aritmetica dismal
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ARITMÉTICA DISMAL
Alberto Rubén Segura
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AGRADECIMIENTO
Primeramente a Dios por darme la oportunidad de estudiar y darme la capacidad de
realizar este trabajo, a mis padres, al Dr. Jaime Gutiérrez por su asesoramiento y
orientación , a todos los profesores del departamento que me impartieron clases, a mis
amistades y a todos aquellos que de alguna u otra forma han estado apoyándome en este
proceso académico.
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DEDICATORIA
En especial a mis padres Gisela Alemán de Segura y Ricardo Segura por su apoyo
incondicional, a mi abuela Graciela Miranda (Q.E.P.D), a todos mis hermanos por haber
sido una gran motivación en mis estudios.
A mis amigos por brindarme sus consejos y a Lérida Linares por estar siempre a mi lado
apoyándome.
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INTRODUCCIÓN
Sumar, multiplicar, restar y dividir son operaciones empleadas por muchos y para algunos
(especialmente niños) son un poco difícil de desarrollar, pero que tal si esto se pudiera
remediar empleando dichas operaciones de otra forma.
El tema de este trabajo es Aritmética Dismal y tiene como objetivo presentar un tipo de
aritmética diferente a la usual. También presentar los elementos de la Aritmética Dismal.
Elaborar rutinas con Mathematica que nos permitan la manipulación automática de las
operaciones de la Aritmética Dismal.
Aritmética Dismal es como la aritmética que aprendimos en la escuela, sólo que más
simple:
No hay que llevar dígitos.
Cuando se suma simplemente se toma el dígito mayor.
Cuando se multiplican se toma el dígito más pequeño.
La suma y la multiplicación se efectúan de otra manera. Ya no es como la que se conoce.
Se desarrollará primero las operaciones básicas (suma Dismal y multiplicación Dismal),
se explica el porqué la resta no está definida en esta aritmética y de último se desarrollan
algunas analogías como: los primos Dismal, los pares Dismal, los cuadrados y cubos
Dismales.
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1. Aritmética Dismal
Si m y n son números de un dígito definimos la suma dismal de m y n por
m n := máx{m, n}
Y el producto dismal de m y n por
m n := mín{m, n}
Ejemplos:
Para la suma
2 5 = 5
Y para la multiplicación
2 5 = 2.
Para el caso de números de más de una cifra la suma y el producto dismal se realizan de
forma análoga a las operaciones de la Aritmética usual.
Ejemplo para la suma:
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Ejemplo para la multiplicación:
Los dígitos individuales en una suma o un producto Dismal a menudo pueden variar sin
afectar el resultado.
Ejemplo:
2. Formalización de la suma y producto Dismales.
Si m y n son enteros no negativos, consideramos sus expresiones decimales
La suma dismal de m y n se definen:
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El producto dismal de m y n se define:
donde
Estas definiciones permiten demostrar que el conjunto de los enteros no negativos
provisto de la suma y producto dismal es un semianillo local, unitario y conmutativo.
La unidad es el número 9!
No es un anillo, pues no existen los opuestos aditivos. Es decir, no podemos restar
dismalmente.
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3. Programas para el cálculo de la suma y el producto Dismal
Con estos programas podremos calcular fácilmente la suma y el producto Dismal.
Primero leemos dos valores m y n. La función Integerlength nos permite obtener el
tamaño del vector n o m y la función Max escoge el máximo de los dos vectores n o m.
Con IntegerDigits transformamos el número en una lista y así se obtienen dos lista a y b.
Luego con Table [Max[b[[i]],c[[i]]],{i,1,a}] sumamos dismalmente digito a digito. Luego
nos queda una lista FromDigits esta lista la trasformamos en un número y así obtenemos
la suma Dismal.
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Leemos dos números n y m. Luego obtenemos el tamaño de n y m y se guarda en r y s
respectivamente, esto lo hacemos con la función Integerlength. Luego obtenemos las lista
a y b con IntegerDigits. En c se guarda una tabla y en esa tabla se calculo el producto
Dismal digito a digito. De ultimo nos queda sumar Dismal y lo hacemos con las funciones
que siguen en el programa.
4. Primos Dismales
De hecho, se deduce de la definición de multiplicación que la identidad multiplicativa es
el más grande número de un solo dígito. En este caso sería el 9 y de hecho se puede
comprobar que 9xn = n para todo n.
Definición de primo dismal: " Un número dismal positivo p es primo dismal si sus
únicos divisores positivos son el mismo y 9."
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Algunos primos Dismales son:
19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 109, 209, 219,309,
319, 329, 409, 419, 429, 439, 509, 519, 529, 539, 549, 609, 619, 629, 639,…
Todo primo Dismal debe tener al menos un dígito igual a 9 y no puede terminar en cero
salvo el 90.
Debemos tener en cuenta que la presencia de un dígito igual a 9 es una condición
necesaria pero no suficiente para que un número sea primo.
Primos de dos cifras
En total hay 17 primos Dismales de dos cifras.
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Primos de 3 cifras
Los primos Dismales de tres cifran son 81.
Primos de cuatro cifras.
El total de primos Dismales de cuatro cifras son 1539
Primos de cinco cifras
En total hay 20 457 primos Dismales de cinco cifras.
Como se mencionó anteriormente estos primos fueron generados realizando rutinas en
Mathematica.
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Para generar los primos de 6, 7,8 y demás se necesita una computadora con más capacidad
de memoria ram y un mejor procesador.
A continuación la gráfica de los primos Dismales y los primos normales.
Los primos normales están marcados en rojo y los Dismales en azul.
5. Pares Dismales
En Matemática la paridad de un objeto se refiere a si éste es par o impar. En particular,
cualquier número entero es par o impar.
Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero m es
número par si y solo si existe otro número entero n tal que:
m=2.n
Los números pares tienen las siguientes propiedades con respecto a los impares:
1. par + par = par
2. par + impar = impar
3. impar + impar = par
4. par x par = par
5. par x impar = par
6. impar x impar = impar
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Ahora bien, en la aritmética Dismal, consideraremos pares Dismales a los múltiplos
Dismales de 19, ya que es el primo más chico.
Los pares Dismal tienen más de dos dígitos.
Es más difícil identificar si un número es par dismal. En la aritmética clásica si un
número es par es muy fácil pues su último dígito es 0, 2, 4, 6, u 8.
Aplicando el programa que calcula producto Dismal de dos números Dismal y utilizando
una tabla podemos generar todos los números múltiplos de 19. En el cuadro de arriba se
observan algunos números múltiplos de 19 o sea números que son pares Dismal.
Pero en la aritmética Dismal hay que tener mucho cuidado.
Algunas condiciones que satisfacen los pares Dismales son:
El primer dígito es uno (1).
El segundo dígito es distinto de cero (0)
Si el último dígito es uno (1), el que le antecede no puede ser cero (0).
Si el número tiene cadenas de ceros intermedias, esas cadenas deben
terminar en uno.
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Y a demás si tiene más de una cadena intermedia de ceros, no pueden ir
"seguidas".
Por ejemplo: 1 200 100 112 (no es par).
12 001 200 235 (si es par).
En la aritmética Dismal los números pares Dismal no tienen las mismas propiedades
Por ejemplo:
1. par + par = par.
2. par + impar = impar o par.
Ejemplo: 19 (par) 10 (impar) = 19(par)
19 (par) 1001 (impar) = 1019 (impar)
3. impar + impar = impar o par.
Ejemplo: 10 (impar) 100 (impar) = 110 (par)
10(impar) 1000 (impar) = 1010 (impar)
4. par x par = par.
5. par x impar = par.
6. impar x impar = impar.
Los ejemplos 1, 2, 4, 5 y 6 se demuestran de forma fácil.
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6. Cuadrados y Cubos Dismales
Para los cuadrados y cubos Dismales aplicamos lo mismo que en la aritmética usual.
Este programa nos permite calcular la potencia de un número.
Primero leemos dos valores b que representa la base y e que es el exponente. Luego la
condición If porque si e == 0 entonces el nos debe de dar la unidad que en este caso es 9 y
de otro modo entonces utilizamos la función For donde el índice empieza en 2 y es menor
o igual que e.
Luego aplicamos la función ProductoDismal[p , b]
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Con el siguiente programa calculamos los cuadrados
Se presentan los cuadrados Dismales del cero al 15.
En esta grafica se observa los cuadrados Dismales y los cuadrados normales. Los
cuadrados Dismales están marcados con el color rojo y los cuadrados normales están
marcados con el color azul.
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Con este programa calculamos los cubos Dismales del 0 al 15
Y esta es la gráfica de los cubos Dismal y los normales
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CONCLUSIÓN
Luego de realizado este trabajo llegamos a las siguientes conclusiones:
La aritmética Dismal no es como la que aprendimos en la escuela.
La aritmética Dismal es más fácil que la aritmética usual.
La suma y el producto Dismal se desarrollan de forma distinta a la aritmética
usual.
Algunas definiciones permiten demostrar que el conjunto de los enteros no
negativos provisto de la suma y producto dismal es un semianillo local, unitario
y conmutativo.
La unidad es el número 9
No es un anillo, pues no existen los opuestos aditivos. Es decir, no podemos
restar dismalmente.
Se pudo observar algunas analogías como los primos Dismales, pares Dismales,
cuadrados y cubos Dismales.
El primo más pequeño es el 19.
Todo primo Dismal debe tener al menos un dígito igual a 9 y no puede terminar
en cero salvo el 90.
Se pudo calcular los primos hasta de 5 cifras. Para el cálculo de los primos de más
cifras es necesario tener una computadora con una buena memoria Ram y un buen
procesador.
Como el primo dismal más pequeño es el 19 entonces se considera que todo par
dismal debe ser múltiplo de 19.
Es más difícil identificar si un número es par dismal. En la aritmética clásica si un
número es par es muy fácil pues su último dígito es 0, 2, 4, 6, u 8.
Se estudiaron las condiciones para saber si un número es par dismal o no.
Los pares Dismales no cumplen las mismas propiedades que los pares normales.
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BIBLIOGRAFÍA
1. Dismal Arithmetic DAVID APPLEGATE, MARC LEBRUN Y NEIL SLOANE.
Julio 7, 2011.
2. www.oeis.org