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F A C U L T A D D E C I E N C I A S Y T E C N O L O G I A

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A

1

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

SYLLABUS

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

Carrera Ingeniería de Sistemas, Telecomunicaciones y Gas y Petróleo

ALGEBRA LINEAL – TEORIA MATRICIAL

SEGUNDO SEMESTRE

Ing. Kasandra Julie Vargas Rocha

Gestión Académica I/2012


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4

2.4.1 Desarrollo de cofactores.2.4.2 Método de línea.2.4.3 Desarrollo de La Place.

2.4.4 Regla de Chio2.5 Regla de Cramer. Matriz adjunta e inversión de matrices

Tema 3. SISTEMAS LINEALES.

3.1 Definiciones 3.2 Sistemas compatibles e incompatibles3.3 Representación matricial3.4 Métodos de solución3.5 Sistemas homogéneos

UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES, TRANSFORMACIONES LINEALES.

Tema 4. ESPACIOS VECTORIALES

4.1 Vectores en el plano y en el espacio, operaciones con vectores.4.2 Espacio Euclidiano. Definición y propiedades básicas.4.3 Sub-espacios.4.4 Combinación lineal y espacio generado.4.5 Dependencia e Independencia lineal.4.6 Bases y dimensión.

Tema 5. TRANSFORMACIONES LINEALES5.1 Definiciones. Propiedades5.2 Núcleo e imagen.5.3 Dimensión del núcleo y de la imagen.5.4 Transformaciones lineales inversas.5.5 Representación matricial de una T.L.

UNIDAD 3: VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS. FORMAS CANONICAS. FORMAS CUADRATICAS

Tema 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS.

6.1 Valores, vectores y espacios propios.6.2 Polinomio característico de una matriz.6.3 Matrices semejantes: diagonalización de matrices.6.4 Matrices simétricas: diagonalización de matrices.

Tema 7. FORMAS CANONICAS.

7.1 Formas Triangulares7.2 Invariancia – Descomposiciones en suma directa invariante7.3 Descomposición primaria

7.4 Operadores nilpotentes


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7.5 Formas canónicas de Jordán – Subespacios cíclicos7.6 Forma canónica racional – Espacio cociente

Tema 8. FORMAS CUADRATICAS.8.1 Formas bilineales – Formas bilineales y matrices8.2 Formas bilineales alternadas – Formas bilineales simétricas – Formas cuadráticas8.3 Formas bilineales simétricas reales. Ley de inercia – Formas herméticas

III. BIBLIOGRAFIA

ROJO, J. Y MARTÍN, I. McGraw-Hill, “Ejercicios y Problemas de Álgebra Lineal” , ROJO ARMANDO, “ Álgebra I” , 10ma Ed. Editorial El Ateneo 398 p, Buenos Aires, 1986

LISPCHUTZ, SEYMOUR, "Algebra lineal“ , 10ma. Ed., Edit. McGraw – Hill, (Serie Schaum),México,1988

VEGA B. F. CHUNGARA C. V., “ Álgebra Lineal” , 5ta. Ed., Editorial, U.M.S.A., La Paz – Bolivia, 2001. MC. GRAW-HILL “Algebra Lineal “ 2da Edicion, “Ejercicios y Problemas”


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6

IV. PLAN CALENDARIO

SEMANA DEL AL ACTIVIDADES OBSERVACIONES

1ra. 05-mar 10-marAvance de

materia

2da. 12-mar 17-marAvance de

materia

3ra. 19-mar 24-marAvance de

materia

4ta. 26-mar 31-marAvance de

materia

5ta. 02-abr 07-abrAvance de

materia

6ta. 09-abr 14-abr

Avance de

materia Inicio Primera Evaluación Parcial Presentación de Notas

7ma. 16-abr 21-abrAvance de

materiaConclusión Primera Evaluación Parcial Presentación de Notas

8va. 23-abr 28-abrAvance de

materia

9na. 30-abr 05-mayAvance de

materia

10ma. 07-may 12-mayAvance de

materia

11ra. 14-may 19-mayAvance de

materia

12da. 21-may 26-mayAvance de

materia Inicio Segunda Evaluación Parcial Presentación de Notas

13ra. 28-may 02-junAvance de

materiaConclusión Segunda Evaluación Parcial Presentación de Notas

14ta. 04-jun 09-junAvance de

materia


materia


materia

17ma. 25-jun 30-junAvance de

materia

18va. 02-jul 07-jul Inicio Evaluación Final Presentación de Notas19na. 09-jul 14-jul Conclusión Evaluación Final Transcripción de Notas

20va. 16-jul 21-jul Evaluación del segundo turno/Cierre de Gestión Transcripción de Notas

21ra. 23-jul 25-jul Cierre de gestión

FERIADOS

6 de abril Viernes Santo

1 demayo

Día del Trabajo

7 de junio Corpus Christi


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PLAN CALENDARIO

PLANIFICACIÓN DE ACTIVIDADES

ALGEBRA I INGENIERIA COMERCIALCONTENIDO MÍNIMO CONTENIDO

ANALÍTICOACTIVIDAD PERIODOS

ACADÉMICOSRECURSOSDIDÁCTICOS

1. MATRICES 1.1 Definicionesbásicas.1.2 Operacionesalgebraicas y

propiedades dematrices.1.3 Matricesespeciales: Matriznula, matriztranspuesta, matrizidentidad, matrizdiagonal, matrizescalar, matriztriangular superiore inferior, matriz

simétrica yantisimétrica,matriz idempotente,matriz involutiva,matriz nilpotente,matriz permutable,matriz ortogonal,matriz periódica.1.4 Operacioneselementales de filay columna.

1.4.1 Eliminaciónde Gauss.1.4.2 Eliminaciónde Gauss - Jordán.1.4.3 Rango ocaracterística deuna matriz.1.4.4 Matrizinversa.1.5 Matriceselementales: Matriz

regular, matriz

Exp.TeóricaProblemasy ejercicios

(conpreferencia)

05-03-12 al 17-03-12

(incluye prácticasen clase)

Resolver problemas yejercicios en aula,participación delestudiante.

Trabajos deinvestigación, tomandobibliografía existenteen otras bibliotecas ydiferentes autores.


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singular.1.6 Ecuacionesmatriciales.

2. DETERMINANTES 2.1 Definiciones 2.2 Propiedades2.3 Determinantedel producto de dosmatrices 2.4 Métodos desolución.2.4.1 Desarrollode cofactores.

2.4.2 Método delínea.2.4.3 Desarrollo deLa Place.2.4.4 Regla de Chio2.5 Regla deCramer. Matrizadjunta e inversiónde matrices

Repasoclaseanterior.

Exp.TeóricaProblemasy ejercicios(con

preferencia)

Problemaspara lacasa

19-03-12 al 31-04-12

(incluyeprácticas)

Resolver problemas yejercicios en aula,participación delestudiante.

.

3. SISTEMASLINEALES.

3.1 Definiciones 3.2 Sistemas

compatibles eincompatibles3.3Representaciónmatricial3.4 Métodos desolución3.5 Sistemashomogéneos

Exp.Teórica

Problemasy ejercicios(conpreferencia)

02-04-12 al 14-04-12

(incluyeprácticas)

Trabajos para resolverproblemas y ejercicios

en aula y para la casa.

Uso de calculadoras,escuadras,

Pizarrón,

4. ESPACIOSVECTORIALES

4.1 Vectores en elplano y en el

espacio,operaciones convectores.4.2 EspacioEuclidiano.Definición ypropiedadesbásicas.4.3 Subespacios.4.4 Combinaciónlineal y espacio

generado.

Exp.Teórica


16-04-12 al 28-04-12

(incluyeprácticas)

Resolver problemas yejercicios en aula,

participación delestudiante.


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4.5 Dependencia eIndependencialineal.

4.6 Bases ydimensión.

5.

TRANSFORMACIONES

LINEALES

.

5.1 Definiciones.Propiedades5.2 Núcleo eimagen.5.3 Dimensión delnúcleo y de laimagen.5.4Transformaciones

lineales inversas.5.5 Representaciónmatricial de unaT.L.


Exp.TeóricaProblemasy ejercicios(con

preferencia)


Practicasparaexamen.

30-04-12 al 12-05-12

(incluyeprácticas)

Trabajos para resolverproblemas y ejerciciosen aula y para la casa.

Trabajos Word paper,parte de investigación.


Pizarrón,

6. VALORES YVECTORES

PROPIOS.

6.1 Valores,vectores y espacios

propios.6.2 Polinomiocaracterístico deuna matriz.6.3 Matricessemejantes:diagonalización dematrices.6.4 Matricessimétricas:diagonalización de

matrices.

Exp.Teórica



14-05-12 al 02-06-12

(incluyeprácticas)

Trabajos para resolverproblemas y ejercicios

en aula y para la casa.


Pizarrón,


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7. FORMASCANONICAS.

7.1 FormasTriangulares7.2 Invariancia –

Descomposicionesen suma directainvariante7.3Descomposiciónprimaria7.4 Operadoresnilpotentes7.5 Formascanónicas deJordán –

Subespacioscíclicos7.6 Formacanónica racional –Espacio cociente


Exp.TeóricaProblemasy ejercicios(conpreferencia)



04-06 -12 al 16-06 -12

(incluyeprácticas)

Trabajos pararesolver problemas yejercicios en aula y

para la casa.

Trabajos Word paper,parte deinvestigación.


Pizarrón,

8. FORMASCUADRATICAS.

8.1 Formasbilineales – Formasbilineales ymatrices8.2 Formas

bilinealesalternadas –Formas bilinealessimétricas –Formascuadráticas8.3 Formasbilinealessimétricas reales.Ley de inercia –Formas herméticas

Exp.TeóricaProblemas

y ejercicios(conpreferencia)



18-06 -12 al 30-06 -12

(incluyeprácticas)

Trabajos pararesolver problemas yejercicios en aula ypara la casa.

Trabajos Word paper,parte deinvestigación.


Pizarrón,

VI. CONTROL DE EVALUACIONES

1° evaluación parcialFecha:Nota

2° evaluación parcialFechaNota

Examen final


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FechaNota

APUNTES


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WORK PAPER # 1

PROGRAMA ALGEBRA LINEAL

No. DE PROCEDIMIENTO: APRO – 07 No. DE HOJAS: 2

ELABORÓ: Ing. Kasandra J. Vargas Rocha CÓDIGO: MAT – 111ª

TÍTULO DEL WORK PAPER:Matrices

DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnologia

DESTINADO A:

DOCENTES ALUMNOS X ADMINIST. OTROS

OBSERVACIONES: Carrera Ingeniería de Sistemas. Asignatura: Algebra Lineal - UNIADAD 1

FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo 2012

FECHA DE ENTREGA: Marzo 2012


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En el presente trabajo se detalla un resumen general de la materia “Álgebra Lineal “, en el cual se tratara de

enlazar las relaciones de todos los temas vistos en él transcurso del semestre.

Por ejemplo, dimensión y espacio vectorial, combinación lineal y matrices n x m, y otros temas están ampliamente

relacionados igual que otros temas que veremos en el transcurso del sylabos.

Tratar de enlazar los temas de la presente asignatura fue satisfactorio ya que así nos damos cuenta de que tanto

necesitamos aprender los temas anteriores para poder resolver los nuevos problemas, sin tener una buena base de

los temas estudiados en el transcurso del trabajo no podríamos realizar los problemas de otros temas.

Matrices

1. Definiciones:

Matriz Es una tabla de elementos, donde éstos se agrupan en filas y columnas adoptando una forma

rectangular. En ella es válido el elemento nulo (cero). Se nombra a los elementos por su posición, con dos

subíndices, el primero para la fila, y el segundo para la columna. Elemento genérico: aij.

Diagonal principal de una matriz es la diagonal formada por los elementos en los que se cumple i=j.

Diagonal secundaria es la diagonal formada por los elementos donde se cumple i+j=nº de columnas + 1.

Matriz fila Es la matriz con una sola fila.

Matriz columna Es la matriz con una sola columna.

Matriz cuadrada Es la matriz con el mismo número de filas y columnas.

Matriz triangular Es la matriz que tiene por encima o por debajo de la diagonal principal todos los elementos

nulos. Si éstos están por debajo, es una matriz triangular superior. Si están por encima, es una matriz triangular

inferior.


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Matriz diagonal Es la matriz que sólo tiene elementos no nulos en la diagonal principal.

Matriz escalar Es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz unidad Es la matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal igual a uno. Se designa por I n,

donde n es el nº de filas y columnas.

Matrices equidimensionales son las que tienen iguales sus números de filas y columnas.

Matrices iguales

son las que son iguales en su forma y también miembro a miembro.PREGUNTAS:

1.-¿Enuncie las operaciones con Matrices ?

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

..........................................................................

2.- ¿Enuncie y explique las matrices especiales ?.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

............................................................................

3.- ¿ Enuncie las propiedades de matrices?

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................................................................

4.- ¿Explique que entiende por matriz transpuesta y dar un ejemplo?

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

............................................................................

5.- ¿ Explique que es matriz escalar y dar un ejemplo?


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………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................................................................

6.- ¿ Explique que algoritmos del álgebra lineal existen para determinar las soluciones de un sistema de

ecuaciones lineales?

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………


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WORK PAPER # 2



ELABORÓ: Ing. Kasandra J. Vargas Rocha CÓDIGO: MAT – 111ª

TÍTULO DEL WORK PAPER:

Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales


DESTINADO A:

DOCENT ALUMNOS X ADMINIST. OTROS

OBSERVACIONES: Carrera Ingeniería de Sistemas. Asignatura: Algebra Lineal - UNIDAD 1

FECHA DE DIFUSIÓN: ABRIL 2012

FECHA DE ENTREGA: ABRIL 2012


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DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DETERMINANTES: Se define como un cuadro ordenado de Nº Reales dispuestos en filas y columnas. Sonconsecuencia interna de las Matrices, la diferencia radica en que un determinante admite un valor numérico.

Cuando el determinantes es de igual filas que de columnas se dice que es cuadrada, de órden n.

Es de la Forma jia

Para determinar el valor de un Determinante de órden 2 (2x2):

).().( 122122112221

1211aaaa

aa

aa−=

Regla de los signos: Cada elemento, de acuerdo al lugar que ocupa, cuenta con un signo.

( ) ji

jia

+

−

1

+−+

−+−

+−+

= D

Menor Complementario o Cofactor o Adjunto de un Determinante: Cada elemento de un Determinante cuenta con

su menor complementario. El signo de este producto lo determina siempre el elemento, teniendo en cuenta su

ubicación.

Desarrollo de un determinante por medio de este sistema: Se consideran todos los elementos de una fila o columna

y se efectúa la sumatoria de los productos de éstos elementos por los correspondientes Menores Complementarios.Según el desarrollo de la 1º fila:

Resultado...3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

333231

232221

131211

=+−==

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

D

Ejemplo numérico: Según el desarrollo de la 2º fila:

49553

31.1

543

010

321

−=−==

= D

Regla de Sarrus: Sólo tiene aplicación en Determinantes de 3º orden: Se le agregan las dos últimas filas (o

columnas) y se efectúa la sumatoria de los productos de las diagonales positivas (de izquierda a derecha y de arriba

abajo) restándole la sumatoria de los productos de las diagonales negativas (de izquierda a derecha y de abajo a

arriba).


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( )ceg f haibd f bgchd iea

f ed

cbaihg

f ed

cba

D ............ ++−++==

Sistema de Ecuaciones Lineales

Comprender el concepto de ecuación como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la incógnita que la hace

verdadera. Identificar la transposición de términos en una ecuación como método para transformar una ecuación en otra

equivalente más sencilla. Reconocer un sistema de ecuaciones como dos ecuaciones con dos incógnitas relacionadas entre sí.

Conocer los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Quedando así la clasificación:

Sistemas compatibles e incompatibles.-

Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.

Sistema compatible si t iene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

PREGUNTAS:

1.- ¿Enuncie las propiedades de los determinantes ?…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.- ¿ Dados los siguientes Determinantes:

A= B=


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Efectuar las siguientes operaciones:a) A.B

b) B.Ac) At d) Bt .Ae) At .Bt

3.-Resuelve por Cramer y por Gauss el siguiente sistemax + 6y + 4z = 34x + 5y + 3z = 22x + y + 5z = 5………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….4.- ¿Explique que métodos hay para resolver un sistema de ecuaciones lineales con un ejemplo ?………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


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WORK PAPER # 3



ELABORÓ: Ing. Kasandra J.Vargas Rocha CÓDIGO: MAT – 111ª

TÍTULO DEL WORK PAPER:

ESPACIOS VECTORIALES, TRANSFORMACIONES LINEALES


DESTINADO A:



FECHA DE DIFUSIÓN: MAYO 2011

FECHA DE ENTREGA: MAYO 2011


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Espacios Vectoriales

Para introducirnos en el tema de los espacios vectoriales, es necesario previamente estudiar los vectores, desde lapercepción de la geometría. Cosa que se ve muchas aplicaciones en la física, donde aparecen ciertas cantidades,

como la representación de la temperatura, rapidez (modulo de velocidad), que posee solo magnitud. Estas pueden

representarse por números reales llamados escalares.

Como parte de la geometría el estudiante deberá estar familiarizado con la representación de puntos en el plano

como en el espacio, eligiendo el origen del vector en el origen del par de coordenadas rectangulares como

referencia o punto O. Donde todo vector queda unívocamente determinado por las coordenadas de su extremo,

existen relaciones, propiedades y operaciones entre vectores.

Matemáticamente identificamos a un vector con sus extremos, presumimos que el estudiante debe estar

familiarizado con las propiedades más elementales del cuerpo de los números reales que denotamos por, por su

número de elementos que componen el extremo del vector si esta en el plano o en el espacio u otra dimensión, así

R2 para el plano, R3 para el espacio, en general Rn en un espacio finito, con la norma de un vector podemos definir

su magnitud.

Conociendo el concepto mismo que es un vector, podemos entrar y comprender sin dificultades los espacios

vectoriales de dimensión finita. Por definición un espacio vectorial involucra u cuerpo arbitrario cuyos elementos se

denomina escalares.

En este capitulo no se abarca conceptos de longitud y ortogonalidad, puesto que no se consideran parte de la

estructura fundamental de un espacio vectorial. Se concluirá como estructura adicional en capítulos posteriores.

Se tomaran ejemplos de espacios vectoriales considerando cuerpo elemento, espacio matriz, espacio polinomio,espacio de funciones, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, bases ydimensiones etc.

Vectores en el plano .-

El conjunto e n-tuplas de números reales , denotado por , recibe el nombre de n-espacio .Una n- tupla en

es por ejemplo:

u=( u1,u2,u3,………..,un)

se denomina punto o vector ; los números reales ui son los componentes (o coordenadas ) del vector u.

Dos vectores son iguales. u=v , si tienen el mismo número de componentes, es decir, pertenecen al mismo

espacio , y si las componentes son iguales .


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Ejemplo 1.-(1,2,3) y (2,3,1) no son iguales , puesto que no lo son las componentes correspondientes.

Vectores en el espacio .-Los vectores en R3, denominado vectores espaciales , se utiliza la siguiente notación para tales vectores :

i=(1,0,0) denota el vector unitario en la dirección x

j= (0,1,0) denota el vector unitario en la dirección y

k= ( 0,0,1) denota el vector unitario en la dirección z.Cualquier vector u= (a,b,c) en R 3 puede expresarse :

U=(a,b,c) = ai + bj +ck

Espacio Euclidiano. Definición

Un espacio euclidiano es el conjunto de n−adas ordenadas, tambien conocido por espacio n−dimencional y denota

por Rn este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn se

clasifican así:R1 = espacio unidimensional, línea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas........

Rn = espacio n−dimencional, n−adas ordenadas.

Se utilizara la siguiente notación:

K el cuerpo de escalares

a,b,c o k los elementos de K

V el espacio vectorial dado

u,v,w los elementos de V

Subespacios.-

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo k.W se denomia un subespacio de V si es a

su vez un espacio vectorial sobre k con respecto a las operaciones de V , suma vectorial y producto por un

escalar.

Combinación lineal y espacio generado.


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Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y v1,v2,v3…….,vn pertenece a V. Cualquier vector en V de laforma

a1 v1+ a2v2+,a3v3+…………+amv m

Donde los ai pertenece K,recibe el nombre de combinación lineal de v,v,…….v. El conjunto de todas las

combinaciones lineales semejantes, denotado por

Lin(v1,v2,…….vm)

Se denomina envolvente lineal de v1,v2,…….vm

En general , para cualquier subconjunto S de V, lin S ={0} si S es vacio y lin S consiste en todas las

combinaciones lineales de vectores de S

TRANSFORMACIONES LINEALES:

Notación standard de la transformada lineal es: V se denomina de T. Si v pertenece a V y w esta en W, T(v) = w

donde w será la imagen de v bajo T, el conjunto de todas las imágenes se llama contradominio de T y el

conjunto de v de V tales que T(v) = w se llama preimagen de w.

La definición de transformación lineal es que todo espacio vectorial en V y W se puede hacer transformación

lineal si cumplen con los axiomas de la distribución bajo la suma ( T(U + V) = T( U ) + T ( v )) y la multiplicación

por un escalar (T(cU)= cT(u)). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus propiedades que son :

1) T(0) = 0

2) T(-v) = - T(v)

3) T(v-u) = T(v)-T(u)

4) Sí v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn entonces v = c1 T(v1)+ c2 T(v2)+ ... + cn T(vn).

PREGUNTAS:

1.- ¿ Explique que es dependencia e independencia lineal y da un ejemplo?

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………….


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2.- ¿ Enuncie las propiedades del Espacio Euclidiano?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………

3.- ¿Explique que entiende por Bases y Dimensiones ?

………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………….

4.- ¿De un concepto de Isomorfismos?

……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………….

5.- ¿Qué entiende por nucleo e imagen de una aplicación lineal?

……………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………..


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WORK PAPER # 4



ELABORÓ: Ing. Kasandra Vargas Rocha CÓDIGO: MATA – 111 A

TÍTULO DEL WORK PAPER:Formas cuadráticas


DESTINADO A:



FECHA DE DIFUSIÓN: JUNIO 2012

FECHA DE ENTREGA: JUNIO 2012


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FORMAS CUADRATICAS

Dentro del estudio del algebra lineal encontramos el estudio de las Formas Cuadráticas, conocido como: álgebra booleana,estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar

prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y

computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.

En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes

electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos

que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

En el este tema se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,

haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas canónicas de las funciones

booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma

función.

Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas, el problema

de determinar una expresión mínima para una función es a menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo,

principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo.

Como solución a este problema, se plantea un método de simplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados

mapas o diagramas y el cual tiene la limitación de poder trabajar adecuadamente sólo con pocas variables. Se realizan estaspresentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógica proposicional, y con el objeto de

cimentar el procedimiento de simplificación presentado en la lógica de proposiciones.

Reseña Histórica

Es necesario realizar una pequeña reseñas como y porque se ha logrado aplicar en las matemáticas este tema. En libros:

publicados entre los años 1847 y 1854, se encuentra el desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas

mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero o

Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadasmediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la

Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de

reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.

Fue en el siglo XX el álgebra Booleana resultó de una gran importancia práctica, importancia que se ha ido incrementando hasta

nuestros días, especialmente en el manejo de información digital.


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Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de

diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una

respuesta (salida) también binaria o lógica.

Álgebra Booleana

Es necesario realizar y darle la importancia al álgebra booleana como un sistema matemático deductivo centrado en los valores

cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario, definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo

valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para

cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales que desarrollaremos en clases, de aquí se pueden deducir

reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores

booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo. Se dice que un operador binario es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de Ay B.

Asociativo. Se dice que un operador binario es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores

booleanos A, B, y C.

Distributivo. Dos operadores binarios son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores

booleanos A, B, y C.

Identidad. Un valor booleano se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario si A º I = A.Inverso. Un valor booleano es un elemento inverso con respecto a un operador booleano si A º I = B, y B esdiferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores:

Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente

como falso y verdadero. Además de la utilización de algunos postulados que regiran el tema.

PREGUNTAS:

1.- ¿Podemos describir la importancia y su relación con los temas anteriores estudiados en el presente curso?……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

2.- ¿Dónde y como podriamos aplicar este tema, dentro del contexto de las matemáticas?……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………………………………………………………………………………………………………………………


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