4 año unidad 5 2013
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MATEMÁTICA 4° AÑO BÁSICO
UNIDAD 5 UBICACIÓN ESPACIAL Y CUERPOS GEOMÉTRICOS
SEMESTRE: 1
DURACIÓN: 3 semanas
Preparado por: Irene Villarroel.
Adaptación: Equipo de Matemática Programa Mejor Escuela.
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UNIDAD 10
UBICACIÓN ESPACIAL Y CUERPOS GEOMÉTRICOS.
1. Descripción general de la unidad En esta unidad se retoma el trabajo con los cuerpos geométricos ya estudiados
(cubo, prismas rectos de base cuadrada, rectangular y triangular, pirámide, cilindro y
cono), de manera que los estudiantes puedan estar en condiciones de reconocer
representaciones planas de los cuerpos geométricos mencionados y efectuar
representaciones de ellos en el plano considerando diferentes puntos de observación.
Por otro lado se trabaja la ubicación en planos utilizando el sistema de coordenadas
para definir la localización de un objeto o la trayectoria de un punto a otro dentro del
plano.
2. Duración aproximada
3 semanas.
3. Contenidos Representaciones planas de cuerpos geométricos.
Localización absoluta de un objeto en un mapa simple.
Localización relativa de un objeto en relación a otros.
4. Objetivos de aprendizaje
Describir la localización absoluta de un objeto en un mapa simple con coordenadas
informales (por ejemplo: con letra y números) y la localización relativa a otros
objetos.
Determinar las vistas de figuras 3D, desde el frente, desde el lado y desde arriba.
5. Indicadores de evaluación
Describen e identifican posiciones de objetos en mapas o planos reales de
ciudades, del metro, etc.
Describen trayectos en desplazamientos de objetos
Ubican objetos en planos de habitaciones o construcciones
Confeccionan un plano de búsqueda de tesoros
Comunican el camino recorrido para llegar al colegio, usando un mapa
Trazan trayectos en un mapa en base a una instrucción
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Identifican en forma concreta y/o pictórica, cuadrículas en un tablero de
ajedrez
Identifican vértices, aristas y caras en modelos o dibujos de figuras 3D
Despliegan modelos de figuras 3D como cubos, paralelepípedos y prismas
regulares
Identifican las vistas en redes de figuras regulares 3D
Dibujan las vistas de figuras 3D
Dibujan las vistas de figuras 3D compuestas
Confeccionan la red de una figura 3D de acuerdo a las vistas
6. Habilidades
Comprobar una solución y fundamentar su razonamiento
Resolver problemas:
Resolver problemas dados o creados
Representar:
Utilizar formas de representación adecuadas, como esquemas y tablas, con lenguaje
técnico específico y con los símbolos matemáticos correctos.
7. Profundización de contenidos Acerca de la representación de cuerpos geométricos en un plano.
Hasta ahora se han considerado aspectos de la geometría que dicen relación con el
estudio de algunas de las características y propiedades de las formas geométricas de 1, 2 y
3 dimensiones. Otras ramas de la geometría tales como la geometría descriptiva y la
geometría proyectiva se ocupan de aspectos relacionados con la representación del espacio
tridimensional sobre una superficie bidimensional. En este nivel, si bien el tema a tratar
dice relación con la representación de figuras 3D en un plano, es conveniente señalar que
el trabajo a realizar no pretende considerar contenidos propios de las ramas de las
geometrías anteriormente mencionadas, sino tan sólo que los estudiantes logren por una
parte, reconocer diferentes representaciones planas de un mismo cuerpo geométrico
destacando en cada caso el punto de observación y, por otra parte, realizar
representaciones de los cuerpos geométricos conocidos considerando diferentes puntos de
observación.
Para lograr los objetivos propuestos es fundamental que los estudiantes reconozcan
que la representación de una figura 3D en un plano depende del punto de observación. En
efecto, como los cuerpos geométricos son formas tridimensionales al ser representadas en
un plano pueden adquirir diferentes formas dependiendo de si su representación
corresponde a una vista realizada desde arriba (planta), desde una vista frontal o anterior
(elevación) o desde un costado (perfil). Ello significa que un mismo cuerpo geométrico
puede tener diversas representaciones en un plano. Por ejemplo, los dibujos que se
muestran más abajo corresponden a 4 representaciones diferentes para una misma
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pirámide de base cuadrada. Se trata de una vista lateral, una vista frontal, una vista desde
arriba y una vista desde abajo.
Es importante destacar que este tipo de actividades facilita el desarrollo de la
imaginación espacial, uno de los principales objetivos de la enseñanza de la geometría en
estos niveles.
En relación a la ubicación espacial se espera que los alumnos puedan ubicarse en un
plano, para ello es necesario comenzar con ejercicios básico de localización en cuadriculas
simples como el tablero de ajedrez.
Recomendaciones metodológicas
Asegúrese que los estudiantes reconozcan cubos, prismas rectos, cilindros, conos y
pirámides. Para ello pídales que busquen estos cuerpos geométricos dentro de un conjunto
en el que hay una variedad de ellos y de otros cuerpos geométricos. Así también, pídales
que nominen las figuras 3D que usted les va mostrando.
Luego de reconocer los cuerpos geométricos mencionados se sugiere activar los
conceptos de caras, aristas y vértices determinando en cada caso, el número de caras que
poseen, las formas de las mismas, si son planas o curvas, , el número de aristas y de vértices
y las relaciones numéricas entre estos elementos. Así también que establezcan semejanzas y
diferencias entre ellos.
Proporcione a los estudiantes figuras 3D de diferentes tamaños, construidas en cartulina,
madera, plástico u otros materiales, de modo que puedan manipularlos y fijar con mayor
exactitud sus características.
La distinción entre figuras 2D y 3D es otro de los contenidos que es conveniente
trabajar. En este sentido, es recomendable establecer esta diferencia contrastando un
cuerpo geométrico de madera o plástico (3D) con un dibujo o fotografía del mismo
cuerpo (2D). También, y tal como se señaló anteriormente, se puede contrastar, por
ejemplo, el dibujo de una red para armar un prisma (2D) con el prisma ya armado (3D).
Y que los estudiantes puedan, a través de estas actividades, desprender algunas
conclusiones respecto de la diferencia entre ambas formas geométricas.
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Una vez realizadas las actividades propuestas anteriormente, se sugiere iniciar el
trabajo de reconocimiento de figuras 3D representadas en un plano. Una actividad que
contribuye a este propósito es trabajar con un cubo y hacer que los estudiantes lo observen
desde diferentes posiciones y luego reconozcan los dibujos que representan cada una de
las observaciones realizadas. Igual cosa se sugiere hacer con todas las figuras 3D que los
estudiantes ya conocen..
En cuanto a la representación en el plano se sugiere trabajar tan sólo con vistas
simples y a mano alzada ya que situaciones que requieren conocimientos de perspectiva y
proyecciones no corresponden al nivel.
En el trabajo de la localización se sugiere realizar actividades lúdicas relacionadas
con el dibujo y la ubicación de puntos en un mapa. Cabe recordar que este contenido
también se aborda en comprensión del medio por lo que se hace necesario
complementarlo con las indicaciones de dicho programa de estudio.
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8. MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA
GUÍAS 1 Y 2: REPASANDO CARACTERÍSTICAS DE LOS
CUERPOS GEOMÉTRICOS ESTUDIADOS
En estas guías se espera que los estudiantes no presenten dificultades en reconocer
los cuerpos geométricos estudiados y determinar en cada uno de ellos el número y forma
de sus caras, el número de vértices y de aristas. Para facilitar el reforzamiento de este
aprendizaje se sugiere que los estudiantes dispongan de los cuerpos en estudio y puedan a
partir de su observación y manipulación reconocer sus características más esenciales y las
diferencias y semejanzas que existen entre ellos.
GUÍA 3: FORMAS GEOMÉTRICAS DE 2 DIMENSIONES Y DE 3
DIMENSIONES
En esta guía se trata uno de los problemas que normalmente tienen los estudiantes y que
dice relación con saber distinguir entre figuras 2D y figuras 3D. Se sugiere comentar cada
uno de los ejercicios propuestos de modo de asegurarse que todos los estudiantes
distinguen esas diferencias.
GUÍA 4: REPRESENTACIÓN PLANA DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
A través de esta guía se presentan situaciones orientadas a que los estudiantes logren
determinar los cuerpos geométricos que han sido representados en un plano. Para reforzar
el reconocimiento de la representación plana de los cuerpos dibujados se sugiere que los
estudiantes puedan tener dichos cuerpos geométricos a disposición y realizar las
observaciones correspondientes.
GUÍA 5: REPRESENTACIÓN DE UN CUBO EN UN PLANO
En esta guía se espera que los estudiantes observen un cubo de distintos puntos de
observación y reconozcan las representaciones planas de esas vistas. Para tal efecto es
fundamental que cada los estudiantes dispongan de un cubos, ojalá de distintos tamaños y
colores, de modo que puedan reconocer que la observación no depende ni del tamaño ni
del color del cubo de que se dispone.
GUÍA 6: REPRESENTACIÓN DE PRISMAS RECTOS EN UN PLANO
En esta guía se propone que los estudiantes puedan observar desde distintas vistas
prismas rectos de base cuadrada y triangular, y reconocer en cada caso la representación
plana correspondiente. Se sugiere que los estudiantes realicen las observaciones con los
cuerpos geométricos planteados y comenten entre ellos los resultados de dichas
observaciones. Al igual que en el caso anterior se sugiere disponer de prismas rectos de
distintos tamaños y colores.
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GUÍA 7: REPRESENTACIÓN DE PIRÁMIDES EN UN PLANO
A través de esta guía se espera que los estudiantes reconozcan representaciones
planas de pirámides de base cuadrada y base triangular obtenidas a partir de observaciones
realizadas desde diferentes vistas. Se sugiere generar instancias en las cuales los estudiantes
puedan comentar las observaciones realizadas. Complemente las actividades propuestas
con pirámides de diferentes tamaños y observaciones realizadas desde diferentes puntos y
solicitando a los estudiantes que dibujen a mano alzada el resultado de sus observaciones.
GUÍA 8: REPRESENTACIÓN DE CILINDROS Y CONOS EN UN PLANO Aquí se espera que los estudiantes reconozcan diferentes representaciones planas
de cilindros y conos, que realicen observaciones de cilindros y conos ubicados en
diferentes posiciones y desde diferentes vistas y que, en cada caso, dibujen la forma como
ven dichos cuerpos geométricos. Se sugiere que los estudiantes comenten los resultados
obtenidos en cada una de las actividades realizadas.
GUIA 9:
En esta guía se espera que los alumnos trabajen la ubicación en planos simples, se recomienda
utilizar planos que ellos conozcan. Para familiarizarse se puede jugar combate naval u otro juego de
búsqueda del tesoro en base a coordenadas.
GUÍA 10: EJERCICIOS DE EVALUACIÓN
Esta guía se refiere a un conjunto de ítems de selección múltiple relacionados con los
contenidos tratados en esta unidad. Se sugiere que luego que los estudiantes respondan la evaluación
planteada se revisen los resultados y se aclaren las posibles dudas que ellos tengan con respecto a los
contenidos tratados.
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GUÍA 1: REPASANDO CARACTERÍSTICAS DE LOS CUERPOS
GEOMÉTRICOS ESTUDIADOS
Coge un cubo, un prisma recto de base cuadrada y una pirámide de base triangular
y responde las siguientes preguntas:
¿Cuántas caras tiene el cubo?
¿Cuántas caras tiene el prisma recto de base cuadrada?
¿Y la pirámide de base triangular?
¿Cuántos vértices y aristas tiene cada uno de estos cuerpos geométricos
Coge ahora un cilindro y un cono. Estos cuerpos geométricos tienen caras
planas y caras curvas.
¿Cuál de ellos tiene 2 caras planas y una cara curva?
¿Cuál de ellos tiene 1 cara plana y 1 cara curva?
¿Cuántos vértices tiene el cilindro?
¿Cuántas aristas tiene el cilindro?
¿Cuántos vértices tiene el cono?
¿Cuántas aristas tiene el cono?
A
B
caras
caras
caras
vértices
aristas
Prisma recto de
base cuadrada vértices
aristas
Pirámide de base
triangular vértices
aristas
Cubo
vértices
aristas
vértices
aristas
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GUÍA 2: REPASANDO CARACTERÍSTICAS DE LOS CUERPOS
GEOMÉTRICOS ESTUDIADOS
Coge un prisma recto de base cuadrada y un prisma recto de base triangular y
responde la siguiente pregunta:
¿Qué diferencia hay entre un prisma recto de base cuadrada y un prisma recto de
base triangular en cuanto a los elementos que se indican a continuación?
a) El número de caras
b) El número de vértices
c) El número de aristas
Y ¿en qué son semejantes, en relacióna los mismo elementos?
Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
Coge una pirámide de base cuadrada y una pirámide de base triangular y responde
las siguientes preguntas:
¿Cuántas caras planas tiene cada una de ellas?
Pirámide de base cuadrada
Pirámide de base triangular
¿Cuántos vértices tienen?
Pirámide de base cuadrada
Pirámide de base triangular
¿Cuántas aristas tienen?
Pirámide de base cuadrada
Pirámide de base triangular
Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
caras
caras
vértices
vértices
aristas
aristas
A
B
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GUÍA 3: FIGURAS GEOMÉTRICAS DE 2 DIMENSIONES Y DE 3
DIMENSIONES
La figura muestra una red para construir un cuerpo
geométrico.
¿De qué cuerpo geométrico crees tú que se trata?
.
¿Te parece correcto lo que dice esta niña? Comenta tu respuesta con tus compañeros y
compañeras.
¿Te parece correcto lo que dice este niño? Comenta tu respuesta con tus
compañeros y compañeras.
¿Por qué crees tú que a los cuerpos geométricos se les llama también formas
geométricas de 3 dimensiones y a las figuras geométricas se las llama formas
geométricas de 2 dimensiones?
Comenta tu respuesta con tus compañeros y compañeras.
Yo creo que una red para construir un cuerpo geométrico
es una figura plana que luego puede transformarse en un
cuerpo geométrico.
El cilindro es un cuerpo geométrico pero sus
caras son figuras planas que corresponden a
un rectángulo y a 2 círculos.
B
A
C
D
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GUÍA 4: REPRESENTACIÓN PLANA DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
Observa las figuras del recuadro. Cada una de ellas corresponde al dibujo de un
cuerpo geométrico representado en un plano.
Por ejemplo, la figura 1 corresponde al dibujo de un cilindro.
¿Cuál podría corresponder al dibujo de un cono? Anota el número correspondiente.
¿Cuál podría corresponder al dibujo de un prisma recto de base cuadrada? Anota el
número correspondiente.
¿Cuál podría corresponder al dibujo de una pirámide? Anota el número correspondiente.
A
1
4
2
3
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GUÍA 5: REPRESENTACIÓN DE UN CUBO EN UN PLANO
Marta está observando su cubo desde
arriba. Ella dice que le ve sólo una cara, la de
arriba.
Para representar lo que ha observado,
Marta ha dibujado un cuadrado igual a la cara
de su cubo.
Coloca un cubo sobre tu mesa y efectúa la misma observación que hizo Marta, es
decir mira el cubo desde arriba.
¿Te parece correcta la representación que hizo Marta?
Marta dice que si ahora coloca el cubo
frente a sus ojos su representación en el plano
también correspondería al mismo cuadrado que
acaba de hacer.
¿Estás de acuerdo con Marta?
Hace la observación correspondiente y
verifica tu respuesta.
Ahora Marta ha colocado su cubo de
manera que una de sus aristas quedó frente a su
nariz.
Observa tu cubo tal como lo está haciendo
Marta y comenta con tus compañeros y
compañeras cómo se ve el cubo en ese caso.
¿Qué le responderías a esta niña?
A
B
C
En estos dos casos han
representado en un plano el
mismo cubo. ¿Por qué las
figuras son diferentes?
D
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GUÍA 6: REPRESENTACIÓN DE PRISMAS RECTOS EN UN PLANO
Tal como se ha visto, el dibujo que se haga para representar un cuerpo geométrico
dependerá del punto de observación. Por ejemplo, en las figuras 1 y 2 se ha
representado un mismo prisma recto de base cuadrada.
¿Cuál de las figuras crees tú que corresponde a una representación vista de frente?
Observa tu prisma recto de base cuadrada desde una vista de frente y comprueba si es
correcta tu respuesta.
Colócalo ahora de modo que lo observes tal como se ve en la figura 1.
¿Desde dónde deberías observar tu prisma recto de base cuadrada de modo que su
representación plana corresponda a un cuadrado? Verifica tu respuesta haciendo la
observación correspondiente.
Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
Marcos ha hecho el dibujo de la derecha para representar un
prisma recto.
¿Qué tipo de prisma recto es el que ha representado?
¿Cómo sería la figura si este prisma recto se hubiera dibujado
desde una vista efectuada desde arriba? Verifica tu respuesta
efectuando la observación correspondiente.
A
Figura 1 Figura 2
B
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GUÍA 7: REPRESENTACIÓN DE PIRÁMIDES EN UN PLANO
Los siguientes dibujos representan una misma pirámide.
¿Cómo crees tú que es la base de esta pirámide?
Coloca una pirámide del tipo de la representada en los dibujos de modo que se vea
tal como aparece en cada una de estas figuras.
¿En cuál de los casos está vista desde arriba? Anota el número
¿En cuál de los casos está vista desde abajo? Anota el número
Comenta tu respuesta con tus compañeros y compañeras.
Luis está observando una pirámide y la dibuja tal como la ve. La
figura 1 muestra su dibujo.
¿Qué tipo de pirámide ha estado observando?
¿Desde dónde habrá hecho sus observaciones?
Posteriormente cambia su punto de vista y el resultado de su
observación corresponde a la figura 2.
¿Desde dónde realizó esta observación?
Verifica tus respuestas realizando las observaciones correspondientes y coméntalas con tus
compañeros y compañeras.
4 3
2
2
2
1
2
A
Figura 1
Figura 2
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GUÍA 8: REPRESENTACIÓN DE CILINDROS Y CONOS EN UN PLANO
¿Qué cuerpo geométrico se ha representado en estas figuras?
Pedro dice que aquí ha dibujado un cilindro.
¿Crees tú que este dibujo pueda corresponder a un
cilindro? ¿Por qué?
Comenta tu respuesta con tus compañeros y compañeras.
¿Qué cuerpo geométrico se ha representado en esta figura?
Verifica tu respuesta realizando la observación del
cuerpo geométrico correspondiente.
Coge un cono, obsérvalo desde arriba y dibuja cómo lo ves.
Ahora obsérvalo desde abajo y dibuja cómo lo ves.
Compara tus dibujos con el realizado por tus compañeros y compañeras.
A
B
C
D
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GUÍA 9: UBICACIÓN EN UN PLANO
Observa la siguiente imagen:
¿Dónde está ubicada la corona?
Dibuja un sol en la casilla h2
A
B
Escribe que dibujo hay en cada
una de las siguientes posiciones:
a) E4
b) B5
c) J2
d) G6
En que cuadrante está:
a) El cofre con el tesoro
b) Dos palmeras
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Describe un camino para ir del corazón al sol.
Compara tu respuesta con tus compañeros.
Pedro dice que la única forma de ir del rayo al
sol es un cuadrado hacia arriba y dos a la
derecha.
¿Tiene razón Pedro? Comenta tu respuesta
con tus compañeros.
A B C D E
4
3
2
1
5
4
3
2
1
a b c d e
En la cuadricula siguiente marca un edificio que esta entre las siguientes coordenadas
(a5)(d5) (a4) ( c4).
5
4
3
2
1
a b c d e f g
C
D
La figura nuestra la ubicación de un edificio
en un plano. ¿Entre que coordenadas está el
edificio?
Comenta tu respuesta con tus compañeros y
compañeras.
E
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GUÍA 10: EJERCICIOS DE EVALUACIÓN
A continuación se han anotado ejercicios de evaluación para cada uno de los temas
tratados que tienen como propósito llegar a saber si se han logrado los aprendizajes
propuestos en esta Unidad. Para la realización de estos ejercicios de evaluación es
conveniente que los estudiantes dispongan de un conjunto de cuerpos geométricos como
los estudiados.
Todos los ejercicios propuestos son de selección múltiple de modo de facilitar su
corrección y preparar a los estudiantes para la realización de pruebas de este tipo.
A continuación se anotan las respuestas correctas para cada una de las preguntas
planteadas en los ejercicios de evaluación que se proponen.
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN 1
1. C
2. B
3. A
4 B
5. C
6. D
7. C
8. B
9. D
10. D
11. D
12. C
13. B
14. B
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EJERCICIOS DE EVALUACIÓN
1. ¿Cuántos vértices tiene un cubo?
A. 4 vértices.
B . 6 vértices.
C. 8 vértices.
D. 10 vértices.
2. ¿Cuántas caras planas y cuántas caras curvas tiene un cilindro?
A 1 cara es plana y 2 son curvas.
B. 2 caras son planas y 1 es curva.
C . Las 3 caras son planas.
D. Las 3 caras son curvas.
3. ¿Cuántos vértices tiene un cono?
A. 1 vértice.
B. 2 vértices.
C . 3 vértices.
D. No tiene vértices.
4. ¿Cuántas caras triangulares tiene un prisma recto de base triangular?
A. 1 cara triangular.
B . 2 caras triangulares.
C. 3 caras triangulares.
D. 4 caras triangulares
5. ¿Cuántas aristas se juntan en cada vértice de un prisma recto de base rectangular?
A. 1 arista.
B. 2 aristas.
C. 3 aristas.
D. 4 aristas.
6. ¿Cuántas caras tiene en total una pirámide de base triangular?
A. 1 cara.
B. 2 caras.
C . 3 caras.
D. 4 caras.
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7. ¿Cuántos vértices tiene una pirámide de base rectangular?
A. 1 vértice.
B. 3 vértices.
C. 5 vértices.
D. 7 vértices.
8. ¿Qué semejanzas existen entre un cilindro y un cono?
A. Tienen el mismo número de caras.
B. Ambos cuerpos tienen caras curvas y planas.
C. Tienen el mismo número de aristas.
D. Tienen el mismo número de vértices.
9. El rectángulo de la derecha representa un prisma
recto visto de frente.
¿Qué prisma recto puede ser?
A Un prisma recto de base cuadrada.
B Un prisma recto de base rectangular.
C Un prisma recto de base triangular.
D Un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.
10. ¿A qué cuerpo geométrico puede corresponder el dibujo
de la derecha?
A Un prisma de base triangular.
B Un cono.
C Una pirámide de base cuadrada.
D Una pirámide de base triangular.
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11. Las figuras 1, 2, y 3 representan cuerpos geométricos mirados desde diferentes puntos
de vista.
¿Cuál o cuáles de estos dibujos podrían corresponder a un cubo?
A Solo la figura 1.
B Solo la figura 3.
C Solo la figura 2.
D Las figuras 1, 2 y 3.
12. Marcela dice que la figura dibujada corresponde a un cilindro visto desde arriba.
Luis dice que corresponde a un cono visto desde abajo.
¿Quién tiene la razón?
A Marcela.
B Luis.
C Marcela y Luis.
D Ninguno de los dos.
13. Berta dice que el cuadrado de la figura sólo puede
corresponder a un cubo visto de frente.
Marcia dice que no se puede saber a qué cuerpo
corresponde este dibujo.
¿Quién tiene la razón?
A Berta.
B Marcia.
C Berta y Marcia.
D Ninguna de las dos.
2
2
3
2
1
2
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14. En la imagen del tablero de ajedrez el caballo blanco está en la posición:
A A1
B E7
C E2
D No se puede saber.