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2変量確率分布に従う位相スペクトルをもつ2信号間の位相限定相関関数の統計的性質
Statistical Properties of Phase-Only Correlation Functions Between Two Signals
With Phase Spectrum Following Bivariate Probability Distributions
鈴木亮 † 八巻俊輔 ‡ 川又政征 † 吉澤誠 ‡
†東北大学大学院工学研究科‡東北大学サイバーサイエンスセンター
Ryo Suzuki† Shunsuke Yamaki‡ Masayuki Kawamata† Makoto Yoshizawa‡
†Graduate School of Engineering, Tohoku University
‡Cyberscience Center, Tohoku University
アブストラクト 位相限定相関関数 (POC関数: Phase-
Only Correlation Functions)の性質に数学的根拠を与え
るため,POC関数の統計的解析を行う.本稿では,2信
号の位相スペクトルがともに確率的に変化する場合を考
え,2信号の位相スペクトルが 2変量確率変数であると仮
定する.2信号の位相スペクトルが 2変量確率分布に従う
とした時の POC関数の期待値と分散を導出する.このと
き,POC関数の期待値と分散の一般式は 2次元の特性関
数を用いて導出できることを証明する.
1 はじめに
2 つの信号の類似度を評価する方法の一つとして,信
号のもつ位相情報を用いる位相限定相関関数(POC 関
数:Phase-only-Correlation Functions)を用いる方法があ
る.POC関数は振幅スペクトルを 1に正規化した信号(位
相限定信号)に対して相関を計算することで求められる.
2つの信号が類似しているときに,POC関数は鋭いピー
クが観測される.また POC関数は,2信号間の幾何学的
な関係を求めることができる.例えば,POC関数のピー
クの出現する位置のずれを信号の位置ずれに変換して表
現することができる.これらの特徴から,POC関数は指
紋認証技術 [1]や画像マッチング技術 [2],周期性のある
DNA配列の探索 [3]などに応用されてきた.
2つの評価したい信号が等しいときは,それぞれの信号
の持つ位相情報は等しく,2つの信号の位相スペクトル差
は 0である.位相スペクトル差が 0となる時の POC関数
はデルタ関数になる.また,2つの信号の位相スペクトル
差が 0ではない時,POC関数はデルタ関数と異なる.し
かし,これまでの研究では,2信号間の位相スペクトル差
が 0ではない時に,POC関数がどれだけデルタ関数と異
なるかについて数学的な根拠が与えられていなかった.
著者らのグループでは,これまでに 2信号間の位相ス
ペクトル差を 1変量確率変数と仮定して,POC関数の統
計的解析を行った [4].また,位相スペクトル差が直線上
で与えられる 1変量確率分布に従うと仮定して POC関数
の期待値と分散を導出した.
これらに対して本稿では,2信号の位相スペクトルを 2
変量確率変数と仮定して,POC関数の統計的解析を行う.
具体的には,2信号の位相スペクトルが平面上で与えられ
る 2変量確率分布に従うと仮定して POC関数の期待値と
分散を導出する.その結果,POC関数の期待値と分散の
一般式は 2次元特性関数を用いて導出できることを証明
する.
2 POC関数の統計的解析
2.1 POC関数の定義
まず最初に位相限定相関関数 (POC関数)を定義する.
信号長が N の 2つの複素信号を x(n)と y(n)とする.こ
れらの信号 x(n)と y(n)の 1次元離散フーリエ変換は以
下の式で表される.
X(k) = DFT [x(n)] =N−1∑n=0
x(n)WnkN = |X(k)|ejθk (1)
Y (k) = DFT [x(n)] =N−1∑n=0
y(n)WnkN = |Y (k)|ejϕk (2)
ここで k = 0,…, N −1は離散周波数インデックスであり,
WN = exp(−j2π/N) は離散フーリエ変換の回転因子を
表す.また |X(k)|は信号 x(n)の振幅スペクトルであり,
θk は x(n)の位相スペクトルである.同様に |Y (k)|は信号 y(n)の振幅スペクトルであり,ϕk は y(n)の位相スペ
クトルである.POC関数は 2つの信号の正規化クロスパ
第30回 信号処理シンポジウム
2015年11月4日~6日(いわき)
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ワースペクトルの離散フーリエ逆変換として以下の式で
与えられる.
r(m) = IDFT
[X(k)Y ∗(k)
|X(k)||Y (k)|
]=
1
N
N−1∑k=0
X(k)Y ∗(k)
|X(k)||Y (k)|W−mk
N
=1
N
N−1∑k=0
ejαkW−mkN (3)
(m = 0, 1, ..., N − 1)
ここで‘ ∗’は複素共役を表し,αk = θk − ϕk は 2つの信
号の位相スペクトル差を表す.つまり位相スペクトル差
αk がわかると POC関数を求めることができる.
2.2 POC関数の期待値と分散の一般式
著者らのグループでは,文献 [4]で,位相スペクトル差
αkを確率変数と仮定して,POC関数の期待値と分散を導
出した.POC関数の期待値E[r(m)]および分散Var[r(m)]
の一般式は以下の式で表される.
E[r(m)] = Aδ(m) (4)
Var[r(m)] =1
N(1− |A|2) (5)
ここで位相因子 ejαk の期待値を
A = E[ejαk
](6)
とおいている.ここで,位相スペクトル差 αkは,すべて
の周波数インデックス k に関して独立かつ同一な確率分
布に従うと仮定している.式 (4)と (5),(6)より位相ス
ペクトル差 αk の確率密度関数を与えることで,POC関
数の統計的性質を表すことができる.
2.3 特性関数を用いた POC関数の期待値と分散の
導出
位相スペクトル差 αk の確率密度関数が与えられたと
き,式 (6)の計算にその特性関数を用いることができる.
確率変数 αkの確率密度関数 p(αk)の特性関数 ψα(t)は以
下で定義される.
ψα(t) = E[ejαkt] =
∫ ∞
−∞ejαktp(αk)dαk (7)
ここで t = 1とすることで,位相因子の期待値を以下の
ように求めることができる.
ψα(1) = E[ejαk ] =
∫ ∞
−∞ejαkp(αk)dαk
= A (8)
従って,位相スペクトル差 αkの確率密度関数が与えられ
たとき,式 (8)を用いることで POC関数の期待値と分散
を導出することができる.
3 2信号の位相スペクトルが 2変量確率分布に従う場合
の POC関数の統計的性質
3.1 2信号の位相スペクトルにおける仮定
著者らのグループがこれまでに行ってきたPOC関数の
統計的解析では,信号 x(n)の位相スペクトル θk を確定
信号とし,一方,信号 y(n)の位相スペクトル ϕk を確率
信号であると仮定をおいていた.しかし,実際の信号処
理においては,2信号 x(n)と y(n)の位相スペクトル θk
と ϕkがともに確率信号である場合も考えられる.本研究
では,2信号の位相スペクトル θk と ϕk が確率的に変動
すると仮定して,POC関数の統計的解析を行う.この時,
2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)は,2変量の確率変数で
あると仮定している.
3.2 POC関数の期待値と分散の一般式
αk = θk − ϕk の関係式を式 (6)に代入すると,以下の
ように位相因子 ejαk の期待値を表すことができる.
A = E[ejαk
]= E
[ej(θk−ϕk)
](9)
ここで,2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)は,すべての周
波数インデックス k に関して独立かつ同一な確率分布に
従うと仮定している.式 (9)と (4),(5)より位相スペクト
ル (θk, ϕk)の 2変量確率密度関数を与えることで,POC
関数の統計的性質を表すことができる.
3.3 2次元の特性関数を用いた POC関数統計的性質
の記述
2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)の確率密度関数が与え
られたとき,2次元の特性関数を用いて POC関数の期待
値と分散を表すことができる.2信号の位相スペクトルの
確率密度関数を p(θk, ϕk)としたとき,その 2次元特性関
数 ψθ,ϕ(t1, t2)は以下の式で与えられる [5].
ψθ,ϕ(t1, t2) = E[ej(θkt1+ϕkt2)
]=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞p(θk, ϕk)e
jθkt1ejϕkt2dθkdϕk (10)
次に,式 (10)において t1 = 1, t2 = −1を代入すること
で,以下のように位相因子の期待値を導出することがで
きる.
ψθ,ϕ(1,−1) = E[ej(θk−ϕk)
]=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞p(θk, ϕk)e
jθke−jϕkdθkdϕk
= A (11)
従って,2確率密度関数 p (θk, ϕk)の 2次元特性関数を導
出できる場合には,式 (11)を用いることで POC関数の
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期待値と分散を以下の式で導出することができる.
E[r(m)] = Aδ(m) (12)
Var[r(m)] =1
N(1− |A|2) (13)
ここで位相因子 ejαk の期待値を
A = E[ejαk
]= E
[ej(θk−ϕk)
]= ψθ,ϕ(1,−1) (14)
とおいている.
3.4 2信号の位相スペクトルが独立な場合の POC関
数の統計的性質
2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)の 2変量確率密度関数
を p (θk, ϕk)とし,θk と ϕk の周辺確率密度関数をそれぞ
れ p (θk)と p (ϕk)とおく.このときに
p (θk, ϕk) = p (θk) p (ϕk) (15)
が成り立つ場合,2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)は互い
に独立であるといえる.式 (10)において,p (θk, ϕk)に式
(15)が成り立つとすると,その 2次元特性関数は以下の
ように導出することができる.
ψθ,ϕ(t1, t2) = E[ej(θkt1+ϕkt2)
]=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞p(θk, ϕk)e
jθkt1ejϕkt2dθkdϕk
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞p (θk) p (ϕk) e
jθkt1ejϕkt2dθkdϕk
=
∫ ∞
−∞p (θk) e
jθt1dθk
∫ ∞
−∞p (ϕk) e
jϕkt2dϕk
= ψθ(t1)ψϕ(t2) (16)
ここで,ψθ(t1)とψϕ(t2)は,それぞれ周辺確率密度関数
p(ϕk)と p(θk)の特性関数である.従って,式 (16)に t1 =
1, t2 = −1を代入することで,以下のように位相因子の
期待値を導出することができる.
A = E[ejαk
]= E
[ej(θk−ϕk)
]= ψθ(1)ψϕ(−1) (17)
ここで,式 (17)を式 (4)と式 (5)に代入することで POC
関数の期待値と分散を導出することができる.
4 計算例
4.1 2変量正規分布に従う場合の POC関数の統計的
性質
2 信号の位相スペクトル (θk, ϕk)が 2 変量正規分布に
従うと仮定する.この時,平均 µ,共分散行列Σの 2変
量正規分布N(µ,Σ)の確率密度関数は以下の式で与えら
れる.
p(θk, ϕk) =1
2π|Σ| 12e−
12 (Θ−µ)Σ−1(Θ−µ)t (18)
Θ =(θk ϕk
)µ =
(µθ µϕ
)Σ =
(σ2θ ρσθσϕ
ρσθσϕ σ2ϕ
)σ2θ , σ
2ϕはそれぞれ 2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)の分散
を表している.このとき,σθ, σϕ は σθ > 0と σϕ > 0を
満たす.また,ρは相関係数と呼ばれ,−1 ≤ ρ ≤ 1を満
たす.相関係数 ρ = 1の時は,θk = ϕk であり,ρ = −1
の時は,θk = −ϕk となる.p (θk, ϕk)が式 (18)で与えら
れる場合,その 2次元特性関数は以下のように導出する
ことができる.
ψθ,ϕ(t1, t2) = ej(µθt1+µϕt2)e−12 (σ
2θt
21+2ρσθσϕt1t2+σ2
ϕt22)(19)
ここで,式 (19)に t1 = 1, t2 = −1を代入することで以下
のように位相因子の期待値を導出することができる.
ψθ,ϕ(1,−1) = ejµe−σ2
2
= A (20)
σ2 = σ2θ − 2ρσθσϕ + σ2
ϕ
µ = µθ − µϕ
式 (20)を式 (4)と式 (5)に代入すると,以下のようにPOC
関数の期待値と分散を導出できる.
E[r(m)] = ejµe−σ2
2 δ(m) (21)
Var[r(m)] =1
N
(1− e−σ2
)(22)
一例として,位相スペクトル (θk, ϕk)の分散 (σ2θ , σ
2ϕ)が
それぞれ (1, 1)であるとき,相関係数 ρ及び平均差 µの
変化に対する POC関数 r(m)のピークの期待値 |E[r(0)]|と分散 Var[r(m)]を図 1と 2に示す.分散 (σ2
θ , σ2ϕ)がそ
れぞれ (1, 1)である場合は,POC関数のピークの期待値
|E[r(0)]|と分散 Var[r(m)]は以下の式で表わされる.
|E [r(0)]| = e−σ2
2 = e(ρ−1) (23)
Var[r(m)] =1
N
(1− e−σ2
)=
1
N
(1− e2(ρ−1)
)(24)
式 (23)と (24)より,POC関数のピークの期待値と分散
は平均差 µに依存しないことがわかる.また相関係数 ρ
が-1から1に増加するに従い,位相スペクトル差のばら
つきが小さくなるため,POC関数のピークの期待値は増
加し,分散は減少する.図 1と 2にもその傾向が表れて
いる.
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図 1: 2信号の位相スペクトルの相関係数及び平均差が変
化した時の POC関数のピークの期待値の挙動
図 2: 2信号の位相スペクトルの相関係数及び平均差が変
化した時の POC関数の分散の挙動
図 3: 2信号の位相スペクトルの分散が変化した時のPOC
関数のピークの期待値の挙動
図 4: 2信号の位相スペクトルの分散が変化した時のPOC
関数の分散の挙動
次に,相関係数 ρ = 0.5であるとき,位相スペクトル
(θk, ϕk)の分散 (σ2θ , σ
2ϕ)の変化に対する POC関数 r(m)
の期待値 |E[r(0)]| と分散 Var[r(m)] を図 3 と 4 に示す.
相関係数 ρ = 0.5である場合は,POC関数の期待値と分
散は以下の式で表される.
|E [r(0)]| = e−σ2
2 = e−12 (σ
2θ−σθσϕ+σ2
ϕ) (25)
Var[r(m)] =1
N
(1− e−σ2
)=
1
N
(1− e−(σ
2θ−σθσϕ+σ2
ϕ))
(26)
式 (25)と (26)より,POC関数の期待値と分散は平均差
µに依存しないことがわかる.また,σ2 の値が大きくな
るに従い,POC関数の期待値は減少し,POC関数の分
散は増加する.図 3と 4にもその傾向が表れている.
4.2 2変量一様分布に従う場合の POC関数の統計的
性質
2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)が 2変量一様分布に従
うと仮定すると,その確率密度関数は式 (27)で定義する.
p(θk, ϕk) =
1
2a
1
2b
(−a < θk < a
−b < ϕk < b
)0 otherwise
(27)
ここで,θk と ϕk は独立であると仮定している.式 (27)
の 2次元特性関数は以下のように導出することができる.
ψθ,ϕ(t1, t2) = sinc (at1) sinc (bt2) (28)
ここで sinc関数は以下の式で与えられる.
sinc(x) =
1 (x = 0)
sin(πx)
πx(x ̸= 0)
(29)
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図 5: aと bが変化したときの POC関数の期待値の挙動
図 6: aと bが変化したときの POC関数の分散の挙動
よって,位相因子の期待値は式 (28)に t1 = 1, t2 = −1を
代入することで以下の式のように導出できる.
A = ψθ,ϕ(1,−1) = sinc (a) sinc (−b)
= sinc (a) sinc (b) (30)
ここで式 (30)を式 (4)と式 (5)に代入すると,以下のよ
うに POC関数の期待値と分散を導出できる.
E[r(m)] = sinc (a) sinc (b) δ(m) (31)
Var[r(m)] =1
N
(1− |sinc (a) sinc (b)|2
)(32)
一例として,a と b の変化に対する POC 関数 r(m) の
ピークの期待値 |E[r(0)]|および分散 Var[r(m)]を図 5と
6に示す.図 5と 6をみると,aと bの値が 0から πに増
加するに従い,POC関数のピークの期待値 |E[r(0)]|は減少し,分散 Var[r(m)]は増加していることがわかる.
5 まとめ
本稿では,2信号の位相スペクトルを 2変量確率変数
と仮定して,POC関数の統計的解析を行った.具体的に
は,2信号の位相スペクトルが平面上で与えられる 2変量
確率分布に従うと仮定してPOC関数の期待値と分散を導
出した.その結果,POC関数の期待値と分散の一般式は
2次元特性関数を用いて導出できることを証明した.
参考文献
[1] H. Nakajima, K. Kobayashi, T. Aoki, and T.
Higuchi,“Pattern collation apparatus based on spa-
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Int. Conf. on Cybernetics and Society, pp. 163-165,
1975.
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54, NO. 6, pp. 2456-2466, June 2014.
[4] S. Yamaki, J. Odagiri, M. Abe and M. Kawamata,
”Effects of Stochastic Phase Spectrum Differences
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tistically Constant Phase Spectrum Differences for
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[5] A. Papoulis, S. U. Pillai, ”Probability, Random
Variables and Stochastic Processes,” McGraw Hill,
2002.
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