2.5 Ejercicios del capítulo 2

1. Sabiendo que A . B = P .Completa la siguiente tabla:

A B P

a) x2 +xy + y 2 x - y

b) 2 + a2 -2 a – a3 a +1

c) 3x2 -6x + 7 12 ax4 – 24 ax3 +28ax2

d) -2y + 5x 20x2 – 23 xy +6y2

2. Enlaza las operaciones indicadas en la columna A con los polinomios que aparecen en la columna B, de modo que estos sean resultado de efectuar dichas operaciones:

.

A B

a) 4 ( x +3) + 5 ( x +2) 1) x3 +x2 +x -2

b)5( x +2 ) – ( x +1)( x+4) – 6x 2) x2 +3x +4

c) x(x2–5x+1)+(x–1)2+2x–2 3) 9x +22

d) (x3 +5x2 +10x +8) : ( x +2) 4) 6 -6x –x2

e) (x4 – 3x +2) : ( x – 1) 5) x3 -4x2 +x -1

3. Determina el polinomio que hay que adicionar al producto de:

3a2 b + 2c y 2 a2 b – c para obtener –5a4 b2 – a2 b + 3 c2. 4. Si 5mn2 – n3 se sustrae de m3 + 7mn2 – 2n3, ¿qué polinomio hay que

adicionar a esta diferencia para obtener 2m3 – mn2?

5. Demuestra que:

12n2 - 2 -4mn - (2m – 3n) (m + 2n) + m2 = 2m2 + 10mn

6. Sean P = 0,6x2 – 7 y2 ; Q = 3x – 4y ; R = x – 2y.

a) Simplifica 5P – Q · R

b) Si se conoce que y = –3. ¿Cuál debe ser el valor de x para que el resultado obtenido en el inciso a sea igual a 0?

7. Sean A = 3x – y , B = 4xy – 4,5x2.

a) Halla A2 + 2B.

b) Calcula el valor numérico del resultado obtenido para:

x = 2, y = – 1,5. 8. Sean B = (2m + 3)2 ; C = (3m + 2)(3m – 2) y D = 7 + 9m.

a) Calcula K si K = C – (B + D).

b) Comprueba que el valor numérico de K para m = – 2 es múltiplo de 7.

9. Sean A = (3x + y)( 3x – y) y B = 6xy + 2y2.

a) Calcula A + B.

b) Expresa el resultado como un producto.

c) Comprueba que el valor numérico de la expresión resultante para x = 3; y = – 15 es 36.

10. Sean A = ( 3x + 2) y B = ( 4x 2 + 3x – 2).

a) Calcule A2 – 2B.

b) Descomponga en factores el resultado obtenido.

c) Halle el valor numérico del resultado para x = 5.

11. Sean P = (2m – 5); Q = ( m + 3)(m –3) y R = 13 – 4m

a) Calcule P2 + Q – R.

b) Descomponga en factores el resultado obtenido.

c) Halle el valor numérico de dicho resultado para m = –2.

12. Verifica si las igualdades siguientes son ciertas.

a) (x – 4)(x + 3) + 2x (x +2) – (2x2 – 2) = (x –2)(x +5)

b) ( a + 3)( a – 3) + a ( a – 4)– (4a – 5 + 2a2 ) = – 4 ( 2a + 1)

c) b (b +4) + ( b – 3)2 – (12 + 3b) = (2b + 1) (b – 3)

d) (p + 3) (2p – 5) + (p + 3)2 – (7p + 3 – p2) = (2p + 3) (2p – 3)

13. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4

5

6122

2

xxx

b) 053

4x

c) 14

1

6

1

3

2 xxx

d) xxxx

22

5

4

1

2

13

5

2

e) 5

5

4

3

3

2

2

1 xxxx

05

1

3

2x

5

1

4

2x3

3

4

6

1x2

5

3

14. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 7(18 – x) – 6(3 – 5x) = – (7x + 9) – 3(2x + 5) – 1

b) 14x – (3x – 2) – [5x + 2 – (x – 1)] = 0

c) 2x + 3(–x2 – 1) = – [3x2 + 2(x – 1) – 3(x + 2)]

d) (3x – 7)2 – 5(2x + 1)(x – 2) = –x2 – [– (3x + 1)]

e) x – {2 + [x – (3x – 1)]} = 2 – x

f) (y + 2)(y – 1) + (– y)2 = (2y – 1)(y + 2) – 4

g) x(x + 1)(x +2) – (x + 1)(x –2)(x + 3) = x2 – 1

15. En las fórmulas siguientes despeja las variables indicadas entre

paréntesis.

a) bxcba 2222 (x)

b) bap 2

(a, b)

c) hca

A2

(a, c, h)

d) br2p (r, b)

e) 100

ctrI (c, t, r)

16. Cuando un gas caliente sale por una chimenea cilíndrica, su velocidad varía respecto a una sección transversal circular de la chimenea; el gas cerca del centro de la sección tiene velocidad mayor que el que está cerca del perímetro. Este fenómeno se puede representar con la fórmula

,

en la cual es la velocidad máxima del gas; es el radio de la chimenea; y V es la velocidad del gas a una distancia r del centro de la sección transversal circular.

De esta fórmula despeja r.

17. Sean dos números reales a y b, no nulos, tales que a2+81b4=18ab. Caldual la razón entre las potencias a3 y b3.

18. Determina los valores del parámetro m para los cuales las raíces de las siguientes ecuaciones sean iguales y reales:

34

253

91220

122

2

22

2

2

mxxm)d

mmzzz)c

mx)m(x)b

mxmx)a

19. Sea g(x) = 2x2–6x+5k. Si x1 y x2 son los ceros de g, calcula el valor de k si se conoce que x1-x2 = 5.

20. Sea la ecuación de segundo grado 2x2–(m–1)x + m +1=0.¿Qué valor debe tomar m para que sus raíces difieran en la unidad?

21. Sea la función cuadrática definida pr la ecuación f(x) = 2

1mx2+2x+1,5x

( m ≠0)¿Para qué valores de m al gráfica de f interseca al eje x en un punto?

22. Si las soluciones de la ecuación x2+ 3x + k = 0 las designamos por x1 y x2, qué valores debe tomar el parámetro k para que:

a) x1 – x2=6 b)3x1 – x2=4 c) 5

2

2

1

x

x d) x1

2+x22=34

23. Sea la ecuación de segundo grado mx2+ 2px + n =0 (m≠0). Si se conoce que p es media geométrica o proporcional entre m y n, halla la relación entre las raíces x1 y x2 de la ecuación dada.

24. Sea la ecuación de segundo grado

(2m–1)x2 + 2(1–m)x +3m=0.

Determina el valor de m si:

a) La ecuación tiene a –1 por solución.

b) La suma de los cuadrados de las raíces es igual a 4.

c) Las soluciones son reales e iguales.

d) El conjunto solución en el dominio de los números reales es el vacío.

25. Dada la función real f que a cada número asocia el triple más uno:

a) Escribe su expresión algebraica.

b) Calcula f (1) y f (¾).

c) Halla el dominio y la imagen.

d) Analiza su monotonía.

26. Dí cuáles de las siguientes correspondencias son directa o inversamente proporcionales:

a) Tiempo que se tarda en limpiar un monte y el número de personas que realizan la limpieza.

b) Cantidad de kilogramos de naranja comprada y el precio que se paga por ellas.

c) Tiempo que tarda un avión en hacer un recorrido y la velocidad del mismo.

27. En un bloque de viviendas, las ventanas son rectangulares y tienen una superficie de 3 m2. Si x es la longitud del lado de la base, exprese su altura, y, en función de x. ¿Que tipo de proporcionalidad se establece entre ellos?

28. Se desea abrir un pozo de forma cilíndrica de diámetro 4 m. Expresa el volumen de agua que cabe en él en función de la profundidad x.

29. Determina todas las propiedades de las funciones siguientes y represéntalas gráficamente en un sistema de coordenadas cartesiano:

7x3

1yl7x3yf

2x3

1yk2x3ye

x3

1yjx3yd

7x3

1yi7x3yc

2x3

1yh2x3yb

x3

1ygx3ya

30. Halla la ecuación de las siguientes rectas y determina todas las propiedades de las funciones lineales que representan:

a) Tiene pendiente -1 y ordenada 4 en el origen.

b) Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4;-5).

c) Pasa por los puntos C (-4; 7) y D (3; 9).

d) Pasa por el punto P(-3; 4) y es paralela a la recta de

ecuación y = - 2x – 5.

e) Pasa por el punto P(-3; 4) y es perpendicular a la recta de

ecuación y = - 2x – 5.

31. El punto de ebullición del agua se expresa mediante la siguiente

fórmula :

t = 100 – 0,001h

donde t es la temperatura del punto de ebullición en grados centígrados del agua y h es la altura a la que se encuentra con relación al nivel del mar.¿Cuál es el punto de ebullición del agua en la cima del monte Everest (8848 metros sobre el nivel del mar)?

32. Cuando un espeleólogo se pone a excavar hacia el interior de la tierra la temperatura aumenta según la fórmula siguiente:

t = 15 + 0,001d

donde t es la temperatura alcanzada en grados centígrados y d es la profundidad, en metros, desde la corteza terrestre.

¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura de 1000?

33. La figura muestra la relación entre el T ( C)

tiempo y la temperatura de una sustancia

a) ¿Cuál fue la mayor temperatura que

alcanzó la sustancia?.

b) ¿Cuál fue la temperatura inicial?

c) ¿Durante qué tiempo la temperatura

de la sustancia estuvo ascendiendo?

d) ¿A los cuántos minutos la sustancia 2 4 6 8 t (min.)

alcanzará los 5 C ?.

e) ¿Qué temperatura tendrá la sustancia

a los 5minutos y 30 segundos?.

34. La figura muestra la relación entre el

tiempo y la temperatura de una sustancia. T ( C)

a) ¿Cuál fue la temperatura inicial de la

sustancia?

b) ¿Cuál era su temperatura a los 6 minutos?.

c) Durante cuántos minutos estuvo descen-

diendo la temperatura?

d) ¿A los cuántos minutos

alcanzó los 0 C?.

e) ¿Qué temperatura tenía la sustancia a los

2 min y 30 s?

35. En la gráfica aparece representada la y

recta r1 de ecuación y = -2x+5. B

a) Representa en el mismo sistema

la recta r2 de ecuación y = x +2.

b) Calcula las coordenadas del punto P r1

de intersección de las rectas r1 y r2. 1

c) Calcula la longitud el segmento AB , A

cuyos extremos son los puntos de -1 0 1 2

5 x

-4

16

5 8

10

40

60

t (min)

intersección de la recta r1 con los ejes

coordenados.

36. En el gráfico están representadas dos y

funciones f y g que cortan a los ejes

coordenados en los puntos A, B, D y E D

ambas se cortan en el punto C y f g

f(x)=- 63

4x 2 C

a)Escribe la ecuación de g

b)Halla el área del ABC A x0 B x

c)Clasifica el ABC según sus lados -2 E

Justifica su respuesta. .

37. Sea la función definida por la ecuación f(x) = mx+n. Calcula m y n , si se

conoce que 6

6 es su cero y que el punto H 356; pertenece a su

gráfica.

38. Sea f una función lineal de la forma f(x)=mx+2 que cumple la siguiente relación:

f(x)= f(x+1)-2

a) Escribe la ecuación de f.

b) Represéntala gráficamente y denota por A y B, los puntos de intersección del gráfico con los ejes coordenados y O el origen de coordenadas.

c) Si en el AOB se traza un segmento AP que lo divide en dos triángulos de igual área. ¿Qué condición debe cumplir el punto P? Justifique.

39. Como parte de la campaña contra el mosquito Aedes Aegypti se procedió a extraer el agua estancada de una piscina que no estaba funcionando.

La figura muestra, a través del gráfico de una función lineal f(t)=mt +n, la disminución del agua en la piscina por el funcionamiento de una bomba de extracción. Al cabo de 5 horas el agua había descendido hasta los 2,0m, y en ese instante comenzaron a funcionar otras bombas de modo que entre

todas continuaron la extracción del agua según la función 3

26

3

4ttg ,

hasta vaciar totalmente la piscina.

a) ¿Qué altura alcanzaba el agua en la y (altura en metros)

piscina antes de comenzar la extracción?

b) Determine mediante el cálculo a qué 3,5

altura estaba el agua a las tres horas

de haberse iniciado el proceso de 2

extracción.

c) ¿En que tiempo se logró vaciar la piscina?

0 5

d) Representa en el gráfico dado, cómo se

fue vaciando la piscina después de las

primeras 5 horas?

40. La siguiente gráfica representa la altura h que alcanza el agua en cada instante, durante el proceso de llenado de un recipiente.

a) ¿Qué altura alcanzó el agua del recipiente

una vez finalizado el proceso.

b) Durante qué tiempo estuvo

subiendo el nivel del agua más

rápidamente. Fundamenta tu

respuesta.

c) Determina mediante el cálculo a qué

altura se encontraba el agua a los

22 minutos.

41. De una función lineal f se conoce que: f(0)=-3 y f(3) – f(-1) =8.

a) Determina la ecuación de la forma y =mx +n que define a f.

b) Halla el valor de x0 para el cual se cumple f(x0) = 1997.

42. Un móvil A con movimiento rectilíneo uniforme se desplaza mediante la función lineal s (t) = v. t. Si en 40 s el móvil ha recorrido 80 m.

a) Escribe la ecuación de la función.

b) Sitúa en un gráfico dónde se encontrará A al transcurrir medio minuto de iniciado el movimiento.

c) c. Si el desplazamiento de un móvil B viene dado por la función lineal m de ecuación m(t) = 4/3 t + 20, calcula analíticamente el instante de tiempo en que se encontrarán.

t(horas)

t(min) 28 10 0

10

16

h (dm)

43. El gráfico de una función lineal f de la forma f(x) = mx + n, m є Q y n є Q, pasa por el punto A(5;4) y corta el eje vertical en el punto de ordenada 3/2.

a) Escribe la ecuación de f.

b) Represéntala gráficamente.

c) Determina los valores de h y t para que los puntos B(3; h) y C(t;-16) pertenezcan a la función f.

d) Calcule 2

1f)6(f1,2)4(f

44. De las funciones 3

f(x) x n2

y g(x) = m´x+n´, se conoce que

2f 0

3,

1g 4

2, g(0) = 3.

a) Halla los valores de n, m´ y n´.

b) Representa estas funciones gráficamente.

c) Calcula las coordenadas del punto donde se intersecan las gráficas de ambas funciones.

45. Sea la función lineal f(x)=mx +n que pasa por los puntos A(k;0) y B(0;2) del sistema de coordenadas de origen O. Sabiendo que el área del ∆AOB es igual a 2,0u2.

a) Calcular el valor de k.

b) Escribir la ecuación de f(x).

c) Representa en el mismo sistema de coordenadas las funciones: f(x) y g(x)=x+4, denotado por: P al punto donde se intersecan las gráficas f y g, y por Q al punto donde g intercepta al eje de las abscisas. Demostrar que los triángulos PQA y AOB son semejantes.

d) Calcular la longitud del segmento PB .

46. La concentración de una muestra de penicilina puede ser determinada, colocándose una cantidad determinada k de gotas en un recipiente que contenga un cultivo de bacterias. La penicilina inhibe el crecimiento de las bacterias en una región circular cuyo diámetro y es medido. En el

siguiente gráfico se muestra la relación entre la concentración klogx 2

y el diámetro del círculo obtenido a través de la tabla 1 por el método de los mínimos cuadrados. ¿Cuál es la ecuación de la recta?

47. Representa gráficamente las siguientes funciones y analiza sus propiedades (dominio, imagen, ceros, monotonía, eje de simetría, máximo o mínimo, signo y paridad):

a) y = (x – 3)2 –1

b) y = x2 – 4x +7

c) y = – 3x2 + 11x – 6

d) y = 6x – x2 - 8

48. Los ceros de una función cuadrática de ecuación cxxy 42 son –2

y 6.

a) Determina las coordenadas de su vértice.

b) Halla el valor mínimo de la función

c) Diga un intervalo donde la función sea decreciente.

49. Sea una función cuadrática definida por una ecuación de la forma f(x) = (m–4)x2+(m2–2k–14)x+(k–m+3). ¿Para qué valor de los parámetros m y k, la representación gráfica de f pasa por el origen de coordenadas?

50. Sea una función cuadrática definida por una ecuación de la forma f(x) = 0,25x2+(k +1)x + 16. Determina los valores reales del parámetro k,

klogx 2 y

0 15,87

1 17,78

2 19,52

3 21,35

4 23,13

5 24,77

15

20

y

25

0 2 4 6

x

para los cuales la gráfica de f interseca al eje de las abscisas en un solo punto.

51. Demuestra que para cualesquiera números reales positivos a y b se cumple:

“ Si a<b, entonces 1 1

a b”

52. Demuestra que en todo triángulo la mitad del perímetro es siempre mayor que el mayor de los lados del triángulo.

53. Investiga si la siguiente proposición es verdadera: En todo triángulo rectángulo no isósceles, la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es menor que la mitad de la longitud de la hipotenusa.

54. Sea el polinomio P(x) = 2x4–2x3+m2x2–3mx+2¿Qué valor debe tener m, para que el polinomio ddo sea divisible por x–1?

55. Dado el polinomio q(x) = 3x4–2x3+nx2–mx+2. Si se conoce que el biniomio

(x–2) es un factor de Q (x) y la razón entre n y m es 5

2, calcula Q(–1).

56. Al dividir el polinomio P(x) = x4–mx3+mx2+mx–n por los monomios x–3 y x+1, se obtiene como resto 0. Halla los valores de m y n.

57. Al dividir el polinomio d(x) = 3x4+mx2+nx–8 por el binomio x+3, se obtuvo un resto igual a 271. Si se reconoce que la media aritmética de m y n es 4, calcula D (–2)

58. Sea P(x) = x2001 – x2000 + x1999 - ..... + x3 – x2 + x + 1. Halla el resto de P(x) en la división por el binomio (x – 1).

59. ¿Para qué valores de p, entero e impar se cumple que al dividir los polinomios 2x2 + 5x + p2 y x2 – 2x – p por x – 1, el resto del primero sea menor o igual que el resto del segundo?

60. Investiga para qué valores de k, el polinomio x3 + 3x2 – k2x + 6k es divisible por el trinomio x2 + x – 6.

61. Determina el valor de q para que el resto de la división de x3 + 6x2 – 2x + q3 por x + 2 sea solución de la ecuación x6 +2x3 +1= 0.

62. Ernesto compró con el dinero que tenía cierto número de tabacos, pero al entrar en otra tienda se percató que podía haber comprado la misma cantidad de tabacos por sólo el 95% de su dinero, y que con todo el dinero hubiera podido comprar 3 tabacos más. ¿Cuántos tabacos compró Ernesto?

63. El consumo eléctrico de una vivienda durante tres meses fue de 770 kWh. Debido a la aplicación de algunas medidas de ahorro en el segundo mes de consumió 63 kWh menos que en el primero. Pero en el tercer mes el ahorro fue mayor aún, pues en este mes se consumió 7 kWh más que el 80 % del mes anterior.

a)¿Cuál fue el consumo de cada mes?

b) ¿En cuántos kiloWatt-hora se sobrepasó o se redujo el consumo de la vivienda el cuarto mes con respecto al tercero, si se conoce que la media entre los cuatro meses fue de 249 kWh?

64. Los estudiantes de un grupo decidieron viajar a una base de campismo el fin de semana. Con ese fin partieron de la Facultad y tras recorrer un 80% de la distancia en tren, hicieron en ómnibus una sexta parte del recorrido, hasta que finalmente fueron caminando los últimos 12 km que los separaban de la base de campismo. ¿Qué distancia tuvieron que recorrer los estudiantes desde la Facultad hasta la base de campismo?

65. Los estudiantes de un grupo acordaron asistir a una obra de teatro. Cada

uno debía pagar por adelantado $5.00 para comprar las entradas, que tenían precisamente ese precio. Al momento de comprarlas, había 3 estudiantes que no habían entregado el dinero, pero dado que hubo una rebaja del precio en un 40% fue posible comprar las de todos y sobraron 35 pesos. ¿Cuántos estudiantes había en el grupo?

66. En una asamblea se adoptó una resolución por una diferencia de 10 votos. Si el 25% de los votos a favor hubieran sido en contra, la resolución no se habría aprobado por 6 votos. ¿Cuántos votos hubo a favor y cuántos en contra?

67. El área de un trapecio mide 20 cm2, la base mayor excede en 2,0 cm a la base menor y la altura es igual a la base menor. ¿Cuánto mide el área del cuadrado cuyo lado mide igual que la altura del trapecio?

68. Una piscina rectangular tiene dimensiones 40 m por 25 m y está rodeada por un paseo de ancho constante. Si el área del paseo es 504 m2, encuentre su ancho.

69. Una esfera hueca de acero tiene la masa m = 72900 g. El ancho de su pared es de 6 cm. ¿Cuál debe ser la medida de su radio interior y exterior para que la densidad sea de 7,8 g/cm3?

70. Para altitudes h hasta de 10 000 metros, la densidad de la atmósfera terrestre, en kg/m3 es aproximadamente,

D =1,225 – (1,12.10–4)h + (3,24.10–9)h2

¿Cuál es la altura aproximada, si la densidad de la atmósfera es 0,74 kg/m3?

71. Las áreas de las superficies de dos esferas es de 15 400 cm2. Los radios se diferencian en 7 cm.¿Cuáles son las longitudes de los radios y cuáles los volúmenes de las esferas?

72. Para medir la profundidad del mar se utilizan ecolocalizadores. El emisor de ondas se encuentra en A, el receptor en B, tal como se muestra en la figura. La amplitud del barco es de 16 m. EL sonido se propaga en el agua con una velocidad de

A B

t (min)

1510 m/s. El barco se puede considerar en reposo durante la medición del tiempo. ¿Cuál es la profundidad para una diferencia de tiempo de 0,1 s?

73. Para determinar la profundidad de un pozo, se puede dejar caer una piedra y medir el tiempo desde el inicio de la caída hasta el momento en que se escucha el choque de la piedra con el agua. Si este tiempo es de 4 s, la velocidad del sonido es 333 m/s y la aceleración debida a la fuerza de gravedad es de 9,81 m/s2, ¿a qué distancia del borde del pozo estará el espejo de agua?

74. Un grupo de alumnos de un instituto politécnico le planteó el siguiente problema a los restantes grupos de su escuela:

En nuestra aula hay menos de 30 alumnos, que proceden de 6 lugares diferentes: A, B, C, D, E y F. Son verdaderas las proposiciones siguientes:

a) De A hay exactamente un alumno. b) De B proceden al menos la mitad, pero no más del 70% de los alumnos. c) De C proceden un número de alumnos equivalente al 25% del número

de alumnos de B, que es más que el número de alumnos de E y menos que el número de alumnos de F.

d) El número de alumnos de D y F representa exactamente el 50% del número de alumnos de B.

e) Si al número de alumnos de E se adicionara el número de alumnos de la clase, entonces la suma sería el doble del número de alumnos de B.

f) De F hay tanto alumnos como de A, D, y E juntos. ¿Cuántos alumnos proceden de cada lugar?

75. Formula un problema a partir de la información que se da en la siguiente tabla sobre las horas totales de emisión por televisión del Canal Educativo:

Emisiones Año 2003 Año 2004

Nacionales 4 529 6 016

Extranjeras 919 1 560

Universidad para Todos 710 692

Teleclases 1 978 2 005

Total 5 448 7 576

76. Formula un problema a partir de la información que se da en el siguiente

gráfico sobre los dispositivos generadores de energía renovable instalados en el año 2004 y la energía obtenida en toneladas equivalentes de petróleo (tep):

Dispositivos Unidades Energía obtenida (tep)

Molinos de viento 6685 10 796,6

Digestores de biogás 112 314,8

Plantas de biogás 85 233,4

Malacates 26 41,3

Arietes hidráulicos 231 149,8

Hidroeléctricas 157 9412,4

Sistema de

calentadores solares

1548 1979,3

Sistema de paneles fotovoltáicos

8 597 359,5

Aerogeneradores 6 86,6

Parque eólico 1 37556,2

Otros 938 412,6

Total 18386 61 342,5