cálculo numérico - moodle.ufsc.br
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Cálculo Numérico
Prof: Reinaldo Haas
Integração Numérica
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Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.
Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular
Forma de obtenção de uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo [a, b] Métodos Numéricos.
b
a
dxxf )(
Integração Numérica
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Idéia básica da integração
numérica substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].
Integração numérica de
uma função f(x) num intervalo [a,b] cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio – pn(x).
Integração Numérica
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As fórmulas terão a expressão abaixo:
Fórmulas de integração (fórmulas de quadratura):
x0 , ... , xn - pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b] (nós de integração).
A0 , ... , An - coeficientes a determinar, independentes da função f (x) (pesos).
,...,n,[a,b],ix
xfAxfAxfAdxxf
i
nn
b
a
10
1100
),(...)()()(
n
iiin
xfAfI0
)()(
Integração Numérica
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O uso desta técnica decorre do fato de:
por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio;
conhecer-se o resultado analítico do integral, mas, seu cálculo é somente aproximado;
a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.
Integração Numérica
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Métodos de integração numérica mais utilizados
Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios, x0=a e xn=b.
Regra 1/3 de Simpson
Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b
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Regra dos Trapézios Simples - consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f(x), ou seja, n=1.
Este polinômio terá a forma y=a0 + a1x e trata-se da equação que une dois pontos: a=x0 e b=x1.
Regra dos Trapézios
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Regra dos Trapézios Simples
Área do trapézio: A=h . (T+t) /2
h - altura do trapézio
t - base menor
T - base maior
De acordo com a figura:
h= b – a = x1 – x0
t = f(b) = f(x1)
T = f(a) = f(x0)
Logo,
1
0
102
x
x
xfxfh
dxxf )()()(
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Intervalo [a, b] relativamente pequeno
aproximação do valor do integral é aceitável.
Intervalo [a, b] de grande amplitude
aproximação desfasada.
pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear.
A amplitude dos sub-intervalos será h=(b-a)/n .
A integral no intervalo é dado pela soma dos integrais definidos pelos sub-intervalos.
Regra dos trapézios simples aplicada aos sub-intervalos.
Uso da Regra dos Trapézios Composta (Repetida): soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo.
Regra dos Trapézios Simples
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Intervalo [a, b] de grande amplitude.
Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo.
Regra dos Trapézios Composta
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Fórmula:
Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim, esta
fórmula pode ser simplificada em:
)()(...
)()()()()(
NN
x
x
xfxfh
xfxfh
xfxfh
dxxfm
1
2110
2
220
Nx
x
NNxfxfxfxfxf
hdxxf
0
12102
2)()(...)()()()(
Regra dos Trapézios Composta
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Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos (x0=0.0 e x1=4.0)
I=y0+y1=2x(1.00000+0.24254) = 2.48508
Regra dos Trapézios Composta - 3 pontos (x0=0.0,x1 =2.0,x2 =4.0)
I=y0+2y1+y2=1x(1.00000+2x0.44722+ 0.24254) = 2.1369
Regra dos Trapézios Composta - 9 pontos I=(0.5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) =2.0936
x y=(1+x²)-1/2
0.0 1.00000
0.5 0.89445
1.0 0.70711
1.5 0.55475
2.0 0.44722
2.5 0.37138
3.0 0.31623
3.5 0.27473
4.0 0.24254 A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2.0947.
Exemplo: Estimar o valor de
Regra dos Trapézios
4
0
2121 dxx /)(
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Erro da Regra dos Trapézios simples
E(f)=I(f)-T(f)=I(f)-I(p1)=I(f-p1)
T(f) - valor da integral obtida pela regra dos trapézios.
I(f) - valor da integral obtida pela integração de f(x).
Regra dos Trapézios
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Erro da Regra dos Trapézios simples
E( f ) = I ( f ) - T ( f ) = I ( f ) - I ( p1 ) = I ( f - p1 )
Da fórmula do erro de interpolação temos
f (x) - p1(x) = f [ a, b, x ] ( x - a ) ( x - b )
Como ( x - a ) ( x - b ) não muda de sinal no intervalo [a, b] pode-se aplicar o Teorema do Valor Médio para Integrais e obtém-se:
b[ ]a,ξ certo um para
))((,,,,
b
a
b
a
dxbxaxbafdxbxaxxbaf
Regra dos Trapézios
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Erro da Regra dos Trapézios Simples
Supondo que f é C2[a, b], obtém-se a fórmula do erro:
Erro da Regra dos Trapézios Composta
Aplicando o Teorema do Valor Médio à média das 2as derivadas, obtém-se:
b[ ]a, certo um para ),´´()´´()(
)(
fh
fab
fE1212
33
N
iii
N
iN
fN
Nhf
hfE
1
3
1
3 1
1212)´´()´´()(
1212
3
1
3 )´´()´´()( i
i
N
iN
fNhf
hfE
Regra dos Trapézios
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Não é possível calcular exatamente ,
visto que não se conhece o ponto . Quando for possível, calcula-se um limitante superior para o erro.
Tem-se:
Sendo f´(x) contínua em [a, b] então existe
Assim
)´´(i
f
12
3 )´´()( i
N
fNhfE
)´´(],[
xfmáxMbax
2
12
2
3MNhE
TR
Regra dos Trapézios
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Exemplo: Seja ,
calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.
Regra dos Trapézios
1
0
dxeI x
8591411
2
1
101
1
0
0
1
0
,
dxeI
eedxeI
abh
x
x 1
0
102
x
x
xfxfh
dxxf )()()(
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Estimativa do erro cometido:
Regra dos Trapézios
226523012
1
1012
1
10
3
,
),( ,)(
][máx
:Portanto
x
,xTR
TR
eE
eE
x
,xee
][máx
10
1
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Exemplo: Seja ,
calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido.
Regra dos Trapézios
1
0
dxeI x
7197131
22222
10
1
0
908020100
1
0
,
..., ,,,,
0,1h com lossubinterva 10 em ossubdiv idid [0,1]
dxeI
eeeeeedxeI
x
x
Nx
x
NNxfxfxfxfxf
hdxxf
0
12102
2)()(...)()()()(
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Estimativa do erro cometido:
Regra dos Trapézios
00227012
010
1012
1010
10
3
,,
),( ,),(
][máx
:Portanto
x
,xTR
TR
eE
eE
x
,xee
][máx
10
1