2変量確率分布に従う位相スペクトルをもつ2信号間の位相限定相関関数の統計的性質

Statistical Properties of Phase-Only Correlation Functions Between Two Signals

With Phase Spectrum Following Bivariate Probability Distributions

鈴木亮 † 八巻俊輔 ‡ 　川又政征 † 　吉澤誠 ‡

†東北大学大学院工学研究科‡東北大学サイバーサイエンスセンター

Ryo Suzuki† Shunsuke Yamaki‡ 　Masayuki Kawamata† 　Makoto Yoshizawa‡

†Graduate School of Engineering, Tohoku University

‡Cyberscience Center, Tohoku University

アブストラクト 位相限定相関関数 (POC関数: Phase-

Only Correlation Functions)の性質に数学的根拠を与え

るため，POC関数の統計的解析を行う．本稿では，2信

号の位相スペクトルがともに確率的に変化する場合を考

え，2信号の位相スペクトルが 2変量確率変数であると仮

定する．2信号の位相スペクトルが 2変量確率分布に従う

とした時の POC関数の期待値と分散を導出する．このと

き，POC関数の期待値と分散の一般式は 2次元の特性関

数を用いて導出できることを証明する．

1 はじめに

2 つの信号の類似度を評価する方法の一つとして，信

号のもつ位相情報を用いる位相限定相関関数（POC 関

数:Phase-only-Correlation Functions）を用いる方法があ

る．POC関数は振幅スペクトルを 1に正規化した信号（位

相限定信号）に対して相関を計算することで求められる．

2つの信号が類似しているときに，POC関数は鋭いピー

クが観測される．また POC関数は，2信号間の幾何学的

な関係を求めることができる．例えば，POC関数のピー

クの出現する位置のずれを信号の位置ずれに変換して表

現することができる．これらの特徴から，POC関数は指

紋認証技術 [1]や画像マッチング技術 [2]，周期性のある

DNA配列の探索 [3]などに応用されてきた．

2つの評価したい信号が等しいときは，それぞれの信号

の持つ位相情報は等しく，2つの信号の位相スペクトル差

は 0である．位相スペクトル差が 0となる時の POC関数

はデルタ関数になる．また，2つの信号の位相スペクトル

差が 0ではない時，POC関数はデルタ関数と異なる．し

かし，これまでの研究では，2信号間の位相スペクトル差

が 0ではない時に，POC関数がどれだけデルタ関数と異

なるかについて数学的な根拠が与えられていなかった．

　著者らのグループでは，これまでに 2信号間の位相ス

ペクトル差を 1変量確率変数と仮定して，POC関数の統

計的解析を行った [4]．また，位相スペクトル差が直線上

で与えられる 1変量確率分布に従うと仮定して POC関数

の期待値と分散を導出した．

　これらに対して本稿では，2信号の位相スペクトルを 2

変量確率変数と仮定して，POC関数の統計的解析を行う．

具体的には，2信号の位相スペクトルが平面上で与えられ

る 2変量確率分布に従うと仮定して POC関数の期待値と

分散を導出する．その結果，POC関数の期待値と分散の

一般式は 2次元特性関数を用いて導出できることを証明

する．

2 POC関数の統計的解析

2.1 POC関数の定義

まず最初に位相限定相関関数 (POC関数)を定義する．

信号長が N の 2つの複素信号を x(n)と y(n)とする.こ

れらの信号 x(n)と y(n)の 1次元離散フーリエ変換は以

下の式で表される．

X(k) = DFT [x(n)] =N−1∑n=0

x(n)WnkN = |X(k)|ejθk (1)

Y (k) = DFT [x(n)] =N−1∑n=0

y(n)WnkN = |Y (k)|ejϕk (2)

ここで k = 0,…, N −1は離散周波数インデックスであり，

WN = exp(−j2π/N) は離散フーリエ変換の回転因子を

表す．また |X(k)|は信号 x(n)の振幅スペクトルであり，

θk は x(n)の位相スペクトルである．同様に |Y (k)|は信号 y(n)の振幅スペクトルであり，ϕk は y(n)の位相スペ

クトルである．POC関数は 2つの信号の正規化クロスパ

第30回 信号処理シンポジウム

2015年11月4日～6日（いわき）

- 350 -

ワースペクトルの離散フーリエ逆変換として以下の式で

与えられる．

r(m) = IDFT

[X(k)Y ∗(k)

|X(k)||Y (k)|

]=

1

N

N−1∑k=0

X(k)Y ∗(k)

|X(k)||Y (k)|W−mk

N

=1

N

N−1∑k=0

ejαkW−mkN (3)

(m = 0, 1, ..., N − 1)

ここで‘ ∗’は複素共役を表し，αk = θk − ϕk は 2つの信

号の位相スペクトル差を表す．つまり位相スペクトル差

αk がわかると POC関数を求めることができる．

2.2 POC関数の期待値と分散の一般式

著者らのグループでは，文献 [4]で，位相スペクトル差

αkを確率変数と仮定して，POC関数の期待値と分散を導

出した．POC関数の期待値E[r(m)]および分散Var[r(m)]

の一般式は以下の式で表される．

E[r(m)] = Aδ(m) (4)

Var[r(m)] =1

N(1− |A|2) (5)

ここで位相因子 ejαk の期待値を

A = E[ejαk

](6)

とおいている．ここで，位相スペクトル差 αkは，すべて

の周波数インデックス k に関して独立かつ同一な確率分

布に従うと仮定している．式 (4)と (5)，(6)より位相ス

ペクトル差 αk の確率密度関数を与えることで，POC関

数の統計的性質を表すことができる．

2.3 特性関数を用いた POC関数の期待値と分散の

導出

位相スペクトル差 αk の確率密度関数が与えられたと

き，式 (6)の計算にその特性関数を用いることができる．

確率変数 αkの確率密度関数 p(αk)の特性関数 ψα(t)は以

下で定義される．

ψα(t) = E[ejαkt] =

∫ ∞

−∞ejαktp(αk)dαk (7)

ここで t = 1とすることで，位相因子の期待値を以下の

ように求めることができる．

ψα(1) = E[ejαk ] =

∫ ∞

−∞ejαkp(αk)dαk

= A (8)

従って，位相スペクトル差 αkの確率密度関数が与えられ

たとき，式 (8)を用いることで POC関数の期待値と分散

を導出することができる．

3 2信号の位相スペクトルが 2変量確率分布に従う場合

の POC関数の統計的性質

3.1 2信号の位相スペクトルにおける仮定

著者らのグループがこれまでに行ってきたPOC関数の

統計的解析では，信号 x(n)の位相スペクトル θk を確定

信号とし，一方，信号 y(n)の位相スペクトル ϕk を確率

信号であると仮定をおいていた．しかし，実際の信号処

理においては，2信号 x(n)と y(n)の位相スペクトル θk

と ϕkがともに確率信号である場合も考えられる．本研究

では，2信号の位相スペクトル θk と ϕk が確率的に変動

すると仮定して，POC関数の統計的解析を行う．この時，

2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)は，2変量の確率変数で

あると仮定している．

3.2 POC関数の期待値と分散の一般式

αk = θk − ϕk の関係式を式 (6)に代入すると，以下の

ように位相因子 ejαk の期待値を表すことができる．

A = E[ejαk

]= E

[ej(θk−ϕk)

](9)

ここで，2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)は，すべての周

波数インデックス k に関して独立かつ同一な確率分布に

従うと仮定している．式 (9)と (4)，(5)より位相スペクト

ル (θk, ϕk)の 2変量確率密度関数を与えることで，POC

関数の統計的性質を表すことができる．

3.3 2次元の特性関数を用いた POC関数統計的性質

の記述

2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)の確率密度関数が与え

られたとき，2次元の特性関数を用いて POC関数の期待

値と分散を表すことができる．2信号の位相スペクトルの

確率密度関数を p(θk, ϕk)としたとき，その 2次元特性関

数 ψθ,ϕ(t1, t2)は以下の式で与えられる [5]．

ψθ,ϕ(t1, t2) = E[ej(θkt1+ϕkt2)

]=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞p(θk, ϕk)e

jθkt1ejϕkt2dθkdϕk (10)

次に，式 (10)において t1 = 1, t2 = −1を代入すること

で，以下のように位相因子の期待値を導出することがで

きる．

ψθ,ϕ(1,−1) = E[ej(θk−ϕk)

]=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞p(θk, ϕk)e

jθke−jϕkdθkdϕk

= A (11)

従って，2確率密度関数 p (θk, ϕk)の 2次元特性関数を導

出できる場合には，式 (11)を用いることで POC関数の

- 351 -

期待値と分散を以下の式で導出することができる．

E[r(m)] = Aδ(m) (12)

Var[r(m)] =1

N(1− |A|2) (13)

ここで位相因子 ejαk の期待値を

A = E[ejαk

]= E

[ej(θk−ϕk)

]= ψθ,ϕ(1,−1) (14)

とおいている．

3.4 2信号の位相スペクトルが独立な場合の POC関

数の統計的性質

2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)の 2変量確率密度関数

を p (θk, ϕk)とし，θk と ϕk の周辺確率密度関数をそれぞ

れ p (θk)と p (ϕk)とおく．このときに

p (θk, ϕk) = p (θk) p (ϕk) (15)

が成り立つ場合，2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)は互い

に独立であるといえる．式 (10)において，p (θk, ϕk)に式

(15)が成り立つとすると，その 2次元特性関数は以下の

ように導出することができる．

ψθ,ϕ(t1, t2) = E[ej(θkt1+ϕkt2)

]=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞p(θk, ϕk)e

jθkt1ejϕkt2dθkdϕk

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞p (θk) p (ϕk) e

jθkt1ejϕkt2dθkdϕk

=

∫ ∞

−∞p (θk) e

jθt1dθk

∫ ∞

−∞p (ϕk) e

jϕkt2dϕk

= ψθ(t1)ψϕ(t2) (16)

ここで，ψθ(t1)とψϕ(t2)は，それぞれ周辺確率密度関数

p(ϕk)と p(θk)の特性関数である．従って，式 (16)に t1 =

1, t2 = −1を代入することで，以下のように位相因子の

期待値を導出することができる．

A = E[ejαk

]= E

[ej(θk−ϕk)

]= ψθ(1)ψϕ(−1) (17)

ここで，式 (17)を式 (4)と式 (5)に代入することで POC

関数の期待値と分散を導出することができる．

4 計算例

4.1 2変量正規分布に従う場合の POC関数の統計的

性質

2 信号の位相スペクトル (θk, ϕk)が 2 変量正規分布に

従うと仮定する．この時，平均 µ，共分散行列Σの 2変

量正規分布N(µ,Σ)の確率密度関数は以下の式で与えら

れる．

p(θk, ϕk) =1

2π|Σ| 12e−

12 (Θ−µ)Σ−1(Θ−µ)t (18)

Θ =(θk ϕk

)µ =

(µθ µϕ

)Σ =

(σ2θ ρσθσϕ

ρσθσϕ σ2ϕ

)σ2θ , σ

2ϕはそれぞれ 2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)の分散

を表している．このとき，σθ, σϕ は σθ > 0と σϕ > 0を

満たす．また，ρは相関係数と呼ばれ，−1 ≤ ρ ≤ 1を満

たす．相関係数 ρ = 1の時は，θk = ϕk であり，ρ = −1

の時は，θk = −ϕk となる．p (θk, ϕk)が式 (18)で与えら

れる場合，その 2次元特性関数は以下のように導出する

ことができる．

ψθ,ϕ(t1, t2) = ej(µθt1+µϕt2)e−12 (σ

2θt

21+2ρσθσϕt1t2+σ2

ϕt22)(19)

ここで，式 (19)に t1 = 1, t2 = −1を代入することで以下

のように位相因子の期待値を導出することができる．

ψθ,ϕ(1,−1) = ejµe−σ2

2

= A (20)

σ2 = σ2θ − 2ρσθσϕ + σ2

ϕ

µ = µθ − µϕ

式 (20)を式 (4)と式 (5)に代入すると，以下のようにPOC

関数の期待値と分散を導出できる．

E[r(m)] = ejµe−σ2

2 δ(m) (21)

Var[r(m)] =1

N

(1− e−σ2

)(22)

一例として，位相スペクトル (θk, ϕk)の分散 (σ2θ , σ

2ϕ)が

それぞれ (1, 1)であるとき，相関係数 ρ及び平均差 µの

変化に対する POC関数 r(m)のピークの期待値 |E[r(0)]|と分散 Var[r(m)]を図 1と 2に示す．分散 (σ2

θ , σ2ϕ)がそ

れぞれ (1, 1)である場合は，POC関数のピークの期待値

|E[r(0)]|と分散 Var[r(m)]は以下の式で表わされる．

|E [r(0)]| = e−σ2

2 = e(ρ−1) (23)

Var[r(m)] =1

N

(1− e−σ2

)=

1

N

(1− e2(ρ−1)

)(24)

式 (23)と (24)より，POC関数のピークの期待値と分散

は平均差 µに依存しないことがわかる．また相関係数 ρ

が-1から１に増加するに従い，位相スペクトル差のばら

つきが小さくなるため，POC関数のピークの期待値は増

加し，分散は減少する．図 1と 2にもその傾向が表れて

いる．

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図 1: 2信号の位相スペクトルの相関係数及び平均差が変

化した時の POC関数のピークの期待値の挙動

図 2: 2信号の位相スペクトルの相関係数及び平均差が変

化した時の POC関数の分散の挙動

図 3: 2信号の位相スペクトルの分散が変化した時のPOC

関数のピークの期待値の挙動

図 4: 2信号の位相スペクトルの分散が変化した時のPOC

関数の分散の挙動

次に，相関係数 ρ = 0.5であるとき，位相スペクトル

(θk, ϕk)の分散 (σ2θ , σ

2ϕ)の変化に対する POC関数 r(m)

の期待値 |E[r(0)]| と分散 Var[r(m)] を図 3 と 4 に示す．

相関係数 ρ = 0.5である場合は，POC関数の期待値と分

散は以下の式で表される．

|E [r(0)]| = e−σ2

2 = e−12 (σ

2θ−σθσϕ+σ2

ϕ) (25)

Var[r(m)] =1

N

(1− e−σ2

)=

1

N

(1− e−(σ

2θ−σθσϕ+σ2

ϕ))

(26)

式 (25)と (26)より，POC関数の期待値と分散は平均差

µに依存しないことがわかる．また，σ2 の値が大きくな

るに従い，POC関数の期待値は減少し，POC関数の分

散は増加する．図 3と 4にもその傾向が表れている．

4.2 2変量一様分布に従う場合の POC関数の統計的

性質

2信号の位相スペクトル (θk, ϕk)が 2変量一様分布に従

うと仮定すると，その確率密度関数は式 (27)で定義する．

p(θk, ϕk) =

1

2a

1

2b

(−a < θk < a

−b < ϕk < b

)0 otherwise

(27)

ここで，θk と ϕk は独立であると仮定している．式 (27)

の 2次元特性関数は以下のように導出することができる．

ψθ,ϕ(t1, t2) = sinc (at1) sinc (bt2) (28)

ここで sinc関数は以下の式で与えられる．

sinc(x) =

1 (x = 0)

sin(πx)

πx(x ̸= 0)

(29)

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図 5: aと bが変化したときの POC関数の期待値の挙動

図 6: aと bが変化したときの POC関数の分散の挙動

よって，位相因子の期待値は式 (28)に t1 = 1, t2 = −1を

代入することで以下の式のように導出できる．

A = ψθ,ϕ(1,−1) = sinc (a) sinc (−b)

= sinc (a) sinc (b) (30)

ここで式 (30)を式 (4)と式 (5)に代入すると，以下のよ

うに POC関数の期待値と分散を導出できる．

E[r(m)] = sinc (a) sinc (b) δ(m) (31)

Var[r(m)] =1

N

(1− |sinc (a) sinc (b)|2

)(32)

一例として，a と b の変化に対する POC 関数 r(m) の

ピークの期待値 |E[r(0)]|および分散 Var[r(m)]を図 5と

6に示す．図 5と 6をみると，aと bの値が 0から πに増

加するに従い，POC関数のピークの期待値 |E[r(0)]|は減少し，分散 Var[r(m)]は増加していることがわかる．

5 まとめ

本稿では，2信号の位相スペクトルを 2変量確率変数

と仮定して，POC関数の統計的解析を行った．具体的に

は，2信号の位相スペクトルが平面上で与えられる 2変量

確率分布に従うと仮定してPOC関数の期待値と分散を導

出した．その結果，POC関数の期待値と分散の一般式は

2次元特性関数を用いて導出できることを証明した．

参考文献

[1] H. Nakajima, K. Kobayashi, T. Aoki, and T.

Higuchi,“Pattern collation apparatus based on spa-

tial frequency characteristics (USP 5915034),”US

patent, May 1995.

[2] C. D. Kuglin and D. C. Hines,“ The Phase Cor-

relation Image Alignment Method,”Proc. IEEE,

Int. Conf. on Cybernetics and Society, pp. 163-165,

1975.

[3] A. K. Brodzik, “ Phase only filtering for the

masses(of DNA data): A new approach to sequence

alignment,”IEEE Trans. Signal Processing, VOL.

54, NO. 6, pp. 2456-2466, June 2014.

[4] S. Yamaki, J. Odagiri, M. Abe and M. Kawamata,

”Effects of Stochastic Phase Spectrum Differences

on Phase-Only Correlation Functions Part I: Sta-

tistically Constant Phase Spectrum Differences for

Frequency Indices,” Proceedings of IEEE 3rd Inter-

national Conference on Network Infrastructure and

Digital Content, pp. 360-364, September 2012.

[5] A. Papoulis, S. U. Pillai, ”Probability, Random

Variables and Stochastic Processes,” McGraw Hill,

2002.

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