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Matrices, rango de matrices, por bloques y más....TRANSCRIPT
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Matrices Elementales y Rango
Csar Barraza
Universidad Nacional de Ingeniera
Setiembre del 2013
Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 1 / 12
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Operaciones Elementales
Se definen tres operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de unamatriz que a continuacin enunciamos
1 Intercambiar las filas (columnas) i y j
fi f j
2 Multiplicar una fila (columna) por un escalar k 6= 0fi ! k fi
3 Aadir k-veces la fila (columna) i a la fila (columna) j
f j ! f j + k fi
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Operaciones Elementales
Se definen tres operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de unamatriz que a continuacin enunciamos
1 Intercambiar las filas (columnas) i y j
fi f j2 Multiplicar una fila (columna) por un escalar k 6= 0
fi ! k fi
3 Aadir k-veces la fila (columna) i a la fila (columna) j
f j ! f j + k fi
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Operaciones Elementales
Se definen tres operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de unamatriz que a continuacin enunciamos
1 Intercambiar las filas (columnas) i y j
fi f j2 Multiplicar una fila (columna) por un escalar k 6= 0
fi ! k fi3 Aadir k-veces la fila (columna) i a la fila (columna) j
f j ! f j + k fi
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Matrices Elementales
DefinicinUna matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente unaoperacion elemental por fila es llamada una matriz elemental.
EjemploLas siguientes matrices son matrices elementales0@ 0 0 10 1 0
1 0 0
1A : se obtiene intercambiando las filas 1 y 3 de I31 00 8
: se obtiene multiplicando por (8) la fila 2 de I2
1 03 1
: se obtiene sumando tres veces la fila 1 a la fila 2 de I2
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Matrices Elementales
DefinicinUna matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente unaoperacion elemental por fila es llamada una matriz elemental.
EjemploLas siguientes matrices son matrices elementales0@ 0 0 10 1 0
1 0 0
1A : se obtiene intercambiando las filas 1 y 3 de I31 00 8
: se obtiene multiplicando por (8) la fila 2 de I2
1 03 1
: se obtiene sumando tres veces la fila 1 a la fila 2 de I2
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Matrices Elementales
NotaDebemos notar que si E es una matriz obtenida por una operacion elemental por filasobre la matriz identidad Im entonces, para cualquier matriz A de orden m n, elproducto EA es exactamente la matriz que se obtiene cuando se aplica la mismaoperacin elemental por fila sobre A
EjemploApliquemos la operacin elemental f2 ! f2 + 5 f3 a la matriz A definida por
A =
0@ 1 2 3 51 5 4 10 1 0 3
1A f2 ! f2 + 5 f3!
0@ 1 2 3 51 10 4 160 1 0 3
1ASea E la matriz elemental asociada a la operacin elemental, entonces
EA =
0@ 1 0 00 1 50 0 1
1A0@ 1 2 3 51 5 4 10 1 0 3
1A =0@ 1 2 3 51 10 4 16
0 1 0 3
1A
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Matrices Elementales
NotaDebemos notar que si E es una matriz obtenida por una operacion elemental por filasobre la matriz identidad Im entonces, para cualquier matriz A de orden m n, elproducto EA es exactamente la matriz que se obtiene cuando se aplica la mismaoperacin elemental por fila sobre A
EjemploApliquemos la operacin elemental f2 ! f2 + 5 f3 a la matriz A definida por
A =
0@ 1 2 3 51 5 4 10 1 0 3
1A f2 ! f2 + 5 f3!
0@ 1 2 3 51 10 4 160 1 0 3
1ASea E la matriz elemental asociada a la operacin elemental, entonces
EA =
0@ 1 0 00 1 50 0 1
1A0@ 1 2 3 51 5 4 10 1 0 3
1A =0@ 1 2 3 51 10 4 16
0 1 0 3
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Inversa de una Matriz Elemental
TeoremaUna matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental delmismo tipo. Ademas
1 Si E multiplica a una fila por c 6= 0, entonces E1 multiplica a la misma fila por1c
2 Si E intercambia dos filas, entonces, E1 los intercambia tambien3 Si E aade un multiplo de una fila a otra, entonces E1 resta el mismo multiplo
desde la misma fila a la otra
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Inversa de una Matriz Elemental
TeoremaUna matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental delmismo tipo. Ademas
1 Si E multiplica a una fila por c 6= 0, entonces E1 multiplica a la misma fila por1c
2 Si E intercambia dos filas, entonces, E1 los intercambia tambien
3 Si E aade un multiplo de una fila a otra, entonces E1 resta el mismo multiplodesde la misma fila a la otra
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Inversa de una Matriz Elemental
TeoremaUna matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental delmismo tipo. Ademas
1 Si E multiplica a una fila por c 6= 0, entonces E1 multiplica a la misma fila por1c
2 Si E intercambia dos filas, entonces, E1 los intercambia tambien3 Si E aade un multiplo de una fila a otra, entonces E1 resta el mismo multiplo
desde la misma fila a la otra
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Inversa de una Matriz Elemental
De acuerdo a este teorema tenemos que:
1 Si fi ! c fi define a la matriz elemental E, entonces fi ! 1c fi define a lamatriz elemental E1
2 Si fi f j define a la matriz elemental E, entonces f j fi define a lamatriz elemental E1
3 Si fi ! fi + c f j define a la matriz elemental E, entonces fi ! fi c f jdefine a la matriz elemental E1
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Inversa de una Matriz Elemental
De acuerdo a este teorema tenemos que:
1 Si fi ! c fi define a la matriz elemental E, entonces fi ! 1c fi define a lamatriz elemental E1
2 Si fi f j define a la matriz elemental E, entonces f j fi define a lamatriz elemental E1
3 Si fi ! fi + c f j define a la matriz elemental E, entonces fi ! fi c f jdefine a la matriz elemental E1
Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 6 / 12
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Inversa de una Matriz Elemental
De acuerdo a este teorema tenemos que:
1 Si fi ! c fi define a la matriz elemental E, entonces fi ! 1c fi define a lamatriz elemental E1
2 Si fi f j define a la matriz elemental E, entonces f j fi define a lamatriz elemental E1
3 Si fi ! fi + c f j define a la matriz elemental E, entonces fi ! fi c f jdefine a la matriz elemental E1
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Foma escalonada por filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades
1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado a vaces el1 principal o pivote
2 Una fila cuyos elementos son todos ceros aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero
3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha
EjemploLas siguientes matrices se encuentran en su forma escalonada por filas
0@ 1 0 20 1 10 0 1
1A 0@ 1 0 0 00 0 1 20 0 0 1
1A0BB@
1 0 2 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
1CCACsar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 7 / 12
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Foma escalonada por filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades
1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado a vaces el1 principal o pivote
2 Una fila cuyos elementos son todos ceros aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero
3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha
EjemploLas siguientes matrices se encuentran en su forma escalonada por filas
0@ 1 0 20 1 10 0 1
1A 0@ 1 0 0 00 0 1 20 0 0 1
1A0BB@
1 0 2 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
1CCACsar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 7 / 12
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Foma escalonada por filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada por filas si satisface lassiguientes tres propiedades
1 El primer elemento diferente de cero en cada fila es 1, llamado a vaces el1 principal o pivote
2 Una fila cuyos elementos son todos ceros aparecen debajo de todas lasfilas que contienen al menos un elemento diferente de cero
3 Para dos filas sucesivas no nulas el pivote de la fila inferior aparece mas ala derecha
EjemploLas siguientes matrices se encuentran en su forma escalonada por filas
0@ 1 0 20 1 10 0 1
1A 0@ 1 0 0 00 0 1 20 0 0 1
1A0BB@
1 0 2 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
1CCACsar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 7 / 12
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Forma escalonada reducida por filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si1 Esta en su forma escalonada por filas
2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales acero.
EjemploLas siguientes matrices estan en su forma escalonada reducida por filas
A =
0@ 1 3 0 00 0 1 00 0 0 1
1A B =0BB@
1 0 0 00 0 1 20 0 0 00 0 0 0
1CCA
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Forma escalonada reducida por filas
Una matriz se dice que esta en su forma escalonada reducida por filas si1 Esta en su forma escalonada por filas2 Cada columna que contiene al pivote tiene sus otros elementos iguales a
cero.
EjemploLas siguientes matrices estan en su forma escalonada reducida por filas
A =
0@ 1 3 0 00 0 1 00 0 0 1
1A B =0BB@
1 0 0 00 0 1 20 0 0 00 0 0 0
1CCA
Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 8 / 12
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Inversa de una Matriz
TeoremaSea A una matriz de orden n n, entonces A es invertible si y solo si A es el productode matrices elementales.
Aplicacin: Sea A definido por
A =
2 11 2
Expresar A como un producto de matrices elementales
Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 9 / 12
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Inversa por el mtodo de Gauss-Jordan
Paso 1 Concatenar la matriz A y la matriz identidad del mismo ordenhA
... Ii
Paso 2 Mediante operaciones elementales llevamos la matriz A a laforma escalonda reducida, realizando las mismas operacionessobre la matriz identidadh
A... I
ioper. elem
hERA
... Bi
Paso 3 Si la forma escalonda reducida de A (ERA) es la matrizidentidad, entonces B es la matriz inversa de A. De lo contrarioA no posee inversa
Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 10 / 12
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Rango de una matriz
DefinicinEl rango de una matriz A de orden m n es definido como el orden (tamao)de la submatriz no-singular de A de mas alto orden
El rango de la matriz A se suele denotar como rank (A) o R (A)
Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 11 / 12
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Calculo del Rango mediante Operaciones Elementales
TeoremaEl rango de una matriz no cambia si aplicamos cualquiera de las operacioneselementales definidas previamente.
ProposicinEl rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas de su forma escalonadapor filas.
Csar Barraza (Universidad) Rango de una matriz Setiembre del 2013 12 / 12
Matrices ElementalesInversa de una matriz por matrices elementalesInversa por el mtodo de Gauss-Jordan
Rango de una Matriz