Az sszeg 6-tal oszthat;
b) Az sszeg htnl kisebb vagy pratlan szm;
c) Az sszeg 6-nl nagyobb pros szm;
d) Az sszeg 3-mal nem oszthat pros szm vagy 6-nl nagyobb;
e) Az sszeg ppen 6.
Megolds:
{a kt kockval dobott szmok sszege};
{az sszeg pratlan}; {az sszeg 3-mal oszthat}; {az sszeg 6-nl nagyobb}.
Az . A komplementer-kpzst H-ra vonatkoztatva az eredmnyek:
a) b) c)
d) ( ) e)
Megjegyzs:
A fenti H esemnytr elemi esemnyei a lehetsges sszegek ltal alkotott egy elem halmazok. Ezek az elemi esemnyek nem egyenl valsznsgek, ezrt nem klasszikus valsznsgi me-
zt kaptunk.
2. Egy 32 cm szles s 18 cm magas tglalap alak monitoron vletlenszeren felvillan egy-egy
pont. Tekintsk a kvetkez esemnyeket!
{a bal als sarokbl indul tl fltt villan fel a pont};
{a kperny jobb feln villan fel a pont};
{a kperny kzppontjhoz 4,5 cm-nl kzelebb villan fel a pont}.
Rajzolja le az albbi esemnyeknek megfelel kperny rszeket!
a) b) c)
d) e) f)
Mekkora a valsznsge az a), b), c) pontokban megadott esemnyeknek?
-
26
Megolds:
a) ;
b) ;
c) ; ( )
d)
e) f)
Megjegyzs:
A hatrvonalak figyelembevtele vagy elhanyagolsa nem vltoztat a krdses esemnyek val-
sznsgein.
3. Kt tvoli vros kztt vaston s lgi ton szlltanak rukat. Az A esemny jelentse azt, hogy
egy adott napon van vasti szllts, a B esemny pedig azt, hogy van lgi szllts. Adja meg a
kvetkez esemnyek jelentst!
a) b) c)
d) e) f)
-
27
Megolds:
a) Vasti vagy lgi szllts kzl legalbb az egyik van az adott napon.
b) Van vasti, de nincs lgi szllts az adott napon.
c) Az adott napon nincs vasti szllts, vagy nincs lgi szllts.
d) Az adott napon vasti szllts van, vagy nincs lgi szllts.
e) Se vasti, se lgi szllts nincs az adott napon.
f) , teht megegyezik az a) esettel.
4. Kt kalapba szmozott golykat raktunk. Az elsbe 6 darab pirosat 1-tl 6-ig szmozva, a mso-
dikba 4 darab fehret 1-tl 4-ig szmozva. Kihzunk mindkt kalapbl vletlenszeren egy-egy
golyt.
a) Jelentse az A esemny azt, hogy a kihzott golykon lv szmok szorzata 3-mal oszthat, B
esemny pedig azt, hogy a szmok szorzata 10-nl kisebb. Adja meg az s
esemnyek valsznsgeit, valamint azt, hogy mekkora valsznsggel kvetkezik be A, fel-
tve, hogy B bekvetkezett? b) Mennyi a kihzott golykon lv szmok szorzatnak vrhat rtke, vrhat abszolt eltrse
s szrsa?
Megolds:
a) {a szorzat 3-mal oszthat} {a szorzat 10-nl kisebb} .
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16
5 5 10 15 20
6 6 12 18 24
| y | |
| | ; ezrt | |
| |
| | ; ezrt
| |
| |
| | ; ezrt | |
| |
| | ; ezrt
| |
| |
|
.
b) Legyen X valsznsgi vltoz a kihzott szmok szorzata. X lehetsges rtkeit, azok gya-korisgait s valsznsgeit a kvetkez tblzat mutatja.
-
28
1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24
1 2 2 3 1 3 2 1 1 3 1 1 1 1 1
vrhat rtk: vrhat abszolt eltrs: szrs:
| |
5. Domonkosnak sok szablyos dobkockja van. Elszr egy dobkockval kezd el jtszani, s a
dobls kzben a kvetkez krdseken gondolkozik:
a) Mennyi annak a valsznsge, hogy ngy egyms utni dobsbl legalbb egyszer sikerl ha-
tost dobni?
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy csak negyedikre sikerl elszr hatost dobni?
c) Mennyi annak a valsznsge, hogy legfeljebb 10-szer kell dobni az els hatosig?
Ezutn tbb kockval dob egyszerre s a kvetkezkre kvncsi:
d) Legalbb hny kockt kell feldobni egyszerre ahhoz, hogy 90%-nl nagyobb valsznsggel
legyen kztk hatos?
e) Vajon hny kockt kell egyszerre feldobni ahhoz, hogy a legnagyobb valsznsggel legyen
kztk pontosan egy hatos?
Adja meg a helyes vlaszokat Domonkos fenti krdseire!
Megolds:
a) Legyen az A esemny az, hogy legalbb egyszer hatost dobtunk a ngy dobsbl. Egyszerbb
A komplementernek a valsznsgt meghatrozni, gy . Annak a valsz-
nsge, hogy egy dobs nem hatos:
. Az egymst kvet dobsok fggetlen esemnyek, ezrt
( ) (
)
(
)
b) Jellje B a vizsglt esemnyt. Annak valsznsge, hogy az els hrom dobs egyike sem ha-
tos: (
) . Egy dobs
valsznsggel hatos. Ezrt:
(
)
c) Legyen a esemny az, hogy elsre sikerl hatost dobni.
.
A esemny az, hogy msodikra.
.
gy tovbb: (
)
; (
)
; (
)
;
Legyen a C esemny az, hogy legfeljebb 10-szer kell dobnia az els hatosig.
-
29
C egymst kizr esemnyek sszege, ezrt
A (
)
mrtani sorozat,
. Teht a keresett valsznsg:
( )
(
)
Megjegyzs:
A keresett vlasz a komplementer esemny valsznsgnek meghatrozsval is megadhat.
d) Legyen n a kockk szma. Legyen D az az esemny, hogy a feldobott n kockbl legalbb egy
hatos. Milyen n esetn teljesl, hogy ?
Egyszerbb ttrni D komplementer esemnyre s azt vizsglni, hogy milyen n esetn telje-
sl az , ami az (
)
egyenltlensghez vezet.
Ennek megoldsa: ; vagyis legalbb 13 kockt kell egyszerre feldobni.
e) Legyen n a kockk szma s az E esemny az, hogy a feldobott n kockbl pontosan egy ha-
tos. maximumt keressk n fggvnyben. Az n feldobott kocka kztti hatosok szma
binomilis eloszls valsznsgi vltoz, ezrt:
( )
(
)
(
)
Tekintsk az
(
)
fggvny
(
)
kiterjesztst!
Ez derivlhat, s megkeressk a szlsrtkt.
(
)
l
(
)
(
)
( l
)
Az egyenlet megoldsa:
l
Itt a derivlt pozitvbl negatvba vlt, teht loklis maximuma van f-nek.
Az eredeti
(
)
fggvny y esetn maximlis.
-nl:
(
)
(
) .
-nl:
(
)
(
) .
Teht 5 s 6 kocknl egyenlen maximlis a valsznsge annak, hogy pontosan 1 kockn
lesz 6-os.
6. Egy 3 cm l fakockt befestettnk pirosra, majd feldaraboltuk 27 db 1 cm l kisebb kockra, s
utna mindet beleraktuk egy dobozba. Pakols kzben vletlenl kiborult a doboz s a kockk
sztgurultak a fldn. Mekkora annak a valsznsge, hogy a sztgurult kockk kztt van olyan,
amelyiknek piros lapja van fell?
-
30
Megolds:
A feldarabols utn kapott kockk pirosra festett lapjaik szma szerint csoportosthatk.
piros lapok szma l l piros l p l l r l p kockk szma
3
8
2
12
1
6
0 0 1 1
Legyen az A esemny az, hogy van olyan kocka, amelyiknek piros lapja van fell. Trjnk t A
komplementer esemnyre, ami azt jelenti, hogy minden kocknak fehr lapja van fell. Az egyes
kockk leessnek kimenetelt nem befolysolja a tbbi kocka, gy leessk a tbbitl fggetlen
ksrletnek tekinthet. Ezrt
( ) (
)
(
)
(
)
( )
7. Egy jl megkevert 32 lapos magyarkrtya-paklibl kihzunk 5 lapot. Mennyi a valsznsge
annak, hogy a kihzott 5 lap kztt lesz
a) pontosan hrom zld;
b) legalbb hrom zld;
c) pontosan egy pr? (A pr kt azonos rtk, de klnbz szn lap. Pldul kt darab hetes.)
Megolds:
a) {pontosan hrom zld a kihzott 5 lapbl}.
( ) (
)
(
)
b) {legalbb 3 zld a kihzott 5 lapbl}.
( ) (
)
(
)
( ) (
)
(
)
( ) (
)
(
)
-
31
c) {pontosan egy pr a kihzott t lapbl}.
Az sszes eset: (
).
Melyik fajta lapbl van egy pr? ( ) lehetsg.
Melyik kt sznbl ll a pr? ( ) lehetsg.
A tbbi 3 lap egymstl s az egy pr fajtjtl is klnbz legyen. ( ) lehetsg.
E hrom lap lehet:
egyszn: ( ) lehetsg;
2 klnbz szn: ( ) a kt szn kivlasztsi lehetsgeinek szma, a kivlasztott kt
sznbl ( )-flekppen adhat meg 2 krtya kzs szne, s (
)-flekppen lehet ki-
vlasztani azt a kt krtyt, amelyeknek azonos lesz a szne.
Ez sszesen ( ) (
) (
) lehetsg;
3 klnbz szn: lehetsg.
( ) (
) (
) [(
) (
) (
) (
) ]
(
)
8. Egy tzijtk befejezseknt fellnek 4 kk, 3 srga s 5 zld raktt egyms utn. A raktk fel-
lvsi sorrendje vletlenszer. Az azonos szn raktkat nem klnbztetjk meg.
a) Mennyi annak a valsznsge, hogy a zld raktkat egyms utn lvik fel?
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy a felltt raktk kzl az els kt rakta zld, a harmadik
srga s az utols kk lesz?
c) Mennyi annak a valsznsge, hogy nem lnek ki egyms utn kt zld szn raktt?
Megolds:
a) A kedvez esetek szma:
Az 5 zld raktt egynek tekintve 8 elem ismtlses permutciinak szmt kell meghatroz-
nunk, ahol 4, 3, 1 az ismtld elemek szma. Ennek rtke:
Az sszes eset szma: 12 elem ismtlses permutciinak szma, ahol 4, 3, 5 az ismtld
elemek szma, ami
b) Rgztett helyek: ZZSxxxxxxxxK. Az x-szel jellt 8 helyen 3 zld, 2 srga s 3 kk rakta lhe-
t fel. Ezrt:
-
32
c) A 3 srga s a 4 kk rakta kilvsi sorrendje:
-fle lehet. Minden egyes sorrendben
8 hely kzl vlaszthatjuk valamelyik 5-t a zld raktknak, ami ( ) -flekppen lehet-
sges. gy azoknak a kilvsi sorrendeknek a szma, amelyekben nincs kt zld rakta egyms
utn:
9. A bergengc lottban ktszer hznak egy jtknapon. Bandi egy szelvnnyel jtszik, az adott
jtknapon mindkt hzsnl nyerhet ugyanazzal a szelvnnyel.
a) Mekkora annak a valsznsge, hogy egy adott jtknapon Bandinak legalbb egy telitallata
lesz, ha p annak a valsznsge , hogy egy szelvnyen, egy hzs esetn telital-
lata lesz?
Megvltoztattk a jtkszablyokat: minden jtknapon csak egyszer hznak (ms jtkszably
nem vltozott). Bandi most kt (nem felttlenl klnbzen kitlttt) szelvnnyel jtszik.
b) Mekkora annak a valsznsge, hogy egy adott jtknapon Bandinak telitallata lesz valame-
lyik szelvnyn?
c) A telitallat szempontjbl az a)-ban vagy a b)-ben lert jtk kedvezbb Bandi szmra?
(Emelt szint matematika rettsgi 2010. oktber)
Megolds:
a) Legyen az A esemny az, hogy az els hzsnl telitallatos a szelvny, a B pedig az, hogy a
msodiknl. , valamint az A s B fggetlen esemnyek.
Legalbb egyszer telitallatos a kvetkez esetekben lehet a szelvny:
Bekvetkezett esemny Valsznsg
Az els hzsnl telitallatos a szelvny, a m-
sodiknl nem, teht az esemny kvetke-zett be.
( )
Az els hzsnl nem telitallatos a szelvny, a
msodiknl igen, teht az esemny kvet-kezett be.
( )
Mindkt hzsnl telitallatos a szelvny, teht az esemny kvetkezett be.
E hrom esemny pronknt egymst kizr, ezrt sszegk valsznsge az egyes esem-
nyek valsznsgeinek sszegvel egyenl. [ ] .
b) Kt esetet kell vizsglni annak alapjn, hogy Bandi a kt szelvnyt azonosan vagy klnb-
zen tlttte-e ki.
Ha Bandi kt egyforma szelvnyt tlt ki, akkor a telitallat eslye p.
Ha Bandi a kt szelvnyt klnbzen tlti ki, akkor a telitallatnak eslye 2p.
c) Ha Bandi kt egyforma szelvnyt tlt ki, akkor a krds az, hogy vagy p a nagyobb.
Mivel , ezrt , teht az els jtkszably kedvezbb.
Ha Bandi kt klnbz szelvnyt tlt ki, akkor a krds az, hogy vagy 2p a na-
gyobb. Mivel , ezrt , teht a msodik jtkszably kedvezbb.
-
33
10. Egy gimnzium 10. vfolyamn sokan jrnak szakkrkre. Tbbek kztt matematika, fizika s
kmia szakkrre is. Vletlenl tallkozunk az iskola folyosjn egy tizedikes dikkal, s megkr-
dezzk tle, hogy milyen szakkrkre jr. Legyen az M esemny az, hogy ez a tanul jr matema-
tika szakkrre, F az, hogy fizikra, K pedig az, hogy kmia szakkrre. Ismerjk a kvetkez val-
sznsgeket:
; ; ; ;
; ; .
a) Mennyi annak a valsznsge, hogy ezek kzl legalbb az egyik szakkrre jr a tanul?
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy ezek kzl pontosan kt szakkrre jr?
Megolds:
a) Legalbb az egyik szakkrre jr, teht az esemny kvetkezik be.
b) Pontosan kt szakkrre jr valsz-
nsggel.
11. Egy kosrban 25 hsvti tojst visznk. A kosrban vannak egyszn piros tojsok s hmes toj-
sok is. tkzben hozztdtt a kosr egy jrkelhz, gy tbb tojs megrepedt. A baleset utn
vletlenszeren kivlasztva egy tojst a kosrbl, 0,2 valsznsggel vesznk ki pen maradt pi-
ros tojst, 0,2 valsznsggel vlasztunk p hmes tojst s ugyancsak 0,2 valsznsggel meg-
repedt nem piros szn hmes tojst is. Piros szn hmes tojst
, repedt piros szn hmes tojst
pedig
valsznsggel vehetnk ki. Egy megrepedt nem hmes piros tojst ugyanakkora val-
sznsggel vlaszthatunk ki, mint egy repedt, se nem piros, se nem hmes tojst. Mekkora val-
sznsggel hzhatunk a kosrbl olyan pen maradt tojst, amelyik nem piros s nem is hmes?
Megolds:
Legyen {a kosrban lv tojst hzunk};
{piros tojst hzunk}; {hmes tojst hzunk}; {repedt tojst hzunk}.
A feladat szvegbl tudjuk:
p piros tojs
p hmes tojs
megrepedt nem piros szn hmes tojs
piros hmes tojs
repedt piros szn hmes tojs
Egy megrepedt nem hmes piros tojst ugyan-akkora valsznsggel vlaszthatunk ki, mint egy repedt, se nem piros, se nem hmes tojst.
( )
Mekkora valsznsggel hzhatunk a kosrbl olyan pen maradt tojst, amelyik nem piros s nem is hmes?
( )
-
34
A tblzat alapjn kitlthet az albbi bra a megfelel valsznsgekkel.
A bert valsznsgek sszege 1, teht
x: 0 1 2 3
y: 6 4 2 0
0
A keresett valsznsg lehetsges rtkei:
12. Egy pk besztt hlval egy 6 cm sugar kr alak nylst az brn lthat mdon. A kzppont-
bl indulva sugrirnyban 1 cm-enknt kvetkeznek a pkfonalbl ksztett szablyos hatszgek.
A pk szrevette, hogy fennakadt egy muslinca a hlban. Felttelezzk, hogy a muslinca pontsze-
r s brhol a fonalon egyenl valsznsggel akadhatott fenn.
a) Mekkora a valsznsge annak, hogy sugrirny szlon akadt fenn?
b) Mekkora a valsznsge annak, hogy bellrl a harmadik hatszgn vagy attl befel lv
szlon akadt fenn a muslinca?
-
35
Megolds:
A megoldst geometriai valsznsgi mezben adjuk meg. A vlasztott mrtk a hosszmrtk.
A pkhlt alkot fonl teljes hosszt a 6 darab sugrirny szl hossznak s 6 darab sza-
blyos hatszg kerletnek sszege adja. A szablyos hatszgek kerletei szmtani sorozatot al-
kotnak.
.
a) Legyen az A esemny az, hogy sugrirny szlon akadt fenn a muslinca!
ezrt
b) Legyen a B esemny az, hogy bellrl a harmadik hatszgn vagy attl befel lv szlon
akadt fenn a muslinca!
13. Egy 4 egysg oldal ngyzet kzppontja A, egyik oldalnak felezpontja B. Vletlenszeren ki-
vlasztjuk a ngyzet egy az AB egyenesre nem illeszked C pontjt. Mekkora annak a valszn-
sge, hogy az ABC hromszg
a) tompaszg;
b) derkszg lesz?
Megolds:
A megoldst geometriai valsznsgi mezben adjuk meg. A vlasztott mrtk a terlet.
A H esemnytr a 4 egysgnyi oldal ngyzet. .
a) Tompaszg az ABC hromszg, ha valamelyik cscsnl tompaszge van.
o Ha az A cscsnl van a tompaszg, akkor a ngyzet bal oldali feln lv C pontok felelnek
meg (kivve az AB egyenesnek pontjait).
o A B cscsnl legfeljebb derkszg lehet.
o A C cscsnl akkor lesz tompaszg, ha C az AB szakasz fl rajzolt Thalsz-krn bell
van (kivve az AB szakasz pontjait).
-
36
Legyen a T esemny az, hogy az ABC hromszg tompaszg lesz.
b) Legyen a D esemny az, hogy az ABC hromszg derkszg lesz.
Derkszg lesz az ABC hromszg, ha C az albbi brn lthat zld szn grbk valamely
pontja. Mivel e vonalak terlete 0, ezrt , gy a keresett valsznsg is .
Megjegyzs:
A D esemny nem lehetetlen esemny, hiszen vgtelen sok pont megfelel a felttelnek, de va-lsznsge mgis 0.
14. Az egyenletben a b paramter rtkt vletlenszeren vlasztjuk a [ ] inter-
vallumbl. Mekkora a valsznsge annak, hogy legfeljebb egy vals gyke lesz az egyenletnek?
Megolds:
Legyen az A esemny az, hogy legfeljebb egy vals gyke van a msodfok egyenletnek! Ez ak-
kor kvetkezik be, ha a diszkriminns nempozitv: , azaz, ha [ ].
Geometriai valsznsgi mezben az esemnytr legyen a [ ] intervallum, a vlasztott
mrtk pedig a hosszmrtk. . [ ] s . Ekkor
-
37
15. Pter s Judit tallkozt beszlnek meg este 7 s fl nyolc kztt. Mivel tmegkzlekedsi esz-
kzzel utaznak, bizonytalan az rkezsk. Judit 5 percet hajland vrni Pterre, mg Pter 10 per-
cet Juditra. Mekkora valsznsggel sikerl tallkozniuk?
Megolds:
Pter 7 ra utni rkezsi ideje x, Judit pedig y perc. [ ].
Ha Pter rkezik hamarabb, azaz , akkor Pter 10 percig vr, teht akkor tallkoznak, ha
.
Ha Judit rkezik hamarabb vagy egyszerre rkeznek, azaz , akkor Judit ha kell vr 5
percig, teht akkor tallkoznak, ha .
Geometriai valsznsgi mezben az esemnytr | [ ] , a vlasztott mr-
tk a terlet. .
Legyen az A esemny az, hogy ltrejn a tallkoz. Az A esemny bekvetkezsnek fenti feltt-
eleit az bra piros szn tartomnya jelzi.
16. Egy zldsg-kiskereskedhz egy bann- s egy mandarinszlltmny rkezett. A szllts sorn a
mandarinszlltmny negyede vesztett az rtkbl, a bannszlltmny 60%-a tlrett, a gyml-
csk tbbi rsze els osztly maradt. A kiskeresked, mieltt tvette a kt szlltmnyt, ellenriz-
te az ru minsgt. Kivlasztott az egyik szlltmnybl vletlenszeren egy gymlcst. A kiv-
lasztott gymlcs els osztlynak bizonyult, ezrt visszatettk a helyre. Mennyi a valsznsge
annak, hogy ha ugyanabbl a gymlcsfajtbl megint kivesz egy darabot, az ismt els osztly
lesz?
Megolds:
{mandarint vlasztott}; {bannt vlasztott};
{els osztly gymlcst vlasztott}; {gymlcst vlasztott}.
. s , ezrt M s B teljes esemnyrendszert alkotnak.
-
38
Els osztly gymlcst vett ki, feltve, hogy az mandarin: |
valsznsggel.
Els osztly gymlcst vett ki, feltve, hogy az bann: |
valsznsggel.
Els alkalommal els osztly gymlcs kivtelnek valsznsge a teljes valsznsg ttele
alapjn:
| |
Az elsnek hzott els osztly gymlcs
|
valsznsggel mandarin.
Az elsnek hzott els osztly gymlcs
|
valsznsggel bann.
A msodik hzs sorn annak valsznsge, hogy jra ugyanabbl a gymlcsbl els osztlyt
vesz ki:
| | | |
17. Egy szmtgpgyr 3 tvol-keleti cgtl szerzi be ugyanazt az alaplapot: egy knai, egy tajvani, s
egy koreai cgtl. A knai beszllttl az alaplapok 45%-t, melyek 0,5%-a hibs, a tajvani cgtl
az alaplapok 30%-t, melybl minden 100. hibs. A maradk alaplapokat a koreai cg gyrtja
3,5%-os hibaarnnyal. Mennyi a valsznsge annak, hogy
a) egy alaplapot vletlenszeren kivlasztva, az j;
b) az alaplap j, feltve, hogy knai a beszllt;
c) nem koreai az alaplap, feltve, hogy j;
d) j az alaplap, feltve, hogy nem koreai?
Megolds:
{knai az alaplap}; {tajvani az alaplap}; {koreai az alaplap};
{j az alaplap}; {rossz az alaplap}; {beszerzett alaplap}.
s egymst pronknt kizr esemnyek, ezrt teljes esemnyrendszert al-
kotnak.
-
39
a) A fenti bra, illetve a teljes valsznsg ttele alapjn:
| | |
.
b) | .
c) {nem koreai az alaplap}.
[ | ] [ ]
d) Annak valsznsge, hogy j az alaplap, feltve, hogy nem koreai:
[ | ] [ ]
18. Vizsglja meg, hogy a lottsorsolsnl kihzott t nyerszmbl hny oszthat ttel! Jellje ezt a
szmot X-szel!
a) Adja meg az X valsznsgi vltoz eloszlst, vrhat rtkt, vrhat abszolt eltrst s szrst!
b) Mennyi annak a valsznsge, hogy a kihzott szmok kztt tbb ttel oszthat lesz, mint
ttel nem oszthat?
Megolds:
A lottszmok kzl 18 db ttel oszthat. Az X hipergeometrikus eloszls valsznsgi vltoz
paramterekkel. X lehetsges rtkei:0; 1; 2; 3; 4; 5.
a) X eloszlsa:
0 (
) (
)
(
)
1 (
) (
)
(
)
2 (
) (
)
(
)
3 (
) (
)
(
)
4 (
) (
)
(
)
5 (
) (
)
(
)
A vrhat rtk: 1.
A vrhat abszolt eltrs a fenti tblzat 5 tizedesjegyre kerektett rtkeivel szmolva: 0,63669.
A szrs: 0,87410.
b) .
-
40
19. Egy rendezvnyre kszldve 50 poharat tesznek ki egy asztalra. A poharak kztt 5 olyan van,
amelyik hibs, mert csorba a szle.
a) Az egyik felszolgl az asztalrl elvesz 10 poharat, s ezekbe dtitalt tlt. Szmtsa ki annak
a valsznsgt, hogy legfeljebb 1 csorba szl lesz a 10 pohr kztt!
A poharakat elllt gyrban kt gpsoron kszlnek a poharak, amelyek klsre mind egyfor-
mk. Az els gpsoron gyrtott poharak 10%-a selejtes.
b) Szmtsa ki annak a valsznsgt, hogy az els gpsoron gyrtott poharak kzl 15-t vlet-
lenszeren, visszatevssel kivlasztva kzttk pontosan 2 lesz selejtes!
A msodik gpsoron kszlt poharak 4%-a selejtes. Az sszes pohr 60%-t az els gpsoron,
40%-t a msodik gpsoron gyrtjk, az elkszlt poharakat sszekeverik.
c) Az elkszlt poharak kzl vletlenszeren kivlasztunk egyet, s azt tapasztaljuk, hogy az se-
lejtes. Mekkora annak a valsznsge, hogy ez a pohr az els gpsoron kszlt?
(Emelt szint matematika rettsgi 2012. mjus)
Megolds:
c) 0 vagy 1 csorba szl lehet a kivlasztott 10 pohr kztt. 45 pohr p, 5 csorba.
(
) ( ) (
)
(
)
d) Legyen X a kivlasztott 15 pohr kztt lv csorbk szma! X binomilis eloszls valsz-
nsgi vltoz, s paramterekkel.
(
)
e) Jellje A azt az esemnyt, hogy az els gpsoron kszlt a pohr, azt, hogy a msodik gp-
soron, B pedig azt az esemnyt, hogy selejtes a pohr. A Bayes-ttel alapjn:
| |
| |
20. Egy csald autval utazik, s a gyerekek abban versengenek, hogy ki lt meg hamarabb olyan
autt, amelyiknek a rendszmban legalbb kt kilences szerepel. Felttelezzk, hogy csak azok
az autk szmtanak, amelyek rendszmban hrom bett hrom szmjegy kvet, s az ilyen rend-
szm autk brmelyikvel egyenl valsznsggel tallkozhatnak. Ugyanazzal az autval tbb-
szr is tallkozhatnak.
a) Mekkora annak a valsznsge, hogy az els megltott aut rendszmban lesz legalbb kt
kilences?
b) Mekkora annak a valsznsge, hogy az els 20 aut kztt egy vagy kt ilyen rendszm
autval tallkoznak?
c) 100 autnknt tlagosan hny ilyen rendszm autra szmthatnak az t sorn a gyerekek?
d) Legalbb hny autval kell tallkozniuk ahhoz, hogy 80%-nl nagyobb valsznsggel lssa-
nak ilyen rendszmot?
-
41
Megolds:
a) Kedvez esetek szma: Legalbb kt kilences a 3 szmjegy kzl ( ) -
flekppen lehet. Ezek mindegyike eltt 3 bet az angol bcbl fle sorrendben llhat.
Teht ilyen rendszm lehetsges.
Az sszes lehetsges rendszm: fle lehet.
b) Legyen az X valsznsgi vltoz rtke az els 20 aut kztt elfordul ilyen rendszmak
szma! X binomilis eloszls s paramterekkel.
(
) (
)
c) Legyen az Y valsznsgi vltoz rtke a 100 aut kztt elfordul ilyen rendszmak
szma! Y binomilis eloszls s paramterekkel. Ennek vrhat rtke
adja meg a vlaszt: . Teht kb. 3 ilyen autra szmthatnak
100 autnknt.
d) Annak a valsznsge, hogy aut egyiknek sem ilyen a rendszma: . A keresett va-
lsznsg ezen esemny komplementernek a valsznsge: .
gy az egyenltlensg megoldsa adja az eredmnyt: . Mivel n
pozitv egsz, ezrt legalbb 57 autval kell tallkozniuk.
21. Egy elzetes felmrs szerint egy 1200 fs faluban 600-an a kormnyprtra szavaznnak, 400-an
ms prtra s 200-an mg nem tudjk, vagy nem mennnek el szavazni. Egy kzvlemny-kutat
cg vletlenszeren kivlasztott 20 embert fog megkrdezni az elzetes felmrs szerinti biztos
szavazk kzl arrl, hogy a kormnyprtra szavazna-e, vagy nem. A cg matematikusai azt akar-
jk kiszmolni, mekkora a valsznsge annak, hogy
a) ppen hatan nem fognak a kormnyprtra szavazni a hszbl;
b) legalbb ketten a kormnyprtra fognak szavazni.
A matematikusok egyik rsze a visszatevs nlkli modellel (hipergeometrikus eloszlst feltte-
lezve), msik rsze pedig a visszatevses modellel (binomilis eloszlst felttelezve) szmol.
Mekkora lesz az eltrs az egyes krdsekre kapott eredmnyek kztt a kt matematikus csoport
esetben?
Megolds:
a) ppen hatan nem fognak a kormnyprtra szavazni a hszbl.
hipergeometrikus eloszlssal binomilis eloszlssal
paramterek: . paramterek: .
(
) (
)
(
) . (
) .
Az eltrs: | | | | .
-
42
b) Legalbb ketten a kormnyprtra fognak szavazni:
hipergeometrikus eloszlssal binomilis eloszlssal
paramterek: paramterek:
(
) (
)
(
) . (
) .
(
) (
)
(
) . (
) .
. .
Az eltrs: | | | | .
A kt matematikus csoport ltal kapott eredmnyek eltrse az a) esetben , a b) esetben nagysgrendnek addott, ami altmasztja, hogy ha egy hipergeometrikus eloszls esetn n lnyege-
sen kisebb, mint N s s, akkor szmolhatunk n s
paramter binomilis eloszlssal.
Megjegyzs:
A hipergeometrikus eloszls helyettesthetsge a fenti felttelek mellett azrt fontos, mert
lnyegesen egyszerbb a binomilis eloszls kpletvel szmolni;
ha az N elemszmot nem ismerjk, csak a p valsznsget, akkor nem is tudunk a
hipergeometrikus eloszls kpletvel szmolni;
ha nem tudjuk, nem akarjuk figyelembe venni p vltozst, vagy csak elhanyagolhat mrtk-ben vltozik az egymst kvet kivlasztsok sorn, akkor a felttelek teljeslse esetn sz-
molhatunk a binomilis eloszlssal.
Ha nem tekinthetnk el p vltozstl a kihzsok sorn, akkor nem hasznlhatjuk a binomilis
eloszlst.
-
43
IV. Ellenrz feladatok
1. Egy 20 oldal dobikozader oldalaira 1-tl 20-ig vannak felrva az egsz szmok. Ezzel dobva a
kidobott szmot vizsgljuk. Tekintsk a kvetkez esemnyeket!
{legfeljebb 15-t dobunk};
{pros szmot dobunk};
{sszetett szmot dobunk};
{prmszmot dobunk};
{legalbb 8-at dobunk}.
a) Vannak-e kztk egymst kizr esemnyek?
b) Adja meg a fenti esemnyek komplementer esemnyeit!
c) Adja meg a kvetkez esemnyekhez tartoz kimenetelek ltal alkotott halmazokat, majd az
adott esemnyek valsznsgeit is!
; ; ; .
2. Fggetlenek-e az s esemnyek, ha ?
3. Egy 32 lapos magyarkrtya-paklibl vletlenszeren kivlasztunk 5 lapot. Mekkora a valszns-
ge annak, hogy a kihzott lapok kztt lesz
a) legalbb kt zld;
b) pontosan kt kirly s kt zld;
c) hrom zld s kt piros, ha ebben az esetben a kihzs sorrendje is szmt?
4. Egy vsrl 5000 Ft-os zsebszmolgpet akar venni. A zsebben van 1 db 10000 Ft-os s 5 db
1000 Ft-os bankjegy. Tegyk fel, hogy egyenl valsznsggel veszi ki a bankjegyeket a zseb-
bl.
a) A vsrl megllapodik a kereskedvel, hogy egy darab vletlenszeren kivett bankjeggyel fi-
zet a szmolgprt. Igazsgos-e az ajnlata?
b) A vsrl megllapodik a kereskedvel, hogy kt darab vletlenszeren kivett bankjeggyel fi-
zet a szmolgprt. Igazsgos-e az ajnlata?
5. Egy egysgnyi hosszsg szakaszon vletlenszeren kivlasztunk kt pontot. Mekkora annak a
valsznsge, hogy kzelebb vannak egymshoz, mint az egysgszakasz vgpontjaihoz?
6. Ismt megemeltk a buszjegyek rt, ezrt Fekete Pter elhatrozta, hogy a kvetkez hten mun-
kba menet reggelente nem fog lyukasztani egyszer sem. A problmt csak az jelenti, hogy min-
den nap 0,3 valsznsggel szll fel ellenr a buszra, s ha mr felszllt, akkor 95% esllyel el is
szokta kapni a potyautast.
a) Mekkora valsznsggel ssza meg Fekete Pter a bntetst a kvetkez ht munkanapjain?
b) Mire szmthat, hnyszor fogjk megbntetni a kvetkez ht sorn?
c) Mekkora valsznsggel bntetik meg pontosan ktszer?
d) Mekkora valsznsggel kapjk el elszr ppen az utols napon, pnteken?
e) Feltve, hogy Fekete Ptert egyszer sem bntettk meg, mekkora valsznsggel volt minden
nap ellenr a buszon?
-
44
7. Egy ess vidken a meteorolgusok megfigyelsei alapjn megllaptottk a nyri hnapokra vo-
natkozlag, hogy jniusban 45%, jliusban 20% s augusztusban 15% valsznsggel esik az
es. Figyelembe vve a nyri hnapok napjainak szmt, adja meg, mekkora annak a valszns-
ge, hogy egy nyri napon
a) esik az es;
b) jnius van, feltve, hogy esik az es;
c) nem augusztus van, feltve, hogy nem esik az es?
-
45
Az ellenrz feladatok megoldsai
1. Egy 20 oldal dobikozader oldalaira 1-tl 20-ig vannak felrva az egsz szmok. Ezzel dobva a
kidobott szmot vizsgljuk. Tekintsk a kvetkez esemnyeket:
{legfeljebb 15-t dobunk};
{pros szmot dobunk};
{sszetett szmot dobunk};
{prmszmot dobunk};
{legalbb 8-at dobunk}.
a) Vannak-e kztk egymst kizr esemnyek?
b) Adja meg a fenti esemnyek komplementer esemnyeit!
c) Adja meg a kvetkez esemnyekhez tartoz kimenetelek ltal alkotott halmazokat, majd az
adott esemnyek valsznsgeit is!
; ; ; .
Megolds:
a) Egymst kizrak: C s D. Tbb nincs.
b) A komplementerek:
{legalbb 16-ot dobunk};
{pratlant dobunk};
{1-et vagy prmszmot dobunk };
{1-et vagy sszetett szmot dobunk};
{legfeljebb 7-et dobunk}.
c) ; ( )
.
; ( )
.
;
.
; ( )
.
2. Fggetlenek-e az s esemnyek, ha ?
Megolds:
, ahonnan .
, teht fggetlenek.
3. Egy 32 lapos magyarkrtya-paklibl vletlenszeren kivlasztunk 5 lapot. Mekkora a valszns-
ge annak, hogy a kihzott lapok kztt lesz
a) legalbb kt zld;
b) pontosan kt kirly s kt zld;
c) hrom zld s kt piros, ha ebben az esetben a kihzs sorrendje is szmt?
-
46
Megolds:
a) A komplementer esemny valsznsgnek segtsgvel felrhat:
( ) (
) ( ) (
)
(
)
b) A kedvez esetek meghatrozsakor kln kell vizsglni azt, ha kivlasztottuk a zld kirlyt,
illetve ha nem.
Ha a zld kirlyt kivlasztottuk: ( ) (
) (
) eset.
(zld kirly; mg egy zld; mg egy kirly; kt nem zld s nem kirly)
Ha a zld kirlyt nem vlasztottuk ki: ( ) (
) (
) eset.
(kt zld, de nem kirly; kt nem zld kirly; egy nem zld s nem kirly)
(
)
c) Hrom zld s kt piros kihzsnak a valsznsge, ha a kihzs sorrendje is szmt
( ) (
)
Megjegyzs:
A keresett valsznsg rtke akkor is ugyanekkora, ha a kihzs sorrendje nem szmt:
( ) (
)
(
)
4. Egy vsrl 5000 Ft-os zsebszmolgpet akar venni. A zsebben van 1 db 10000 Ft-os s 5 db
1000 Ft-os bankjegy. Tegyk fel, hogy egyenl valsznsggel veszi ki a bankjegyeket a zseb-
bl.
a) A vsrl megllapodik a kereskedvel, hogy egy darab vletlenszeren kivett bankjeggyel fi-
zet a szmolgprt. Igazsgos-e az ajnlata?
b) A vsrl megllapodik a kereskedvel, hogy kt darab vletlenszeren kivett bankjeggyel fi-
zet a szmolgprt. Igazsgos-e az ajnlata?
Megolds:
a) Jelljk az X valsznsgi vltozval a kivett pnz rtkt!
X eloszlsa alapjn a vrhat rtke:
1000
10000
Ft.
-
47
Teht ebben az esetben a vsrl elnysebb helyzetben van, mint a keresked, mert vrhat-
an ron alul veheti meg a szmolgpet, nem pedig rfizetssel.
b) X eloszlsa alapjn a vrhat rtke:
2000 ( ) (
)
( )
11000 ( ) (
)
( )
Ft. Teht ez az ajnlat igazsgos.
5. Egy egysgnyi hosszsg szakaszon vletlenszeren kivlasztunk kt pontot. Mekkora annak a
valsznsge, hogy kzelebb vannak egymshoz, mint az egysgszakasz vgpontjaihoz?
Megolds:
Legyen az egysgszakasz a derkszg koordinta-rendszer x-tengelyn a [ ] intervallum. Eb-
ben a kivlasztott kt pont 0-tl val tvolsga x s y! x s y a kvetkez feltteleket kell, hogy ki-
elgtse:
Ha , akkor s kell, hogy teljesljn.
Ha , akkor s kell, hogy teljesljn.
Geometriai valsznsgi mezben legyen az esemnytr: | ] [ . A vlasz-
tott mrtk a terlet. . Legyen az A esemnynek megfelel ponthalmaz a fenti felttele-
ket teljest koordintj pontok halmaza a H-n. Belthat, hogy az A ponthalmazt az brn piros sznnel kitlttt rombusz bels pontjai alkotjk.
Ennek a rombusznak az egysgngyzettel nem kzs cscsai slypontok abban a kt egyenlszr
derkszg hromszgben, amelyre a ngyzetet vgja az origbl indul tlja. Egy hromszg
slypontjt a cscsokkal sszekt szakaszok hrom egyenl terlet hromszgre bontjk. Ezt
felhasznlva addik, hogy az A halmaznak megfelel rombusz terlete:
. gy a keresett
valsznsg
-
48
6. Ismt megemeltk a buszjegyek rt, ezrt Fekete Pter elhatrozta, hogy a kvetkez hten mun-
kba menet reggelente nem fog lyukasztani egyszer sem. A problmt csak az jelenti, hogy min-
den nap 0,3 valsznsggel szll fel ellenr a buszra, s ha mr felszllt, akkor 95% esllyel el is
szokta kapni a potyautast.
a) Mekkora valsznsggel ssza meg Fekete Pter a bntetst a kvetkez ht munkanapjain?
b) Mire szmthat, hnyszor fogjk megbntetni a kvetkez ht sorn?
c) Mekkora valsznsggel bntetik meg pontosan ktszer?
d) Mekkora valsznsggel kapjk el elszr ppen az utols napon, pnteken?
e) Feltve, hogy Fekete Ptert egyszer sem bntettk meg, mekkora valsznsggel volt minden
nap ellenr a buszon?
Megolds:
Jellje az X valsznsgi vltoz azt, hogy hnyszor bntetik meg az 5 nap alatt Fekete Ptert. X
binomilis eloszls, paramterekkel.
a) ( ) valsznsggel nem fogjk megbntetni.
b) . Teht szmthat r, hogy 1-szer megbntetik.
c) ( ) valsznsggel fogjk pontosan ktszer meg-
bntetni.
d) valsznsggel bntetik meg elszr ppen az utols napon.
e) Legyen A az az esemny, hogy minden nap volt ellenr a buszon, B pedig az, hogy a hten egyszer sem bntetik meg Fekete Ptert.
|
|
7. Egy ess vidken a meteorolgusok megfigyelsei alapjn megllaptottk a nyri hnapokra vo-
natkozlag, hogy jniusban 45%, jliusban 20% s augusztusban 15% valsznsggel esik az
es. Figyelembe vve a nyri hnapok napjainak szmt, adja meg, mekkora annak a valszns-
ge, hogy egy nyri napon
a) esik az es;
b) jnius van, feltve, hogy esik az es;
c) nem augusztus van, feltve, hogy nem esik az es?
Megolds:
{ess nap}; {jniusi nap}; {jliusi nap}; {augusztusi nap}.
a) egy nyri napon esik az es:
| | |
b) jnius van, feltve, hogy esik az es:
|
-
49
c) nem augusztus van, feltve, hogy nem esik az es:
[ | ] [ ]
( )
( ) ( )