4016 cálculo numérico

5/10/2018 4016 C lculo Num rico - slidepdf.com

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CÁLCULO NUMÉRICO

D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S



ÍNDICE TEMÁTICO

Unidades Página

I Unidad Nº "Teoría de errores. Normas vectoriales y matriciales"Þ " 1

Introducción a la teoría de errores"Þ"Þ 3

Errores experimentales y de modelación 3"Þ"Þ"Þ

Errores de tipo matemático 4"Þ"Þ#Þ

Errores absolutos y relativos 4"Þ"Þ$Þ

Gráfica del error global 6"Þ"Þ%Þ

Condicionamiento y estabilidad 7"Þ"Þ&Þ

Cifras significativas"Þ#Þ 7

Ejercicios"Þ$Þ 8

Actividad Personal 13

Normas vectoriales y matriciales"Þ%Þ 14

1.4.1. Normas vectoriales 14

1.4.2. Distancia inducida por una norma 15

1.4.3. Convergencia en espacios normados 15

1.4.4. Normas matriciales 16

II.- Unidad Nº 2 "Sistema de ecuaciones lineales" 17

2.1. Número de condición 18

2.1.1. Propiedades del número de condición 20

2.2. Métodos por factorización PY 21

2.2.1. Factorización de Cholesky(i) 22

2.3. Métodos iterados 24

2.3.1. Métodos de descomposición 26

2.4. Ejercicios 30


III.- Unidad Nº 3 "Resolución de ecuaciones no lineales" 40

3.1. Acotación y separación de raíces 41

3.2. Método y algoritmo de la bisección: análisis de errores 41

3.3. Punto fijo e iteración funcional 43

3.4. Método de Newton: análisis de errores y Regla de Fourier 45

3.5. Ejercicios 50




IV.- Unidad Nº 4 "Aproximaciones" 63

4.1. Mejor Aproximación en espacios normados 63

4.2. Aproximación discreta de mínimos cuadrados 64

4.3. Aproximación discreta de mínimos cuadrados, caso no lineal 654.3.1. Método de Gauss-Newton 66

4.4. Ejercicios 68


V.- Unidad Nº 5 "Interpolación" 72

5.1. Interpolación polinomial 72

5.1.1. Interpolación de Lagrange 72

5.1.2. Interpolación de Newton 73

5.1.3. Fenómeno de Runge 76

5.1.4. Interpolación de Hermite 77

5.2. Interpolación por Spline 79

5.2.1. Cálculo de los Splines cúbicos de interpolación 79

5.3. Ejercicios 81


VI.- Unidad Nº 6 "Integración Numérica" 88

6.1. Fórmulas de cuadratura 88

6.2. Fórmulas de Newton-Cotes 906.2.1. Fórmula del trapecio 90

6.2.2. Fórmula de Simpson 91

6.3. Fórmulas Compuestas 91

6.3.1. Simpson para par 918

6.3.2. Trapecios para impar 928

6.4. Ejercicios 92


VII.- Unidad Nº 7 "Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias" 102

7.1. Introducción a las E.D.O. 102

7.2. Método de Taylor 104

7.3. Métodos de Runge-Kutta 105

7.3.1. Método de Euler 106

7.3.2. Método de Euler Mejorado y Euler-Cauchy (o de Heun) 108

7.3.3. Runge-Kutta de tercer y cuarto orden 109

7.3.4. Runge-Kutta de orden superior 110

7.4. Ejercicios 111




o C á l c u l o N u m é r i c o Página 1

El Análisis Numérico trata de modelar o diseñar métodos para aproximar, de manera eficiente, lasolución a problemas numéricos complejos utilizando operaciones de la aritmética.

La eficiencia de los métodos depende tanto de la precisión que se requiera como de la facilidad con que pueda implementarse.

En la práctica, el problema matemático se deriva de un fenómeno físico sobre el cual se hacensuposiciones para representarlo matemáticamente. Muchas veces es más conveniente encontrar una soluciónaproximada del problema matemático más complicado que encontrar una solución exacta del modelosimplificado.

Ejemplo de un osciloscopio:

Análisis de datos en la interacción con dispositivos de hardware

Los métodos de cálculo se denominan "algoritmos". El algoritmo es una secuencia de operacionesalgebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático y se espera que también al

problema físico.

En la selección del algoritmo se debe tener en cuenta que los cambios tecnológicos los afectansignificativamente, ya que computacionalmente dependen de la capacidad de almacenamiento de la computadoray del costo asociado con los tiempos de cómputo.

Además de esto se toman dos criterios muy evidentes: la rapidez y la precisión. La primera se ve másfavorecida cuando sean problemas a gran escala, es decir, que el algoritmo más rápido sería el elegido.

Superficie creada usando spline racional y su polinomio de Taylor Modelo numérico de un huracán

Dado que un computador está compuesto de dispositivos que realizan las operaciones lógicas yaritméticas, los procedimientos matemáticos deben simplificarse a tal grado que sean accesibles para procesarseen un computador.




Las aplicaciones de los métodos numéricos son prácticamente ilimitadas y se requiere conocimiento endiferentes disciplinas como la economía, física, ingeniería, etc.

En especial nuestra asignatura de constituye una introducción a la resoluciónCálculo Numérico

efectiva de los problemas de la Matemática Aplicada planteados en las asignaturas de Cálculo Infinitesimal (I, II,III o Complemento) y Álgebra Lineal, las cuales deben haber proporcionado la base teórica necesaria para lacomprensión de los mismos; si no, te invitamos a que refuerces algunos conceptos que te serán de gran ayuda.

El esquema esencial que se sigue en este curso, con respecto a sus temas, es:

.ˆ Planteamiento del problema

. ̂Algoritmos de resolución

. ̂Análisis de los errores

. ̂Ejercicios desarrollados

̂Autoevaluación.

Se considera esencial que se entienda la verdadera dimensión de los problemas (por ejemplo, se trata de

resolver sistemas de miles de ecuaciones en otras tantas incógnitas o calcular la integral de una función sóloconocida en un número pequeño de puntos).

Sólo de esta forma comprenderá la importancia del estudio de los diferentes errores que se producen enla resolución numérica de un problema, así como la necesidad de su control, seguimiento y acotación.

Vista especular de un cuanto usando datos procedentes

de un microscopio de túnel de barrido.

En la mayoría de los casos trataremos de buscar la solución de una forma iterada, es decir, construyendouna sucesión convergente a la solución del problema.

En resumen, el siguiente diagrama explica gráficamente todo lo anterior:




"Þ"Þ Introducción a la teoría de errores

Las técnicas del Cálculo Numérico han experimentado un notable avance desde la aparición de los PC's.Dicho tipo de PC's ofrecen la posibilidad de realizar grandes cadenas de cálculos en un tiempo prudencial, lo quese traduce en que muchos métodos que durante tiempo han permanecido en el terreno de lo utópico e irrealizable

son ahora factibles.Sin embargo, y dado que el PC trabaja con un determinado número de cifras decimales, todos los

números que aparecen en los cálculos son redondeados. Así por ejemplo, si trabajamos con cinco cifrasdecimales e introducimos el número el PC lo redondeará a cometiendo un error de#ß "#$&'( #ß "#$&( !ß !!!!!$que recibe el nombre de error de redondeo. Es evidente que para cálculos con pocas operaciones este error es

prácticamente despreciable, pero estamos hablando de que los métodos que eran utópicos y que resolvemosahora con la ayuda del PC constan de gran cantidad de operaciones y, por tanto, de redondeos.

Evidentemente no todos los errores que se comenten son de redondeo, sino que estos pueden ser producidos por muchas otras causas que estudiaremos en este tema.

Lo que si debe quedar claro es que debido a la gran cantidad de operaciones que vamos a realizar en un

determinado proceso, es necesario realizar un detallado estudio de todos los errores que pueden ser arrastradosen él, ya que de lo contrario, el resultado no sería fiable.

Comenzaremos, por ello, estudiando los diferentes tipos de errores que pueden producirse en un proceso de cálculo.

"Þ"Þ"Þ Errores experimentales y de modelación

Estos errores son inherentes al planteamiento del problema y pueden ser de dos tipos:

ì Experimentales

Surgen de la utilización de datos afectados de error, bien debido a los aparatos de medida (por falta de

precisión de estos), bien debido a nuestros sentidos (errores personales entre ellos).

ì De modelización

Tienen su raíz en la aproximación de la realidad por modelos matemáticos sobre los que se realiza elestudio. Son generalmente de tipo físico y debidos a que el modelo matemático utilizado no refleja exactamentela realidad sino una aproximación de ésta. Se pueden producir voluntariamente (intencionados) oinvoluntariamente (por desconocimiento de algunas leyes).

Un ejemplo típico de modelización es el tiro parabólico. Es evidente que la trayectoria de un proyectilno es exactamente una parábola, ya que ésta se produciría sólo en el caso de que el aire no ofreciera resistencia,que la gravedad no experimentara variaciones etc., sin embargo es evidente que cada vez que introducimos unnuevo factor que pueda modificar la trayectoria, elmodelo se complica. Es por ello, que resulta prácticamenteimposible tener en cuenta todos estos factores y es necesario despreciar alguno de ellos para que el modelo

resultante sea factible de estudiar. De esta manera, podemos comenzar diciendo que no tendremos en cuenta lasvariaciones de la gravedad (estamos cometiendo un error de modelización voluntario).

Supongamos ahora que se quiere estimar la posición de un cometa a partir de los datos obtenidos trasuna serie de observaciones. Es evidente que estos datos vendrán afectados de ciertos errores de medición debidosa múltiples causas como puedan ser la falta de precisión de los aparatos, las variaciones producidas por larefracción de la luz e incluso a errores personales. Es decir, vienen afectados de errores de experimentación.




"Þ"Þ#Þ Errores de tipo matemático

ì Error de discretización

Cuando un computador trabaja con una función, por ejemplo con , no lo hace con la función enC œ B#

sí sino con una serie de puntos por los que pasa dicha función, es decir, el PC no reconoce la función C œ B#

sino la que determinan, por ejemplo, los puntos ; ( ), ( ), ( ), , etc. En otrasÐ" "Ñß "ß " à "ß # " "ß # à "ß % % "ß $ à "ß ' * á palabras, convierte un proceso continuo en otro de tipo discreto.

Otro ejemplo de error de discretización es el que se comente al sustituir la suma de una serie (infinitostérminos) por la suma de sus primeros términos, de tal forma que el error que se comete es menor mientras8mayor sea el número de términos que se sumen.

Es interesante no discretizar cada modelo matemático que se realice, sino estudiar familias de procesosde discretización y estudiar si estos procesos son válidos, en el sentido de que el error de discretización que secomete tienda a cero a medida que se afina el proceso. Así por ejemplo, podemos discretizar el cálculo de unafunción sustituyendo ésta por un polinomio de grado (obtenido, por ejemplo, de su desarrollo en serie),8

podemos también sustituir la suma de una serie por la suma de los primeros términos, una integral por una8suma finita, etc.

0 ÐBÑ ̧ T ÐBÑ +3 ̧ + 0 ÐBÑ.B ̧ + † 0 ÐB Ñ8 3 3 3

3œ" 3œ" 3œ"

_ 8 _

+

,

" " "( En resumen, no discretizamos el cálculo de la función mediante el polinomio sino que/ " B B B B

#x $x

# $

estudiamos el problema de la discretización de una función mediante un polinomio.

ì Error de redondeo

Es el que se comete al manejar cantidades que desbordan la capacidad del aparato que utilizamos. No puede estudiarse globalmente, sino que su estudio se realiza para cada problema particular.

ì Error transmitido

Es el que se comete al trabajar con unos datos iniciales afectados de errores. En otras palabras, el que setransmite de los datos iniciales a la solución del problema.

ì Error de truncamiento

Por ejemplo, la evaluación de funciones mediante desarrollos en series infinitas, obliga a considerar en elcálculo sólo un número finito de sumandos, truncando el resto de la sumatoria.

"Þ"Þ$Þ Errores absolutos y relativos

Definición. . Sea el valor exacto de un número real y el valor aproximado. Se define el y"Þ" B B!

error absoluto

se denota por como la diferencia , y se expresa siempre en valor absoluto, es decir:& B B!

| | | |.& œ B B!

Al cociente entre el error absoluto y el valor real se le denomina y se denota por .& &B error relativo <

Se expresa también en valor absoluto, es decir: .| || |

| |&

&< œ

BExisten dos maneras de obtener el número de cifras decimales significativas de un valor aproximado :B!

por , cuya expresión es | | ( cifras decimales exactas) ˆ redondeo & Ÿ † "! : "

#:

por , cuya expresión es ˆ Ÿ "!| |truncamiento & :




Esta última expresión se denomina "en el sentido amplio" de la teoría de errorres y la que utilizaremosen este apunte. Debe observarse que ello no indica que han de coincidir las primeras cifras decimales de y .: B B!

Por ejemplo, si y se tiene que | | y, por tanto, tiene las cuatro cifrasB œ # B œ "ß **** œ "! "ß ****!%&

decimales exactas (aunque no coincidan ninguno de los decimales de con los de ).#ß !!!! "ß ****

Cuando se trabaja con datos que arrastran errores debe realizarse un estudio del comportamiento delerror de transmisiónen cada una de las operaciones básicas.

Para ello, consideremos los números reales exactos e con sus valores aproximados e . LosB C B C! !

errores absolutos de cada uno de ellos vienen dados por las diferencias y .& &B ! C !œ B B œ C C

.ì Sumas y diferencias

La suma (diferencia) exacta de los números e es , mientras que la aproximada esB C W œ B „ CW œ B „ C Þ! ! ! El error de dicha suma (diferencia) viene dado por

& & &= ! ! ! B Cœ W W œ ÐB „ C Ñ ÐB „ C Ñ œ „

por lo que ? & &W B C œ œ „¸ ̧ ¸ ¸& & &= B C Ÿ ¸ ¸ ¸ ¸.ì Productos

& & &: ! ! B Cœ BC B C œ BC ÐB ÑÐC Ñ œ

œ BC BC B C & & & &B B B C

( considerando despreciable )? & &T : B Cœ ¸ ¸& & &Ÿ B C ¸ ¸ ¸ ¸C B

Podemos observar entonces que el error absoluto del producto depende de las magnitudes eB CÞ

Trabajando con los errores relativos tenemos que:

& & & & && & & & & & && &

<: <B <C <B <C: C B B C C CB B

œ œ œ œ BC BC C B B C

B C

, por lo queÊ œ / ̧ & & & & & & &<: B C B C B C

? & &VT B C œ ¸ ¸&<: Ÿ ¸ ¸ ¸ ¸

Es decir, el error relativo del producto es (aproximadamente) la suma de los errores relativos de losfactores y, en valor absoluto, es menor o igual a dicha suma.

.ì Cocientes

& & & & &- <B <C <C BC <C

#œ Ð ÑÐ" ÞÞÞÑ

En cuanto al error relativo

& & & & & & & & &&

<- <B <C <B <C <C <B <C-

<C#œ œ Ð Ñ Ð Ñ ÞÞÞ œ

BÎC

œ ÞÞÞ ̧ & & & & & & &<B <C <B <C <B <C<C#

Ê œ? & &VG <B <C ¸ ¸&<- Ÿ ¸ ¸ ¸ ¸




.ì Funciones

& &0 ! Bœ 0ÐBÑ 0ÐB Ñ œ 0ÐBÑ 0ÐB Ñ œ

œ 0 ÐBÑ Ò0 ÐBÑ 0 ÐBÑ 0 Ð BÑ ÞÞÞÓ œ&Bw ww

#x&#

B

œ 0 ÐBÑ 0 ÐBÑ ÞÞÞ ̧ 0 ÐBÑ#x

& &&

B Bw

#B w ww

Ê œ? &0 Bw¸ ¸&0 Ÿ 0 ÐBÑ¸ ¸¸ ¸

Observación importante: Aunque no podamos calcular exactamente el valor de , podemos0 ÐBÑw

sustituirlo por ya que el error depende, en gran medida, del valor de .0 ÐB ÑwB0 &

"Þ"Þ%Þ Gráfica del error global

En un proceso típico de discretización, es decir, en una familia infinita de procesos que dependen de 8(grado de un polinomio, número de términos de una suma, etc.) sabemos que al aumentar el error de8discretización tiende a cero, pero aumenta el número de operaciones y por tanto, el error de redondeo.

Figura Variación de los errores de discretización y redondeo."Þ" À

Las gráficas (1) y (2) de la nos muestran la variación de los errores de discretización y de Figura "Þ"redondeo, respectivamente, a medida que aumenta el valor de .8

El error total que se comete en el proceso completo de discretización viene dado por la suma de amboserrores, es decir:

| | = | | + | |& & &> . <

La gráfica de la variación de dicho error se obtiene, evidentemente, sumando las gráficas de lasvariaciones de ambos errores, y se muestra en la . Figura "Þ#

Figura Variación del error total en un proceso de discretización."Þ# À




Puede observarse que la gráfica de la variación del error total presenta un mínimo, lo que nos dice que,en un proceso de discretización, no se puede resolver un problema con un error inferior a dicho mínimo, es decir,si aumentamos el valor de para disminuir el error de discretización, aumenta el error total debido al incremento8del error de redondeo, y si disminuimos el valor de para disminuir el error de redondeo, aumentamos también8el error total debido al incremento del error de discretización.

Así pues, para poder resolver un problema con una precisión determinada, las únicas soluciones posibles son el trabajar con otra discretización diferente (que tienda a cero más rápidamente) o trabajar con unmayor número de dígitos (disminuir los errores de redondeo).

"Þ"Þ&Þ Condicionamiento y estabilidad

Definición "Þ#. Si el algoritmo (proceso de discretización) que se aplica en la resolución de un problema controlael error de redondeo, es decir, si éste no se dispara al pasar de una etapa a la siguiente, se diceque el algoritmo es estable.

Si el mínimo que presenta la gráfica del error es grande, el problema se dice que está mal condicionadoy el proceso de discretización se dice que es inestable.

Si, por el contrario, una pequeña modificación en los datos va acompañada de una pequeñamodificación en el resultado, se dice que el problema está bien condicionado. En este caso, los errores deredondeo hacen prácticamente despreciables a los de discretización.

"Þ#Þ Cifras significativas

Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real oaportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienensignificado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras

significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.

Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de con un error de&%$#ß %('% 7!ß ) 7. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número queocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar elnúmero con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro?. Las cifras significativas enel número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc, pero no lascentésimas, milésimas ni diezmilésimas.

Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusión. Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifrassignificativas. Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.

¿Cómo pueden determinarse las cifras significativas a partir del número que expresa el error?. Hay quetener siempre presente que todo error y está por tanto sujeto a su vez a una incertidumbre,es una estimación

generalmente grande. Por esto no tiene sentido especificarlo con excesiva precisión.




"Þ$Þ Ejercicios

Ejercicio "Þ" À B œ $&ß %()%'Exprese el número truncado a cuatro y tres decimales. Calcular el error cometido.

Solución: Truncado a cuatro cifras decimales significativas . Luego, su error seráB œ $&ß %()%!

| |& œ $&ß %()%' $&ß %()% œ 'ß! † "! Ÿ "!¸ ¸ & %

En cambio a tres decimales será y su error esB œ $&ß %()!

| |& œ $&ß%()%' $&ß %() œ %ß ' † "! Ÿ "!¸ ¸ % $

Ejercicio "Þ# À Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales B +C œ & ,B #C œ .

, donde y ¿Con qué exactitud podemos determinar el producto ?+ œ "ß !!! „ !ß !!#à , œ . œ , +Þ BC"

+

Solución: Al resolver el sistema por reducción:

eB œ C œ"! +. . &,

# +, # +,

Luego, el producto será:

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

BC œ œ œ"! +. . &, "! +. . &, EF

# +, # +, # +, G #

Método Primero: + œ "ß !!!à Ð+Ñ œ !ß !!#&

, œ œ "à Ð,Ñ œ œ Ð+Ñ" Ð+Ñ+ +& && #

. œ , + œ !à Ð.Ñ œ Ð,Ñ Ð+Ñ œ # Ð+Ñ& & & &

E œ "! +. œ "!à ÐEÑ œ + Ð. Ñ . Ð+Ñ œ # Ð+Ñ& & & &

F œ . &, œ &à ÐFÑ œ Ð.Ñ & Ð,Ñ œ ( Ð+Ñ& & & &

G œ Ð# +,Ñ œ "à ÐG Ñ œ # Ð+Ñ # Ð,Ñ % Ð,Ñ % Ð+Ñ œ "# Ð+Ñ# & & & & & &

EF œ &!à ÐEFÑ œ F ÐEÑ E ÐFÑ œ )! Ð+Ñ& & & &

BC œ œ &!à œ œ ')! Ð+ÑÐEFÑ ÐGÑEF

G G G 0 EF

& && &

#

Sustituyendo valores, obtenemos el siguiente resultado

BC œ &!ß ! „ "ß %

Segundo Método:BC œ Ð+ "$+ Ñ œ &!ß !! „ !ß "!$ $'

+

& &0 # $'

+œ Ð $+ "$ Ñ Ð+Ñ œ !ß " !%¸ ¸ ¸ ̧#

BC œ &!ß !! „ !ß"!%

R9>+ À ¿Por qué el error es mucho menor en el segundo método?




Ejercicio "Þ$ À # # œ "ß %"%Calcular tomando (que tiene todas sus cifras exactas). Estimar el error Š ‹È È &

cometidoÞ

Solución: | | | | | |& &> Bœ # "ß %"% œ † & † # "! † #! œ !ß !!# "! ÞÈ È & %

& % #

Calculamos ahora el valor de obteniendo:Ð"ß %"%Ñ&

, con | | .Ð"ß %"%Ñ œ &ß '&#&)%#*Þ Þ Þ œ &ß '& #ß ' † "!& & &< <

$

(No tiene sentido tomar más de dos cifras decimales cuando ya el error de transmisión sólo nos garantiza dos).

È # œ &ß '& œ &ß '& &

& & &< >

con

| | | | | | ,& & &Ÿ #ß ' † "! # † "! œ %ß ' † "! "!< >

$ $ $ #

por lo que con todas sus cifras exactas.È # œ &ß '&&

Llamando a la aproximación de , el error de transmisión es:B #! È

| | | | | | | |.& & &> B B!

œ # B œ † & † # œ #! †È È & %&

Ejercicio "Þ% À # #Determinar la precisión con la que hay que tomar para calcular con tres cifrasÈ È &

decimales exactas.

Solución: Para obtener tres cifras decimales exactas, ha de ser | | , es decir: &>

$ "!

| | | |#! † "! Ê œ !ß & † "! "!& &B B

$ $"!

#!% %

Luego debe tomarse al menos con cuatro cifras decimales exactas tras el redondeo, es decir, dadoß B!

que . . :È # œ "ß%"%#"$ Þ

con | | .È # œ "ß %"%# ß !ß & † "! "!&B% %

Conclusión: el error de transmisión es superior al error en el dato. Partiendo de un valor que tiene cuatro cifrasdecimales exactas, llegamos a un resultado del que sólo podemos garantizar la exactitud de tres cifras decimales.

Ejercicio "Þ& À # " # œ "ß %"%Calcular ( ) tomando (que tiene todas sus cifras exactas) y estimar elÈ È &

error . Determinar laprecisión con la que hay que tomar para calcular ( ) con tres cifras decimalesÈ È # # " &

exactas.

Solución: Partimos de que el valor aproximado de dado por tiene todas susÈ # " B œ "ß %"% " œ !ß %"%!

cifras exactas, es decir, partimos de un error en los datos | | .&B "!$

Si consideramos la función ( ) = , de la cual queremos obtener el valor de ( ) = ( ), el0 B B 0 B 0 # "& È error de transmisión vienedado por

| | | | ' ( ) ( )& &> B !

¶ 0 B ¶ "! † & † !ß %"% œ "ß %'))ÞÞÞ † "! "ß %( † "! "!$ % % $%

por lo que no podremos obtener más de tres cifras decimales exactas.




Al calcular ... sólo podremos garantizar como exactas, a lo más, las tresÐ!ß %"%Ñ œ !ß !"#"'"*!(&

primeras cifras decimales.

Si redondeamos obtenemos donde | | ... .Ð!ß %"%Ñ œ !ß !"# œ "ß '"*!( † "! "ß '# † "!& % %& &< <

Finalmente, ( ) ( )È # " œ !ß %"% œ !ß !"# œ !ß !"# & & & & & &> < >

donde

| | | | | | · ,& & &Ÿ "ß '# † "! "ß %( † "! œ $ß !* "! "!< >

% % $%

por lo que ( ) con todas sus cifras exactas.È # " œ !ß ! "#5

En cuanto a la precisión con que debe conocerse para obtener tres cifras decimales exactas alÈ #calcular ( ) , vamos a ver que puede ser algo menor que la que nos dan en el enunciado.È # "

5

Se trata de que | | | | | ( ) | .&> ! !

$œ B B œ # " B "!& & &È 5

| | | | | | | | .& & &> B B

$¶ † 0 ÐBÑ œ † & † B "!w %

Luego:

| | ... y este es el error máximo que debe tener .&B !

$ $% %

œ œ !ß !!'(*% B"! "!&†B & #"( )È

Si se toma on tres cifras exactas de , el error será | | ... ,B - # " "! œ !ß !!" !ß !!'(*%! B

$È &

pero observemos que podemos afinar aún más, y concluir diciendo que basta con tomar con dos cifrasB!

decimales exactas y redondear, pues entonces:

| | ...&B

# !ß& † "! œ !ß!!& !ß!!'(*%

Por tanto, puesto que ... , tomaremos:È # " œ !ß %"%#"$

con | | ...B œ !ß %" œ !ß %"%#"$ !ß !!&! B

&

y el error transmitido será:

| | | | · · · .& &> B !

$

¶ † & † B !ß !!& & !ß !#) œ !ß !!!( œ ( "! "!% %

Así pues, tomando obtenemosÈ # œ "ß%"

( ) ...È # " œ !ß %" œ !ß !""&)&' 5 &

> >& &

redondeando se tiene que

( )È # " œ !ß !"# œ !ß !"# 5

& & &> <

donde

| | | | | | · .& & &Ÿ ( † "! %ß # "! œ ""ß # † "! "!< >

#% % %

Obsérvese, como conclusión, que el error transmitido es menor que el error en el dato, es decir, es perfectamente posible que, partiendo de un dato con una determinada precisión, después de operar con él, sealcance mayor precisión en el resultado. En otras palabras, el operar con los datos aproximados no siempre

lleva a una pérdida de precisión.




Ejercicio "Þ' À # " # œ "ß %Se quiere calcular el valor de ( ) utilizando el valor aproximado . ¿Cuál de lasÈ È 6

siguientes expresiones es mejor numéricamente? Justifica la respuesta.

a) ( ) b)$ # #"

Ð** (! #È È 3

Solución: Si aproximamos por , estamos trabajando con un error menor que .È # "ß % "!"

a) La aproximación de dada por tiene un error $ # # B œ $ # † Ð"ß %Ñ œ !ß #È !

| |&B

" # † "! œ !ß #

por tanto ( ) , con$ # # œ !ß !!) È 3&

>

| | | | ( ) ( ) ( )& &> B !

"¶ † $ † B !ß # † $ † !ß !% œ !ß !#% "!#

con lo que podemos garantizar, a lo más, un cifra decimal exacta:

( )$ # # œ !ß ! œ !ß ! È 3& & &< >

con | | | | | | ,& & &Ÿ !ß !!) !ß !#% œ !ß !$# "!< >

"

es decir, obtenemos que ( ) , pero no podemos garantizar ninguna cifra decimal más.È # " œ !ß !6

b) Aproximando por el valor , tenemos un error ** (! # B œ ** (! † Ð"ß %Ñ œ "*(È !

| |&B

" (! † "! œ (Þ

Si consideramos la función ( ) = y aproximamos el valor buscado por el de ( ) obtenemos que0 B 0 B"

B !

= ... , con( )

" "

** (! # "*( œ !ß !!&!('" È & &

> >

| | | | ... .& &> B

¶ † ( † œ "ß )!$ † "! "!" "

B "*(#! #

% $

Si redondeamos a la tercera cifra decimal

, donde( )

"

** (! #œ !ß !!& œ !ß !!& È & & &< >

| | | | | |& & &Ÿ !ß ! !!!) !ß ! !!"* œ !ß ! !!#( "!< >

$

es decir, obtenemos ( ) con todas las cifras exactas.È # " œ !ß !!&6

En resumen, por el primer método sólo garantizamos una cifra decimal exacta, mientras que el segundo nosgarantiza tres.

Ejercicio "Þ( À ( % $ $Se desea calcular el valor de la expresión ( ) utilizando el valor aproximado deÈ È 4

œ "ß ($#!& (que tiene todas sus cifras exactas). ¿Cuál de las siguientes fórmulas equivalentes es mejor desde el punto de vista numérico?

a) b) c) d) e)" "

(% $ Ð*(&' $ Ñ( )È È 4 #

#Ð*( &' $ Ñ "))"( "!)'% $

"

"))"( "!)'% $È È È

Solución: Trabajando con , es decir, con un error inicial de tenemos:È $ œ "ß ($#!& "!&

( % $ œ !ß !(") % † "!È & &B B

&, con | | , por lo que




( ) ... , con | | | | ·( % $ œ !ß !!!!#'&('%** ¶ † % † Ð!ß !(")Ñ ' "! "!È 4& & &

> > B

$ ) (

por lo que ( ) , con( % $ œ !ß ! !!!#' È 4&

| | | | | |& & &Ÿ #ß $' † "! ' † "! "!< >

) ) (

es decir, obtenemos 7 cifras decimales exactas.

a) ... , con | | | |( ) )

" %

( % $œ !ß !!!!#'&("(%" ¶ † $ß " † "! "!

Ð"$ß*#)#È 4& &

> B

"! *

&

y, por tanto, , con( )

"

( % $œ !ß !!!!#'&(# È 4

&

| | | | | | ( )& & &Ÿ #ß ' $ß " † "! "!< >

"! *

por lo que obtenemos 9 cifras decimales exactas.

b) con | | , por lo que*( &' $ œ "*$ß **%) &' † "!È & &B B

&

... , con | | | |" #

Ð *( &' $ Ñœ !ß !!!!#'&("(#* ¶ † "ß ' † "! "!

Ð"*$ß **%)ÑÈ # > B $

"! *

& &

es decir , con"

Ð*( &'Ñœ !ß !!!!#'&(# # &

| | | | | | ( )& & &Ÿ #ß ) "ß ' † "! "!< >

"! *

por lo que, en este caso, también obtenemos 9 cifras decimales exactas.

c) con | | , por lo que*( &' $ œ !ß !!&# &' † "!È & &B B

&

( ) ... , con | | | |*( &' $ œ !ß !!!!#(!%! ¶ † # † !ß !!&# &ß )$ † "! "!È 2& & &> > B

' &

es decir ( ) , con*( &' $ œ !ß ! !!!$ È 2&

| | | | | |& & &Ÿ #ß *' † "! &ß )$ † "! œ )ß (* † "! "!< >

' ' ' &

sólo obtenemos 5 cifras decimales exactas.

d) , con | | , por lo que no"))"( "!)'% $ œ !ß !!)(******** "!)'% † "! !ß "!*È & &B B

&

podemos garantizar ninguna cifra decimal.

e) , con | | por lo que"))"( " !)'% $ œ $('$$ß **"# "!)'% † "! !ß "!)'%È & &B B

&

"

"))"( "!)'% $œ !ß !!!!#'&("(#$#((á

( ) È &>

con | | | | · , es decir & &> B #

"" "!

¸ † (ß '(" "! "!"

Ð$('$$ß **"#Ñ

"

"))"( "!)'% $œ !ß !!!!#'&("(

( ), conÈ &

| | | | | | ( )& & &Ÿ #ß $#) (ß '(" † "! "!< >

"" "!

que resulta ser el caso óptimo, ya que se obtiene el resultado con cifras decimales exactas."!




Ejercicio "Þ) À B %! B " œ !Calcular la menor de las raíces de la ecuación sabiendo que#È $** ¸ "*ß*(& (con todas sus cifras exactas) y comparar los errores producidos.

a) Directamenteb) Utilizando la expresión ( ) .#! $**È "

Solución: Las raíces de la ecuación son ± , por lo que la menor de ellas es .#! $** B œ #! $**È È 7

a) Si la calculamos directamente se obtiene que con las tres cifras decimalesB œ #! "*ß *(& œ !ß!#&7

exactas.

b) con un error | | .#! $** œ $*ß *(& "!È &B

$

" "

#! $**œ !ß !#&!"&'$%(( ¶ † 'ß $ † "! "!

$*ß*(&( )... , con | | | | .

( )È & & &> > B #

( '

Redondeando a la sexta cifra decimal

"

#! $**œ !ß !#&!"' Ÿ $ß † "! 'ß $ † "! "!

( ), con | | | | | | 7È & & & &< >

( '(

es decir, obtenemos cifras decimales exactas, frente a las 3 obtenidas mediante el cálculo directo.'

Actividad Personal

A continuación se proponen ejercicios tomados en certámenes anteriores y ejercicios propuestos paraser resueltos a modo de autoevaluación.

"Þ C œ B &B 'B !ß && B œ #ß ($Þ $Evalúe el polinomio en Use dígitos significativos. Determine el$ #

error.

#Þ ¿Con qué exactitud es necesario medir el radio de una esfera para que su volumen sea conocido con unerror relativo menor de %? ¿Cuantos decimales es necesario emplear para el valor de ?!ß!" 1

$Þ #! -7 $! -7 "La base y la altura de un triángulo son respectivamente y , medidos con una exactitud de77 . Calcular con que exactitud se conoce el área del triángulo y estimar el error absoluto en la medida de éstaárea.

%Þ Calcular el valor de la aceleración de la gravedad y la precisión con que se determina al dejar caer uncuerpo en un pozo de profundidad . La duración de la caída es de .%*&ß #"! 7 „ !ß !!& 7 "!ß !& = „ !ß !" =

&Þ La resistencia que un conductor metálico presenta al paso de la corriente eléctrica, varía con la temperaturade dicho conductor. Para rangos de temperatura no muy elevados, esta variación tiene la forma:

V œ V Ð" >Ñ! !, donde es la resistencia a y es el coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura. LaV ! G !

o !

resistencia se mide a con un mismo medidor que aprecia y el termómetro usado para medir la&! G !ß !!"o

temperatura aprecia . Los valores obtenidos de las mediciones fueron: ; ; ; ;!ß & G #ß %!# #ß %!) #ß %!$ #ß %!(o

#ß %!& V œ #ß !!* ". Se sabe que con un error sistemático del % . Calcular el error de escala y sistemático que!

se presenta al medir el coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura.




"Þ%Þ Normas vectoriales y matriciales

Definición "Þ$. Sea un espacio vectorial definido sobre un cuerpo . Se define una norma como una„ Šaplicación, que denotaremos por el símbolo || ||, de en (cuerpo de los números reales) que„ ‘verifica las siguientes propiedades:

, siendo (definida positiva)."Þ B ! ß a B − B œ ! Í B œ !¸¸ ̧̧ ¸¸ ̧̧„

homogeneidad).#Þ - B œ - † B ß a - − ß a B − Ð¸¸ ¸¸ ¸ ̧ ¸¸ ¸¸ Š „

, desigualdad triangular).$Þ B C Ÿ B C a Bß C − Ð¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ „

Un espacio en el que hemos definido una norma recibe el nombre de .„ espacio normado

Es frecuente que en el espacio se haya definido también el producto de dos elementos. En este caso,„si se verifica que

¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸B † C Ÿ B † C

se dice que la norma es . Esta propiedad es fundamental cuando trabajamos en el conjuntomultiplicativa `8‚8

de las matrices cuadradas de orden . Sin embargo no tiene mucha importancia cuando se trabaja en el espacio8 C [ , ] de las funciones continuas en el intervalo [ , ].+ , + ,

"Þ%Þ"Þ Normas vectoriales

Sea un espacio normado de dimensión y sea { , , . . . , } una de él. Cualquier vector de„ 8 œ ? ? ? B" # 8

„ puede serexpresado de forma única en función de los vectores de la base .

B œ B ?"3 œ"

8

3 3

donde los escalares ( , , . . . , ) se conocen como del vector respecto de la base .B B B B" # 8 coordenadas

Utilizando esta notación, son ejemplos de normas los siguientes:

(llamada )ˆ B œ B¼ ¼ ¸ ¸""

3 œ"

8

3 norma-1

(que recibe el nombre de )ˆ B œ B¼ ¼ ¸ ̧Ë "22

3 œ"

8

3 norma euclideana

(cuyo nombre es )ˆ B œ B¼ ¼ ¸ ̧_ 3máx norma infinito

3

Por ejemplo, en consideremos el vector tenemos que las normas respectivas serían:‘#"

pB œ Ð "ß #Ñ

¼ ¼ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ̧" +B œ B œ B B œ " # œ $" 3 " #p

"3 œ"

#

¼ ¼ ¸ ̧ ¸ ¸ ¸ ̧ÍÍÍÌ" É È B œ B œ " # œ &" 3

p

3 œ"

#

22 2 2

¼ ¼ ¸ ¸ ¸ ¸ ̧ ̧B œ B œ " ß # × œ #" 3p

_máx máxÖ

3œ"ß#




Observamos que las tres normas son distintas entre sí, pero son ; concepto que no veremos.equivalentes

En cambio, para las normas respectivas dan:B œ Ð!ß "Ñ#p

¼ ¼ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ̧ ¸ ¸"+B œ B œ B B œ ! " œ "" 3 " #

p

" 3 œ"

#

¼ ¼ ¸ ̧ ¸ ̧ ¸ ¸ÍÍÍÌ" É B œ B œ ! " œ "" 3p

3 œ"

#

22 2 2

¼ ¼ ¸ ¸ ¸ ̧ ̧ ¸B œ B œ ! ß " × œ "" 3p

_máx máxÖ

3œ"ß#

es decir, las normas son iguales entre sí, pero recordemos que en general esto no es así.

"Þ%Þ#Þ Distancia inducida por una norma

Definición "Þ%. Dado un espacio vectorial , se define una como una aplicación de en„ „ „ ‘distancia . ‚cumpliendo:

"Þ .ÐBß C Ñ ! ß a Bß C − .ÐBß C Ñ œ ! Í B œ CÞsiendo„

#Þ .ÐBß CÑ œ .ÐCß BÑ ß a Bß C − Þ „

$Þ .ÐBß CÑ Ÿ .ÐBß D Ñ .ÐDß CÑ ß a Bß Cß D − „

Definición "Þ&. Si ( , || ||) es un espacio normado, la norma || || induce una distancia en que se conoce como„ „

distancia inducida por la norma || || y viene definida por:

|| ||. ÐBß C Ñ œ B C

Veamos que, en efecto, se trata de una distancia:

"Þ .ÐBß CÑ ! À .ÐBß CÑ œ ! Í B C œ ! Í B C œ ! Í B œ CÞ porque es una norma, y además || ||

#Þ .ÐBß CÑ œ B C œ " ÐC BÑ œ " C B œ C B œ .ÐCß BÑÞ|| || || || | | || || || ||

$Þ .ÐBß C Ñ œ B C œ ÐB DÑ ÐD CÑ Ÿ B D D C œ .ÐBß D Ñ .ÐD ß CÑÞ|| || || || || || || ||

"Þ%Þ$Þ ÞConvergencia en espacios normados

Definición "Þ'. Una sucesión de vectores , , . . . , de un espacio vectorial normado ( , || ||) se dice que es@ @" # •convergente a un vector si@

lim5 Ä_

5|| ||@ @ œ !

Esta definición coincide con la idea intuitiva de que la distancia de los vectores de la sucesión al vector límite tiende a cero a medida que se avanza en la sucesión.@

Teorema "Þ(. Para un espacio vectorial normado de dimensión finita, el concepto de convergencia esindependiente de la norma utilizada.




"Þ%Þ%Þ Normas matriciales

Dada una matriz y un vector , consideremos el vector transformado . El mayor de los cocientesE B EBentre dichas normas, para todos los vectores del espacio, es lo que vamos a definir como norma de la matriz E

¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸E B Ÿ E † B

(no es lo mismo que la propiedad multiplicativa de una norma, ya que aquí se están utilizando dos normasdiferentes, una de matriz y otra de vector), luego

¸¸ ̧ ¸ ¸¸ ¸¸ ̧ ¸ ̧¸¸¸ ¸¸¸¸ ¸¸E œ E B À B œ "×E B

Bmáx máxœ Ö

B−Z Ö!×

de tal forma que a cada norma vectorial se le asociará, de forma natural, una norma matricial.

Norma-" Si utilizamos la norma-1 de vector obtendremosÀ À

¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸ ¸¸E œ E B À B œ "×" " "

máx Ö

Dado que se tiene queE B œ C Ê C œ + B3 35 5

5œ"

8

" ¸¸ ¸¸ ¸ ¸ ̧ ¸ ̧ ¸"" ŸE œ + B À B œ " Þ

" "3œ"

8 8

5œ"

35 5máxPor último, si descargamos todo el peso sobre una coordenada, es decir, si tomamos un vector de la base

canónica, obtenemos que

¸¸ ¸¸ ¸ ¸E œ +" 34máx"

3 œ"

8

4

Norma-# (o norma euclideana) À

Utilizando la norma-2 de vector se tendrá que

¸¸ ¸¸ š ›È È E œ B E E B À B B œ " Þ2 máx ‡ ‡ ‡

Descargando ahora el peso en los autovectores de la matriz obtenemos que

¸ ¸ ¸¸ š ›È È È E œ B B À B B œ " œ œ2 máx máx máx‡ ‡

3 3 3- - 5

3 3 3

Se dice que una matriz es si verifica que = *.Q Q Q hermítica

Norma infinito

Utilizando ahora la norma infinito de vector se tiene que

¸¸ ¸¸ ¸ ¸ ¸¸ ̧ ¸" E œ + B À B œ " Þ_ _

4 œ"

8

34 4máx˜Como ahora se dará el máximo en un vector que tenga todas sus coordenadas iguales a , se tiene que"

¸¸ ̧ ¸ ¸ ̧"E œ +_

4 œ"

8

34máx

3

Norma de Frobenius: ¸¸ ¸¸ ¸ ¸Ê ! È E œ + œ ><ÐE EÑJ

3ß434

# ‡




ara los sistemas de ecuaciones lineales, de la forma , trataremos de buscar métodos iterados, esP EB œ ,decir, transformando el sistema en otro equivalente de la forma , donde .B œ J ÐBÑ J ÐBÑ œ Q B R Evidentemente habrá que exigir algunas condiciones a la matriz para que el método sea convergente y estasQ condiciones se basan en los conceptos estudiados de normas vectoriales y matriciales.

Dada una aplicación y un vector , resolver el sistema de ecuaciones es0 À Ä , − 0 ÐBÑ œ ,‘ ‘ ‘7 8 8

buscar el conjunto de vectores de cuya imagen mediante es el vector , es decir, buscar la imagen inversa‘7 0 ,de mediante ., 0

Un sistema de ecuaciones se dice si verifica quelineal en su componente -ésima5

0 ÐB ß á ß B ß B B ß B ß á ß B Ñ œ 0 ÐB ß á ß B ß B ß B ß á ß B Ñ 0 ÐB ß á ß B ß B ß B ß á ß B Ñ" 5" 5 5 5" 7 " 5" 5 5" 7 " 5" 5 5" 7! " ! "

Diremos que un sistema es si lo es en todas sus componentes, pudiéndose, en este caso, escribir lineal

de la forma . Centraremos nuestro estudio en los sistemas reales.EB œ ,

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales atendiendo a

ˆ Su tamaño

Pequeños: donde representa el número de ecuaciones.8 Ÿ $!! 8Grandes: .8 $!!

(Esta clasificación corresponde al error de redondeo)

ˆ Su estructura

Lleno: si la matriz posee pocos elementos nulos.Disperso o : Si la matriz contiene muchos elementos nulos. Sparce

Son matrices de este tipo las siguientes para 4):Ð 8 œ

Las tridiagonales Las triangulares superiores Las triangulares inferiores

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ Ó Ð ÓÐ ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

+ + ! ! + + + + + ! ! !+ + + ! ! + + + + + ! !

+ + + ! + + + +! ! + + ! ! ! +

"" "# "" "# "$ "% ""

#" ## #$ ## #$ #% #" ##

$# $$ $% $$ $% $" $#

%$ %% %%

0 0

+ !+ + + +

$$

%" %# %$ %%

En cuanto a los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, podemos clasificarlos en

‰ Métodos directos

Aquellos métodos que resuelven un sistema de ecuaciones lineales en un número finito de pasos. Seutilizan para resolver sistemas pequeños.

‰ Métodos iterados

Crean una sucesión de vectores que convergen a la solución del sistema. Estos métodos se utilizan parala resolución de sistemas grandes, ya que al realizar un gran número de operaciones los errores de redondeo

pueden hacer inestable al proceso, es decir, pueden alterar considerablemente la solución del sistema.




#Þ"Þ Número de condición

Un sistema de ecuaciones lineales se dice cuando los errores cometidos enEB œ , bien condicionado

los elementos de la matriz y del vector producen en la solución un error del mismo orden, mientras queE ,diremos que el sistema está si el error que producen en la solución del sistema es de ordenmal condicionado

superior al de los datos. Es decir:

y

y¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼E E , , B ¸

E E , , Ê

B ¦

& &

& &

B

B

Consideremos el sistema cuadrado con regular, es decir, un sistema .EB œ , E compatible determinado

En la práctica, los elementos de y de no suelen ser exactos ya sea porque procedan de cálculos anteriores, oE , bien porque sean irracionales, racionales periódicos, etc. Es decir, debemos resolver un sistema aproximado cuyasolución puede diferir poco o mucho de la verdadera solución del sistema.

Así, por ejemplo, en un sistema de orden dos, la solución representa el punto de intersección de dosrectas en el plano. Un pequeño error en la pendiente de una de ellas puede hacer que dicho punto de corte sedesplace sólo un poco o una distancia considerable (véase la Figura ), lo que nos dice que el sistema está bien#Þ"

o mal condicionado, respectivamente.

Sistema bien condicionado Sistema mal condicionado

Figura Condicionamiento de un sistema#Þ" À .

Podemos ver que el sistema está mal condicionado cuando las pendientes de las dos rectas son muysimilares y que mientras más ortogonales sean las rectas, mejor condicionado estará el sistema.

Se puede observar entonces que si, en un sistema mal condicionado, sustituimos una de las ecuaciones por una combinación lineal de las dos, podemos hacer que el sistema resultante esté bien condicionado.

Ejemplo #Þ"Þ Si consideramos el sistema

, de solución$B %C œ ( œ

$B %ß !!!!"C œ (ß !!!!"

B "C "Œ Œ

y cometemos un pequeño error en los datos, podemos obtener el sistema, de solución$B %C œ ( œ

$B $ß*****C œ (ß !!!!%

BC

(ß ' %Œ Œ

o bien este otro


$B $ß *****C œ (ß!!!!&&

BC

*ß ' & ß &Œ Œ

lo que nos dice que estamos ante un sistema mal condicionado.




Si sustituimos la segunda ecuación por la que resulta de sumarle la primera multiplicada por "ß !!!!!"' "! "ß #y la ecuación resultante se multiplica por y se divide por , nos queda el sistema'


%B $C œ "

B "C "Œ Œ

siendo éste un sistema bien condicionado.

El estudio del condicionamiento de un sistema se realiza a través del denominado número de condiciónque estudiamos a continuación.

Definición #Þ". Sea una matriz cuadrada y regular. Se define el de la matriz y seE Enúmero de condición

denota por comoRÐEÑ

R ÐEÑ œ E † E¼ ¼ ¼ ¼"

ß donde la norma utilizada ha de ser una norma multiplicativa. Este número nos permite conocer elcondicionamiento del sistema .EB œ ,

Dado que en la práctica el cálculo de la matriz inversa presenta grandes dificultades, lo que se haceE"

es buscar una cota del número de condición es decir, siendo una cotaà ß 5R ÐEÑ œ E † E 5 E¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼"

de la norma de la matriz inversa.

Si , entonces En efecto,¼ ¼M E " Þ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼E Ÿ

M

" M E"

EE œ M Ê M ÐM EÑ E œ M Ê E ÐM EÑE œ M Ê E œ M ÐM EÑE Ê" " " " " " ‘

¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼E œ M ÐM EÑE Ÿ M ÐM EÑE Ÿ M M E E Ê" " " "

¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼E M E E Ÿ M Ê Ð" M E Ñ E Ÿ M " " "

Ê ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼E ŸM

" M E"

Debemos tener cuidado con esta acotación ya que si tenemos una matriz casi regular , es decir, conÐ Ñ./>ÐEÑ ¸ ! M E, quiere decir que tiene un autovalor próximo a cero, por lo que la matriz tiene un autovalor

próximo a y será el mayor de todos. En este caso || || , por lo que y daría lugar a un falso" M E ̧ " 5 Ä _condicionamiento, ya que no tiene que estar, necesariamente, mal condicionada.E

Ejemplo #Þ#Þ Para estudiar el condicionamiento del sistema

$B %C œ (

$B %ß !!!!"C œ (ß !!!!"

Se tiene que

E œ Ê ./>Ð+Ñ œ !ß !!!!$ Ê E œ$ % %ß !!!!" %$ %ß !!!!" $ $

"

!ß!!!!$Œ Œ "

Si utilizamos la norma infinito obtenemos:¼ ¼ ¸ ̧!E œ +_

4œ"

8

34máx

3




¼ ¼¼ ¼ Ÿ

E œ (ß!!!!"

E œ œ #''''()ß !!!!"

!ß !!!!$

Ê R ÐEÑ ¸ ")'''("ß''( "ß ) † "!"'

es decir, se trata de un sistema mal condicionado.

Vamos a ver, a continuación, algunas propiedades del número de condición de una matriz.

#Þ"Þ"Þ Propiedades del número de condición.

Como ya se ha visto anteriormente cualquiera que sea la matriz cuadrada y regular . R ÐEÑ " E

Si es una matriz unitaria, se verifica que . Y R ÐEÑ œ R ÐEY Ñ œ R ÐY EÑ# # #

Los sistemas mejor condicionados son aquellos que tienen sus filas o columnas ortogonales y

mientras mayor sea la dependencia lineal existente entres ellas peor es el condicionamiento del sistema.

Trataremos de buscar métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que trabajen conmatrices unitarias que no empeoren el condicionamiento del sistema como lo hace, por ejemplo, el método deGauss basado en la factorización . Sin embargo, dado que ha sido estudiado en la asignatura de ÁlgebraPY Lineal, comenzaremos estudiando dicho método aunque pueda alterarnos el condicionamiento del problema.

Empezaremos estudiando pues, como , los basados en la factorización y el demétodos directos PY Cholesky.




#Þ# PY . Métodos por Factorización

Al aplicar el método de Gauss al sistema realizamos transformaciones elementales paraEB œ ,conseguir triangularizar la matriz del sistema. Si este proceso puede realizarse sin intercambios de filas, la matriztriangular superior obtenida viene determinada por el producto de un número finito de transformaciones filaY

J ß J ß á ß J E P œ J † J † á † J Ð" # 5 5 5" "

"

aplicadas a la matriz . Llamando ya que el determinante de unatransformación fila es y, por tanto, su producto es inversible) se tiene que , o lo que es lo mismo,„ " P E œ Y "

E œ PY P. Además, la matriz es una triangular inferior con en la diagonal.unos

Debido a la unicidad de la factorización, ésta puede ser calculada por un método directo, es decir,haciendo

E œ †

" ! ! â ! ? ? ? â ?6 " ! â ! ! ? ? â ?6 6 " â ! ! ! ? â ?

ã ã ã ä ã ã ã ã ä ã6 6 6 â " ! ! ! â ?

Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

#" ## #$ #8

$" $# $$ $8

8" 8# 8$ 88

"" "# "$ "8

y calculando los valores de los elementos que aparecen entre las dos matrices.8#

Por tanto, EB œ , ÐPY ÑB œ ,×

y si hacemos el sistema es equivalente a× PÐ Ñ œ ,Y B Y B œ D

P œ , D œ P ,D Ö "

¾ B œ Y P ,Y B œ P ," Ö " "

El procedimeiento que desdobla el sistema en los dos sistemas triangulares encerrados en unEB œ ,rectángulo se conoce como . Método de Doolittle

En cambio, si la matriz que lleva los unos en la diagonal principal es y no , el método se llamaráY P Método de Crout .

Ejemplo #Þ$Þ Dada la matriz tenemos:E œ$ " #' $ #

$ ! )Î ÑÏ Ò

E œ P † Y œ † œ" ! ! ? ? ? $ " #

6 " ! ! ? ? ' $ #6 6 " ! ! ? $ ! )

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò#" ## #$

$" $# $$

"" "# "$

œ œ Þ? ? ? $ " #

6 ? 6 ? ? 6 ? ? ' $ #6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? ? $ ! )

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

"" "# "$

#" "" #" "# ## #" "$ #$

$" "" $" "# $# ## $" "$ $# #$ $$

por lo que de la primera fila obtenemos que: ? œ $ ? œ " ? œ #"" "# "$

de la segunda (teniendo en cuenta los valores ya obtenidos) se tiene:

$6 œ ' 6 œ #6 ? œ $ ? œ "

#6 ? œ # ? œ #Ê

#" #"

#" ## ##

#" #$ #$

Ÿ

y de la tercera$6 œ $ 6 œ "

6 6 œ ! 6 œ "#6 #6 ? œ ) ? œ %

Ê$" $"

$" $# $#

$" $# $$ $$

Ÿes decir,



Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas


E œ œ † œ P † Y $ " # " ! ! $ " #' $ # # " ! ! " #

$ ! ) " " " ! ! %

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò

Definición #Þ#. Se denominan de una matriz , y se denotan por , a las submatricesmatrices fundamentales E E5

constituidas por los elementos de situados en las primeras filas y las primeras columnas, es decir:E 5 5

E œ + E œ E œ ß+ ++ +

+ + ++ + ++ + +

" "" # $"" "#

#" ##

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

a b Œ Î ÑÏ Ò etc.

Teorema #Þ$. Una matriz regular admite factorización si, y sólo si, sus matrices fundamentalesE PY E3

Ð3 œ "ß8Ñ son todas regulares.

Comprobar si una matriz admite factorización estudiando si todas sus matrices fundamentales sonPY regulares es un método demasiado costoso debido al número de determinantes que hay que calcular.

Definición #Þ%. Dada una matriz cuadrada , se dice que es una matriz de siE diagonal dominante

¸ ¸ ¸ ¸!+ + 3 œ "ß 833 355œ"

8

5Á3

Así, por ejemplo, la matriz es diagonal dominante.E œ$ " "! # "# # &

Î ÑÏ Ò

Teorema #Þ&. Toda matriz diagonal dominante es regular.

Teorema #Þ'. Las matrices fundamentales de una matriz de diagonal dominante, son también de diagonalE E5

dominante.

Como consecuencia de los Teoremas , y , podemos deducir el siguiente corolario.#Þ$ #Þ& #Þ'

Corolario #Þ(. Toda matriz diagonal dominante admite factorización .PY

Otro tipo de matrices de las que se puede asegurar que admiten factorización son las hermíticasPY definidas positivas, ya que las matrices fundamentales de éstas tienen todas determinante positivo, por lo que elTeorema garantiza la existencia de las matrices y .#Þ' P Y

#Þ#Þ"Þ Factorización de Cholesky

Una vez visto el método de Gauss basado en la factorización vamos a estudiar otros métodos que sePY basan en otros tipos de descomposiciones de la matriz del sistema.

Es conocido que toda matriz hermítica y definida positiva tiene sus autovalores reales y positivos y,además, en la factorización todos los pivotes son reales y positivos.PY





Teorema #Þ). [Factorización de Cholesky] Toda matriz hermítica y definida positiva puede ser descompuestaEde la forma con una matriz triangular inferior ( traspuesta de la matriz ; el hace unaE œ FF F F À F ‡‡ ‡

diferencia entre matriz compleja y real .Ñ

Nota: En la práctica pondremos con una triangular superior.E œ V V V ‡

La unicidad de las matrices y implica la unicidad de la matriz y, por tanto, ésta puede ser P Y Fcalculada por un método directo.

Ejemplo #Þ%Þ"Þ Sea el sistema B #C %D œ ' #B "$C #$D œ * %B #$C ((D œ &&

Que escrito matricialmente esÎ ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò

" # % B '# "$ #$ C *% #$ (( D &&

œ

Luego, escribimos la matriz asociada al sistema como un producto de dos matrices, una triangular inferior y la otra su traspuesta (que es una triangular superior) À


, ! ! , , , " # %, , ! ! , , # "$ #$, , , ! ! , % #$ ((

† œ"" "" #" $"

#" ## ## $#

$" $# $$ $$

×Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

, , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

œ" # %# "$ #$% #$ ((

#"" "" #" "" $"

#" "" #" $" ## $## ##" ##

$" "" $" #" $# ### # #$" $# $$

× Ö, œ " , œ "#

"" ""

, , œ # , œ #"" #" #"Ö

, , œ % , œ %"" $" $"Ö , , œ "$ , œ $# #

#" ## ##Ö

, , , , œ #$ , œ &#" $" ## $# $#Ö

, , , œ (( , œ '# # #$" $# $$ $$Ö

De esta forma, el sistema nos queda


" ! ! '# $ ! *% & ' &&

† œÎ ÑÎ ÑÏ ÒÏ Ò

" # % B! $ & C ! ! ' D

Ahora, hacemos el cual es equivalente aÎ ÑÎ Ñ Î Ñ

Ï ÒÏ Ò Ï Ò

" # % B +! $ & C ,

! ! ' D -

=


" ! ! '# $ ! *% & ' &&

†Î ÑÏ Ò

+,-

= × + œ ' ß , œ " ß - œ '

Por tanto,

Î ÑÎ ÑÏ ÒÏ Ò

" # % B! $ & C ! ! ' D

D C B=Î ÑÏ Ò

' "'

œ " ß œ # ß œ '×





Ejemplo #Þ%Þ#Þ Consideremos el sistema

Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò

% #3 % #3 B ! #3 # # #3 B !

% #3 # #3 "! B %œ

"

#

$

Realicemos la factorización de Cholesky * directamente, es decir FF

FF œ œ, ! ! % #3 % #3, , ! #3 # # #3, , , % #3 # #3 "!

, , ,

! , ,

! ! ,

*Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

Î ÑÐ ÓÏ Ò

""

#" ##

$" $# $$

"" #" $"

## $#

$$

×

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Ò

, , , , , ,

, , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

œ% #3 % #3

#3 # # #3% #3 # #3 "!

"" "" "" #" "" $"

#" "" #" ## #" $" ## $##" ##

$" "" $" #" $# ## $" $# $$$" $# $$

Igualando término a término se obtiene: | | . Utilizando este resultado tenemos que, œ % Ê""# , œ #""

#, œ #3 #, œ % #3#" $", por lo que y que por lo que ., œ 3 , œ # 3#" $"

Por otro lado, | | + | | , por lo que | | y, por tanto, ., , œ # , œ "#" ## ### # # , œ "##

Como tenemos que , es decir y, por tanto,, , , , œ # #3 " #3 , œ # #3 , œ "ß#" $" ## $# $# $#

, œ "$# .

Por último, | | + | | + | | , por lo que | | , es decir | | y, por , , , œ "! & " , œ "! , œ %$" $# $$ $$ $$# # # # #

tanto, . Así pues, el sistema nos queda de la forma, œ #$$

Î ÑÎ ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ ÒÏ Ò Ï Ò

# ! ! # 3 # 3 B ! 3 " ! ! " " B !

# 3 " # ! ! # B "œ

"

#

$

Haciendo ahora se obtiene y de aquí, queÎ ÑÎ Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

# ! ! C ! C ! 3 " ! C ! C !

# 3 " # C " C #œ œ

" "

# #

$ $

Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò# 3 # 3 B !! " " B !! ! # B #

œ"#

$

de donde la solución del sistema es

B œ " B œ " B œ "" # $

Hemos visto que toda matriz hermítica y definida positiva admite factorización de Cholesky, pero podemos llegar más lejos y enunciar el siguiente teorema.

Teorema #Þ*. Una matriz hermítica y regular es definida positiva si, y sólo si, admite factorización deECholesky.

#Þ$Þ Métodos iterados

Un método iterado de resolución del sistema es aquel que genera, a partir de un vector inicialEB œ ,B B B ß B á! " # 8, una sucesión de vectores , , . . . ,

Definición #Þ"!. Un método iterado se dirá que es con el sistema , si el límite de laconsistente EB œ , Bsucesión ( ), en caso de existir, es solución del sistema. Se dirá que el método es si la sucesiónB8 convergente

generada por cualquier vector inicial es convergente a la solución del sistema.B!





Es evidente que si un método es convergente es consistente, sin embargo, el recíproco no es cierto como prueba el siguiente ejemplo.

Ejemplo #Þ&Þ El método es consistente con el sistema pero no es convergente. EnB œ #B E , EB œ ,8" 8"

efecto: B B œ #B E , B8" 8

"

œ #B #B E , B8"

y como , se tiene queœ #ÐB BÑ ÐE , BÑ E , œ B8" "

B B œ #ÐB BÑ8" 8

Si existe tendremos quelim8Ä_

8‡B œ B

* ( * )B B œ # B B*Ê B B œ !* , es decir, el límite es solución del sistema ,Ê B œ B EB œ ,

por lo que el método es consistente.

Sin embargo, de obtenemos queB B œ #ÐB BÑ8" 8

|| || || || , es decir, el vector B B œ # B B B8" 8 8"

dista de el doble de lo que distaba , por lo que el método no puede ser convergente.B B8

Los métodos iterados que trataremos son de la forma en los que será la queB œ OB - O 8" 8

denominemos y que dependerá de y de y en el que es un vector que vendrá dado enmatriz del método E , -función de , y .E O ,

Teorema #Þ"". Un método iterado, de la forma , es consistente con el sistema si, y sóloB œ OB - EB œ ,8" 8

si, el vector es de la forma y la matriz es invertible.- - œ ÐM OÑE , M O "

Teorema #Þ"#. Un método iterado de la forma y consistente con el sistema esB œ OB - EB œ ,8" 8

convergente si, y sólo si, .lim8Ä_

8O œ !

Teorema #Þ"$. Si || || , el método ( ) converge a la solución de la ecuaciónO " B œ OB - a B −8" 8 !8‘

B œ OB - , que existe y es única (cualquiera sea la norma matricial empleada).

Es evidente que, en la práctica, no podremos nunca llegar al valor de (ya que habría que realizar Binfinitas iteraciones), por lo que será necesario detenernos en una determinada iteración y tomar el valor de B8

como una aproximación de la solución .B

El error cometido se mide calculando la distancia entre ambos vectores, es decir, la norma del vector

error || ||, pero como no conocemos el vector lo que se hace es medir la distancia entre susB B B8

transformados, es decir

|| || = || || .I EB ,8





#Þ$Þ"Þ Métodos de descomposición

Los métodos que vamos a estudiar, a continuación, consisten en descomponer la matriz invertible delEsistema de la forma de manera que la matriz sea fácilmente invertible, por lo queEB œ , E œ Q R Q reciben el nombre genérico de . El sistema queda entonces de la formamétodos de descomposición

( )Q R B œ , Ê QB œ RB , Ê B œ Q R B Q ," "

, es decir, expresamos el sistema de la forma con y .B œ OB - O œ Q R - œ Q ," "

Dado que

( ) ( )( ) ( ) ( )M O E , œ M Q R Q R , œ Q Q R Q R , œ Q , œ -" " " " " "

y la matriz ( ) ( ) es invertible, estamos en las condiciones delM O œ M Q R œ Q ÐQ R Ñ œ Q E" " "

Teorema por lo que el método es consistente con el sistema . Es decir, si el#Þ"' B œ OB - EB œ ,8" 8

proceso converge, lo hace a la solución del sistema.

Sabemos también, por el Teorema , que el proceso será convergente si se verifica que#Þ"$

|| || para alguna norma matricial.Q R ""

Para el estudio de los métodos que trataremos a continuación, vamos a descomponer la matriz de laEforma siendoE œ H I J

H œ à I œ à J œ

+ ! ! â ! ! ! ! â ! ! + + â +! + ! â ! + ! ! â !! ! + â ! + + ! â !ã ã ã ä ã ã ã ã ä ã! ! ! â + + + + â !

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

"" "# "$ "

## #"

$$ $" $#

88 8" 8# 8$

- -

8

#$ #8

$8

! ! + â +! ! ! â +ã ã ã ä ã! ! ! â !

Método de Jacobi

Consiste en realizar la descomposición . El sistema queda de laE œ Q R œ H ÐI J Ñ EB œ ,forma , o lo que es lo mismo, . Es decir:HB œ ÐI J ÑB , B œ H ÐI J ÑB H ," "

B œ N B -

con yN œ H ÐI JÑ - œ H ," "

La matriz se denomina .N œ H ÐI J Ñ œ H ÐH EÑ œ M H E" " " matriz de Jacobi

Teorema #Þ"%. Si es una matriz diagonal dominante, el método de Jacobi es convergente.E





Ejemplo #Þ'Þ"Þ Sea el sistema , dondeÎ ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò

# " ! B "! % $ C "" " & D %

œ

E œ œ HIJ œ # " ! # ! ! ! ! ! ! " !! % $ ! % ! ! ! ! ! ! $

" " & ! ! & " " ! ! ! !

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î Ñ

Ï Ò Ï Ò Ï Ò Ï Òes decir, yH œ à I œ J œ

# ! ! ! ! ! ! " !! % ! ! ! ! ! ! $! ! & " " ! ! ! !


Luego,

N œ M H E œ œ" ! ! # " !! " ! ! % $! ! " " " &

! ! ! !

! ! ! !

! ! !

"

" "# #

" $% %

" " "& & &


Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

y - œ H , œ

"

"#"

% %&

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Por tanto, de se tiene, considerando el vector inicial :B œ N B - 8" 8 B œ"!"

!

Î ÑÏ Ò

B œ ! ! œ œ

! !

!

"!"

!

""

"#

$%

" " % %& & & &

" "# #" "% %

$%"&

"#

"#

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

Î ÑÏ Ò

B œ ! ! œ œ

! !

!

" !

"

#

"#

$%

" " % %& & & &

" " $# % %

" $# %

" "# #" "% %

%&

Î ÑÎ Ñ Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

B œ ! ! œ œ

! !

!

"

!

$

"#

$%

" " % ( %& & & #! &

$

%

% #$& #!

" " "# # #" $ "% & %

"(#!Î ÑÎ Ñ Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

B œ ÞÞÞ%

ã B œ Ð!ß "ß "Ñ"'

w

B œ Ð!ß "ß "Ñ"(w

la solución del sistema es¾ B œ !ß C œ " ß D œ "

Método de Gauss-Seidel

Este método es el resultado de realizar la descomposición . El sistemaE œ Q R œ ÐH IÑ J EB œ , ÐH IÑB œ J B , B œ ÐH IÑ J B ÐH IÑ ,queda de la forma , o bien . Es decir:" "

B œ P B - "

con yP œ ÐH IÑ J - œ ÐH IÑ ,Þ"" "

La matriz P œ ÐH I Ñ J œ ÐE J Ñ ÐE J E Ñ œ M ÐE J Ñ E œ M ÐH I Ñ E"" " " "

recibe el nombre de .matriz de Gauss-Seidel

Teorema #Þ#!. Si es una matriz diagonal dominante, el método de Gauss-Seidel es convergente.E





Ejemplo #Þ'Þ#Þ Resolvamos el ejemplo anterior por este método

Aquí,

P" œ ÐH I Ñ J œ" Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò# ! ! ! " ! ! " !! % ! ! ! $ ! ! $" " & ! ! ! ! ! !

œ ! ! œ ! !

! ! ! !

!

" " "# #

" $% %

" " " " $"! #! & "! #!

y - œ ÐH I Ñ , œ" Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

Î ÑÏ Ò" "# #

" "% %

" " " "*"! #! & #!

! !

! ! œ

""

%

Por tanto, de se tiene, considerando el vector inicial :B œ P B - 8" " 8 B œ!!!

!

Î ÑÏ Ò

B œ œ œ

! !

! !

!

! !! !! !

"

" " " "# # # #

$ " " "% % % %

" $ "* "* "*"! #! #! #! #!

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò


B œ œ œ

! !

! !

!

!ß "#&!ß("#& !ß""(&

#

" " " "

# # # #$ " " " ((% % % % )!

" $ "* "* "*"! #! #! #! #!

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Î ÑÎ Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ Ó Ð ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï ÒÎ ÑÏ Ò

B œ œ œ

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! !

!

"ß!&!'$ "ß!"$

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Ï ÒÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï ÒÎ ÑÏ Ò))

B œ œ œ

! !

! !

!

!ß !")(& !ß &#&$"& !ß !#&$"&"ß !&!'$ !ß ('!%"

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" " "# # #

$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò"ß!"!%"

!ß **(!"*

B œ œ œ

! !

! !

!

!ß !#&$"& !ß &!&#!& !ß !"ß !"!%" !ß (%(('%

!ß **(!"* !ß !%)&""*&

" " "# # #

$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï ÒÎ Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò!&#!&

!ß **(('% !ß**)&"#

B œ œ œ

! !

! !

!

!ß !!&#!& !ß %*)))# !ß !!ß **(('% !ß (%)))%

!ß **)&"# !ß !&!!!!%'

" " "# # #

$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!



!""")!ß **)))%

"

B œ œ œ

! !

! !

!

!ß !!""") !ß %**%%# !ß !!!&&)!ß **)))% !ß (& "

" !ß !&!"""' "ß !!!(

" " "# # #

$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!


Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò""

B œ œ œ

! !

! !

!

!ß !!!&&) !ß & !" !ß (&!!)$ "ß !!!!)

"ß !!!"" !ß !&!!"'& "ß !!!!#)

" " "# # #

$ " "% % %

" $ "* "*"! #! #! #!



la solución del sistema es¾ B œ !ß C œ " ß D œ "





Métodos de relajación SOR (Succesive Over-Relaxation)

Este método realiza la descomposición

E œ H H I J œ ÐH IÑ H J œ Q R " " " "

= = = =

= == Œ

El sistema se transforma entonces enEB œ ,

" " ÐH IÑB œ H J B , Ê ÐH IÑB œ Ð" ÑH J B ,

= == = = = =

=Œ a bÊ B œ ÐH IÑ Ð" ÑH J B ÐH IÑ ,= = = = =" "a b

Es decir:B œ P B - =

con yP œ ÐH IÑ Ð" H J Ñ - œ ÐH IÑ ,= = = = = =" "a bLa matriz del método recibe el nombre de matriz de relajación.P œ ÐH IÑ Ð" H J Ñ= = = ="a b

Si la matriz se reduce a , es decir, se trata del método de Gauss Seidel. œ "=

Si se dice que se trata de un método de . "= sobre-relajación

Si se dice que se trata de un método de . "= sub-relajación

Teorema #Þ"&. Una condición necesaria para que converjan los métodos de relajación es que ( ).= − ! ß #

Teorema #Þ"'. Si la matriz del sistema es diagonal dominante, los métodos de relajación son convergentesEcualquiera que sea ( ].= − ! ß "

Teorema #Þ"(. Si la matriz del sistema es simétrica y definida positiva, los métodos de relajación convergen si,Ey sólo si, ( ).= − ! ß #





#Þ%Þ Ejercicios

Ejercicio #Þ" À E\ œ , œ" " B #" "ß !" C #ß !"

Considere el sistema lineal dado por Œ Œ Œ a) Calcule su solución exacta.

b) altere la segunda fila del sistema obteniendo ; y, calcule su solución exacta.Œ Œ Œ " " B #" "ß !"" C #ß !"

œ

c) ¿Es la matriz mal condicionada?

Solución:a) Despejando la primera ecuación y reemplazando en la segunda obtenemos

B C œ # B œ # CÖ

y# C "ß !"C œ #ß !" !ß !"C œ !ß !" C œ " B œ "Ö Ö

b) Análogamente, # C "ß !""C œ #ß !" !ß !""C œ !ß !" C œ œ !ß *!Ö Ö "!""

c) Discución en grupo.

Ejercicio #Þ" À E œ+ ,

+ ,Estudiar el número de condición de Frobenius de la matriz Œ &

Solución: A efectos de norma, en todo el ejercicio trataremos a la matriz como un vector de .‘%

El determinante de es .E ./>ÐEÑ œ +, ,Ð+ Ñ œ ,& &

Si tanto como son distintos de cero, el determinante de la matriz es no nulo y, por tanto, A es, E&invertible, siendo su inversa:

E œ"

,

, , + +

"

& &Œ El número de condición de Frobenius viene dado por .R ÐEÑ œ E EJ J J

"

¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼E œ + , Ð+ Ñ , œ #+ #, #+ #

## # # # # # #& & &

¼ ¼E œ œ, , Ð + Ñ + #+ #, #+

, ," #

#

# # # # # # #

# # # #

& & &

& &

Por lo que:

Ê R ÐEÑ œ Ê R ÐEÑ œÐ#+ #, #+ Ñ Ð#+ #, #+ Ñ

, ,##

# # # # # # #

# # #

& & & &

& &¸ ¸Obsérvese que cuando tiende a cero, el número de condición de Frobenius lo hace a infinito,& R ÐEÑJ

por lo que la matriz está mal condicionada.E

Por ejemplo: para y se tiene que+ œ "! , œ "

R ÐEÑ œ œ „ #! #!# #! #!#

#

#& &

& &&¸ ̧ ¸ ̧ ¸ ¸

Si el número de condición de Frobenius resulta ser .& œ "! R ÐEÑ ̧ # † "!) "!J





Ejercicio #Þ# À B C œ #

#B C œ $

Dado el sistema

1.Calcular su número de condición de Frobenius.2.Calcular para que el número de condición del sistema resultante de sumarle a la segunda ecuación la primera+multiplicada por dicha constante , sea mínimo.+

Solución:

1.La matriz del sistema es , por lo queE œ Ê E œ" " " "# " # "Œ Œ "

¼ ¼

¼ ¼ ŸE œ (

E œ (Ê R ÐEÑ œ ( Ê R ÐEÑ œ (

#

J

" #

J

# #J J

2.El sistema resultante sería : cuya matriz esB C œ #

Ð+ #ÑB Ð+ "ÑC œ #+ $

F œ Ê F œ" " + " "

+ # + " + # "Œ Œ "

y, por tanto,

¼ ¼¼ ¼ ŸF œ #+ '+ (

F œ #+ '+ (Ê R ÐFÑ œ Ð#+ '+ (Ñ Ê R ÐFÑ œ #+ '+ (

#

J #

" ##

J

# # #J J

Para hallar el mínimo de con ( ) derivamos y obtenemos , que seR ÐFÑ + − _ß _ R œ %+ 'J wJ

anula para .+ œ $#

Dado que ( ) se trata, efectivamente, de un mínimo.R F œ % !wwJ

El sistema resultante es, en ese caso: B C œ #" "

# #B C œ !

y su número de condición de Frobenius es .R Ð FÑ œ œ #ß &

&

#J

Ejercicio #Þ$ À $B %C œ (

$B &C œ )

Dado el sistema Sustituir la segunda ecuación por una combinación lineal de

ambas, de forma que el número de condición sea mínimo.

Solución: La matriz resultante de la combinación lineal es F œ$ %

$+ $, %+ &,Œ Una matriz tiene número de condición euclideano mínimo (y vale ) si, y sólo si, es proporcional a una matriz"

unitaria. Por tanto, debe tener las filas (o las columnas) ortogonales y de igual norma.F

a. a bŒ $ %$+ $,%+ &,

œ ! Ê $Ð$+ $,Ñ %Ð%+ &,Ñ œ ! Ê #&+ #*, œ !

b. (cuadrado de la norma de la primera fila).a bŒ $ %$%

œ #&

c. (cuadrado de la norma de la segunda fila).a bŒ $+ $, %+ &,$+ $,%+ &,

œ #&+ $%, &)+,# #

Las condiciones que tenemos son:

#&+ #*, œ !

#&+ $%, &)+, œ #&Ê# # Ÿ , œ +#&

#*





Sustituyendo en la segunda condición se obtiene:

#&+ $% + &)+ + œ #& Ê " + œ "#& #& $% † #& &)

#* #* #* #*#

#

##Œ Œ Œ

Ê " + œ " Ê + œ " Ê + œ Ê)&! * )%"

)%" )%" *Œ # # # + œ „

#*

$

Ê + œ „ œ#& #& #*

#* #* $ , œ „

#&

$Œ

Tomando, por ejemplo, y (el otro caso es análogo), obtenemos:+ œ , œ #* #&

$ $

F œ œ & † œ & † Y $ % !ß ' !ß )% $ !ß ) !ß 'Œ Œ

es decir, donde es proporcional a una matriz unitaria (que posee norma uno), por lo que el sistema resultanteF$B %C œ ( R ÐFÑ œ "

%B $C œ " tiene número de condición euclídeo .#

Ejercicio #Þ% À PY Comprobar que la matriz admite factorización y realizarla.Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" # ! ! !" % $ ! !! % * % !! ! * "' &! ! ! "' #&

Solución: Dado que los menores principales (como vemos a continuación) son todos no nulos, la matriz admitefactorización (véase el Teorema ).PY #Þ'

¸ ̧ ̧ ¸ ¸ ̧ ¸ ̧º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ âE œ " œ " Á !à E œ œ % # œ # Á !à E œ œ $' ") "# œ ' Á !

" #" %

" # !" % $! % *

" # $

¸ ¸â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â

E œ œ " † # † œ #%! # † "!) œ #% Á !

" # ! !" % $ !! % * %

! ! * "'

% $ ! " $ !% * % ! * %

! * "' ! * "'

%

¸ ¸E œ œ&

â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â

" # ! ! !" % $ ! !! % * % !! ! * "' &! ! ! "' #&

œ " #

% $ ! ! " $ ! !% * % ! ! * % !! * "' & ! * "' &! ! "' #& ! ! "' #&

% $ #* % ! % % ! * % !* "' & ! "' & * "' &! "' #& ! "' #& ! "' #&

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â œ

œ % † "*)! $ † "#)! # † "*)! œ "#! Á !

Ambas matrices ( y ) son bidiagonales, por lo queP Y

E œ PY ÊÎ Ñ Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

" # ! ! ! " ! ! ! ! ? ? ! ! !" % $ ! ! 6 " ! ! ! ! ? ? ! !! % * % ! ! 6 " ! ! ! ! ? ? !

! ! * "' & ! ! 6 " ! ! !! ! ! "' #& ! ! ! 6 "

œ †#" ## #$

$# $$ $%

%$

&%

"" "#

! ? ?! ! ! ! ?

%% %&

&&

Es evidente que y que (basta para ello calcular la primera fila de la matriz producto e? œ " ? œ #"" "#

igualarla con la primera fila de la matriz ).E

6 ? œ + œ " Ê 6 œ " 6 ? ? œ + œ % Ê ? œ % # œ ##" "" #" #" #" "# ## ## ##

? œ + œ $ 6 ? œ + œ % Ê 6 œ ##$ #$ $# ## $# $#

6 ? ? œ + œ * Ê ? œ $ ? œ + œ %$# #$ $$ $$ $$ $% $%

6 ? œ + œ * Ê 6 œ $ 6 ? ? œ + œ "' Ê ? œ %%$ $$ %$ %$ %$ $% %% %% %%





? œ + œ & 6 ? œ + œ "' Ê 6 œ %%& %& &% %% &% &%

6 ? ? œ + œ #& Ê ? œ &&% %& && && &&

Por tanto,

P œ Y œ

" ! ! ! ! " # ! ! !" " ! ! ! ! # $ ! !

! # " ! ! ! ! $ % !! ! $ " ! ! ! ! % &! ! ! % " ! ! ! ! &

Î Ñ Î Ñ

Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Òy

Ejercicio #Þ& À E œRealizar la factorización de Cholesky de la matrizÎ ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" " " "" & $ $" $ "" &" $ & "*

Solución: La matriz es hermítica por tratarse de una simétrica y real.E

Además, dado que los menores principales son positivos, es definida positiva.

¸ ̧ ̧ ¸ ¸ ̧ º ºE œ " œ " ! E œ œ % !

" "

" &" #

¸ ¸ ¸ ¸â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â

â â

â âE œ œ $' ! E œ œ &(' !

" " "" & $" $ ""

" " " "" & $ $" $ "" &" $ & "*

$ %

Al tratarse de una matriz hermítica y definida positiva, el Teorema nos garantiza su factorización#Þ""de Cholesky. En dicha factorización ( ), al ser una matriz real, se tiene que , por lo que:E œ V V E V œ V‡ ‡ >

Î ÑÎ Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò

< ! ! ! < < < < " " " "< < ! ! ! < < < " & $ $< < < ! ! ! < < " $ "" &< < < < ! ! ! < " $ & "*

œ

"" "" #" $" %"

#" ## ## $# %#

$" $# $$ $$ %$

%" %# %$ %% %%

de donde< œ " Ê < œ " < < < < œ $ Ê < œ "#

"" "" #" $" ## $# $#

< < œ " Ê < œ " < < < < œ $ Ê < œ """ #" #" #" %" $# %# %#

< < œ " Ê < œ " < < < < < < œ & Ê < œ """ $" $" $" %" $# %# $# %$ %$

< < œ " Ê < œ " < < < œ "" Ê < œ $"" %" %" $$# # #$" $# $$

< < œ & Ê < œ # < < < < œ "* Ê < œ %# # # # # ##" ## ## %%%" %# %$ %%

y, por tanto,

E œ œ V VÎ Ñ Î ÑÎ ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï ÒÏ Ò

" " " " " ! ! ! " " " "" & $ $ " # ! ! ! # " "" $ "" & " " $ ! ! ! $ "" $ & "* " " " % ! ! ! %

œ ‡

Ejercicio #Þ' À Resolver, por el método de Cholesky, el sistema


" # $ B (# & % B *$ % "% B $$

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Solución: Es fácil comprobar que la matriz del sistema es hermítica (por ser simétrica y real) y definida positiva(compruébese que sus tres menores principales son positivos) y que, por tanto, el Teorema nos garantiza la#Þ""factorización de Cholesky.





Al tratarse de un sistema real, la factorización de Cholesky es de la forma siendo unaE œ V V V>

matriz triangular superior.

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El sistema se transforma en , por lo que haciendo y loEB œ , V VB œ , VB œ C VC œ ,>

descomponemos en dos sistemas triangulares de fácil resolución.

V C œ , Ê œ Ê" ! ! C ( C œ (# " ! C * #C C œ * Ê C œ &

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Es decir, la solución del sistema es , y .B œ $ B œ " B œ #" # $

Ejercicio #Þ( À Resolver, por el método de Cholesky, el sistema

Î ÑÎ Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò' " $3 " #3 B " #3

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Solución: La matriz del sistema verifica que es decir, se trata de una matriz hermítica. Además, dadoE E œ E‡

que

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; y, además de hermítica es definida positiva, por lo que el Teorema nos garantiza su factorización de#Þ""Cholesky donde es una matriz triangular superior.E œ V V V‡

Î Ñ Î ÑÎ ÑÏ Ò Ï ÒÏ Ò

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El sistema, que podemos expresar de la forma , se reduce a dos sistemas triangulares:V VB œ ,‡

V C œ , VB œ C‡ y .

V C œ , Ê œ Ê œ

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È Obteniéndose como solución: .B œ " #3 B œ $ 3 B œ " #3" # $

Ejercicio #Þ) À Resolver por el método de Cholesky el sistema


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# #3 " $3 ( B $ %3œ

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$

Solución: La matriz del sistema verifica que * es decir, se trata de una matriz hermítica. Además, esE E œ Efácil comprobar que sus tres menores principales son positivos, por lo que además de hermítica es definida

positiva y, por tanto, el Teorema nos garantiza su factorización de Cholesky donde es una#Þ"" E œ V V V‡

matriz triangular superior.


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¸ ¸ Ÿ Î ÑÏ Ò! " #3

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El sistema , que puede expresarse de la forma * , se descompone en dos: * yEB œ , V VB œ , V C œ ,VB œ C.

Î ÑÎ Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ ÒÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

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" 3 #3 " C $ %3 C "œ Ê œ

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$ $

Por lo que la solución del sistema es , y .B œ " B œ # B œ "" # $





Ejercicio #Þ* À E œDada la matriz se pide:Î ÑÏ Ò

: : #: : : # "#: " ': "

1.Determinar para qué valores de es hermítica y definida positiva.:ß E2.Para , efectuar la factorización de Cholesky y utilizarla para resolver el sistema , siendo: œ " EB œ ,

, œ " ! $a b>

.

Solución: 1.Una matriz es hermítica si verifica que , por lo que nuestra matriz será hermítica si, y sóloE E œ E‡

si ; es decir, si es real.: œ : :

Para que sea definida positiva han de ser positivos los tres menores fundamentales de la matriz.

¸ ̧ ¸ ̧ º ºE œ : !à E œ œ #: !à: :

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Como ha de ser se tiene que | | si .: ! E ! %: ): $ !$#

%: ): $ œ ! Ê : œ : œ Ê %: ): $ ! : # #" $ " $# # # #ó ×

En conclusión: es hermítica y definida positiva si, y sólo si, es un número real comprendido entre y .E : " $# #

2.Para se trata de la matriz y como , se trata de una matriz hermítica y: œ " E œ " − ßÎ ÑÏ Ò

" " # " $ "# " &

ˆ ‰" $# #

definida positiva, por lo que el Teorema nos garantiza su factorización de Cholesky (pues se trata#Þ"" E œ V V>

de una matriz real y, por tanto, * ).V œ V >

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El sistema puede escribirse de la forma y descomponerse en dos: y .EB œ , V VB œ , V C œ , VB œ C> >

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

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B B !B B "

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#

por lo que la solución del sistema es , y .B œ " B œ ! B œ "" # $





Ejercicio #Þ"! À œ "ß #Resolver por los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR con , el sistema=$B B B œ !

B B $B œ !

$B B œ &

" # $

" # $

# $

Solución: Si permutamos las dos últimas ecuaciones, el sistema se convierte en uno de diagonal dominante, lo

que nos asegura la convergencia de los dos primeros métodos (Teoremas y ) sin haber alterado el#Þ"* #Þ#!número de condición de la matriz, ya que un intercambio de filas se realiza mediante una transformaciónunitaria. Respecto al tercero de los métodos, el Teorema nos dice que el método puede ser convergente,#Þ#"

pero no podemos garantizar su convergencia. Resolveremos, por tanto el sistema

$B B B œ !

$B B œ &

B B $B œ !

" # $

# $

" # $

Si realizamos la descomposición donde es una matriz diagonal con los elementosE œ H I J Hdiagonales de la matriz , la triangular inferior de y la triangular superior de ,E I E H J E Hobtenemos que

H œ I œ J œ

$ ! ! ! ! ! ! " "

! $ ! ! ! ! ! ! "! ! & " " ! ! ! !Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò

obteniéndose, para cada uno de los métodos:

".Jacobi: conB œ N B -8" 8

N œ H ÐI J Ñ œ - œ H , œ

!

! !

!

!

!

" "

" "$ $

"$

" "$ $

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Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÏ Òy

iniciando el proceso con el vector nulo e iterando mientras que la norma del error sea || ||EB , "!"%

(como ejercicio a mano que sea obtenemos, con MATLAB, que ( ).ß "! Ñ B œ "ß #ß "&&&

#.Gauss-Seidel: conB œ P B -8" " 8

P œ ÐH IÑ J œ - œ ÐH IÑ , œ

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"$

" #* *

&$

&*

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Òy

tomando como vector inicial al vector nulo e iterando mientras que la norma del error sea || ||EB , "!"%

(como ejercicio a mano que sea obtenemos, con MATLAB, que .ß "! Ñ B œ Ð"ß #ß "Ñ&$"

3.SOR : conB œ P B -8" 8=

P œ ÐH † I Ñ ÐÐ" Ñ † H † J Ñ

- œ ÐH † IÑ ,Ê= = = =

= =

"

" Ÿ

ÚÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÜ

Î ÑÏ ÒÎ ÑÏ Ò

P œ ÐH "ß # † I Ñ Ð!ß # † H "ß # † J Ñ œ !ß # !ß % !ß %! !ß # !ß % !ß !) !ß !) !ß "#

- œ "ß #ÐH "ß # † IÑ , œ!#

! ß )

"ß#"

"

Comenzando con el vector nulo e iterando mientras que la norma del error seaB œ Ð!ß!ß!Ñ!

|| || (como ejercicio a mano que sea obtenemos, con MATLAB, que ( ).EB , "! ß "! Ñ B œ "ß #ß ""% &$%





Ejercicio #Þ"" À œ "ß #Resolver por los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR con , el sistema=

"!B B #B œ '

B ""B B $B œ #&

#B B "!B B œ ""

$B B )B œ "&

" # $

" # $ %

" # $ %

# $ %

Solución: Al ser de diagonal dominante la matriz del sistema, sabemos que los dos primeros métodos van a ser convergentes (véanse los Teoremas y ). Respecto al tercero de ellos, sólo sabemos, por el Teorema#Þ"* #Þ#!#Þ#" "ß # !ß #, que el método puede ser convergente, ya que pertenece al intervalo ( ).

Realizando la descomposición tenemos queE œ H I J

H œ ß I œ ß J œ

"! ! ! ! ! ! ! ! ! " # !! "" ! ! " ! ! ! ! ! " $! ! "! ! # " "! ! ! ! ! "! ! ! ) ! $ " ! ! ! ! !

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

Obteniéndose, para los distintos métodos:

".Jacobi: conB œ N B -8" 8

N œ H ÐI J Ñ œ - œ! !ß " !ß # ! !ß '!ß !* ! !ß !* !ß #( #ß #(

!ß # !ß " ! !ß " "ß "! !ß $(& !ß "#& ! "ß )(&

" Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Òy

y tomando como vector inicial al vector nulo e iterando mientras que la norma del error sea|| || (como ejercicio a mano que sea obtenemos, con MATLAB, que .EB , "! ß "! Ñ B œ Ð"ß #ß "ß "Ñ"% &

%#

#.Gauss-Seidel: conB œ P B -8" " 8

P œ ÐH IÑ J œ - œ

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iniciando el proceso con el vector nulo e iterando mientras que la norma del error sea || ||EB , "!"%

(como ejercicio a mano que sea obtenemos, utilizando MATLAB, que ( ).ß "! Ñ B œ "ß #ß "ß "& "'

$.SOR : conB œ P B -8" 8=

P œ ÐH † I Ñ ÐÐ" Ñ † H † J Ñ

- œ ÐH † IÑ ,Ê= = = =

= =

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Ï ÒComenzando con el vector nulo e iterando mientras que la norma del error sea || || (comoEB , "!"%

ejercicio a mano que sea obtenemos, con MATLAB, que ( ).ß "! Ñ B œ "ß #ß "ß "&#%





Actividad Personal


"Þ B œ "! / C œ "!B C œ !B !ß******C œ "El sistema tiene solución exacta . Encuentre laœ' '

solución exacta del sistema . Comente los resultados.œ B C œ !B "ß !!!!!"C œ "

#Þ E PY Chequee si tiene factorización

a) b)E œ E œ" " "" # #

# " "

% $ # "$ % $ ## $ % $" # $ %

Î ÑÏ Ò


$Þ Verifique si alguna de las siguientes matrices pueden ser factorizadas por Choleski. Si es así resuelvaalguna de ellas.

a) b)E œ E œ#ß #& $ß ! %ß & $ß ! &ß ! "!ß !%ß & "!ß ! $%ß !

"& ") "& $ ") #% ") %"& ") ") $ $ % $ "

Î ÑÏ Ò


%Þ Para los siguientes sistemas de ecuaciones, verifique si los métodos iteativos de Jacobi y Gauss-Seidelconvergen o no. Donde haya convergencia calcule las iteraciones hasta un error menor que "! Þ$

a) b) c)

Ú Ú ÚÛ Û ÛÜ Ü Ü

#B C œ " #+ , $- œ " B #B $B œ !B 'C œ $ + $, #- œ "# %B B B œ '#C D œ " $+ , $- œ ! #B $B B œ #

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d) e)

ÚÛ ÛÜÚÝÝÝÝÜ

#B C D œ "B C œ "B C #D œ #

+ #, . œ !$+ , % - œ #+ - $. œ "#+ , - œ "

&Þ Reordene convenientemente, si se puede, los sistemas anteriores de tal manera que pueda usar el métodoWSV con

a) = œ "ß # b) 0,8= œ





ada una función no nula : resolver la ecuación ( ) es hallar los valores de queW 0 Ä ß 0 B œ ! BV V anulan a dicha función. A estos valores de se les denomina raíces o soluciones de la ecuación, o también, cerosBde la función ( ).0 B

Los métodos de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones se clasifican en e .directos iterados

Los del primer grupo nos proporcionan la solución mediante un número finito de operaciones elementales,

mientras que los iterados producen unasucesión convergente a la solución del problema.Un ejemplo de método directo es la conocida fórmula de resolución de las ecuaciones de segundo grado

+B ,B - œ !# , cuyas soluciones vienen dadas por la fórmula:

B œ , „ , %+-

#+

È #

Sin embargo, el siglo antepasado Abel probó que no existe ninguna fórmula equivalente (en término deraíces) para resolver ecuaciones de grado superior a cuatro. Además, si la ecuación no es polinómica no podemosresolverla más que mediantemétodos iterados que, incluso en el caso de las polinómicas de grado no superior acuatro, son más eficientes.

Definición $Þ". Una solución de la ecuación ( ) se dice que tiene multiplicidad siB 0 B œ ! 8

y0ÐBÑ œ 0 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ œ â œ 0 ÐBÑ œ ! 0 ÐBÑ Á !w ww Ð8"Ñ Ð8Ñ

Si la multiplicidad de una raíz es , diremos que es ." simple

Todos los métodos numéricos de resolución de ecuaciones presentan dificultades cuando la ecuacióntiene raíces múltiples, yaque todos ellos se basan en los cambios de signo de la función y éstos son difícilmentedetectables en un entorno de una raíz múltiple. Ese hecho produce que en estos casos el problema esté malcondicionado.

En el caso de las ecuaciones algebraicas ( ) este problema se puede solucionar buscando otraT B œ !8

ecuación que posea las mismas raíces que la dada pero todas ellas simples, es decir, eliminando las raícesmúltiples.

Por el sabemos que ( ) posee raíces y, por tanto, puede ser Teorema fundamental del álgebra T B 88

factorizado de la forma ( ) ( )( ) · · · ( ) donde , , . . . , son los ceros delT B œ + B B B B B B ß B B B8 ! " # " #8 8 polinomio.

Si existen raíces múltiples, las podemos agrupar para obtener ( ) ( ) ( ) ( ) donde representa la multiplicidad deT B œ + B B B B â B B ß 7

8 ! " # 5 3

7 7" # 57

la raíz ( ) y verificándose que + .B 3 œ "ß 5 7 7 â 7 œ 83 " # 5

Derivando esta expresión obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T B œ 8+ B B B B â B B † U B8 ! " # 5 5"

7 " 7 #" # 57 5w

con ( ) distinto de cero para cualquier .U B 3 œ "ß 55" "

Por tanto, si es una raíz de la ecuación con multiplicidad , es también una raíz deB 5T B œ ! T B8 8( ) ( )w

œ ! pero con multiplicidad , por lo que5 "

H B T B T B œ B B B B â B B( ) = M.C.D. [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( )8 8 " # 5

7 " 7 #" # 57 5w

obteniéndose que:

U B œ œ + B B B B â B B( ) ( ) ( ) ( )T B

H B8

! " # 5

( )( )

es un polinomio cuyas raíces son las mismas que las de ( ) pero todas ellas simples.T B8

Si ya conocemos que una ecuación sólo tiene raíces simples y queremos encontrarlas, parece apropiadoque un primer paso consista en detectar las posibles situaciones en éstas. Así por ejemplo, si son reales,determinar intervalos de una amplitud reducida en los que se encuentren las raíces de la ecuación.





$Þ" Acotación y separación de raíces.

Definición $Þ#. Dada una ecuación ( ) (en general compleja) se denomina acotar las raíces a buscar dos0 B œ !números reales positivos y tales que | | para cualquier raíz de la ecuación.< < Ÿ B Ÿ BV V

Figura Acotaciòn de raices$Þ" À

Geométricamente consiste en determinar una corona circular de radios y , que se muestra en la< VFigura , y dentro de lacual se encuentran todas las raíces. En el caso real se reduce a los intervalos ( ,$Þ" V < <) y ( , ).V

Veamos una cota para las raíces de una ecuación algebraica.

Proposición $Þ$. Si es una raíz de la ecuación ( ) , se verifica que:B T B œ + B + B â + œ !! " 8

8 8"

siendo¸ ¸ ¸ ¸B " E œ +E+ 3¸ ¸

!

máx3 "

Proposición $Þ%. [Regla de Laguerre] Consideremos la ecuación

( ) .T B œ + B + B ÞÞÞ + œ !! " 88 8"

Sean (x) = el cuociente y el resto de la división del ( ) entre .G + B ÞÞÞ , B , < T B B -! 8# 8"

8 "

Si y para cualquier , el número real es una cota superior para las raíces< ! , ! ! Ÿ 3 Ÿ 8 " -3

positivas de la ecuación. (Trivialmente lo es también para las raíces negativas).

El procedimiento consiste en comenzar con la cota obtenida anteriormente (que no suelen ser muy

buena) e ir disminuyéndola hasta afinarla todo lo que podamos.Las cotas obtenidas anteriormente nos delimitan la zona en la que debemos estudiar la existencia de

soluciones de la ecuación pero, en realidad, lo que más nos acerca a nuestro problema (resolver la ecuación) esseparar cada raíz en un intervalo. A este proceso se le conoce como separación de raíces y estudiaremos unmétodo que se conoce como método de Sturm que nos permite separar las raíces de una ecuación, aunque en la

práctica sólo se utiliza en el caso de las ecuaciones algebraicasÞ

$Þ#Þ Método y algoritmo de la bisección: análisis de errores

Este método consiste en la aplicación directa del teorema de Bolzano.

Teorema $Þ&. [Teorema de Bolzano] Si ( ) es una función continua en el intervalo cerrado [ ] y ( )· ( )0 B +ß , 0 + 0 , ! + + , 0 + œ !, existe unpunto en ( , ) para el cual es ( ) .

Nuestro problema se reduce a localizarla. Para ello, supongamos que está separada, es decir, que en elintervalo [ ] es la única raíz que existe. Esto podemos garantizarlo, por ejemplo, viendo que '( ) es distinta+ß , 0 Bde cero en todo el intervalo, ya que entonces, el Teorema de Rolle (que se enuncia a continuación) nos garantizala unicidad de la raíz.

Teorema $Þ'. [Teorema de Rolle] Si ( ) es una función continua en el intervalo cerrado [ ], derivable en el0 B +ß ,abierto ( ) y ( ) ( ), existe un punto a en ( ) para el que '( ) .+ß , 0 + œ 0 , +ß , 0 + œ !





En efecto, si ( ) tuviese dos raíces y en el intervalo [ ], verificaría las hipótesis del teorema de0 B + + +ß ," #

Rolle en el intervalo [ , ] (que se encuentra contenido en [ ]) , por lo que debería existir un punto a de+ + +ß ," #

( , ) y por tanto de ( ) en el que se anulara la derivada, por lo que si '( ) no se anula en todo el intervalo+ + +ß , 0 B" #

[ ], no pueden existir dos raíces de la ecuación en dicho intervalo.+ß ,

Si dividimos el intervalo por la mitad, la función ha de tener necesariamente signos opuestos en los

extremos de uno de los semi-intervalos, por lo que la raíz buscada se encuentra en dicho semi-intervalo.Reiterando el proceso podemos conseguiracercarnos tanto como queramos a la raíz buscada.

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que ( ) es creciente en [ ].0 B +ß ,

P Tomamos = y

1Ñ + œ+ , , +

# #! &

P Si ( ) entonces FIN. es la raíz exacta#Ñ 0 + œ ! + œ +! !

Si ( ) entonces hacemos0 + ! , œ +! !

Si ( ) entonces hacemos0 + ! + œ +! !

Se repite el paso 1, es decir, hacemos = y+ œ+ , , +

# #!&

P Si (error prefijado), entonces FIN. El valor de es la raíz$Ñ & "! +5

!buscada con cifras decimales exactas.5

Si , entonces repetimos el paso 2.& "!5

El error cometido, tomando como raíz de la ecuación el punto medio del intervalo obtenido en la

iteración -ésima , vienedado por , por lo que si y se tiene que ,8 & &8 œ , + œ " 8 œ * "!, + "

# #

( ) 8 " "!

$

*

es decir, en iteraciones obtenemos tres cifras decimales exactas.*

$Þ#Þ". Algoritmo

Para [ ] y punto medio del intervalo3 œ !ß "ß #ß á ß 8ß á ß M œ + ß , 7 œ Ð M Ñ3 3 3 3 3+ ,

#3 3

[ ] y[ ] si sig ( ( ) sig ( ( )[ ] si sig ( ( ) sig ( ( )M œ + ß , M œ+ ß 7 0 + Ñ Á 0 7

7 ß , 0 , Ñ Á 0 7! 3 "3 3 3 3

3 3 3 3El proceso debe repetirse hasta que o bien

con prefijado.

ÚÛÜ

0Ð7 Ñ œ !

, + !

3

3 3 & &

Se tiene, por tanto: :M8:?> +ß ,ß ß 0ÐBÑ&

:S?>:?> 7 A236/ Ð, +ÑÎ# &

7 Ã + Ð, +ÑÎ# 30 0Ð7Ñ œ ! + Ã 7 , Ã 7

/8. 30 30 =318Ð0Ð+ÑÑ œ =318Ð0Ð7ÑÑ + Ã 7 /8. 30 30 =318Ð0Ð,ÑÑ œ =318Ð0Ð7ÑÑ , Ã 7 /8. 30 /8. :<38> 7





El hecho de calcular el punto medio de [ ] como es debido a que para valores muy+ß , 7 œ +Ð,+Ñ#

pequeños de y puede darse el caso de que se encuentre fuera del intervalo [ ].+ , +ß ,Ð+,#

)

Ejemplo $Þ"Þ Supongamos que se quiere calcular la raíz cuadrada de 3, para lo que vamos a buscar la raíz positiva de la ecuación ( ) con ( ) .0 B œ ! 0 B œ B $#

Dado que ( ) y ( ) =1 , el teorema de Bolzano nos garantiza la existencia de una0 " œ # ! 0 # !raíz (que además, el teorema de Rolle nos asegura que es única ya que ( ) no se anula en el intervalo0 B œ #Bw

[ ])."ß #

Para obtener la raíz con 14 cifras decimales exactas, es decir, con un error menor que tendríamos"!"%

que detener el proceso cuando o, lo que es lo mismo, cuando para lo que ha de ser Ð#"Ñ

#8 "

"% 8 " "% "! # "!

8 %' 7es decir, tendríamos que detenernos en para poder garantizar la precisión exigida.%'

Vamos a ver a continuación otros métodos que reducen, de forma considerable, el número deoperaciones.

$Þ$ÞPunto fijo e iteración funcionalYa se comentó que los métodos iterados consisten en crear una sucesión convergente a la solución del

problema.

Definición $Þ(Þ Una función : se dice contractiva si verifica | ( ) ( )| | | cualesquiera0 V Ä V 0 B 0 B B B" # " #

que sean , .B B − V" #

Si la función es derivable, basta comprobar que cualquiera que sea el valor de para poder B − Vgarantizar que se trata de una función contractiva.

Si se desea resolver la ecuación ( ) , se escribe esta de la forma ( ), donde ( ) es una0 B œ ! B œ B B: :

función contractiva, y partiendo de un determinado valor inicial , se construye la sucesión ( ). LaB B œ B! 8 "

:

convergencia de esta sucesión la garantiza el siguiente teorema.

Teorema $Þ). [ ] Dada la ecuación ( ) en la que ' ( ) cualquiera queTeorema del punto fijo B œ B B Ÿ ; ": :

¸ ¸sea [ ] y un punto [ ], la sucesión , , . . . , , . . . en la que = ( ) converge a un valor B − +ß , B − +ß , B B B B B! ! " 8 8 " 8:

B que es la única solución de la ecuación en dicho intervalo.

Figura Esquema de la convergencia para el teorema del punto fijo$Þ# À

En la Figura puede observarse que el método converge si ' ( ) , mientras que si '$Þ# B Ÿ ; "¸ ¸ ¸: :

( ) el método es divergente.B "¸En los casos ( ) y ( ), en los que ' ( ) el método converge monótonamente en ( ) y de+ , B Ÿ ; " +¸ ¸:

forma oscilatoria o en espiral en ( ).,

En los casos ( ) y ( ), en los que ' ( ) el método diverge de forma monótona en ( ) y de- . B Ÿ ; " +¸ ¸:

forma oscilatoria en ( ).,





$Þ$Þ". Cota del error "a posteriori"

Si ( ) es una función continua en el intervalo [ ] y derivable en el abierto ( ), sabemos por el0 B +ß , +ß ,

teorema del valor medio que existe un punto ( ) tal que .- − +ß , œ 0 Ð-Ñ0 , 0 +,+

w( ) ( )

Sea una solución de la ecuación ( ) y sea aproximación de ella obtenida por un métodoB 0 B œ ! B8

cualquiera. Supongamos continua en el intervalo cerrado [ ] ó [ ] (dependiendo de que sea mayor 0 ÐBÑ B ß B Bß B B8 8

o menor que ) y derivable en el abierto. Existe entonces un punto ( ) ó ( ) tal queB - − B ß B - − Bß B8 8 8

0 B 0 Ð B

B Bœ 0 Ð-Ñ

( ) ).8

8

w

Como y ( ) , nos queda que , obteniéndose que0 ÐBÑ œ ! B B œ œ 8 8 8

8w& &

0ÐB Ñ0 Ð-Ñ

=

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸&8

8 80ÐB Ñ

0 Ð-ÑŸ

0ÐB Ñ

0 ÐBÑw wmín

B − Ð + ß , Ñ

Lo único que debemos exigir es que la derivada de la función no se anule en ningún punto del intervalo( ).+ß ,

Observación: La transformación ( se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas oB œ BÑ:simplemente agregando a cada lado de la ecuación original.B

Ejemplo $Þ#Þ El cálculo de la raíz cuadrada de 3 equivale al cálculo de la raíz positiva de la ecuación .B œ $#

Aunque más adelante veremos métodos cuya convergencia es más rápida, vamos a realizar los siguientescambios:

B œ $ Ê B B œ B $ Ê B Ð" BÑ œ $ B Ê B œ$ B

" B# #

Es decir, hemos escrito la ecuación de la forma ( ) con . Dado que sabemos que laB œ B: : ( )B œ$ B

" B

raíz de está comprendida entre y y que para cualquier [ ],$ " # B − "ß #| ( )|:w# #

B œ Ÿ œ "# # "

Ð" BÑ # #

podemos garantizar que partiendo de el método convergerá a la raíz cuadrada de .B œ " $!

Así pues, partiendo de y haciendo obtenemos:B œ " B œ$ B

" B! 8 "

8

8

B œ # B œ "ß ($#!&!(*)%%!)%" "%

B œ "ß '''''''''''''( B œ "ß ($#!&!)"!!"%($# "&

B œ "ß (&!!!!!!!!!!!! B œ "ß ($#!&!)!'*"$&"$ "'

B œ "ß (#(#(#(#(#(#($ B œ "ß ($#!&!)!((%%%)% "(

B œ "ß ($$$$$$$$$$$$$ B œ "ß ($#!&!)!(&#")#& ")

B œ "ß ($"(!($"(!($"( B œ "ß ($#!&!)!(&)"%)' "*

B œ "ß ($#"%#)&("%#)' B œ "ß ($#!&!)!(&'&&!( #!

B œ "ß ($#!#'"%$(*!)& B œ "ß ($#!&!)!(&'*()) #"

B œ "ß ($#!&"#)#!&"#) B œ "ß ($#!&!)!(&')'$* ##

B œ "ß ($#!%*!$'(((&) B œ "ß ($#!&!)!(&')*%"! #$

B œ "ß ($#!&"#)#!&"#) B œ "ß ($#!&!)!(&'))'"" #%

B œ "ß ($#!&!')!%$"(# B œ "ß ($#!&!)!(&')))"# #&

B œ "ß ($#!&!)%"'$&") B œ "ß ($#!&!)!(&')))"$ #'

El error, calculado a posteriori ,vendrá dado por

&8

8

8

0ÐB Ñ

0 ÐB Ñmín ¸ ¸w

B− "ß# ‘

donde ( ) , por lo que0 B œ B $#





·&#'

#'"& "%

œ %ß ))%*)"$!)$&!')) "! "!B $

#

#

es decir, con todas sus cifras decimales exactas.È $ œ "ß ($#!&!)!(&')))

Obsérvese que en el vimos cómo eran necesarias 46 iteraciones para calcular la raíz Ejemplo $Þ"

cuadrada de 3 (con 14 cifras decimales exactas) mediante el método de la bisección, mientras que ahora sólohemos necesitado 26. Sin embargo vamos a ver a continuación cómo se puede reducir aún más el número deiteraciones aplicando el método conocido como método de Newton.

$Þ%ÞMétodo de Newton: análisis de errores

Si tratamos de resolver la ecuación ( ) y lo que obtenemos no es la solución exacta sino sólo0 B œ ! Buna buena aproximación tal que tendremos queB B œ B 2

8 8

·0 ÐBÑ ¶ 0 ÐB Ñ 2 0 ÐB Ñ Ê 2 ¶ 0ÐB Ñ

0 ÐB Ñ8 8

8

8

ww

por lo que bteniéndose la denominada fórmula de Newton-Raphson:B ¶ B 0ÐB Ñ

0 ÐB Ñ8

8

8w

B œ B 0ÐB Ñ

0 ÐB Ñ8 " 8

8

8w

Si, a partir de ella, construimos la sucesión ( ) y ésta converge, se tendrá que , ya que nosB B œ B8 8

lim8Ä_

quedaría, aplicando límites en la fórmula de Newton-Raphson que

lim lim limlim

lim8Ä_ 8Ä_ 8Ä_

0 8Ä_

0 8Ä_

B œ B Ê 0 B œ !B

B8 " 8 8

8

w8

ŠŠ

‹‹ Š ‹

siempre que no se anule, lo cual se verifica si exigimos que la función posea una única raíz en0 Bw

8Ä_Š ‹lim

8

[ ]. Dado que la raíz de la ecuación en el intervalo [ ] es única, necesariamente+ß , +ß , B œ Blim8Ä_ 8

Este método es también conocido como método de la tangente, ya que si trazamos la tangente a la curvaC œ 0 ÐBÑ ÐB ß 0 ÐB ÑÑ C œ 0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÐB B Ñ C œ !en el punto obtenemos la recta , que corta al eje en el

8 8 8 8 8

w

punto de abscisa , que es precisamente el valor de de la fórmula de Newton-Raphson.B œ B B8 8 "

8w

8

0ÐB Ñ0 ÐB Ñ

En la puede observarse cómo actúa geométricamente el método de Newton-Raphson. Figura $Þ$

Figura El proceso de Newton$Þ$ À

Lo más dificultoso del método consiste en el cálculo de la derivada de la función así como la obtencióndel valor inicial que debe tomarse, es decir, el valor de .B

!

Busquemos, a continuación, alguna cota del error.

& &8 " 8 " 8 8 8

8 8 8

8 8 8

œ B B œ B B œ ÐB B Ñ œ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ

0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑŒ w w w





Desarrollando ) en un entorno de se obtiene0 ÐB B8

! œ 0 ÐBÑ œ 0 ÐB Ñ œ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ > −0 Ð> Ñ

#x

ÐBß B Ñ B BB ß BÑ B B8 8 8 8 8 8

8 8

8 8

& & &w #ww

consi

( siœSupuesto que es distinta de cero, podemos dividir por dicha derivada para obtener 0 ÐB Ñw

8

! œ œ " 0 ÐB Ñ 0 Ð> Ñ 0 Ð> Ñ0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ

8

8 8 8

8 88w w w

ww ww# #& & & &

por lo que ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸& & &8

ww

w# # " œ Ÿ 5

0 Ð > Ñ

# 0 ÐB Ñ88 8

·

donde

5 0 Ð > Ñ

#0 ÐB Ñmáx

ww

w8

B− +ß, ‘

siendo [ ] cualquier intervalo, en caso de existir, que contenga a la solución y a todas las aproximaciones .+ß , B B8

Esta última desigualdad podemos (no queriendo precisar tanto) modificarla para escribir

con y 05 B − 0 ÐBÑ Á0 Ð B Ñ

# 0 ÐBÑ

máx

mín¸ ¸¸ ¸ww

w w

‘+ß ,

Supuesta la existencia de dicho intervalo [ ], el valor de es independiente de la iteración que se+ß , 5realiza, por lo que

5 † " Ÿ 5 † Ÿ 5 † Ÿ â Ÿ 5 †¸ ¸ ̧ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸& & & &8 8 8 " !

# % #8 "

o lo que es lo mismo:

¸ ̧ ¸ ¸& &8 !Ÿ † 5 †"

5

#8

donde es necesario saber acotar el valor de .&! !

œ B B

Es decir, si existe un intervalo [ ] que contenga a la solución y a todas las aproximaciones se+ß , B8

puede determinar a priori una cota del error, o lo que es lo mismo, se puede determinar el número de iteracionesnecesarias para obtener la solución con un determinado error.

Evidentemente, el proceso convergerá si , es decir, si . En caso de ser convergente,¸ ¸ ¸ ¸5 † " "

5& &

! !

la convergencia es de segundo orden.

$Þ%Þ"Þ Algoritmo

Una vez realizado un estudio previo para ver que se cumplen las condiciones que requiere el método,establecer el valor inicial y calcular el valor deB

!

7 œ mín 0 ÐBÑw

B − +ß, ‘

el algoritmo es el siguiente M8:?> À +ß,ßB ß ß! !& 0ÐBÑß7 S?>:?> À B B Ã B

!

/ Ã +,=0ÐBÑ

7Š ‹

A236/ / &

B Ã B 0ÐBÑ

0 ÐBÑw

/ Ã +,=0ÐBÑ

7Š ‹

/8.





Ejemplo $Þ$Þ En el Ejemplo calculamos la raíz de 3 con 14 cifras decimales exactas en 26 iteraciones.$Þ#Vamos a ver cómo se disminuye considerablemente el número de iteraciones cuando se utiliza la fórmula de

Newton-Raphson.

Partimos de la ecuación ( ) , por lo que la fórmula de Newton-Raphson nos dice que,0 B œ B $ œ !#

teniendo en cuenta que 0 ÐBÑ œ #Bw

B œ B B œ B B œ B 0 ÐB Ñ B $ " $

0 ÐB Ñ #B # B8 " 8 " 8 " 8

8

8 88

w8 8

#8Ö Ö Œ

Dado que la raíz de 3 es un número comprendido entre y y la función ( ) no se anula en" # 0 B œ #Bw

dicho intervalo, podemos aplicar el método de Newton tomando como valor inicial B œ #!

B œ # B œ "ß (&!!!!!!!!!!!! B œ "ß ($#"%#)&("%#)' B œ "ß ($#!&!)"!!"%($ B œ "ß ($#!&!)!(&')))! " # $ %

El error a posteriori vendrá dado por

por lo que& &8

8

8

œ %ß ))%*)"$!)$&!'))0ÐB Ñ

0 ÐB Ñ #

B $

mín w %%#

B − "ß# ‘

es decir, la raíz cuadrada de es con todas sus cifras decimales exactas.$ "ß($#!&!)!(&')))

Se observa que la convergencia de Newton-Raphson es mucho más rápida que bisección, ya que sólohemos necesitado 5 iteraciones frente a las 46 de la bisección.

De hecho, existen métodos para determinar el valor inicial que debe tomarse para que en la segundaB!

iteración se disponga ya de 8 cifras decimales exactas.

$Þ%Þ#Þ Regla de Fourier

Supongamos que tenemos acotada, en el intervalo [ ], una única raíz de la ecuación ( ) y que+ß , B 0 B œ !0 B 0 B +ß ,w ww( ) y ( ) no se anulan en ningún punto del intervalo [ ], es decir, que ambas derivadas tienen signoconstante en dicho intervalo.

En cualquiera de los cuatro casos posibles (Figura 2.4), la función cambia de signo en los extremos delintervalo, es decir, dado que la segunda derivada tiene signo constante en [ ], en uno de los dos extremos la+ß ,función tiene el mismo signo que su segunda derivada.

En estos casos, el método de Newton es convergente debiéndose tomar como valor inicial

B œ+ 0 Ð+Ñ 0 Ð+Ñ !, 0 Ð,Ñ 0 Ð,Ñ !! œ , si ·

, si ·

w ww

w ww

es decir, el extremo en el que la función tiene el mismo signo que su derivada segunda.

0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑ !w w w w

0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑ !ww ww ww ww

B œ + B œ , B œ + B œ ,! ! ! !

Figura Los cuatro casos posibles$Þ% À

Gracias a que la convergencia es de segundo orden, es posible modificar el método de Newton pararesolver ecuaciones que poseen raíces múltiples.





$Þ%Þ$Þ Método de Newton para raíces múltiples

Cuando el método de Newton converge lentamente nos encontramos con una raíz múltiple y, adiferencia de lo que ocurría con otros métodos, podemos modificar el método para acelerar la convergencia.

Sea una raíz de multiplicidad de la ecuación ( ) . En este caso, el método de Newton convergeB 5 0 B œ !muy lentamente y con grandes irregularidades debido al mal condicionamiento del problema.

Si en vez de hacer hacemos · donde representa el orden deB œ B B œ B 5 50 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ

0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ8 " 8 8 " 8

8 8

8 8w w

la primera derivada que no se anula (multiplicidad de la raíz ), el método sigue siendo de segundo orden.B

En la práctica, el problema es que no conocemos pero a ello nos ayuda la rapidez del método.5

Ejemplo $Þ%Þ Para resolver la ecuación comenzamos escribiéndola de la forma , por loB =/8 B œ ! B œ =/8Bque las soluciones serán los puntos de intersección de la recta con la curva .C œ B C œ =/8 B

Aunque es conocido que la solución de la ecuación es , supondremos que sólo conocemos queB œ !está comprendida entre y y vamos aplicar el método de Newton. " "

B œ B œB =/8 B =/8 B B -9= B

" -9= B " -9= B8 " 8

8 8 8 8 8

8 8

Figura Las funciones y$Þ& À C œ B C œ =/8 B

Comenzando con se obtiene:B œ "!

B œ "!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B œ !ß !"')##(**0 ÐB Ñ œ !ß!!!"0 ÐB Ñ œ !ß!"'

0 ÐB Ñ œ !ß***)"!

"!

"!

"!

áá

á

áÚÛÜ

w

ww

www

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B œ !ß!!!!"*%

0 ÐB Ñ œ !ß !!!!!!!"0 ÐB Ñ œ !ß!!"*

0 ÐB Ñ œ !ß****#!

#!

#!

#!

á

áá

á

ÚÛÜ

w

ww

www

Como la convergencia es muy lenta, hace pensar que se trata de una raíz múltiple. Además, como la primera y la segunda derivadas tienden a cero y la tercera lo hace a , parece que nos encontramos ante una raíz"triple, por lo que aplicamos el método generalizado de Newton.

B œ B $ †B =/ 8 B

" -9= B8 " 8

8 8

8

y comenzando, al igual que antes, por se obtiene:B œ "!

B œ " B œ !ß ! $% B œ !ß ! !!!!"$(' B œ !ß ! !!!!!!!!!!!!*! # $"

á á á

que se ve que converge rápidamente a la solución .B œ !

Dado que la solución es exacta. Por otra parte, podemos ver queB œ ! 0ÐBÑ œ B =/8 B œ !

0 ÐBÑ œ " -9=B Ê 0 ÐBÑ œ !w w

0 ÐBÑ œ =/8 B Ê 0 ÐBÑ œ !ww ww

0 ÐBÑ œ -9= B Ê 0 ÐBÑ œ "''' '''

lo que nos indica que la raíz es, en efecto, triple.





Al aplicar el método de Newton hay que tener en cuenta que a pesar de que su comportamiento es engeneral muy bueno existen casos en que se encuentran dificultades, no sólo si existen raíces múltiples sino enmuchos casos en los que las raíces son simples pero presentan ciertas particularidades.

Ejemplo $Þ&Þ Tratemos de determinar, por el método de Newton, la raíz positiva de la función ,0 ÐBÑ œ B ""!

tomando como valor inicial . La fórmula de Newton-Raphson es, en este caso:B œ !ß &!

B œ B ÞB "

"! B8 " 8

8

8

"!

*

Aplicando el algoritmo se obtienen los valores

B œ &"ß ' & B œ %'ß % )& B œ %")$'& B œ $(ß ' &#)& B œ $$ß ) )(&'&" # $ % &

...B œ #!ß !"!#')#&')&!"# B œ 'ß*(("%*"#$#**!' B œ #ß%$#)!"$**&%#$!

"! #! $!.... ... ...

B œ "ß!!#$"'!#%"((%" B œ "ß!!!!#$*$%#*!)% B œ "ß!!!!!!!!#&(('! B œ "%! %" %# %$

.

Puede observarse que la convergencia es muy lenta y sólo se acelera (a partir de ) cuando estamosB%!

muy cerca de la raíz buscada.

Además de existir casos como el anterior donde la convergencia es muy lenta, la naturaleza de lafunción puede originar otras dificultades, llegando incluso a hacer que el método no converja.

ˆ Si en las proximidades de la raíz existe un punto de inflexión, las iteraciones divergen progresivamente de laraíz.

ˆ El método de Newton oscila en los alrededores de un máximo o un mínimo local, persistiendo o llegando aencontrarse con pendientes cercanas a cero, en cuyo caso la solución se aleja del área de interés.

ˆ Un valor inicial cercano a una raíz puede converger a otra raíz muy distante de la anterior como consecuenciade encontrarse pendientes cercanas a cero. Una pendiente nula provoca una división por cero (geométricamente,una tangente horizontal que jamás corta al eje de abscisas).

Todo esto nos indica que aunque existen software que resuelven ecuaciones (generalmente aplicando

Newton), hay que realizar un estudio previo para tratar de detectar cualquier tipo de anomalía que se presente.





$Þ&Þ Ejercicios

Ejercicio $Þ" À B/ " œ !Dada la ecuación , se pide:B

1.Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas.2.Aplicar el método de la bisección y acotar el error después de siete iteraciones.

3. Queda de resolverla por iteración funcional.Tarea4.Aplicar el método de Newton, hasta obtener tres cifras decimales exactas.

Solución: La ecuación puede escribirse de la forma: .1. / œ"

BB

Gráficamente, se observa que existe una única solución real (intersección de las dos curvas) y que esta es positiva. La demostración analítica de este hecho es la siguiente:

Para es y , por lo que y, por tanto, no existen raíces negativas.B ! ! / ! / Á" "

B BB B

Para es , por lo que y existe, por tanto, un número impar B ! 0 ÐBÑ œ B/ "0Ð!Ñ œ " !0 Ð _Ñ œ _ !

B œde raíces positivas (al menos una).

La función derivada sólo se anula para . Dado que, si existiese más0 ÐBÑ œ B/ / œ ÐB "Ñ / B œ "w B B B

de una raíz positiva, el teorema de Rolle nos asegura que la función derivada debe anularse en algún punto

intermedio y hemos visto que no se anula para ningun valor positivo de la variable podemos asegurar que0 ÐBÑw

sólo existe una raíz real y que esta es positiva y simple, pues .+ 0 Ð+Ñ Á !w

Dado que y , podemos asegurar que la única raíz real de la ecuación se0Ð"Ñ œ / " ! 0Ð!Ñ œ " !encuentra en el intervalo ( ).!ß "

#ÞMétodo de la bisección À

[ ] [ ] [ ] con+ ß , œ +ß , œ !ß "0Ð!Ñ œ " !0Ð"Ñ œ / " !! ! œ

0 Ð!ß &Ñ ! Ê + ß , œ !ß & ß " 0 Ð!ß (&Ñ ! Ê + ß , œ !ß & ß !ß (&[ ] [ ] [ ] [ ]" " # #

0 Ð!ß '#&Ñ ! Ê + ß , œ !ß & ß !ß '#& 0 Ð!ß &'#&Ñ ! Ê + ß , œ !ß &'#& ß !ß '#&[ ] [ ] [ ] [ ]$ $ % %

0 Ð!ß & *$(&Ñ ! Ê + ß , œ !ß & '#& ß !ß & *$(& 0 Ð!ß & ()"#&Ñ ! Ê + ß , œ !ß & '#& ß !ß & ()"#&[ ] [ ] [ ] [ ]& & ' '

0Ð!ß &(!$"#&Ñ ! Ê + ß , œ !ß&'#&ß !ß&(!$"#&[ ] [ ]( (

Tomando como aproximación de la raíz el punto medio del intervalo se obtiene un error B œ !ß &''%!'#&(

| | | |& &( (

#

œ !ß !!$*!'#& Ê "!"

#)

Si redondeamos a las dos primeras cifras decimales, es decir, si tomamos , el error acumuladoB œ !ß&(verifica que

| | | |& !ß &( !ß &''%!'#& !ß!!$*!'#& œ !ß !!(& "!#

por lo que puede asegurarse que la solución de la ecuación es con las dos cifras decimales exactas.!ß&(





4ÞMétodo de Newton À

La fórmula de Newton-Raphson es B œ B 0ÐB Ñ

0ÐB Ñ8 " 8

8

8

Dado que, por el apartado anterior, se conoce que la raíz se encuentra en el intervalo [ ; ] y!ß &'#& !ß &(!$"#&que , :0Ð!ß&'#&Ñ ! 0Ð!ß&(!$"#&Ñ !

0 ÐBÑ œ B/ " Ê0 Ð!ß &'#&Ñ !0 Ð!ß &(!$"#&Ñ !

B œ

[ ; ]0 ÐBÑ œ ÐB "Ñ/ Ê 0 ÐBÑ ! a B − !ß &'#& !ß &(!$"#&w B w

[ ; ]0 ÐBÑ œ ÐB #Ñ/ Ê 0 ÐBÑ ! a B − !ß &'#& !ß &(!$"#&ww B ww

la regla de Fourier nos dice que .B œ !ß&(!$"#&!

Al ser positiva la segunda derivada, es creciente, por lo que0 ÐBÑw

mín ¸0 ÐBÑ œ 0 Ð!ß &'#&Ñ œ #ß (%##(#*!"&!!%( Þ Þ Þw w¸ B− !ß&'#&à!ß&(!$"#&[ ]

es decir, el error a posteriori vendrá dado por

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¸&n 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ

0 ÐBÑ #ß(%8 8

mín ¸ w

B− !ß&'#&à!ß&(!$"#&[ ]

obteniéndose que

conB œ !ß &(!$"#& œ !ß !!$#!%$()&'&!& Þ Þ Þ0ÐB Ñ

#ß(%! !

!¸ ¸ ¸ ¸&

conB œ !ß &'("&"%*)$&*!! Þ Þ Þ œ !ß !!!!!)#((&("## Þ Þ Þ0ÐB Ñ

#ß(%" "

!¸ ¸ ¸ ¸&

Si redondeamos a el error acumulado es!ß &'(

| |& !ß !!!"&"%*)$&*!! Þ Þ Þ !ß !!!!!)#((&("##Þ Þ Þ "!$

Por lo que la solución de la ecuación es con sus tres cifras decimales exactas.B œ !ß &'(

Ejercicio $Þ# À # -9=Ð#BÑ %B 5 œ !Se considera la ecuación real .

1.Determinar el valor de para que tenga una única raíz triple en el intervalo [ ].5 !ß "2.Para , probar que posee una única raíz simple en el intervalo [ ], y calcularla con 6 cifras decimales5 œ $ !ß "exactas utilizando el método de Newton.

Solución:1.Si tiene una raíz triple, debe anularse no sólo la función sino también sus dos primeras derivadas, por lo que

0ÐBÑ œ #-9=Ð#BÑ %B 5 œ ! 0 ÐBÑ œ % =/8Ð#BÑ % œ !w

0 ÐBÑ œ )-9=Ð#BÑ œ ! Ê #B œ Ê B Ê# %

ww 1 1

Debe verificarse entonces que , por lo que .0 œ # -9= 5 œ ! 5 œˆ ‰ ˆ ‰1 1% # 1 1

En ese caso, es una raíz triple por anular a , y pero no anular a .1%

w ww0 0 0 0 ÐBÑ œ "' =/8Ð#BÑ'''

Además, dado que y tienen signos contrarios, existe un número impar de raíces de en el0 Ð!Ñ 0 Ð"Ñ 0 ÐBÑintervalo [ ], pero de existir tres, la primera derivada debería de anularse dos veces (consecuencia directa del!ß "Teorema de Rolle) y sólo lo hace una vez en , por lo que podemos asegurar entonces que si laB œ 5 œ1

% 1

función sólo posee una raíz triple en el intervalo [ ] y que ésta es .!ß " 1%





2.Para se tiene que pero sus derivadas son independientes del valor asignado5 œ $ 0 ÐBÑ œ # -9=Ð#BÑ %B $a la .5

Como y ... , la función tiene, al menos, una raíz en dicho intervalo0Ð!Ñ œ " 0Ð"Ñ œ # -9=Ð#BÑ œ !ß"'(( !y, por razones análogas a las del apartado anterior, sólo puede tener una.

Dado que en [ ] se anula la derivada ( ) nos interesa reducir el intervalo en el que vamos a buscar !ß " 0 Ð Ñ œ !

1

%la raíz. Para ello, y dado que ... , podemos restringirnos al intervalo [ ]0 Ð!ß &Ñ œ # -9=" " œ !ß !)!' ! !ß !ß &en el que sabemos que no se anula la derivada.

Como, cualquiera que sea [ ; ]0 ÐBÑ œ % =/8Ð#BÑ % ! B − ! !ß &w

y para cualquier [ ; ],0 ÐBÑ œ )-9=Ð#BÑ ! B − ! !ß &ww

la regla de Fourier nos dice que el método de Newton converge tomando como valor inicial .B œ !!

Para acotar el error, como cualquiera que sea [ ; ], sabemos que es decreciente en0 ÐBÑ ! B − ! !ß & 0 ÐBÑww w

dicho intervalo, por lo que

mín ¸ ¸0 ÐBÑ œ 0 Ð!ß &Ñ œ %=/8" % œ !ß '$%"ÞÞ Þw w

[ ]B− !ß!ß&

Por tanto el error a posteriori vendrá dado por

¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸&8 8

8 8 œ # 0 ÐB Ñ0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ

0 ÐBÑ !ß &mín w

B− ! !ß&[ ; ]

y la fórmula de Newton-Raphson queda de la forma:

B œ B œ0 ÐB Ñ % =/8Ð#BÑ # - 9=Ð#BÑ $

0 ÐB Ñ % =/8Ð#BÑ %8 " 8

8

w8

por lo que se obtiene

B œ ! #! !&

B œ !ß #& !ß %)*''*(&#&$)&"" "&

B œ !ß $ '(&(*")"%&!#$ !ß ! *#%')$&'&!$%%# #&

B œ !ß % !&*""'&()")!" !ß ! !("&$")&''!%*$ $&

B œ !ß % !&))&((&'!$%" &ß ' )$&()'%!!!!!!! † "!% %

&&

B œ !ß % !&*""'&()")!" $ß ' ))""&!!!!!!!!! † "!& &

*&

Por tanto con un error B œ !ß %!&*"#

| | ( )& !ß%!&*"# !ß%!&*""'&()")!" $ß'))""&!!† "! œ $ß%#")"** † "! $ß'))"&!! † "! "!* ( * '

Ejercicio $Þ$ À B 68 B œ !Probar que la ecuación sólo tiene una raíz real y hallarla, por el método de#

Newton, con 6 cifras decimales exactas.

Solución: Si representamos las gráficas de las funciones e obtenemosC œ 68 B C œ B #





Puede observarse que sólo existe un punto de corte entre ellas, por lo que la ecuación B 68 B œ !#

sólo posee una raíz real.

Analíticamente hay que probar que las gráficas no vuelven a cortarse en ningún otro punto, sinembargo, dado que en su dominio de definición, que es ( ), es creciente y decreciente, no!ß _ 68 B B #

pueden volver a cortarse.

Partiendo de y aplicando el método de Newton, en el intervalo ( ), dado por la fórmulaB œ !ß " !ß "à "!

B œ B œ B œ0 ÐB Ñ B 68 B B B B 68 B

0 ÐB Ñ #B "#B 8 " 8 8

8 8 8 8 8

w #8

8 8# $

8"

B 88

y con un error a posteriori dado por

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸&8

8 8 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ

0 ÐBÑ $mín w

[ ; ]B− !ß" "

obtenemos B œ !ß $#%('$#%%%""") Þ Þ Þ !ß $$*(#*# Þ Þ Þ" "&

B œ !ß &*)!**(!*)&**" Þ Þ Þ !ß !&#!*"& Þ Þ Þ# #&

B œ !ß '&#&)&'(#%)(&!Þ Þ Þ $ß "%*#* Þ Þ Þ † "!$ $

%

& B œ !ß '&#*")'$$'$$%)Þ Þ Þ 'ß %"(* Þ Þ Þ † "!% %

*&

Por lo que la raíz buscada es con un error !ß '&#*"*

| | ( ) . . . . . .& !ß'&#*"* !ß'&#*")'$$'$$%)ÞÞ Þ 'ß %"(* ÞÞ Þ † "! œ !ß !!!!!!$''$''%# 'ß %"(*Þ Þ Þ † "! "!* * '

es decir, con las seis cifras decimales exactas.

Ejercicio $Þ% À 68B =/8B œ !Resolver, por los métodos de la bisección y Newton, la ecuación , acotando previamente sus raíces.

Solución: La ecuación dada puede escribirse de la forma , por lo que hallaremos gráficamente la68B œ =/8 Bintersección entre las curvas e .C œ 68 B C œ =/8 B

El máximo de la función es y, por tanto, cuando la curva tome valores mayoresC œ =/8 B " C œ 68 Bque , no puede volver a intersecar a la del . De esta forma sabemos que como siempre que" =/8 B 68 B "B / œ #ß (" !ß /. . ., las posibles soluciones de la ecuación se encuentran en el intervalo ( ), del que se hanexcluido los extremos ya que, evidentemente, no son soluciones de la ecuación.

Además de la raíz que se observa en el intervalo [ ], ambas gráficas sólo podrían volver a!ß 1

intersecarse en puntos en los que , (en que sen vuelve a ser creciente), pero como , no existenB B /$ $# #1 1

más raíces.

Antes de aplicar cualquier método de resolución, afinemos el intervalo en el que puede hallarse la raíz.

0Ð#Ñ œ 68# =/8 # œ !ß#"'"& Þ Þ Þ œ ! Ê B − Ð#ß/Ñ

0Ð#ß &Ñ œ 68 #ß& =/8#ß& œ !ß$"()" Þ Þ Þ œ ! Ê B − Ð#à#ß&Ñ

Partiremos ahora de esta última acotación: .B − Ð#à #ß&Ñ





"Þ ÀMétodo de la bisección

Dado que | | , debemos tomar , es decir, debemos calcular los valores de hasta .&5 5 "*5"

'Ÿ Ÿ "! 5 œ "* B B,+

#

0Ð#ß &Ñ œ !ß !$#)&(!â ! Ê B − Ð#ß #ß &Ñ0 Ð#ß "#&Ñ œ !ß !*'&%(*Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß "#& #ß #&Ñ;0Ð#ß ")(&Ñ œ !ß!$$!#**ÞÞ Þ ! Ê B − Ð#ß ")(& #ß#&Ñ;

0Ð#ß #")(&Ñ œ !ß!!!$('&ÞÞ Þ ! Ê B − Ð#ß #")(& #ß#&Ñ;0Ð#ß#$%$(&Ñ œ !ß!"'"')&Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #")(& #ß#$%$(&Ñ;0Ð#ß##'&'#&Ñ œ !ß!!()((*Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #")(& #ß##'&'#&Ñ;0Ð#ß ###'&'#&Ñ œ !ß !!$(%'"Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß#")(& #ß ###'&'#&Ñ;0Ð#ß ##!(!$"#&Ñ œ !ß !!"')$'Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #")(& #ß ##!(!$"#&Ñ;0Ð#ß #"*(#'&'#&Ñ œ !ß!!!'&$#ÞÞ Þ ! Ê B − Ð#ß #")(& #ß#"*(#'&'#&Ñ;0Ð#ß#"*#$)#)"#&Ñ œ !ß!!!"$)#Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #")(& #ß#"*#$)#)"#&Ñ;0Ð#ß#")**%"%!'#&Ñ œ !ß!!!""Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #")**%"%!'#& #ß#"*#$)#)"#&Ñ;0Ð#ß #"*""'#"!*$(&Ñ œ !ß!!!!!*Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #")**%"%!'#& #ß #"*""'#"!*$(&Ñ;0Ð#ß #"*!&&"(&()"#&Ñ œ !ß !!!!&Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß#"*!&&"(&()"#& #ß #"*""'#"!*$(&Ñ;0Ð#ß #"*!)&'*$$&*$(&Ñ œ !ß !!!!##'Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß#"*!)&'*$$&*$(& #ß #"*""'#"!*$(&Ñ;0 Ð#ß #"*"!!*&##"%)%$(Ñ œ !ß !!!!!'&Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #"*"!!*&##"%)%$( #ß #"*""'#"!*$(&Ñ;0 Ð#ß #"*"!)&)"&%#*'*Ñ œ !ß !!!!!"&Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #"*"!!*&##"%)%$( #ß#"*"!)&)"&%#*'*Ñ;0 Ð#ß #"*"!%('')%&(!$Ñ œ !ß !!!!!#&Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #"*"!%('')%&(!$ #ß #"*"!)&)"&%#*'*Ñ;

0 Ð#ß #"*"!''(%"*%$$'Ñ œ !ß !!!!!!&Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #"*"!''(%"*%$$' #ß #"*"!)&)"&%#*'*Ñ;0 Ð#ß #"*"!('#()')'&#Ñ œ !ß !!!!!!&Þ Þ Þ ! Ê B − Ð#ß #"*"!''(%"*%$$' #ß #"*"!('#()')'&#Ñ;

por lo que, tomando la aproximación (punto medio del intervalo), el error viene dadoB œ #ß #"*"!("&"!$"#&!"*

por

| |&19 Ÿ œ %ß (')$("&)#!$"#&! Þ Þ Þ † "!!ß &

##!

(

y si redondeamos a el error total vendrá dado por #ß #"*"!(

| | ( ) , ...& #ß#"*"!( #ß#"*"!("&"!$"%* % (')$("& † "! "ß&"!$"%*ÞÞÞ† "! %ß(')$("&ÞÞÞ† "! "!( ( ( '

por lo que las seis cifras decimales son exactas.

#Þ ÀMétodo de Newton

Ya hemos visto que en el intervalo [ ] son positivas y , luego podemos aplicar la regla de#ß #ß & 0 ÐBÑ 0 ÐBÑw ww

Fourier. Como tomamos y aplicamos la fórmula de Newton-Raphson.0 Ð#ß &Ñ ! B œ #ß &!

B œ B 0ÐB Ñ

0 ÐB Ñ8 " 8

8

w8

Al ser creciente , sabemos que por lo que la formula0 ÐBÑ 0 ÐBÑ œ 0 Ð#Ñ œ !ß *"'" Þ Þ Þßmín ¸ w w¸ B− #ß#ß&[ ]

del error a posteriori es

¸ ¸ ¸ ¸&

8

80ÐB Ñ

!ß *

obteniéndose que B œ #ß & Ê !ß $&$"$"('%")*"" Þ Þ Þ! !

¸ ¸&

B œ #ß#$&%!$$%!*!#$%Þ Þ Þ Ê !ß!"*")!&!)%'(!%Þ Þ Þ" "

¸ ¸&

B œ #ß#"*")!'*'$*(!(Þ Þ Þ Ê !ß!!!!)'"(#'(#('Þ Þ Þ# #

¸ ¸&

B œ #ß#"*"!("&!%$(#(Þ Þ Þ Ê !ß!!!!!!!!"()&!"Þ Þ Þ "!$ $

'

¸ ¸&

Si redondeamos a , el error acumulado es#ß #"*"!(

| | , ,& #ß#"*"!( #ß #"*"!("&!%$(#(ÞÞÞ " ()&!"ÞÞÞ † "! œ " &#ÞÞÞ"! "!¸ ¸ '9 7

por lo que la raíz de la ecuación es con las seis cifras decimales exactas.B œ #ß #"*"!(





Ejercicio $Þ& À B/ B " œ !Separar las raíces reales de la ecuación , y obtenerlas con ocho cifrasB #

decimales exactas por el método de Newton, aplicando previamente la regla de Fourier.

Solución: Comenzaremos por transformar la ecuación para despejar la exponencial.

B/ B " œ ! Ê B/ œ B " Ê / œB "

B

B # B # B#

La función es una cónica (hipérbola) con una asíntota vertical de ecuación y otraC œ B œ !ÐB "ÑB

#

oblicua .C œ B

Gráficamente se observan dos intersecciones, una de ellas en los valores negativos de la variable y laotra en los positivos.

Veámoslo con más detalle. La función tiene las mismas raíces (ya que noJ ÐBÑ œ / B œ !B ÐB "ÑB

#

es solución de la ecuación) que la función .0 ÐBÑ œ B/ B " œ !B #

J ÐBÑ œ / œ / œ / " B † #B ÐB "Ñ B " "

B B Bw B B B

# #

# # BŒ Tenemos entonces que cualquiera que sea el valor que tome la variable y además,J ÐBÑ ! B J w

w wÐ!Ñ œ _ J ÐBÑ. Por tanto, nunca se anula.

No podemos aplicar directamente el Teorema de Rolle a la función en ( ) ya que no esJ ÐBÑ _ß _

continua ni derivable en , pero sí podemos hacerlo en los intervalos ( ) y ( ).B œ ! _ß ! !ß _

Si se anulara dos o más veces en ( ), su derivada se debería anular en algún puntoJ ÐBÑ !ß _ J ÐBÑw

de dicho intervalo, por lo que podemos asegurar que tiene, a lo más, una raíz en ( ). El mismoJ ÐBÑ !ß _razonamiento nos lleva a asegurar que sóloposee una raíz en el intervalo ( ). En conclusión, tiene, a _ß ! J ÐBÑlo sumo, dos raíces reales, como ya observamos gráficamente.

Basta entonces con probar la existencia de dichas raíces. Para ello consideramos, de nuevo, la función0 ÐBÑ œ B/ B " (que no tiene singularidades).B #

Existe una raíz en0 Ð "Ñ œ / !0Ð!Ñ œ " !

Ê Ð "ß !ÑŸ

Existe una raíz en

0 Ð"Ñ œ / !

0Ð#Ñ œ #/ $ ! Ê Ð"ß #Ñ

"

#

ŸAl ser , tenemos que:0 ÐBÑ œ B/ / #B œ Ð" BÑ/ #Bw B B B

Para es , y por lo que

Para es , y por lo que

ÚÛÜ

B − Ð "ß !Ñ " B ! / ! #B !ß 0 ÐBÑ !Þ

B − Ð"ß #Ñ " B ! / ! #B !ß 0 ÐBÑ !Þ

B w

B w

Por tanto, no se anula en ninguno de los intervalos, por lo que podemos asegurar que ambas0 ÐBÑw

raíces son simples.





Regla de Fourier À

1.Para ( ) es , luego como , tomamosB − "ß ! 0 Ð "Ñ !0 ÐBÑ !0 ÐBÑ œ ÐB #Ñ/ # !œ w

ww B

.B œ "!

2.Para ( ) es , luego al ser , tomamosB − "ß # 0 Ð#Ñ !

0 ÐBÑ !

0 ÐBÑ œ ÐB #Ñ/ # !œw

ww B

.B œ #!

Método de Newton À

La fórmula de Newton-Raphson aplicada a la función nos generaB œ B 0 ÐBÑ œ B/ B "0ÐB Ñ

0 ÐB Ñ8 " 8

8

w8

B #

los valores

Intervalo IntervaloÐ"ß #Ñ Ð "ß !Ñ

B œ # B œ "! !

B œ "ß $$***)!$ B œ !ß '$%%(!("!(" "

B œ "ß "(*$*#"(% B œ !ß %*'(()'!'## #

B œ "ß "'('&!'## B œ %()%('&$')$ $

B œ "ß "'(&)&&#* B œ %()"(#%)!#% %

B œ "ß "'(&)&&#( B œ !%()"(#$*(#& &

B œ !ß%()"(#$*(#'

Dado que es negativa y decreciente en el intervalo ( ), | | = es creciente y alcanza0 ÐBÑ "ß # 0 ÐBÑ 0 ÐBÑw w w

el mínimo en , por lo queB œ " mín ¸0 ÐBÑ 0 Ð"Ñ œ Ð #Ñ œ #w w¸ œ

B− "ß#[ ]

la expresión del error a posteriori nos queda de la forma

¸ ¸ ¸ ¸&8

80ÐB Ñ

#

El error para esB œ "ß "'(&)&&#(&

¸ ¸ ¸ ¸&8

**

œ œ !ß ##$ † "!0 Ð"ß "'(&)&&#(Ñ

# #

!ß%%' "!·

por lo que si redondeamos a obtenemos que el error viene dado por "ß "'(&)&&$

| | ( )& "ß "'(&)&&$ "ß "'(&)&&#( !ß !!!!!!!!!##$ "!)

es decir, la raíz buscada es con las ocho cifras decimales exactas."ß "'(&)&&$

Análogamente, para el intervalo ( ), es positiva y decreciente, por lo que el mínimo de "ß ! 0 ÐBÑw

| | se alcanza en , es decir 0 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ B œ !w w

mín ¸0 ÐBÑ œ 0 Ð Ñ œ Ê 0 ÐB Ñw w8 8¸ ¸ ̧ ̧ ¸0 1 .&

[ ]B− "ß!

El error para esB œ !ß%()"(#$*(#'

| |&6 0Ð !ß%()"(#$*(#Ñ œ !ß)!$'á † "!¸ ¸ *

por lo que redondeando a obtenemos que el error es!ß %()"(#%!

| | 8& !ß%()"(#%! !ß%()"(#$*(# !ß!!!!!!!!!)!$ "!¸ ¸ )

es decir, la raíz negativa es con todas las cifras decimales exactas. !ß %()"(#%!





Ejercicio $Þ'. Dada la ecuación , probar que sólo posee una raíz real y obtenerla, por el/ ÐB #Ñ œ !B #

método de Newton, con seis cifras decimales exactas.

Solución: Las gráficas de las funciones y vienen dadas en la figura adjunta.C œ / C œ ÐB #ÑB #

Puede observarse que sólo existe un punto de corte entre ellas, por lo que la ecuación/ ÐB "Ñ œ !B # sólo posee una raíz real.

Dado que el crecimiento de la exponencial es mucho más rápido que el del polinomio, es evidente queno volverán a cortarse.

Partiendo de y aplicando el método de Newton, en el intervalo ( ), dado por la fórmula deB œ ! !ß "!

Newton-Raphson B œ B œ B

0 ÐB Ñ / ÐB #Ñ

0 ÐB Ñ / #ÐB #Ñ8 " 8 8

8 8

w B8 8

B #8

8

con un error a posteriori, dado por

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸&8

8 8 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ

0 ÐBÑ $mín w

B− !ß"[ ]

obtenemos: B œ !ß ' !ß !%&*'!$**)'*)$" "&

B œ !ß '#*)$!($%')$$) #ß $'(%' † "!# #

&

&

B œ !ß '#*)%'""&')('( %ß )$(*) † "!$ $

"#&

Redondeando obtenemos que la raíz es con un error !ß '#*)%'

| |& !ß'#*)%' !ß'#*)%'""&')('( %ß)$(*) † "! "!¸ ¸"# '

Por lo que la raíz buscada es con las seis cifras decimales exactas.!ß '#*)%'

Ejercicio $Þ(. Dada la ecuación , se pide:/ ÐB "Ñ œ !B #

1.Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas.2.Obtener la mayor de ellas con dos cifras decimales exactas por el método de la bisección.3.Obtenerla con seis cifras decimales exactas por el método de Newton.

Solución: Se trata de buscar las raíces de la ecuación ./ œ ÐB "ÑB #

1.Acotación y separación:

La gráfica de interseca tres veces a la de . Las negativa y nula son evidentes. Para laC œ / C œ ÐB "ÑB #

positiva basta con observar que comienza tomando valores inferiores a los de pero, sinC œ / C œ ÐB "ÑB #

embargo, el crecimiento de la exponencial es superior al de la función cuadrática, por lo que necesariamentevolverán a cortarse sus gráficas.





Acotándolas por Bolzano vemos que, aparte de la raíz x = 0, las otras dos se encuentran en los intervalos( ) y ( ). #ß " #ß $

2.Método de la bisección:

La mayor de las raíces se encuentra en el intervalo [ ] [ ; ] y además es y .+ß , œ # $ 0 Ð#Ñ ! 0 Ð$Ñ !Aplicando el método de la bisección obtenemos:

[ ]0 Ð#ß &Ñ œ !ß 'Þ Þ Þ ! Ê + ß , œ #ß & ß $" " ‘[ ]0 Ð#ß (&Ñ œ "ß &)Þ Þ Þ ! Ê + ß , œ #ß & ß #ß (&

# # ‘

[ ]0 Ð#ß '#&Ñ œ !ß ''Þ Þ Þ ! Ê + ß , œ #ß & ß #ß '#&$ $ ‘

[ ]0 Ð#ß & '#&Ñ œ !ß # (Þ Þ Þ ! Ê + ß , œ #ß & ß # ß &'#&% % ‘

[ ]0 Ð#ß & $"#&Ñ œ !ß ! *Þ Þ Þ ! Ê + ß , œ #ß & ß # ß &$"#&& &

‘[ ]0 Ð #ß& "&'#&Ñ œ !ß! "ÞÞ Þ ! Ê + ß, œ #ß& ß# ß& "&'#&' '

‘Tomando el punto medio del intervalo, obtenemos que con un error menor queB œ #ß &!()"#&

# œ !ß !!()"#& #ß &"(

por lo que si redondeamos a obtenemos un error | |& #ß&" #ß&!()"#& !ß!!()"#& œ !ß!"¸ ¸

3.Método de Newton:

En ; sabemos que y (el mínimo se encuentra en ( ), luego se dan las

‘#ß & #ß &"&'#& 0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑ ! "ß #ww w

condiciones de la regla de Fourier. Debemos tomar como el extremos en que y tienen el mismoB 0 ÐBÑ 0 ÐBÑ!

ww

signo, por lo que , ya que 2,5 y . De esta forma, tenemos garantizada laB œ #ß &"&'#& 0 Ð Ñ ! 0 Ð#ß &"&'#&Ñ !!

convergencia.

Como en todo el intervalo, se tiene que ) es creciente, por lo que0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑww w

.mín ¸0 ÐBÑ œ 0 Ð#ß&Ñ œ / ( œ &ß")#%*$*'!(!$%( Þ Þw w #ß&¸ B− #ß& #ß&"&'#&[ ; ]

y, por tanto, el error a posteriori viene dado por

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸&8

8 8 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ

0 ÐBÑ &mín w

B− #ß& #ß&"&'#&[ ; ]

Utilizando la fórmula de Newton-Raphson , obtenemos B œ #ß &"&'#& Ê !ß !!#*%%#$'*''"% Þ Þ Þ! !

¸ ¸&

B œ #ß&"#)'*)")#(#*&Þ Þ Þ Ê (ß)''&Þ Þ Þ † "!" "

'¸ ¸&

B œ #ß&"#)'#%"($!&'#Þ Þ Þ Ê &ß''$%Þ Þ Þ † "!# #

""¸ ¸&

por lo que redondeando a obtenemos un error #ß &"#)'#

| |& #ß &"#)'# #ß&"#)'#%"($!&'# !ß!!!!!!!!!!&''$ÞÞ Þ "!¸ ¸ '

Ejercicio $Þ) À !Þ)"ÐB "Ñ 68 B œ !La ecuación , tiene dos raíces reales, una de las cuales es la unidad.Calcular la otra por el método de Newton, estudiando previamente el campo de convergencia.

Solución: La ecuación dada es equivalente a = . Es decir, se trata de encontrar las intersecciones!Þ)"ÐB "Ñ 68 Bde la recta con la curva cuyas gráficas se dan a continuación.C œ !Þ)"ÐB "Ñ C œ 68B





Sea la ecuación a estudiar sea0 ÐBÑ œ !Þ)"ÐB "Ñ 68Bß 0 ÐBÑ œ !Þ

Se puede observar que para valores mayores que , pero próximos a la función es negativa," B œ "mientras que para es , por lo que la raíz se encuentra en ( ).B œ # 0 Ð#Ñ œ !Þ)" 68# ! "ß #

El valor mínimo se calcula haciendo , por lo que ...0 ÐBÑ œ !ß )" œ ! B œ "ß #$%&'(*!"#$%&("

B

w7

Dado que podemos reducir el intervalo a ( ], en el cual no se anula la derivada (es0 Ð"ß $Ñ ! B ß #7

siempre positiva) y tampoco se anula la segunda derivada ( para cualquier [ ]).0 ÐBÑ œ B ! B − "ß $ à #ww #

Por tanto, se cumplen los requisitos de la regla de Fourier y podemos garantizar la convergenciainiciando el proceso en . (El campo de convergencia a la raíz comprendida entre y es el intervaloB œ "ß $ "ß $ #!

( , ), ya que se verifican las condiciones de Fourier.)B _7

Dado que , el error a posteriori viene dado por mín ¸0 ÐBÑ œ 0 Ð#Ñ œ !ß$"w w¸[ ]B− "ß$ ß #

¸ ¸ ¸ ¸&8

80ÐB Ñ

!ß $

, por lo queconB œ "ß $ !ß !'%&%(&%)##%*(

! !¸ ¸&

conB œ "ß ((%*(#&#%'(%$" !ß "(*)!*$$(%&""%" "

¸ ¸&conB œ "ß &&'#$'"#(!!)%" !ß !#('!$'&$&#&*!# #¸ ¸&

conB œ "ß &!'((%$!#%$'() !ß !!"(#!"%##'$%"$ $¸ ¸&

conB œ "ß &!$#%((%)*'%(# !ß !!!!!*"%$*!#%"% %¸ ¸&

conB œ "ß &!$##))!!*')'! !ß !!!!!!!!!#'%)!& &¸ ¸&

Por tanto, la raíz buscada es con un error "ß &!$##*

| |& "ß &!$##* "ß &!$##))!!*')'! !ß !!!!!!!!!#'%)! "!¸ ¸ '

Ejercicio $Þ* À B " 68 B #B (B ( œ !Se considera la ecuación ( ) . Separar sus raíces y obtener la# #

mayor de ellas con seis cifras decimales exactas por el método de Newton aplicando, previamente, la regla de

Fourier.Solución: En primer lugar vamos a despejar el logaritmo de la ecuación.

( ) ) | | | |)

B " 68 B #B (B ( œ #ÐB " 68 B #B (B ( œ ! 68 B œ# B ( B (

# Ð B "# # #

#

, por lo que

La función | | es simétrica respecto al eje de ordenadas y tiene una asíntota vertical en .C œ 68 B B œ !

La función es una hipérbola. Se puede simplificar su expresión escribiendoC œ# B ( B (

# Ð B "

#

)C œ B #ß & C œ B #ß & B œ "( ) con lo que es evidente que sus asíntotas son las rectas y ."

B"( )

Gráficamente se observan cuatro raíces reales, aunque las dos mayores podrían no serlo si elcrecimiento del logaritmo fuese más lento que el de la hipérbola. Si embargo, mediante comprobación de signos

vemos que efectivamente existe las cuatro raíces y que se encuentran en los intervalos ( ), ( ), ( ) y "ß ! !ß " "ß #( ).$ß %





En efecto: llamando ( ) se tiene que0 ÐBÑ œ B " 68 B # B (B (# #

( ) ( )0 Ð "Ñ œ "' ! 0 Ð!Ñ œ _ !0 Ð!Ñ œ _ ! 0 Ð"Ñ œ # !

Ê B − "ß ! Ê B − !ß "Ÿ Ÿ" #

( ) ( )0 Ð"Ñ œ # ! 0 Ð$Ñ œ !ß $* Þ Þ Þ !0 Ð#Ñ œ !ß $) Þ Þ Þ ! 0 Ð%Ñ œ #ß ') Þ Þ Þ !Ê B − "ß # Ê B − $ß %Ÿ Ÿ

$ %

La mayor de las raíces es la comprendida en el intervalo ( ).$ß %

Estudiemos, en primer lugar, las condiciones de la regla de Fourier.

0 ÐBÑ œ # 68 B %B ( œ # 68 B %B * œ #68 B œ # 68 B B " " %B *B # Ð%B "ÑÐB #Ñ

B B B Bw

#Š ‹ Š ‹¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ por lo que si pertenece al intervalo ( ) esB $ß %

... .0 ÐBÑ # 68 % œ !ß )* !Ð% † $ "ÑÐ$ #Ñ

$w

0 ÐBÑ œ # % œ Ð#B B "Ñ œ " " # #ÐB "ÑÐ#B "Ñ

B B B Bw

# # ##Š ‹

Por lo que en el intervalo ( ) es .$ß % 0 ÐBÑ !ww

Como . . . , tomando converge el método de Newton.0 Ð%Ñ œ #ß ') ! B œ %!

Dado que en el intervalo [ ] es , la función es decreciente y, además, sabemos que es$ß % 0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑww w

negativa, por lo que | | es creciente y, por tanto0 ÐBÑww

mín ¸0 ÐBÑ œ 0 Ð$Ñ œ "ß%'*%%#!w w¸ ¸ ¸ B− $ß%[ ]

El error a posteriori vendrá dado, en cada iteración, por

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸&8

8 8

8

0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ

0 ÐB "ß %'*mín w

B− $ß%[ ]

Aplicando la fórmula de Newton-Raphson , obtenemos:B œ B 0ÐB Ñ0 ÐB Ñ

8 " 88

w8

B œ % Ê "ß )#&)*!*'))((#$ Þ Þ Þ! !¸ ¸&

B œ $ß%$#'#"!"!&*%$"Þ ÞÞ Ê !ß$'&&&*$"%'$#%$Þ ÞÞ" "¸ ¸&

B œ $ß#%$*'%')(()$%(Þ ÞÞ Ê !ß!$*"$!$(!!*"!#Þ ÞÞ# #¸ ¸&

B œ $ß#")#)*!%)!&("*Þ ÞÞ Ê (ß"&*&')#)!&*##$Þ ÞÞ "!$ $

%¸ ¸&

B œ $ß#"()!"%$#$&*"&Þ ÞÞ Ê #ß&((*"!$"**%&&%Þ ÞÞ "!$ $

(¸ ¸&

Si redondeamos a seis decimales obtenemos con un error B œ $ß #"()!"

| |& $ß #"()!" $ß #"()!"%$#$&*"& !ß !!!!!!#&((*"!$ "!¸ ¸ '

por lo que la mayor de las soluciones de la ecuación es con sus seis cifras decimales exactas.B œ $ß #"()!"

Ejercicio $Þ"! À 0 B œ / œ !Dada la ecuación ( ) se pide:B B (B("! B"

# #

#( )

( )

1.Determinar el número de raíces reales que posee y separarlas.2.Demostrar que para cualquier es ( ) y ( ) .B "ß ' 0 B ! 0 B !w ww

3.Calcular la mayor de las raíces, con dos cifras decimales exactas, por el método de Newton.

Solución: Consideremos la función ( ) y estudiemos gráficamente su intersección con1. 1 B œ ( )( )

B (B("! B"

#

#

2 B œ /( ) .B #





La función ( ) posee una asíntota vertical en y otra horizontal en .1 B B œ " C œ !ß "

Su derivada ( ) se anula para .1 B œ B œ œ "ß %w &B("! B" &

(( )( )$

( ) ( )1 B œ Ê 1 "ß % !ww ww"!B"'"! B"( )%

por lo que ( ) tiene un mínimo en ( ; ( )) ( ; ).1 B "ß % 1 "ß % œ "ß % !ß &#&Los puntos de corte de ( ) con el eje de abscisas viene dados por las raíces de la ecuación1 B

B (B ( œ !# , es decir 1,208... y 5,791... .

Los cortes con su asíntota horizontal los determina la ecuación es decir !ß" œ B (B("! B"

#

#( )

( ) ( ) o lo que es lo mismo, y por tanto .B (B ( œ B " &B ' œ ! B œ "ß ## #

La función ( ) = conocida como (conocida en algún curso de estadística), tiene la2 B / B #Campana de Gauss

asíntota horizontal . Sus dos primeras derivadas son: ( ) y ( ) ( ) .C œ ! 2 B œ #B / B 2 B œ %B # /w B # ww # B# #

El único punto en el que se anula la derivada ( ) es , siendo ( ) , por lo que posee un2 B B œ ! 2 ! œ # !w ww

máximo en el punto ( , ( )) ( ).! 2 ! œ !ß "

Gráficamente se detectan cuatro puntos de corte entre ambas funciones. (Obsérvese que entre y ambas& 'gráficas vuelven a cortarse, ya que la campana de Gauss se hace prácticamente nula mientras que la otra gráfica

va buscando la asíntota horizontal ).C œ !ß" !

Aplicando el Teorema de Bolzano a la función ( ) para separar sus raíces,0 B œ / B B (B("! B"

# #

#( )

( )

obtenemos: 0 Ð "Ñ ! 0 Ð$Ñ ! 0 Ð!Ñ ! Ê = − Ð "ß !Ñ 0 Ð%Ñ !"

0 Ð"Ñ ! Ê = − Ð!ß "Ñ 0 Ð&Ñ !#

0 Ð#Ñ ! Ê = − Ð"ß #Ñ 0 Ð'Ñ ! Ê = − Ð&ß 'Ñ$ %

Así pues, existen cuatro raíces situadas en los intervalos ( ), ( ), ( ) y ( ) respectivamente. "ß ! !ß " "ß # &ß '

2.Las dos primeras derivadas de la función ( ) son0 B

0 ÐBÑ œ #B / 0 ÐBÑ œ %B # / &B ( "!B "'

"!ÐB "Ñ "!ÐB "Ñw B ww # B

$ %

# #

y ( )

Para valores de mayores que se tiene queB "ß '

#B / !

! Ê Ê 0 ÐBÑ ! a B "ß'

B

&B( &B(ÐB"Ñ "!ÐB"Ñ

w

#

$ $

Ÿ

( )%B # / œ !

% B #

/ !

Ê 0 ÐBÑ ! a B "ß '# B

#

B

"!B"'ÐB"Ñ

ww

#

#

%

ŸEs decir, ambas derivadas tienen signo constante en dicho intervalo.





3.Calculemos ahora la solución existente en el intervalo ( ).&ß '

En primer lugar aplicamos la regla de Fourier:y ( )y

0 Ð&Ñ ! 0 ' !0 ÐBÑ ! 0 ÐBÑ !

Ê B œ &w ww Ÿ !

El error a posteriori vendrá dado por

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸&8

8 8 8

8

œ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ0 ÐB "ß %'* "ß %'*mín w

[ ]B− &ß'

Haciendo uso de la fórmula de Newton-Raphson , obtenemos:B œ B 0ÐB Ñ

0 ÐB Ñ8 " 8

8

w8

conB œ & "ß !"*!#"($*))&#" Þ Þ Þ! !

¸ ¸&

conB œ &ß ''''''''$)')&! Þ Þ Þ !ß "$)'%#%"''(**) Þ Þ Þ" "¸ ¸&

conB œ &ß ())"*%%%%$!&$% Þ Þ Þ !ß !!$$&)!)$)!*"# Þ Þ Þ# #

¸ ¸&

Si redondeamos la segunda cifra decimal para escribir , el error vendrá dado por B œ &(*

| |& &(* &ß())"*%%%%$!&$% Þ Þ Þ !ß!!$$&)!)$)!*"# Þ Þ Þ "!¸ ¸ #

por lo que es la solución pedida con dos cifras decimales exactas.B œ &(*

Actividad Personal


"Þ Por el método de bisección obtenga la única raíz positiva de la ecuación no lineal:

% -9=ÐBÑ / œ ! B − Ò!ß &à "ÓB

, con .

#Þ Sea la ecuación . Encuentre la raíz no nula de esta ecuación usando Newton-Raphson/ œ " B

$B

"Š ‹(B − Ò#à $ÓÑÞ

$Þ C œ B -9=Ð Ñ "Resuelva la ecuación . Utilice Newton-Raphson para multiplicidad de raices.$ B#

%Þ B 68B œ !ÞPor iteración funcional resuelva la ecuación Grafique previamente.

&Þ , œ & Ð7Ñ U œ "& Ð ÑSe tiene un canal rectangular de base por el cual escurre un caudal . Se sabe que7=/1Þ

$

este canal posee una energía . Se pide encontrar la altura crítica (altura donde el escurrimientoI œ "ß( Ð7Ñcambia de estado) sabiendo que se cumple la relación:

I œ 2 ß ; œ 2; U

#12 ,- -

#

-#

donde y es la altura crítica.

Indicación: Utilice 4 dígitos significativos y redondeo. Además, una buena aproximación para la altura crítica esel rango entre y ."ß $ "ß (





Cuando queremos evaluar una función en un PC, en general será más eficiente en tiempo y0ÐBÑespacio tener una aproximación analítica de ella que almacenar un conjunto de datos para determinar valoresentre los datos que tenemos. Al tener datos experimentales, los cuales están sujetos a distintos tipos de errores,debemos tomar suficientes lecturas experimentales de tal manera que las leyes estadísticas cancelen los erroresintroducidos. Por las leyes físicas es posible ajustar los datos a una función conocida, luego el problema se

reduce a resolver la determinación de la "mejor función" que represente a los datos.El criterio que utilizaremos para cumplir este objetivo será el de los Mínimos Cuadrados. Este criterio

recibe el nombre . Bondad de Ajuste

Nos centraremos sólo en resolver el problema de que al tener un conjunto de puntos ,T ÐB ß C Ñ5 5 5

encontrar la ecuación que relacione las cantidades medidas e en el sentido de que su gráficoC œ ÐBÑ B C9‡

represente de la "mejor forma posible" al conjunto de puntos.

En general, la formulación del problema es que dado un elemento de un espacio métrico , se0 ÐIß .Ñ pide encontrar un elemento de un subespacio ( de , tal que la distancia de al elemento sea la9 9* *J ß .Ñ ÐIß .Ñ 0 menor entre todas las distancias de los al dado, es decir,9 − J 0

.Ð ß 0Ñ œ .Ð ß 0 Ñ9 9‡ min 9−J

donde el elemento recibe el nombre de (si es que existe dicho9* mejor aproximación a por elementos de0 J elemento).

%Þ"Þ Mejor aproximación en espacios normados.

Para este elemento estudiaremos su existencia, unicidad y construcción.9*

Teorema %Þ"Þ(Existencia de en espacios normados): Sea un espacio normado y sea un subespacio9* ÐIß Ñ J ¼¼de . Si es de dimensión finita, entonces existe al menos un elemento que es mejor aproximación deI J − J 9*

0 − I J Þ por elementos de Es decir,

tal que:b − J 9* ¼ ¼ ¼ ¼0 œ 0 9 9* min 9−J

Si es un espacio prehilbert (real) y un subespacio de , de dimensiónÐIß Ñ ÐJ ß Ñ ÐIß Ñfinita, de este teorema se deduce que existe una mejor aproximación de , la cual satisface9* − J 0 − I

¼ ¼ ¼ ¼0 œ 0 9 9* min 9−J

Teorema .%Þ# (Caracterización de ) Una condición necesaria y suficiente para que sea una mejor 9 9* *À − J aproximación de es que0 − I

0 œ ! ß a − J 9 9 9*,

Teorema %Þ$Þ (Unicidad de ): La mejor aproximación de por elementos de , si existe, es9 9* * − J 0 − I J única.

%Þ"Þ"Þ Sistema de Ecuaciones Normales

Para el espacio prehilbert , un subespacio de y , consideremos laÐIß Ñ J Iß .37ÐJ Ñ œ 8 0 − I base de que denotaremos Por tanto, la relación siguienteJ œ Ö ß á ß ×ÞU < <" 8

!5œ"

8

5 4 4‡5 ß + œ 0 ß ß a 4 œ "ß 8< < <

corresponde a un sistema de ecuaciones lineales de orden , donde las indeterminadas son los8 ‚ 8 + Ð5 œ "ß 8Ñ‡5

coeficientes para construir la combinación lineal que detrerminará a . Es decir,9*

9 <* œ +!5œ"

8

5‡

5





%Þ#Þ Aproximación discreta de mínimos cuadrados.

Las leyes físicas que rigen el fenómeno que se estudia experimentalmente nos proporcionaninformación importante que debemos considerar para proponer la forma de la función que queremos9*ÐBÑajustar a los datos.

Consideremos el intervalo cerrado tal que pertenezca a él ( , donde es el númeroÒ+ß ,Ó B 5 œ "ß R R /=5de datos Sea [ y [ un subespacio de dimensión Además, tomemos la baseÑÞ 0 − +ß ,Ó © +ß ,Ó 8ÞV ¶ V 8

U < < ¶œ Ö ß á ß ×" 8 8de .

La función es la mejor aproximación discreta, en el sentido de los mínimos cuadrados,9 <* =!

5œ"

8‡5 5+ − ¶8

de la función si0

" "3œ" 3œ"

R 8

3 3 3 3 3 3# #= 9 = 9ÐB ÑÒ0 ÐB Ñ ÐB ÑÓ œ ÐB ÑÒ0 ÐB Ñ ÐB ÑÓ* min

9 ¶− 8

siendo una función de peso definida en [ , tal que ( para algún , que para efectos= =+ß ,Ó B Ñ ! 3 − Ö"ß #ß ÞÞÞß R ×3

de simplificación de cálculos consideraremos igual a uno.

Nota importante: En este apunte nos remitiremos sólo al uso de la base polinimial ;U œ Ö"ßBßB ßÞÞÞßB ×# 8

dependiendo si es lineal , parabólico , cúbico , etc.Ð8 œ "Ñ Ð8 œ #Ñ Ð8 œ $ÑLos coeficientes con se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones normales+ 5 œ "ß 8‡

5

R † + + B ÞÞÞ + B œ 0 ÐB Ñ‡ ‡ ‡ 8"" # 3 8

3œ" 3œ" 3œ"

R R R

3 3 ! ! !

! ! ! !3œ" 3œ" 3œ" 3œ"

R R R R

3 " # 8 3‡ ‡ # ‡ 8

3 3 3B + + B ÞÞÞ + B œ 0 ÐB Ñ † B

(%Þ"Ñ

! ! ! !3œ" 3œ" 3œ" 3œ"

R R R R

3 3 3# ‡ ‡ $ ‡ #

" # 8 38"

3B + + B ÞÞÞ + B œ 0 ÐB Ñ † B

ã ã ã ã ã

! ! ! !3œ" 3œ" 3œ" 3œ"

R R R R

3 3 38" ‡ ‡ 8 ‡ #8#

" # 8 33B + + B ÞÞÞ + B œ 0 ÐB Ñ † B8"

Ejemplo %Þ#Þ Determinemos la "mejor aproximación discreta" de la función de la cual se conocen0 − Ò "ß %ÓV los puntos dados por la tabla

B " " # $ %

0 ÐB Ñ # " $ & '3

3

Solución: Del comportamiento de los puntos (ver gráfica) la "mejor aproximación discreta" será una recta( 2, es decir una regresión lineal). Luego, dado que , aplicando ( nos dael sistema8 œ R œ & %Þ"Ñ

+ Ð" " " " "Ñ + Ð " " # $ %Ñ œ "$‡ ‡" #

+ Ð " " # $ %Ñ + Ð" " % * "'Ñ œ %)‡ ‡" #

o equivalentemente5+ *+ œ "$‡ ‡

" #

y*+ $"+ œ %) + œ œ !ß $*")* + œ œ "ß ''#"'#* "#$(% (%

‡ ‡ ‡# # " #‡Ö

Por tanto, 9‡ÐBÑ œ † " † B œ B ß " Ÿ B Ÿ %#* "#$ #* "#$

(% (% (% (%.





Ejemplo %Þ$Þ Determinemos la mejor aproximación discreta de la función de la cual se conocen0 − Ò "ß "ÓV

los puntos dados por la tablaB " ! "

0 ÐB Ñ # " #

3" "# #

3& &% %

Solución: De igual forma nos damos cuenta por la gráfica del conjunto de datos que la "mejor aproximación

discreta" será por una parábola ( y ); luego, aplicando ( nos dael sistema8 œ $ R œ & %Þ"Ñ+ Ð" " " " "Ñ + Ð " ! "Ñ + Ð " ! "Ñ œ‡ ‡ ‡

" # $" " " " "&# # % % #

+ Ð " ! " Ñ + Ð" ! " Ñ + Ð " ! " Ñ œ !‡ ‡ ‡" # $

" " " " " "# # % % ) )

+ Ð" ! "Ñ + Ð " ! "Ñ + Ð" ! " Ñ œ‡ ‡ ‡" # $

" " " " " " $(% % ) ) ) ) )

o equivalentemente

5 ++ + œ‡ ‡" $

& "&# #

&#

‡ ‡# #+ œ ! + œ !Ö

& "( $(# ) )

‡ ‡" $+ + œ

y5

y+ + œ

+ + œ+ œ " + œ "

‡ ‡" $

& "&# #

& * $(# % )

‡ ‡" $

‡ ‡" $Ö

Por tanto, .9‡ # #ÐBÑ œ " † " " † B œ " B ß " Ÿ B Ÿ "

Representando gráficamente tenemos

%Þ$Þ Aproximación discreta de mínimos cuadrados, caso no lineal.

En el caso en que la mejor aproximación no es de la forma lineal, es posible intentar una9‡

transformación por algún método adecuado.

Ejemplo %Þ$Þ Si tenemos el conjunto de puntos en la tablaÐB ß C Ñ3 3

B ! " # $0 ÐB Ñ œ C $ß ! ! !ß % " !ß ! & !ß ! "

3

3 3

y queremos encontrar la mejor aproximación discreta que obedezca a la forma , para ,9‡ ‡ + B"ÐBÑ + / ! Ÿ B Ÿ $#

‡

linealizamos aplicando logaritmo natural para obtener

68 ÐBÑ œ 68+ + B9‡ ‡ ‡" #

Luego, haciendo las sustituciones y , obtenemosG 9‡ ‡ ‡ ‡" #" #ÐBÑ œ 68 ÐBÑß - œ 68+ - œ +

G‡" #ÐBÑ œ - - B , lo que nos lleva a

B ! " # $

D œ 68C "ß "! !ß )* $ß !! %ß '"3

3 3

; luego, aplicando ( da el sistema%Þ"Ñ %- '- œ ( ß $!" #

'- "%- œ #!ß' #" # ; lo cual da como resultado: y- œ "ß !* - œ "ß *%" #





Así, Es decir, al volver a las incógnitas originales tenemosG‡ÐBÑ œ "ß!* "ß *%BÞ

+ œ / œ #ß * '‡ -"

"

+ œ - œ "ß *%‡# #

De esta forma la función requerida es: .9‡ "ß*%BÐBÑ œ #ß *'/

%Þ$Þ"Þ Método de Gauss-Newton

Este método permite tratar los casos no lineales que no se pueden linealizar por algún método.

Consideremos los puntos dados , para los cuales queremos encontrar la mejor aproximaciónÐB ßC Ñß 3 œ "ßR 3 3

discreta de la forma

, donde son parámetros a determinar.9‡ ‡ ‡" 8ÐBÑ œ 0Ð- ß áß - ßBÑ - ß á ß -‡ ‡

" 8

Algoritmo del método: Dado un vector inicial , se determinan los nuevos vectores- − - ßÐ!Ñ 8 Ð3"Ñ‘3 œ !ß "ß#ßá como sigue teniendo en cuenta la definición siguiente

0 À58‘ Ò ‘

0 Ð - ß á ß - Ñ œ 0 Ð- ß á ß - à B Ñ ß 5 œ "ß R 5 " 8 " 8 5

Paso "Þ - =Para se calcula el punto de mínimo que resuelve el problema linealÐ3Ñ Ð3Ñ

min ½ ½< Ð- Ñ H0 Ð - Ñ † DÐ3Ñ Ð3Ñ

#

#, es decir el vector solución

D−‘8

del sistemaH0 Ð- Ñ † H0 Ð- Ñ † = œ H0 Ð- Ñ † <Ð- Ñ

µ µ µÐ3Ñ > Ð3Ñ Ð3Ñ Ð3Ñ > Ð3Ñµ

donde , y0 Ð-Ñ œ Ò0 Ð-Ñß á ß 0 Ð-ÑÓ - œ Ð- ß á ß - Ñ − à C œ ÒC ß á ß C Óµ

" R " 8 " R > 8 >µ

‘

<Ð-Ñ œ C 0 Ð-Ñ œ Ò< ß á ß < Ó Þµ µ µ

" R >

Paso #Þ 5 !Sea y sea el entero más pequeño que satisface la relación< 7 7 Ð Ñ œ C 0 - =½ ½ˆ ‰µ µÐ3Ñ Ð3Ñ

#

#

< <Ð# Ñ Ð!Ñ œ C 0 - 5 Ð3Ñµ µ

#

#½ ½ˆ ‰

Paso $Þ - œ - ="#

Se define Ð3"Ñ Ð3Ñ5

Ð3Ñ

Paso %Þ El proceso se detiene si se satisface la relación

, para un dado.max ¹ ¹

¹ ¹- -

- "!

Ð3 "Ñ Ð3 Ñ 4 4

Ð3"Ñ 4

"!

"Ÿ4Ÿ8

& & !

Si no se cumple la desigualdad anterior, volver al con el recién calculado. Paso ." -Ð3"Ñ





Ejemplo %Þ%Þ Determinemos la mejor aproximación discreta de mínimos cuadrados de la forma0Ð- ß - ß BÑ œ - /" # "

- B# tomando como vector inicial , para la tabla- œ Ð"ß !!à "ß !!ÑÐ!Ñ

B ! " # $0 ÐB Ñ $ß ! ! !ß % " !ß ! & !ß ! "

3

3

Solución: Dado que entonces haciendo:R œ % 0 Ð- ß ß - à B Ñ œ 0 Ð- ß - Ñ œ -" # " " " # "

0Ð- ß ß - à B Ñ œ 0 Ð- ß - Ñ œ - /" # # # " # "-#

0Ð- ß ß - à B Ñ œ 0 Ð- ß - Ñ œ - /" # $ $ " # "#-#

; tenemos0Ð- ß ß - à B Ñ œ 0 Ð- ß - Ñ œ - /" # % % " # "$-#

0 Ð- Ñ œ œ <Ð- Ñ œ C 0 Ð- Ñ œ

"ß!!

/

/

/

"ß !! $ß !! "ß !!!ß $( !ß %" !ß $!ß "% !ß !&!ß !& !ß !"

µ µÐ!Ñ Ð!Ñ Ð!Ñ

"ß!!

#ß!!

$ß!!

µ µÔ × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

Ö( !ß !%

!ß "% !ß !*!ß !& !ß !%

œ

#ß!!Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

Ö H0 Ð- Ñ œ œ

" !/ - /

/ #- /

/ $- /

"ß ! ! !ß ! !!ß $ ( !ß $ (!ß " % !ß # (!ß ! & !ß " &

µÐ!Ñ

- -"

#- #-"

$- $-" Ð"ß!!à"ß!!Ñ

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

# #

# #

# # º

yÖ H0 Ð- Ñ † H0 Ð- Ñ œ H0 Ð- Ñ † <Ð- Ñ œ"ß "' !ß ") #ß !!!ß ") !ß #$ !ß !#

µ µ µÐ!Ñ > Ð!Ñ Ð!Ñ > Ð!Ñµ” • ” •

De aquí, el sistema de ecuaciones normales será:

” • ” • ” •"ß "' !ß ") = #ß !!!ß ") !ß #$ = !ß !#

† œ = œ Ð"ß *)à "ß '%Ñ"

#

Ð!ÑÖ

Para , tenemos5 œ !

; mientras que< <Ð# Ñ œ Ð"Ñ œ œ !ß !%!ß !# !ß #! !ß !$ !ß !"! >

#

#¼ ¼c d <Ð!Ñ œ œ %ß !"#ß !! !ß !% !ß !* !ß !%¼ ¼c d>

#

#

es decir, . Luego, .< <Ð"Ñ Ð!Ñ - œ - = œ Ð#ß *)à #ß '%Ñ

Ð"Ñ Ð!Ñ Ð!Ñ

Por tanto, - œ Ð#ß *)à #ß '%ÑÞÐ"Ñ

Por paso el test de detención da: ; lo que para una condición%Þ œ !ß ''max¹ ¹¹ ¹

- -

- "!

Ð"Ñ Ð!Ñ4 4

Ð"Ñ4

"!

"Ÿ4Ÿ#

preestablecida ( se detiene o se continúa con en vez de& !Ñ - œ Ð#ß *)à #ß '%Ñ - ÞÐ"Ñ Ð!Ñ





%Þ%Þ Ejercicios

Ejercicio %Þ"Þ Determinar la mejor aproximación discreta de la función de la cual se conocen los0 − Ò "ß "ÓV

puntos dados por la tabla

B " ! "0 ÐB Ñ " ! "3

" "

# #3

" "# #

Solución: Tomemos y apliquemos ( dando el siguiente sistema8 œ $ %Þ"Ñ

&+ #ß &+ œ $‡ ‡" $

y#ß &+ œ ! + œ ! + œ + œ‡ ‡ ‡ ‡# # " $

' '$& (Ö Ö

#ß &+ + œ #ß #&‡ ‡" $

"()

Por tanto, .9‡ #' '$& (

ÐBÑ œ † B ß " Ÿ B Ÿ "

Ejercicio %Þ#Þ Determine la mejor aproximación discreta de la función de la cual se conocen los0 − Ò #ß #ÓV

puntos dados por la tablaB # " ! " #

0 ÐB Ñ $ ! " ! $3

3

Solución: De manera análoga al ejemplo 4.2 da el sistema

+ Ð" " " " "Ñ + Ð # " ! " #Ñ + Ð% " ! " %Ñ œ &‡ ‡ ‡" # $

+ Ð # " ! " # Ñ + Ð% " ! " % Ñ + Ð ) " ! " ) Ñ œ !‡ ‡ ‡" # $

+ Ð% " ! " %Ñ + Ð ) " ! " )Ñ + Ð"' " ! " "'Ñ œ #%‡ ‡ ‡" # $

o equivalentemente

5 ++ "!+ œ &‡ ‡" $

y y5

"!+ œ ! + œ ! + œ + œ+ " !+ œ &

"!+ $%+ œ "#‡ ‡ ‡ ‡# # " $

‡ ‡" $‡ ‡" $

& "( (Ö Ö

"!+ $%+ œ "#‡ ‡" $

Por tanto, .9‡ # #& " & "( ( ( (

ÐBÑ œ † " † B œ B ß # Ÿ B Ÿ #

Ejercicio %Þ$Þ Idem para la tablaB $ # " ! "

0 ÐB Ñ $# * ! " !3

3

Solución: Ajustemos estos puntos con para obtener el sistema8 œ %

&+ &+ "&+ $&+ œ %!‡ ‡ ‡ ‡" # $ %

&+ "&+ $&+ **+ œ ""%‡ ‡ ‡ ‡" # $ %

"&+ $&+ **+ #(&+ œ # (*‡ ‡ ‡ ‡" # %$

$&+ **+ #(&+ (*&+ œ *$' + œ + œ + œ + œ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡" # $ % # $ %

"($ %( "'** )$( #) &' ), , yÖ 1

Por lo tanto, 9‡ # $ # $"($ %( "'** )$ "($ %( "'** )$( #) &' ) ( #) &' )ÐBÑ œ † " † B † B † B œ B B B à " Ÿ B Ÿ ".





Ejercicio %Þ%Þ Obtener la mejor aproximación discreta de mínimos cuadrados del tipo para la tabla3 œ 3 /! >

VG

>Ð=Ñ " # $ % &3ÐEÑ )ß" )( 'ß( !$ &ß% )) %ß% *$ $ß' (*

Además, calcular los valores de y3 VGÞ!

Solución: En este caso es posible linealizar aplicando logaritmo natural, lo que nos da3 œ 3 /!

>VG

683 œ 683 >!"

VG

Luego, haciendo las sustituciones y , obtenemosG‡" ! #

"VG

ÐBÑ œ 683ß - œ 683 - œ

G‡" #ÐBÑ œ - - > , lo que nos lleva a

> " # $ % &

D œ 68> #ß" !$ "ß* !$ "ß( !$ "ß& !$ "ß$ !$; luego, aplicando ( da el sistema%Þ"Ñ

&- "&- œ )ß &"&" #

; lo cual da como resultado"&- &&- œ #$ß &%&" #

- œ #ß $!$ - œ !ß #" #y

Así, Es decir, al volver a las incógnitas originales tenemosG‡ÐBÑ œ #ß$!$ !ß #>Þ

3 œ / œ / œ "!ß !!%!- #ß$!$"

œ - œ !ß # VG œ &"VG # Ö

Por lo tanto la mejor aproximación es .9‡ !ß#>ÐBÑ œ #ß $!$/

Ejercicio %Þ&Þ En un trabajo experimental se han obtenido los valores que a continuación se indican > "ß !! $ß !! 'ß !! *ß !! "&ß !!

CÐ>Ñ &ß "# $ß !! #ß %) #ß $% #ß ")

Si el modelo que describe el fenómeno está dado por determinar por el método de losCÐ>Ñ œ-

- >"

#

cuadrados mínimos las constantes y de la fórmula indicada, analizando el condicionamiento del sistema de+ ,

ecuaciones normales.

Solución: Debemos determinar la mejor aproximación discreta de mínimos cuadrados de la forma0Ð- ß- ß>Ñ œ

-

- >" #

"

#tomando como vector inicial - œ Ð"ß!!à "ß!!ÑÞÐ!Ñ

Solución: Dado que entonces haciendoR œ &

0 Ð- ß - Ñ œ 0 Ð- ß - Ñ œ- -

- " - *" " # % " #

" "

# #

0 Ð- ß - Ñ œ 0 Ð- ß - Ñ œ- -

- $ - "&# " # & " #

" "

# #

0 Ð- ß- Ñ œ-

- '$ " #

"

#

tenemos

0 Ð-Ñ œ 0 Ð- Ñ œ œµ µ

-

- "-

- $-

- '-

- *-

- "&

Ð!Ñ

"

$

'

*

"&

"

#"%"("

"!"

"

Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø

"

#"

#

"

#

"

#

"

#

Ö

1

1 11

11

11

11 '

µ µÐ!Ñ Ð!Ñµ

œ <Ð- Ñ œ C 0 Ð- Ñ œ œ

!ß & &ß "# !ß &!ß #& $ß !! !ß #&!ß "% #ß %) !ß "%!ß " #ß $% !ß "

!ß !' #ß ") !ß !'

Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù ÖÖ Ù Ö Ù Ö Ù ÖÖ Ù Ö Ù Ö Ù ÖÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ö

ÙÙÙØ

%ß'##ß(&#ß$%#ß#%#ß"#





Ö H0 Ð- Ñ œ œ

µÐ!Ñ

"- " Ð- "Ñ

-

"- $ Ð- $Ñ

-

"- ' Ð- 'Ñ

-

"- * Ð- *Ñ

-

"- "& Ð- "&Ñ

-

Ð"ß!!à"ß!!Ñ

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖÖÕ

# #

"#

# #

"#

# #

"#

# #

"#

# #

"#

ÙÙØ

!ß & !ß #&!ß #& ! ß !'!ß "% ! ß !#!ß " !ß !"

!ß !' !

Ö H0 Ð- Ñ † H0 Ð- Ñ œ H0 Ð- Ñ † <Ð- Ñ œ!ß $& !ß "% $ß ')

!ß "% !ß !( "ß $*

µ µ µÐ!Ñ > Ð!Ñ Ð!Ñ > Ð!Ñµ” • ” •y

De aquí, el sistema de ecuaciones normales será:

” • ” • ” •!ß $& !ß "% = $ß ') !ß "% !ß !( = "ß $*

† œ = œ Ð*#ß #*à #!%ß %$Ñ"

#

Ð!ÑÖ

Para , tenemos5 œ !

; mientras que< <Ð# Ñ œ Ð"Ñ œ œ !ß !%!ß !# !ß #! !ß !$ !ß !"! >#

#¼ ¼c d <Ð!Ñ œ œ %ß !"#ß !! !ß !% !ß !* !ß !%¼ ¼c d>

#

#

es decir, . Luego,< <Ð"Ñ Ð!Ñ - œ - = œ Ð#ß *)à #ß '%ÑÐ"Ñ Ð!Ñ Ð!Ñ

Por tanto, - œ Ð#ß *)à #ß '%ÑÞÐ"Ñ

Ahora, por paso el test de detención nos da:%Þ

; lo que para una condición preestablecida (max¹ ¹¹ ¹

- -

- "!

Ð"Ñ Ð!Ñ4 4

Ð"Ñ4

"!œ !ß '' !Ñ&

"Ÿ4Ÿ#

se continúa con en lugar de- œ Ð#ß *)à #ß '%Ñ - ÞÐ"Ñ Ð!Ñ

Ejercicio %Þ'Þ Se analiza el crecimiento poblacional de una determinada población, obteniendo los datossiguientes: > ! " # $ %

:Ð>Ñ & %& #"( $&! $(#

Se pide determinar la mejor aproximación discreta de mínimos cuadrados de la forma :Ð>Ñ œ$(&

" /" >#

Solución: Tarea!

Ejercicio %Þ(Þ A cierto fenómeno se le quiere ajustar el modelo . En pruebas experimentales a esteCÐ>Ñ œ+

, >fenómeno se han obtenido los datos siguientes > "ß !! $ß !! 'ß !! *ß !! "&ß !!

CÐ>Ñ &ß "# $ß !! #ß %) #ß $% #ß ")

Obtenga la mejor aproximación discreta de mínimos cuadrados del tipo del modelo que quiere ajustar.

Solución: Tarea!





Actividad Personal

A continuación se proponen ejercicios tomados en certámenes anteriores y ejercicios nuevos propuestos para ser resueltos a modo de autoevaluación.

"Þ B CAjuste a una línea recta los valores de e dados en la tabla siguiente

B " # $ % & ' (C !ß & #ß & #ß ! %ß ! $ß & 'ß ! &ß &

#Þ C œ +BPara la ecuación ajuste a los datos,

B " # $ % &C !ß & "ß ( $ß % &ß ( )ß %

$Þ Adecúe los datos siguientes a un modelo exponencial

B !ß % !ß ) "ß # "ß ' #ß ! #ß $C (&! "!!! "%!! #!!! #(!! $(&!

%Þ Considere lo datosB & "! "& #! #& $!C "' #& $# $$ $) $'

Ajuste una:a) recta.b) ecuación de potencias.

c) parábola.

&Þ C œ 0 ÐBÑ œ +Ð" / Ñ Ð"à "ÑDada la función y el valor inicial ajuste el conjunto de puntos,B

B !ß #& !ß (& "ß #& "ß (& #ß #&C !ß #) !ß &( !ß ') !ß (% !ß (*





Supongamos que se conocen los valores que toma una función , en los puntos del conjunto {8 " 0 ÐBÑB ß B ß ÞÞÞß B 0 ÐB Ñ œ C 0 ÐB Ñ œ C ß á 0 ÐB Ñ œ C! " 8 ! ! " " 8 8} denominado , es decir, supongamos conocidos , , . soporte

El problema de la interpolación consiste en encontrar una función de determinadas características1ÐBÑy tal que para . En caso de existir, se dice que interpola a en el soporte1ÐB Ñ œ C B ß B ß ÞÞÞß B3 3 ! " 83 œ !ß 8 1ÐBÑ 0 ÐBÑ {}.

Al decir de determinadas características nos referimos a que se exige que sea, por ejemplo, unw w

1ÐBÑ polinomio, un cociente de polinomios, una función trigonométrica, etc.La finalidad de encontrar una función que interpola a otra en el soporte { } es la1ÐBÑ 0 ÐBÑ B ß B ß ÞÞÞß B! " 8

de aproximar la función en un punto de tal forma que se pueda decir que una vez0 ÐBÑ B 0 ÐBÑ ̧ 1ÐBÑencontrada . (Otra cosa es la evaluación de ). Si el valor de se encuentra en el intervalo1ÐBÑ 0 ÐBÑ 1ÐBÑ B[ ] se dice que estamos . Si se encuentran fuera de dicho intervalo, se dice que estamosB ß B! 8 interpolando

extrapolando.Como aplicaciones más directas tenemos:

Evaluación: (una aproximación) de una función complicada , en un cierto punto .0 B

Sustitución: Si es cómoda de derivar o integrar, la sustitución, en cierta medida, de por o por 1ÐBÑ 0 1w w ( +

,

0

( +

,

1.

En este tema sólo trataremos la y o por interpolación polinomial la interpolación polinomial a trozos

splines.

Ejemplo &Þ"Þ Dada la tabla de valores , dado que los tres puntos no están alineados, no existeB ! " #

C " $ (

ninguna recta que interpole a dichos valores.

Si queremos calcular la parábola que interpola a dichos valores, planteando el C œ +B ,B -#

correspondiente sistema se obtiene, como solución única, .C œ B B "#

Si nuestra intención es buscar una parábola cúbica , nos encontramos con que C œ +B ,B -B .$ #

existen infinitas soluciones que son de la formapara cualquiera que sea .C œ B B " BÐB "ÑÐB #Ñ −# ! ! ‘

Por último, para calcular la función polinómica de grado que interpola a dichos valores obtenemos 8

C œ B B " B ÐB "Ñ ÐB #Ñ# 8 8 8! " # $

para cualesquiera y cualquier .8 8 8 œ 8 −" # $ ! ‘

&Þ"Þ Interpolación polinomial

Trataremos en esta sección los tres tipos más generalizados de interpolación polinomial, a saber:Lagrange, Newton y Hermite.

&Þ"Þ"Þ Interpolación de Lagrange

Como en cualquier problema de interpolación, consideremos la tabla B B B á B

C C C á C! " 8

! " 8

y construyamos el polinomio de grado que interpola a dichos valores. Para ello, consideremos los8denominados polinomios de Lagrange

P ÐBÑ œÐB B ÑÐB B ÑáÐB B Ñ

Ð B B Ñ Ð B B Ñ á Ð B B Ñ!

" # 8

! " ! # ! 8

P ÐBÑ œÐB B ÑÐB B ÑáÐB B Ñ

Ð B B Ñ Ð B B Ñ á Ð B B Ñ"

! # 8

" ! " # " 8

ã ã ã

P ÐBÑ œB B

B B3

4œ!

84

3 4

4Á3$

ã ã ã

P ÐBÑ œÐB B ÑÐB B Ñá Ð B B Ñ

ÐB B ÑÐB B Ñá ÐB B Ñ8

! " 8"

8 ! 8 " 8 8"





Teorema &Þ". Los polinomios de Lagrange, definidos anteriormente, verifican:

+Ñ P ÐB Ñ œ Þ!ß 3 Á 4"ß 3 œ 43 4 œ

,Ñ 1<+.9ÐP ÐBÑÑ œ 8 ! Ÿ 3 Ÿ 8Þ3 cualesquiera que sea

-Ñ ßEl polinomio interpola los valores de la tabla conT ÐBÑ œ C P ÐBÑ C P ÐBÑ â C P ÐBÑ B B B â BC C C â C

8 ! ! " " 8 8 ! " 8

! " 8

B B â B 1<+.9ÐT ÐBÑÑ Ÿ 8! " 8 siendo Þ

Ejemplo &Þ#Þ Para interpolar los valores de la tabla los polinomios de Lagrange sonB " # $ %C ! " # &

À

P ÐBÑ œ œ ÐB *B #'B #%Ñ P ÐBÑ œ œ ÐB )B "*B "#ÑÐB #ÑÐB $ÑÐB %Ñ " ÐB "ÑÐB $ÑÐB %Ñ "

Ð" #ÑÐ" $ÑÐ" %Ñ ' Ð# "ÑÐ# $ÑÐ# %Ñ #! "

$ # $ #

P ÐBÑ œ œ ÐB (B "%B )Ñ P ÐBÑ œ œ ÐB 'B ""B 'ÑÐB "ÑÐB #ÑÐB %Ñ " ÐB "ÑÐB #ÑÐB $Ñ "

Ð$ "ÑÐ$ #ÑÐ$ %Ñ # Ð% "ÑÐ% #ÑÐ% $Ñ '# $

$ # $ #

y como , obtenemos queT ÐBÑ œ C † P ÐBÑ C † P ÐBÑ C † P ÐBÑ C † P ÐBÑ$ ! ! " " # # $ $

T ÐBÑ œ B "'B B "*Þ$( *)$ $

$ #

El cálculo de los polinomios de Lagrange, puede verse con el Ejemplo 4.3, no es un proceso dinámico,en el sentido de que si ahora añadiéramos un nuevo punto al soporte, habría que comenzar de nuevo todo el

proceso.

Teorema &Þ#Þ Dados los números reales y los números reales cualesquiera , , . . . ,B B â B 8 " C C! " 8 ! "

C à T ÐBÑ 8 T ÐB Ñ œ C 3 œ !ß 88 8 8 3 3existe un único polinomio de grado no superior a tal que para .

Dada una función de la que se conocen los transformados de puntos , , . . . , y su0 ÐBÑ 8 " B B B! " 8

polinomio de interpolación de Lagrange , sólo nos falta dar una medida del error que se comete al sustituir T ÐBÑ8

la función por el polinomio .0 ÐBÑ T ÐBÑ8

Teorema &Þ$. Sean y sea una función veces derivable tal que la derivadaB B â B 0 8 " 0 ÐBÑ! " 8Ð8"Ñ

es continua. Sean , , . . . , , el polinomio de interpolación de LagrangeC œ 0 ÐB Ñ C œ 0 ÐB Ñ C œ 0 ÐB Ñ T ÐBÑ! ! " " 8 8 8

de los valores de la tabla B B B â BC C C â C

! " 8

! " 8

y un número real cualquiera. Se verifica queB0 ÐBÑ T ÐBÑ œ ÐB B ÑâÐB B Ñ8 ! 8

0 Ð-ÑÐ8"Ñx

Ð8"Ñ

donde el punto se encuentra en el intervalo determinado por los puntos , , , . . . , .- B B B B! " 8

&Þ"Þ#Þ Interpolación de Newton

Diferencias divididas

Consideremos una función y un soporte { , , . . . , } de puntos. Denotemos por 0 ÐBÑ B B B 8 "! " 8

0 œ 0ÐB Ñ3 3 y consideremos la tablaB B B â BC 0 0 â 0

! " 8

! " 8

Vamos a probar que el polinomio de grado no superior a que interpola a estos valores es de la forma8

T ÐBÑ œ - - ÐB B Ñ - ÐB B ÑÐB B Ñ ÞÞÞ - ÐB B ÑÐB B ÑÐB B ÑâÐB B Ñ! " ! # ! " 8 ! " # 8"

para después, calcular los valores de los coeficientes . . .- ß - ß ß - Þ! " 8

Teorema &Þ%. Los coeficientes . . . , descritos más arriba, dependen de los valores , , . . . , y- ß - ß ß - B B B! " 8 ! " 8

0 0 ! 8, . . . , .





Dado que los valores de , . . . , lo que dependen, respectivamente, de los valores de , , , ,0 0 = B B ÞÞÞ B! 5 ! " 8

en lo que sigue utilizaremos la notación [ , . . . , ], con lo que el polinomio quedará de la forma- œ 0 B B5 ! 5

[ ] + [ , ]( ) + + [ . . . ]( )( ) ( )T ÐBÑ œ 0 B 0 B B B B ÞÞÞ 0 B ß B ß ß B B B B B â B B! ! " ! ! " 8 ! " 8

y quedará determinado una vez que se determinen los valores de los coeficientes [ ] para0 B ß B ß ÞÞÞß B 5 œ !ß 8 Þ! " 5

Teorema &Þ&Þ Sea el polinomio de interpolación correspondiente a la tabla . Si yT ÐBÑ UÐBÑB B B â B

C 0 0 â 0 ! " 8

! " 8

son los polinomios que interpolan respectivamente a las tablas y ,VÐBÑ B B B â BC 0 0 â 0

! " 8

! " 8

B B B â B T ÐBÑ œ UÐBÑ ÐVÐBÑ UÐBÑÑC 0 0 â 0

B B

B B! " 8

! " 8

!

8 !se verifica que .

Teorema &Þ'Þ Para cualquiera que sea se verifica que5 œ !ß 8

[ ] siendo [ ] = para .[ ] [ ]

0 B ß B ß ÞÞÞß B œ 0 B 0 ! Ÿ 3 Ÿ 80 B ß ÞÞÞß B 0 B ß B ß ÞÞÞß B

B B! " 5 3 3

" 5 ! " 5"

5 !

Ejemplo &Þ$Þ Calculemos el polinomio de interpolación de Newton de la tabla B " $ % & (

C ! " " # $

.

Aplicando diferencias divididas obtenemos la siguiente tabla

B 0 0 ÒB Ó 0 ÒB ß B Ó 0 ÒB ß B ß B Ó 0 ÒB ß B ß B ß B Ó

" !

$ "

% "

& #

( $

3 3 3 3 4 3 4 5 3 4 5 6

"#

&'

# &" '

& &# ")

$ &" '

&'

"#

Por lo que el polinomio de interpolación esT Ð BÑ œ ÐB "Ñ ÐB "ÑÐB $Ñ ÐB "ÑÐB $ÑÐB %Ñ ÐB "ÑÐB $ÑÐB %ÑÐB &Ñ" & & &

# ' ' ")

La ventaja de este método, frente al de los polinomios de Lagrange, es que si ahora introducimos unnuevo dato, por ejemplo que , el polinomio que se obtiene es0 Ð*Ñ œ & À

UÐBÑ œ T ÐBÑ 0 B B B B B B B " B $ B % B & B ([ , , , , , ]( )( )( )( )( )! " # $ % &

y tan sólo habría que calcular el coeficiente [ , , , , , ] añadiendo una nueva línea a la tabla0 B B B B B B! " # $ % &

anterior.

Puede observarse que dada la tabla , el polinomio de interpolación es de la formaB B B â BC C C â C

! " 8

! " 8

T ÐBÑ œ T ÐBÑ 0 B ß B ß ß B ÐB B Ñ B B B B8 8" ! " 8 ! " 8"[ . . . ] ( ) · · · ( )

Se tenía, también, que para dicho polinomio era

0 ÐBÑ T ÐBÑ œ ÐB B ÑâÐB B Ñ0 Ð Ñ

8x8" ! 8"

Ð8Ñ 0

Sustituyendo por tenemos:B B8

0 ÐB Ñ T ÐB Ñ œ ÐB B ÑâÐB B Ñ0 Ð Ñ

8x8 8" 8 8 ! 8 8"

Ð8Ñ 0

y dado que , se tiene que:0ÐB Ñ œ 0 œ T ÐB Ñ8 8 8 8

T ÐB Ñ T ÐB Ñ œ ÐB B ÑâÐB B Ñ0 Ð Ñ

8x8 8 8" 8 8 ! 8 8"

Ð8Ñ 0





Podemos, por tanto, enunciar el siguiente teorema.

Teorema &Þ'. Dada la tabla , con , existe un punto en el intervaloB B B â B B B â B B B

C C C â C! " 8 ! " 8 ! 8

! " 8

- [ , ]

para el que 0 B ß B ß ß B œ0 Ð-Ñ

8x[ . . . ] .! " 8

Ð8Ñ

Diferencias finitas

Consideremos la tabla en donde el soporte { . . . } es , es decir, en el que lasB ß B ß ß B! " 8 regular

diferencias son constantes, que denominaremos . (Si y dicha diferencia es es decir,B B œ 2 B œ ! "3" 3 ! paso

si { . . . } { . . . }, el soporte recibe el nombre de )B ß B ß ß B œ !ß "ß ß 8! " 8 soporte canónico

Definición &Þ(. Dados . . . , se definen las comoC ß C ß ß C C! " 8 35diferencias finitas ?

? ? ? ?C œ C C C œ Ð C Ñ3 3" 3 3 35 5"

Así, por ejemplo, para se tendrían:C ß C ß C ß C! " # $

?

? ? ?? ? ? ?

? ? ?

?

C œ C C

C œ C CC œ C C C œ C C

C œ C CC œ C C

! " !#

! " !" # " ! " !

$

#" # "

# $ #

Teorema &Þ). Dada la tabla en la que { . . . } es un soporte regular conB B B â B

C 0 0 â 0 ! " 8

! " 8

B ß B ß ß B! " 8

B B œ 2 5 œ "ß 8 0 B ß B ß ß B œ0

2 5x3" 3 ! " 5

5!

5, se verifica que, para cualquier valor de , es [ ... ] .

?

El polinomio de interpolación del soporte regular { . . . } es, por tanto:B ß B ß ß B! " 8

T ÐBÑ œ 0 0 âB B 0 B B B B 0 B B B B

2 #x 2 2 8x 2 28 ! !

! ! ! " ! ! 8"# 8

?? ?

Œ Œ Œ Œ Œ ...

Teniendo en cuenta que , podemos poner B B œ B ÐB 5 2Ñ œ ÐB B Ñ 5 25 ! !

T ÐBÑ œ 0 0 " â â 5 "B B 0 B B B B 0 B B B B

2 #x 2 2 8x 2 28 ! !

! ! ! ! ! ! !# 8

?? ?Œ Œ Œ Œ Œ

por lo que, si denotamos por , se tiene que> œÐB B Ñ

2!

T ÐBÑ œ 0 > >Ð> "Ñ â >Ð> "ÑâÐ> Ð8 "ÑÑ0 0 0

"x #x 8x8 !

! ! !# 8? ? ?

Es decir:

T ÐBÑ œ 0 0 0 â 0 ß> > >

" # 88 ! ! ! !

# 8Œ Œ Œ ? ? ?

donde Œ > >Ð> "ÑâÐ> Ð5 "ÑÑ

5 5xœ





&Þ"Þ$Þ Fenómeno de Runge

Dada una función continua en [ ], podría pensarse que la sucesión con de polinomios+ß , T ÐBÑ 8 − MR 8

de interpolación, obtenidos al aumentar el número de puntos del soporte, converge a la función es decir,0ÐBÑß podríamos pensar que | | , cualquiera que sea [ ] ; cosa que, sin embargo, nolim

8Ä_80 ÐBÑ T ÐBÑ œ ! B − +ß ,

es cierta. En realidad, al aumentar el número de puntos del soporte se mejora la aproximación en la parte centraldel intervalo, pero la diferencia entre la función y el polinomio interpolador puede aumentar rápidamente en losextremos. Ello nos dice que no es bueno hacer demasiado extenso el soporte, ya que además de aumentar elnúmero de operaciones con la consecuente acumulación de errores, podemos aumentar la pérdida de precisión enlos extremos. Este fenómeno es conocido como . fenómeno de Runge

Ejemplo &Þ%Þ Si aproximamos la función por un polinomio de segundo grado, en el soporte0 ÐBÑ œ ""B#

{ }, obtenemos que . En la Figura .2 podemos ver ambas gráficas. %ß !ß % T ÐBÑ œ &#"B

"(

#

Figura Las gráficas de y&Þ# À 0 ÐBÑ T ÐBÑ#

Si aumentamos el número de puntos y la aproximación la hacemos mediante un polinomio de grado %

en el soporte { } obtenemos que podemos ver representada junto a la %ß #ß !ß #ß % T ÐBÑ œ%)&#"B B

)&

# %

función en la Figura .3.0 ÐBÑ &

Figura Las gráficas de y&Þ$ À 0 ÐBÑ T ÐBÑ%

Si afinamos aún más y aproximamos mediante un polinomio de grado en el soporte){ } obtenemos %ß $ß #ß "ß !ß "ß #ß $ß %

, cuya gráfica podemos observar T ÐBÑ œ Ð"(!! ""#%B $!%B $"B B Ñ)"

"(!!# % ' )

en la Figura .4.&

Figura Las gráficas de y&Þ% À 0 ÐBÑ T ÐBÑ)

Puede verse el hecho comentado anteriormente del fenómeno de Runge. Vamos mejorando laaproximación en la parte central del intervalo, pero vamos empeorándola en los extremos.





&Þ"Þ%Þ Interpolación de Hermite

Este método consiste en buscar un polinomio que interpole a una función en el soporte0 ÐBÑ B ß B B{ ,..., }! " 8

pero haciendo que coincidan, en los puntos del soporte, no sólo los valores de la función con los del polinomio,sino que también coincidan los valores de sus respectivas derivadas.

Consideremos, por tanto, la tabla B B B â B

0 ÐBÑ 0 0 â 0

0 ÐBÑ 0 0 â 0

! " 8

! " 8w w w w

! " 8

donde y para .0 œ 0 ÐB Ñ 0 œ 0 ÐB Ñ ! Ÿ 3 Ÿ 83 3 33w w

Se tienen, en este caso, condiciones, por lo que debemos buscar un polinomio de grado#8 # #8 "

T ÐBÑ œ + B + B â + B +#8" #8 " !#8" #8

que verifique las condiciones: T ÐB Ñ œ 0 T ÐB Ñ œ 0 ! ! !

w w!

T ÐB Ñ œ 0 T ÐB Ñ œ 0 " " "w w

"

ã ã T ÐB Ñ œ 0 T ÐB Ñ œ 0 8 8 8

w w8

Teorema Dada la tabla , sean ( ) los polinomios de Lagrange para el&Þ*Þ P ÐBÑ 5 œ !ß 8B B B â B

0 ÐBÑ 0 0 â 0

0 ÐBÑ 0 0 â 0

! " 8

! " 8

! " 8w ww w

5

soporte dado. El polinomio

T ÐBÑ œ Ò+ , ÐB B ÑÓP ÐBÑ#8" 5 5 5

5œ!

8

5#"

en el que verifica queœ Ÿ+ œ 0 , œ 0 #0 P ÐB Ñ

T ÐB Ñ œ 0 T ÐB Ñ œ 0

5 œ !ß85 5

5 5 55 5w w

#8" 5 5w w

#8" 55

siendo, además, el único polinomio de grado que verifica las condiciones anteriores.# 8 "

Llamando se tiene queDÐBÑ œ ÐB B ÑÐB B ÑâÐB B Ñ! " 8

D ÐBÑ œ " † ÐB B ÑâÐB B Ñ ÐB B ÑÒÐB B ÑâÐB B ÑÓw w" 8 ! " 8

por lo que y de manera análoga se obtiene queD ÐB Ñ œ B B â B B D ÐB Ñ œ B B â B Bw w! ! " ! 8 5 5 " 5 8( ) ( ) ( ) ( ),

por lo que los polinomios de Lagrange pueden escribirse de la forma

para el soporte {P ÐBÑ œDÐBÑ

ÐB B ÑD ÐB Ñ5

5 5w

ß B ß âß B ×! 8

Teorema &Þ"!Þ Sea una función veces derivable con derivada de orden continua y sea0 ÐBÑ #8 # #8 # T #8"

el polinomio de Hermite que interpola a en el soporte { . Existe un punto del intervalo que0 ÐBÑ B ß âß B × -! 8

determinan los puntos en el que se verifica queBß B ß âß B! 8

0 ÐBÑ T ÐBÑ œ ÐB B Ñ âÐB B Ñ0 Ð-ÑÐ#8 #Ñx

#8" ! 8

Ð#8#Ñ# #

Ejemplo &Þ&Þ Consideremos el Ejemplo en el soporte { } y calculemos el polinomio de&Þ%Þ %ß !ß %interpolación de Hermite

Sea tal que al tabular los datos obtenemos0 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ œ " #B

" B Ð" B Ñ# # #wß

B % ! %

0 ÐBÑ "

0 ÐBÑ !

" ""( "(

w ) )#)* #)*





Luego, D ÐBÑ œ ÐB %ÑÐBÑÐB %Ñ œ B "'B D ÐBÑ œ $B "'$ w #Ö Ö D ÐB Ñ œ $#w

!

Ö D ÐB Ñ œ "'w"

Ö D ÐB Ñ œ $#w#

De esta forma,

P ÐBÑ œ P ÐBÑ œ P ÐB Ñ œ Ð#B %Ñ œ BÐB %Ñ " $Ð$#Ñ $# )

5 ! ! !DÐBÑ

ÐBB ÑÐ$B "'Ñw!5

#5

Ö Ö

Ö ÖP ÐBÑ œ P ÐB Ñ œ Ð#B "'Ñ œ "B "' "

Ð "'Ñ "'" " "

#w"

Ö ÖP ÐBÑ œ P ÐB Ñ œ Ð#B %Ñ œB %B " $

Ð$#Ñ $# )# ! #

#w!

Asi, los coeficientes

+ œ 0 œ + œ 0 œ " + œ 0 œ! ! " " # #" "

"( "(

, œ 0 #0 P ÐB Ñ œ à , œ 0 #0 P ÐB Ñ œ # à , œ 0 #0 P ÐB Ñ œ ! ! ! " ! ! # ! !! ! ! ! ! !w w w w w w)$ )$

""&' ""&'

Por lo tanto, el polinomio de interpolación de Hermite será

T ÐBÑ œ + , ÐB B ÑP ÐBÑ + , ÐB B ÑP ÐBÑ + , ÐB B ÑP ÐBÑ& ! ! ! " " " # # ## # #! #"

T ÐBÑ œ ÐB %Ñ ÐB %BÑ " B ÐB "'Ñ ÐB %Ñ ÐB %BÑ&" )$ " " " )$ "

"( ""&' $# "' "( ""&' $## # ## # # ‘ ‘ ‘

T ÐBÑ œ ÐB %ÑÐB "'Ñ ÐB "'Ñ ÐB %ÑÐB "'Ñ"* )$B B )$B

"( "Þ")$Þ(%% #&' "Þ")$Þ(%%&

# ## # # # #

Ejemplo 6&Þ Þ Si aplicamos este método a la función del ejemplo anterior, en el soporte { } %ß #ß !ß #ß %obtenemos el polinomio de grado 8 (en realidad se busca de grado pero al ser una función par, el término de*grado se anula)*

= cuya gráfica puede verse en la FiguraT ÐBÑ Ð(##& $"#*B &'*B %"B B Ñ &Þ'"

(##&)

# % ' )

( )."

Si lo hacemos en el soporte { } obtenemos %ß $ß #ß "ß !ß "ß #ß $ß %

T ÐBÑ œ Ð#)*!!!! #&&)##%B "'"$&)%B '#''))B "%%%!)B "*&#(B "&!(B '"B B Ñ"

#)*!!!!"'

# % ' ) "! "# "% "'

que podemos ver en la Figura ( ).&Þ' #

Figura La función y los polinomios de Hermite y&Þ'À 0 ÐBÑ T ÐBÑ T ÐBÑ) "'

Si comparamos con los resultados obtenidos en el Ejemplo , podemos observar la mejora que&Þ"$ produce la imposición de que coincidan no sólo los valores de la función, sino que también lo hagan los de suderivada, en los puntos del soporte. Sin embargo, sigue manifestándose el fenómeno de Runge, es decir, semejora el resultado en la parte central del intervalo, pero en los extremos, la diferencia entre el polinomiointerpolador y la función es considerable.

La manera de evitar el fenómeno de Runge es hacer una interpolación polinomial a trozos, es decir, loque se conoce como una interpolación por splines y que estudiamos en la siguiente sección.





&Þ#Þ Interpolación por splines

Consideremos una partición del intervalo [ ]: en la+ß , ? = { }B œ + B B â B B œ ,! " # 8" 8

que los puntos reciben el nombre de . Una interpolación por splines no es más que tomar un soporte enB3 nodos

cada subintervalo [ ] y construir un polinomio de interpolación, de grado no superior a (para unB ß B 5 53" 3

prefijado) sobre dicho soporte, por lo que el método se conoce también como .interpolación polinomial a trozos

Damos a continuación una definición formal de lo que denominaremos . función spline

Definición función spline nodos&Þ"". Una de grado con en es una función formada por 5 B ß B ß âß B WÐBÑ! " 8

varios polinomios, cada uno de ellos definido sobre un subintervalo y que se unen entre sí bajo ciertascondiciones de continuidad. Las condiciones que debe cumplir son las siguientes:WÐBÑ

En cada intervalo [ , ), es un polinomio de [ ] , B B WÐBÑ WÐBÑ Ÿ 53" 3 grado

admite derivada continua de orden en [ ]. WÐBÑ 5 " B ß B! 8

En general, pueden crearse funciones spline de grado cualquiera, pero la interpolación más frecuente5es a través de funciones spline de grado , es decir, de .$ splines cúbicos

&Þ#Þ"Þ Splines cúbicos

Dado que a partir de ahora vamos a trabajar con splines cúbicos, vamos a restringir la Definición al&Þ""caso de .5 œ $

Definición &Þ"#. Dado el conjunto de puntos = { }, diremos que la? B œ + B B â B B œ ,! " # 8" 8

función es un asociado a si cumple las siguientes condiciones:W ? spline cúbico ?

W B B 3 œ "ß 8La restricción de a cada intervalo [ , ) para es un polinomio de grado no superior a tres.? 3" 3

Es decir, , donde representa al conjunto de los polinomios de grado .W − Ò B Ó Ò B Ó?¹[ ,B B Ó $ $3" 3

c c Ÿ $

, es decir, es una función continua, dos veces derivable y con derivadas continuas en el W − G Ò+ß ,Ó W ? ?#

intervalo [ ].+ß ,

Definición spline de interpolación&Þ"$Þ Diremos que es un en según la particiónW B œ B œ + B B ?( ) {B ? ! " #

â B B œ ,}8" 8 , si

es un spline cúbico asociado a . W B?( ) ?

para , es decir, cumple las condiciones de interpolación. 3 œ !ß 8W B œ 0 ÐB Ñ œ C?( )3 3 3

Antes de construir un spline cúbico vamos a ver cuántas condiciones ha de cumplir y cuántas incógnitasvan a hacernos falta. Si en cada intervalo de la partición intentamos construir un polinomio de grado tres queaproxime a la función, deberemos calcular cuatro incógnitas (los cuatro coeficientes del polinomio de grado tres)

por intervalo, es decir, incógnitas. Por otro lado, estos polinomios deben cumplir, en cada uno de los nodos,%8las condiciones:

W ÐB Ñ œ W ÐB Ñ



3 œ

? ?

? ?

? ?

¹ ¹¹ ¹

¹ ¹

[ , [ ,

[ , [ ,

[ , [ ,

B B Ó B B Ó3 3

w wB B Ó B B Ó3 3

w ww w

B B Ó B B Ó3 3

3" 3 3 3"

3" 3 3 3"

3" 3 3 3"

Ÿ "ß 8 " Ð&Þ"Ñ

Es decir, se deben cumplir un total de condiciones además de las condiciones de$Ð8 "Ñ 8 "interpolación W B œ 0 ÐB Ñ 3 œ !ß 8?( ) para .3 3

Dado que tenemos un total de incógnitas para condiciones, debemos imponer dos nuevas%8 %8 #condiciones para poder determinar los coeficientes de la función spline. Dependiendo de las condiciones queimpongamos, obtendremos un tipo de spline u otro.

Si exigimos que las derivadas segundas se anulen en los extremos, es decir, siW Ð+Ñ œ W Ð,Ñ œ ! W ÐBÑ? ? ?, diremos que es el asociado a la partición . spline natural ?

Si exigimos que y diremos que se trata de un . W Ð +Ñ œ W Ð ,Ñ W Ð+Ñ œ W Ð,Ñw w w ww w? ? ? ? spline periódico





&Þ#Þ#Þ Cálculo de los splines cúbicos de interpolación

Nos centraremos en el cálculo de los splines naturales y con el fin de simplificar la notación,llamaremos

2 œ B B 3 œ "ß 83 3 3"

Q œ W ÐB Ñ 3 œ !ß 83 3

w w

?

Los valores se denominan y determinarán completamente los splines cúbicos.Q 3 momentos

Obsérvese que como en cada intervalo el spline es un polinomio de grado tres, su segunda[ ]B ß B W 3 3" ?

derivada es una recta (un polinomio de grado uno). En consecuencia, al imponer las condiciones ( ) sobre la&Þ"igualdad de las derivadas segundas en los nodos, obligamos a que la segunda derivada de la función spline W ww

?

constituya un conjunto de rectas que se intersecan en los nodos de la partición elegida. Ahora bien, dado quecada recta queda determinado por dos puntos, podemos escribir el valor de las restricciones ( .1) sobre como& W ?

W ÐBÑ œ Q Q B B B B

2 2ww

B B Ó 3 3"3" 3

3" 3"?¹[ ,3 3"

Integrando respecto a obtenemos el valor de la primera derivada del spline en este intervaloB

W ÐBÑ œ EÐB BÑ Q ÐB B Ñ

2 # 2

w

B B Ó

Q #

3" 3" 3# #

3" 3"

3?

¹[ ,3 3"

3

Volviendo a integrar respecto a obtenemosB

W ÐBÑ œ E ÐB B Ñ FQ ÐB BÑ Q ÐB B Ñ

' 2 ' 2?¹[ ,B B Ó

3 3" 3" 3$ $

3" 3"3 3 3

3 3"

Si imponemos ahora las condiciones de interpolación ( ) ( )À W B œ C W B œ C? ?3 3 3" 3"

obtenemos

Q

'2 F œ C Ê F œ C 2

33"#

3 3 3 3Q '

#3"

3

Q

'2 E † 2 F œ C Ê E œ ÐQ Q Ñ

3"3"#

3 3" 3 3" 3 3" 3C C 2

2 '3" 3 3"

3"

Podemos hallar así los valores de las constantes y , que determinan ( ) en el intervaloE F W B3 3 ?[ ], en función de los momentos.B ß B3 3"

El problema se reduce, por tanto, a calcular los momentos para cada uno de los intervalos, para lo queutilizaremos la única condición de ( ) que no hemos utilizado:&Þ"

W ÐB Ñ œ W ÐB Ñw wB B Ó B B Ó3 3? ?¹ ¹[ , [ ,3" 3 3 3"

Esta condición nos da, para cada , una ecuación:3 œ "ß 8 "

2 2 ' C C C C

2 2 2 2 2 2 2 2Q #Q Q œ

3 3" 3" 3 3 3"

3 3" 3 3" 3 3" 3" 33" 3 3" Œ

En el caso del spline natural tenemos que , quedándonos el sistema tridiagonal deQ œ Q œ ! 8 "! 8

ecuaciones con incógnitas8 "

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

Š#2

2 22 2

2 2 2 2#

ä ä ä ã

ä ä2

2 22

2 2#

Q Q

ãQ

œ

' C

2 2

#

" #

# $

# $ # $

8"

8# 8"

3

8" 8

"

#

8"

" #

# " " !

# "

# $ $ #

$ # # "

8" 8 8 8"

8 8" 8" 8#

C C C

2 2

' C C C C

2 2 2 2

ã' C C C C

2 2 2 2

‹Š ‹

Š ‹





Este sistema puede resolverse por cualquiera de los métodos iterados estudiados en el Tema ya que, al$ser la matriz del sistema de diagonal dominante, todos ellos son convergentes.

Ejemplo &Þ( À &ÞSi aplicamos le interpolación por splines cúbicos a la función del Ejemplo 4 en0ÐBÑ œ"

" B#

la partición obtenemos el resultado de la Figura 5 en el que puede verse? œ Ö %ß $ß #ß "ß!ß"ß#ß$ß%× Þ(

que, independientemente de ser mejor que el que se obtuvo en la Figura 5 ( ) con el método de Hermite, noÞ' #aparece el fenómeno de Runge.

Figura La función y su interpolación por splines cúbicos&Þ( À 0 ÐBÑ

&Þ$Þ Ejercicios

Ejercicio &Þ" À " Ÿ 8 Ÿ $Calcular los polinomios de Lagrange para el soporte canónico con .

Solución: Los polinomios de Lagrange para el soporte canónico { } ( ) sonB œ 3 3 œ !ß 83

P ÐBÑ œ œB 3 DÐBÑ

5 3 ÐB 5ÑD Ð5Ñ5

3œ!

8

w$ ß 5 œ !ß 8

3Á5

donde DÐBÑ œ BÐB "ÑâÐB 8Ñ

Si , el soporte canónico es { } 8 œ " W œ !ß "

DÐBÑ œ BÐB "Ñ œ B B

D ÐBÑ œ #B "Ê

P ÐBÑ œ œ œ B "DÐBÑ B "

ÐB ! ÑD Ð!Ñ "

P ÐBÑ œ œ œ BDÐBÑ B

ÐB "ÑD Ð"Ñ "

#

w

! w

" w

Ÿ ÚÝÝÛÝÝÜSi , el soporte canónico es { } 8 œ # W œ !ß "ß #

DÐBÑ œ BÐB "ÑÐB #Ñ œ B $B #B

D ÐBÑ œ $B 'B #Ê

P ÐBÑ œ œ œDÐBÑ ÐB "ÑÐB #Ñ B $B #

ÐB !ÑD Ð!Ñ # #

P ÐBÑ œ œDÐBÑ BÐB #Ñ

ÐB "ÑD Ð"Ñ "

$ #

w #

! w

#

" wŸ

ÚÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÜœ B # B

P ÐBÑ œ œ œDÐBÑ BÐB "Ñ B B

ÐB #ÑD Ð#Ñ # #

#

# w

#

Si , el soporte canónico es {0, 1, 2, 3} 8 œ $ W œ

DÐBÑ œ BÐB "ÑÐB #ÑÐB $Ñ œ B 'B ""B 'B

D ÐBÑ œ %B ")B ##B ' Ê

% $ #

w $ #

Ÿ

Ê

P ÐBÑ œ œ œD ÐBÑ ÐB " ÑÐB # ÑÐB $ Ñ B 'B ""B '

ÐB !ÑD Ð!Ñ ' '

P ÐBÑ œ œ œDÐBÑ BÐB #ÑÐB $Ñ B &B 'B

ÐB "ÑD Ð"Ñ # #

P Ð

ÚÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÜ

! w

$ #

" w

$ #

# BÑ œ œ œDÐBÑ BÐB "ÑÐB $Ñ B %B $B

ÐB #ÑD Ð#Ñ # #

P ÐBÑ œ œ œDÐBÑ BÐB "ÑÐB #Ñ B $B #B

ÐB !ÑD Ð!Ñ ' '

w

$ #

$ w

$ #





Ejercicio &Þ# À 0 ÐBÑ œ #BHallar el polinomio de interpolación de la función en el soporte canónico%

{ }. Obtener una expresión del error.!ß"ß#ß$

Solución: En el Ejercicio se obtuvieron los polinomios de Lagrange en el soporte canónico { },&Þ" W œ !ß "ß #ß $que resultaron ser

P ÐBÑ œ B B B " P ÐBÑ œ B #B B! #" "" " $

' ' # #

$ # $ #

P ÐBÑ œ B B $B P ÐBÑ œ B B B" $" & " " "# # ' # $

$ # $ #

El polinomio de interpolación viene dado (a través de los polinomios de Lagrange) por

T ÐBÑ œ 0 ÐB ÑP ÐBÑ8 5 5

5œ!

8"y como y , obtenemos que0Ð!Ñ œ !ß 0Ð"Ñ œ #ß 0Ð#Ñ œ $# 0Ð$Ñ œ "'#

T Ð BÑ œ ! † P Ð BÑ # † P Ð BÑ $# † P Ð BÑ "'# † P Ð BÑ œ$ ! " # $

œ #Ð B B $BÑ $#Ð B #B BÑ "'#Ð B B BÑ œ" & " $ " " "# # # # ' # $

$ # $ # $ #

œ B &B 'B "'B '%B %)B #(B )"B &%B œ$ # $ # $ #

œ "#B ##B "#BÞ$ #

El error viene dado por: &ÐBÑ œ DÐBÑ œ BÐB "ÑÐB #ÑÐB $Ñ

0 Ð- Ñ 0 Ð- Ñ

Ð8 "Ñx %x

Ð8"Ñ ÐMZ ÑB B

y dado que , se tiene que , por lo que0 ÐBÑ œ #B 0 ÐBÑ œ %)% ÐMZ Ñ

&ÐBÑ œ BÐB "ÑÐB #ÑÐB $Ñ œ #BÐB "ÑÐB #ÑÐB $ÑÞ%)

#%

Ejercicio &Þ$ À 0 ÐBÑ œ / !ß "Hallar el polinomio de interpolación de la función en el soporte { } y con él,B

aproximar la raíz cuadrada del número estimando el error cometido./

Solución: Al tratarse del soporte canónico con , podemos ver en el Ejercicio que los polinomios de8 œ " %Þ"Lagrange son:

yP ÐBÑ œ B " P ÐBÑ œ B! "

Por tanto, el polinomio interpolador resulta ser

T ÐBÑ œ 0Ð!ÑP ÐBÑ 0Ð"ÑP ÐBÑ œ / Ð B "Ñ / ÐBÑ œ B " / B œ Ð/ "ÑB "" ! "! "

El error viene dado por:

&ÐBÑ œ DÐBÑ œ BÐB "Ñ0 Ð- Ñ 0 Ð- Ñ

Ð8 "Ñx #x

Ð8"ÑB B

ww

y al ser se tiene que0 ÐBÑ œ / À ÐBÑ œ BÐB "Ñ Þ/

#w Bw

B

&

El error al aproximar la raíz cuadrada de , es decir al calcular , por es:/ 0 Ð!ß &Ñ T Ð!ß &Ñ"

&Ð!ß &Ñ œ !ß &Ð!ß & "Ñ œ / œ !ß "#&/ Þ/ !ß #&

# # - -

!ß&

B B

Como se tiene que < < ... y, por tanto:! - " / / / œ #ß (")#B! - "B

¸ ¸&Ð!ß&Ñ !ß"#&/ !ß $$*(ÞÞÞ !ß$%

siendo

T Ð!ß &Ñ œ Ð/ "Ñ!ß & " œ œ "ß )&*"%ÞÞÞ/ "

#"

es decir: con un error 0,34.È / œ "ß )&*"%ÞÞÞ &





Ejercicio &Þ% À (ß $ )ß " *ß " "!ß *Obtener el polinomio de interpolación de los puntos ( ), ( ), ( ) y ( ) basándose enlos polinomios de Lagrange para el soporte canónico.

Solución: Como tenemos cuatro puntos, el soporte canónico { }. Los polinomios de Lagrange paraW œ !ß " ß #ß $esta soporte (ver Ejercicio ) son:%Þ"

P ÐBÑ œ B B B " P ÐBÑ œ B #B B" "" " $

' ' # #! #$ # $ #

P ÐBÑ œ B B $B P ÐBÑ œ B B B" "" $# # ' # $

$ # $ #& " "

El polinomio de interpolación viene dado por:

conT ÐBÑ œ 0 ÐB ÑP Ð>Ñ > œB B

2$ 3 3

3œ!

$!!

En nuestro caso, y , por lo que . Por tanto:B œ ( 2 œ " > œ B (!

T ÐBÑ œ $ † P ÐB (Ñ " † P ÐB (Ñ " † P ÐB (Ñ * † P ÐB (Ñ œ$ ! " # $

œ $ † Ò ÐB (Ñ ÐB (Ñ ÐB (Ñ "Ó " ""' '

$ #

" † Ò ÐB (Ñ ÐB (Ñ $ÐB (ÑÓ

" &

# #

$ #

" † Ò ÐB (Ñ #ÐB (Ñ ÐB (ÑÓ " $# #

$ #

* † Ò ÐB (Ñ ÐB (Ñ ÐB (ÑÓ œ" " "' # $

$ #

œ ÐB (Ñ #ÐB (Ñ ÐB (Ñ $Þ$ #

Es decir: T ÐBÑ œ B #$B "(%B %$"Þ$$ #

Ejercicio &Þ& À !ß & "ß $ #ß " $ß "$Obtener el polinomio de interpolación de los puntos: ( ), ( ), ( ) y ( )

1.Mediante resolución de un sistema de ecuaciones.2.Mediante polinomios de Lagrange3.Por el método de Newton para diferencias divididas.4.Por el método de Newton para diferencias finitas.

Solución: Al tener cuatro puntos, el polinomio que debemos buscar es de grado tres,1.T ÐBÑ œ + B + B + B +$ # " !

$ #

Sustituyendo los puntos del soporte obtenemos el sistema

T Ð!Ñ œ + œ & T Ð#Ñ œ )+ %+ #+ + œ "$ ! $ $ # " !

T Ð"Ñ œ + + + + œ $ T Ð$Ñ œ #(+ *+ $+ + œ "$$ $ # " ! $ $ # " !

cuya solución es , , y , por lo que el polinomio de interpolación es+ œ & + œ $ + œ # + œ "! " # $

T ÐBÑ œ B #B $B &$ $ #

2. Dado que el soporte es el canónico para , para los polinomios de Lagrange del Ejercicio y dado que8 œ $ %Þ"el polinomio de interpolación viene dado por

T ÐBÑ œ C P ÐBÑ C P ÐBÑ C P ÐBÑ C P ÐBÑß$ ! ! " " # # $ $

se tiene:

T ÐBÑ œ & † Ð B B B "Ñ $Ð B B $BÑ " † Ð B #B BÑ$" "" " & " $' ' # # # #

$ # $ # $ # "$ † Ð B B BÑ" " "

' # $$ #

es decir, T ÐBÑ œ B #B $B &$$ #





3. Comenzamos por construir la tabla de diferencias divididas:

B 0 ÐB Ñ 0 ÒB ß B Ó 0 ÒB ß B ß B Ó 0 ÒB ß B ß B ß B Ó

! &#

" $ "

% "

# " %"#

$ "$

3 3 3 4 3 4 5 3 4 5 6

El polinomio de interpolación viene dado por

T ÐBÑ œ 0ÐB Ñ ÐB B Ñ0ÒB ßB Ó ÐB B ÑÐB B Ñ0ÒB ßB ßB Ó ÐB B ÑÐB B ÑÐB B Ñ0ÒB ßB ßB ßB Ó$ ! ! ! " ! " ! " # ! " # ! " # $

se obtiene que

T ÐBÑ œ & #ÐB B Ñ "ÐB B ÑÐB B Ñ "ÐB B ÑÐB B ÑÐB B Ñ œ & #B BÐB "Ñ BÐB "ÑÐB #ÑÞ$ ! ! " ! " #

es decir:

T ÐBÑ œ B #B $B &$$ #

4.La tabla de diferencias finitas es

B 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ

! & # # '" $ % )

# " "#$ "$

3 3 3 3 3# $? ? ?

y dado que el polinomio de interpolación viene dado por

T ÐBÑ œ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ$ ! ! ! !> > > >! " # $

# $ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰? ? ?

donde , se tiene que> œ œ œ BB B B !

2 "!

T ÐBÑ œ & # # ' œ & #B # 'B B B B BÐB "Ñ BÐB "ÑÐB #Ñ

! " # $ #x $x$ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹

œ & #B BÐB "Ñ BÐB "ÑÐB #Ñ œ B #B $B &Þ$ #

Ejercicio &Þ' À J Ð8Ñ œ " # $ ÞÞÞ 8 8Probar que es un polinomio en y obtenerlo por interpolación.# # # #

Solución: Consideremos las diferencias finitas de con paso :J Ð8Ñ 2 œ "

?J Ð8Ñ œ J Ð8 "Ñ J Ð8Ñ œ Ò" # ÞÞÞ 8 Ð8 "Ñ Ó Ò" # ÞÞÞ 8 Ó œ Ð8 "Ñ# # # # # # # #

Dado que cualquiera que sea el valor de es un polinomio de? ?J Ð8Ñ œ Ð8 "Ñ 8 − ß J Ð8Ñ#

segundo grado, por lo que será un polinomio de primer grado, una constante y será? ? ?# $ %J Ð8Ñ J Ð8Ñ J Ð8Ñidénticamente nulo para cualquier valor . Esto prueba que es un polinomio de tercer grado.8 J Ð8Ñ

Para obtenerlo, lo más sencillo es utilizar la fórmula de Newton para diferencias finitas con cuatro

puntos: B J ÐB Ñ J ÐB Ñ J ÐB Ñ J ÐB Ñ

" " % & ## & * ($ "% "'

% $!

3 3 3 3 3# $? ? ?

T ÐBÑ œ J ÐB Ñ J ÐB Ñ J ÐB Ñ J ÐB Ñ$ ! ! ! !> > > >! " # $

# $ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰? ? ?

siendo .> œ œ B "B B

2!





T ÐBÑ œ " † " % † > & † # œ " % ÐB " Ñ ÐB " ÑÐB # Ñ ÐB " ÑÐB # ÑÐB $ Ñ œ$>Ð>"Ñ >Ð>"ÑÐ>#Ñ

#x $x # $& "

œ Ð' #%ÐB "Ñ "&ÐB "ÑÐB #Ñ #ÐB "ÑÐB #ÑÐB $Ñ œ Ð#B $B BÑ œ BÐB "ÑÐ#B "ÑÞ" " "' ' '

$ #

por lo que .JÐ8Ñ œ8Ð8 "ÑÐ#8 "Ñ

'

.Ejercicio &Þ( À 0 B œ 68 B "ß #Obtener el polinomio de interpolación de Hermite de la función ( ) en el soporte { }y, supuesto conocido , aproximar el valor de acotando el error cometido.68 # 68 "ß &

Solución: Calculemos, en primer lugar, los valores que toman tanto la función como su derivada en los puntosdel soporte.

0 ÐBÑ œ 68B Ê 0 Ð"Ñ œ ! 0 Ð#Ñ œ 68#

0 ÐBÑ œ Ê 0 Ð"Ñ œ " 0 Ð#Ñ œ !ß &"

Bw w w

Los polinomios de Lagrange en el soporte { } son (ver el Ejercicio ) :"ß # %Þ"

yP ÐBÑ œ œ # B P ÐBÑ œ œ B "

B # B "

" # # "! "

luego el polinomio de interpolación de Hermite, que viene dado por

T ÐBÑ œ Ò+ , ÐB B ÑÓP ÐBÑ+ œ 0 ÐB Ñ

, œ 0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ P ÐB 5 Ñ#8" 5 5 55œ!

8#5

5 5

5 5 5w w

5

! œcon

es, en nuestro caso:

T ÐBÑ œ Ò+ , ÐB "ÑÓP ÐBÑ Ò+ , ÐB #ÑÓP ÐBÑ$ ! ! " "# #! "

con + œ 0 Ð"Ñ œ ! , œ 0 Ð"Ñ #0 Ð"ÑP Ð"Ñ œ " # † ! † " œ "! !

w w"

+ œ 0Ð#Ñ œ 68# , œ 0 Ð#Ñ #0Ð#ÑP Ð#Ñ œ !ß& # † 68# † " œ !ß& #68#" "w w

#

por lo que

T ÐBÑ œ ÐB "ÑP ÐBÑ Ò68# Ð!ß & #68#ÑÐB #ÑÓP ÐBÑ$ # #! "

y sustituyendo los valores de y obtenemosP ÐBÑ P ÐBÑ! "

T ÐBÑ œ ÐB "ÑÐ# BÑ Ò68# Ð!ß& #68#ÑÐB #ÑÓÐB "Ñ$# #

Para se tieneB œ "ß &

T Ð"ß &Ñ œ Ð!ß &ÑÐ!ß &Ñ Ò68# Ð!ß & #68#ÑÐ !ß&ÑÓÐ!ß &Ñ œ !ß%!*!($&*!ÞÞÞ$# #

El error viene dado por:

&ÐBÑ œ D ÐBÑ œ ÐB "Ñ ÐB #Ñ0 Ð- Ñ 0 Ð- Ñ

Ð#8 #Ñx %x#

Ð#8#Ñ ÐMZ ÑB B# #

y dado que

¹ ¹ ¸ ¸0 Ð- Ñ œ Ÿ œ ' Ê Ð"ß &Ñ Ÿ † ' œ !ß !"&'#&ÞÞÞ' ' !ß & † !ß &- " %x

ÐMZ ÑB % %

B

# #&

es decir: con un error 68"ß & œ !ß %!*!($&*!ÞÞÞ Ÿ !ß !"&'#&Þ&





Ejercicio &Þ): Dada la función , hallar el polinomio de interpolación en el soporte y una cota0 ÐBÑ œ / "ß !ß "B { }

del error en el intervalo . Calcular y compararlo con el valor dado por la calculadora para .[ ] ( ) "ß " T !ß !" /!ß!"

Solución: Obtendremos el polinomio, por ejemplo, mediante la interpolación de Lagrange enT ÐBÑ œ 0 Ð B ÑPÐB Ñ8 5 55œ!

8!la que los polinomios de Lagrange vienen dados por

P ÐBÑ œDÐBÑ

ÐB B ÑD ÐB Ñ

DÐBÑ œ ÐB "ÑBÐB "Ñ œ B B

D ÐBÑ œ $B " ÊD Ð "Ñ œ #D Ð!Ñ œ "D Ð"Ñ œ #

55 5

w

$

w #

w

w

w

con ÚÝÝÛÝÝÜÚÛÜ

Por tanto,

P ÐBÑ œ œ ÐB BÑ P ÐBÑ œ œ ÐB "ÑBÐB "Ñ " ÐB "ÑÐB "Ñ

# # "! "

# #

P ÐBÑ œ œ ÐB BÑ#ÐB"ÑB

# #" #

y como , y .0 Ð "Ñ œ / 0 Ð!Ñ œ " 0 Ð"Ñ œ /"

T ÐBÑ œ / † ÐB BÑ " † Ð B "Ñ / † ÐB BÑ œ B B "" " Ð/ / #Ñ Ð/ / Ñ

# # # ##

" # # # #" "

o, de forma aproximada T ÐBÑ ¸ !ß &%$!)!'$&B "ß"(&#!""*%B "# #

El error viene dado por ."'

&ÐBÑ œ DÐBÑ0 ÐBÑ

$xDado que

0 ÐBÑ œ / Ê 0 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ œ / ÐBÑ Ÿ DÐBÑ/

'''' ''' máx ''' B

_½ ½ ¹ ¹ ¸ ¸ ¼ ¼por lo que &

B −Ò"ß"Ó

Utilizando la norma infinito ¼ ¼ ¸ ̧ ¸DÐBÑ œ DÐBÑ œ B B_

$ máx máx ¸ B−Ò"ß"Ó B−Ò"ß"Ó

Como , para que , ha de ser . Puede verse en la gráfica de laD ÐBÑ œ $B " D ÐBÑ œ ! B œ „ "Î $w # w È función que su derivada se anula (posee extremos relativos) en dichos puntos.B B $B "$ #

Gráfica de B B$

Por tanto,

¼ ¼ º º º º º ºÈ È È È È DÐBÑ œ DÐ „ Ñ œ œ œ" " " # #

$ $ $ $ $ $ $ $_

es decir ¸ ¸ ¼ ¼ È &ÐBÑ Ÿ DÐBÑ œ † !ß ")/ / #

' ' $ $_Þ

Comparando con la calculadora tenemos:

B œ !ß!" ÊT Ð!ß !"Ñ œ "ß !"")!'$#!ÞÞÞ

/ œ "ß!"!!&!"'(ÞÞÞœPor extrapolaciónEn la calculadora

#!ß!"

por lo que el error cometido es &Ð!ß !"Ñ œ T Ð!ß!"Ñ / œ !ß!!"(&'"&$ÞÞÞ "ß) † "!¸ ¸!ß!" $

Puede verse claramente que el verdadero error es bastante menor que la cota obtenida de .!ß")





Actividad Personal


"Þ 68#Use interpolación de Lagrange para evaluar con base en los datos

B " % '0 ! "ß $)'#*% "ß (*"('!

#Þ & "! 691&ÑEstime por Lagrange el logarito de en base ( , con sus respectivos errores, mediante los datos

a) B % 'C !ß '!#!' !ß(()"&"$

b) B %ß & &ß &

C !ß'&$#"#& !ß(%!$'#(

$Þ 68#Por diferencias divididas determine , y su respectivo error, para los puntos

B " % ' &C ! "ß $)'#*% "ß (*"('! "ß '!*%$)

%Þ Dada la tabla, interpole los datos por B " # $

C !ß &)"*('( !ß "&'&"(' !ß !&#$*&(

C !ß *#!'($' !ß ")"!"&% !ß !&&"%"!w

polinomios de Hermite.

&Þ Ð "à $Ñß Ð!à #Ñß Ð"à "ÑßPor Spline cúbicos encuentre un polinomio de interpolación para los puntosÐ #à !ÑÞ





n este tema se pretende dar una aproximación numérica del valor de una integral en losX ( +

,

0ÐBÑ.B

distintos problemas que se presentan en la práctica, como son:

Conocida una primitiva de la función sabemos queJ ÐBÑ 0 ÐBÑ

ç 0 ÐBÑ.B œ J Ð,Ñ J Ð+Ñ' +,

pero necesitamos aproximar el valor de .JÐ,Ñ JÐ+Ñ

Así, por ejemplo, , pero hay que aproximar el valor de .( ¹"

# #

"

"

B.B œ Ò68BÓ œ 68# 68" œ 68# 68#

Si se conoce la función , pero no se conoce ninguna primitiva suya, se busca otra funciónç 0 ÐBÑ1ÐBÑ 0 ÐBÑque aproxime a la función y de la cual sí se conozcan primitivas.

Así, por ejemplo, para calcular , se desarrolla en serie de potencias( "

# B/

B.B

0 ÐBÑ œ œ ÐBÑ œ " â ÐBÑ œ 1ÐBÑ ÐBÑ/ " B

B B B 8x

" B â B

8xB 8"

8

& & &

para obtener que en donde habrá que evaluar .( ( ( ( " " " "

# # # #

0 ÐBÑ.B œ 1ÐBÑ.B ÐBÑ.B ÐBÑ.B& &

Sólo se conocen los valores de en un soporte . 0 ÐBÑ B ß B ß âß B{ }! " 8

En éste caso, se interpola la función (por ejemplo mediante la interpolación polinómica).

( ( ( + + +

, , ,

8 ! " 8

Ð8"Ñ

0 ÐBÑ.B œ T ÐBÑ.B ÐB B ÑÐB B ÑâÐB B Ñ.B0 Ð-Ñ

Ð8 "Ñx

( ( ( + + +

, , ,

80 ÐBÑ.B œ T ÐBÑ.B ÐBÑ.B&

'Þ"Þ Fórmulas de cuadratura

Si realizamos la interpolación de Lagrange, y llamamos DÐBÑ œ ÐB B ÑÐB B ÑâÐB B Ñ! " 8

, el polinomio de interpolación viene dado por T ÐBÑ œ C P ÐBÑC P ÐBÑâ C P ÐBÑ8 ! ! " " 8 8

en donde los polinomios de Lagrange pueden expresarse de la formaP ÐBÑ3 P ÐBÑ œDÐBÑ

ÐB B ÑD ÐB Ñ5

5 5w

Además, ( ( ( " " "+ + +

, , ,

8 3 3 3 3 3 3

3œ! 3œ! 3œ!

8 8 8

T ÐBÑ.B œ C P ÐBÑ.B œ C P ÐBÑ.B œ + C

donde los coeficientes no dependen de la función, sino sólo del soporte.+ œ P ÐBÑ.B3 3+

,( Por otra parte, si es un polinomio de grado no superior a , ( ) , por lo que para polinomios0 ÐBÑ 8 B œ !

es

( )( "+

,

3œ"

8

3 3T B .B œ + T ÐB Ñ

Por tanto:

T Ð BÑ œ " Ê , + œ + + â +

T ÐBÑ œ B Ê œ + B + B â + B, +

#â

T ÐBÑ œ B Ê œ + B + B â + B, +

8 "

Ð'Þ"Ñ

! " 8# #

! ! " " 8 8

88" 8"

! " 88 8 8! " 8

Ÿ





sistema que, en forma matricial es

Î ÑÎ ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

" " â "B B â Bã ã ä ã

B B â B

++ã

+

œ

, +

, +

#ã

+ ,8 "

! " 8

8 8 8! " 8

!

"

8

# #

8" 8"

cuyo determinante es un .Vandermonde

Una vez calculados los coeficientes se obtiene una fórmula de aproximación que sólo dependerá del+3

soporte. Para cada soporte, las fórmulas reciben el nombre de . fórmulas de cuadratura

Ejemplo 'Þ"Þ Vamos a integrar una función en [ ] considerando los soportes0 ÐBÑ !ß "

y .W œ !ß ß W œ ß ß" " " " $

$ # % # %" #œ œ

En el soporte :ˆ W œ !ß ß" "

$ #" œ (

!

"

! " #0 ÐBÑ. B ̧ + 0 Ð!Ñ + 0 Ð Ñ + 0 Ð Ñ" "

$ #

El sistema a resolver es, en este caso:

T Ð BÑ œ " Ê + + + œ "! " #

T ÐBÑ œ B Ê ! † + † + † + œ" " "

$ # #! " #

T ÐBÑ œ B Ê ! † + † + † + œ" " "

* % $#

! " # cuya solución es + œ + œ + œ #" $

# #! " #

y, por tanto, ( !

"

0 ÐBÑ.B ̧ 0 Ð!Ñ 0 Ð Ñ #0 Ð Ñ" $ " "

# # $ #

En el soporte : ˆ W œ ß ß" " $

% # %# œ (

!

"

! " #0 ÐBÑ.B ̧ , 0 Ð Ñ , 0 Ð Ñ , 0 Ð Ñ" " $

% # %

El sistema a resolver es, en este caso: T Ð BÑ œ " Ê , , , œ "! " #

T ÐBÑ œ B Ê † , † , † , œ"%

" $ "

# % #! " #

T ÐBÑ œ B Ê † , † , † , œ" " * "

"' % "' $#

! " #

cuya solución es , œ , œ , œ# " #

$ $ $! " #

por lo que( !

"

0 ÐBÑ.B ̧ 0 Ð Ñ 0 Ð Ñ 0 Ð Ñ# " " " # $

$ % $ # $ %

Las formas más generalizadas de aproximación de la integral de una función se realizan mediante0ÐBÑuno de los dos procesos siguientes:

Dando un soporte (generalmente regular) y los valores de la función en los puntos del soporte. Fórmulas de

Newton-Cotes.

Dando diferentes soportes y buscando el polinomio que hace más pequeña la integral T ÐBÑ

( .' +

,0ÐBÑ T ÐBÑÑ.B

que no se verán en este curso. Fórmulas de Gauss





'Þ#Þ Fórmulas de Newton-Cotes

Partamos del soporte regular { } conB ß B ß á ß B! " 8

, , . . . , , . . . ,B œ + B œ + 2 B œ + 32 B œ + 82 œ ,! " 3 8

Si llamamos se tiene que los polinomios de Lagrange sonDÐBÑ œ ÐB B ÑÐB B ÑâÐB B Ñ! " 8

P ÐBÑ œ œÐB B ÑÐB B ÑâÐB B Ñ ÐB +ÑÐB + 2ÑâÐB + 82Ñ

ÐB B ÑÐB B ÑâÐB B ÑÐB B ÑâÐB B Ñ ÐB + 32Ñ32Ð3 "Ñ2â2Ð 2ÑÐ #2ÑâÐ Ð8 3Ñ2Ñ3

! " 8

3 3 ! 3 3" 3 38" 3 8

œÐB +ÑÐB + 2ÑâÐB + 82Ñ

ÐB + 32Ñ3xÐ8 3Ñx2 Ð "Ñ8" 83

Por lo que haciendo se tiene que> œB +

2

P ÐBÑ œ>Ð> "ÑâÐ> 8Ñ

Ð> 3Ñ3xÐ8 3ÑxÐ "Ñ3 83

Por tanto, + œ P ÐBÑ.B œ 2.> œ .>>Ð> "ÑâÐ> 8Ñ Ð "Ñ 2 >Ð> "ÑâÐ> 8Ñ

Ð> 3Ñ3xÐ8 3ÑxÐ "Ñ 3x † Ð8 3Ñx > 33 3

! ! !

8 8 8

83

83( ( (

Ê + œ 2Ð "Ñ .>

8

38x DÐ>Ñ> 3

3 83

!

8

Š ‹( que son los denominados .coeficientes de Newton - Cotes

Teorema .2' . Los coeficientes de Cotes para un soporte regular { , , . . . , } verifican que .B B B + œ +! " 8 5 85

Teniendo en cuanta el Teorema , sólo hay que calcular la mitad de los coeficientes.'Þ#

Las Fórmulas de Newton-Cotes en los casos y son conocidas como y8 œ " 8 œ # Fórmula del trapecio

Fórmula de Simpson respectivamente.

'Þ#Þ"Þ Fórmula del trapecio

La fórmula de Newton-Cotes en el caso sólo tiene dos coeficientes. Como por el Teorema es8 œ " &Þ#+ œ + 'Þ" + + œ , + + œ + œ Ð, +Ñ! " ! " ! "

"#y por las ecuaciones ( ) es , se tiene que por lo que

( +

,

0 ÐBÑ.B œ 0 Ð+Ñ 0 Ð,Ñ œ Ð, +Ñ, + , + 0 Ð+Ñ 0 Ð,Ñ

# # #

Figura Método del trapecio'Þ" À

Es decir, el método del trapecio nos aproxima la integral por el área de la región plana limitada por lasrectas y la recta que pasa por los puntos ( ) y ( ), es decir, el área de unB œ +ß B œ ,ß C œ ! +ß 0 Ð+Ñ ,ß 0 Ð,Ñtrapecio (ver Figura ).'Þ"





'Þ#Þ#Þ Fórmula de Simpson

Para el caso tenemos que y . Dado que8 œ # B œ +ß B œ B œ ,! " #+,

#

+ œ 2Ð "Ñ .> œ $ #> œ 2 œ#x > ! # $ # $ #

>Ð> "ÑÐ> #Ñ 2 > > 2 , +!

#! !#

!

# $ ##

!

ˆ ‰( ” •» con

se tiene que + œ + œ, +

'# !

y como , se tiene que+ + + œ , + + œ Ð, +Ñ # œ, + #Ð, +Ñ

' $! " # " Œ

teniéndose, por tanto que

( +

,+,

#0 ÐBÑ.B œ 0 Ð+Ñ 0 Ð Ñ 0 Ð,Ñ, + #Ð, +Ñ , +

' $ '

o, lo que es lo mismo:

( ’ “+

,+,

#0 ÐBÑ.B œ 0 Ð+Ñ %0 Ð Ñ 0 Ð,Ñ

, +

'

Teorema 'Þ$Þ Al aplicar la fórmula de Newton-Cotes para un entero n, el error que se comete viene dado por:

Si n es par œ > † >Ð> "ÑâÐ> 8Ñ.>2 0 Ð-Ñ

Ð8 #Ñx&8

8$ Ð8#Ñ

!

8( Si n es impar œ Ð> "ÑâÐ> 8Ñ.>

2 0 Ð-Ñ

Ð8 "Ñx&8

8# Ð8"Ñ

!

8( Corolario 'Þ%Þ El error cometido en la aproximación numérica de una integral es:

Para la fórmula del trapecio: . œ 2 † 0 Ð - Ñ

"#&

$ ww

Para el método de Simpson: œ 2 † 0 Ð-Ñ

*!&

& ÐMZ Ñ

'Þ$Þ Fórmulas compuestas

'Þ$Þ"Þ Simpson para n par

Descomponiendo el soporte en { } { } { } se obtiene queB ß B ß B B ß B ß B â B ß B ß B! " # # $ % 8# 8" 8

( ’ “ ’ “ ’ “+

,# ! % ' 8 8#

! " # # $ % 8# 8" 80 ÐBÑ.B ̧ 0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑB B B B B B

' ' '

œ 0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ #0 ÐB Ñ % 0ÐB Ñ #0 ÐB Ñ ÞÞÞ #0 ÐB Ñ %0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ2

$ ’ “! " # $ % 8# 8" 8

( ’ “+

,

! 8 # 8# " 8"0 ÐBÑ.B œ Ð0 ÐB Ñ 0 Ð B ÑÑ #Ð0 ÐB Ñ ÞÞÞ 0 ÐB ÑÑ %Ð0 ÐB Ñ ÞÞÞ 0 ÐB ÑÑ2

$

El error viene dado por

¸ ̧ ¹ ¹& Ÿ † 0 ÐBÑ ÞÐ, +Ñ

")!8

&

%ÐMZ Ñmáx

B−ÒB ßB Ó! 8





'Þ$Þ#Þ Trapecios para n impar

Con un proceso análogo al anterior obtenemos que

( ’ “+

,

! " " # 8" 80 ÐBÑ.B ̧ Ð0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÑ Ð0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÑ â Ð0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÑ2

#

( ’ “+

,

! 8 " # 8"0 ÐBÑ.B ̧ Ð0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÑ #Ð0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ â 0 ÐB ÑÑ, +

#8

El error que se comete viene dado por

¸ ̧ ¹ ¹& Ÿ † 0 ÐBÑ ÞÐ, +Ñ

"#8

$

#máx

ww

B−ÒB ßB Ó! 8

'Þ%Þ Ejercicios

Ejercicio 'Þ" À +Probar que los coeficientes de las fórmulas de Newton-Côtes verifican que5 " ˆ ‰5œ!

8 55

85

Ð "Ñ +

Solución: Como la expresión de los coeficientes es

+ œ 2Ð "Ñ .> DÐ>Ñ œ >Ð> "ÑâÐ> 8Ñ8x > 5

DÐ>Ñ5

8585

!

8ˆ ‰ ( donde

la sumatoria se transforma en

" " " "ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰– — – — – —ˆ ‰ ( ( ( 5œ! 5œ! 5œ! 5œ!

8 8 8 85 5 5 55

8 8 85 5 5

8585

! ! !

8 8 8Ð "Ñ + Ð "Ñ DÐ>Ñ Ð "Ñ DÐ>Ñ Ð "Ñ DÐ>Ñœ 2Ð "Ñ .> œ 2 .> œ 2 .>Þ

8x > 5 > 5 8x > 5

Podemos ver que el integrando es precisamente D Ð>Ñw

! ’ “ ’ “5œ!

8wDÐ>Ñ DÐ>Ñ DÐ>Ñ DÐ>Ñ DÐ>Ñ

> 5 > > " > # > 5œ â œ Ð> "ÑÐ> #ÑâÐ> 8Ñ â >Ð> "ÑâÐ> 8 "Ñ œ D Ð>Ñ

y, en consecuencia,

" ˆ ‰ ( ’ “ ’ “º5œ!

8 5 8 8 85

85 !

8w

8

!

Ð "Ñ + Ð "Ñ Ð "Ñ Ð "Ñœ 2 D Ð>Ñ.> œ 2 DÐ>Ñ œ 2 DÐ>Ñ DÐ!Ñ

8x 8x 8x

Al ser , podemos asegurar queDÐ8Ñ œ DÐ!Ñ œ ! Þ" ˆ ‰5œ!

8 55

85

Ð "Ñ +œ !

Ejercicio 'Þ# À Dada la integral , se pide:( !" #

#

" B" B

.B

1.Calcularla exactamente.2.Calcularla, aproximadamente, por la fórmula básica de Simpson.3.Calcularla por la fórmula compuesta de Simpson de 11 sumandos.

4.Aplicar la siguiente fórmula ( ” •Ê Ê "

"

0 ÐBÑ.B ̧ &0 Ð Ñ )0 Ð!Ñ &0 Ð Ñ" $ $

* & &

comprobando que integra, exactamente, polinomios de grado menor o igual que 5.





Solución:

1.Calculándola exactamente obtenemos:

( ( ’ “º! !

" "#

# #

"

!

" B #

" B " B #.B œ Ð " Ñ.B œ B #+<->1B œ " œ !ß &(!(*'$ÞÞÞ

1

2.La fórmula básica de Simpson ( ) establece que:8 œ #

( ’ “!

"

0 ÐBÑ.B œ 0Ð!Ñ %0 Ð!ß &Ñ 0 Ð"Ñ 2 œ œ2 " ! "

$ # #& donde

por lo que

( !

" #

#

" B "

" B '. B œ Ð" % † !ß ' !Ñ œ !ß & ''''ÞÞÞ & &

3.La fórmula compuesta de Simpson de once sumandos ( ) es:8 œ "!

( ’ “!

"

0ÐBÑ.B œ 0Ð!Ñ 0Ð"Ñ %Ð0Ð!ß "Ñ 0Ð!ß $Ñ 0Ð!ß &Ñ 0Ð!ß (Ñ 0Ð!ß *ÑÑ #Ð0Ð!ß#Ñ 0Ð!ß %Ñ 0Ð!ß 'Ñ 0Ð!ß )ÑÑ ß2

$&

donde 2 œ œ

" ! "

"! "!

En nuestro caso:

( !

" #

#

""!" B "

" B $ $!.B œ Ð" ""ß %%*#&)'% %ß'(%'$!&')Ñ œ † "(ß "#$))*#" œ !ß&(!(*'$!( Þ& & &

4.Aunque los límites de la integral que nos piden son y , al ser el integrando una función par, podemos! "hacer:

( ( ! "

" "# #

# #

" B " " B

" B # " B.B œ .B

con lo que es factible aplicarle la fórmula, y dado que

0 Ð!Ñ œ " 0 Ð Ñ œ 0 Ð Ñ œ œ"

"

"

%É É $ $& & $

$&

&

se tiene

( !

" #

#

" B " " " " " #" (

" B # * % % ") # "#.B ̧ † Ð& † ) † " & † Ñ œ † œ œ !ß &)$$$ÞÞÞ

Otra forma de aplicar la fórmula es realizar el cambio , con lo que:B œ> "

#

( ( ( ! " "

" " "# #

# #

" B $ #> >

" B #Ð& #> > Ñ.B œ .> œ 1Ð>Ñ.>

Teniendo en cuenta que:1Ð!Ñ œ !ß $ 1Ð Ñ œ !ß %!(%&('%$ÞÞÞ 1Ð Ñ œ !ß !&*&!$')$ÞÞÞ É É $ $

& &

se obtiene

( !

" #

#

" B "

" B *.B ¸ Ð&† !ß%!(%&('%$ ) † !ß$ & † !ß!&*&!$')$Ñ ̧ !ß &(!&$%!(!ÞÞÞ

(No existe ninguna contradicción en el hecho de haber obtenido dos resultados diferentes, ya que la fórmula seha aplicado a funciones diferentes.)





Veamos. por último, que la fórmula es exacta para polinomios de grado no superior a cinco.

( ” •»ÚÛÜ"

"5

5" 5""

"

B .B œ œ œB " Ð "Ñ

5 " 5 "

#

5 "5

! 5

si es par

si es impar

Por tanto:

1( ( ( " " "

" " "#† .B œ # B .B œ ! B .B œ #

$

( ( ( " " "

" " "$ % &B .B œ ! B .B œ B .B œ !

#

&

La suma de cuadratura (fórmula a aplicar) para estas funciones es:

0 ÐBÑ œ " à W œ Ð& † " ) † " & † "Ñ œ #"

*

0 ÐBÑ œ B à W œ & † Ð Ñ ) † ! & † œ !"

*’ “É É $ $

& &

0 ÐBÑ œ B à W œ Ð& † ) † ! & † Ñ œ" $ $ #

* & & $#

0 ÐBÑ œ B à W œ & † Ð Ñ ) † ! & † Ð Ñ œ !"

*$ $ $$ $

& &’ “É É 0 ÐBÑ œ B à W œ Ð& † ) † ! & † Ñ œ

" * * #

* #& #& &%

0 ÐBÑ œ B à W œ & † Ð Ñ ) † ! & † Ð Ñ œ !"

*& & &$ $& &’ “É É

Al ser exacta para las funciones y , también lo es para cualquier combinación lineal de ellas"ß Bß B ß B ß B B# $ % &

y, por tanto, la fórmula integra, exactamente, cualquier polinomio de grado no superior a cinco.

Es fácil observar que:

( -1

1

B .B œ W œ Ð& † ) † ! & † Ñ œ † œ Á# " #( #( " &% ' #

( * "#& ")& * #& #& (' mientras que

Por lo que la función no integra, exactamente, a y, por tanto, a polinomios de grado superior a cinco.B'

Ejercicio 'Þ$ À "ß -ß " - − "ß " 0 ÐBÑ − "ß "Se considera el soporte { } donde ( ) es fijo. Sea [ ].V 1.Obtener el polinomio de interpolación de y una expresión del error.0ÐBÑ2.Determinar los coeficientes y en la fórmula de cuadratura+ ß + +! " #

para que integre, exactamente, polinomios del mayor ( -1

1

0 ÐBÑ. B ̧ + 0 Ð "Ñ + 0 Ð- Ñ + 0 Ð"Ñ ß! " #

grado posible.

3.Dar una condición, necesaria y suficiente, para que dicha fórmula sea exacta para polinomios de tercer grado.

4.Aplicar la fórmula a con y comparar con el valor exacto.0 ÐBÑ œ - œ !ß "É &B"$#

Solución:1.Utilizando los polinomios de Lagrange tenemos:

D ÐBÑ œ ÐB "ÑÐB - ÑÐB "Ñ œ B - B B - Ê D ÐBÑ œ $B #- B " Ê D Ð "Ñ œ $ #- " œ #Ð" -ÑD Ð- Ñ œ $- #- " œ - "D Ð"Ñ œ $ #- " œ #Ð" -Ñ

$ # w #

w

w # # #

w ÚÛÜ

P ÐBÑ œ ÊDÐBÑ

ÐB B ÑD ÐB Ñ

P ÐBÑ œ œÐB - ÑÐB " Ñ B Ð- "ÑB -

#Ð" -Ñ #Ð- "Ñ

P ÐBÑ œ œÐB " ÑÐB " Ñ B "

- " - "

P ÐBÑ œÐB "ÑÐB -Ñ

#Ð" -

55 5

w

!

#

" # #

#

#

ÚÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÜ Ñ #Ð" -Ñœ

B Ð" - ÑB -#

El polinomio de interpolación de la función es0ÐBÑ T ÐBÑ œ 0Ð "ÑP ÐBÑ 0Ð-ÑP ÐBÑ 0Ð"ÑP ÐBÑ# ! " #





Si utilizamos la fórmula de Newton para diferencias divididas se obtiene:

T Ð BÑ œ 0 Ð "Ñ ÐB "Ñ0 Ò "ß - Ó ÐB "ÑÐB - Ñ0 Ò "ß - ß "Ó œ#

œ 0 Ð "Ñ ÐB "Ñ ÐB "ÑÐB -ÑÞ0 Ð - Ñ 0 Ð " Ñ

- " #

0Ð"Ñ0Ð-Ñ 0Ð-Ñ0Ð"Ñ"- "-

El error viene dado por

& 0 00

ÐBÑ œ DÐBÑ œ 0 Ð Ñ " "0 Ð Ñ ÐB "ÑÐB -ÑÐB "Ñ

$x '

''' ''' con

2.Para que integre, exactamente, a polinomios del mayor grado posible, la fórmula debe ser interpolatoria; estoes, debe corresponder a la integración del polinomio de interpolación de en { }, con lo que:0 ÐBÑ "ß -ß "

para+ œ P ÐBÑ.B 3 œ !ß #3 3"

"( + œ .B œ Ð- "Ñ -B œ #- œ

B Ð- "ÑB - " B B " # " $-

#Ð- "Ñ #Ð- "Ñ $ # #Ð- "Ñ $ $Ð" -Ñ!

"

" # $ #"

"

( ” • Œ »

+ œ .B œ B œ œB " " B " % %- " - " $ - " $ $Ð" - Ñ

""

" # $

# # # #

"

"( ” • Œ »+ œ .B œ Ð" -Ñ -B œ #- œ

B Ð" -ÑB - " B B " # " $-

#Ð" -Ñ #Ð" -Ñ $ # #Ð" -Ñ $ $Ð" -Ñ#

"

" # $ #"

"

( ” • Œ »Luego la fórmula

( "

"

#0 ÐBÑ.B ̧ 0 Ð "Ñ 0 Ð-Ñ 0 Ð"Ñ

" $- % " $-

$Ð" -Ñ $Ð" - Ñ $Ð" -Ñ

es exacta para polinomios de grado no superior a dos.

Otra forma de hacerlo es imponer la condición de que la fórmula sea exacta para las funciones . . ."ßBßB ß#

hasta donde sea posible.

0 ÐBÑ œ " " † .B œ + + + Ê + + + œ #( "

"! " # ! " #

0 ÐBÑ œ B B .B œ + + - + Ê + + - + œ !( "

"

! " # ! " #

0 ÐBÑ œ B B .B œ + + - + Ê + + - + œ#

$#

"

"# # #

! " # ! " #( Dado que disponemos de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, no continuamos. La solución del

sistema es:

+ œ + œ + œ" $- % " $-

$Ð" -Ñ $Ð" - Ñ $Ð" -Ñ! " ##

con lo que se obtiene la misma fórmula anterior.

3.Imponemos que sea exacta para .0 ÐBÑ œ B$

! œ B .B œ + + - + œ œ œ œ( "

"$ $

! " !"$- %- "$- %-%-

$Ð"-Ñ $Ð"- Ñ $Ð"-Ñ $Ð"- Ñ $Ð"- Ñ $Ð"- ÑÐ"$- ÑÐ"- Ñ%- Ð"$- ÑÐ"- Ñ % -Ð"- Ñ$ $

# # # #

$ #

Ê œ ! Ê - œ ! %-

$

Se deduce, entonces, que la fórmula es exacta para polinomios de tercer grado si, y sólo si, , en cuyo- œ !caso se trata de la fórmula de Simpson:

( ’ “"

"

0 ÐBÑ.B ¸ 0 Ð "Ñ %0 Ð!Ñ 0 Ð"Ñ"

$





4.Para tenemos que:- œ !ß"

+ œ œ !ß $*$*$*ÞÞÞ 0 Ð "Ñ œ % œ #!"$†!ß"

$Ð"!ß"ÑÈ

+ œ œ "ß $%')!"$%(ÞÞÞ 0 Ð!ß "Ñ œ 'ß (& œ #ß &*)!('#""ÞÞÞ%

$Ð" !ß" Ñ" #

È + œ œ œ !ß #&*#&*ÞÞÞ 0 Ð"Ñ œ * œ $" $ † !ß " !ß (

$Ð" !ß "Ñ #ß (# È

por lo que ( Ê "

" & B " $

#.B ¸ !ß ()()()()ÞÞÞ $ß %**!*#&%ÞÞÞ !ß ((((((((ÞÞÞ ¸ &ß!'%(%*"!ÞÞÞ

El valor exacto es: ( Ê – —»ˆ ‰"

" &B"$#$#

"

"

$ $&B "$ # % ('

# & "& "&.B œ † œ Ð$ # Ñ œ œ &ß !'''''''ÞÞÞ

$#

por lo que el error es menor que .!ß !!"*"('

Ejercicio 'Þ% À 0 ÐBÑ † 68B .BCalcular interpolando , por un polinomio de tercer grado, en el soporte' !

"

0ÐBÑ{ } )!ß ß ß " Ð7 !Ñ" #

$ $ y aplicar el resultado al cálculo de .(Indicación: .' ' ! !

" " 7 "Ð7"Ñ=/8B † 68B .B B † 68B .B œ #

Solución: Si interpolamos la función por un polinomio de tercer grado utilizando los polinomios de Lagrange,sabemos que

( ( ( ( ’ “ Š ‹" "! ! ! !

" " " "

$ 3 3 3 3

3œ! 3œ!

$ $

0 ÐBÑ † 68B .B ̧ T ÐBÑ † 6 8B .B œ 0 ÐB Ñ † P ÐBÑ 68B .B œ 0 ÐB Ñ † P ÐBÑ 68B . B Þ

Tenemos, por tanto, que (+ œ P ÐBÑ 68B .B ! Ÿ 3 Ÿ $Ñ3 3!

"( Calculemos los polinomios de Lagrange. Dado que

DÐBÑ œ B B B ÐB "Ñ œ B #B B B D ÐBÑ œ %B 'B B ÊD Ð!Ñ œ ß D œ

D œ D " œ

ˆ ‰ ˆ ‰

ˆ ‰

ˆ ‰ a b" # "" # ## #$ $ * * * *

% $ # w $ # * $ #(w w# " #

w w# # #

$ #( *

;

yobtenemos

P ÐBÑ œ œ B #B B P ÐBÑ œ œ B B BB B B " B B B "

* "" # #( & #

# * * # $ $! "

" # #$ $ $

# #* #(

$ # $ #ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰a b a bŒ Œ

P ÐBÑ œ œ B B B P ÐBÑ œ œ B B BB B B " B B B

#( % " * #

# $ $ # *# $

" " #$ $ $

# ##( *

$ # $ #ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰a b Œ Œ

Teniendo en cuenta que

9

( ( ! !

" "$B † 68B .B œ B † 68B .B œ

" "

"'2

4

( ( ! !

" "

B † 68B .B œ 68B .B œ " "

los coeficientes son:+3

+ ÐBÑ œ B #B B 68B.B œ # " œ* "" #

# * *!

!

"$ # * " " "" " # ""

# "' * * % * $#( Œ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ a b

+ ÐBÑ œ B B B 68B .B œ œ #( & #

# $ $"

!

"$ # #( " & " # " "*

# "' $ * $ % $#( Œ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰

+ ÐBÑ œ B B B 68B .B œ œ #( % "

# $ $#

!

"$ # #( " % " " " "

# "' $ * $ % $#( Œ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰

+ ÐBÑ œ B B B 68B .B œ œ * #

# *$

!

"$ # * " " # " "

# "' * * % $#( Œ ˆ ‰ˆ ‰





Obteniéndose ( ’ “ˆ ‰ ˆ ‰ a b!

"" #$ $0 ÐBÑ † 68B .B ""0 Ð!Ñ "*0 0 0 "

"

$#= &

Otra forma de obtenerla es sabiendo que, al ser interpolatoria, va a integrar exactamente a cualquier polinomio de grado no superior a tres. Como

( ˆ ‰ ˆ ‰ a b!

"

! " # $" #$ $0 ÐBÑ † 68B .B œ + 0 Ð!Ñ + 0 + 0 + 0 " &

obligándola a que integre, exactamente, a los polinomios y obtenemos el sistema"ß Bß B B# $

0 ÐBÑ œ "+ + + + œ 68B . B œ "

0 ÐBÑ œ B + + + œ B 68B .B œ " # "

$ $ %

0 ÐBÑ œ B + + + œ B 68B .B œ " % "

* * *

0 ÐBÑ œ B + + + œ B 68B .B œ" )

#( #(

! " # $!

"

" # $!

"

#" # $

!

"#

$" # $

!

"$

( ( ( (

"

"'

Ê

+ + + + œ "

+ #+ $+ œ $

%+ %+ *+ œ "

+ ) + # ( + œ #(

"'

ÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ

! " # $

" # $

" # $

" # $

cuya solución es + œ + œ + œ + œ ! " # $"" "* " "$# $# $# $#y

Obteniéndose, de esta manera, la misma fórmula anterior.

Aunque no se pide, una expresión del error es:

& &œ 0 ÐBÑ † 68B .B T ÐBÑ † 68B .B œ 0 ÐBÑ T ÐBÑ 68B .B œ ÐBÑ † 68B .B œ DÐBÑ † 68B .BÞ0 Ð- Ñ

%x( ( ( ( ( ’ “

! ! ! ! !

" " " " "

$ $

ÐMZ ÑB

Ê Ÿ DÐBÑ † 68B .BQ

#%¸ ̧ ¸ ¸ ̧ ¸( &

%

!

"

donde representa el máximo valor que toma la derivada cuarta de en el intervalo [ ].Q 0 ÐBÑ !ß "%

Para calcular utilizamos la fórmula obtenida con .( !

"

=/8B 68B .B 0 ÐBÑ œ =/8B

0Ð!Ñ œ !ß 0 œ !ß$#("*%'*'ÞÞÞß 0 œ !ß'")$'*)!$ÞÞÞ 0 " œ !ß)%"%(!*)%ÞÞÞˆ ‰ ˆ ‰ a b" #$ $ y

( !

"

=/8B 68B .B ¸ Ð"" † ! "* † !ß$#("*%'*' !ß'")$'*)!$ !ß)%"%(!*)%Ñ ¸ !ß#$*)*")(&Þ"

$#

Por desarrollo en serie se obtiene ( ¸ ̧!

"(=/8B 68B .B œ !ß #$*)*""( !ß % † "! Þ& &con

Ejercicio 'Þ& À Determinar el número de sumandos necesarios, en las fórmulas compuestas de los trapecios ySimpson, para calcular, con seis cifras decimales exactas, las siguientes integrales:

Ð"Ñ Ð#ÑM œ 68B .B M œ .B/

B( ( " #

# $ B

Solución: .Utilizamos, en primer lugar, la fórmula compuesta de los trapecios:Ð"Ñ

( ’ “ ¹ ¹" ¸ ̧+

,

3œ"

8"

3

$

#0 ÐBÑ.B ̧ 0 Ð+Ñ 0 Ð,Ñ # 0 ÐB Ñ Ÿ 0 ÐBÑ

2 Ð, +Ñ

# "#8& &con máx

w w

B−Ò+ß,Ó

siendo .2 œ B œ + 2 3 œ "ß 8 "Ñ, +

8y (3 3

Lo primero que debemos hacer es buscar el máximo de la función | | en el intervalo [ ].0 ÐBÑ "ß #ww

0 ÐBÑ œ 68B Ê 0 ÐBÑ œ Ê 0 ÐBÑ œ Ê 0 ÐBÑ œ" " "

B B Bw w ww w

# #| |





Dado que, en el intervalo [ ], la función | | es decreciente, ésta alcanza su máximo en el"ß # 0 ÐBÑ œ"

Bww

#

punto y dicho valor máximo es .B œ " "

El error es, por tanto ¸ ̧& Ÿ œÐ, +Ñ "

"#8 "#8

$

# #Þ

Para calcular la integral con seis cifras decimales exactas ha de ser el error menor que , por lo que"!'

"

"#8 "! Ê 8 #)*

#'

Es decir: Utilizando la fórmula compuesta de los trapecios es necesario sumar, al menos, #)*

términos para obtener seis cifras decimales exactas.

Veamos cuántos son necesarios si se utiliza ahora la fórmula compuesta de Simpson:

( ’ “ ¹ ¹¸ ̧!

" &

%ÐMZ Ñ0 ÐBÑ.B ̧ 0 Ð+Ñ 0 Ð,Ñ %M #T Ÿ 0 ÐBÑ Þ

2 Ð, +Ñ

$ ")!8& &con máx

B−Ò+ß,Ó

siendo , la suma de los valores de la función en los puntos con2 œ B œ + 23 3 œ "ß 8 "

, +

8 , ( )3 M À B 33

impar y la suma de los valores de la función en los puntos con par.T B 33

Debemos acotar, por tanto, la cuarta derivada de la función.

0 ÐBÑ œ 68B Ê 0 ÐBÑ œ Ê 0 ÐBÑ œ Ê 0 ÐBÑ œ Ê 0 ÐBÑ œ " " # '

B B B Bw w w ÐMZ Ñw w

# $ %

w

La función | | toma su valor máximo, en el intervalo [ ], en el punto (ya que en dicho0 ÐBÑ "ß # B œ "ÐMZ Ñ

intervalo la función es decreciente) y dicho valor máximo es .'

Se tiene, por tanto, que ¸ ̧& Ÿ † ' œÐ, +Ñ "

")!8 $!8

&

% %

Si queremos que el error sea menor que , es decir, que tendrá que ser "!' "

$!8 "! 8 "%

%'

(obsérvese que es válido por ser par).8 œ "%

En resumen: Utilizando la fórmula compuesta de Simpson sólo es necesario sumar términos (frente a los"% #)*necesarios por la fórmula compuesta de los trapecios) para obtener seis cifrasdecimales exactas.

Ð#Ñ Los razonamientos, en este caso, son análogos a los del apartado anterior, es decir, debemos acotar,

respectivamente, las derivadas segunda y cuarta de la función .0ÐBÑ œ/

B

B

0 ÐBÑ œ / 0 ÐBÑ œ /B " B #B #

B Bw

# $B B

#

"

0 ÐBÑ œ / 0 ÐBÑ œ /B $B 'B ' B %B "#B #%B #%

B B'''

$ # % $ #

% &B Ð%Ñ B

En la expresión de la derivada segunda observamos que es decreciente en el intervalo [ ] ,B #B#B

#

$ #ß $

por lo que:

máx máx¹ ¹ ¹ ¹0 ÐBÑ Ÿ / † œ / † œ &ß "ÞB #B # # # † # # /

B # %

ww $# # $

$ $$

B−Ò#ß$Ó B−Ò#ß$Ó

y, por tanto, el error en la fórmula compuesta de los trapecios es ¸ ̧& Ÿ † &ß ""

"#8#

Para obtener seis cifras decimales exactas es necesario que ¸ ̧& Ÿ † &ß " "! Ê 8 '&#"

"#8#'





Utilizando la fórmula compuesta de los trapecios es necesario sumar, al menos, 652términos para obtener seis cifras decimales exactas.

Una acotación más sencilla, pero bastante peor, de | | es:0 ÐBÑww

¹ ¹

¸ ¸

¸ ¸B #B # & &

B ) )

Ÿ œ Ê 0 ÐBÑ Ÿ / "$B # B #

B

#

$

#

$ww $

máx

mín

B−Ò#ß$Ó

B−Ò#ß$Ó

| |

Con esta acotación se obtendría .8 "!%"

Para la fórmula compuesta de Simpson debemos acotar | |. Al ser, ahora, más complicado,0 ÐBÑÐMZ Ñ

acotaremos utilizando la técnica anterior, es decir, acotar superiormente el numerador e inferiormente eldenominador.

máx mín¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ̧B %B "#B #%B #% œ $$ B œ $# Ê 0 ÐBÑ Ÿ / œ #!ß (ÞÞÞ Ê Ÿ$$ #!ß (ÞÞÞ

$# ")!8% $ # & ÐMZ Ñ $

%| | &

Para obtener seis cifras decimales exactas, ha de ser

¸ ̧& Ÿ "! Ê 8 #!#!ß (ÞÞÞ

")!8%'

Utilizando la fórmula compuesta de Simpson se ha reducido a 20 (desde los 652 de la fórmula

compuesta de los trapecios) el número de términos necesarios para obtener seis cifras decimales exactas.

Ejercicio 'Þ': Se considera la integral :( !

"B/ Ð% BÑ.B

1.Calcularla exactamente (se supone conocido el número )./2.Determinar el número mínimo de sumandos necesarios, en la fórmula compuesta de

Simpson, para que el error de discretización sea menor que con y ."! 7 œ #ß $ß %ß & '7

3.Calcular la integral, por la fórmula compuesta de Simpson, con cuatro cifras decimales exactas.

Solución: Integrando por partes se tiene:1.

? œ % B Ê .? œ .B

.@ œ / .B Ê @ œ /Ê / Ð% BÑ. B œ / Ð% BÑ / Ð . BÑ œ Ð$/ %Ñ / œ %/ & œ &ß) ($"#(ÞÞÞ

B B ! !

" "B B B B" "

! !Ÿ ' ' ’ “ ’ “º º2.La fórmula compuesta de Simpson es:

( ’ “ ¹ ¹¸ ̧!

" &

%ÐMZ Ñ0 ÐBÑ.B ̧ 0 Ð+Ñ 0 Ð,Ñ %M #T Ÿ 0 ÐBÑ Þ

2 Ð, +Ñ

$ ")!8& &con máx

B−Ò+ß,Ó

siendo , la suma de los valores de la función en los puntos con2 œ B œ + 23 3 œ "ß 8 ", +

8, ( )3 M À B 33

impar y la suma de los valores de la función en los puntos con par.T B 33

Para determinar el mínimo número de sumandos necesarios para que el error sea menor que "!7

debemos acotar la derivada cuarta de la función en valor absoluto.

0 ÐBÑ œ / Ð$ BÑ Ê 0 ÐBÑ œ / Ð# BÑ Ê 0 ÐBÑ œ / Ð" BÑ Ê 0 ÐBÑ œ B/ Ê 0 ÐBÑ œ / B Þw B w B w B ÐMZ Ñ B ÐMZ Ñ Bw w w ¹ ¹ ¸ ¸se puede comprobar fácilmente que el valor máximo que toma es en el punto ./ B œ "

Tenemos entonces que el error es

¸ ̧ ¹ ¹& Ÿ 0 ÐBÑ Ÿ † /ÞÐ, +Ñ "

")!8 ")!8

&

% %ÐMZ Ñmáx

B−Ò+ß,Ó





Para que el error sea menor que se debe cumplir que , es decir, ."!7 8 8 "! / "! /

")! ")!%

7 7Ê %

Dando valores a , y teniendo en cuenta que ha de ser par, obtenemos:7 8

7 œ # Ê 8 "ß "!)&ÞÞÞ Ê 8 œ #7 œ $ Ê 8 "ß *("$ÞÞÞ Ê 8 œ #

7 œ % Ê 8 $ß &!&&ÞÞÞ Ê 8 œ %7 œ & Ê 8 'ß #$$)ÞÞÞ Ê 8 œ )

7 œ ' Ê 8 ""ß !)&ÞÞÞ Ê 8 œ "#

3.Para garantizar cuatro cifras decimales exactas (ver el apartado anterior) ha de ser . Entonces8 œ %

2 œ œ œ !ß #& ! !ß #& !ß & !ß (& ", + "

8 %y el soporte es .{ ; ; ; ; }

La fórmula se convierte en: ( ’ “a b!

"

0 ÐBÑ. B ̧ 0 Ð!Ñ 0 Ð"Ñ % 0 Ð!ß # &Ñ 0 Ð!ß ( &Ñ #0 Ð!ß & Ñ!ß#&

$

y, por tanto, ( ’ “a b!

"B/ Ð% BÑ.B ̧ % )ß "&%)%&%ÞÞÞ % † %ß)"&!*&$ÞÞÞ 'ß ))!#&!!ÞÞÞ # † &ß((!&#%%ÞÞÞ

!ß#&

$

por lo que con las cuatro cifras decimales exactas.( !" B/ Ð% BÑ.B œ &ß )($" ,

Ejercicio 'Þ( À !ß #Probar que la fórmula compuesta de los trapecios para el intervalo [ ]:1

( ’ “!

#1

0 ÐBÑ .B œ 0 Ð!Ñ #0 Ð2Ñ #0 Ð#2Ñ â #0 ÐÐ8 "Ñ2Ñ 0 Ð# Ñ 2 œ2 #

# 81 &

1, donde integra, exactamente, las

funciones: "ß =/8Bß -9=Bß =/8#B ß -9=#Bß âß =/8Ð8 "ÑB ß -9=Ð8 "ÑBÞ

Solución: Observemos, en primer lugar, que:

para ;

para

paraM œ =/8 5B .B œ ! 5 œ !ß "ß ÞÞÞ N œ -9= 5B .B œ

! 5 œ "ß #ß ÞÞÞ

# 5 œ !5 5! !

# #

( ( œ1 1

1

La fórmula compuesta de los trapecios es donde:( !

#

8

1

0ÐBÑ .B œ X & ß

X œ 0 Ð!Ñ #0 Ð2Ñ #0 Ð#2Ñ â #0 ÐÐ8 "Ñ2Ñ 0 Ð# Ñ2

#8 ’ “1

Pero al ser , podemos escribir:0Ð# Ñ œ 0Ð!Ñ1

X œ #0 Ð!Ñ #0 Ð2Ñ â #0 ÐÐ8 "Ñ2Ñ œ 2 0 Ð42Ñ œ 0 42 #

# 88

4œ! 4œ!

8" 8"#8’ “ " " ˆ ‰1 1

Puesto que va a ser ó estudiemos la sumatoria para , es decir,0 ÐBÑ =/B -9=B 0ÐBÑ œ /35B

" "4œ! 4œ!

8" 8"# 4 # 4 5

8 8 ./ œ /35 31 1

Al tratarse de una suma geométrica de razón . Dado que< œ /3 # 5

81

< œ " Í Í œ !ß „ # ß „ % ß â Í 5 œ !ß „ 8ß „ #8ß â-9= œ "

=/8 œ !

# 5

8 Ÿ# 58

# 58

1

1

11 1

por lo que si se tiene! 5 8 "4œ!

8" # 48

# 858

# 5 # 58 8

/ œ œ œ !35 / " " "3

/ " / "3 3

11

1 1





Además, .5 œ ! Ê " Š ‹4œ!

8" # 48 8/ œ 8 Ê X / œ œ #35 358 # 8

8

1 11

Por tanto: paraX =/8B œ M71 X / œ ! 5 œ !ß "ß #ß ÞÞÞ3588 8a b ’ “Š ‹

para paraX -9=B œ V/ X / œ358

! 5 œ "ß #ß ÞÞÞß 8 "# 5 œ !8 8

a b ’ “Š ‹ œ 1

que coinciden con los valores de las integrales.

Actividad Personal


"Þ Þ 2Integre la siguiente función en forma analítica y numérica por medio de la regla trapezoidal Useconveniente.

.( !

"#B"& . B

#Þ 2Tomando considerablemente pequeño determine el valor de la integral

( !

"!ß" #!ÐB"ÑB Ð"ß # BÑÐ" / Ñ.BÞ !ß '!##*(ÞEl valor real es

$Þ Evalúe la integral de los siguientes datos tabulados con la regla Trapezoidal.

B ! !ß " !ß # !ß $ !ß % !ß &0 ÐBÑ " ( % $ & #

%Þ Por regla de Simpson evalúe la integral de los siguientes datos tabulados

B $ " " $ & ( * ""0 ÐBÑ " % * # % # ' $

&Þ 2 œ !ß " / .BPara calcule el valor aproximado y el error de la integral: ( !

"B#





Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las cienciasnaturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una o varias funcionesdesconocidas con respecto a una o varias variables independientes.

Dichos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para unafunción desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas

para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton, las leyes mecánicas querigen el movimiento de los cuerpos y las relaciones de equilibrio en sistemas contínuos, al ponerse en términosmatemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales.

Usualmente estas ecuaciones estan acompañadas de una condición adicional que especifica el estado delsistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la y junto con la ecuacióncondición inicial

diferencial forman lo que se conoce como el (p.v.i.). problema de valor inicial

Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible o difícil de obtener enforma analítica (resolviendo la ecuación algebraicamente). Por tal razón los métodos numéricos se utilizan paraaproximar dichas soluciones.

Esquemáticamente, trabajaremos de la siguiente forma

(Þ"Þ Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden y cualquier grado, cuya forma general es:8

)J Ð\ß ] à ] ß ] ß á ß ] Ñ œ ! Ð(Þ"w ww Ð8Ñ

se establece en matemáticas que en su solución general deben aparecer constantes arbitrarias. Entonces, puede8aceptarse que la solución general de ( ) es:(Þ"

( , , , , , ) ( )K \ ] G G á G œ ! (Þ#" # 8

Gráficamente esta ecuación representa una familia de curvas planas, cada una de ellas obtenidas paravalores particulares de las constantes, , , , , como se ve en la Figura :8 G G á G (Þ"" # 8

Figura Familia de curvas soluciones de (1)(Þ" À





Cada una de estas curvas corresponde a una solución particular de la ecuación diferencial ( ) y(Þ"analíticamente puede obtenerse sujetando la solución general ( ) a condiciones independientes que permiten(Þ# 8valuar las constantes arbitrarias.

Dependiendo de como se establezcan estas condiciones, se distinguen dos tipos de problemas: losllamados de y los de .ValoresIniciales Valores en la Frontera

Un problema de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial de orden y un conjunto8de condiciones independientes todas ellas, válidas para el mismo punto inicial. Si la ecuación ( ) es la8 (Þ"ecuación diferencial que define el problema, y es el punto inicial, puede aceptarse que las condiciones\ œ + 8independientes son:

( )] Ð+Ñ œ ] ß ] Ð+Ñ œ ] ß ] Ð+Ñ œ ] ß áß ] Ð+Ñ œ ] (Þ$!w w ww ww Ð8Ñ

! ! !Ð8Ñ

Se tratará de obtener una solución particular de que verifique como en la Figura( ) ( )(Þ" (Þ$ (Þ#

Figura 7.2: Problema de valor inicial.

Por el contrario, en los problemas de valores en la frontera deben establecerse condiciones de fronteraen todos y cada uno de los puntos que constituyen la frontera del dominio de soluciones del problema. En

particular en el espacio de una dimensión, hay dos puntos frontera, por ejemplo, y , si el dominio\ œ + \ œ ,de soluciones es el intervalo cerrado por esto mismo el orden mínimo de la ecuación diferencial de un+ Ÿ B Ÿ ,

problema de valores en la frontera será dos como podemos observar en la Figura :ß (Þ$

Figura Problema de valores en la frontera.(Þ$ À

Básicamente la solución numérica de ecuaciones diferenciales consiste en sustituir el dominio continuo

de soluciones por uno discreto formado por puntos aislados igualmente espaciados entre sí .

Así, en un problema de valores iniciales, el dominio de definición de soluciones se sustituye por B +el conjunto infinito numerable de puntos,

B œ + B œ B 2 B œ B #2 B œ B $2 á! " ! # ! $ !, , , ,

y en el caso de valores en la frontera se sustituye el intervalo por el conjunto finito de puntos+ Ÿ B Ÿ ,

B œ + B œ B 2 B œ B #2 á B œ B 82 œ ,! " ! # ! 8 !, , , ,

obtenidos, al dividir el intervalo en partes iguales.8

Figura Valores iniciales (4a) y Valores en la frontera (4b)(Þ% À





Habiéndose discretizado el problema continuo, se tratará de obtener la solución para los puntosconsiderados, y esto se hará, en general, sustituyendo las derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial concondiciones iniciales o en la frontera, por fórmulas numéricas de derivación que proporcionen aproximaciones alas derivadas o tratando de integrar la ecuación diferencial y reemplazando al proceso de integración por unafórmula numérica que se aproxime a la integral.

Una vez hecho esto, la ecuación obtenida expresada en diferencias finitas (ya que se han sustituidodiferenciales por incrementos finitos) se aplica repetidamente en todos los puntos donde se desconoce la pivotes

solución para llegar a una solución aproximada del problema.

(Þ Þ1.1 Existencia y Unicidad

Consideremos de ahora en adelante el problema de valor inicial (p.v.i.)

C ÐBÑ œ 0ÐBß CÐBÑÑw

CÐB Ñ œ C ! ! ß B − ÒB ß \Ó Ð(Þ%Ñ!

ß C À ÒB ß \Ó © Ä 0 À ÒB ß \Ó ‚ Ädonde será nuestra función a encontrar (y que sea derivable), una! !‘ ‘ ‘ ‘

función dada en el problema e conocido (nuestra condición inicial).C −!8‘

Teorema (Þ"Þ © ÐBß C Ñß ÐBß C ÑConsideremos un dominio tal que al considerar dos puntos de él, elW ‘#" #

segmento vertical formado por ellos pertenece a ; y, además, sean ( un punto interior y una funciónW B ß C Ñ 0 ‡ ‡

continua en este dominio.Si satisface la condición de Lipschitz débil)0 Ð

¸ ¸ ̧ ¸0 ÐBß C Ñ 0 ÐBß C Ñ Ÿ 5 C C a ÐBß C Ñ ÐBß C Ñ −" # " # " #, , W

para algún , entonces para un intervalo adecuado existe una única solución del5 ! M œ ÐB ß B Ñß‡ ‡! ! p.v.i. definida en(Þ% MÞ

En adelante si la función existe y es acotada en , entonces la condición débil de Lipschitz seß `0 `C W

satisface y por consiguiente la existencia y unicidad de la soluciónŠ ‹¹ ¹en realidad basta tomar 5 œ ÐBß CÑmáx`0 `B

ÐBß CÑ−W

De esta manera, al dividir el intervalo introduciendo puntos equiespaciados y queÒB ß \Ó B Ð3 œ !ß R Ñ! 3

proporcionan valores aproximados lo que recibe el nombre de discretización), los llamadosC Ð3 œ !ß R ÑÐ3

métodos numéricos por paso nos dan una solución aproximada de los valores exactos .CÐB Ñ Ð3 œ !ß RÑ3

Al pasar de un valor aproximado al siguiente recibe el nombre de , dondeC C C3 3" 3 paso de integración

e aproximan a e , respectivamente.C CÐB Ñ CÐB Ñ3" 3 3+1

Figura 7.5: Paso de integración.

A continuación daremos algunos métodos sencillos por paso (catalogados en general como de pasoseparado).

(Þ Þ2 Método de Taylor

Es el método más sencillo y fácil de implementar (dentro de los de paso separado), el cual se basa en eldesarrollo en series de Taylor. Se requiere que la solución sea veces continuamente diferenciable enCÐBÑ 8 "[ y se consideran los puntos , paraB ß \Ó B œ B 2 Ð ÑÞ! 3" 3 3 œ !ß8Ð2Ñ " 8Ð2Ñ B Ÿ \ Ÿ Bes tal que 8Ð2Ñ 8Ð2Ñ"





Método de Taylor de orden 8

C œ C 20 2 0 â 2 0 " "

#x 8x3" 3 3

# w 83 3

Ð8"Ñ Ð(Þ&Ñ

donde 0 œ 0 ÐB ß C Ñ œ 0 œ 0 ÐB ß C Ñ œ œ † œ † 0 œ.C .0 `0 `0 .C `0 `0 . C

.B .B `B `C .B `B `C .B3 3 3 3 3

ÐB ßC Ñ ÐB ßC Ñ

w w3

º º3 3 3 3

y , etc.2

2

Ejemplo (Þ"Þ Resolvamos por Taylor el p.v.i. siguiente: C œ Ð" BÑC ß B − Ò!ß Ów #" "# #

CÐ!Ñ œ "Ð B œ ! C œ CÐB Ñ œ "Ñidentificamos inmediatamente e! ! !

Apliquemos Taylor de segundo orden con y ejercicio) para comparar los2 œ !ß " 2 œ !ß !& Ðresultados.

Aquí y ; luego0 ÐBß C Ñ œ Ð" BÑC 0 œ 0 ÐB ß C Ñ œ Ð" B ÑC" "# #

# #3 3 3 3 3

0 ÐBß CÑ œ C C B C C œ C C Ð" BÑ œ C Ð" BÑC œ C Ð" BÑ Ð " BÑC œ CÐ" B Ñ "C C C " C C

# # # # # #w w

# # #w w w # #Š ‹ Œ ˆ ‰

Ê 0 œ 0 ÐB ß C Ñ œ C Ð" B Ñ "C

#3

w w3 3 3

3#

3

#

ˆ ‰De esta forma, aplicando ( obtenemos:(Þ&Ñ

C œ C 20 2 0 œ C 2 Ð" B ÑC 2 C Ð" B Ñ " œ C C " B ÐC Ð" B Ñ "Ñ ß" " " C 2 2

#x # #x # # #3" 3 3 3 3 3 3 3 3 3

# w # # # # #3 3 3

3#

3ˆ ‰ ’ “

3 œ !ß % 2 œ !ß " 3 œ !ß "! 2 œ !ß !& cuando ó cuando Þ

Construyamos una tabla para mostrar los resultados obtenidos para las aproximaciones yC3

comparémoslas con los valores exactos de la solución exacta (calculados) À

CÐBÑ œ"

" B B

# %

#

Para 3 œ ! À C œ C !ß!&C Ò" B !ß!&ÐC Ð" B Ñ "ÑÓ œ" ! ! ! !

# #

!

œ " !ß!&Ð"Ñ Ò" ! !ß!&Ð"Ð" !Ñ "ÑÓ# #

œ " !ß!&Ò" !ß !&Ð#ÑÓ œ " !ß!&Ð"ß "Ñ œ "ß !&&

, análogamente para los restantes

3 B C Ò!ß "Ó C Ò!ß !&Ó CÐB Ñ! ! " " "

" !ß " "ß ¸ " !&&%!)*(!*('#&

# !ß# "ß #&&"!"('&*$(

3 3 3 3

%!!$(*"!!)

(valor exacto)

,!&&

"# *%!!$$"#&"*

"'""

¸ "ß"#$&*&&!&'"(*)

$ !ß $ "ß ¸ "ß #!)%&*#"%&!"&"

% !ß % ¸ "ß $"&()*%($')%#"

& !ß & œ "

#0

31

4

640094640193

1, 205891970444

1, 4793523610473 ß %&

Como podemos ver los cálculos son simples pero muy tediosos, y eso que se trata de sólo un orden dos.

Para evitar estos inconvenientes veremos métodos que requieren sólo de evaluaciones de la función .0

(Þ Þ3 Métodos de Runge-Kutta

En estos métodos ya no es necesario conocer los valores de para conocer la aproximación deC C3 3"

CÐB Ñ B3 3, sino sólo del valor de .





La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor es que requierensólo de la función y de ninguna derivada. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de0ÐBßCÑRunge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor.

Todas las variaciones se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación C œ C 23" 3 9como , donde es conocida como función incremento, la cual puedeC œ C ÐB ß C ß 2Ñ2 ÐB ß C ß 2Ñ23" 3 3 3 3 39 9

interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo. La función incremento se escribe por logeneral como

9 œ + 5 + 5 â + 5" " # # 8 8

donde los son constantes y los son+ Ð3 œ "ß 8Ñ 5 Ð3 œ "ß 8Ñ3 3

5 œ 0ÐB ßC Ñ" 3 3

5 œ 0 ÐB : 2ß C ; 5 2Ñ# 3 " 3 "" "

5 œ 0 ÐB : 2ß C ; 5 2 ; 5 2Ñ$ 3 # 3 #" " ## #

ã ã ã 5 œ 0 ÐB : 2ß C ; 5 2 â ; 5 2Ñ8 3 8" 3 8"ß" " 8"ß8" 8"

Observe que los son relaciones de recurrencia. Esto es, aparece en la ecuación para , la5 Ð3 œ "ß 8Ñ 5 53 " #

cual aparece en la ecuación para , etc. Como cada es una evaluación funcional, esta recurrencia5 5 Ð3 œ "ß 8Ñ$ 3

hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para cálculos en computador.

Es posible concebir varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos enla función incremento como la especificada por . El método Runge-Kutta (RK) de primer orden con es el8 8 œ "llamado .método de Euler

(Þ Þ"Þ3 Método de Euler

Consideremos el p.v.i. e integremos la ecuación diferencial en el intervaloÐ(Þ%ÑB Ÿ B Ÿ B œ B 23 3" 3 y evaluemos la integral aplicando la fórmula de integración numérica:

( ( B B

B Bw

3 3

3" 3"

C ÐBÑ. B œ 0 Ð BßC ÐBÑÑ. B

obteniéndo la expresión aproximada siguiente, que llamaremos Método de Euler

Algoritmo C œ C 20 3" 3 3 3 œ !ß "ß #ß á Ð(Þ'Ñ

Figura Interpretación geométrica del Método de Euler, donde es el error de truncamiento local.(Þ' À /3"

Ejemplo (Þ#Þ Resolvamos el ejemplo anterior por este método

Consideremos y para obtener 2 œ !ß " 0 ÐB ß C Ñ œ Ð" B ÑC3 3 3"# 3

#

C œ C 20 ÐB ß C Ñ œ C !ß " † Ð" B ÑC œ C !ß ! &Ð" B ÑC œ C Ð" !ß ! &Ð" B ÑC Ñ3" 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3"# 3 3

# #

Lo que al tabular nos da las soluciones aproximadas





3 B C Ò!ß "Ó CÐB Ñ Ð

! ! " "

" !ß " "ß ¸ " !&&%!)*(!*('#&

# !ß # "ß "!'$(& ¸ "ß "#$&*&&!&'"(*)

$ !ß$ "ß" )%'%)%$*$)%$) ¸ "ß

3 3 3

%!!$(*"!!)*

%!!$$"

valor exacto)

,!&

"

#!)%&*#"%&!"&"

% !ß % #(&)')*"%&!&#" ¸ "ß$"&()*%($')%#"

& !ß & $)*)"()")&*&#' œ "ß %&

1,

1,

#&"*

"'""





(Þ Þ"Þ"Þ3 Análisis de Error para el Método de Euler

La solución numérica de las E.D.O. involucra dos tipos de error:

ˆ Errores de truncamiento (discretización), causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de .Cˆ Errores de redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que puede retener uncomputador

Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de truncamiento localque resulta de una aplicación del método en cuestión sobre un paso sencillo. La segunda es un error detruncamiento propagado que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos.

Error global : I Ð2Ñ œ CÐB Ñ C3" 3" 3"

Ejemplo (Þ$Þ Determinemos los errores globales cometidos en los ejercicios y(Þ" (Þ# Ð2 œ !ß"Ñ

La siguiente tabla resume los errores cometidos en los métodos de Taylor y de Euler Método de Taylor Método de Euler Valor exacto E-GTaylor E-G Euler

0

,

3 B C Ò!ß "Ó C Ò!ß "Ó CÐB Ñ I Ò!ß "Ó I Ò!ß "Ó! ! " " "

" !ß " "ß "ß " !&&%!)*("

3 3 3 3 3 3

!&& !& ! !!!%!)*(" ! !!&%!)*("# !ß# "ß #&&"!") "ß "!'$(& "ß" #$&*&&!' ! !!"!%%%)) ! !"#*&)!!'$ !ß$ "ß# '%!!*%' "ß" )%'%)%$* "ß# !)%&*#"& ! !!#!&)#') !

, ,, ,0 ,

"# "

,, , , ,, , , ,

!#$)"!((&

% !ß% " $"#!&)*#! " #(&)')*"& "ß$"&()*%(% ! !!$($!&&% ! !$**#!&&*

& !ß & " %%(*$&#$' " $)*)"()"* "ß %& ! !!''"!#") ! '%(#('$'!

¿Qué puede concluir hasta este momento? Comente.

(Þ Þ#Þ3 Métodos de Euler Mejorado y de Euler-Cauchy o de Heun (Runge-Kutta de segundo orden,

8 œ #)

El método de Euler mejorado consiste en considerar el punto medio del intervalo [ , es decir,B ß B Ó3 3"

como la muestra la figura (Þ(Þ

Figura Representación gráfica del Método de Euler Mejorado(Þ( À

Algoritmo de Euler Mejorado C œ C 20 B ß C 0 2 2

# #3" 3 3 3 3Œ Ð(Þ(Ñ

En cambio, Euler-Cauchy en vez de irse por la tangente que pasa por el punto para determinar laB3

solución en el siguiente punto pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al de pendientes de la promediocurva integral en los puntos coordenados en donde e pueden estimarse con el(B ß C Ñß ÐB ß C Ñ B C3 3 3" 3" 3" 3"

procedimiento normal de Euler





Figura Representación gráfica del Métode de Euler-Cauchy o de Heun(Þ) À

Algoritmo de Euler-Cauchy o de Heun C œ C 0 ÐB ß C Ñ 0 B 2 ß C 20 2

#3" 3 3 3 3 3 3a ba b Ð(Þ)Ñ

Ejemplo (Þ%Þ Apliquemos Euler mejorado y Euler-Cauchy al ejemplo anterior Ð2 œ !ß"Ñ

Por ( ) y del hecho que , entonces(Þ( 0 œ 0 ÐB ß C Ñ œ Ð" B ÑC"#3 3 3 3 3#

C œ C 20 B ß C Ð" B ÑC2 2 "

# # #3" 3 3 3 3

#3Œ

œ C 2 " B C Ð" C ÑC" 2 2

# # %3 3 3 3 3

## Œ Œ

œ C " B C Ð" C ÑC2 2 2

# # %3 3 3 3 3

##Œ Œ

Análogamente, de Ð(Þ)Ñ

C œ C Ð" B ÑC Ð" B 2Ñ C Ð" B ÑC2 " " 2

# # # #3" 3 3 3 3 3

# #3 3

#” Œ • C œ C !ß !#& Ð " B ÑC Ð" B !ß "Ñ C !ß !&Ð" B ÑC3" 3 3 3 3 3

# #3 3

#

” •a b œ C !ß ! #& Ð " B ÑC Ð" B !ß " ÑC " !ß ! &Ð" B ÑC3 3 3 3

# #3 3 3

#” •a b œ C !ß ! #&C " B Ð" B !ß " Ñ " !ß ! &Ð" B ÑC3 3 3 3

#3 3

#” •a b œ C " !ß !#&C " B Ð" B !ß "Ñ " !ß !&Ð" B ÑC3 3 3 3 3 3

#” •ˆ ‰a b

Lo que al tabular nos da (Euler Mejorado EM; Euler-Cauchy E-C)œ œ

EM E-C Valor exacto Error EM Error E-C

01,055318 , 0,002472

3 B C Ò!ß "Ó C Ò!ß "Ó CÐB Ñ I Ò!ß "Ó I Ò!ß "Ó

! ! " " !

" !ß " "ß !&())"$ ) " !&&%!*! $ !ß !!!*!

3 3 3 3 3 3¸ ¸ ̧ ¸##

# !ß # #*%#&# "ß "#$&*&& !ß !!!#%)"$ !ß $ #"*!#&& ' "ß #!)%&*# !ß !!!&#('

% !ß % $$$$&(' &! "ß $"&(

1,1 1,1233474 0,00582971, 1,207931 0,01056631, 1,31475 )*& " !ß !!"!$%'

& !ß & %)$!)"' & "ß %& !ß !!"*))!

0,0175681, 1,452557 0,0285361

(Þ Þ$Þ3 Runge-Kutta de orden mayor a dos

Los métodos anteriores de segundo orden ( serán exactos si la solución de la ecuación diferencial es8 œ #Ñcuadrática. Además, como los términos con y mayores son eliminados durante la derivación, el error de2$

truncamiento local es y el global es . En cambio, en estos casos los errores de truncamiento globalb bÐ2 Ñ Ð2 Ñ$ 2

son y , respectivamente.b bÐ2 Ñ Ð2 Ñ$ %

En los métodos de RK, el método de exactitud se incrementa mediante el empleo de un método deintegración numérica de más alto orden, la mayor exactitud implica que el resultado calculado es mas exacto yque los errores se reducen con mayor rapidez al reducirse , donde h es un intervalo de tiempo fijo que se utiliza2repetidamente.

(Þ Þ$Þ"Þ3 Métodos de Runge-Kutta de tercer orden.

Para , se puede hacer un desarrollo similar al del método de segundo orden. El resultado de dicho8 œ $desarrollo es de seis ecuaciones con ocho incógnitas.

Por tanto, se debe especificar con antelación los valores para las dos incógnitas con el fin de establecer los parámetros restantes.





Una versión común que resulta es

C œ C Ð5 %5 5 Ñ23" 3 " # $"' Ð(Þ*Ñ

donde 5 œ 0ÐB ßC Ñ" 3 3

5 œ 0 ÐB 2ß C 5 2Ñ" "

# ## 3 3 "

5 œ 0 ÐB 2ß C 5 2 #5 2Ñ$ 3 3 " #

Los métodos RK de tercer orden tienen errores local y global de y respectivamente, yb bÐ2 Ñ Ð2 Ñß% $

dan resultados exactos cuando la solución es una cúbica. Al tratarse de polinomios, la ecuación seráÐ(Þ*Ñtambién exacta cuando la ecuación diferencial es cúbica y la solución es de cuarto orden.

(Þ Þ$Þ#Þ3 Métodos Runge-Kutta de cuarto orden.

Es más popular de los métodos RK es el de cuarto orden. La siguiente, es la forma de uso más común y, por tanto, se le conoce como método RK clásico de cuarto orden:

C œ C Ð5 #5 #5 5 Ñ23" 3 " # $ %"' Ð(Þ"!Ñ

donde 5 œ 0ÐB ßC Ñ" 3 3

5 œ 0 ÐB ß C 5 2Ñ2 "

# ## 3 3 "

5 œ 0 ÐB ß C 5 2Ñ2 "

# #$ 3 3 #

5 œ 0 ÐB 2ß C 25 Ñ% 3 3 $

El método RK de cuarto orden tiene similitud con el procedimiento de Heun en cuanto a que lasestimaciones múltiples de la pendiente son desarrolladas para alcanzar una pendiente promedio mejorada para elintervalo. Cada una de las representa una pendiente. La ecuación entonces representa un5 Ð3 œ "ß %Ñ Ð(Þ"!Ñ3

promedio ponderado de éstas para llegar a la pendiente mejorada como muestra la figura siguiente

Figura Las pendientes corresponden a los valores de en los puntos(Þ* À 5 0 ÐBß CÑ T Ð3 œ "ß %Ñ3 3

Ejemplo (Þ&Þ Apliquemos RK de orden cuatro al mismo ejemplo que hemos venido desarrollando

Solución: Desarrollo por mesa en sala de clases!

(Þ Þ$Þ$Þ3 Métodos de Runge-Kutta de orden superior

Donde se requiere resultados más exactos, es recomendable el método de Butcher ( ) y el método"*'%RK de quinto orden donde sus fórmulas están disponibles; pero en general, la ganancia en exactitud paraßmétodos mayores de cuarto orden está afectada por el esfuerzo computacional y complejidad adicional. Estosmétodos no los veremos, pero si pueden ser consultados en la bibliografía.





(Þ Þ4 Ejercicios

Ejercicio (Þ" À Consideremos la caída libre de un paracaidista desde un rascacielos. Este situación nos lleva a

plantear el p.v.i siguiente: @ œ @<

7w +

g

@Ð!Ñ œ !

, donde es la rapidez que adquiere el paracaidista en la caída, es la masa del mismo, es la aceleración de@ 7 g

gravedad, es el coeficiente de resistencia al aire y es el instante en que el paracaidista salta. Resuelva< > œ !+ !

por el método de Taylor el problema del paracaidista, considerando , . y Use g œ *ß ) 7 œ (& 51 < œ "#ß % Þ7= =+

51#

2 œ !ß"Þ

Solución: Para los datos en particular, el p.v.i. queda de la forma

@ œ *ß ) @"#ß %)

(&@Ð!Ñ œ !

Ê@ œ *ß) !ß "''%@@Ð!Ñ œ !

w wŸ

Luego, aplicando nos queda :Ð(Þ&Ñ 0 œ 0 Ð> ß @ Ñ œ *ß ) !ß "''%@3 3 3 3

Ê 0 œ !ß " ''%@ œ !ß " ''%Ð*ß ) !ß " ''%@ Ñ3 3w w

3

Ê @ œ @ 2 Ð*ß ) ! ß "''% † @ Ñ ! ß "''%Ð*ß ) ! ß "''%@ Ñ

2

#3" 3 3 3

#

š › Ê @ œ @ 2 Ð*ß ) !ß "''% † @ Ñ " † !ß "''%2

#3" 3 3 Œ

Para 3 œ ! À @ œ @ !ß"Ð*ß ) !ß"''% † @ ÑÐ" !ß!& † !ß"''%Ñ œ !ß " † *ß ) † !ß**"') œ !ß *(")%'%" ! !

Para 3 œ " À @ œ @ !ß " † !ß **"')Ð*ß) !ß "''% † @ Ñ œ !ß *(")%'% !ß !**"')Ð*ß) !ß"''% † !ß *(")%'%Ñ œ "ß *#('&&)# " "

Para 3 œ # À @ œ @ !ß !**"')Ð*ß) !ß"''% † @ Ñ œ "ß*#('&&) !ß !**"')Ð*ß) !ß "''% † "ß *#('&&)Ñ œ #ß )'('*#*$ # #

Resumiendo en una tabla:3 > @ @Ð> Ñ I Ò!ß "Ó

! ! ! ! !" !ß" !ß*(")%'% !ß*(")*"%# !ß# "ß*#('&&) !ß*#((%%%

$ !ß$ #ß)'('*#* #ß)'()#$'

% !ß %& !ß &

(! ( %!ß &#!""""

3 3 3 3

Ejercicio (Þ# À Aplique el método de Taylor al p.v.i

C œ B Cw #

, usando yCÐ#Ñ œ "ß # Ÿ B Ÿ $ 2 œ !ß " 2 œ !ß !&

Solución: Las siguientes tablas muestran las aproximaciones para los distintos s2w

2 œ !ß "3 B C Ò!ß "Ó I Ò!ß "Ó CÐB Ñ

! #ß ! "ß !!!! !ß !!!! "ß !!!!" #ß " !ß )$&! !ß !!&" !ß )#**# #ß # !ß ("!) !ß !!'& !ß (!%#

$ #ß $ !ß '"%& !ß !!'' !ß '!(*% #ß % !ß &$)! !ß !!'"

3 3 3 3¸ ¸

!ß &$"*

& #ß & !ß %('" !ß !!&& !ß %(!'' #ß ' !ß %#&! !ß !!%* !ß %#!#( #ß ( !ß $)#$ !ß !!%$ !ß $()"

) #ß ) !ß $%'# !ß !!$( !ß $%#&* #ß * !ß $"&$ !ß !!$$ !ß $"#!

"! $ß ! !ß # ))' !ß ! !#* !ß # )&(





2 œ !ß!&3 B C Ò!ß !&Ó I Ò!ß !&Ó

! #ß ! "ß !!!! !ß !!!!" #ß " !ß )$"! !ß !!""# #ß # !ß (!&' !ß !!"%

$ #ß $ !ß '!*$ !ß !!"%

% #ß % !ß &$$# !ß !!"$& #ß & !ß %(") !ß !!"#' #ß ' !ß %#"# !

3 3 3¸ ¸

ß!!"!( #ß ( !ß $(*! !ß !!!*

) #ß ) !ß $%$$ !ß !!!)* #ß * !ß $"#( !ß !!!(

"! $ß ! !ß #)'# !ß !!!'

Ejercicio (Þ$ À Utilize el método de Euler para aproximar la solución al problema de valor inicial C œ C > "w #

UseCÐ!Ñ œ !ß & ß ! Ÿ > Ÿ # Þ 2 œ !ß #

Solución: Tenemos que , es decir, Con la ecuación del método de0 Ð>ß CÑ œ C > " 0 œ 0 ÐB ß C Ñ œ C > "# #

3 3 3 3Þ

Euler:

, lo que nos da la siguienteC œ C !ß #ÐC > "Ñ œ "ß #C !ß #> !ß #3" 3 3 33 3# #

tabla

3 > C Ò!ß #Ó! ! !ß &

" !ß # !ß )# !ß % "ß "&#

$ !ß ' "ß &&!%% !ß ) "ß *))%)& "ß ! #ß %&)"('

' "ß # #ß *%*)""#( "ß % $ß % &"(($%%

) "ß' $ß* &!"#)"#)

* "ß) %ß%#)"&$(&$'"! #ß !

3 3

%ß )'&()%&!%$

Ejercicio (Þ% À C œ >/ #CDado el p.v.i. : w $>

CÐ!Ñ œ ! ß ! Ÿ > Ÿ "

a) Aplique el método de Euler para aproximar la solución del p.v.i. Use 2 œ !ß &b) Compare los resultados con la solucción exacta.

Solución:a) Dado que entonces0 Ð>ß C Ñ œ >/ #C ß 0 œ > / #C ß$> $>

3 3 33

C œ C 20 œ C 2Ð> / #C Ñ3" 3 3 3 3 3$>3

Para 3 œ ! À C œ !ß &Ð!Ñ/ œ !"$Ð!Ñ

Para 3 œ " À C œ !ß&Ð!ß&/ #Ð!ÑÑ œ "ß"#!%###'(&#$Ð!ß&Ñ

luego, tabulando obtenemos

3 > C Ò!ß &Ó

! ! !" !ß & !

# "ß! "ß"#!%###'(&

3 3





b) A continuación se da la solución real al problema del valor inicial de este ejercicio:

CÐ>Ñ œ >/ / /" " "& #& #&

$> $> #>

Para 3 œ ! À CÐ> Ñ œ > / / / œ !! !" " "& #& #&

$> $> #>! ! !

Para 3 œ " À CÐ> Ñ œ > / / /" "" " "& #& #&

$> $> #>" " "

œ Ð!ß &Ñ/ / / œ !ß #)$'"'&#")'(" " "& #& #&

$Ð!ß&Ñ $Ð!ß&Ñ #Ð!ß&Ñ

Para 3 œ # À CÐ> Ñ œ > / / /# #" " "& #& #&

$> $> #># # #

œ Ð"ß !Ñ/ / / œ $ß #"*!**$"*!%" " "& #& #&

$ß! $ß! #ß!

Tabulando ambos resultados y calculando el error global nos queda:

3 > C Ò!ß &Ó CÐ> Ñ I Ò!ß "Ó

" !ß & ! !ß #)$'"'&#")' !ß #)$'"'&#")'# "ß! "ß"#!%###'(&) $ß#"*!**$"*!% #ß!*)'((!&"%'

3 3 3 3

Ejercicio (Þ& À Para el p.v.i. C œ " Ð> C Ñw #

CÐ#Ñ œ " ß # Ÿ > Ÿ $ 2 œ !ß &

a) Aplique el método de Euler para aproximar las soluciones.b) Compare la solución real con la solución por el método de Euler.

Solución:a) Sabemos que la ecuación del método de Euler es:

C œ C !ß & " Ð> C Ñ3" 3 3 3#a b

Para 3 œ ! À C œ #"

Para 3 œ " À C œ #ß '#&#

Resumen:3 > C! # !" #ß & #

# $ß ! #ß '#&

3 3

b) A continuación se da la solución real al p.v.i. :

C Ð>Ñ œ > Ê CÐ> Ñ œ > " "

" > " >3 3

3

Tabulando los resultados tenemos:3 > C Ò!ß &Ó CÐ> Ñ I Ò!ß "Ó! # ! " "

" #ß & # "ß )$$ !ß "'(# $ß ! #ß '#& #ß & !ß "#&

3 3 3 3

Ejercicio (Þ' À 2 œ !ß #&Usando aplique el método de Euler mejorado y Euler-Cauchy para aproximar lasolución del siguiente p.v.i.: C œ "

C

>w

C Ð"Ñ œ # ß " Ÿ > Ÿ #

Resumen: 0 1 21 1 25 2 75ß ß2 1 50 3 55ß ß3 1 75 4 3916667ß ß4 2 5 2690476ß





La solución real al problema del valor inicial de este ejercicio: CÐ>Ñ œ >68> #>

Compare la solución real con la solución por el método de Euler:

Comparación:i > C CÐ> Ñ IÐ> Ñ

3 3 3 3

1 1 25 2 75 2 7789294 0 0289294ß ß ß ß2 1 50 3 55 3 6081977 0 0581977ß ß ß ß3 1 75 4 3916667 4 4793276 0 0876609ß ß ß ß4 2 00 5 2690476 5 3862944 0 1172468ß ß ß ß

Ejercicio (Þ( À Aplique el método de Euler mejorado y Euler-Cauchy para aproximar la solución de la siguienteecuación diferencial para cada uno de ellos use y :Ð 2 œ !ß " !ß !&Ñ

C œ BCw #

CÐ#Ñ œ " ß B − Ò#ß $Ó

Solución:

Euler Mejorado: De acuerdo a la expresión a utilizar en el método de Euler mejorado corresponde a:Ð(Þ(Ñ

, donde eC œ C 2 B C B 2 B œ # C œ "2

#3" 3 3 3 3 ! !

2#

#3

#Œ ˆ ‰

Luego, resumiendo en una tabla para y obtenemos2 œ !ß " 2 œ !ß !&

2 œ !ß" À3 B C Ò!ß "Ó I Ò!ß "Ó CÐB Ñ

! #ß ! "ß !!!! !ß !!!! "ß !!!!" #ß" !ß)$$*&! !ß!!%!(% !ß )#*)('

# #ß# !ß(!*%'% !ß!!&#$) !ß (!%##&$ #ß$ !ß'"$"** !ß!!&#*' !ß '!(*

3 3 3 3¸ ¸

!$

% #ß% !ß&$')&* !ß!!%*%% !ß &$"*"&

& #ß& !ß%(&!&" !ß!!%%'$ !ß %(!&))' #ß' !ß%#%"$' !ß!!$*'( !ß %#!"')

( #ß( !ß$)"&(' !ß!!$&!& !ß $()!(#) #ß) !ß$%&&&& !ß!!$!)* !ß $%#%''

* #ß* !ß$"%($( !ß!!#(#% !ß $"#!"#"! $ß! !ß#))"#" !ß!!#%!' !ß #)&("%

2 œ !ß!& À3 B C Ò!ß !&Ó I Ò!ß !&Ó

! #ß ! "ß !!!! !ß !!!!

" #ß" !ß) $!(&) !ß! !!))$# #ß# !ß( !&$'" !ß! !""$'$ #ß$ !ß' !*!&$ !ß! !""&"

% #ß% !ß& $#**# !ß! !"!((& #ß & !ß % ("&'

3 3 3¸ ¸

$ !ß!!!*(%

' #ß' !ß% #"!$( !ß! !!)'*( #ß( !ß$ ())%" !ß! !!('*) #ß) !ß$ %$"%& !ß! !!')!

* #ß* !ß$ "#'"$ !ß! !!'!!"! $ß! !ß#)'#%' !ß!!!&$#

Euler-Cauchy o Heun: TAREA!





Ejercicio (Þ) À C œ -9=#> =/8$>Sea el p.v.i siguiente: w

( en radianes) ConsiderandoCÐ!Ñ œ " ß ! Ÿ > Ÿ " > Þ

2 œ !ß#& obtenga la solución aproximada del p.v.i usando:

a) Taylor

b) Euler c) Euler mejoradod) Euler-Cauchy

Solución:a) Tarea!

b) La tabla siguiente resume el problema al aplicar Euler

3 > C Ò!ß #&Ó CÐ> Ñ I Ò!ß #&Ó! ! " " !" !ß #& "ß #& "ß $#*"%*) !ß !(*"%*)

# !ß&! "ß'$*)!&$ "ß($!%)*) !ß!*!')%&$ !ß(& #ß!#%#&%' #ß!%"%("* !ß!"(#"($

% "ß !! #ß #

3 3 3 3

$'%&(# #ß""(*(*& !ß"")%(((

c) y d) Tarea!

Ejercicio (Þ* À Implemente en algún lenguaje computacional el método de Euler y aplíquelo al p.v.i.:

C œ C&C

> "w

usando y considerando que la soluciónCÐ!Ñ œ " ß ! Ÿ > Ÿ % 2 œ !ß #

exacta es CÐ>Ñ œ Ð> "Ñ / Þ& >

Solución: La implementación en MATLAB del método de Euler es relativamente simple. Hacemos estomediante una subrutina llamada feuler que recibe en la secuencia de llamada el nombre de la subrutina quecalcula la función , y los datos e . Esta subrutina devuelve dos vectores con las y las aproximadas.0 > C > = C =! !

w w

Veamos:

function [tvals,yvals]=feuler( , , )0 > C! !tvals zeros( , );œ " 3 "yvals zeros( , );œ " 3 "index [0:1: ];œ 3tvals index;œ > 2‡!

yvals( ) ;" œ C!

for 5 œ # À 3 "yvals( ) yvals( ) feval( ,tvals( ),yvals( ));3 œ 5 " 2‡ 0 5 " 5 "end

Usamos ahora esta subrutina en el p.v.i. propuesto y observamos que las aproximaciones numéricas nocoinciden con la solución exacta y que el error aumenta según aumenta la . Esto es lo usual y no contradice el>estimado del error. Para controlar el error lo primero que se hace es disminuir la . Para este ejercicio mostramos2los resultados de disminuir sucesivamente para la aproximación de a las cifras mostradas.2 CÐ%Ñ œ &(ß #$'%Obtuvimos lo siguiente:

3 C I Ò!ß #Ó

#! %#ß% (#$ "%ß( '%!%! %)ß$ %%& )ß) *")'

)! &#ß# )%# %ß* &#"&"'! &%ß'"!) #ß'#&&'$#! &&ß))#( "ß$&$'&

'%! &'ß &%)) !ß')(&#("#)! &'ß ))** !ß$%'&!

3 3

$

#&'! &(ß !'#% !ß"($*%&





Vemos aquí que definitivamente la aproximación mejora según disminuye pero la convergencia es2ß bastante lenta. De hecho la aproximación numérica tiene apenas un error relativo de para , es$ † "! 3 œ #&'!$

decir, 2 œ % † "! Þ%

Obserbación: Este ejercicio muestra que aunque el método de Euler es convergente según tiende a cero, la2convergencia del método puede ser muy lenta, requiriendo un excesivamente pequeño para un error 2

satisfactorio en las aproximaciones. Al usar un excesivamente pequeño en los cálculos podemos tener 2acumulación de errores debido a la aritmética finita.

Ejercicio (Þ"! À C œ &!CConsidere el p.v.i. w

CÐ"Ñ œ ! ß " Ÿ > Ÿ "!

cuya solución exacta es . Resuelva el p.v.i:CÐ>Ñ œ !

a) usando algún método que dé una buena aproximación (use 2 œ !ß!&ÑÞ b) con la condición inicial cambiada a , usando con el mismo método que usó en a).CÐ"Ñ œ "! 2 œ !ß !&%

Solución: La resolución queda de TAREA.

Ejercicio (Þ"" À Utilice Runge-Kutta de cuarto orden para resolver el p.v.i.

C œ BCw #

usando yCÐ#Ñ œ " ß # Ÿ B Ÿ $ 2 œ !ß " 2 œ !ß !&

Solución: De las expresiones serían:Ð(Þ"!Ñ

5 œ B C" 3#3

5 œ B C 52 2

# ## 3 3 "

#Œ Œ 5 œ B C 5

2 2

# #$ 3 3 #

#Œ Œ 5 œ ÐB 2ÑÐC 25 Ñ% 3 3 $

#

Como e obtenemos los resultados siguientesB œ # C œ "! !

2 œ !ß" À 3 B C Ò!ß "Ó I Ò!ß "Ó CÐB Ñ

! #ß ! " ß !!!! !ß !!!!!! "ß !!!!" #ß" !ß)#*))& !ß!!!!"! !ß)#*)('# #ß# !ß(!%#$( !ß!!!!"" !ß(!%##&

$ #ß $ !ß '!(*"% !ß !

3 3 3 3¸ ¸00

!!!"" !ß'!(*!$% #ß% !ß&$"*#% !ß!!!!!* !ß&$"*"&

& #ß& !ß%(!&*' !ß!!!!!) !ß%(!&))' #ß' !ß%#!"(& !ß!!!!!( !ß%#!"')( #ß( !ß$()!() !ß!!!!!' !ß$()!(#

) #ß) !ß$%#%(" !ß!!!!!& !ß$%#%''* #ß* !ß$"#!"( !ß!!!!!% !ß$"#!"#

"! $ß! !ß#)&(") !ß!!!!!% !ß#)&("%

2 œ !ß!& À 3 B C Ò!ß !&Ó I Ò!ß !&Ó

! #ß! "ß! !!!!! !ß! !!!!!" #ß" !ß) #*)(' !ß! !!!!"# #ß# !ß( !%##' !ß! !!!!"

$ #ß$ !ß' !(*!$ !ß! !!!!!% #ß% !ß& $"*"& !ß! !!!!

3 3 3¸ ¸

!& #ß& !ß% (!&)) !ß! !!!!!

' #ß' !ß% #!"') !ß! !!!!!( #ß( !ß$ ((!(# !ß! !!!!!

) #ß) !ß$ %#%'' !ß! !!!!!* #ß* !ß$ "#!"$ !ß! !!!!!

"! $ß! !ß#)&("% !ß!!!!!!





Ejercicio 2(Þ" À La ecuación diferencial que modela el proceso de desintegración de un material radioactívo estadada por: B œ 5Bw

, donde es una constanteBÐ!Ñ œ B 5!

característica del isótopo radiactivo. Para y resuelva este p.v.i. en el intervalo [ ] conB œ &! 5 œ !ß !& !ß "!!

2 œ !ß " 2 œ !ß !"ya) por Euler mejorado

b) por Runge-Kuttac) compare sus resultados con la solución exacta que es .BÐ>Ñ œ &!/!ß!&>

Solución: Queda de TAREA!

Ejercicio (Þ"$ À El comportamiento de un circuito eléctrico cambia significativamente dependiendo de losvalores de los componentes empleados; así, en el circuito que se muestra a continuación , la inductanciaP œ &!7L V œ #! I œ "!Z , una resistencia ohms y una fuente de voltaje de . Entonces, si se cierra elinterruptor en un la corriente satisface la ecuación diferencial> œ ! MÐ>Ñ

P VMÐ>Ñ œ I .MÐ>Ñ.>

MÐ!Ñ œ !

Se necesita encontrar el valor de la corriente para (en segundos) . mediante el método de! > !ß !#RK con .4 2 œ !ß !!!"

Solución: Queda de TAREA!

Indicación: Implemente un programa que resuelva este problema y considere el hecho de que el p.v.i. puede ser escrito de la forma:

donde.M V I

.> P Pœ 0 Ð>ß MÑ 0 Ð>ß MÑ œ M

Ejercicio (Þ"% À CÐBÑDetermine por RK las aproximaciones para la función que sea solución del p.v.i.%

siguiente: C œ #BCw

Determine , usando y compárelo con laCÐ"Ñ œ " CÐ"ß &Ñ 2 œ !ß "

solución real aproximada CÐB Ñ œ $ß %*!$%#&

Solución: La tabla siguiente resume los cálculos3 B 5 5 5 5 C CÐB Ñ I Ò!ß "Ó

! "ß ! !ß # !ß #$" !ß #$%#' !ß #("&% "ß !!!!! "ß !!!!! !" "ß" !ß#("%" !ß$"%*' !ß$"**( !ß$(#)( "ß#$$'( "ß#$$') !ß!!!!"

# "ß # !ß $(#

3 " # $ % 3 3 3

'& !ß%$%(& !ß%%#&# !ß&")(' "ß&&#(! "ß&&#(" !ß!!!!"$ "ß$ !ß&")$' !ß'!)#( !ß'#!%" !ß($"*& "ß**$'* "ß**$(# !ß!!!!$% "ß% !ß($"#' !ß)'$%" !ß))#&( "ß!%)#' #ß'""'$ #ß'""'$ !ß!!!!!

& "ß& "ß!%(!' "ß#%%#' "ß#(%)$ "ß&#%)" $ß%*!#" $ß%*!$% !ß !!!"$




Ejercicio (Þ"& À C œ %/ !ß &CSea el p.v.i.: w !ß)B

;CÐ!Ñ œ # ß B − Ò! !ß &ÓÞ

Para resuelva el problema2 œ !ß &

a) por Heun

b) por medio de RK 4c) Grafique los errores grobales respectivos versus los respectivos B =Þw

Solución: TAREA!

Actividad Personal

A continuación se proponen ejercicios tomados en certámenes anteriores y ejercicios propuestos para

ser resueltos a modo de autoevaluación.

"Þ Ð2 œ !ß &ÑResuelva el p.v.i. por Taylor

C œ CB "ß # Cw #

;CÐ!Ñ œ " ß B − Ò! #ÓÞ

#Þ Ð2 œ !ß "ÑPor Euler resuelva

C œ Ð" BÑ Cw È ;CÐ!Ñ œ " ß B − Ò! "ÓÞ

$Þ Ð2 œ !ß "ÑDetermine la solución del p.v.i , por Euler Mejorado

C œ C=/8 Ð>Ñw #

;CÐ!Ñ œ " ß B − Ò! $ÓÞ

%Þ Ð2 œ !ß &ÑUse Euler-Cauchy para determinar la solución del p.v.i.

C œ C

" Bw

CÐ!Ñ œ # ß B − Ò"ß &à #ß &Ó

&Þ Ð2 œ !ß "ÑPara el p.v.i. siguiente resuelvalo por RK %

C œ B Cw #

;CÐ "Ñ œ " ß B − Ò " "Ó

4016 cálculo numérico

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