Download - 2.Temel Bilgiler
İKİNCİ BÖLÜM
TEMEL BİLGİLER
1. YAKLAŞIK ÇÖZÜM
Sonlu elemanlar metodunda genellikle karşılaşılan problemler kısmi diferansiyel
denklemlerle ifade edilen fiziksel problemlerdir. Örneğin katı cisim mekaniğinde aranan
sonuç cismin yaptığı yerdeğiştirmedir. Bu da gerilme ve yer değiştirmeler arasında kurulan
ikinci dereceden bir kısmi diferansiyel denklemin çözümü ile elde edilir. Bu denklemler
basit geometriler ve yükleme durumları için kesin sonuçlar elde edilecek şekilde
çözülebilse de karmaşık problemlerde yaklaşık çözümlerin elde edilmesi kaçınılmaz hale
gelir. Yaklaşık çözümleme yöntemleri de genellikle potansiyel enerji ve varyasyonel
yöntemleri kullanır. Kitapta çözümler potansiyel enerji ve Galerkin yaklaşımı kullanılarak
elde edilmiştir. Burada bu iki yöntem elastisite problemlerine uygulanarak açıklanacaktır.
1.1 Potasiyel Enerji
Koservatif sistemlerde yapılan iş gidilen yoldan bağımsızdır ve yalnızca yükseklikle
ilişkilidir. Buna göre eğer bir cisim bir noktadan alınıp belli bir yoldan geçtikten sonra aynı
noktaya tekrar getirilirse hiçbir iş yapılmış olmaz. Potansiyel enerji, sistemin konumunu
belirleyen koordinatlara bağlı olarak bir integral ifade ile elde edilebilir. Sınır şartlarını
gerçekleyen durumlarda cismin dengede olabilmesi için potansiyel enerjinin bir ekstremde
olması gerekir. Bir çok durumda bu ekstrem değer bir minmumdur ve bu nedenle yöntem
minimum potansiyel enerji yöntemi olarak adlandırılır. Örneğin, rastgele yüklenmiş basit
mesnetli bir kirişte kirişin çökme eğrisi araştırılıyor olsun. Mümkün olan bir çok çökme
eğrisi arasında gerçek çökme eğrisi, verilen sınır şartları altında kiriş için yazılacak
potansiyel enerji ifadesinin minimum olmasını sağlayan eğri olacaktır. Bunda da iç
kuvvetler tarafından meydana getirilen potansiyel enerji ile dış kuvvetlerin oluşturduğu
potansiyel enerji etkili olacaktır. İç kuvvetlerin potansiyel enerjisi şekil değiştirme
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
enerjisinden, dış kuvvetlerinki de uygulanan kuvvet sebebiyle meydana gelen yer
değiştirmenin çarpımı (iş) şeklinde bulunur. Yani,
WU +=Π (1)
olup U şekil değiştirme enerjisini, W ise iş potansiyelini göstermektedir. Şekil değiştirme
enerjisi,
∫=v
dvU σε21 (2)
dir. İş potansiyeli ise, u=[u, v w] deplasmanları, f=[fx, fy, fz] kütle kuvvetlerini,
T=Tx, Ty, Tz] yüzey kuvvetlerini ve Pi de tekil kuvvetleri göstermek üzere,
∫ ∑∫ −−−=
si
iT
iT
v
T PudSTudvfuW (3)
olarak yazılır. Bu durumda toplam potansiyel enerji,
∫ ∑∫∫ −−−=s
ii
Ti
T
v
T
vPudSTudvfudvσεΠ
21 (4)
olarak elde edilir. Bu durumda minimizasyon
0=
∂∂
uΠ (5)
ile gerçekleştirilmiş olur.
1.2 Rayleigh-Ritz Yöntemi
Sürekli bir ortam için toplam potansiyel enrji ifadesi doğrudan yaklaşık çözüm için
kullanılabilir. Rayleigh-Ritz yönteminde deplasman alanı tahmin edilerek bir çözüm
araştırılmaktadır. Örneğin deplasman alanı,
lmnnmkzyzaw
mljzyxav
lizyxau
kk
jj
ii
⟩⟩→+==
→+==
→==
∑∑∑
1),,(
1),,(
1),,(
φ
φ
φ
(6)
2
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olsun. φi fonksiyonları genellikle polinomlardan seçilir. Alınan u, v ve w deplasman
alanları belirli sınır şartlarını sağlamak zorundadır. Gerilme-şekil değiştirme ve şekil
değiştirme-yer değiştirme denklemleri kullanıldığında toplam potansiyel enerji ifadesi r
adet bağımsız değişkene sahip bir fonksiyon olarak
),........,,( 21 raaaΠΠ = (7)
şeklinde yazılabilir. Bu durumda bağımsız değişkenlere göre yapılacak minimizasyon
işleminden
riai
,......2,10 ==∂∂Π (8)
elde edilir.
1.3 Ağırlıklı Kalanlar Yaklaşımı
Ağırlıklı kalanlar yaklaşımında integral formunun elde edilmesi için sistemi tanımlayan
denklemler kullanılır. Herhangi bir V bölgesinde tanım denklemi
Au=f (9)
ile verilmiş olsun. Örneğin bir boyutlu çubuk probleminin tanım denklemi,
0)( =dxduEA
dxd (10)
şeklindedir. Burada A yı
()dxdEA
dxd
şeklinde bir operatör olarak tanımlayabiliriz. Sonlu elemanlar yönteminde
karşılaşılabilecek diğer bazı operatorler
cudxdua
dxduA +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=)( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
2
2
2
)(dx
udbdxduA ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
dxduu
dxduA )(
3
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−=yuk
yxuk
xuA yx)( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=xv
yu
yxu
yuv
xuuvuA 2
2
),(
şeklindedir. Gerçek çözüm, denklemi x üzerindeki her noktada sağlar. Buna karşılık uN
şeklinde yaklaşık bir çözüm elde edildiğinde, R gibi bir hata oranı ortaya çıkar ki buna
artık (kalan) denir. Bu da,
R=A uN –f (11)
dir. Yaklaşık çözümleme yöntemine göre meydana gelen bu hata belirli bir ağırlık
fonksiyonuna (Ψi) oranla 0 mertebesinde olmalıdır. Yani,
∫ ==−v Ni nidVPuA .......1,0)(Ψ (12)
Yaklaşık çözüm ise genellikle
01
φφ∑=
+=N
jjjN cu (13)
formundadır. Burada cj sınır şartlarına göre hesaplanacak katsayıları φ0 ve φj de seçilecek
fonksiyonları göstermektedir. Bu fonksiyonların seçim şekline göre çeşitli çözüm
yöntemleri geliştirilmiştir. Son durumda ağırlıklı kalan yöntemine göre sistem denklemi
NidVczyxRzyx jV i ,....10),,,(),,( ==∫ ψ (14)
şeklinde olur. Burada Ψi ağırlıklı kalanlar denklem sistemi lineer bağımsız olmak
zorundadır. Şeçilen φj operatör denklemindeki mertebeye kadar sıfırdan afrklı türeve sahip
olmalıdır. Aynı zamanda φ0 ve φj bütün sınır şartlarını sağlayacak şekilde seçilmelidir.
Ağırlıklı kalanlar yönteminin çeşitli formları ileriki paragraflarda verilmiştir.
Petrov-Galerkin Metodu: Ψi ≠ φi olduğunda ağırlıklı kalanlar yöntemi Petrov-Galerkin
metodu olarak adlandırılır. A operatörü lineer olduğunda iki boyutlu durum için çözüm
denklemi
[ ] [ ]∫∑ ∫ Ω=
Ω−= dxdyAfcdxdyA ij
N
jji )()( 0
1
φψφψ (15)
olarak basitleştirilebilir. Yada
4
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
ij
N
jij FcA =∑
=1 (16)
yazılır. Elde edilen operatör matrisi [A] simetrik değildir. Yani,
jijiij AdxdyAA ≠= ∫Ω )(φφ (17)
Galerkin Metodu: Ψi ağırlık fonksiyonunun φi yaklaşım fonksiyonuna eşit alınırsa bu
Galerkin metodu olarak bilinir. Galerkin yaklaşımının cebirsel denklemleri
∑=
=N
jijij FcA
1 (18)
olup burada vedxdyAAij ji
)(φφ∫Ω= [ ]dxdyAfFi ∫Ω −= )( 0φ dir. [A] yine simetrik
değildir.
En Küçük Kareler Metodu: Bu yöntemde, cj parametrelerini kalanının ( R) karesinin
integralinin minimizasyonuyla belirlenmesi halinde buna en küçük kareler yöntemi denir.
∫Ω =∂∂ 0),,(2 dxdycyxRc j
i
(19)
veya
∫Ω =∂∂ 0RdxdycR
i
(20)
Görüldüğü gibi esas denklemde Ψi = ∂R / ∂ci şeklinde bir değişiklik meydana gelmiştir.
Eğer A lineer bir operatörse, Ψi = A ( φi ) olacağından
[ ] [ dxAfAcjdxAA i
N
jji ∫∑ ∫ Ω
=Ω
−= )()()()( 01
φφφφ ] (21)
elde edilir. Bu da,
∑=
=N
jijij FcA
1 (22)
yazılabilir. Burada [A] simetriktir.
5
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Kollokasyon Metodu: Kollokasyon metodunda, çözüm bölgesi üzerinde seçilmiş N adet
xi ≡ (xi, yi) noktasında kalan sıfırlanması istenir.
R( xi,yi,ci) = 0 (i = 1,2,.........,N) (23)
xi noktalarının seçimi iyi bir yaklaşık çözüm elde etmek için önemlidir. Kollokasyon
metodu Ψi=δ(x-xi ) ile şeklinde bir dönüşüm ile genel çözüm denklemine benzetilebilir.
Burada δ(x) Dirac delta fonksiyonu olarak adlandırılır ve
)()()( ξξδ fdxdyxxf =−∫Ω (24)
şeklinde verilir. Ağırlık fonksiyonların bu şekilde seçilmesi halinde ağırlıklı kalan ifadesi,
∫ ==−Ωδ 0),(0),()( j
ij
i cxRveyadxdycxRxx (25)
olur. Örnek: Aşağıdaki diferansiyel denklemi ağırlıklı kalanlar yöntemine göre çözünüz.
022
2
=+−− xudx
ud , u(0)=0 , 1)1( =′u
Çözüm: Ağırlıklı kalan metoduna göre, φ0 ve φi sınır şartlarını sağlamalıdır. Yani φ0(0)=0,
1)1(0 =′φ ve φi (0)=0, 0)1( =′iφ olmalıdır. Burada φ0 gerçek sınır şartlarını, φi ise düğümlerde tanımlı sınır şartlarını sağlamaktadır. φ0 (x) = a + bx olarak seçersek, sınır şartlarından a ve b sabitleri elde edildikten sonra φ0(x)=x olarak bulunur. İki homojen şart olduğundan, sıfır olmayan bir fonksiyon elde etmek için en az üç parametreli bir fonksiyon seçilmelidir. φ1 = a + bx + cx2. Sınır şartları uygulandığında φ1= - cx (2-x) elde edilir. φ2 için, φ2=a+bx+dx3 veya φ2 = a + cx2 + dx3 dan biri d ≠ 0 olacak şekilde seçilmelidir. φ2 her iki durumda da sıralı bütün mertebeleri içermemektedir. Yaklaşık çözüm φ1,φ2 ile ilk üç dereceden bütün terimleri içermektedir. İlk tercih için )1( 3
222 xx −=φ bulunur. Buna
göre kalan fonksiyonu
2
10
12
2
0 xcdxd
cRN
iii
N
i
ii +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= ∑∑
==
φφφ 22
322
22
1 )42()22( xxxxxcxxc +−+−+−++−=
olur. Petrov-Galerkin yöntemi için ağırlık fonksiyonları Ψ1 = x ,Ψ2 = x2 olsun. Bu
durumda , olacaktır. Buna göre katsayılar denklemleri ∫ =1
00xRdx 0
1
0
2 =∫ Rdxx
0121
26013
1127 =−+ cc 020
1245
11130
11 =−+ cc
6
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olur. ci’ler çözülürse, c1 = 682103 ve 682
152 −=c elde edilir ve çözüm denklemi
uPG = 1.302053x - 0.173021x2 - 0.014663x3 olur.
Galerkin Metodu için Ψi = φi alarak, , ∫ =−1
00)2( Rdxxx 0)1( 3
21
0
2 =−∫ Rdxxx elde edilir.
Bu durumda katsayı denklemleri 060
7245
2815
4 =−+ cc 0361
231529
19017 =−+− cc
elde edilir. Katsayılar ise 4306623
1 =c , 430621
2 =c dir. Buna göre çözüm denklemi uG=1.2894x - 0.1398x2 - 0.00325x3 olur.
En Küçük Kareler Yönteminde Ψi = ∂R / ∂ci alarak , ∫ =+−1
0
2 0)22( Rdxxx
∫ =−+−−1
0
3322 0)42( Rdxxxx elde edilir. Aynı şekilde
06013
29047
11528 =−− cc 036
12315
253190
47 =++− cc
99351292
1 =c , 19870991
2 =c buradan, uKK = 1.2601x - 0.08017x2 - 0.03325x3 dir. Kollokasyon metodu için kollokasyon noktaları olarak 3
1=x ve 32=x alınarak
0)( 31 =R için 117c1-61c2=18 0)( 3
2 =R için 90c1+34c2=18 yazılır. Katsayılar 9468
17101 =c , 9468
4862 =c olarak bulunur. Çözüm denklemi ise
uC = 1.3612x - 0.12927x2 - 0.03422x3 dir.
Elde edilen bu yaklaşık çözümler ve kesin çözüm ( 21cos
sin)1cos(2)( 2 −+−−
= xxxxu ) şekil
1 de verilmiştir. Görüldüğü gibi Galerkin ve En Küçük Kareler yöntemleri kesin çözüme en yakın değerleri vermektedir.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Gerçek ÇözümPetrov-GalerkinGalerkinEn Küçük KarelerKollokasyon
-d 2 u/dx 2 - u + x 2 =00<x<1
Şekil 1 Ağırlıklı Kalanlar Çözümünde çeşitli Yaklaşım sonuçları
7
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Galerkin yöntemi elastisite problemlerinde, “iç kuvvetlerin yaptığı virtüel işlerle dış
kuvvetlerin yaptığı virtüel işler birbirine eşit olduğu zaman sistem dengededir” şeklinde
tanımlanan virtüel işler prensibine de uygunluk göstermektedir.
2. MATRİS CEBRİ
Genel bir lineer denklem sistemi,
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
.................................................................
......................
2211
22222121
11212111
(26)
şeklinde verilir. Burada x1, x2, .....,xn bilinmeyenleri göstermektedir. Denklem sistemi
matris formunda,
[A]x=b (27)
şeklinde yazılır. Burada [A] kare bir matris olup lineer denklem sisteminin katsayılar
matrisi olarak adlandırılır. Matris ve vektörler,
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
i
n
i
nnnjnnn
nijiii
nj
nj
nj
b
b
bbb
b
x
x
xxx
x
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
A
...
...,
...
...,
...........................
...........................
......
......
......
][3
2
1
3
2
1
321
3321
33333231
22232221
11131211
(28)
şeklindedir. Görüldüğü gibi [A] matrisi elemanlardan oluşmuş bir bölge olup i satır ve j
sütununda bulunan elemanı aij şeklinde gösterilmektedir. Bir matrisin boyutları (1xn) ise
buna satır vektör, (mx1) ise buna da sütun vektör adı verilir.
Eğer boyutları (mxn) olan [A] ve [B] matrisleri var bu iki matrisin toplamından oluşan [C]
matrisinin elemanları
cij=aij+bij (29)
dir. [A] matrisinin sabit bir sayı ile çarpımı ise matrisin bütün elemanlarının bu sayı ile
çarpımı şeklinde yapılır.
8
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
c[A]=[caij] (30)
(mxn) boyutlarındaki [A] ile (nxp) boyutlarındaki [B] nin çarpımından (mxp) boyutlarında
[C] elde edilir. cij ise,
cij=([A] nın i satırı)([B] nin j sutunu) (31)
çarpımından elde edilir. [A][B]≠[B][A] dır. Matrisler kare matris değilse [B][A] çarpımı
zaten mümkün değildir.
[A]=[aij] şeklinde verilen bir matrisin tranpozu [A]T=[aji] dir. Buna göre [A] nın satırları
[A]T nin sütunları haline gelmiştir. Boyutları (mxn) olan matrisin transpozunun boyutları
(nxm) olur. Bir matris çarpımının transpozu için
([A][B][C])T=[C]T[B]T[A]T (32)
eşitliği geçerlidir. Bir kare matriste diyagonal elemanları dışındaki elemanlar 0 ise bu
matris diyagonal matris olarak adlandırılır. Diyagonal matrisin bütün elemanları 1 ise bu
da birim matristir. Kare matrisin elemanları arasında aij=aji ilişkisi varsa bu matris
simetrik bir matristir. Simetrik matrisin transpozu kendisine eşit olur. Kare matrisin
diyagonali altında kalan elemanların hepsi 0 ise buna üst üçgen matris denir.
Bir matrisin elemanlarının tamamının veya bir kısmının fonksiyon olması da mümkündür.
Bu nedenle matrislerin türev ve integralleri de alınabilir. Bir matrisin türevi (integrali) o
matrisin elemanlarının tek tek türevi (integrali) alınmak suretiyle yapılır. Bir [B] matrisinin
türev ve integrali
[ ] [ ] [ ]∫ ∫=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= dxdybdxdyB
dxxdb
xBdxd
ijij ,
)()( (33)
olarak ifade edilebilir. Eğer [A] katsayılar matrisi ve x değişkenlerin bulunduğu vektör
ise, [A]x çarpımının x in elemanlarından birine göre türevi [A] nın bu değişkene
karşılık gelen kolonunu verir.
Bir kare matrisin [A] determinantı detA ile gösterilir. Çeşitli determinant alma
yöntemleri vardır. Kofaktör yöntemine göre (2x2) lik bir matrisin determinantı
9
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
122122112221
1211det aaaaaaaa −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ (34)
dır. (3x3) boyutlarındaki bir matrisin determinantı ise
)()()(det 223132211323313321122332332211
333231
232221
131211aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
−+−−−=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ (35)
şeklindedir. Eğer kare matrisin determinantı sıfırdan farklı ise bu matrisin tersi vardır.
Matris tersi [A]-1 ile gösterilir ve
[A]-1[A]=[A][A]-1=[I] (36)
eşitliğini sağlar. Determinantı sıfır olan matrisler tekil matris olarak adlandırılır. Bir
matrisin minörü [Mij] ile gösterilir ve matrisin i satırı ve j kolonu silinerek elde edilen
(n-1xn-1) boyutlarındaki matrisin determinantı olarak tanımlanır. Matrisin kofaktörü
[Cij]=(-1)i+j[Mij] (37)
dir. Matrisin adjointi ise kofaktörünün transpozudur (adj A=[C]T). Bu tanımlar ışığında
matrisin tersi
[ ]A
adjAAdet
1 =− (38)
olarak verilir. Örneğin (2x2) lik bir matrisin tersi
12212211
1121
12221
2221
1211
aaaaaaaa
aaaa
−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−
(39)
olarak elde edilir. (nxn) boyutlarındaki bir matris ile (nx1) boyutlarındaki bir vektörün,
xT[A]x (40) çarpımlarından elde edilen değer kuadratik form olarak adlandırılır. Özdeğer problemi
[A]y=λy (41)
10
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
şeklinde tanımlanır. Yukardaki eşitliği sağlayan 0 dan farklı bir özvektör ve buna karşılık
gelen bir özdeğer problemin çözümünü verir. Denklemi
([A]-λ[I])y=0 (42)
şeklinde düzenlersek, çözümün yalnızca det([A]-λ[I])=0 olması durumunda mümkün
olduğu görülür. det([A]-λ[I])=0 karakteristik denklem olarak adlandırılır. Bu denklem
(nxn) boyutlarındaki [A] matrisi için n adet özdeğer bulunması ile çözülür. Her özdeğere
karşılık gelen bir de özvektör bulunmaktadır.
([A]-λι[I])yi=0 (43)
Sonlu elemanlar metodunda karşılaşılan özdeğer problemleri genellikle [A]y=λ[Β]y
şeklindedir. Bu problemin çözümü ile ilgili açıklamalar ilgili bölümde yapılmıştır.
Simetrik bir matrisin bütün özdeğerleri 0 dan büyük ise bu matris pozitif tanımlı bir
matristir. Pozitif tanımlı matrislerin kuadratik formlarından da 0 dan büyük değerler elde
edilir.
3.GAUSS ELIMINASYON METODU
Matris formda [A]x=b şeklinde lineer denklem takımını ele alalım. Burada [A] (nxn)
boyutlarında b ve x de (nx1) boyutlarında matris ve vektörlerdir. Şayet det[A]≠0 ise bu
denklemin her iki tarafını matrisin tersi ile çarpılarak x in çözümü x=[A]-1b şeklinde
elde edilebilir. Fakat matris tersinin alınması için kullanılan yöntemler bilgisayar ortamı
açısından hem pahalı ve zaman alıcı, hem de oluşan hatalar açısından dezavantajlıdır. Bu
nedenle ters alma yerine bir eliminasyon yönteminin kullanılması daha kolaya ve
faydalıdır. Burada ele alınan lineer denklem sisteminin çözümünde Gauss Metodu nun
kullanılması anlatılacaktır.
Gauss eliminasyon yöntemi, lineer denklem sistemlerinden bilinmeyenleri elimine ederek
çözüm yapan tanınmış bir metottur. Bir örnek üzerinden metodu tanıtalım
(44) IIIIII
xxxxxxxx
15423072
31
321
321
=+−=++=+−
11
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
Denklemler görüldüğü gibi I-II ve III olarak numaralandırılmıştır. Burada x1'i II ve III 'den
elimine edelim I. denklemden; x1=(x2-7x3)/2 elde edilerek diğerlerinde yerine konursa,
21708370072
32
32
321
=++=−+=+−
xxxxxxx I
IIIII
( )
( )
1
1
(45)
olur. Görüleceği gibi bu işlem alt alta toplama yoluyla da yapılabilecektir. x1 'i II 'den
elimine edebilmek için II 'den I 'in yarısını çıkarmak yeterli olacaktır. x1 'i III 'den elimine
edebilmek için ise III ile I’i toplamak yeterlidir. Sonuçta aynı eşitlikler elde edilir. x1
kolonunda II ve III eşitliklerinde 0 olması bunun denklem II ve III 'den elimine edildiğini
gösterir. Denklem numaralarında bulunan (¹) ile bu denklemlerin 1 kere işlem gördüğü
anlatılmaktadır. Şimdide, III den x2 'yi elimine edelim. Bunun için III 'den II/7 'yi
çıkaralım. Sonuçta ortaya çıkan denklem sistemi,
6122004370072
3
32
321
=++=−+=+−
xxxxxx
)2(
)1(
IIIIII
(46)
Görüldüğü gibi denklemlerin sol tarafı bir üst üçgen matris oluşturmaktadır. III
denkleminden x3=0.05 bulunarak II denkleminde yerine konursa x2=1.16 olarak elde
edilir. Bu iki değer yardımıyla da I denkleminden x1=0.82 olarak bulunur. Bilinmeyenleri
bu ters sırada elde etme işlemine geri koyma işlemi denir. Yukarıdaki işlemler matris
formda gösterilebilir. Gauss eliminasyon işlemi matrisleri [A,b] şeklinde birleştirerek
(47) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−→
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−→
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
3610083700712
2171083700712
150142310712
elde edilir. Geri koyma işlemi ile; x1=0.82, x2=1.16, x3=0.05 bulunur. Gauss Eliminasyonu İçin Genel Algoritma: Bir örnek üzerinde temel fikrini
verdiğimiz Gauss eliminasyonu için bilgisayar uygulamasına imkan verecek şekilde genel
bir yöntem geliştirilebilir. Çözülecek denklem sistemi,
12
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
a a a a aa a a a aa a a a a
a a a a a
a a a a a
j n
j n
j n
i i i ij n
n n n nj nn
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3 3
1 2 3
... ...
... ...
... ...... ... ... ... ... ... ...
... ...... ... ... ... ... ... ...
... ...
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
xxx
x
x
bbb
b
b
i
n
i
n
1
2
3
1
2
3
...
...
...
...
(48)
olsun. Gauss eliminasyonu x1,x2,x3,......,xn-1 değişkenlerini tek bir xn değişkeni kalıncaya
kadar elimine eden sistematik bir bir yaklaşımdır. Bu işlem sonunda denklem sistemi bir
değiştirilmiş bir üst üçgen matris ve yine değiştirilmiş bir sağ taraftan oluşan eşitlik elde
edilir. Buna peşpeşe eliminasyon işlemi denir. İndirgeme yapıldıktan sonra örnekte
görüldüğü gibi yerine koyma işlemiyle xn , xn-1 , ..., x3, x2, x1 değerleri sırasıyla elde edilir. k
işlem adımlarını göstermek üzere başlangıçta [A] matrisi ve bvektörü
1
...
...
.....................
......
......
2
1
321
4321
22232221
11131211
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
k
b
b
bb
aaaaa
aaaaaa
aaaaaaaaaa
n
i
nnnjnnn
inijiiii
nj
nj
(49)
olsun. İlk adımda amaç 1 denklemini kullanarak (1. Satır) x1 'i diğer eşitliklerden elimine
etmektir. (k) adım numarasını göstermek üzere birinci adımda yapılan işlem
a = a - aa
. ai j(1)
i jn
11i j
(50)
b = b - aa
. bi(1)
in
111
dir. Burada ai1/a11 örnekte görüldüğü gibi satırın ilk elemanının katsayısına bölünmesiyle
oluşan satır çarpanıdır. a11 aynı zamanda pivot olarak da adlandırılır. İndirgeme işlemi bu
ilk adımda i,j nin 2 den n’e kadar olan değerleri için yapılacağı aşikardır. x1 elimine
edildiğinden birinci sütunda 2'den n'e kadar olan tüm satırlardaki elemanlar 0 dır.
Dolayısıyla ikinci adımda işlem yapılacak sistem,
13
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
(51) 2
...
...
0......
0......
0......0......
)1(
)1(
)1(3
)1(2
1
)1()1()1(3
)1(2
)1()1()1(3
)1(2
)1(3
)1(3
)1(33
)1(32
)1(2
)1(2
)1(23
)1(22
11131211
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
k
b
b
bbb
aaaa
aaaa
aaaaaaaaaaaaa
n
i
nnnjnn
inijii
nj
nj
nj
olur. Bu adımda ise i ve j nin 3 ten n’ e kadar olan değerleri için indirgeme yapılır. Şimdi
herhangi bir k adımı için yapılacak işleme bakabiliriz. İşlem yapılacak bölge k+1 inci satır
ve sütundan n inci satır ve sütuna kadar olan bölgedir. Yapılacak indirgeme ise,
kk
b
b
b
bbb
aaa
aaa
aaa
aaaaaaaaaaaa
kn
ki
kk
knn
knj
knk
kin
kij
kik
knk
kjk
kkk
nj
nj
nj
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−+
−−−+
−−−+
−+
−+
−++
)1(
)1(
)1(1
)2(3
)1(2
1
)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
)1()1(
)1()1(
)1()1)(1(
)2(3
)2(3
)2(33
)1(2
)1(2
)1(23
)1(22
111312
...
...
...
.........000...........................
.........000...........................
.........000...........................
.............00............0............
(52)
a = a - aa ai j
( k)i j(k-1) i k
(k-1)
k k(k-1) k j
(k-1) i , j = k + 1 , ................., n
(53)
b = b - aa bi
( k)i( k -1) i k
( k - 1)
k k( k- 1 ) k
( k - 1 ) i = k + 1 , .................., n
şeklindedir. İşlem (n-1) adım için yapıldıktan sonra,
a a a a aa a a a
a a aa a
a
xxxx
x
bbbb
b
n
n
n
n
nnn
n
11 12 13 14 1
221
231
141
21
332
342
32
443
43
1
1
2
3
4
1
21
32
43
0
...
...
...
...... ... ...
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=
nn( )−
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪1
(54)
elde edilir. (k) şeklindeki gösterim işlem basamaklarının kolay kavranması içindir.
Bilgisayar uygulamalarında bunlara gerek kalmaz. Adım numaraları gösterilmeden geri
yerleştirme adımına geçersek,
x = ban
n
n n (55)
14
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
olarak elde edilir. Diğer bilinmeyenler ise,
ii
n
ijjiji
a
xabx
∑+=
−= 1
1 i n n= − −1 2, ,.....,1 (56)
Böylece Gauss eliminasyonu tamamlanmış olur.
[A] simetrik ise, diyagonalin altında kalan elemanlar için işlem yapmaya gerek kalmaz ve
bu bize kolaylık sağlar. Bu durumda satır çarpanı olarak aa alınır, işlem yapılacak bölge
de sütunlarda k+1 den n e kadar değil, yalnızca diyagonalin üstü olur.
k i
k k
Sonlu elemanlar metodunda karşılaşılan matrisler genellikle bant şekilli simetrik
matrislerdir. Bu nedenle eliminasyon işleminin bant matrise uygulanması gerekir. Bu hem
zaman hem de bilgisayar kapasitesi açısından önemli kazançlar sağlar. Simetrik bir bant
matriste sıfır olmayan bütün değerler bir bant içinde toplanmıştır. bant dışında kalan bütün
elemanlar sıfırdır. (n x n) boyutunda simetrik bir bant matris,
diyagonaldiyagonal
xsimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxybg
.1
.2
0
↵↵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
←→
(57)
şeklindedir. Burada ybg yarı bant genişliğidir. Sadece sıfır olmayan elemanlarla işlem
yapılacağından bu kısmın saklanması yeterli olacaktır. Bu da (n x ybg) boyutunda bir
matristir.
15
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
(58)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
↓↓
xxx
xxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
ybgdd
0
.2.1
Bu yeni matrisin 1 sütunu simetrik bant matrisin birinci diyagonalidir. 2 sütun 2 diyagonal
olur ve bu şekilde yeni matris oluşturulur. İki matrisin elemanlar arsında
bmijisbm
ij aij
a)1(
)()( +−=⟩
(59)
ilişki vardır. Simetrik matriste a aij ji= dir. Bant matriste k. satırda bulunan elemanların
sayısı da min(n-k+1,YBG) dir. Bilgisayar mantığı açısından bant matrisin gauss
eliminasyonu
Peşpeşe Eliminasyon İşlemi DO k=1,n-1
ses=min(n-k + 1, ybg) DO i=k+1, ses+k-1
i1=i-k+1 c=ak,i1/ak,1
DO j=i,ses+k-1 j1=j-i+1 j2=j-k+1 ai,j1 =ai,j1 -cak,j2
END j bi=bi-cbk
END i END k Yerine Koyma:
bn= b e / a n,1 DO ii=1,n-1
i=n-ii sei=min(n-i+1,ybg) top=0
DO j=2,sei
16
Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN
top=top+ai,jbi+j-1 END j
bi=(bi-top)/ai,1END ii
Burada DO döngülerinin indisleri orijinal simetrik bant matrise göre oluşturulmuştur.
Doğrudan bant şekilli dikdörtgen matrise göre de program yazılması mümkündür. Bunun
için matrisler önceden bant formunda saklanmalıdır. Düzlem kafes sistemi için genel
matrisi bant formunda saklamak ve bu matrise göre eliminasyon yapmak amacıyla
yazılmış bir FORTRAN program parçası aşağıda verilmiştir. C Yerleştirme
DO 1 N = 1, NE Eleman döngüsü .............
DO 2 II = 1, 2 NRT = 2 * (NOC(N, II) - 1) NOC(,)Düğüm matrisi DO 2 IT = 1, 2 NR = NRT + IT I = 2 * (II - 1) + IT DO 2 JJ = 1, 2 NCT = 2 * (NOC(N, JJ) - 1) DO 2 JT = 1, 2 J = 2 * (JJ - 1) + JT NC = NCT + JT - NR + 1 IF( NC .LE. 0 ) GO TO 140 S(NR, NC) = S(NR, NC) + SE(I, J) S(,) Genel Rijitlik Matrisi 2 CONTINUE SE(,) Eleman Rijitlik Matrisi
............. 1 CONTINUE c Bant Matris İçin Gauss Eliminasyonu c İndirgeme
DO 2 K = 1, N-1 N=Diyagonal boyutu NK = N - K + 1 IF(NK .GT. YBG) NK = YBG DO 2 I = 2, NK C1 = S(K, I) / S(K, 1) C1=Pivot I1 = K + I - 1 DO 1 J = I, NK J1 = J - I + 1 1 S(I1, J1) = S(I1, J1) - C1 * S(K, J) 2 F(I1) = F(I1) - C1 * F(K) F()Kuvvet vektörü c Yerine koyma F(N) = F(N) / S(N, 1) DO 3 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / S(K, 1) F(K) = C1 * F(K) NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 4 J = 2, NK F(K) = F(K) - C1 * S(K, J) * S(K + J - 1) 4 CONTINUE F()Deplasman vektörü 3 CONTINUE
17