chapter 2, 선형 변환과 행렬 2/2
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선형 변환과 행렬Matrices and Linear Transformations
2/2
게임코디 - 그건일
2.3.8 항등 행렬(Identity Matrix)
• 스칼라에서 된다면
• 행렬에서도 될 것이다.
• 생긴 모양은…
2.3.9 행렬을 통한 벡터 연산 수행하기 #1
• 행 벡터와 열 벡터를 곱한다 = 내적한다.
결과는 스칼라 값
2.3.9 행렬을 통한 벡터 연산 수행하기 #2
2.3.9 행렬을 통한 벡터 연산 수행하기 #3
2.3.9 행렬을 통한 벡터 연산 수행하기 #4
이런 계산은 안됨
2.3.10 구현
• 자료구조
행 우선 행렬
책은 이 방식을 따른다
2.3.10 구현
행 우선 행렬, OpenGL
열 우선 행렬, DirectX
행 우선 이냐 열 우선이냐는
결국 전치 연산을 의미한다.
2.3.10 구현
• 벡터 = 행렬 x 벡터
(벡터 = 벡터 x 행렬) 이건 아님
2.3.10 구현
• 행렬 = 행렬 x 행렬
2.3.10 구현
• 행렬 = 행렬 + 행렬 (쉽다)
2.4 선형 연립 방정식 – 2.4.1 정의
• 연립 방정식이라고 하는 것은 미지수의 수
만큼의 방정식이 있으면 해를 구할 수 있다.
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 가끔은 해가 많거나…
• 해가 없을 수도 있다.
2.4 선형 연립 방정식 – 2.4.1 정의
• 선형 연립 방정식의 표현
P74 에 유사한
그림이 있다.
쓰기
어렵다.
그래서
쓰기
쉽게
고쳤다.
2.4 선형 연립 방정식 – 2.4.1 정의
• 대수학 답게 더 쉽게 고친다.
의미: A 와 b 에 대해서 x는 무엇인가?
A 와 x 에 대해서 b 는 무엇인가이게 아님
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 일단 쉬운 것
1x + 0y + 0z = 1
0x + 1y + 0z = 2
0x + 0y + 1z = 3
x = 1
y = 2
z = 3
1x + 1y + 1z = 1
1y + 1z = 2
1z = 3
• 다음
1x + 1y + 3 = 1
1y + 3 = 2
z = 3
1x + 0 + 3 = 1
y = -1
z = 3
x = -2
y = -1
z = 3
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 책에 나오는 쉬운 것
이런 형태를 행사다리꼴 행렬 이라고 부른다.
열사다리꼴 행렬 도 존재함
상삼각 행렬, 하삼각 행렬은 왜 설명한 것일까?
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 가우스 소거법
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 가우스 소거법
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 가우스 소거법
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 가우스 소거법
1로 만들기 위해
모든 행을 3으로 나눔
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 가우스 소거법
1번째 행에 더한다.
빨간 상자를 0으로 만들기 위해
0번째 행에 -2 를 곱하여…
[-2, -4, -6 | -2]
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 가우스 소거법
2번째 행에 더한다.
빨간 상자를 0으로 만들기 위해
0번째 행에 -1 를 곱하여…
[-1, -2, -3 | -1]
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• 가우스 소거법
• 가우스 소거법
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
2번째 행에 더한다.
빨간 상자를 0으로 만들기 위해
1번째 행에 -5 를 곱하여…
[ 0, -5, -4 | -3]
• 가우스 소거법
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
• P88 – 일반적으로, 계수 행렬 A의 순위와첨가 행렬 A|b 의 순위가 같다면 그 선형 연립 방정식은 적어도 하나의 해가 존재할 것이다. 만약 두 순위가 같지 않다면, 그 때 해는 존재하지 않는다. A 의 순위가 A의 행 또는 열 중에 최소 개수와 같다면 유일해가 존재한다.
이해할 수 없지만 판별식이라는 것과 관련있을 것으로 추정함
2.4.2 선형 연립 방정식 풀기
2.5 행렬의 역, 2.5.1 정의
• Ax = b 에서 x 에 대해서 풀면 x = b/A
• 행렬은 나눗셈 연산을 가지지 않음
• 스칼라 연산을 아래와 같이 표현 가능
• 스칼라 연산처럼 행렬에도 무언가 존재할것이라고 정의함
2.5 행렬의 역, 2.5.1 정의
• 행렬에서 이런 연산이 가능 하다고 정의
• 이 행렬도 교환 법칙이 성립함
• 역행렬의 역행렬은 행렬
2.5 행렬의 역, 2.5.1 정의
• 그래서 역행렬을 구하면 아래의 연산이
가능함
X 에 대해
풀 수 있다.
2.5 행렬의 역, 2.5.1 정의
• 책에서 이렇게 적혀있는데…
• 이렇게 고쳐서 가우스 조던 소거법으로 구하면 역행렬이 나온다(이해하기 어려움…)
항등행렬
2.5 행렬의 역, 2.5.1 정의
• 역행렬을 구하기 위해 항등행렬을 이용하
여 가우스 소거법 사용한다.
• A 와 I 를 알고 있으므로 가우스 소거법을
이용하면 역행렬을 구할 수 있다.
2.6 판별식, 2.6.1 정의
• 판별식(Determinant)은 정방 행렬의 요소들을평가한 결과인 스칼라 양(부피)
• 행렬의 특징을 빠르게 알 수 있음(?)
• 크래머의 방법을 사용되며 역행렬을 빠르게구할 수 있다.(크래머의 방법은 이해불가)
• 표시 방법
참고 사이트 : 판별식 동영상 강의
2.6 판별식, 2.6.1 정의
• 2차원 행렬의 판별식
회색으로 보이는 평행사변형의 부피가 판별식
ad – bc 는 평행사변형의 부피를 구하는 공식
오른손 좌표계일 경우 시계 반대 방향으로 가까
운 벡터를 먼저 써야 한다.
판별식은 일반적인 부피와 다르게 부호가 있다.
2.6.2 판별식 계산하기
• 3차원 행렬에서 판별식
역시 부피 이긴 한데
….
2.6.3 판별식과 기본 행 연산들
• 이해 못했음
2.6.4 수반 행렬과 역원
• 여인수 행렬을 만들고 그것을 전치 하여 수
반 행렬을 만든다.
• 판별식을 이용하면 역행렬을 만들 수 있다.
(빠르게)
• 별다른 설명이 없고 Invers() 함수를…
역행렬
판별식 수반형렬
2.7 요약
• 다 필요 없고 역행렬