3º ano geometria espacial
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Profª Roberta Reis
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INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE PRISMA
DADO UM POLÍGONO SITUADO EM UM PLANO, É CHAMADO PRISMA O SÓLIDO FORMADO PELA PROJEÇÃO DESTE POLÍGONO EM OUTRO PLANO PARALELO, COM A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS
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ELEMENTOS DO PRISMA
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CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA : PRISMA RETO
ARESTAS LATERAIS PERPENDICULARES À BASE
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PRISMA REGULARÉ UM PRISMA RETO
E OS POLÍGONOS DAS BASES SÃO POLÍGONOS REGULARES
EX: CUBO
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ÁREA DE UM PRISMAA ÁREA DE UM
PRISMA É DADA PELO DOBRO DA ÁREA DA BASE SOMADA À SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS
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VOLUME DE UM PRISMAO VOLUME DE UM
PRISMA É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA
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PRISMA OBLÍQUOAS ARESTAS
LATERAIS NÃO SÃO PERPENDICULARES À BASE
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DIAGONAL DO ORTOEDRO
222 BCd
222 AdD
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222 CBAD
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DIAGONAL DO CUBO
3Ad
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3
)2( 222
AD
AAD
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PIRÂMIDEDEFINE-SE
PIRÂMIDE COMO A UNIÃO DE TRÊS OU MAIS PONTOS CONTIDOS EM UM PLANO COM UM PONTO EXTERIOR A ESSE PLANO
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ELEMENTOS DA PIRÂMIDE
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NOMECLATURABASE NOME
Triângulo Triangular
Quadrado Quadrangular
Pentágono Pentagonal
Hexágono hexagonal
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PIRÂMIDE REGULARÉ UMA PIRÂMIDE
CUJA PROJEÇÃO DO VÉRTICE SOBRE A BASE COINCIDE COM O SEU CENTRO E QUE A BASE É UM POLÍGONO REGULAR.
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APÓTEMA DE UMA PIRÂMIDE REGULAR
O APÓTEMA DA BASE É O APÓTEMA DO POLÍGONO REGULAR DA BASE
O APÓTEMA DA PIRÂMIDE É A ALTURA DO TRIÂNGULO ISÓCELES FORMADO NA FACE LATERAL.
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ÁREA DE UMA PIRÂMIDE
A ÁREA TOTAL DE UMA PIRÂMIDE É DADA PELA SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS COM A ÁREA DA BASE.
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VOLUME DE UMA PIRÂMIDE
O VOLUME DE UMA PIRÂMIDE É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA E DIVIDIDO POR 3
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SECÇÃO TRANSVERSAL
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TRONCO DE PIRÂMIDE
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VOLUME DO TRONCO
)..(.3
1bbBBHV
MENOR BASEDA ÁREA b
MAIOR BASEDA ÁREA B
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TETRAEDRO
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TRIANGULAR PIRÂMIDE UM
IA CONSEQUÊNC POR SENDO
LATERAIS FACES QUATRO
POSSUI QUE SÓLIDO UMÉ
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TETRAEDRO REGULAR
SEQUILÁTERO TRIÂNGULOS
POR
FORMADO TETRAEDRO UMÉ
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ALTURA DO TETRAEDRO REGULAR
3
6LH
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ÁREA DO TETRAEDRO REGULAR
3A
:4 POR 4
3
2T
2
L
SENDOMULTIPLICA
L
TRIÂNGULO
CADADEÁREA
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CILINDRODADOS DOIS PLANOS
E DUAS CIRCUNFERÊNCIAS IDÊNTICAS CONTIDA NELES, CHAMA-SE CILINDRO A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS PERTENCENTES ÀS CIRCUNFERÊNCIAS.
É NA REALIDADE PRISMA COM BASE CIRCULAR
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ELEMENTOS DO CILINDRO
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CILINDRO CIRCULAR RETO
BASE À
LARPERPENDICU
É EIXO O QUE EM CILINDRO O É
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CILINDRO EQUILÁTERO
BASES DAS
DIÂMETRO AO IGUAIS
SÃO GERATRIZES AS
QUE EM CILINDRO O É
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VOLUME DE UM CILINDRO
H.R V 2
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ÁREA DE UM CILINDRO
)(2
.2
2
22
HRRA
HRA
RA
AAA
T
L
B
LBT
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CONEDENOMINA-SE
CONE CIRCULAR A UNIÃO DE TODOS OS SEGMENTOS QUE UNEM UMA CIRCUNFERÊNCIA CONTIDA EM UM PLANO E UM PONTO NÃO PERTENCENTE A ESSE PLANO.
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Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones.
Cone: A Definição!
Considere um círculo C contido num plano
e um ponto V não-pertencente a . Chama-se cone a reunião de todos os
segmentos que ligam cada ponto de R ao
ponto P.
g
r
h
O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral.
Note: g, h e r formam um triângulo retângulo.
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aO*
h
a 90º
Este cone é Oblíquo.
V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz
R
V
g’ g
eixo
Elementos do cone
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Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.
O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da
base.
Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.
Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.
Eixo = Altura
A altura é sempre perpendicular ao plano.
eixo
altu
ra
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Cone Circular Reto
O*
g2) No DVOA :
AB
V
ou Cone de Revolução
g2 = h2 + R2
R
h
1) O eixo é perpendicular ao plano da base.
![Page 39: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/39.jpg)
Um cone reto pode ser obtido girando um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. Por isso o cone reto é chamado de cone de revolução.A
B C
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Áreas e Volume
Pirâmide Cone
Área da Base (AB)
Depende do Polígono da Base
Área da
circunferência
Área Lateral (AL)
Área Total (At)
Volume (V)3
.hAb33
. 2hrhAb
O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!
LBt AAA
rgrAt 2LBt AAA
2rAb
grAl .2
gpAl ).2(gpAl ).2(glnAl ..
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O DVBA é a seção meridiana do cone.
Chama-se secção meridiana a intersecção
de um cone com um plano que passa pelo
vértice e pelo centro da base do cone.
O* AB
V
g
2R
Seção Meridiana
Se o triângulo VBA é eqüilátero, o cone
é um Cone Eqüilátero.
g=2R
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H G
R
H G
R
A secção transversal forma o tronco de cone
Chama-se secção transversal a intersecção de
um cone com um plano paralelo à base.
Seção Transversal
Suas áreas são proporcionais.
2´ ´ ´b l t
b l t
A A Ak
A A A
Seus volumes são proporcionais.
3vk
V
k = Constante de proporcionalidade.
kHh
G
g
Rr
r
hg
Note que o cone menor,
acima da secção é
semelhante ao cone original, o que significa
que suas dimensções
são proporcionais.
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Semelhança de uma forma mais clara
Altura do tronco (HT)
Altura do cone
original (H)
Altura do cone
semelhante (h)
Geratriz do Tronco (GT)
Geratriz do cone semelhante (g)
Obviamente G = g + GT
Outra conclusão lógica
V = v + VT
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Tronco de Cone
Elementos:
R raio da base maiorr raio da base menorhT altura do troncogT geratriz do tronco
R
r
gThT
As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas.
Área Lateral do Tronco(ALT)
ALT = (R + r)gT
Área Total do Tronco(ATT)
ATT = ALT + Ab + AB
ATT = (R + r)gT + (r2 + R2)
Volume do Tronco (VT)
VT = V - v
VT = (r² + rR + R²)
3
. th
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ELEMENTOS DO CONE
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CONE CIRCULAR RETO
BASE À LARPERPENDICU É
EIXO O QUE EM CONE O É
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CONE EQUILÁTERO
BASEDA DIÂMETRO AO
CONGRUENTE
É GERATRIZ
A QUE EM CONE O É
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VOLUME DO CONE
HR ..3
1 V 2
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ÁREA DO CONE
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ÁREA DO CONE
![Page 51: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/51.jpg)
)(
2
.2
2
.
2.
GRR
RGRA
RG
GRA
RA
T
CIRCSET
CIRC
![Page 52: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/52.jpg)
TRONCO DE CONE
![Page 53: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/53.jpg)
)..(..3
1 22
2.
2.
rrRRHA
rA
RA
TRONCO
MENORC
GRANDEC
![Page 54: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/54.jpg)
ESFERAÉ A UNIÃO DE
TODOS OS PONTOS DO ESPAÇO EM QUE A DISTÂNCIA AO CENTRO DADO É A MESMA .
![Page 55: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/55.jpg)
ÁREA DA ESFERAEXPERIMENTALME
NTE, PODE-SE CONSTATAR QUE UMA ESFERA TEM O EXATO PESO DE QUATRO CÍRCULOS CUJO RAIO É O MESMO QUE GEROU A ESFERA. SENDO DO MESMO MATERIAL.
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24 RAESFERA
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VOLUME DA ESFERA
3
4 3RVOLUME
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POLIEDROSÉ UM SÓLIDO
LIMITADO POR POLÍGONOS, QUE TEM, DOIS A DOIS, UM LADO COMUM
![Page 59: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/59.jpg)
POLIEDROS REGULARES
UM POLIEDRO É REGULAR QUANDO TODOS OS SEUS LADOS SÃO CONGRUENTES E TODOS OS SEUS ÂNGULOS SÃO CONGRUENTES.
![Page 60: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/60.jpg)
![Page 61: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/61.jpg)
TEOREMA DE EULLER
V : VÉRTICESA: ARESTASF: FACES LATERAIS.
2 FAV
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OCTAEDRO
![Page 63: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/63.jpg)
CUBO
![Page 64: 3º Ano Geometria Espacial](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081413/54949336b4795951078b457c/html5/thumbnails/64.jpg)
6
12
8
FACES
ARESTAS
VÉRTICES
:EULLER DETEPREMA DO ATRAVÉS
22
2614-8
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POLIEDROS DE PLATÃOUM POLIEDRO DE
PLATÃO DEVE TER:TODAS AS FACES
COM O MESMO NÚMERO DE ARESTAS
DOS VÉRTICES PARTA O MESMO NÚMERO DE ARESTAS.ICOSAEDRO
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SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO
º360).2( VS