1

3. Системы линейных уравнений.

Леопо�льд Кро�некер

2

3.1 Общее понятие о системе линейных уравнений

Простейшим примером уравнения первой степени, или как говорят, линейного уравнения, является уравнение с одним неизвестным

(3.1) bax 1. Если a≠0 , то разделив обе части уравнения (3.1) на a

получим единственное решение

a

bx

2. В случае a=0 и 0b уравнение (3.1) не имеет решений.

3. Если a=0 и b=0, то любое число будет удовлетворять уравнению (3.1); в этом случае рассматриваемое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.

3

Определение: Систему уравнений вида: (3.2)

....

...

;...

;...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

называют системой m линейных уравнений с n неизвестными.

Через nxxx ..., 21

системы (их число n не предполагается обязательно равным числу уравнений m).

обозначены неизвестные

Величины mnaaa ,...,, 1211

называются коэффициентами системы, а величины

mbbb ..., 21 - свободными членами.

4

Если все свободные члены mbbb ..., 21равны нулю,

то система называется однородной,если хотя бы один свободный член не равен нулю, то система называется неоднородной.

Система (3.2) называется квадратной, если m=n.

Решением системы (3.2) называется совокупность таких чисел

nccc ..., 21

nxxx ..., 21

которая при подстановке в систему, вместо неизвестных

обращает все уравнения этой системы в тождества.

5

Не всякая система вида (3.2) имеет решение. Так система линейных уравнений

;2

;1

21

21

xx

xx заведомо не имеет ни одного решения.

Система уравнений вида (3.2), называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определённой, если совместная система имеет два и более решений, то она называется неопределённой.

6

3.2 Правило Крамера.

Для простоты будем рассматривать систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

(3.3)

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa Из коэффициентов системы составим определитель:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Предположим, что ∆≠0.

Определитель называют определителем системы.

7

.)(

)()(

313212111313321231113

313221221112313121211111

AbAbAbzAaAaAa

yAaAaAaxAaAaAa

Умножим первое уравнение на ,11Aвторое - на ,21A третье – на

31A

и сложим

313313331323131

212212321222121

111111311121111

AbzAayAaxAa

AbzAayAaxAa

AbzAayAaxAa

8

На основании свойства 6 коэффициент при x , будет равен

,а на основании свойства 7 коэффициенты при y и z , будут равны нулю

313212111 AbAbAbx Поступая аналогично, исключим x и z, а

также x и y.

333232131

323222121

313212111

AbAbAbz

AbAbAby

AbAbAbx

(3.4)

Таким образом из системы (3.3) получим систему:

9

Правые части уравнений обозначим соответственно символами

x

aab

aab

aab

AbAbAb

33323

23222

13121

313212111

y

aba

aba

aba

AbAbAb

33331

23221

13111

323222121

z

baa

baa

baa

AbAbAb

33231

22221

11211

333232131

10

Определители zyx ,,

получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и , наконец, третьего столбца столбцом свободных членов системы (3.3).

Тогда система уравнений (3.4) примет вид

(3.5)

z

y

x

z

y

x

11

Т.к. ,0 то из (3.5) находим

zyx zyx , ,

Формулы получили название формул Крамера и применимы лишь в случае, если определитель системы отличен от нуля.

(3.6)

12

;1

;135

;342

zyx

zyx

zyxПример:

Решить систему:

111

240

120

111

351

142Вычислим определитель системы:

Решение:

084424

12)1(1 13

13

111

460

210

111

351

143

x

001

221

112

111

311

132

y

1612446

21)1(1 4

02222

11)1(1 4

14

010

654

142

111

151

342

z

;28

16

xx ;08

0

yy

;18

8

zz

.841264

12)1(1 5

15

3.3 Совместность систем. Теорема Кронекера-Капелли

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

(3.7)

,......

;...;...

332211

22323222121

11313212111

nnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

16

Обозначим через A матрицу из коэффициентов (3.8), а через В – матрицу, полученную из А присоединением столбца свободных членов

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

21

22221

11211

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

B 2

1

21

22221

11211

...

...

...

...

Mатрицу А называют основной,

матрицу В называют расширенной

17

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А был равен рангу расширенной матрицы В.

Теорема о совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли):

Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное количество решений.

18

Пример:

Проверить на совместность систему

4322

335

1223

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

РешениеВыпишем расширенную матрицу данной системы и найдем ранги основной и расширенной матриц.

4

3

1

3212

1315

2123

B

Умножим третью строку на -1 и прибавим к первой

19

4

3

3

3212

1315

5131

B

Переставим вторую и третью строки

18

10

3

268140

13470

5131

B

Получили rangA=2, rangB=3, откуда

rangBrangA Т.е. система уравнений несовместна.

10

18

3

13470

268140

5131

2

10

3

0000

13470

5131

20

3.4 Матричный метод решения системы линейных уравнений

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(3.8)

...

............................

...

2211

11212111

nnnnnn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

21

Матрица A в этом случае будет квадратной.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

21

22221

11211

Составим определитель этой матрицы:

0

...

...

...

...

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

22

Введём матрицы-столбцы для неизвестных и свободных членов

nx

x

x

...2

1

nb

b

b

...~ 2

1

Тогда систему (3.8) в матричном виде можно записать:

~ !

23

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

......

...

...

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Действительно,

nnnnnn

nn

nn

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

...

...

...

...

...

2

1

2211

2222121

1212111

Две матрицы равны, если будут равны соответствующие элементы, т.е. мы получили исходную систему уравнений.

24

BXA~

Умножим это выражение слева на обратную матрицу:

BAXAA~

)( 11

BAXAA~

)( 11

BAEX~1

BAX~1 (3.9)

25

Пример:Решить систему средствами матричного исчисления

843

932

1432

321

321

321

xxx

xxx

xxx

44412918241

)1(221343)1(3332342)1()1(1

143

312

321

Решение.

26

Найдем алгебраические дополнения и обратную матрицу

1114

31)1( 2

11

A

)1( ijji

ij MA

1113

32)1( 3

12

A

1143

12)1( 4

13

A

143

312

321

A

1414

32)1( 3

21

A

1013

31)1( 4

22

A

243

21)1( 5

23 A

27

931

32)1( 4

31

A 332

31)1( 5

32 A

512

21)1( 6

33

A

Тогда обратная матрица имеет вид:

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

...

...

...

...

1

21

22212

12111

1

5211

31011

91411

44

11A

28

8

9

14

5211

31011

91411

44

1~1BAX

3

2

1

132

88

44

44

1

85921411

839101411

899141411

44

1

Ответ: 3,2,1 321 xxx

29

3.5 Метод Гаусса.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

,......

;...;...

332211

22323222121

11313212111

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

Исключим из всех уравнений системы начиная со второго, неизвестную x1. Для этого первое уравнение нужно умножить на

11

21

a

a

и сложить со вторым уравнением и т.д.

30

В результате получим систему вида:

,...

...

;...

;...

3322

22323222

11313212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

Далее первое и второе уравнения оставим без изменения, а начиная с третьего уравнения, будем избавляться от переменной x2 и т.д.

Продолжая этот процесс, в конечном счёте получится система вида:

31

....

.......................................

...

...

22323222

11313212111

knknkkk

nn

nn

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

Если k=n, то система имеет единственное решение, если k≠n, а именно k<n, то система имеет бесконечное множество решений.

На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу составленную из коэффициентов системы и их свободных членов:

32

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

...

...

...

...

Т.е. при помощи элементарных преобразований, мы будем стремиться к тому, чтобы на диагонали были не нулевые элементы, а элементы лежащие ниже главной диагонали равны нулю.

33

Пример.

Решить методом Гаусса систему уравнений:

.35

;53

;7232

;3

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

Решение:

34

12

4

1

3

660

220

010

111

3

5

7

3

115

113

232

111

2

1

3

200

010

111

0

4

1

3

000

220

010

111

35

Составим систему уравнений

,22

;1

;3

3

2

321

x

x

xxx

Очевидно, что

.1

1

;1

1

3

2

x

x

x