3 crystallography

CRYSTALLOGRAPHY

קריס ט ל וגרפיה

CRYSTALLOGRAPHY

Unit Cell and Lattice

Bravais Lattices

FCC, BCC, HCP

Directions in a unit cell

Planes in a unit cell

Atomic Packing Factor

Polymorphism

מבוא

בכ די להבין את הסימטריה של הגביש ניתן להתבונן ביצירותיו של הצייר .(M.C. Escher)ההולנ די אשר

1845: Bravais correctly predicted 14 lattice systems, later to be called Bravais Lattices.

1912: Max von Laue demonstrated the wave nature of X-rays, by diffraction from a crystal of copper sulphate.

1913: Sir L. Bragg solved the structure of NaCl.

.ר עוז גולן"באדיבות ד

)(Crystalג ביש

חומר שהאטומים שבו מסודרים לטווח ארוך(Long Range Order)מימדיםבשלושה , ב אופן מחזורי.

-סיבו ב , שיקוף, סיבו ב(את הסידור ניתן לתאר ב אמ צ עו ת פעולות סימטריה )).שיקוף דרך נקודה(היפוך

). שאינם אמורפיים(מבנה זה אופייני למרבית החומרים המוצ קים

. רא חד מסימני ההיכר של גבישים הוא קיום פאות בעלות אופי גאומטרי מוגד

קריסטלוגרפיה

. ובשיטות ניסיוניות לק ביע ת םבחקר המבנ י ם הגבישיי םמדע הע וסק

Amethyst Calcite Garnet Selenite

SiO2 CaCO3 X3Y4(SiO4)3

Where X=Ca, Mg, Fe2+, MnY=Al, Fe3+, Cr

Gypsum CaSO4-2(H2O)

)Lattice(סריג

הנקראות , המורכב ת מאוסף של נקודות, מימדית-ת בנית דמוית רשת תלת .אשר מסודרות בת בנית מחזורית, נ ק וד ו ת סריג

השילוב של שניהם ). מוטיב(לכ ל נקודת סריג ניתן לשייך אטום אחד או יותר .מגדיר את הגב יש

חל קיקים המרכ יבים את הגביש יכולים להיות אטומי מת כת כ אשר מדובר תהליך יצירת הגבישים . או יונים כאשר מדובר ב קשר יוני, ב קשר מת כתי

.התג בשו תנקרא

(110)מבנה מ ס ודר של נ יקל

)Unit Cell(תא יחידה

יחידת המבנה הקטנה ביותר המתארת את סימטריית סידור האטומים במ בנ ה .מימדי-הג ביש התלת

אטום אחד , כלומר(פרימיטיבי , כ משתדלים לב חור את התא הקטן ביותר" בד . הגבישסימטרייתאך בתנאי שיבטא נכונה את , )לתא יחידה

(NaCl)תא יחידה של מלח בישול

NaCl


פרמטרי הסריג

. פרמטרים הנחוצים לתיאור הגוד ל והצורה של תא היחידה

הם כולל ים את גודלן של שלוש הצל עות מימדית-בהצג ה תלת.המר כזיות ואת הזוויות ביניהן

a1, a2, a3י " או עa, b, cי הפרמטרים "תא היחידה מיוצג עαי הזוויות "וע, x-y-zהמתאימים לצירים , β, γ.

של אחת הצל עות בכ די aoנ חוץ רק האורך ) 90°(בתא קובי . התאמימדילתאר את

היחידות המקובלות לתאור.nm או Åפרמטרי סריג הן

1 nm = 10 Å = 10-9 m


הנבדלות זו מזו בפעולות , )גבישיות(מע רכות גאו מ טריות 7קיימות

:א שר מא פשרות מילוי של כל המרח ב, הסימ טריה הבסיס יות

הנבדלות זו מזו בפעולות , )גבישיות(מע רכות גאו מ טריות 7קיימות

):המשך(א שר מא פשרות מילוי של כל המרח ב , הסימ טריה הבסיס יות

P : תא יחידה פרימיטיבי)Primitive Unit Cell( -

.תא יחידה בעל נ קודות סריג בפינות התא בלבד

I :גוף -תא יחידה מרוכז)Body Centered Cell( -

.תא יחידה בעל נ קודות סריג בפינות ונקודת סריג במרכז התא

F :פאות /פנים-תא יחידה מרוכז)Face Centered Cell( -

.תא יחידה בעל נ קודות סריג בפינותיו ונ קודת סריג במרכז כל פאה

)Lattices)Bravaisסריגי ברווה

C : תא יחידה מרוכז בסיסים)Base Centered Cell( -

.תא יחידה בעל נ קודות סריג בפינותיו ונ קודת סריג במרכז כל פאה

סריג י בָרֶוו ה 14

Bravais Lattices

Body Centered Cubic - BCC (CN=8)

Face Centered Cubic - FCC (CN=12)

Hexagonal Close Packed - HCP (CN=12)

בכ ל , צפוף אריזההקס גונלי קוביים ובסריג F - וIאם בסריגים מסוג אזי נוצרים מבנים גבישיים שכיחים , נ קודת סריג ממוקם אטום

:HCP - וBCC ,FCCמסוג , במתכות

Body centered cubic (BCC)

http://www.enstimac.fr/recherche/mat/Formation/CRYSTAL/html/bravais.html

קובי מרוכז גוף

Face centered cubic (FCC)


קובי מרוכז פנים

כתא הה קסגונליניתן להסתכ ל על התא .יחידה בעל שני אטומים לכ ל נ קודת סריג

a = b = c & α = β = 90ο , γ = 120ο


. ל כל תא יחידה קיים מספר אטומים מוגדר

חלק מהאטומים של התא משותפים לתאים סמוכים ולכן נספרים .כגדלים חלקיים

מספר האטומים לתא יחידה הוא פרמטר

חשוב לקביעת הצפיפות .הנפחית של התא

קביעת מספר האטומים בתאי יחידה אורתוגונליים (קובי, טטרגונלי, אורתורומבי)


האטומים לתא יחידה בסריגים קוביים' חישוב מס


HCP unit cell - מבנה הקסגונלי צפוף אריזה

HCP = Hexagonal Close Packed

HCP3x2 atoms per unit cell

Structures of Metallic Elements

Ru

H

Li

Na

K

Rb

Cs

Fr

Be

Mg

Ca

Sr

Ba

Ra

Sc

Y

La

Ac

Ti

Zr

Hf

V

Nb

Ta

Cr

Mo

W

Mn

Tc

Re

Fe

Os

Co

Ir

Rh

Ni

Pd

Pt

Cu

Ag

Au

Zn

Cd

Hg

B

Al

Ga

In

Tl

C

Si

Ge

Sn

Pb

N

P

As

Sb

Bi

O

S

Se

Te

Po

F

Cl

Br

I

At

Ne

Ar

Kr

Xe

Rn

He

Primitive Cubic

Body Centered Cubic

Cubic close packing(Face centered cubic)

Hexagonal close packing

BCC, FCC, HCP: מרבית היסודות הטהורים מ שתייכים לאותם שלושה מבנ ים גבישיים


המבני ם הגב ישיים טבלה מחזורית מפורטת עם סימון.ר עוז גולן"באדיבות ד

. הינו המבנה בעל ה צ פי פות המ ק סי מא ליתFCCעד כה ראינו שמבנ ה

שב ס יס מ שו ש ה הינ ו המי ש ור ה א ט ומי ניתן להו כי ח, באו פן גיאומ ט רי

. אטו מים ז הי ם-בתנאים של כ ד ורי , ה צ פו ף ביותר שניתן ל קבל

מבנה צפוף אריזה



האטומים מסודרים במישורים אלה על גבי אלה ויוצרים את המבנה !?כיצד ניתן לס דר את השכבות .ארוך-הצפוף ואת הסדר לטווח

-על שכבת' מונח ת'שכבת האטומים השנייה , בכ די ליצור מבנה צ פוףבמרכזי המרווחים ) basal plane –מישור הבסיס (הבסיס הראשונה

].האטומים אינם נמ צאים אלה מעל אל ה[האטומיים -הבין

או שתקביל לשכבה . בעלת שתי אפשרויותהינההשכבה השלישית .או שלא תקביל, הראשונה

C ולשכב ה ה שלישית Bלשכב ה ה שנייה , Aלשכב ה הרא שונה נקרא .Aאו

. ABCABC או ABABAB יכול להיות מטיפוס סדר השכבות ,ד היינו

ר עוז גולן"באדיבות ד

הנחת שכבה על .ABשכבה מסוג

אם השכבה על תונחהשלישית

...אזי, Cאתרי


FCCמבנה


הנחת שכבה על .ABשכבה מסוג

אם השכבה על תונחהשלישית

...אזי, Aאתרי


HCPמבנה


.היחידה-ס דר השכבות יקבע א ת המבנה של תא

.HCP ייצור את תא היחידה מטיפוס ABABסידור

.FCC ייצור את תא היחידה מטיפוס ABCAסידור

אך למרות זאת הצפיפות המישורית ויעילות צפיפות האריזה זהות . בהמשךשיודגםכפי , בשני המבני ם

ABAB ABCA


A B A : hexagonal close pack A B C : cubic close pack

.HCP למבנ ה FCCהשוואה בין מב נה


A B C : cubic close pack

Is FCC

A

B C

A

.אריזה- צפוףFCCקבלת מבנה


HCP ABABAB… FCC ABCABC…

HCP FCC.ר עוז גולן"באדיבות ד

! איננו צפוף אריזהBCCתא יחידה


בין הגובה לצל ע ה בסיס הינו HCPהוכ ח שהיחס האידיאלי בגביש c/a = 1.633.

1שאלה

Bottom layer

Middle layer

Top layer

HCP.ר עוז גולן"באדיבות ד

JKLMנסתכל על המשולש

, נמצא במחצית הגובהMהאטום .MH= c/2: ' תקרה 'לבין הבסיס

. נוגעים זה בזהM -ו, J ,Kהאטומים

פתרון


JM = JK = 2R = a

Rהינו הרדיוס האטומי .

: JHMמתוך משולש

(JM)2 = (JH)2 + (MH)2

(a)2 = (JH)2 + (c/2)2

נוכל לחלץ מתוך JHאת הגודל .JKLמשולש

)המשך(פתרון


3

aJH ==

(a)2 = (JH)2 + (c/2)2 : בביטויJHהצבת

2 2 2 22

2 3 43

a C a ca

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

C

a

81.633

3⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠



JH2

a

2

3)30cos( ==°

(Coordination Number)מספר קואורדינציה

.מספר האטומים השכנים הקרובים ב יותר לאטום מסוים

).צפיפות(משפיע על המרח ק בין אטומים בגביש

:(CN1)הקואורדינציה הראשון ' מס

.6 - (SC)קובי פשוט

BCC - 8.

FCC - 12) המירביהמספר.(

HCP - 12 ) המירביהמספר .(


Askeland, D. R., The Science and Engineering of Materials, PWS Publishing Company, 3th edition, Boston (1994).

קורדינציהמספר מספר האטומים =

השכנים הקרובים .ביותר

Face centered cubic (FCC)


FCC במ בנה קוארדינציהמספר

א טומים שכנים קרובים ב יותר12

CN1 = 12

2R2 2 r

2 2 r

1 4

32

8

7

6

5

12 11

109


)packed directions-close(כיוונים צפופי אריזה

.כיוונים בתא היחידה שלאורכם האטומים נוגעים זה בזה

מאפשרים לקשור בין הרדיוס האטומי לבין פרמטר הסריג ) . תא היחידה גודל(

סידור האטומים בפאה -דוגמה -הצ גה דו (FCCאחת של מבנה

).מימדית


מצא את הקשר בין הרדיוס האטומי לבין פרמטר הסריג במבנים ).הנ ח שבכל נ קודת סריג קיים רק אטום אח ד (קוביים

2שאלה


מימדים גיאומטריים של תא FCCיחידה מסוג


מימדים גיאומטריים של תא יחידה BCCמסוג

2a

3a

a


0:עבור תא קובי פשוט 2a r= ⋅פתרון

FCC:2עבור תא 4a r⋅ = ⋅ 04

2

ra

⋅=

BCC:3עבור תא 4a r⋅ = ⋅ 04

3

ra

⋅=


:קבע את המבנה ה גבישי של תאי היחידה ה קוביים הבאים

.Å 1.75 ורדיוס האטום Å 4.9489פרמטר הסריג הינו 1.

.nm 0.1858 ורדיוס האטום nm 0.42906פרמטר הסריג הינו 2.

3שאלה

פתרון


(Atomic Packing Factor)יעילות צפיפות האריזה

.י אטומים" עהמאוכ לסמבטא את השבר הנפ חי

.כ ל ה ח ישובים עבור תא יחידה נ כונים גם עב ור הגביש כולו

:הביטוי ה כללי הינו

( / ) ( )

Pack

number of atoms cell volume of each atom

volu

ing Factor

me of unit cell

×=


a

a4R

CN=12

atoms4)8182

16(atomsofNumber =×+×=

2

R4a,

4

2aR2aR4 FCCFCC ==⇒=

3R3

44atomsofVolume π×=

74.0)2/R4(

R34

4

cellunitofVolume

atomsofVolumeAPF

3

3

=π×

==

חשב את יעילות צפיפות האריזה של - 4' שאלה ופתרון מס.FCCמב נה

פתרון

4R

2a

aa

a

CN=8

atoms2)818atomcenter1(atomsofNumber =×+=

3

R4a,a

4

3Ra3a2a)R4( BCC

2222 ==⇒=+=

3R3

42atomsofVolume π×=

68.064

33

3

8

)3/R4(

R34

2

cellunitofVolume

atomsofVolumeAPF

3

3

=π

=π×

==

.BCCחישוב יעילות צפיפות האריזה של מבנה

5' שאלה ופתרון מס

הוכ ח שיעילות צפיפות האריזה של מבנה HCP זהה לזו של מבנה FCC) האריזה

).הצפופה ביותר

אטומים 6נתייחס לתא המורחב המכיל )2 x 3.(

6שאלה

פתרון


.נפח ה תא הינו שטח הבסיס המשושה כפול הגובה

.ACDEכלומר מעוין , נבצ ע חישוב לגבי שליש משטח הבסיס

.בסיס מעוין כפול גובהו= שטח המעוין

RBC R 0 2 3

2 cos(30 )2

= ⋅ =



:שטח הב סיס הינו, מכאן

RBase Area CD BC R R22 3

3 3 (2 ) ( ) 6 32

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

:c/aכבר מצאנו את היחס

c a R1.633 2 (1.633)= × = ⋅


633.1=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ac


:לפיכך נפח ה תא המורחב הינו

cellV Base Area c R c R R

R

2 2

3

( ) ( ) 6 3 (6 3) (2 1.633)

12 3 (1.633)

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅

:כ עת ניתן למצוא את יעילות צפיפות האריזה

RAPF

R

π 3

3

4(6) ( )

3 0.7412 3 (1.633)

⋅= =

⋅ ⋅


)cellunitofvolume(

)atomeach of volume()cell/atomsofnumber(APF

×=


מהנפח % 74 דהיינו, 0.74 פקטור האריזה הינו FCCעבור מבנה . באטומיםמאוכלס

.0.68 פקטור האריזה הינו BCCעבור מבנה

.0.52 פקטור האריזה הינו SCעבור מבנה

BCCומבנה , BCC האריזה צפופה יותר ממבנה FCCבמבנה .SCצפוף יותר ממבנה

צפיפות האריזה . צפיפות האריזה אינה שווה לצפיפות החומר FCCלדוגמה במבנה , לאחוז החל ל ים במבנה) הופכי( מד ד הינה

.26%אחוז הח ללים הוא

כפי שנראה , תכונות החומר מושפעות מאוד מצפ יפות האריזה.בהמשך

המשמעות של יעילות צפיפות האריזה


Askeland, D. R., The Science and Engineering of Materials, PWS Publishing Company, 3th edition, Boston (1994).

Ti, Mg, Zn, Be, Co, Cd

0.74122x3

Hexagonal Close

Packed (HCP)

Fe, Cu, Al, Au, Ag, Pd,

Ni, Pt

0.74124

Face Centered

Cubic (FCC)

Fe, Ti, W, Mo, Nb,

Ta, K, Na, V, Cr

0.6882

Body Centered

Cubic (BCC)

None0.5261

Simple Cubic

(SC)

Typical metals

Packing factor

Coordination number

Atoms per cell

a versus rStructure

Ti, Mg, Zn, Be, Co, Cd

0.74122x3

Hexagonal Close

Packed (HCP)

Fe, Cu, Al, Au, Ag, Pd,

Ni, Pt

0.74124

Face Centered

Cubic (FCC)

Fe, Ti, W, Mo, Nb,

Ta, K, Na, V, Cr

0.6882

Body Centered

Cubic (BCC)

None0.5261

Simple Cubic

(SC)

Typical metals

Packing factor

Coordination number

Atoms per cell

a versus rStructure

34r/a =

24r/a =

2ra =

2ra =1.633ac =

SC

BCCBCC

FCC

HCP

ניתן לחשב את הצפיפות התיאורטית של החומר בעזרת שימוש .בתכונות המבניות של הגביש

. צפיפות החומר מבטאת מסה ליחידת נפח

: ה כללי לצפיפות הינוהביטוי

(Density)צפיפות

ACNV

nM=ρn = number of atoms per cell (dimensionless)

M = atomic mass (g/mol)

VC = volume of unit cell (m3)

NA = Avogadro’s number (6.023×1023 1/mol)

).BCC) α-Feחשב את הצפיפות של ברזל בעל מבנה

.2= מספר אטומים לתא יחידה

סמך הר דיוס - ניתן לחשב עלBCCאת פרמטר הסריג של ברזל

:כפ י שניתן בטבלה המ חזורית, האטומי

:מסה אטומית של ברזל

9שאלה

:נתון

)mol/g(847.55M =

100 0.2866 2.866 10a nm m−= = ×


:נפח תא היחיד ה

33 10 3 30

0 (2.866 10 ) 23.54 10 [ ]m

acell

− −= × = ×

:הצפיפות

323324

AC

cm/g88.7)mol/110023.6)(cm10541.23(

mol/g847.552

NV

nM

=××

×=

==ρ

−


323338

ACcm/g89.8

)mol/110023.6(cm)1028.1(216[

mol/g5.634

NV

nM=

××

×==ρ

−

The literature value for the density of copper is 8.94 g/cm3.

Since the crystal structure is FCC, the number of atoms per unit cell n=4.

The unit cell volume VC for FCC is 16R3 x , where the atomic radius R

is 0.128 nm.

Copper has an atomic radius of 0.128 nm (1.28 A), an FCC crystalstructure, and an atomic mass of 63.5 g/mol. Compute its density.

o

2

10שאלה

פתרון

.g/cm3 0.855 וצפיפות BCCלאשלגן מבנה

.g/mol 39.09המסה האטומית של אשלגן היא

.את הר דיוס האטומי של האשלגן) ב. (את פרמטר הסריג) א(חשב

11שאלה

פתרון


ממדיות-ניתן להציג כ ל נקוד ה בסריג באמצעות קואורדינטות תלתx-y-z.

:באופן הבא, הנ קודות יירשמו ללא סוגריים כלשהן

x , y , z

a

b

cניתן להג דיר את מימדי תא היחיד ה

)a-b-c(לפי מערכ ת הצירים :

x=a , y=b , z=c

. כשווים ליחידהa,b,cולהג דיר את

קואורדינטות


”point “A =:מציאת קואורדינטות הנק ודות הבאות = origin

= point “B”

= point “C”

= point “D”

x (a) y (b) z (c)

A 0 0 0

B 1 0 0

C 1 1 1

D 1/2 0 1/2

ab

c

x

y

z



Atoms at the corners of the cube+

Atoms at the center of each face

:FCCמצא את קואורדינטות נקודות הסריג בתא יחידה מסוג

:במישור הבסיס

0,0,0; 1,0,0; 1,1,0; 0,1,0; ½, ½, 0

:במישור התקר ה0,0,1; 1,0,1; 1,1,1; 0,1,1;

½, ½, 1

:סוגים בפאות האחר ות

1,½,½, ; 0,½,½, ; ½,0,½, ; ½,1,½,

13שאלה

פתרון

x

y

z


Directions in a Unit Cell

• Directions in a unit cell are described using three integers, in the form [a b c], obtained by subtracting the coordinates of the base of the vector from its tip.

z

y

x

z = wc

x = uay = vb

הקריסטלוגרפייםהכיוונים הבאים הינם הכיוונים

.החשובים במבנה קובי


ודרך [120]כיוון .מציאתו

וקטור במישור

z = 0: הבסיסa/2


.מצא את שני הכיוונים שבאיור


[0 1 2]


[1 1 2]


.וקטור ניתן להזזה במקביל לעצמו

.הדבר מאפשר לנו לבצע השלכה ולמצוא את המציינים של הכיוון

[6 6 1]

1( 1) (1) ( )

6− −

1 1 10,1, 1,0, ( 1)(1)( )

3 2 6− = − −

שי ט ה א שי ט ה ב


1 1( ) ( )(1)2 2

2 1(1) ( )( )

3 3−


נותנת ) -1 (-הרי הכפלת הכיוון ב, בגלל שכיוונים הינם וקטורים

.את הכיוון ההופכי של הוקטור

חיובי' מכפלת הוקטור במס).הגודלאלא רק את (הכיווןלא משנה את

[010 ] [0 20]=

[010 ][020 ]

[010 ]

010 ] [0 1 0 ]≠[


קבוצת כיוונים אקוויוולנטיים הדומים זה לזה –משפחת כיוונים

. ותכונות סימטריהקוויתמבחינת צפיפות אריזה

כיוונים מאותה המשפחה יכולים להתחלף זה עם זה בהתאם

.לבחירה שרירותית של מערכת הצירים

.משפחת כיוונים מסמנים בסוגריים משולשים

, לכן( הוא הסימטרי ביותר מבין המבנים הגבישיים הקוביהמבנה

). במשפחה הוא הגדול ביותרהאקוויוולנטיים הכיוונים' מס

1

23

3

12

and

1

23

1

32equivalent equivalent

etc…

u v w< >


מצ יי ני ם. לאו תה ה משפח ה ה שי יכי ם, ש ונ ים מצי יני םבעלי , שני כ י וו ני ם

. שונ ים מתקבלים בהתאם לבחירת מערכת הציר י ם

סיבוב מערכת

הציר י ם

< 100 > [100], [010], [001], [010], [001], [ 100]≡


.שירטוט כיוונים בסריג נעשה בשיטת ההשלכה כלפי ראשית הצירים

עבור כל ציר באופן פרטני ולנוע צעד אחר המצייניםיש להפריד את

.על מערכת הצירים, עבור כל מציין בנפרד, צעד

.י מתיחת קו מנקודת ההתחלה לנקודת הסיום"הכיוון הסופי נקבע ע

מומלץ להעתיק את ראשית הצירים בכיוון , שלילימצייןבמידה וקיים

.המצייןהחיובי של הציר שאליו מיוחס

כך המצייניםמומלץ לחלק את , 1 - גדול ממצייןבמידה וקיים

.1שהמספר הגדול ביותר יהיה

יד ' במערכת קואורדינטות של מומלץ לעבוד רק בתוך תא יחידה אחד

.'ימין.ר עוז גולן"באדיבות ד

לשיר טוט דוגמה כיו ונ ים מבלי

העתק ת הראשית

. ומבלי לבצע חלוקה

שיט ה זו תהי ה ט ובה רק עבור ער כי

. מצי יני ם נמו כים


:צי יר את הכיו ונ ים הבאים במערכת קובית

[1 0 1] [0 1 0] [1 2 2] [3 0 1]

[1 1 0 ] [2 2 1] [4 1 0] [0 1 2]

[1 0 1]

[0 1 0]


[1 2 2] [3 0 1]

1[ 1 1]

2= 1

[1 0 ]3

=


. להבחין שאי ן שינ ו י ים בכי וו ני ם לאחר העתק ת הראשית ניתן

. ממחי שים ז את" רא ש פח ו ת זנב"חיש ובי

ראשי ת


החוצים , מוגדרים כמשטחים) Planes ( מישורים בגביש.לפחות ציר ראשי אחד

.מצייני מילרמישורים בסריג מסמנים בעזרת

ההופכיים לנקודות החיתוך של המישור עם הינם מילר מצייני

.הצירים הראשיים

מישורים מציינימקובל לסמן

.(hkl) רגילים סוגרייםבאמצעות

. שלילי מסומן בקו עילימציין

( )h k lשלילי מצי ין


.הגדר את הנקודות דרכן המישור חותך את הצירים הראשיים1.

העתק את המישור באופן , אם המישור עובר בראשית הציריםבכך יש לקבוע ראשית . מקבילי למיקום אחר בתא היחידה

.חדשה

0 שלו הינו המצייןאזי , אם המישור מקביל לאחד הצירים)1/∞.(

. עם הציריםחיתוךקבע את הערכים ההופכיים לאותן נקודות 2.

).בטל שברים (המר למספרים שלמים הנמוכים ביותר3.

.ליםמעוג בסוגריים המצייניםתחום את 4..ר עוז גולן"באדיבות ד

.אינה משנה את המישור) -1 (-הכפלת מישור ב

ממוקמים להיות חייבים מילר זהים מציינימישורים מקבילים בעלי

.בתאי יחידה שונים

.זההמישור מקביל שאינו בהכרח = מכפלת מישור בקבוע

חותך המיש ו ר שבאיור

מקביל ,a - בxאת צי ר

zח ו תך את ציר , yלציר . c/2 -ב

xy

z

b

c

a

c/2

(1 0 2 )

(0 2 0 ) (0 2 0 )=


(1 1 0 )

(1 1 1)מישורים ניתנים להזזה

.יחידה סמוכים-לתאי

התנאי היחיד הוא

.שתישמר המקבילות

(1 1 1)(1 1 1)

(1 1 0 )(1 1 0 )

xy

z

b

c

a

(111)

חית וך 1 1 1

הופכ י 1/1 1/1 1/1

המרה 1 1 1

a b c

= 1 1 1


xy

z

b

c

a

(110)

חית וך 1 1 ∞

הופכ י 1/1 1/1 1/ ∞

המרה 1 1 0

a b c

= 1 1 0


xy

z

b

c

a

(200)

חית וך 1/2 ∞ ∞

הופכ י 1/1/2 1/ ∞ 1/ ∞

המרה 2 0 0

a b c

= 2 0 0


xy

z

b

c

a

(634)

חית וך 1/2 1 3/4

הופכ י 1/1/2 1/ 1 1/ 3/4

המרה 6 3 4

a b c

= 2 1 4/3


של ' מצייני מילר'מצא את

.ב"המישור המצ

המישור עובר דרך ראשית הצירים ומקביל

.xלציר

נדרשת פעולת , לפיכך, העתקה של המישור

.או הזזת הראשית


הזזת הראשית נעשית כלפי

תא יחידה

.שלם

מערכת קואורדינטות חדשה בעלת

’O -ראשית ב


חית וך ∞ -1 c/2

הופכ י 1/ ∞ 1/ -1 1/ 2

המרה 0 -1 2

a b c

= 0 -1 2


:ב"של ה מיש ורים באיור ה מצ' מ צי ינ י מילר'מצא את


:Aעבור מיש ור

(1 1 1)

(0 3 0 )

:Bעבור מיש ור

A- ר עוז גולן"באדיבות ד ראשית ח דש ה.

:Cעבור מיש ור

(1 0 2 )

C- ראשית ח דש ה

צירי ם -מומלץ לבחור ראשיתהמאפשרת זיהו י ק ל , חדשה

.הח יתוך' נקשל


.המצייניםשירטוט מישורים בסריג נעשה באופן הפוך למציאת

.יש לקחת ערכים הופכיים של המציינים, ראשית

. הינם מספרים שלמיםוהמצייניםהיות , אין צורך לבצע פעולות המרה

.יש לסמן את נקודות החיתוך על גבי הצירים, שנית

. יש לחבר את הנקודות בקווים העוברים בפאות תא היחידה, שלישית

.מסומן קו מקביל לציר) 0 -מציין מילר (∞במקרה של ערכי

מומלץ להעתיק את ראשית , שלילימציין שקייםבמידה :עצה

. המצייןהצירים בכיוון החיובי של הציר שאליו מיוחס


0)שרטט את המישור 1 1)

)1 (- בzואת ציר ) -1 (- בyוח ותך את ציר , xהמיש ו ר מקביל לצי ר

שירט ו ט מי שור מ בלי שינ וי ה ראשי ת

0)שרטט את המישור 1 1)

שליל י נ זי ז את הראשי ת בכיוון הח י ובי מצי ין היכן שקי ים

שירט ו ט מי שור בע זרת שינ ו י הראשית

x

y

z

bc

aרא שית חד ש ה

xקו מ קב יל ל ציר

-b

( 1 0 0) (1 1 1)(1 1 0)

שלוש ת המי שור ים הגבי שי ים החש ו בים במערכת קובית

ותל וי ה גם במבנה א ינה זה ההצפ י פות ה אטומי ת של כל מישור

. הגביש י של המער כת הקובית


קבוצת מישורים אקוויוולנטיים הדומים זה לזה – משפחת מישורים

. הסימטריהופעולותמבחינת יעילות צפיפות האריזה המשטחית

מישורים מאותה המשפחה יכולים להתחלף זה עם זה בהתאם

.לבחירה השרירותית של מערכת הצירים

}.מסולסליםמשפחת מישורים מסמנים בסוגריים }h k l


כוללת {110}משפח ת מי שור ים ). הופ כייםלא כולל ( מיש ו רים שי שה

(110 ), (110 ), (101),

(101), (011), (011)

O את ראשי ת ה צי רי ם מצי ין ,x,y –הזזת ראשי ת

, מסומנים בדרך דומה לזו שבסריג קוביהקסגונלימישורים בסריג

.iלמעט הוספת רכיב רביעי

:התנאי היחיד הוא שיישמר הכלל

את מצייני מילר מוצאים באמצעות הערכים ההופכיים של החיתוך

.הכללים הם אותם הכללים כפי שלמערכת קובית. עם הצירים

הוספנו למעשה רכיב נוסף , כאשר הוספנו מציין רביעי לכיוון: הערה

.שחייב המרה למערכת צירים חדשה, לוקטור

( )h k i l

( )i h k= − +


של ) 0001(כיוונים על מישור הבסיס

:הקסגונליגביש

a

b

(110)

(100)[100] [110]

-שימ ו ש במערכת תלת

אי נה מתאימה –צירית

1]:כיו ונ ים 0 0] [2110]⇒

2 0 2u ⇒ − =0 1 1v ⇒ − = −

( 2 1) 1t ⇒ − + − = −

0w ⇒

[1 1 0] .ר עוז גולן"באדיבות ד⇒[1120]

המצי י נים. הקסג ו נלית במערכת קריסט לוגרפי יםדוגמאות לכי וו ני ם

. מופ יע ים אל ה ליד אלה בהתאם לשתי המער כות

? ציר ים 4 למע רכת בעלת [010]המר את הכיו ון

( 2 0 1) 13 3

2( 2 1 0 ) 2

3 3

( 1 2 ) 13 3(0 ) 0

n nu

n nv

n nt

w n

= × − = − = −

= × − = − =

= − − + = − = −

= =[1 2 1 0]

[0 1 0]


. מצא את מצי ינ י מילר של ה כיו ון שבתמונה

a1

a2

a3

-a3

2a2

2a1

½, ½, -1, 0

[1 1 2 0].ר עוז גולן"באדיבות ד

a

b

(110)

(100)[100] [110]

(1 1 0 ) (1100 )⇒

(1 0 0 ) (1010 )⇒

: דור ש הת יי חס ו תiרק הגודל , עבור מיש ורים

( ) (1 0 ) 1i h k⇒ − + = − + = −

( ) (1 1) 0i h k⇒ − + = − + − =


: מצא את מצי ינ י מילר של ה מיש ור שבתמונה

חית וך 1 ∞ -1 1

a1 a2 a3 c

הופכ י 1/1 1/∞ 1/-1 1/1

1 0 -1 1

" המרה" 1 0 -1 1

(1 0 1 1).ר עוז גולן"באדיבות ד

: מצא את מצי ינ י מילר של ה מיש ור שבתמונה

חית וך -1 1/2 -1 1

a1 a2 a3 c

הופכ י 1/-1 1/1/2 1/-1 1/1

-1 2 -1 1

" המרה" -1 2 -1 1

(1 2 1 1).ר עוז גולן"באדיבות ד

הכיו ונ י םמצא את מצי ינ י

. והמ יש ורים שבאיו ר

(0 0 0 1)

∞ ∞ ∞ 1

a1 a2 a3 c

1/ ∞ 1/∞ 1/ ∞ 1/1

0 0 0 1

Aמיש ור


מצא את מצי ינ י מילר של

:הכיו ונ י ם ו המיש ורי ם שבתמונה

(1 1 2 1)

1 1 -1/2 1

a1 a2 a3 c

1/ 1 1/1 1/ (-1/2) 1/1

1 1 -2 1

Bמיש ור


[1 0 1] [2 1 1 3]⇒

0,0,1: ראש

0,0,1 – 1,0,0 = -1,0,1

C כיו ון

1,0,0: זנב

[1 1 0] [1 1 0 0]⇒

0,1,0: ראש

0,1,0 – 1,0,0 = -1,1,0

D כיו ון

1,0,0: זנב


ה קווית יעילות צפיפות האריזה

ויעילות צפיפות האריזה ה משטחיתLinear and Planar APF

HCP FCC BCC

area plane raphiccrystallog total

atomsby occupied areaPFAlanarP =

directionspecificainlength

centers atom through passest length thaPFALinear =

ה קווית יעילות צפיפות האריזה

ויעילות צפיפות האריזה ה משטחיתLinear and Planar APF

- וLinear Density (LD) במו נ ח י ם נעש ה שימ וש Callisterבס פרו של : שימו לב* * * Planar Density (PD) במק ום Linear APFו - Planar APF , או לם שימ וש , בה ת א מ ה

שבספרם של המ ושגיםמ נ ת שלא ל י צ ור בלבו ל עם -י מרצ י ה ק ורס ע ל " עמומ לץאינו ז ה

Askeland & Phulé:

face of area

faceper atoms(PD) density Planar =

directionspecificainlength

distancesrepeat ofnumber (LD) densityLinear =

ח שב ע בור כיוו ן . nm 0.36151פרמטר הסריג של נחו ש ת הינ ו , (LD) ה קו ויתהצפ י פות ) ב(' , ה מרחק הח וזר ') א: (את, [110]

לנחושת מבנה ). LAPF (הק וו יתיעי לות צ פיפ ות הארי זה ) ג(FCC .

01 1

2 2 0 .361512 2

0 .2556

a

n m

= =

=

:המרחק הח וזר ) א(


: הקו ויתהצפי פו ת ) ב(

2 in t

2 0 .36153

1.91 in t /

L in ear D en si

la ttic

la ttice

e p

t

o s n m

poy ==

=⋅

: ה קו ויתיע ילות צפי פו ת האריזה ) ג(

1

4

4.0

A tom ic L in ear D en tR

yR

si =

=

=

האטו מים נו געים ז ה בזה לאורך כיוון FCCבמבנה .1לכן ה צפ יפ ו ת האטומית הלינארית הי נה . [110]

Linear Atomic PF


ל ליתי ום מבנה . nm 0.35089 ה ינו ליתי ו םפרמטר הסריג של BCC .

' , המרחק ה חו זר ') א: (את, [111] , [110], [100]חשב עבור כיו ון

. הק ו וית יעיל ות צפ יפ ות האריז ה ) ג(, הקו וית הצפי פו ת ) ב(

? איז ה כיו ון מבין השלו שה ה י נו ה צ פוף ביותר


03 / 4r a=

]:001[עבור כיוו ן ) 1(

המש מעות של ה הבדלים . שונ י במבנה הגביש י מול י ך לתוצאות שונ ות

. כ פי שנ ראה בהמשך, החו מר מתבטא בתכונו ת BCC - לFCCבין




ל אורכו נוג ע ים האטו מים . הוא הכיו ו ן הצפ ו ף ביו תר]111[כיו ו ן : סיכו ם

. נחשב לכיו ון צפו ף אריזה ] 111[ כיו ו ן BCCבמבנה . זה בז ה .ר עוז גולן"באדיבות ד

The lattice parameter, a, is the distance between the centers of

atoms M and N. In terms of atomic radius R:

Calculate the linear APF of the [100] direction for BCC.

[100]

a

MN a

N M

The total line length intersecting circles is equal to 2R, thus:

3

4Ra =

0.86634R

2RAPFLinear ==

- 7שאלה

פתרון

FCCעבור מבנה ה קו ויתטבלת סיכו ם של י ע ילות צפי פו ת האריזה •>111 <-ו> 110>, <100< בכיוו ני ם BCCומבנה


a

BAC

ED

F

BA C

ED F

Calculate the planar APF of the (110) plane for FCC.

The rectangle length (AC) and width (AD) are:

2R2AD,R4AC ==

2R8)2R2)(R4()AD)(AC(A 2ACDF ===

One fourth of each of atoms A, C, D and F and one half of atoms B and E reside within this rectangle, which gives a total of 2 equivalent circles. Thus the total circle area is

0.555 2R8

R2

A

AAPF Planar

2

2

ACDF

c =π

==

2c R2A π=

8שאלה

פתרון

לחומ ר ' פקט ור הארי זה המיש ורי ' חשב את הצפי פו ת המי שור ית ואת

:פ שוט ע בור המיש ורים -בעל מבנה קובי

a0: פרמטר הסריג: נתון = 0.334 nm .

(0 1 0 ), (0 2 0 )


עבור מיש ור

. ¼ אטו מים בפינ ות כאשר כל אטום תורם 4כ "סה

. 1: מס פר ה אטומי ם למי שור נ טו=

: הצפ י פות ה מיש ורית ה ינ ה

(0 1 0 )

2

2 14 2

atom per face 1 atom per face

area of face (0.334

8.96 atoms/nm

Planar de

8.96 10 atoms/c

nsity)

(010)

m

=

= ×

=

=


: י עיל ות צפ יפ ות הא ריזה ה משטח ית

2

20

2

2

area of atoms per face (1 atom) ( )

area of facePacking fraction (010)

( )

0

.79(2 )

r

r

r

aπ

π= =

= =


. אפס ה ינ ןהצפ י פות ה מיש ורית ו י ע ילות צפי פו ת האריזה ה משטח ית

(0 2 0 )


עבור המי שור ים , חשב את הצפי פו ת המי שור ית, BCCעבור מבנה :הבאים


אטו מים 1כ "סהכל אטום (למישו ר

).¼תורם

(1 0 0 ), (1 1 0 ), (1 1 1)

(1 0 0 )


-: א ורך הצלע של תא היח ידה, BCCעבור מבנה

:שטח הפאה של ה קובי יה

04

3

Ra

⋅=

(100) 2D repeat unit

04

3

Ra

⋅=

2 24 16

33

R R⋅ ⋅⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠(100)


הינ ה) 100(הצפ י פות ה מיש ורית של מיש ו ר , מכאן



ו אטום , ¼ כל אטום בפינה תורם ( אטו מים ל מיש ור2כ "סה

).1במרכז תורם

(1 1 0 )


. x*yבע ל שט ח , הפ עם מדובר במלבן

: היח יד ה- ה יא המק צו ע ש ל תאxהצלע

. 4R הוא בדיוק zהאלכסו ן

04

3

Rx a

⋅= =

4Z R= ⋅

2 2y z x= −

2 24(4 ) ( )

3

4 2

3

Ry R

R

= ⋅ − =

⋅=

: ה ינו x*y -שטח המלבן

:)110(גבי מיש ור -והצ פי פות ה מיש ורית על


חשב את הצפי פו ת המי שור ית ואת , BCCבעל מבנה , עבור ליתי ום י עיל ות צפ יפ ות הא ריזה ה משטח ית עבור המ יש ור

a0: פרמטר הסריג: נתון = 0.35089 nm

(1 1 1)

x

y

z

00 0

1( 2 ) ( 2 cos 30 )

2A a a= ⋅

600

בסי ס גובה


, 1/6כל אטום בפ ינה ת ו רם (אט ום למ יש ור½ כ "סה

).3x 1/6 = 1/2 אטומי ם תורמי ם 3 -כך ש

: הצפ י פות ה מיש ורית, ומכאן

(1 1 1)

וי ע ילו ת צפי פות האריז ה

המשט חית

א ט ומים ' מס X ש ט ח כ ל א טו ם

ש ט ח ה מישו ר .ר עוז גולן"באדיבות ד

עבור מבנה טבלת סיכו ם של י ע ילות צפי פו ת האריזה ה משטח ית •

FCC ומבנה BCC 111 {-ו } 110} , {100{ במשפח ות מי שור ים {


FCCzמיש ורים בג ביש

x

y

(1 0 0) planeLook down this direction(perpendicular to the plane)


FCCמיש ורים בג ביש

z

x

y

(1 1 1) plane

Look down this direction(perpendicular to the plane)


HCPמיש ורים בג ביש

z

a1

a2

a3(0 0 0 1) plane

Parallel to a1, a2 and a3 -> h = k = i = 0

Intersects at z = 1.ר עוז גולן"באדיבות ד

HCPמיש ורים בג ביש

z

a1

a2

a3

(1 1 0 0) plane

+1 in a1

-1 in a2

h = 1, l = 0i = -(1+-1) = 0 ,k = -1, .ר עוז גולן"באדיבות ד

(1 1 1) plane of FCCz

x

y

z

a1

a2

a3

(0 0 0 1) plane of HCPSAME THING!*

*Note: The difference is in the third layer.ר עוז גולן"באדיבות ד.

סקלריות ווקטוריותמכ פלות

αα coscos abbaba =⋅=⋅

|b|cosα

|a|c

osα

|b |

|a |

α a

b

α

a

b

c

A

Aabbacbac

==⋅=

⇒×=

αα sinsin

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++++

++=

22

22

22

21

21

21

212121coszyxzyx

zzyyxxarcα( ) ( ) ( )122112211221

222

111

yxyxkzxzxjzyzyiczyxzyxkji

c

−+−−−=

==

מכפלה סקלריתמכפלת וקטור בהשלכתו של

הוקטור השני עליו )גאומטרית(

מכפלה וקטוריתגודלו של , גאומטרית

|c|שטח הוא המקב ילית הנוצרת

- וaי הוקטורים "עb.

זוויותמשמשת למציאת :מישורים/בין כיוונים

משמשת למציאת מישורים /כיוונים:עצמם

Interplanar(מיש ורי ם -מרחק בין Spacing (– המ רחק בין ובעלי אותם מצי ינ י , הקרו בים ז ה לזה , שני מ יש ורי אטומי ם מק בילים

. מילר

-המרחק בין המיש ו רים מ וגדר כ

a0 = פרמטר הסריג בגביש קו בי .

h,k,l = מצ יי ני מ י לר למיש ורי ם .

dhkl = מרחק בי ן שנ י מיש ורים מק בילים .

0

2 2 2h k la

dh k l

=+ +


(0 0 1)

001 0d a=

אורך תא הי חידה הוא ה מרחק בין

)001(מיש ורי

0110 2 2 2

0 0/ 1

0 0 1

ad

a a=

+

=

=+

לפי ה משו ו אה מקבלים את

:אותה התוצ אה

כך ה מרחק , המ י שור ים י ותר גדולים שמצי י ניככל , באופן כללי

.ר עוז גולן"באדיבות ד. בין ה מיש ורים המקבילי ם י ות ר קטן

(1 1 1)

0 3

3

a ⋅=

שליש האלכסו ן של ה בסיס הוא

המרחק בין מיש ורי

)111(

00

0110 2 2 21 1 1

3/ 3

3

aa

ad

⋅= =

=+ +

לפי ה משו ו אה מקבלים את אותה

:התוצ אה


ככל שאינד קסי . מימדי -דוגמאות למיש ורי ם ש ונ ים במבנה קובי דו

(hkl)כך המרחק בין המיש ו רים ק טן י ותר, גדולי ם י ות ר .

(1 1 0 )

(0 1 0 )

(1 2 0 )


גרפיט-פחמן טמפרטורה, לח ץ

60פחמן Fullerenes Buckyball

כא שר ליסוד מסוים ישנם מספר מבנים - )ריבוי צורה(פולימורפיזם .גבישיים שונים בתנאים שונים

. 60כמבנה יהלום וכפ חמן , יכול להופיע כ גרפיט(C)היסוד פחמן , ל דוגמא

גרפיט-פחמן

Polymorphs of Carbon

Polymorphism

FeBCC

CN = 8

PF = 0.68

rat (Room Temp.) = 0.1241 nm

rat (T=912oC) = 0.126 nm

T = 912 oCFeFCC

CN = 12

PF = 0.74

rat (Room Temp.) = 0.129 nm

T = 1400 oCFeFCC FeBCC

Liquid

δ - Fe

γ - Fe

α- Fe

ZrO2 (monoclinic) ZrO2 (tetragonal) ZrO2 (cubic)

T

. חומר שבו התכונות זהות לכל הכיוונים–חומר איזוטרופי

, הגבישיתבכיווניות חומר שתכונותיו תלויות – אנאיזוטרופיחומר

. בכיוון מסוים מקבלים התנהגות שונה מאשר בכיוון האחר, דהיינו

.'וכו, מגנטיות, חשמליות, אופטיות, מכניות-תכונות

E (diagonal) = 273 GPa

E (edge) = 125 GPa

כל גביש אמור להיות , באופן תיאורטיתכונותיו תלויות בכיוונים . אנאיזוטרופי

.הגבישיים

אטומים -תכונות התלויות בקשרים הבין. הגבישיתמהכיווניותתושפענה מאוד

.מודול האלסטיות: לדוגמה

α-Fe.ר עוז גולן"באדיבות ד

בכיוונ יותשל חו מרים שונ ים כתלות ) מודול האלסטי ות(מודול יאנג

. גביש יי ם - חדבחומרים ניכרת ה אנאיז ו טרופ יו ת. הגביש ית .ר עוז גולן"באדיבות ד

3 crystallography

Documents