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통신이론
2장 주파수 해석
1
성공회대학교
정보통신공학과
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제2장의 구성
2.1 시간 영역과 주파수 영역
2.2 푸리에 해석
2.3 푸리에 급수
2.4 푸리에 변환
2.5 특이함수 모델
2.6 푸리에 변환 쌍
2.7 푸리에 변환과 관련된 정리들
2
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2.1 시간영역과주파수영역
3
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y 진폭
x 시간
y 진폭
x 주파수
시간영역에서의 표현
주파수영역에서의 표현
시간 영역과 주파수 영역
통신에서의 신호
- 시간의 흐름에 따라 전압, 전류, 또는 전력의 변화량을 나타낸 것
신호를 표시할 수 있는 방법
4
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시간 영역과 주파수 영역
물리적으로 같은 신호를 서로 다른 관점에서 관찰
5
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시간 영역과 주파수 영역
6
전기신호의 파형을 관측하는 장비
오실로스코우프 (Oscilloscope)
- 시간 영역에서 신호를 관찰하는 장비
스펙트럼 해석기 (Spectrum analyzer)
- 주파수 영역에서 신호를 관찰하는 장비
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※출처: www.bbc.co.uk/blogs/researchanddevelopment/2012/04/goodbye-analogue-telly-hello-d.shtml
TV방송의 스펙트럼 예
7
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시간 영역과 주파수 영역
8
※ 통신에서는 주파수 영역을 자주 사용
ex) FM방송 반송파(carrier)
반송파를 중심으로에너지가 집중되어 있다
89.1MHz 91.9MHz
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시간 영역과 주파수 영역
푸리에 변환을 이용해 시간 영역의 신호를 주파수영역(domain)으로 옮겨서 해석하는 것이 편리
9
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함수의 가감승제
함수의 덧셈
11
)(1
tft
t
)(2
tf
)()(21
tftf
t
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함수의 가감승제
함수의 곱셈
12
)(1
tft
t
)(2
tf
)()(21
tftf
t
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함수의 가감승제
함수의 나눗셈
13
ttf )(1
t
t
ttf sin)(2
t
)(
1)()()(
1
212tf
tftftf
tttftf
1sin)()(
12
)(
1
1tf
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함수의 가감승제
Sinc함수
14
)(sinc 형sin
)(Sa 형sin
xx
x
xx
x
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함수의 가감승제
Sa 함수
15
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함수의 가감승제
Sinc 함수
16
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함수의 미분적분
미분
17
)(tx
t
1
10
0,0
0,sin)(
t
ttty
t
1
0
?)(
)( dt
tdxtx
t
1
10t
1
0
?)( ty
2
12 2
2
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함수의 미분적분
미분
19
)(tx
t
1
10
0,0
0,cos)(
t
ttty
t
1
0
?)(
)( dt
tdxtx
t
1
10t
1
0
?)( ty
2
12
2
2
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함수의 미분적분
적분
21
)(tx
t
1
10t
1
?)( dttx
t
1
10
?)( dtty
3
31
0
t
1
1
0
1)( ty
1 22 12
2
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함수의 미분적분
Cos의 적분 예
22
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝐹(𝑥) = 0
𝑥
cos 𝑡 𝑑𝑡
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함수의 미분적분
미분/적분
24
)(tx
t0
dt
dt
)(tx
t10 3 4
t10 3 4
)(tx
2
2
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복소수의 계산
복소수의 덧셈과 곱셈
28
A
0 1
j
실수
허수
j
j
ejB
ejA
21
21B
1
? BA
? BA
※ http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/ttrig.html
6
3
4
2
j
j
eB
eAex)
𝜑 0𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
sin 𝜑 01
2
2
2
3
21
cos𝜑 13
2
2
2
1
20
tan𝜑 01
31 3 ∞
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복소수의 계산
복소수의 뺄셈과 나눗셈
29
A
0 1
j
실수
허수
j
j
ejB
ejA
21
21B
1
? BA
? BA
※ ?2j
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복소지수함수
복소지수함수를 실수와 허수의 성분으로 표시하면
30
te
te
e
tj
tj
tj
0
0
sinIm
cosRe
0
0
0
t
실수
허수
t0
tje 0
1
j
j
1
※출처: http://theta.tistory.com/32
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복소지수함수
복소지수함수를 실수와 허수의 성분으로 표시하면
31
te
te
e
tj
tj
tj
0
0
sinIm
cosRe
0
0
0
실수
허수
t0
tje 0
1
j
j
1
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2.2 푸리에해석
32
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푸리에 해석
푸리에(Fourier) 해석
주파수해석이라고도 한다.• 주파수영역에서 통신신호를 해석하는 것
푸리에 급수나 푸리에 변환을 통해 신호의 주파수특성을 얻고자 하는 것• 푸리에 급수 : 주기함수를 해석
• 푸리에 변환 : 주기함수를 포함한 모든 함수를 해석
주파수 스펙트럼(frequency spectrum)
시간 영역의 신호를 주파수 영역에서 나타내어 진폭이나 위상 특성을 주파수의 함수로 표현한 것
33
각 신호가 포함하고 있는 주파수와 그들의 크기로 표시하는 영역
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주기함수와 푸리에 급수
푸리에 급수(Fourier series)
주기함수의 주파수 스펙트럼을 구한다.• 기본 주파수 ω0의 배수 nω0(n은 정수)에 대응하는 고조
파의 간격으로 나타나는 이산적인 주파수 스펙트럼
34
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일반 함수와 푸리에 변환
푸리에 변환(Fourier transform)
일반적인 함수의 주파수 스펙트럼을 구한다.• 이산치가 아닌 연속적인 함수의 형태
• 비주기함수는 고조파의 간격이 f0=0
35
※비주기함수의주기를∞로 둠
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푸리에 해석의 주파수 특성
(-) 주파수 대역은 존재하는가? 물리적으로는 실제로 존재하지 않는다.
수학적으로만 (-) 주파수 대역이 나타나는 것• (cf.) i=√-1 허수의 존재는? ⇒ 수학적으로만 도입
주파수 특성에서 진폭 스펙트럼은 우함수진폭 스펙트럼은 ω=0 축에 대해 대칭• (-) 주파수 대역은 (+) 주파수 대역과 좌우 대칭
신호의 전력을 계산할 때는 (-) 주파수 대역도 포함• 시간 영역과 주파수 영역이 서로 같은 신호를 두고 해석
했기 때문에 영역이 달라도 같은 전력 값이 계산
36
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2.3 푸리에급수
37
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급수
급수(series)어떤 함수를 다른 함수의 합으로 표현할 때 사용• 급수 전개 : 어떤 함수를 다른 함수 합으로 수식을 펼쳐
표현하는 것
보통은 무한급수⇒ 한정된 원소의 합은 근사식
통신신호 해석에서의 Fourier 급수주기신호의 주파수 성분을 구하기 위해
“여러가지 주파수 성분을 갖는 함수의 합”으로 표현
38
100
100
)()()()( tgtftgtfnn (2.3)
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푸리에 급수 표현
푸리에 급수(Fourier series) 프랑스 수학자 푸리에 (Jean Baptiste Joseph Fourier)
“임의의 주기함수는 사인과 코사인의 무한급수로전개됨”을 최초로 증명
사인 급수(sine series) 혹은 코사인 급수(cosine series)라고도 한다.
※ 시간적으로 주기적인 신호
- Fourier급수로 해석해서 주파수영역에서의 신호의
진폭 및 위상특성을 얻을 수 있다.
39
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푸리에 급수 표현
주기가 T인 주기함수의 정의:
모든 t에 대해서
40
)(tf
t
)( Ttf
T
ex) 삼각함수,상수
t
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푸리에 급수 표현
41
고조파 (Harmonics)
- 기본파의 정수배를
가지는 파동
n차고조파
- 주파수가 n배인 파동
※어떠한 형태의 일정한 주기를 갖는 비정현파를 분해하면
각기 다른 진폭의 일정한 주기를 갖는 정현파 성분을 얻음
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푸리에 급수 표현
f(t)가 주기함수라면
주기함수는 여러 가지 주파수 성분을 갖는 신호들이 더해진 합성파의 형태
Fourier 급수 표현
푸리에 급수는 각기 다른 주파수 성분을 분리한다.• ω0=2π/T : 기본 주파수
• a0 : 직류성분(ω=0)
• ω0 포함신호 : 기본파(fundamental wave) 성분
• 2ω0 포함신호 : 2차 고조파(second harmonics) 성분
• nω0 포함신호 : n차 고조파(nth harmonics) 성분 42
Tff
T
1,2
2000
1
0
1
00
00201
002010
sincos
sin2sinsin
cos2coscos)(
n
n
n
n
n
n
tnbtnaa
tnbtbtb
tnatataatf
(2.5)
![Page 36: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/36.jpg)
푸리에 급수 표현
푸리에 급수
43
푸리에 계수 (an, bn)
tnan 0
cos 2
t
tnbn 0sin
t2
3
3
2n
a
3n
b
1
000
n
nntnbtnaatf sincos)(
![Page 37: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/37.jpg)
푸리에 계수 구하기
주기함수의 푸리에 급수 표현
푸리에 계수(coefficient)
위 식에서 a0, an, bn
푸리에 급수를 전개하는 것은 결국 푸리에 계수를구하는 것
44
22)(
nnbafF
n
n
a
bf
1tan)(
1
000
n
nntnbtnaatf sincos)( (2.6)
![Page 38: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/38.jpg)
푸리에 계수 구하기
계수를 구하는 과정 (a0) f(t)를 한 주기 구간 동안적분
45
Ta
tadtadtadta
dttnbdttnadta
dttnbtnaadttf
TTTT
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
n
n
n
n
n
nn
0
000
00
00
0
1
0
1
0
1
000
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2122
sincos
sincos)(
2
2
)(1
0
T
T
dttfT
a (2.7) f(t)의 평균치
0 0
![Page 39: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/39.jpg)
푸리에 계수 구하기
46
0sin2
0sin2
sin2
sin1
2
cos2cos
0
00
000
000
2
22
2
nn
Tn
n
tnn
dttndttn
T
TT
T
BAB
A
BA
B
A
axa
dxax
axa
dxax
sin1
cos
cos1
sin
※
0sin2
2
0
T
T
dttn
우함수
기함수
2
T
2
T
t
2
T
2
T
t
같은 구간 한 주기 적분 0
n=1
![Page 40: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/40.jpg)
푸리에 계수 구하기
계수를 구하는 과정 (an) 양변에 고조파 를곱하여 한 주기 동안 적분
47
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
00
1
0000
1
00
1
0000
0
1
0000
cossincoscoscos
cossincoscoscos
cossincoscos)(
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
dttktnbdttktnadttka
dttktnbtktnatka
dttktnbtnaadttktf
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
0
tk 0cos
기함수
※ (n=k) 을 제외한 나머지는 모두 0이됨
Ta
dta
dttkadttka
dttktkbdttktka
kk
kk
kk
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
21
2)2cos1(
2
1cos
cossincoscos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
00
2
0000
0
0
![Page 41: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/41.jpg)
푸리에 계수 구하기
계수를 구하는 과정 (an) 양변에 고조파 를곱하여 한 주기 동안 적분
48
2
2
2
2
0
0
cos)(2
2cos)(
T
T
T
T
dttntfT
a
Ta
dttntf
n
n
(2.8) f(t)와 cosnω0t 곱의 평균치
dxnxxfa
ncos)(
1※ 𝑥 = 𝜔0𝑡 , (𝑑𝑥 = 𝜔0𝑑𝑡)로 나타내면
tk 0cos
![Page 42: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/42.jpg)
푸리에 계수 구하기
계수를 구하는 과정 (bn) 양변에 고조파 를곱하여 한 주기 동안 적분
49
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
00
1
0000
1
00
1
0000
0
1
0000
sinsinsincossin
sinsinsincossin
sinsincossin)(
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
dttktnadttktnadttka
dttktnbtktnatka
dttktnbtnaadttktf
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
0
tk 0sin
기함수
※ (n=k) 을 제외한 나머지는 모두 0이됨
Tb
dtb
dttkbdttkb
dttktkbdttktka
kk
kk
kk
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
21
2)2cos1(
2
1sin
sinsinsincos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
00
2
0000
0
0
![Page 43: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/43.jpg)
푸리에 계수 구하기
계수를 구하는 과정 (bn) 양변에 고조파 를곱하여 한 주기 동안 적분
50
2
2
2
2
0
0
sin)(2
2sin)(
T
T
T
T
dttntfT
b
Tb
dttntf
n
n
(2.9) f(t)와 sinnω0t 곱의 평균치
dxnxxfb
nsin)(
1
tk 0sin
※ 𝑥 = 𝜔0𝑡 , (𝑑𝑥 = 𝜔0𝑑𝑡)로 나타내면
![Page 44: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/44.jpg)
푸리에 계수 구하기
주기함수의 한 주기 구간 표시
[t : 0↗T]일 때 [x : 0↗2π]이므로
①,③ 구간 표현을 사용했을 때 푸리에 계수 공식은
51
![Page 45: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/45.jpg)
Fourier 급수의 다양한 형태
Fourier 급수를 삼각함수의 합성으로 표현
52
Sine 이나 Cosine 항으로 묶어서 표현할 수 있다
![Page 46: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/46.jpg)
1
000sincos)(
n
nntnbtnaatf
tnc
tnctnc
tnbtna
nn
nnnn
nn
0
00
00
sin
sincoscossin
sincos
where
n
n
n
nnn
nnn
b
a
cb
ca1
tan,cos
sin
)tan,,(,sin)(122
1
00
n
n
nnnn
n
nnb
abactncatf 단
Sine 항으로 묶은 경우
Fourier 급수의 다양한 형태
53
![Page 47: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/47.jpg)
1
000sincos)(
n
nntnbtnaatf
nn
nnnn
nn
tnd
tndtnd
tnbtna
0
00
00
cos
sinsincoscos
sincos
where
n
n
n
nnn
nnn
a
b
db
da1
tan,sin
cos
)tan,,(,cos)(122
1
00
n
n
nnnn
n
nna
bbadtndatf 단
Fourier 급수의 다양한 형태
54
Cosine 항으로 묶은 경우
![Page 48: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/48.jpg)
복소 지수 형식의 푸리에 급수
복소 지수 형식을 사용하면
복소수와 지수함수의 장점을 모두 이용
① 복소수(complex number)• 주파수 영역에서 진폭과 위상 2가지 성질을 함께 표현
② 지수함수(exponential function)• 지수함수끼리 곱셈, 나눗셈, 미분, 적분 등 계산이 용이
지수함수와 삼각함수와의 관계• 오일러(Euler)의 공식
![Page 49: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/49.jpg)
복소 지수 형식의 푸리에 급수
복소 지수 형식의 푸리에 급수
주기신호 f(t)에 대한 푸리에 계수 cn
58
,,,,)(
)(
2101
2
02
2
0
0
ndtetfT
c
Tectf
tjn
n
tjn
n
T
T
(2.11)
(2.12)
nc
nc
![Page 50: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/50.jpg)
※ 오일러의 공식 사용
sincos
sincos
je
je
j
j
Θ 를 라 하면tn 0
tjntjn
tjntjn
eej
tn
eetn
00
00
2
1sin
2
1cos
0
0
1 1
0
1 1
000
0000
2
1
2
1
sincos)(
n n
tjntjn
n
tjntjn
n
n n
nn
eej
beeaa
tnbtnaatf
59
Fourier 급수의 복소지수 형식
![Page 51: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/51.jpg)
1 1
0
1 1
0
1 1
0
00
00
0000
2
1
2
1
1
2
11
2
1
2
1
2
1)(
n n
tjn
nn
tjn
nn
n n
tjn
nn
tjn
nn
n n
tjntjn
n
tjntjn
n
ejbaejbaa
ebj
aebj
aa
eej
beeaatf
여기서
nnn
nnn
cjba
cjba
2
12
1
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
necececa 000
11
0
tjn
n
nectf 0)(
)2
(0
T
이라 하면
Fourier 급수의 복소지수 형식
60
∙∙∙∙∙(2.11)
![Page 52: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/52.jpg)
계수간의 관계
nnn
nnn
jbac
jbac
ac
2
12
100
Cn의 공액
)12.2()(1
)11.2()2
(,)(
2
2
0
00
dtetfT
C
Tectf
T
T
tjnn
tjn
n
n
Fourier 복소지수 형식
Fourier 급수의 복소지수 형식
61
),,2,1,0( n
![Page 53: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/53.jpg)
Cn의 증명
2
2
2
2
)9.2(sin)(2
)8.2(cos)(2
2
1
0
0
T
T
T
T
dttntfT
b
dttntfT
a
jbac
n
n
nnn
)12.2()(1
sincos)(2
2
1
sin)(2
cos)(2
2
1
2
2
0
2
2
2
2
2
2
00
00
dtetfT
dttnjtntfT
dttntfT
jdttntfT
C
T
T
T
T
T
T
T
T
tjn
n
Fourier 급수의 복소지수 형식
62
an bn
dtetfT
C
T
T
tjnn
2
2
0)(1 ※
∙∙∙(2.12)
![Page 54: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/54.jpg)
Cn의 절대값 진폭 스펙트럼
22
2
1
2
1
2
1
nn
nnnnn
nnn
ba
jbajbaC
jbac
허수
실수
nb2
1
na2
1
nc
신호 f(t)의 n차 고조파의 선스펙트럼 (Line Spectrum)
또는 진폭스펙트럼 이라 한다.
n
Fourier 급수의 복소지수 형식
63
nc
![Page 55: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/55.jpg)
실수
허수
cn과 an, bn 의 관계
nn
nnn
bja
jbac
2
1
2
1
2
1
Fourier 급수의 복소지수 형식
64
j
n
)(nn
jba
nc
n
n
tjn
n
n
nn
ectf
tnbtnaatf
0
1
000
)(
sincos)(
![Page 56: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/56.jpg)
실수
허수
cn과 an, bn 의 관계
nnn
jbac 2
1
Fourier 급수의 복소지수 형식
65
na
nb
nc
nc
nnnjbac
2
1
nnn
nnn
jbcc
acc
j
n
n
n
na
b1tan
n
nb
)(nn
jba
![Page 57: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/57.jpg)
Cn의 위상
n
n
na
b1tan 위상 스펙트럼 (Phase Spectrum)
에 대한 Cn의 그래프
복소 Fourier 스펙트럼
0n
t
T0
tt
00 nfT
Anfc
nsinc)(
0nf
t
)(tf
Fourier 급수의 복소지수 형식
66
![Page 58: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/58.jpg)
Fourier 급수의 복소지수 형식
67
ex) 복소 Fourier스펙트럼의 식을 구하라 Cn 구하기
)(tf
t
2
2
TA
)12.2()(1
)11.2()2
(,)(
2
2
0
00
dtetfT
C
Tectf
T
T
tjnn
tjn
n
n
att
at
atat
ea
AdteA
aeedt
d
※지수함수의 미분/적분
![Page 59: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/59.jpg)
Fourier 급수의 복소지수 형식
68
ex) 복소 Fourier스펙트럼의 식을 구하라 Cn 구하기
)(tf
t
2
2
TA
)12.2()(1
)11.2()2
(,)(
2
2
0
00
dtetfT
C
Tectf
T
T
tjnn
tjn
n
n
2
2sin
2sin
22
2
11
)(1
0
0
000
00
0
2020
20202020
2
2
02
2
02
2
0
2
2
0
n
n
T
An
Tn
Aj
j
ee
Tjn
A
eeTjn
Aee
Tjn
A
ejnT
Adte
T
AdteA
T
dtetfT
C
jnjn
jnjnjnjn
tjntjntjn
tjnn
T
T
![Page 60: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/60.jpg)
표본화 함수 (sampling function)
)(sinc 형sin
)(Sa 형sin
xx
x
xx
x
)(sinc)( xxSa
sinc(x)
) 0 ,3,2,1( 지남을에서n
※ 지남 을0 에서 n )( 는xSa
69
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Fourier 급수의 복소지수 형식
70
ex) 앞의 예를 Fourier 급수로 전개하면
)(tf
t
2
2
TA
)12.2()(1
)11.2()2
(,)(
2
2
0
00
dtetfT
C
Tectf
T
T
tjnn
tjn
n
n
tjn
tjn
tjntjn
n
eT
nSinc
T
A
en
SaT
A
en
n
T
AeCtf
0
0
00
2
2
2sin
)(
0
0
0
![Page 62: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/62.jpg)
,2,1,0,sincsinc
1)(
1
0
0
2
2
2
2
nnfT
A
T
n
T
Ac
T
AdtA
Tdttf
Tc
n
T
T
T
T
Duty cycle:
T
를 고정, T를 증가 스펙트럼 진폭
주파수 성분간의 간격
T를 고정, 를 증가 스펙트럼 진폭 ∝
주파수 성분간의 간격 ∝
main lobe의 주파수폭 ∝
T
1∝
T/1
T0
/1
00
sinc)( nfT
Anfc
n
T
A
Tf
10
10
nf t
)(tf
복소 Fourier 스펙트럼
A
불변
72
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파세발의 정리 (Parseval’s theorem)
n
n
n
nn cbaadttfT
T
T
2
1
2220
2
2
1)(
1 2
2
f(t)의 평균전력은 각 주파수 성분의
전력의 합과 같다
)(tf
t
2
1
2
1
2
nF
평균전력
n
nC2
0n
주기함수의 n차고조파의
전력스펙트럼의 합
2
nC
dttfT
P
T
T
2
2
2|)(|
1
=
73
![Page 64: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/64.jpg)
주기함수 파형 (우함수)
xxxxf 3cos12cos2cos34)(
74
![Page 65: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/65.jpg)
xxxxf 3sin12sin2sin3)(
주기함수 파형 (기함수)
75
![Page 66: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/66.jpg)
xxx
xxxxf
3sin12sin2sin3
3cos12cos2cos34)(
주기함수 파형 (우함수+기함수)
76
![Page 67: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/67.jpg)
2.4 푸리에 변환
77
![Page 68: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/68.jpg)
2.4 푸리에 변환 (Fourier Transform)
신호 f(t)가 주기를 갖는 비정현파인 경우 Fourier 급수를 이용하여 주파수 영역의 성분들의 크기를 구할수 있다.
신호 f(t)가 비주기 신호인 경우
푸리에 급수 사용 X
78
※ “비주기 신호도 주기가 무한대인 주기신호”로 가정 이 문제 해결 가능
Fourier 변환
– ”시간영역에서 비주기 신호 f(t)를 주파수영역으로변환하기 위한 도구”
- 비주기신호/주기신호 모두 적용가능
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Fourier 변환식의 유도 (1)
Fourier 변환식의 유도
Fourier 급수의 복소지수 형식에서
79
)(
)( T
tf
tfT
함수를동안의한주기
함수를인주기이라 하면
)12.2()(1
)11.2()2
()(
2
2
0
00
T
T
dtetfT
c
Tectf
tjnTn
n
tjnnT
여기에, 에 대한 조건을 적용하면)( T
![Page 70: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/70.jpg)
)( Tn
c
1
T0 t
f(t)
T
1
T
20
0n
2
4
일정
∴ : 주파수 간격 가 무한소로 수렴하므로 로 나타내면T 0 d
dT
Td
T
T 2 or
220
가 무한소로 됨으로써, 선스펙트럼 주파수 는0
0n
T
n0
연속변수 로 표현됨
Fourier 변환식의 유도 (2)
80
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Fourier 변환식의 유도 (3)
81
위의 관계를 푸리에 급수에 적용하면
dtetfd
dtetfT
c
tj
T
tjn
Tn
)(
2
)(1
0
d
2
n
tjn
nTectf 0)(
에 위의 관계를 적용하면,
(T ∞ 에 의해)
T
n
T
Ttftf ),()( 가 된다.
![Page 72: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/72.jpg)
Fourier 변환식의 유도 (4)
82
이상의 변화를 이용하면
tjn
n
tj
T
tjn
n
nT
edtetfd
ectf
0
0
)(2
)(
dedtetf
edtetfd
tf
tjtj
tjtj
)(2
1
)(2
)(t 에 대한 정적분이므로결과값은 ω의 함수 F(ω)가된다.
dtetfF
deFtf
tj
tj
)()(
)(2
1)(
Fourier 변환 과 역변환 식
(2.13) : F(ω)의 Fourier 역변환
(2.14) : f(t) 의 Fourier 변환
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Fourier 변환
– 시간영역의 신호 f(t)로부터 주파수 영역의 신호 F(ω)를얻는데 사용
Fourier 역변환
- 주파수영역의 신호 F(ω)로부터 시간 영역의 신호 f(t)를얻는데 사용
기호
)()(
)()(
1
Ftf
tfF
F
F 변환
역변환
f(t)와 F(ω)는 “푸리에 변환쌍”을 이룬다
)()( Ftf
Fourier 변환의 정의
83
![Page 74: 2장주파수해석 - SKHUrion.skhu.ac.kr/~jeong/file/com/comm2-5.pdf · 푸리에급수표현 푸리에급수(Fourier series) 프랑스수학자푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050716/5e36643ce6bb766d0124c681/html5/thumbnails/74.jpg)
Fourier 변환의 정의
푸리에 변환(Fourier transform)주기신호와 비주기신호를 모두 포함한 일반적인 신호에대해 주파수 특성을 얻을 수 있다.
푸리에 변환(Fourier transform)식
• 복소 지수 형식의 푸리에 급수에서 변환식을 유도
단, (2.13)
F(ω) : 함수 f(t) 의 주파수 스펙트럼 밀도함수
푸리에 역변환(inverse Fourier transform)식
에서 이므로
84
dtetfF
tj )()(
dttf )(
fdefFdeFtfftjtj
2)()(
2
1)(
f 2 dfd 2
(2.14)
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푸리에 변환쌍
푸리에 변환 쌍(pair)
푸리에 변환과 역변환으로 이루어진 쌍
F(ω)는 임의의 주파수 ω에 대한 주파수 성분 표시• F(ω)의 단위는 [volt∙sec]
85