3° aritmetica

ARITMÉTICA3er AÑO DE SECUNDARIA

ARITMÉTICAARITMÉTICA3er AÑO DE SECUNDARIA

Cálculos Básicos ICálculos Básicos IIConjuntos IRepasoConjuntos IINumeración INumeración IIRepasoAdiciónSustracciónMultiplicaciónDivisiónPotenciaciónRepasoTeoría de la DivisibilidadRepasoDivisibilidadNúmeros PrimosMaximo Común Divisor (M.C.D.)RepasoMinimo Común Múltiplo (M.C.M.)Racionales IRacionales IIRepasoRazonesProporcionesRepasoPromediosRegla de Tres SimpleRegla del tanto por CuantoRegla de Interés SimpleRepaso

59152226334047525962687481859296102108114117123128134137142150154160166172179

53ro de Secundaria

Aritmética

Un eulerino... un triunfador

* CIFRA X CIFRA

Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre 2

expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable.

Descomposición Polinómica de un Numeral

Ecuaciones de Primer Grado

Observación:

* 5021(7) = 5x73+2x71+1

* 3452(6) = 3x63+4x62+5x6 +2

* 10001(5) = 1x54 +1

Factorización o Descomposición

de Números:

*Descompón en factores:

a) 240 240 2 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1

b) 140140 2 70 2 35 5 7 7 1

c) 332 332 2 166 2 83 83 1

ENUNCIADO ¨Forma Verbal¨

* La suma de 2 números consecutivos. * La suma de 3 números enteros consecutivos.

* Si tengo a, entonces el cuádruple de lo que tengo.* Si tengo y, entonces el doble de lo que tengo, aumentado en 20.

* Si tengo z, entonces el triple de lo que tengo, disminuido en 10.

* El cuadrado de la suma de 2 números.

EXPRESIÓN MATEMÁTICA ¨Forma Simbólica¨

1) Si: A = -15 +(18-16+19) - 3(15-4) y B = -91 - (16 -17 -17) -2(-18), halla A+B.

a) 69 b) -27 c) -64d) -69 e) -8

Nivel I

2) Si: M =-35 -5(8-16) +(16-19)+26 y N = 45 - 35(17-23) -(15+16), halla M - N.

a) -194 b) -196 c) -198d)198 e) 196

3) Si: A= -25 -17 - 5(6 - 7) - 3(-5) y B = - 15 +19- 6(8-7) - 2(-3), halla A x B.

a) 88 b) -88 c) 22d) - 26 e) - 22

240 = 24 x3x5

140 = 22x5x7

332 = 22x 83

Cálculos Básicos I

* 4675 = 4000 + 600 + 70 + 5

= 4x103+6x102 +7x10+5

* 5831 = 5000+800+30+1

= 5x103 +8x102 +3x10+1

* 3427 = 3000+400+20+7

= 3x103 +4x102 +2x10+7

⇒ x + ( x+1)

⇒ x + ( x+1) + (x+2)

⇒ 4a

⇒ 2y +20

⇒ 3z - 10

⇒ (x + y)2

6 3ro de Secundaria

Aritmética


7) El producto de dos números naturales es 420. Calcula el mayor de éstos, sabiendo que son consecutivos.

a) 20 b) 21 c) 22d) 25 e) 26

8) Calcula el mayor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 240.

a) 12 b) 15 c) 16d) 18 e) 20

4) Si:

M= 4 - 15 +19 - 2(16 - 23) y

N = - 19 - 35 - 3(5 - 7) - (-8),

halla M x N.

a) 880 b) -22 c) -880d) - 88 e) 88

5) Descompón 420 en:

I) El producto de 2 factores Z+

consecutivos. _________________________

II) El producto de 4 factores Z+

consecutivos. _________________________

III) El producto de 5 factores Z+

consecutivos. _________________________

IV) El producto de 7 factores Z+

consecutivos. _________________________


I) El producto de 2 factores Z+

consecutivos. _________________________

II) El producto de 6 factores Z+

consecutivos. _________________________

III) El producto de 7 factores Z+

consecutivos. _________________________

IV) El producto de 10 factores Z+

consecutivos. _________________________

9) Calcula el menor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 182.

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

10) Calcula el menor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 90.

a) 15 b) 45 c) 20d) 9 e) 6

11) Dos números están en la realación de 3 a 5 y suman 80, calcula el mayor de ellos.

a) 50 b) 30 c) 20d) 15 e) 10

12) Dos números suman 200 y están en la relación de 13 a 7. El mayor de ellos es:

a) 70 b) 65 c) 130d) 120 e) 180

13) Calcula el menor de 2 números cuya diferencia sea 50 y estén en la relación de 12 a 7.

a) 120 b) 100 c) 70d) 40 e) 20

14) Calcula el menor de 2 números cuya diferencia es 52 y estén en la relación de 7 a 3.

a) 13 b) 60 c) 91d) 52 e) 39

15) Las edades de Pedro y su hijo son como 9 es a 7. ¿A qué edad tuvo Pedro a su hijo si actualmente posee 81 años?

a) 45 b) 36 c) 18d) 50 e) 60

Nivel II

16) ¿Cuántos "novenos" hay en 3 1/3?

a) 90 b) 30 c) 24d) 27 e) 18

17) ¿Cuántos "octavos" hay en 4 1/4?

a) 16 b) 32 c) 34d) 64 e) 100

18) Auméntale a 2/3 sus 2/3.

a) 4/3 b) 11/9 c) 10/9d) 12/15 e) 12/3


a) 36/25 b) 16/25 c) 16/5d) 136/5 e) 32/25

20) Disminúyele a 5/8 sus 3/8.

a) 1/4 b) 25/64 c) 15/16d) 10/16 e) 31/32


a) 17/40 b) 12/56 c) 1/2d) 1 e) 11/56

22) El producto de tres números consecutivos es 90 veces el menor. Indica el mayor de ellos.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

23) El producto de dos números impares es 783. Indica el mayor.

a) 21 b) 31 c) 33d) 27 e) 29

24) El producto de dos números pares consecutivos es 5624. Indica el mayor de ellos.

a) 74 b) 72 c) 76d) 78 e) 82

73ro de Secundaria

Aritmética


25) ¿Cuántos dígitos tendrá el producto de 212 x 58 ?

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) más de 12

26) ¿Cuántos dígitos tendrá el producto de 216 x 512 ?

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) más de 15

27) ¿En cuánto aumenta el producto de 283 x 198 si se aumenta cada factor en 1?

a) 1 b) 283 c) 198d) 481 e) 482

28) Si se efectúa 2137753, la cifra de las unidades del producto final es.

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

29) Dos números difieren en 3 unidades y de su producto es 208. Calcula el mayor de ellos.

a) 13 b) 16 c) 18d) 20 e) 21

30) Un lingote pesa 6kg más la cuarta parte de su peso total. ¿Cuánto pesa el lingote?

a) 6kg b) 8kg c) 10kgd) 16kg e) 12kg

31) Se desea obtener alcohol al 80% de pureza para lo cual se posee 40 litros de alcohol puro. ¿Cuál será la cantidad de agua a mezclar con el alcohol puro?

a) 10L b) 20L c) 30Ld) 40L e) 50L

Nivel III

32) Calcule ‘‘n’’, sabiendo que es entero positivo.

n(n+1) = 42 n(n+1) = 90 n² + n = 132 n(n+3) = 70 n² + 3n = 208 n(n+2) = 80 n(n+4) = 221 n(n-2) = 440 (n+1)(n+3) = 1023 (n+1)(n+3) = 255

33) Dos números están en la misma razón que 3 y 5. Si la suma de éstos es 56, calcula el menor.

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 25

34) Si la edad de Alicia es a la edad de Beto, como 6 es a 7, halla la edad de Beto si la diferencia de sus edades es 4.

a)25 años b)28 años c) 30 años d)12 años e) 15 años

35) Si y 7A - 4B = 26 , halla A + B.

a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20

AB

32

=

36) Los números A, B, C y D están en la misma relación que 3, 5, 2 y 7, halla A + D si la suma de los cuatro es 221.

a) 120 b) 123 c) 130 d) 150 e) 195

37) Si la suma de dos números es 25 y su diferencia es 13, calcula el menor de ellos.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9

38) Si las edades de Alejandro y Beatriz suman 58 y Alejandro es mayor que Beatriz por 6 años, calcula la edad de Alejandro.

a) 30 años b) 31años c)32años d) 33 años e) 34 años

39) Si el precio de la papa excede en S/.1,20 al precio del queso, halla el precio del queso si la suma de ambos es S/.4,60.

a) S/. 0,5 b) S/. 1,5 c) S/.1,7 d) S/. 2,0 e) S/. 2,3

40) Si el precio de la papa excede en S/.1,20 al precio del queso, halla el precio del queso si la suma de ambos es S/.4,60.

a) S/. 0,5 b) S/. 1,5 c) S/.1,7 d) S/. 2,0 e) S/. 2,3

41) Si se sabe que un kilogramo de arroz cuesta S/.1,20, ¿cuál es el precio de 400 gramos?

a) S/.0,30 b) S/.0,50 c)S/.0,36 d) S/.0,48 e) S/.0,25

43) Si un alumno puede resolver 48 problemas en una hora, ¿cuántos problemas resolverá en 35 minutos?

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 30

44) Si una batería termina de consumirse en 4 días, ¿en cuántos días se habrán consumido los 5/7 de ésta?

a) 15/7 días d) 20/7 díasb) 10/7 días e) 15/9 días c) 16/9 días

42) Si un atleta recorre un kilómetro en 7 minutos, ¿en cuánto tiempo recorrerá 650 metros?

a) 3,5 min d) 6,3minb) 4,51 min e) 6,5 minc) 4,55 min

8 3ro de Secundaria

Aritmética


45) Calcula el 20% del 50% del 15% de 3000.

a) 50 b) 45 c) 36 d) 39 e) 49

46) Calcula el 40% del 25% del 10% de 70 000.

a) 500 b) 100 c) 150 d) 700 e) 120

47) ¿Qué porcentaje de 30 000 es 7500?

a) 10% b) 15% c) 30% d) 25% e) 50%

48) ¿Qué porcentaje de 45 000 es 9000?

a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

49) El producto de dos números impares positivos consecutivos es 323, halla el menor.

a) 17 b) 13 c) 19 d) 23 e) 21

50) Un galón de pintura rinde para 30 m². Si con los 2/5 de los 3/4 de 8 galones se han pintado los 2/3 de los 4/5 de una pared, ¿cuál es la superficie de dicha pared?

a) 720 m2 d) 13,5 m2

b) 270 m2 e) 520 m2

c) 135 m2

1) Calcula A + B si:

A = -10 + ( 15 - 12 + 7 ) - 3( 5 - 2 ) B = -12 - ( 10 - 9 - 8 ) - 2(- 4)

a) -3 d) 6 b) -6 e) 9 c) 3

2) El producto de dos números naturales es 17. Calcula la suma de ellos.

a) 10 d) 3 b) 18 e)14 c) 7

3) Halla cuántos "tercios" hay en : 2 1/3

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

4) Indica cuántos dígitos tendrá el producto de:

210 x 54

a) 5 d) 8 b) 6 e) 10 c) 7

5) Un lingote pesa 2400 g más la tercera parte de su peso total. ¿Cuánto pesa el lingote?

a) 2700 g d) 4200 g b) 3600 g e) 5000 g c) 4000 g

93ro de Secundaria

Aritmética


A) LOS NÚMEROS NATURALES (N)

1. Aritmética

Cálculos Básicos II

La invención de los números data de los albores de la humanidad, de allí que el profesor Puig Adam de la Real Academia Española de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales dijera que ‘‘la Matemática es tan vieja como el instinto de propiedad, es decir, tan antigua como el hombre’’. Y agregara: ‘‘Éste se sintió matemático en cuanto el afán de retener lo suyo lo llevó a contar sus rebaños y a medir sus tierras’’. Pero, ¿cómo contaban sus ovejas, sus bueyes o sus caballos? Pues por medio de guijarros (piedras), que iban colocando en un recipiente de barro, uno por cada animal que hacían entrar en el redil . He aquí como se manifestaba su instinto de propiedad. También, y con el mismo fin, solían hacer marcas en los árboles.

2. El número

3. Conjuntos Numéricos

Es la parte de la matemática que tiene por objeto el estudio del número. En aritmética se estudian las propiedades, las operaciones, las medidas y las comparaciones que se realizan utilizando números.

Es un ente abstracto, es decir, que no existe en el mundo real. Es la idea de cantidad que se forma en nuestra mente al observar los elementos de un conjunto.

Por ejemplo, cuando observamos los dedos de una mano se forma en nuestra mente una idea de cantidad a la cual l lamamos cinco: esta idea es un número.

Son aquellos que se obtienen de la observación de los objetos que se encuentran en la naturaleza.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

B) LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)

Son aquellos que se obtienen como la diferencia de dos números naturales.

Por ejemplo: 5 – 2 = 3, 4 – 4 = 0 y 3 – 7 = -4

Z = { ... , – 3, –2, –1, 0,1,2,3, ...}

C) LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)

Son aquellos que se obtienen como el cociente de dos números enteros.

Ejemplo:

2 = , –3 = , 0 =

0,5 = , 2,5 = , 0,3 =

0,25 =

63

-62

04

12

52

13

2390

D) LOS NÚMEROS IRRACIONALES (I)

Son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. Los números irracionales tienen expresión decimal infinita no periódica.

Ejemplo:

2 = 1,4142... e = 2,7182...

π=3,141593...

I = {x/x tiene expresión decimal no periódica}

E) LOS NÚMEROS REALES (R)

Contienen a los números racionales e irracionales.

R={x/x es racional o irracional} R = Q ∪ I

Q = { / a ∈ Z, b ∈ Z,b≠0}ab

10 3ro de Secundaria

Aritmética


Fue uno de los matemáticos españoles que más trabajaron en la didáctica de las Matemáticas. Fue, salvo entre los círculos profesionales españoles, un desconoc ido . Catedrát ico del Instituto San Isidro de Madrid y de Metodología de las Matemáticas en aquella universidad, compaginaba su contacto real con la enseñanza con sus inquietudes pedagógicas , inf luyendo en los nuevos profesores. Su preocupación por los problemas de la enseñanza lo llevó a ser un destacado miembro de la C.I .E .M. (Comis ión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas), logrando que la XI C.I.E.M. se celebrase en Madrid en 1958. En este mismo año redactó el Decálogo del Profesor de Matemáticas en el que recogía sus opiniones sobre la enseñanza de las matemáticas en los Institutos de Bachillerato. El Decálogo, siempre en vigor, nos muestra como los actuales pontífices didácticos no nos descubren nada nuevo.

Pedro Puig Adam (1900 – 1960)

Aquí s e ve e l f amoso Omnipoliedro y el Icosaedro construidos por él en el Instituto San Isidro.

Una persona demora 20 min en lustrar el piso de su sala. ¿Qué parte lustró en 1 minuto?

a) 1/5 b) 1/20 c) 1/2d) 1/10 e) 1/15

Ejemplo 1:

Resolución:

Resolución:

Lustra una sala en 20 min.

En un minuto 120

+ = 18

18

28

Ejemplo 2:

Un obrero demora 8 días en abrir una zanja. ¿Qué parte de la zanja abrió en dos días?

a) 1/2 b) 1/8 c) 1/5d) 1/4 e) 1/16

14

Tiburcio demora 18 minutos en comer un pollo. ¿Qué parte del pollo comió en 1 minuto?

a) 3/4 b) 2/18 c) 1/9d) 1/6 e) 1/18

Resolución:

Los 4/7 de la propina de Luis equivalen a 52 nuevos soles. ¿Cuánto es la propina de Luis?

a) S/.103 b) S/.97 c) S/.102 d) S/.83 e) S/.91

Resolución:

El total del pollo en 18 minutos.

En un minuto

Total = x

x = 52

x = S/.91

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

118

47

113ro de Secundaria

Aritmética


Un alumno de colegio pesa 16 kg más los 3/7 de su peso total. ¿Cuánto pesa dicho alumno?

a) 22kg b) 19kg c) 28kg d) 24kg e) 21kg

Resolución:

Total = x

16 + x = x

16 = x – x

16 =

x = 28 kg

Ejemplo 5:

37

374x7

Nivel I

1) Efectúa:

x x x =

x x =

2 x 4 =

x x =

x x =

x x x =

625

1521

65

321

149

821

32

35

16

49

125

916

3077

1115

149

126

156

520

67

de los de 810.

de 4 de los de 64.

de los de los de 50.

45

1027

911

89

2516

57

143

125

x + = 26

x + x = 70 – x

(2x) + (3x) = + 6

(2x) – ( ) = x +

23

x5

59

35

25

17

34

1007

34

12

x2

2) Efectúa:

3) Calcula:

4) Resuelve:

52

– + =

– + =

+ – =

– + =

+ + 2 =

3 – + 1 =

6 – – 2 =

117

37

57

13

52

16

25

48

36

68

23

515

–12

35

68

94

35

27

23

n(n+1) = 42 n(n+2) = 80 n (n+1)=90 n(n+4)=221 n2 + n = 132 n(n – 2) = 440 n(n + 3) = 70 (n + 1)(n + 3)= 1023 n2 + 3n = 208 (n + 1) (n + 3) = 255

5) Calcula «n», sabiendo que es entero positivo.

6) Dos números están en la misma razón que 3 y 5. Si la suma de éstos es 56, calcula el menor.

a) 20 d) 23b) 21 e) 25c) 22

7) La edad de Alicia es a la edad de Beto como 6 es a 7. Halla la edad de Beto si la diferencia de sus edades es 4 años.

a) 25 años d) 12 añosb) 28 años e) 15 añosc) 30 años

AB

32

8) Si = y 7A – 4B = 26,

halla A + B.

a) 9 d) 15b) 10 e) 20c) 12

9) Los números A, B y C están en la misma relación que 3, 5, 2 y 7. Halla A + D si la suma de los cuatro es 221.

a) 120 d) 150b) 123 e) 195c) 130

10) Si la suma de dos números es 25 y su diferencia es 13, calcula el menor de ellos.

a) 6 d) 7b) 8 e) 9c) 10

11) Si las edades de Alejandro y Beatriz suman 58 y Alejandro es mayor que Beatriz por 6 años, calcula la edad de Alejandro.

a) 30 años d) 33 añosb) 31 años e) 34 añosc) 32 años

12) El precio de la papa excede en S/. 1,20 al precio del queso. Halla el precio del queso si la suma de ambos es S/. 4,60.

a) S/. 0,5 d) S/. 2,0b) S/. 1,5 e) S/. 2,3c) S/. 1,7


Aritmética


13) Si se sabe que un kilogramo de arroz cuesta S/.1,20, ¿cuál es el precio de 400 gramos?

a) S/. 0,30 d) S/. 0,48b) S/. 0,50 e) S/. 0,25c) S/. 0,36

14) Si un atleta recorre un kilómetro en 7 minutos, ¿en cuánto tiempo recorrerá 650 metros?

a) 3,5 min d) 6,3 minb) 4,51 min e) 6,5 minc) 4,55 min

15) Si un alumno puede resolver 48 problemas en una hora, ¿cuántos problemas resolverá en 35 minutos?

a) 25 d) 28b) 26 e) 30c) 27

Nivel II

16) Si una bater ía termina de consumirse en 4 días, ¿en cuántos días se habrá consumido los 5/7 de ésta?

a) 15/7 días d) 20/7 díasb) 10/7 días e) 15/9 díasc) 16/9 días


a) 50 d) 39b) 45 e) 49c) 36


a) 500 d) 700b) 100 e) 120c) 150

19) ¿Qué porcentaje de 30 000 es 7 500?

a) 10% d) 25%b) 15% e) 50%c) 30%

20) Qué porcentaje de 45 000 es 9 000?

a) 10% d) 25%b) 15% e) 30%c) 20%

21) El producto de dos números impares positivos consecutivos es 323. Indica el menor.

a) 17 d) 23b) 13 e) 21c) 19

22) Un galón de pintura rinde para 30m2. Si con los 2/5 de los 3/4 de 8 galones se han pintado los 2/3 de los 4/5 de una pared, ¿cuál es la superficie de dicha pared?

a) 720 m2 d) 13,5 m2

b) 270 m2 e) 520 m2

c) 135 m2

23) ¿Cuántos «cuartos» hay en 5 1/2?

a) 11 d) 44b) 22 e) 10c) 33

24) ¿Qué parte de 3 1/3 es lo que le falta a 1/9 para ser igual a los 2/3 de 3/5?

a) 11/45 d) 2/5b) 9/150 e) 41/150c) 13/150

25) El producto del mayor y el menor de tres números consecutivos es 288. Calcula el número intermedio.

a) 15 d) 19b) 17 e) 23c) 13

26) Para terminar una obra en 9 días se necesitan 32 obreros. ¿En cuántos días terminarán la obra 24 obreros?

a) 11 d) 14b) 12 e) 15c) 13

27) Cinco paquetes de chocolates son suficientes para 20 niñas. ¿Cuántos paquetes de chocolates se necesitarán para 32 niñas?

a) 8 d) 2b) 6 e) 5c) 7

28) Veinte obreros construyen 28 metros de pared en cada día. ¿Cuál será el avance diario si se retiran 5 obreros?

a) 13 m d) 25 mb) 19 m e) 30 mc) 21 m

29) Veinticuatro carpinteros hacen una casa en 30 días. El triple de carpinteros, ¿qué tiempo tomarán para hacer la misma obra?

a) 30 d d) 5 d b) 20 d e) 40 dc) 21 d

30) Una cocinera demora 26 min en preparar cierta comida. ¿Qué parte de dicha comida prepara en 2 min?

a) 1/2 d) 1/4 b) 1/13 e) 1/5c) 1/26

Nivel III

31) José demora 10 segundos en tomarse un vaso de agua. ¿Qué parte tomó en un segundo?

a) 1/4 d) 1/10b) 1/2 e) 1/20c) 1/5

32) Un caño llena un depósito en 7 min. ¿Qué parte del depósito llena en 1 min?

a) 1/2 d) 1/6b) 1/3 e) 1/7 c) 1/5

133ro de Secundaria

Aritmética


33) Eduardo pinta 1/4 de una casa en un día. ¿En cuánto tiempo pintará toda la casa?

a) 10 días d) 4 díasb) 8 días e) 2 días c) 5 días

34) Un caño «A» llena un depósito en 3 min y otro caño «B» llenaría el depósito en 6 min. ¿Qué parte llenarían los dos caños en 1 min?

a) 1/2 d) 1/6b) 1/3 e) 1/8c) 1/4

35) Mediante un cierto mecanismo una piscina puede ser vaciada en 20 horas. ¿Qué parte de la piscina se vacía en una hora?

a) 1/3 d) 1/20b) 1/6 e) 1/30c) 1/10

36) Dado el numeral 43176543, halla la suma de las cifras de tercer y sexto orden.

a) 6 d) 5b) 12 e) 9c) 8

37) Halla el número de dos cifras del sistema decimal que sea igual a ocho veces la suma de sus cifras.

a) 64 d) 63b) 56 e) 72c) 54

38) ¿Cuántos números de dos cifras equivalen al cuádruple de la suma de sus cifras?

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

39) Disminuye a 400 sus 7/25.

a) 640 d) 622b) 288 e) 138c) 112

40) Los 3/5 del costo de un artefacto es S/. 42. ¿Cuánto cuesta el artefacto?

a) S/. 140 d) S/. 80b) S/. 50 e) S/. 70c) S/. 60

41) En un aula hay 42 alumnos. Si los 3/7 son hombres, ¿cuántas mujeres hay en dicha aula?

a) 18 d) 24b) 6 e) 21c) 30

42) Mi cumpleaños es el 12 de junio. En ese día, ¿qué parte del mes ya pasó?

a) 12/31 d) 3/5b) 3/7 e) 1/4c) 2/5

43) Perdí los 2/7 de mi dinero, luego perdí 15 soles más y aún me queda una cantidad igual a los 5/4 de 24. ¿Cuántos soles tenía al principio?

a) 35 d) 21b) 70 e) 42c) 63

44) Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Si se extraen 15 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de leche salen?

a) 7 d) 9b) 10 e) 8c) 6

45) Un túnel contiene 40 litros de vino y 10 litros de agua. Si extraemos 35 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de vino salen?

a) 28 d) 30b) 26 e) 25c) 32

46) Si A es los 2/3 de 9/7 y B es los 5/4 de 2/3, halla A – B.

a) 1/32 d) 5/6b) 1/42 e) 5/7c) 6/7

47) ¿Cuál es el número que disminuido en 7 unidades produce un resultado igual al que se obtiene multiplicándolo por 3/10?

a) 10 d) 1/10b) 20 e) 1/7c) 11/70

48) Se tiene 15 botellas de 4/3 de litro cada una. Si se vierten los 3/5 de las 15 botellas, ¿cuántos litros quedan?

a) 10 d) 6b) 9 e) 7c) 8

49) Calcula la suma de cifras del resultado:

E = (9999 .... 9999)2

a) 250 d) 500b) 240 e) 600c) 243

50) ¿Cuánto le falta a la mitad de 8/11 para ser igual a los 5/7 de los 2/3 de los 6/11 de 7?

a) 15/11 d) 30/11b) 16/11 e) 12/11c) 20/11

27 cifras


Aritmética


“Tenemos la virtud, que a veces es defecto, de la GENEROSIDAD en el momento del triunfo, sin darnos cuenta de que aquel que ha sido derrotado, interpreta la generosidad como debilidad, y aprovechará la situación para invertirla”.

Pablo Macera

1) Un caño «A» llena un depósito en 3 min y otro caño «B» llenaría el depósito en 6 min. ¿Qué parte llenarían los dos caños en 1min?

a) 1/2 d) 1/6 b) 1/3 e) 1/8 c) 1/4

3) De los dos caños que fluyen a un tanque, uno solo lo puede llenar en 3 horas. ¿Qué parte llenarán los dos caños juntos en 1 hora? Considera que ambos caños trabajando solos se demoran el mismo tiempo para llenar el tanque.

a) 1/3 d) 2/3 b) 1/5 e) 5/3 c) 3/5

2) Un depósito se vacía mediante cierto dispositivo en 2 horas, y mediante otro dispositivo en 4 horas. ¿Qué parte vaciarán los dos dispositivos simultáneamente en 1 hora?

a) 1/2 d) 3/4 b) 1/3 e) 4/3 c) 1/4

4) Una fracción irreductible se multiplica por 5 y la misma fracción se divide entre 7. Si el producto de ambos resultados es 3,8 , halla la suma del numerador y el denominador de la fracción original.

a) 1/3 d) 2/3 b) 1/5 e) 5/3 c) 3/5

5) Una persona ha perdido en un negocio la cuarta parte de los 5/3 de su dinero, quedándole S/. 600. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?

a) S/. 900 d) S/. 1500 b) S/. 180 e) S/. 900 c) S/. 1200

153ro de Secundaria

Aritmética


Conjuntos I

OBJETIVO

CONJUNTOS I

Clases de Conjuntos Conocer los coneptos básicos de conjunto.

Conocer los diferentes tipos de conjunto.

Es la agrupación, colección o reunión de objetos, que poseen una característica en común.

A = {m, n, r, s}

Mayúscula Minúscula

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS:

A) Por extensión : Cuando nom-bran cada uno de sus elementos.

A = {a, e, i, o, u}

b) Por comprensión : Cuando nos dan una idea del conjunto.

A = {x/x es vocal}

1. CONJUNTO UNITARIO

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

R = {y ∈ N / 3 < y < 5}

2. CONJUNTO VACÍO

Es aquel conjunto que no tiene elementos.

M = {x/x, x es inca actual}

3. CONJUNTO UNIVERSAL

Es el conjunto que comprende a otros conjuntos. Su símbolo es «U».

4. CONJUNTO FINITO

Es aquel que tiene un número limitado de elementos.

N = {x/x ∈ N, 10 < x < 20}

5. CONJUNTO INFINITO

Es aquel conjunto donde la cantidad de elementos es ilimitada.

A = {x/x, x ∈ N}

6. CONJUNTOS IGUALES

Dos conjuntos son iguales cuando poseen los mismos elementos.

A = {r, o, m, a}

B = {a, m, o, r}

A = B

CONJUNTO CLASES DECONJUNTOS

Conj. Unitario

Conj. Universal

Conj. Infinito

Conj. Disjuntos

Conj. Vacío

Conj. Finito

Conj. Iguales

Conj. Potencia

Notación

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:


Aritmética


7. CONJUNTOS DISJUNTOS

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elemento(s) en común.

A = {1, 2, 3}B = {4, 5, 6}

8. CONJUNTO POTENCIA

Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado.

Halla la potencia del conjunto A.

A = {a, b, c}

P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, ∅}

2n = subconjuntos

23 = 8

A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}

Diferencia

Representación gráfica «A – B»

A B

U

PROPIEDADES

1) A – A = ∅

2) ∅ – A = ∅

3) A – ∅ = A

4) (A – B) ⊂ A

5) A–B =(A∪B) – B=A – (A∩B)

1. CON RESPECTO AL UNIVERSO

A = ∪ – A

A’Se lee complemento de A

Otra notación:

A’ = AC = A

Representación gráfica A’ = U–A

AU

2. CON RESPECTO A OTRO CONJUNTO

CB = B – A = {x/x ∈ B ∧ x ∉ A}A

Se lee: Complemento de A respecto a B.

Representación gráfica CBA

U

A

B

A ∆ B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B} o {x ∉ A ∧ x ∈ B}

A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A)

DiferenciaSimétrica

Representación gráfica «A ∆ B».

A

U

B

PROPIEDADES

1) A ∆ ∅ = A

2) A ∆ A = ∅

3) A ∆ B = B ∆ A

4) (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)

5) (A ∆ B) ∩C=(A ∩ C) ∆ (B ∩ C)

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

DIFERENCIASIMÉTRICA

Ejemplo:

Ejemplo:

Fórmula:

Notación

Notación

Leonardo de Pisa fue el primero que utilizó la denominación de números quebrados al llamarle números ruptus (rotos) y empleo la raya de quebrado para separar el numerador y el denominador, en el siglo XVI. Aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio del M.C.M.

173ro de Secundaria

Aritmética


Nivel I

Demostración

A ∪ B = B ∩ A (Propiedad Commutativa)

Dados : A = {1, 2} B = {2, 4}

∴ A ∪ B = {1, 2, 4} B ∩ A = {1, 2, 4}

¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, que posee 16 subconjuntos?

Resolución:

2n = 16 ⇒ 2n = 2y

∴ n = 4

Determina el conjunto B si:

B = {x/x2 – 5x + 6 = 0}

Resolución:

x – 6 x +1

⇒ (x – 6)(x + 1) = 0

∴ x = 6 ∧ x = – 1

Expresa por extensión el siguiente conjunto:

B = {x/x ∈ N, 18 < x < 27}

Resolución:

x={19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}

Luego :

B={19,20,21, 22, 23, 24, 25, 26}

Si A = {3, {5}}, ¿cuál de las afirmaciones es verdadera?

a) {3, 5} ⊂ A d) {{5}} ⊂ Ab) {5} ⊂ A e) {{{5}}}⊂Ac) 5 ∈ A

Resolución:

Calculamos los subconjuntos de A.

A = {{3},{{5}}, {3,{5}}, φ}

{{5}} ⊂ A

Si A = {3, a – b} y B={ab, 54} son unitarios, calcula a + b.

Resolución:

a – b = 3 ∧ ab = 54

9 . 6

a = 9 Luego 9 + 6 = 15 b = 6

Se dan los conjuntos iguales A y B, calcula ab.

A = {3a – 8, 44} B={10,ba – 20}

Resolución:

3a – 8 = 10 ba = 44 + 20 3a = 18 ba = 64 a = 6 b6 = 64

∴ b = 2 ⇒ ∴ 62 = 36

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto A = {1, 2, 3, 4}?

Resolución:

Expresa por comprensión: A = {3, 5, 7, 9}

Resolución:

A={x/x ∈ N, 2<x<10 x ∧ es impar}Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

# subconjuntos = 2n

donde n : #elementos

24 = 16

Ejemplo:

1) Dados los conjuntos:

A={x/x es un número Z+ menor que 21} y B = {x / x es divisor de 20},

halla A ∩ B.

a) {1, 2, 4, 5, 10, 20} b) {2, 4, 6, 8} c) {1, 2} d) {1, 2, 4, 5, 20} e) {1, 2, 4, 10, 20}


A = {x∈N / 3≤ x < 40} B = {x∈N / 2< x ≤ 42}

¿cuántos elementos tiene el conjunto A∩B?

a) 32 d) 35 b) 33 e) 37 c) 34


Aritmética


Nivel II

1

2

36

45

98

7

PQ

R

12

43

765

AB

C

A B

AB

A B

C

3) Del siguiente diagrama, halla (P∪R)∩Q.

a) {2, 4, 6} d) {2, 3, 4, 5, 6} b) {2, 4, 5, 6} e) {2, 5, 6} c) {5, 6}

4) Del siguiente gráfico, halla (A –B) ∪ (B – C).

a) {1, 2, 4, 6} b) {2, 3, 4, 5, 6} c) {1, 2, 3, 4} d) {1, 2, 3, 5} e) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5) Halla R ∪ P, sabiendo que: R = {x∈N / 5< x < 10} P = {x∈N / 2≤ x ≤ 5}

a) {6, 7, 8, 9} b) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} c) {1, 2} d) {1} e) {2, 3, 4, 5}

6) Halla el conjunto M ∪ N, si M = {x ∈ N / 3< x < 9} N = {x ∈ N / 4 < x < 6}

a) {4, 5, 6, 7, 8, 9} b) {1, 2, 3, 4, 5} c) {2, 4, 6} d) {1, 2, 3} e) {6, 7, 8, 9}

7) Dados los conjuntos: A={1,2,3,5} y B={2,4,5,6,7}, halla A – B.

a) {1, 4} d) {2, 5} b) {1, 3} e) {3, 6} c) {2, 3}

8) Halla la unión de los siguientes conjuntos:

A = {x∈N / x ≤ 5} B = {x∈N / x2 = 16} C = {x∈N / x – 3 = 2}

a) {0, 1, 2} b) {0, 1, 2, 3} c) {0, 1, 2, 3, 4, 5} d) {1, 2} e) {3, 4, 5}

9) Si A = {x ∈ N / x < 7}, B = {x ∈ N / 3 ≤ x < 9}, C = {x ∈ N / 5x = 20} , halla A∪B∪C.

a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b) {2, 4, 6, 8} c) {1, 2, 3, 5, 9, 11} d) {1, 2} e) {4, 5, 6, 7, 8}

10) ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {1, {1}, 1, ∅}?

a) 16 d) 4 b) 15 e) 32 c) 8

11) Calcula la suma de los elementos del conjunto ‘‘A’’.

A = {x/x ∈N ; 10< 3x + 2 < 18}

a) 10 d) 18 b) 12 e) 23 c) 15

12) Dado el conjunto unitario: A = {2b + a; 3a + b; 4b – 3} Halla b – a.

a) 3 d) 2 b) 4 e) 5 c) 1

13) ¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada?

a) A + B b) A – B c) A ∩ B d) B – A e) B


a) A – B b) B – A c) A ∩ B d) A ∆ B e) b y c


a) A∪B b) (A∩B)–C c) (A∪B)∩C d) (A–C)∪(B–C) e) A–B

16) Dado el conjunto unitario: A = {2b + a; 3a + b; 4b–3} Halla ‘‘n(A∪B)’’, siendo: B = {5a; 4a + b – 1; 5}

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

17) Sean los conjuntos: A = { {2;1} ; 3 } y B = { {a;b} ; 3 ; {2;1} } , halla ‘‘B – A’’.

a) ∅ d) { {a;b} } b) {a;b} e) {∅} c) {1; {a;b}}

18) Sean los conjuntos: A = { 1; 2; 3; 4} y B = {2; 3} , halla ‘‘A – B’’.

a) 1 d) {1,2} b) 4 e) {1,4} c) {4}

19) Si el conjunto ‘‘A’’ es unitario, halla a + b. A = {7–a ; b+4 ; 5}

a) 2 d) 5 b) 3 e) 7 c) 4

193ro de Secundaria

Aritmética


Nivel III

x+13

x–12

20) Si los conjuntos ‘‘A’’ y ‘‘B’’ son unitarios, halla ‘‘a2 + b2’’.

A = {a+b ; 12} B = {4 ; a–b}

a) 70 d) 50 b) 90 e) 60 c) 80

21) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos?

a) 30 d) 32 b) 35 e) 42 c) 40


a) 50 d) 64 b) 54 e) 70 c) 60

23) Dado el conjunto: A = {4; {5} ; {4;5} ; 6} , ¿cuántas proposiciones son

falsas?

– {5} ∈A – { {4}}⊂A – 4⊂A – 7∉ A – {4;5} ∈A – ∅⊂A – {{4;5} ; 6 }⊂A – {6}⊂A

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

24) Dado:

A = { ∈Z/ x∈Z; 2 ≤x≤ 14} y

B = { ∈Z/ x∈Z;4≤x< 10},

halla n(A∪B).

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

25) ¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene 15 subconjuntos propios?

a) {k; a; r; i; n; a} b) {m; a; r; i; o} c) {j; e; s; s; i} d) {x/x ∈ N ; 3 ≤ x ≤ 7} e) {x/x ∈ Z ; –2 ≤ x ≤ 2}

26) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

A = {5, 7, 9} I. 5 ∈ A II. 7 ⊂ A III. 9 ⊂ A

a) VVV d) FFF b) VFF e) FFV c) VFV

27) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

A = {3, 2, 5, 6} I. 5 ∉ A II. {5} ⊂ A III. 6 ∈ A

a) VVV d) FFV b) FVV e) FVF c) FFF

28) Dado el conjunto: A = {x+3/x ∈ N, 5 ≤ x ≤ 10} Halla la suma de elementos.

a) 36 d) 72 b) 48 e) 81 c) 63

29) Dados los conjuntos unitarios «A» y «B».

A = {a + b; 16} B = {a – b; 4} Halla «a . b»

a) 36 d) 50 b) 42 e) 60 c) 45

30) Dados los conjuntos unitarios «A» y «B»;

A = {m + 2p; 17} B = {2m–p;–1}. Halla «m . p»

a) 15 d) 21 b) 12 e) 16 c) 18

31) Halla la suma de los elementos de «P ∩ Q».

P = {x + 2/ x ∈ N; 3 ≤ x ≤ 8} Q = {2x/ x ∈ N; 2 ≤ x ≤ 12}

a) 15 d) 25 b) 17 e) 24 c) 21

32) Sean los conjuntos iguales: A = {a2 + 1 ; 12} B = {a – b ; 17} ¿Cuál puede ser el valor de «a+b»?

a) –12 d) 4 b) –20 e) 10 c) 12

33) Calcula la suma de los elementos del conjunto:

B = {x2 / x ∈ Z, –5 < x < 3}

a) 40 d) 32 b) 30 e) 25 c) 35

34) Dados los conjuntos: A = {x+2 / x∈N, 5 ≤ x < 12} y B = {x–1 / x ∈ N, 2 ≤ x < 10}, ¿cuántos subconjuntos propios

tiene A ∩ B?

a) 7 d) 16 b) 8 e) 10 c) 15

35) Si los conjuntos «A» y «B» son iguales.

A = {n2 + 1; –6} B = {2 – m; 10} halla «m + n» (m, n ∈ N)

a) 10 d) 16 b) 11 e) 18 c) 15

36) Dados los conjuntos: A = {1, 3, 5, 7, 8} y B = {x/x ∈ N, 1 < x < 8}, halla B – A.

a) 2, 4 d) 3, 5, 7 b) 2, 6 e) 3, 5, 8 c) 2, 4, 6

37) Halla la suma de elementos de «M» si:.

M = {x2+1/ x ∈ Z, –2 ≤ x ≤ 4}

a) 32 d) 35 b) 34 e) 40 c) 36


Aritmética


38) ¿Cuántos subconjuntos tiene «A»? A = {5, 7, 8, 3, 2}

a) 30 d) 35 b) 40 e) 80 c) 32

39) ¿Cuántos subconjuntos tiene «B»? B = {a, r, i, t, m, e, t, i, c, a}

a) 64 d) 8 b) 128 e) 1024 c) 256

40) ¿Cuántos elementos tiene un conjunto con 15 subconjuntos propios?

a) 8 d) 2 b) 4 e) 13 c) 6

41) ¿Cuántos elementos tiene un conjunto con 31 subconjuntos propios?

a) 4 d) 8 b) 5 e) 9 c) 6

42) Dado el conjunto: A={x2+1/ x∈Z ∧ –3 ≤ x ≤ 4}, ¿ q u é p r o p o s i c i o n e s s o n

verdaderas? I. n(A) = 5 II. «A» tiene 16 subconjuntos. III.«A» tiene 31 subconjuntos

propios.

a) Sólo I d) I y III b) Sólo III e) Sólo II c) I y II

43) ¿Cuántos subconjuntos propios tiene «m»?

M={x/ x ∈ N, –2 < x < 5}

a) 15 d) 7 b) 31 e) 127 c) 63

44) ¿Cuántos subconjuntos tiene: A = {14; {4}; 14; ∅}

a) 16 d) 4 b) 15 e) 32 c) 8

45) Dado el conjunto «A», indica verdadero (V) o falso (F) si:

A = {5; {6}; 8; {10; 11}} I. {5} ∈ A → {8} ⊂ A II. {8; 10} ∈ A ∧ {5} ⊂ A III.{{10; 11}}⊂A ↔ {5;8}⊂ A

a) FFV d) FFF b) VFF e) VVF c) VFV

46) Si n(A) = 7 y n(B) = 4, ¿cuál es el máximo número de

subcojuntos que puede tener A∪B?

a) 27 d) 210

b) 28 e) 211

c) 29

47) Dados los conjuntos «A» y «B», se cumple:

n[P(A)] = 128 n[P(B)] = 256 n[P(A∩B)] = 32 Calcula n[P(A∪B)].

a) 8 d) 512 b) 32 e) 1024 c) 256

48) Sean «A» y «B» conjuntos unitarios, tales que:

A = {a + b; 12} B = {3a – 2b ; 11} Halla la suma de elementos de

«M». M = {x2 +3x / x∈N, b ≤ x ≤ a}

a) 108 d) 164 b) 124 e) 172 c) 136

49) Dado el conjunto: A = {x+1/x∈N,4 <2x+1<14} I n d i c a l o s e n u n c i a d o s

verdaderos. I. La suma de sus elementos es 25. II. Tiene 31 subconjuntos propios. III.Su mayor elemento es 6.

a) Sólo I d) I y II b) Sólo II e) I y III c) Sólo III

x+14

2x–13

50) Si los elementos «A» y «B» son números enteros, halla: n (A ∩ B).

A = { / x ∈ N, 2 <x<18}

B = { / x ∈ N, 3 <x<12}

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

Georg Cantor

El matemático alemán Georg

Cantor introdujo la teoría de

conjuntos en el siglo XIX, y

desarrolló una aritmética de

números infinitos, consecuencia

de dicha teoría. Las ideas de

Cantor fueron criticadas por

algunos de sus colegas que

las consideraban demasiado

abstractas.

213ro de Secundaria

Aritmética


Cuando te acerques a los principales y magnates, acuérdate de que hay allá arriba un príncipe más grande aún, que te ve y te escucha, y a quien debes complacer antes que a nadie...

Epicleto

1) Dado el conjunto unitario: A = {a + b; a + 2b – 3; 12} Halla a2 + b2.

a) 80 d) 90 b) 74 e) 39 c) 104

2) Los conjuntos «A» y «B» son tales que n(A∪B)=30, n(A–B)=12 y n(B–A)= 10.

Halla n(A) + n(B).

a) 22 d) 25 b) 38 e) 37 c) 36

3) El conjunto Z tiene 64 subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto Z?

a) 6 d) 4 b) 5 e) 8 c) 7

4) Si A = {a, b, c, d, e, f, g} B = {f, b, c, h, i, h, j} C = {a, c, e, i, k, l} D = {a, b, d, f, k, i, j} halla C ∩ [D – (A ∩ B)].

a) {a, i, k} d) {a, i, b} b) {k, b, c} e) {a, i, j} c) {a, b, c}

5) Si n(A ∩ B) = 2 n(A ∪ B) = 14 n (A – B ) = 7 halla n(A) – n(B).

a) 3 d) 5 b) 2 e) 9 c) 8


Aritmética


Repaso

Nivel I

2) Si:

A = -35+5(8-16) - (16-19)-(-8) B = 45 +35(17 -23)- (15-16)

Halla A - B.

a) -194 b) -100 c) -198d) 198 e) 100

1) Calcula:

E = -15 -(18-16 -19) -3(15-4) F =-91 -(16-17+17) -2(-18)-(-1)

Halla E - F.

a) 31 b) -27 c) -64d) -31 e) 39

3) Si:

A = -25+17-5(6+7)-3(-5)-(-2) B =-15-19-6(8+7)-2(-3)-(-3)(-2)

halla A x B /56

a) 124 b) -124 c) 22d) -26 e) -22

4) Si:

M = 4+15 -19-2(16-23)-5(2-3) N = -19-35-3(5-7)- (-8) -(-5)(-3) halla M xN / 19

a) 55 b) -22 c) -880d) -55 e) 88


* El producto de 2 factores consecutivos.

.......................................................


* El producto de 2 factores consecutivos.

.......................................................

7) Relaciona correctamente.

I. 0 A. -2 + 7 +2(-1) II. 3 B. -1 - (-1) -1 III. -1 C. -(-2) - 2

a) IA; IIB; IIIC b) IC; IIA; IIIB c) IC; IIB; IIIAd) IB; IIA; IIICe) IB; IIC; IIIA

8) Relaciona correctamente.

I. 0 A. 52 + 7 +2(-1) II. 30 B. -1 - (-1) -1 III. --42 C. -(-2) - 2

a) IA; IIB; IIIC b) IC; IIA; IIIB c) IC; IIB; IIIAd) IB; IIA; IIICe) IB; IIC; IIIA

9) Coloca verdadero(V) o falso (F), según corresponda.

I. 24 0= 16 ............( )

II. -(-3)2 = 9 .......... ( )

III. 230 x 250

= 280 ...( )

IV. = 333 ..........( )

a) FFFV b) FFVV c) FVVV d) VVVF e) VVVV

355

322

10) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

I. 3 64-1 = 16 -1/2 ...............( )

II.6 2120 = 220 ...............( )

III. 4 81 = 3 .................( )

IV. 16 = 4 16 ..... .....( )

a) VVFF b) VFFF c) FVVV d) FFVV e) VVVV

11) Si: A = 3 8

0 x (-6)2 - (-5)3 (3)0

B =(-2)30x(-2)2- (-3)3

0-(-3)2

0- 42

halla A - B.

a) -104 b) 104 c) 108d) 694 e) -108

233ro de Secundaria

Aritmética


Nivel II

12) Si:

M= 3 125 0x 64 (-2)30

- (-5)30

N= 144 0- 121x(-3)30-(-3)2x(-2)20

halla M + N.

a) 36 b) 72 c) 84d) -343 e) 243

13) Descompón polinómicamente:

ab0 = ....................................... xy = ....................................... 2437 = ....................................... x0y = ....................................... aaa = .......................................

14) Descompón polinómicamente:

124 = ....................................... 300 = ....................................... 3501 = ....................................... x00 = ....................................... x0x = .......................................

_____

______

______

15) Relacionar correctamente:

I. 587 A. 100a II. a0b B. 100a +b III. a00 C. 500 + 80 + 7

a) IC; IIB; IIIA b) IC; IIA; IIIB c) IA; IIB; IIICd) IB; IIA; IIICe) IA; IIC; IIIB

______

16) Relaciona correctamente:

I. xy - yx + xx A. 20x + 11y II. xy+y0+x0 B. 11y III. xy+yx - xx C. 20x - 9y

a) IC; IIA; IIIB b) IA; IIB; IIIC c) IC; IIB; IIIAd) IA; IIC; IIIBe) IB; IIA; IIIC

__ __ ____ __ ____ __ __

19) Dado el conjunto: A= {7; 8; 10; 15}.

indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

i) 7∈A ... ( ) ii) 9∈A ... ( ) iii) {10}∈A .... ( ) iv) {15}∈A ... ( )

a) VVFF d)FFVVb) VFFV e)VFFFc) VVVF

20) Dado el conjunto: C= {5; {7}; 9; {12}}. indica verdadero (V) o falso (F),

según corresponda.

i) {7}∈C ... ( ) ii) {5}⊂C ... ( ) iii) {{12}}∈C .... ( ) iv) {{7}}⊂C ... ( )

a) VVFF d)VVFFb) VFFF e) FVVVc) FVVF

21) De acuerdo al diagrama, ¿cuál es el conjunto ‘‘A∩B∩C’’?

a) {2; 4;5;6} b) {8} c) {5}d) {2; 5}e) {5; 6}

A B

C

1 2 35 6 7

4 8


I. 690 = 2(230) +1 (230)...( ) II. 380 = 20(10+8) ............( ) III. 16900 = 132 x 103 .........( )

a) FFF b) FVF c) VFVd) VVV e) VFF

18) El conjunto de ‘‘A’’ tiene 128 subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto ‘‘A’’?

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

22) En el diagrama mostrado como se puede expresar lo sombreado.

a) (A+B) b) (A∪B) c) (A∩B)d) (A−B)∪(A−B)e) (A−B)

23) Si:

A = {x/x ∈N∈ 0 < x < 9}, entonces es cierto que:

a) 3 ∉A b) 9 ∈A c) 6 ∉Ad) 0 ∈A e) 5 ∈A

24) Si: E = {3x/x ∈N∧ 1 < x < 9}, entonces no es cierto que:

a) 21 ∈E b) 7 ∈E c) 9 ∈Ed) 2 ∉E e) 4 ∉E

25) Dado el conjunto:

A = {2; 3; {5}; 6; {7}} indica cuántas de las siguientes

expresiones son correctas.

I. 5∈A III. {{7}}⊂A II. {5}∈A IV. 3⊂A

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

26) Del gráfico, ¿cómo se puede expresar lo sombreado?

a) A ∪ B b) A − B c) B −Φd) A ∩ B e) B − B

AB

A B


Aritmética


Nivel III

27) Del gráfico,

¿cuál es el conjunto (A∪B)∩C?

a) {7} d){9}b) {6; 7} e){8; 9}c) {6; 7; 8}

A B

C

12

3

6 7

4

12 11

8 9

28) Si el conjunto "A" es unitario, halla "a + b".

A = {7-a ; b+4 ; 5}

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7


a) 32 b) 16 c) 64 d) 30 e) 18

30) En los siguientes diagramas, ¿cómo se puede expresar lo sombreado?

a) ( A ∪ B); (A ∩ B) b) ( A − B); (B − A) c) ( A − B)∪ (B − A);(A−B)d) ( A ∩ B ∩ C)(A B B)e) ( A B B); (A ∪ B ∪ C )

I

II

A B

A

B

31) Si un conjunto tiene 6 elemen-tos, ¿cuántos subconjuntos tiene dicho conjunto?

a) 32 b) 36 c) 39d) 64 e) 60

32) Si los conjuntos A y B son unitarios, hallar a2 - b2.

A = {a + b ; 12}B = {4 ; a - b}

a) 64 b) 32 c) 62d) 48 e) 26

33) Dados los conjuntos: A = {t; r; i; l; c; e} B = {e; s; t; u; d; i; o} halla la cantidad de subconjuntos

de A y de B.

a) 128 y32 d) 64 y 32b) 16 y 32 e) 64 y 128c) 32 y 64


A = {3 ; {8} ; {5}; 4}, ¿cuáles proposiciones son falsas o

verdaderas? i) ‘‘A’’ tiene 8 subconjuntos. ii) ‘‘A’’ tiene 31 subconjuntos. iii) ‘‘A’’ tiene 4 elementos.

a) VVV b) FVV c) FFFd) VFF e) FFV

35) Dado el conjunto: A = {x/x ∈ Z ∧ −5≤x≤−2}, halla la suma de los elementos del

conjunto.

a) 14 b) 7 c) −14d) −7 e) 21

36) Del diagrama, indica cuál es el conjunto ‘‘(A∩B)∪C’’.

a) {4; 5; 6; 7; 8}b) {4; 5; 6; 7}c) {4; 5; 6; 7; 9}d) {4; 5; 9; 10}e) {5; 6; 7; 8; 9; 10}

A B

C

12

4

6 5

3

7 8 10

9

37) De acuerdo al diagrama, indica los elementos del conjunto (A∪B)∩C.

a) {2; 4; 8; 9} d){4; 8; 9; 10}b) {2; 5; 4; 8} e){2; 4; 8; 9}c) {4; 8; 9}

A B

C

16

3

8 4 9

2

10 5

7

12 13

11

38) En una fiesta se observó que 25 personas llevaban lentes, 18 usaban anillos de compromiso y 8 llevaban lentes y anillos. Determina cuántas personas usaban lentes solamente.

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

39) En una biblioteca habían 17 personas, de las cuales 6 leyeron revistas ‘‘A’’, 9 la revista ‘‘B’’ y 6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántos no leyeron las revistas ‘‘A’’ ni ‘‘B’’?

a) 8 b) 4 c) 6 d) 2 e) 10

40) De 150 soldados que participan en una batalla, 90 perdieron un órgano, 80 perdieron un miembro y 30 escaparon ilesos. ¿Cuántos soldados perdieron simultánea-mente un órgano y un miembro?

a) 25 b) 50 c) 75 d) 80 e) 15

41) De 234 postulantes, 92 postulan a la PUC, 87 a la UNMSM y 120 no postulan a ninguna de estas 2 universidades. ¿Cuántos postulan a las 2 universidades simultáneamente?

a) 35 b) 45 c) 55 d) 65 e) 75

253ro de Secundaria

Aritmética


42) Durante el mes de Febrero de 1998 una persona salió a pasear cada día con A o con B o con ambas. Si 14 días paseó con A y 20 días paseó con B, ¿cuántos días paseó con ambas?

a) 6 días b) 4 días c) 55 d) 2 días e) 1 días

43) El conjunto de "B" tiene 256 sub-conjuntos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto "B"?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

44) Dado el conjunto: A= {4; 8; 11; 16}.


i) 4∈A ... ( ) ii) 9∈A ... ( ) iii) {11}∈A .... ( ) iv) {16}∈A ... ( )

a) VVFF b) VFFV c) VVVF d) FFVV e) FVFV

45) Dado el conjunto:

C = {2; {3}; {5,2}}


i) {2}∈C ... ( ) ii) {2}⊂C ... ( ) iii) {{3}}∈C .... ( ) iv) {{3}}⊂C .... ( )

a) VVFF b) VFFF c) FVVF d) FFVV e) VFFF

46) De acuerdo al diagrama, ¿cuál es el conjunto ‘‘A∩B∩C’’?

a) {2; 4; 5; 6} b) {8} c) {5} d) {2; 5} e) {5; 6}

A B

C

1 2 65

89

4 8

47) En el diagrama mostrado cómo se puede expresar lo sombreado.

a) (A+B) b) (A∪B) c) (A∩B) d) (A−B)∪ (B −B) e) (A−B)

A B

48) Si A = {y/y ∈ N∧0 < y < 6}, entonces es cierto que:

a) 3 ∉A b) 9 ∈A c) 6 ∉A d) 0 ∈A e) 5 ∈A

49) Si: E = {4x/x ∈ N ∧ 1 < x < 7}, entonces no es cierto que:

a) 4 ∈E b) 7 ∈E c) 9 ∈E d) 2 ∉E e) 4 ∉E

50) Dado el conjunto: A = {2; 3; {1,7}; {7}}

indica cuántas de las siguientes expresiones son correctas.

I. 5∈A III. {{7}}⊂A II. {5}∈A IV. 3⊂A

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Nació en Mi-lán (Italia) un 16 de mayo de 1718. Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio, fue la mayor de 6 hermanos (4

hermanas y 2 hermanos). Desde pequeña conoció a gente muy inteligente y preparada: profe-sores universitarios, científicos, filósofos..., ya que su padre daba grandes fiestas y los invitaba. Sus padres la presentaban a sus importantes invitados como una niña prodigio y algunos de ellos instruyeron a María en diversos temas y ciencias.

Torre de Pisa Es una de las construcciones más

majestuosas que existen en Italia por su peculiar construcción. posee un ángulo de inclinación que le da una belleza especial.

María Gaetana Agnesi (1718 - 1799)


Aritmética


Conjuntos II

OBJETIVO

II. CLASES DE OPERACIONES

Aplicar el concepto de conjunto para resolver problemas.

Conocer las operaciones de conjuntos y sus aplicaciones con diagrama.

Las operaciones entre conjuntos son disposiciones específicas de combinar conjuntos para formar otros.

2.1. UNIÓN O REUNIÓN (∪)

A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}

2.2. INTERSECCIÓN (∩)

A ∪ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}

2.3. DIFERENCIA (–)

A – B = {x/x ∈ A y x ∉ B}

2.4. COMPLEMENTACIÓN

C(B) = B’ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ B}

2.5. DIFERENCIA SIMÉTRI- CA (∆)

A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A)

Identif icación de zonas para 2 conjuntos.

A B

1 2 3

Significa: 1 : Sólo «A» 2 : A y B 3 : Sólo B 1 y 2 : A 2 y 3 : B 1, 2 y 3: A o B

Identif icación de zonas para 3 conjuntos:

Significa: 1 : Sólo «A» 3 : Sólo B 7 : Sólo C 2 : Sólo A y B 4 : Sólo B y C 6 : Sólo A y C 5 : A, B y C 2 y 5 : A y B 4 y 5 : B y C 5 y 6 : A y C

A B1 2 3

C

65

4

7

I. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

III. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON CONJUNTOS

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión Intersección Diferencia

Complementación Diferencia Simétrica

273ro de Secundaria

Aritmética


El 2000 fue el Año Mundial de la

Matemática

A s í f u e d e c l a r a d o p o r

l a UNESCO, en apoyo

a la iniciativa de la Unión

Matemática Internacional.

Como se considera a la

matemática la pr incipal

portadora del pensamiento

racional, juega un papel

fundamental en la formación

de la persona.

Si A = {a, b, c, d, e, f, g} y B = {c, d, g, h, i}halla A ∆ B.

Resolución:

A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) = {a, b, e, f} ∪ {h, i}

A ∆ B = {a, b, e, f, h, i}

Una persona come huevos y tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de abril. Si comió tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas, ¿cuántas mañanas come huevo y tocino?

Resolución:

Usando un diagrama:

Tocino (25)

x

Huevos(18)

25 – x 18 – x

Si U = {1, 2, 3, 4, 5, ... 200} A = {x/x es divisor de 625} B = {x/x es divisor de 155}

Calcula n(A ∪ B)’.

Resolución:

En un aula hay 60 alumnos de los cuales a 7 no les gusta ni geometría, ni aritmética y a 35 les gusta sólo aritmética. ¿A cuántos les gusta geometría si a los que le gustan ambos cursos son 10?

Resolución:

Dados los conjuntos:A = {1, 2, 3, 4} ∧ B = {2, 6, 8},halla A ∩ B.

Resolución:

U(60)

10x 35

7

1

A B4

3

62

8

Demostración

C C(A) = A

C C(A)=C{U–A}=U–(U–A)=A

U – A

Ejemplo:

Ejemplo:

25 – x + x + 18 – x = 30

43 – x = 30

x = 13

Ejemplo:

A = {1, 5, 25, 125}B = {1, 5, 31, 155}A ∪ B = 6

Pero n(A∪B)’ = n(U) – n(A∪B)

⇒ 200 – 6 = 194

Ejemplo:

x + 10 + 35 + 7 = 60

x = 8

Ejemplo:

A ∩ B={2}


Aritmética


Nivel I

Dados los conjuntos:A = {a, b, c, d, e, f}; B = {f, e, z}Halla A ∆ B.

Resolución:

a

A Bb

c

ezd

f

Dados los conjuntos:U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 10} A = {2, 4, 6} y B ={1, 3,5},halla A’ y B’.

Resolución:

En el gráfico, halla x.

Resolución:

Ejemplo:

A ∆ B={a, b, c, d, z}

Ejemplo:

A’ = U – A = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}

B’ = U – B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

Ejemplo:

2x + x + x = 60

4x = 60

x = 15

1) En una peña criolla hay 32 artistas, de los cuales 16 son bailarines, 18 cantantes, y 12 cantan y bailan. ¿Cuántos artistas ni cantan, ni bailan?

a) 10 d) 14 b) 11 e) 15 c) 12

2) En una reunión de profesores 23 usan corbata, 16 usan anteojos, 10 usan solamente anteojos. Los que no usan corbata son el triple de los que usan solamente corbata. ¿Cuántos profesores estaban reunidos?

a) 77 d) 74 b) 83 e) 90 c) 51

3) De 100 personas 30 sólo hablan inglés y 50 hablan francés; el número de personas que hablan francés es quintuple de los que hablan sólo francés. ¿Cuántos hablan inglés?

a) 50 d) 80 b) 60 e) 90 c) 70

4) De 120 personas: 30 conocen sólo Argentina, 40 no conocen Brasil, el número de personas que conocen Brasil es el cuá-druple del número de personas que conocen Brasil y Argentina. ¿Cuántas personas conocen sólo Brasil?

a) 80 d) 50 b) 70 e) 40 c) 60

5) En una clase de 30 alumnos, 14 han sido aprobados en Matemática, 10 en Física y 5 en ambos cursos. ¿Cuántos alumnos han sido aprobados en un curso por lo menos?

a) 11 d) 19 b) 15 e) 20 c) 17

6) Para ir a trabajar a una fábrica de un grupo de 100 obreros, 30 van con polo y 40 con camisa de obrero. Si 60 van con polo o camisa, ¿cuántos obreros van con polo y camisa si hay obreros que van con otro tipo de ropa?

a) 5 d) 10 b) 7 e) 40 c) 9

7) A 60 alumnos de un salón les preguntaron por el deporte que practicaban y respondieron:

– 40 juegan fútbol. – 36 juegan voley. ¿Cuántos alumnos practican los

2 deportes si todos practican al menos uno de estos?

a) 20 d) 12 b) 14 e) 16 c) 18

8) En un salón de 100 alumnos que practican Álgebra y/o Geometría:

– 80 practican Geometría. – 60 practican Álgebra. ¿Cuántos practican un solo

curso?

a) 60 d) 50 b) 40 e) 30 c) 20 9) Durante el mes de diciembre,

Rafael va a misa o al teatro. Si 18 días va a misa y 20 días va al te-atro, ¿cuántos días va solamente a misa?

a) 7 d) 11 b) 12 e) 9 c) 10

A B

2x xx

U(60)

293ro de Secundaria

Aritmética


10) En una peña criolla trabajan 32 artistas, de éstos 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no bailan ni cantan es:

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

14) De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se escribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especiali-dades, ¿cuántos se inscribieron en ambas disciplinas?

a) 30 d) 10 b) 25 e) 34 c) 35

13) Una academia deportiva tiene 80 miembros de los cuales 30 no practican ni atletismo ni fulbito, 20 practican atletismo y 6 practican fulbito y atletismo. ¿Cuántos practican sólo uno de estos deportes?

a) 30 d) 44 b) 38 e) 25 c) 20

12) En un avión viajan 120 personas, de las cuales:

– La tercera parte de ellas beben. – La quinta parte de ellas fuman. – 18 personas fuman y beben. ¿Cuántas personas no fuman ni

beben?

a) 74 d) 48 b) 62 e) 31 c) 83

11) De un grupo de 40 personas se sabe que 14 de ellas no estudian ni trabajan, 10 personas estudian, y 3 estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades?

a) 23 d) 30 b) 24 e) 50 c) 25

15) De un total de 12 camiones que transportan papas o camotes, 5 camiones transportan sólo papas y 6 transportan papas y camotes. ¿Cuántos camiones transportan sólo camotes?

a) 3 b) 4 c) 1d) 5 e) 2

Nivel II

16) ¿Cuántos estudian sólo francés?

a) 100 b) 200 c) 400 d) 350 e) 380

Enunciado (preg. 16, 17 y 18) En una escuela de 600 alumnos, 100

alumnos no estudian ningún idioma extranjero, 450 estudian francés y 50 estudian francés e inglés.

17) ¿Cuántos estudian inglés?

a) 50 b) 100 c) 150d) 200 e) 60

18) ¿Cuántos estudian sólo inglés?

a) 50 b) 60 c) 40d) 60 e) 100

19) En una competencia atlética conformada por 15 pruebas pa r t i c ip a ron 50 a t l e ta s , observándose que al final 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce; 7 conquistaron medallas de oro y plata; 6 plata y bronce y, 8 oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas?

a) 28 b) 20 c) 24 d) 22 e) 26

20) En una encuesta realizada a 120 personas sobre cierta preferencia, se obtuvo las respuestas ‘‘sí’’ de parte de 80 personas y ‘‘por supuesto’’ de 50 personas. ¿Cuántas personas no respondieron las frases anteriores si el número de personas que res pondieron ‘‘sí’’ y ‘‘por supuesto’’, es la cuarta parte de los que dijeron ‘‘sí’’ solamente?

a) 10 b) 8 b) 7d) 6 e) 3

21) En una biblioteca había 17 personas, de las cuales 6 leyeron la revista A, 9 la revista B y 6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántos no leyeron las revistas A ni B?

a) 6 d) 4 b) 7 e) 12 c) 8

22) De un total de 85 universitarios, 42 estudian inglés, 56 estudian computación y 15 no estudian nin-guno de estos dos cursos. ¿Cuántos estudian inglés y computación?

a) 18 d) 40 b) 28 e) 52 c) 35

23) En una empresa trabajan 100 personas, entre contadores, economistas e ingenieros; 45 de ellos tienen sólo una de estas profesiones: de los contadores 25 son economistas y 27 son ingenieros, y 33 son economistas e ingenieros. ¿Cuántos de los referidos trabajadores tienen tres profesiones?

a) 20 d) 18 b) 16 e) 13 c) 15

24) De un grupo de 60 turistas que viajó al interior del país se ob-tuvo la siguiente información:

– 20 personas visitaron sólo Cuzco.

– 16 personas visitaron sólo Iquitos.

– 8 personas visitaron sólo Huaraz y el mismo número visitaron Cuzco y Huaraz.

– 7 personas visitaron Huaraz e Iquitos.

– 4 personas visitaron Iquitos y Cuzco.

– 3 personas visitaron las tres ciudades.

¿Cuántas personas visitaron Cuzco o Huaraz?

a) 25 d) 41 b) 30 e) 46 c) 40


Aritmética


Nivel III25) De 55 alumnos se obtuvo: – 32 estudian Excel. – 22 estudian Windows. – 45 estudian Word. – 15 estudian los tres cursos. ¿Cuántos estudian sólo dos cursos?

a) 36 d) 29 b) 32 e) 16 c) 14

26) Dados los conjuntos «A» y «B», se sabe que:

n(A) = 30 ; n(B) = 18 ; n(A∪B)= 40. Halla n(A∩ B).

a) 7 d) 12 b) 8 e) 15 c) 10

27) Si se sabe que: n(A ∪ B) = 70 y n(A – B) = 18 y n(A) = 41; halla n(A ∆ B).

a) 42 d) 47 b) 45 e) 48 c) 46

28) En un estante se encontraron 85 libros: 29 libros son de física sola-mente; 34 libros son de química y 13 libros son de física y química.

¿Cuántos libros son de otras materias?

a) 25 d) 22 b) 28 e) 45 c) 35

29) En la biblioteca había 17 chicas de las cuales 6 leyeron la revista «A», 9 la revista «B» y 6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántos no leen ninguna revista?

a) 8 d) 13 b) 29 e) 14 c) 12

30) Treinta personas ven el canal A, 35 personas ven el canal B y si 20 personas de las que ven el canal «A» también ven el canal «B». ¿Cuántas personas conforman el grupo?

a) 40 d) 55 b) 45 e) 60 c) 50

31) A 30 alumnos, se les toma examen de inglés y castellano con los siguientes datos: 20 aprueban castellano, 18 aprueban inglés y 12 alumnos aprueban ambas asignaturas. ¿Cuántos alumnos no aprueban ninguno de estos 2 cursos?

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

32) De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 revistas (A, B y C) se observa que ellas: 40 leen las revistas A y B, 50 leen B y C y 60 leen A y C. ¿Cuántas personas leen las 3 revistas?

a) 22 d) 28 b) 42 e) 25 c) 26

33) De 162 vendedores ambulantes, 60 venden camisas y blusas; 40 camisas y pañuelos; 50 blusas y pañuelos y 40 venden sólo una clase de esas prendas. ¿Cuántos ambulantes venden por lo menos los 3 tipos de prendas mencionadas?

a) 14 d) 24 b) 20 e) 100 c) 15

34) Richard come huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas durante 31 días. Si 17 mañanas comió huevos y 25 mañanas comió frutas. ¿Cuántas mañanas comió ambas cosas?

a) 9 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11

35) En una fiesta de 150 personas se observó que 80 consumieron gaseosa, 90 consumieron ponche y 30 no consumieron ningún tipo de bebida. ¿Cuántas personas consumieron los dos tipos de bebida?

a) 40 d) 30 b) 50 e) 80 c) 60

36) De un total de 60 deportistas que practican fútbol o natación se sabe que 38 practican fútbol y 32 practican natación. ¿Cuántos practican ambos deportes?

a) 8 d) 14 b) 10 e) 16 c) 12

37) Durante el mes de agosto, Enrique salió a pasear con Angélica o Beatriz. Si 17 días paseó con Angélica y 23 días con Beatriz, ¿cuántos días paseó sólo con una de ellas?

a) 22 d) 18 b) 21 e) 10 c) 20

38) Un alumno de 4.º A comió queso o jamón en el desayuno, cada mañana durante el mes de junio. Comió 24 mañanas jamón y 17 mañanas queso. ¿Cuántas mañanas comió queso y jamón?

a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12

39) De 400 alumnos se sabe que 140 practican full contact, 160 practican karate y 120 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican ambos deportes?

a) 10 d) 25 b) 15 e) 30 c) 20

40) En una encuesta realizada a 450 personas sobre la bebida de su preferencia, 280 prefieren Inka Cola, 190 prefieren Coca Cola y 110 prefieren otras bebidas. ¿Cuántas personas prefieren ambas bebidas mencionadas?

a) 130 d) 145 b) 140 e) 150 c) 135

313ro de Secundaria

Aritmética


Una adivinanza

Augustus de Morgan (¿ – 1871) fue un matemático inglés nacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzas y problemas ingeniosos. Este personaje nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanza sobre su edad:«El año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?»

41) En una encuesta realizada a 101 jóvenes sobre el conjunto de embutidos se obtuvo que 37 consumen solo hot dog; 24 consumen solo jamonada y los que consumen hot dog y jamonada son la cuarta parte de los que consumen otros embutidos, ¿cuántos consumen hot dog?

a) 37 d) 43 b) 39 e) 45 c) 4142) De un grupo de 200 deportistas se

sabe que 130 son limeños y 140 hacen pesas. Si 32 deportistas no son limeños y hacen pesas, ¿cuántos deportistas limeños no hacen pesas?

a) 20 d) 28 b) 22 e) 32 c) 26

43) De un grupo de 89 deportistas, 20 practican baile y 58 no fuman, los que son bailarines pero no fuman son 17, ¿cuánto suman los deportistas que fuman pero que no practican baile con los deportistas que sí practican baile pero no fuman?

a) 10 d) 16 b) 42 e) 45 c) 43

44) En un salón de clases de la universidad San Marcos hay 65 alumnos, de los cuales 30 son hombres; 40 son mayores de edad y 12 mujeres son menores de edad. ¿Cuántos hombres no son mayores de edad?

a) 10 d) 15 b) 12 e) 18 c) 13

45) De 68 asistentes a un espectáculo se sabe que el número de hombres casados es el doble del número de mujeres solteras. Si el número de casados es 21, de los cuales 4/7 son hombres, hallar la diferencia entre el número de mujeres casadas y hombres solteros.

a) 32 d) 15 b) 31 e) 40 c) 14

46) Dados los conjuntos «A» y «B» se cumple:

n(A ∪ B) = 30 n(A – B) = 12 n(B – A)= 7

Halla n(A) + n(B).

a) 42 d) 32 b) 41 e) 33 c) 36

47) De 90 alumnos de un club deportivo se sabe que 42 practican fútbol, 38 basquet, 34 voley, 5 practican los 3 deportes, y 13 no practican ninguno de ellos. ¿Cuántos practican tan solo uno de los deportes mencionados?

a) 38 d) 42 b) 35 e) 27 c) 45

48) En una escuela de 135 alumnos, 90 practican natación, 55 practican karate y 75, ping pong. Veinte alumnos practican los 3 deportes y 10 no practican ninguno de ellos. ¿Cuántos alumnos practican exactamente 2 de los deportes mencionados?

a) 50 d) 60 b) 45 e) 35 c) 55

49) En el conservatorio de música hay 250 alumnos de los cuales 100 estudian guitarra, 120 violín y 100 trompeta, además 54 estudian guitarra y violín; 30 violín y trompeta, 46 guitarra y trompeta. Además 10 personas estudian todos los instrumentos. ¿Cuántas personas no estudian ninguno de estos instrumentos?

a) 200 d) 72 b) 150 e) 50 c) 55

50) En una competencia atlética conformada por 15 pruebas pa r t i c i pa ron 50 a t l e t a s . Observándose que al final: 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce, 7 conquistaron medallas de oro y plata, 6 de plata y bronce, 8 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas?

a) 28 d) 22 b) 26 e) 20 c) 24


Aritmética


La diferencia que existe entre los necios y los hombres de talento suele ser sólo que los primeros dicen necedades y los segundos las cometen.

Mariano José de Larra

1) En una encuesta realizada a 120 alumnos sobre cierta preferencia, se obtuvo las respuestas «sí» de parte de 80 alumnos y «por supuesto» respondieron 50 alumnos. ¿Cuántos alumnos no respondieron las frases anteriores si el número de alumnos que respondieron «sí», «por supuesto» es la cuarta parte de los que dijeron «sí» solamente?

a) 10 d) 6 b) 8 e) 3 c) 7

2) De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades, ¿cuántos se inscribieron en ambas disciplinas?

a) 25 d) 0 b) 30 e) 5 c) 35

3) En una colonia china 3480 comen arroz sin sal y 5700 comen arroz con sal; si los que no comen arroz son el doble de los que comen arroz con sal y sin sal. ¿Cuántos comen arroz, si en total hay 1000 chinos?

a) 400 d) 820 b) 700 e) 1640 c) 280

4) Un club de natación tiene 38 nadadores de estilo libre, 15 de estilo mariposa y 20 de estilo pecho. Si el número total de nadadores es 58 y solo 3 de ellos practican los tres estilos, ¿cuántos practican exactamente un solo estilo?

a) 39 d) 35 b) 49 e) 20 c) 40

5) En un conjunto de personas se determinó que 10 hablan inglés, 20 español, 5 inglés y francés, 4 solamente inglés y francés, 6 solamente español y francés, y 2 únicamente inglés. ¿Cuántas personas en total hablan únicamente español o los tres idiomas?

a) 10 d) 11 b) 12 e) 13 c) 14

333ro de Secundaria

Aritmética


Numeración I

OBJETIVONUMERACIÓN I

Conocer las diferentes bases de numeración.

Expresar un número en su forma polinómica.

Es un conjunto de reglas que nos permite nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y signos o cifras.

2.1. PRINCIPALES SISTEMAS

Base Sistema Cifras Disponibles

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Binario

Ternario

Cuaternario

Quinario

Senario

Septenario

Octal

Nonario

Decimal

Undecimal

Duodecimal

0, 1

0, 1, 2

0, 1, 2, 3

0, 1, 2, 3, 4

0, 1, 2, 3, 4, 5

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

I. NUMERACIÓN

II. SISTEMA DE NUMERACIÓN

Descomposición Polinómica

Principales Sistemas de Numeración

Observación

A partir de base 11 se usa la representación:

αα12 o (10)(10)12 → tiene 2 cifras

10 = (10) = α11 = (11) = β12 = (12) = γ

Ejemplo:

310(11)15 →tiene 4 cifras


Aritmética


Demostración

2.2 DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO

Observemos el siguiente ejemplo:

Descompón:

7326 : 7000 + 300 + 20 + 6

7x103 + 3x102 + 2x10 + 6 Descomposición polinómica de 7326

121(3)= 1 x 32 + 2 x 3 + 1

9 + 6 + 1

16 (Base 10)Base ≠ de 10

De 2 cifras: aa : 22 De 3 cifras: aba : 313; 5556

De 4 cifras : abba : 1221; 44447 De 5 cifras: abcba : 357539; 66666

De a Uno:* abcdn = a. n3 + b.n2 + c.n + d

* 2234 = 2.42 + 2.4 + 3

* 270349 = 2.94 + 7.93 + 3.9 + 4

Por Grupos:

34925 = 34.103 + 9.102 + 25

13257 = 137.72 + 257

234569 = 2349.92 + 569

abababn = abn . 10101n

ababn = abn . 101n

abcabc7 = abc7 . 10017

En sus comienzos, el hombre numeraba las cosas con los dedos. Si quería decir 1, levantaba un dedo, si deseaba decir 2, levantaba dos dedos, y así sucesivamente. Con las dos manos podía contar hasta 10. Para señalar un número mayor hacía girar las manos: dos veces por 20, tres para 30, etc. Algunos pueblos utilizaban, además, los dedos de los pies como complemento.

Número Capicúa o Simétrico

Descomposición Polinómica (DP)

Los Números Romanos

El origen exacto o la razón por la cual emplearon rayas verticales para indicar el 1, 2, 3 y 4 no se conoce, pero la opinión más generalizada es que provienen de los dedos de las manos; el 5 provendría entonces de una mano abierta, que se fue simplificando hasta quedar en forma de V; el X resultaría de la unión de dos cincos. Lo real es que emplearon también algunas letras de su alfabeto, como se puede observar a continuación:

En un numeral indicado de base «n» toda cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades «n» veces la que está a su derecha.

7 8 5 6La posición del 8 (centenas) es 10 veces la posición del 5 (decenas) pues 1 centena = 10 decenas.

6 2 3 47«La posición del 2 vale 7 veces la posición del 3».«La posición del 6 es 7 veces la posición del 2».

Sea:N = abc ...... pqt un número de m cifras

⇒ abc ...... pqt=

⇒ ax10m–1+bx10m–2+cx10m–3 .... + qx10+ t

Demostración:

Grado del polinomio: (número de cifras)–uno = m–1

Luego:

N : ax10m–1+bx10m–2+cx10m–3 .... + qx10+ t

Ejemplo:

353ro de Secundaria

Aritmética


Ejemplo:

Convierte 546(7) a base 10.

Resolución:

Halla el valor de «n» si 123(n)= 231(5).

Resolución:

Halla el valor de «n» si:

a0a(n) = (2a)a(2n)

Resolución:

Halla a + b + C, si CCC(8) = ab1 .

Resolución:

¿En qué sistema de numeración se cumple que el número 370 del sistema decimal es igual a 226?

Resolución:

Indica en qué sistema de numeración se realizó:

41 – 32 = 5

Resolución:


Resolución:

Halla «a + b» si ab(4) = 14.

Resolución:

⇒ 5 x 72 + 4 x 7 + 6

⇒ 5 x 49 + 28 + 6 = 279

546(7) = 279

Ejemplo:

⇒ 1 x n2+2n+3 = 2x52 + 3x 5 + 1

⇒ n2 + 2n + 3 = 50 + 15 + 1

⇒ n2 + 2n + 3 = 66

⇒ n2 + 2n – 63 = 0

n +9 n –7

∴ n = 7

Ejemplo:

Descomponiendo polinómicamente:

a0a(n) = (2a)a(2n)

⇒ an2 + 0n +a = (2a)(2n) + a⇒ an2 = 4an

n = 4

Ejemplo:

⇒ C . 82 + C . 8 + C = ab1

⇒ 64C + 8C + C = ab1

⇒ 73C = ab1

7⇒ 73(7) = ab1

⇒ 511 = ab1

⇒ a + b + C = 5 + 1 + 7

a + b +C = 13

Ejemplo:

⇒ 370 = 226(n)

⇒ 370 = 2 x n2 + 2 x n + 6

⇒ 364 = 2 (n2 + n)

⇒ 182 = n(n + 1)

⇒ 13 x 14 = n (n + 1)

∴ n = 13

Ejemplo:

Ejemplo:

⇒ 41(x) – 32(x) = 5(x)

⇒ (4x + 1) – (3x + 2) = 5

x = 6 → sistema senario

⇒ 121(5) = 1 x 52 + 2 x 5 + 1

⇒ =25 + 10 + 1

121(5) = 36

Ejemplo:

Por descomposición polinómicamente:

⇒ 4a + b = 14

⇒ 4a + b = 4 x 3 + 2

⇒ a + b = 3 + 2

a + b = 5


Aritmética


Nivel II

Nivel I

1) Calcula a + b si ab(9) = ba(7) .

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

8) Si aba(5) = 2ba(7) halla a.b.

a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

15) Determina el valor de "a" si: 13(a–1)a = (a + 1) (a / 2)8

a) 1 d) 6 b) 4 e) 3 c) 2

2) Calcula a + b si abb(9) = bba(6).

a) 6 d) 9 b) 7 e) 12 c) 8

3) Calcula: I) a + b si ab(5) = 14.

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

II) a + b + c si abc(3) = 15.

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

4) Halla x en 42(x) = 22.

a) 9 d) 6 b) 8 e) 5 c) 7

5) Si 3x7(9) = 322, halla x.

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

6) Si ab(7) = ba(4), halla a + b.

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

7) Si ab = 3a + 3b, halla b – a.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

9) Halla el valor de x en 90 = 230(x).

a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

10) Halla el valor de n en 213n= 81.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

11) Halla a si 3a4(7) = 186.

a) 6 d) 9 b) 7 e) 5 c) 8

12) Si 3a4(7), aa8(b), bb y 25(a) están correctamente escritos, además

2c2c(7) = 1000, halla a + b+ c.

a) 17 d) 20 b) 18 e) 21 c) 19

13) Si los numerales están co-rrectamente escritos, halla m+n+p.

n23(m) ; p21(n); n3m(6) ; 1211(p)

a) 12 d) 10 b) 11 e) 13 c) 15

14) Un número se escribe en el sistema binario como 101010. ¿ En qué base se representará como 132?

a) 6 d) 8 b) 5 e) 9 c) 7

16) Sabiendo que aaa7 = bc1, halla a + b + c.

a) 9 d) 7 b) 8 e) 11 c) 12

17) A un número de 2 cifras se le agrega dos ceros a la derecha, au-mentándose el número en 4752. Calcula el número original.

a) 40 d) 64 b) 48 e) 72 c) 56

18) Halla un número de 2 cifras, cuya suma de cifras es 10 y al invertir el orden de sus cifras el número disminuye en 36 unidades. Da como respuesta el producto de las cifras del número pedido.

a) 21 d) 40 b) 30 e) 50 c) 33

19) Halla un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas, dé como resultado 72. Da como respuesta la suma de cifras.

a) 13 d) 9 b) 12 e) 8 c) 10

373ro de Secundaria

Aritmética


20) Halla a.b si: ab(5)+ ba(6)+ aa(7)+ bb(8) = 74

a) 12 d) 7 b) 6 e) 13 c) 10

21) Un número de 3 cifras del sistema de base 7 se escribe en la base 9 con las mismas cifras pero colocadas en orden inverso. Ex-presa el número en base decimal y da la suma de sus cifras.

a) 14 d) 17 b) 15 e) 18 c) 16

22) Se tiene un número de dos cifras al que se le invierte el orden de sus cifras. La diferencia de los cuadrados de ambos números es 891. Halla el número y da su suma de cifras.

a) 7 d) 4 b) 9 e) 8 c) 5

23) Halla 26 en base 2. ¿Cuál es la suma de sus cifras?

a) 2 d) 4 b) 1 e) 5 c) 0

24) Dado el numeral capicúa: a (b + 1)(7 – b)(8 – a) halla «a+b».

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

25) Si el numeral es de la forma: (a – 2)a (3a), calcular a2+2a+3

a) 13 d) 12 b) 10 e) 18 c) 15

26) Si al numeral ab de cifras significati-vas le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras, se obtiene 72. Halla «a+b».

a) 7 d) 10 b) 3 e) 12 c) 9

27) ¿Cuántos numerales de 2 cifras significativas cumplen que al incrementarles el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras resulta 55?

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

28) ¿Cuántos numerales son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

29) Si «A» es un numeral de 3 cifras y «B» es otro numeral de 2 cifras, halla el mayor valor que puede tomar «A–B». Da la suma de cifras del resultado.

a) 25 d) 19 b) 26 e) 17 c) 27

30) Un numeral de 3 cifras que em-pieza en la cifra 2 es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Halla el producto de sus cifras.

a) 36 d) 48 b) 39 e) 56 c) 42

31) Halla un numeral de tres cifras cuya cifra de segundo orden sea el doble de la cifra de primer orden y la cifra de tercer orden sea el triple de la cifra de segundo orden. Indicar la suma de sus cifras.

a) 10 d) 6 b) 7 e) 12 c) 9

32) Si a – b= 2 y ab + ba = 132, halla «a.b».

a) 21 d) 35 b) 28 e) 38 c) 32

33) Juan tiene ab años y dentro de «7a» años tendrá 56. Halla «a + b».

a) 7 d) 10 b) 8 e) 12 c) 9

34) Si a un numeral de 3 cifras que empieza con la cifra 6 se le suprime esta cifra, el numeral resultante es 1/26 del numeral original. Halla el producto de las cifras del numeral.

a) 36 d) 72 b) 60 e) 56 c) 48

35) Halla el mayor numeral de dos cifras significativas, tal que al su-marle el numeral que se obtiene de invertir el orden de sus cifras se obtiene 77.

a) 52 d) 72 b) 81 e) 61 c) 62

36) Halla el numeral de dos cifras que sea igual a 3 veces la suma de sus cifras. Da como respuesta la diferencia de sus cifras.

a) 4 d) 2 b) 5 e) 1 c) 8

37) Si se cumple abab=N.ab, halla la suma de cifras de «N».

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

38) Halla un numeral de tres cifras que empieza en la cifra 4, tal que al eliminar esta cifra, se obtiene un numeral que es 1/17 del número original. Indica la suma de sus cifras.

a) 9 d) 12 b) 10 e) 15 c) 11

Nivel III


Aritmética


Una Comparación que felizmente no se dio...

Uno de los dinosaurios más famosos y conocidos es, sin duda, el Tiranosaurio.Tyrannosaurus rex, su nombre científico significa «Rey Reptil Tirano».El primer descubrimiento de restos de este animal fueron encontrados en Montana. EE.UU., en 1902, por Barnum Braw quien lo bautizó en primera instancia como Dinamosaurus imperiosus.La polémica de si el T–rex era cazador o carroñero está dividida entre los diversos investigadores.El T–rex poseía una característica mandibular excepcional, al atacar a su presa o al tragar la carne, tenía la capacidad de expandir sus mandíbulas hacia los lados de manera que podía abrir más su hocico. Este carácter confirma la propuesta como cazador, aunque esto no quería decir que en ocasiones se haya alimentado de animales muertos.

Paleorreconstrucción:El T–rex en la posición actual y comparado con una figura humana. El T–rex tenía una altura de 7m, algo así como 2 pisos, mientras que un hombre actual tiene en promedio 1,80m, es decir, el T–rex tiene 5,2 m más, casi el cuádruple de la altura de un hombre.

39) Un numeral de dos cifras es tal que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un segundo numeral que excede en 5 al triple del primero. Halla la diferencia de cifras del numeral.

a) 4 d) 7 b) 5 e) 2 c) 6

40) Calcula el producto de cifras de un numeral capicúa de 3 cifras que es igual a 23 veces la suma de las cifras diferentes.

a) 3 d) 9 b) 6 e) 10 c) 12

41) Si se cumple lo siguiente: 546(n) = 42n(8), halla n2 + n.

a) 72 d) 56 b) 42 e) 30 c) 90

42) Si se cumple: 320(n) = 206(5), halla n2 – n.

a) 20 d) 2 b) 6 e) 30 c) 12

43) Si se cumple: 373(n)=251, halla (n+1)(n–1).

a) 35 d) 48 b) 80 e) 24 c) 63

44) Expresa 121n + 11n en base n+1 si n > 2.

a) 110 d) 111 b) 100 e) 120 c) 101

45) Expresa 156n en base (n+2) si n>6.

a) 100 d) 110 b) 101 e) 120 c) 111

50) ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a siete veces la suma de sus cifras?

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

49) Un número aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93. Halla la suma de sus cifras.

a) 11 d) 6 b) 7 e) 8 c) 9

48) Un número está compuesto por 3 cifras. La cifra de las centenas es 4 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Da como respuesta el producto de dichas 3 cifras.

a) 90 d) 36 b) 64 e) 80 c) 48

47) La suma de cifras de un número es 14 y si al número se suma 36, las cifras se invierten. Da como respuesta la diferencia de las cifras de dicho número de dos cifras.

a) 3 d) 2 b) 4 e) 1 c) 5

46) Halla «n» si 1111(n) = 85.

a) 5 d) 7 b) 4 e) 8 c) 6

393ro de Secundaria

Aritmética


"Me preguntas ¿qué es Dios?, no sé qué decirte; lo que sí puedo afirmar es que siempre será mucho más de lo que la naturaleza humana puede ofrecerte".

Francisco Jaramillo

1) Expresa en base 10 el numeral 1235.

a) 38 d) 37 b) 35 e) 80 c) 36

2) Si 2x3y; z1x; 312z ; yy7 están correctos, halla x + y – z.

a) 7 d) 4 b) 5 e) 3 c) 8

3) Si a un número de tres cifras se le agrega un 5 al comienzo y otro al final, el número obtenido es 147 veces el número original. Da como respuesta la suma de las cifras del número original.

a) 10 d) 13 b) 11 e) 12 c) 14

4) La cifra de las decenas de un número de dos cifras es igual al doble de la de las unidades. Cuando se invierte el orden de sus cifras este número disminuye en 27. ¿Cuál es el número?

a) 39 d) 36 b) 63 e) 33 c) 93

5) Si a un número de tres cifras se le invierte la cifra de las unidades a la decenas, aumenta en 45; si se invierte la cifra de las decenas y centenas, disminuye en 270. Si se invierte las cifras de las unidades con las centenas, ¿cuál de las alternativas es verdadera?

a) Disminuye en 198 b) Aumenta en 130 c) Disminuye en 130 d) Aumenta en 198 e) Aumenta en 99


Aritmética


Numeración II

OBJETIVOSNUMERACIÓN II

Cambios de Bases

1.1. MÉTODO: DIVISIONES SUCESIVAS

Convierte 583 a base 2.

Se divide hasta que los residuos sean menores que la base que se pide, marcando los residuos y el último cociente.

Luego: 583 = 1001000111(2)

583 2 18 291 2 3 –9 145 2 1 11 5 72 2 1 1 12 36 2 0 18 2 0 0 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1

1.2. DEL SISTEMA DE BASE «N» AL SISTEMA DE BASE «K» (N ≠ K ≠ 10)

Métodos a emplear:

Descomposición polinómica.

Divisiones sucesivas.

I. DEL SISTEMA DE BASE 10 A UN SISTEMA DE BASE N

1.er Método:

Descomposición Polinómica:

12345 = 1 x 53 + 2 x 52 + 3 x 5 +4 = 194

Ejemplo:

El alumno al terminar el presente capítulo será capaz de convertir números de bases diferentes.

Podrá resolver problemas de apl icación de bases diferentes.

Ejemplo:

235(7) a base 3.

1. Descomposición polinómica

235(7) = 2 x 72 + 3 x 7 + 5 235(7) = 98 + 21 + 5 = 124

2. Divisiones sucesivas:

124 3

–4 41 3

1 11 13 3

2 1 4 3

1 1

∴ 124 = 11121(3)

413ro de Secundaria

Aritmética


Demostración

2.º Método:

Ruffini

1 2 3 4 5 5 35 190 1 7 38 194

Convierte un número de base «n» a base «m».

1.er Paso : Descomposición polinómica

N = 3 x 43 + 0 x 42 + 1 x 4 + 2N = 198

2.º Paso :

198 8 6 24 8 0 3

Luego : 3012(14) = 306(8)

Numeración China

Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo, aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero, siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aun así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10.

Templo de Partenón

Existe unanimidad al afirmar que las matemáticas se desarrollaron en Grecia a lo largo de los siglos VII y VI antes de Cristo, una vez que los griegos formalizaron un alfabeto más o menos uniforme, aunque los his tor iadores modernos admiten que nuestros conocimientos sobre la ciencia de esa época carecen de un sólido fundamento.

Expresa 3012(4) en base 8.

Demuestra que:

0,7948 = 7 x 10–1 + 9 x 10–2 +4 x 10–3 + 8 x 10–4

Descomponiendo polinomicamente:

0,7948 = 0,7 + 0,009 +0,004 + 0,0008

0,7948 = + + +

0,7948 = + + +

∴ 0,7948 = 7 x 10–1 + 9 x 10–2 +4 x 10–3 + 8 x 10–4

710

9100

41000

810000

7101

9102

4103

8104

El número áureo se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo en el Partenón, su planta es un rectángulo en el que la relación entre el lado mayor y el lado menor es dicho número.La sección áurea se usó mucho en el renacimiento, parti-cularmente en las artes plásticas y la arquitectura.

Ejemplo:


Aritmética


Ejemplo:

La torre Eiffel de 320 metros de alto, en París, hecha en 1889, t iene 12000 piezas metálicas y 2500000 remaches y ningún obrero murió en su construcción.

Si se cumple 2153(n) = 1abc(7), hallaa + b + c + n.

Resolución:

⇒ 2153(n) = 1abc(7)

⇒ 5 < n < 7 ∴ n = 6

Reemplazando:

⇒ 2153(6) = 1abc(7)

⇒ 2153(6) = 2 x 63+1x 62+5x6+3

⇒ 2153(6) = 501

501 7

4 71 7

1 10 7

3 1

⇒ 2153(6) = 1314(7) = 1abc(7)

∴ a+b+c+n = 3+1+4+6 =14

Halla a + b + c en abc(4) = 17.

Resolución:

Halla aab si aa0b(4)=82.

Resolución:


Resolución:

Si mp(7) es igual al triple de pm(7), calcular p + m.

Resolución:

Expresa el numeral 352(6) a base 7.

Resolución:

Si se cumple xxx(11)+xx(11)– x(11)=ab8,calcula «a + b – x».

Resolución:

3

Ejemplo:

17 4 1 4 4 1 1

∴ 1 + 1 + 1 = 3

Ejemplo:

82 4 2 20 4 0 5 4 1 1

⇒ 1102(n)= aa0b(4)

∴ 112 = 1

Ejemplo:

⇒ 121(3)= 1 x 32 + 2 x 3 + 1

⇒ 121(3)= 9 + 6 + 1 = 16

16 2 0 8 2 0 4 2 0 2 2 0 1

∴ 121(3)= 10000(2)

Ejemplo:

⇒ mp(7)= 3 (pm(7))

⇒ 7m + p = 3 (7p + m)

⇒ 4 m = 20 p

⇒ 1 m = 5 p

⇒ p + m = 1 + 5

p + m = 6

Ejemplo:

⇒ 352(6)= 3 x 62 + 5x 6 + 2 = 140

140 7 0 20 7 6 2

352(6)= 260(7)

Ejemplo:

⇒ [x(11)2 +x(11)+x] + x(11)+x] + x = ab8

⇒ 133x + 12x + x = ab8

⇒ 146 x = ab8

⇒ 438 = ab8

⇒ a + b – x = 4 + 3 – 3

∴ a+b – x = 4

433ro de Secundaria

Aritmética


Nivel II

Nivel I

Expresa 120(2) a base 3.

Resolución:

Ejemplo:

i. 1x 22 + 2 x 2 + 0 ⇒ 4 + 4 + 0 = 8

ii. 8 3 2 2

∴ 120(2) = 22(3)

2) Si abbc8=41759, halla a+b+c.

a) 11 d) 14 b) 12 e) 15 c) 13

3) Hallar "a" si: aaaa(6) = 635(9)

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

4) Convierte 356 a base 8.

a) 276(8) d) 544(8) b) 121(8) e) 454(8) c) 134(8)

5) Expresa : 2714(9) en base 5.

a) 31123(5) d) 11213(5) b) 1124(5) e) 1231(5) c) 21411(5)

6) Expresa 10111011(2) en base ocho.

a) 273(8) d) 277(8) b) 274(8) e) 270(8) c) 275(8)

7) Halla n si 4bc(9) = 7rs(n).

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

8) Si b3c3(a)=aa3(5), halla a+ b+c.

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

9) Si x55(y)=(x–1)xx(7), halla x+y.

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

10) Calcula: a + b + n si: ab5(n) = 1n4(7)

a) 11 d) 14 b) 12 e) 15 c) 13

11) Halla a + b + c, si aabc(7) = babb(5)

a) 4 d) 9 b) 5 e) 10 c) 8

12) Halla a2 + b2 + c2 si : abc(8) = cba(17)

a) 33 d) 36 b) 34 e) 32 c) 35

13) I) Escribe 1000 en base siete.

a) 6262(7) d) 4314(7) b) 2626(7) e) 3626(7) c) 3131(7)

II) 13204 en el sistema decimal.

a) 100 d) 130 b) 120 e) 150 c) 124

14) Expresa mayor número de tres cifras del sistema nonario, en base diez.

a) 720 d) 726 b) 724 e) 728 c) 722

15) El mayor número de dos cifras del sistema decimal, expresalo en el sistema binario e indica la suma de sus cifras.

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

16) Expresa en el sistema senario el menor número de tres cifras diferentes de la base 8.

a) 1326 d) 1246 b) 1506 e) 1256 c) 1336

17) Expresa en base 9, el menor número de la base 6 cuya suma de cifras sea 18.

a) 11859 d) 349 b) 12859 e) 2439 c) 11589

18) Si se cumple : abc8 = 1036n, halla a + b + n.

a) 15 d) 24 b) 18 e) 26 c) 20

19) Halla n si: 455(n) = 354(n + 1)

a) 6 d) 8 b) 7 e) 9 c) 5

1) Halla a + b en ab(9) = 135(7) .

a) 11 d) 14 b) 12 e) 15 c) 13


Aritmética


Nivel III

20) Halla a+ b en : 3(2a)6 = 4ab

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

21) Si se cumple: 1312(101n) = 1312, halla n. a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

22) El menor número de 4 cifras de la base n se escribe en la base diez como 5ab.

Halla a + b + n y expresa el resultado en base 2.

a) 10032 d) 11112 b) 10112 e) 5002 c) 1012

23) El cuádruplo de un número es de la forma ab , pero si al número se le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2, se obtiene ba. Halla (a–b).

a) 1 d) 5 b) 2 e) 8 c) 3

24) Si se cumple 4a(ab) = a0a8

además (n–2)(n2)(n+4)= cde(7),

halla a + b + c + d + e + n.

a) 15 d) 17 b) 13 e) 12 c) 14

25) Calcula «a + b + c» si los numerales están correctamente escritos: 10a(4); 2bc(a); bb(c)

a) 5 d) 3 b) 6 e) 8 c) 7

26) Halla «n» si se sabe: 43(n) + 56(n) = 131

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

27) Halla a + b + c si se cumple: 315(8) = abc(6)

a) 10 d) 13 b) 9 e) 8 c) 12

28) Convierte 543(6) a base 4.

a) 3233(4) d) 222(4) b) 5222(4) e) 3332(4) c) 3033(4)


a) 323(8) d) 543(8) b) 353(8) e) 555(8) c) 549(8)


a) 132(7) d) 143(7) b) 134(7) e) 144(7) c) 124(7)


a) 100(8) d) 125(8) b) 103(8) e) 120(8) c) 104(8)


a) 20231(4) d) 53244(4) b) 32123(4) e) 62743(4) c) 20331(4)

33) El mayor número de 3 cifras de la base «n» se representa en base 5 como 4021. Halla «n».

a) 9 d) 10 b) 7 e) 12 c) 8

40) Halla «n» para que se cumpla: 126(n) = 256(8)

a) 15 d) 12 b) 14 e) 11 c) 13

39) Halla el valor de «n» si: (n–1)(n–1)(n–1)(n) = 215

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

38) Halla el valor de «x» si: (x–1)(x–1)(x)=8

a) 5 d) 6 b) 3 e) 8 c) 7

37) Si se cumple: (n–1)(n–1)(n–1)(n)=(2n–1)(2n–1)(2n), hallar «n».

a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

36) Descompón polinomicamente el mayor numeral de 3 cifras de la base «n».

a) n3 d) n3–1 b) n3+1 e) n4+1 c) n4–1

35) Si se cumple que 201(3) = abcde(n), halla a+b+c+d+e+n.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

34) Expresa, en el sistema senario, el menor número de 3 cifras diferentes de la base 8. Da la suma de sus cifras.

a) 132(6) d) 124(6) b) 150(6) e) 125(6) c) 133(6)

453ro de Secundaria

Aritmética


41) Si se cumple ab2 = 1331(n), expresa (a+1)(2b)(n+1) en base

nueve.

a) 55 d) 46 b) 36 e) 54 c) 42

42) Si a2b(8) = a6(n–1)n , halla «a + b + n».

a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12

43) Si se cumple m00m6 = np1 , halla «m + n + p» (0 = cero).

a) 12 d) 14 b) 15 e) 20 c) 18

33 veces

16 16 16 . . . 16 ab

= 6ba

44) Halla a + b si se cumple:

a) 7 d) 11 b) 10 e) 9 c) 8

45) Si 11..... 11(2) = 1023,

«n» cifras

halla n2.

a) 100 d) 180 b) 120 e) 190 c) 150

46) Si 1(a + 1)a1(4) = 1a1, halla «a2».

a) 3 d) 6 b) 2 e) 7 c) 5

47) Halla «n» si 111(n) = 85.

a) 3 d) 7 b) 4 e) 8 c) 5

48) Si a56(8) = (a+1)60(k),

halla (a + k). a) 10 d) 14 b) 20 e) 13 c) 15

49) Si aa(9) = a0a(n) ,

halla (a + n) máximo. a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

«a» veces

aa .............. 1a 1a . . . 1a

= 828

50) Si:

halla «a».

a) 7 d) 11 b) 8 e) 6 c) 9

Los ábacos son los instrumentos de cálculo más antiguos que se conocen. Antes de su invención se utilizaban piedrecillas (de hecho que la palabra cálculo significa piedrecilla), se hacían muescas en palos, en huesos, se hacían marcas en la arena, etc.

Se han utilizado ábacos tanto en culturas occidentales como en culturas orientales. Los romanos tenían una especie de ábaco que consistía en una tabla con hendiduras donde se colocaban piedrecillas.

Este ábaco, tiene para cada dígito de un número 4 +1 cuentas. La superior vale 5 y cada una de las inferiores vale 1. En la imagen está representado el número 0987654321. Por ejemplo: el tres se representa llevando al centro 3 cuentas de la parte inferior. El 7 se representa como 5 + 2, por lo que llevamos al centro una cuenta de la parte superior y dos de la parte inferior. El de la imagen debe ser de Vietnam (Ban–Tien), que usa el mismo sistema de los ábacos japoneses (cuentas abajo, una arriba), conocidos como Soroban.


Aritmética


1) Si aba(8) = 1106(n), halla a + b.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

2) Si ab7cd(m) = 7607(9), halla a + b + c+ d.

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

3) Si a un número de 3 cifras que empieza con 9 se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. Halla la suma de las cifras del numeral.

a) 17 d) 20 b) 18 e) 30 c) 19

4) Si un número se escribe en base 10 como xxx y en base 6 como aba, entonces a+b +x es igual a:

a) 6 d) 2 b) 3 e) 5 c) 4

5) Si 354(n+1) = 455(n), determina el valor de «n».

a) 9 d) 6 b) 8 e) 5 c) 7

"En la vida se ve uno a veces ante la disyuntiva de complacer a Dios o complacer al prójimo. A la larga conviene más lo primero, porque Dios tiene mejor memoria".

Harry Kemelman

473ro de Secundaria

Aritmética


Repaso

OBJETIVO

Conocer las operaciones de conjuntos y sus aplicaciones con diagramas.

Conocer los diferentes tipos de conjuntos.

Expresar un número en su forma polinómica.

Conocer y desarro l lar problemas de las diferentes bases de numeración.

Resolver problemas de numeración y conjuntos.

Émilie de Chatelet(1706 – 1749)

Marquesa de Chatelet nació en el seno de una familia ilustre el 17 de diciembre de 1706 en Saint Jean en Greve, Francia. Con diez años ya había estudiado matemáticas y metafísica; a los 12 sabía inglés, italiano, español y alemán, y traducía textos en latín. Estudió a Descartes, Leibniz y Newton. Escribió Las instituciones de la física, libro que contiene el cálculo infinitesimal. Hacia 1745 tradujo los principios de la matemática de Newton.

Sofía Sonia Kovalevskaya(1850 – 1888)

Nació en Moscú, el 15 de enero del año 1850. Gracias a Mittag–Leffer, Sonia pudo trabajar a prueba durante un año en la Universidad de Estocolmo. Durante este tiempo Sonia escribió el más importante de sus trabajos, que resolvía algunos de los problemas al que matemáticos famosos habían dedicado grandes esfuerzos para resolverlos. Más tarde sería premiada por la Academia de Ciencias de París, en el año 1888.

Los Griegos tenían...

... tres problemas clásicos de

matemática: la cuadratura del

círculo, la duplicación del cubo

y la trisección del ángulo. Estos

problemas debían resolverse

utilizando solamente regla sin


Aritmética


Nivel II

Nivel I

1) Gasté S/.15,72 en ciertas com-pras y pagué con un billete de S/20. ¿Cuánto fue mi vuelto?

a) S/. 3,28 d) S/. 3,18 b) S/. 4,28 e) S/. 3,28 c) S/. 4,80

2) Trilcito «El Caminante» ha recor-rido un camino en tres etapas: primero recorrió 21,12 km, luego 2,381 km y finalmente 7,5 km. ¿Cuántos kilómetros mide dicho camino?

a) 31,01 d) 30,999 b) 31 e) 31,1 c) 31,001

3) Nina va al mercado y hace cinco compras que le cuestan S/. 23,80, S/.11, S/.46,50, S/.29,60 y S/.27,30. ¿Cuánto dinero ha gastado en total?

a) S/. 139,10 d) S/. 132,80 b) S/. 138,20 e) S/. 138,30 c) S/. 138

4) Un caño llena un depósito en 7m. ¿Qué parte del depósito llena en 1 min?

a) 1/2 d) 1/6 b) 1/3 e) 1/7 c) 1/5

5) En 1 min un caño llena 1/3 de un depósito. ¿En cuánto tiempo llenará todo el depósito?

a) 30 min d) 50 min b) 20 min e) 80 min c) 40 min

6) En 1 min un caño llena 1/50 de un depósito. ¿En cuánto tiempo llenará todo el depósito?


7) Un caño llena un estanque en 4 horas y el desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si se abren ambos conductos a la vez?

a) 5/6 h d) 7/9 h b) 6/3 h e) 3/2 h c) 4/5 h

8) Para pintar una esfera de 20 cm de radio gasto S/. 64. ¿Cuánto se gastará para pintar una esfera de 25 cm de radio?

a) S/. 80 d) S/. 70 b) S/. 50 e) S/. 8 c) S/. 100

9) Si 3 metros de tela cuestan S/. 120, ¿cuánto se pagará por 5,5 metros de la misma tela?

a) S/. 300 d) S/. 600 b) S/. 220 e) S/. 550 c) S/. 500

10) Si 3 lapiceros cuestan S/. 6, ¿cuánto costarán 12 lapiceros?

a) S/. 30 d) S/. 70 b) S/. 24 e) S/. 50 c) S/. 35

11) Si 4 mesas cuestan S/. 80, ¿cuánto costarán 10 mesas?

a) S/. 100 d) S/. 400 b) S/. 200 e) S/. 500 c) S/. 300

12) Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra, ¿cuántos obre-ros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días?

a) 15 d) 20 b) 16 e) 50 c) 14

13) Si «h» hombres hacen un trabajo de «d» días, entonces «h + r» hombres harán el mismo trabajo en: (da tu respuesta en días).

a) h/(r+d) d) d + r b) hd/(h–r) e) r – d c) hd/(h + r)

14) Cuatro caballos cuyas fuerzas equivalen a 150 kg cada uno, llevan un coche que pesa 1640 kg. ¿Cuántos caballos se necesi-tan para llevar el mismo coche, si ahora la fuerza de cada caballo equivale a 100 kg?

a) 2 d) 6 b) 3 e) 10 c) 5

15) Seis monos comen 6 plátanos en 6 minutos. ¿En cuánto tiempo 50 monos comerán 150 plátanos?


16) La suma de 2 racionales es 31/20 y su diferencia 1/20. Ha- llar el producto de dichos racio-nales.

a) 16/20 d) 4/10 b) 3/15 e) 3/5 c) 15/20

17) ¿Cuánto le falta a la mitad de 8/11 para ser igual a los 5/7 de los 2/3 de los 6/11 de 7?

a) 15/11 d) 30/11 b) 16/11 e) 12/11 c) 20/11

18) Dado el conjunto: A = {{3; 8}; {5; 7}; 8}, ¿cuántas

de las siguientes proporciones son correctas?

I. {5; 7}∈A III. 8 ⊂A II. {∅} ∈ A IV. {5; 7} ⊂ A

a) FFFF d) VFFF b) VVVF e) FVVV c) VVFF

493ro de Secundaria

Aritmética


19) Si un conjunto tiene 15 sub-conjuntos propios, ¿cuántos elementos tiene el conjunto?

a) 2 d) 6 b) 4 e) 8 c) 5

20) ¿Cuántos elementos tiene un conjunto si tiene 31 subconjun-tos propios?

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

21) Dado el conjunto: B = {f, r, a, n, c, e, s, c}, ¿cuántos

subconjuntos tiene «B»?

a) 64 d) 132 b) 128 e) 46 c) 32

22) Si L = {l, i, l, i, a, n, a}, ¿cuántos subconjuntos tiene «L»?

a) 2 d) 16 b) 4 e) 32 c) 8

23) Halla la suma de elementos de cada conjunto si:

A = {x/x ∈ N; 5 < x < 9} y P = {x2/x ∈ Z; 3< x < 7}

a) 21 y 15 d) 15 y 77 b) 21 y 77 e) 16 y 21 c) 77 y 20

24) Si Z={x+1/x∈N; 4 < x < 8}, Y = {x2/x ∈ Z; 2< x < 6}. Halla

la suma de elementos de cada conjunto.

a) 21 y 50 d) 12 y 50 b) 50 y 21 e) 50 y 12 c) 21 y 12

25) Dado R = {a, {b}, {s}, t}, ¿cuántas proposiciones son falsas?

I. {{b}} ⊂ R d) {s} ⊂ R II. {a} ∈ R e) {t} ∈ R

a) VVVV d) FFFV b) VVVF e) VFFF c) FFVV

26)¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes con-juntos?

M = {e, s, c, u, e, l, a} N = {t, a, l, e, n, t, o}

a) 64 y 64 d) 64 y 32 b) 32 y 32 e) 128 y 128 c) 32 y 64

27) Si A={c, o, m, i, d, a}, B ={p, a, n, e, s}, ¿cuántos

subconjuntos tiene cada uno de los conjuntos?

a) 32 y 32 d) 16 y 32 b) 64 y 64 e) 32 y 16 c) 64 y 32

28) Hallar n(A) + n(B) si se tiene: A = {x/x ∈ N, 2 < x < 7} B= {x/x ∈ Z, 7 < x < 13}

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

29) Halla la suma de los elementos de «M» si:

M= {x2+2 / x ∈ Z, 1 < x < 6}

a) 50 d) 64 b) 61 e) 52 c) 62

30) Dado el conjunto: R= {x2+1/x ∈ Z, 3 < x < 7},

¿cuántos subconjuntos tiene «R»? Halla la suma de elementos de «R».

a) 8 y 80 d) 8 y 42 b) 5 y 50 e) 9 y 80 c) 8 y 36

31) Si P = {g, a, r, o, t, a} y Q = {t,o,g,a}, halla P∩ Q.

a) {g, a, t, a} d) {g, a} b) {t, o, g, a} e) {t, a} c) {g, o, l}

Nivel III

32) Si R= {2, 4, 6, 8, 10}, ¿cuántos subconjuntos tiene «R»?

a) 5 d) 32 b) 12 e) 30 c) 16

33) De un grupo de 45 niños, 15 gustan del color azul, 25 del color rojo. Si 5 gustan de am-bos colores, ¿cuántos niños no gustan de estos colores?

a) 20 d) 15 b) 5 e) 25 c) 10

34) Si de un grupo de 100 personas se descubrió que 35 personas se desempeñaban como zapateros, 27 como albañiles y 30 como carpinteros, 8 como carpinteros y albañiles, 9 como carpinteros y zapateros, 11 como albañiles y zapateros y 5 con los 3 oficios, ¿cuántos se desempeñan sólo como albañiles?

a) 13 d) 19 b) 18 e) 15 c) 20

35) De un grupo de consumidores (90 personas) se sabe que 35 consumen pollo, 40 consumen pescado y 25 carne de res. Si 5 consumen pollo y pescado, 12 consumen pescado y res, 7 con-sumen res y pollo y 3 personas consumen los 3 tipos de carnes, ¿cuántas personas no consumen ninguno de estos 3 tipos?

a) 26 d) 5 b) 9 e) 11 c) 25

36) Si N={x/x ∈ Z; 1 < x < 9}, ¿cuántos subconjuntos tiene «N»?

a) 16 d) 128 b) 32 e) 4 c) 64


Aritmética


37) Si A = {x+1/x∈Z, 3 < x < 11}, ¿cuántos subconjuntos propios tiene «A»?

a) 128 d) 126 b) 127 e) 132 c) 129

38) Si B={x/ x ∈ Z, 1 < x < 11} y C = {x/ x ∈ Z, 2 < x < 10}, hallar n(B) . n(C)

a) 64 d) 63 b) 56 e) 81 c) 72

39) Si Z = {x/x ∈ Z, 1 < x < 9} y W= {x/x ∈ Z, 3 < x < 7}, halla P(Z) + P(W).

a) 128 d) 136 b) 8 e) 140 c) 120

40) Si T={x/x ∈ Z, 3 < x < 10} y U = {x/x ∈ Z, 4 < x < 9} halla P(T) – P(U).

a) 64 d) 32 b) 16 e) 54 c) 48

41) Ordena de menor a mayor los siguientes números:

I. 73(8) II. 43 (5) III. 32(6)

a) I, II, III d) III, I, II b) I, III, II e) II, I, III c) III, II, I

42) Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

I. 41(5) > 51(6)

II. 36(7) > 37(6)

III. 41(7) < 42(6)

a) VVF d) VVV b) FVF e) VFF c) FFV

49) Si 4c13(7), ¿cuánto suman todos los posibles valores de «c»?

a) 21 d) 22 b) 20 e) 23 c) 19

48) ¿Cuánto suman todos los posibles valores de «a» si 3a124(6)?

a) 11 d) 14 b) 12 e) 15 c) 13

47) Relaciona ambas columnas ade-cuadamente.

I. 31(4) ( ) a) 34 II. 43(5) ( ) b) 13 III.46(7) ( ) c) 23

a) III, I, II d) I, II y III b) III, II y I e) II, I y III c) I, III, II

46) Halla «m + n» si mn(9) = 143(5).

a) 8 d) 9 b) 7 e) 11 c) 6

45) Indica cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos:

I. aa(11)bc(13)

II. ab(13)(15)

a) 4 y 3 d) 4 y 4 b) 5 y 4 e) 5 y 5 c) 3 y 3

44) Indica los números que están mal escritos.

I. 342(5) III. 1321(3)

II. 203(4)

a) I y II d) Sólo III b) II y III e) Sólo II c) I y III

43) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos?

I. ab4(8)

II. cd(3)

III.(81)(49)d(85)

a) 3; 2; 3 d) 3; 1; 2 b) 4; 2; 1 e) 3; 2; 2 c) 3; 2; 1

50) Marca verdadero (V) o falso (F).

I. 46(7) > 45(6)

II. 37(8) < 45(7)

III. 32(4) = 42(3)

a) VVF d) FFV b) VVV e) FFF c) FVV

Algunas definiciones de Matemáticas

Aristóteles: Es la ciencia de la «cantidad».

Descartes: Es la ciencia del orden y de la

medida.

Gauss: Es la reina de las ciencias, y

la aritmética es la reina de las matemáticas.

Eric T. Bell: Es la reina y la sirvienta de la

ciencia.

Henri Poincaré: La matemática no estudia

objetos sino relaciones entre objetos: podemos reemplazar un objeto por otros siempre y cuando la relación entre ellos no cambie.

Benjamin Pierce: Es la ciencia que obtiene

conclusiones necesarias.

David Hilbert: Es un juego con reglas muy

sencillas que deja marcas sin significado en un papel.

E s t a s de f in i c i one s no concuerdan en decirnos que es la matemática.

Unas subrayan el aspecto formal, abstracto y puro; otras las aplicaciones y los usos. Las fronteras entre estos dos aspectos no están bien marcadas y existen muchas zonas de influencia recíproca.

513ro de Secundaria

Aritmética


1) ¿Cómo se escribe 200 en base seis?

a) 533(6) d) 433(6)

b) 532(6) e) 454(6)

c) 432(6)

2) ¿Cómo se escribe en base 4, el menor nu-meral de cuatro cifras diferentes del sistema de base 6?

a) 1233(4) d) 3213(4)

b) 3123(4) e) 4312(4)

c) 2513(4)

3) Si el numeral: (a–4)a(a–4)6 = xyyz(4), halla x + y + z.

a) 6 d) 7 b) 5 e) 8 c) 4

4) En un grupo de 70 personas: 32 hablan inglés, 26 español, 37 francés, 6 inglés y español, 9 español y francés y 12 inglés y francés. ¿Cuántos hablan los 3 idiomas?

a) 3 d) 5 b) 2 e) 6 c) 4

5) De 72 jóvenes que postularon a las univer-sidades: UNI, UNMSM y/o UNFV, 25 a la UNFV, 28 a la UNMSM y 1 postuló a las 3 universidades. ¿Cuántos postularon a solo 2 de estas universidades?

a) 19 d) 14 b) 15 e) 21 c) 20

"Si nunca abandonas lo que es importante para ti, si te importa tanto que estás dispuesto a luchar para obtenerlo, te aseguro que tu vida estará llena de éxito. Será una vida dura, porque la excelencia no es fácil pero valdrá la pena".

R. Bach


Aritmética


Adición

1. ADICIÓN:

Objetivos

Aplicación de las propiedades de la adición en el uso común diario.

El alumno manejará mejor la operación de la adición.

Reconocer y aplicar las sucesiones numéricas más importantes.

Propiedades

ADICIÓN

Clausura

Commutativa

Asociativa

Neutro

Es una operación que hace corresponder a cada par de números m, n ∈ N otro número natural llamado suma, denotado por m + n.

A. Propiedad de Clausura

Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número natural.

B. Propiedad Commutativa

El orden de los sumandos no altera la suma.

7 + 3 = 3 + 7

C. Propiedad Asociativa

La forma como agrupamos los sumandos no altera la suma.

(a + b) + c = a +(b + c)

(4 + 9) + 1 = 4 + (9 + 1)

13 + 1 = 4 + 10

14 = 14

D. Elemento Neutro

a + 0 = a

7 + 0 = 7

2. PROPIEDADES

1. La suma de los «n» primeros enteros positivos:

1 + 2 + 3 +... + n =

1 + 2 + 3 + ... +48 =

= 1176

48(48+1)2

2. La suma de los «n» primeros números pares positivos:

2 + 4 + 6 + ... + 2n= n(n+1)

2 + 4 + 6 + ... + 92= 46(46+1)

= 2162

3. SUMAS NOTABLES (SUMATORIAS)

Demostración:

a + 0 = aa + (p - p) = aa + p = a + p

a = a

n(n+1)2

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

533ro de Secundaria

Aritmética


Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

x+ (x + 1) = 212x + 1 = 21

2x = 20x = 10

Los números son 10 y 11.

4. La suma de los «n» primeros cuadrados perfectos:

12 + 22 + 32 + ... + n2=

3. La suma de los «n» primeros números impares positivos:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2

1 + 3 + 5 + ... + 59 = 302 = 900

12 + 22 + 32+ ........ + 622 = = 8137562(62 + 1)(2.62 + 1)6

5. La suma de los «n» primeros cubos perfectos:

13 + 23 + 33 + ... + n3=[ ]n(n + 1)2

13 + 23 + 33 + ... + 243 =

= 90000

[ ]24(24 + 1)2

2

6. La suma de los «n» primeros productos de 2 enteros consecutivos:

1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + n ( n + 1 ) =

1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + ... + 74 x 75 =

= 140600

74(74 + 1) (74 + 2)3

2

La mayor biblioteca del mundo es la del Congreso de los EE.UU., ubicada en Washington DC. Posee 108'433370 items, ocupa una superficie de 265000 metros cuadrados, tiene 856 km de anaqueles y alrededor de 4600 empleados.

Ejemplo 1:

Efectúa: 2 + 22 + 222 +...+ 222222

Resolución:

Ejemplo 2:

La suma de dos números consecutivos es 21, halla dichos números.

Resolución:

22 2

2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2 2 2

1 21 0 .8 . .

6 . . .4 . . . .

2 . . . . . 2 4 6 9 1 2

.

.

.

.

.

.

....

.

.

= 6 x 2= 5 x 2= 4 x 2= 3 x 2= 2 x 2= 1 x 2

Sean los números: x, x + 1

+

n(n+1)(n+2)3

n(n+1)(2n+1)6


Aritmética


1) Halla el valor de S si:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 85

a) 3655 d) 4000 b) 3254 e) 5000 c) 3321

2) Halla el valor de E si:

E = 1 + 2 + 3 + ... + 120

a) 7000 d) 7800 b) 7260 e) 7953 c) 7500

Nivel I

Ejemplo 3:

Halla la suma:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

Resolución:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

5x ( 11) = 55

111111

Ejemplo 4:

Si a + b + c = 6, halla: a b c + c a b b c a

Resolución:

a b c + c a b b c a 6 6 6

Ejemplo 5:

Si tres números consecutivos suman 303, halla dichos números.

Resolución:

x + (x + 1) + (x + 2) = 3033x + 3 = 303

3x = 300x = 100

∴ 100, 101 y 102.

Ejemplo 6:

Halla la suma:1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20

Resolución:

21 x 10 = 210

Ejemplo 7:

Si (a + b + c)2 = 289,calcula abc + bca + cab.

Resolución:

a + b + c = 17

Disponiendo en columna:

a b c + b c a c a b 1 7 1 7 1 7 1 8 8 7

Rpta.: 1887

Ejemplo 8:

Calcula las 3 últimas cifras de 5 + 55 + 555 + ... (37 sumandos).

Resolución:

5 + 5 5 5 5 5

5 5 .... 5 5 5

Unidades : 37 x 5 = Decenas : 36 x 5 = Centenas : 35 x 5 =

Rpta.: 485

37

Ejemplo 9:

Si UU + NN + II = UNICalcular U.N.I.

Resolución:

U U + N N I I U N I

Unidades: U + N = 10; llevo 1Centenas: U = 1 → N = 9

Reemplazando en la operación se obtiene: I = 8.

∴ U.N.I. = 1 . 9. 8 = 72

3) Halla S si:

S = 2 + 4 + 6 + ... + 96

a) 3000 d) 4500 b) 2352 e) 6700 c) 2308

4) Halla P si:

P = 2 + 4 + 6 + ... + 144

a) 5006 d) 5350 b) 5256 e) 6000 c) 7800

5) Halla E si:

E = 1 + 3 + 5 + ... + 121

a) 3721 d) 4005 b) 3000 e) 3800 c) 8700

Sean los números: x, x + 1, x + 2

20 (21)2

185 +180.......

175.........485....

553ro de Secundaria

Aritmética


6) Halla S si:

S = 1 + 3 + 5 + ... + 205

a) 10070 d) 895 b) 10609 e) 6059 c) 7003

7) Halla S si:

S = 1 + 4 + 9 +... + 400

a) 3000 d) 5034 b) 2750 e) 6000 c) 2870

8) Halla el valor de (a + b) si: aba = aa + bb + 443

a) 11 d) 14 b) 12 e) 15 c) 13

9) Si a83 + 5b9 + 64c = 1659, halla a + b + c.

a) 10 d) 15 b) 13 e) 7 c) 9

10) Calcula el valor de m + n si: mn + nm + 352 = nmn

a) 15 d) 12 b) 14 e) 11 c) 13

11) Halla a+b+c si se cumple que: x1x+x2x+x3x+....+x9x = abc4

a) 13 d) 16 b) 14 e) 20 c) 15

12) Si ab + ca = 111 y a, b, c ≠ 0, halla ba + ac .

a) 111 d) 121 b) 120 e) 130 c) 110

13) Si (a + b + c)2 = 361, halla abab + caba + bccc .

a) 19994 d) 21009 b) 198888 e) 34532 c) 21109

14) Si a + b + c = 11, halla el valor de aa + bb + cc .

a) 110 d) 131 b) 111 e) 144 c) 121

15) Si L + F + V = 15, halla LFV + FVL + VLF

a) 1665 d) 1565 b) 1555 e) 1666 c) 1653

16) Halla la cifra de las centenas de la siguiente suma :

S = 3 + 33 + 333 + 333+..., sabiendo que hay 25 sumandos.

a) 0 d) 4 b) 6 e) 8 c) 2

17) Halla a + b + c si: a7c + c62 + 5ba = 1c26

a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14

18) Si abc + bc + a0a = c7a , y 0 = cero, halla a + b + c.

a) 14 d) 13 b) 11 e) 12 c) 15

19) Halla la cifra de los millares de la siguiente suma:

S = 5 + 55 + 555 + 5555 +... (27 sumandos)

a) 1 d) 7 b) 3 e) 9 c) 5

20) Halla x + y + a si: a1x + a2x + a3x + ....+ a7x =

38y1

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

21) Halla la suma de los 40 números de la siguiente serie:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 +....+ 999...9

Da como respuesta la suma de las cifras del resultado.

a) 40 d) 45 b) 38 e) 50 c) 47

22) Determina la suma de cifras del resultado de la siguiente adición :

7 + 97 + 997 + ....+ 999...997

a) 70 d) 69 b) 50 e) 80 c) 65

60 cifras

23) Halla la suma de todos los números naturales de tres cifras que se puedan formar con las cifras 1, 4 y 5 . Da como respuesta la cifra de mayor orden de dicha suma.

a) 1 d) 7 b) 3 e) 9 c) 5

24) Sabiendo que la suma de 25 números naturales consecutivos es 775, halla la suma de los 25 naturales consecutivos siguientes.

a) 920 d) 975 b) 1400 e) 1000 c) 825

Nivel II


Aritmética


Personaje del tema

25) Si 1+2+3+ ... + x = (2a)(2a)(2a), halla x + a.

a) 39 d) 42 b) 40 e) 43 c) 41

26) Si abc + cba = 1272, calcula el valor de «b».

a) 3 d) 8 b) 4 e) 9 c) 5

27) Halla «a + b» si: ab8 + ba9 = 1ab7

a) 1 d) 16 b) 12 e) 15 c) 18

28) Halla «a + b + c» si: a1a+a2a+a3a+ ... +aaa = 8abc1

a) 10 d) 18 b) 13 e) 21 c) 15

29) Calcula (a + b + c + x), si: 1x1+2x2+3x3+...+9x9 = ab8c

a) 14 d) 20 b) 15 e) 21 c) 16

30) Si ab + ca = 111, halla ba + ac.

a) 111 d) 121 b) 120 e) 230 c) 110

31) Si a + b + c= 19, hallar abab + caba + bccc.

a) 1999 d) 21109 b) 19898 e) 20109 c) 21009

32) Si a + b + c= 14, calcula el valor de ab3 + c2b + 4ac + bca.

a) 1177 d) 1777 b) 1977 e) 19999 c) 1544

33) Se tiene que ab+bc+ca = abc, luego a . b . c es:

a) 72 d) 36 b) 80 e) 50 c) 60

34) Si ab + bc = 89 y a+b+c=12, halla a – b + c.

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

35) Calcula a + b en: a2b+a3b+a4b+ ... + aab = 5992

a) 10 d) 16 b) 12 e) 9 c) 14

36) Halla x + y + a si: a1x+a2x+a3x+ ... + a7x = 38y1

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

37) Si (m+p+r)2 = 289, halla mmpr + prmp + rprm

a) 18887 d) 18877 b) 19777 e) 17777 c) 18977

Nivel III 38) Si b42a + dab3 + ac68 = ecba4, calcula a + b + c + d + e.

a) 20 d) 19 b) 22 e) 18 c) 23

39) Halla las tres últimas cifras de la suma:

7+77+777+7777+.. . (40 sumandos)

a) 430 d) 810 b) 630 e) 710 c) 610

40) Halla a + b + c si se cumple que: x1x +x2x + x3x + ...+ x9x = abc4

a) 6 d) 15 b) 5 e) 14 c) 12

41) Calcula el valor de «n» en: 1 + 2 + 3 + ... + n = 136

a) 19 d) 17 b) 15 e) 16 c) 18

John Napier(1550 – 1617)

Matemático escocés, inventor de los logaritmos neperianos. Recomendó en 1617 el uso del punto (.) para separar la parte decimal de la entera.

573ro de Secundaria

Aritmética


44) Calcula la suma de las tres últimas cifras del resultado de:

3+33+333+3333+ ... (18 sumandos)

a) 16 d) 13 b) 15 e) 12 c) 14

45) Si (m + n + p) = 15, calcula: A = 8mp + m6n + np3 + pnm

a) 2528 d) 1551 b) 2258 e) 2211 c) 1575

42) Calcula el valor de «p» en: 1 + 2 + 3 + ... + p = 300

a) 24 d) 21 b) 25 e) 20 c) 22

43) Si (m + p + q)3 = 1331, calcula el valor de mpq + pqm + qmp

a) 1221 d) 2211 b) 2221 e) 2113 c) 1122

Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646 – 1716)

Lingüista, filósofo y matemático alemán que en 1698 propuso utilizar el punto (.) como signo de multiplicar y la coma (,) para separar la parte entera de la decimal.

46) Indica cuánto excede «m» a «p» si:

p = 1 + 4 + 9 + ... + 900 m = 1 + 8 + 27 + ... + 2744

a) 609 d) 530 b) 1570 e) 855 c) 1260

47) Halla el valor de U + N + I si: UNI + UIN + UN = NUI

a) 2 d) 9 b) 4 e) 11 c) 5

48) Determina la suma de cifras del resultado de la siguiente adición:

7 + 97 + 997 + ... + 999...997

a) 67 d) 70 b) 68 e) 71 c) 66

60 cifras

49) Sabiendo que la suma de 30 enteros consecutivos es 945, halla la suma de los 30 enteros consecutivos siguientes.

a) 1845 d) 3545 b) 1729 e) 2795 c) 1922

50) Al sumar a un número de 3 cifras el resultado de invertir el orden de sus cifras se obtuvo 1291, pero si en vez de haberse sumado se hubiera restado, el resultado hubiese terminado en 7. Halla el mayor de los mismos.

a) 791 d) 793 b) 794 e) 795 c) 792

Recuerda

El Perú tiene una superficie de 1’285 215,6 km2.

Europa : 10’530 751 km2 contiene 8 veces al Perú aproximadamente.

Asia: 44’ 936 000 km2 contiene 34 veces al Perú aproximadamente.

África: 30’272 922 km2 contiene 23 veces al Perú aproximadamente.

Una pulga puede saltar 30 veces su altura. Si una persona pudiera hacer eso, podría saltar 2 veces la altura que tuvieron las Torres Gemelas.

Personaje del tema


Aritmética


"Cualquier cosa que valga la pena hacerse bien,

vale la pena hacerla despacio".

Gipsy Rose Lee

1) Calcula la suma de cifras de la siguiente adición:

8+ 98+998+9998 + ... + 999... 98

a) 47 d) 50 b) 48 e) 51 c) 49

2) Si a+b+c = 13, calcula: E = 1ab + a6c + bc4 + cba

a) 1665 d) 1555 b) 1655 e) 1675 c) 1607

3) Halla las tres últimas cifras de la suma: 7+77+777+7777+... (40 sumandos)

a) 430 d) 810 b) 630 e) 710 c) 610

4) De la siguiente suma: DOS + DOS + TRES = SIETE Cada letra diferente señala una cifra

diferente. Halla la suma de las cifras utilizadas en los numerales.

a) 17 d) 20 b) 18 e) 21 c) 19

5) En cierta universidad existe m7n7 alumnos de ciencias, 2x7x alumnos de letras y nxm docentes. Halle m + n + x si en total hay ymxm personas.

a) 16 d) 19 b) 17 e) 20 c) 18

50 cifras

593ro de Secundaria

Aritmética


En la antigüedad, el matemático griego Diofanto utilizaba el signo ´ para indicar la sustracción y los hindúes usaban un punto. Ya en la Edad Moderna, los algebristas italianos la representaban con una ‘‘m’’, letra inicial de la palabra ‘‘minus’’. Los algebristas alemanes e ingleses fueron los primeros en utilizar el signo actual ‘‘-’’, el cual es, al parecer, una alteración de la letra ‘‘m’’ manuscrita, al que denominaron signum subtractorum. Los signos + y - fueron publicados por primera vez en 1489 por el alemán Johann Widman.

Interesante

Sustracción

PROPIEDADES

Ejemplos:Es una operación aritmética inversa a la adición que consiste en que dados 2 números: Minuendo y Sustraendo, se busca un tercer número llamado Diferencia que sumado con el Sustraendo nos da el minuendo.

18 - 6 = 12

En general:

Donde:M : MinuendoS : SustraendoD : Diferencia

M - S = D

18 excede a 6 en 12 unidades

1. En una sustracción siempre se cumple que:

S + D = M

2. La suma de los tres términos de una sustracción es:

M + S + D = 2M

3. Dada la sustracción:

Si abc - cba = xyz

entonces:x+1 = a - c, y = 9, x+z = 9

721 - 127 = 594482 - 284 = 198935 - 539 = 396

En otras bases:

5317 - 1357 = 3637

5238 - 3258 = 1768

CA(2) = 10 - 2= 8CA (64) = 100 - 64 =36Ca (759) = 1000 - 759 = 241

Si abcn - cban = xyzn,

entonces:x+1 = a-c, y = n-1, x+z = n - 1

El complemento aritmético de un número entero es la cantidad que le falta para ser una potencia de 10, siendo ésta la menor posible.

En general: Si N tiene k cifras

CA (N) = 10k - N

Ejemplos:

COMPLEMENTO ARITMÉTICO

Ejemplos:

CA (5372)= (9-5)(9-3)(9-7)(10-2) = 4628

CA(279) = ___________________

CA(1384) = __________________

CA(5172) = __________________

En otras bases:

CA(1425) = 10005 - 1425 = 3035

CA(2357) = 10007 - 2357 = 4327

En general:Si N es un numeral de k cifras en base n.

CA(N) = nk - N

Ejemplos:

Completar:

MÉTODO PRÁCTICO

CA(abcd) = (9-a)(9-b)(9-c)(10-d)

Donded≠o

Ejemplo:


Aritmética


MATEMÁTICA EN GRECIA

Hoy sabemos más cosas que los anti-guos griegos, gracias a que la ciencia y la tecnología se han desarrollado, Hoy podemos dar explicaciones a muchos fenómenos naturales que los antiguos griegos sólo abordaron desde la mitología. Hoy sabemos más sobre cómo está constituido el ser humano, sabemos de su anatomía y de su fisiología, sabemos de células y genes. Sin embargo, si no somos soberbios, debemos reconocer que si bien es cierto que hoy sabemos más sobre el hombre, hoy sabemos menos qué es el hombre.

35) Halla DA si: NORA - NAN = DAN

a) 9 b) 1 c) 81 d) 49 e) 16

36) Si los 3 términos de una sustracción suman 360, halla la suma del sustraendo más la diferencia.

a) 90 b) 270 c) 180 d) 360 e) 135

37) Si al minuendo de una sustracción le sumamos 230 y al sustraendo le sumamos 90, ¿en cuánto varía la diferencia?

a) Aumenta 320 b) Disminuye 320 c) Aumenta 140 d) Disminuye 140 e) No aumenta ni disminuye

38) La suma de 11 números enteros consecutivos es 99. Halla la diferencia entre el mayor y el menor.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

39)La diferencia de 2 números es 305. Si al mayor le quitamos 20 y al menor le aumentamos 85, la nueva diferencia es:

a) 210 b) 370 c) 200 d) 185 e) 500

40) La suma de los 3 términos de una sustracción es 240. Si el sustraendo es la tercera parte del minuendo, halla la diferencia.

a) 40 b) 80 c) 60 d) 50 e) 90

42) Calcula el valor de a . b . c si:

abc = cba + 2x4 abc = 1535 - cba

a) 50 b) 52 c) 54 d) 60 e) 70

41) Si abc - cba = mnp, halla mnp + npm + pmn

a) 1995 b) 1997 c) 1998 d) 1999 e) 2000

43) Un número de 3 cifras, abc, es tal que:abc - cba = mn3

Si se sabe que la suma de sus cifras es 19, halla el valor de a2 + b2 + c3.

a) 150 b) 151 c) 152 d) 153 e) 149

44) En una sustracción, al sustraendo le sumamos 140 y le restamos el cuádruple de la suma del sustraendo más la diferencia, obteniéndose como resultado el minuendo. Sabiendo que el sustraendo es el mayor número posible cuya suma de cifras es 3 y que la diferencia es un número positivo, halla la suma de los términos de dicha sustracción.

a) 68 b) 70 c) 71 d) 78 e) 56

45)En una resta, si al minuendo se le agrega 2 unidades y al sustraendo se le aumenta 5 unidades en las centenas, entonces la diferencia disminuye en :

a) 52 b) 520 c) 502 d) 480 e) 498

46) Halla el menor número que excede a su complemento aritmético en 1436. Da como respuesta la suma de sus cifras.

a) 20 b) 21 c) 22 d) 19 e) 23

47) Sabiendo que : abc + CA (cba) = mnp7, halla m + n + p.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

48) Halla (a + b), sabiendo que:

CA(ab) +CA(abab) = 3674

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

50) Halla CA (a + b + c)

si CA (abc) - abc = 632.

a) 85 b) 86 c) 87 d) 67 e) 77

49) El doble de un número de 3 cifras excede al triple de su CA en 380.

Halla el número.

a) 575 b) 676 c) 678 d) 576 e) 543

613ro de Secundaria

Aritmética


"Cualquier cosa que valga la pena hacerse bien,

vale la pena hacerla despacio".

Gipsy Rose Lee

1) Halla x.y si:

abc - cba = x(x+3)y

a) 12 d) 16 b) 18 e) 9 c) 10

2) Si la suma de los tres términos de una sustracción es 280 y se sabe que el minuendo es el cuadruplo del sustraendo, halla la diferencia.

a) 90 d) 200 b) 105 e) 45 c) 80

3) En una sustracción, el minuendo aumenta en 2 decenas y el sustraendo disminuye en 1 centena. ¿En cuántas unidades varía la diferencia?

a) Disminuye 80 d) Disminuye 120 b) Aumenta 80 e) Aumenta 120 c) Disminuye 100

4) Si la suma de cifras de un número de cuatro cifras significativas es24, halla la suma de cifras del complemento aritmético del número.

a) 8 d) 13 b) 9 e) 15 c) 11

5) Si CA [(2a)b( )] = a( )(b+2), calcula a+b+c.

a) 11 d) 14 b) 13 e) 12 c) 15

c2

b2


Aritmética


Multiplicación

DEFINICIÓN

Es una operación aritmética que consiste en adicionar una misma cantidad un número determinado de veces.

ALGORITMO DE LA MULTI-PLICACIÓN

Ejemplo:

Donde:M: multiplicandom : multiplicadorP : producto

En general:

259 x 2718135186993

MultiplicandoMultiplicador

Producto

Donde:1813= 259 x 7518 = 259 x 2

1. P. Asociativa

(a x b) x c = a x (b x c)

Productos Parciales

5 x 4 = 5 + 5 + 5 +5 = 20 4 veces

M x m = M + M + ... + M = P m veces

Ejemplo:

PROPIEDADES

2. P. Conmutativa

a x b = b x a

Ejemplo:

2 x (a x 3)= 2 x (3 x a) = (2 x 3) x a = 6 x a

4. La terminación del producto de dos números es igual a la terminación del producto de sus últimas cifras

* (... 3) x (... 4) = (... 2) ya que 3 x 4 termina en 2.

5. Producto de Enteros Consecutivos

..... 0 n(n +1) = ..... 2 ..... 6

* 5 (6) = 30* 6 (7) = 42* 7 (8) = 56

6. Cantidad de cifras de un producto

Si A tiene 5 cifras y B tiene 4 cifras, entonces:

104≤A<105

103≤B<104

Multiplicando:107≤AxB<109

Luego AxB tiene 8 ó 9 cifras.

Si A tiene n cifras y B tiene m cifrasA x B tiene n + m – 1 o n + m

3. P. Distributiva

a x (b + c) = a x b + a x c

Ejemplo:

ab . 99 = ab (100 - 1) = ab00 - ab

Ejemplo:

* Si abc x 3 = xy7 → c= 9 ya que 9 x 3 termina en 7.

Observaciones:

(# Par) (# Entero) = (# Par)(# Impar) (# Impar) = (# Impar)(..... 5) (# Impar) = (....... 5)(..... 5) (# Par) = (....... 0)(......9) (.....x) = [...... (10 - x)]

Ejemplos:

Ejemplo:

En general:

Ejemplo:

Halla la mínima cantidad de cifras de abcd x mn .

Solución:

abcd → 4 cifrasmn → 2 cifras

Luego:abcd x mn → (4 + 2) - 1 = 5 cifras

633ro de Secundaria

Aritmética


LEYES FORMALES

El producto de dos números enteros es un número entero. Simbólicamente se denota de la siguiente manera:

∀ a, b ∈Z → a . b = P ∈ Z

A × B = B × A

I. Clausura

II. Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

III. Elemento Neutro Multiplicativo

Existe uno y sólo un número que se denota por "1", tal que:

a . 1 = a o 1 . a = a

a) 31b) 32c) 33d) 34e) 35

TEOREMA

Dado P = a . b, si "a" aumenta o disminuye en "n" unidades, entonces P aumenta o disminuye en "n . b" unidades.

En una multiplicación, si el multiplicando aumenta 6 unidades, el producto aumenta en 78 unidades.

Calcula el multiplicador.

Resolución: 6 . m = 78 m = 13

∴ el multiplicador es 13.

Ejemplo:

Si: ab . a = 679 ab . b = 873

Halla la suma de las cifras del producto:

abab × a0b

Reto

LA MULTIPLICACIÓN EN OTROS SISTEMAS

5 3 28 × 3 48 5 1 5 02 0 1 62 5 3 3 08

Describió una forma matemática

de manejar pares de números

reales. Esas reglas se usan en la

actualidad para operar con números

complejos. Más adelante descubrió

la clave para operar con ternas o

n-uplas de números, en el caso de

n > 2, que consistía en descartar

la propiedad conmutativa de

la multiplicación usual. A los

nuevos objetos que creó los llamó

cuaterniones, precursores de lo

que ahora son los vectores. Su

monumental obra acerca de este

tema, Treatise on Quaternions, fue

publicada en 1853.

R. HALMITON (1805 - 1865)

El número circular es uno de los números más curiosos de la matemática, debido a que al multiplicarlo por cada uno de los números menores que su cantidad de cifras, estas pe rmutan de una fo rma impresionante.

142857 x 1 = 142857142857 x 3 = 428571142857 x 2 = 285714142857 x 6 = 857142142857 x 4 = 571428142857 x 5 = 714285

Trata de encontrar otro número circular.

1 2 5 4 8 7

El Símbolode la

Multiplicación

William Oughtred fue el primero

en usar el signo "x" en vez de la

palabra "veces", que en la lengua

árabe comenzaba con dicha letra.

Gottfried Wihelm Leibniz propone

utilizar el punto para indicar la

multiplicación, puesto que la "x"

ya se utilizaba para denotar las

variables en álgebra, y en 1637,

René Descartes empezó a usar la

yuxtaposición de los factores. Más

adelante, en 1688, Leibniz utilizó ç

para denotar esta operación.


Aritmética


Nivel I

1) ¿En cuántas veces aumenta el producto de tres números si el primero se duplica, el segundo aumenta en su cuádruplo y el tercero en su duplo?

a) 20 b) 30 c) 40d) 29 e) 35

2) ¿En cuántas veces aumenta el producto de tres números si el primero aumenta en su duplo, el segundo se triplica y el tercero aumenta en su triple?

a) 35 b) 30 c) 36 d) 42 e) 48

3) Si el producto de dos números es 517, y el multiplicando aumenta en 5 unidades, el nuevo producto es 752. Halla el multiplicador.

a) 47 b) 49 c) 51d) 54 e) 61

4) El producto de dos números es 855. Si el multiplicador aumenta en 12 unidades el nuevo producto es 1395, halla el multiplicando.

a) 30 b) 36 c) 43d) 45 e) 50

5) Halla a + b + c + m + n si abc2 . 9 = mnnnn

a) 20 b) 22 c) 24d) 30 e) 32

6) Halla a + b + c + n + ksi abc3 . 7 = nkkkk

a) 25 b) 28 c) 16d) 20 e) 29

7) Halla a + b + c si abc . 999= ...276

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

8) Halla x + z - y si xyz . 999 = ...841

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

9) En la multiplicación abcd x 74 la diferencia de los productos parciales es 7944. Halla (a + b) . (c + d)

a) 80 b) 84 c) 91d) 96 e) 100

10) En la multiplicación abcd x 62 la suma de los productos parciales es 34288. Halla a + b - c + d.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

11) Halla a + b + c + e si abcde3 x 7 = 12abcde

a) 10 b) 12 c) 21d) 15 e) 17

12) Halla a + b + c + d, si abcd4 x 3 = 1aabcd

a) 15 b) 17 c) 25d) 13 e) 22

13) Halla x + y si x [CA(x)] . y [CA(y)] = 2368,

y además x - y = 3.

a) 8 b) 7 c) 6d) 9 e) 10

14) Halla a + b si a [C.A(a)] . b [C.A(b)] = 532,

y además b - a=1.

a) 1 b) 2 c) 3d) 12 e) 9

15) Si a dos números se les aumenta y d i s m i n u y e 1 1 u n i d a d e s respectivamente, el producto de ellos aumenta en 319 unidades. Calcula la diferencia de dichos números.

a) 20 b) 27 c) 34d) 40 e) 45

16) Si a dos números se les aumenta y d i sminuye 15 un idades respectivamente, el producto queda aumentado en 1125. Calcula la diferencia de dichos números.

a) 20 b) 25 c) 40d) 45 e) 60

17) Halla b + c si: aaa8 = bc1

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

Nivel II

653ro de Secundaria

Aritmética


18) Halla x + y + z si: xxxx5 = yz8

a) 7 b) 8 c) 13d) 11 e) 15

19) Calcula la cifra de las decenas de:

1234567890123x342973x2532 + 7637

a) 2 b) 5 c) 7d) 3 e) 0

20) La cifra de segundo orden de 7529

es:

a) 2 b) 0 c) 7d) 9 e) 5

21) Si se sabe que A tiene 8 cifras B 12 cifras y C 5 cifras, ¿cuál es la mayor cantidad de cifras que puede tener la expresión?

E = A2 . B3 . C

a) 53 b) 54 c) 55d) 56 e) 57

22) Si se sabe que A posee 6 cifras, B tiene 8 cifras y C 12 cifras, ¿cuál es la mínima cantidad de cifras que puede tener?

E = A . C2 . B3

a) 47 b) 48 c) 49d) 50 e) 51

23) Si abcn = ...abc, calcula a + b + c , n ∈ Z+.

a) 13 ó 17 b) 16 ó 17 c) 16 ó 18d) 13 ó 16 e) 14 ó 17

24) Si abcdn = ...abcd, calcula a + b + c + d si n ∈ Z+.

a) 17 o 21 b) 21 o 25 c) 17 o 25d) 13 o 25 e) 13 o 17

25) Calcula la suma de cifras de: E = 999...9 x 999...9 20 cifras 20 cifras

a) 180 b) 90 c) 45d) 150 e) 36

26) Si abc × c = 549, halla a + b + c.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

27) Si abc . a . b . c = 992, halla a2 + b2 + c2.

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

28) Si abc × c = 1536, halla a + b + c.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 13

29) Si xyz × 6 = (z - 1) 384, halla x + y + z.

a) 8 b) 10 c) 15d) 13 e) 18

30) Calcula a + b + c + d si abcd × 4 = dcba.

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

Nivel III

31) Calcula a + b + c + d + e si abcde × 4 = edcba.

a) 23 b) 24 c) 25d) 26 e) 27

35) En la multiplicación adjunta, la suma de las cifras del producto total es:

a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 36

2**

****

*

****

**0**1

*82*

8

***

9

×

32) Sabiendo que: mnp x m =2930 mnp x n = 4 688 mnp x p = 3 516

halla mnp x pnm.

a) 410 414 d) 401 402b) 410 401 e) 410 410c) 41 041

33) Si se cumple que: abc x a = 1868 abc x b = 2802 abc x c = 3269,

halla abc x abc.

a) 228 079 d) 276 089b) 318 089 e) 218 089c) 356 788

34) Si abcde1 = 3 x (1abcde), halla el valor de "a + b + c + d

+ e".

a) 25 b) 26 c) 27d) 28 e) 29


Aritmética


36) Sabiendo que abc x 47 = ... 253, halla abc.

a) 879 b) 978 c) 917d) 899 e) 789

37) Sabiendo que abc x 73 = ... 421, halla abc.

a) 766 b) 776 c) 767d) 677 e) 676

38) Si: a x abc = 1 044 c x abc = 2 784 b x abc = 1 392

Calcula a.b.c

a) 56 b) 32 c) 48d) 96 e)126

39) Si: M x PAPA = 12 120 A x PAPA = 9 696 Calcula AMA x APA.

Indica la suma de cifras del producto.

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

40) El producto de dos números natura les e s 2 856 . S i a l multiplicador se le agrega 13 unidades resulta que el producto es 3 740. Halla la suma de los números.

a) 110 b) 115 c) 120d) 127 e) 130

42) El producto de dos números es 720. Si se añaden 6 unidades al multiplicando, el producto es 816. ¿Cuál es el multiplicador?

a) 82 b) 36 c) 45d) 16 e) 32

43) Si a un número se le agrega 2 ceros a la derecha, éste aumenta en 381 150. Halla el número original y da la suma de sus cifras.

a) 16 b) 42 c) 28d) 64 e) 54

45) En la multiplicación de dos números, si a uno de ellos se le quita 3 decenas, el producto disminuye en 10 830. Halla el otro número.

a) 320 b) 361 c) 412d) 317 e) 326

44) ¿Cuál es el menor número que multiplicado por 37 da un producto cuyas cifras son todas cuatro? Da como respuesta la suma de sus cifras.

a) 12 b) 5 c) 14d) 3 e) 16

46) Dada una multiplicación de 2 factores, si el primero se triplica y el segundo se cuadruplica, entonces el producto aumenta en:

a) 12 veces d) 7 veces b) 11 veces e) 6 vecesc) 10 veces

47) Si P = a . b, además "a" aumenta al doble y "b" disminuye en su mitad, entonces el producto:

a) Se duplicab) Se triplicac) Se cuadruplicad)Se reduce a su mitade) No varía

50) Halla la suma de las cifras de un número, sabiendo que al multiplicarlo por 35, la diferencia de los productos parciales es 6 490.

a) 14 b) 18 c) 22d) 23 e) 19

49) La suma de los productos parciales de abc × 53 es 1872. Calcula el producto anterior.

a) 12322 b) 12382 c) 12402d) 12202 e) 12352

Número circular Observemos qué le sucede al número

142857:• Primeroloescribimosdosveces

seguidas en un esquema como éste, de modo que se evidencia una simetría.

Y ahora viene lo lindo:•Silomultiplicamospor2,obtenemos

285714, marcado en el esquema con fondo rojo.

2

8

57 1 4

2

8

5714

• Si lo multiplicamos por 3,obtenemos 428571, marcado en el esquema con fondo rojo.

2

85

7 1 42

8

5714



• Si lo mult ipl icamos por 6,obtenemos 857142, marcado en el esquema con fondo rojo.

2

85

7 1 42

8

5714

2

8

57 1 4

2

8

57

14

2

8

57 1 4

2

8

5714

2

8

57 1 4

2

8

5714

• Finalmente, si lomultiplicamospor 7, obtenemos 999999, número simétrico por excelencia.

41) Halla "a + b + c + d + e" si:

abcde7 × 5 = 7abcde

a) 19 b) 20 c) 21d) 24 e) 27

48) La suma de productos parciales de N x aa es 738, calcula el producto.

a) 4059 b) 4029 c) 4039d) 4049 e) 4069

673ro de Secundaria

Aritmética


1) En cuántas veces aumenta el producto de tres números si el primero se triplica, el segundo aumenta en su doble y el tercero en su triple.

a) 30 d) 35 b) 32 e) 36 c) 34

3) Halla: a+b+c+m+n si abc3 x 9=mnnnn

a) 36 d) 30 b) 34 e) 28 c) 32

2) El producto de dos números es 736, si el multiplicando aumenta en 5 unidades el nuevo producto es 896. Halla el multiplicador.

a) 28 d) 26 b) 30 e) 42 c) 32

4) Halla:

a+b+c si abc x 999 = ...727

a) 10 d) 16 b) 12 e) 18 c) 14

5) Si: a x abc = 546 b x abc = 1911 c x abc = 819 Calcula a.b.c.

a) 30 d) 48 b) 36 e) 54 c) 42


Aritmética


• Entodadivisiónsecumplequeelresiduo es menor que el divisor.

cero≤residuo<divisor

• En la división entera inexacta secumple que:

residuo máximo = divisor - 1residuo mínimo = 1

• Enunadivisiónexactaparaqueelcociente aumente o disminuya 1, entonces al dividendo se aumenta o disminuye 1 × divisor.

• Sisemultiplicaodivideeldividendoy el divisor por un mismo número, el cociente no varía, pero el residuo queda multiplicado o dividido, según el caso, por dicho número.

Si D = dq + R D.k =(d.k)q+R.k

• Enunadivisiónexactaelmáximovalor que puede añadirse al dividendo para que el cociente no varíe es:

divisor - 1

División

DEFINICIÓN Es la operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercer número llamado cociente (q), que multiplicado por el divisor y sumar su residuo, nos da el dividendo.

CLASES DE DIVISIÓN

En general:

1. División Exacta

Ejemplo:

135 5___ 27 0

5 está contenido 27 veces en 135

135 = 5 . 27

⇒

Es aquella en la cual el dividendo contiene al divisor un número entero (exacto) de veces y, por tanto, el residuo es cero.

D d q 0

D = d . q

Se cumple:

donde:D: Dividendod : Divisorq : CocienteR : Residuo

D d q R

2. División Inexacta

Es aquella en la cual el divisor no está contenido de forma exacta en el dividendo y, por tanto, existe un residuo distinto de cero.

a) División Inexacta por Defecto:

El segmento bc parece más largo que el ab, aunque en realidad son iguales.

La ilusión de Müller-Lier

Rd < d

D d qRd

D = dq + Rd

Se cumple:

Ejemplo:

147 15___ 9 12

15 está contenido 9 veces en 147, q u e d a n d o 1 2 unidades.

147 = 15 . 9 + 12

⇒

b) División Inexacta por Exceso:

Re < d

D d q+1-Re

D = d(q+1)-Re

Se cumple:

Ejemplo:

147 15___ 10-3

15 está contenido 10 veces en 147, excediendo en 3 unidades.

147 = 15 . 10 - 3

⇒

PROPIEDADES

a b c

DK

d.qK= + R

K

693ro de Secundaria

Aritmética


Son varios los signos que tenemos para indicar la división: La barra horizontal, de origen árabe, ya era usada por Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI. Es, desde luego, la forma más satisfactoria, pues no sólo indica la operación sino que en el caso de que sean varias las operaciones a realizar establece el orden de prioridad entre ellas (digamos que además de signo es paréntesis). La barra oblicua, (/), variante de la anterior para escribir en una sola línea, fue introducida por De Morgan en 1845.

En 1659, el suizo Johann Heinrich Rahn inventó para la división el signo ÷, que resulta bastante gráfico una vez que la barra de fracción es norma general. No tuvo mucho éxito en su país, Suiza, pero sí en Gran Bretaña y los Estados Unidos, aunque no tanto en la Europa continental.Los dos puntos se deben a Leibniz (1684), que los aconsejaba para aquellos casos en los que se quisiese escribir la división en una sola línea y la notación con raya de fracción no fuese por tanto adecuada. Este signo mantiene el parentesco de la división con la multiplicación, para la que Leibniz usaba un punto. En cuanto al gnomon o ángulo que utilizamos para separar dividendo, divisor y cociente en la división larga no se dispone de una información precisa. Boyer, en su Historia de la matemática, p.182, dice: "Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por tanto, es muy probable que también provenga de la India el método de "división larga" conocido como el "método de la galera", por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Pues bien: en dicho "método de la galera" se utilizaba un ángulo parecido al que se usa en la actualidad para separar el divisor de los otros números. Esta es la referencia más antigua que he encontrado".

Leonardo de Pisa

División

÷ :

Leonardo de Pisa, fue el primero que utilizó la denominación de números quebrados al llamarle números ruptos (rotos).

Nivel I

1) En una división inexacta el divisor es 12 y el cociente 27. Halla el dividendo si el residuo es míni-mo.

a) 325 b) 300 c) 250 d) 352 e) 271

2) En una división inexacta el divisor es 17 y el cociente 31. Halla el dividendo si el residuo es máximo.

a) 551 b) 543 c) 653 d) 672 e) 700

3) Al sumar dos números se obtiene 170 y al dividirlos se obtiene 2 como cociente y 17 como residuo. Halla el menor de dichos números.

a) 51 b) 55 c) 57 d) 59 e) 60

4) Al sumar dos números se obtiene 298. Halla el mayor de ellos si al dividirlos se obtiene 5 de cociente y 16 como residuo.

a) 243 b) 251 c) 365 d) 374 e) 193

5) En una división inexacta el residuo por defecto es 17 y el cociente por exceso es 24. Calcula el dividendo si el residuo por exceso es 12.

a) 684 b) 531 c) 472d) 728 e) 853

6) En una división inexacta el residuo por exceso es 9 y el cociente por defecto 15. Halla el dividendo si el residuo por defecto es 5.

a) 213 b) 214 c) 215d) 216 e) 217

7) Si al dividir un número entre 105 se obtiene por residuo 60 y al dividirlo entre 117 se obtiene 12 por residuo, halla dicho número si en las dos divisiones se obtuvo el mismo cociente.

a) 530 b) 610 c) 750d) 480 e) 870

8) Al dividir un número entre 121 se obtiene 32 como residuo y al dividirlo entre 129 se obtiene 8 como residuo. Si en las dos divisiones se obtiene el mismo cociente, halla dicho número.

a) 229 b) 350 c) 395d) 450 e) 275

9) En una división el resto por exceso es el triple del resto por defecto. Si el cociente por defecto es 15 y el dividendo más el divisor es 520, calcula el divisor.

a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 35

10) En una división, el resto por exceso es la mitad del residuo por defecto. Si el cociente por exceso es 16 y el dividendo más el divisor suman 550, halla el dividendo.

a) 221 b) 383 c) 493d) 517 e) 671


Aritmética


Nivel II11) En una división inexacta el cociente es 21 y el residuo 4. Si el dividendo se aumenta en 100 unidades y se vuelve a dividir, se obtiene una división exacta de cociente 25. Halla el dividendo original.

a) 550 b) 620 c) 730d) 470 e) 350

12) En una división inexacta el cociente es 10 y el residuo 5. Si el dividendo se aumenta en 102 unidades y se divide entre el mismo divisor se obtiene 17 por cociente y 9 por residuo, ¿cuál es el divisor?

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

13) ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que al dividirlos por 23 den un residuo que es el doble de su cociente?

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

14) ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que al dividirlos por 16 den un resto que es el cuádruple de su cociente?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Ninguno

15) En una división al residuo le faltan 9 unidades para ser máximo y será mínimo al restarle 31. Halla el dividendo si el cociente es la mitad del residuo.

a) 703 b) 704 c) 705d) 706 e) 707

16) En una división por defecto al residuo le falta 36 unidades para ser máximo y será mínimo si restamos 34. Halla el dividendo si el cociente es la quinta parte del residuo.

a) 329 b) 151 c) 539d) 623 e) 715

17) En una división inexacta la suma de los términos es 113. Si triplicamos el dividendo y el divisor, la suma de los cuatro términos resulta ahora 331. Halla el cociente.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

18) La suma de los términos de una división inexacta es 128. Si el dividendo y el divisor se reducen a su tercera parte, la nueva suma es 50. Halla el cociente.

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

19) En una división inexacta el divisor es 50 y el residuo es el triple del cociente respectivo. Halla el máximo valor que puede tomar el dividendo.

a) 848 b) 771 c) 215d) 253 e) 594

20) En una división inexacta el divisor es 37 y el residuo es el doble del cociente. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar el dividendo?

a) 604 b) 702 c) 553d) 671 e) 800

21) En una división el cociente es 18, el divisor es el doble del cociente y el residuo el máximo posible. Halla la suma de cifras del dividendo.

a) 12 b) 17 c) 21d) 25 e) 29

22) En una división el cociente es 12, el divisor es el triple del cociente y el residuo es mínimo. Halla la suma de cifras del dividendo.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

23) ¿Cuántos números enteros menores que 400 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 12 y su resto 14?

a) 32 b) 15 c) 19d) 18 e) 20

24) ¿Cuántos números menores que 500 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 15 y su residuo cuatro tercios del cociente?

a) 12 b) 14 c) 13d) 11 e) 10

25) Al dividir dos números enteros positivos se obtiene 18 de resto y 7 de cociente. Si el dividendo excede al divisor en una cantidad igual al cuadrado del resto, calcula el divisor.

a) 51 b) 53 c) 28d) 38 e) 61

26) En una división inexacta el divisor es el menor capicúa de 3 cifras, el cociente es la mitad del resto que es máximo. Entonces el dividendo es:

a) 5150 b) 5050 c) 5250d) 5350 e) 5500

713ro de Secundaria

Aritmética


Nivel III

27) En una división inexacta el divisor y cociente poseen las mismas 2 cifras: 6 y 7 pero en orden inverso, siendo el resto máximo. El menor valor del dividendo es:

a) 5158 b) 5198 c) 5167d) 5307 e) 5107

28) En una división de enteros positivos el divisor es 12 y el resto 7. Si el dividendo se multiplica por 12, el resto de la división será ahora:

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 0

29) En una división de enteros positivos el resto y divisor son 15 y 4 respectivamente. Si el dividendo se quintuplica y se repite la operación, el nuevo resto será:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

30) En una división de enteros positivos el resto y divisor son 18 y 13 respectivamente. Si el dividendo se cuadruplica, entonces volviendo a dividir, el resto será:

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

31) Calcula el divisor de una división, tal que el dividendo es el mayor número de 3 cifras diferentes, el cociente es 57 y el resto 18.

a) 20 b) 19 c) 18d) 17 e) absurdo

32) En una división exacta cuyo divisor es 23, cuál será el menor valor que se debe añadir al dividendo para que el cociente aumente 3 unidades.

a) 45 b) 46 c) 68d) 69 e) 26

33) En una división exacta cuyo divisor es 17, diga el mayor valor que debe añadirse al dividendo para que el cociente aumente 3 unidades.

a) 33 b) 34 c) 51d) 50 e) 67

34) En una división el divisor y resto son 7 y 15 respectivamente. Calcula el menor valor que debe aumentarse al dividendo para que el cociente aumente en una unidad.

a) 8 b) 22 c) 14d) 21 e) 15

35) En una división el divisor y resto son 3 y 17 respectivamente. El menor valor que debe añadirse al dividendo para que el cociente aumente en 4 unidades es:

a) 14 b) 31 c) 68d) 65 e) 51

36) La diferencia de 2 números es 64 y la división del mayor entre el menor da cociente 3 y residuo 18. ¿Cuál es el mayor?

a) 87 b) 32 c ) 7 9 d)49 e) 85

37) La suma de dos números es 611, si la división entre ellos tiene cociente 32 y el residuo es el más grande posible. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos números?

a) 574 b) 573 c) 575 d) 572 e)576

38) Al dividir un número entre 113, se halló por resto 11 y dividiendo entre 108, el resto es 31. Si en las dos divisiones el cociente es el mismo, ¿cuál es el producto de las cifras del dividendo?

a) 24 b) 36 c) 48d) 54 e) 72

39) El cociente de una división entera es 11 y el resto es 39. Halla el dividendo si es menor que 500. Da como respuesta el número de soluciones posibles.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

40) La suma de los cuatro términos de una división entera inexacta es 641. Si al dividendo y al divisor se le multiplica por 7, la suma de términos será 4 349. Halla el cociente.

a) 23 b) 20 c) 32d) 41 e) 18

41) En una división el dividendo es 498 y el residuo 17. ¿Cuál es la mínima cantidad que se puede aumentar al dividendo para que el cociente aumente en dos unidades, sabiendo que el divisor es 37?

a) 48 b) 52 c) 55d) 57 e) 62

42) Se sabe que en una división entera el divisor es 30 y el residuo 12. ¿Cuántas unidades como mínimo se le puede disminuir al dividendo para que el cociente disminuya en 11 unidades?

a) 311 b) 345 c) 342d) 314 e) 313


Aritmética


43) Determina el número N si es el mayor posible y además al dividirlo entre 50, se obtiene un resto que es el triple del cociente.

a) 1 079 b) 750 c) 890 d) 913 e) 848

44) En una división el cociente es 18, el divisor es el doble del cociente y el residuo es el máximo posible. Halla la suma de cifras del dividendo.

a) 12 b) 17 c) 21d) 25 e) 29

45) La suma de dos números es 328 pero si se los divide, el cociente es 6 y su residuo 13. Halla el número mayor.

a) 204 b) 246 c) 261d) 273 e) 283

46) ¿Cuál es el mayor número entero que al dividirse entre 45 da por residuo el triple del cociente? Da como respuesta la suma de sus cifras.

a) 10 b) 12 c) 16d) 15 e) 572

50) En una división entera inexacta se observa que la suma de los términos es 1 073. Si se triplica el dividendo y el divisor, entonces la suma de los términos es 3 153. Entonces el divisor puede ser:

a) 31 b) 43 c) 25 d) 29 e) 30

47) En la siguiente división:

Calcula m+n+p.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

m7n mn

pp1n

48) ¿Cuántos números enteros menores que 400 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 12 y su resto 14?

a) 32 b) 31 c) 20d) 18 e) 14

49) ¿Cuántos números enteros positivos cumplen con la condición de que al ser divididos entre 25 se obtiene un resto igual al sextuple del cociente respectivo?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Esta representación no es más que un ejemplo de división de dos números de varias cifras, en el cual todas ellas se han sustituido por puntos:

No se da ni una sola cifra del dividendo ni del divisor. Se sabe únicamente que la penúltima cifra del cociente es 7. Hay que hallar el resultado de esta división. Advertimos, por si acaso, que todos los números que se consideran escritos aquí se encuentran en el sistema de numeración decimal. Este problema sólo tiene una solución.

Una División Misteriosa

733ro de Secundaria

Aritmética


1) En una divisón inexacta el divisor es 15 y el cociente 18. Halla el dividendo si el residuo es mínimo.

a) 284 d) 300 b) 270 e) 350 c) 180

3) En una división inexacta el residuo por defecto es 15 y el cociente por exceso es 21. Calcular el dividendo si el residuo por exceso es 17.

a) 655 d) 700 b) 640 e) 550 c) 670

2) Al sumar dos números se obtiene 106 y al dividirlos se obtiene 3 como cociente y 14 como residuo. Halla el menor de dichos números.

a) 43 d) 18 b) 33 e) 70 c) 23

4) ¿Cuál es el mayor número entero que al dividirse entre 20 da por residuo el triple del cociente? Da como respuesta la suma de sus cifras.

a) 9 d) 12 b) 10 e) 14 c) 11

5) ¿Cuántos números pueden ser dividendos de una división de divisor 20 y de residuo igual al cuadrado de su cociente respectivo?

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5


Aritmética


Potenciación

Potencia Operac ión que cons i s te en multiplicar un número por sí mismo varias veces.

2 x 2 x 2 = 23

5 x 5 x 5 x 5 = 54

Ejemplos:

En general:

b x b x b x b x ... x b = bn

«n» factores PotenciaPerfecta

Exponente

Teorema Fundamental Para que un número sea una potencia de «n», es condición necesaria y suficiente que todos los exponentes de los factores primos de su descomposición canónica sean múltiplo de «n».

En general:

ρ =aα . bβ . cγ

⇒ ρn = aαn . bβn . cγn

Cuadrado Perfecto Un número es cuadrado perfecto si en su descomposición canónica, los factores primos, están elevados a exponentes múltiplos de 2.

k2 = a2α . b2β . c2γ

36 = 32 . 22

2500 = 22 . 54

Criterios de Inclusión y Exclusión de Cuadrados

A. SEGÚN SU ÚLTIMA CIFRA

6400 = 64 . 102 = 82 . 102 = 28 . 52

k ...0 ...1 ...2 ...3 ...4 ...5 ...6 ...7 ...8 ...9

k2 ...0 ...1 ...4 ...9 ...6 ...5 ...6 ...9 ...4 ...1

Conclusión:

Todo k2 NO puede terminar en 2; 3; 7 y 8

B. POR LA TERMINACIÓN DE CIFRAS CEROS

Ejemplo:

En general:

abc... x 0000 ... 00 = k2

cuadradoperfecto

«2n» ceros

52 = 25

252 = 625

152 = 225

C. TERMINACIÓN EN CIFRA “5”

Ejemplos:

Ejemplos:

Reconocer cuando un núme-ro tiene posibilidad de ser k2 a fin de efectuar cálculos con rigurosidad.

Cuadrados

POTENCIACIÓN

Caracteres de exclusión

Aplicaciones

753ro de Secundaria

Aritmética


En general:

Si abc...xy5 = n5 2

⇒ y = 2 ∧ abc...x = n(n+1)

D. NÚMERO PAR k2 ES 4°

142 = 196 → es 4

182 = 324 → es 4

º

º

En general:

(2n)2 = 4n2 → es 4º

E. NÚMERO IMPAR k2 ES 8 + 1°

152 = 225 → es 8 + 1

172 = 289 → es 8 + 1

º

º

En general:

(2n+1)2 = 4n2+ 4n + 1 = 4n (n+1) + 1

∴es 8 + 1.º

F. APLICANDO EL CRITERIO DEL 9°

Todo k2 puede ser 9; 9 + 1 ; 9 + 4 ó 9 + 7.

ºº ºº

152 = 225 es 9

232 = 529 es 9 + 7

312 = 961 es 9 + 7

172 = 289 es 9 + 1

162 = 256 es 9 + 4

º

º

º

º

º

Ejemplo 1:

Resolución:

¿Cuál de los siguientes números puede ser k2?

a) ab44 b) ab66 c) cd02

(a) pues si es par debe ser 4. º

Ejemplo 2:

Resolución:

¿Cuál de los siguientes no es k2?

a) cde6 b) abc4 c) abc7

(c) el k2 no puede terminar en 7.

Ejemplo 3:

Resolución:

¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2?

a) (a – 2)(8 – a) 61

b) b(b + 2)(5 – b)(10 – b)

c) (a – 1)a a(8 – 3a)

∴ No puede ser k2, la clave (b).

a) Suma de cifras es 13 → 9 + 4

b) Suma de cifras es 17 → 9 + 8

c) Suma de cifras es 7 → 9 + 7

º

º

º

Ejemplo 4:

Un k2 tiene por cifras 0; 2; 5; 7 y 8. Calcula la raíz cuadrada.

Se sabe muy poco de la vida de Pitágoras, parece haber nacido en Grecia, en la Isla de Samos, a mediados del siglo VI a.C. Se piensa que fue discípulo de Tales, que viajó por Egipto pero que a su regreso estando su país ocupado por los Persas, se fue a las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela Pitagórica.

Pitágoras(582 a.C. - 497 a.C.)

Una adivinanza

Augustus de Morgan (1806 - 1871) fue un matemático inglés nacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzas y problemas ingeniosos. Este personaje, nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanza sobre su edad: «En el año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?»

Ejemplos:


Aritmética


Resolución:

⇒ Sólo puede terminar en 0 ó 5, debe ser 5, pues sólo hay un 0.

⇒ La decenas debe ser el 2.

⇒ Las posibilidades son:

780 25 870 25 708 25 807 25

⇒ Lo que precede a 25 debe terminar en 0, 2 ó 6 y además debe ser n(n+1).

78025 ó 87025

Luego 87025 = 2952

∴ La raíz es 295.

{ {

No 29x30

Ejemplo 5:

Resolución:

⇒ “n” no puede ser 0; 1; 5; 6; 7; 8 ó 9.

⇒ Tampoco no puede ser 3 pues la decena no será 2.

⇒ Las posibilidades son:

n = 2 → 3254 es 9 + 5, No n = 4 → 5476

∴ n = 4

º

Ejemplo 6:

Si (n + 1)n(n + 3)(n + 2) = k2, calcula «n».

Si 55yx5 = k2, calcula y + x + k.

⇒ x = 2

⇒ 55y = n(n + 1)

550 No 552 = 23 x 24 556 No

⇒ Luego 55225 = 2352

⇒ y + x + k = 2 + 2 + 235

∴ y + x + k = 239

Resolución:

Ejemplo 7:

Resolución:

Si 7ab6 = k2, calcula la suma de los valores de ab.

⇒ 7006 ≤ k2 ≤ 7996 83,7 ≤ k ≤ 89,4

⇒ k → 84; 85; 86; 87; 88; 89

⇒ pues : k = 84 → 842 = 7056 k = 86 → 862 = 7396

∴ ab = 05 ó 39suma = 44

Ejemplo 8:

Resolución:

Demuestra que en el sistema de base 12 todo k2 no puede terminar en 2; 3; 5; 6; 7; 8; α ni β.

Un número del sistema de base 12 puede terminar en 0, 1, 2, ..., α y β; donde α = 10 y β = 11.

Ahora bien, sus cuadrados:

k k2

0 → 0 1 → 1 2 → 4 3 → 9 4 → 4 5 → 1 6 → 0 7 → 1 8 → 4 9 → 9 α → 4 11 → 1

Es decir, para:

⇒ 5 → 52 = 25 = 12 + 1

∴ 5 → 1

Luego no puede terminar en: 2; 3; 5; 6; 7; 8; α y β

º

Nivel I

1) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2?

a) ab36 d) abc8b) bc5 e) 1ab4c) abc9


a) ab000 d) xy00b) cd7 e) 1ab8c) ab45


a) a9 d) ab24b) xy25 e) xy66c) ab44

773ro de Secundaria

Aritmética


Nivel II


a) cab72 d) ab641b) abc001 e) abc725c) abc64


a) (a + 2)a(8 – 2a)9b) a1(6 – a)6c) (7 + a)(a + 2)(4 – 2a)9d) (4 + a)(5 – a)(a – 3)(10 – a)e) 6(a + 3)(10 – a)4

6) El menor valor que debe multiplicarse a 12 para que sea k2, es:

a) 1 d) 3b) 12 e) 6c) 8

7) El menor valor entero positivo por el cual se debe dividir 12 para que sea k2, es:

a) 1 d) 12b) 2 e) 48c) 3


a) 9 d) 9 + 7b) 9 + 6 e) 9 + 4c) 9 + 1

ººº

ºº


a) 11 d) 11 + 1b) 11 + 9 e) 11 + 6c) 11 + 5

ººº

ºº

10) Si 2a9 = k2, calcula a + k.

a) 22 d) 25b) 23 e) 26c) 24

19) El menor valor entero positivo que debe multiplicarse a 23 . 49 para que sea k2 es:

a) 1 d) 49b) 2 e) 98c) 8

11) Si 3b1 = k2, calcula k - b.

a) 10 d) 13b) 11 e) 14c) 12

12) Si a8a = 2b2, calcula a + b.

a) 4 d) 7b) 5 e) 8c) 6

13) Si ab5 = bc2, calcula a + b + c.

a) 10 d) 13b) 11 e) 14c) 12

14) Si abc = (a + b + c)3, calcula a . b . c

a) 10 d) 36b) 12 e) 48c) 16

15) Si aba = ca2, calcula a + b + c.

a) 12 d) 15b) 13 e) 16c) 14

16) Si ab = (a + b)2, calcula a . b

a) 6 d) 12b) 8 e) 24c) 10

17) Si 8ab = k2, calcula a + b + k.

a) 31 d) 34b) 32 e) 35c) 33

18) Si 7ab y 7cd son k2, calcula a + b + c + d.

a) 20 d) 23b) 21 e) 24c) 22

20) Si N = 43 x 63 x 125, ¿cuál es el menor entero positivo que debe multiplicarse a N para que sea k2?

a) 120 d) 6b) 24 e) 4c) 12

21) Si 12p = n2, entonces p es de la forma:

a) p = 12k2 d) p = 8k2

b) p = 3k2 e) p = 12c) p = 6k2

22) Si 24n = k2, entonces n es de la forma:

a) n = 24p2 d) n = 2p2

b) n = 6p2 e) n = 24c) n = 3p2

23) Si 18n = p2, entonces n es de la forma:

a) n = 18k2 d) n = 2k2

b) n = 6k2 e) n = 4k2

c) n = 3k2

24) ¿Qué entero positivo bastará multiplicar a 75 para que sea k2?

a) 3 d) 9b) 5 e) 11c) 7


Aritmética


Nivel III25) Si A = 33 . 5 . 72, ¿por cuánto habrá que multiplicar a A para que sea k2?

a) 9 d) 25b) 5 e) 50c) 15

26) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debes multiplicar a 792 para que el resultado sea un k2?

a) 11 d) 33b) 22 e) 66c) 44

27) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debo multiplicar a 168 para que el resultado sea un cuadrado perfecto?

a) 21 d) 42b) 14 e) 49c) 6

28) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debo multiplicar a 2448 para que el resultado sea un k2?

a) 17 d) 20b) 18 e) 21c) 19

29) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debo multiplicar a 540 para que el resultado sea un k2?

a) 5 d) 45b) 15 e) 50c) 40

30) ¿Cuál es el menor número entero por el cual hay que dividir a 108675 para que el cociente sea un cuadrado perfecto?

a) 575 d) 69b) 115 e) 139c) 483

31) ¿Cuál es el menor número entero por el cual hay que dividir a 1080 para que el cociente sea un cuadrado perfecto?

a) 10 d) 25b) 15 e) 30c) 20

32) Si ab5c0 es un cuadrado perfecto, calcula a + b + c.

(ab5c0 es el máximo posible)

a) 6 d) 9b) 7 e) 10c) 8

33) Si 7ab5c0 es un cuadrado perfecto, calcula a + b + c.

a) 2 d) 9b) 4 e) 10c) 8

34) ¿Cuántos números de 4 cifras son cuadrados perfectos?

a) 60 d) 68b) 64 e) 69c) 66

35) ¿Cuántos números de 3 cifras son cuadrados perfectos?

a) 21 d) 24b) 22 e) 25c) 23

36) Entre 2005 y 66811, ¿cuántos n ú m e r o s s o n c u a d r a d o s perfectos?

a) 89 d) 67b) 21 e) 65c) 66

37) Entre 6067 y 63012, ¿cuántos números no son cuadrados perfectos?

a) 585 d) 588b) 586 e) 589c) 587

38) Entre 200 y 1200, ¿cuántos números son cubos perfectos?

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

39) ¿Cuántos números no son cubos perfectos del 216 al 10000?

a) 9765 d) 9770b) 9767 e) 9771c) 9769

40) Si 1mp5 = k2, calcula m + p + k.

a) 39 d) 36b) 38 e) 35c) 37

41) Si 42ab5 = k2, calcula ba + k.

a) 225 d) 235b) 215 e) 245c) 205

42) Si 84ab0 = k2, calcula k - a + b.

a) 289 d) 292b) 290 e) 293c) 291

43) Si 8ab1 = k2, calcula b - a.

a) 3 d) 9b) 5 e) 6c) 8

44) ¿Cuántos cuadrados perfectos hay en 5x1 ; 5x2 ; 5x3 ; ... ; 5x1000?

a) 13 d) 16b) 14 e) 17c) 15

45) ¿Cuántos cuadrados perfectos hay en 7 × 1 ; 7 × 2 ; 7 × 3 ; ... ; 7 × 7000?

a) 30 d) 29b) 22 e) 31c) 21

793ro de Secundaria

Aritmética


46) Si k2 es de la forma ab96, calcula la suma de valores que puede tomar ab.

a) 105 d) 135b) 115 e) 145c) 125

47) Si k2 es de la forma 7xy9, calcula x + y.

a) 0 d) 16b) 4 e) 11c) 10

48) Si aabb = k2 , calcula a + b + k.

a) 92 d) 99b) 87 e) 101c) 98

49) Si abab + 1 = k2 , calcular a + b + k

a) 116 d) 119b) 117 e) 120c) 118

50) Si k2 = 5cd4, calcula c + d.

a) 6 d) 9b) 8 e) 12c) 10

Se trata de rellenar los cuadrados en blanco con números de una cifra, de manera que la serie de números que pongas debajo de las casillas blancas sumen el número que hay en la casilla coloreada.

Como en los crucigramas normales:

•Serie,sonlascasillasenblancoentredoscasillas coloreadas.

•Si en una casilla coloreada el númeroestá por debajo de la diagonal es que se refiere a la serie que está por debajo suyo, mientras que si el número está por encima de la diagonal se refiere a la serie que está a su derecha.

22 28 12 2917

5

6 1624

42

11

11

1817

7

8 9

27

17

10

12

16

14 19

7

8

Crucigrama de Números

16 6 29 12 28 2224

42

11

1118

17

7

8

8

7

7

7

6

5

5 2

2

22

39

9

3

1

1

3

6 17

6

27

9

1019 14

6 5

66 5

5

52

9 9 3 8

8

8

7

7

1612

1

44

817

97

Solución


Aritmética


"Decisión y tenacidad, esto es lo que hace falta.

El mundo y tu vida cotidiana te proporcionarán

el material sobre el que trabajar".

Sai Baba

1) Todo cuadrado perfecto no termina en:

a) 1 d) 2 b) 0 e) 6 c) 4

3) La suma de las cifras del número cuadrado perfecto comprendido entre 627 y 700 es:

a) 16 d) 19 b) 17 e) 20 c) 18

4) El menor entero positivo que debe multiplicarse a 123 para que sea k2 es:

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

5) ¿Cuántos k2 existen entre 135 y 493?

a) 9 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11

2) Si 90b5 es un cuadrado perfecto, entonces b es:

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

813ro de Secundaria

Aritmética


Repaso

Los babilonios en su última etapa usaron un símbolo para indicar el espacio vacío y también un primitivo sentido del valor de posición; también los mayas lo habían usado ya.

El uso de este símbolo se originó para cubrir los lugares que en las columnas operatorias carecían de cifras, y en las cuales se les ocurrió escribir un punto (.), al cual reemplazaron más tarde por un pequeño círculo (o) y posteriormente por un óvalo (0).

Origen del Cero

Nivel I

1) En una sustracción, s i a l minuendo se le disminuye 14 y al sustraendo se le aumenta 8, entonces la diferencia:

a) Disminuye en 6b) Ddisminuye en 22c) Disminuye en 12d) Aumenta en 6e) Aumenta en 22

2) La suma de los 3 términos de una sustracción es 548. Calcula la suma del sustraendo con la diferencia.

a) 274 b) 214 c) 224d) 234 e) 264

4) Si P = a . b . c, además "a" aumenta 3 veces; b se reduce a sus 3/4 y C se quintuplica. Entonces P:

a) Se multiplica por 5b) Se multiplica por 10c) Aumenta 15 vecesd) Aumenta 14 vecese) Aumenta 13 veces

5) Si a dos números se les aumenta y d i sminuye 15 unidades respectivamente, el producto queda aumentado en 1125. Calcula la diferencia de dichos números.

a) 20 b) 25 c) 90d) 45 e) 60

7) El producto de dos números es 855. Si el multiplicador aumenta en 12 unidades, el nuevo producto es 1395. Halla el multiplicando.

a) 30 b) 36 c) 43d) 45 e) 50

8) En una división inexacta, el dividendo es 615, el cociente 35 y el residuo es 55. Halla el divisor.

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) absurdo

9) ¿Cuántos números enteros positivos existe, tal que al dividirlos por 31 dan un residuo que es el triple del cociente?

a) 5 b) 8 c) 10d) 12 e) 18

3) Si CA(3aa) = (cb3), calcula a + b + c.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

6) Halla x + y + z si xxxx5 = yz8.

a) 7 b) 8 c) 13d) 11 e) 15

Complementar y ejercitar operaciones de división y potenciación, tipo examen de admisión.

División

REPASO

Potenciación


Aritmética


10) El cociente de una división de 2 números naturales es 48 y el residuo es 9. Si el número mayor es menor que 640, entonces, no puede ser:

a) 585 b) 537 c) 489d) 441 e) 633

11) Calcula el menor número que al dividirlo por otro arroja un cociente igual al residuo máximo y éste, a su vez, es el menor número de 2 cifras.

a) 100 b) 110 c) 120d) 115 e) 125

12) Al dividir un número por 13 se obtuvo 7 como residuo. Si dicho número se multiplicara por 15 y se volviera a dividir, ¿cuál será el nuevo residuo?

a) 7 b) 5 c) 3d) 1 e) 6

13) Al dividir un número por 4 el residuo obtenido es 1. Si dicho número se multiplica por 4, ¿cuál será el nuevo residuo?

a) 0 b) 1c) 2d) 3e) No se puede calcular

14) Al dividir 56027 entre 19, calcula la suma del cociente y el resto.

a) 2963 d) 2693b) 2863 e) 2663c) 2683

15) Al dividir 111117 entre 23, ¿en cuánto excede el cociente al resto?

a) 4827 d) 4567b) 4127 e) 4777c) 4267

Nivel II

16) Al dividir A entre B el cociente es 12 y el resto es el máximo posible. Si A + B = 405, calcula A.

a) 0, 1 d) 0, 4b) 2 e) 0, 2c) 0, 5

17) Al dividir un entero positivo por otro, el cociente es 15 y el resto el máximo posible si ambos números suman 696. Calcula el mayor.

a) 676 d) 653b) 655 e) 672c) 658

18) El resto, cociente y divisor de una división son pares consecutivos, respectivamente. Calcula el cociente si el dividendo es 646.

a) 22 d) 28b) 24 e) 30c) 26

19) Si el dividendo de una división es 483 y además el resto, cociente y divisor son impares consecutivos respectivamente. Calcula el cociente.

a) 21 d) 27b) 23 e) 29c) 25

20) En una división, el resto es mínimo. Si el cociente es la mitad del divisor que es el mayor número de 2 cifras, calcula el dividendo si los términos son enteros positivos.

a) 4803 d) 4800b) 4802 e) 4799c) 4801

21) Al dividir 1330 entre 11, calcula la suma del cociente y el resto.

a) 110 d) 140b) 120 e) 150c) 130

22) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.(I) En una división de enteros

el cociente siempre es entero.

(II) En una división, el resto máximo es siempre uno menos que el dividendo.

(III) En una división de enteros positivos, si el dividendo se multiplica por n enteros, el resto también se multiplica por n.

a) VVV d) FVFb) VFV e) FFFc) FFV

23) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.(I) En una división inexacta

de enteros positivos, si el divisor y resto se multiplican por n, entonces el dividendo también se multiplica por n.

(II) En una división inexacta de enteros positivos, si el dividendo y resto se multiplican por n entonces el cociente o el divisor quedará multiplicando por n.

(III) En una división inexacta el resto mínimo es 1.

a) VVV d) FVFb) VVF e) FFFc) FVV

833ro de Secundaria

Aritmética


24) En una división inexacta el resto es máximo, el divisor es 10 unidades menos que el cociente que tiene 2 cifras tal que el producto de sus cifras es 7. El dividendo será:

a) 4390 d) 4393b) 4391 e) 4394c) 4392

abc bc44

25) Si

calcula a - b +c.

a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2

26) En una división inexacta el dividendo termina en 7, el divisor termina en 3 y el resto termina en 8, ¿En qué número termina el cociente?

a) 1 d) 7b) 2 e) 9c) 3

27) En una división inexacta el resto termina en 4, el cociente termina en 9 y el dividendo termina en 3 ¿en qué número termina el divisor?

a) 0 d) 3b) 1 e) 4c) 2

28) A y B poseen 5 y 9 cifras, respectivamente. ¿Cuántas cifras tendrá como mínimo A5 ÷ B2en su parte entera?

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

29) ¿Cuántos k2 hay del 100 al 10000?

a) 90 d) 93b) 91 e) 94c) 92

30) ¿Cuántos k2 hay entre 180 y 1524?

a) 26 d) 29b) 27 e) 30c) 28

Nivel III

31) ¿Cuántos k2 hay entre los 1000 primeros enteros positivos?

a) 29 d) 32b) 30 e) 33c) 31

32) ¿Cuántos k2 hay del 102(5) al 666(7)?

a) 13 d) 16b) 14 e) 17c) 15

33) ¿Cuántos k2 de 3 cifras hay en el sistema decimal?

a) 18 d) 21b) 19 e) 22c) 20

34) ¿Cuántos no son k2 del 1 al 1005?

a) 971 d) 974b) 972 e) 975c) 973


a) 7919 d) 7922b) 7920 e) 7923c) 7921


a) 700 d) 703b) 701 e) 704c) 702

37) Calcula la suma de los k2, comprendidos entre 25 y 100.

a) 228 d) 231b) 229 e) 232c) 230

38) Si 8ab = k2, calcula a + b + k.

a) 30 d) 34b) 32 e) 35c) 33

39) Si 6ab = ab2, calcula a + b.

a) 5 d) 8b) 6 e) 9c) 7

40) Si aba = k2, la suma de valores de k es:

a) 33 d) 36b) 34 e) 37c) 35

41) Si 5ab y 5cd son k2, calcula a+ b+ c+ d.

a) 20 d) 23b) 21 e) 24c) 22

42) Si a(a +1)4 = k2, calcula a + k.

a) 33 d) 36b) 34 e) 37c) 35

43) Si 3n2 = abc, calcula n + a+ b +c si c ≠ 0.

a) 15 d) 18b) 16 e) 19c) 17


Aritmética


44) Si A = 122 x 183, entonces el menor entero positivo por el cual se debe multiplicar a A para que sea k2 es:

a) 216 d) 24b) 18 e) 6c) 12

45) Si N= 243 x 143, entonces el menor entero positivo por el cual se debe dividir para que sea k2 es:

a) 7 d) 6b) 3 e) 21c) 2

46) Si 15abc = xy52,

calcula a + b +c + x + y.

a) 14 d) 17b) 15 e) 18c) 16

47) ¿Qué entero positivo basta multiplicar a 903 para que sea k2?

a) 8 d) 10b) 4 e) 12c) 6

48) Si 6a0b5c = xyz2,

calcula a +b + x + y + z.

a) 17 d) 20b) 18 e) 21c) 19

49) Si 30abcd0 = wxyz2,

calcula: a + b + c + d + w + x + y + z

a) 24 d) 27b) 25 e) 28c) 26

1) El menor entero positivo que se debe multiplicar a 493 para que sea k2 es:

a) 49 d) 0 b) 7 e) 1 c) 14


a) 19 d) 22 b) 20 e) 23 c) 21


a) 21 d) 24 b) 22 e) 25 c) 23

4) Si 18abc = xy52, calcula ab+ xy.

a) 35 d) 38 b) 36 e) 39 c) 37

5) Si 9ab5 = cd2, calcula a.b + c.d.

a) 36 d) 45 b) 32 e) 63 c) 12

853ro de Secundaria

Aritmética


Teoría de la Divisibilidad

En el conjunto Z de los enteros, se define: dados los enteros a y b≠ ocualesquiera, se dice:b es divisor de a y se escribe:

a/bsi existe un entero k, tal que:

a = b.k

también se dice: a es divisible por b oa es múltiplo de b.

* 60 es divisible por 10, pues 60 = 10 x 6

* - 20 es múltiplo de 4, pues -20 = 4 x (-5)

* 8 es múltiplo de 8, pues 8 = 8 x 1

* 0 es múltiplo de 5, pues 0 = 5 x 0

* 5 es divisor de 40, pues

* 7 no es divisible por 0, pues

* 6 es divisor de -24, pues

Ejemplos:

405 = 8

no existe70

= -4-246

* 1 es divisor de todo número.

* 0 es múltiplo de todo número, excepto de él.

NOTACIÓN DE UN MÚLTIPLO DE n

n ; n ∈Z

• Indica los múltiplos de 12. Éstos son: ...; -24; -12; 0; 12; 24;

36; ...

OBTENCIÓN DE UN MÚLTIPLO

Si a = n ⇒ a = n.k

Ejemplo 1:

Calcula la suma de los 20 primeros enteros positivos divisibles por 11.

Resolución

11 x 1 + 11 x 2 + ... +11 x 2011 x (1 + 2 + 3 + ... + 20) 11 x

2310

20 x 212

Ejemplo 2:

¿Cuántos enteros múltiplos de 7 hay entre 100 y 1394?

Resolución

100 < 7k < 1394 14,2 < k < 199,1 Éstos son: 199 - 15 + 1 = 185

La Teoría de los Números

Los Elementos de Euclides son considerados frecuentemente, de una manera equivocada, como un libro dedicado exclusivamente a la geometría. En los libros VII, VIII y IX trata de la teoría de números: La palabra "número" para los griegos se refería siempre a lo que hoy llamamos naturales o enteros positivos. Euclides no usa expresiones como "es múltiplo de" o "es un factor o divisor de" sino que la sustituye por "está medido por" o "mide a", respectivamente, pues Euclides representa a cada número por un segmento, hablará de un número como AB. También menciona la distinción de un número par, impar, primo, compuesto, plano y sólido (los que se expresan como producto de 2 ó 3 factores, respectivamente)...Howard Boyer, ed. Madrid 1986,página 157.


Aritmética


Ejemplo 3:

Calcula el mayor número de 4 cifras divisible por 43.

ResoluciónSea el mayor número de 4 cifras igual a 43k, hacemos:43h = 9999h = 232,5 como k es entero, tomamos k = 232 y el número será:

43 x 232 = 9976

PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD

1) Si un número divide a otros dos, entonces divide a la suma, a la diferencia, al producto y a la potencia de dichos números.

Es decir: Si a y b son múltiplos de n, entonces a + b ; a - b ; a x b y ak serán también múltiplos de n.

Convención: n + n = n

n - n = n

n × n = n

(n)k = n

2) Si A se divide entre n y dá de residuo r, se representa A como:

n + r

Ejemplo:

Si A y B se dividen entre 5, los restos respectivos son 2 y 3. ¿Cuál será el resto de A × B; A3 y 3A - 2B entre 5?

i. A×B es: (5+2) (5+3) = 5+6

= 5 + 1

ii. A3 es: (5 + 2)3 = 5 + 8

= 5 + 3

iii. 3A - 2B es:

3(5 + 2) - 2(5 + 3)

= 5 + 6 - 6 = 5 ∴ Éstos restos son: 1; 3 y 0

Resolución

3) Si la fracción N/a es entera, entonces N es divisible por a.

4) Si N es divisible por a y por b, entonces será divisible por el MCM de a y b.

Ejemplo 1:

Resolución

Calcula el menor entero positivo divisible por 4 y 6.

Sea N el menor entero positivo tal

que:

N es 4 ⇒

N es 12

N es 6

Luego, el menor será N = 12.

Ejemplo 2:

De un grupo de personas, la cuarta parte son solteros, los 5/6 son mujeres y los 3/5 llevan lentes. ¿Cuántas personas como mínimo forman el grupo?

Resolución

Sea N

i. → solteros N es 4.

ii. → mujeres N es 6.

iii. → lentes N es 5.

Luego N es: 60 El menor será N = 60 personas.

N4

5N6

3N5

5) Todo número es divisible por sus factores si:

N = a × b

entonces: N es a y N es b

Ejemplo:

La expresión abc - cba, ¿de cuántos es múltiplo?

Resolución

abc - cba100a + 10b + c - 100c - 10b - a99a - 99c99 (a - c)3 . 3 . 11. (a - c)

Entonces abc - cba es 3 ; 9 ; 11; 33;

99 y (a - c)

6) En la división: D = dq + r , r < d

i. Si D y d son n → r es n ii. Si d y r son n → D es n iii. Si q y r son n →D es n

Ejemplo:

En una división, el dividendo es 7 + 2, el cociente es 7 + 3 y el resto 7 + 1. ¿Cómo es el divisor?

Resolución

D = dq + r

7 + 2 = d (7 + 3) + 7 + 1

3d = 7 + 1

3d = 7 + 15

d = 7 + 5

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Se denomina ecuación diofántica (en honor al matemático griego Diofanto, siglo IV) a aquella ecuación cuyas constantes son números enteros y cuyas incógnitas representan números enteros.Pueden ser de 2 o más incógnitas y de primer grado o de grado superior.En particular estudiaremos la resolución de una ecuación diofántica lineal de 2 incógnitas.

Ax + By = C

Donde: {A, B, C} ⊂ Z

Para que la ecuación anterior tenga solución es necesario y suficiente que:

oC= MCD (A,B)

+14 =7

873ro de Secundaria

Aritmética


Ejemplo:

Un negociante tiene S/. 1500 y decide comprar cajas de leche y aceite a S/. 70 y S/. 80 cada caja respectivamente. ¿De cuántas maneras se puede efectuar la compra?

Por lo tanto, la compra se puede efectuar de 3 maneras diferentes.

Determinamos todas las soluciones posibles reemplazando los valores de y en la ecuación (1):

Expresando todos los términos en función de :

Sea:x → # de cajas de lechey → # de cajas de aceite → 70x + 80y = 1500 7x + 8y = 150 ... (1)

o7

+ ( + 1) y = y =

+ 3o7

o7

o7

+ 3o7

x y

18 3

10 10

2 17 +7

+7-8

-8

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD

c) La potencia de un múltiplo resulta otro múltiplo del mismo número.

d) Si A no es divisible por n, entonces A es:

e) Si:

N es a ; N es b; entonces N es:

f) Si P = a . b, entonces:

P es a

P es b

P es (a . b)

a) La adición o sustracción de múlti-plos de un mismo número, siempre es igual a un múltiplo del mismo número.

b) La multiplicación de un múltiplo de "n" por un entero, da como producto un múltiplo de "n".

n . k=n

n+n=n

n + r ; r < n ó n - r' ; r' < n

n - n=n

(n ) = n

K∈Z+

MCM(a;b)

Plaza de San Pedro,Ciudad del Vaticano

Ciudad del Vaticano, centro mundial de la Iglesia Católica, es un estado independiente dentro de la ciudad de Roma. Muchos de sus edificios fueron diseñados y decorados por algunos de los mejores artistas del momento. Gian Lorenzo Bernini diseñó en 1667 la Gran Plaza que enmarca la entrada a la Basílica dentro de un dinámico espacio oval formado por dos columnas semi-circulares.

Nivel I

1) Del 1 al 1200, determina: ¿Cuántos números enteros son 2? ¿Cuántos números son 10? ¿Cuántos números no son 30? Hal la l a suma de d ichas

respuestas.

a) 760 b) 1600 c) 1880 d) 1260 e) 1500

2) Del 1 al 1500, determina: ¿Cuántos números son 5 ? ¿Cuántos números son 6 ? ¿Cuántos números no son 15 ? Hal la l a suma de d ichas

respuestas.

a) 1950 b) 1800 c) 1500 d) 980 e) 800

3) Del 1 al 750, ¿cuántos números enteros son 3 pero no 5?

a) 150 b) 200 c) 180 d) 240 e) 210

4) Del 1 al 820, ¿cuántos números enteros son 2 pero no 41?

a) 400 b) 180 c) 370 d) 280 e) 390

k


Aritmética


Nivel II5) ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 5 y 7 a la vez?

a) 183 b) 257 c) 123 d) 217 e) 297

6) ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 4 y 11 a la vez?

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

7) En un examen donde participan 100 alumnos, de los aprobados 1/3 son mujeres, los 5/6 proceden de colegios nacionales y los 3/8 son menores de 15 años . ¿Cuántos salieron desaprobados, sabiendo que es el menor posible?

a) 8 b) 12 c) 6 d) 4 e) 2

8) Un bus con 100 personas se estrelló; de los sobrevivientes los 8/9 no fuman, los 5/12 no beben y los 7/8 son solteros. ¿Cuántos no son solteros?

a) 10 b) 8 c) 9

d) 11 e) 12

9) Determina la suma de los 24 primeros múltiplos enteros positivos de 6.

a) 1600 b) 1500 c) 900 d) 1800 e) 1100

10) La suma de los ‘‘n’’ primeros múltiplos enteros positivos de 5 es 950. Halla ‘‘n’’.

a) 17 b) 19 c) 21

d) 23 e) 24

11) Expresa de manera simpli-ficada:

(9 +8) + (9 + 3)(9 - 5)

a) 9 + 2 d) 9 + 1

b) 9 +3 e) 9 + 4

c) 9 + 5

12) Expresa de manera simpli-ficada:

(8+1)+(8 + 2)+( 8+3)+...+ (8+ 43)

a) 8 + 2 d) 8 + 5

b) 8 + 6 e) 8 - 4

c) 8 + 3

13) ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 y terminan en 8?

a) 27 b) 29 c) 32

d) 30 e) 34

14) ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 6 y terminan su escritura en 2?

a) 181 b) 299 c) 305

d) 300 e) 400

15) En una división el divisor es (11+ 3); el cociente es (11 + 8) y el resto ( 11 + 9). ¿Qué forma tiene el dividendo?

a) 11 + 3 d) 11 + 9

b) 11 e) 11 + 4

c) 11 + 1

16) En una multiplicación, el producto es de la forma (13 + 3). Si uno de los factores es ( 13 + 2), ¿de qué forma será el otro factor?

a) 13+ 9 b) 13 - 2 c) 13 + 5

d) 13+ 8 e) 13 + 1

17) Del 1324 al 2007, ¿cuántos enteros son divisibles

por 9?

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

18) Del 222(3) al 777(8), ¿cuántos enteros son múltiplos de

15 con resto 7?

a) 29 b) 30 c) 31

d) 32 e) 33

19) Un número de la forma (3a)(3b)ab siempre es múltiplo de:

a) 41 b) 43 c) 11

d) 17 e) 9

20) Un número de la forma ab(2a)(2b), es siempre divisible por:

a) 6 y 34

b) 6 y 17

c) 6, 17 y 34

d) 6, 17, 34 y 51

e) 51 y 6

893ro de Secundaria

Aritmética


21) En un salón de clase, la cantidad de alumnos es mayor que 354 pero menor que 368. El número de alumnos es tal que si se agrupan de 2 en 2 sobra 1 y si se agrupan de 7 en 7 sobran 4, ¿cuántos alumnos se deben aumentar para que al agruparlos de 12 en 12 no sobre nadie?

a) 11 b) 12 c) 10

d) 9 e) 8

22) Los alumnos del curso de aritmética se sientan en bancas de 7 alumnos, excepto la última banca donde se sientan 8 alumnos. Cuando van al laboratorio se sientan en mesas de 4 alumnos salvo un alumno que se sienta solo. ¿Cuál es el número de alumnos si se sabe que está comprendido entre 76 y 92? Da como respuesta la suma de cifras del número hallado.

a) 12 b) 15 c) 13

d) 10 e) 11

23) En una fiesta donde habían 342 personas entre hombres y mujeres, la cantidad de varones era múltiplo de 11 y la cantidad de damas múltiplo de 7, siendo la diferencia entre estas cantidades mínima. Determina el número de hombres.

a) 220 b) 198 c) 231 d) 187 e) 209

24) Una tienda comercial importa refrigeradoras y lavadoras cuyos precios por unidad son $ 270 y $210, respectivamente. Si gastó en total $ 2730, ¿cuántas refrigeradoras compró?

a) 7 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5

25) Un determinado artículo cuesta S/. 2,10. Si un comprador tiene 15 monedas de 5 soles y la cajera tiene 20 monedas de 2 soles, ¿de cuántas maneras diferentes se puede efectuar el pago si compró 10 de dichos artículos?

a) 3 b) 4 c)5 d) 6 e) 7

26) Del 1 al 100, ¿cuántos son múltiplos de 6?

a) 15 b) 16 c) 17

d) 14 e) 12


a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16


a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37

29) Del 1 al 300, ¿cuántos números no son múltiplos de 8?

a) 36 b) 37 c) 262 d) 263 e) 264

30) ¿Cuántos números existe entre 300 y 500, que sean a la vez divisibles por 4 y 6?

a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15

Nivel III

31) Ha l l a l o s e l emento s de l conjunto:

A = {x ∈ N / 23 < x < 38, x es divisible por 4}

a) {24, 28, 32, 36} b) {16, 18, 20, 24} c) {12, 16, 24} d) {36, 40} e) N.A.

32) Ha l l a l o s e l emento s de l conjunto:

E = {x ∈ N / 70 < x < 90, x es divisible por 8}.

a) {76, 78} b) {74, 76} c) {72, 80, 88} d) {80} e) N.A.

33) En un barco había 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determina cuántas personas murieron en dicho accidente.

a) 100 b) 80 c) 75 d) 70 e) 60


Aritmética


34) A un congreso asisten entre 100 y 200 ingenieros. Si se sabe que 2/7 de los asistentes son ingenieros mecánicos y los 5/11 son ingenieros mineros, ¿cuántos son ingenieros mineros?

a) 154 b) 74 c) 84 d) 100 e) 70

35) A un congreso médico asistieron entre 500 y 600 personas. Se observó que 2/7 de los asistentes son g inecólogos , 1 /3 son neurólogos y 2/13 son pediatras, ¿cuántos asistentes no son pediatras?

a) 317 b) 462 c) 421 d) 386 e) 216

36) En un barco viajaban 90 personas y ocurrió un accidente, de los sobrevivientes se sabe que las 3/13 son niños y la quinta parte son casados. ¿Cuántos murieron?

a) 30 b) 25 c) 90 d) 65 e) 100

37) Indica cuántos múltiplos de 3 hay en:

1, 2, 3, 4, 5, ..., 284

a) 90 b) 91 c) 94 d) 95 e) 96

38) ¿Indica cuántos múltiplos de 7 hay en:

1, 2, 3, 4, ..., 875?

a) 100 b) 120 c) 125 d) 130 e) 150

39) ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 14 y terminan en 8?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

40) ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 17?

a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55

41) ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 7 y 5 a la vez?

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

42) Del 400 al 1400, ¿cuántos números son múltiplos de 7 pero no de 5?

a)114 b) 143 c) 150 d) 140 e) 29

43) ¿Cuántos números del 1 al 210 no son múltiplos de 3 ni de 5?

a) 210 b) 98 c) 112 d) 70 e) 115

44) ¿Cuántos números enteros mayores que 500 y menores que 2 100 son múltiplos de 8, 12 y 15 a la vez?

a) 18 b) 15 c) 13 d) 21 e) 26

45) Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre múltiplo de:

a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 e) 45

46) Un número de la forma: ab(2a)(2b) siempre es divisible

por:

a) 30 b) 40 c)51 d) 60 e) 68

47) ¿Por qué número es siempre divisible un número de la forma abba?

a) 2 b) 7 c) 13 d) 11 e) 9

48) Halla un número capicúa de 3 cifras, sabiendo que es múltiplo de 7; y además al agregar 3 unidades a este número se convierte en múltiplo de 5 y al restarle 3 unidades al número original se convierte en multiplo de 2. Da como respuesta la cifra de las decenas.

a) 2 d) 6 b) 0 e) 7 c) Toma 2 valores

49) Halla el año en que nació

Andrés si es 53 + 31 y además fue presidente a los 53 años. Ocho años más tarde volvió a ser presidente (dicho año fue múltiplo de su edad más 3).

Da como respuesta el producto de las cifras del año de nacimiento.

a) 24 b) 72 c) 40 d) 48 e) 32

50) En un salón de clases donde hay 59 personas, la octava parte de los hombres usan anteojos y la séptima parte de las mujeres practican voley. ¿Cuántos hombres no usan anteojos?

a) 14 b) 7 c) 28 d) 21 e) 35

913ro de Secundaria

Aritmética


1) Del 1 al 200, ¿cuántos números no son múltiplos de 8?

a) 150 d) 25 b) 175 e) 30 c) 70


a) 120 d) 200 b) 160 e) 220 c) 180

2) En un barco había 150 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes se sabe que 2/7 fuman, 3/5 son casados y 1/3 son ingenieros. Determina cuántas personas murieron en dicho accidente.

a) 30 d) 75 b) 45 e) 90 c) 60

4) Un número de la forma abba siempre es divisible por:

a) 7 d) 17 b) 13 e) 5 c) 11

5) En una división el divisor es (7 + 2); el cociente (7 + 4) y el resto (7 + 3), ¿qué forma tiene el dividendo?

a) 7 + 1 d) 7 + 4 b) 7 + 2 e) 7 + 5 c) 7 + 3


Aritmética


Repaso

Nivel I

1) Dos números enteros positivos consecutivos tienen por producto, 4a0. El mayor es:

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 24

2) Si xy . y = 224 xy . x = 56 halla el producto xyxy . xy

a) 79184 b) 79914 c) 70484 d) 79024 e) 71264

3) En cierta multiplicación: N x a(2a) Se cometió el error de colocar los

productos parciales sin desplazar hacia la izquierda, obteniendo 258. Halla el producto.

a) 1032 b) 1044 c) 1008 d) 1056 e) 1024

4) Si abc x 13 = ... 641, halla a + b + c.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

5) Si abcdef x 4 = fedcba , halla a + b + c + d + e + f .

a) 18 b) 27 c) 36 d) 45 e) 54

6) En una división de enteros positivos, si el dividendo y el divisor se quintuplican, el resto aumenta en 44. Halla el resto original.

a) 11 b) 10 c) 22 d) 12 e) 13

7) En cierta división inexacta, los términos dividendo y divisor se dividen entre 3, así el resto disminuye en 12. Calcula el resto inicial.

a) 6 b) 10 c) 9 d) 16 e) 18

8) Completa el cuadro:

Donde: r es residuo por defecto. r’ es residuo por exceso. q es cociente por defecto. q’ es cociente por exceso.

Euler nació en Basel, Suiza. Su padre, un pastor, quería que su hijo siguiera sus pasos y lo envió a la Universidad de Basel para prepararle como ministro. Por intersección de Bernoulli, Euler obtuvo el consentimiento de su padre en cambiarse de ministro a matemático. Después de fallar en obtener una posición en Física en Basel en 1726, se unió a la Academia de Ciencia de St. Petesburg en 1727. Cuando se detuvo sus fondos de la academia el sirvió como un lugarteniente médico en la armada rusa de 1727 a 1730. Su reputación creció después de la publicación de muchos artículos y su libro Mecánica (1736 -1737).En 1766, Euler volvió a Rusia. En Rusia l legó a estar casi complemente ciego después de una operación de cataratas, pero aún así podía continuar con su investigación y escritura. Tenía una memoria prodigiosa y podía dictar tratados en óptica, álgebra y movimiento lunar. A su muerte en 1783, dejó atrasados una vasta cantidad de artículos. La academia de St. Petesburg continuó publicándolos por casi 50 años más.

D d q q r r

20

17 10

15

19

10 10 8

19(máx)

5

9(máx)

(máx)

8

Leonhard Euler

933ro de Secundaria

Aritmética


Nivel II

9) ¿Cuántos números cumplen tal que al dividirlos entre 37, el resto es el cuadrado del cociente respectivo?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10) En una división, el divisor y el resto son 7 y 20. Si el dividendo se quintuplica y se vuelve a efectuar la división, entonces el resto original:

a) Se multiplica por 5 b) Disminuye en 8 c) Aumenta en 8 d) Se duplica e) Aumenta en 5

11) Del 1 al 300, ¿cuántos números son múltiplos de 4?

a) 90 b) 36 c) 75 d) 81 e) 74

12) ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 7?

a) 128 b) 136 c) 108 d) 118 e) 218

13) ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 4 pero no de 3?

a) 225 b) 205 c) 200 d) 180 e) 150

14) En una división el divisor es 11+ 2, el cociente es 11+4 y el resto 11+5, entonces el dividendo será:

a) 11+1 b) 11+2 c) 11+3

d) 11+4 e) 11+5

15) Si N = 7 + 3, entonces N2 es:

a) 7+2 b) 7+1 c) 7+3 d) 7+5 e) 7+6

16) La expresión: S = (11+2)3 + (11+3)4 + (11+6)2 es igual a:

a) 11+4 d) 11 - 2 b) 11+8 e) 11 - 4 c) 11+10

17) En un barco viajaban menos de 150 personas y ocurre un accidente, obteniéndose la siguiente información de los sobrevivientes: los tres séptimos son casados y los cuatro treceavos eran extranjeros. ¿Cuántos murieron en el accidente?

a) 41 b) 91 c) 32 d) 59 e) 62

18) Halla el residuo de dividir M entre 8 si se sabe que:

M=(1993)6+(1994)4 + (1995)2)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19) Si 4A =11 y 7A = 4, ¿cuál es el menor valor que puede tomar A si es un número de tres cifras?

a) 124 b) 132 c) 148 d) 101 e) 112

20) Un número de la forma ab(2a)(2b) es siempre divisible por:

a) 2, 3 y 4 d) 2, 6 y 17 b) 2, 17 y 9 e) 2, 3 y 11 c) 3, 4 y 17

21) Calcula (a + b) si: 1ab × CA (ab) = 9744

a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) 5

22) Efectúa 2837 × 999999. Da como respuesta la suma de

cifras del producto.

a) 54 b) 53 c) 55 d) 56 e) 52

23) Si se efectúa 2137753, la cifra de las unidades del producto final es:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

24) La suma de los términos de una sustracción es 164. Si e l sust raendo es igual a l complemento aritmético del minuendo, calcula la diferencia.

a) 60 b) 62 c) 64 d) 66 e) 68

25) Si abc = 2 × cba, calcula a - b + c.

a) 0 b) 3 c) 6 d) 9 e) 11

26) Si a9nm5m es divisible entre 504, halla a.n

calcular a - b + c

a) 21 b) 24 c) 16 d) 9 e) 18


Aritmética


27) En una sustracción, la suma de sus 3 términos es 180. Si la suma del sustraendo más el minuendo es 120, halla el valor de la diferencia.

a) 90 b) 60 c) 45 d) 30 e) 150

28) Si abc - cba = pqr, calcula pqr + rpq + qrp .

a) 999 b) 1998 c) 998 d) 1999 e) 1008

29) La diferencia de 2 números es 305. Si al mayor le quitamos 20 y al menor le aumentamos 85, la nueva diferencia es:

a) 350 b) 200 c) 240 d) 180 e) 179

30) Calcula el CA del mayor número de 3 cifras distintas y da la suma de sus cifras.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Nivel III

31) La suma de los 3 términos de una sustracción es 1118. Si la suma del sustraendo y la diferencia es N, calcula el CA(N).

a) 559 b) 567 c) 542 d) 441 e) 463

32) Si 6mn + npm = 1000, calcula n + m + p.

a) 7 b) 10 c) 12 d) 6 e) 8

33) Si P = AxB y A aumenta en sus 3/5, mientras B disminuye en sus 3/8, entonces P:

a) No se altera b) Aumenta 3 veces c) Disminuye 2 veces d) Se multiplica por 3 e) Se multiplica por 8

34) Si mcdu x 4 = udcm, calcula m + 2c + 3d + 4u.

a) 53 b) 55 c) 57 d) 59 e) 61

35) Calcula la suma de las cifras de la suma de todos los números de 10 cifras cuyo producto de cifras es 7.

a) 68 b) 69 c) 70 d) 71 e) 72

36) Calcula la suma de las cifras de la suma de todos los números de 7 cifras cuyo producto de cifras es 5.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

37) Si 1 + 3 + 5 + ...+n es igual a 1xy5, calcula x + y + n.

a) 70 b) 71 c) 72 d) 73 e) 74

38) Si la suma de los CA de los números a10, a11, a12,...,a89, es 52040, halla el valor de a.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

39) Si mpq - qpm = mn(2m), calcula m x n.

a) 9 b) 18 c) 27 d) 3 e) 15

40) Al sumar a un número de 3 cifras el resultado de invertir el orden de sus cifras se obtuvo 1291; pero si en vez de haberse sumado se hubiera restado, el resultado hubiese terminado en 7. Halla el mayor de los mismos.

a) 791 b) 794 c) 792 d) 793 e) 795

41) Si abc + cba = 1291 y abc - cba = xy5, calcula a + b - c.

a) 3 b) 6 c) 9 d) 5 e) 8

42) Un alumno ha de multiplicar un número por 50 pero al hacerlo se olvida de poner el cero a la derecha, hallando así un producto que se diferncia del verdadero en 11610. ¿Cuál es el número que le dieron a multiplicar?

a) 258 b) 256 c) 257 d) 254 e) 257

43) Si al número 1a2aa5 lo divido entre 11 el resto es 6, halla a.

a) 0 b) 3 c) 4 d) 9 e) 6

953ro de Secundaria

Aritmética


44) Encuentra la suma de todos los números de 3 cifras que sean múltiplos de 7.

a) 567 b) 777 c) 1197 d) 154 e) 1764

45) Si 8xyx5y es divisible entre 88, halla x . y

a) 6 b) 3 c) 4 d) 2 e) 15

46) Calcula (n - x) si el número nx1xn es divisible entre 44.

a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2

47) Si abc = 66(a - b + c), calcula a.

a) 2 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

48) Halla la suma de cifras del menor número de la forma a6b que es múltiplo de 28.

a) 14 b) 15 c) 12 d) 16 e) N.A.

49) Si el número abc6bc es divisible entre 1125, halla el valor de "a".

a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 4

50) Si: 15! = 130a6a4368000 calcular "a"

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

Pierre de Fermat

(Beaumont, Francia, 1601-Castres, 1665) Matemático francés. Poco se conoce de sus primeros años, excepto que estudió derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemáticas, en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas. Diseñó así mismo un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica, a manera de trazar las correspondientes tangentes. Logros todos ellos, que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad. Otro campo en el que realizó destacadas aportaciones fue el de la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto; precisamente en el margen de una página de dicha edición fue donde anotó el célebre teorema que lleva su nombre y que tardaría más de tres siglos en demostrarse. De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados relacionados con las propiedades de los números primos, muchas de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas. Desarrolló también un ingenioso método de demostración que denominó «del descenso infinito». Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (sólo publicó una obra científica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra.


Aritmética


Divisibilidad

Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, permiten determinar su divisibilidad respecto a ciertos módulos (divisor).

Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.Si:...abc es 2 ⇒ c = 0,2,4,6 ó 8°

567328 es 2 porque 8 es 2° °

...abc es 4 ⇒ 2b + c es 4 ó bc = {00, 04,...,96}

° °

132 es 4 pues 32 es 4.° °

Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8; también cuando el cuádruple de la antepenúltima cifra más el doble de la penúltima, más la última cifra resulta un múltiplo de 8.°

...abcd es 8 ⇒ bcd = {000; 008; 016;...;992}

°

También cuando: 4b+2c+d es 8°

3144 es 8 pues 4x1+2x4+1x4 es 16 que es 8.

°°

543621 es 3°

pues 5+4+3+6+2+1=21 es 3°

Un número es divisible por 9 cuando la suma de cifras es un múltiplo de 9.

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Si abcde es 3 ⇒ a+b+c+d+e es 3.°

°

Si abcdef es 9 ⇒ a+b+c+d+e +f es 9.°

°

1863 es 9°

pues 1+8+6+3 es 18 que es 9.°

Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

°24 es 6es 2 (última cifra par)

es 3 (suma de cifras 6)

°

°

Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es cero o cinco.

Si ...abc es 5 ⇒ c = 0 ó 5°

Personaje del tema

Carl Jacobi(1804 – 1851)

En 1834 probó que si una función univaluada de una variable es doblemente periódica entonces la razón de los períodos es imaginaria. Este resultado impulsó enormemente el trabajo en esta área, en particular por Liouville y Cauchy.

Criterios de Divisibilidad

DIVISIBILIDAD POR 2:






Un número es divisible por 4 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4; también si el doble de la penúltima más la última resultan un .Si:

°4


Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo : Ejemplo :

973ro de Secundaria

Aritmética


356785 es 5 pues termina en 5.°

Un número es divisible por 25 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 25.

Si ...abc es 25 ⇒ bc = {00, 25, 50,75}°

°

54325 es 25pues termina en 25

°

Un número es divisible por 125 cuando sus 3 últimas cifras forman un múltiplo de 125.

Si ...abcd es 125 ⇒bcd =000, ó 125°

°

Un número será divisible por 7 cuando se le aplique la siguiente regla de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los siguientes factores: 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,...

Luego de realizar el producto se efectúa la suma y si el resultado es 7 el número será múltiplo de 7.

°

Siabcdefgh es 7 ⇒°

a b c d e f g h

3 1 2 3 1 2 3 1↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

+ - +

⇒h + 3 g+2 f - (e +3 d + 2c) + b + 3a = 7°

1 0 2 1 3 es 7hacemos: -3 -1 2 3 1;pues -3+0 +4+3+3 = 7 que es 7

°

°

Un número es divisible por 11 cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par, resulte múltiplo de 11.

Si abcd es 11 ⇒ b+d-a-c es 11°°

1 0 0 1 es múltiplo de 11hacemos: - + - +pues -1 + 0 - 0 +1 = 0 que es 11°

Se multiplica cada cifra del número por el factor indicado de derecha a izquierda.

a b c d e f g h

3 1 4 3 1 4 3 1↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

(+)(-) (+)(-)

Si: es 13°

3 3 6 3 1 es 13hacemos 3 - 1 - 4 - 3 1pues 9 - 3 -24 -9 + 1 = - 26 es 13°

°

Se descompone en factores cuya divisibilidad se conoce.






DIVISIBILIDAD POR NÚMEROS COMPUESTOS

Nivel I

1) Calcula la suma de valores de x si 222xx es divisible por 7.

a) 8 d) 10 b) 7 e) 11 c) 9

2) Calcula x si x2xx5 es divisible por 7.

a) 2 d) 2 ó 9 b) 3 u 8 e) 1 u 8 c) 3

3) Halla «a» si 4a8a6 es múltiplo de 11.

a) 3 d) 9 b) 5 e) 6 c) 7

4) Halla «a» si 5a782 es divisible por 11.

a) 4 d) 7 b) 5 e) 3 c) 6

F. Cavalieri(1804 – 1851)

Cavalieri desarrolló un método de lo indivisible, el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral.

8178375 es 125pues 375 es 125

°°

⇒ h - (3g+4f+e)+(3d+4c+b)-3a es 13°

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :


Aritmética


Nivel II

13) Calcula el resto de dividir 55...5 (120 cifras)entre 7.

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

14) Al convertir 1212...(37 cifras)a base 9, la cifra de las unidades es:

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

15) Al convertir el número 4343...(28 cifras) al sistema nonario, la cifra de primer orden es:

a) 0 d) 6 b) 2 e) 8 c) 4

10) ¿Cuál es el resto de dividir 282828...(50 cifras entre 11)?

a) 5 d) 8 b) 7 e) 6 c) 3

11) Calcula el resto de dividir 5151... (51 cifras)entre 11.

a) 1 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

7) Si los numerales a43, ab2 y abc son, respectivamente, múltiplos de 7;9 y 11, calcula a + b + c.

a) 7 d) 9 b) 11 e) 8 c) 10

8) Halla (n+m) si 2n5n8 es divisible por 9 y 11, respectivamente.

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

9) Al dividir 4x5x6x7x entre 9 el resto es 5. Calcula x.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

17) ¿Qué valor se debe reemplazar a x para que xx253x sea múltiplo de 13?

a) 3 d) 5 b) 4 e) 2 c) 7

18) Si 5a10b es divisible por 72, calcula «a».

a) 0 d) 4 b) 1 e) 8 c) 3

19) Si el número 7xyx5y es divisible entre 88, halla el valor numérico de x + y.

a) 15 d) 13 b) 12 e) 8 c) 9

20) Indica (x + y) para que 7x36y5 sea divisible por 1375.

a) 5 d) 12 b) 4 e) 3 c) 8

21) A. Calcula «x» si: 4x + 5x+...+9x es divisible por 7.

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

B. Calcula «x» si: 1x + 2x+ 3x+...+10x es divisible por 9.

a) 9 d) 5 b) 8 e) 6 c) 7

22) A. Si 1a60ab es divisible por 99, calcula «b - a»

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

B. Si a8a946b es múltiplo de 56, halla «a + b».

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

23) ¿Cuántos números de 3 cifras existe, tal que sean divisibles por el número formado por sus últimas cifras y éste a su vez divisible por 7?

a) 1 d) 5 b) 3 e) Ninguno c) 4

5) Si CA (1x2x) es divisible por 9, calcula x.

a) 3 d) 8 b) 5 e) 0 c) 6

6) ¿Qué valor toma «a» para que el complemento aritmético de aa37 sea divisible por 9?

a) 0 d) 6 b) 3 e) 9 c) 5

12) Calcula el resto de dividir 222... (68 cifras)entre 7.

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

16) Si a3aa1 = 13 + a2, calcula «a».

a) 2 d) 9 b) 5 e) 6 c) 7

°

993ro de Secundaria

Aritmética


26) Del 1 al 500, ¿indica cuántos enteros son:

I. múltiplos de 5 II. múltiplos de 20 III.múltiplos de 7

H a l l a l a s u m a d e l o s 3 resultados.

a) 190 d) 196 b) 192 e) 198 c) 194

Nació el 17 de agosto 1601 en Beaumont de Lomages, Francia; Fermat fue abogado y un gobernante oficial. Es más recordado por su trabajo,en la Teoría de Números, en particular por el último teorema de Fermat; las matemáticas eran para él su hobby.

En 1636, Fermat propuso un sistema de geometría analítica, similar a uno de Descartes quien lo propuso unos años después. El trabajo de Fermat estaba basado en una reconstrucción del trabajo de Apolonio, usado en el Álgebra de Viete. Similar trabajo dejó Fermat al descubrir métodos similares de diferenciación e integración encontrando los máximos y mínimos.

Falleció el 12 de enero de 1665 en Castres, Francia.

28) ¿Cuántos números de 3 cifras son 23?

a) 37 d) 40 b) 38 e) 41 c) 39

°

Nivel III

29) ¿Cuántos números de 3 cifras son 17?

a) 50 d) 53 b) 51 e) 54 c) 52

°

32) El producto de 3 enteros positivos consecutivos: n (n+1)(n+2)es siempre múltiplo de:

a) 3 y 4 d) 3 y 5 b) 2 y 5 e) 5 y 7 c) 2 y 3

33) La expresión n2 (n2 - 1)es siempre divisible por:

a) 2 y 5 d) 4 y 5 b) 3 y 5 e) 5 y 7 c) 3 y 4

34) Si los alumnos de un colegio se agrupan de a 6; 8 y 11 siempre sobran 3; pero de a 7 no sobra ninguno. ¿Cuántos son los alumnos como mínimo?

a) 1059 d) 1851 b) 1323 e) 795 c) 1587

31) La expresión: abc+acb+bac+bca+cab+cba es siempre divisible por:

a) 23 d) 37 b) 13 e) 33 c) 11

25) Calcula la suma de a y b, tal que 26ab63 sea divisible por 31, además a y b son impares.

a) 8 d) 14 b) 10 e) 16 c) 12

24) Halla «a x b x c» si:

abc =11 ; cba =7 ; bac=9

a) 144 d) 174 b) 162 e) 214 c) 186

° ° °

27) Del 1 al 779, ¿indica cuántos enteros :

I. no son 9 II. son 3 y 4 III.son 4 pero no 3

H a l l a l a s u m a d e l o s 3 resultados.

a) 909 d) 912 b) 910 e) 913 c) 911

°

°° °

°

30) La expresión ab2 - ba

2 siempre es

divisible por:

a) a x b d) 22 b) a e) 99 c) b

Pierrede

Fermat


Aritmética


37) El menor número de 4 cifras que sea:

9 - 7; 12 + 2 y 15 - 13 es:

a) 1072 d) 1084 b) 1076 e) 1086 c) 1082

° ° °

38) Halla la suma de los 25 primeros enteros positivos divisibles por 7.

a) 2075 d) 2275 b) 2025 e) 2125 c) 2135

39) Si a2a53 = 9, halla a.

a) 4 d) 5 b) 2 e) 3 c) 6

°

40) Si n2n31 = 3, halla la suma de los posibles valores de n.

a) 12 d) 18 b) 9 e) 21 c) 15

43) Si vvv3 = 7, halla la suma de valores de v.

a) 9 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11

°

44) Si 2n569 + n69n = 11, halla n.

a) 2 d) 7 b) 3 e) 4 c) 6

°

45) Si nn + 52n = 7 +1n3, halla n.

a) 3 d) 6 b) 4 e) 1 c) 5

°

46) Si nn97n = 13, halla n.

a) 3 d) 7 b) 4 e) 8 c) 6

°

47) Si aaa2aa = 13 + aaa, halla a.

a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

°

48) Si 316a9a = 13, halla a.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

°

49) Halla a si 4a3bc = 1125

a) 6 d) 8 b) 5 e) 7 c) 9

°

50) Halla a.b si 5a10b = 72

a) 12 d) 48 b) 24 e) 32 c) 15

°

35) De un grupo mínimo de personas los 3/11 son viejos, los 5/18 son calvos. El menor número que conforman el grupo que tienen cabellos es:

a) 132 d) 198 b) 143 e) 396 c) 154

36) La edad en años de una persona es:

2 +1; 7 + 6 y 10 - 1 Halla la suma de las cifras de la

edad. a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14

° ° °

41) Si nn37 = 9 + 4, halla n. a) 3 d) 7 b) 5 e) 1 c) 6

°

42) Si 2x858 = 9 y485y = 11 6990z = 8 halla x + y +z.

a) 17 d) 15 b) 18 e) 19 c) 16

°°°

Reto

Dos viajeros van vendiendo vino por los pueblos. En su furgoneta llevan 3 barriles: uno de 8 litros lleno de vino, otros 2 vacíos de 3 y 5 litros; de capacidad.A mitad del camino se pe-lean y deciden repartir el vino en partes iguales, pero sólo disponen de los barriles citados.¿cómo podrán hacerlo?

1013ro de Secundaria

Aritmética


5) ¿Cuál es el resto de dividir 282828... (50 cifras) entre 9?

a) 2 d) 5 b) 3 e) 7 c) 4

1) Si a3a5 = 9, halla a.

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

° 2) Si x34y = 72, halla x.y.

a) 20 d) 16 b) 24 e) 12 c) 28

°

4) Si 2a6a8 = 11, halla a.

a) 6 d) 2 b) 8 e) 3 c) 5

° 3) Halla a si 2a6bc = 1125.

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

°


Aritmética


Números Primos

EN GENERAL

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Los números enteros positivos (Z+), se pueden clasificar de acuerdo a la

cantidad de divisores Z+ que poseen:

A) LA UnidAd

Es el único Z+ que posee un solo divisor.

B) números Primos

Llamados también primos absolutos, son aquellos números que poseen únicamente dos divisores: la unidad y al mismo número.

1 : 1

Divisor

2 : 1 ; 2 5 : 1 ; 5 17 : 1 ; 17 23 : 1 ; 23

Divisores

Son aquellos que poseen más de dos divisores.

4 : 1; 2; 46 : 1; 2; 3; 612 : 1; 2; 3; 4; 6; 1220 : 1 ; 2; 4; 5; 10; 20

Divisores

Z+

Números Simples

Números Compuestos

Números Primos

La Unidad

Números Simples:

Números Compuestos:

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Divisores

De los divisores de 12 son:Simples → 1; 2; 3 Compuestos → 4; 6; 12

Primos → 2; 3

Todo número compuesto, posee una cantidad de divisores simples y divisores compuestos.

Observación

CDN = CDSN + CDCN

Donde:CDN : Cantidad de divisores de

N.CDSN : Cantidad de divisores

simples de N.CDCN : Cantidad de divisores

compuestos de N.

PROPIEDADES:

1 El conjunto de los números primos es infinito.

{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17;...}

2 2 es el único número primo par.

3 2 y 3 son los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos.

o4

4 Sea ‘‘P’’ un número primo. Si P > 2, entonces:

(P = + 1) v (P = - 1)

o4

o6

5 Sea ‘‘P’’ un número primo. Si P > 3, entonces:

(P = + 1) v (P = - 1)

o6

¿Cómo se determina si un número es primo?

Se extrae la raíz cuadrada al número dado, si es exacta se determina que el número no es primo.

Caso contrario, se considera todos los números primos menores o iguales que la parte entera de la raíz.

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :


Aritmética


¿El número 193 es un número primo?

193 = 13, .... ≈ 13 Númerosprimos≤13:2,3,5,

7, 11, 13.

Comparando 193 con cada uno de los números primos considerados.

Como en ningún caso las divisiones son exactas, entonces 193 es un número primo.

+ 1

+ 1

+ 3

+ 4

+ 6

+ 11

193 ⇒

o2o3o5o7o

11o

13

Sean los números 11, 12 y 15, donde:

El único divisor común es 1, entonces 11, 12 y 15 son PESI.

11 : 1 , 11

12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

15 : 1 , 3 , 5 , 15

Divisores

Observaciones:

Sean los números 13, 14 y 15, donde:

El único divisor común es 1, entonces 13, 14 y 15 son números PESI.

El único divisor común es 1, entonces 33 y 35 son números PESI.

13 : 1 , 13

14 : 1 , 2 , 7 , 14

15 : 1 , 3 , 5 , 15

Divisores

Números Primos entre sí (PESI)

(Primos relativos o coprimos)Dos o más números son primos entre sí (PESI) cuando tienen como único divisor común a la unidad.

1) Dos o más números consecutivos son siempre números PESI.

2) Dos o más números impares consecutivos son siempre PESI.

33 : 1 , 3 , 11 , 33

35 : 1 , 5 , 7 , 35

Divisores

Sean los números 33 y 35, donde:

144 = 24 x 32

150 = 2 x 3 x 52

1200 = 24 x 3 x 52

¿Cuántos divisores tiene 720?

* 720 = 24 x 32 x 51

CD720 = (4 +1) (2+1) (1 + 1)

CD720 =30

Si : N = Aα x Bβ x Cδ x ...

DescomposiciónCanónica

Teorema Fundamental de la Aritmética

Todo entero mayor que la unidad, se puede descomponer como la multiplicación de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Esta descomposición es única y se llama descomposición canónica.

EN GENERAL

N = Aα x Bβ x Cδ x ...

Donde:A, B, C, ... : Factores primos de N.α, β, δ, ... : Enteros positivos.

Cantidad de Divisores de un Número (CDN)

CDN = (α+1)(β +1) (δ + 1) ...

Se divide el número dado entre cada número primo considerado.

Si en dichas divisiones, se obtiene al menos una exacta, el número no es primo.

Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo.

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :


Aritmética


Nivel I

1) Determina la cantidad de divisores de 40.

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

2) ¿Cuántos divisores tiene 60?

a) 21 d) 15 b) 12 e) 16 c) 14

3) ¿Cuántos divisores primos posee 320?

a) 1 d) 2 b) 6 e) 3 c) 5

4) ¿Cuántos divisores primos posee 420?

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

5) Entre los números 360, 270 y 180, ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 520?

a) 360 d) Ninguno b) 270 e) Todos c) 180



10) ¿Cuántos números primos hay en el siguiente grupo de números?

2; 17; 21; 23; 37; 39; 47; 48; 51; 65; 71

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

7) Completa:

a. Los números primos sólo tienen 2 divisores: ........................... y ................................................ .

b. Los números compuestos son aquellos que tienen .................. ................. divisores.

9) A. ¿Cuántos divisores pares

tiene 80? Da como respuesta la diferencia entre el mayor y el menor divisor par.

a) 79 d) 81 b) 78 e) 82 c) 80

8)

A. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. El 4 es un número primo. ( ) II. La unidad sólo tiene un divisor. ( ) III. 8 es un divisor de 12. ( )

a) VFF d) FFF b) VVF e) FVF c) VVV

B. Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. 24 tiene 8 divisores. ( ) II. 61 es un número primo. ( ) III. 16 tiene 4 divisores. ( )

a) VVF d) FFV b) VFV e) FFF c) VVV

C. Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. 12 tiene 6 divisores. ( ) II. 41 es un número primo. ( ) III. 15 tiene 10 divisores. ( )

a) VVF d) VVV b) VFV e) FFF c) FFV

11) B. ¿Cuántos divisores impares tiene 60? Da como respuesta la suma del mayor y menor divisor impar.

a) 20 d) 14 b) 16 e) 12 c) 18

11) ¿Cuántos números compuestos hay en el siguiente grupo de números?

6; 11; 15; 23; 28; 31; 42;49; 56; 67; 73; 78

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

12) Completa:

36


Aritmética


Nivel II

13) Completa:

56

14) Carlos tiene una suma de dinero igual a la suma de todos los números primos menores que 25. ¿Cuánto tiene Carlos?

a) S/.80 d) S/.95 b) S/.85 e) S/.100 c) S/.90

15) Rocío tiene una cantidad de dinero igual a todos los números compuestos menores que 30. ¿Cuánto tiene Rocío?

a) S/.270 d) S/.300 b) S/.280 e) S/.305 c) S/.290

16) La edad del profesor de R.M. es igual a la suma de todos los divisores de 16. ¿Qué edad tiene el profesor?

a) 21 años d) 31 años b) 23 años e) 63 años c) 47 años

17) La edad de la profesora de Biología es igual a la suma de todos los divisores de 24. ¿Cuál es la edad de la profesora?


18) Descompón canónicamente los siguientes números, luego halla la cantidad de divisores de cada uno.

512 = 120 = 300 =

19) Descompón canónicamente los siguientes números, luego halla la cantidad de divisores de cada uno.

100 = 480 = 1240 =

20) Descompón canónicamente 1500 y da como respuesta su número de divisores.

a) 16 d) 18 b) 24 e) 48 c) 32

21) Descompón canónicamente 560 y da como respuesta su número de divisores.

a) 10 d) 15 b) 30 e) 20 c) 40

22) ¿Cuántos divisores más tiene el número 720 que el número 100?

a) 18 d) 17 b) 19 e) 31 c) 21

23) ¿Cuántos divisores más tiene el número 480 que el número 300?

a) 10 d) 4 b) 8 e) 2 c) 6

25) Si:

B= 3n x (25)2 x 49 x (121) x 11

tiene 360 divisores, halla «n».

a) 6 d) 5 b) 8 e) 4 c) 9

24) Si:

A = 2n x 81 x 49 x 7,

tiene 100 divisores, halla n2.

a) 5 d) 16 b) 36 e) 9 c) 25

26) ¿Qué valor debe tener n si nnn + 1234 es divisible por 7?

a) 5 d) 9 b) 3 ó 5 e) 2 ó 7 c) 2 ó 9

27) Si:

M = 2n x 32 x 73 x 112

tiene 175 divisores compuestos, halla «n».

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

28) Sabiendo que:

A = 6n x 32 x 52

tiene el doble de divisores de B= 22 . 52 . 7n, halla el valor de

«n».

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4


Aritmética


29) Sabiendo que:

A = 6n x 30

tiene el doble de divisores de B= 6 x 30n, halla el valor de

«n».

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

30) Dado el número 3560, halla:

A. El número de divisores primos.

B. El número de divisores. C. La suma de los divisores.

Da como respuesta la suma de las cifras del resultado de:

A + B + C

a) 17 d) 20 b) 18 e) 21 c) 19

Nivel III



32) ¿Cuántos divisores múltiplos de 20 tiene el número 240?

a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

33) ¿Cuántos divisores de 500 son múltiplos de 25?

a) 16 d) 6 b) 12 e) 9 c) 8

34) ¿Cuántos divisores impares tiene el número 17 640?

a) 18 d) 21 b) 19 e) 22 c) 20

35) De los divisores de 750: A. ¿Cuántos son pares? B. ¿Cuántos son múltiplos de 6? C. ¿Cuántos no son múltiplos de 15?

a) (8, 4, 10) d) (5, 6, 10) b) (6, 7, 8) e) (9, 8, 8) c) (8, 4, 6)

36) ¿Cuántos divisores de 540 no son múltiplos de 6?

a) 12 d) 15 b) 5 e) 16 c) 8

37) ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 1 200?

a) 26 d) 30 b) 27 e) 32 c) 28

38) ¿Cuántos divisores compuestos tiene 363 x 152?

a) 180 d) 186 b) 183 e) 187 c) 185

39) Halla «n» si 175 tiene 120 divisores.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

40) Si «W» tiene 1369 divisores, determina el valor de «n» en:

W = 10 . 102 . 103 ... 10n

a) 10 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

41) Halla el valor de «n», para que el número de divisores de «N» sea el doble que el número de divisores de «M».

M = 30n y N = 15 . 18n

a) 9 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

42) Sabiendo que 12n tiene 88 divisores compuestos, ¿cuántos divisores tiene 15n ?

a) 49 d) 48 b) 50 e) 64 c) 51

43) Si 6n x 18p tiene 77 divisores, halla «n x p».

a) 5 d) 8 b) 6 e) 12 c) 7

44) Si 40 x 12n tiene 80 divisores, halla «n».

a) 3 d) 6 b) 4 e) 8 c) 5

45) Si 15n x 45 tiene 39 divisores compuestos, halla «n».

a) 3 d) 6 b) 4 e) 8 c) 5

46) ¿Cuántos ceros se debe colocar a la derecha del número 9 para que el resultado tenga 188 divisores compuestos?

a) 6 d) 8 b) 7 e) 9 c) 5

47) ¿Cuántos ceros se debe colocar a la derecha del número 15 para que el número formado tenga 84 divisores?

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

48) Si N = 144 x 144 x 144... («n» factores) tiene 280 divisores compuestos, ¿cuántos divisores tiene n4?

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7


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1) ¿Cuántos divisores tiene 120?

a) 12 d) 18 b) 14 e) 20 c) 16

2) ¿Cuántos divisores impares tiene 150?

a) 4 d) 10 b) 6 e) 12 c) 8

3) ¿Cuántos divisores de 1200 son múltiplos de 8?

a) 10 d) 16 b) 12 e) 18 c) 14

4) Si 20 x 18n tiene 50 divisores, halla n.

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

5) ¿Cuántas divisores compuestos tiene 1600?

a) 18 d) 21 b) 19 e) 22 c) 20

50) Calcula la suma de todos los números de la forma abab, que sean múltiplos de 7 y que posean 12 divisores.

a) 19089 d) 19209 b) 19129 e) 19509 c) 19319

49) Al dividir el número de la forma bbb, que tiene 16 divisores, entre 5, se obtiene como residuo:

a) 6 d) 4 b) 2 e) 1 c) 3


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Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Se llama M.C.D. de varios números diferentes de cero, al mayor número que sea divisor de todos ellos.

Definición

Sean los números 12; 30 y 48.

1 → Divisor común2 → Divisor común3 → Divisor común6 → Máximo divisor común

Cálculo del M.C.D.

• POR DESCOMPOSICIÓN INDIVIDUAL EN FACTORES PRIMOS ( de scompos i c i ón canónica)

El MCD será el producto de factores primos comunes con el menor exponente.


Donde: 1200 = 24 × 3 × 52

1440 = 25 × 32 × 5

900 = 22 × 32 × 52

MCD(1200,1440, 900)=22x3x5=60

• POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA EN FACTORES PRIMOS.

Se busca solamente los factores comunes.

360 960 3000 2180 480 1500 2 90 240 750 2 45 120 375 3 15 40 125 5 3 8 25

Sean los números 360; 960 y 3000

3, 8 y 25 son P.E.S.I., entonces se detiene la operación.

MCD(360,960,1200)=23x3x5=120

Algoritmo de Euclides

Procedimiento:Se divide el mayor entre el menor, obteniéndose un cociente y un primer residuo. Sin considerar el cociente, se divide el menor entre el primer residuo obteniéndose otro cociente y un segundo residuo, enseguida; se divide el primer residuo entre el segundo, así sucesivamente, hasta que el residuo resulte cero. El MCD de los enteros es el divisor de la última división cuyo residuo ha resultado cero.

1 1 4

540 300 240 60

240 60 0

MCD (540; 300)Últimoresiduo

1.

MCD (350; 200)Últimoresiduo

1 1 3

350 200 150 50

150 50 0

2.

Propiedades Básicas 1). Sean los números A y B , si A es múltiplo de B:

⇒ MCD (A; B) = B

Sean los números 30 y 6 , donde 30 es múltiplo de 6.

⇒ MCD (30; 6) = 6

2) Sean los números A y B , si A y B son P.E.S.I.

⇒ MCD (A; B) = 1

Sean los números 36 y 25 , donde 36 y 25 son P.E.S.I.

⇒ MCD (36; 25) = 1

3) El MCD también es el mayor fac-tor común de varios números.

MCD (4x; 6x) = 2x

MCD (a2; a3) = a2

MCD (12; 30; 48) = 6⇒

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :


Aritmética


Nació: 365 a.C. en Alejandría, Egipto.Falleció: Alrededor del 300 a.C. Muy poco se sabe con certeza de su vida.Sin duda que la gran reputación de Euclides se debe a su famosa obra titulada Los Elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos.Las definiciones que emplea son nominales, es decir, definiciones en que se da a una palabra una denotación que se determina a priori. Entre estas definiciones están las de:

1. Punto, que lo define como “una cosa que no tiene parte”.

2. Línea, “es una cosa que sólo tiene largo; es una longitud sin ancho”.

3. Línea recta, "es la que está igua lmente s i tuada con respecto a sus puntos".

4. “Los extremos de las líneas son puntos”.

5. Superficie, "es lo que tiene sólo ancho y largo".

6. "Los límites de la superficie son líneas".

7. Ángulo, "es la inclinación de una línea con respecto a otra".

8. "Ángulos adyacentes, "son los que tienen un lado común y los otros en línea recta".

9. Ángulo recto, "es aquél que es igual a su adyacente".

10. Ángulo agudo, "es menor que el recto" y ángulo obtuso, es mayor que el recto”.

Euclides

Nivel I

1) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. MCD (15; 7) = 7 ( )

II. MCD (72; 24) = 12 ( )

III.MCD (18; 6)= 6 ( )

a) VVV d) FFV b) VFF e) FVV c) VFV

3) Si A = 23 x 35 x 52 x 74 , B = 24 x 32 x 5 x 11 y C = 22 x 32 x 54 x 132 ;

halla el MCD (A; B; C).

a) 360 d) 180 b) 90 e) 300 c) 270


I. MCD (n; n+1) = 1, ( ) n ∈ Z+.

II. Si A = 2n × 3n y B = 2n+1 × 3n+2 ⇒ MCD (A,B) = 2n+1 × 3n+2 ( )

III. MCD(36; 18)=36 ( )

a) FFF d) FFV b) VVF e) VFF c) VVV

4) Si M = 33 x 52 x 71 , N = 23 x 32 x 73 y P = 23 x 31 x 53 x 74

Halla el MCD (M; N; P)

a) 15 d) 21 b) 6 e) 200 c) 3

5) Si MCD (ab0; abab) es ba, halla a + b.

a) 15 d) 21 b) 6 e) 200 c) 3

6) Si MCD(ab0ab; a(a+b)b) es 55(a+b). calcula a . b.

a) 12 d) 20 b) 15 e) 24 c) 18

7) Al calcular el MCD de 2 números por divisiones sucesivas, los cocientes fueron 2; 5; 7 y 4. Si el MCD fue 12, calcula la suma de cifras del mayor.

a) 9 d) 27 b) 18 e) 24 c) 16

8) Al calcular el MCD de 2 números por el algoritmo de Euclides, los cocientes fueron 1; 1; 2; 2; 3 y 3. Si el MCD fue 15, calcula la suma de ambos números.

a) 3210 d) 3240 b) 3220 e) 3250 c) 3230


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Nivel II

10) Si MCD (180x; 240x; 360x) es 420, calcula x.

a) 18 d) 14 b) 7 e) 6 c) 24

9) Si MCD (144k; 100k; 120k) es 124, calcula k.

a) 13 d) 23 b) 17 e) 31 c) 19

11) Dados 3 números A, B y C, tales que al aplicarles descomposición s imul tánea obtenemos e l proceso:

A – B – C 5 D – F – 1638 K G – 117 – 234 H 4 – M – 18

Calcula el valor de: A + B + F – (K – G – M)

a) 6908 d) 6942 b) 6712 e) 6802 c) 6402

12) Dados 3 números A, B y C, tales que al aplicarles descomposición s imul tánea obtenemos e l proceso:

A – B – C 2 D – F – 45 K G – 5 – 15 H 13 – M – 3

Halla :A+B+F–(K + G + M)

a) 439 d) 465 b) 429 e) 539 c) 366

13) En cuántos ceros termina el MCD de :

A = 230 . 347 . 524 y B = 288 . 360 . 528

a) 48 d) 16 b) 64 e) 28 c) 32

14) En cuántos ceros termina el MCD de :

A = 250 . 324 . 560 . 720 y B = 232 . 5100 . 732

a) 32 d) 16 b) 18 e) 24 c) 12

15) Si : A=2n–1x 32n+1 x 5n+2 , B = 2n+2 x 3n+1 x 7n y C = 2n+1 x 3n x 7n+1; y

además:

MCD (A, B, C) = 2 x 32, halla 3n + 2.

a) 11 d) 20 b) 8 e) 17 c) 14

16) Si : M = 2a+3 x 3b-4 x 53 , N = 2a-1 x 32b x 52 y P = 22a x 32b-1; y además

MCD (M, N, P) = 23 x 32, halla 2a + b.

a) 16 d) 13 b) 14 e) 8 c) 11

17) Halla el MCD de 2 enteros, cuya suma es 7366, sabiendo que los cocientes sucesivos en su cálculo, mediante el algoritmo de Euclides son 1, 1, 3, 5 y 2.

a) 57 d) 58 b) 60 e) 56 c) 64

18) Halla el MCD de 2 enteros, cuya suma es 1022, sabiendo que los cocientes sucesivos en su cálculo, mediante el algoritmo de Euclides, son 1, 2, 3 y 4.

a) 14 d) 18 b) 28 e) 32 c) 42

19) Al calcular el MCD de dos enteros primos entre sí, mediante el algoritmo de Euclides, se ha obtenido los cocientes sucesivos, 1, 2, 2, 3, 5 y 2. Halla el número mayor.

a) 192 d) 92 b) 197 e) 386 c) 249

20) Al calcular el MCD de dos enteros primos entre sí, mediante el algoritmo de Euclides, se ha obtenido los cocientes sucesivos, 1, 2, 3, 3 y 2. Halla el número mayor.

a) 89 d) 63 b) 53 e) 78 c) 69

21) Se ha dividido tres barras de acero de longitudes 540, 480 y 360m en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido?

a) 25 d) 24 b) 23 e) 32 c) 33

22) Se ha dividido tres barras de cobre de longitudes 240, 480 y 560m en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido?

a) 33 d) 60 b) 16 e) 17 c) 21


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23) Tres barriles contienen 210, 300 y 420 litros de cerveza, sus contenidos se van a distribuir en envases que sean iguales entre sí y de la mayor capacidad posible. ¿Cuántos de estos envases son necesarios si de cada barril no debe sobrar nada de cerveza?

a) 33 d) 60 b) 16 e) 17 c) 21

24) Tres barriles contienen 200, 480 y 680 litros de aceite. Sus contenidos se van a distribuir en envases que sean iguales entre sí y de la mayor capacidad posible. ¿Cuántos de estos envases son necesarios si de cada barril no debe sobrar nada de aceite?

a) 43 d) 42 b) 20 e) 73 c) 63

25) Johana tiene 2 paquetes de estampillas, uno tiene un valor monetario de S/. 1 900 y el otro de S/ 3 550. Si todas las estampillas tienen el mismo valor y éste es el máximo valor posible. ¿Cuál es el costo de cada estampilla?

a) S/.60 d) S/.30 b) S/.50 e) S/.70 c) S/.10

26) Halla el MCD de 40 y 60.

a) 120 d) 90 b) 140 e) 20 c) 70

27) Halla el MCD de 540 y 300.

a) 60 d) 75 b) 90 e) 65 c) 80

28) ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 24, 60 y 144?

a) 60 d) 14 b) 24 e) 15 c) 12

29) ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 72, 120 y 1 080?

a) 14 d) 38 b) 24 e) 72 c) 36

30) Se t ienen 2 ci l indros que contienen 80 litros y 68 litros de agua. Si se desea vaciar en pequeños baldes sin sobrar nada, ¿cuál es el mayor valor que puede contener el balde?

a) 1 L d) 4 L b) 2 L e) 6 L c) 3 L

Nivel III

31) Tres cilindricos contienen 120 litros; 144 litros y 250 litros. Si se desea vaciar cada contenido en pequeños recipientes iguales sin sobrar nada, ¿cuál es el máximo volumen del recipiente?

a) 1 L d) 4 L b) 2 L e) 6 L c) 3 L

32) Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 210, 300 y 420 litros de capacidad en envases que sean iguales entre sí. ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite?

a) 30 L d) 41 L b) 51 L e) 27 L c) 31 L

33) Tenemos que l l ena r t r e s cilindros de capacidades 294, 378 y 462 litros. ¿Cuál es la máxima capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente?

a) 14 L d) 21 L b) 7 L e) 42 L c) 6 L

34) Aplicando el algoritmo de Euclides, halla el MCD de 28 y 14.

35) Aplicando el algoritmos de Euclides. Halla el MCD de 90 y 180.





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39) E n e l p r o c e s o d e ca lcu lar e l MCD, ca lcu la A+B+C+D+E+F+G +H.

24 – 36 – 40 A B C D E F G H a) 77 d) 80 b) 78 e) 81 c) 79

40) En el proceso de calcular el MCD, determina A + E +I.

A – B – C 2 D E F 2 G H I 5 4 3 4

a) 120 d) 150 b) 130 e) 160 c) 140

41) Halla el MCD de A y B.

A. 22x33x55

B. 22x3x52

a) 100 d) 400 b) 200 e) 500 c) 300

42) Halla el MCD de "A", "B" y "C" siendo:

A = 202 x 153, B = 123 x 102 y C = 182 x 213 x 114

a) 108 d) 27 b) 216 e) 320 c) 432

43) Calcula el MCD de:

A = 4010 x 2114

B = 605 x 353 y C = 804 x 142

a) 218 x 58 d) 210 x 54

b) 218 x 54 e) 210 x 54 x 72

c) 210 x 58 x 72


A = 3n x 52n+1 x 7 y B = 32n x 2 x 5n+1

a) 32n x 21 d) 3n

b) 3n x 5n e) 2n x 5n+1

c) 3n x 52n+1


A = 6x+1 + 6x y B = 9x+1 + 9x; x >1

a) 21 . 3x d) 51 . 3x

b) 3 . 2x e) 2x . 3x

c) 3x . 5x

46) Si MCD (200k; 180k; 240k;)es igual a 600, calcula k.

a) 10 d) 40 b) 20 e) 50

c) 30

47) Halla "k", sabiendo que:

MCD(210k; 300k; 420k)=1200

a) 6 d) 90 b) 15 e) 30

c) 40

¿Sabes que s i e s tuv ie ra s estudiando en la época romana sería imposible que sacaras un cero en clase? ¿Y que los primeros números eran simplemente signos?El concepto de los números y las cuentas se remonta a la prehistoria, cuando los primeros números eran signos u objetos iguales que se repetían hasta llegar a la cifra deseada. Pero la complejidad de algunos hizo necesaria la creación de grupos. Fue así como se crearon símbolos para los grupos de diez, para los de cien,etc. Los babilonios fueron los que más desarrollaron este sistema a través de muescas en la arcilla, pero no fueron los únicos. Por ejemplo, los griegos empleaban letras de su alfabeto para referirse a esos números.Los primeros que comenzaron a usar estos signos en escritura fueron los romanos. De hecho, si te fijas, sus números reflejan una forma de contar con los dedos: el uno, el dos y el tres se consiguen con los dedos levantados, el cinco es una V, el diez se expresa con las manos cruzadas a la altura de las muñecas, etc.Pero los números tal y como los conocemos hoy día se deben a la antigua escritura india, país donde se desarrollaron de gran manera la medicina y las matemáticas en el siglo IV de nuestra era. Eso sí; los que los trajeron a Europa fueron los árabes. De ahí el nombre de arábigos con que se conoce a nuestros números. Estos habían comenzado su expansión por la India alrededor del año 711, y así tomaron contacto con sus ciencias y conocimientos. Posteriormente, y con su introducción en Europa, fue como se logró implantar este sistema numérico.

48) Calcula A + B en el esquema del algoritmo de Euclides:

a) 6 d) 90 b) 15 e) 30

c) 40

x 1 1 1 2

8A Bx

Las Matemáticas no son nada sin los números


Aritmética


1) Si el MCD (72k, 50k, 60k) es 62, calcula

k.

a) 13 d) 23 b) 17 e) 31 c) 19

2) Al calcular el MCD de dos números por divisiones sucesivas, los cocientes fueron 2;5;7 y 4. Si el MCD fue 12, calcula la suma de cifras del mayor.

a) 9 d) 27 b) 18 e) 24 c) 16

3) Se ha dividido tres barras de acero de

longitudes 540, 480 y 360m en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido?

a) 25 d) 24 b) 23 e) 32 c) 33

4) ¿¿Cúal es el mayor número que puede

dividir a la vez a 24, 60 y 144?

a) 60 d) 14 b) 24 e) 15 c) 12

5) Calcula el MCD de A= 4010 x 2114 ;

B = 605 x 353 y C = 804 x 142.

a) 218 x 58 d) 210 x 54

b) 218 x 54 e) 210 x 54 x 72

c) 210 x 58 x 72

49) Calcula M + N en el esquema del algoritmo de Euclides:

a) 710 d) 740 b) 720 e) 750

c) 730

x 1 2 3 4

10M Nx

50) Al calcular por divisiones suces ivas e l MCD de dos números se obtuvo por cocientes: 1,2,1,3,1,1, y 2. Si los números son PESI, ¿cuál es el número mayor?

a) 87 d) 84 b) 86 e) 88

c) 85


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Repaso

Nivel I

1) Calcula el MCD de: M = 27 x 3 x 56 , N = 28 x 33 x 54 y

P = 23 x 32 x 52

a) 1000 d) 27x33x56

b) 200 e) 23x3x52

c) 72

2) Calcula el MCD de: A = 125 x 162 , B = 66 x 254 y

C = 183 x 202

a) 218x36 d) 26x36

b) 218x35 e) 26x35x52

c) 26x35

3) Calcula el MCD de: A = 243 x 12 , B = 602 x 30 y

C = 283 x 18

a) 26x35 d) 25x33

b) 25x32 e) 25x32x5 c) 26x3

6) Los cocientes sucesivos obtenidos al calcular el MCD de 2 números por el método de divisiones sucesivas fueron: 2; 5; 1; 5 y 4. Si el MCD fue 12, calcula la suma de las cifras del número mayor.

a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14

4) Calcula A + B en el siguiente algoritmo de Euclides:

a) 108 d) 111 b) 109 e) 112 c) 110

x 1 1 1 3

A B 6

x

5) Calcula A – B en el siguiente algoritmo de Euclides:

a) 50 d) 53 b) 51 e) 54 c) 52

x 1 1 1 2 3

A B 5

x

7) Al calcular el MCD de 2 enteros positivos por el algoritmo de Euclides, los cocientes sucesivos fueron: 1, 2, 3 y 4; mientras los 3 primeros restos sucesivos fueron k; 2k y 3k. Calcula el MCD si el número mayor fue ab5.

a) 5 d) 12 b) 6 e) 15 c) 9

8) Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. El divisor de un número es denominado también factor o submúltiplo. ( )

II. Múltiplo de un número es aquel que contiene exactamente a otro. ( )

III. Todo número es divisor y múltiplo de sí mismo. ( )

a) VVV d) FVV b) VVF e) FFF c) VFV


I. El cero es múltiplo de cualquier número. ( )

II. Los múltiplos pueden ser números negativos. ( )

III. El cero es divisor de todo número excepto de él mismo. ( )

a) VVV d) FVF b) VFV e) FFF c) FVV


I. El símbolo se lee: múltiplo de 8. Por ejemplo 16 es .

II. El símbolo 4/8 significa 4 es divisor de 8.

III. El símbolo 4/8 significa 8 es múltiplo de 4.

a) VVV d) FVF b) VFV e) FFF c) FVV

8°8°


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Nivel II


I. 20 es divisor de 5. II. –8 es múltiplo de 4. III. 1 es divisor de todo número.

a) VVV d) VFV b) FVV e) FFF c) VFF

12) Indica cuál de los siguientes números son divisibles por 13:

91 ; 143; 113

a) 91 y 113 d) 143 b) 143 y 113 e) 91 c) 91 y 143

13) Indica cuál de los siguientes números son múltiplo de 17:

340 ; 510 ; 78

a) 340 d) 340 y 78 b) 510 e) 340 y 510 c) 78

14) ¿Cuántos múltiplos de 5 hay en los enteros del 1 al 237?

a) 45 d) 48 b) 46 e) 49 c) 47

15) ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en los enteros del 1 al 720?

a) 80 d) 83 b) 81 e) 84 c) 82

16) Del 1 al 500, ¿cuántos enteros no son divisbles por 11?

a) 45 d) 435 b) 455 e) 450 c) 445

17) Del 1 al 1200, ¿cuántos enteros no son múltiplos de 15?

a) 1114 d) 1124 b) 1118 e) 1140 c) 1120

18) ¿Cuántos enteros divisiles por 2; 3 y 8, hay del 1 al 800?

a) 27 d) 30 b) 28 e) 31 c) 29

19) ¿Cuántos enteros divisibles por 4; 6 y 15 hay del 1 al 800?

a) 11 d) 14 b) 12 e) 15 c) 13

20) ¿Cuántos enteros no son divisibles por 8 del 100 al 1 200?

a) 960 d) 963 b) 961 e) 964 c) 962

21) ¿Cuántos enteros no son divisibles por 7, del 229 al 1 1117?

a) 325 d) 328 b) 326 e) 329 c) 327

22) ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 27?

a) 32 d) 35 b) 33 e) 36 c) 34


a) 123 d) 126 b) 124 e) 127 c) 125

24) ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 4 son divisibles por 13?

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

25) ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 2 son divisbles por 9?

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

26) ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 4 son múltiplos de 8?

a) 20 d) 23 b) 21 e) 24 c) 22

27) ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 6 son divisibles por 4?

a) 44 d) 47 b) 45 e) 48 c) 46

28) El numeral a(2a) es siempre múltiplo de:

a) 5 d) 4 y 5 b) 5 y 3 e) 6 y 4 c) 3 y 4

29) El numeral (5b)b es siempre divisible por:

a) 3 y 7 d) 5 y 13 b) 2 e) 3 y 17 c) 8

30) La expresión n3 – n (n ∈ Z+) siempre es múltiplo de:

a) 5 d) 8 b) 7 e) 6 c) 9


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Nivel III

31) La expresión n5 – n (n ∈ Z+) siempre es múltiplo de:

a) 7 d) 3 y 11 b) 9 e) 30 c) 11

32) La expresión: aa7 + bb7 + cc7

es siempre múltiplo de:

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

33) Indica verdadero (V) o falso (F):

* MCD (6; 3) = 3 * MCD (18;36) = 18 * MCD (1; 2; 4; 8) =1

a) VVV d) FVF b) FFF e) VFF c) FVV


* MCD (7; 72; 73; 74) = 7 * MCD (5k; 8k; 10k) = k * MCD (12n2;15n2; 20n2)=3n2

a) VVV d) FVV b) VVF e) FFV c) VFF


* MCD (7; 8; 9) = 1 * MCD (12; 13; 15) = 1 * MCD (n; n+1; n+2) = n

a) VVV d) FVV b) VVF e) FFV c) VFF


* MCD (15; 16; 18) = 2 * MCD (20k; 16k; 40k) = 8k * MCD (60; 70; 80; 90) = 10

a) VVV d) FVF b) VFV e) FFV c) VFF


* El MCD de 20 y 30 es 10. * MCD (2; 3) = 6 * MCD (4; 6) = 6

a) VVF d) FVF b) VVV e) VFF c) FFF


* MCD (20; 10) =20 * El MCD de 12 y 4 es 1 * MCD (2; 6) = 6

a) FFF d) FVF b) FVV e) VVF c) FFV

39) Calcula el MCD de 200, 120 y 100.

a) 40 d) 10 b) 20 e) 60 c) 50

40) Calcula el MCD de 180, 300 y 150.

a) 10 d) 40 b) 20 e) 50 c) 30

41) El mayor número que divide a 240, 200 y 320 es:

a) 20 d) 60 b) 30 e) 80 c) 40

42) El mayor número que divide a 360, 376 y 420 es:

a) 2 d) 7 b) 4 e) 8 c) 6

43) Si MCD (56k; 112k y 119k) es 140, calcula k.

a) 5 d) 10 b) 8 e) 20 c) 7

44) Si MCD (60k; 54k; 84k) es 78, calcula k.

a) 3 d) 11 b) 6 e) 13 c) 8

45) Calcula A + C + K + E + G en el proceso de hallar el MCD:

a) 201 d) 204 b) 202 e) 205 c) 203

240 – A – B C

H I J 2

K F 45 D

20 10 E 5

G 2 3

46) Calcula A + B + C + D + E en el proceso de hallar el MCD:

a) 1008 d) 968 b) 998 e) 958 c) 978

B – ... – 120 A ... ... ... ...

... C ... 2 45 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... D E 7 ...

47) Calcula el MCD de: A = 26 x 34 x 53 ,

B = 23 x 36 x 55 y

C = 2 x 37

a) 23x34 d) 250 b) 22x35 e) 162 c) 26x37


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Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)

Se llama M.C.M. de varios números positivos, al menor número distinto de cero que contiene a cada uno de ellos un número entero y exacto de veces.

Así:

Múltiplos comunes : 24, 48, 72 ...

Definición

MCM (60, 140, 200) = 23×3×52×7 = 4200

6 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,...8 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...

Números Múltiplos

60 140 200 2 30 70 100 2 15 35 50 2 15 35 25 3 5 7 25 5 1 7 5 5 1 7 1 7 1 1 1

MCM (6; 8) = 24

Cálculos del M.C.M.

• Por descomPosición IndividUAL en FActores Primos

(descomposición canónica)

* El MCM es el producto de factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente.


Donde:

80 = 24 × 5

120 = 23 × 3 × 5

150 = 2 × 3 × 52

MCM (80, 120, 150) = 24 × 52 × 3 = 1200

• PorDescomPosiciónSimULtáneA de FActores Primos

* se busca todos los factores sin excepción.

Sean los números 60; 140 y 200

Los números de Mersenne son de la forma Mp=2p –1, cuando p es primo y Mp también lo es, Mp se denomina primo de Mersenne. Existen pruebas especiales de primalidad y búsqueda de factores que los hacen matemáticamente atractivos.

Marin Mersenne (1588-1648), fue un fraile franciscano que pasó la mayor parte de su vida en los monasterios parisinos. Fue el autor de Cognitata Physico-Mathematica, en donde afirma sin probarlo que Mp es primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 y para ningún otro primo hasta 257. Llevó 300 años establecer la veracidad de esto. En 1947 se comprobó que Mersenne había cometido cinco errores (M61 es primo, M67 es compuesto, M89 es primo, M107 es primo y M257 es compuesto). Su correspondencia con Fermat, entre ot ros matemát icos , contribuyó al desarrollo de la Teoría de Números.

Marin Mersenne

Ejemplo :

Ejemplo :


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I. MCM (18; 6) = 18 ( )

II. MCM (13; 7) = 91 ( )

III. MCM [n; n+1] = 1, n ∈ Z+. ( )

a) FVV d) VVF b) VFF e) FFF c) VVV

Nivel I


I. MCM (32;16) = 32 ( )

II. MCM (1;a;a2) es a2. ( )

III. MCM (A;B) es A x B. ( )

a) FFV d) VVF b) FVV e) FFF c) VVV

3) Si: A = 23 x 52 x 73 , B = 22 x 53 x 112 y C = 33 x 54

halla la cantidad de divisores del MCM (A; B; C).

a) 480 d) 1260 b) 240 e) 1400 c) 960

4) Si A = 24 x 53 x 72 , B = 23 x 52 x 73 y C = 34 x 53x 71

halla la cantidad de divisores del MCM (A; B; C).

a) 480 d) 300 b) 400 e) 600 c) 200

5) Si A = 2n+2 x 3n-3 y B = 22n-1 x 3n ;

y además la cantidad de divisores del MCM (A, B) es 420, halla «n».

a) 7 d) 14 b) 8 e) 16 c) 15

6) Si A = 2n-3 x 3n y B = 2n x 3n+2x 5n+4

Si la cantidad de divisores del MCM de A y B es 480, halla «n».

a) 6 d) 7 b) 8 e) 9 c) 5

7) El mínimo común múltiplo de 24k; 20k y 12k es 840. Calcula k.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

8) El mínimo común múltiplo de 18p; 30p y 50p es 1800. Calcula p2+1.

a) 10 d) 37 b) 17 e) 50 c) 26

9) Halla «x» si el MCM de: A = 81 x 18x y B = 18 x 81x

es 16 x 318.

a) 8 d) 6 b) 10 e) 4 c) 2

10) Halla «x» si el MCM de: A = 64x x 18x y B = 36x x 9 es 221 x 38.

a) 6 d) 5 b) 3 e) 2 c) 4

11) ¿Cuántos son los números positivos menores que 3200 que son divisibles a la vez por 4, 5, 6 y 8?

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

12) ¿Cuántos son los números positivos menores que 500 que son divisibles a la vez por 3, 4, 8 y 12?

a) 18 d) 16 b) 20 e) 25 c) 24

Propiedades Básicas

MCM (36;9) = 36

1 Sean los números A y B , si A es divisible por B.

⇒

Sean los números 36 y 9 , donde 36 es divisible por 9.

⇒

Ejemplo :

MCM (12;25) = 300

2 Sean los números A y B , si A y B son P.E.S.I.

⇒

Sean los números 12 y 25 , donde 12 y 25 son P.E.S.I.

⇒

Ejemplo :

MCM (A; B) = A

MCM (A; B) = A x B


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Nivel II

13) S e t i e n e l a d r i l l o s c u y a s dimensiones son 12; 15 y 24 cm. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para asentar y formar un cubo compacto?

a) 400 d) 1000 b) 600 e) 1200 c) 800

14) ¿Cuántos ladrillos de dimensiones 6 x 1 5 x 2 0 c m s e n e c e s i t a para formar el segundo cubo compacto?

a) 450 d) 600 b) 540 e) 960 c) 680

15) Halla la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla que se puede dividir en pedazos de 2, 5 y 8 pies de longitud.

a) 80 pies d) 60 pies b) 40 pies e) 240 pies c) 120 pies

16) Halla la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla que se puede dividir en pedazos de 16, 8 y 18 cm de longitud.

a) 72 cm d) 14 m b) 52 m e) 288 cm c) 144 cm

17) Calcula el MCM de 12 y 5.

a) 70 d) 40 b) 50 e) 30 c) 60

18) Calcula el MCM de 2 y 16.

a) 16 d) 15 b) 18 e) 17 c) 12

19) Halla el MCM de:

a) 360 y 150

b) 45 y 39

c) 12 y 84

Rpta.: _____________

Rpta.: _____________

Rpta.: _____________

20) Halla el MCM de: A = 23 x 52 y B = 22 x 53

a) 100 d) 200 b) 400 e) 800 c) 1000

21) Calcula el MCM de: M = 210 x 34 x 52 y N = 28 x 36 x 51 x 7 a) 2 x 3 x 5 x 7 b) 28 x 34 x 51 x 71

c) 210 x 34 x 52

d) 28 x 34 x 51

e) 210 x 36 x 52 x 71

22) Halla el MCM de 39, 91 y 143. a) 3 003 d) 273 b) 3 542 e) 3 000 c) 715

23) ¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible por 4, 12 y 18?

a) 12 d) 50 b) 24 e) 40 c) 36

24) ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir con reglas de 25 cm, 20 cm y 30 cm no graduadas?

a) 300 cm d) 400 cm b) 200 cm e) 500 cm c) 100 cm

25) ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con reglas de 30, 50 y 60 cm?


28) Halla el MCM de A y B si: A = 220 x 310 x 59 B = 210 x 36 x 512

a) 220 x 310 x 59 b) 210 x 36 x 59 c) 220 x 310 x 512

d) 220 x 36 x 512

e) 210 x 310 x 512

29) Halla el MCM de N y M si: N = 202 x 103 y M =304 x 105

a) 26 x 35 x 56 b) 210 x 310 x 54 c) 29 x 34 x 55

d) 29 x 34 x 59

e) 27 x 34 x 59

30) Si: A = 2n x 3n+2 y B = 2n+1 x 5n+1 halla el MCM de A y B si n

∈Z+.

a) 2n x 3n+1 b) 2n x 3n+2 c) 2n+1 x 3n+1

d) 2n x 3n+3

e) 2n+1 x 3n+2

26) Si MCM (9a, 2a) = 196, calcula «a».

a) 8 d) 50 b) 7 e) 4 c) 6

27) Si MCM (9a, 4b) = 90, calcula a . b

a) 12 d) 20 b) 15 e) 14 c) 18


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Nivel III

31) Calcula el MCM de A y B, si n >1 y n ∈Z+; y además:

A = 2n+1 x 34 x7 y B = 2n x 35

a) 2n x 35 b) 2n+1 x 35 x71 c) 2n+1 x 34

d) 2n+1 x 34 x 71

e) 22n x 35 x 71

32) Calcula el MCM de A y B, si n ∈Z+; y además:

A = 5n+2 x 75 x 3 y B = 35 x 5n

a) 5n x 35 b) 35 x 5n x 75 c) 35 x 5n+2 x 75

d) 31 x 5n+2 x 75

e) 5

33) Halla el menor número entero positivo que contiene a 25; 27 y 29 a la vez.

a) 25 d) 29

b) 212 e) 216

c) 221

34) Halla el MCM de 38, 37 y 310.

a) 315 d) 318

b) 317 e) 310

c) 325

35) Halla el MCM de: 1; 2; 4; 8;... ; 128 a) 1 x 2 x 4 x 8 x ... x 128 b) 128 c) 256 d) 1024 e) 4096

36) El menor número entero positivo divisible por:

5; 52; 53; 54;...; 520

es:

a) 5 d) 520

b) 540 e) 560

c) 5210

37) La edad de una persona tiene exactamente mitad, quinta y séptima. Calcula la suma de las cifras.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

38) La edad de una persona tiene exactamente ve inteavo y treintavo. La suma de las cifras de su edad será:

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

39) Las fiestas patronales de tres pueblos se celebran en forma especial cada 4, 6 y 8 años. ¿Cada cuántos años se celebra s imultáneamente la f iesta patronal de estos pueblos?

a) 12 d) 2 b) 18 e) 36 c) 24

40) Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 segundos y 54 segundos, respectivamente. Si a las 6 horas 15 minutos se encienden simultáneamente, ¿a qué hora vuelven a encenderse juntas?

a) 6h 21 min 18s b) 6h 22 min 18s c) 6h 21 min 15s d) 6h 20 min 15s e) 6h 22 min 18s

41) De un terminal terrestre salen 4 lineas de ómnibus; la primera

cada 6 minutos. la segunda

cada 8 minutos, la tercera cada 10 minutos y la cuarta cada 12 minutos. Si a las 2.00 a.m. salieron las 4 juntas, ¿a qué hora volverán a salir las cuatro al mismo tiempo?

a) 4 a.m. d) 7:30 a.m. b) 8 a.m. e) 8:30 a.m. c) 9 a.m.

42) En una reunión asisten entre 5000 y 6000 personas. Si se agrupan de a 8; de a 15 o de a 18 siempre sobra José; pero en grupos de a 11 es exacto. ¿Cuántos asistieron?

a) 5401 d) 5201 b) 5621 e) 5000 c) 5841

43) Las planas de aritmética, álgebra y geometría se reúnen cada 10; 12 y 14 días, respectivamente. Si hoy 1 de enero del 2007 se reúnen las tres planas, ¿en qué fecha se volverán a reunir todos?

a) 23 de febrero de 2007 b) 24 de febrero de 2007 c) 22 de febrero de 2007 d) 25 de febrero de 2007 d) 26 de febrero de 2007

44) En un patio de forma cuadrada se desea acumular losetas 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 60 d) 40 b) 160 e) 80 c) 240


Aritmética


45) En un patio de forma cuadrada se desea acumular losetas 24 x 30 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 20 d) 120 b) 60 e) 10 c) 12

46) Halla el mayor número de 3 cifras que dividido entre 6, 8 y 14 da siempre residuo cero.

a) 740 d) 840 b) 999 e) 980 c) 960

47) Hallar el mayor número de 3 cifras que dividido entre 9, 12 y 14 da siempre residuo cero.

a) 962 d) 756 b) 892 e) 968 c) 896

48) ¿Cuál es el número comprendido entre 500 y 1000, que al ser dividido entre 12, 21 y 35 da siempre como residuo 6?

a) 642 d) 846 b) 946 e) 876 c) 866

49) ¿Cuál es el número comprendido entre 600 y 800, que al ser dividido entre 14, 18 y 35 da siempre como residuo 8?

a) 738 d) 630 b) 638 e) 688 c) 648

50) Un suceso ocurre cada 5 minutos, otro cada 10 minutos y otro ocurre cada 8 minutos. Si a las 5 p.m. ocurren los 3 sucesos a la vez, ¿a qué hora se encontrarán los 3 sucesos por última vez en el mismo día?

a) 11:20 p.m. d) 11:10 p.m. b) 11:40 p.m. e) 11:00 p.m. c) 11:30 p.m.

Reto

Tres amigos van a tomar unos tragos en un bar. Cada trago vale 10 soles por lo que cada amigo pone 10 soles, en total 30 para pagar los tragos.Después de pagar, el camarero recuerda que hay una oferta por cada tres tragos y les devuelve 5 soles.Como no pueden dividir 5 soles entre los tres, deciden quedar-se con 1 sol cada uno y darle los 2 sobrantes al camarero como propina.Al final cada uno puso 9 soles (10 al principio menos 1 que le han devuelto), que multiplicado por los 3 amigos dan 27 más los 2 que le dieron al camarero suman 29.¿ Qué pasó con el otro sol?

Los tres amigos


Aritmética


1) ¿Cuál es el menor número, diferente de

cero, divisible por 4, 12 y 18?

a) 12 d) 50 b) 24 e) 40 c) 36

3) De un terminar terrestre salen 4 líneas de

ómnibus; la primera cada 6 minutos, la segunda cada 8 minutos, la tercera cada 10 minutos y la cuarta cada 12 minutos. Si a las 2.00 a.m. salieron las 4 juntas, ¿a qué hora volverán a salir las cuatro al mismo tiempo?

a) 4 a.m. d) 7:30 a.m. b) 8 a.m. e) 8:30 a.m. c) 9 a.m.

5) Halla el mayor número de 3 cifras que

dividido entre 6; 8 y 14 da siempre residuo cero.

a) 740 d) 980 b) 840 e) 960 c) 999

4) En un patio de forma cuadrada se desea

acomodar losetas de 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 60 d) 80 b) 40 e) 240 c) 160

2) Si MCM (9a ; 2a) = 196, calcula a.

a) 8 d) 4 b) 5 e) 6 c) 7


Aritmética


Racionales I

La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la parte entera seguida de la parte decimal y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya.

Transformación de números decimales a fracciones

1. DECIMAL EXACTO:

* 0,2 = * 0,13 = * 0,224 =

* 24,2 = * 4,25 =

210

24210

13100

2241000

425100

2. DECIMAL PERIÓDICO PURO:

La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la diferencia entre la parte entera seguida del período menos el período y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el período.

254999* 0,2 = * 0,13 = * 0,254 =

* 24,2 = * 31,45 =

2924-2

9

13993145-31

99

))

))

)

3. DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:

La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la diferencia de la parte no periódica seguida del periodo menos la parte no periódica y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte no periódica.

* 0,23 = = * 0,124 = =

* 0,214 = = * 0,2752 = =

* 2,45 = * 8,324 =

23-290

) 2190

124-1990

123990

214-21900

193900

245-2490

2752-279900

27259900

8324-83990

))

))

)

9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271 999999 = 33x7x11x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649 99999999= 32x11x101x73x 137

Factorización de números formados por «nueves»

Un jefe árabe dejó en herencia 17 camellos para sus tres hijos, de manera que tenían que repartírselos del siguiente modo:La mitad para el mayor de los tres hijos.La t e r ce ra pa r t e pa ra e l mediano.La novena parte para el más pequeño de los tres.Ante la imposibilidad de hacer el reparto de los camellos, acudieron al Cadí. Se trataba de un hombre justo, generoso y un buen matemático.¿Cómo afrontó e l Cadí la situación?Regaló a los tres hermanos un camello de su propiedad, de modo que eran 18 el total de camellos a repartir. Así, al mayor de los tres hermanos le correspondió 9 camellos, al mediano 6 y al pequeño 2. Pero con esto sobró 1 camello, que naturalmente devolvieron al Cadí llenos de agradecimiento y admiración por su sabiduría.

¿Cómo lo hizo?

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :


Aritmética


Nivel I

1) Simplifica

a) 10 d) 20 b) 30 e) 40 c) 50

(2,999...)–1

0,00333...0,02 ÷ (–0,3)

0,333...x

– 0,25

(0,75 ÷ (–2)) – (0,5 – 1)-1 -3

[ ]

[ ]–0,6 ÷ 8 ÷ (0,5)–1 +

)

1,3 + (4,5 ÷ 0,5)1,6 x 0,04

)

)

2) Simplifica:

a) -3/4 d) -2/3 b) -5/8 e) -5/12 c) -1/4

4) Reduce:

a) 125 d) 155 b) 135 e) 165 c) 145

5) Simplifica:

y hal la A + B s i A/B es irreductible.

a) 49 d) 58 b) 50 e) 41 c) 51

0,180,6

115

AB

0,150,10

)

+ - =

)

6) Al simplificar y obtener la fracción irreducible, halla el numerador de:

a) 1 d) 7 b) 3 e) 9 c) 5

( )–1

4

0,51,5 – 0,6

0,1296 +–2 + 0,30,2 – 1

))

7) ¿En cuántos treintavos excede

0,01 a 0,001 ?

a) 2 d) 4 b) 3 e) 5 c) 1

( )

)

13

8) ¿En cuánto excede (0,16 + 4,16) a

0,06 – ?

a) 3,2 d) 5,1 b) 4,7 e) 5,7 c) 4,9

)

)

9) Reduce:

y halla el numerador de la frac-ción simplificada.

a) 12 d) 27 b) 13 e) 9 c) 21

15

)

(0,5 + 1,6 – 3,06) x

0,2 – 1,36

)))

)

1,2 – 0,120,2 + 2,2

10) Al simplificar

se obtiene 0,ab. Halla a + b.

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

)))

11) Al reducir:

se obtiene a0,b. Halla a + b.

a) 13 d) 18 b) 15 e) 10 c) 17

6/53/25

1/35/3

– 0,08

+0,11,1

))

)

) 533

12) Si 0,ab = ,

halla a + b.

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

[(1,4)(1,2)]+(3,6 ÷ 0,4 ) 23

) )

+

3) Reduce:

a) 0,62 d) 0,67 b) 0,62 e) 0,83 c) 0,81

(0,2)–2 x 0,523

))

))


Aritmética


Nivel II

) 515

13) Si: 0,ab = ,

halla a + b.

a) 8 d) 5 b) 7 e) 4 c) 6

)

14) Si: 0,a + 0,b = 1,5;

halla a + b.

a) 5 d) 17 b) 15 e) 12 c) 14

) )

7220 x 523

15) Divide

e indica la suma de sus cifras del número decimal.

a) 9 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11

3217 x 515

16) Calcula la suma de las cifras decimales de :

a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12

121223 . 521

17) ¿Cuántos ceros tiene en la parte decimal ?

a) 15 d) 18 b) 16 e) 19 c) 17

73327 x 12512

18) ¿Cuántos ceros tiene en la parte decimal ?

a) 36 d) 33 b) 35 e) 32 c) 34

5909

19) ¿Calcula la suma de las cifras del período de ?

a) 13 d) 10 b) 12 e) 9 c) 11

1927027

20) ¿Calcula la suma de las cifras del período de: ?

a) 8 d) 11 b) 9 e) 12 c) 10

1321237

21) ¿En qué cifra termina el período de ?

a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3

6119910

22) ¿En qué cifra termina el período de ?

a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3

224612739 x 723326

23) Calcula la suma de las cifras del período de :

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

12

14

3 – 2

1 12

24) Calcula:

a) 1/6 d) 5/6 b) 1/2 e) 1 c) 2/3

14

12

4 ÷ 3

2 37

25) A qué es igual:

a) 1/2 d) 3/2 b) 2/3 e) 1/4 c) 3/4

26) Calcula:

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

222444

33336666

44448888

1111122222+ + +

27) Calcula:

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

10101515

666555

7777755555

3399+ + +

25+

23

57

1617

23

57

1617

1617

23

57

23

1617

57

57

23

161723

57

1617

28) Ordena de menor a mayor:

; ;

a) ; ; d) ; ;

b) ; ; e) ; ;

c) ; ;

29) Ordena de menor a mayor:

a = ; b = ; c =

a) a, b, c d) b, a, c b) b, c, a e) c, b, a c) c, a, b

1317

58

2124


Aritmética


Nivel III

23

30) Calcula los de los de 600.

a) 200 d) 250 b) 230 e) 300 c) 240

35

34

31) Calcular los de los de los de 450.

a) 210 d) 240 b) 220 e) 250 c) 230

35

74

32) ¿Qué parte me queda si gasto los 7/9 de mi dinero?

a) 1/9 d) 2/9 b) 2/3 e) 5/9 c) 1/3

33) ¿Qué parte de mi dinero me queda si gasto los 3/8 de los 8/5 de mi dinero?

a) 1/5 d) 3/5 b) 5/5 e) 4/5 c) 2/5

34) Jaime pierde los 3/2 de la mitad de los 5/3 de su dinero. ¿Qué parte le queda?

a) 1/2 d) 3/5 b) 1/4 e) 3/4 c) 3/2

827

35) Fredy pierde los 2/3 de los 2/3 de los 2/3 de su dinero. ¿Qué parte le queda?

a) d)

b) e)

c)

1327

1927

127

1127

36) Simplifica:

a) d)

b) e)

c)

130

25

16

115

730

( )12 ( )1

3 ( )14

( )130

1- 1- 1-

1-...

37) Simplifica:

a) 1 d) 7

b) e) 3

c)

120

110

( )13 ( )1

4 ( )15

( )120

1+ 1+ 1+

1+...

38) Reduce:

a) d)

b) e)

c)

2930

2115

115

3130

3160

( )14 ( )1

9 ( )116

( )1900

1- 1- 1-

1-...

39) Una persona gastó los 5/8 de su dinero. ¿Qué parte le quedó?

a) 1/8 d) 1/2 b) 1/4 e) 5/8 c) 3/8

40) Tengo S/.4000 y gasto 1/10, ¿cuánto me queda?

a) S/.2400 d) S/.3200 b) S/.2600 e) S/.3600 c) S/.3000

41) Calcular los 2/3 de 4500 nuevos soles.

a) S/.2000 d) S/.2500 b) S/.2100 e) S/.3000 c) S/.2400

42) Calcular la mitad de los 3/5 de S/.1000.

a) S/.100 d) S/.400 b) S/.200 e) S/.500 c) S/.300

43) ¿A qué es igual los 3/4 de los 2/5 de los 8/3 de 10 nuevos soles?

a) S/.2 d) S/.6 b) S/.3 e) S/.8 c) S/.4

44) Tengo 2400 soles y gasto la tercera parte de los 3/5. ¿Cuánto me queda?

a) S/.480 d) S/.400 b) S/.320 e) S/.450 c) S/.360

45) Calcular la mitad de los 3/5 del quíntuplo de los 2/7 de 280.

a) 100 d) 130 b) 110 e) 140 c) 120

46) ¿A qué es igual los a/b de los m/n de los b/m de n/a?

a) 1 d) an b) 2 e) amn c) mn

47) De un recipiente lleno de agua se extrae los 2/5; luego los 3/4 del resto y por último la quinta parte del nuevo resto. ¿Qué parte queda?

a) 5/21 d) 9/25 b) 1/25 e) 3/25 c) 7/25


Aritmética


49) Una persona entra a un juego con cierta cantidad de dinero, cada vez que jugó perdió la mitad de lo que tenía. Si esto sucedió 4 veces sucesivas, ¿qué parte le quedó al final?

a) 1/16 d) 1/4 b) 1/8 e) 5/16 c) 3/16

50) Un recipiente está lleno de vino. Se vierte primero la mitad del contenido, luego se vuelve a vaciar los 2/3 de lo que quedaba; a continuación se derrama 1/5 de lo que sobraba y finalmente se vierte los 3/8 de lo que sobró antes. ¿Qué parte quedó?

a) 1/4 d) 1/12 b) 1/3 e) 1/16 c) 5/8

4) Si 0,a + 0,b = 1,5 , halla: (a + b).

a) 5 d) 7 b) 15 e) 12 c) 14

48) Jaime va de compras al mercado. Primero gasta los 5/8 de lo que tenía, luego gasta los 3/5 de lo que le quedaba y por último gasta los 3/4 del nuevo resto. ¿Qué parte de lo que tenía le quedó?

a) 3/8 d) 3/40 b) 1/20 e) 7/80 c) 1/16

1) Reduce:

a) 125 d) 155 b) 135 e) 165 c) 145

1,3 + (4,5 ÷ 0,5)1,6 x 0,04

2) ¿En cuántos treintavos excede 0,01 a 0,001 ?

a) 2 d) 4 b) 3 e) 5 c) 1

3) Si 0,a b = , halla (a+b)

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

533

5) Simplifica:

a) 1 d) 7

b) e) 3

c)

131+

141+

151+

1201+...

120110


Aritmética


Racionales II

1. FRACCIÓN DE UN NÚMERO

2. FRACCIÓN DE FRACCIÓN DE UN NÚMERO

Operaciones con Fracciones

23

Ten en cuentaEn este tipo de ejercicios las palabras sucesivas: «de»; «del»; «de la»; «de los» significa el símbolo (x) de multiplicación.

∴ es 10 veces

Calcula los de 60.

x 60 = 4023

35 Calcula los de los de 140.

57

x x 140 = 6057

35

3. ¿QUÉ FRACCIÓN O PARTE ES UN NÚMERO DE OTRO?

= 10

5316

¿Qué parte es de ?53

16

¿Qué parte es 5 de 20 ?520

14=

∴ es la cuarta parte

1510 =

32

(a) + + + ... + =

(b) + + + ... + =

(c) Progresión geométrica ilimitada de razón menor que 1: S = a + ar +ar2 +ar3 + ...

11 x 2

12 x 3

13 x 4

1n(n+1)

nn+1

11 x 3

13 x 5

15 x 7

1(2n – 1) x (2n + 1)

n2n+1

a1 – rS =

¿Qué parte de 10 es 15?

∴ el triple de la mitad o 1 y media veces.

4. SERIE DE FRACCIONES ESPECIALES

Te diste cuenta

El número precedido de «es» va en el numerador y el otro precedido de «de» va en el denominador. Es de la forma: «es»

«de»

5. FRACCIONES EQUIVALENTES DE IGUAL COCIENTE

* Calcula una fracción equivalente a , tal que el producto de sus términos es 588.

2015

=43 La fracción equivalente es 4k

3k

dato : (4k) (3k) = 588 12 k2 = 588 k = 7

∴ la fracción equivalente será: 2821

2015


Aritmética


Nivel I

1) Halla «S» si:

S = 1+ x 1+ x 1+ x

... x 1+

a) n + 1 d)

b) n - 1 e) n2

c)

12

13

14

1n

n +13

n +12

2) Halla «D» si:

D= 1- x 1 - x 1- x

... x 1 -

a) d)

b) e)

c) n2

12

13

14

1n

n - 12

1 +n2

n +13

1n

3) Si:

P = + + + + ...+ ,

halla «P».

a) d)

b) e)

c)

12

16

112

120

1600

2311122425

121356

4) Calcula:

+ + + + ...+

a) d)

b) e)

c)

24

16

224

120

130x

2315161617

171845

)

5) Si la serie

tiene infinitos sumandos , calcula

«x». a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

12

14

18x = 1 + + + +

116 +...

6) Calcula:

a) d)

b) e)

c)

0,1 + 0,01 + 0,001 + ...

) )

13

7871081

2359

7) Halla el valor de:

S = 1 - 1- 1-

... x 1 -

a) d)

b) e)

c)

14

19

116

12500

501004910048100

5110052100

2317

17234017

40231740

12 + 1

...

2 + 12 + 1

9) Señala el valor de:

P = ( 2 - 1)(2 + )

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

10) Halla «S»:

a) d)

b) e)

c)

12x = +

56 +

1112 +...+

599600

20255202557625

25252325

1a

1a2

1a3+ +P=

infinitos términos

8) Halla «a» si se cumple:

donde «a» es un número racional.

a) d)

b) e)

c)

1 1

15

+...= 1+2 +

1 +


Aritmética


Nivel II 11) Halla el valor de «A»:

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

12

A = +12 +

38 +

14 +...

12) La suma:

a) d)

b) e)

c)

)

0,3+0,03+0,003+...+es igual a:

) )

1031913

1081

1027

13) H a l l a l a s f r a c c i o n e s d e denominador 15 que sean mayores que dos décimos y menores que la unidad más dos décimos. Indica la fracción mayor.

a) d)

b) e)

c)

171511151415

16151815

14) Halla el número de fracciones irreductibles con denominador 45, que sean mayores que 2/9 pero menores que 2/5.

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

15) Calcula el denominador de una fracción equivalente a 15/22 y que la suma de sus términos sea 444.

a) 180 d) 254 b) 264 e) 190 c) 286

16) Halla la fracción equivalente a 6/10; tal que el producto de términos resulte 375.

a) d)

b) e)

c)

575305036

9151525

17) ¿Cuánto le debemos quitar a los 2/3 de los 5/7 de los 6/5 de los 3/4 de 21, para que sea igual a la mitad de 1/3 de 2/5 de 3/4 de 14?

a) d)

b) e)

c)

2110796310

907

8310

18) Si a los 2/7 de una cantidad se le quita los 2/5 de los 3/7 de la misma cantidad, se obtiene los 2/9 de los 4/5 de 909. Halla la cantidad original.

a) 1042 d) 1412 b) 1212 e) 1414 c) 1312

19) ¿Cuánto le falta a 4/9 para que sea igual a los 2/3 de los 5/7 de los 6/11 de los 4/9 de 7?

a) d)

b) e)

c)

411511711

811311

20) Descompón la fracción 101/110 en otras dos que tengan por denominadores 5 y 22. Da como respuesta el producto de los numeradores.

a) 22 d) 15 b) 21 e) 12 c) 18


a) d)

b) e)

c)

36251625165

365

3225


a) d)

b) e)

c)

1425641516

10163132


a) d) 1

b) e)

c)

1740125612

1156

24) ¿Cuántos «novenos» hay en 31/3?

a) 90 d) 27 b) 30 e) 18 c) 24

25) ¿Cuántos «octavos» hay en 41/4?

a) 16 d) 67 b) 32 e) 100 c) 34


Aritmética


Nivel III

)

28) Indica verdadero (v) o falso (f), segun corresponda.

* 0,3 = 0,33 ( )

* 0,222 = 0,2 ( )

* 0,77 = 0,777 ( )

a) VVV d) FFV b) FFF e) VFF c) FVF

))

) )


* es una fracción decimal

exacta. ( )


periódica mixta. ( )


periódica pura. ( )

a) VVV d) FVF b) VFF e) FFF c) FVV

35

23

56


* es una fracción periódica

pura. ( )


mixta. ( )


mixta. ( )

a) VVV d) FVV b) VFV e) FFF c) VFF

424

515

428

)


* 0,2 + 0,3 = 0,5 ( )

* 0,4 - 0,3 = 0,2 ( )

* 0,2 x 0,3 = 0,6 ( )

a) VVV d) FVF b) VFV e) VVF c) FFV

)

)

) ))

))

)

)


* 0,87 > 0,78 ( )

* 0,21 > 0,21 ( )

* 2,3 - 0,3 = 2 ( )

a) VVV d) FFV b) FFF e) VFF c) FVF

)

)) )

)

32) Calcula:

a) 15 d) 18 b) 16 e) 19 c) 17

)

0,4 + 0,40,04 )

33) Calcula:

a) 45 d) 405 b) 90 e) 900 c) 450

)

2 ÷ 0,20,02)

34) Simplifica:

0,1 + 0,2 + ... + 0,8

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

) ) )

)


* 0,12 = ( )

* 0,333 = 0,3 ( )

* 2,4 = ( )

a) VVV d) FVF b) FFF e) FFV c) FVV

1290

249

))

)

35) Simplifica: 1,1 + 1,2 + 1,3 +...+ 1,7

a) 8,1 d) 11,1 b) 9,1 e) 12,1 c) 10,1

) ) ) )

))

)

))

37) Calcula:

a) 0,4 d) 0,7 b) 0,5 e) 0,8 c) 0,6

)

0,12 + 0,210,32 + 0,23

) )

38) Calcula:

a) d)

b) e)

c)

)

0,1 + 1,2 +2,31,0 + 2,1 + 3,2

) )

) )13115519

1119195

39) Calcula:

a) 1,1 d) 4,1 b) 2,1 e) 5,1 c) 3,1

)

4,55 + 5,445,4 + 4,5

)

)

))

))

40) Calcula:

a) 1 d) 10 b) 2 e) 11 c) 8

0,1 ÷

)

0,001

36) Calcula:

a) d)

b) e)

c)

)

2,1 0,21

)

)

0,12 0,21

) 1 121

x x

111

121

17

311

37

)


Aritmética


41) Calcula:

a) 1,0 d) 2,5 b) 1,5 e) 3,0 c) 2,0

0,25 ÷)

0,11

42) Si 0,a = , calcula "a2".

a) 1 d) 36 b) 4 e) 25 c) 16

23

))

43) Si 0,ab = , calcula b - a.

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

411

)

44) Si 0,ab = , calcula a + b.

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

733

)


a) 8 d) 11 b) 9 e) 12 c) 10

56

)


a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

115

47) ¿En qué cifra termina el período

de ?

a) 1 d) 7 b) 2 e) 9 c) 3

1123


de ?

a) 2 d) 6 b) 0 e) 8 c) 4

2447


de ?

a) 1 d) 7 b) 3 e) 9 c) 5

44468


de ?

a) 1 d) 9 b) 2 e) 7 c) 3

40404929292

Terencio, el jugador metódico

Terencio es un jugador empedernido que cuando dispone de dinero se lo juega a los dados. Siempre lo hace de la misma forma: gane o pierda, apuesta la mitad del dinero que tiene; a la segunda jugada, apuesta la mitad del dinero que tiene entonces; en la tercera jugada, la mitad de los que tiene después de la segunda; y así sucesivamente.Cierta tarde tenía 16 euros y jugó 6 veces, ganó tres y perdió otros tres. ¿Con cuánto dinero acaba?

Solución: El orden de pérdidas y ganancias es indiferente, acaba perdiendo 9 euros y 25 céntimos.

Distintos supuestos:

1.a jugada : Apuesta 8 y gana ................ Tiene 16 + 8 = 242.a jugada : Apuesta 12 y gana ................ Tiene 24 + 12 = 363.a jugada : Apuesta 18 y gana ................ Tiene 36 + 18 = 544.a jugada : Apuesta 27 y pierde ................ Tiene 54 – 27 = 275.a jugada : Apuesta 13,5 y pierde ................. Tiene 27 – 13,5 = 13,56.a jugada : Apuesta 6,75 y pierde ................. Tiene 13,5 – 6,75 = 6,75

Si disponía de 16 euros y termina con 6,75 euros, ha perdido 9,25 euros.


Aritmética


1) Halla E: E =

a) b) c)

d) e)

12

16

112

120

1600+ + + +...+ ,

23

1112

2425

1213

56

2) La suma:

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... es igual a: a) b) c)

d) e)

103

19

1027

1081

13

) ) )3) Calcula el denominador de una fracción

equivalente a y que la suma de sus

términos se 444. a) 180 b) 264 c) 286 d) 254 e) 190

1522

5) Simplifica: 1,1 + 1,2 + 1,3 + ... + 1,7 a) 8,1 b) 9,1 c) 10,1 d) 11,1 e) 12,1

) ) ) )

)) )

) )

4) ¿Cuánto le falta a para que sea igual a

los de los de los de los de

7?

a) b) c)

d) e)

23

57

611

49

411

511

711

811

311

49


Aritmética


Repaso

Nivel I

1) Calcula los 2/5 de los 3/4 de 40.

a) 20 d) 28 b) 12 e) 30 c) 26

2) Calcula los 2/13 de los 5/7 de los 3/4 de 1820.

a) 110 d) 150 b) 130 e) 160 c) 140

3) Pedro gasta la mitad de los 5/4 de los 3/8 de su dinero. ¿Qué parte le queda?

a) 49/64 d) 43/64 b) 47/64 e) 41/64 c) 48/64

6) ¿Qué fracción es 1 1/5 de 3/5?

a) 1 d) 1/6 b) 2 e) 2/3 c) 1/5

4) Francisco regala la tercera parte de los 3/7 de su plata. ¿Qué parte le quedó?

a) 1/7 d) 4/7 b) 2/7 e) 6/7 c) 3/4

10) En un accidente de avión donde viajaban 200 personas, los sobrevivientes se pueden agrupar de 5 en 5, de 6 en 6 ó de 8 en 8. ¿Cuántos fueron los muertos?

a) 120 d) 120 b) 80 e) 200 c) 100

5) ¿Qué parte son los 2/5 de 20 de los 3/4 de 60?

a) 45/8 d) 15/2 b) 8/45 e) 3 c) 2/15

7) ¿Qué parte representa la mitad de un número de sus tres cuartas partes?

a) 1/2 d) 3/2 b) 2/3 e) 4/3 c) 3/4

8) Halla el MCM (120,200)

a) 600 d) 750 b) 700 e) 800 c) 500

9) Juan posee tres varillas cuyas medidas son 360, 480 y 560 cm. Se quiere dividir en pedazos iguales que tengan la mayor longitud posible. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo?


11) Si 3a =2b, ¿qué parte es a de a+b?

a) 1/3 d) 3/5 b) 2/3 e) 3/4 c) 2/5

12) Si 8a = 4b, ¿qué fracción de a + b es b–a?

a) 1/2 d) 3/4 b) 2/3 e) 1/5 c) 1/3

13) ¿Cuántos ladrillos de dimensiones 12, 15 y 10 cm se utilizaron para construir el cubo más pequeño posible?

a) 120 d) 90 b) 60 e) 180 c) 80

14) El menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarias para construir un cuadrado es:

a) 135 d) 153 b) 184 e) 148 c) 306

15) ¿Cuántos tercios tiene 6?

a) 2 d) 4 b) 3 e) 18 c) 1


Aritmética


Nivel II

Nivel III

16) ¿Cuántos cuartos hay en el 4?

a) 1 d) 8 b) 2 e) 16 c) 4

17) Al aumentar 3/8 en sus 3/8 se obtiene:

a) 33/64 d) 9/64 b) 23/64 e) 3/4 c) 3/8

18) Halla el MCM de 12 x 9n y 6 x 8n.

a) 23n+ 1 x 3 b) 23n+ 1 x 32n+1 c) 22 x 3 d) 22n x 32n+1

e) 24 x 3

19) Disminúyele 3/5 sus 3/5.

a) 24/25 d) 9/25 b) 17/25 e) 6/25 c) 13/25

20) Si 0,a + 0,b = 1, halla a + b.

a) 10 d) 50 b) 20 e) 1 c) 100

21) Si 0,a + 0,b = 1 y a – b = 2, halla a.

a) 15 d) 8 b) 12 e) 11 c) 10

22) Halla el valor de:

0,3 + 0,33 + 0,333

a) 0,9 d) 0,3 b) 1 e) 0,4 c) 9,9

)

)) )

23) La diferencia de los números: 0,43737 ... y 0,21515... es:

a) 1/9 d) 4/9 b) 2/9 e) 5/9 c) 3/9

25) Halla la fracción generatriz de 0,35555...

a) 10/45 d) 16/45 b) 17/45 e) 13/31 c) 18/33

26) Un número está formado por 22 cuartos. Halla el residuo de dividir este número entre 7.

a) 2 d) 6 b) 3 e) N.A. c) 5

o927) Si a2a53 = , entonces «a» es:

a) 2 d) 5 b) 4 e) Cualquier

c) 1 valor

28) ¿Qué valores deben sustituir a los números 7 y 3 del número 57103 para que sea múltiplo de 72?

a) 8 y 6 d) 4 y 6 b) 8 y 2 e) 8 y 4 c) 2 y 6

o7 29) Si vvv3 = , entonces «v» es:

a) 2 ó 4 d) 3 ó 5 b) 3 e) 4 ó 6 c) 1 ó 8

30) Si 7N = 325x, «N» es:

a) 445 d) 465 b) 415 e) 491 c) 425

31) Al multiplicar A por el número 13, se obtiene un número formado sólo por cifras 8; siendo éste el menor número. Halla la suma de las cifras de A.

a) 27 d) 30 b) 28 e) 31 c) 29

32) Halla (a+b), sabiendo que el número a53b84 es divisible por 88.

a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12

33) Halla «a» si el número aaa bb ab es divisible por 65.

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

34) Si P = 12k tiene 45 divisores, ¿cuántos divisores tiene k12?

a) 13 d) 36 b) 14 e) 45 c) 25

35) Sean: A = K x K3 x K5 x ... x K21 y B = K x K2 x K3 x ... x K11

Donde K es el menor número que tiene 18 divisores. Halla en qué cifra termina el número de divisores de la siguiente expresión:

E = A x B x B x ... x B

2048 veces

a) 2 d) 8 b) 4 e) N.A. c) 6

24) Halla «E» si:

E = 0,24 x 1,90 : 1,4 – 0,13

a) 1/7 d) 1/5 b) 2/3 e) 2/9 c) 3/15

) ) )


Aritmética


36) ¿A qué exponente se debe elevar 60 para obtener el menor número divisible por 723?

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

o24

37) La suma de las cifras del menor número natural que cumple con:

* Poseer un número impar de divisores.

* Es . es:

a) 9 d) 18 b) 12 e) 27 c) 15

38) ¿Cuántos divisores múltiplos de 30 posee N=2p3q5r, sabiendo que 25N posee el doble de número de divisores que N, 729N el triple y 4096N el cuádruple?

a) 4 d) 12 b) 6 e) 18 c) 8

39) ¿Cuántos números que aceptan como factores primos a 2 números consecutivos cumplen con que: «el número de divisores de su cuadrado es el triple de su número de divisores»?

a) 1 d) 4 b) 2 e) N.A. c) 3

40) ¿Cuántos rectángulos cuyas dimensiones en decímetros sean números pares y de 36m2 de superficie existen?

a) 26 d) 36 b) 27 e) N.A. c) 35

41) Calcula P – Q si: P = 2 x 3a x 5b y Q = 2c x 3 x 5

Además MCM (A; B) = 180.

a) 9 d) 13 b) 10 e) 14 c) 11

42) Dado: P = 12n y Q= 3n x 48. Además se sabe que el MCM de P y

Q tiene 81 divisores. Halla : n + 1

a) 3 d) 7 b) 6 e) 5 c) 4

43) Halla el valor de «x» si el MCD de «P» y «Q» es 162, siendo:

P = 6x+1+ 6x y Q = 9x+1 + 9x

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

44) Halla la diferencia de 2 números cuyo MCM es 816 y, cuyos cocientes que se hallan al aplicar el algoritmo de Euclides para determinar su MCD son 2, 1 y 5.

a) 88 d) 68 b) 48 e) 60 c) 136

45) Halla el número de ladrillos necesarios para construir un cubo compacto, sabiendo que su arista está comprendida entre 2 y 3 m, y que las dimensiones del ladrillo a usarse son de 20, 15 y 8 cm.

a) 5760 d) 960 b) 720 e) 120 c) 240

46) Si el MCM de A = 12n x 45 y B = 12 x 45n tiene 450 divisores,

halla n2.

a) 4 d) 25 b) 9 e) 1 c) 16

47) Tres móviles (A, B y C) parten al mismo tiempo de una misma línea de partida de una pista circular que tiene 240m de circunferencia.

S i «A» se desplaza con velocidad de 8m/s, «B» a 5m/s y «C» a 3m/s, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que los tres móviles realicen el primer encuentro?

a) 4 min d) 8 min b) 6 min e) Jamás ocurre c) 12 min un encuentro

48) Se requiere cercar un terreno rectangular de 952m de largo y 544m de ancho con alambre sujeto a postes equidistantes de manera que disten de 3m a 40m, y que corresponda un poste en cada vértice y otro en cada uno de los puntos medios de los lados del rectángulo. ¿Cuántos postes se necesita?

a) 86 d) 87 b) 88 e) 89 c) 90

49) Tres ómnibus de TEPSA salen de su terminal, el primero cada 8 días, el segundo cada 15 días y el tecero cada 21 días. Si los tres ómnibus salieron juntos el 2 de enero del 2000, ¿cuál fue la fecha más próxima en qué volvieron a salir juntos?

a) 20 abril 2002 b) 21 abril 2002 c) 22 abril 2002 d) 23 abril 2002 e) 2 abril 2002

50) ¿Cuál es el mayor número, tal que al dividir 8439 y 8380 entre dicho número se obtiene como residuo 21 y 8 respectivamente?

a) 86 d) 27 b) 46 e) 32 c) 23


Aritmética


Razones

Observa los objetos indicados:

Observa los números indicados:

Estas dos comparaciones se denominan: Razón Aritmética y Razón Geométrica.

8

Ejemplo 1:

Ahora compara y responde:

¿Qué hay más, computadoras o personas?

¿Cuánto más?

Las personas, ¿son el doble o la mitad de las computadoras?

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

¿Qué hay menos, computadoras o personas?

¿Cuánto menos?

Las computadoras, ¿es el doble o la mitad de las personas?

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

Ejemplo 2:

2Ahora, compara y responde:

¿Cuál es el mayor?

¿Cuánto más?

Rpta.:

Rpta.:

¿8 es doble, triple o cuádruple que el 2?

¿2 es cuádruple, mitad o cuarta parte que el 8?

Rpta.:

Rpta.:

Hipatia de Alejandría(370 – 415)

Filósofa griega, nacida y muerta en Alejandría. Es la primera mujer de la que se t iene noticia que dedicó su vida a las matemáticas. Su muerte en el año 415 a manos de cristianos fanáticos marcó el ocaso de la escuela de Alejandría que inició sus actividades con Euclides (300 a.C.) y continuó con grandes matemáticos como Arquímedes, Apolonio o Pappus.La obra de Hypatía se centró en los comentarios sobre las obras de los matemáticos anteriormente citados y unos trabajos originales sobre curvas cónicas. Hypatía fue la última lumbrera de la biblioteca de Alejandría y su martirio estuvo muy legado de la misma.


Aritmética


Es la comparación de 2 cantidades mediante la sustracción de sus números. Partes:

Es la comparación de 2 cantidades mediante la división indicada (fracción) de sus números.

Partes:

ra = a – b

Razón Aritmética

Consecuente

Antecedente

rg =

Razón Geométrica

ConsecuenteAntecedentea

bSe dice también : * “a es a b”* “a es entre sí con b”* “relación de a y b”

Razón Aritmética

Razón Geométrica

Nivel I

1) La diferencia de dos números es 60 y su razón es 0,75. Halla el menor de dichos números.

a) 180 d) 60 b) 120 e) 75 c) 240

2) Si x2 + y2 = 261, y también

= ; calcula “x + y”.

a) 25 d) 32 b) 24 e) 12 c) 21

xy

25

3) Halla (y – x) si: 5x = 4y; y además x + y = 72. Indica como respuesta la suma de sus cifras.

a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12

4) Dos números son entre sí como 4 es a 11 y su diferencia es 35. ¿Cuál es la suma de ellos?

a) 28 d) 55 b) 30 e) 77 c) 75

5) Ana tuvo su hijo a los 18 años. Ahora su edad es a la de su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos años tiene su hijo?


6) En una discoteca se observa que por cada 8 mujeres hay 5 hombres; además, el número de mujeres excede al número de hombres en 21. ¿Cuál es la nueva relación si se retiran 16 parejas?

a) 50/29 d) 83/19 b) 40/19 e) 40/29 c) 30/19

7) En una fiesta hay hombres y mujeres de tal manera que el número de mujeres es al número de hombres como 4 es a 3, además después del reparto de comida se retiran 6 mujeres. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta si todos pueden bailar?

a) 16 d) 24 b) 18 e) 30 c) 20

mn

59

8) Si = , donde:

2m+3n =111, calcula “m + n”.

a) 15 d) 42 b) 27 e) 32 c) 25

9) Se sabe que = ;

además 2A+5B=258. Halla “A”

a) 24 d) 20 b) 42 e) 36 c) 28

AB

47

10) Dos números están en relación de 5 a 8. Si aumenta a uno de ellos 91 y al otro 133, se obtendría cantidades iguales. Halla el número menor.

a) 60 d) 120 b) 70 e) 115 c) 45


Aritmética


Nivel II

11) Si = ; a + b =143;

calcula “a”.

a) 32 d) 48 b) 36 e) 52 c) 40

ab

47

12) Si = ; m+n=180;

calcula “n”.

a) 26 d) 130 b) 52 e) 156 c) 91

mn

513

13) Si = y q – p= 12;

calcula “q”.

a) 56 d) 77 b) 63 e) 84 c) 70

pq

67

14) Si = y a–b = 99;

calcula “a”.

a) 104 d) 143 b) 117 e) 156 c) 130

ab

134

15) La razón aritmética de dos números es 36 y su razón geométrica es 5/9. Calcula el mayor.

a) 54 d) 81 b) 63 e) 90 c) 72

16) La razón aritmética de dos números es 24 y su relación 8/5. Calcula el menor.

a) 25 d) 40 b) 30 e) 45 c) 35

17) La relación de 2 números es 6/11 y su razón aritmética es 25. Calcula el mayor.

a) 35 d) 66 b) 44 e) 77 c) 55

18) La relación de 2 números es 7/20 y su razón aritmética es 65. Calcula el menor.

a) 28 d) 49 b) 35 e) 56 c) 42

19) En cierta reunión por cada 2 hombres hay 3 mujeres. Si en total son 60 personas, ¿cuántas son mujeres?

a) 24 d) 12 b) 36 e) 9 c) 48

20) En una fiesta por cada 5 hombres hay 2 mujeres. Si en total asistieron 91 personas, ¿cuántos son hombres?

a) 65 d) 50 b) 60 e) 45 c) 55

21) De un grupo de niños y niñas se sabe que hay 7 niños por cada 3 niñas. Si los niños son 60 más, ¿cuántas niñas hay?

a) 36 d) 45 b) 39 e) 48 c) 42

22) En una mesa hay 10 vasos y 25 platos. La razón aritmética de platos y vasos es:

a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14

23) A tiene un terreno de 600 m2 y B tiene otro terreno de 480 m2. Calcula la relación de superficies de A y B.

a) 5:3 d) 6:5 b) 4:3 e) 5:6 c) 5:4

24) A posee 2 000 soles y B 1 800 soles. La relación de dinero de A y B es:

a) 5/6 d) 10/9 b) 3/5 e) 6/9 c) 5/4

25) Jaime tiene S/.60 y gasta S/.45. La razón geométrica entre lo que gastó y no gastó es:

a) 4:3 d) 1:4 b) 5:2 e) 3:1 c) 3:5

26) Dos números están en la relación de 2 a 3. Si se aumenta a cada uno de los términos en 9 unidades su razón es 3/4, halla el mayor de los números.

a) 18 d) 45 b) 27 e) 63 c) 36

27) La razón geométrica de las raíces cuadradas de dos números es de 1 a 4. Si la suma de dichos números es 170, halla el menor de ellos.

a) 10 d) 150 b) 160 e) 30 c) 20


Aritmética


28) La relación geométrica de 2 números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de los números?

a) 34 d) 39 b) 51 e) N.A. c) 26

29) En una reunión hay hombres y mujeres siendo el número de hombres al total de personas como 3 es a 8, y la diferencia entre hombres y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres y mujeres si se retiran 33 mujeres?

a) 4:3 d) 5:2 b) 3:4 e) N.A. c) 2:5

30) En un partido de la «U» vs. Alianza inicialmente favorecen las apuestas a la «U» en razón de 3 a 2, pero al final es favorable a Alianza en razón de 5 a 1. ¿Cuántos hinchas de la «U» se pasaron a Alianza si en total 30 000 apostaron?

a) 14 000 d) 12 580 b) 14 500 e) 18 000 c) 13 000

Nivel III

31) La suma de 2 números es 165. Si su razón es 7/4, ¿cuál es su razón aritmética?

a) 15 d) 105 b) 45 e) 60 c) 30

32) La suma de 2 números es 144. Si su razón es 1/3, ¿cuál es su razón aritmética?

a) 36 d) 48 b) 72 e) 24 c) 108

33) La razón de 2 números es 3/4. Si el producto de ambos es 48, entonces el mayor de dichos números es:

a) 6 d) 8 b) 2 e) 16 c) 12

34) La razón de 2 números es 3/5. Si el producto de ambos es 60, entonces el mayor de dichos números es:

a) 2 d) 12 b) 6 e) 10 c) 8

35) Las edades de Jorge y Mario están en la relación de 9 a 8. Hace 25 años estaban en la relación de 11 a 7. ¿Cuál es la diferencia de las edades de Jorge y Mario?


36) Las edades de María y Luisa están en la relación de 2 a 5. Dentro de 5 años sus edades sumarán 59 años. Halla la edad de Teresa si hoy la relación de la edad de María y Teresa es de 7 a 10.


37) La razón aritmética de 2 números es 91. Si la razón geométrica de los mismos es 13/6, entonces el mayor de dichos números es:

a) 143 d) 156 b) 132 e) 169 c) 196

38) La razón aritmética de 2 números es 121. Si la razón geométrica de los mismos es 13/2, entonces el mayor de dichos números es:

a) 154 d) 132 b) 121 e) 143 c) 110

39) La razón entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. La razón geométrica entre el mayor y el menor es:

a) 4:1 d) 5:2 b) 1:4 e) 8:1 c) 2:5

40) La razón entre la suma y la diferencia de dos números es 7/2. La razón geométrica entre el mayor y el menor es:

a) 5:9 d) 9:5 b) 3:8 e) 7:1 c) 8:3

41) La suma, diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Determina la suma de dichos números.

a) 16 d) 15 b) 20 e) 10 c) 40


Aritmética


42) La suma, diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 6, 2 y 16. Determina la suma de dichos números.

a) 8 d) 48 b) 12 e) 24 c) 16

43) En una granja el número de patos es al número de gallinas como 3 es a 2, además el total de animales es 22. ¿Cuántos patos hay si además existe 2 conejos en la granja?

a) 4 d) 16 b) 3 e) 8 c) 12

44) En una reunión por los festejos de año nuevo a la cual asisten 140 personas entre varones y damas, por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si llegan “n” parejas, por cada 4 mujeres habrá 5 hombres. Halla “n”.

a) 5 d) 15 b) 20 e) 25 c) 10

45) Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentan 2 listas “A” y “B”. Para votos se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial, la elección favorece a “B” en la razón de 3 a 2, pero en la votación legal, “A” ganó en una razón de 5 a 3. ¿Cuántos socios cambiaron de opinión?

a) 44 d) 56 b) 54 e) 64 c) 144

46) Pa r a d i b u j a r u n t e r r e n o rectangular se empleó una escala 7/600. Si resulta un dibujo cuyo perímetro es 294 cm, halla el área del terreno sabiendo que la razón de sus dimensiones es 4/17.

a) 1 224 m2 d) 2 448 m2

b) 168 m2 e) 2 856 m2

c) 833 m2

47) En un acuario hay peces de colores azul, anaranjado y amarillo. Si el número de peces azules es al número de peces anaranjados como 6 es a 5 y el número de peces amarillos es al número de peces azules como 5 es a 4, ¿cuántos peces azules hay en el acuario, si la razón aritmética entre el número de peces amarillos y anaranjados es 15?

a) 30 d) 36 b) 32 e) 38 c) 34

48) En una reunión asistieron personas solteras y casadas en la relación de 13 a 5. La razón entre hombres casados y mujeres casadas es de 4/1. Si asistieron 90 personas en total. ¿Cuántas mujeres casadas asistieron a dicha reunión?

a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6

35

49) En un corral hay «n» aves entre patos y pavos. Si el número de patos es a «n» como 5 es a 12, y la diferencia entre el número de patos y el número de pavos es 18, ¿cuál será la relación entre patos y pavos?

a) d)

b) e)

c)

45

910

57

12

50) Dos motociclistas parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Transcurridos los primeros 45 minutos la razón de la distancia a su punto de partida es de 3 a 5, y a los 30 minutos siguientes se encuentran distanciados 80 km. ¿Cuál es la diferencia de sus velocidades en km/h?

a) 20 d) 16 b) 12 e) 24 c) 18

Pensamiento

“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”

Arquímedes


Aritmética


2) Ana tuvo su hijo a los 18 años. Ahora

su edad es a la de su hijo como 8 es a 5.

¿Cuántos años tiene su hijo?


3) Dos números están en relación de 5 a 8. Si aumenta a uno de ellos en 91 y al otro en 133, se obtendrían cantidades iguales. Halla el número menor.

a) 60 d) 120 b) 70 e) 115 c) 45

4) La razón geométrica de las raíces cuadradas de dos números es como 1 es a 4. Si la suma de dichos números es 170, halla el menor de ellos.

a) 10 d) 150 b) 160 e) 30 c) 20

5) La razón entre la suma y la diferencia de dos

números es . Halla la razón geométrica

entre el mayor y el menor.

a) 5:9 d) 9:5

b) 3:8 e) 7:1

c) 8:3

72

1) La razón geometrica de dos números vale

y su razón aritmética es 45. Halla el

menor número.

a) 60 d) 45 b) 70 e) 80 c) 30

47


Aritmética


Proporciones

Se forma con dos razones iguales.

Se llama así cuando se tienen 2 razones aritméticas iguales, en la forma:

Donde: a y d: extremos r: razón aritmética b y c: medios

Principio: de (1)a + d = b + c

Suma de extremos = Suma de medios

En general:a - b = c - d

d : cuarta diferencial

Calcula la cuarta diferencial de 5 ; 1/2 y 7

a - b = c - d = r .... (1)

Proporciones

Clases1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA

Subclases

1.1. Proporción aritmética discreta (PAD)

Cuando los términos medios son distintos.

* 5 - 3 = 8 - 6 * 9 - 2 = 16 - 9

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

5 - = 7 - x

x = 7 -

12

Resolución:

92

Rpta.: x = 52

En general:a - b = b - c

b : media diferencialc : tercera diferencial

b = a + c

2

Calcula la media diferencial de 1/5 y 1/3.

Calcula la tercera diferencial de 2 y 1/4.

1.2. Proporción aritmética continua (PAC)

Ejemplo 1:

Cuando los términos medios son iguales y distintos a los otros.

* 5 - 3 = 3 - 1

* 4 - = - 372

72

Ejemplo 2:

Resolución:

b =2

15 +

13

Rpta.: b = 415

Ejemplo 3:

Resolución:

2 - = - x

x = -

14

14

14

74

Rpta.: x = - 32


Aritmética


2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Se llama así cuando se tienen dos razones geométricas iguales, en la forma:

Donde: a , b , c y d ≠ 0

a y d → extremosb y c → mediosk → razón geométrica o simplemente "razón" o constante de proporcionalidad

Principio: de (2)a . d = b . c

Producto de extremos = Producto de medios

Calcula la cuarta proporcional de 12, 4 y 9.

Cuando los términos medios son iguales y distintos a los otros.

* = * =

13

ab = = k .... 2

cd

Subclases

2.1. Proporción geométrica discreta (PGD)

Cuando los términos medios son distintos.

* = * =

34

1216

93

279

Ejemplo 1:

En general:=

d : cuarta proporcional

ab

o a : b : : c : dcd

=

12x = 36

124

9x

Rpta.: x = 3

Resolución:Ejemplo 2:

2.2. Proporción geométrica continua (PGC)

39

84

42

Ejemplo 1:

En general:=

b : media proporcional o media geométrica.

ab

c : tercera proporcionalb2 = a.c

bc

Ejemplo 2:

b2 = x 114

Calcula la media proporcional de y

1 si es positiva.

14

Resolución:

Rpta.: b = 12

Ejemplo 3:

Calcula la tercera proporcional de

8 y 2.

Resolución:

2 2 x = 2 . 2

x =22

=8

2

2x

Propiedades P.1. Si: = , se cumple:

a) = = =

b) =

c) =

d) =

e) =

ab

a + cb + d

a - cb - d

ab

cd

cd

a + bb

c + dd

a + ba - b

c + dc - d

an

bncn

dn

n an b

n cn d


Aritmética


P.2. En una PGC

a) Producto de 4 términos: a . b . b . c = b4

b) Producto de 3 términos: a . b . c = b3

P.3. En una PGC

* b = ck

* a = ck2

P.4. Si:

a) a = bk ; c = dk ; e = fk

b) k =

c) k3 =

d) kn =

a+c+eb+d+f

a . c . eb . d . f

an + cn + en

bn + dn + f n

ab =

bc

ab = = k

bc

ab = = k=

cd

ef

Nivel I

1) El producto de los 4 términos positivos de una PGC es 1 296. Halla la media proporcional.

a) 8 d) 10 b) 6 e) 12 c) 9

2) El producto de los 4 términos positivos de una PGC es 225. Halla la media proporcional.

a) 12 d) 15 b) 8 e) 6 c) 9

3) En una PGC, la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia 16. Halla la media propocional si es positiva.

a) 3 d) 9 b) 64 e) 81 c) 6

4) En una PGC, la suma de los términos extremos es 29 y su diferencia 21. Halla la media proporcional si es positiva.

a) 24 d) 8 b) 16 e) 12 c) 10

5) Calcula la suma de los 4 términos de una PGC, para la cual se verifica que el producto de los 4 términos positivos es igual al cuádruplo de la suma de los medios.

a) 6 d) 7 b) 8 e) 10 c) 9

6) Calcula la suma de los 4 términos de una PGC, para la cual se verifica que el producto de los 4 términos positivos es igual a 27 veces la semisuma de los medios.

a) 14 d) 10 b) 12 e) 9 c) 16

23

7) La suma de los 4 términos de una P.G. es 65 y cada uno de los

3 últimos es del anterior.

¿Cuál es el último término?

a) 16 d) 64 b) 8 e) 81 c) 27

14

8) La suma de los 4 términos de una P.G. es 85 y cada uno de los 3

últimos es del anterior. ¿Cuál es el primer término?

a) 4 d) 32 b) 16 e) 16 c) 64

9) En una proporción geométrica continua, el producto de sus 4 términos positivos es 312 y además uno de sus extremos es 9 veces el otro. Da como respuesta la suma de sus términos.

a) 124 d) 134 b) 144 e) 140 c) 164


Aritmética


Nivel II

10) En una proporción geométrica continua, el producto de sus 4 términos positivos es 28 y además uno de sus extremos es 4 veces el otro. Da como respuesta la suma de sus términos.

a) 14 d) 20 b) 16 e) 22 c) 18

11) El producto de los 4 términos positivos de una proporción geométrica continua es 50 625. Si la suma de los extremos es 34, halla su diferencia.

a) 10 d) 18 b) 16 e) 12 c) 14

12) El producto de los 4 términos positivos de una proporción geométrica continua es 1296. Si la suma de los extremos es 13, halla su diferencia.

a) 4 d) 6 b) 5 e) 2 c) 3

13) En una proporción geométrica, la suma de los términos de la primera razón es 15 y la suma de los términos de la segunda razón es 25. Halla el primer antecedente sabiendo que la suma de los consecuentes es 16.

a) 6 d) 9 b) 8 e) 16 c) 12

14) En una proporción geométrica, la suma de los términos de la primera razón es 45 y la suma de los términos de la segunda razón es 75. Halla el segundo antecedente sabiendo que la suma de los consecuentes es 48.

a) 35 d) 45 b) 15 e) 25 c) 30

15) En una proporción geométrica continua, la suma de las raíces cuadradas de los extremos es 7. Si la diferencia de los extremos es 7, determina el valor de la media proporcional.

a) 8 d) 16 b) 10 e) 12 c) 64

mn

ab

16) En una PGC, la suma de raíces cuadradas de los extremos es 9. Si la diferencia de extremos es 9, calcula la media proporcional.

a) 10 d) 18 b) 12 e) 20 c) 15

17) La suma de los cuadrados de los 4 términos enteros positivos de una PGC es 7 225. Calcula la media proporcional si la diferencia de extremos es 75.

a) 15 d) 18 b) 16 e) 20 c) 12

18) La suma de cuadrados de los 4 términos enteros positivos de una PGC es 3 025. Calcula la media proporcional si la diferencia de extremos es 25.

a) 15 d) 30 b) 20 e) 35 c) 25

19) Si = =

además: pq = 1 100 + mn p - m = 25 calcula m + p.

a) 35 d) 50 b) 40 e) 55 c) 45

pq

54

20) Si = = ;

además: ab - cd = 780 b - d = 4 calcula b + d.

a) 260 d) 245 b) 254 e) 248 c) 250

cd

34

ab

ab

mn

a+5b+3

21) Se sabe que: = = k;

además a, b, c y k son enteros positivos tal que a > b > c > k. Calcula el mayor valor de a si la diferencia entre la suma de extremos y la suma de medios es 450.

a) 800 d) 2 100 b) 648 e) 2 000 c) 1 800

bc

22) Se sabe que: = = k;

además los términos y la razón son enteros positivos. Calcula el mínimo valor de "m" si (m+p) - (2n) = 100 y m > n > p > k

a) 90 d) 144 b) 98 e) 225 c) 121

np

23) Si = = k

además: =

calcula 1/k

a) 2/3 d) 3/5 b) 1/3 e) 5/3 c) 3/2

cd

c+15d+9


Aritmética


Nivel IIIAa

Bb

1p

A - 9a - 15

B+12b+20

24) Si = = ;

además: = ;

calcula p.

a) 3/4 d) 5/3 b) 4/3 e) 2/3 c) 3/5

25) Si m : n :: p : q, además la razón de la proporción es "k" y m - q = 15, n - p = 3, k > 5 y es par; calcula el mayor de los términos.

a) 12 d) 18 b) 14 e) 20 c) 15

26) Halla la cuarta proporcional de6, 15 y 10.

a) 36 d) 40 b) 25 e) 15 c) 30

27) ¿Cuál es la cuarta proporcional de 36, 12 y 9?

a) 3 d) 11 b) 5 e) 13 c) 7

28) ¿Cuál es la tercera proporcional de 9 y 12?

a) 16 d) 24 b) 18 e) 20 c) 15


a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

30) En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 34 y su diferencia es 16. Halla la media proporcional.

a) 12 d) 14 b) 13 e) 16 c) 15

31) En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Halla la media proporcional.

a) 30 d) 60 b) 45 e) 10 c) 50

32) La suma de los 4 términos enteros positivos de una proporción geométrica continua es 18. Halla la diferencia de los extremos.

a) 6 d) 5 b) 3 e) 2 c) 4

33) En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Halla la media proporcional.

a) 30 d) 36 b) 32 e) 38 c) 34

34) En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Halla la media proporcional.

a) 20 d) 27 b) 25 e) 36 c) 29

35) ¿Cuál es la tercera diferencial de 30 y 23?

a) 15 d) 13 b) 16 e) 12 c) 14


a) 23 d) 32 b) 21 e) 40 c) 22

37) Halla la cuarta diferencial de32, 24 y 10.

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

38) Halla la cuarta diferencial de55, 50 y 19.

a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14

39) La tercera proporcional de “a” y 21 es a 14 como 6 es a la tercera proporcional de b y 10. Halla “a+b” si a – b = 4.

a) 50 d) 46 b) 76 e) 72 c) 28

ab

40) Halla la cuarta proporcional de

a2, y b2

a) a/b d) b2

b) b/a e) a2b c) a2

41) Halla la cuarta proporcional de a, a.b y b

a) b d) a2

b) 2b e) ab c) b2


Aritmética


42) Completa las partes de la proporción geométrica discreta:

• 4 y 12 ________________

• 2 y 6 ________________

• 4 y 6 ________________

• 2 y 12 ________________

42

126=

43) C o m p l e t a l a s p a r t e s d e la proporc ión geométr ica continua:

• 9 y 12 ________________

• 12 y 16 ________________

• 9 y 16 ________________

• 12 y 12 ________________

912

1216=

44) Se llama proporción aritmética continua cuando:

a) Sus cuatro términos son

iguales. b) Sus cuatro términos son

diferentes. c) Sus medios son iguales. d) Los antecedentes son iguales.

45) Se llama proporción aritmética discreta cuando:

a) Tiene 3 términos iguales

b) Sus cuatro términos son diferentes.

c) Sus términos medios son iguales.

d) Todos los antecedentes son diferentes.

46) En una proporción geométrica, los extremos suman 75 y su diferencia es 15. Halla el producto de los medios.

a) 1 300 d) 1 420 b) 1 200 e) 1 500 c) 1 350

47) En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Halla la media proporcional

a) 30 d) 60 b) 45 e) 90 c) 50

48) En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la misma relación que 4 y 25, y su suma es 116. ¿Cuál es la media proporcional?

a) 40 d) 60 b) 45 e) 80 c) 50

49) Halla la tercera proporcional de 25 y 20.

a) 18 d) 15 b) 16 e) 24 c) 12

50) En una proporción geométrica continua, el mayor de los términos es 18 y el término intermedio es 12. Halla la suma de los cuatro términos.

a) 42 d) 60 b) 48 e) 50 c) 52

Tres estudiantes fueron a USA. Llegaron a un motel y pidieron rentar un cuarto. El hijo del dueño del motel, que se encontraba en la recepción en el momento que llegaron, les dijo que un cuarto cuesta 30 dolares. Entonces cada uno de los estudiantes saco 10 dolares y asi juntaron los 30 dolares para pagar el cuarto. Después de haber pagado y subido a su cuarto llegó el dueño del motel a la recepción y se dió cuenta que su hijo les cobró demasiado porque el cuarto cuesta solamente 25 dolares, entonces mando a su hijo al cuarto con 5 billetes de 1 dólar. Pero el hijo decidió que va a ser demasiado dificil dividir 5 dólares entre 3 personas, puso 2 dólares en su bolsa y dió un dólar a cada uno de los estudiantes.


Aritmética


2) La suma de los cuatro términos de una P.G.

es 85 y cada uno de los 3 últimos es del

anterior. ¿Cuál es el primer término?

a) 4 d) 32 b) 16 e) 16 c) 64

14

1) El producto de los cuatro términos

positivos de una PGC es 1 296. Halla la

media proporcional

a) 8 d) 10 b) 6 e) 12 c) 9

5) Halla la cuarta proporcional de a2; y b2.

a) d) b2

b) e) a2b

c) a2


a) 23 d) 32 b) 21 e) 40 c) 22


a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

ab

abba


Aritmética


Repaso

Nivel I

1) La razón aritmética de 2 números es 120 y la razón geométrica es 8/3. Calcula la mitad del mayor.

a) 192 d) 184 b) 96 e) 98 c) 48

2) La razón aritmética de 2 números es 80 y la razón geométrica es 3/5. Calcula el doble del menor.

a) 120 d) 160 b) 60 e) 280 c) 240

3) En un salón, el número de alumnos y alumnas están en la razón de 2 a 7. Si en total son 63, ¿cuántos alumnos llevan chompa sabiendo que son la mitad?

a) 5 d) 12 b) 6 e) 14 c) 7

4) En una reunión el número de hombres y mujeres están en la relación de 9 a 5. Si en total son 112, ¿cuántas damas se pintaron los labios sabiendo que eran la cuarta parte?

a) 8 d) 20 b) 10 e) 40 c) 11

5) En una reunión de cada 6 hombres hay 5 mujeres. Si en total son 132, calcula la razón aritmética de hombres y mujeres.

a) 10 d) 24 b) 12 e) 30 c) 18

ab =

35

6) En una granja, por cada 6 gallinas, hay 10 conejos. Si hay 18 conejos más que gallinas, calcula el número de gallinas.

a) 9 d) 36 b) 18 e) 45 c) 27

7) En una cesta hay 35 huevos y se rompen 10. Calcula la razón aritmética de huevos “sanos” y “rotos”.

a) 25 d) 10 b) 20 e) 5 c) 15

8) En un salón existen 20 alumnos y 18 carpetas. Si se retiran 8 alumnos, calcula la razón geométr ica de carpetas a alumnos.

a) 2 : 1 d) 2 : 3 b) 1 : 2 e) 3 : 1 c) 3 : 2

9) Si y a + b = 48

calcula a + 2b

a) 78 d) 76 b) 75 e) 77 c) 79

mn =

35 10) Si y m + n = 170,

calcula n - m

a) 70 d) 90 b) 60 e) 100 c) 80

11) Si y a - b = 75,

calcula a + b

a) 143 d) 182 b) 156 e) 195 c) 169

ab =

32

12) Si 5a = 9b y a + b = 196, calcula “b”

a) 50 d) 80 b) 60 e) 90 c) 70

13) Si 20n = 70b y n - b = 65, calcula n + b

a) 153 d) 108 b) 135 e) 99 c) 117


Aritmética


a2 =

b3 =

c5 14) Si y

a + b + c = 60, calcula “b”

a) 12 d) 21 b) 15 e) 24 c) 18

m5 =

n6 =

p7 15) Si y

m + n + p = 198, calcula “p”

a) 51 d) 70 b) 49 e) 77 c) 63

a4 =

b8 =

c12

m12

= n14

= p18

1215 =

a20

245

= 120b

y ;

x4 =

912

6y =

1812y ;

Nivel II

16) Si

a + b + c = 42, calcula “c”

a) 7 d) 28 b) 14 e) 35 c) 21

17) Si

m + n + p = 110, calcula “n”

a) 30 d) 37 b) 33 e) 39 c) 35

18) Dadas las proporciones geométricas

calcula “x + y”

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

19) D a d a s l a s p r o p o r c i o n e s geométricas:

calcula “b - a”

a) 9 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11

20) Calcula la media diferencial de 1/2 y 3/5

a) 11/20 d) 13/20 b) 9/10 e) 19/20 c) 7/20

21) Calcula la media diferencial de 25/3 y 8/3 a) 11 d) 7/2 b) 7 e) 11/4 c) 11/2

22) Calcula la media proporcional de 1/3 y 3

a) 1/9 d) 1 b) 1/27 e) 3/2 c) 1/36

23) Calcula la media proporcional de 8 y 2 a) 4 d) 16 b) 6 e) 2 c) 8

24) Calcula la cuarta diferencial de 1/2, 1/3 y 1/5

a) 1/10 d) 1/25 b) 1/15 e) 1/30 c) 1/20

25) Calcula la cuarta proporcional de 4, 2 y 1/2

a) 1 d) 4 b) 1/4 e) 8 c) 3/2

26) Si la media proporcional de "a" y "b" es 14 y la tercera proporcional de "a" y "b" es 112, ¿cuál es la diferencia entre "a" y "b"?

a) 21 d) 35 b) 22 e) 28 c) 23

27) La suma de la media diferencial de 38 y 12 con la cuarta diferencial de 15; 10 y 19 es igual a:

a) 18 d) 39 b) 20 e) 24 c) 26

41

28) La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es a la diferencia de sus extremos como 3 es a 1. ¿Cuál es la razón geométrica del extremo mayor y el extremo menor?

a) d)

b) e)

c)

51

34

65

21

29) En una proporción geométrica continua la suma de los 4 términos es 64 y la diferencia entre los extremos es 48. Halla la suma de los extremos.

a) 49 d) 52 b) 50 e) 48 c) 51

30) En una proporción geométrica continua la suma de los términos extremos es 60 y la de los antecedentes es 24. Calcula la media diferencial de la media proporcional y uno de sus extremos.

a) 36 d) 40 b) 28 e) 32 c) 48

y

y


Aritmética


Nivel III

31) En una proporción geométrica continua la suma de los extremos excede a la suma de los medios, en la unidad. Además el producto de sus términos es 1 296. Halla la suma de la media proporcional y sus extremos.

a) 19 d) 22 b) 20 e) 23 c) 21

32) En una proporción aritmética continua los extremos son entre sí como 7 es a 3. Si 10 es la tercera proporcional de la suma de los extremos con la media diferencial de la proporción inicial, calcula la suma de los extremos de la última proporción.

a) 50 d) 40 b) 20 e) 56 c) 30

33) En una proporción geométrica discreta, el producto de los antecedentes es 120 y el producto de los consecuentes es 270. Si la suma de los 2 términos de la primera razón es 25, ¿cuál es la suma de los términos de la segunda razón?

a) 30 d) 36 b) 26 e) 42 c) 40

34) En una proporción aritmética continua, el primer antecedente es mayor en 8 unidades que el segundo consecuente. Calcula el término medio sabiendo que el producto de sus términos diferentes es 120, siendo todos los términos enteros.

a) 8 d) 10 b) 4 e) 12 c) 6

35) En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los 2 últimos términos es 25. Halla el menor de los términos medios si la suma de los consecuentes es 27.

a) 14 d) 18 b) 12 e) 10 c) 16

aa+1

aaaa

b= 36) Sabiendo que:

y además la suma de los términos de esta proporción es 144, calcula el valor de la media proporcional.

a) 16 d) 9 b) 27 e) 25 c) 32

37) En una proporción geométrica la suma de los extremos es 21; la suma de los medios es 19 y la suma de los cuadrados de los cuatro números es 442. Halla la suma de las cifras del mayor de los cuatro términos.

a) 9 d) 7 b) 6 e) 10 c) 8

38) Tres amigos se asocian para poner un negocio. Juan pone S/.8 000, Peter los 3/4 de lo que puso Juan y Walter el resto, completando así un total de S/.20 000. Si al cabo de un año se produce una ganancia de S/.1 200, ¿cuánto le corresponde a Walter?

a) S/.120 d) S/.450 b) S/.240 e) S/.540 c) S/.360

39) Divide el número 2 877 en partes proporcionales a 422; 283 y 562. Da la suma de las cifras del número mayor obtenido.

a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12

40) Se reparte S/.1 593 en forma DP a dos cantidades de modo que ellas estén en la relación de 52 a 7. Halla la suma de las cifras del número mayor.

a) 6 d) 15 b) 9 e) 18 c) 12

41) Se r epa r te una suma de dinero en forma DP a las e d a d e s d e d o s p e r s o n a s que son 2 números impares consecutivos. Si el menor recibió S/. 400 menos que el mayor, ¿cuál es la edad del menor si la cantidad repartida fue S/.1 600?


42) Cuatro socios al iniciar un negocio aportaron como sigue: dos de ellos S/.1 500 y los otros dos S/. 2 000. Luego de 2 años de haberse iniciado el negocio y a cuatro años de su fin entró un quinto socio aportando S/.5 000. ¿Cuál fue la ganancia total si el último sólo ganó S/.2 000?

a) S/.5 400 d) S/.6 200 b) S/.5 800 e) S/.6 400 c) S/.6 000


Aritmética


43) Divide 950 entre A, B y C de modo que la parte de "A" sea a la de "B" como 4 es a 3 y la parte de "B" sea a la de "C" como 6 es a 5. Halla la mayor parte.

a) 400 d) 700 b) 500 e) 800 c) 600

44) Tres técnicos deben repartirse S/.423 890 por haber ensamblado televisores y radios. El primero 2 televisores y 20 radios; el segundo 5 televisores y 12 radios y el tercero 6 televisores. Si el trabajo de un televisor es equivalente al de 5 radios, ¿cuánto recibió el segundo técnico?

a) S/.161 690 b) S/.163 780 c) S/.162 890 d) S/.161 380 e) S/.165 790

45) Al repart ir 729 en partes proporcionales a 3a2, 3a3 y a4, al menor le corresponde 27. Halla "a" si es entero.

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

46) Una circunferencia se divide en ángulos centrales DP a los 23 primeros números naturales consecutivos. Halla el mayor ángulo.

a) 30° d) 33° b) 31° e) 34° c) 32°

47) Divide 500 en partes DP a 8!, 9! y 10!. Halla la parte intermedia.

a) 25 d) 35 b) 30 e) 45 c) 40

48) Tres ciclistas se ponen de acuerdo para repartirse S/.6 200 por competir en una carrera. Si los tiempos utilizados por estos fueron 2; 3 y 5 minutos, halla cuánto recibe el más veloz.

a) 1 000 d) 3 000 b) 1 200 e) 3 500 c) 1 500

49) Se reparte una suma de dinero proporcionalmente a las edades de tres hermanos que son números consecutivos. Si al mayor le tocó el triple del menor, halla la suma de las edades.


50) Se reparte el número 840 en dos partes DP a 3 y 4. ¿Cuál es la diferencia de repartir IP con respecto al número mayor?

a) 100 d) 140 b) 360 e) 150 c) 120

El Ábaco

Fueron los egipcios quienes 500 años a.C. inventaron el primer dispositivo para calcular, basada en bolitas atravesadas por alambres. Posteriormente, a principios del segundo siglo d.C., los chinos perfeccionaron este dispositivo, al cual le agregaron un soporte tipo bandeja, poniéndole por nombre Saun-pan. El ábaco permite sumar, restar, multiplicar y dividir.La palabra ábaco proviene del griego ABAX que significa “una tabla o carpeta cubierta de polvo”. Este dispositivo, en la forma moderna en que lo conocemos, realmente apareció en el siglo XIII d. C. y sufrió varios cambios y evoluciones en su técnica de calcular. Actualmente está compuesto

por 10 columnas con 2 bolillas en la parte superior y 5 en la parte inferior. Los japoneses copiaron el ábaco chino y lo rediseñaron totalmente a 20 columnas con 1 bolita en la parte superior y 10 en la inferior, denominado soroban. El ábaco sigue estando en uso por almaceneros en Asia y en “China Towns” en Norteamérica. El uso del ábaco sigue siendo enseñado en las escuelas de Asia, y algunas pocas escuelas en el Oeste. Niños ciegos son enseñados para usar papel y lápiz para realizar cálculos. Un uso particular para el ábaco es enseñar matemáticas simples a niños y especialmente multiplicaciones. El ábaco es un excelente sustituto para memorización rutinaria de las tablas de multiplicar, una particularmente detestable tarea para los niños jóvenes. El ábaco es también una excelente herramienta para enseñar otros sistemas de base numérica desde que es fácilmente adaptable por sí mismo a cualquier base.


Aritmética


Promedios

Introducción

Juan, alumno de 2.º de secundaria, enseña su libreta del colegio a Pedro, ambos alumnos y amigos. Las notas fueron:

Nota Aritmética 18 Álgebra 10 Geometría 08 Promedio : 13 Física 13 Raz. Matemático 16

En ese momento, llega el papá de Juan y le pregunta: «Bien hijo,... ¿y? ¿Con cuánto pasas a 3.º de secundaria?», y Juan responde: «Con 18 papi». Pedro le queda mirando y le dice; «Oye, no!, dile el promedio». «Ah... sí, lo olvidé. Con 13, papi».Bien, así es, de un grupo de notas existe uno llamado «promedio» que les representa. Pero esta semana aprenderás que este promedio puede ser de 3 tipos: aritmético, geométrico y armónico. Lo obtenido en las notas es aritmético.

Llamado también Media Aritmética (Ma) o simplemente «promedio».

Dados 4 números: 4; 13; 12 y 17, la media aritmética es:

Ma = = 11,5 Para : a1, a2, a3, ..., an Ma =

4 + 13 + 12 + 174

a1 + a2 + a3 + ... +ann

1. PROMEDIO ARITMÉTICO

2. PROMEDIO GEOMÉTRICO

Llamado también Media Geométrica (Mg).

Dados 3 números: 12 ; 3/8 y 6, la media geométrica es:

Mg = 12 x x 6 = 27 = 3

Para : a1, a2, a3, ..., an

Mg = a1. a2 . a3 . ... . an

38

3

n

3

3. PROMEDIO ARMÓNICO

Llamado también Media Armónica (Mh).Dados 4 números: 2 ; 5 ; 2/3 y 1, la media armónica es:

Mh =

Mh = 1,25

Para : a1, a2, a3, ..., an Mh =

12

123

+ + +

415

11

1a1

1a2

1a3

1an

n

+ + +...+

Propiedades

Si todos los números son iguales, entonces:

Ma = Mg = Mh = mismo número.

Si todos los números son distintos, entonces:

a) Número < Promedio < Número Menor Mayor

b) Mh < Mg < Ma


Aritmética


Nivel I

1) Juan Carlos ha obtenido en las cuatro primeras prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál debe ser su nota en la quinta práctica para que su promedio sea 13?

a) 16 d) 20 b) 18 e) 21 c) 19

La temperatura media en todo el mes fue:

= 18,5ºC

El promedio de las 3 aulas es:

= 13 ¡No!

Así : = 12

17 + 12 + 103

20 x 17+30 x 12+50 x 1020 + 30 + 50

* La temperatura media de una ciudad durante el mes de noviembre fue variante:

5 x 16 + 15 x 17 + 10 x 225 + 15 + 10

Aula N.º Alumnos Promedio

A 20 17

B 30 12

C 50 10

Fecha N.º de Temperatura días media

1 al 5 5 16° C

6 al 20 15 17° C

21 al 30 10 22° C

4. PROMEDIO DE GRUPOS

5. PARA 2 NÚMEROS A Y B

(a) Ma = Mg = AB ; Mh =

(b) Mg2 = Ma . Mh

A + B2

2ABA + B

2) Marco calcula el promedio de sus 5 primeras prácticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes prácticas obtuvo 14 y 16, ¿cuál es su promedio ahora?

a) 13,42 d) 14,25 b) 13,57 e) N.A. c) 12,58

3) El promedio de las edades de 6 personas es 26. Si se retiran 2 de ellas, el promedio de los que quedan es 23 años. ¿Cuál es la suma de las edades de las personas que se retiraron?


4) El promedio de 30 alumnos de la clase «A» es 16; de la clase «B», que tiene 40 alumnos, es 14; y de la clase «C», que tiene 50 alumnos, es 12. Halla el promedio de las tres clases.

a) 13,2 d) 14,2 b) 13,4 e) 14,6 c) 13,6

5) En una clase de 40 alumnos, la estatura promedio de los hombres, que son 25, es 1,68 m y el promedio de las mujeres es 1,62m. ¿Cuál es el promedio de la clase?

a) 1,63 m d) 1,66 m b) 1,64 m e) 1,67 m c) 1,65 m

6) El promedio de las notas de un grupo de 6 alumnos es 78. Si ninguno de ellos obtuvo menos de 74, ¿cuál es la máxima nota que pudo obtener uno de ellos?

a) 90 d) 98 b) 92 e) 88 c) 94

7) En una partida de póquer se encuentran 5 personas cuyo promedio de edades es 32 años. Si ninguno tiene menos de 24 años, ¿cuál es la máxima edad que puede tener uno de ellos?


8) Un ciclista va de Lima a Chorrillos con una velocidad de 60 km/h y regresa a razón de 40 km/h. Halla la velocidad promedio del recorrido.

a) 45 km/h d) 52 km/h b) 48 km/h e) N.A. c) 50 km/h

* El promedio de las aulas es variante.


Aritmética


9) En la última competencia de Caminos del Inca, la velocidad promedio de Lima a Cusco fue de 120 km/h y de Cusco a Lima de 130 km/h. ¿Cuál fue la velocidad promedio para todo el recorrido?

a) 124,2 km/h d) 126 km/h b) 124,8 km/h e) N.A. c) 125 km/h

10) La media geométrica de 3 números enteros positivos distintos es 7. Calcula su media aritmética.

a) 13 d) 19 b) 15 e) 21 c) 17

11) La media geométrica de 3 enteros positivos distintos es 2. Calcula su media aritmética.

a) 2 d) 3,5 b) 3 e) 2,3 c) 2,5

12) La media geométrica y la media armónica de 2 números son 2 y 4. Calcula su media aritmética.

a) 1 d) 4 b) 4,5 e) 8 c) 3,5

13) Halla el promedio de las siguientes notas de Julio: 15, 10, 14, 5.

a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12

14) Halla 2 números, sabiendo que su media aritmética es 5 y su media armónica es 24/5.

a) 7 y 3 d) 8 y 7 b) 8 y 2 e) 9 y 13 c) 6 y 4

15) Hal la «x» s i e l promedio geométrico de 2x; 22x y 8x es 1024.

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

Nivel II

16) Se sabe que e l promedio aritmético de dos números es 12 y el P.H. es 3. ¿Cuál es el promedio geométrico de los 2 números?

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

17) El promedio de las edades de 5 personas es 11,4. Si una de ellas tiene 13 años, ¿cuál es la edad promedio de las restantes?


18) Si el promedio aritmético de 20 números es 11 y dos de ellos suman 40, ¿cuál es el promedio de los otros 18 números?

a) 10 d) 13 b) 11 e) 9 c) 12

19) El promedio aritmético de 13 números es 18. Si 3 de ellos suman 34, ¿cuál es el promedio de los demás?

a) 16 d) 19 b) 17 e) 20 c) 18

20) El promedio de cuatro exámenes de un mismo alumno es 13. Si tres de ellos suman 48, ¿cuál es la cuarta nota?

a) 04 d) 16 b) 08 e) 20 c) 12

21) El promedio de notas de ocho estudiantes es 12. Si sólo uno obtuvo 10 y nadie desaprobó, ¿cuál es la máxima nota que pudo obtener uno de ellos?

a) 16 d) 19 b) 17 e) 20 c) 18

22) El promedio de notas de 27 alumnos es 15. Si a todos los alumnos se les aumenta un punto en su examen, ¿cuál será el nuevo promedio?

a) 14 d) 17 b) 15 e) 18 c) 16

23) El promedio de las notas de un alumno en sus tres primeras prácticas es exactamente 12. Si en la cuarta práctica obtiene 08, ¿cuál será el nuevo promedio?

a) 10 d) 09 b) 11 e) 13 c) 12

24) El promedio de las edades de cinco estudiantes es 15 años. Si ninguno de ellos es mayor de edad, ¿cuál es la menor edad que puede tener uno de ellos?


25) Halla el promedio aritmético de 8, 12, 20 y 24.

a) 10 d) 16 b) 11 e) 20 c) 12


Aritmética


Nivel III 26) El promedio geométrico de 3; 9; 27; ...; 3n es 243. Halla «n».

a) 9 d) 11 b) 10 e) 12 c) 8

27) Si el cociente de 2 números es 4, siendo la diferencia entre su M.A. y su M.G. la unidad, determina su M.H.

a) 2,5 d) 4 b) 2,7 e) 3,2 c) 3

28) La media aritmética de 30 números es 20. Si se quita 2 de éstos cuya media aritmética es 48, ¿en cuánto disminuye la media aritmética de los restantes?

a) 1 d) 2,5 b) 1,5 e) 3 c) 2

29) Encuentra la media aritmética del mayor número de 3 cifras diferentes con el menor número de 4 cifras significativas.

a) 1 010 d) 2 098 b) 1 005 e) 1 049 c) 1 110,5

30) La edad promedio de 5 alumnos del ciclo anual es 17 años. Si ninguno es menor de 15 años, ¿cuál es la máxima edad que uno de ellos puede tener?


31) El promedio aritmético de 30 números es 14. Si agregamos un número, el promedio se incrementa en 2 unidades. ¿Qué número estamos agregando?

a) 75 d) 78 b) 76 e) 79 c) 77

32) El promedio aritmético de 100 números es 24,5. Si cada uno de éstos se multiplica por 3,2; el promedio aritmético es:

a) 78,4 d) 50 b) 70 e) 87,6 c) 21,3

33) Si el promedio de 21 números consecutivos es 2 100, ¿cuál es el mayor?

a) 132 d) 126 b) 125 e) 120 c) 110

34) La edad promedio de 6 personas es 64 años. Si ninguna de ellas es mayor de 70 años, entonces la mínima edad que puede tener cualquiera de ellas es:


35) La edad promedio de 5 personas es 54 años. Si ninguna de ellas es menor de 50 años, entonces la máxima edad que puede tener cualquiera de ellas es:


36) ¿Cuál es el número mayor si la media aritmética de 3 números es 30? Además uno de ellos es 24 y la diferencia de los otros dos es 18.

a) 41 d) 46 b) 44 e) 40 c) 42

37) ¿Cuál es el número menor si la media aritmética de 3 números es 28? Además uno de ellos es 26 y la diferencia de los otros dos es 14.

a) 18 d) 19 b) 20 e) 22 c) 24

38) El promedio armónico de 20 números es 36. Calcula el promedio armónico de sus terceras partes.

a) 49/120 d) 35/12 b) 49/240 e) 27/12 c) 49/2

23

39) Calcula el número cuya media armónica de su tercera parte y

su sexta parte es 10 .

a) 49/120 d) 35/12 b) 49/240 e) 27/12 c) 49/2

40) Un automovilista viaja de Ica a Tacna a razón constante de 120 km/h y retorna a razón constante de 80 km/h. Calcula la velocidad promedio en todo su recorrido.

a) 100 km/h d) 90 km/h b) 96 km/h e) 88 km/h c) 92 km/h


Aritmética


41) Halla “n”, sabiendo que el promedio geométrico de los números 2; 4; 8; 16; … (“n” números) es igual a 1 024.

a) 6 d) 9 b) 8 e) 10 c) 7

42) La media aritmética de dos números es 25/2. Si la M.G. de los mismos es 12, calcula la media armónica de dichos números.

a) 12,2 d) 11,52 b) 13,2 e) 17,9 c) 14,6

43) La media aritmética de dos números es 27. Si la M.H. de los mismos es 18, calcula la media geométrica de dichos números.

a) 45 d) 9

b) 6 5 e) 9 5

c) 4 5

44) El promedio geométrico de 3 números pares diferentes es 6, entonces la M.A. de dichos números es:

a) 7 d) 8

b) 9 e)

c) 203

263

45) La media geométrica de 3 números pares diferentes es 4, entonces la M.A. de dichos números es:

a) d) 6

b) e)

c) 5

173

143

M.G.M.H.

46) Sean los números A y B.

Calcula si A = 9B.

a) 1/4 d) 3/5 b) 2/5 e) 5/3 c) 5/2

48) El producto de la M.A. de 2 números por su M.H. da como resultado 1 024. Calcula la M.G.

a) 6 2 d) 8

b) 2 2 e) 4

c) 4 2

49) El producto de la M.A. de 2 números por su M.G. y por su M.H. da como resultado 4 096. Calcula la M.G.

a) 18 d) 6

b) 32 e) 16

c) 8

47) Sean los números A y B.

Calcula si A = 4B.

a) 2/5 d) 5/4 b) 5/2 e) 4/5 c) 3/5

M.H.M.G.

50) ¿Cuál es el promedio armónico de 60 números si el promedio armónico de 20 de ellos es 18 y el promedio armónico de los 40 restantes es 54?

a) 30,4 d) 30,2 b) 31,2 e) 32,4 c) 32,2

¿Cómo se calcula el cuadrado de un número utilizando promedios?

Se dice que los primeros en aplicar las potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos. Así se ha deducido de unas tablillas encontradas en las orillas del río Éufrates.

De acuerdo a lo estampado en ellas, los sacerdotes resolvían la multiplicación sin recurrir al ábaco, tan usado en esa época. Para solucionarla empleaban la tabla de cuadrados y se basaban en el siguiente principio:

“El producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio menos el cuadrado de la mitad de su diferencia”.

Vamos a comprobarlo con 5 y 3.El promedio de los dos es 4 y el cuadrado de 4 es 16.La diferencia entre 5 y 3 es 2, y su mitad corresponde a 1.16 - 1 = 15 y 3 . 5 = 15

¡Muy cierto!

152


Aritmética


1) Juan Carlos ha obtenido en las cuatro primeras prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál debe ser su nota en la quinta práctica para que su promedio sea 13?

a) 16 d) 20 b) 18 e) 21 c) 19

5) El promedio aritmético de a; b y c es 29.

Si b es el promedio aritmético de 12 y 20,

halla (a + c).

a) 72 d) 62

b) 61 e) 51

c) 71

4) Halla x si el promedio geométrico de 2x,

22x y 8x es 1024.

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

2) La media geométrica de 3 enteros

positivos distintos es 2. Calcula su media

aritmética.

a) 2 d) 3,5

b) 3 e) 2,3

c) 2,5

3) Si la media aritmética de dos números es

10 y la media geométrica es 5, calcula su

media armónica.

a) 1 d) 1,5

b) 0,5 e) 2

c) 2,5


Aritmética


Regla de Tres Simple

Se necesitan 24 obreros para sembrar 30m2 de un terreno fértil. ¿Cuántos obreros más se necesitarán para sembrar otro terreno de 35 m2?

Si 60 naranjas cuestan 18 soles, ¿cuánto costarán 40 naranjas?

Se usan cuando intervienen dos magnitudes y cada una con dos cantidades, en total cuatro, pero una no se conoce.

Cuando las dos magnitudes que se comparan son D.P.

A. Simple Directa

Ejemplo 1:

Naranjas Soles

60- 40

18 - x

Son DP: 6018

40x

=

x = 12 soles

Ejemplo 2:

Resolución:

Resolución:

Obreros m2

24+ 24+x

30 +35

Son DP: 2430

24+x35

=

x = 4 obreros más

Se necesitarán:

B. Simple Inversa

12 obreros pueden terminar una obra en 18 días. ¿Cuántos obreros terminarán la misma obra en 27 días?

Cuando las dos magnitudes que se comparan son I.P.

Una rueda de 24 dientes engrana con otra rueda de 60 dientes. Si la primera da 300 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la segunda?

Ejemplo 1:

Resolución:

Obreros Días

12- x

18 + 27

Son IP:

x = 8 obreros

Lo acabarán:

12 . 18 = (x) (27)

Ejemplo 2:

Resolución:

Dientes Vueltas

300 - x

Son IP: (24) (300) = (60) (x) 120 = x

24+ 60

dará 120 vueltas

Arquímedes298 a.C. - 212 a.C.

Fue uno de los matemáticos más grandes de los tiempos antiguos. Nativo de Siracusa, Sicilia, fue asesinado durante su captura por los romanos en la Segunda Guerra Púnica. Cuentos de Plutarco, Livio y Polibio describen máquinas, incluso la catapulta, la polea compuesta, y un ardiente-espejo, inventadas por Arquímedes para la defensa de Siracusa. Pasó algún tiempo en Egipto, donde inventó un aparato ahora conocido como el "tornillo de Arquímedes". Arqu ímede s h i zo mucha s contribuciones originales a la Geometría en las áreas de figuras planas y las áreas y volúmenes de superficies curvas. Sus métodos anticipaban el Cálculo integral 2000 años antes de ser «inventado» por el Señor Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz. El fue conocido también por la aproximación de pi (entre los valores 310/71 y 31/7) obtenido por circunscribir e inscribir un círculo con polígonos regulares de 96 lados entre otros.


Aritmética


Nivel I

1) Si 35 velas cuestan 20 soles, ¿cuánto costarán 3 docenas y media?

a) S/. 24 d) S/. 32 b) S/. 28 e) S/. 36 c) S/. 30

2) El alquiler de 5 meses de una casa cuesta 800 soles. ¿Cuántos meses más se alquilará la casa si se paga 1120 soles?

a) 7 d) 2 b) 5 e) 1 c) 3

3) Juan y Pedro alquilan una casa. Juan ocupa los 4/13 de la casa y al mes le toca pagar 180 soles. ¿Cuánto le tocará pagar a Pedro?

a) S/. 1350 d) S/. 450 b) S/. 675 e) S/. 270 c) S/. 405

4) Un árbol de 12 m da una sombra de 16 m. ¿Qué sombra proyecta una persona de 1,80 m a la misma hora?

a) 2m d) 2,40m b) 2,50m e) 2,70m c) 3,6m

5) Con "a" soles compro "b" figuritas. ¿Cuántas figuritas compraré con "b" soles?

a) d) b

b) e) ab2

c) a

b2

aa2

b

n(m+n)m

mn

6) "m" obreros hacen "n" obras. ¿Cuántas obras harán (m+n) obreros?

a) d)

b) e)

c)

mnm+n

m(m+n)n

m+nmn

7) Un obrero realiza una obra en 28 días trabajando 12 horas diarias. Si hubiese trabajado 6 horas diarias, ¿en cuántos días haría la misma obra?

a) 35 días d) 56 días b) 49 días e) 63 días c) 42 días

8) En 30 días se culmina una obra si se trabaja 8 horas al día; pero si se trabajaría 2 horas menos por día, ¿cuántos días demoraría la obra?


9) 1360 hombres tienen víveres para 8 meses. ¿Cuántos hombres deben retirarse si se desea que los víveres duren 10 meses?

a) 138 d) 272 b) 200 e) 296 c) 215

10) 1800 soldados tienen comida para 5 meses. Por oden del mayor, se retiran 300 soldados, entonces, ¿cuántos meses durará la comida?

a) 5 1/2 d) 7 b) 6 e) 8 c) 6 1/2

11) Un automóvil tarda 7h 30min en ir de Lima a Chimbote con una rapidez de 60km/h. Si la velocidad se triplica, ¿cuánto tiempo emplearía?

a) 3 h 20 min d) 2 h 20 min b) 2 h 30 min e) 4 h 30 min c) 3 h 30 min

12) Si un vehículo viaja a 80 km/h hace un trayecto en 6 horas, pero si va a 60 km/h, ¿cuánto más tardará en hacer el mismo trayecto?

a) 2h d) 7h b) 3h e) 8h c) 6h


Aritmética


Nivel II

13) Si 20 hombres demoran 15 días en hacer una obra, ¿cuánto más demorarán si son 5 hombres menos?

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

HDR

RHD

HRD

14) "H" obreros pueden efectuar una obra en "D" días. ¿Cuántos días demorarán "R" obreros?

a) d)

b) e)

c)

DHR

DRH

15) "m" obreros terminan una obra trabajando 8 horas diarias. Entonces (2/5)m obreros, ¿cuántas horas diarias necesitarán?

a) m d) m/5 b) 24 e) 15 c) 20

16) Una rueda de 28 dientes engrana con otra de 18 dientes. Si la primera da 7200 vueltas, ¿cuántas vueltas da la segunda?

a) 9 200 d) 12 300 b) 10 800 e) 12 400 c) 11 200

17) Una rueda A de 50 dientes engrana con otra B de x dientes. Halla "x" si cuando A da 200 vueltas, entonces B da 300 vueltas más.

a) 10 d) 40 b) 20 e) 36 c) 30

18) Dos hermanas son propietarias de una casa. Al venderla la hermana menor, como es dueña de los 7/12 recibe 8 400 dólares. ¿Cuánto recibe la mayor?

a) 4 000 d) 7 000 b) 5 000 e) 4 500 c) 6 000

19) 800 obreros pueden realizar una obra en 420 días. Si se desea que la obra se termine en 120 días menos, ¿cuántos obreros deben contratarse?

a) 120 d) 300 b) 180 e) 320 c) 240

20) Si 8 polos tienen un precio de 145 soles, ¿cuál será el precio en soles de 6 docenas de polos?

a) 1325 d) 1285 b) 1315 e) 1305 c) 1265

21) Si 20 obreros construyen 28m de pared en cada día, ¿cuál será el avance diario si se retiran 5 obreros?

a) 13m d) 25m b) 20m e) 30m c) 21m

22) Si para pintar 75 m2 de superficie son necesarios 30 galones de pintura, ¿cuántos galones serán necesarios para pintar 15m2?

a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8

23) Si un tornillo cuando da 40 vueltas penetra 8mm en una madera, ¿cuántas vueltas más debe dar para que penetre 50mm?

a) 200 d) 210 b) 250 e) 212 c) 125

24) Si cada 3 horas un reloj se atrasa 2 minutos y hace 1/2 día está que se atrasa, ¿qué hora será realmente si marca 9:52 p.m.?

a) 8:48 p.m. d) 10:00 a.m. b) 10:00 p.m. e) 10:48 p.m. c) 8:48 a.m.

25) Un reloj se está adelantando hace 1 semana. Si se adelanta 1/4 hora cada 14 h, ¿cuántas horas está adelantado?

a) 6 d) 12 b) 9 e) 10 c) 18

26) Un cubo de madera cuesta 12 soles. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera, pero de doble arista?

a) S/.24 d) S/.72 b) S/.48 e) S/.96 c) S/.60

27) Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó S/.3 600, ¿cuánto se pagará por un cubo de 15 cm de arista?

a) S/.32 400 d) S/.97 200 b) S/.30 000 e) S/.10 800 c) S/.52 000

28) Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 8 días. ¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno también rectangular, pero del doble de dimensiones?



Aritmética


Nivel III

29) Un buey atado a una cuerda de 2,5m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 3 días. ¿Cuántos días emplearía si la longitud de la cuerda fuera 5m?


30) En un corral que tiene forma de un cuadrado de 6m de lado, un caballo puede comer 80 kg de pasto. ¿Cuántos kilos de pasto comerá en un corral de la misma forma, pero de 3m de lado?

a) 40 d) 10 b) 50 e) 30 c) 20

31) Un barco tiene víveres para 72 tripulantes durante 33 días, pero sólo viajan 66 personas. ¿Cuánto tiempo durarán los víveres?


32) Para pintar un cubo se gastó S/. 32. Si se duplica su arista se gastará:

a) S/.64 d) S/.128 b) S/.96 e) S/.256 c) S/.144

33) Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 8 días. ¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno también rectangular, pero del doble de dimensión?


34) Cuarenta kilos de agua salada contienen 3,5 kg de sal. ¿Qué cantidad de agua se debe dejar evaporar para que 20 kg de la nueva mezcla contengan 3 kg de sal?

a) 16 kg d) 25 kg

b) 18 kg e) 23 kg

c) 19 kg

2323

12

1313

35) En una carrera de 2 000 metros, José ganó a Pedro por 400 metros y Pedro ganó a Luis por 500 metros. ¿Por cuántos metros ganó José a Luis?

a) 920 d) 900 b) 840 e) 800 c) 750

36) Una fábrica de conservas tiene una producción mensual de 9 100 latas con 13 máquinas trabajando. Si tres máquinas se malograron, ¿en cuánto disminuye la producción mensual de latas?

a) 6 300 d) 3 500 b) 2 800 e) 2 100 c) 3 000

hdrhdh−r

hdh+r

hrh−d

37) Un albañil tenía pensado hacer un muro en 15 días, pero tardó 3 días más por trabajar 3 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente?

a) 8 d) 12 b) 7 e) 15 c) 10

38) Si “h” hombres hacen un trabajo en “d” días; entonces “h + r” hombres harán el mismo trabajo en:

a) d)

b) e) d + r

c)

39) Un grupo de jardineros emplean 6 días en cultivar 420 m2. ¿Cuántos días más emplearán para cultivar 560 m2?

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

40) Un barco tiene víveres para 33 días, pero al inicio de la travesía se suman 4 personas más y por ello los víveres sólo alcanzarán para 30 días. ¿Cuántas personas había inicialmente en el barco?

a) 44 d) 45 b) 36 e) 72 c) 40

41) En un campamento “n” hombres tienen alimentos para “d” días. Si estos alimentos deben alcanzar para “3d” días, ¿cuántos hombres deben disminuir?

a) n/3 d) 3n/4 b) n/6 e) n/2 c) 2n/3

42) Un pueblo de 1 000 adultos y 500 niños necesita 8 toneladas de arroz para 30 días. ¿Cuántas toneladas de arroz necesitará quincenalmente otro pueblo de 2 500 adultos y 2 000 niños, si en esta ciudad el consumo es 25% mayor que en la anterior, sabiendo además que un adulto consume el doble que un niño?

a) 14,7 d) 7,35 b) 4,9 e) 7 c) 10,5


Aritmética


43) Un hombre y 2 niños pueden hacer un trabajo en 24 días. Determina el tiempo necesario en que 2 hombres y un niño puedan hacer un trabajo que es el quíntuplo del anterior, sabiendo que el trabajo de un hombre y el de un niño están en la misma relación que los números 3 y 2.


44) Diez obreros en 8 días han avanzado 2/5 de una obra. Si se retiran dos obreros, los restantes, ¿en cuánto tiempo terminarán lo que falta de la obra?


45) Por transportar 20 toros hasta una distancia de 800 km, pesando cada toro 900 kg, nos cobran S/.4 000. ¿Qué distancia se habrá transportado 30 toros de 800 kg cada uno si nos cobraron S/. 18 000?

a) 980 km d) 1 220 km b) 1 040 km e) 1 800 km c) 1 620 km

46) Tres gatos cazan 6 ratones en 9 minutos. ¿En cuántos minutos 5 gatos cazarán 5 ratones?

a) 4,8 d) 6,8 b) 6,4 e) 8,4 c) 4,5

47) En un zoológico se necesita 720 kg de carne para alimentar a 5 leones durante el mes de noviembre. ¿Cuántos kilos de carne se necesitará para dar de comer a 3 leones más durante 25 días?

a) 960 d) 990 b) 970 e) 1 000 c) 980

48) Un terreno de 10 acres puede alimentar a 12 bueyes por 16 semanas o a 18 bueyes por 8 semanas. ¿Cuántos bueyes podrán alimentarse en un campo de 40 acres durante 6 semanas si el pasto crece regularmente todo el tiempo?

a) 32 d) 96 b) 70 e) 88 c) 128

49) 8 obreros en 5 días a 10 h/d han dado 2 manos de pintura a un círculo de 5 m de radio. ¿Cuántos obreros de doble rendimiento serán necesarios para que en 8 días de 8 h cada uno den 4 manos de pintura a un círculo de 6m de radio?

a) 10 d) 7 b) 9 e) 6 c) 8

50) Si 6 monitos comen 12 plátanos en 6 minutos, ¿en qué tiempo 15 monitos comerán 300 plátanos?

a) 1/2 hora d) 2 horas b) 1 hora e) 1 1/2 hora c) 1/4 hora

Tres estudiantes fueron a USA. Llegaron a un motel y pidieron rentar un cuarto. El hijo del dueño del motel, que se encontraba en la recepción en el momento que llegaron, les dijo que un cuarto cuesta 30 dolares. Entonces cada uno de los estudiantes saco 10 dolares y asi juntaron los 30 dolares para pagar el cuarto. Después de haber pagado y subido a su cuarto llegó el dueño del motel a la recepción y se dió cuenta que su hijo les cobró demasiado porque el cuarto cuesta solamente 25 dolares, entonces mando a su hijo al cuarto con 5 billetes de 1 dólar. Pero el hijo decidió que va a ser demasiado dificil dividir 5 dólares entre 3 personas, puso 2 dólares en su bolsa y dió un dólar a cada uno de los estudiantes.


Aritmética


1) Si 35 velas cuestan 20 soles, ¿cuánto

costarán 3 docenas y media?

a) S/. 24 d) S/. 36

b) S/. 32 e) S/. 30

c) S/. 28

5) Una rueda A de 50 dientes engrana con otra B de x dientes. Halla x si cuando A da 200 vueltas, entonces B da 300 vueltas más.

a) 10 d) 20 b) 30 e) 40 c) 36

4) Si 20 hombres demoran 15 días en hacer

una obra, ¿cuántos días más demorarán si

son 5 hombres menos?

a) 3 d) 7

b) 6 e) 5

c) 4

2) Un árbol de 12 m da una sombra de 16 m. A la misma hora una persona de 1,80 m, ¿qué sombra proyecta?

a) 2 m d) 2,70 m b) 2,40 m e) 3,6 m c) 2,50 m

3) 1360 hombres tienen víveres para 8 meses.

¿Cuántos hombres deben retirarse si se

desea que los víveres duren 10 meses?

a) 138 d) 296

b) 272 e) 215

c) 200


Aritmética


Regla del Tanto por Cuanto

1. Tanto por ciento de un número

Es una o varias de las 100 partes iguales en que se divide un número.

Calcula el 20 por ciento de 800.

Para un número N, el a% es:

a% N = x Na

100

donde: % : porcentaje a : tanto

* Dividiendo: = 8

* 20 partes será: 20 x 8 = 160.

Luego el 20 por ciento de 800 es 160.

En este caso:

El porcentaje es 20 por ciento ó 20%.

El número es: 800 El “tanto” es: 20

800100

Resolución:

Ejemplo :

Ejemplos:

* El 15% de 80 = x 80 = 12

* El 0,5% de = x =

* El 20% de S/.100 = x S/.100=S/. 20

* El 30% de S/.100 = x S/.100=S/. 30

15100

12

0,5100

12

1400

2010030300

Tanto por mil (%o)

* Calcula el 3%o de 7000

x 7000 = 21

100% . N = NN % . 100 = N

Según lo anterior:

* El 3 por 20 de 1000 es:

x 1000 = 150

* El 7 por 25 de S/. 200 es:

x S/. 200 = S/. 56

320

31000

Aumenta N en su 40%

N + 40% N = 100%N + 40% N = 140% N

= x N140100

Disminuye N en su 20%

N - 20% N = 100%N - 20% N = 80% N

= x N80100

Conclusión:

2. Tanto por cuanto de un Número

725

3. Operaciones con Porcentajes

Ejemplos:

* Aumenta x en su 10% = 110%x* Recarga n en su 20% = 120%n* Disminuye n en su 30% = 70%n* Descuenta N en su 20% = 80%N* Incrementa N en su x% = (100 + x) % N

* Disminuye N en su x% = (100 - x) % N

* El “de” representa el 100%.

100%

x

15415

x = %4003

4. ¿Qué porcentaje es A de B?

Usamos la regla de 3:

B 100% A x

x =A . 100%

B

Ejemplo :

¿Qué tanto por ciento de es ?15

415

x =

415

.100

15


Aritmética


¿De qué número 4 es el 10%?

4 10% x 100%

x = = 404 . 100%10%

Ejemplo :

5. Porcentaje de por-centaje de un nú-mero

* Calcula el 20% del 8% de 20 000.

x x 20 000 = 320

* Calcula el 0,2% del % de 20 000

x x 20 000 = 0,3

* Calcula el 10% más del 10% menos de 20 000.

x x 20 000 = 19 800

20100

8100

0,2100

3400

34

110100

90100

6. Descuentos sucesivos

* 2 descuentos sucesivos del 10% y 20% equivalen a descontar un solo porcentaje. ¿De cuánto estamos hablando?

x 80% = 72%

Descuento: (100 - 72)% = 28%

* 2 descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un solo descuento, ¿de qué porcentaje estamos hablando?

x 70% = 56%

Descuento: (100 - 56%) = 44%

90100

80100

7. Aumentos sucesivos

* 2 recargas sucesivas del 10% y 20%, ¿a qué único porcentaje equivalen?

x 120% = 132%

Aumento: (132 - 100)% = 32%

* 2 descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un solo porcentaje, ¿de cuánto estamos hablando?

x 130% = 156%

Aumento: (156 - 100)% = 56%

110100

120100

Nivel I

1) Coloca verdadero(V) o falso(F), según corresponda:

I. El 40% de 200 es 60. ( ) II. El 5 por 9 de 81 es 45. ( )

III. El % de (a2 - b2)

es ( )

a) VVF d) FFV b) FFF e) FFF c) FVV

1a+b( )

a - b100( )


I. El 6% de 300 es 12. ( )

II. El 8 por 12 de 36 es 18. ( )

III. El % de (x2 - y2)

es ( )

a) FFV d) FVV b) VFF e) VVV c) FFF

1x - y( )

x - yx + y( )

3) ¿Qué tanto por ciento de 1250 es 75?

a) 4% d) 3% b) 5% e) 6% c) 10%


a) 9% d) 8% b) 10% e) 8,3% c) 5%

5) ¿De qué número es 276 el 8% menos?

a) 320 d) 400 b) 316 e) 300 c) 340

6) ¿De qué número es 390 el 30% más?

a) 330 d) 360 b) 340 e) 315 c) 300


Aritmética


Nivel II

23

7) ¿Qué tanto por ciento de

es ?

a) 25% d) 75% b) 60% e) 45% c) 80%

12

8) ¿Qué tanto por ciento es

de ?

a) 46% d) 85% b) 75% e) 83,3% c) 80%

25

2430

9) ¿De qué número el % de 100 es el 50%?

a) 2 d) 1 b) 4 e) 6 c) 5

12

10) ¿De qué número el % de 200 es el 40%?

a) 4 d) 1 b) 6 e) 5 c) 2

15

11) Si “a” aumenta en su 20%, ¿en qué tanto por ciento aumenta a2?

a) 24% d) 48% b) 20% e) 44% c) 40%

12) Si el lado de un cuadrado aumen-ta 50%, ¿en qué tanto por ciento aumenta el área?

a) 15% d) 25% b) 50% e) 125% c) 225%

13) Al aumentar “N” sucesivamente en 20% y 30%, tendríamos:

a) 150% N d) 106% N b) 156% N e) 152% N c) 136% N

14) Al disminuir “x” sucesivamente en 30% y 20%, tendríamos:

a) 56% N d) 44% N b) 48% N e) 72% N c) 54% N

15) Tres incrementos sucesivos de 50%, 20% y 30%, ¿a qué único incremento equivalen?

a) 115% d) 134% b) 100% e) 142% c) 128%

16) Tres incrementos sucesivos de 80%, 20% y 40%, ¿a qué incre-mento único equivalen?

a) 152% d) 142% b) 162% e) 202,4% c) 168%

17) Dos descuentos sucesivos del 15% y 60%, ¿a qué único des-cuento equivalen?

a) 56% d) 66% b) 46% e) 68% c) 72%

18) Al disminuir N en 25% y al resultado aumentarle su 20%, tendríamos:

a)150% N d) 60% N b) 80% N e) 90% N c) 120% N

19) Si la base de un triángulo aumen-ta en 20% y su altura disminuye en 30%, ¿en qué tanto por ciento varía su área?

a) Disminuye en 10% b) Aumenta en 10% c) Queda igual d) Disminuye en 16% e) Aumenta en 16%

21) El 20% del 60% de A es igual al 30% del 50% de B. ¿Qué tanto por ciento de (2A + 3B) es (A + B) aproximadamente?

a) 40,90% d) 37% b) 42% e) 67,2% c) 41,2%

20) Si aumenta el largo de un rectán-gulo en 20%, ¿en qué tanto por ciento se debe disminuir el ancho para que el área no varíe?

a) 12% d) 15,6% b) 18% e) 16,6% c) 19%

22) ¿Qué tanto por ciento de A es B, si 45% A = 75%B?

a) 40% d) 60% b) 50% e) 20% c) 30%

23) El 50% del 40% de “y” es “z”, el 60% de “x” es “3y”. ¿Qué tanto por ciento de “x” es “z”?

a) 8% d) 6% b) 10% e) 4% c) 15%


Aritmética


Nivel III

24) La base de un rectángulo aumen-ta en su 30% y la altura disminuye en su 30%. Luego:

I. El área del rectángulo no va-ría.

II. El área aumenta en su 9%.

III. El área disminuye en su 9%.

IV. La nueva área es el 91% de la original.

a) VVFF d) FVFV b) VFVF e) FFVV c) VVFF

25) Si los lados de un triángulo equilátero se duplican, podemos afirmar que:

I. El perímetro del triángulo se duplica.

II. El área aumenta en 200%.

III. La nueva área es 400% de la original.

IV. La nueva área es 300% más que la original.

a) FFVV d) VFVV b) FVFV e) VFVF c) VVFF

26) Se compró un artículo en 2720 soles. ¿A cuánto se vendió si se ganó un 30%?

a) S/.3 524 d) S/.3 536 b) S/.3 528 e) S/.3 574 c) S/.3 546

27) Al venderse un objeto se perdió 60 soles que representa un 10% del costo. ¿Cuál fue el costo?

a) S/.600 d) S/.680 b) S/.800 e) S/.700 c) S/.1 000

28) En la venta de un artículo por 1800 soles se ganó un 20% del precio de venta, ¿cuánto costó?

a) S/.1 440 d) S/.1 490 b) S/.1 450 e) S/.1 500 c) S/.1 480

29) De 500 personas, el 30% son varones y el 10% de las mujeres lleva falda. ¿Cuántas eran éstas?

a) 35 d) 65 b) 45 e) 75 c) 55

30) De un rebaño de ovejas mueren 60, que representan un 40%. ¿Cuántas ovejas no murieron?

a) 100 d) 60 b) 90 e) 50 c) 80

31) En la fabricación de productos A y B, se obtuvo que el 10% de A son defectuosos, y el 15% de B también. Si el total de productos A es 1500 y el de B es 2000, ¿cuántos defectuosos hubo?

a) 420 d) 450 b) 430 e) 460 c) 440

32) Se vende un artículo por S/. 2520, perdiéndose un 10% del precio de venta. ¿Cuánto costó?

a) S/. 3 024 d) S/. 2 960 b) S/. 2 990 e) S/. 2 920 c) S/. 2 980

33) Al venderse un artículo en S/.1980 se perdió un 40% del precio de venta. ¿Cuántos soles costó?

a) S/. 2 772 d) S/. 2 880 b) S/. 2 382 e) S/. 2 750 c) S/. 2 674

34) Un artículo costó 1200 soles. ¿A cuántos soles se venderá si se desea ganar el 40% del precio de venta?

a) S/. 1 800 d) S/. 1 980 b) S/. 1 880 e) S/. 2 000 c) S/. 1 900

35) Un artefacto costó 180 soles. ¿A cuánto se venderá si se desea ganar un 20% del precio de ven-ta?

a) S/.225 d) S/.220 b) S/.235 e) S/.210 c) S/.245

36) Un artículo está marcado en 250 soles. Si al momento de venderse se descuenta un 10%, ¿cuánto se paga-rá?

a) S/.222 d) S/.225 b) S/.223 e) S/.226 c) S/.224

37) Un comerciante descuenta un 5% a los artículos que vende. ¿Cuánto pagará un cliente por un artículo marcado con 420 soles?

a) S/.399 d) S/.396 b) S/.398 e) S/.395 c) S/.397


Aritmética


38) En un corral hay 40 conejos y 120 gallinas. Si se mueren el 60% de conejos y el 20% de gallinas, ¿cuántos animales quedan vi-vos?

a) 112 d) 104 b) 110 e) 102 c) 108

39) Se vende un objeto ganando el 25% del costo. Si la venta fue por 1250 soles, ¿cuánto se ganó?

a) S/.125 d) S/.200 b) S/.250 e) S/.225 c) S/.150

40) Se vendió un artículo perdiendo un 10%. Si la venta fue por 9000 soles, ¿cuánto se perdió?

a) S/.1 000 d) S/.1 800 b) S/.1 500 e) S/.1 200 c) S/.2 000

41) De un total de 400 personas, el 75% son hombres y el resto mu-jeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres toman café, ¿cuántas personas no toman cafe?

a) 150 d) 140 b) 155 e) 145 c) 160

42) Un tirador debe acertar en total el 60% de los disparos que realiza. Le dan 85 balas y ya ha disparado 45 consiguiendo solo 19 aciertos. ¿Qué porcentaje de las balas que quedan debe acertar para cumplir el porcentaje requerido?

a) 60% d) 90% b) 70% e) 75% c) 80%

43) En una ciudad, el 56% de la población bebe, el 32% de la población fuma y el 25% de los que fuman beben. Si hay 1800 personas que no fuman ni beben, ¿cuál es la población de dicha ciudad?

a) 18 000 d) 12 000 b) 3 200 e) 5 600 c) 9 000

44) Sabiendo que el precio de costo de una casaca para su venta se le aumentó en S/.42, pero al momento de venderla se rebaja en un 10%, y aún así se ganó el 8% del precio de su costo, halla el precio fijado.

a) S/.210 d) S/.268 b) S/.242 e) S/.272 c) S/.252

45) Para fijar el precio de un equipo de sonido se aumentó su costo en S/.300, pero en el momento de realizar la venta se hizo una re-baja del 30% y aún así se ganó el 20% del costo. ¿Cuál es el precio de costo del equipo?

a) S/.560 d) S/.500 b) S/.420 e) S/.650 c) S/.6 00

46) Al precio de costo de un juego de muebles se le aumentó en S/.600, pero en el momento de la venta se hace un descuento del 20% y aún así se vende ganando el 30% de su costo. ¿A qué precio se vendió?

a) S/.1 560 d) S/.1 100 b) S/.1 248 e) S/.890 c) S/.960

La concentración puede embriagar

La concentración de alcohol de una bebida se define como:

.100%

Así por ejemplo, la concentración de alcohol de la cerveza es del 5% (5° como aparece en la etiqueta), es decir, de 1000 ml (1 litro) sólo 50 ml son de alcohol puro.E l porqué a lgunas beb idas alcohólicas embriagan más que otras es debido a la concentración. A continuación se muestra una lista de bebidas alcohólicas con sus respectivas concentraciones.

Bebida Concentración

Vino 11% - 12%Sidra 3%Bebidas Fermentadas 16% - 24%Ron 40% - 80%Coñac 40%Ginebra 40%Vodka 40%Anisado 36%Tequila 40%

Volumen de alcohol Volumen total de la bebida


Aritmética



a) 4% d) 5%

b) 3% e) 6%

c) 10%

5) ¿Qué tanto por ciento de A es B?

Si 45%A = 75%B

a) 40% d) 50%

b) 30% e) 60%

c) 20%

4) Si la base de un triángulo aumenta

en 20% y su altura dismuye en 30%

¿en que tanto por ciento varía su área?

a) disminuye en 10% d) disminuye en 16%

b) aumenta en 10% e) aumenta en 16%

c) queda igual

2) Al aumentar N sucesivamente en 20% y 30% tendríamos

a) 150%N d) 156%N

b) 136%N e) 106%N

c) 152%N

3) Tres incrementos sucesivos de 50%, 20% y

30%, ¿a qué único incremento equivale?

a) 115% d) 100%

b) 128% e) 134%

c) 142%


Aritmética


Regla de Interés Simple

Se origina al depositar, prestar, imponer o invertir un capital (C), el cual producirá un beneficio o interés en un determinado tiempo.

Para este proceso participan:

(I) Capital (C): es la cantidad de dinero que producirá un interés.

(II) Tasa (r%): es el modo como se obtendrá el interés. En este caso si la tasa de préstamo o interés es del 5% mensual, quiere decir que “cada 100 soles ganará 5 soles” al mes.

(III) Tiempo (t): es el período que dura el préstamo, para ser devuelto con los intereses. Puede ser años, meses o días.

Para tiempos infinitamente pequeños se usa el cálculo del interés continuo, materia que no será considerada en este tema, así como el interés compuesto o a plazos.

(IV) Monto (M): es la cantidad de dinero que se devuelve al final del préstamo y es igual al capital más los intereses.

(V) Interés (I): es el beneficio producido por el capital prestado o depositado.

Aristóteles yel Interés

Interés es el precio pagado en dinero por el uso del ahorro en todas sus formas, entre ellos el propio dinero.

En la antigüedad provocó muchas discusiones. Aristóteles desde un punto de vista religioso repudiaba el interés, y llegó a considerar como usura el préstamo a interés.

En la Edad Moderna, como consecuencia de la revolución industrial, los préstamos tenían como objeto crear bienes, instrumentos que cooperasen en la producción.


Aritmética


1) Se presta 1 200 soles al 5% mensual durante 8 meses. Calcula el interés producido.

(I) I =

(II) M = C + I

* r : debe ser anual.

C . r . t100

1 20036 000

años meses días

5100

2) Jaime impone S/. 5 400 a interés simple del 20% anual. ¿Cuánto ganará en 5 meses y cuánto será el monto?

C = S/. 1 200r = 5 al mes r = 60 al añot = 8 meses

I =

I = = 480 soles

C . r . t1 200 meses

1 200 . 60 . 81 200

Algebraicamente se usa:

En 1 año = 12 meses el interés será:

x 5 40020100

Fórmulas:

Ejemplos:

Resolución aritmética

En 1 mes se produce:

x 1 200

En 8 meses:

8 x x 1 200 = 480 soles5

100

Resolución algebraica

Resolución aritmética

C = S/. 5 400r = 20 al añot = 5 meses

I =

I = = 450 soles

M = C + I M = 5 400 + 450

M = 5 850 soles

C . r . t1 200

5 400 . 20 . 51 200

En 1 mes:

x x 5 400

En 5 meses:

5 x x x 5 400 = 450 soles

El monto será:

5 400 + 450 =5 850 soles

112

20100

112

20100

Resolución algebraica

EUCLIDES

(330 a.C. - 275 a.C.) Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad.

Es probab le que Euc l ides se educara en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles.

Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría (el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).


Aritmética


Nivel I


* Cuanto mayor es la tasa, mayor es el interés.

* A mayor tiempo de préstamo, mayor es el interés.

* A menor capital, entonces menor es el interés.

a) VVV d) FVF b) FFF e) VFV c) VFF

2) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

* Al interés se le denomina también renta.

* A la tasa se le denomina también rédito.

* En el interés simple el capital inicial se mantiene constante.

a) VVV d) FVF b) FFF e) VVF c) VFV


* La tasa del 2% mensual es equivalente a una tasa del 4% bimestral.

* Una tasa del 0,6% trimestral es equivalente a una tasa del 0,1% mensual.

* Una tasa del 200% bianual es equivalente a una tasa del 25% trimestral.

a) VVV d) FVF b) FFF e) FVV c) VFV


* La tasa del 5% trimestral es equivalente al 10% semestral.

* La tasa de interés del 60% trianual es equivalente a una tasa del 10% semestral.

* Una tasa del 0,01% diario es equivalente a una tasa del 3,6% anual.

a) VVV d) VFV b) FFF e) FFV c) FVF


* El mes comercial tiene 30 días.

* El año comercial tiene 360 días.

* El año bisiesto tiene 355 días.

a) VVV d) VFV b) FVF e) VVF c) FFF


* El año civil tiene 365 días. * El mes común tiene 30 días. * El año normal tiene 366 días.

a) FFF d) VFF b) FFV e) FVV c) VVV

7) El 0,2% quincenal es equivalente al:

a) 0,6% mensual b) 7,2% anual c) 8% bimestral d) 18% trimestral e) 6% anual

8) El % trimestral es equivalente al:

a) 6% mensual b) 0,4% anual

c) % mensual

d) % bimestral

e) 4,8% anual

15

11525

9) Calcula el interés producido por S/. 3 600 que se ha impuesto al 30% anual durante 5 años.

a) S/.6 000 d) S/.1 400 b) S/.2 000 e) S/.1 800 c) S/.5 400

10) Calcula el interés producido por S/. 5 000 que se ha impuesto al 20% mensual durante año y medio.

a) S/.16 000 d) S/.10 000 b) S/.18 000 e) S/.5 000 c) S/.6 400


Aritmética


11) ¿Cuál es el capital que al 4% mensual ha producido $ 120 de interés simple durante 10 me-ses?

a) $ 180 d) $ 300 b) $ 240 e) $ 360 c) $ 188

12) ¿Cuál es el capital que al 5% men-sual produce un interés simple de 60 dólares durante 12 meses?

a) $ 144 d) $ 100 b) $ 180 e) $ 96 c) $ 120

13) ¿En cuánto se convierte un capi-tal de S/. 6 000 que fue impuesto al 18% anual durante 2 años?

a) S/.7 340 d) S/.8 160 b) S/.6 460 e) S/.8 150 c) S/.7 960

14) ¿En cuánto se convierte un capi-tal de $ 5 000 impuesto al 20% anual de interés simple durante 3 años?

a) S/.9 600 d) S/.8 000 b) S/.7 200 e) S/.7 500 c) S/.6 400

15) Calcula el interés de S/. 1 500 en 8 meses colocados al 4% trimes-tral.

a) S/.1 500 d) S/.1 600 b) S/.1 400 e) S/. 1200 c) S/.1 800

16) ¿Qué interés produce S/. 4 000 si se impone durante medio año a una tasa del 25% semestral?

a) S/.1 500 d) S/.750 b) S/.1 000 e) S/.800 c) S/.600

Nivel II

17) ¿Qué interés produce S/. 6 000 si se impone durante 4 meses a una tasa del 5% trimestral?

a) S/.800 d) S/.1 000 b) S/.600 e) S/.400 c) S/.900

18) ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 20% para que se triplique?


19) ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 40% para que se triplique?


20) Se depositó un capital de $ 144 a una tasa del 10% trimestral produciendo un interés de $24. ¿Cuánto tiempo estuvo deposi-tado el capital?

a) 6 meses d) 5 meses b) 8 meses e) 4 meses c) 3 meses

21) ¿Cuánto tiempo estuvo impuesto un capital de S/. 4 000 al 5% bimestral para producir S/. 120?


22) Durante un número de años numéricamente igual al tanto por ciento anual al que estuvo impuesto un capital, éste se du-plicó. Calcula el tiempo.


23) Durante un número de años numéricamente igual al tanto por ciento anual a que estuvo impuesto un capital, éste se

multiplica por .

Calcula el tiempo. a) 2 años d) 6 años b) 4 años e) 8 años

54

24) Durante un número de meses numéricamente igual al tanto por ciento anual a que estuvo impuesto un capital, éste se convirtió en su 103%. Calcula el tiempo.


25) Cuando se indica que un capital (C) se duplicó, entonces el inte-rés I es:

a) I = C d) I = C/4 b) I = 2C e) I = 3C c) I = C/2

26) Al prestar un capital (C) se obtu-vo un beneficio del 25%, luego el monto (M) es:

a) M = C/4 d) M = (5/4)C

b) M =(3/4)C e) M = C/2 c) M = C


Aritmética


27) Una tasa del 0,5% bimestral, ¿a qué tasa trimestral equivale?

a) 4,5% d) 3% b) 0,75% e) (1/3)% c) 1%

28) La tasa del 0,02% diario, equivale a un rédito del:

a) (1/18000)% d) (1/80)% b) 0,72% e) 18% c) 7,2%

29) ¿Cuánto gana una persona por prestar $ 18 000 al 1% semestral durante 5 meses?

a) $ 150 d) $ 300 b) $ 180 e) $ 500 c) $ 200

30) El interés que obtiene una perso-na al prestar $ 1200 al 5% anual durante 3 meses es:

a) $ 10 d) $ 25 b) $ 15 e) $ 30 c) $ 20

31) Un capital de S/. 3000 es depo-sitado en un banco que paga el 2,5% mensual de interés. ¿Cuán-to retirará al cabo de 2 años si el banco cobra S/. 10 cada año por mantenimiento?

a) $ 4800 d) $ 3980 b) $ 1780 e) $ 4780 c) $ 2880

32) Se impone un capital de S/. 4800 al 0,25% diario durante 4 meses. Halla el monto.

a) S/.5250 d) S/.6240 b) S/.5720 e) S/.6520 c) S/.6000

33) ¿Cuánto fue un capital que al ser invertido al 15% semestral se convirtió en S/. 4347 durante medio año?

a) S/.1980 d) S/.2385 b) S/.1890 e) S/.3780 c) S/.2835

34) ¿Cuál es la suma que al 5% de interés simple anual se convierte en 3 años en S/. 3174?

a) S/.2760 d) S/.1380 b) S/.2116 e) S/.2670 c) S/.1058

35) Una persona A presta a B $ 1800 al 2% mensual; mientras que a otra persona C presta la misma cantidad al 48% bianual. Después de un determinado tiempo, ¿qué se puede afirmar de los intereses IB e IC?

a) IB = IC b) IB > IC c) IC > IB

d) Depende del tiempo d) Falta información del cambio

de dólar.

36) Se tienen 2 capitales que están en la relación de 3 a 5. El primero se coloca al 4% mensual durante 2 meses y el segundo al 6% mensual durante 1 mes; obteniéndose un beneficio total de S/. 108. Los capitales suman:

a) S/.1600 d) S/.2500 b) S/.1800 e) S/.2800 c) S/.2000

37) Entre 2 personas poseen un ca-pital de S/. 45 000. La primera persona impone su parte al 7% trimestral y el otro al 8,5% se-mestral, de manera que en 1 año 8 meses, ambos tienen la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto fue el capital inicial del que impuso al 7%?

a) S/.26 000 d) S/.21 000 b) S/.14 000 e) S/.27 000 c) S/.19 000

38) Durante un número de años numéricamente igual al tanto por ciento anual al que estuvo impuesto un capital, éste se du-plicó. Halla la tasa:

a) 5% d) 10% b) 6% e) 15% c) 8%

39) Un capital se convirtió en sus 53/48, cuando se presta a una tasa anual numéricamente igual a la quinta parte del número de meses que duró el préstamo. ¿De cuántos meses fue el préstamo?


40) ¿Cuánto tiempo estuvo deposita-do un capital al 12% anual si los intereses producidos alcanzan al 60% del capital?

a) 4 años b) 6 años c) 5 años d) 5 años 6 meses e) 4 años 5 meses

41) ¿Cuánto tiempo estuvo deposita-do un capital al 14% anual si los intereses producidos alcanzan al 70% del capital?

a) 6 años d) 4 años b) 5 años e) 4 años 5 meses c) 3 años 5 meses


Aritmética


42) Un capital impuesto durante un año al 3% produce S/. 21 más que otro impuesto durante 9 meses al 4%. La diferencia de dichos capitales es:

a) S/.600 d) S/.700 b) S/.750 e) S/.1000 c) S/.900

43) Un capital impuesto durante 2 años al 1% produce S/. 48 menos que impuesto durante 2 meses al 30%. El capital es:

a) S/.1600 d) S/.1400 b) S/.1200 e) S/.2000 c) S/.1800

44) La relación de 2 capitales es de 2 a 7, la relación de los intereses pro-ducidos después de algún tiempo es de 8 a 21. Si el segundo capital está impuesto al 12% anual, ¿a qué tanto por ciento estará im-puesto el primer capital?

a) 14% d) 16% b) 10% e) 20% c) 15%

45) La relación de 2 capitales es de 4 a 5, la relación de los intereses pro-ducidos después de algún tiempo es de 6 a 7. Si el segundo capital está impuesto al 14% anual, ¿a qué tanto por ciento estará im-puesto el primer capital?

a) 13% d) 16% b) 14% e) 17% c) 15%

46) Se prestó un capital por 2 años y el monto al finalizar este tiempo es de S/. 3360. Si se hubiera pres-tado por 5 años, el monto sería S/. 3900. ¿Cuál fue el capital y la tasa de interés anual?

a) S/.3000 y 5% b) S/.2500 y 6% c) S/.2400 y 5% d) S/.2700 y 4% e) S/.3000 y 6%

47) Se prestó un capital por 5 años y el monto al finalizar este tiempo es de S/. 10 400. Si se hubiera prestado por 3 años, el monto sería S/. 9440. ¿Cuál fue el capital y la tasa de interés anual?

a) S/.6000 y 8% b) S/.6000 y 6% c) S/.8000 y 8% d) S/.8000 y 6% e) S/.5000 y 8%

48) Un capital se impone al 50% anual durante 3 años, de mane-ra que cada año se reciben las ganancias y la mitad de ellas se suman al capital. Si al final del tercer año se recibieron S/. 37 500, ¿cuál fue el capital depo-sitado?.

a) S/.19 200 d) S/.16 000 b) S/.32 000 e) S/.20 000 c) S/.48 000

Las Matemáticas no son nada sin los Números

¿Sabes que si estuvieras estudiando en la época romana será imposible que sacaras un cero en clase? ¿Y qué los primeros números eran simplemente signos?

El concepto de los números y las cuentas se remonta a la prehistoria, cuando los primeros números eran signos u objetos iguales que se repetían hasta llegar a la cifra deseada. Pero la complejidad de algunos hizo necesaria la creación de grupos. Fue así como se crearon símbolos para los grupos de diez, para los de cien, etc. Los babilonios fueron los que más desarrollaron este sistema a través de muescas en la arcilla, pero no fueron los únicos. Por ejemplo, los griegos empleaban letras de su alfabeto para referirse a esos números.

Los primeros que comenzaron a usar estos signos en escritura fueron los romanos. De hecho, si te fijas, sus números reflejan una forma de contar con los dedos: el uno, el dos y el tres se consiguen con los dedos levantados, el cinco es una V, el diez se expresaba con las manos cruzadas a la altura de las muñecas, etc.

Pero los números tal y como los conocemos hoy día se deben a la antigua escritura india, país donde se desarrollaron de gran manera la medicina y las matemáticas en el siglo IV de nuestra era. Eso sí; los que los trajeron a Europa fueron los árabes. De ahí el nombre de arábigos con que se conoce a nuestros números. Estos habían comenzado su expansión por la India alrededor del año 711, y así tomaron contacto con sus ciencias y conocimientos. Posteriormente, y con su introducción en Europa, fue como se logró implantar este sistema numérico.


Aritmética


1) Calcula el interés producido por S/.3600 que se ha impuesto al 30% anual durante 5 años.

a) S/.6000 d) S/.1400 b) S/.2000 e) S/.1800 c) S/.5400

5) ¿En cuánto se convierte un capital de S/.6000 que fue impuesto al 18% anual durante 2 años?

a) S/.7340 d) S/.8160 b) S/.6460 e) S/.8150 c) S/.7960

4) Calcula el interés de S/.1500 en 8 meses,

colocados al 4% trimestral.

a) S/.1500 d) S/.1600

b) S/.1400 e) S/.1200

c) S/.1800

3) ¿Cuánto tiempo estuvo impuesto un capital de S/.4000 al 5% bimestral para producir S/.120?


2) ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un

capital al 20% para que se triplique?

a) 6 años d) 8 años

b) 10 años e) 12 años

c) 15 años


Aritmética


Repaso

Nivel I

1) Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. La M.A. de 3 y 5 es 8 ( ) II. La M.G. de 25 y 4 es 10 ( ) III. La M.H. de 10 y 15 es 12 ( )

a) VFV d) VVV b) FFF e) VVF c) FVV

2) Si comprara un libro con 2 descuentos sucesivos del 20% y 10%, pagaría S/. 1 440. ¿Cuánto costaba el libro?

a) S/.2 100 d) S/.2 400 b) S/.2 000 e) S/.2 700 c) S/.3 000

2) Luis pensó vender una videogra-badora con dos aumentos sucesivos del 20% y 25% de tal manera que lo vendió en S/. 6000. ¿Cuál fue el precio de venta inicial?

a) S/.4 200 d) S/.4 500 b) S/.4 000 e) S/.3 500 c) S/.3 000

4) En un triángulo escaleno la base aumenta en un 20% y la altura disminuye 30%. ¿En qué porcentaje varía el área del triángulo?

a) Aumenta 16 b) Disminuye 26 c) Aumenta 26 d) Disminuye 16 e) Disminuye 14

5) En un rectángulo se sabe que su ancho aumenta en 25% y su área aumenta en 15%. ¿En qué porcentaje varía su largo?

a) Aumenta 8% b) Disminuye 8% c) Disminuye 18% d) Aumenta 18% e) Disminuye 9%

6) Durante un número de meses igual al tanto por ciento a que estuvo impuesto un capital, aumentó éste en su tercera parte. ¿Cuál fue el tanto por ciento?

a) 20% d) 15% b) 25% e) 35% c) 30%

7) Si un capital se duplicase y la tasa de interés se triplicase, el interés en el mismo tiempo sería 20 000 soles mayor. ¿Cuál es el interés primitivo?

a) S/.2 000 d) S/.2 500 b) S/.3 000 e) S/.3 500 c) S/.4 000

8) Los 2/3 de un capital se impone al 4% de interés simple y el resto al 12%. Si al cabo de 15 meses el monto es S/. 54 480, determina el capital inicial.

a) S/.50 000 d) S/.50 400 b) S/.50 800 e) S/.51 200 c) S/.51 000

9) Un barco tiene provisiones para alimentar a 400 pasajeros durante 6 meses. ¿Cuántos meses durarían estas provisiones si los pasajeros fuesen 1 200?

a) 3 d) 8 b) 4 e) 2 c) 6

10) Un grupo de 40 hombres ha hecho 8 pisos de un edificio de 45x27 m2 en 45 días a razón de 9 h/d. ¿Cuántas horas diarias deberán trabajar 60 obreros para que en 15 días puedan hacer un edificio de 12 pisos de 60x18 m2?

a) 6 d) 8 b) 4 e) 10 c) 2


Aritmética


Nivel II11) Un grupo de obreros han hecho una obra en 60 días trabajando 10 h/d. ¿En cuántos días habrían hecho la obra si hubieran traba-jado 12 horas diarias?

a) 40 d) 10 b) 30 e) 50 c) 65

12) Un zapatero hace 80 zapatos en 5 días. ¿Cuántos hará en 10 días si trabaja el doble de horas diarias?

a) 180 d) 240 b) 160 e) 120 c) 200

13) Si 4 secretarias copian 300 pro-ble-mas en una semana, ¿cuántas secretarias serían necesarias para copiar 1 500 problemas en 10 días?

a) 16 d) 30 b) 15 e) 28 c) 24

14) En una hora un automóvil recorre 240 km. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 1/4 horas si la velo-cidad es constante?

a) 800 km d) 900 km b) 600 km e) 1 500 km c) 12 00 km

15) Un grupo de 60 obreros han he-cho en 18 días de 8 h/d el 18% de una obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que ser reforzados para que en 41 días trabajando a 6 h/d puedan hacer lo que falta de la obra?

a) 160 d) 120 b) 140 e) 180 c) 200

16) Se sabe que 9 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días 6 muchachos podrán hacer la obra si son 3/5 de eficientes que los hombres?

a) 60 d) 40 b) 20 e) 30 c) 15

17) Calcula la suma de la M.A., M.G. y M.H. de los números 16 y 9.

a) 24,3 d) 27,5 b) 35,2 e) 36,02 c) 26,02

18) La media aritmética de 2 números es 45/2. Si la media geométrica de los mismos es 18, calcula la M.H. de dichos números.

a) 14,51 d) 16,61 b) 16,40 e) 15,21 c) 15,30

19) La edad promedio de 6 personas es 45 años. Si ninguna de ellas es menor de 40 años, entonces la máxima edad que puede tener una de ellas es:


20) Si el promedio de 15 números consecutivos es 60, determina la media armónica entre el menor y el mayor de los números.

a) 61,20 d) 59,18 b) 71,20 e) 41,30 c) 51,18

21) El promedio aritmético de 6 nú-meros distintos es 8, y el prome-dio de otros 8 números también distintos es 10. Halla el promedio aritmético de los 14 números.

a) 11,2 d) 7,14 b) 13,2 e) 8,12 c) 9,14

22) En la siguiente serie aritmética3; 6; 9; 12; …; a; b; c

el promedio aritmético de:(a; b) = 61,5

Halla “c” a) 72 d) 60 b) 66 e) 63 c) 69

23) El promedio de 5 números es 100. Si al aumentar un sexto número el promedio aumenta en 15, de-termina el sexto número.

a) 170 d) 160 b) 120 e) 190 c) 140

24) Calcula “a” para los siguientes datos si se sabe además que el promedio fue 16.

a) 14 d) 6 b) 10 e) 8 c) 7

Peso Nota

Matemática 3 17Física 2 aQuímica 3 15


Aritmética


y

25) Halla el promedio de hijos por familia de la muestra.

a) 2,3 d) 3,2 b) 4,5 e) 4,34 c) 2,5

N.˚FamiliasN.˚Hijos 12 2 15 3 30 4 13 5 30 6

26) Determina el valor de «x» en base a las siguientes relaciones:

10% r = 20% s 20% s = 30% t 100% r = x% t a) 20 d) 40 b) 166 2/6 e) 300 c) 31 1/3

27) Si una obra de arte se ha vendido en S/.44 000, ganando el 10% de comisión, ¿cuánto costó la obra de arte?

a) S/.39 600 d) S./42 000 b) S/.36 000 e) S/.40 800 c) S/.40 000

28) Se vende el 20% de una finca de 40 hectáreas, se alquila el 50% del resto y se cultiva el 25% del nuevo resto. Halla la porción cultivada

a) 5 ha d) 4 ha b) 6 ha e) N.A. c) 8 ha

29) Vendi un caballo por S/.792, per-diendo 12% del costo. ¿A cómo hay que venderlo para ganar el 8% del costo?

a) S/.872 d) S./694 b) S/.572 e) N.A. c) S/.972

30) Efectúa: 0,35%(10)- 42%(15)+18,6%(50) a) 7,12 d) 18,035 b) 6 e) 9,035 c) 3,035

31) Si gastara el 20% del dinero que tengo y ganara el 10% de lo que me queda, perdería S/.840. ¿Cuánto dinero tengo?

a) S/.4 000 d) S/.7 000 b) S/.5 000 e) S/.8 000 c) S/.6 000

Aritmética Árabe

Al-Khowarizmi escribió dos libros

sobre aritmética y álgebra que

jugaron un papel muy importante

en la historia de la matemática,

el primero de ellos nos ha llegado

sólo a través de una copia única de

una traducción latina con el título

de De número indorum (sobre el

arte de calcular hindú), de la cual

el original árabe se ha perdido. Al-Khowarizmi daba una exposición

tan completa del sistema de

numeración hindú que es él,

probablemente, el responsable

de la extendida aunque falsa

impresión de que nuestro sistema

de numeración es de origen árabe.

Al-khowarizmi no formula, desde

luego, ninguna reclamación de

originalidad con respecto al

sistema en cuestión, dando por

descontado seguramente su origen

hindú, pero cuando aparecieron en

Europa las primeras traducciones

latinas de esta obra, los lectores,

que carecían de más información

al respecto, comenzaron en

seguida a atribuir al autor no sólo

la obra, sino también el sistema

de numeración expuesto en ella,

y así el nuevo sistema de notación

vino a ser conocido como el de

Al-Khowarizmi y, a través de las

informaciones del nombre de la

traducción y en la transmisión,

simplemente como algorismi.

3° aritmetica

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