Juegos Bayesianos

Tema 1: Tipos, Creencias y Equilibrio Bayesiano

Universidad Carlos III de Madrid

Repaso: Juego estático con Información completa

§  Jugadores § Estrategias (acciones) § Pagos para cada combinación de

estrategias o preferencias sobre las combinaciones de estrategias

§  Todo ello es conocimiento común entre los jugadores.

El Juego Bayesiano

§  Los pagos no son conocimiento común.

§  Información Incompleta significa que al menos un jugador no conoce la función de pagos alguno de sus rivales.

§  Juego estático con información incompleta

= Juego bayesiano estático.

Ejemplos §  Duopolio de Cournot pero sin saber los costes

marginales de la otra empresa. §  Subasta sin saber las valoraciones de los

demás participantes. §  Contribuciones privadas a un bien público sin

conocer costes o valoraciones de los demás. §  Negociación con alguien sin conocer su factor

de descuento. §  Batalla de los sexos sin saber si el otro prefiere

estar solo o acompañado.

En este tema se aprenderá a:

§  Identificar los elementos de un juego con información incompleta y representarlos

§  Entender un Juego Bayesiano como un Juego en Forma Extensiva con información imperfecta

§  Encontrar Equilibrios de Nash Bayesianos (ENB)

Ejemplo 1 §  El Jugador 1 puede elegir entre dos acciones A y B. §  El Jugador 2 puede elegir entre dos acciones I y D §  Los pagos dependen de los tipos de jugadores. §  El Jugador 1 es de un solo tipo y este es conocido por

el Jugador 2. §  El Jugador 2 puede ser del tipo x o de tipo y. §  El Jugador 2 sabe su tipo pero el Jugador 1 no sabe con

certeza el tipo del Jugador 2 (información incompleta asimétrica).

§  El Jugador 1 sabe que el Jugador 2 es del tipo x con probabilidad 2/3, y del tipo y con probabilidad 1/3.

Modelizamos “no conocer los pagos” como “no conocer los tipos”

2 tipo x (2/3) I D

A 4 , 3 3 , 1

B 3 , 6 2 , 3

2 tipo y (1/3) I D

A 3 , 3 1 , 6

B 1 , 1 5 , 3

Juego Bayesiano como Juego Dinámico con Información Incompleta

Azar

t2=x t2=y

2.1 2.2

I D D I

1 A A A AB B B B

El Jugador 1 tiene 1 conjunto de información por lo que su estrategias será una acción. El Jugador 2 tiene 2 Conjuntos de información, por tanto cuatro estrategias: II, ID, DI, DD.

Mejores respuestas J2 §  Correspondencias de mejor respuesta. §  El jugador 2 conoce su tipo (y el tipo del

jugador 1): Ø  Si 2 es del tipo x:

•  La estrategia D está estrictamente dominada por la estrategia I. Su mejor estrategia (acción) será I.

Ø  Si 2 es del tipo y: •  La estrategia I está estrictamente dominada

por la estrategia D. Su mejor estrategia será D.

Mejor respuesta del 1 §  El Jugador 1 conoce su tipo pero no conoce el tipo del Jugador 2. §  El Jugador 1 evalúa su pago esperado Jugando A y su pago

esperado jugando B para las posibles estrategias del Jugador 2, S2={II, ID, DI, DD}

Pago esperado de jugar A Pago esperado de jugar B: U (A, II) = (2/3) 4 + (1/3) 3 = 11/3 U (B, II) = (2/3) 3 + (1/3) 1= 7/3 U (A, ID) = (2/3) 4 + (1/3) 1 = 9/3 U (B, ID) = (2/3) 3 + (1/3) 5= 11/3 U (A, DI) = (2/3) 3 + (1/3) 3 = 9/3 U (B, DI) = (2/3) 2 + (1/3) 1= 5/3 U (A, DD) = (2/3) 3 + (1/3) 1= 7/3 U (B, DD) = (2/3) 2 + (1/3) 5= 9/3

II ID DI DD A 11/3 3 3 7/3 B 7/3 11/3 5/3 3

Equilibrio de Nash Bayesiano

§  Dado que el Jugador 2 tiene estrategias dominantes jugará I si es del tipo x y jugará D si es del tipo y.

§  Ante la estrategia ID la mejor respuesta del jugador 1 es B.

El único equilibrio Bayesiano de este juego

es (B, ID).

Representación de un JB

§  El conjunto de jugadores, N={1,2,…,n}. §  Los tipos de los jugadores. §  La distribución de probabilidades sobre

combinaciones de tipos, (un conjunto de creencias sobre los tipos de los rivales)

§  Las acciones/estrategias posibles. §  Unas funciones de pagos que ahora

dependen no sólo de las acciones sino también de los tipos.

Pagos, creencias y estrategias ! La función de pagos del Jugador i se escribirá como:

. , , , donde ), ; ,( iiiiiiiiiiiii TtTtAaAattaau −−−−−− ∈∈∈∈

! Creencias:

" Cada jugador conoce su tipo y por tanto su función de pagos.

" Cada jugador que desconoce la función de pagos de algunos de sus rivales tiene creencias (una distribución de probabilidad) sobre sus tipos, que las denotaremos por

. , para ) |( iiiiiii TtTtttp ∈∈ −−−

! Estrategias: Una acción para cada posible tipo del jugador.

En el ejemplo 1 §  Jugadores, N={1,2}. §  Los tipos de los jugadores: el jugador 1 tiene un

tipo y el 2 tiene dos: x, y. §  Probabilidades sobre tipos: Cada uno de los tres

tipos tiene creencias sobre los demás.

§  Estrategias de 1: {A, B}. De 2: {II, ID, DI, DD} §  Los pagos: las 2 matrices (transparencia 7).

(p(t2 = x / t1) = 2 / 3, p(t2 = y / t1) =1/ 3).(p( t1 / t2 = x) =1).(p( t1 / t2 = y) =1).

La Batalla de los Sexos con información incompleta

§  Una pareja: ella forofa del Fútbol y él forofo de la Ópera.

§  Las preferencias de Él dependen de si está agobiado o no. Si está agobiado prefiere pasar la noche sin su pareja. Si está tranquilo (normal) prefiere la ópera al fútbol, y prefiere pasar la noche con ella en el fútbol que solo en la ópera

§  Ella cree que es igual de probable que Él esté agobiado como que no lo esté.

Pagos

Pagos si Él agobiado Prob. = 1/2

Él F O

Ella F 2 , 0 0 , 2

O 0 , 1 1 , 0

Pagos si Él normal Prob. = 1/2

Él F O

Ella F 2 , 1 0 , 0

O 0 , 0 1 , 2

Mejor Respuesta de ÉL Él Normal

F O

Ella F 2 , 1 0 , 0

O 0 , 0 1 , 2

Él Agobiado F O

Ella F 2 , 0 0 , 2

O 0 , 1 1 , 0

MR de Él (F) = FO MR de Él (O) = OF

Si ella elige fútbol la mejor respuesta de ÉL es: fútbol si normal y ópera si agobiado.

Si ella elige ópera la mejor respuesta de ÉL es: ópera si normal, y fútbol si agobiado

Mejor Respuesta de Ella

FF FO OF OO

F 2 1 1 0

O 0 0.5 0.5 1

MR(FF) = F MR(F) = FO MR(FO) = F MR(O) = OF MR(OF) = F MR(OO) = O

Ø ENB: (fútbol, (fútbol si normal, y ópera si agobiado))

La Batalla de los Sexos con información incompleta. Análisis alternativo.

Azar

Él.Normal Él.Agobiado

F O O F

Ella

F F F FO O O O

1

2

Pagos de Él

Pagos de Ella

0

0

2

1

0

2

1

0

2

0

0

1

0

0

1/2 1/2

ENPS en la forma extensiva

FF FO OF OO F 2, 0.5 1, 1.5 1, 0 0, 1 O 0, 0.5 0.5, 0 0.5, 1.5 1, 1

§  No hay subjuegos, por tanto el ENPS coincide con el EN

Extensiones

§  Ella tiene dos tipos, Él solo uno. La matriz de la forma normal será 4x2.

§  Ella tiene un tipo, Él tres tipos. La matriz de la forma normal será 2x8 (no se verá en este curso).

§  Ella y Él tienen dos tipos (no se verá en este curso).