27_uji_t_berpasangan

© 2011 http://www.smartstat.info | Uji-t Student 24

Uji t untuk sampel Berpasangan

Uji-t berpasangan (paired t-test) adalah salah satu metode pengujian hipotesis dimana data yang digunakan tidak bebas yang dicirikan dengan adanya hubungan nilai pada setiap sampel yang sama (berpasangan). Ciri-ciri yang paling sering ditemui pada kasus yang berpasangan adalah satu individu (objek penelitian) dikenai 2 buah perlakuan yang berbeda. Walaupun menggunakan individu yang sama, peneliti tetap memperoleh 2 macam data sampel, yaitu data dari perlakuan pertama dan data dari perlakuan kedua. Perlakuan pertama mungkin saja berupa kontrol, yaitu tidak memberikan perlakuan sama sekali terhadap objek penelitian. Misal pada penelitian mengenai efektivitas suatu obat tertentu, perlakuan pertama, peneliti menerapkan kontrol, sedangkan pada perlakuan kedua, barulah objek penelitian dikenai suatu tindakan tertentu, misal pemberian obat. Dengan demikian, performance obat dapat diketahui dengan cara membandingkan kondisi objek penelitian sebelum dan sesudah diberikan obat. Contoh kasus lain misalnya program diet dimana pengukuran berat badan ditimbang sebelum dan setelah diet. Contoh lain yang bisa dianggap berpasangan meski terdapat 2 objek penelitian, misalnya perbedaan antara tinggi ayah dan anaknya.

Jenis Uji: Dua Arah Pihak Kanan Pihak Kiri H0 : μd = 0 H0 : μd = 0 H0 : μd = 0

HA : μd ≠ 0 HA : μd > 0 HA : μd < 0 Keputusan:

Tolak H0 jika: |t| > tα/2,df t > tα,df t < -tα,df Asumsi: 1. Sampel data mengandung unsur yang berpasangan 2. Sampel diambil secara acak 3. Berdistribusi Normal

Test Statistik:

ns

dt

d

dµ−= atau apabila μd = 0, maka

nsdt

d=

Dimana derajat bebasnya (df) = n-1 d = selisih diantara masing-masing individu/objek yang berpasangan μd = nilai rata-rata perbedaan d populasi dari keseluruhan pasangan data, biasanya 0. d = nilai rata-rata dari d sd = nilai standar deviasi dari d n = banyaknya pasangan data

http://www.smartstat.info/�


Sebelum melakukan analisis data dengan uji-t berpasangan, terlebih dahulu kita uji apakah kedua data menyebar normal atau tidak. Statistik uji yang digunakan adalah Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test.

Hipotesis uji normalitas:

• H0 : Data menyebar normal • H1 : Data tidak menyebar normal • α = 0.05 Pada pengamatan berpasangan, (1) pemasangan antar sampel atau unit dilakukan sebelum percobaan dimulai berdasarkan harapan bila tidak ada pengaruh perlakuan maka kedua kelompok memberikan respon yang sama, dan (2) sumber keragaman dari luar dihilangkan, sehingga perhitungan nilai kritiknya didasarkan pada ragam perbedaan antar kelompok dan bukan pada ragam diantara individu dalam setiap sampel.

Contoh 1

Survey Kesehatan Nasional dan Pengujian Gizi yang diselenggarakan oleh Departemen Kesehatan dan Layanan Masyarakat, meneliti perbedaan antara tinggi yang dilaporkan sendiri dan yang diukur langsung dari beberapa wanita yang berusia antara 12-16 tahun. Data tinggi yang dilaporkan sendiri dan tinggi yang diukur disajikan pada Tabel di bawah ini.

No Reported height

Measured height

d

1 53 58.1 -5.1 2 64 62.7 1.3 3 61 61.1 -0.1 4 66 64.8 1.2 5 64 63.2 0.8 6 65 66.4 -1.4 7 68 67.6 0.4 8 63 63.5 -0.5 9 64 66.8 -2.8 10 64 63.9 0.1 11 64 62.1 1.9 12 67 68.5 -1.5 rata-rata -0.475 sd 1.980874 1. Apakah terdapat cukup bukti untuk mendukung dugaan bahwa terdapat perbedaan antara tinggi

yang dilaporkan dan tinggi yang terukur dari wanita yang berusia antara 12-16 tahun? Gunakan taraf nyata 0.05.

2. Buat selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan 95% antara perbedaan rata-rata tinggi yang dilaporkan dan tinggi yang diukur.



Perhitungan: Cara 1 (Metode Klasik/Tradisional)

Statistik n 12 d -0.475 sd 1.980874

1. Langkah ke-1: Klaim: dugaan terdapat perbedaan antara tinggi yang dilaporkan dan tinggi yang terukur dapat dilambangkan dengan: μd ≠ 0, jika dugaan salah, maka μ1 = μ2

2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μd = 0 mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis Hipotesis nol dan tandingan (H1) μ1 ≠ μ2.

a. H0: μd = 0

b. H1: μd ≠ 0

3. Taraf nyata : α = 0.05

4. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak dari objek yang berpasangan sehingga uji statistik yang relevan adalah uji-t berpasangan.

5. Hitung nilai tobs:

a. -0.83

121.981

0475.0=

−−=

−=

ns

dt

d

dµ

b. Tentukan tcrit dengan df = 12 dan α = 0.05. Dari tabel t-student diperoleh nilai tcritis untuk uji dua arah = ±2.201 (tanda ± karena uji dua arah)

6. Karena |tobs| < |tcrit|= |-0.83| < |±2.201|, maka H0 diterima!

7. Dari hasil uji-t diperoleh kesimpulan bahwa pada taraf nyata 5%, tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan adanya perbedaan antara tinggi yang dilaporkan sendiri dengan tinggi yang diukur oleh Departemen tersebut.



b. Selang kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata:

Tentukan Nilai Margin Errornya (E)

2.6882972.59324

3.9429-10.9143

21

21 ==−

=−yy

obs syy

t

Selang kepercayaan dihitung berdasarkan formula berikut:

784073412591475025914750

.μ...μ..

EdμEd

d

d

d

<<−+−<<−−

+<<−

Artinya, 95% dari rata-rata perbedaan sampel akan terletak pada selang tersebut yang pada kenyataannya mengandung perbedaan rata-rata dari populasi sebenarnya. Karena pada batas selang kepercayaan tersebut mengandung nilai 0, maka tidak terdapat cukup bukti untuk mendukung dugaan bahwa terdapat perbedaan diantara kedua tinggi tersebut.

t = 0 tc = 2.201 tc = -2.201

= α/2 = 0.025

= α/2 = 0.025

Terima H0 Tolak H0

tobs = -0.83



Contoh 2

Keefektifan dari suatu Bimbingan Belajar dalam menghadapi suatu Tes dinilai berdasarkan perbandingan antara nilai yang diperoleh siswa sebelum dan setelah melaksanakan kursus. Nilai tersebut diperoleh dari 10 siswa yang mengikuti Bimbel Tes Persiapan Masuk (based on data from the College Board and “An Analysis of the Impact of Commercial Test Preparation Courses on SAT Scores,” by Sesnowitz, Bernhardt, and Knain, American Educational Research Journal, Vol. 19, No. 3.) 1. Apakah terdapat cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa Bimbel efektif dalam meningkatkan skor

(nilai ujian)? Uji pada taraf nyata 0.05. 2. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata antara sebelum dan setelah mengikuti

Bimbel. Tuliskan pernyataan dan interpretasi hasilnya.

Student A B C D E F G H I J

before 700 840 830 860 840 690 830 1180 930 1070 after 720 840 820 900 870 700 800 1200 950 1080 d -20 0 10 -40 -30 -10 30 -20 -20 -10 rata-rata d -11 sd 20.24846



Perhitungan: Cara 1 (Metode Klasik/Tradisional)

Statistik n 10 d -11 sd 20.24846

1. Langkah ke-1: Klaim: dugaan bahwa setelah mengikuti program Bimbel dapat meningkatkan nilai hasil ujian dapat dilambangkan dengan: μd < 0, jika dugaan salah, maka μ1 ≥ 0. (Kenapa klaim tidak disimbolkan μd > 0? Apabila nilai setelahBimbel lebih besar, maka selisihnya (d) pasti negatif, sehingga disimbolkan dengan μd < 0 )

2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μd ≥ 0 mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis Hipotesis nol dan tandingan (H1) μd < 0.

a. H0: μd = 0

b. H1: μd < 0

3. Taraf nyata : α = 0.05

4. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak dari objek yang berpasangan sehingga uji statistik yang relevan adalah uji-t berpasangan.

5. Hitung nilai tobs:

a. -1.718

10

20.248011=

−−=

−=

n

sd

td

dµ

b. Tentukan tcrit dengan df = 9 dan α = 0.05. Dari tabel t-student diperoleh nilai tcritis untuk uji satu arah = -1.833 (tanda minus karena uji pihak kiri)

6. Karena |tobs| < |tcrit|= |-1.718| < |-1.833|, maka H0 diterima!

7. Dari hasil uji-t diperoleh kesimpulan bahwa pada taraf nyata 5%, tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa persiapan tes dengan mengikuti kursus (Bimbel) akan efektif dalam meningkatkan nilai ujian.



b. Selang kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata:

Tentukan Nilai Margin Errornya (E)

14.48410

20.248262.22/ =×==

ns

tE dα

Selang kepercayaan dihitung berdasarkan formula berikut:

-0.83

121.981

0475.0=

−−=

−=

ns

dt

d

dµ

Artinya, 95 % kita percaya bahwa nilai rata-rata perbedaan dari populasi yang sebenarnya terletak pada selang antara 25.48 sampai 3.48.

t = 0 tc = -1.833

= α = 0.05

Terima H0 Tolak H0

tobs = -1.718



Latihan 1

Seorang peneliti mempelajari pengaruh pencahayaan pada suatu tanaman bunga Lucerne pada kondisi lingkungan yang berbeda. Peneliti mengambil 10 tanaman yang segar dengan bunga-bunga yang tersinari tanpa halangan dibagian atas dan bunga bunga yang tersembunyi dibagian bawahnya. Kemudian, data banyaknya biji pada setiap lokasi dikumpulkan (Torrie, 1980).

Nomor Sampel

Bunga bagian atas

Bunga bagian bawah

1 4.0 4.4 2 5.2 3.7 3 5.7 4.7 4 4.2 2.8 5 4.8 4.2 S 3.9 4.3 7 4.1 3.5 8 3.0 3.7 9 4.6 3.1 10 6.8 1.9

Uji hipotesis tidak terdapat perbedaan antara rata-rata populasi (H0) dan tandingannya (bunga yang terletak di bagian atas lebih banyak menghasilkan biji, H1). Gunakan taraf nyata 0.05.

Output perhitungan dengan menggunakan Software MINITAB v.11:

Paired T-Test and CI: Bunga bagian atas, Bunga bagian bawah Paired T for Bunga bagian atas - Bunga bagian bawah N Mean StDev SE Mean Bunga bagian 10 4.630 1.068 0.338 Bunga bagian 10 3.630 0.850 0.269 Difference 10 1.000 1.599 0.506 95% lower bound for mean difference: 0.073 T-Test of mean difference = 0 (vs > 0): T-Value = 1.98 P-Value = 0.040

Interpretasi:

Hipotesis: 1. H0: μd = 0

2. H1: μd > 0 (mengapa menggunakan tanda “>”, bandingkan dengan contoh soal Efektivitas Bimbel dalam meningkatkan nilai ujian!)

tobs = thitung = T-Value = 1.98 tcrit = ttabel = t(0.05,9) = 1.833 (diperoleh dari nilai tabel t-student) Karena |tobs| > |tcrit| 1.98 > 1.833 maka H0 ditolak!



Artinya: 95% kita percaya bahwa bunga yang terletak di bagian atas menghasilkan biji lebih banyak dibandingkan dengan bunga yang ada di bagian bawahnya. Metode Modern: Metode di atas adalah uji statistik dengan metode tradisional. Uji dengan metode modern menggunakan nilai p-value dalam menentukan signifikan atau tidaknya suatu uji statistik. Apabila: P-Value < Taraf Nyata maka uji nyata atau H0 ditolak Apabila: P-Value > Taraf Nyata maka uji tidak nyata atau H0 diterima Pada kasus diatas, P-Value = 0.040 yang nilainya lebih kecil dibanding nilai α =0.05. Hal ini menunjukkan bahwa uji tersebut signifikan atau H0 ditolak. Apabila nilai P-Value < 0.01, maka uji tersebut sangat signifikan!



Latihan 2

Uji pada taraf nyata 0.01, apakah terdapat perbedaan konsentrasi gula dalam nektar red clover yang disimpan selama 8 jam pada dua tekanan yang berbeda (4,4 mmHg dan 9,9 mmHg)? Data konsentrasi gula disajikan pada Tabel berikut. Tabel Kadar Gula nektar red clover (Torrie, 1980) Nomor Sampel

Tekanan 4.4 mmHg

Tekanan 9.9 mmHg

1 62.5 51.7 2 65.2 54.2 3 67.6 53.3 4 69.9 57.0 5 69.4 56.4 S 70.1 61.5 7 67.8 57.2 8 67.0 56.2 9 68.5 58.4 10 62.4 55.8

Output perhitungan dengan menggunakan Software MINITAB v.11:

Paired T-Test and CI: Tekanan 4.4 mmHg, Tekanan 9.9 mmHg Paired T for Tekanan 4.4 mmHg - Tekanan 9.9 mmHg N Mean StDev SE Mean Tekanan 4.4 10 67.040 2.822 0.892 Tekanan 9.9 10 56.170 2.737 0.866 Difference 10 10.870 2.224 0.703 99% CI for mean difference: (8.584, 13.156) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 15.46 P-Value = 0.000

Interpretasi:

Hipotesis: 1. H0: μd = 0

2. H1: μd ≠ 0

tobs = thitung = T-Value = 15.46 tcrit = ttabel = t(0.01,9) = 3.250 (dua arah pada taraf nyata 1%) Karena |tobs| > |tcrit| 15.46 > 3.250 maka H0 ditolak! Hal ini menunjukkan bahwa terdapat perbedaan yang sangat signifikan antara kedua tekanan tersebut terhadap kadar gula.



Metode Modern: Metode di atas adalah uji statistik dengan metode tradisional. Uji dengan metode modern menggunakan nilai p-value dalam menentukan signifikan atau tidaknya suatu uji statistik.

Apabila: P-Value < Taraf Nyata maka uji nyata atau H0 ditolak

Apabila: P-Value > Taraf Nyata maka uji tidak nyata atau H0 diterima

Pada kasus diatas, P-Value = 0.000 yang jauh lebih kecil dibanding nilai α =0.01. Hal ini berarti uji tersebut sangat nyata.


27_uji_t_berpasangan

Documents