ge geometria espacial
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Prof. Rajane G Weber
C.A. João XXIII - UFJF
Introdução A Geometria espacial (euclidiana) funciona
como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos.
Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies.
Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.
Um pouco de História
O estudo da geometria espacial pelos povos da mesopotâmia (região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Tigre e Eufrates) é datada desde, aproximadamente, dois mil anos antes de Cristo e todo o conhecimento que temos hoje se baseiam em documentos de denominamos papiros.
Dentre os principais podemos citar o “papiro de Rhind” e o “papiro de Moscou”.
“PAPIRO DE MOSCOU”
“PAPIRO DE RHIND
Fundamentos
O espaçoÉ o marco físico que nos rodeia e em que vivemos. Uma casa, uma poltrona e uma maçã, por exemplo, não são corpos geométricos, mas estão no espaço. Os prismas, as pirâmides, o cilindro e a esfera são corpos geométricos no espaço.
Em Geometria, o espaço é um conjunto ilimitado de pontos. Nesse espaço consideram-se três dimensões: comprimento, altura e largura.
Entes Primitivos –Aceitos sem definição
•Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
•Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
•Planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Plano α (alfa)
•Espaço: é o conjunto de todos os pontosque estão no plano e fora dele.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever
•A
•B
Figuras Coplanares e ColinearesPONTOS
COPLANARES
Os pontos A,B,C estão no mesmo plano
PONTOS
COLINEARES
Os pontos P e Q estão sobre a mesma reta
Posições relativas de duas retas
Se as retas são Coplanares:
Concorrentes Paralelas Distintas
Ou
Perpendiculares
Posições relativas de duas retas
Se as retas não são coplanares
Reversas Ortogonais
Posições relativas de dois planos
Coincidentes Concorrentes
Ou
Verificação 1
A B
CD
E F
GH
I J
1)Observando a figura,identifique que ente geométrico se refere :
a) A,B,C,D,E,...J
b) AB, CD, EF,AI,BJ ...
c) ABCD, ABIJ
2) Verifique se as retas são paralelas,concorrentes ou reversas:
a)EF e CD c) BC e BJ
b)EF e AD d) AB e HG
Pense Bem!!
Verificação 2Considere a figura e responda com V ou F:
A BC
D
E FG
H
a) AB//DC b) DC//HG c) EF//FG d) CB e HE são reversas
e) CF e HE são reversas f) DB e AC são concorrentes
g)AB e EF são coplanares h) DB e HF são coplanares
i) A e C são colineares j) H e G são colineares e coplanares
Sólidos Geométricos
Duas caixas de madeira serão construídas com as formas e medidas indicadas nas figuras.
30cm30cm30cm
50cm40cm
40cm30cm
Em qual delas será usada mais madeira?
Qual delas terá o espaço interno maior?
Problemas como este serão resolvidos com o estudo dos sólidos geométricos
1- POLIEDROS
Para saber mais sobre este tipo de sólido geométrico, clique no sólido ao lado.
PRISMAS Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta r secante a esses planos e uma região poligonal convexa A1A2A3...An contida em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a r, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo pertencente a β:
ELEMENTOS DO PRISMA
bases (polígonos); faces (paralelogramos); arestas das bases (lados das bases); arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases); vértices (pontos de encontro das arestas); altura (distância entre os planos das bases).
TIPOS DE PRISMATIPOS DE PRISMA
.As arestas laterais têm o mesmo comprimento..As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base..As faces laterais são retangulares.
Prisma reto
TIPOS DE PRISMATIPOS DE PRISMA
•As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
•As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.
•As faces laterais não são retangulares.
Prisma oblíquo
NomenclaturaNomenclatura
São nomeados de acordo com o polígono da sua base:
Prisma Base Esboço geométrico
Triangular triângulo
Quadrangular quadrado
ClassificaçãoClassificação
Pentagonal pentágono
Hexagonal hexágono
Prisma RegularPrisma Regular • É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. • Exemplo: • Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero.
Paralelepípedo Reto-Retângulo
Todo prisma reto cujo polígono das bases são Todo prisma reto cujo polígono das bases são retângulos é chamado de paralelepípedo reto-retângulos é chamado de paralelepípedo reto-retângulo.retângulo.
Medida de uma Medida de uma diagonal de um diagonal de um paralelepípedo reto-paralelepípedo reto-retânguloretângulo
Consideramos um paralelepípedo reto-retângulo, que tem as dimensões, comprimento, largura e altura, sejam as medidas a, b e c. Sejam d e D as medidas de uma diagonal da base e de uma diagonal do
Continuação
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A1A8A6 , temos:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A5A8A6, temos:
Finalizado:Finalizado:
Substituindo (II) em (I), temos: