345])ch11. matrix inverse and condition 행렬[a]가정방행렬이고, [a]의역행렬인[a]-1 ......

수치해석수치해석Numerical AnalysisNumerical Analysis

161009161009

Ch11. Matrix Inverse and Ch11. Matrix Inverse and Ch11. Matrix Inverse and Ch11. Matrix Inverse and

ConditionCondition

� 행렬 [A]가 정방행렬이고, [A]의 역행렬인 [A]-1 가 존재

하면

� [A]의 역행렬은 항상 존재?

11.111.111.111.1 역행렬역행렬역행렬역행렬(Inverse matrix) (1/3)(Inverse matrix) (1/3)(Inverse matrix) (1/3)(Inverse matrix) (1/3)

][][][]][[ 11 IAAAA == −−

Numerical AnalysisNumerical Analysis

� [A]의 역행렬은 항상 존재?

• A square matrix has an inverse iff

• A matrix possessing an inverse is called nonsingularnonsingularnonsingularnonsingular, or

invertibleinvertibleinvertibleinvertible.

0≠A

11.1 11.1 11.1 11.1 역행렬역행렬역행렬역행렬 (1/3)(1/3)(1/3)(1/3)

� 역행렬의 계산

• 우변에 단위벡터들을 놓고 각각에 대한 해를 구함으로써

열 단위로 계산 가능.

A[ ] x1{ }=100

A[ ] x2{ }=

010

A[ ] x3{ }=

001


• 이때 최적의 방법은 LU 분해법을 이용하는 것

→ 여러 개의 우변 벡터에 대해 해를 매우 효율적으로 구함

A[ ]−1 = x1 x2 x3[ ]

예제 11.1 (1/3)

� Q. 다음 시스템에 대한 역행렬을 LU 분해법으로 구하라.

−

−

−−

=

102.03.0

3.071.0

2.01.03

][A


LU 분해를 통해 얻은 L과 U:

−

−−

=

0120.1000

293333.000333.70

2.01.03

][U

−

=

10271300.0100000.0

010333333.0

001

][L

예제 11.1 (2/3)

sol)

역행렬의 첫 번째 열을 구하기 위해서

→

=

− 0

0

1

10271300.0100000.0

010333333.0

001

3

2

1

d

d

d

−

−=

1009.0

03333.0

1

}{d

−− 12.01.03 x


→

∴ 역행렬의 첫 번째 열은

−

−=

−

−−

1009.0

03333.0

1

0120.1000

293333.000333.70

2.01.03

3

2

1

x

x

x

−

−=−

??01008.0

??00518.0

??33249.0

][ 1A

예제 11.1 (3/3)

역행렬의 두 번째 열을 구하기 위해서

→

=

− 0

1

0

10271300.0100000.0

010333333.0

001

3

2

1

d

d

d

−=− ?142903.000518.0

?004944.033249.0

][ 1A


→

역행렬의 세 번째 열에 대해 반복하여 역행렬을 완성시키면

−

−=

?002710.001008.0

?142903.000518.0][A

−

−=−

099880.0002710.001008.0

004183.0142903.000518.0

006798.0004944.033249.0

][ 1A

11.1 11.1 11.1 11.1 역행렬역행렬역행렬역행렬 (2/3)(2/3)(2/3)(2/3)

� 자극-응답 계산(Stimulus-Response Computations)

• 공학과 과학에서 접하는 많은 선형연립방정식은 보존법칙으로 유도된

다.

• 시스템의 각 부분에 대해서 하나의 평형방정식으로 기술된다.

• 선형 시스템

{x} → 구하고자 하는 시스템의 상태 또는 응답을 나타냄

→

}{}]{[ bxA =


{b} → 시스템을 구동하는 힘 함수 또는 외부 자극을 나타냄

[A] → 시스템의 부분들의 상호작용을 나타냄

∴∴∴∴ [[[[상호작용상호작용상호작용상호작용]{]{]{]{응답응답응답응답} = {} = {} = {} = {자극자극자극자극}}}}

11.1 11.1 11.1 11.1 역행렬역행렬역행렬역행렬 (3/3)(3/3)(3/3)(3/3)

• 공식적인 해: 또는

• 역행렬의 성질

- 각각의 원소는 시스템의 다른 부분에서의 단위 자극에 대한 해당 부분의

응답

}{][}{1bAx

−=

3

1

332

1

321

1

313

3

1

232

1

221

1

212

3

1

132

1

121

1

111

bababax

bababax

bababax

−−−

−−−

−−−

++=

++=

++=


• 선형 시스템 → 중첩의 원리와 비례성이 만족됨

� 중첩: 응답{자극1 + 자극2} = 응답{자극1} + 응답{자극2}

� 비례: 응답{a×자극} = a×응답{자극}

응답{ a×자극1 + b×자극2} = a×응답{자극1} + b×응답{자극2}

∴ 는 bj의 단위 수준에 대해 xi의 값을 제공하는 비례상수

→ 역행렬은 복잡한 시스템의 구성 원소들 사이의 연관관계를 이해하는데 유용함

1−ija

예제 11.2 (번지점프 문제의 해석) (1/2)

� Q. 8장의 처음 부분에서 다룬 번지점프 문제를 풀어라.

매개변수는 다음과 같이 주어진다.

sol)

사람사람사람사람 질량질량질량질량 (kg)(kg)(kg)(kg) 스프링상수스프링상수스프링상수스프링상수 (N/m)(N/m)(N/m)(N/m) 본래본래본래본래 줄의줄의줄의줄의 길이길이길이길이 (m)(m)(m)(m)

위 (1)중간 (2)아래 (3)

607080

5010050

202020


gmxkxk

gmxkxkkxk

gmxkxkk

33323

23323212

122121

)(

)(

=+−

=−++−

=−+

=

−

−−

−

8.784

7.686

6.588

50500

50150100

0100150

3

2

1

x

x

x

sol)

예제 11.2 (번지점프 문제의 해석) (2/2)

>> >> >> >> K=[150 K=[150 K=[150 K=[150 ----100 0; 100 0; 100 0; 100 0; ----100 150 100 150 100 150 100 150 ----50; 0 50; 0 50; 0 50; 0 ----50 50];50 50];50 50];50 50];>> >> >> >> mg =[588.6; 686.7; 784.8];mg =[588.6; 686.7; 784.8];mg =[588.6; 686.7; 784.8];mg =[588.6; 686.7; 784.8];>> >> >> >> KI =inv(K)KI =inv(K)KI =inv(K)KI =inv(K)KI =KI =KI =KI =

0.0200 0.0200 0.02000.0200 0.0200 0.02000.0200 0.0200 0.02000.0200 0.0200 0.02000.0200 0.0300 0.03000.0200 0.0300 0.03000.0200 0.0300 0.03000.0200 0.0300 0.0300

kkkkijijijij----1111은은은은 사람사람사람사람 jjjj에에에에 작용하는작용하는작용하는작용하는

단위단위단위단위 힘힘힘힘(N)(N)(N)(N)에에에에 대해대해대해대해 사사사사람람람람 iiii의의의의


0.0200 0.0300 0.03000.0200 0.0300 0.03000.0200 0.0300 0.03000.0200 0.0300 0.03000.0200 0.0300 0.05000.0200 0.0300 0.05000.0200 0.0300 0.05000.0200 0.0300 0.0500

>>>>>>>> x=KI*mgx=KI*mgx=KI*mgx=KI*mgx =x =x =x =

41.2020 41.2020 41.2020 41.2020 ⇒⇒⇒⇒ 20 + 41.202 = 61.20220 + 41.202 = 61.20220 + 41.202 = 61.20220 + 41.202 = 61.20255.9170 55.9170 55.9170 55.9170 ⇒⇒⇒⇒ 40 + 55.917 = 95.91740 + 55.917 = 95.91740 + 55.917 = 95.91740 + 55.917 = 95.91771.6130 71.6130 71.6130 71.6130 ⇒⇒⇒⇒ 60 + 71.613 = 131.61360 + 71.613 = 131.61360 + 71.613 = 131.61360 + 71.613 = 131.613

단위단위단위단위 힘힘힘힘(N)(N)(N)(N)에에에에 대해대해대해대해 사사사사람람람람 iiii의의의의

수직위치수직위치수직위치수직위치 변화변화변화변화(m)(m)(m)(m)

11.2 11.2 11.2 11.2 오차오차오차오차 분석과분석과분석과분석과 시스템시스템시스템시스템 조건조건조건조건 (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)

� 역행렬은 시스템이 얼마나 불량한지를 판별하는 수단을

제공

• 행렬 [A]를 조정하여 각각의 행에서 최대 원소가 1이 되도록 한다.

� 그 역행렬의 원소가 몇 백 또는 몇 천 이상이 되면 그 시스템은 불량조건

에 있다.

• 역행렬 [A]-1 을 행렬 [A]에 곱해서 단위행렬 [I]에 가까운지를 본다

� 근접하지 않으면 그 시스템은 불량조건에 있다.


� 근접하지 않으면 그 시스템은 불량조건에 있다.

• 역행렬 [A]-1의 역행렬을 구한다.

� 행렬 [A]에 충분히 가깝지 않으면 그 시스템은 불량조건에 있다.

� 불량조건을 나타낼 수 있는 인덱스는?


� 벡터와 행렬의 놈 (see the supplement)

• normnormnormnorm : a real-valued function that provides a measure of the size or “length” of multi-component

mathematical entities such as vectors and matrices.



� Vector Norms

• Euclidean Norm

� For Euclidean Space

� For n-dim Space

cbaF =

222 cbaFe

++=

nxxxX L21=

∑n


• p norm

(p = 1), (Manhattan norm)

(p = 2), (Euclidean norm)

(p = ∞), 최대-크기 (Maximum norm) 또는 일정-벡터 놈

∑=

=n

i

iexX

1

2

pn

i

p

ipxX

/1

1

= ∑

=

∑=

=n

i

ixX1

1

2X

inixX

≤≤∞=

1max


� Matrix Norms



� Matrix Norms for a matrix [A]

column - sum norm A1

=1≤ j≤nmax aij

i=1

n

∑

Frobenius norm Af

= aij2

j=1

n

∑i=1

n

∑


• Note - µmax is the largest eigenvalue of [A]T[A].

j=1i=1

row - sum norm A∞

=1≤i≤nmax aij

j=1

n

∑

spectral norm (2 norm) A2

= µmax( )1/2


� 행렬의 조건수 (Matrix Condition Number)

(≥ 1)

• 성질

1][Cond −⋅= AAA

A

AA

X

X ∆≤

∆][Cond


계산된 해의 상대오차는 [A]의 상대오차에 조건수를 곱한 것보다 작다

� 조건수가 크면 클수록 해가 부정확해질 수 있다.

AA

X≤ ][Cond

예제 11.3 (행렬 조건수의 계산) (1/2)

� Q. 지극히 불량 조건인 Hilbert 행렬에 대하여

−++

+

12

1

2

1

1

11

1

1

4

1

3

1

2

1

1

3

1

2

11

nnnn

n

n

L

MMMM

L

L1

1ijHi j

=+ −


행-합 norm을 3x3 Hilbert 행렬에 대해 사용해 보자.

=

5

1

4

1

3

14

1

3

1

2

13

1

2

11

][A

예제 11.3 (행렬 조건수의 계산) (2/2)

Sol)

각 행에서 최대 원소의 크기가

1이 되도록 정규화를 한다.

35.2

167.2

833.1

5

3

4

31

1

3

21

3

1

2

11

2][

⇒

⇒

⇒

=A

35.25

3

4

31 =++=

∞A


정규화한 행렬의 역행렬을 구하면

따라서, 조건수는

−

−−

−

=−

609030

609636

10189

][ 1A

1926096361 =−++−=∞

−A

2.451)192(35.2][Cond ==A

� Q. 정규화한 Hilbert 행렬에 대해 MATLAB에서 norm과

조건수를 계산해 보자.

예제 11.4 (MATLAB에서 행렬 조건수의 계산) (1/3)

=23

23

1

2

11

11][A


=

54

2333

1

1][A


>> >> >> >> A = [1 1/2 1/3; 1 2/3 1/2; 1 3/4 3/5]A = [1 1/2 1/3; 1 2/3 1/2; 1 3/4 3/5]A = [1 1/2 1/3; 1 2/3 1/2; 1 3/4 3/5]A = [1 1/2 1/3; 1 2/3 1/2; 1 3/4 3/5]

A =A =A =A =

1.0000 0.5000 0.33331.0000 0.5000 0.33331.0000 0.5000 0.33331.0000 0.5000 0.3333

1.0000 0.6667 0.50001.0000 0.6667 0.50001.0000 0.6667 0.50001.0000 0.6667 0.5000

1.0000 0.7500 0.60001.0000 0.7500 0.60001.0000 0.7500 0.60001.0000 0.7500 0.6000

>>>>>>>> norm(norm(norm(norm(A,infA,infA,infA,inf) ) ) ) % % % % 행행행행----합합합합 놈놈놈놈


>>>>>>>> norm(norm(norm(norm(A,infA,infA,infA,inf) ) ) ) % % % % 행행행행----합합합합 놈놈놈놈

ansansansans ====

2.35002.35002.35002.3500

>>>>>>>> condcondcondcond((((A,infA,infA,infA,inf) ) ) ) % % % % 행행행행----합합합합 놈으로놈으로놈으로놈으로 구한구한구한구한 조건수조건수조건수조건수

ansansansans ====

451.2000451.2000451.2000451.2000


>> >> >> >> condcondcondcond((((A,'froA,'froA,'froA,'fro')')')') % % % % FrobeniusFrobeniusFrobeniusFrobenius normnormnormnorm으로으로으로으로 구한구한구한구한 조건수조건수조건수조건수

ansansansans ====

368.0866368.0866368.0866368.0866

>> >> >> >> condcondcondcond(A)(A)(A)(A) % Spectral norm(p=2)% Spectral norm(p=2)% Spectral norm(p=2)% Spectral norm(p=2)으로으로으로으로 구한구한구한구한 조건수조건수조건수조건수

ansansansans ====


ansansansans ====

366.3503366.3503366.3503366.3503

>> >> >> >> condcondcondcond(A,2)(A,2)(A,2)(A,2)

ansansansans ====

366.3503366.3503366.3503366.3503

345])ch11. matrix inverse and condition 행렬[a]가정방행렬이고, [a]의역행렬인[a]-1 ......

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