2.temel bilgiler

İKİNCİ BÖLÜM

TEMEL BİLGİLER

1. YAKLAŞIK ÇÖZÜM

Sonlu elemanlar metodunda genellikle karşılaşılan problemler kısmi diferansiyel

denklemlerle ifade edilen fiziksel problemlerdir. Örneğin katı cisim mekaniğinde aranan

sonuç cismin yaptığı yerdeğiştirmedir. Bu da gerilme ve yer değiştirmeler arasında kurulan

ikinci dereceden bir kısmi diferansiyel denklemin çözümü ile elde edilir. Bu denklemler

basit geometriler ve yükleme durumları için kesin sonuçlar elde edilecek şekilde

çözülebilse de karmaşık problemlerde yaklaşık çözümlerin elde edilmesi kaçınılmaz hale

gelir. Yaklaşık çözümleme yöntemleri de genellikle potansiyel enerji ve varyasyonel

yöntemleri kullanır. Kitapta çözümler potansiyel enerji ve Galerkin yaklaşımı kullanılarak

elde edilmiştir. Burada bu iki yöntem elastisite problemlerine uygulanarak açıklanacaktır.

1.1 Potasiyel Enerji

Koservatif sistemlerde yapılan iş gidilen yoldan bağımsızdır ve yalnızca yükseklikle

ilişkilidir. Buna göre eğer bir cisim bir noktadan alınıp belli bir yoldan geçtikten sonra aynı

noktaya tekrar getirilirse hiçbir iş yapılmış olmaz. Potansiyel enerji, sistemin konumunu

belirleyen koordinatlara bağlı olarak bir integral ifade ile elde edilebilir. Sınır şartlarını

gerçekleyen durumlarda cismin dengede olabilmesi için potansiyel enerjinin bir ekstremde

olması gerekir. Bir çok durumda bu ekstrem değer bir minmumdur ve bu nedenle yöntem

minimum potansiyel enerji yöntemi olarak adlandırılır. Örneğin, rastgele yüklenmiş basit

mesnetli bir kirişte kirişin çökme eğrisi araştırılıyor olsun. Mümkün olan bir çok çökme

eğrisi arasında gerçek çökme eğrisi, verilen sınır şartları altında kiriş için yazılacak

potansiyel enerji ifadesinin minimum olmasını sağlayan eğri olacaktır. Bunda da iç

kuvvetler tarafından meydana getirilen potansiyel enerji ile dış kuvvetlerin oluşturduğu

potansiyel enerji etkili olacaktır. İç kuvvetlerin potansiyel enerjisi şekil değiştirme

Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN

enerjisinden, dış kuvvetlerinki de uygulanan kuvvet sebebiyle meydana gelen yer

değiştirmenin çarpımı (iş) şeklinde bulunur. Yani,

WU +=Π (1)

olup U şekil değiştirme enerjisini, W ise iş potansiyelini göstermektedir. Şekil değiştirme

enerjisi,

∫=v

dvU σε21 (2)

dir. İş potansiyeli ise, u=[u, v w] deplasmanları, f=[fx, fy, fz] kütle kuvvetlerini,

T=Tx, Ty, Tz] yüzey kuvvetlerini ve Pi de tekil kuvvetleri göstermek üzere,

∫ ∑∫ −−−=

si

iT

iT

v

T PudSTudvfuW (3)

olarak yazılır. Bu durumda toplam potansiyel enerji,

∫ ∑∫∫ −−−=s

ii

Ti

T

v

T

vPudSTudvfudvσεΠ

21 (4)

olarak elde edilir. Bu durumda minimizasyon

0=

∂∂

uΠ (5)

ile gerçekleştirilmiş olur.

1.2 Rayleigh-Ritz Yöntemi

Sürekli bir ortam için toplam potansiyel enrji ifadesi doğrudan yaklaşık çözüm için

kullanılabilir. Rayleigh-Ritz yönteminde deplasman alanı tahmin edilerek bir çözüm

araştırılmaktadır. Örneğin deplasman alanı,

lmnnmkzyzaw

mljzyxav

lizyxau

kk

jj

ii

⟩⟩→+==

→+==

→==

∑∑∑

1),,(

1),,(

1),,(

φ

φ

φ

(6)

2


olsun. φi fonksiyonları genellikle polinomlardan seçilir. Alınan u, v ve w deplasman

alanları belirli sınır şartlarını sağlamak zorundadır. Gerilme-şekil değiştirme ve şekil

değiştirme-yer değiştirme denklemleri kullanıldığında toplam potansiyel enerji ifadesi r

adet bağımsız değişkene sahip bir fonksiyon olarak

),........,,( 21 raaaΠΠ = (7)

şeklinde yazılabilir. Bu durumda bağımsız değişkenlere göre yapılacak minimizasyon

işleminden

riai

,......2,10 ==∂∂Π (8)

elde edilir.

1.3 Ağırlıklı Kalanlar Yaklaşımı

Ağırlıklı kalanlar yaklaşımında integral formunun elde edilmesi için sistemi tanımlayan

denklemler kullanılır. Herhangi bir V bölgesinde tanım denklemi

Au=f (9)

ile verilmiş olsun. Örneğin bir boyutlu çubuk probleminin tanım denklemi,

0)( =dxduEA

dxd (10)

şeklindedir. Burada A yı

()dxdEA

dxd

şeklinde bir operatör olarak tanımlayabiliriz. Sonlu elemanlar yönteminde

karşılaşılabilecek diğer bazı operatorler

cudxdua

dxduA +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

2

2

)(dx

udbdxduA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dxduu

dxduA )(

3


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−=yuk

yxuk

xuA yx)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=xv

yu

yxu

yuv

xuuvuA 2

2

),(

şeklindedir. Gerçek çözüm, denklemi x üzerindeki her noktada sağlar. Buna karşılık uN

şeklinde yaklaşık bir çözüm elde edildiğinde, R gibi bir hata oranı ortaya çıkar ki buna

artık (kalan) denir. Bu da,

R=A uN –f (11)

dir. Yaklaşık çözümleme yöntemine göre meydana gelen bu hata belirli bir ağırlık

fonksiyonuna (Ψi) oranla 0 mertebesinde olmalıdır. Yani,

∫ ==−v Ni nidVPuA .......1,0)(Ψ (12)

Yaklaşık çözüm ise genellikle

01

φφ∑=

+=N

jjjN cu (13)

formundadır. Burada cj sınır şartlarına göre hesaplanacak katsayıları φ0 ve φj de seçilecek

fonksiyonları göstermektedir. Bu fonksiyonların seçim şekline göre çeşitli çözüm

yöntemleri geliştirilmiştir. Son durumda ağırlıklı kalan yöntemine göre sistem denklemi

NidVczyxRzyx jV i ,....10),,,(),,( ==∫ ψ (14)

şeklinde olur. Burada Ψi ağırlıklı kalanlar denklem sistemi lineer bağımsız olmak

zorundadır. Şeçilen φj operatör denklemindeki mertebeye kadar sıfırdan afrklı türeve sahip

olmalıdır. Aynı zamanda φ0 ve φj bütün sınır şartlarını sağlayacak şekilde seçilmelidir.

Ağırlıklı kalanlar yönteminin çeşitli formları ileriki paragraflarda verilmiştir.

Petrov-Galerkin Metodu: Ψi ≠ φi olduğunda ağırlıklı kalanlar yöntemi Petrov-Galerkin

metodu olarak adlandırılır. A operatörü lineer olduğunda iki boyutlu durum için çözüm

denklemi

[ ] [ ]∫∑ ∫ Ω=

Ω−= dxdyAfcdxdyA ij

N

jji )()( 0

1

φψφψ (15)

olarak basitleştirilebilir. Yada

4


ij

N

jij FcA =∑

=1 (16)

yazılır. Elde edilen operatör matrisi [A] simetrik değildir. Yani,

jijiij AdxdyAA ≠= ∫Ω )(φφ (17)

Galerkin Metodu: Ψi ağırlık fonksiyonunun φi yaklaşım fonksiyonuna eşit alınırsa bu

Galerkin metodu olarak bilinir. Galerkin yaklaşımının cebirsel denklemleri

∑=

=N

jijij FcA

1 (18)

olup burada vedxdyAAij ji

)(φφ∫Ω= [ ]dxdyAfFi ∫Ω −= )( 0φ dir. [A] yine simetrik

değildir.

En Küçük Kareler Metodu: Bu yöntemde, cj parametrelerini kalanının ( R) karesinin

integralinin minimizasyonuyla belirlenmesi halinde buna en küçük kareler yöntemi denir.

∫Ω =∂∂ 0),,(2 dxdycyxRc j

i

(19)

veya

∫Ω =∂∂ 0RdxdycR

i

(20)

Görüldüğü gibi esas denklemde Ψi = ∂R / ∂ci şeklinde bir değişiklik meydana gelmiştir.

Eğer A lineer bir operatörse, Ψi = A ( φi ) olacağından

[ ] [ dxAfAcjdxAA i

N

jji ∫∑ ∫ Ω

=Ω

−= )()()()( 01

φφφφ ] (21)

elde edilir. Bu da,

∑=

=N

jijij FcA

1 (22)

yazılabilir. Burada [A] simetriktir.

5


Kollokasyon Metodu: Kollokasyon metodunda, çözüm bölgesi üzerinde seçilmiş N adet

xi ≡ (xi, yi) noktasında kalan sıfırlanması istenir.

R( xi,yi,ci) = 0 (i = 1,2,.........,N) (23)

xi noktalarının seçimi iyi bir yaklaşık çözüm elde etmek için önemlidir. Kollokasyon

metodu Ψi=δ(x-xi ) ile şeklinde bir dönüşüm ile genel çözüm denklemine benzetilebilir.

Burada δ(x) Dirac delta fonksiyonu olarak adlandırılır ve

)()()( ξξδ fdxdyxxf =−∫Ω (24)

şeklinde verilir. Ağırlık fonksiyonların bu şekilde seçilmesi halinde ağırlıklı kalan ifadesi,

∫ ==−Ωδ 0),(0),()( j

ij

i cxRveyadxdycxRxx (25)

olur. Örnek: Aşağıdaki diferansiyel denklemi ağırlıklı kalanlar yöntemine göre çözünüz.

022

2

=+−− xudx

ud , u(0)=0 , 1)1( =′u

Çözüm: Ağırlıklı kalan metoduna göre, φ0 ve φi sınır şartlarını sağlamalıdır. Yani φ0(0)=0,

1)1(0 =′φ ve φi (0)=0, 0)1( =′iφ olmalıdır. Burada φ0 gerçek sınır şartlarını, φi ise düğümlerde tanımlı sınır şartlarını sağlamaktadır. φ0 (x) = a + bx olarak seçersek, sınır şartlarından a ve b sabitleri elde edildikten sonra φ0(x)=x olarak bulunur. İki homojen şart olduğundan, sıfır olmayan bir fonksiyon elde etmek için en az üç parametreli bir fonksiyon seçilmelidir. φ1 = a + bx + cx2. Sınır şartları uygulandığında φ1= - cx (2-x) elde edilir. φ2 için, φ2=a+bx+dx3 veya φ2 = a + cx2 + dx3 dan biri d ≠ 0 olacak şekilde seçilmelidir. φ2 her iki durumda da sıralı bütün mertebeleri içermemektedir. Yaklaşık çözüm φ1,φ2 ile ilk üç dereceden bütün terimleri içermektedir. İlk tercih için )1( 3

222 xx −=φ bulunur. Buna

göre kalan fonksiyonu

2

10

12

2

0 xcdxd

cRN

iii

N

i

ii +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∑∑

==

φφφ 22

322

22

1 )42()22( xxxxxcxxc +−+−+−++−=

olur. Petrov-Galerkin yöntemi için ağırlık fonksiyonları Ψ1 = x ,Ψ2 = x2 olsun. Bu

durumda , olacaktır. Buna göre katsayılar denklemleri ∫ =1

00xRdx 0

1

0

2 =∫ Rdxx

0121

26013

1127 =−+ cc 020

1245

11130

11 =−+ cc

6


olur. ci’ler çözülürse, c1 = 682103 ve 682

152 −=c elde edilir ve çözüm denklemi

uPG = 1.302053x - 0.173021x2 - 0.014663x3 olur.

Galerkin Metodu için Ψi = φi alarak, , ∫ =−1

00)2( Rdxxx 0)1( 3

21

0

2 =−∫ Rdxxx elde edilir.

Bu durumda katsayı denklemleri 060

7245

2815

4 =−+ cc 0361

231529

19017 =−+− cc

elde edilir. Katsayılar ise 4306623

1 =c , 430621

2 =c dir. Buna göre çözüm denklemi uG=1.2894x - 0.1398x2 - 0.00325x3 olur.

En Küçük Kareler Yönteminde Ψi = ∂R / ∂ci alarak , ∫ =+−1

0

2 0)22( Rdxxx

∫ =−+−−1

0

3322 0)42( Rdxxxx elde edilir. Aynı şekilde

06013

29047

11528 =−− cc 036

12315

253190

47 =++− cc

99351292

1 =c , 19870991

2 =c buradan, uKK = 1.2601x - 0.08017x2 - 0.03325x3 dir. Kollokasyon metodu için kollokasyon noktaları olarak 3

1=x ve 32=x alınarak

0)( 31 =R için 117c1-61c2=18 0)( 3

2 =R için 90c1+34c2=18 yazılır. Katsayılar 9468

17101 =c , 9468

4862 =c olarak bulunur. Çözüm denklemi ise

uC = 1.3612x - 0.12927x2 - 0.03422x3 dir.

Elde edilen bu yaklaşık çözümler ve kesin çözüm ( 21cos

sin)1cos(2)( 2 −+−−

= xxxxu ) şekil

1 de verilmiştir. Görüldüğü gibi Galerkin ve En Küçük Kareler yöntemleri kesin çözüme en yakın değerleri vermektedir.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Gerçek ÇözümPetrov-GalerkinGalerkinEn Küçük KarelerKollokasyon

-d 2 u/dx 2 - u + x 2 =00<x<1

Şekil 1 Ağırlıklı Kalanlar Çözümünde çeşitli Yaklaşım sonuçları

7


Galerkin yöntemi elastisite problemlerinde, “iç kuvvetlerin yaptığı virtüel işlerle dış

kuvvetlerin yaptığı virtüel işler birbirine eşit olduğu zaman sistem dengededir” şeklinde

tanımlanan virtüel işler prensibine de uygunluk göstermektedir.

2. MATRİS CEBRİ

Genel bir lineer denklem sistemi,

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

.................................................................

......................

2211

22222121

11212111

(26)

şeklinde verilir. Burada x1, x2, .....,xn bilinmeyenleri göstermektedir. Denklem sistemi

matris formunda,

[A]x=b (27)

şeklinde yazılır. Burada [A] kare bir matris olup lineer denklem sisteminin katsayılar

matrisi olarak adlandırılır. Matris ve vektörler,

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

i

n

i

nnnjnnn

nijiii

nj

nj

nj

b

b

bbb

b

x

x

xxx

x

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

A

...

...,

...

...,

...........................

...........................

......

......

......

][3

2

1

3

2

1

321

3321

33333231

22232221

11131211

(28)

şeklindedir. Görüldüğü gibi [A] matrisi elemanlardan oluşmuş bir bölge olup i satır ve j

sütununda bulunan elemanı aij şeklinde gösterilmektedir. Bir matrisin boyutları (1xn) ise

buna satır vektör, (mx1) ise buna da sütun vektör adı verilir.

Eğer boyutları (mxn) olan [A] ve [B] matrisleri var bu iki matrisin toplamından oluşan [C]

matrisinin elemanları

cij=aij+bij (29)

dir. [A] matrisinin sabit bir sayı ile çarpımı ise matrisin bütün elemanlarının bu sayı ile

çarpımı şeklinde yapılır.

8


c[A]=[caij] (30)

(mxn) boyutlarındaki [A] ile (nxp) boyutlarındaki [B] nin çarpımından (mxp) boyutlarında

[C] elde edilir. cij ise,

cij=([A] nın i satırı)([B] nin j sutunu) (31)

çarpımından elde edilir. [A][B]≠[B][A] dır. Matrisler kare matris değilse [B][A] çarpımı

zaten mümkün değildir.

[A]=[aij] şeklinde verilen bir matrisin tranpozu [A]T=[aji] dir. Buna göre [A] nın satırları

[A]T nin sütunları haline gelmiştir. Boyutları (mxn) olan matrisin transpozunun boyutları

(nxm) olur. Bir matris çarpımının transpozu için

([A][B][C])T=[C]T[B]T[A]T (32)

eşitliği geçerlidir. Bir kare matriste diyagonal elemanları dışındaki elemanlar 0 ise bu

matris diyagonal matris olarak adlandırılır. Diyagonal matrisin bütün elemanları 1 ise bu

da birim matristir. Kare matrisin elemanları arasında aij=aji ilişkisi varsa bu matris

simetrik bir matristir. Simetrik matrisin transpozu kendisine eşit olur. Kare matrisin

diyagonali altında kalan elemanların hepsi 0 ise buna üst üçgen matris denir.

Bir matrisin elemanlarının tamamının veya bir kısmının fonksiyon olması da mümkündür.

Bu nedenle matrislerin türev ve integralleri de alınabilir. Bir matrisin türevi (integrali) o

matrisin elemanlarının tek tek türevi (integrali) alınmak suretiyle yapılır. Bir [B] matrisinin

türev ve integrali

[ ] [ ] [ ]∫ ∫=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= dxdybdxdyB

dxxdb

xBdxd

ijij ,

)()( (33)

olarak ifade edilebilir. Eğer [A] katsayılar matrisi ve x değişkenlerin bulunduğu vektör

ise, [A]x çarpımının x in elemanlarından birine göre türevi [A] nın bu değişkene

karşılık gelen kolonunu verir.

Bir kare matrisin [A] determinantı detA ile gösterilir. Çeşitli determinant alma

yöntemleri vardır. Kofaktör yöntemine göre (2x2) lik bir matrisin determinantı

9


122122112221

1211det aaaaaaaa −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ (34)

dır. (3x3) boyutlarındaki bir matrisin determinantı ise

)()()(det 223132211323313321122332332211

333231

232221

131211aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

−+−−−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ (35)

şeklindedir. Eğer kare matrisin determinantı sıfırdan farklı ise bu matrisin tersi vardır.

Matris tersi [A]-1 ile gösterilir ve

[A]-1[A]=[A][A]-1=[I] (36)

eşitliğini sağlar. Determinantı sıfır olan matrisler tekil matris olarak adlandırılır. Bir

matrisin minörü [Mij] ile gösterilir ve matrisin i satırı ve j kolonu silinerek elde edilen

(n-1xn-1) boyutlarındaki matrisin determinantı olarak tanımlanır. Matrisin kofaktörü

[Cij]=(-1)i+j[Mij] (37)

dir. Matrisin adjointi ise kofaktörünün transpozudur (adj A=[C]T). Bu tanımlar ışığında

matrisin tersi

[ ]A

adjAAdet

1 =− (38)

olarak verilir. Örneğin (2x2) lik bir matrisin tersi

12212211

1121

12221

2221

1211

aaaaaaaa

aaaa

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

(39)

olarak elde edilir. (nxn) boyutlarındaki bir matris ile (nx1) boyutlarındaki bir vektörün,

xT[A]x (40) çarpımlarından elde edilen değer kuadratik form olarak adlandırılır. Özdeğer problemi

[A]y=λy (41)

10


şeklinde tanımlanır. Yukardaki eşitliği sağlayan 0 dan farklı bir özvektör ve buna karşılık

gelen bir özdeğer problemin çözümünü verir. Denklemi

([A]-λ[I])y=0 (42)

şeklinde düzenlersek, çözümün yalnızca det([A]-λ[I])=0 olması durumunda mümkün

olduğu görülür. det([A]-λ[I])=0 karakteristik denklem olarak adlandırılır. Bu denklem

(nxn) boyutlarındaki [A] matrisi için n adet özdeğer bulunması ile çözülür. Her özdeğere

karşılık gelen bir de özvektör bulunmaktadır.

([A]-λι[I])yi=0 (43)

Sonlu elemanlar metodunda karşılaşılan özdeğer problemleri genellikle [A]y=λ[Β]y

şeklindedir. Bu problemin çözümü ile ilgili açıklamalar ilgili bölümde yapılmıştır.

Simetrik bir matrisin bütün özdeğerleri 0 dan büyük ise bu matris pozitif tanımlı bir

matristir. Pozitif tanımlı matrislerin kuadratik formlarından da 0 dan büyük değerler elde

edilir.

3.GAUSS ELIMINASYON METODU

Matris formda [A]x=b şeklinde lineer denklem takımını ele alalım. Burada [A] (nxn)

boyutlarında b ve x de (nx1) boyutlarında matris ve vektörlerdir. Şayet det[A]≠0 ise bu

denklemin her iki tarafını matrisin tersi ile çarpılarak x in çözümü x=[A]-1b şeklinde

elde edilebilir. Fakat matris tersinin alınması için kullanılan yöntemler bilgisayar ortamı

açısından hem pahalı ve zaman alıcı, hem de oluşan hatalar açısından dezavantajlıdır. Bu

nedenle ters alma yerine bir eliminasyon yönteminin kullanılması daha kolaya ve

faydalıdır. Burada ele alınan lineer denklem sisteminin çözümünde Gauss Metodu nun

kullanılması anlatılacaktır.

Gauss eliminasyon yöntemi, lineer denklem sistemlerinden bilinmeyenleri elimine ederek

çözüm yapan tanınmış bir metottur. Bir örnek üzerinden metodu tanıtalım

(44) IIIIII

xxxxxxxx

15423072

31

321

321

=+−=++=+−

11


Denklemler görüldüğü gibi I-II ve III olarak numaralandırılmıştır. Burada x1'i II ve III 'den

elimine edelim I. denklemden; x1=(x2-7x3)/2 elde edilerek diğerlerinde yerine konursa,

21708370072

32

32

321

=++=−+=+−

xxxxxxx I

IIIII

( )

( )

1

1

(45)

olur. Görüleceği gibi bu işlem alt alta toplama yoluyla da yapılabilecektir. x1 'i II 'den

elimine edebilmek için II 'den I 'in yarısını çıkarmak yeterli olacaktır. x1 'i III 'den elimine

edebilmek için ise III ile I’i toplamak yeterlidir. Sonuçta aynı eşitlikler elde edilir. x1

kolonunda II ve III eşitliklerinde 0 olması bunun denklem II ve III 'den elimine edildiğini

gösterir. Denklem numaralarında bulunan (¹) ile bu denklemlerin 1 kere işlem gördüğü

anlatılmaktadır. Şimdide, III den x2 'yi elimine edelim. Bunun için III 'den II/7 'yi

çıkaralım. Sonuçta ortaya çıkan denklem sistemi,

6122004370072

3

32

321

=++=−+=+−

xxxxxx

)2(

)1(

IIIIII

(46)

Görüldüğü gibi denklemlerin sol tarafı bir üst üçgen matris oluşturmaktadır. III

denkleminden x3=0.05 bulunarak II denkleminde yerine konursa x2=1.16 olarak elde

edilir. Bu iki değer yardımıyla da I denkleminden x1=0.82 olarak bulunur. Bilinmeyenleri

bu ters sırada elde etme işlemine geri koyma işlemi denir. Yukarıdaki işlemler matris

formda gösterilebilir. Gauss eliminasyon işlemi matrisleri [A,b] şeklinde birleştirerek

(47) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

3610083700712

2171083700712

150142310712

elde edilir. Geri koyma işlemi ile; x1=0.82, x2=1.16, x3=0.05 bulunur. Gauss Eliminasyonu İçin Genel Algoritma: Bir örnek üzerinde temel fikrini

verdiğimiz Gauss eliminasyonu için bilgisayar uygulamasına imkan verecek şekilde genel

bir yöntem geliştirilebilir. Çözülecek denklem sistemi,

12


a a a a aa a a a aa a a a a

a a a a a

a a a a a

j n

j n

j n

i i i ij n

n n n nj nn

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

1 2 3 3

1 2 3

... ...

... ...

... ...... ... ... ... ... ... ...

... ...... ... ... ... ... ... ...

... ...

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

xxx

x

x

bbb

b

b

i

n

i

n

1

2

3

1

2

3

...

...

...

...

(48)

olsun. Gauss eliminasyonu x1,x2,x3,......,xn-1 değişkenlerini tek bir xn değişkeni kalıncaya

kadar elimine eden sistematik bir bir yaklaşımdır. Bu işlem sonunda denklem sistemi bir

değiştirilmiş bir üst üçgen matris ve yine değiştirilmiş bir sağ taraftan oluşan eşitlik elde

edilir. Buna peşpeşe eliminasyon işlemi denir. İndirgeme yapıldıktan sonra örnekte

görüldüğü gibi yerine koyma işlemiyle xn , xn-1 , ..., x3, x2, x1 değerleri sırasıyla elde edilir. k

işlem adımlarını göstermek üzere başlangıçta [A] matrisi ve bvektörü

1

...

...

.....................

......

......

2

1

321

4321

22232221

11131211

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

k

b

b

bb

aaaaa

aaaaaa

aaaaaaaaaa

n

i

nnnjnnn

inijiiii

nj

nj

(49)

olsun. İlk adımda amaç 1 denklemini kullanarak (1. Satır) x1 'i diğer eşitliklerden elimine

etmektir. (k) adım numarasını göstermek üzere birinci adımda yapılan işlem

a = a - aa

. ai j(1)

i jn

11i j

(50)

b = b - aa

. bi(1)

in

111

dir. Burada ai1/a11 örnekte görüldüğü gibi satırın ilk elemanının katsayısına bölünmesiyle

oluşan satır çarpanıdır. a11 aynı zamanda pivot olarak da adlandırılır. İndirgeme işlemi bu

ilk adımda i,j nin 2 den n’e kadar olan değerleri için yapılacağı aşikardır. x1 elimine

edildiğinden birinci sütunda 2'den n'e kadar olan tüm satırlardaki elemanlar 0 dır.

Dolayısıyla ikinci adımda işlem yapılacak sistem,

13


(51) 2

...

...

0......

0......

0......0......

)1(

)1(

)1(3

)1(2

1

)1()1()1(3

)1(2

)1()1()1(3

)1(2

)1(3

)1(3

)1(33

)1(32

)1(2

)1(2

)1(23

)1(22

11131211

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

k

b

b

bbb

aaaa

aaaa

aaaaaaaaaaaaa

n

i

nnnjnn

inijii

nj

nj

nj

olur. Bu adımda ise i ve j nin 3 ten n’ e kadar olan değerleri için indirgeme yapılır. Şimdi

herhangi bir k adımı için yapılacak işleme bakabiliriz. İşlem yapılacak bölge k+1 inci satır

ve sütundan n inci satır ve sütuna kadar olan bölgedir. Yapılacak indirgeme ise,

kk

b

b

b

bbb

aaa

aaa

aaa

aaaaaaaaaaaa

kn

ki

kk

knn

knj

knk

kin

kij

kik

knk

kjk

kkk

nj

nj

nj

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−+

−−−+

−−−+

−+

−+

−++

)1(

)1(

)1(1

)2(3

)1(2

1

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

)1()1(

)1()1(

)1()1)(1(

)2(3

)2(3

)2(33

)1(2

)1(2

)1(23

)1(22

111312

...

...

...

.........000...........................

.........000...........................

.........000...........................

.............00............0............

(52)

a = a - aa ai j

( k)i j(k-1) i k

(k-1)

k k(k-1) k j

(k-1) i , j = k + 1 , ................., n

(53)

b = b - aa bi

( k)i( k -1) i k

( k - 1)

k k( k- 1 ) k

( k - 1 ) i = k + 1 , .................., n

şeklindedir. İşlem (n-1) adım için yapıldıktan sonra,

a a a a aa a a a

a a aa a

a

xxxx

x

bbbb

b

n

n

n

n

nnn

n

11 12 13 14 1

221

231

141

21

332

342

32

443

43

1

1

2

3

4

1

21

32

43

0

...

...

...

...... ... ...

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=

nn( )−

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪1

(54)

elde edilir. (k) şeklindeki gösterim işlem basamaklarının kolay kavranması içindir.

Bilgisayar uygulamalarında bunlara gerek kalmaz. Adım numaraları gösterilmeden geri

yerleştirme adımına geçersek,

x = ban

n

n n (55)

14


olarak elde edilir. Diğer bilinmeyenler ise,

ii

n

ijjiji

a

xabx

∑+=

−= 1

1 i n n= − −1 2, ,.....,1 (56)

Böylece Gauss eliminasyonu tamamlanmış olur.

[A] simetrik ise, diyagonalin altında kalan elemanlar için işlem yapmaya gerek kalmaz ve

bu bize kolaylık sağlar. Bu durumda satır çarpanı olarak aa alınır, işlem yapılacak bölge

de sütunlarda k+1 den n e kadar değil, yalnızca diyagonalin üstü olur.

k i

k k

Sonlu elemanlar metodunda karşılaşılan matrisler genellikle bant şekilli simetrik

matrislerdir. Bu nedenle eliminasyon işleminin bant matrise uygulanması gerekir. Bu hem

zaman hem de bilgisayar kapasitesi açısından önemli kazançlar sağlar. Simetrik bir bant

matriste sıfır olmayan bütün değerler bir bant içinde toplanmıştır. bant dışında kalan bütün

elemanlar sıfırdır. (n x n) boyutunda simetrik bir bant matris,

diyagonaldiyagonal

xsimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxybg

.1

.2

0

↵↵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

←→

(57)

şeklindedir. Burada ybg yarı bant genişliğidir. Sadece sıfır olmayan elemanlarla işlem

yapılacağından bu kısmın saklanması yeterli olacaktır. Bu da (n x ybg) boyutunda bir

matristir.

15


(58)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

↓↓

xxx

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

ybgdd

0

.2.1

Bu yeni matrisin 1 sütunu simetrik bant matrisin birinci diyagonalidir. 2 sütun 2 diyagonal

olur ve bu şekilde yeni matris oluşturulur. İki matrisin elemanlar arsında

bmijisbm

ij aij

a)1(

)()( +−=⟩

(59)

ilişki vardır. Simetrik matriste a aij ji= dir. Bant matriste k. satırda bulunan elemanların

sayısı da min(n-k+1,YBG) dir. Bilgisayar mantığı açısından bant matrisin gauss

eliminasyonu

Peşpeşe Eliminasyon İşlemi DO k=1,n-1

ses=min(n-k + 1, ybg) DO i=k+1, ses+k-1

i1=i-k+1 c=ak,i1/ak,1

DO j=i,ses+k-1 j1=j-i+1 j2=j-k+1 ai,j1 =ai,j1 -cak,j2

END j bi=bi-cbk

END i END k Yerine Koyma:

bn= b e / a n,1 DO ii=1,n-1

i=n-ii sei=min(n-i+1,ybg) top=0

DO j=2,sei

16


top=top+ai,jbi+j-1 END j

bi=(bi-top)/ai,1END ii

Burada DO döngülerinin indisleri orijinal simetrik bant matrise göre oluşturulmuştur.

Doğrudan bant şekilli dikdörtgen matrise göre de program yazılması mümkündür. Bunun

için matrisler önceden bant formunda saklanmalıdır. Düzlem kafes sistemi için genel

matrisi bant formunda saklamak ve bu matrise göre eliminasyon yapmak amacıyla

yazılmış bir FORTRAN program parçası aşağıda verilmiştir. C Yerleştirme

DO 1 N = 1, NE Eleman döngüsü .............

DO 2 II = 1, 2 NRT = 2 * (NOC(N, II) - 1) NOC(,)Düğüm matrisi DO 2 IT = 1, 2 NR = NRT + IT I = 2 * (II - 1) + IT DO 2 JJ = 1, 2 NCT = 2 * (NOC(N, JJ) - 1) DO 2 JT = 1, 2 J = 2 * (JJ - 1) + JT NC = NCT + JT - NR + 1 IF( NC .LE. 0 ) GO TO 140 S(NR, NC) = S(NR, NC) + SE(I, J) S(,) Genel Rijitlik Matrisi 2 CONTINUE SE(,) Eleman Rijitlik Matrisi

............. 1 CONTINUE c Bant Matris İçin Gauss Eliminasyonu c İndirgeme

DO 2 K = 1, N-1 N=Diyagonal boyutu NK = N - K + 1 IF(NK .GT. YBG) NK = YBG DO 2 I = 2, NK C1 = S(K, I) / S(K, 1) C1=Pivot I1 = K + I - 1 DO 1 J = I, NK J1 = J - I + 1 1 S(I1, J1) = S(I1, J1) - C1 * S(K, J) 2 F(I1) = F(I1) - C1 * F(K) F()Kuvvet vektörü c Yerine koyma F(N) = F(N) / S(N, 1) DO 3 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / S(K, 1) F(K) = C1 * F(K) NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 4 J = 2, NK F(K) = F(K) - C1 * S(K, J) * S(K + J - 1) 4 CONTINUE F()Deplasman vektörü 3 CONTINUE

17

2.temel bilgiler

Documents