4.2.alıştırmalar türevle ilgili temel teoremler
TRANSCRIPT
196
4.2.2.Alıştırmalar1) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a)43)( xexf = b) 32sinh)( xxf = c) 23 )(cosh)( tghxxxxf +=
d) 3arcsin)( xxf =
2).5sin xey = ise y’=?
Çözüm.5
5.
45
555
5)
5sin sin).(cos5sin).)'.(cos(sin)'(sin(' ' xexxxexxxexey x === =
dir.
3) xxy = fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm. xxy lnln = den xxy ln.ln = bulunur. Bu eşitliğin her iki yanının x e göre türevini
alırsak, 1)(ln1.).(ln1)'(ln)'.(ln'+=+=+= x
xxxxxxx
yy
olduğundan dolayı
)ln1.(]1).[(ln' xxxyy x +=+= bulunur ki buradan da )ln1.(' xxy x += olarak bulunur.
4) xxy sin= fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm.
xxy sinlnln = den xxy ln).(sinln = bulunur. Bu eşitliğin her iki yanının x e göre türevini
alırsak,x
xxxx
xxxxxxxyy sin)).(ln(cos1).(sin)).(ln(cos)').(ln(sin))'.(ln(sin'
+=+=+=
olduğundan dolayı ]sin)).(ln.[(cos]sin)).(ln.[(cos' sinx
xxxxx
xxxyy x +=+= bulunur ki
buradan da ]sin)).(ln.[(cos' sinx
xxxxy x += olarak bulunur.
5) tx 2cos3= , ty 2sin4= şeklinde parametrik denklemiyle verilen fonksiyonun türevini
bulunuz.
Çözüm.
34
)sin)((cos2.3cos).(sin2.4' -=-
===tttt
dtdxdtdy
dxdyy
bulunur.
6) 03574 345 =--+++ yxxyyx kapalı fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm. 0'57'.3.44'45 2334 =-++++ yyyxyyyx eşitliğinden y’ yi hesaplarsak,
745')5124( 3423 ---=-+ yxyxyy Þ5124
745' 23
34
-+++
-=xyyyxy bulunur.
Örnek 2. 01483 22 =-+-+ yxxyx kapalı fonksiyonunun türevini bulunuz.
MatematikNet.Com
197
Çözüm. 08'4)'2(32 2 =-+++ yxyyyx Þ46328'
2
+--
=xy
yxy bulunur.
7) 342 23 --+= xxxy eğrisinin N(1,-4) noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini
bulunuz.
Çözüm. 443)('' 2 -+== xxxfy olduğundan 341.41.3)1(' 2 =-+=f dir dolayısıyla 3=te
olacaktır. O halde teğetin denklemi
)( oto xxeyy -=- Þ )1.(3)4( -=-- xy Þ 73 -= xy dir. Normalin denklemi ise
)( ono xxeyy -=- Þ )1.(31)4( --=-- xy Þ
311
31
--= xy dir.
8) Bir hareketlinin aldığı yol zamanın fonksiyonu olarak 282)( ttts += denklemi ile verildiğine göre
bu hareketlinin ikinci saniye sonundaki hızını bulunuz.
Çözüm. tts 162)(' += olduğundan v(t)=2+16t dir ve dolayısıyla v(2)=s’(2)=2+16.2=34 m/sn olur.
İvme ise a=s’’(2)=16 dır.
22 11
cot111
xyghdydxdy
dx-
=-
==
MatematikNet.Com