1.Ismétlés nélküli permutációAdott n különböző elem. Az elemek egy meghatározottsorrendjét az adott n elem egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.Az n elem permutációinak számát a Pn szimbólummal jelöljük.

2.Ismétléses permutáció

Adott n elem, amelyek között r (r ) különböző

található, ezek a1, a2,…ar

Az a1 elem k1 –szeraz a2 elem k2 –ször,az ar elem kr –szer fordul elő, és k1 +k2 + +kr =n

Az adott n elem egy meghatározott sorrendjét ezen elemek egy ismétléses permutációjának nevezzük.

A szóba jövő ismétléses permutációk számát a jelöljük.

3.Ismétlés nélküli variáció

Adott n különböző elem. Ha n elemet (0<k

úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra, és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk.

Az n elem k-adosztályú variációinak számát a jelöljük

4.Ismétléses variációAdott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választjuk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet,és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egyk-adosztályú ismétléses variációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses variációinak számát a

szimbólummal jelöljük.

5.Elemi események fogalmaValamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük.

6.Eseménytér fogalmaAz elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük és H –val jelöljük

7.Véletlen esemény fogalmaA H eseménytér egy tetszőleges részhalmazát véletlen eseménynek nevezzük.

8.Ellentétes esemény fogalma

Az A esemény ellentétes eseményének

(komplementerének) nevezzük azt az jelölt eseményt,

amely akkor következik be, ha A nem következik be, és

9.Események összegének fogalmaHa A és B ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy közülük legalább egy bekövetkezik, az A és B esemény összegének

(egyesítésnek) nevezzük és az jelöljük.

10.Események szorzatának fogalmaHa A és B ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy az A és B esemény egyszerre (egyidejűleg) bekövetkezik,

a két esemény szorzatának nevezzük és az jelöljük

11.Események különbségének fogalmaHa az A és B esemény ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy az A esemény bekövetkezik, de a B esemény nem, a két esemény különbségének nevezzük és az A\B jelöljük.

12.Egymást kizáró események fogalma

A H eseménytér tetszőleges A és B eseményét egymást kizáró eseményeknek nevezzük,

ha egyszerre nem következhetnek be, azaz, ha = Ø

13.Tejes eseményrendszer fogalma

Egy kísérlettel kapcsolatos

események (amelyek közül egyik sem lehetetlen eseménye) teljes eseményrendszert alkotnak, ha a,egymást páronként kizáró események,b,összegük a biztos eseményMás szóval, ha

a) Ø ( és i,j=1,2,….)

b)

14.Relatív gyakoriság fogalmaTegyük fel, hogy a megfigyelt A esemény

az n kísérletből -szor következett be!

Ekkor a számot az A esemény gyakoriságának;

a hányadost pedig az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük.

15.A valószínűség fogalmaAzt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statikus ingadozást mutat, az illető esemény valószínűségének nevezzük

16.A feltételes valószínűség fogalma

Ha az A és B A H eseménytér két eseménye, és P(B) 0,

akkor a

P(A\B)=

hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük.

17.Események függetlenségének fogalmaLegyen az A és B a H eseménytér két eseménye. Az A és B eseményeket egymástól függetlennek (vagy sztohasztikusan függetlennek) nevezzük, ha

azaz akkor, ha A és B együttes bekövetkezésének valószínűsége az A és a B események valószínűségének szorzatával egyenlő

18.A valószínűségi változó fogalmaEgy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy

tetszőleges valós értékű függvényt, vagyis minden

h kimenetelhez rendeljünk egy (h) valós számot.

Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük.

19.A diszkrét valószínűségi változó fogalma

Ha a valószínűségi változó lehetséges értékeinek

száma véges vagy megszámlálhatóan végtelen ( a pozitív egész számoknak megfelelő sorrendbe szedhető), akkor diszkrét vagy más szóval diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk

20.Az eloszlásfüggvény fogalma

Legyen valamely kísérlethez tartozó valószínűségi változó

és F a valós számok halmazán értelmezett függvény,

amely valamely x valós számhoz a <x esemény

bekövetkezésének valószínűségét rendeli:

F:F(x)=P( <x), x

Az F függvényt a valószínűségi változó

eloszlásfüggvényének nevezzük.

21.A sűrűségfüggvény fogalma

Azt az f függvényt, amely a folytonos valószínűségi változó

F eloszlásfüggvényének deriváltja minden olyan pontban ahol

F differenciálható, a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének

nevezzük.

22.A diszkrét és folytonos valószínűségi változó várható értéke

A diszkrét valószínűségi változó lehetséges

értékei legyenek akkor várható értékének az

összeget nevezzük, ha folytonos változó és

sűrűségfüggvénye f, akkor a várható értéke

23.A diszkrét és folytonos valószínűségi változó szórása

Ha a valószínűségi változó

négyzetének létezik a várható értéke, akkor ezt

szórásnégyzetének nevezzük:

Ennek négyzetgyöke

a valószínűségi változó szórása

24.A binomiális eloszlás fogalma

A valószínűségi változót n , p paraméterű

(n pozitív egész; és 0<p<1) binomiális eloszlásnak nevezzük, ha a k(k=0,1,2,….,n) lehetséges értékeket

valószínűséggel veszi fel, ahol q=1-p

25.A hipergeometrikus eloszlás fogalma

Egy valószínűségi változót hipergeometrikus

eloszlásnak nevezünk, ha a lehetséges értékei

k=0,1,2,….,n számok, és a a k értéket

(k=0,1,2,…..,n)

valószínűséggel veszi fel, ahol 0<n min. (M,N-M) és M<N,M,N

26.A Poisson eloszlás fogalma

A valószínűségi változó

Poisson eloszlású, ha lehetséges értékei a 0,1,2,….,n,…számok, és

ahol >0 és k=0,1,….,n,..

A Possion eloszlásnál tehát a valószínűségi változó

lehetséges értékeinek halmaza nem véges, hanem

megszámlálhatóan végtelen.

27.Az exponenciális eloszlás fogalma

Egy valószínűségi változót >0 paraméterű

exponenciális eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye

28.Normális eloszlás fogalma

A valószínűségi változót akkor nevezzük

normális eloszlásúnak, ha sűrűségfüggvénye:

(x

ahol m tetszőleges valós szám, >0

29.N elem ismétlés nélküli permutációinak száma, bizonyítással

Az n elem permutációinak száma

Az n! jelentse a pozitív egész számok szorzatát 1-től n-ig, azaz n!= 1*2*….*n.Bizonyítás:Az n elemből alkotható permutációk számának

megállapításánál induljunk ki az alapsorrendből.

Az összes lehetséges permutáció között az a1 annyi permutációban van az első helyen, ahányféleképpen a többi n-1 elem permutálható. Az a2 elem ugyancsak annyi permutációban van az első helyen, ahányféleképpen a többi n-1 elem permutálható. Ugyanez igaz az a3 –mal, a4-gyel és így tovább, azaz an -nel kezdődő permutációkra is. Ha tehát n-1 elem permutációinak számát Pn-1 –gyel jelöljük, akkorPn-1 számú permutáció kezdődik a1 –gyel,Pn-1 számú permutáció kezdődik a2 –velPn-1 számú permutáció kezdődik an –nel.

Ezért n elem permutációinak a száma Pn=nPn-1.

Ugyanígy igaz, hogyPn-1=(n-1)Pn-2

Pn-2=(n-2)Pn-3

P3=3P2

P2=2P1

Mivel pedig egy elem csak egyféle sorrendben írható fel, P1=1. A felírtakból következik, hogy P2=2*1P3=3*2*1Pn-1=(n-1)(n-2)…3*2*1,Pn=n(n-1)(n-2)…3*2*1=n!

30.Ismétléses permutáció számára vonatkozó tétel, bizonyítássalRögzített n, r, és k1, k2,….kr esetén az ismétléses permutációk száma

Bizonyítás:A tétel igazolásához az n elem egy tetszőleges permutációjában az ismétlődő (azonos) elemeket egymástól megkülönböztetjük. A k1-szer ismétlődő elem ez esetben k1! különböző permutációt, a k2-szer különböző permutációt jelent és a gondolatmenetet folytatva látjuk, hogy egy ismétléses permutációból k1!k2!...kr! különböző elemekből álló permutáció nyerhető. Ha az ismétléses permutációk száma

akkor az ismertetett eljárást ezek mindegyikére alkalmazva.

ismétlés nélküli permutációt kapunk, amely n!-al egyenlő.Képletben:

31.Ismétlés nélküli variációk számára vonatkozó tétel, bizonyítássalAz n különböző elem k-adosztályú varianciáinak száma

Bizonyítás:A variációk számának meghatározásakor induljunk ki most is az a1, a2, …an alapsorrendből. Az elsőosztályú variációk száma nyilván megegyezik az elemek számával azaz

A másodosztályú variációkat az elsőosztályú variációkból úgy nyerhetjük, hogy azok mindegyikéhez hozzáírjuk a többi n-1 elem egyikét. Így minden elsőosztályú variációból n-1 darab, összesen tehát n(n-1) másodosztályú variációkat nyerünk. Ezért

A másodosztályú variációk mindegyikéhez hozzáírva a többi n-2 elem egyikét

harmadosztályú variációt kapunk.Hasonlóan tovább

végül kapjuk, hogy

.

Ha a kapott összefüggés jobb oldalát (n-k)(n-k-1)(n-k-2)…2*1=(n-k)! –al szorozzuk és osztjuk is [(n-k)!>0], akkor

32.Ismétléses variáció számára vonatkozó tétel, bizonyítássalAz n különböző elem k-adosztályú ismétléses variációinak száma

Bizonyítás:A k-adosztályú ismétléses variációk számának meghatározásakor induljunk ki most is az a1, a2, …an alapsorrendből. Az első helyre az adott n elem bármelyikét választjuk, tehát az elsőosztályú ismétléses variációk száma

A másodosztályú ismétléses variációkat az elsőosztályúakból úgy nyerjük, hogy azok mindegyikéhez második elemként hozzáírjuk az n elem bármelyikét, hiszen az elemeknek nem kell feltétlenül különbözniük egymástól. Így mindegyik elsőosztályú ismétléses variációból újabb n darab másodosztályú ismétléses variációt kapunk. Ezek száma tehát

.

Hasonlóan tovább

33.Binomiális tétel, bizonyítássalTetszőleges kéttagú kifejezés (binom) bármely nemnegatív egész kitevőjű hatványa polinommá alakítható a következő módon:

Az számot –a binomiális tételben betöltött szerepe miatt–

binomiális együtthatónak nevezzük.Bizonyítás:Az (a+b)n nem más, mint egy olyan n tényezős sorozat, amelynek minden tényezője (a+b), azaz

A szorzást elvégezhetjük úgy, hogy minden tényezőből egy-egy tagot szorzunk össze az összes lehetséges módon, és az így nyert szorzatokat összeadjuk.Például n=3 esetén:

Ha mindhárom tényezőből a-t szorozzuk össze, a3 –t kapjuk. Ha két (a+b) tényezőből a-t, a harmadikból b-t vesszük, a2b –t kapunk. Ezt azonban háromféleképpen tehetjük meg, hiszen a b-t választhatjuk az 1., a 2., vagy a 3. tényezőből. Így tehát3 a2b adódik.Ha egy (a+b) tényezőből választhatjuk az a-t, a másik kettőből a b-t, akkor ab2 lesz a szorzat. És mivel ezt is háromféleképpen tehetjük meg3 ab2 –et kapunk.Végül, ha az egyik (a+b) tényezőből sem választunk a-t, más szóval mindháromból b-t szorozzuk össze, b3 lesz a szorzat. Így

Hasonló módon járunk el

esetben is.

Ha mindegyik (a+b) tényezőből az a-t szorozzuk össze, an adódik.Ha n-1 tényezőből az a-t, egyből a b-t szorozzuk össze, an-1b lesz a szorzat. De mivel ilyen szorzatot n esetben kapunk, mert az n tényező bármelyikéből választhatjuk a b-t, tehát

lesz az eredmény.

Ha n-2 tényezőből a-t, kettőből b-t veszünk, an-2b2 lesz a szorzat.

Mivel azonban a b-t -féleképpen választhatjuk ki az n darab (a+b) tényezőből, összesen

Hasonló módon, ha n-3, n-4 … tényezőből választunk a-t,

a többi 3,4 … tényezőből b-t, akkor … sorozathoz jutunk.

Az együtthatók pedig sorra , ,… lesznek, hiszen ennyiféleképpen

választhatjuk ki azokat az (a+b) tényezőket, amelyeknek a b tagja szerepel a szorzatban.Végül, ha egyik tényezőből sem választunk a-t, azaz mindegyikből b-t szorzunk össze, bn adódik.Az így nyert szorzatok összege, felhasználva, hogy

és ,

a következő:

és ezzel a tételt bizonyítottuk.

34.Binomiális együtthatók tulajdonságai, bizonyítással

Ha n pozitív egész, és , akkor fennáll a

A,szimmetriatulajdonság

,

B,összegtulajdonság

,

Bizonyítás:A,Az állítás helyességéről könnyen meggyőződhetünk,hiszen értelmezésünk szerint

és

Mivel azonban a két összegzés csupán a nevezőben szereplő tényezők sorrendjében tér el egymástól, így valójában igaz állításunk.b,Tudjuk, hogy0

és

Összeadva a két törtet

C,Az állítás helyességét a binomiális tétel segítségével könnyen igazolhatjuk.Legyen ugyanis a=1 és b=1, ekkor a binomiális tétel szerint

ahonnan

A binomiális együtthatók megismert tulajdonságait jólhasznosíthatjuk a valószínűségszámítási feladatok megoldásában.

35.A valószínűség axiómáiAdott H eseménytér minden A H eseményéhez hozzárendelt P(A) valós szám eleget tesz a következő axiómáknak:I. Minden A esemény valószínűségére teljesül a0 P(A) összefüggésII. A biztos esemény valószínűsége 1, azaz P(H) = 1III. Ha A és B egymást kizáró események, azaz AB=, akkor P(AB) = P(A) + P(B)

36.Az ellentett esemény valószínűségére vonatkozó tétel, bizonyítássalHa az A esemény valószínűsége P(A), akkor az

ellentétes esemény valószínűsége =1-P(A)

Bizonyítás:

Minthogy =H és =Ø,

a III. axióma szerint P =P(A)+P( )

és a II. axióma szerint P(H)=1.A bizonyítandó állítás ebből már következik.A tétel fontos következménye, hogy a lehetetlen esemény valószínűsége zérus,azaz P(Ø)=0.Minthogy a lehetetlen esemény a biztos esemény ellentétes eseménye,

így P(Ø)=P( )

amiből P(Ø)=1-P(H)=0.Az az állítás, hogy a lehetetlen esemény valószínűsége zérus, nem megfordítható, azaz abból, hogy egy esemény valószínűsége zérus nem következik, hogy az lehetetlen esemény.Hasonlóképpen abból, hogy P(A)=1, nem következik, hogy az A biztos esemény

37.A teljes eseményrendszer valószínűségére vonatkozó tétel, bizonyítássalHa az A1,A2,…..An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A1)+P(A2)+….+P(An)=1Bizonyítás:

és , ha i j (i,j=1,2,….,n),

továbbá a II. axióma szerint P(H)=1, így az ott tett megjegyzés alapján

P(H)= ,

ebből pedig

38.Események különbségének valószínűségére vonatkozó tétel bizonyítássalHa az A esemény maga után vonja a B eseményt,

azaz fennáll, akkor P(B\A)=P(B)-P(A)

Bizonyítás:

Ha B, akkor = \ és \ Ø

Ezért a III. axióma szerint P(B)=P(A)+P(B\A), és így P(B\A)=P(B)-P(A).A tétel következményeként adódik:Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt,

azaz , akkor .

Ez az állítást az I. axióma szerint fennálló

P(B\A)=P(B)-P(A) 0 egyenlőtlenségből kapjuk.

Mivel minden A eseményre , ezért P(A) P(H)=1

Könnyen belátható, hogy tetszőleges A és B eseményekre a következő összefüggés igaz:

P(B\A)=P(B)-P(B A).

39.A feltételes valószínűségre vonatkozó tételHa az A és B a H eseménytér két eseménye és P(B)0, akkor a

P(A\B=

hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük.

40.A szorzás szabályHa A és B a H eseménytér két eseménye és P(B)0, akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az A esemény B eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének szorzatával, azaz

\ , P(B) 0

Ha az A és B szerepet cserél és P(A)0, akkor a \

alapján

\

41.Teljes valószínűség tételeHa a H eseménytér B1,B2, ….Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk)>0 (k1,2,….,n), akkor bármely a H-hoz tartozó A esemény valószínűsége:

\

H

A

B

BizonyításAz, hogy a Bk (k=1,2,…,n) események teljes rendszert alkotnak, azt jelenti, hogy egymást páronként kizárják és összegük a biztos esemény.Az A tetszőleges esemény előállítható egymást kizáró események összegeként az alábbi módon:

és ezért

Alkalmazva a valószínűségek szorzási szabályát

az egyes valószínűségekre,

a bizonyítható állítást kapjuk.

42.Ez eloszlásfüggvény tulajdonságaira vonatkozó tételHa F eloszlásfüggvény, akkora) F (tágabb értelemben) monoton növekedő

b)

c) F balról folytonos, azaz

BizonyításCsupán az a) eset bizonyításával foglalkozunk.

Elegendő megmutatni, hogy x1<x2 esetén F(x2)-F(x1)

F(x2)-F(x1)=P < ,

mivel egyetlen esemény valószínűsége sem lehet negatív

43.A sűrűségfüggvény tulajdonságaira vonatkozó tételHa valamely folytonos valószínűségi változónak f a sűrűségfüggvénye, akkora) f(x) 0, xDf

b)

c)

d)

Bizonyításd, Mivel a definíció értelmében f véges számú pontkivételével folytonos F a primitív függvénye, a Newton-Leibniz formula és a 12.1 tétel szerint:

,

amit bizonyítani akartunk

c) mivel

(eloszlásfüggvény tul. tétel)

b) A c) tulajdonság bizonyításához hasonlóan járunk el:

A, Mivel F monoton növekedő, deriváltja nem lehet negatív. Ahol F nem differenciálható, ott szintén nem negatív értéket kap.

44.Csebisev egyenlőtlenség bizonyítássalLegyen olyan valószínűségi változó, amelynek létezik a várható értéke és a szórása. Ekkor tetszőleges t0 esetén

Csebisev egyenlőtlenség.Bizonyítás:Alkalmazzuk a Markov-egyenlőtlenséget az

valószínűségi változóra,

és t helyette t2-re.

Ekkor a egyenlőtlenséget kapjuk.

Mivel azonban , így ,

Amiből viszont már gyökvonással következik a bizonyítandó állítás, azaz

(t>0).

45.Nagy számok törvényeTekintsünk egy kísérletet, ahol valamely A esemény bekövetkezésének valószínűsége p. Végezzük el a kísérletet n-szer egymástól függetlenül, és jelölje ebben a kísérletsorozatban n az A esemény gyakoriságát.

Ekkor tetszőleges 0 és esetén van olyan n0, hogy n>n0 esetén