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4. MODELOS DE SÍNTESIS

SÍNTESIS DIGITAL DE INSTRUMENTOS MUSICALES

SÍNTESIS DIGITAL DE PIANOS ELECTRÓNICOS

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4. MODELOS DE SÍNTESIS Podemos distinguir dos principales categorías de algoritmos de síntesis: modelos de señal y modelos físicos. Los modelos de señal aspiran a reconstruir el efecto sonoro perceptual sin analizar la fuente específica que provoca el sonido, mientras que los modelos físicos buscan simular el comportamiento de la fuente sonora.

El siguiente esquema muestra una posible clasificación de los distintos tipos de modelos de síntesis Modelos no lineales

Modelos de señal Modelos lineales Liberación de muestras Modelos de síntesis Diferencias finitas

Modelos físicos Síntesis modal Guiaonda digital




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4.1. Modelos de señal Los modelos de señal usan una descripción matemática del sonido. Sus ventajas son la simplicidad y la fácil implementación. El problema de estos modelos radica en el control del proceso de síntesis, sobre todo en lo que se refiere a parámetros que intervienen en el discurso musical. De modo que la mayoría de algoritmos se derivan heurísticamente y no guardan relación alguna con el proceso real de generación del sonido, con las consiguientes consecuencias negativas para la interpretación musical.

Esta es la razón por la cual es más difícil sintetizar sonidos preexistentes como los de piano, que producir sonidos abstractos con los modelos de señal, es decir, sonidos que nuestra percepción no puede relacionar con un mecanismo de producción, o imaginar una fuente para ellos. Es por ello que los modelos de señal se utilizan profusamente para la generación de nuevos sonidos en música electrónica Podemos distinguir básicamente tres tipos de modelos de señal: métodos de síntesis global o no-lineales, métodos lineales o sinusoidales y métodos de muestreo de forma de onda.




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4.1.1. Métodos de síntesis global Los métodos de síntesis global persiguen el objetivo de generar el sonido modelando una señal simple (una sinusoide, por ejemplo) usando una función. Estos métodos son no-lineales ya que las operaciones realizadas sobre la portadora no son simples adiciones o amplificaciones. Este tipo de síntesis usa algoritmos relativamente simples con un pequeño número de parámetros, pero el proceso de análisis es complicado. Es generalmente difícil controlar la forma del sonido mediante estos métodos dado que el timbre está relacionado con los parámetros de control de una forma no-lineal. Síntesis FM simple Síntesis AFM Modelos de síntesis global Síntesis DFM Síntesis PD Otros modelos no-lineales




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Síntesis FM El ejemplo más conocido de síntesis global, es la modulación en frecuencia o síntesis FM, expuesta originalmente por John Chowning en 1973. Este método de síntesis ha sido adaptado de la teoría de FM para radiofrecuencia a la síntesis de audio. A comienzo de los 80, la conocida marca de instrumentos musicales Yamaha, presenta un método digital de síntesis de sonido denominado Síntesis FM. El método de Yamaha estaba basado en los estudios de John Chowning sobre esta materia y concretamente en su ensayo Síntesis de espectros complejos de audio mediante Modulación en Frecuencia publicado en 1973 En realidad, no era un enfoque totalmente nuevo, pues los métodos de modulación en frecuencia, habían sido utilizados desde antaño por los ingenieros de telecomunicación en la transmisión de señal, sobre todo en aplicaciones de radio. El trabajo de Chowning era, sin embargo, la primera aplicación práctica de estos conceptos en el ámbito del modelado digital de audio. La síntesis FM está basada, como su propio nombre indica, en la modulación en frecuencia. La frecuencia de una onda determinada se modula por otra onda de distinta frecuencia. El resultado contiene elementos de ambas frecuencias junto con nuevos armónicos relacionados matemáticamente con las frecuencias originales. Se puede demostrar teóricamente que cualquier sonido, por complejo que sea, puede ser modelado mediante una serie de modulaciones en frecuencia de ondas senoidales. Análisis FM La ecuación general de la modulación FM es:

∫+=t

ofcc dmktfAty ττππ )(22cos()( ) (4.1)

Por tanto la frecuencia instantánea es: )()( tmkftf fci += (4.2)

Lo que significa que la frecuencia instantánea de la señal modulada oscila en torno a la frecuencia de portadora con una desviación máxima de

)(max tmkf f=∆ . Este parámetro recibe el nombre de desviación en frecuencia.




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En la síntesis FM, la señal moduladora es siempre una señal senoidal así que: )2cos()( tfAtm mm π= (4.3)

Introduciendo la moduladora dada por Ec. 4.3. en la ecuación de

análisis dada por la Ec. 4.2. tenemos que la ecuación de la síntesis FM es

))2sin(2cos(

))2sin(2cos()2cos(22cos()(

τπβπ

τππττπππ

mcc

mm

mfcc

t

omfcc

ftfA

ffA

ktfAdfktfAty

+=

+=+= ∫ (4.4)

Donde β , índice de modulación, se define como:

mff∆

=β (4.5)

Ya que en este caso, la desviación de pico es mff Aktmkf ==∆ )(max En la síntesis FM, la salida de un oscilador se aplica al control de frecuencia de otro oscilador. El oscilador que controla la frecuencia es denominado modulador, mientras que el oscilador que proporciona la señal a controlar es denominado portador.

Figura 4.1. Diagrama de un sistema de síntesis FM




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Si el modulador se sintoniza por debajo del nivel de frecuencia audible (20 Hz aprox,), se tiene modulación FM sub-audio también conocida como vibrato. La profundidad del vibrato se determina mediante la amplitud de la onda moduladora.

Si por el contrario, el modulador se sintoniza por encima de 20 Hz, frecuencias adicionales denominadas bandas laterales aparecen simétricamente alrededor de la frecuencia de portadora.

Tanto las frecuencias exactas como la amplitud relativa de las bandas laterales pueden determinarse usando tecnología digital controlando todos los parámetros con precisión. La Síntesis FM clásica, también conocida como Chowning FM, utiliza sólo ondas senoidales, resultando por tanto una modulación lineal. Puede describirse analíticamente mediante la ecuación:

))2cos()(2cos()()( cmmc tfttftAty φφπβπ +++= (4.6)

Donde A(t) es la envolvente en amplitud, cf es la frecuencia de portadora, mf es la frecuencia moduladora y mφ , cφ son constantes arbitrarias de fase. La función )(tβ , denominada envolvente del índice de modulación, determina el contenido armónico del sonido. Podemos determinar la frecuencia instantánea del sonido sin más que derivar la fase:

)2cos()(21)2sin()(

))2cos()(2(21)(

21)(

mmmmmc

cmmci

tfdt

tdtfftf

tfttfdtdt

dtdtf

φπβπ

φπβ

φφπβππ

θπ

+++−=

+++==

(4.7)

Determinar la relación precisa del índice de modulación )(tβ en el contenido armónico requeriría de un análisis más preciso, sin embargo, es posible obtener alguna información por simple inspección de la ecuación anterior. La cantidad )(tβ mf multiplica una variación sinusoidal de la frecuencia. Si )(tβ es constante, su derivada es cero, y por tanto desaparece el último término, de modo que )(tβ proporciona la máxima desviación en frecuencia con respecto a la frecuencia nominal de la portadora cf . Por




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tanto si )(tβ es pequeño, se producen bajas frecuencias, por el contrario si es grande pueden producirse armónicos de nivel alto. Dado que )(tβ es una función del tiempo, el contenido armónico de la señal también puede cambiar con el tiempo.

Normalmente tanto A(t) como )(tβ suelen ser constantes sobre un gran intervalo temporal y dejan de serlo normalmente hacia el comienzo o final del sonido para tener en cuenta efectos transitorios como consecuencia del ataque de tecla.

Las bandas laterales poseerán armónicos parciales a las frecuencias mc nff ± .

Figura 4.2. Espectro de la señal Y(f)

En el caso de armónicos a frecuencias negativas, tendremos bandas reflejadas, a la misma frecuencia en valor absoluto pero con un desfase de 180º. Cuando al reflejarse coinciden con otros armónicos parciales, la cancelación parcial o total tiene un gran impacto en el timbre

Si cf y mf son ambos racionales, en una relación 1:N, el espectro resultante será armónico pero sin incluir los parciales que sean múltiplos de N. Por ejemplo para una relación 1:2, las frecuencias resultantes son cf , 3 cf , 5 cf … Esta propiedad es muy útil para sintetizar instrumentos de embocadura cilíndrica como el clarinete, los cuales se caracterizan por incluir en el espectro sólo los armónicos impares del tono fundamental.

Si cf o mf son irracionales, entonces el espectro resultante será inarmónico. El resultado para el oyente, que no será capaz de fundir los




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sonidos en una resultante armónica se traduce una amplia paleta de timbres brillantes y vibrantes, incluyendo tañidos de campana y similares. Estos espectros inarmónicos, tienen al menos el doble de los componentes en frecuencia de un espectro armónico, y en caso de bandas reflejadas pueden obtenerse efectos de trémolos y de chorus

Figura 4.3. Ejemplo de espectro inarmónico creado por reflexión de bandas laterales.

Para espectros armónicos, habrá usualmente implicada una frecuencia fundamental, aunque no necesariamente ha de ser la frecuencia de portadora. Para que sea así, mf debe ser mayor o igual que 2 cf , ya que de este modo, todas las frecuencias negativas reflejadas serán superiores a

cf y ésta será considerada como el tono fundamental.

No obstante, el timbre percibido por el oyente no está determinado solamente por las frecuencias presentes, sino también por sus amplitudes relativas. Las bandas superior e inferior tienen amplitudes simétricas. La amplitud de cada parcial se calcula en base al índice de modulación )(tβ que puede suponerse constante sobre el intervalo de tiempo sobre el que se calcule el espectro ββ =)(t .

La amplitud de cada parcial mc nff ± es )(βnJ donde nJ es la función de Bessel de orden n, de modo que el espectro puede describirse analíticamente por:

∑∞

−∞=

+=n

mcnc nffJAfY )()()( δβ (4.8)




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Lo que significa que en el dominio del tiempo, la ecuación de síntesis puede escribirse como:

∑∞

−∞=

+=n

mcnc tnJAty ))sin(()()( ωωβ (4.9)

Figura. 4.4. Funciones de Bessel de distinto orden

Para β =0, es decir sin modulación, la portadora tiene toda la energía y no hay parciales. Conforme I aumenta, la portadora pierde fuerza y aumenta la energía de los parciales. Una estimación de cuantos parciales serán audibles para un valor dado de β es β +1, donde β se redondea al entero más cercano. Los valores de la amplitud pueden ser negativos.




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Figura. 4.5. Ejemplo de bandas laterales para β =1

Figura 4.6. Ejemplo de bandas laterales para β =4

En general, conforme β aumenta, podemos inferir que mayor cantidad de frecuencias serán audibles. Esto puede ser un verdadero problema para síntesis digital, donde las bandas superiores podrían alcanzar la frecuencia de Nyquist y producir aliasing. Dado que la señal FM no está limitada en banda, la mayoría de sintetizadores digitales tienen un límite en el máximo valor de β .

Uno de los inconvenientes de la síntesis FM es que la simetría lineal en las amplitudes de las bandas superior e inferior. El oído humano




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requiere más energía en las frecuencias inferiores para ser consideradas de un determinado volumen que para frecuencias superiores. Por consiguiente, la síntesis FM clásica parece estar sobrecargada en los agudos, y los bajos suenan débiles. Esto puede subsanarse empleando técnicas más complejas como la modulación previa de la moduladora o del propio índice de modulación.

Mediante la técnica de síntesis FM pueden crearse espectros más complejos sin más que aumentar el número de portadoras o de moduladoras.




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Síntesis AFM

Como se dijo anteriormente, la simetría entre las bandas inferior y superior de la síntesis FM clásica supone una limitación al grado de control de la forma de la amplitud espectral deseada para la forma sintetizada. Mediante una sencilla modificación en la ecuación de la síntesis FM clásica podemos introducir cierta asimetría. Tomando de la ecuación Ec. 4.9.

∑∞

−∞=

+=+=n

mccmcc tntJnAttAty )sin()())sin(sin()( ωωβωβω

Introducimos el un factor multiplicativo nr , sobre la amplitud de los armónicos del espectro.

∑∞

−∞=

+n

mcnn tntJr )sin()( ωωβ (4.10)

En la siguiente figura pueden verse las diferentes formas del espectro para valores de r de 0.4 a 4.

Figura 4.7. Envolventes del espectro AFM para distintos valores de r

Puede verse, que conforme r aumenta, la envolvente del espectro se desplaza hacia la derecha, lo que explica la ventaja de la síntesis AFM sobre la FM convencional. El pico de la envolvente coincide con la frecuencia de portadora cuando r alcanza el valor 1, ya que en este caso AFM coincide con FM.




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Dos Portadoras

Además del espectro general, otra característica muy importante del sonido es la presencia de formantes. Los formantes describen ciertas regiones del espectro donde tienen lugar resonancias fuertes y pueden localizarse como picos en la envolvente del espectro.

En la síntesis FM, los picos en la envolvente espectral pueden controlarse usando un oscilador de portadora adicional. En el caso de un único oscilador, el espectro generado estará centrado en torno a una frecuencia formante. Cuando se añaden dos señales, sus espectros pueden combinarse. Si el mismo oscilador se usa para modular ambas portadoras (aunque usando distinto índice de modulación), y las frecuencia del segundo oscilador es múltiplo entero de la del primero, el espectro de ambas señales puede combinarse de modo que solapen las componentes creándose un pico formante en la frecuencia del segundo oscilador.

En la figura, ambas portadoras son moduladas por el mismo oscilador con frecuencia mf . El índice de modulación para la primera y segunda portadora es 1β 2β . El valor 2β es normalmente menor que 1β , de modo que el cociente 2β / 1β es pequeño y el espectro no se extiende más allá de la región del formante

La frecuencia de la segunda portadora 2cf se elige de manera que sea un armónico, es decir, múltiplo entero de la frecuencia fundamental of (que normalmente coincidirá con la frecuencia de la primer portadora 1cf ) y que además esté lo más cercana posible a la deseada frecuencia formante ff .

oo

foc ff

fnff )5.0int(2 +== (4.11)




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De esta manera aseguramos que la frecuencia de la segunda portadora está armónicamente relacionada con la de la primera. Si of varía, la frecuencia de la segunda portadora permanecerá lo más cercana posible a la deseada frecuencia formante ff y a la vez seguirá siendo un múltiplo entero de of .

Figura 4.8. Síntesis FM con dos portadoras para la obtención de formantes.




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Dos Moduladoras

Así como puede aumentarse el número de portadoras, también puede hacerlo el de moduladoras. Para conseguir una mayor variedad espectral, la forma de onda moduladora puede consistir en la suma de varias sinusoides

Si la frecuencia de portadora es cf y las frecuencias moduladoras son 1mf y 2mf , el espectro resultante contendrá componentes de frecuencia en

los valores 21 mmc kfiff ±± , con i,k enteros. Además existen múltiples combinaciones de las parejas i,k que proporcionan la misma frecuencia, de modo que la amplitud final será la resultante de todas las contribuciones a esa frecuencia.

Los índices de modulación serán en general distintos para cada componente, 2β 1β . La amplitud de la banda lateral kiA , viene dada por el producto de las funciones Bessel:

)()( 21, ββ kiki JJA = (4.12)

Análogamente al caso de una moduladora simple, las frecuencias negativas se reflejan con un cambio de signo en la amplitud que puede contribuir a la cancelación total o parcial de ciertas componentes.

La DFM (Double Frequency Modulation) proporciona un método alternativo de síntesis digital, en el que las frecuencias armónicas pueden ser generadas a partir de dos frecuencias dadas y ofrece otra alternativa para generar espectros asimétricos con menor coste computacional que AFM.




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Síntesis FM para sonidos de piano.

Para sintetizar un sonido de piano, es necesario crear una señal con armónicos que no sean múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. El índice de inarmonicidad del n-ésimo parcial del sonido de una nota del piano nf , puede expresarse como, a partir de la ecuación Ec. 2.3. como

2

0

1 Bnnff

In n +== (4.13)

Donde B suele ser del orden de una centésima de semitono.

Usando una serie de términos moduladores, cada uno con un índice de modulación relativamente pequeño, de manera que cada uno solo genere una frecuencia en cada banda lateral pero en una frecuencia de modulación que no esté armónicamente relacionada con la fundamental, podemos sintetizar un sonido de piano.

Síntesis PD

Este modelo de síntesis fue usado ampliamente en los teclados Casio que aparecieron a mediados de los 80 y superaba algunas limitaciones de los sintetizadores Yamaha que usaban su modelo patentado de síntesis FM

La síntesis PD es en muchos aspectos similar a la síntesis FM, pero las operaciones fundamentales realizadas en la forma de onda no son las mismas. En concreto, la síntesis PD provoca una distorsión en la fase de la onda portadora de forma periódica. En la síntesis FM, la frecuencia de la onda portadora está modulada por otro oscilador. En el caso de PD, la forma de onda no está modulada por otro oscilador, sino distorsionada por algún tipo de algoritmo de forma de onda arbitraria como pueden ser ondas cuadradas, triangulares, ruido blanco, etc.




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Otros métodos no lineales Otro método basado en la distorsión no lineal de una señal de entrada es el método Le Brun. Este consiste básicamente en implementar un mapeado de la señal sinusoidal x(n) con una función arbitraria de distorsión w. La función w es almacenada una tabla y es indexada con x(n) para producir y(n) en el mismo rango [-1,1]. Los armónicos producidos pueden ser controlados usando polinomios de Chebyshev como funciones de distorsión. De hecho, utilizando polinomios de Chebyshev de orden n, se obtienen sinusoides puras de frecuencia n. Por consiguiente, usando una combinación lineal de polinomios de Chebyshev como funciones de distorsión, pueden controlarse exactamente las amplitudes de los distintos armónicos. Además la señal puede limitarse en banda evitando así el aliasing.




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4.1.2. Métodos lineales Los modelos lineales como la síntesis aditiva o sustractiva tienen como objetivo construir la señal usando representación en frecuencia, buscando emular el proceso de la percepción humana que analiza las señales de audio de acuerdo a sus contenidos espectrales. Una amplia gama de sonidos pueden producirse usando estas técnicas, pero generalmente, un gran número de parámetros es necesario para la descripción del sonido. La linealidad de dichos modelos les confiere una gran versatilidad aunque puede suponer un inconveniente para modelar sonidos de naturaleza fuertemente no-lineal. Síntesis aditiva Síntesis granular

Modelos lineales Síntesis SMS Síntesis sustractiva




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Síntesis aditiva La síntesis aditiva es una de las más simples e intuitivas de estas técnicas espectrales. Se basa en el Teorema de Fourier según el cual cualquier forma de onda periódica puede ser modelada como suma de sinusoides con distintas amplitudes y frecuencias. La síntesis aditiva fue de las primeras técnicas de síntesis utilizadas en la elaboración de música sintética. Uno de los primeros trabajos sobre el tema fue publicado por el profesor James A. Moorer en la revista Computer Music Journal. Este método persigue la construcción un tono complejo mediante la suma de sonidos elementales, generalmente sinusoides moduladas en amplitud y en frecuencia. Puede interpretarse como un método para modelar el espectro variante en el tiempo de un tono mediante un conjunto de líneas discretas en el dominio de la frecuencia. Se necesitan tres funciones de control para cada oscilador sinusoidal: amplitud, frecuencia y fase de cada componente. En muchos casos, la fase puede dejarse a un lado y la señal de salida puede representarse como:

[ ]∑−

=

=1

0)(2sin)()(

M

kkk nFnAny π (4.14)

Donde y es la señal de salida, M es el número de osciladores sinusoidales, )(nAk y )(nFk son la amplitud variante en el tiempo del k-ésimo parcial y su frecuencia respectivamente. Para sonidos periódicos o cuasi-periódicos, estos componentes tienen frecuencias que son múltiplos de una frecuencia fundamental. Mediante métodos de análisis de Fourier, se puede descomponer el sonido a modelar en una suma de señales sinusoidales. Las amplitudes y frecuencias necesarias pueden determinarse usando la STFT de la señal original (Transformada de Fourier de corto plazo) Una ventaja de este método es la flexibilidad y el potencial para modificaciones dinámicas del sonido. Pero su inconveniente es el alto número de parámetros de control. Con objeto de evitar eso, se ha desarrollado una técnica de síntesis aditiva de grupos. En esta técnica, los parciales son agrupados en torno a una frecuencia común y a una envolvente de amplitud. Estos parciales agrupados se combinan para formar tablas de onda.




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Síntesis granular Otra técnica de síntesis lineal es la síntesis granular. Se basa en sintetizar sonidos a partir de pequeños elementos de señal en el dominio del tiempo llamados sonidos atómicos o granos. Estos granos pueden tener una duración comprendida entre un milisegundo y más de cien. Los métodos de síntesis granular pueden ser clasificados en función de cómo los granos son obtenidos.

En la síntesis granular asíncrona (AGS), los granos son dispersados

sobre una región en el dominio de la frecuencia denominada nube. Los granos pueden tener formas de onda similares o diferentes. La forma de onda puede ser una sinusoide enventanada, una señal muestreada o bien obtenida mediante un modelo físico.

En la síntesis granular síncrona de Pitch (PSGS), los granos se

obtienen de la STFT de la señal original. La longitud de la ventana rectangular usada en la STFT es el periodo del sonido sintetizado, y cada grano corresponde por tanto a un periodo de la señal.

Esta técnica de síntesis se usa para conseguir efectos interesantes y sonidos derivados pero no para sintetizar los propios sonidos de piano.




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Síntesis por modelado de espectro La síntesis por modelado de espectro o SMS, es un método que busca sintetizar el sonido añadiendo separadamente los componentes deterministas y estocásticos. El componente determinista del sonido se obtiene calculando en primer lugar la STFT de cada porción enventanada de señal. A partir del espectro complejo obtenido por la STFT, los picos prominentes y sus trayectorias se extraen mediante algoritmos complejos. El componente estocástico se calcula restando la parte determinista a la señal original en el dominio de la frecuencia. Cualquier modelo de síntesis sonora da por supuestas ciertas características de la forma sonora a sintetizar o del mecanismo de generación del sonido. El sonido producido por instrumentos musicales puede ser modelado por la suma de un conjunto de sinusoides a las que se añade un ruido residual. La componente sinusoidal o determinística, corresponde normalmente a los principales modos de vibración del sistema. La componente de ruido representa la energía producida por el mecanismo de excitación que no se transforma en vibraciones estacionarias o bien otro tipo de componentes que no son de naturaleza sinusoidal y se modelan como aleatorias por comodidad. En el caso de sonidos de piano, la componente sinusoidal es el resultado de los principales modos de vibración de la cuerda mientras que el ruido caracterizaría la percusión violenta del martillo contra la cuerda, así como otros comportamientos no-lineales del sistema resonante.

La componente determinista queda descrita por una suma de componentes cuasi-sinusoidales (es decir, sinusoides cuya amplitud y frecuencia varían de forma suave con respecto a su frecuencia nominal). Cada sinusoide modela un componente de banda estrecha del sonido original y queda descrito por una función de la amplitud y de la frecuencia.

La componente estocástica, es decir, el ruido, queda descrito completamente por su densidad espectral de potencia que proporciona la potencia de señal frente a la frecuencia. Para las señales estocásticas, no es necesario tener en cuentas detalles de fase instantánea o valores exactos de la magnitud.




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Por consiguiente el modelo completo del sistema puede expresarse de forma analítica como:

[ ] )()(cos)()(1

tettAts n

N

nn +=∑

=

θ (4.15)

Donde )(tAn y )(tnθ son la amplitud instantánea y la fase de la n-ésima sinuoside respectivamente, y )(te es la componente de ruido. El modelo asume que las sinusoides son armónicos parciales estables del sonido y que cada uno tiene un cambio suave de amplitud y frecuencia. La fase instantánea puede derivarse a partir de la frecuencia instantánea como

∫=t

nn dt0

)()( ττωθ (4.16)

Donde )(τωn es la frecuencia instantánea de la n-ésima sinusoide. Para la señal )(te , ésta puede ser descrita como un ruido blanco filtrado.

∫=t

duthte0

)(),()( τττ (4.17)

Donde )(τu es el ruido blanco y ),( τth es la respuesta de un filtro variante en tiempo. La integral representa la convolución de un ruido blanco con un filtro con una frecuencia de corte determinada. Este modelo tiene problemas con sonidos que incluyen parciales ruidosos, como los producidos por el vibrato, donde la frecuencia nominal no puede determinarse con exactitud. Debido a estos problemas, la separación entre componente determinista y estocástica es normalmente complicada, y la implementación de estos procesos debe ser lo suficientemente flexible para incluir sonidos con estos problemas




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El proceso de generación es parecido al de los codificadores híbridos de voz que involucran predicción lineal. En la siguiente figura se muestra la figura de un posible diagrama de implementación

Figura 4.9. Diagrama de implementación del proceso de análisis. En primer lugar preparamos la próxima sección del sonido a analizar multiplicando la forma de onda con una ventana de análisis apropiada. El espectro se obtiene mediante la aplicación de la FFT y los picos prominentes del espectro son detectados y utilizados en un algoritmo de decisión que detecta la magnitud, frecuencia y fase de cada uno de los parciales presentes en el sonido original. Cuando el sonido no es completamente armónico, como en el caso de sonidos de piano, un paso previo de detección de pitch puede mejorar el análisis usando la información de la frecuencia fundamental para elegir el tamaño de la ventana de análisis. La componente estocástica de la trama analizada se calcula generando en primer lugar la señal determinista mediante síntesis aditiva de los distintos parciales, y luego sustrayéndola de la forma de onda original en el dominio del tiempo. Esto es posible siempre y cuando haya concordancia de fase en ambas formas de onda. La representación estocástica se obtiene mediante un ajuste espectral del cual se obtienen los parámetros más relevantes.




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Figura 4.10. Diagrama del proceso de síntesis. En el diagrama superior, la señal determinista, es decir, las componentes sinusoidales, se construyen a partir de la información de magnitud y frecuencia para cada parcial mediante síntesis aditiva. Esto puede ser implementado en el dominio del tiempo con el tradicional banco de osciladores o bien en el dominio frecuencial utilizando en enfoque basado en la FFT. La señal estocástica sintetizada es el resultado de generar una señal de ruido con las características espectrales obtenidas del módulo anterior. Dicha señal puede generarse mediante síntesis substractiva que puede implementarse en el dominio del tiempo mediante una convolución o en el dominio de la frecuencia partiendo de un ruido blanco y coloreándolo adecuadamente. El bloque que recibe el nombre de transformaciones musicales permite una representación de elementos musicales basados en el análisis. Teóricamente, su objetivo es controlar todos los parámetros musicales relevantes del sonido como forma espectral, vibrato, amplitud total y evolución en frecuencia. Estos parámetros pueden ser extraídos, modificados y reintroducidos en el sistema antes de que se complete la síntesis sin perjuicio alguno del sonido resultante. Este proceso puede implementarse de forma sencilla cuando la entrada es una nota aislada, en este caso la parametrización musical puede ser bastante completa.




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Síntesis sustractiva En la síntesis sustractiva, el proceso es el opuesto al utilizado en la síntesis aditiva. El sonido se construye, eliminando componentes indeseados a partir de un sonido inicial complejo como puede ser un ruido. Este método esta íntimamente relacionado con la teoría de filtrado digital. En su forma más básica, la síntesis sustractiva es un proceso muy simple en el que intervienen tres elementos: generador, filtro y amplificador. La fuente o generador puede ser cualquier tipo de sonido pero suele usarse un ruido de banda ancha. El filtro colorea el ruido adecuadamente y el amplificador controla el volumen del sonido. El proceso completo puede emular la característica espectral de un instrumento. La síntesis fuente-resonador es un ejemplo de este tipo de síntesis. Una excitación de banda ancha es filtrada usando filtros resonantes. Esta aproximación corresponde a lo que sucede en muchos sistemas físicos, asumiendo que no existe realimentación del resonador a la fuente. Para modelar sonidos percusivos como el del piano, se suelen hacer dos aproximaciones: primero, el cuerpo vibrante genera un sonido compuesto de sinusoides con decaimiento exponencial, segundo, independencia entre la fuente y los valores de frecuencia. Desde un punto de vista físico, las dos partes del modelo pueden interpretarse de la siguiente manera: Las cuerdas, que corresponden a la estructura vibrante son representadas por el filtro resonante, y el martillo que es el excitador físico, es representado por una señal de corta duración.




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4.1.3. Métodos de liberación de muestras Los métodos de liberación de muestras son de los más utilizados en pianos digitales comerciales. Consiste en reproducir un sonido que ha sido previamente grabado. Estos métodos son muy precisos a la hora de reproducir un sonido específico pero no es capaz de reproducir cambios en las condiciones de ejecución pianística. Los pianos que implementan este tipo de síntesis, almacenan tonos separados del instrumento en memoria y los reproducen cuando la tecla es presionada. Varias muestras de una misma nota son necesarias para simular la modificación del timbre con la dinámica. Dado que este método requiere una gran cantidad de datos, solo unos pocos segundos son grabados. Tras el ataque, la forma de onda se reconstruye mediante repetición de la sección estacionaria del tono. Por consiguiente la amplitud y la evolución del timbre deben simularse mediante un generador de envolvente y un filtro variante con el tiempo. Con objeto de minimizar el espacio en memoria, solo se almacenan notas cada 3 ó 4 semitonos. El resto de tonos se obtienen mediante desplazamiento del pitch o pitch shifting. El inconveniente de estos métodos es que el sonido inmediato al ataque de la tecla suena bastante artificial. Además las técnicas de compresión utilizadas para almacenar tal cantidad de datos tienden a degradar la calidad del sonido percibido. No obstante, muchos pianos de gama alta utilizan esta técnica. El concepto es sencillo y la implementación del algoritmo relativamente simple. El problema es que mediante esta técnica se sintetizan las notas separadamente, lo que significa que fenómenos físicos como la transferencia de energía entre cuerdas, o la acción del doble escape a la hora de ejecutar notas repetidas no son tenidos en cuenta. Este método ha sido implementado con éxito durante mucho tiempo, ya que el pianista no puede actuar sobre el sonido una vez que la tecla es golpeada, lo cual favorece bastante a esta filosofía de síntesis. Sin embargo, dada su naturaleza estática, es incapaz de recrear esa interacción tan profunda entre pianista e instrumento que crea su propio tono personal, más allá de la simple recreación de un sonido invariable y carente de vida.




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Síntesis PCM o Wavetable

En la síntesis PCM o Wavetable (tabla de onda), los sonidos muestreados se almacenan directamente tras un cuantificador PCM sin ningún tipo de codificación, por lo que su tamaño en memoria es elevado. De hecho, los sistemas que implementan síntesis PCM tienen como parámetro más crítico el espacio en memoria y por tanto, todos los esfuerzos de desarrollo en esta síntesis han tenido como objeto último optimizar dicho espacio. No obstante, con el abaratamiento de los dispositivos de memoria y las nuevas tecnologías, cada vez más reducidas, de almacenamiento de memoria, éste suele ser un problema cada vez menos importante, por lo que la síntesis PCM se ha impuesto sobre las demás en la mayoría de modelos comerciales.

Repetición en Bucle y Generación de Envolvente

Una de las técnicas usadas en sintetizadores basados en tabla de onda para ahorrar espacio en memoria, es el looping o repetición mediante bucle de pequeños fragmentos muestreados del sonido de un piano.

Para el piano, el sonido puede ser modelado, como ya se discutió en el análisis del mecanismo del piano, mediante dos secciones principales. Un régimen transitorio inmediatamente posterior al ataque de la tecla y un régimen permanente con un tono sostenido de menor volumen. En la sección transitoria o parte inicial del sonido, la amplitud y las características espectrales del sonido pueden cambiar muy rápidamente. En la sección permanente, por el contrario, las características del sonido poseen menos cambios de forma dinámica.

La figura muestra una forma de onda del sonido de un piano con las secciones transitoria y permanente indicadas. En este ejemplo las características espectrales de la forma de onda permanecen constantes a lo largo de la sección permanente, mientras que la amplitud decrece a una tasa aproximadamente constante. Este ejemplo no es realista, pues en pianos auténticos, tanto las características espectrales como la amplitud continúan cambiando durante toda la emisión del sonido.




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Figura 4.11. Secciones Permanente y Transitoria de un sonido de piano.

El looping o repetición en bucle se realiza a partir de un pequeño segmento, típicamente dos periodos de la sección permanente con el fin de ahorrar espacio en memoria, que suele ser el factor más limitante en los instrumentos que implementan este tipo de síntesis.

Figura 4.12. Repetición en bucle de una muestra




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Para simular el decaimiento de la amplitud de la señal, se utiliza un filtro de ganancia variable con el tiempo. La envolvente de amplitud de un sonido de piano, puede modelarse como un filtro de ganancia lineal a trozos. El más usado es el modelo ADSR (Attack-Decay-Sustain-Release) consistente en 4 trozos lineales correspondientes a la fase de Ataque, Decaimiento, Sostenido, y Liberación.

Figura 4.13. Típica envolvente de amplitud ADSR.

La sección Attack o de ataque simula el efecto provocado por la colisión del martillo con la cuerda. En esta sección tiene lugar un aumento rápido de la amplitud a partir del nivel mínimo como consecuencia de la generación del sonido. Las secciones Decay y Sustain, son ambas secciones de decaimiento progresivo del tono de piano como consecuencia de las pérdidas de energía producidas por la vibración del instrumento. La diferencia entre ambas tiene como objeto separar la sección transitoria de la permanente, ya que, como se vio en el capítulo 2, ambos sonidos son de naturaleza muy diferente. En este sentido merece la pena comparar la envolvente ADSR con la curva de presión sonora de la figura 2.6. en la cual se muestra la diferencia de comportamientos en relación a los distintos modos y al acoplamiento entre cuerdas.




58

Figura 2.6. Presión sonora frente al tiempo para un tono de piano.

La sección Release, o de liberación, implementa el efecto de retirar el dedo de la tecla o bien de bajar los apagadores, en caso de que el pedal derecho estuviera accionado.

Figura 4.14. Envolvente ADSR aplicada a la forma de onda resultante.

Un sistema típico de síntesis por tabla de onda almacena datos muestreados de la sección de ataque y de la sección permanente del sonido de piano. El sonido inicial es reproducido solamente una vez, mientras que el sonido permanente se repite mediante un bucle hasta que termina la nota. La longitud de las secciones de Ataque y Decaimiento de la envolvente




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generalmente son fijas para un instrumento concreto, mientras que las otras suelen ser configurables por el usuario

Longitud de Bucle

La longitud del bucle, medida en número de muestras debe ser igual a un número entero de periodos del tono fundamental del sonido reproducido. En caso contrario se obtiene un indeseable desplazamiento del pitch. En la práctica la longitud del segmento de bucle para un piano suele ser de varios periodos con respecto a la frecuencia fundamental del tono generado.

Edición de Muestras y Procesamiento

Existe un cierto número de procesos de edición y procesamiento de las muestras para preparar los sonidos muestreados previo a su utilización en un sistema de síntesis por tabla de onda.

En primer lugar, es necesario alinear los extremos del segmento de muestra a repetir en bucle para que sean compatibles. Si la amplitud y la pendiente de la forma de onda al comienzo del segmento no se corresponde con la del final, aparecerá un ruido indeseable o glitch durante la reproducción del bucle.

En segundo lugar, es necesario un procesamiento adicional para comprimir el rango dinámico del sonido con el fin de mejorar la relación señal/ruido. Esta relación está determinada por el tamaño de palabra (número de bits por muestra) y por la amplitud de la señal digitalizada. Los sonidos de piano alcanzan su amplitud de pico muy rápidamente y de forma inmediata comienza a decaer lentamente. Como es sabido, la sensibilidad del oído se ajusta dinámicamente al nivel de señal, así que incluso para un tamaño de palabra pequeño, el nivel de ruido se enmascara cuando el nivel de señal está cercano a la máxima amplitud. Sin embargo, conforme el nivel de señal decae, el oído se vuelve más sensible y el nivel de ruido parecerá incrementarse. Usar un gran tamaño de palabra de memoria, reduce el ruido de cuantización pero aumenta también el espacio a utilizar en memoria.

Por tanto, se utilizan técnicas de compresión para mejorar la relación señal/ruido de cuantización que consisten en reducir el rango dinámico de las muestras de sonido almacenadas en memoria. Los datos muestreados son descomprimidos durante la reproducción para restaurar el rango




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dinámico de la señal. Esto permite el uso de muestras con una longitud menor de palabra de memoria. Existen diferentes técnicas de compresión que pueden ser usadas para comprimir el rango dinámico de una señal.

Además existe un cierto efecto de compresión inherente en la técnica del looping descrita anteriormente, ya que si el procesador y el convertidor A/D usados en la reproducción tienen un rango dinámico mayor que el disponible en memoria, la aplicación de una envolvente de decaimiento tendrá un efecto similar a la descompresión mencionada en el párrafo previo.

Desplazamiento del Pitch (Pitch Shifting)

Con el fin de optimizar el espacio en memoria disponible, los sistemas de síntesis por tabla de onda utilizan técnicas de desplazamiento o transposición del pitch, o frecuencia fundamental del tono, para generar diferentes notas a partir de un único sonido muestreado. Por ejemplo, si una célula de memoria contiene el sonido muestreado del Do central de un piano, esta misma muestra puede usarse para generar Do# o Re, es decir sonidos situados uno o dos semitonos sobre la nota muestreada.

El desplazamiento de pitch se consigue accediendo a la muestra almacenada a diferentes tasas. Por ejemplo, si se reproducen las muestras de una en una, secuencialmente obtendremos el pitch original, mientras que si se reproducen de dos en dos, el pitch resultante tendrá una frecuencia doble que la original y por tanto el sonido percibido será una octava superior.

En el ejemplo anterior, el puntero que accede a memoria se incrementa solo un número entero de muestras (de una en una, o de dos en dos). Esto permite solamente un número limitado de desplazamientos en memoria. En un caso más general, el puntero a memoria podría constar de una parte entera y una parte fraccional y el incremento podría ser un número fraccionario de muestras. El puntero a memoria se denomina a menudo acumulador de fase, y el valor del incremento, incremento de fase. Por ejemplo, si el valor del incremento de fase fuera de 0.5, el tono decrementaría una octava. Para un incremento de fase de 12 2 (1.05946), la frecuencia del tono se incrementaría en un semitono.




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Evidentemente, cuando el valor del incremento no es entero, el valor deseado se encuentra entre dos muestras disponibles. En la figura se representa un esquema simplificado de direccionamiento en el cual, tanto la dirección como el valor del incremento tienen una parte entera y fraccionaria de 4 bits. En el ejemplo, el valor del incremento es 1.5 muestras. Los sistemas más simples simplemente ignoran la parte fraccional de la dirección cuando determinan el valor a enviar al convertidor analógico digital. Un diagrama de un sistema simple puede verse en la siguiente figura

Figura 4.15. Esquemas de direccionamiento para sistemas sin interpolación.

Supongamos que la nota almacenada es Do. Para averiguar el tono resultante de multiplicar la frecuencia por 1.5, calculamos en cuántos semitonos hemos de aumentar la frecuencia original para lograr una frecuencia 1.5 mayor.

5.1)2(12 =n




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Donde, tomando logaritmos y redondeando al entero más próximo, se obtiene:

701955.72log5.1log

12≈==n

Un aumento de 7 semitonos significa que la nota generada a partir del Do inicial es Sol. En este caso se podría haber deducido directamente a partir del incremento

23 que corresponde uno de los intervalos básicos, en

concreto al intervalo de quinta justa.

Sin embargo, los sistemas más sofisticados, pueden realizar algún tipo de interpolación matemática entre los datos disponibles para obtener un valor más adecuado a reproducir. La precisión en frecuencia será la misma en ambos casos, pero la salida estará severamente distorsionada en los sistemas que no usen interpolación

Figura. 4.16. Esquema de direccionamiento con interpolación

Existen diferentes algoritmos para interpolar entre dos valores de muestras. El más simple es interpolación lineal, consistente en la media ponderada de las dos muestras más cercanas, con la parte fraccional de la dirección usada como constante de ponderación. Por ejemplo si el puntero




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de dirección indica una dirección de )( Kn + , donde n es la parte entera y K la fraccional, entonces el valor interpolado puede ser calculado como:

)1()()()1()( ++−=+ nsKnsKkns (4.18)

Donde s(n) es la muestra n-ésima de la señal. Aunque pueden utilizarse técnicas más sofisticadas de interpolación para reducir la distorsión, éstas suelen ser costosas computacionalmente y no suelen utilizarse más que en instrumentos de alta precisión.

Otra técnica utilizada para suavizar el desplazamiento del pitch es el sobremuestreo (Oversampling). De esta forma, los datos interpolados durante la reproducción estarán más cercanos al valor real, debido al incremento en el número de puntos para representar la forma de onda. Evidentemente, esto tiene un alto coste en términos de requerimientos en memoria.

En muchos casos, la mejor aproximación consiste en utilizar interpolación lineal combinada con varios grados de sobremuestreo en los casos que sean necesarios. La interpolación lineal proporciona una precisión razonable en la mayoría de los casos, mientras que para los tonos que necesiten mayor precisión, como por ejemplo en los agudos, se emplea sobremuestreo. El efecto combinado de ambos puede producir excelentes resultados

Divisiones (Splits)

Cuando el pitch de un sonido muestreado se modifica mediante desplazamiento, el timbre del sonido también se ve afectado. El efecto pasa desapercibido para pequeños cambios en el pitch, del orden de unos pocos semitonos. Pero para un gran desplazamiento del pitch, la distorsión es considerable. Así que para obtener un sonido natural de piano, y cubrir el rango completo del instrumento, es necesario tomar un número diferente de muestras, de forma que cada una cubra un rango de notas. La implementación resultante se conoce a menudo como instrumento multimuestreado. Esta técnica puede concebirse como un teclado dividido en distintos campos, con una nota representativa para cada campo. Cada uno de estos campos se conoce como división o split

El término división en velocidad o Velocity Splits hace referencia al uso de diferentes muestras para diferentes velocidades de nota (p, mf, f), de forma que una muestra se utiliza para una nota particular cuando es tocada




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suavemente (p), mientras que una muestra diferente se utiliza para la misma nota si es tocada a gran dinámica (f). Esta técnica no suele utilizarse en pianos de gama baja debido al coste en memoria, aunque se incluye en casi todos los de la gama media y alta.

Ruido de Aliasing

Las técnicas de interpolación para desplazamiento del pitch descritas anteriormente también pueden resultar en la introducción de ruido de aliasing en el sonido del piano. La generación de ruido de aliasing, y no solo la distorsión del timbre, puede también limitar la cantidad de desplazamiento de pitch que puede aplicarse a un sonido muestreado. Los sonidos ricos en contenido armónico a alta frecuencia (como los sonidos en forte) tendrán generalmente más problemas con ruido de aliasing. Un filtrado paso-bajo aplicado tras la interpolación puede ayudar a eliminar el indeseado efecto del ruido de aliasing así como las técnicas de sobremuestreo.

Multicapa (Layering )

El término Layering hace referencia a una técnica en la cual se utilizan múltiples sonidos para cada nota. Se utiliza en pianos de gama alta para generar sonidos de gran riqueza.

Filtrado digital

Como se mencionó previamente, el filtrado paso-bajo puede ser utilizado para eliminar ruido generado durante el proceso de desplazamiento de pitch. Existen también otras aplicaciones del filtrado digital en la generación del timbre para mejorar el sonido resultante. En estas aplicaciones, la implementación del filtro es polifónica, es decir, que un filtro distinto es implementado para cada voz y que debe ser ajustable dinámicamente en parámetros como su frecuencia de corte o su factor de calidad

Como ya sabemos, para el sonido del piano, el carácter del tono cambia drásticamente en función del nivel de amplitud, siendo muy brillante en los tonos fuertes y más suave en los débiles. Esto puede solucionarse con la técnica de división en velocidad comentada anteriormente, pero también pueden usarse filtrado digital implementando un filtro paso de baja con una frecuencia de corte que varíe en función de la velocidad de la nota. Este filtro digital ajusta dinámicamente el espectro en




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frecuencia de la señal resultante en función de la velocidad de la nota, permitiendo una recreación muy eficaz de este efecto pianístico tan importante.

Otra importante aplicación del filtrado digital es el suavizado de las transiciones entre muestras. Como se comentó, las muestras almacenadas llevan incorporado este suavizado haciendo corresponder las muestras inicial y final de cada segmento. Sin embargo al realizar desplazamiento del pitch, puede perderse esta correspondencia. Por ello suele utilizarse algún tipo de filtrado para suavizar este efecto.

También en la técnica de división del teclado, en la frontera entre divisiones, existen notas provenientes de diferentes muestras. Una de estas muestras ha sido generada aumentando el pitch mientras que la otra puede provenir de una disminución del pitch, y por tanto el timbre de cada nota puede ser significativamente diferente. Este problema puede aliviarse, empleando un filtro digital que use el número de nota para controlar las características del filtro. Dichas características se diseñan para compensar el desplazamiento del pitch asociado con la división del teclado en splits.




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4.2. Modelos físicos Al contrario que los modelos de señal, que buscan modelar la señal resultante, la principal característica de los modelos físicos es que describen los sistemas de generación del sonido con respecto a su comportamiento físico. Dichos sistemas pueden reconstruirse bien a partir del conocimiento de las leyes físicas que gobiernan las partes vibrantes del sistema y expresándolas como ecuaciones diferenciales, o bien directamente a partir del comportamiento de la solución de la solución de dichas ecuaciones.

Existen dos razones fundamentales para utilizar modelos físicos de señal. Una es la comprensión del fenómeno físico involucrado en la producción del sonido y otra es la síntesis misma del sonido. Pero si el propósito es modelar un piano real y reproducir su tono lo más fielmente posible, estas dos motivaciones están inexorablemente relacionadas y la precisión del sonido sintetizado validará el diseño del modelo físico.

Los modelos físicos dan una respuesta realista a la interacción del pianista, dado que los parámetros del modelo están directamente relacionados con las características físicas del instrumento y por consiguiente con la gesticulación del pianista. Estos modelos son generalmente complicados y requieren un elevado coste computacional.

Un problema añadido del modelado físico es que, para cada instrumento, se necesita un modelo completamente nuevo para producir un sonido realista. Si los fabricantes quieren ofrecer una amplia variedad de instrumentos, necesitan sistemas hardware más flexibles, como puede ser un dispositivo de propósito general, es decir un ordenador, con los consiguientes problemas de síntesis en tiempo real, debido a la gran cantidad de parámetros a procesar.

Los músicos experimentados querrán tener control total sobre el instrumento, para conseguir interpretaciones realmente expresivas, pero los amateurs prefieren crear sonidos convincentes sin necesidad de años de práctica. Este problema limita por ahora el modelado físico a sintetizadores especialitos más que a módulos de propósito general, panorama que puede cambiar con la creciente velocidad de crecimiento de la potencia de los procesadores.




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4.2.1. Método de diferencias finitas El primer método usado en modelado físico estaba basado en ecuaciones de diferencias finitas. El principio básico era obtener la ecuación matemática que describe el movimiento vibratorio y resolverla en un conjunto finito de puntos. La ecuación en diferencias finitas así obtenida simula la propagación de las ondas en el sistema. Hiller y Ruiz son los primeros en proponer el primer método de diferencias finitas para propósitos de síntesis de sonido. Chaigne y Askenfelt, proponen uno de los modelos más realistas de cuerda de piano percutida, combinando el trabajo de Hiller y Ruiz con un modelo no-lineal de martillo. Un modelo más completo de piano, tomando en consideración la tabla de armonía fue presentado por Hikichi y Osaka. Descripción del fenómeno sonoro El piano es un ejemplo de cuerda golpeada de forma no lineal. La descripción física es simple en el sentido de que sólo la velocidad del martillo constituye una variable de control cuando la cuerda es golpeada, puesto que el dedo que presiona la tecla no tiene conexión mecánica significativa con el martillo una vez que éste es lanzado hacia la cuerda. Este hecho es el responsable de que el sistema MIDI proporcione una representación suficiente para describir la ejecución pianística, ya que la dimensionalidad del control (dejando a un lado los pedales), se confina a un grado de libertad por tecla, el parámetro velocidad. Las cuerdas del piano, son uniformes, bastante tensas y con un terminación casi rígida. Por tanto, se comportan de modo altamente lineal bajo condiciones normales de ejecución. El modelo de guiaonda digital para modelado de cuerdas resulta por tanto muy conveniente para una cuerda de piano individual. Sin embargo, otros factores nada despreciables como la rigidez de las cuerdas o el acoplamiento entre las mismas incrementan el coste de la implementación. Menos importante es la existencia de los dos modos de vibración longitudinal y transversal, así como el acoplamiento entre todas las cuerdas cuando el pedal derecho está activado. Con el fin de simplificar el sistema, tomaremos inicialmente en consideración solamente las vibraciones en el plano vertical para una sola cuerda por tecla. Por supuesto, en un sistema de alta calidad, debe




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implementarse el número apropiado de cuerdas dado que proporcionan efectos sonoros importantes en el sonido pianístico.

La tabla de armonía y la caja de madera pueden considerarse ampliamente lineales e invariantes en el tiempo. Sin embargo, al ser grandes objetos vibrantes, poseen más modos resonantes en el rango de audición que los objetos pequeños. Por tanto la propagación en la tabla de armonía así como en el recubrimiento no puede confinarse a una sola dimensión como en la cuerda. A pesar de que sólo la velocidad es necesaria para especificar el estado del martillo antes de golpear la cuerda, la colisión es altamente no-lineal, debido a la rigidez no-lineal de los martillos, que ya se discutió en la primera sección. Ecuación de la cuerda vibrante En la figura se muestra un esquema de la cuerda vibrante de un piano Figura 4.17. Cuerda vibrante ideal La ecuación de ondas para la cuerda vibrante ideal (sin pérdidas, lineal y flexible) es:

yyK &&ε=′′ (4.19) Donde K es la tensión de la cuerda, ε es la densidad lineal de masa, y es el desplazamiento de la cuerda desde su nivel de equilibrio y las derivadas representan:

),( xtyy = ),( xtyt

y∂∂

=& ),( xtyx

y∂∂

=′




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La ecuación de ondas Ec. (4.19), puede interpretarse a la luz de la segunda ley de Newton maF = , en una escala microscópica. Dado que estamos interesados en las vibraciones transversales de la cuerda, la fuerza recuperadora relevante (por unidad de longitud) viene dada por la fuerza restauradora de los materiales elásticos, es decir, yKF ′′= . Es proporcional a la tensión de la cuerda K y depende del desplazamiento con respecto al nivel de equilibrio. Esta fuerza recuperadora es equilibrada en todos los puntos por la fuerza inercial por unidad de longitud de la cuerda que viene dada por la ley yF &&ε= , donde y&& no es más que la aceleración transversal y ε la densidad de masa. Para crear un modelo computacional a partir de una ecuación diferencial, aplicamos la aproximación de diferencias finitas, mediante el cual, la diferenciación se sustituye por una diferencia finita.

TxTtyxtyxty ),(),(),( −−

≈& (4.20) X

xTtyxtyxty ),(),(),( −−≈′ (4.21)

Donde T es el intervalo de muestreo temporal usado en la simulación y X es el intervalo de muestreo espacial. Estas aproximaciones pueden derivarse directamente de la definición de derivada parcial. Las aproximaciones se vuelven exactas tomando límite cuando los intervalos de muestreos tienden a cero. Para las derivadas de segundo orden, las aproximaciones de diferencias finitas se definen como:

2

),(),(2),(),(T

xTtyxtyxTtyxty −+−+≈&& (4.22)

2

),(),(2),(),(X

XxtyxtyXxtyxty −+−+≈′′ (4.23)

Sustituyendo la aproximación de diferencias finitas o FDA en la ecuación de ondas se obtiene:

ε=−+−+2

),(),(2),(X

XxtyxtyXxtyK 2

),(),(2),(T

xTtyxtyxTty −+−+ (4.24)




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Que puede resolverse obteniendo una fórmula recursiva para el desplazamiento de la cuerda y:

[ ] ),(),(2),(),(2),(),( 2

2

xTtyxtyXxtyxtyXxtyX

KTxTty −−+−+−+=+ε

(4.25)

En una implementación práctica, es común tomar 1=T , TKXε

= , y

evaluar la recursión en los enteros nTt = y mXx = para obtener la ecuación en diferencias:

),1()1,()1,(),1( mnymnymnymny −−−++=+ (4.26) Por consiguiente, para actualizar los valores del desplazamiento de la cuerda )1( +ny , necesitamos los valores anteriores en los instantes n y

1−n , para cualquier punto m de la cuerda. La adición a la ecuación de onda de términos correspondientes a fenómenos de pérdidas y dispersión proporciona más términos de la forma

),( kmlny −− . Estos términos pueden agruparse bajo una forma más general

∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

= ∂∂∂∂

=∂∂

∂∂

0 0,

0 0,

),(),(m

nm

nm

nnm

klk

lk

llk xt

xtyxt

xty βα (4.27)

Descomposición de onda viajera La ecuación de ondas unidimensional yyK &&ε=′′ admite como solución general:

)()(),(cxty

cxtyxty lr ++−= (4.28)

que se conoce como solución de D’Alembert

Donde εKc = es la velocidad de onda. )(cxtyr − representa la onda

viajera desplazándose hacia la derecha mientras que )(cxtyl + representa la

onda viajera desplazándose hacia la izquierda. Ambas funciones deben ser doblemente diferenciables.




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Esta solución tiene la ventaja de que una función de dos variables

),( xty ha sido reemplazada por dos funciones de una sola variable en unidades temporales, lo que reduce notablemente el cálculo computacional. Además cada onda viajera satisface la ecuación de ondas ideal:

rrrr ycc

xtytcc

xtyx

y &1)(1)( −

=−∂∂−

=−∂∂

=′ rrr yc

yc

y &&&& 2

2 11=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=′′ (4.29)

llll ycc

xtytcc

xtyx

y &1)(1)( =−

∂∂

=+∂∂

=′ lll yc

yc

y &&&& 2

2 11=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=′′ (4.30)

Por lo que ycy ′′= 2&& para ambas ondas viajeras Una solución para la ecuación de ondas de la cuerda vibrante puede hallarse mediante una exponencial de la forma:

vxstexty +=),( (4.31) Sustituyendo en la ecuación de onda Ec. 4.19. se obtiene:

ysyyKvyK 22 εε ===′′ && De donde 22

2

cvsK

==ε

(4.32)

Así que la solución puede escribirse como:

)(),( cxtsexty ±= (4.33) Por superposición, una solución más completa es:

)/()/( )()(),( cxtsi

cxtsi

i

ii esAesAxty +−−++=∑ (4.34)

Donde )( isA+ y )( isA− son funciones arbitrarias de variable compleja. Tomando jws = y extendiendo la suma a una integral, tenemos de nuevo la solución D’Alembert.

)()(),(cxty

cxtyxty lr ++−= (4.28)




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4.2.2. Síntesis modal La síntesis modal está basada en la premisa de que cualquier objeto productor de sonido, puede ser representado como un conjunto de subestructuras vibrantes, que quedan definidas por su caracterización modal. Las subestructuras están acopladas entre sí y pueden responder a excitaciones externas. Este método es general dado que puede ser aplicado a estructuras de complejidad arbitraria. Sin embargo, el coste computacional necesario, se incrementa con rapidez al aumentar la complejidad del sistema lo que impone serias aplicaciones prácticas a su implementación, sobre todo a la hora de desarrollar instrumentos musicales en tiempo real. La caracterización modal para una subestructura dada, consiste en las frecuencias y los coeficientes de amortiguamiento de los modos resonantes de la estructura así como la forma de cada uno de esos modos. Un modo resonante se define esencialmente como un movimiento particular del sistema en el que cada punto de la estructura vibra con la misma frecuencia. Cualquier movimiento arbitrario de esa estructura puede ser expresado como la suma de las contribuciones de cada uno de esos modos. Los modos son excitados por una fuerza externa aplicada a un punto dado de la estructura. La energía de excitación se distribuye entre los modos según la forma de la excitación. Se asume normalmente que no existe intercambio de energía alguno entre los modos. En la práctica, el patrón de vibración resultante no puede ser completamente descrito por un modo único, sino por la suma de infinitas contribuciones. No obstante, para poder implementar la respuesta numéricamente, la estructura continua debe ser dividida en un conjunto finito de puntos. La caracterización modal puede ser obtenida analíticamente para estructuras vibratorias simples, a partir de las ecuaciones diferenciales que gobiernan su movimiento. Para estructuras complejas, el cálculo directo de los datos no es posible y puede utilizarse un análisis basado en medidas experimentales. Para una estructura mecánica dividida en N puntos, la velocidad instantánea de cada punto puede calcularse en función de la contribución de cada modo y de la fuerza externa ejercida. Conocidos estos, puede calcularse la velocidad de cada punto del sistema lo que proporciona la respuesta sonora buscada.




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4.2.3. Guiado digital de Onda A partir del algoritmo Karplus-Strong (KS) se desarrolla el concepto de Síntesis por Guiaonda Digital. Este algoritmo es una extensión de la técnica de síntesis por tabla de onda, donde el contenido de dicha tabla evoluciona con el tiempo. La tabla de onda cambia cada vez que una muestra es leída. Un filtro paso de baja implementa el decaimiento del tono.

Figura 4.18. Implementación del algoritmo KS La función de transferencia del filtro es

)1(21)( 1−+

=z

zH (4.35)

Julius O. Smith ha extendido este algoritmo para desarrollar el concepto de Síntesis de Guiaonda Digital. El enfoque mediante guiaonda digital, proporciona eficientes modelos computacionales para síntesis de sonidos de piano. Este método está relacionado con el de las diferencias finitas pues ambos están basados en la discretización de la ecuación de onda. La eficiencia de esta técnica reside en el hecho de concentrar todas las pérdidas y dispersión de la estructura en un único punto (asumiendo que el sistema es LTI). Las guiaondas digitales han sido desarrolladas específicamente para síntesis de piano.




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Guiaonda digital Una guiaonda digital se define como una línea de retardo bidireccional de una cierta impedancia de onda R Figura 4.19. Guiaonda digital. Una simulación muestreada de onda viajera para ondas propagándose en cuerdas ideales. Cada línea de retraso contiene una onda viajera acústica muestreada, una viajando hacia la izquierda y otra hacia la derecha, ya que la vibración de una cuerda ideal puede describirse como la suma de dos ondas viajeras en diferentes direcciones. Esta línea de retraso bidireccional o guiaonda digital puede modelar cualquier sistema acústico unidimensional, como puede ser la cuerda de un piano. Por supuesto en cuerdas reales, el modelo unidimensional debe incluir pérdidas y dispersión, lo que puede tomarse en consideración mediante la inserción de filtrado. Las variables físicas como presión, fuerza, velocidad…. , se obtienen sumando componentes de onda viajera como se muestra en la figura: Figura 4.20. Obtención de una señal física de una guiaonda digital usando puntos de extracción.




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La magnitud física buscada se obtiene sumando las dos ondas viajeras. Una onda viajera en sí misma no tiene significado físico al menos que la señal en sentido opuesto sea nula. Las ondas viajeras son eficientes para la simulación, pero no pueden medirse directamente en la realidad física. Modelado por guiaonda digital Para transportar la solución de onda viajera al dominio digital es necesario muestrear la amplitud de las ondas viajeras a una tasa de

Tfs /1= muestras por segundo donde T es el periodo de muestreo. La elección natural para el intervalo de muestreo espacial X es la distancia que recorre el sonido en un periodo de muestreo T, cTX = . El muestreo se lleva a cabo formalmente mediante el cambio de variables:

mXxm = (4.36) nTtn =

Sustituyendo en la solución de D’Alembert (4.28) tenemos:

[ ] [ ] )()()()(

)/()/(),(

mnymnyTmnyTmny

cmXnTycmXnTyxty

lr

lrmn

++−=++−

=++−=−+

(4.37)

Donde hemos llamado )()( kTyky r=+ , )()( kTyky l=−

El término )( mny −+ puede interpretarse como el resultado de un retraso de m muestras a la señal cuyo valor es )(ny+ , mientras que el término )( mny +− puede verse como la señal de entrada a una línea de retraso cuya salida es )(ny− . Esto lleva al siguiente esquema: Figura 4.21. Simulación digital de una guiaonda sin pérdidas.




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Dado que )(ny+ es la componente que viaja hacia la derecha, le asignamos el rail superior. Análogamente ocurre para )(ny− . Nótese que la posición a lo largo de la cuerda mCTmXxm == está colocada de izquierda a derecha en el diagrama, dando así una interpretación física a su horizontalidad. Finalmente, las ondas viajeras en ambos sentidos pueden sumarse para generar una salida con significado físico de acuerdo a la fórmula:

)()(),( mnymnyxty mn ++−= −+ (4.37) Por tanto, podemos calcular el desplazamiento físico de la cuerda en cualquier intervalo de muestreo mx mediante la simple suma de los raíles superior e inferior, como puede verse en la figura en las posiciones 0=x y

Xx 3= . El diagrama es similar a las estructuras de filtrado en escalera o lattice, excepto por los retrasos en el raíl superior, la ausencia de uniones de scattering, y la interpretación física directa. Para obtener un filtro en escalera bastaría simplemente con introducir una terminación rígida en el límite derecho y conmutar los retrasos del raíl superior al raíl inferior. Cualquier guiaonda ideal unidimensional puede simularse de esta forma. Es importante advertir que la simulación es exacta en los instantes de muestreos, dentro de la precisión numérica de las muestras. Para evitar el aliasing asociado al muestreo, se requiere que todas las formas de onda que viajan sobre la cuerda sean inicialmente limitadas en banda a la mitad de la frecuencia de muestreo. En otras palabras, el espectro de las señales )()( tyty lr no debe exceder la frecuencia temporal de muestreo

Tfs 1= , así como las frecuencias espaciales no pueden exceder la mitad de la frecuencia espacial de muestreo. Un diagrama de simulación más compacto que permite representar simulaciones de guiaondas tanto muestreadas como continuas se muestra en la figura. La figura enfatiza que la guiaonda ideal sin pérdida es simulada por una línea de retraso bidireccional, y que la interpolación espacial limitada en banda puede usarse para obtener un resultado para una posición x que no sea múltiplo de cT. La interpolación limitada en banda sirve además para evaluar la forma de onda en un tiempo arbitrario que no sea necesariamente un múltiplo de T




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Figura 4.22. Diseño simplificado de la simulación de una guiaonda ideal Idealmente, la interpolación limitada en banda se implementa mediante la convolución de una función sampling sinc(x)= xx ππ /)sin( con las muestras de señal. Específicamente, para evaluar la señal en un tiempo arbitrario ot , basta convolucionar la señal muestreada )( ntx con la función sinc [ ]Ttt on /)( − . Esta función es la respuesta impulsiva del filtro ideal cuya frecuencia de corte es la mitad de la tasa de muestreo. En la práctica, la función sinc de interpolación debe ser enventanada a una duración finita. Lo que significa que el filtro paso bajo asociado deberá exhibir una banda de transición en la que la respuesta frecuencial pueda caer a cero a la mitad de la tasa de muestreo. La calidad de la interpolación en la banda de paso puede ajustarse a la resolución del oído humano eligiendo un producto ventana por ancho de banda de transición suficientemente largo.




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Relación con la recursión en diferencias finitas Puede demostrarse que la técnica de simulación por guiaonda digital es equivalente a la recursión producida por el esquema de aproximación por diferencias finitas aplicado a la ecuación de ondas que proporcionaba:

),1()1,()1,(),1( mnymnymnymny −−−++=+ (4.26)

Para comparar esta ecuación con la descripción por guiaonda sustituimos la descomposición en onda viajera

[ ]

),1()1()1(

)1()1()1()1()1()1()1()1())1(())1(())1(())1((

),1()1,()1,())1(())1((),1(

mnymnymny

mnymnymnymnymnymnymnymnymnymnymnymny

mnymnymnymnymnymny

+=++++−=

=−++−−−−+++−++++−−=

=+−+−−−−++−−+++++−=

−−−++==+++−+=+

−+

−+−+−+

−+−+−+

−+

Luego observamos que efectivamente el resultado de la recursión FDA es exacto en el caso sin pérdidas, pues es equivalente al método de simulación por guiaonda digital, que es exacto en los instantes de muestreo. La última identidad puede rescribirse como:

))1((())1(())1(())1((

)1()1(),1(

+++−−=

+++−+=

=++++−=+

−+

−+

−+

mnymnymnymny

mnymnymny (4.27)

Lo que significa que el desplazamiento de la cuerda en el tiempo

1+n , posición m , es la superposición de las ondas viajeras derecha e izquierda en las posiciones 1−m y 1+m respectivamente en el tiempo n . En otras palabras, la variable física puede calcularse para el siguiente instante como la suma de las componentes de onda viajera a izquierda y derecha.




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Ecuación de la cuerda vibrante con pérdidas En cualquier cuerda vibrante real, hay pérdidas de energía debidas a las terminaciones flexibles, rozamiento con el aire y fricción interna en la cuerda. Aunque las pérdidas en los sólidos varían generalmente de un modo complicado con la frecuencia, pueden aproximarse normalmente con un pequeño número de términos aditivos en la ecuación de ondas. En el caso más simple, la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la velocidad transversal de la cuerda.

yyyK &&& µε +=′′ (4.28) En este caso, las pérdidas son independientes de la frecuencia. Un modelo más realista de aproximación de las pérdidas incluiría más derivadas temporales de orden impar, proporcionando pérdidas dependientes con la frecuencia. Tomando vxstexty +=),( en la ecuación de ondas, tenemos:

syysyyyKvyK µεµε +=+==′′ 22 &&& ssKv µε += 22 (4.29)

)1()1( 2

22

22

scs

ss

KKssv

εµ

εµεµε

+=+=+

=

)1(sc

svεµ

+±= (4.30)

Donde c es la velocidad de onda en el caso sin pérdidas. Para altas frecuencias (gran s ), o cuando el coeficiente de fricción µ es pequeño en comparación con la densidad de masa ε , podemos aproximar

ss εµ

εµ

211)1( 2

1

+=+ (4.31)

De modo, que para bajas pérdidas, obtenemos la siguiente relación entre frecuencia temporal y espacial

)2

(1εµ

+±≈ sc

v (4.32)




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La solución de la ecuación de ondas es por tanto:

cx

cxts

cxsstvxst eeeexty ε

µεµ

2)()

2(

),(±±+±+ === (4.33)

Las componentes de onda viajera a la derecha y a la izquierda son

respectivamente: )(

2 cxts

cx

ee−−

εµ

y )(

2 cxts

cx

ee+

εµ

. Ambas decaen exponencialmente en la dirección de propagación. Tomando jws = , y usando superposición para construir formas arbitrarias de onda, se obtiene la solución general en el dominio del tiempo:

)()(),( 22

cxtye

cxtyexty l

cx

rcx

++−=−

εµ

εµ

(4.34)

Muestreando ambas componentes en intervalos temporales de separación T y espaciales de separación X=cT obtenemos:

[ ] [ ])()(

)()(

)/()/(),(

22

22

mnygmnyg

TmnyeTmnye

cmXnTyecmXnTyexty

mml

mT

r

mTl

cmX

rc

mX

mn

++−=

=++−=

=++−=

−−+

−

−

εµ

εµ

εµ

εµ

(4.35)

Donde εµ2T

eg−

= es el factor de pérdidas. El diagrama de simulación para la guiaonda digital con pérdidas se obtiene directamente: Figura 4.23. Simulación discreta de la guiaonda ideal con pérdidas. Como en el caso sin pérdidas, la simulación en tiempo discreto de la solución de onda viajera es una implementación exacta de la solución en tiempo continuo en los instantes de muestreo. Es importante observar que las pérdidas, que están distribuidas en la solución continua son




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consolidadas o aglomeradas en posiciones discretas en la simulación. El factor de pérdidas g, que resuma la pérdida distribuida actúa en un intervalo de muestreo. La aglomeración de las pérdidas distribuidas no introduce error de aproximación alguno en los puntos de muestreo. Además, la interpolación limitada en banda puede ofrecer reconstrucción precisa entre muestras, con la única restricción de que todas las excitaciones iniciales estén limitadas en banda a la mitad de la tasa de muestreo. Esta consolidación de las pérdidas puede realizarse a mayor escala, de cara a reducir el coste computacional, conmutando las pérdidas de las secciones internas y sin observación de la guía de onda y consolidándolas en un número mínimo de puntos. Dado que la simulación digital es lineal e invariante en el tiempo, el diagrama de la figura 4.24. es exactamente equivalente al diagrama previo de la figura 4.23. Figura 4.24. Aglomeración de las pérdidas en los instantes de observación




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Modelado del sistema completo La tabla de armonía y el cuerpo del piano pueden modelarse fácilmente en el sentido de que son componentes altamente lineales, e invariantes en tiempo. Los problemas de implementación se derivan de su gran tamaño, ya que los objetos vibrantes de grandes dimensiones tienen generalmente mayor cantidad de modos resonantes en el rango de audición humana que los objetos pequeños. Además la propagación de guiaonda en el cuerpo del piano no está confinada a una dimensión como en la cuerda. Esto significa que serían necesarias tres estructuras de guiaonda para modelar la tabla de resonancia y el cuerpo del piano, lo que daría lugar a modelos complejos y computacionalmente muy costosos. Esta dificultad puede superarse incluyendo la respuesta compleja del elemento vibrante en la propia excitación (modificada adecuadamente, claro está, por la colisión martillo-cuerda). La misma técnica puede aplicarse igualmente a la particularmente compleja aportación del número de cuerdas que vibran por simpatía al presionar el pedal derecho o sostenuto. La conmutatividad de estos elementos solo es posible debido a que poseen propiedades altamente lineales. El modelado del martillo resulta algo más complejo. A pesar de que solo la velocidad es necesaria para especificar el estado inicial previo a la colisión, sabemos ya que ésta es altamente no-lineal. Esta no-linealidad proviene del fieltro que recubre el martillo, que al comprimirse actúa como un muelle de constante elástica variable. Además, deben tenerse en cuenta casos complejos como la posibilidad de que el martillo golpee la cuerda una segunda vez antes de que la primera excitación haya desaparecido completamente. Exceptuando al martillo, el resto del instrumento exhibe características que pueden ser aproximadas satisfactoriamente usando un modelo lineal. La observación clave a la hora de modelar el instrumento es notar que la interacción entre martillo y cuerda consiste esencialmente en unos pocos eventos discretos para cada golpe de martillo siempre y cuando la cuerda se encuentre inicialmente en reposo. Por tanto, la interacción martillo-cuerda puede aproximarse mediante uno o pocos impulsos discretos filtrados convenientemente para incluir la no-linealidad del martillo.

Cuando el martillo golpea por primera vez la cuerda en reposo encuentra una impedancia equivalente a una cuerda de longitud infinita.




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Por tanto, el pulso resultante de la colisión puede ser modelado como un impulso unitario filtrado convenientemente. La perturbación se propaga en ambas direcciones pero dado que el martillo golpea cerca del clavijero, la onda reflejada en la clavija regresará al punto de colisión antes de que tenga lugar cualquier otra interacción. Puesto que la onda reflejada es una versión ligeramente filtrada del pulso original puede representarse también por un impulso unitario filtrado. Este pulso secundario discurre sobre el martillo. Si el martillo ya no está en contacto con la tecla no hay más interacción y el pulso original es la excitación completa. Sin embargo, esto no es lo usual debido a la cercanía del clavijero al punto de colisión, lo que significa que se emitirá un nuevo pulso que viajará alejándose del punto de colisión de una forma similar a la excitación original. En pianos reales, hay generalmente dos o tres interacciones antes de que el martillo se separe de la tecla, excepto para tonos muy agudos. En gran medida, el número de impulsos generados viene determinado por la cuerda que es golpeada. Por tanto, dado el número de la cuerda y la velocidad del martillo, junto con la actual velocidad de cuerda, se puede predecir de forma aceptable la amplitud y cronología de todos los impulsos. Existe sin embargo una relativa imprecisión que ignoraremos en relación con el hecho de que cuando el martillo golpea una cuerda que ya está vibrando, el historial completo de la vibración de la cuerda interviene en los detalles de la interacción martillo-cuerda. Afortunadamente, este es un efecto de segundo orden que puede no ser deseable en la simulación. Todo pianista ha observado alguna vez una nota inesperadamente brillante, correspondiente quizá a la colisión de una cuerda vibrante cuando ésta se aproxima al martillo, y que supone una ruptura de la continuidad dinámica en el caso de un pianissimo. De modo que quizá supone una mejora el hecho de eliminar la incertidumbre en la interacción martillo-cuerda. En caso contrario, puede añadirse un grado adecuado de impredecibilidad introduciendo perturbaciones aleatorias en los niveles del impulso de colisión en función de la amplitud de las vibraciones previas al golpe de martillo. De forma más precisa, la velocidad de la cuerda en el momento del impacto sv puede usarse para corregir apropiadamente la amplitud del impulso de colisión.

La amplitud de cada impulso de colisión determina la configuración del filtro que convierte el impulso unitario en la forma de onda adecuada a las condiciones dadas. Para el golpe inicial, el pulso puede calcularse usando un modelo de martillo de piano golpeando una cuerda con velocidad de colisión shc vvv −= , donde hv denota la velocidad del martillo




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y sv la velocidad de la cuerda. Por el momento, ignoraremos el estado vibratorio de la cuerda previo a la colisión de modo que tomaremos 0=sv y ch vv = . Si el martillo fuera una masa puntual y la cuerda fuera una cuerda ideal sin pérdidas, el pulso tendría una envolvente de decaimiento exponencial y su amplitud sería una función lineal de la velocidad de colisión. El fieltro no-lineal que envuelve al martillo da lugar a un pulso que asciende y decae de forma parecida a la convolución de dos exponenciales. Cuanto más fuerte es el golpe, es decir, cuanto mayor es la velocidad de colisión, más estrecho y abrupto es el pulso resultante. Este es el principal efecto de la no-linealidad del martillo y no puede ser ignorado en la síntesis de sonidos de piano de alta calidad El segundo pulso de colisión, si existe, es un poco más complicado. En este caso, el martillo permanece en contacto cuando el primer eco del golpe original regresa. Por consiguiente, tenemos una colisión entre un martillo estático y un pulso de onda viajera en la cuerda. Si el martillo fuera un elemento lineal, podríamos simplemente calcular los pulsos reflejados y transmitidos a partir de la impedancia del martillo. Sin embargo, dado que es un elemento no lineal, no puede usarse una descripción de impedancia y debe calcularse el pulso reflejado numéricamente usando un modelo no lineal. El supuesto de velocidad inicial cero en la cuerda nos proporciona un importante resultado: todos los impulsos tanto el primario como los secundarios si existen, están predeterminados por la velocidad inicial de colisión. Un ejemplo de la forma de onda resultante de la superposición de los distintos pulsos puede observarse en la figura. Figura 4.25. Impulsos inicial y secundarios




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Tales formas de onda pueden aproximarse mediante impulsos localizados en los picos y convolucionados con un filtro paso-baja que proporcione la envolvente apropiada y que exhiba un decaimiento más abrupto a mayor nivel dinámico. Figura 4.26. Conformación del pulso mediante un Filtro Paso Bajo. La entrada al filtro es una muestra aislada no nula, es decir, un impulso unitario y la salida es el pulso de colisión deseado. Cuando la amplitud de la entrada aumenta, el pulso de salida aumenta en amplitud y disminuye en anchura, lo que significa que el filtro es no-lineal. Sin embargo, para cada impulso específico el filtro opera como un filtro LTI. De esta forma, el instrumento completo es linealizado con respecto a cada velocidad de martillo posible. En la figura se muestra un método para crear la forma de onda mediante la suma de múltiples pulsos con sus niveles dinámicos correspondientes. Figura. 4.27. Creación del pulso de colisión múltiple. Los diversos impulsos proporcionan respectivas respuestas impulsivas que alimentan el sumador. El pulso de colisión resultante del solapamiento de las distintas respuestas impulsivas alimenta el módulo que simula el comportamiento de la cuerda.




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El diagrama del sistema completo de síntesis a priori se muestra en la siguiente figura:

Figura 4.28. Diagrama de síntesis usando el orden natural de los elementos. Para un nivel dinámico específico, el modelo es totalmente LTI, lo que significa que podemos conmutar sus elementos sin perjuicio del resultado final. Por tanto, a fin de aliviar el coste computacional integramos la respuesta de la tabla de armonía y el cuerpo del piano con el filtro que modela la respuesta del martillo. Figura 4.29. Diagrama de síntesis conmutado. El resultado de la conmutación de los elementos sólo es válido para una velocidad de colisión fija. Para diferentes velocidades de colisión, simplemente hay que modificar convenientemente el filtro que engloba tanto la respuesta del cuerpo del piano como del martillo. El modelo funciona debido a que la no-linealidad fuerte del instrumento está localizada únicamente en la colisión martillo-cuerda, y el resto de eventos pueden ser modelados individualmente como elementos LTI en función de la velocidad de colisión. Es importante notar, que si una cuerda es golpeada antes de que el pulso de excitación finalice, la reproducción debe, o bien terminar prematuramente, o bien calcular el solapamiento de las excitaciones.




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En el caso más simple de una única colisión aislada, la estructura final de síntesis se muestra en la siguiente figura Figura 4.30. Diagrama de síntesis en el caso de interacción martillo-cuerda simple. Dado que la reproducción de la excitación contenida en la tabla de excitación debe ser accionada de algún modo, suele usarse la convención de que al cambiar el valor de la velocidad de colisión, se accione la reproducción de la excitación. El valor numérico de dicha velocidad, también es usado para configurar los coeficientes de los filtros paso bajo que proporcionan la envolvente y amplitud adecuada de la respuesta impulsiva. Es aconsejable también añadir un escalado de salida, ya que para obtener la máxima relación señal-ruido en un rango dinámico finito es más conveniente escalar en amplitud la salida final, que la previa a algún filtro digital recursivo. Sin embargo, este escalado distorsionaría la amplitud relativa de una nota con respecto a la anterior que aún esté sonando en la cuerda. Por esta razón, puede usarse escalado antes y después del módulo que implementa la cuerda

Para el caso más complejo de tener en cuenta las sucesivas interacciones por las ondas reflejadas en el clavijero, la estructura resultante es: Figura 4.31. Diagrama de síntesis con triple interacción y filtro compartido.




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En este caso, se necesitan tres punteros diferentes para recorrer la tabla de excitación, que implementan las 3 líneas de retardo de la figura 4.28. El disparo de la primera excitación ocurre cuando cambia el parámetro cv , el segundo comienza tras un retardo fijo correspondiente al tiempo de ida y vuelta desde el martillo al clavijero y el tercero comienza tras el mismo retardo relativo al segundo. El filtro compartido paso bajo se configura en función de la velocidad inicial de colisión. Compartir este filtro corresponde a suponer que los sucesivos impulsos de interacción secundarios son todos de la misma amplitud. Dado que esto no se corresponde con la situación física real, un modelo más realista puede obtenerse usando filtros separados. Figura 4.32. Diagrama de síntesis con triple interacción y filtros separados. Con el fin de ahorrar coste computacional en el filtrado, y bajo la hipótesis de cuerda inicialmente en reposo, podemos considerar que cada pulso secundario es una versión suavizada del anterior y por tanto podemos derivar la forma de onda final a partir de una única excitación y no de tres. Figura 4.33. Diagrama de síntesis mejorado.




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En este caso cada filtro secundario necesita solamente suministrar el efecto del recorrido de ida y vuelta del martillo al clavijero así como la leve atenuación asociada con la reflexión en el punto de colisión. En este caso además puede integrarse con el módulo de excitación para producir la señal deseada Dado que para la mayoría de las teclas, sólo se observan unas pocas interacciones por colisión, este modelo computacional de piano alcanza un gran nivel de realismo. El filtrado correspondiente al cuerpo del piano y a la tabla de armonía han sido reemplazados por una tabla de valores y el martillo por uno o varios filtros de bajo orden que convierten el impulso de interacción en un pulso adecuado

El módulo que simula la acción de la cuerda del piano es el más importante y ya fue objeto de discusión en apartados previos. Sin embargo, para una cuerda de piano realista hay que añadir las terminaciones rígidas que suponen el clavijero y el puente. El diagrama correspondiente se muestra en la siguiente figura:

Figura 4.34. Diagrama del módulo simulador de la cuerda. El pulso resultante de la interacción martillo-cuerda y proveniente del módulo anterior se introduce en los raíles inferior y superior que corresponden al conjunto de ondas viajeras a la izquierda y a la derecha respectivamente. Una de las direcciones tiene un signo opuesto a la otra para tener en cuenta la inversión provocada por la terminación de cuerda.




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Por la conmutatividad de los elementos LTI el diagrama anterior puede simplificarse en la siguiente figura Figura 4.35. Diagrama del módulo de cuerda simplificado. En el nuevo diagrama, cada línea de retraso corresponde al tiempo de recorrido en ambas direcciones en cada segmento de cuerda. La salida se representa tomada a la mitad de la línea de retraso mayor, pero en realidad puede tomarse en cualquier punto del bucle de realimentación. Sin más que desplazar la primera línea de retardo a través del sumador a su izquierda obtenemos el siguiente diagrama mucho más conveniente. Figura 4.36. Diagrama alternativo En este diagrama la entrada en el segundo sumador de f(t) está factorizada en un filtrado en peine por separado. El retraso del filtro peine contiene la diferencia de retardo entre las dos entradas en el diagrama anterior y el retraso del bucle de realimentación es ahora suma de ambos retardos. Esta factorización, facilita la posibilidad de implementar efectos típicos que ofrecen los pianos comerciales como chorus o reverberación y que no necesitan memoria extra dado que utilizan la que ya está disponible para la simulación de la cuerda. Es también posible eliminar el filtrado peine explícito sustituyendo la señal de entrada f(t) por su versión filtrada

)()()( τ−−= tftftg , donde τ es el tiempo de ida y vuelta desde el punto de colisión al clavijero. De este modo el módulo que sintetiza el efecto de la cuerda consistiría simplemente en un bucle de retardo filtrado.




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Por supuesto, para síntesis de calidad, habría que emplear múltiples bucles de retardo por cada nota. Cada bucle correspondería a una cuerda diferente golpeada por el mismo martillo. Por consiguiente, en un sintetizador comercial deberían existir al menos dos bucles de retardo, desajustados levemente y excitados por el mismo pulso de colisión.

4. modelos de sÍntesisbibing.us.es/proyectos/abreproy/11055/fichero/sintesis+digital+de... · 4....

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