25. kararlilikee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan...
TRANSCRIPT
![Page 1: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/1.jpg)
25. KARARLILIK
• KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ
1
a-) Routh – Hurwitz Kararlılık Ölçütü
b-) Kök – Yer Eğrileri Yöntemi
c-) Nyquist Yöntemi
d-) Bode Yöntemi
![Page 2: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/2.jpg)
2
![Page 3: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/3.jpg)
3
![Page 4: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/4.jpg)
4
![Page 5: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/5.jpg)
a) Routh – Hurwitz Kararlılık Ölçütü
• Routh Hurwitz kararlılık ölçütü bir polinom denkleminin
pozitif gerçel kısımlı köklerin bulunup bulunmadığını
denklemi çözmeden belirlemeye yarar.
• R.H ölçütü özellikle yüksek derecede polinomlarda
köklerin incelenmesinde önemli kolaylık sağlar.
• Kontrol sistemleri uygulamalarında sistemlerin kararlılığı
bu yöntemle özyapısal denklemin köklerinden incelenebilir.
5
![Page 6: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/6.jpg)
Gereklilik Şartı
• Polinom denkleminin gerçel negatif kısmı köklere sahip
olması dolayısıyla kararlı olabilmesi için denklemin tüm
katsayılarının pozitif ve sıfırdan farklı olması gerekir.
6
![Page 7: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/7.jpg)
Yeterlilik Şartı :
Routh tablosu pozitif değerli katsayılara sahip bir sistemin kararlılığını kesin olarak belirlenebilmesi Routh kararlılığının ileri sürülen tablo ile belirlenir. Bunun için polinomun katsayıları cinsinden Routh tablosu aşağıdaki gibi satır ve sütunlardan oluşur.
Bu yoldan gidilerek n+1 satırına kadar tüm elemanları hesaplanır.
Tablonun 1. sütununda yer alan elemanlar sistemin kararlılığının belirlenebilmesinde kullanılır.
Polinom denkleminin pozitif gerçel kısımlı köklerin sayısı tablonun 1. sütunundaki elemanların işaret değiştirme sayısına eşittir.
Gereklilik şartının sağlayan bir sistemin kararlı olabilmesi için, Routh tablosunun 1. sütunundaki elemanlardan hiçbiri işaret değiştirmemesi gerekir, bu durum bu yöntemin yeterlilik şartıdır. Bu şartı sağlamayan sistem kararsızdır.
7
![Page 8: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/8.jpg)
8
![Page 9: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/9.jpg)
Dördüncü satır oluşturmak üzere aynı yol
izlenerek
9
Gereklilik şartını sağlayan bir sistemin kararlı olabilmesi
için Routh tablosunun birinci sütunundaki elemanlardan
hiçbirinin işaret değiştirmemesi gerekir. Bu durum bu
ölçütün yeterlilik şartıdır. Bu şartı sağlamayan sistem
kararsızdır. 1. sütundaki işaret değiştirme sayısı sistemin
sağ yarı düzlemde yer alan kutuplarının sayısını verir.
![Page 10: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/10.jpg)
Örnek
• Özyapısal denklemi 4. dereceden bir polinom olarak verilen aşağıdaki
sistemi ele alalım.
10
Birinci sütunda biri +2 den -1’e geçerken ve biri de -1 den +8’e
geçerken olmak üzere iki işaret değişimi vardır. Buna göre sistemin
sağ yarı düzlemde iki kökü mevcuttur ve dolayısıyla sistem
kararsızdır.
![Page 11: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/11.jpg)
Örnek
2 3 10
1 5 0
10 0
0 0
10 0 0
Listelemenin ilk sütununda iki işaret değişimi görüldüğünden denklemi sağ yarı s- düzleminde iki kutbu bulunur. Denklemin dört kökü çözülürse s1,2=-1,0055±j0,7555 ve s3,4=-0,7555±j1,444 elde edilir. Açıkça görüldüğü gibi
son iki kök sağ yarı s-düzleminde bulunduğundan sistemi kararsız kılar.
![Page 12: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/12.jpg)
1 2 3
1 2 0
0=ε 3
0
3 0
Örnek
Sistem Kararsızdır
![Page 13: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/13.jpg)
Örnek
1 8 7
4 8 4
6 6
4 4
0 0 0
8 0
4 Sistem Sınır Kararlıdır
![Page 14: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/14.jpg)
1 K + 2
3K 4
0
4
![Page 15: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/15.jpg)
Örnek Şekilde verilen kapalı- döngü sistemini ele alalım. Sistemin kararlı
çalışmasını sağlayan K değeri veya değerlerini bulunuz.
![Page 16: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/16.jpg)
1 12 K
3 K-16 0
a b=K
c
d=K
a=(52-K)/3, b=K c=(K2-59K+832)/(K-52) d=K
![Page 17: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/17.jpg)
b) Kök-Yer Eğrileri Yöntemi
• Kapalı çevrim bir kontrol sisteminin geçici durum davranışının temel özellikleri, kapalı çevrim kutuplarından belirlenir.
• Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde kapalı çevrim kutupları karmaşık sayı S düzleminde yerleşimi önem arz eder.
• Kapalı çevrim sistemlerinin incelenmesi ve tasarımında kapalı çevrim kutuplarının ve sıfırlarının S düzleminde arzu edilen konumda yerleşimini sağlama üzere açık çevrim kutuplarının ve sıfırlarının ayarlanması gerekir.
• Kapalı çevrim kutupları özyapısal denklemin kökleridir. Bu kökleri bulmak için özyapısal polinomun çarpanlara ayrılması gerekir.
• Bu genelde 3. ve daha yüksel dereceden polinomlarda çok zaman alıcı bir işlemdir.
17
![Page 18: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/18.jpg)
Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları
Kural 1:
• Kök-yer eğrisi birden fazla kollardan meydana gelebilir ve bu
kolların sayısı özyapısal denklemin derecesine eşittir. Kök-yer eğrilerinin her bir bölümü veya kolu kazancın değişimine bağlı olarak kapalı-döngü sistemin belli bir kutbunun hareketini tanımlar.
18
![Page 19: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/19.jpg)
Kural 2:
• Açık döngü kutupları kök-yer eğrisinin başlama noktasını (K=0) ve açık döngü sıfırları da kök-yer eğrisinin bitiş noktasını (K=∞) tanımlar. Buna göre kök-yer eğrisi açık-döngü kutuplarında başlar ve sıfırlarında sona erer.
• Eğer G(s)H(s) ‘ın paydasının derecesi payın derecesinden büyük ise kök yer eğrisi sonsuzda biter ve payın derecesi paydanın derecesinden büyükse kök-yer eğrisi sonsuzda başlar. Genellikle paydanın derecesi payın derecesinden büyük olduğundan kök-yer eğrisi de sonsuza gider.
19
![Page 20: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/20.jpg)
Kural 3:
• Gerçek eksen üzerinde yer alan kök-yer eğrisi kolları açık döngü kutup ve sıfırlarından bulunur. Gerçek eksen üzerinde yer alan kök-yer eğrisinin her bir kısmı bir kutup veya sıfırdan diğer kutup veya sıfıra doğru uzanır.
• Gerçek eksen üzerinde yer alan kök-yer eğrisi kolunu çizmek için bir test noktası alınır. Eğer bu test noktasının sağında yer alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer ekseni üzerinde yer alıyor demektir.
20
![Page 21: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/21.jpg)
Kural 4:
• Kök-yer eğrisinin asimptot açısı aşağıdaki denklem yoluyla bulunur.
• Burada
n=açık-döngü, G(s)H(s) kutuplarının sayısı
m=açık-döngü, G(s)H(s) sıfırlarının sayısı
21
![Page 22: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/22.jpg)
Örnek
in asimptotlarını bulunuz.
Olmak üzere üç adet asimptot mevcuttur.
22
![Page 23: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/23.jpg)
Kural 5:
• Tüm asimptotlar gerçek ekseni keser ve gerçek ekseni kestiği
noktalar aşağıdaki ifade ile bulunur.
• Veya
• Bir önceki örnekte ele alınan açık döngü kutupları burada
değerlendirilirse;
elde edilir.
23
![Page 24: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/24.jpg)
Kural 6:
• Kök-yer eğrisinin gerçek eksenden ayrılma noktası gerçek eksen
üzerindeki kazanç katsayısı, K değerinin minimum ve kök-yer
eğrisinin gerçek eksen varış noktası K değerinin minimum olduğu
noktadır.
• Ayrılma ve varış noktaları, özyapısal denklemde K ’yı çektikten
sonra s= koyarak hesaplanabilir daha sonra
• Şeklinde türevi alındıktan sonra maksimum ve minimum yapan
değerleri bulunur.
24
![Page 25: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/25.jpg)
• Sistemin sıfırlarını bulursak:
(s+1)=0 S= -1
• Sistemin kutuplarını bulursak:
S=0 , S=-2 , S=-1/5
• Kutup ve sıfır sayılarını buluruz.
n=3 , m=1 n-m=2 2 adet asimptot vardır
25
olan sistemin kök-yer eğrisini çiziniz.
Örnek:
![Page 26: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/26.jpg)
• Asimptot açıları n=2, m=0 olduğuna göre
• Asimptotların gerçek ekseni kesim noktası
(kutupların toplamından sıfırların toplamı çıkartılır ve asimptot sayısına bölünür)
26
![Page 27: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Kök-yerin gerçek eksenden ayrılma noktası
![Page 28: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/28.jpg)
28
![Page 29: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/29.jpg)
için kök-yer egrisini çiziniz.
Sistemin sıfırlarını bulursak:
(s+1)=0 S= -1
Sistemin kutuplarını bulursak:
S1=0 , S2=-2 , S3,4=-4
Kutup ve sıfır sayılarını buluruz.
n=4 , m=1 n-m=3 3 adet asimptot vardır
![Page 30: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/30.jpg)
Sonsuza giden kökler için asimptot açılarını belirlersek:
k yerine sırasıyla 0,1 ve 2 (3 adet asimptot olduğu için) yazarız.
olarak bulunur.
Asimptotların reel ekseni kestiği noktayı bulursak:
(kutupların toplamından sıfırların toplamı
çıkartılır ve asimptot sayısına bölünür)
![Page 31: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: 25. KARARLILIKee.istanbul.edu.tr/uploads/duyurular/2257_karalilik.pdf · 2014-05-20 · alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042321/5f0b10327e708231d42eab1f/html5/thumbnails/32.jpg)