4320293 otica e f sica moderna - uspfma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320293_2011/4320293.pdfcap tulo 1...

4320293Otica e Fısica Moderna

Marcos Lima

Referencias

• Serway & Jewett, Principles of Physics, 4th Edition, Thomson, 2006

• Young & Freedman, University Physics, 12th Edition, Pearson, 2004

• Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9th Edition, John Wiley & Sons, 2011

• Nussenzveig, Curso de Fısica Basica Vol 4, Edgard Blucher, 1997

• Feynman, Leighton & Sands, The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, 1964

• Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition, Prentice Hall, 1999

• Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill Science, 1965

• Eisberg & Resnick, Quantum Physics, 2nd Edition, Wiley, 1985

• Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 1995

• Shankar, Principles of Quantum Mechanics, 2nd Edition, Springer, 1994

3

Conteudo

1 Ondas Eletromagneticas 91.1 Equacoes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Equacao de Onda Mecanica: Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Equacao de Ondas Eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Solucao no Vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Equacoes de Maxwell em Meios Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Meios Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Reflexao e Refracao: Incidencia Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Reflexao, Refracao e Polarizacao 192.1 Leis da Reflexao e da Refracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Refletividade e Transmissividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Reflexao Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4 Angulo de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.5 Dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Princıpio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Reflexao e Refracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Princıpio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.1 Reflexao e Refracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.1 Ondas Planas Monocromaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.2 Polarizacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.3 Polarizacao circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.4 Polarizacao elıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.5 Luz nao-polarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Imagens por Espelhos e Lentes 333.1 Objetos e Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Espelho Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Espelho Esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Espelho Esferico Concavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2 Espelho Esferico Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.3 Construindo diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Refracao em Superficies Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5

6 CONTEUDO

3.4.1 Refracao em Superficies Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.2 Refracao em Superficies: Convencoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Lentes Delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.1 Derivacao 1: Duas superfıcies refratoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.2 Derivacao 2: Princıpio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Interferencia e Difracao 454.1 Interferencia por fenda dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Mudanca de Fase na Reflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Interferencia em Filmes Finos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Mecanica Estatıstica 555.1 Estados de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Temperatura, Pressao, Trabalho e Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Equilıbrio Termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4 Distribuicao de Boltzmann e Funcao de Particao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5 Medias e Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6 Gas Ideal e Limite Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.7 Teorema da Equiparticao de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.8 Distribuicao de Velocidades de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.8.1 Valores medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.9 Radiacao Termica Classica e Espectro de Corpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Mecanica Quantica 736.1 Modelo de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.1 Lei de Deslocamento de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.1.2 Lei de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2 Efeito Fotoeletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3 Atomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3.1 Orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3.2 Energias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.4 Efeito Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.5 Ondas de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.5.1 Atomo de Bohr Revisitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.6 Interferencia de Eletrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.6.1 Experimento de Davisson-Germer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.6.2 Fenda Dupla com Eletrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.7 Princıpio de Incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.7.1 Difracao de Eletrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.7.2 Incerteza Posicao-Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.7.3 Incerteza Energia-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.7.4 Funcao de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

CONTEUDO 7

7 A Equacao de Schrodinger 957.1 Funcoes de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2 Operadores Posicao, Momento e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2.1 Valores Medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.3 Equacao de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.3.1 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.4 Partıcula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.4.1 Pacote de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.5 Partıcula na Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.6 Barreira de Potencial e Tunelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.7 Oscilador Harmonico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.7.1 Estado Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.7.2 Funcao de onda dos momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.7.3 Relacao com o caso classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8 Fısica Atomica 1118.1 Equacao de Schrodinger em 3 Dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2 Potencial Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Solucoes das Equacoes Angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.4 Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.5 Solucao da Equacao Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.6 Solucao final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.6.1 Estado Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.7 Series Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9 Estatıstica Quantica 1219.1 Partıculas Identicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.1.1 Estatıstica de Spin: Bosons e Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.1.2 Princıpio de Exclusao de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.1.3 Spin e Tabela Periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.4 Partıculas Classicas e Quanticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.2 Estatıstica Quantica: Ensemble Grand-Canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.2.1 Distribuicao de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2.2 Distribuicao de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.2.3 Distribuicao de Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.2.4 Limite Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.2.5 Comparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.3 Estatıstica Quantica: Ensemble Micro-Canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.3.1 Configuracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.3.2 Distribuicao de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.3.3 Distribuicao Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.3.4 Distribuicao de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.3.5 Distribuicao de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.4 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.4.1 Gas de Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.4.2 Gas de Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8 CONTEUDO

Capıtulo 1

Ondas Eletromagneticas

1.1 Equacoes de Maxwell

As equacoes de Maxwell descrevem a producao e propagacao de campos eletromagneticos. Naforma diferencial sao dadas por

∇ · ~E =ρ

ε0(Lei de Gauss) (1.1)

∇ · ~B = 0 (Inexistencia de Monopolos Magneticos) (1.2)

∇× ~E = −∂~B

∂t(Lei de inducao de Faraday) (1.3)

∇× ~B = µ0~j + µ0ε0

∂ ~E

∂t(Lei de Ampere) (1.4)

onde ρ e a densidade de carga eletrica e ~j e a densidade de corrente eletrica.

1.2 Equacao de Onda Mecanica: Corda

Figura 1.1: Forca de tensao sobre um ele-mento de uma corda oscilante. Na horizon-tal, a forca e nula, pois a corda nao se movenessa direcao. Na vertical, a forca e dadapela segunda Lei de Newton, causando os-cilacao na corda. (Griffiths)

Considere um pulso de onda que se propaga em umacorda esticada com extremidades fixas. Podemos obtera equacao de ondas nesse caso usando a segunda Lei deNewton em um elemento da corda de comprimento ∆x,e altura vertical u(x, t), conforme a Fig.8.2.

Primeiramente, temos que a forca horizontal no ele-mento de corda e nula, ja que este nao se movimenta nestadirecao. Ja as forcas verticais se somam para acelerar acorda. Aplicando a segunda Lei de Newton, obtemos aequacao de movimento

∂2u

∂x2=

1v2

∂2u

∂t2(Equacao de Ondas na Corda) (1.5)

onde v e a velocidade da onda na direcao de propagacao,i.e. na direcao x.

9

10 CAPITULO 1. ONDAS ELETROMAGNETICAS

1.3 Equacao de Ondas Eletromagneticas

1.3.1 Solucao no Vacuo

• No vacuo, i.e. na ausencia de cargas (ρ = 0) e correntes (j = 0), as Eqs. de Maxwell ficam

~∇ · ~E = 0 (1.6)~∇ · ~B = 0 (1.7)

~∇× ~E = −∂~B

∂t(1.8)

~∇× ~B = µ0ε0∂ ~E

∂t(1.9)

• Temos entao

~∇× ~∇× ~E = ~∇(~∇ · ~E)−∇2 ~E

= −~∇× ∂ ~B

∂t= −∂(~∇× ~B)

∂t

= −µ0ε0∂2 ~E

∂t2

e portanto

∇2 ~E = µ0ε0∂2 ~E

∂t2, (1.10)

ou, definindo c = 1/√µ0ε0,

∇2 ~E − 1c2

∂2 ~E

∂t2= 0 (1.11)

• O mesmo procedimento nas equacoes para ~B leva a

∇2 ~B − 1c2

∂2 ~B

∂t2= 0 (1.12)

i.e., no vacuo os campos E e B se propagam satisfazendo a equacao de ondas classica em 3dimensoes com velocidade v = c.

• Inserindo valores numericos obtemos

c =1

√µ0ε0

= 2.998× 108m/s (1.13)

i.e. a velocidade de propagacao, que resulta de quantidades puramente eletromagneticas, eidentica a velocidade da luz no vacuo.

• A luz e onda eletromagnetica se propagando: unificacao do eletromagnetismo e da otica.

• Questao: c e a velocidade da luz com relacao a que referencial? A resposta a esta perguntalevou Einstein a desenvolver a Relatividade Especial e, com ela, revolucionar a fısica classicano inıcio do seculo XX.

1.3. EQUACAO DE ONDAS ELETROMAGNETICAS 11

• Note que a Eq. 1.11 e vetorial e, portanto, cada componente de ~E = (Ex, Ey, Ez) satisfazuma equacao de onda. Idem para ~B.

• Por exemplo, se Ex = Ex(z, t) e funcao apenas da coordenada z e do tempo t, mas nao de ye z, e Ey = Ez = 0, temos

∂2Ex∂z2

− 1c2

∂2Ex∂t2

= 0 (1.14)

Solucao

Pode-se verificar que

Ex(z, t) = F (z ± ct) , (1.15)

onde F e uma funcao qualquer, satisfaz a Eq. de onda unidimensional acima. Definindo δ± = z±ct,temos

∂Ex∂z

=∂Ex∂δ±

→ ∂2Ex∂z2

=∂2Ex∂δ2±

∂Ex∂t

= ±c∂Ex∂δ±

→ ∂2Ex∂t2

= c2∂2Ex∂δ2±

que, portanto, satisfaz a Eq. de ondas. Para encontrar ~B = ~B(z, t), consideramos as Eqs. deMaxwell e concluimos que, a parte de solucoes constantes, temos

Bx = Bz = 0

By(z, t) =Ex(z, t)

c(1.16)

ou seja

~E(z, t) = F (z − ct)x (1.17)

~B(z, t) =F (z − ct)

cy =

1cz × ~E =

~c

c2× ~E (1.18)

Figura 1.2: Propagacao de ondas eletromagneticas. Os campos E e B sao perpendiculares entre si e a direcaode propagacao. (Serway)

Os campos se propagam ortogonais entre si e com a direcao de propagacao: ~E × ~B ∝ ~cA solucao F (z − ct) representa uma onda ”progressiva”, i.e. se propagando ”para frente”,

enquanto F (z + ct) representa uma onda ”regressiva”.


Ondas Planas

As solucoes correspondendes a ondas planas monocromaticas sao dadas por uma forma especificada funcao F dada em termos de senos/cossenos:

Ex(z, t) = A cos[k(z ± ct)] = A cos(kz ± ωt) , (1.19)

onde ω = kc. Definindo k = 2π/λ e ω = 2π/T = 2πν, onde λ e o comprimento de onda, T operıodo e ν a frequencia da onda, temos c = λ/T = ω/k. Luzes de diferentes cores correspondema onda de diferentes frequencias, formando um espectro eletromagnetico ( Fig 1.3 ).

Figura 1.3: Espectro Eletromagnetico. (Serway)

1.4. EQUACOES DE MAXWELL EM MEIOS MATERIAIS 13

Notacao Complexa

Frequentemente usa-se a notacao complexa para representar ondas planas:

Ex(z, t) = Re(Ex,0 e

i(kz±ωt))

(1.20)

onde

e±ix = cosx± i sinx . (1.21)

Tomando a parte real (imaginaria) da exponencial complexa, obtem-se novamente o cosseno(seno). Esta notacao facilita alguns calculos de e.g. interferencia, em que se trabalha com aexponencial e, ao final, toma-se a parte real.

1.4 Equacoes de Maxwell em Meios Materiais

A polarizacao ~P e definida como o momento de dipolo eletrico por unidade de volume: ~P = ~p/∆ve se relaciona com as cargas de polarizacao QP via

QP = −∮

~P · d ~A

→∫ρP dV = −

∫∇ · ~P dV (1.22)

onde do lado esquerdo usou-se a definicao de densidade de carga e do lado direito usou-se o teoremade Gauss (do divergente). Portanto

ρP = −∇ · ~P (1.23)

Se as cargas de polarizacao estiverem em movimento, terao associada uma densidade de correntede polarizacao ~jP . Da Eq. 1.23, temos

∂ρP∂t

= −∇ · ∂~P

∂t(1.24)

que comparada aa Eq. da continuidade fornece jP :

~jP =∂ ~P

∂t(1.25)

Similarmente, a magnetizacao ~M e definida como o momento de dipolo magnetico por unidadede volume: ~M = ~µ/∆v e se relaciona com a corrente de magnetizacao iM via

iM =∮

~M · d~s

→∫~jM · d ~A =

∫∇× ~M · d ~A (1.26)

onde do lado esquerdo usou-se a definicao de densidade de corrente e do lado direito usou-se oteorema de Stokes. Portanto

~jM = ∇× ~M (1.27)


Com essas cargas (livres e de polarizacao) e correntes (livres, de polarizacao e de magnetizacao),podemos obter as Eqs. de Maxwell em meios materiais. A Lei de Gauss fica

∇ · ~E =ρtotε0

=1ε0

(ρl + ρP ) =ρlε0− 1ε0∇ · ~P

→ ∇ · (ε0 ~E + ~P ) = ρl (1.28)

ou, definindo o vetor deslocamento:

D = ε0 ~E + ~P (1.29)

temos

∇ · ~D = ρl (1.30)

cuja versao integral (via Teorema de Gauss) e∮S

~D · d~S = Ql (1.31)

Por outro lado, a Lei de Maxwell-Ampere fica

∇× ~B = µ0~jtot + µ0ε0

∂ ~E

∂t

→ 1µ0∇× ~B = (~jl +~jM +~jP ) + ε0

∂ ~E

∂t

= ~jl +∇× ~M +∂ ~P

∂t+ ε0

∂ ~E

∂t

→ ∇×

(~B

µ0− ~M

)= jl +

∂

∂t(ε0 ~E + ~P ) (1.32)

ou, definindo o vetor ~H:

~H =~B

µ0+ ~M (1.33)

temos

∇× ~H = ~jl +∂ ~D

∂t(1.34)

cuja versao integral (via Teorema de Stokes) e∮C

~H · d~l = il +d

dt

∮S

~D · d~S (1.35)

As Equacoes de Maxwell sem fonte obviamente permanecem identicas em meios materiais.

Como veremos, as equacoes sem fonte proverao condicoes de contorno contınuas, enquanto asequacoes com fontes derivadas acima proverao condicoes de contorno com descontinuidade dascomponentes do campo.

1.5. CONDICOES DE CONTORNO 15

1.5 Condicoes de Contorno

O que acontece com os campos eletromagneticos quando passamos de um meio material para outro?

Figura 1.4: Campos eletromagneticos separados pordois meios 1 e 2. Aplicamos a Lei de Gauss usandouma superfıcie em formato de caixa que atravessaambos os meios. Quando h→ 0, a superfıcie lateralse anula e o fluxo por ela nao contribui (Griffiths).

Considere dois meios 1 e 2 separados por umainterface, e uma superfıcie gaussiana que atra-vessa ambos os meios como na Fig. 1.4 . A su-perfıcie tem ”tampa”com area a, e altura h quefaremos tender a 0. Aplicando a Lei de Gauss:∮

S

~D · d~S = Ql

~D1 · ~a+ ~D2 · ~a = σla (h→ 0)

que da a condicao de contorno:

D1n −D2n = σl (1.36)

onde ”n”denota a componente normal do campoa interface. Fazendo o mesmo procedimento coma Lei de Gauss do magnetismo, obtemos:∮

S

~B · d~S = 0

→ B1n −B2n = 0 (1.37)

Considere agora um circuito de largura l e al-tura h que tambem cruza os dois meios (Fig. 1.4).Aplicando a Lei de Faraday ao circuito, temos∮

C

~E · d~l = − d

dt

∫SB · d~S

~E1 ·~l + ~E2 ·~l = 0 (h→ 0)

Figura 1.5: Aplicamos as Leis de Faraday e Ampere-Maxwell usando um circuito retangular que atra-vessa ambos os meios. Quando h → 0, duas coisasacontecem: i) a circulacao pela borda lateral do cir-cuito se anula. ii) Como a area total do circuito vaia zero, o fluxo por ela tambem se anula (Griffiths).

que da a condicao de contorno:

~E1t − ~E2t = 0 (1.38)

onde ”t”denota a componente tangente do campoa interface. Repetindo o procedimento com a Leide Ampere-Maxwell, obtemos:∮

C

~H · d~l = il +d

dt

∫SD · d~S

~H1 ·~l + ~H2 ·~l = il (h→ 0)

Definindo a densidade superficial de corrente por unidade de largura:

Kl =ill

=(

correntecomprimento

)→ il = ~Kl · (n×~l) = ( ~Kl × n) ·~l

temos

~H1t − ~H2t = ~Kl × n (1.39)


1.5.1 Meios Lineares

Vamos considerar meios lineares para os quais valem as relacoes

~P = ε0χe ~E e ~M = χM ~H (1.40)

e portanto

~D = ε ~E e ~H =~B

µ(1.41)

onde ε = ε0(1 + χe) e µ = µ0(1 + χM ). Neste caso, as 4 condicoes de contorno ficam

ε1 ~E1n − ε2 ~E2n = σl~E1t − ~E2t = 0~B1n − ~B2n = 0~B1t

µ1−~B2t

µ2= ~Kl × n

Ausencia de Cargas Livres

No caso em que nao ha cargas nem correntes livres na interface, i.e. σl = Kl = 0, temos finalmente

ε1 ~E1n − ε2 ~E2n = 0 (1.42)~E1t − ~E2t = 0 (1.43)~B1n − ~B2n = 0 (1.44)~B1t

µ1−~B2t

µ2= 0 (1.45)

Neste caso, as Equacoes de Maxwell ficam

∇ · ~E = 0 (1.46)∇ · ~B = 0 (1.47)

∇× ~E = −∂~B

∂t(1.48)

∇× ~B = µε∂ ~E

∂t(1.49)

e a equacao de ondas para e.g. ~E fica

∇2 ~E − 1v2

∂2 ~E

∂t2= 0, onde v =

1√µε

(no vacuo c =1

√µ0ε0

) (1.50)

Dada a velocidade de propagacao no meio v, podemos definir o ındice de refracao n:

n =c

v=√

εµ

ε0µ0. (1.51)

1.6. REFLEXAO E REFRACAO: INCIDENCIA NORMAL 17

As relacoes vistas no vacuo continuam validas trocando ε0 → ε, µ0 → µ e c→ v:

u =12

(εE2 +

B2

µ2

), (1.52)

B0 =E0

v(amplitudes de onda plana) (1.53)

~S =1µ~E × ~B (1.54)

I = 〈S〉 =12εvE2

0 (1.55)

1.6 Reflexao e Refracao: Incidencia Normal

Figura 1.6: Reflexao e Refracao de um raio de luzpara incidencia normal (Griffiths).

Como exemplo de aplicacao das condicoes decontorno em meios lineares e na ausencia de car-gas livres na interface dos meios, vamos conside-rar o caso de incidencia normal aa interface (planoxy com z = 0), i.e. a onda incidente no meio 1tem o velocidade ~v1 na direcao z perpendicular ainterface, como mostrado na Fig. 1.6.

Os campos incidente (meio 1) sao:

~Ei(z, t) = E0i ei(k1z−ωt) x (1.56)

~Bi(z, t) =E0i

v1ei(k1z−ωt) y (1.57)

que dao origem aos campos refletidos (meio 1):

~Er(z, t) = E0r ei(k1z−ωt) x (1.58)

~Br(z, t) =E0r

v1ei(k1z−ωt) y (1.59)

e aos campos refratados ou transmitidos (meio 2):

~Et(z, t) = E0t ei(k2z−ωt) x (1.60)

~Bt(z, t) =E0t

v2ei(k2z−ωt) y (1.61)

Neste caso, todos os campos sao pararelos a interface. Portanto usaremos as duas condicoes decontorno para campos paralelos na interface (z = 0):

~E1t = ~E2t (z = 0)~Ei(z, t) + ~Er(z, t) = ~Et(z, t) (z = 0)

(E0i e−iωt + E0r e

−iωt) x = E0t e−iωt x

→ E0i + E0r = E0t (1.62)


e

1µ1

~B1t =1µ2

~B2t (z = 0)

1µ1

(~Bi(z, t) + ~Br(z, t)

)=

1µ2

~Bt(z, t) (z = 0)

1µ1

(E0i

v1+E0r

v1

)=

1µ2

E0t

v2

→ E0i − E0r = βE0t onde β =µ1v1

µ2v2(1.63)

Somando as 2 equacoes acima, temos

2E0i = (1 + β)Eot → E0t =2

1 + βE0i (1.64)

e da primeira equacao

E0r = E0t − E0i =(

21 + β

− 1)E0i → E0r =

(1− β1 + β

)E0i (1.65)

A intensidade pode ser definida para cada componente do campo eletrico:

I(i,r) =12ε1v1E

20(i,r) (1.66)

It =12ε2v2E

20t (1.67)

e os coeficientes de reflexao R e transmissao T sao dados por:

R =IrIi

=(E0r

E0i

)2

→ R =(

1− β1 + β

)2

(1.68)

e

T =ItIi

=ε2v2

ε1v1

(E0t

E0i

)2

=ε2v2

ε1v1

(2

1 + β

)2

e como v21 = 1/(µ1ε1)→ ε1v1 = 1/(µ1v1), temos

ε2v2

ε1v1=µ1v1

µ2v2= β (1.69)

Portanto

→ T =4β

(1 + β)2(1.70)

Note que, por conservacao de energia do campo, temos

R+ T =(1− β)2 + 4β

(1 + β)2=

1− 2β + β2 + 4β(1 + β)2

=1 + 2β + β2

(1 + β)2=

(1 + β)2

(1 + β)2= 1 (1.71)

Capıtulo 2

Reflexao, Refracao e Polarizacao

2.1 Leis da Reflexao e da Refracao

Figura 2.1: Reflexao e Refracao de um raio de luzpara incidencia oblıqua. (Griffiths)

Vamos agora generalizar o resultado anterior,considerando raios de luz com incidencia fazendoum angulo θi com interface que separa os meios 1e 2, que assumimos serem lineares.

Meio 1: onda incidente e a refletida:

~E1(~r, t) = ~Eiei(~ki·~r−ωt) + ~Ere

i(~kr·~r−ωt) (2.1)~B1(~r, t) = ~Bie

i(~ki·~r−ωt) + ~Brei(~kr·~r−ωt) (2.2)

Meio 2: onda refratada (transmitida):

~E2(~r, t) = ~Etei(~kt·~r−ωt) (2.3)

~B2(~r, t) = ~Btei(~ki·~r−ωt) (2.4)

Os campos magneticos sao todos perpendiculares aos eletricos e a direcao de propagacao:

Bi,r,t =1ω~ki,r,t × ~Ei,r,t (2.5)

e como v1 = ω = v1ki = v2kr, temos ki = kr.Impondo, por exemplo, a continuidade de Bn, temos a condicao:

Bn1(~r, t) = Bn2(~r, t) (na interface)~Bnie

i(~ki·~r−ωt) + ~Bnrei(~kr·~r−ωt) = ~Bnte

i(~ki·~r−ωt) em z = 0 (2.6)

Como essa igualdade deve valer em qualquer ponto do plano de interface, as exponenciais devemser todas iguais (Exercıcio: Mostre.), o que implica:

~ki · ~r = ~kr · ~r = ~kt · ~r, onde ~r = (x, y, 0) e um vetor no plano de interface. (2.7)

19

20 CAPITULO 2. REFLEXAO, REFRACAO E POLARIZACAO

Esta condicao nos da 3 resultados importantes. Primeiro, podemos escrever essas equacoes:

(~ki − ~kr) · ~r = 0 , (~kr − ~kt) · ~r = 0 e (~ki − ~kt) · ~r = 0, (2.8)

e como ~r ⊥ n, segue que

(~ki − ~kr) ‖ n , (~kr − ~kt) ‖ n e (~ki − ~kt) ‖ n (2.9)

Primeira Lei: ~ki, ~kr e ~kt e n formam um plano, chamado plano de incidencia

Como ~r esta no plano da interface, e os angulos θi, r, t sao definidos relativo a este plano, aEq. 2.7 implica

ki sin θi = kr sin θr = kt sin θt (2.10)

Como ki = kr, temos entao:

Segunda Lei: θi = θr (Lei da Reflexao).

Alem disso, usando como n1 = c/v1 = cki/ω e n2 = ckt/ω, temos

Terceira Lei: n1 sin θi = n2 sin θt (Lei de Snell).

que reconhecemos como leis basicas da otica geometrica e sao derivadas das Equacoes de Maxwell !

2.1.1 Condicoes de Contorno

Figura 2.2: Reflexao e Refracao para incidenciaoblıqua. Os campos tem componentes ‖ e⊥ ao planode incidencia.

Os campos eletromagneticos incidentes podem teruma direcao qualquer perpendicular ao vetor ~ki.Vamos descreve-los com eixos paralelos e perpen-diculares ao plano de incidencia:

‖ : paralelo ao plano de incidencia⊥ : perpendicular ao plano de incidencia

e ja vinhamos usando a convencao

t : tangente a interface dos meiosn : normal a interface dos meios

Obviamente vetores ⊥ sao t, enquanto vetores ‖ tem ambas componentes t e n.Usando as condicoes de contorno, temos entao

2.1. LEIS DA REFLEXAO E DA REFRACAO 21

ε1En1 = ε2En2 :

Como

En1 = Ein + Ern = Ei‖n + Er‖n = Ei‖ sin θi − Er‖ sin θrEn2 = Etn = Et‖n = Ei‖ sin θt

onde nao escrevemos as exponencias temporais, pois elas se cancelam por ser iguais, como mostradona secao anterior. Portanto

ε1(Ei‖ sin θi − Er‖ sin θr) = ε2Et‖ sin θt

Usando a Lei da Reflexao, temos

Ei‖ − Er‖ =ε2ε1Et‖

sin θtsin θi

e usando a Lei de Snell, temos

Ei‖ − Er‖ =n1ε2n2ε1

Et‖ (2.11)

~Et1 = ~Et2 :

As duas componentes tangentes (‖ e ⊥) geram duas condicoes:

Ei‖ cos θi + Er‖ cos θr = Et‖ cos θtEi⊥ + Er⊥ = Et⊥

ou, usando a Lei da Reflexao:

Ei‖ + Er‖ = Et‖cos θtcos θi

(2.12)

Ei⊥ + Er⊥ = Et⊥ (2.13)

Bn1 = Bn2 :

Bi‖ sin θi +Br‖ sin θr = Bt‖ sin θt

ou

Bi‖ +Br‖ =n1

n2Bt‖ (2.14)


e finalmente

~Bt1/µ1 = ~Bt2/µ2 :

1µ1

(Bi‖ cos θi −Br‖ cos θr) =1µ2Bt‖ cos θt

1µ1

(Bi⊥ −Br⊥) =1µ2Bt⊥

ou

Bi‖ −Br‖ =µ1

µ2Bt‖

cos θtcos θi

(2.15)

Bi⊥ −Br⊥ =µ1

µ2Bt⊥ (2.16)

Como B = E/v e ~B ⊥ ~E, temos para cada umas das 3 ondas

B‖ =n

cE⊥ (2.17)

B⊥ =n

cE‖ (2.18)

Portanto, so precisamos resolver para, e.g. E‖ e E⊥, e B correspondentes estarao determinados.Definimos (usando ε1 = 1/(µ1v

21)):

α =cos θtcos θi

β =n1ε2n2ε1

=v2ε2v1ε1

=v2µ1v

21

v1µ2v22

=µ1v1

µ2v2(2.19)

Para E‖, temos

αEt‖ − Er‖ = Ei‖

βEt‖ + Er‖ = Ei‖

que podemos resolver:

(α+ β)Et‖ = 2Ei‖ → Et‖ =2

α+ βEi‖ (2.20)

e

Er‖ = αEt‖ − Ei‖ =2α

α+ βEi‖ − Ei‖ → Er‖ =

α− βα+ β

Ei‖ (2.21)


Ja para E⊥, temos

Et⊥ − Er⊥ = Ei⊥ (2.22)

e

Bi‖ −Br‖ =µ1

µ2Bt‖

cos θtcos θi

Ei⊥v1− Er⊥

v1=

µ1

µ2

Et⊥v2

cos θtcos θi

→ Ei⊥ − Er⊥ =µ1v1

µ2v2Et⊥

cos θtcos θi

(2.23)

Temos, entao, o sistema

Et⊥ − Er⊥ = Ei⊥ (2.24)αβ Et⊥ + Er⊥ = Ei⊥ (2.25)

e, portanto,

(1 + αβ)Et⊥ = 2Ei⊥ → Et⊥ =2

1 + αβEi⊥ (2.26)

e

Er⊥ =2

1 + αβEi⊥ − Ei⊥ → Er⊥ =

1− αβ1 + αβ

Ei⊥ (2.27)

2.1.2 Refletividade e Transmissividade

Podemos definir amplitudes de reflexao r e transmissao t para as componentes ‖ e ⊥ dos campos:

r‖ =Er‖

Ei‖=α− βα+ β

t‖ =Et‖

Ei‖=

2α+ β

(2.28)

r⊥ =Er⊥Ei⊥

=1− αβ1 + αβ

t⊥ =Et⊥Ei⊥

=2

1 + αβ(2.29)

A componente do fluxo normal a interface e ~S · n, e a intensidade (valor medio do fluxo) fica

Ii =12ε1v1E

2i cos θi (2.30)

Ir =12ε1v1E

2r cos θr (2.31)

It =12ε2v2E

2t cos θt (2.32)


A refletividade R e a transmissividade T sao definidas como

R =IrIi

=E2r

E2i

= r2 (2.33)

T =ItIi

=ε2v2

ε1v1

cos θtcos θi

E2t

E2i

= αβ t2 (2.34)

Note que temos:

R‖ + T‖ =α2 + β2 − 2αβ

(α+ β)2+ αβ

4(α+ β)2

=(α+ β)2

(α+ β)2= 1 (2.35)

R⊥ + T⊥ =1 + α2β2 − 2αβ

(1 + αβ)2+ αβ

4(1 + αβ)2

=(1 + αβ)2

(1 + αβ)2= 1 (2.36)

2.1.3 Reflexao Total

Pela lei de Snell

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 temos n1 > n2 → θ1 < θ2 , (2.37)

i.e. o angulo feito com a normal e menor no meio de maior ındice de refracao e vice-versa. Considerea Fig. 2.3, em que n1 > n2 e o raio se propaga de 1 para 2:

Figura 2.3: Reflexao total da luz ao passar de um meio com ındice de refracao n1 para um meio com ındicede refracao n2 < n1. Quando θ1 ≥ θc = sin−1(n2/n1), a luz e totalmente refletida no meio n1. (Serway)

Para θ1 = 0 a lei de Snell da sin θ2 = 0→ θ2 = 0, i.e. incidencia normal produz refracao normal.A medida que θ1 cresce, θ2 cresce mais rapido e, para algum valor de θ1, teremos θ2 = π/2, i.e.o raio refratado tangencia a interface. Neste caso, nao ha refracao, i.e. o raio e todo refletido devolta ao meio 1. Pela lei de Snell, temos:

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 = n2 → sin θ1 = sin θc =n2

n1(2.38)

onde θc e um angulo crıtico tal que para θ1 > θc, temos reflexao total. Note que para θ1 = θc,temos θt = π/2→ α = 0. Portanto R‖ = R⊥ = 1 e T‖ = T⊥ = 0, como esperado.


Isso quer dizer que o campo transmitido e zero? Nao, apenas que a energia media transmitidae nula. Vamos ver o que acontece com o campo. Para incidencia acima do angulo crıtico, temos

θi > θc → sin θi > sin θc =n2

n1→ sin θi >

n2

n1(2.39)

Note que sin θt = n1n2

sin θi > 1, o que nao faz sentido! Lembre que

(~kt − ~ki) · ~t = 0→ (kt)t = (ki)t = ki sin θi , onde ~t e um vetor na interface. (2.40)

Como n1 = c/v1 = cki/ω, temos

(kt)t = (ki)t =n1ω

csin θi (2.41)

Vamos decompor ~kt em componentes paralela e normal a interface:

~kt = (kt)tt+ (kt)nn (2.42)

Resta saber quem e (kt)n. Usando a relacao de dispersao n2 = c/v2 = ckt/ω, temos:

k2t = ~kt · ~kt = (kt)2

t + (kt)2n =

n22ω

2

c2(2.43)

Portanto,

(kt)2n =

n22ω

2

c2− (kt)2

t =n2

2ω2

c2− n2

1ω2

c2sin2 θi =

n22ω

2

c2

(1− n2

1

n22

sin2 θi

)(2.44)

Mas, pela Eq. 2.39, o termo entre parenteses e < 0. Portanto (kt)n e imaginario:

(kt)n = in2ω

c

√n2

1

n22

sin θ2i − 1 = ikI (imaginario) (2.45)

(kt)t =n1ω

csin θi = kR (real) (2.46)

e

~kt = kRt+ ikI n (2.47)

Portanto, decompondo o vetor posicao ~r = yt+ zn, temos:

i(~kt · ~r − ωt) = i (kRy + ikIz − ωt) = −kIz + i (kRy − ωt) (2.48)

e assim o campo eletrico no meio 2 fica:

~E2(~r, t) = ~Etei(~kt·~r−ωt) = ( ~Ete−kIz)ei(kRy−ωt) (2.49)

i.e. a onda se propaga na direcao t, mas a amplitude da onda decai exponencialmente a medidaque nos afastamos da interface: onda evanescente.


2.1.4 Angulo de Brewster

Na incidencia oblıqua com campo incidente ~Ei = ~Ei‖+ ~Ei⊥ tendo componentes paralelas e perpen-diculares ao plano de incidencia, encontramos que:

r‖ =α− βα+ β

, onde α =cos θtcos θi

e β =µ1v1

µ2v2=µ1n2

µ2n1≈ n2

n1=

sin θisin θt

(2.50)

onde usamos a aproximacao µ1 ≈ µ2, tipicamente valida para a maioria dos meios. Portanto:

α = β → r‖ = 0 (2.51)

i.e. nao ha luz refletida ‖ ao plano de incidencia, ou seja toda luz refletida e ⊥ ao plano de incidencia.O angulo de incidencia em que isso ocorre e chamado angulo de Brewster θi = θB. A condicao der‖ = 0 se traduz em:

α = β → cos θtcos θB

=sin θBsin θt

→ sin θt cos θt = sin θB cos θB→ sin 2θt = sin 2θB (mas θt 6= θB)→ 2θt = π − 2θB

→ θt + θB =π

2(2.52)

Portanto, o raio refratado e perpendicular ao raio refletido. Outra maneira de expressar essacondicao e escrever:

α =cos θtcos θB

=

√1− sin2 θtcos θi

=

√1− (n1/n2)2 sin2 θB

cos θB= β

→ 1− (n1/n2)2 sin2 θB = β2 cos2 θB = β2(1− sin2 θ2B)

→ sin2 θB

(β2 − n2

1

n22

)= β2 − 1

→ sin2 θB =1− β2

(n1/n2)2 − β2

Como β ≈ n2/n1, temos

sin2 θB =1− β2

(1/β)2 − β2=β2(1− β2)

1− β4=

β2

1 + β2

ou seja

sin θB =β√

1 + β2→ tan θB = β → tan θB =

n2

n1(2.53)

Como consequencia, no angulo de Brewster, temos

R‖ = 0 e T‖ = 1 (2.54)

R⊥ =(n2

1 − n22

n21 + n2

2

)2

e T⊥ =4n2

1n22

(n21 + n2

2)2(2.55)

Para n1 = 4/3n2 (ar/agua), R⊥ = (7/25)2 ≈ 8% e T⊥ = (24/25)2 ≈ 92%, ou seja, de qualquerforma, pouca luz e refletida.

2.2. PRINCIPIO DE HUYGENS 27

2.1.5 Dispersao

O fenomeno de dispersao da luz resulta do fato de que luzes de diferentes frequencias tem ındicesde refracao diferentes e, portanto, refratam de maneira distinta. Se um raio de luz branca no vacuo(n1 = 1) incide a uma angulo θi em um prisma com n2, temos

n1 sin θi = nazul2 sin θazul

2 = nvermelho2 sin θvermelho

2 (2.56)

Normalmente, n cresce com a frequencia ν, e.g. nazul > nvermelho e, portanto

nazul > nvermelho → θazul2 < θvermelho

2 (2.57)

i.e. a luz azul refrata mais do que a vermelha (fica mais proxima da normal).

Figura 2.4: Dispersao da luz em um prisma. Ondas de diferentes comprimentos de onda refratam de formadiferente. Como nazul > nvermelho, pela lei de Snell θazul

t < θvermelhot , i.e. a luz azul refrata mais que a

vermelha no mesmo meio. (Serway)

2.2 Princıpio de Huygens

Figura 2.5: Princıpio de Huygens. (Serway)

Uma frente de onda e a superficiede pontos com mesma fase da onda(e.g. mesmo valor de E). Ela eperpendicular aos raios de luz, queapontam na direcao de propagacaoda onda.

O Princıpio de Huygens dizque cada ponto de uma frentede onda se comporta como umafonte puntiforme, gerando ondasesfericas secundarias, com veloci-dade da onda no meio. A frentede onda em um instante posteriore a envoltoria (obtida somando)de todas estas ondas esfericas se-cundarias.

Usando o Princıpio de Huygens, podemos obter as Leis da Reflexao e de Snell.


2.2.1 Reflexao e Refracao

Figura 2.6: Lei da reflexao da luz (θ1 = θ′1) via oPrincıpio de Huygens. (Nussenzveig)

No caso da reflexao, considere a Fig. 2.6. SejaQP1 a frente de onda incidente. Note que θ1 e oangulo entre QP1 e a interface e tambem o raioP1P e n.

Quando P1 atinge a interface em P , a ondasecundaria de Q chega a a Q′1; portanto P1P =Q′1Q = d e PQ′1 e a frente de onda refletida.

Os triangulos QP1P e PQ′1Q sao retangulose iguais. Portanto θ1 = θ′1.

Figura 2.7: Lei de Snell (n1 sin θ1 = n2 sin θ2) via oPrincıpio de Huygens. (Nussenzveig)

No caso da refracao, considere a Fig. 2.7.Novamente, QP1 e a frente de onda incidente.Quando P1 atinge a interface em P , a onda se-cundaria de Q chega a a Q2; portanto o tempopara que isso ocorra e:

t =d1

v1=d2

v2(2.58)

Mas pela figura

d1 = QP sin θ1 e d2 = QP sin θ2 (2.59)

Portanto

sin θ1

v1=

sin θ2

v2× c (2.60)

→ n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (2.61)

2.3 Princıpio de Fermat

O Princıpio de Fermat diz que a luz sempre percorre o caminho que permite ir de um ponto a outrono tempo mınimo.

Essa ideia de minimizar algo, neste caso, o tempo de propagacao, e recorrente na Fısica.Esse princıpio tambem leva as leis de reflexao e refracao.

2.3.1 Reflexao e Refracao

No caso da reflexao, considere a Fig. 2.8. Partindo do ponto P1, qual deve ser o ponto P em que aluz deve refletir para atingir o ponto P ′1 ?

2.3. PRINCIPIO DE FERMAT 29

Figura 2.8: Lei da reflexao da luz (θ1 = θ′1) via oPrincıpio de Fermat. (Nussenzveig)

Basta considerar o ponto P1 simetrico de P1

com relacao a interface. Vemos que

P1QP′1 = P1QP

′1 (2.62)

para um ponto de reflexao Q generico. Como aluz refletida esta sempre no mesmo meio e coma mesma velocidade, tempo mınimo implicadistancia mınima. E como a distancia mınimaentre dois pontos e uma reta, vemos que o ca-minho P1PP

′1 deve ser o tomando pela luz. Ge-

ometricamente, isso implica que θr = θi = θ1.Reflexao em qualquer outro ponto, e.g. Q, to-maria um tempo maior.

No caso da refracao, considere a Fig 3.4.Partindo do ponto P1, qual deve ser o pontoP em que a luz deve refratar para atingir oponto P2 ? Agora a velocidade muda de ummeio para o outro, o que torna o problema naotrivial. Ou seja, a resposta nao e simplesmentea reta que conecta P1 e P2, pois para chegar notempo mınimo, a luz tendera a percorrer umadistancia maior no meio de maior velocidade.

Figura 2.9: Lei de Snell (n1 sin θ1 = n2 sin θ2) via oPrincıpio de Fermat. (Nussenzveig)

O tempo t(x) total viajado pela luzpara ir de P1 ate P2 em funcao dadistancia x (que devemos determinar) e(tempo=distancia/velocidade):

t(x) = t1 + t2 =P1P

v1+PP2

v2

=

√d2

1 + x2

v1+

√d2

2 + (d− x)2

v2

O tempo mınimo ocorre para x tal que:

0 =dt

dx=

x

v1

√d2

1 + x2− (d− x)v2

√d2

2 + (d− x)2

=1v1

x

P1P− 1v2

(d− x)PP2

=sin θ1

v1− sin θ2

v2

Multiplicando a equacao por c e usando a de-finicao n = c/v, obtemos a lei de Snell:

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (2.63)


2.4 Polarizacao

2.4.1 Ondas Planas Monocromaticas

Ate agora consideramos quase sempre o caso em que um dos campos coincide com os eixos x e y,e.g. ~E = Exx. Mas ~E se propagando na direcao z pode ter componentes gerais no plano xy:

~E = Exx+ Eyy (2.64)

E assim:

~B =1vz × ~E =

1vz × (Exx+ Eyy) =

1v

(−Eyx+ Exy) (2.65)

Portanto

Bx = −Eyv

e By =Exv

(2.66)

Para uma onda plana monocromatica mais geral, temos:

Ex = a ei(kz−ωt) = vBy (2.67)

Ey = b eiδei(kz−ωt) = −vBx (2.68)

Note que, em princıpio, pode haver uma diferenca de fase δ entre as componentes x e y doscampos. Tomando a parte real, temos

Ex = a cos Φ onde Φ = kz − ωt (2.69)Ey = b cos(Φ + δ) (2.70)

Em geral, ~E faz uma curva no plano z = 0 a medida que oscila e se propaga. Para encontraressa curva, vamos definir uma relacao entre Ex e Ey eliminando Φ, i.e. a parte temporal:

Eyb

= cos(Φ + δ) = cos Φ cos δ − sin Φ sin δ (2.71)

Exa

= cos Φ → sin Φ =√

1− cos2 Φ → sin Φ =

√1−

(Exa

)2

(2.72)

Portanto

Eyb− Ex

acos δ = cos Φ cos δ − sin Φ sin δ − cos Φ cos δ = − sin δ

√1−

(Exa

)2

(2.73)

Elevando ao quadrado:(Eyb

)2

− 2Exa

Eyb

cos δ +(Exa

)2

cos2 δ = sin2 δ

(1−

(Exa

)2)

(2.74)

que implica (Eyb

)2

− 2Exa

Eyb

cos δ +(Exa

)2

= sin2 δ (2.75)

Esta e a equacao geral de uma elipse no plano xy. Portanto a onda monocromatica mais geraltem polarizacao elıptica .

2.4. POLARIZACAO 31

2.4.2 Polarizacao Linear

Para δ = 0 (cos δ = 1, sin δ = 0), i.e. os campos sem defasagem, temos(Eyb

)2

− 2Exa

Eyb

+(Exa

)2

= 0→(Exa− Ey

b

)2

= 0 (2.76)

Portanto

EyEx

=b

a(Polarizacao Linear) (2.77)

2.4.3 Polarizacao circular

Para a = b e δ = π/2 (cos δ = 0, sin δ = 1), temos(Eya

)2

+(Exa

)2

= 1 (2.78)

Portanto

E2y + E2

x = a (Polarizacao Circular) (2.79)

2.4.4 Polarizacao elıptica

Para a 6= b e δ = π/2, os eixos da elipse concidem com os eixos x e y:

(Eyb

)2

+(Exa

)2

= 1 (Polarizacao Elıptica) (2.80)

2.4.5 Luz nao-polarizada

Em geral, a luz resulta de um processo de emissao. Normalmente, esse processo e aleatorio noespaco e no tempo, e da origem a uma onda em que as componentes dos campos nao tem umapolarizacao definida. Neste caso dizemos que a luz e nao-polarizada.

Como Polarizar?

Se temos luz nao-polarizada, como podemos obter luz com uma certa polarizacao?

1) Reflexao: Lembre que para θi = θB, temos r‖ = 0. Neste caso, a luz refletida tem componenteapenas na direcao ⊥ ao plano de incidencia: polarizacao linear.

2) Polarizador: Algumas substancias tem moleculas alinhadas que absorvem a luz em umadirecao, permitindo passagem na direcao ⊥.


Figura 2.10: Lei de Malus. Apos ser polarizada no polarizador, a luz incide sobre o analisador fazendo umangulo θ com o eixo de transmissao. Somente a componente E = E0 cos θ atravessa o analisador e portantoa intensidade transmitida fica I ∝ E2 = I2

0 cos2 θ. (Serway)

Lei de Malus

Suponha que facamos luz nao-polarizada incindir sobre um polarizador, como na Fig. 3.1. Somentea componente paralela ao polarizador consegue atravessa-lo, e o campo transmitido E0 e portantolinearmente polarizado.

Se fizermos o campo polarizado incindir sobre um segundo polarizador (analisador), cujo eixode transmissao faz um angulo θ com o primeiro polarizador, temos que somente a componenteE = E0 cos θ sera transmitida.

Desta forma, como a intensidade e I ∝ E2, temos que a intensidade I transmitida pelo analisadorsera dada em termos da intensidade I0 ∝ E2

0 que nele incide por

I = I0 cos2 θ (Lei de Malus) (2.81)

Capıtulo 3

Imagens por Espelhos e Lentes

3.1 Objetos e Imagens

• Para ”ver”um objeto, sua luz deve ser direcionada a retina, onde se forma a imagem.

Figura 3.1: Podemos ver um objeto olhando para ele ou para a sua imagem refletida/refratada. (Young)

• O processo e identico mesmo se a luz nao vem de fato do objeto; e.g. a luz refletida por umespelho ou a luz refratada por uma lente.

• Uma imagem se forma quando raios de luz vem ou ”parecem vir”de algum ponto apos interagircom (refletir em ou refratar de) um sistema otico (espelho ou lente).

• Neste contexto, podemos definir dois tipos de objeto e imagem:

– Imagem real: Formada em um anteparo/superfıcie. Nao depende do observador paraexistir. Os raios de luz convergem na imagem.

– Imagem virtual: Formada pela projecao de raios de luz. Depende do observador paraexistir. A imagem se localiza no ponto de onde os raios projetados parecem divergir.

– Objeto real: A luz do objeto incide sobre o sistema otico de forma divergente. Esta ea situacao usual, e.g. um objeto em frente a um espelho.

– Objeto virtual: A luz incide sobre o sistema otico de forma convergente. O objetose localiza no ponto onde os raios convergiriam se nao existisse o sistema otico. Umaimagem real de um sistema pode servir de objeto virtual a um segundo sistema .

33

34 CAPITULO 3. IMAGENS POR ESPELHOS E LENTES

3.2 Espelho Plano

Considere um objeto pontual O e sua imagem I formada por um espelho plano, bem como umobjeto extenso e sua imagem, como mostrados na Fig. 3.2

Figura 3.2: Espelho Plano. Como consequencia da lei da reflexao, a distancia do objeto ao espelho e igual adistancia da imagem ao espelho. (Halliday)

A imagem I e virtual, pois e formada por projecao dos raios atras do espelho. Uma convencaoque sempre usaremos e de que quantidades reais sao positivas e quantidades virtuais sao negativas.Portanto, neste caso p > 0 (objeto real) e q < 0 (imagem virtual).

A lei da reflexao entao implica p = −q. A ampliacao M , ou magnificacao, e definida como:

M =h′

h= −q

p(3.1)

onde a ultima igualdade decorre da semelhanca de triangulos.

3.3 Espelho Esferico

Considere um objeto O e sua imagem I formada por um espelho plano e espelhos esfericos, comomostrados na Fig. 3.3

Figura 3.3: Espelhos Esfericos. Um espelho plano pode ser deformado, tornando-se um espelho concavo ouum espelho convexo. As distancias e alturas das imagem nao mais sao iguais as do objeto. (Halliday)

Pensando no espelho esferico como uma deformacao do espelho plano, temos que a medida queo espelho e deformado, a posicao da imagem nao mais sera igual a do objeto (p 6= −q), e as alturastambem nao serao iguais h′ 6= h.

3.3. ESPELHO ESFERICO 35

Temos que definir uma serie de quantidades:

C : Centro de curvaturac : VerticeR : Raio de curvatura (Cc)F : Focof : distancia focal (= R/2)p : distancia do objetoq : distancia da imagemh : altura do objetoh′ : altura da imagem

Tabela 3.1: Varias quantidades em espelhos planos e esfericos. As distancias se referem ao vertice do espelho.

O foco F e definido como o ponto para onde raios paralelos ao eixo central convergem aposserem refletidos. Veremos a seguir que de fato f = R/2 para espelhos esfericos. Por simetria, raiosque incidem passando por F refletem paralelos ao eixo central.

Raios incidentes na direcao de C incidem normalmente ao espelho, e pela lei da reflexao devemrefletir normalmente. Ou seja, raios incidindo na direcao de C refletem na direcao de C.

Figura 3.4: Foco real (espelho concavo) e virtual (espelho convexo), definido como o ponto para onde raiosincidentes paralelos convergem (foco real) ou de onde os raios paralelos parecem divergir apos a reflexao.Para espelhos esfericos f = R/2. (Halliday)

3.3.1 Espelho Esferico Concavo

Para o espelho esferico concavo, a posicao e a altura da imagem, relativa ao objeto, depende daposicao do objeto. Vamos considerar os varios casos mostrados na Fig. 3.5:

p < f : Neste caso, a imagem e formada por projecao dos raios atras do espelho. E portantouma imagem virtual, e q < 0. Alem disso, a imagem e direita (tem a mesma orientacao do objeto)e h′ > h, i.e. a imagem e maior e mais distante do vertice do que o objeto.

p = f : Neste caso, os raios refletidos sao todos paralelos e nao ha formacao de imagem atrasou na frente do espelho. Dizemos que e uma imagem impropria.


Figura 3.5: Espelho Esferico Concavo. A natureza, posicao e altura da imagem dependem da posicao doobjeto relativa ao foco F e ao centro C. (Halliday, Serway)

f < p < R : Neste caso, os raios refletidos se encontram atras do centro de curvatura C,formando ali uma imagem real e portanto q > 0. Temos ainda que q > p, e que a imagem einvertida, i.e. h e h′ tem sinais opostos.

p > R : Este caso e totalmente simetrico ao anterior, trocando O → I. Ou seja, agora aimagem real se forma entre C e F , temos q > 0. A imagem e novamente invertida.

Vamos analisar este ultimo caso. Da geometria mostrada na figura, temos

tan θ =h

p= −h

′

qnote h′ < 0 (imagem invertida).

Portanto, novamente a ampliacao e dada por

M =h′

h= −q

p(3.2)

expressao que tambem valia para uma espelho plano. Temos ainda que

tanα =h

p−R− −hR− q

→ h′

h= −R− q

p−R= −q

p

Portanto,

R− qp−R

=p−Rp

→ R

q− 1 = 1− R

p

3.3. ESPELHO ESFERICO 37

ou seja

1p

+1q

=2R

(Eq. dos espelhos) (3.3)

Quando p→∞, que corresponde a um objeto muito distante, cujos raios indicem paralelamenteao eixo central do espelho, temos 1/p → 0 e portanto q = R/2. Ou seja, a imagem se forma emq = R/2 = f , definido como o foco do espelho. Temos entao que de fato

f =R

2(3.4)

e portanto,

1p

+1q

=1f

(Eq. dos espelhos) (3.5)

Note que para R →∞, temos f →∞ e portanto 1/f = 0. Portanto p = −q, como esperado parao caso de um espelho plano.

3.3.2 Espelho Esferico Convexo

Figura 3.6: Espelho Convexo. Situacao simetrica a umespelho concavo em que p < f , invertendo o objeto Oe imagem I. (Serway)

O caso de um espelho convexo e simetrico aoespelho concavo com p < f , trocando O → I.

Vemos que a imagem virtual se forma entreo vertice e o foco, e portanto q < 0. Alemdisso h′ < h, e portanto −q < p, i.e. a imageme menor e mais proxima do espelho do que oobjeto.

Para espelhos esfericos em geral (incluindoconvexos), sempre vale a equacao dos espelhosEq. 3.5, desde que satisfeitas as convencoes desinais mostradas na Tab. 3.2

Quantidade Sımbolo Sinal Posicao0 NaturezaDistancia do objeto1 p > 0 Em frente Objeto realDistancia do objeto p < 0 Atras Objeto virtualDistancia da imagem1 q > 0 Em frente Imagem realDistancia da imagem q < 0 Atras Imagem virtualDistancia focal2 f > 0 Em frente Foco real (espelho concavo)Distancia focal f < 0 Atras Foco virtual (espelho convexo)Ampliacao da altura3 M > 0 - Imagem direitaAmpliacao da altura M < 0 - Imagem invertida

Tabela 3.2: Sinais de varias quantidades em espelhos planos e esfericos. 0 Posicao relativa ao espelho;1 Distancia ao espelho; 2 Similarmente, raio de curvatura R = 2f . 3 Convencionando h > 0, temos que h′

segue a mesma convencao de M = h′/h.


3.3.3 Construindo diagramas

Para construir diagramas e determinar graficamente a posicao e tamanho da imagem em qualquercaso, basta usar 2 das 3 regras abaixo e encontrar a interseccao dos raios:

1) Raios incidentes por C se refletem por C.2) Raios incidentes paralelos se refletem por F .3) Raios incidentes por F se refletem paralelos.

3.4 Refracao em Superficies Esfericas

Da mesma forma que consideramos a reflexao por superfıcies esfericas (espelhos), tambem podemosconsiderar o que ocorre com raios que sao refratados em tais superfıcies. Considere a superfıcieconvexa mostrada na Fig 3.7, em que um raio incide fazendo um angulo θ1 com a normal e refratasob um angulo θ2:

Figura 3.7: Refracao de um raio de luz em uma superfıcie esferica convexa com n2 > n1. (Serway)

Pela Lei de Snell, temos

n1 sin θ1 = n2 sin θ2

Estaremos trabalhando na aproximacao de angulos pequenos (raios para-axiais ao eixo central).Portanto todos os angulos α, β, γ, θ1 e θ2 sao ≈ 0 e temos e.g. sinα ≈ tanα ≈ α. Portanto

n1θ1 = n2θ2 (3.6)

Notando alguns angulos externos em triangulos, temos:

θ1 = α+ β Triangulo OPCβ = θ2 + γ Triangulo PCI

e portanto,

n1(α+ β) = n2(β − γ) → n1α+ n2γ = (n2 − n1)β

3.4. REFRACAO EM SUPERFICIES ESFERICAS 39

Na aproximacao considerada, tanα ≈ α ≈ d/p, tanβ ≈ β ≈ d/R e tan γ ≈ γ ≈ d/q. Portanto

n1d

p+ n2

d

q= (n2 − n1)

d

R

→ n1

p+n2

q=n2 − n1

R(3.7)

Para p =∞ (raio incidente paralelo), q = f2 e temos n2/f2 = (n2−n1)/R. Por outro lado paraq =∞ ( raio refratado paralelo), p = f1 e temos n1/f1 = (n2 − n1)/R. Portanto

f1 =n1

n2 − n1R (lado esquerdo)

f2 =n2

n2 − n1R (lado direito)

i.e. temos dois focos distintos, e a posicao dos focos relativa ao centro depende dos ındices derefracao. Como neste caso n2 > n1, temos e.g. f2 > R.

Figura 3.8: Refracao de um objeto extenso em uma superfıcieesferica convexa. (Nussenzveig)

Considere agora um objeto extensosob refracao, como na Fig. 3.8. Da ge-ometria, temos (h′ < 0):

M =h′

h= − CI

CO= −q −R

R+ p

Mas da Eq. 3.7, temosn1

p+n2

q=

n2 − n1

Rqn1 + pn2

pq=

n2 − n1

R

→ R =pq(n2 − n1)qn1 + pn2

Eliminando o R, temos

q −RR+ p

=q − pq(n2−n1)

qn1+pn2

pq(n2−n1)qn1+pn2

+ p=q2n1 + pqn2 − pq(n2 − n1)pq(n2 − n1) + pqn1 + p2n2

=q2n1 + pqn1

pqn2 + p2n2=qn1(q + p)pn2(q + p)

=n1

n2

q

p

Portanto,

M = −n1

n2

q

p(3.8)


3.4.1 Refracao em Superficies Planas

Figura 3.9: Refracao em uma superfıcieplana, com |q| < p para n2 > n1. (Serway)

Tomando R → ∞, a superfıcie esferica se torna umasuperfıcie plana e

n1

p+n2

q= 0 → q = −n2

n1p (3.9)

o que obviamente implica M = 1. Para n1 > n2, comonuma interface agua/ar, temos

|q| = n2

n1p < p (3.10)

Ou seja, a imagem parece mais proxima que a posicaoreal do objeto, como na Fig. 3.9.

3.4.2 Refracao em Superficies: Convencoes

Para refracao em uma superfıcie esferica (convexa ou concava), a Eq. 3.7 vale, desde que usemos aconvencao de sinais da Tab 3.3.

Quantidade Sımbolo Sinal Posicao0 NaturezaDistancia do objeto1 p > 0 Em frente Objeto realDistancia do objeto p < 0 Atras Objeto virtualDistancia da imagem1 q > 0 Atras Imagem realDistancia da imagem q < 0 Em frente Imagem virtualCentro de Curvatura R > 0 Atras centro real (superfıcie convexa)Centro de Curvatura R < 0 Em frente centro virtual (superfıcie concava)

Tabela 3.3: Sinais de varias quantidades para refracao em superfıcies esfericas. 0 Posicao relativa a superfıcie;1 Distancia a superfıcie.

3.5 Lentes Delgadas

Uma lente e basicamente um sistema com duas superfıcies de refracao, que produz um desvio totaldos raios incidentes que sao refratados. Um exemplo ja visto foi o prisma.

3.5. LENTES DELGADAS 41

As lentes sao nomeadas de acordo com as 2 superfıcies que a compoem (e.g. biconvexa paraduas superfıcies convexas, etc.) e classificadas em lentes convergentes e divergentes, dependendo dodesvio total ser no sentido de convergir ou divergir os raios refratados relativamente aos incidentes.

Vamos agora obter, de duas formas distintas, a Eq. das lentes, similar a Eq. dos espelhos e dassuperfıcies esfericas refratoras.

3.5.1 Derivacao 1: Duas superfıcies refratoras

Ideia basica: A lente e um sistema com 2 superfıcies esfericas com raios de curvatura R1 e R2. Aimagem gerada pela superfıcie 1 serve de objeto para a superfıcie 2, que produz a imagem final.

Figura 3.10: Lente biconvexa delgada (t ≈ 0) vista como duas superfıcies. (Serway)

Considere, e.g. uma lente biconvexa com n2 = n imersa em ar, i.e. n1 = 1, o objeto O aesquerda da lente e sua imagem I a direita da lente, como no painel esquerdo superior da Fig 3.10.O painel direito superior mostra as imagens intermediaria (I1) e final (I2 = I).

Considerando primeiro somente o efeito da superfıcie 1, como no painel esquerdo inferior, temos:

n1

p1+n2

q1=n2 − n1

R1→ 1

p1+n

q1=n− 1R1

(3.11)

onde q1 < 0, pois a imagem e virtual.No painel direito inferior, identificamos I1 = O2, e temos p2 = −q1 + t ≈ −q1 (lente delgada).

Portanto o efeito da superfıcie 2 fica:

n2

p2+n1

q2=n1 − n2

R2→ n

−q1+

1q2

=1− nR2

(3.12)


Somando as duas equacoes anteriores e identificando p1 = p e q2 = q, temos

1p

+1q

= (n− 1)(

1R1− 1R2

)(3.13)

3.5.2 Derivacao 2: Princıpio de Fermat

Vamos obter agora esse mesmo resultado usando o Princıpio de Fermat. Considere um ponto objetoO que produz uma imagem I, como na Fig 3.11

Figura 3.11: Lente Biconvexa e o Princıpio de Fermat: tOAI = tOPI . (Nussensveig)

Pelo Princıpio de Fermat, o tempo para a luz percorrer o trajeto OAI e o trajeto OPI deve ser omesmo, e igual ao tempo mınimo. Ou seja, embora o trecho OPI seja mais curto, a luz tem menorvelocidade no trecho V1V2 e acaba gastando o mesmo tempo que no trajeto OAI, onde ela fica otempo todo com velocidade maior (como evitar a Reboucas para chegar na Paulista). Portanto

tOAI = tOPI (3.14)

Decompondo esses tempos em pedacos e indicando o ındice de refracao percorrido:

tn1OB + tn1

BAD + tn1DI = tn1

OV1+ tn2

V1V2+ tn1

V2I

= tn1OV1

+ (tn1V1P− tn1

V1P) + (tn1

PV2− tn1

PV2) + tn2

V1V2+ tn1

V2I

= tn1OP + tn1

PI + (tn2V1V2− tn1

V1V2)

Como tn1OB = tn1

OP e tn1DI = tn1

PI , apos cancelamentos destes termos temos

tn1BAD = tn2

V1V2− tn1

V1V2

→ d1 + d2

v1=

t1 + t2v2

− t1 + t2v1

× c

→ n1(d1 + d2) = (n2 − n1)(t1 + t2) (3.15)

3.5. LENTES DELGADAS 43

Da geometria de alguns triangulos, temos

∆ APO : h2 = (p+ d1)2 − p2 = 2pd1 + d21 ≈ 2pd1 (approx. lente delgada)→ d1 =

h2

2p

∆ API : → d2 =h2

2q

∆ APC1 : h2 = R21 − (R1 − t1)2 − p2 ≈ 2R1t1 → t1 =

h2

2R1

∆ APC2 : → t2 = − h2

2R2

Portanto

n1

(h2

2p+h2

2q

)= (n2 − n1)

(h2

2R1− h2

2R2

)(3.16)

ou seja, apos cancelar h2/2 em ambos os lados, obtemos

1p

+1q

=1f

(Eq. das Lentes) (3.17)

onde o foco f e dado por

1f

=(n2

n1− 1)(

1R1− 1R2

)(Eq. do Fabricante de Lentes) (3.18)

Esta equacao pode ser usada tanto para lentes convergentes (como a biconvexa para a qual elafoi derivada), como para lentes divergentes, desde que seguidas as convencoes da Tab 3.4

Quantidade Sımbolo Sinal Posicao0 NaturezaDistancia do objeto1 p > 0 Em frente Objeto realDistancia do objeto p < 0 Atras Objeto virtualDistancia da imagem1 q > 0 Atras Imagem realDistancia da imagem q < 0 Em frente Imagem virtualCentro de Curvatura R1 e R2 > 0 Atras -Centro de Curvatura R1 e R2 < 0 Em frente -Distancia Focal1 f > 0 - Lente ConvergenteDistancia Focal f < 0 - Lente Divergente

Tabela 3.4: Sinais de varias quantidades para lentes convergentes e divergentes. 0 Posicao relativa a lente;1 Distancia a lente.

Capıtulo 4

Interferencia e Difracao

A natureza ondulatoria da luz se mostra nas propriedades de interferencia e difracao, que vamosconsiderar neste capıtulo.

4.1 Interferencia por fenda dupla

Figura 4.1: Aparato do experimento de Young.Uma fonte de luz coerente incide sobre as fendasS1 e S2 e difratam ate a tela de observacao, ondeformam um padrao de interferencia. (Serway)

Em 1810, Young demonstrou experimentalmente quea luz e uma onda. Note que isso ocorreu muito antesdo estabelecimento das Eqs. de Maxwell, que prove-ram argumentos teoricos para a natureza ondulatoriada luz.

O diagrama do aparato usado por Young e mos-trado na Fig 4.1. Um feixe de luz coerente (commesma fase de onda), proveniente de uma fenda S0,incide sobre duas fendas S1 e S2, atravessando-as, di-fratando e atingindo uma tela de observacao C. Asluzes proveniente de S1 e S2 se combinam formandoum padrao de interferencia na tela, com regioes cla-ras e escuras (intensidades maxima e mınima).

A explicacao ondulatoria e que as luzes proveni-entes de S1 e S2 se somam na tela, interferindo deforma construtiva ou destrutiva, dependendo de suasdiferencas de fase, como mostrado na Fig. 4.2.

Figura 4.2: Interferencia construtiva e destrutiva das ondas que passam por cada fenda. (Serway)

45

46 CAPITULO 4. INTERFERENCIA E DIFRACAO

Figura 4.3: A interferencia das ondas provenientes de S1 e S2 depende da diferenca de fase, ou diferenca decaminho d sin θ entre as ondas. (Serway)

Vamos tomar o campo eletrico E(x, t) com a representacao complexa de uma onda plana:

E(~x, t) = Re[A ei(

~k·~x−ωt)]

= Re[v(x)e−iωt

]onde v(x) = A ei

~k·~x (4.1)

e a intensidade associada ao campo I(x) = 〈E2〉 = |v(x)|2 = A2. O campo total no ponto P e asoma das contribuicoes das duas fendas S1 e S2:

E(~x, t) = E1(~x, t) + E2(~x, t) = A ei(kr1−ωt) +A ei(kr2−ωt)

= Ae−iωt[eikr1 + eikr2

]= v(x)e−iωt onde v(x) = A

[eikr1 + eikr2

](4.2)

Na aproximacao em que L d, temos

r1 = R− d

2sin θ (4.3)

r2 = R+d

2sin θ (4.4)

e d sin θ = r2 − r1. Portanto

v(x) = A[ei(kR−

kd2

sin θ) + ei(kR+ kd2

sin θ)]

= AeikR[e−iδ/2 + eiδ/2

]onde δ = kd sin θ = k(r2 − r1)

= 2AeikR cos(δ

2

)(4.5)

e a intensidade resultante em P fica

I = |v(x)|2 = 4A2 cos2

(δ

2

)(4.6)

4.2. MUDANCA DE FASE NA REFLEXAO 47

Como a intensidade de uma fenda isolada seria I1 = |v1(x)|2 = A2, temos

I = 4I1 cos2

(δ

2

)(4.7)

Ou seja, a intensidade de fato oscila entre 4I1 e 0. As condicoes para interferencia construtiva(maximos) ficam (usando k = 2π/λ):

δ = 2nπkd sin θ = 2nπ

2πλd sin θ = 2nπ → r2 − r1 = d sin θ = nλ (Maximo) (4.8)

e para interferencia destrutiva (mınimos) temos

δ = (2n+ 1)π → r2 − r1 = d sin θ =(n+

12

)λ (Mınimo) (4.9)

Para angulos pequenos a separacao entre os maximos (minimos) e de

∆θ =λ

d(4.10)

Note que a intensidade que passa pelas duas fendas seria 2I1. Como podemos ter entao pontoscom I = 4I1? Se calcularmos a intensidade media sobre varias regioes com franjas de maximos emınimos, como 〈cos2 δ/2〉 = 1/2, temos

〈I〉 = 2I1 (4.11)

ou seja, a intensidade media e igual a intensidade das duas fendas. Ha apenas uma redistribuicaode energia, com regioes com 2 vezes o valor medio e regioes com intensidade nula. Nas regioes ondeI = 0, o campo e nulo, ou seja, luz superposta com luz dando escuridao.

Como cos 2x = 2 cos2 x− 1, podemos escrever

I = 4I1 cos2

(δ

2

)= 2I1(1 + cos δ) = 2I1 + 2I1 cos δ (4.12)

O segundo termo, 2I1 cos δ, e chamado termo de interferencia, e sua presenca e prova de que a luze uma onda. Tivesse ela apenas carater corpuscular, esperarıamos I = 2I1 em todos os pontos.

4.2 Mudanca de Fase na Reflexao

Lembre que para reflexao em incidencia oblıqua, obtemos a relacao entre campo refletido e incidente:

Er‖ =α− βα+ β

Ei‖ e Er⊥ =1− αβ1 + αβ

Ei‖ (4.13)

onde α = cos θt/ cos θi e β = n2/n1 = sin θi/ sin θt. Vamos considerar n2 > n1, i.e. incidencia domeio menos para o mais refringente. Neste caso, θt < θi e temos

α− β =cos θtcos θi

− sin θisin θt

=sin θt cos θt − sin θi cos θi

cos θi sin θt=

sin(2θt)− sin(2θi)cos θi sin θt

< 0 (4.14)


Alem disso

cos θt > cos θi → α > 1 (4.15)sin θt < sin θi → β > 1 (4.16)

e portanto

1− αβ < 0 (4.17)

Desta forma, Er tera sinal oposto a Ei tanto para a componente ‖ quanto para a ⊥. Mas como

eiπ = cosπ + i sinπ = −1 , (4.18)

esse sinal negativo implica uma mudanca de fase de onda de π na onda refletida. Isso ocorre sempreque a reflexao ocorre com incidencia do meio menos para o mais refrativo.

Para uma mudanca de fase de π, usando k = 2π/λ temos:

E(x, t) = E0ei(kx−ωt) → E0e

iπei(kx−ωt) = E0ei[k(x+π/k)−ωt] = E0e

i[k(x+λ/2)−ωt] = E(x+ λ/2, t)

ou seja, a mudanca de fase de π implica uma defasagem espacial de λ/2 : x→ x+ λ/2.No caso contrario em que n2 < n1, nao ha mudanca de fase. Ja nos raios refratados:

Et‖ =2

α+ βEi‖ e Et⊥ =

21 + αβ

Ei‖ , (4.19)

os coeficientes sao sempre positivos, e tambem nao ha mudanca de fase.

4.3 Interferencia em Filmes Finos

Figura 4.4: Interferencia em uma pelıculafina de espessura d.

Considere uma pelıcula plana de espessura d, como mos-trada na Fig. 4.4. Um raio incide no ponto A da interfacedo meio 1 com a pelıcula, fazendo um angulo θ1. Partedeste raio e refletida (raio 1), e outra parte e transmitidaao meio 2 pelo trecho AB. Parte deste raio transmitidoe refletido de volta ao meio incidente via o trecho BC(raio 2), e outra parte e transmitida a um terceiro meio(raio 3).

Gostarıamos de saber a condicao de interferencia cons-trutiva/destrutiva dos raios 1 e 2 com comprimento deonda no vacuo λ. Vamos considerar o caso de incidenciapraticamente normal, i.e. θ1 ≈ θ2 ≈ θ3 ≈ 1 e assumirque n2 > n1 = n2, e.g. uma pelıcula de plastico suspensano ar . Neste caso, temos que a diferenca de caminhoentre os raios 1 e 2 e de 2d. Entretanto, como n2 > n1

o raio 1 sofre mudanca de fase de π na reflexao, ou equi-valentemente uma defasagem de λ/2. Portanto, para quetenhamos interferencia construtiva/destrutiva, e preciso

2d =(m+

12

)λ2 , onde m = 0, 1, 2, 3, ... (Construtiva) (4.20)

2d = mλ2 , onde m = 1, 2, 3, ... (Destrutiva) (4.21)

4.4. DIFRACAO 49

onde λ2 = λ/n2. Note que se tivessemos n3 > n2, terıamos uma mudanca de fase tambem do raio2 na sua reflexao em B. Portanto, neste caso, as condicoes de interferencia construtiva/destrutivase inverteriam com relacao ao caso acima.

Exercıcio: Considere o caso em que θ1 nao e pequeno e as diferencas de caminho ABC do raio2 e AD do raio 1 devem ser consideradas na condicoes de interferencia.

Por que o filme deve ser ”fino”? A luz incidente usualmente vem em pulsos de ondas geradospor processos aleatorios (emissao atomica, etc.). Portanto, para que haja interferencia e precisoque um unico pulso entre na pelıcula e retorne para interferir com ele mesmo, i.e. o raio 1 e 2devem ter o mesmo pulso de origem; caso contrario nao havera coerencia dos raios. E por isso quepodemos ver maximos e mınimos em uma bolha de sabao, mas nao em uma placa de vidro.

4.4 Difracao

Experimento de Young: luz de 2 fendas pequenas interferem na tela de observacao produzindo umpadrao de interferencia. O que ocorre no caso de apenas uma fenda, nao necessariamente pequena?

Figura 4.5: Formacao do 1o mınimo de di-fracao no ponto P1. (Halliday)

Princıpio de Huygens: uma frente de onda e um con-junto de fontes pontuais que se combinam para formara frente de onda em um instante seguinte. Difracao: in-terferencia da onda com ela mesma, i.e. luzes de todosos pontos (contınuo) da fenda interferem na tela de ob-servacao. O caso de uma fenda dupla pequena corres-ponde ao limite de apenas 2 pontos interferindo.

Aqui consideraremos apenas a difracao de Fraunhofer,em que os raios saindo da fenda podem ser aproximadoscomo paralelos, e.g. se a distancia da fenda a tela deobservacao D e grande. O limite de pequenas distanciascorresponderia a difracao de Fresnel.

Antes de achar o padrao de difracao e suas intensi-dades, podemos mais facilmente encontrar os pontos demınimo. Considere uma fenda simples de largura a, comona Fig 4.5. Considere a interferencia de pares de raios,e.g. raio 1 e raio 2, raio 3 e raio 4, etc. Para todos estespares de raios a diferenca de caminho entre eles e:

[1]− [2] = [3]− [4] = ... =a

2sin θ (4.22)

Se essa diferenca de caminho for igual a λ/2, todos esses pares se cancelaram em P1 na tela deobservacao, e teremos interferencia destrutiva neste ponto. Portanto:

a

2sin θ =

λ

2→ a sin θ = λ (1o mınimo) (4.23)


Figura 4.6: Formacao do 2o mınimo de di-fracao no ponto P2. (Halliday)

A condicao acima define o primeiro mınimo. Mınimossucessivos podem ser obtivos imaginando que exatamenteo que aconteceu na fenda de largura a, aconteca com cadauma de suas fracoes (e.g. cada uma de suas metades secancela independentemente, etc).

Por exemplo, se dividirmos a fenda em 2 partes, cadauma de largura a/2 e repetirmos a analise acima para cadaparte, os raios na primeira metade da fenda se cancelame os raios na segunda metade de cancelam independente-mente. A Fig 4.6 mostra essa segunda maneira dos raiosse cancelarem no ponto P2 da tela de observacao. Vamosconsiderar novamente a interferencia de pares de raios,e.g. raio 1 e raio 2, raio 2 e raio 3, etc. Para estes paresa diferenca de caminho e:

[1]− [2] = [2]− [3] = ... =a

4sin θ (4.24)

Se essa diferenca de caminho for igual a λ/2, todos os pares da primeira metade da fenda secancelarao e todos os pares da segunda metade se cancelarao de forma independente. Assim, todosos pares da fenda como um todo se cancelam em P2:

a

4sin θ =

λ

2→ a sin θ = 2λ (2o mınimo) (4.25)

Prosseguindo neste racıocinio sucessivamente, temos

a sin θ = mλ (mth mınimo) (4.26)

Antes de calcular o padrao de difracao em um fenda simples, vamos primeiro lembrar do casoda interferencia em fenda dupla de largura pequena, como mostrado na Fig 4.7.

Neste caso, tınhamos

E(P ) = E1 + E2,

onde E1 = v1e−iωt, e v1 = Aeikr1

4.4. DIFRACAO 51

Figura 4.7: Interferencia em uma fenda dupla. (Serway)

Mostramos anteriormente que

E(P ) = ve−iωt

onde v = v[e−ik

d2

sin θ + e+ik d2

sin θ]

e v = AeikR

Definindo coordenadas ~x com centro entreas duas fendas, e denotanto a coordenada dafenda de cima x1 = d/2 e da fenda de baixox2 = −d/2, segue que

~k · ~x1 = |~k||~x1| cos(π

2− θ)

= kd

2sin θ

~k · ~x2 = |~k||~x2| cos(π

2+ θ)

= −kd2

sin θ

Portanto, podemos escrever a amplitude do campo no caso de uma fenda dupla como

v = v[e−i~k·~x1 + e−i~k·~x2 ]

= v2∑j=1

e−i~k·~xj (4.27)

Figura 4.8: Difracao em uma fenda simples.Cada ponto ~x no contınuo da fenda contribuipara a interferencia com fase ~k · ~x. (Serway)

Para obter o padrao de difracao, so precisamos ge-neralizar essa expressao para infinitos pontos ao invesde apenas 2. Para N pontos na fenda igualmenteespacados de ∆x = a/N , onde a e o tamanho da fendaterıamos

v(θ) = vN∑j=1

e−i~k·~xj (4.28)

Note que quanto θ = 0, temos ~k · ~xj = kxj sin 0 = 0para todo j, e a amplitude e maxima:

v(0) = v

N∑j=1

1 = Nv (4.29)

Portanto, relativamente a este valor maximo, temos(usando ∆x = a/N):

v(θ)v(0)

=1N

N∑j=1

e−i~k·~xj =

1a

N∑j=1

e−i~k·~xj∆x (4.30)

Tomando o limite N →∞ em que ∆x→ 0, a soma se torna uma integral

v(θ)v(0)

=1a

∫ a/2

−a/2e−i

~k·~xdx (4.31)


que podemos calcular como

v(θ)v(0)

=1a

∫ a/2

−a/2e−i

~k·~xdx =1a

∫ a/2

−a/2e−ikx sin θdx =

1a

e−ikx sin θ

−ik sin θ|a/2−a/2

=1a

e−ika2

sin θ − eika2

sin θ

−ik sin θ=

1k a2 sin θ

eika2

sin θ − e−ika2

sin θ

2i=

sin(k a2 sin θ)k a2 sin θ

ou seja

v(θ)v(0)

=sin(β/2)β/2

β = ka sin θ

Finalmente, como I = 〈E2〉 = |v|2, temos

I(θ)I0

=v(θ)2

v(0)2

ou

I(θ)I0

=(

sin(β/2)β/2

)2

onde β = ka sin θ ( Difracao, Fenda Simples) (4.32)

Figura 4.9: Padrao de intensidade na difracao emuma fenda simples. (Serway)

Este padrao de interferencia esta mostrado naFig 4.9. Note que os mınimos ocorrem quandosin(β/2) = 0, ou seja para

β

2= mπ, m = 1, 2, ...

→ ka sin θ2

= mπ, k = 2π/λ

→ a sin θ = mλ

(4.33)

que e exatamente a condicao que havıamos en-contrado anteriormente. A posicao dos maximospode ser bem aproximada como centrada entre doismınimos sucessivos. A regiao do maximo central ex-tendida ate o primeiro mınimo contem mais de 90%da intensidade total.

Se considerarmos agora novamente uma fenda dupla, mas com fendas de tamanho a nao des-prezıvel, temos que o efeito de interferencia das duas fendas se sobrepoe a difracao de cada fendaindividual. Desta forma, o padrao de interferencia/difracao sera dado por

I(θ)I0

= cos2(δ/2)(

sin(β/2)β/2

)2

onde δ = kd sin θ e β = ka sin θ Fenda Dupla (4.34)

4.4. DIFRACAO 53

Neste caso temos mınimos de interferencia (δ = (m + 1/2)π) e mınimos de difracao (β = mπ)que se superpoem. Normalmente d > a, portanto o espacamento de mınimos de interferencia(∆θint ∼ λ/d) sao menores que o espacamento de mınimos de difracao (∆θdif ∼ λ/a). Assim opadrao de difracao acaba servindo como um envelope ao padrao de interferencia. Este padraoresultante de interferencia/difracao esta mostrado na Fig 4.10.

Figura 4.10: Padrao de Interferencia e Difracao das ondas que passam por duas fendas. (Serway)

Capıtulo 5

Mecanica Estatıstica

O objetivo principal da mecanica estatıstica e relacionar as propriedades microscopicas de sistemasfısicos (seus estados quanticos) com suas propriedades macroscopicas ou termodinamicas (tempe-ratura, pressao, etc.). Neste capıtulo fazemos um estudo destes conceitos e conexoes, derivamos adistribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann e consideramos o problema da radiacao termicade corpo negro do ponto de vista classico.

5.1 Estados de Energia

• Considere um sistema qualquer de partıculas (atomos, moleculas, gas, osciladores harmonicos,etc.) com energia total Er.

• Suponha que existam varias maneiras de as partıculas do sistema terem essa energia totalEr. Chamamos cada uma dessas maneiras de um estado do sistema. Podemos enumerar essesvarios estados r = 1, 2, 3, ....

• Os estados microscopicos sao ultimamente descritos pelas leis da mecanica quantica (Eq. deSchrodinger) que rege o sistema.

Exemplo: 3 eletrons, cada um com spin na direcao z para cima ou para baixo e respectivomomento magnetico +µ ou µ. Na presenca de um campo magnetico B, cada eletron temenergia E = µB ou −µB. Se soubermos, por hipotese, que a energia E total do sistema e+µB, isso significa que dois eletrons tem spin + e um deles -. Supondo que os eletrons saodistinguıveis, os estados possıveis sao (++-), (+-+), (-,++). Qualquer um desses 3 estadostem a mesma energia +µB.

• Classicamente, o estado de uma partıcula e descrito por sua posicao e seu momento linear. Deacordo com as leis da mecanica classica (leis de Newton), uma vez especificado este estado,sabemos como ele evolui no tempo.

Exemplo: Um oscilador harmonico simples:

E =p2

2m+

12mω2x2 (5.1)

Para uma energia fixa, todos os valores de x e p definidos na equacao acima (formando umaelipse no plano x− p) sao possıveis estados do oscilador com energia E.

55

56 CAPITULO 5. MECANICA ESTATISTICA

• Seja Ω(E) o numero total de estados de um sistema com energia E.

• Postulado Estatıstico Basico: Em um sistema isolado, em equilıbrio e com energia E,todos os estados acessıveis, i.e. consistentes com a energia E, sao igualmente provaveis.

• Como consequencia, a probabilidade P (E) de o sistema ter energia E e proporcional aonumero de estados Ω(E) com essa energia:

P (E) = CΩ(E) (5.2)

• Uma definicao importante e a entropia S de um sistema:

S = kB ln Ω(E) (5.3)

onde kB e a constante de Boltzmann. A entropia e uma medida do numero de estadosacessıveis de um sistema.

5.2 Temperatura, Pressao, Trabalho e Calor

• Acima, o numero de estados pode depender do volume V e do numero de partıculas N , deforma que S = S(E, V,N). Podemos entao tomar E como funcao de S, V e N :

E = E(S, V,N) (5.4)

• Uma maneira de alterar a energia de um sistema (e.g. no caso em que E = E(V ) ) erealizando trabalho dW sobre ele. Em termos da pressao P feita pelo sistema quando ele vaide um volume V a outro V + dV temos que o trabalho realizado pelo sistema e

dW = Fds = (P A)ds = P (A dS) = PdV (5.5)

• Ao fazer esse trabalho, a energia do sistema varia de dE = −dW = −PdV , e temos

P = −∂E∂V

(5.6)

• No caso em que nao ha mudanca no numero de partıculas de um sistema (dN = 0), a unicaoutra forma de alterar a energia do sistema e quando ele absorve/da calor dQ do/ao meio. Ocalor dQ e entao definido como a variacao na energia que nao seja devida ao trabalho:

dE = −dW + dQ → dQ = dE + dW (5.7)

• Por outro lado, o elemento diferencial dE e dado por

dE =∂E

∂SdS +

∂E

∂VdV +

∂E

∂NdN (5.8)

5.2. TEMPERATURA, PRESSAO, TRABALHO E CALOR 57

• Definimos

T ≡ ∂E

∂S: Temperatura (5.9)

P ≡ −∂E∂V

: Pressao (5.10)

µ ≡ ∂E

∂N: Potencial Quımico (5.11)

em termos dos quais o elemento dE fica

dE = TdS − PdV + µdN (5.12)

• No caso em que dN = 0, temos entao

dE = TdS − dW (5.13)

e comparando com a Eq. 5.7, temos que o calor e dado por

dQ = TdS (5.14)

• Note que

1T

=∂S

∂E= kB

∂ ln Ω(E)∂E

(5.15)

e podemos definir a grandeza β, que aparecera em calculos posteriores

β ≡ 1kBT

≡ ∂ ln Ω(E)∂E

(5.16)

• Como E = E(S, V,N), podemos inverter essa relacao em termos da entropia S = S(E, V,N).Para essa funcao temos

dS =∂S

∂EdE +

∂S

∂VdV +

∂S

∂NdN (5.17)

• E definimos

1T≡ ∂S

∂E: Temperatura (5.18)

P

T≡ ∂S

∂V: Pressao (5.19)

µ

T≡ − ∂S

∂N: Potencial Quımico (5.20)

que, usando S = kB ln Ω(E, V,N) e β = (kBT )−1, sao equivalentes a

β =∂ ln Ω(E, V,N)

∂E(5.21)

βP =∂ ln Ω(E, V,N)

∂V(5.22)

βµ = −∂ ln Ω(E, V,N)∂N

(5.23)


• Em termos destas, o elemento dS fica

dS =dE

T+P

TdV − µ

TdN (5.24)

ou equivalentemente, como antes,

TdS = dE + PdV − µdN (5.25)

5.3 Equilıbrio Termodinamico

• No equilıbrio, as propriedades macroscopicas de um sistema nao mudam. Isso quer dizerque, embora possam haver transicoes nos estados microscopicos, estes nao alteram o estadomacroscopico do sistema. Este estado e atingido quando a probabilidade P (E, V,N) atingeseu maximo.

• Considere um sistema A com energia E, volume V e N partıculas em contato termico comoutro sistema A′ com energia E′, volume V ′ e N ′ partıculas. O sistema combinado A0 = A+A′

tem energia E0, volume V 0 e numero de partıculas N0 conservados:

E0 = E + E′ = constante (5.26)V 0 = V + V ′ = constante (5.27)N0 = N +N ′ = constante (5.28)

• Se A tem energia E, a energia de A′ esta determinada a ser E′ = E0−E. Similarmente parao volume e numero de partıculas.

• Denote por Ω0(E, V,N) o numero de estados do sistema combinado A0 quando A tem energiaE, volume V e N partıculas.

• A probabilidade de ter A0 tal que A tem essas caracterısticas e

P (E, V,N) = CΩ0(E, V,N) (5.29)

• Seja Ω(E, V,N) o numero de estados de A com energia E, e similarmente Ω′(E′, V ′, N ′) =Ω′(E0 − E, V 0 − V,N0 −N) o numero de estados de A′ com energia E′. Temos entao que

Ω0(E, V,N) = Ω(E, V,N)Ω′(E′, V ′, N ′) (5.30)

e, portanto,

P (E, V,N) = CΩ(E, V,N)Ω′(E′, V ′, N ′) (5.31)

• No equilıbrio, P (E, V,N) e maxima, bem como seu logaritmo:

lnP (E, V,N) = lnC + ln Ω(E, V,N) + ln Ω′(E′, V ′, N ′) (5.32)

Portanto,

d lnP =∂ lnP∂E

dE +∂ lnP∂V

dV +∂ lnP∂N

dN = 0 (5.33)

5.4. DISTRIBUICAO DE BOLTZMANN E FUNCAO DE PARTICAO 59

• Como as variacoes dE, dV e dN sao independentes, cada derivada parcial deve ser nulaseparadamente:

∂ lnP∂E

=∂ ln Ω∂E

+∂ ln Ω′

∂E′∂E′

∂E= β − β′ = 0 → β = β′ → T = T ′ (5.34)

∂ lnP∂V

=∂ ln Ω∂V

+∂ ln Ω′

∂V ′∂V ′

∂V= βp− β′p′ = 0 → p = p′ (5.35)

∂ lnP∂N

=∂ ln Ω∂N

+∂ ln Ω′

∂N ′∂N ′

∂N= −βµ+ β′µ′ = 0 → µ = µ′ (5.36)

ou seja, os dois sistemas tem a mesma temperatura, pressao e potencial quımico no equilıbrio.

• Note que

kB lnP (E) = kB lnC + kB ln Ω0(E) = kB lnC + S0 (5.37)

ou seja, maximizar P (E) e equivalente a maximar a entropia total S0, que satisfaz :

S0 = kB ln Ω0(E) = kB ln[Ω(E)Ω′(E′)] = kB ln Ω(E) + kB ln Ω′(E′) = S + S′ (5.38)

• Portanto, no equilıbrio, P (E) e maxima→ S0 = S+S′ e maxima→ T = T ′, p = p′ e µ = µ′.

5.4 Distribuicao de Boltzmann e Funcao de Particao

• Considere agora um sistema A em um estado r, com energia Er e Nr partıculas, em contatocom um sistema e A′ muito maior do que A, i.e. um reservatorio termico com energia E′ Ere N ′ Nr partıculas. Desta forma E0 = Er + E′ Er.

• Vamos assumir que os volumes V e V ′ sao fixos, e o sistema A troca apenas calor e possivel-mente partıculas com o reservatorio A′. Temos

P (Er, Nr) = C1Ω(Er, Nr)Ω′(E′, N ′) = C ′Ω′(E0 − Er, N0 −Nr)= C ′ exp

[ln Ω′(E0 − Er, N0 −Nr)

](5.39)

• Expandindo em torno de E0, N0, temos

ln Ω′(E0 − Er, N0 −Nr) = ln Ω′(E0, N0)− ∂ ln Ω′

∂E′Er −

∂ ln Ω′

∂N ′Nr + ... (5.40)

e como Er E0 e Nr N0, podemos desprezar os demais termos da expansao. Usando asdefinicoes de β e βµ, temos

ln Ω′(E0 − Er, N0 −Nr) = ln Ω′(E0, N0)− βEr + βµNr + ... (5.41)

Portanto

P (Er, Nr) = C ′ exp[ln Ω′(E0, N0)− βEr + βµNr

]= C ′Ω′(E0, N0)e(−βEr+βµNr)

ou finalmente

P (Er, Nr) = Ce−β(Er−µNr) (Distribuicao Grand-Canonica) (5.42)


• O termo e−β(Er−µNr) chama-se fator de Gibbs.

• No caso em que nao ha troca de partıculas entre A e o reservatorio, o numero de estados naodepende do numero de partıculas, e temos apenas

P (Er) = Ce−βEr (Distribuicao Canonica) (5.43)

• O termo e−βEr chama-se fator de Boltzmann.

• Para determinar a constante C, impomos a normalizacao de P (Er):

∑r

P (Er) = C∑r

e−βEr = 1 → C =

(∑r

e−βEr

)−1

(5.44)

• Portanto a probabilidade, normalizada fica

P (Er) =e−βEr∑r e−βEr (5.45)

• Essa distribuicao tambem e conhecida como Distribuicao de Maxwell-Boltzmann. Eladiz que valores de Er kBT sao exponencialmente suprimidos/improvaveis.

• A somatoria nos estados do fator de Boltzmann e chamada funcao de particao Z:

Z =∑r

e−βEr (Funcao de Particao) (5.46)

ou seja

P (Er) =e−βEr

Z(5.47)

• O fator de Boltzmann da a probabilidade de um estado especıfico r. Se quisermos saber aprobabilidade de termos uma energia qualquer entre E e E + δE, devemos considerar todosos estados entre esses limites:

P (E) =∑r

P (Er), r tal que E < Er < E + δE (5.48)

Para δE pequeno, todos os estados tem basicamente a mesma exponencial e−βEr ∼ e−βE , eessa soma da simplesmente o numero de estados Ω(E) que satisfazem a condicao acima vezesa exponencial:

P (E) = Ω(E)e−βE (5.49)

5.5. MEDIAS E VINCULOS 61

5.5 Medias e Vınculos

• As distribuicoes canonica e grand-canonica podem facilitar o calculo de medias termodinamicas,quando temos vınculos na energia e/ou numero de partıculas do sistema. Por exemplo, sesabemos que a energia total e/ou o numero total de partıculas e constante.

• Essas distribuicoes podem ser usadas mesmo em sistemas isolados, que nao estao em contatocom um reservatorio termico, pois ao retirarmos o sistema em equilıbrio do contato com oreservatorio, ele permanecera em equilıbrio e com os mesmos valores medios das grandezasmacroscopicas.

• Por exemplo, suponha que saibamos que a energia do sistema esta entre E e E + δE eo numero de partıculas do sistema esta entre N e N + δN , e que existem Ω(E,N) estadosnessas condicoes. O valor medio de uma grandeza y pode ser calculado usando a distribuicaomicrocanonica:

y =∑

r yrΩ(E,N)

r tal que E < Er < E + δE e N < Nr < N + δN (5.50)

Note que temos que impor ambas as condicoes de energia e no numero de partıculas nacontagem de estados, o que pode ser complicado.

• Similarmente, o valor medio pode ser obtido com a distribuicao canonica:

y =∑

r yre−βEr∑

r e−βEr r tal que N < Nr < N + δN (5.51)

Nesse caso so existe a restricao no numero de partıculas. Caso partıculas possam ser criadase destruıdas e nao sejam conservadas, nao ha vinculo no numero de particulas. Esse e o casoe.g. da radiacao de corpo negro, ja que fotons podem ser absorvidos e re-emitidos sem terseu numero conservado.

• Finalmente, o valor medio pode ser obtido com a distribuicao grand-canonica:

y =∑

r yre−β(Er−µNr)∑

r e−β(Er−µNr)

(5.52)

Nesse caso nao ha nenhuma restricao nos somatorios. Novamente, caso nao haja restricao nonumero de partıculas, tomamos µ = 0 e retornamos a distribuicao canonica.

• No caso da distribuicao canonica, temos para a energia

E =∑

r Ere−βEr∑

r e−βEr

e como ∑r

Ere−βEr = −

∑r

∂

∂β

(e−βEr

)= − ∂

∂βZ

temos

E = − 1Z

∂Z

∂β= −∂ lnZ

∂β(5.53)


• Temos tambem para a pressao:

p =∑

r pre−βEr∑

r e−βEr =

∑r

(−∂Er

∂V

)e−βEr∑

r e−βEr

e como ∑r

∂Er∂V

e−βEr = − 1β

∂

∂V

(∑r

e−βEr

)= − 1

β

∂

∂VZ

temos

p =1βZ

∂Z

∂V=

1β

∂ lnZ∂V

(5.54)

• Por fim, usando a distribuicao grand-canonica, temos o numero medio:

N =∑

rNre−βEr+αNr∑

r e−βEr+αNr , α = βµ

=∂∂α

∑r e−βEr+αNr∑

r e−βEr+αNr ,

=∂ lnZg∂α

, Zg =∑r

e−βEr+αNr , α = βµ (5.55)

5.6 Gas Ideal e Limite Classico

• Classicamente, os nıveis de energia sao contınuos e dados pela energia cinetica p2/2m epotencial U(x). No caso unidimensional

E(x, p) =p2

2m+ U(x) (5.56)

• Os nıveis de energia sao determinados pela posicao x e o momento p, que determinam umplano xp, chamado espaco de fase.

• Podemos dividir o espaco de fase em celulas de tamanho δxδp = h, cada uma definindo umestado r. Classicamente h pode ser arbitrariamente pequeno. Quanticamente, veremos que,devido ao prıncipio de incerteza, h e uma constante finita, a constante de Planck. Note queh tem unidade de momento angular.

• Para uma energia no intervalo E e E + dE, onde dE esta associada a intervalos dxdp noespaco de fase, temos

Ω(E) = Ω(x, p) =dxdp

δxδp=dxdp

h(5.57)

• No caso tridimensional

E(~x, ~p) =|~p|2

2m+ U(~x) (5.58)

5.6. GAS IDEAL E LIMITE CLASSICO 63

e

Ω(E) = Ω(~x, ~p) =d3xd3p

h3(5.59)

• Para um sistema de N partıculas

E(~x1, ..., ~xN , ~p1, ..., ~pN ) =|~p1|2 + ...+ |~pN |2

2m+ U(~x1, ..., ~xN ) (5.60)

e

Ω(E) = Ω(~xi, ~pi) =d3x1d

3p1...d3xNd

3pNh3N

(5.61)

• Vamos considerar uma partıcula do gas, sendo todas as outras o reservatorio termico. Evamos considerar um gas diluıdo, de modo que podemos tomar a interacao nula, i.e. U = 0.Para essa partıcula, a probabilidade de ter energia em [E,E + dE], ou equivalentemente deter posicao e momento em [~x, ~x+ d3x] e [~p, ~p+ d3p] e

P (E) = CΩ(E)e−βE

→ P (~x, ~p)d3xd3p = Cd3xd3p

h3e−β(p2/2m) (Gas Ideal) (5.62)

e a constante C e tal que ∫d3x

∫d3p P (~x, ~p) = 1 (5.63)

• A funcao de distribuicao f(~x, ~p) = NP (~x, ~p) e tal que:

f(~x, ~p)d3xd3p = numero de partıculas com posicao e momento em [~x, ~x+ d3x] e [~p, ~p+ d3p]

e e normalizada como ∫d3x

∫d3p f(~x, ~p) = N (5.64)

• A funcao de particao para 1 partıcula fica

Z1 =∑r

e−βE =∑E

Ω(E)e−βE

=∫d3xd3p

h3e−β(p2/2m) (5.65)

• Para o sistema de N partıculas

Z =∫d3x1d

3p1...d3xNd

3pNh3N

exp [−β(p21 + ...+ p2

N )/2m]

=∫d3x1d

3p1

h3e−β(p2

1/2m)...

∫d3xNd

3pNh3

e−β(p2N/2m)

= (Z1)N (5.66)


Para Z1, temos

Z1 =∫d3xd3p

h3e−β(p2/2m)

=V

h3

∫d3pe−β(p2/2m)

e como ∫d3pe−β(p2/2m) =

∫dpxe

−β(p2x/2m)

∫dpye

−β(p2y/2m)

∫dpze

−β(p2z/2m)

=(∫

dpxe−β(p2

x/2m)

)3

=(√

π

β/2m

)3

=(

2πmβ

)3/2

(5.67)

temos

Z1 = V

(2πmh2β

)3/2

(5.68)

Portanto

lnZ = N lnZ1 = N

[lnV − 3

2lnβ +

32

ln(

2πmh2

)](5.69)

• Assim, temos as grandezas termodinamicas:

E = −∂ lnZ∂β

=32N

β→ E =

32NkBT (5.70)

e

p =1β

∂ lnZ∂V

=1β

N

V=NkBT

V→ pV = NkBT (5.71)

Expressando N = νNa, onde ν e o numero de mols de particulas e Na = 6.02 × 1023 e onumero de Avogadro, podemos escrever

pV = ν(NakB)T → pV = νRT (5.72)

onde R = NakB = 6.02× 1023 . 1.38× 10−23 = 8.31 J/K e a constante dos gases.

• Note que NkBT = (2/3)E e portanto p = (2/3)E/V . Denotando a densidade de energiau = E/V , temos

p =23u (5.73)

• Posteriormente, consideraremos o gas ideal quantico, tanto para a estatıstica de Boltzmann,quanto para gases de bosons (e.g. fotons) e fermions (e.g. eletrons).

5.7. TEOREMA DA EQUIPARTICAO DE ENERGIA 65

5.7 Teorema da Equiparticao de Energia

• Usando o formalismo desenvolvido ate agora, podemos demonstrar um resultado muito im-portante da termodinamica, o teorema de equiparticao de energia.

• Vamos supor que a energia total E do sistema, que e funcao das f coordenadas x1, ..., xf emomentos p1, ..., pf , possa ser separada em dois termos:

E(x1, ..., xf , p1, ..., pf ) = εi + E′(x1, ..., xf , p1, ..., pf ) (5.74)

e que o termo εi seja da forma

εi = εi(pi) = bp2i , onde b = constante (5.75)

• Poderıamos tambem tomar εi = bx2i , e o resultado seria o mesmo. Ou seja, εi e um termo

quadrado de uma das coordenadas ou dos momentos (graus de liberdade) na energia total dosistema.

• O valor medio de εi fica

εi =∫εie−βEdx1...dpf dpi/h

f+1∫e−βEdx1...dpf dpi/hf+1

=∫εie−β(εi+E

′)dx1...dpf dpi∫e−β(εi+E′)dx1...dpf dpi

=∫εie−βεidpi

∫e−βE

′dx1...dpf∫

e−βεidpi∫e−βE′dx1...dpf

=∫εie−βεidpi∫

e−βεidpi

=− ∂∂β

(∫e−βεidpi

)∫e−βεidpi

= − ∂

∂βln(∫

e−βεidpi

)= − ∂

∂βln(∫

e−βbp2i dpi

)= − ∂

∂βln(√

π

βb

)= − ∂

∂βln(√

π

βb

)= − ∂

∂β

(−1

2lnβ

)=

12β

Portanto

εi =12kBT (5.76)

• Obviamente o mesmo teria acontecido com εi = bx2i , pois farıamos a integral em dx2

i .

• Equiparticao: O valor medio de cada termo (grau de liberdade) na energia, quadratico nascoordenadas ou nos momentos, e igual a kBT/2.

5.8 Distribuicao de Velocidades de Maxwell

• Definimos a funcao de probabilidade de um gas ideal no limite classico:

P (~x, ~p)d3xd3p : Probabilidade de uma partıcula ter posicao e momento em d3x e d3p

ao redor de ~x e ~p

e obtivemos essa probabilidade:

P (~x, ~p)d3xd3p = C ′d3xd3p

h3e−β(p2/2m) (5.77)


• Similarmente definimos a funcao de distribuicao como:

f(~x,~v)d3xd3v : Numero medio particulas com posicao e velocidade em d3x e d3v

ao redor de ~x e ~v

que e dada por f(~x, ~p) = NP (~x,~v/m):

f(~x,~v)d3xd3v = C d3xd3v e−β(mv2/2) (5.78)

com C sendo determinada pela normalizacao∫f(~x,~v)d3xd3v = N (5.79)

(5.80)

Fazendo a integral no volume V =∫d3x, temos

N =∫d3x

∫d3vf(~x,~v)

= CV

∫d3ve−β(mv2/2)

= CV

(∫dvxe

−(βm/2)v2x)

)3

= CV

(2πβm

)3/2

→ C = n

(βm

2π

)3/2

, onde n =N

V(5.81)

Portanto a distribuicao fica

f(~v)d3xd3v = n

(βm

2π

)3/2

e−β(mv2/2)d3xd3v (Distribuicao de Maxwell) (5.82)

• Temos tambem

f(~x,~v)d3v : Numero medio de partıculas por unidade de volume com velocidade em d3v

ao redor de ~v.

• Usando∫d3v = 4π

∫v2dv, podemos definir F (v)dv = 4πv2f(v)dv

F (v)dv : Numero medio de partıculas por unidade de volume com velocidade em dv

ao redor de v = |~v|.

e temos

F (v)dv = 4πn(βm

2π

)3/2

v2e−β(mv2/2)dv (Distribuicao de Maxwell) (5.83)

• Na Fig. 5.1, mostramos a distribuicao de velocidades F (v), bem como alguns valores mediosassociados a ela.

5.8. DISTRIBUICAO DE VELOCIDADES DE MAXWELL 67

Figura 5.1: Distribuicao de velocidades de Boltzmann F (v). Tambem mostrados o valor medio da velocidadev, o valor mais provavel v e a raiz quadrada da velocidade quadratica media vrms =

√v2. (Reif)

5.8.1 Valores medios

• A velocidade media v e dada por

v =∫v f(~v)d3v∫f(~v)d3v

=1n

∫v f(~v)d3v =

1n

∫v F (~v)dv

=1n

∫v 4πn

(mβ

2π

)3/2

v2e−mβv2/2dv

= 4π(mβ

2π

)3/2 ∫v3e−mβv

2/2dv

e como ∫x3e−ax

2dx = − ∂

∂a

∫xe−ax

2dx = − ∂

∂a

∫e−ay

dy

2

= − ∂

∂a

(−e−ay

2a

)=(−ye−ay

2a− e−ay

2a2

)∞0

=1

2a2(5.84)

temos, com a = mβ/2:

v =4√π

(mβ

2

)3/2 12

(2mβ

)2

=2√π

(2mβ

)1/2

→ v =

√8π

kBT

m≈√

2.55kBT

m(Velocidade media) (5.85)


• Ja o valor medio da velocidade ao quadrado fica

v2 =1n

∫v2 f(~v)d3v =

1n

∫v F (~v)dv

= 4π(mβ

2π

)3/2 ∫v4e−mβv

2/2dv

e como ∫x4e−ax

2dx =

(− ∂

∂a

)∫x2e−ax

2dx =

(− ∂

∂a

)(− ∂

∂a

)∫e−ax

2dx

=∂2

∂a2

∫ ∞0

e−ax2dx =

∂2

∂a2

(12

√π

a

)=√π

2∂

∂a

(−1

2a−3/2

)=√π

2

(34a−5/2

)=

38√πa−5/2 (5.86)

temos, com a = mβ/2:

v2 =4√π

(mβ

2

)3/2 38√π

(2mβ

)5/2

=32

(2mβ

)=

3kBTm

→ vrms =√v2 =

√3kBTm

(Raiz da Velocidade quadratica media) (5.87)

• Uma outra quantidade relevante e a velocidade mais provavel v, onde F (v) atinge seu pico edefinida por

dF (v)dv

= 0

2ve−βmv2/2 + v2(−βmv)e−βmv

2/2 = 0

v2 =2βm

(5.88)

ou

v =

√2kBTm

(Velocidade mais provavel) (5.89)

Note que todas essas velocidades sao da ordem de√kBT/m.

5.9 Radiacao Termica Classica e Espectro de Corpo Negro

• Estamos interessados em estudar o espectro da radiacao termica, i.e. o espectro da radiacaode um ambiente ou corpo a temperatura T , e.g. uma estrela, . Como veremos, a maneiracomo a energia se distribui nas varias frequencias desta radiacao depende de sua temperatura.

• Um corpo negro ideal absorve toda radiacao que incide em sua superfıcie. Em equilıbriocom o ambiente, ele tambem emite radiacao na mesma temperatura em cada comprimentode onda. Por exemplo, a temperatura ambiente, um corpo negro emite mais radiacao noinfra-vermelho. A temperaturas mais altas, a radiacao predominante passa a ter frequenciasmaiores.

5.9. RADIACAO TERMICA CLASSICA E ESPECTRO DE CORPO NEGRO 69

• Podemos entao estudar o problema da radiacao termica resultante de qualquer processo fısicoque leve a um equilıbrio t ermico, considerando a radiacao emitida por um corpo negro emcontato com essa radiacao.

• Considere um corpo negro como sendo uma caixa fechada de comprimento L e volume V = L3,contendo radiacao eletromagnetica em seu interior. Podemos pensar que a radiacao termicaambiente entra por um pequeno buraco na caixa, sendo prontamente absorvida. No equilıbrioa radiacao e re-emitida pelos atomos na parede da caixa.

• Sabemos que cargas oscilando (e.g. aceleradas) emitem radiacao, portanto, como modeloclassico do corpo negro, tomaremos os atomos de suas paredes como osciladores harmonicosem equilıbrio com a radiac ao. Classicamente, a energia da radiacao depende de sua amplitudeE0 e a energia media de cada oscilador (E = mv2/2 +mωx2/2), pela equiparticao, e kBT .

• Como sabemos, classicamente o campo eletromagnetico no vacuo dentro da caixa satisfaz aequacao de ondas:

∇2E − 1c2

∂E

∂t2= 0 (5.90)

cuja solucao e dada por

~E(x, y, z) = ~E0ei(k·~r−ωt) = ~E0e

i(kxx+kyy+kzz)e−iωt (5.91)

onde k2 = k2x + k2

y + k2z =

ω2

c2(5.92)

• Como o campo esta dentro da caixa, seu valor deve se anular nas bordas superficiais, i.e.quando x ou y ou z forem iguais a 0 ou L.

Ou seja, a solucao de ondas se propagando acima na verdade deve se reduzir a uma solucaode onda estacionaria. Como

eikxx = cos(kxx) + i sin(kxx) (5.93)

devemos tomar somente a parte sin(kxx) que se anula apropriadamente quando x = 0. Omesmo vale para y e z. Portanto:

~E = ~E0 sin(kxx) sin(kyy) sin(kzz)e−iωt (5.94)

• Alem disso, a solucao deve se anular para e.g. x = L, o que implica

kxL = nxπ nx = 1, 2, 3, ... (5.95)

e o mesmo para y = L e z = L. Portanto e preciso que

kx = nxπ

L, ky = ny

π

L, kz = nz

π

L(5.96)

e portanto o numero de estados, i.e. o numero de maneiras das ondas existirem e enumeradopelos inteiros nx, ny e nz. Note que tomamos nx, ny, nz > 0 e portanto kx, ky, kz > 0, poismudando de sinal kx → −kx temos sin kxx → − sin kxx, que corresponde ao mesmo estado,ja que basta fazer ~E0 → − ~E0.


• A pergunta que gostarıamos de responder e: qual a energia media dessas ondas em umintervalo de frequencia dν?

A ideia e contar o numero de estados possıveis dentro de dν e entao multiplicar esse numeropela energia media de cada estado.

• Precisamos saber entao, qual o numero de estados possıveis dentro do intervalo de frequenciadν. E como k = 2π/λ = 2πν/c, temos dk = 2πdν/c. Portanto, precisamos saber o numerode estados em cada dkx, etc.

• Como nx, ny e nz contam os estados, quando variamos nx de ∆nx, produzimos uma variacaode kx dada por dkx = ∆nxπ/L. Portanto, dentro de um intervalo dkx, cabem

∆nx =dkxπL estados (5.97)

e similarmente para y e z. Portanto, denotando o numero total de estados no intervalod3k = dkxdkydkz por Ω~kd

3k, temos

Ω~kd3k = ∆nx∆ny∆nz =

dkxπLdkyπLdkzπL =

L3

π3d3k =

V

π3d3k (5.98)

• Gostarıamos agora de saber o numero de estados Ωkdk em uma camada esferica dk. Lem-bramos que estamos restritos a valores de kx, ky e kz que sao > 0, ou seja, se restringem aoprimeiro octante. Como d3k = dΩk2dk, podemos integrar no angulo total e dividir por 8:

Ωkdk = Ω~k

∫4π dΩ

8k2dk =

V

π3

4π8k2dk =

V

2π2k2dk (5.99)

ou equivalentemente, em termos de ν:

Ωνdν =V

2π2

(2πνc

)2 2πdνc

= V4πc3ν2dν (5.100)

• Finalmente, notamos que para uma direcao de propagacao definida por ~E0, temos 2 pola-rizacoes possıveis para os campos eletromagneticos, que formam dois possıveis conjuntos deestados da radiacao. Por exemplo se a radiacao se propaga na direcao z, podemos ter Ena direcao x e B na direcao y, ou equivalentemente E na direcao y e B na direcao −x.Devemos entao multiplicar o numero de estados anteriores por 2 para considerar essas duaspossibilidades de polarizacao, obtendo finalmente:

Ωνdν = V8πc3ν2dν (Numero de estados em dν) (5.101)

ou em termos do comprimento de onda, usando ν = c/λ e |dν| = c/λ2dλ:

Ωλdλ = V8πλ4dλ (Numero de estados em dλ) (5.102)

5.9. RADIACAO TERMICA CLASSICA E ESPECTRO DE CORPO NEGRO 71

• Como todos esses estados sao igualmente provaveis, a energia media para a radiacao comfrequencia no intervalo dν fica:

U(ν)dν = ε Ωνdν = ε V8πc3ν2dν (5.103)

e portanto a densidade de energia u = U/V no intervalo dν fica

u(ν)dν = ε8πc3ν2dν (5.104)

e

u(λ)dλ = ε8πλ4dλ (5.105)

onde ε e a energia media de cada oscilador com frequencia ν (assumindo que a onda emitidapelo corpo negro tem mesma frequencia que o atomo oscilante). Classicamente, a energiade cada estado da radiacao nao depende de sua frequencia, mas sim de sua amplitude deonda, que e determinada pelos atomos osciladores das paredes do corpo negro. Da mesmaforma, classicamente a energia media de cada oscilador e simplesmente ε = kBT . Portanto,classicamente, temos

u(ν)dν =8πkBTc3

ν2dν (Radiacao Termica Classica ) (5.106)

u(λ)dλ =8πkBTλ4

dλ (5.107)

• Esse resultado indica um grande problema, pois a densidade de energia vai a infinito emaltas frequencias, i.e. na parte ultra-violeta do espectro. Esse problema e conhecido como acatastrofe do ultra-violeta, ja que a densidade de energia total em todas as frequenciasseria

u =∫ ∞

0u(ν)dν ∝

∫ ∞0

ν2dν =∞ !

=∫ ∞

0u(λ)dλ ∝

∫ ∞0

dλ

λ4=∞ !

Obviamente a densidade de energia real nao e infinita, e algo esta errado no calculo classico.Ou erramos na contagem do numero de estados, ou na energia media de cada oscilador.

• Veremos no proximo capıtulo, que o erro esta em assumir que a energia de cada oscilador ekBT . Em 1900, Max Planck resolveu este problema, obtendo a densidade de energia corretado corpo negro e dando inıcio a Fısica Quantica, um novo ramo da Fısica que revolucionouvarios conceitos classicos tidos como verdades absolutas ate entao.

Capıtulo 6

Mecanica Quantica

Neste capıtulo, introduzimos os problemas e as primeiras ideias inovadoras que conduziram aosprimordios da Fısica Quantica, e permitiram seu posterior desenvolvimento formal.

6.1 Modelo de Planck

Em 1900, Max Planck encontrou a solucao para o problema da catastrofe do ultra-violeta daradiacao termica. Para isso, Planck propos a hipotese de que a energia ε da radiacao emitida pelosatomos oscilantes era dada de forma discretizada (quantizada) em pacotes de energia, os fotons,que dependem da frequencia ν da onda eletromagnetica:

ε = εn(ν) = nhν (6.1)

onde n e um numero inteiro, e h = 6 × 10−34 J.s e a chamada constante de Planck, uma novaconstante universal da natureza, que tera grande importancia na Fısica Quantica.

Com esta hipotese, nao vale mais o resultado de que a energia media de cada oscilador e kBT ,ja que este resultado foi obtido no espaco de fase contınuo, assumindo que a energia podia terqualquer valor. Precisamos entao, recalcular essa energia media.

Como agora temos energia discretas, vamos retomar as expressoes para valores medios da dis-tribuicao canonica, usando somatorios ao inves de integrais. Temos

ε(ν) =∑∞

n=1 εn(ν)e−βεn(ν)∑∞n=1 e

−βεn(ν)=hν∑∞

n=1 ne−nβhν∑∞

n=1 e−nβhν (6.2)

Usando x = βhν, temos∞∑n=1

ne−nβhν =∞∑n=1

ne−nx = − ∂

∂x

∞∑n=1

e−nx (6.3)

e portanto

ε(ν) = −hν∂∂x

∑∞n=1 e

−nx∑∞n=1 e

−nx = −hν 1S

∂S

∂x, S =

∞∑n=1

e−nx (6.4)

Precisamos calcular o somatorio S:

S = 1 + e−x + (e−x)2 + ...

→ e−xS = e−x + (e−x)2 + ...

73

74 CAPITULO 6. MECANICA QUANTICA

Subtraindo um resultado do outro:

S − e−xS = 1

→ S =1

1− e−x(6.5)

Portanto

ε(ν) = −hν 1S

∂S

∂x= −hν(1− e−x)

−e−x

(1− e−x)2= hν

e−x

1− e−x=

hν

ex − 1(6.6)

ou finalmente,

ε(ν) =hν

eβhν − 1(6.7)

Essa e a energia media que deve entrar na densidade de energia da radiacao, ou seja:

u(ν)dν = ε(ν)8πc3ν2dν (6.8)

=8πc3ν2 hν

eβhν − 1dν (6.9)

ou

u(ν)dν =8πhν3

c3

1

ehνkBT − 1

dν (Radiacao Termica Quantica) (6.10)

Definindo

η = hν/kBT, (6.11)

de forma que ν = (kBT/h)η e hν3 = η3k3BT

3/h2 e dν = (kBT/h)dη, temos

u(ν)dν =8πhν3

c3

dν

eη − 1=

8πk4BT

4

h3c3

η3

eη − 1(6.12)

e definimos

u∗(η)dη =h3c3

8πk4BT

4u(ν)dν =

η3

eη − 1dη (6.13)

Lembre que no caso classico, tinhamos

u(ν)dν =8πkBTν2

c3dν =

8πk4BT

4

h3c3η2dη (6.14)

e, portanto,

u∗(η)dη =h3c3

8πk4BT

4u(ν)dν = η2dη (6.15)

6.1. MODELO DE PLANCK 75

Figura 6.1: Distribuicao de energia normali-zada u∗(η) = u(ν)(h3c3/8πk4

BT4) da radiacao de

corpo negro em funcao da frequencia normalizadaη = hν/kBT , no caso classico e quantico.

Na Fig. 6.1, mostramos a distribuicao de ra-diacao termica quantica e a classica. Note que aversao quantica elimina a catastrofe do ultra-violeta,e concorda perfeitamente com as observacoes. Ini-cialmente nao se compreendeu a razao da hipoteseinicial de Planck para a quantizacao da energia dososciladores. O proprio Planck nao gostava desteargumento, e acreditava que era apenas um ar-tifıcio matematico para chegar a resposta correta.Eventualmente, com o desenvolvimento da MecanicaQuantica, ficou claro que essa quantizacao erafenomeno recorrente e inerente a sistemas quanticos.

O nascimento da fısica quantica se deu, portanto,com a quantizacao da luz, que ate entao era tidacomo uma onda eletromagnetica. Esse fenomenomostrou que a luz tambem tem caracterısticas cor-pusculares, i.e. pode se comportar como pacotes deenergia, que nada lembram ondas senoidais.

O espectro de radiacao termica aparece em varios sistemas fısicos, e.g. o espectro da radiacaosolar. Curiosamente, o espectro de corpo negro mais perfeito que se conhece na natureza e oda radiacao cosmica de fundo (RCF), que foi liberada 300.000 anos apos o Big Bang, e podeser detectada hoje em todas as direcoes do Universo. Esse espectro corresponde a uma radiacaocom T = 3K com pico na regiao de microondas, e e umas das observacoes mais importantes emCosmologia. A deteccao desta radiacao em 1964 deu a Penzias e Wilson o premio Nobel de Fisicaem 1978. Essa medida indicou que, de fato, o Universo foi muito quente no passado e, ao se esfriar,essa radiacao se desacoplou da materia. A detec cao de flutuacoes de temperatura da ordem deuma parte em 10−5 nesta radiacao, feita em 1992 pelo satelite COBE, deu a Smoot e Mather opremio Nobel em 2006. Este feito iniciou a era da cosmologia de precisao.

6.1.1 Lei de Deslocamento de Wien

Como u(η) tem um pico sempre em ηmax = const ≈ 2.8, temos que

ηmax = βhνmax =hνmax

kBT= const→ νmax

T= const (6.16)

Portanto,

νmax,1

T1=νmax,2

T2(6.17)

Ou seja, a posicao do pico νmax e proporcional a temperatura T . Podemos calcular a posicao dopico mais explicitamente, derivando u(ν):

du(ν)dν

=8πhc3

(3ν2

eβhν − 1− βhν3eβhν

(eβhν − 1)2

)= 0 → 3 =

βhνmax eβhνmax

eβhνmax − 1(6.18)


Esta condicao pode ser espressa como:

3eβhνmax − 3 = βhνmax eβhν → 3− 3e−βhνmax = βhνmax

ou

→ e−ηmax = 1− ηmax

3, onde ηmax = βhνmax. (6.19)

A solucao desta equacao da

ηmax ≈ 2.82 → νmax

T=ηmaxkBh

= 5.88× 1010s−1K−1 (6.20)

6.1.2 Lei de Stefan-Boltzmann

Figura 6.2: Emissao de radiacao pela su-perfıcie de um corpo negro ideal. A radiacaoe emitida com vetor de onda ~k fazendo umangulo θ com a normal ao corpo negro, emum angulo solido dΩ. (Reif)

Considere a radiacao emitida por um corpo negro, comvetor de onda na direcao k fazendo angulo θ com anormal n ao corpo e dentro de um angulo solido dΩ.

Pelas Eqs. 5.99 e 5.100, o numero de estados nesteangulo solido e (agora sem integrar em dΩ):

Ω~kd3k =

V

π3d3k

ΩkdkdΩ =V

π3

dΩ8k2dk =

V dΩ8π3

k2dk

ΩνdνdΩ =V dΩ8π3

(2πνc

)2 2πdνc

=V

c3ν2dνdΩ

e a densidade de energia da radiacao nesta direcao fica

u(ν)dνdΩ =2hν3

c3

1

ehνkBT − 1

dνdΩ (6.21)

A intensidade da radiacao (energia emitida por unidade de tempo por unidade de area do corponegro, ou fluxo de energia) na frequencia ν e angulo solido dΩ fica entao:

I(ν)dνdΩ = [~S(ν, k) · n] dνdΩ (6.22)= u(ν)c cos θ dνdΩ (6.23)

Integrando em todas as direcoes, temos

I(ν)dν = u(ν)c dν∫

cos θdΩ (6.24)

e como ∫cos θdΩ =

∫ π

0dφ

∫ π/2

0cos θ sin θdθ = 2π

∫ 1

0udu = 2π

12

= π (6.25)

6.2. EFEITO FOTOELETRICO 77

temos

I(ν)dν = πu(ν)c dν

→ I(ν)dν =2πhν3

c2

1

ehνkBT − 1

dν (6.26)

E a intensidade total em todas as frequencias fica

I =∫I(ν)dν =

∫2πhν3

c2

1

ehνkBT − 1

dν (6.27)

Mudando x = βhν, i.e. ν = x/hβ e dν = dx/hβ, temos

I =∫

2πh(x/hβ)3

c2

1ex − 1

dx

hβ(6.28)

=2π

c2h3β4

∫x3

ex − 1dx (6.29)

Como ∫x3

ex − 1dx =

π4

15(6.30)

temos

I =2πk4

BT4

c2h3

π4

15=(

2π5k4B

15c2h3

)T 4

I = σT 4 (6.31)

onde

σ =2π5k4

B

15c2h3= 5.67× 10−8 Kg s−3K−4 (Constante de Stefan-Boltzmann) (6.32)

6.2 Efeito Fotoeletrico

Figura 6.3: Efeito Fotoeletrico. Radiacao de in-tensidade I e frequencia ν incide sobre placa demetal E liberando eletrons, coletados na placa C efazendo uma corrente i. O potencial de aceleracao∆V pode ser invertido para frear os fotoeletrons efazer i = 0 quando ∆V = −VF . (Nussenzveig)

Em 1905, Einstein propos a mesma quantizacaoda energia da radiacao eletromagnetica para expli-car o chamado efeito fotoeletrico. Por esse feito,Einstein ganharia o premio Nobel em 1921.

No efeito fotoeletrico, luz de intensidade I efrequencia ν incide em uma superfıcie metalica E,interagindo com eletrons dos atomos da superfıcie.Os eletrons podem ser ejetados da superfıcie emis-sora E e coletados na superfıcie coletora C.

Fechamos um circuito em E e C, e estabelece-mos uma diferenca de potencial ∆V variavel entreE e C, com uma fonte variavel, de forma a direcio-nar os eletrons de E a C e estabelecer uma correntei no circuito.


Figura 6.4: Corrente i em funcao do potencialde aceleracao ∆V no efeito fotoeletrico. O va-lor de saturacao de i depende da intensidadeI da luz. Quando i = 0 quando ∆V = −VF ,e esse potencial de freamento nao depende daintensidade da luz. (Young)

Empiricamente, uma serie de fatos sao observadosem um experimento como esse. A Fig. 6.4 mostra acorrente do circuito i em funcao do potencial ∆V paraluzes de intensidades I1 e I2 = 2I1 e mesma frequenciaν1 = ν2. Para ∆V muito grande, todos os eletrons libe-rados dos atomos em E sao direcionados a C, e obtem-seuma corrente maxima de saturacao. Ja quando ∆V ficamenor, a corrente observada diminui. Mudando o sinalde ∆V , o potencial passa a frear os eletrons no cami-nho de E a C, e para um valor ∆V = −VF (potencial defreamento), os eletrons sao todos freados (inclusive osmais energeticos) e a corrente observada e nula (i = 0).Observa-se que utilizando uma radiacao de intensidadediferente, apenas o valor da corrente de saturacao muda,mas o valor de VF permanece o mesmo.

Por outro lado, utilizando radiacoes de frequenciadiferente, e.g. ν2 > ν1 mas mesma intensidade I1 = I2,como mostrado na Fig. 6.5, observa-se que a correntede saturacao e a mesma, enquanto o valor de VF mudacom a frequencia e VF2 > VF1, i.e. VF diminui comν. Existe um valor mınimo que ν deve ter, para queexista corrente nao-nula. Este valor mınimo e definidocomo ν0 tal que VF = 0. Para radiacao com ν < ν0,i = 0, mesmo se a intensidade da radiacao for muitoalta (infinita).

Figura 6.5: Corrente i em funcao do poten-cial de aceleracao ∆V no efeito fotoeletricopara radiacoes de mesma intensidade I e va-lores diferentes de frequencia ν. Vemos queVF depende de ν. (Young)

Figura 6.6: Potencial de freamento VF emfuncao da frequencia ν da radiacao para doismetais de materiais diferentes. (Serway)

Podemos entao fazer o grafico de VF em funcao de νpara 2 diferentes materiais da superfıcie metalica, comona Fig. 6.6 . Nota-se que VF muda linearmente com afrequencia, e tambem depende do tipo de material dasuperfıcie. Os valores mınimos de frequencia ν0, 1 e ν0, 2tambem dependem do material.

Podemos tentar entender esses fatos com o balancoenergetico de um eletron assim que ele sae de E (mo-mento 1), e assim que ele chega em C (momento 2):

6.2. EFEITO FOTOELETRICO 79

E1 = E2

K1 + U1 = K2 + U2

→ K1 = K2 − (U2 − U1) (6.33)

Mas a diferenca de energia potencial do eletron e simplesmente U2 − U1 = −e∆V , portanto

K1 = K2 − e∆V (6.34)

Vamos agora considerar a situacao limite em que o eletron tem energia cinetica maxima em 1(i.e. velocidade totalmente horizontal), ou seja K1 = Kmax. Vamos supor tambem que o eletronchega em C com energia cinetica nula, i.e. K2 = 0. Como o eletron mais energetico acaba naochegando em C, nenhum outro eletron chega, e portanto i = 0, ou seja ∆V = −VF . Assim temos

Kmax = eVF (6.35)

Por outro lado, a energia da radiacao Erad e usada para i) liberar o eletron do atomo e ii) daressa energia cinetica Kmax ao eletron. A energia necessaria para quebrar a ligacao do eletron aoatomo e denotada W e chama-se funcao trabalho. Portanto, temos Erad = W +Kmax, ou seja

Kmax = Erad −W (6.36)

Combinando essas equacoes, temos:

eVF = Erad −W (6.37)

Podemos entao confrontar as espectativas baseadas na teoria classica da radiacao, com o que seobserva de fato:

Classicamente, como Erad cresce com I, espera-se que VF tambem cresca com I. Alem disso,como Erad depende apenas de I, mudando a frequencia ν, nada deveria ocorrer com VF . Ademais,qualquer que fosse a frequencia, aumentando I, eventualmente Erad > W e haveria corrente.

Entretanto, como vimos, o que se observa e que VF nao depende de I e depende de ν. E existeum valor mınimo ν0 tal que, para haver corrente, e preciso que ν > ν0.

Para explicar os fatos observados, Einstein retomou a hipotese de Planck da quantizacao daradiacao, supondo que ela e formada por fotons, i.e. pacotes de luz. A energia de cada foton daradiacao e dada por

Erad = hν (6.38)

e uma radiacao com maior intensidade tem maior numero de fotons.Assim, a equacao fica

eVF = hν −W (6.39)


Figura 6.7: Potencial de freamento VF emfuncao da frequencia ν da radiacao para doismetais de materiais diferentes. (Serway)

Esta equacao explica todos os fatos observados. Pri-meiramente, aumentando a intensidade, estamos au-mentando o numero de fotons da radiacao, e portantomais eletrons serao libertados dos atomos da superficie efarao parte da corrente de saturacao, que aumenta. En-tretanto, a energia de cada foton individual nao muda,e a condicao para o eletron parar continua a mesma, i.e.VF e o mesmo.

A equacao indica ainda que VF cresce linearmentecom ν. E para que haja corrente, VF > 0, o que implicahν > W , ou seja e preciso que ν > ν0 = W/h. Cadaeletron precisa ganhar energia suficiente do foton parasair do material. Nao adianta mandar muitos fotonspoucos energeticos, pois somente um foton interage como eletron de cada vez.

Temos que

VF =(h

e

)ν −

(W

e

)(6.40)

Portanto, medindo VF em funcao de ν, temos que a inclinacao do grafico e tan θ = h/e, i.e.pode ser usada para medir a constante de Planck.

Por outro lado, a intersecao com o eixo x ocorre em VF = 0, i.e. em ν0 = W/h, e pode serusada para medir a funcao trabalho W do material. Alem disso, a projecao da reta ocorre emVF = −W/e e tambem da a funcao trabalho.

6.3 Atomo de Bohr

Em 1913, Bohr propos um modelo para o atomo de Hidrogenio que explicava porque os atomosemitiam e absorviam radiacao de forma quantizada, i.e. por fotons.

O modelo de Borh tinha os seguintes postulados:1) O eletron no atomo permanece em orbitas estacionarias com energia E, e nessas orbitas, nao

emite radiacao.2) O atomo so irradia, i.e. o eletron emite radiacao quando transita de uma orbita com energia

Ei para outra orbita menos energetica com energia Ef < Ei, emitindo um foton de energia Eγ =hν = Ei−Ef . O eletron tambem pode absorver um foton de energia Eγ = hν indo de Ei para Ef ,tal que hν = Ef − Ei.

4) As orbitas estacionarias possiveis sao determinadas pela quantizacao do momento angulardo eletron, que deve satisfazer:

L = mvr = nh

2π, n = 1, 2, 3, ... (6.41)

onde h e a constante de Planck. Lembre-se que h de fato tem unidade de momento angular. Comesse modelo, podemos calcular as orbitas possiveis do eletron, bem como as energias nessas orbitas,como faremos a seguir. Bohr tambem ganharia o premio Nobel em 1922 por esse modelo atomico.

6.3. ATOMO DE BOHR 81

6.3.1 Orbitas

Vemos acima que tambem v e r dependem do inteiro n, e portanto denotamos vn e rn para asorbitas possiveis. Temos

mvnrn = nh

2π→ vn =

nh

2πmrn(6.42)

Classicamente, o eletron sofre a Forca de Coulomb da atracao com o proton, que tambem deveser a forca centrıpeta da orbita:

FCoul = Fcent (6.43)1

4πε0e2

r2n

=mv2

n

rn(6.44)

Usando a equacao, temos

14πε0

e2

r2n

=m

rn

(nh

2πmrn

)2

(6.45)

da qual podemos extrair rn:

rn =ε0n

2h2

πme2Raios orbitais (6.46)

O primeiro nıvel energetico n = 1, define o raio de Bohr a0 = r1:

a0 =ε0h

2

πme2= 5.29× 10−11m (Raio de Bohr) (6.47)

Em termos do raio de Bohr, temos

rn = n2a0 (6.48)

Substituindo esta equacao nos niveis da velocidade, temos

vn =e2

ε02nh(6.49)

6.3.2 Energias

O eletron tem energia cinetica e potencial enquanto se move ao redor do nucleo. Estas tambemserao quantizadas devido as quantizacoes de vn e rn:

Kn =12mv2

n =12m

(e2

ε02nh

)2

→ Kn =me4

8n2h2ε20(Cinetica) (6.50)

Un = − 14πε20

e2

rn= − e2

4πε20

(πme2

ε0n2h2

)→ Un = − me4

4n2h2ε20(Potencial) (6.51)


Portanto, a energia total fica

En = Kn + Un → En = − me4

8n2h2ε20Nıveis Energeticos (6.52)

Podemos entao calcular a diferenca de energia entre estados energeticos n = i e n = j:

∆Eij = Ei − Ej =me4

8ε20h2

(1i2− 1j2

)(6.53)

Como essa energia deve corresponder a energia do foton emitido/absorvida, temos ∆Eij = hν =hc/λ e portanto, podemos obter os possıveis comprimentos de onda dos fotons emitidos/absorvidos:

hc

λ=

me4

8ε20h2

(1i2− 1j2

)→ 1

λij=

me4

8ε20h3c

(1i2− 1j2

)(6.54)

Definimos a constante de Rydberg:

R =me4

8ε20h3c= 1.097× 107 m−1 (6.55)

em termos da qual, temos

→ 1λij

= R

(1i2− 1j2

)(6.56)

6.4 Efeito Compton

Em 1923, Compton usou novamente a quantizacao da luz para explicar a mudanca no comprimentode onda de raios X ao serem espalhados por eletrons livres em grafita. Compton ganharia o premioNobel em 1927 por esse estudo.

Nesta epoca, a relatividade especial ja havia se desenvolvido, segunda a qual a energia de umaparticula e dada por

E2 = m2c4 + p2c2 (6.57)

onde m e a massa e p e o momento. Para uma particula parada p = 0 e a energia e simplesmentea energia de repouso dada pela formula de Einstein E = mc2. Para a radiacao (fotons), mγ = 0e portanto Eγ = pγc. Assumindo a energia de fotons dada por Eγ = hν, temos pγc = hν e omomento do foton fica pγ = hν/c ou ainda

pγ =h

λ(foton) (6.58)

Considere a Fig.6.8, onde o efeito Compton e ilustrado. Um foton de comprimento de onda λ0

e momento pγ0 colide com um eletron inicialmente em repouco. Apos a colisao, ambos se espalhamfazendo angulos θ e φ com a direcao de colisao original.

6.4. EFEITO COMPTON 83

Figura 6.8: Efeito Compton. Um foton de comprimento de onda λ0 se espalha ao colidir com um eletron,transmitindo a este parte de sua energia e passando a ter um comprimento de onda λ. (Halliday)

Vamos primeiro assumir que o eletron esta livre, o que e aproximadamente valido para oseletrons em camadas superficiais do atomo. Usamos entao as leis de conservacao para o sistemaisolado foton-eletron:

Conservacao do momento (direcao vertical):

0 = pγ sin θ − pe sinφ

0 =Eγc

sin θ − pe sinφ

→ sinφ =Eγpec

sin θ (6.59)

Conservacao do momento (direcao horizontal):

pγ0 = pγ cos θ + pe cosφ

→ Eγ0

c=

Eγc

cos θ + pe

√1− sin2 φ

→ Eγ0 = Eγ cos θ + pec

√1−

E2γ

p2ec

2sin2 θ

→ (Eγ0 − Eγ cos θ)2 = p2ec

2

(1−

E2γ

p2ec

2sin2 θ

)→ E2

γ0 − 2Eγ0Eγ cos θ + E2γ cos2 θ = p2

ec2 − E2

γ sin2 θ

→ p2ec

2 = E2γ0 − 2Eγ0Eγ cos θ + E2

γ (6.60)


Conservacao da energia:

Eγ0 + Ee0 = Eγ + Ee

Eγ0 +mec2 = Eγ +

√m2ec

4 + p2ec

2

(Eγ0 +mec2 − Eγ)2 = m2

ec4 + p2

ec2

E2γ0 +m2

ec4 + E2

γ + 2Eγ0mec2 − 2Eγ0Eγ − 2mec

2Eγ = m2ec

4 + E2γ0 − 2Eγ0Eγ cos θ + E2

γ

2Eγ0mec2 − 2Eγ0Eγ − 2mec

2Eγ = −2Eγ0Eγ cos θEγ0mec

2 = Eγ[Eγ0(1− cos θ) +mec

2]

→ Eγ =Eγ0mec

2

Eγ0(1− cos θ +mec2)

→ Eγ =1

(1− cos θ)/mec2 + 1/Eγ0(6.61)

ou ainda

1Eγ− 1Eγ0

=1

mec2(1− cos θ) (6.62)

Finalmente, usando Eγ = hν = hc/λ, temos

∆λ = λ− λ0 =h

mec(1− cos θ) (Efeito Compton) (6.63)

Por outro lado, se o eletron estiver preso ao atomo, o foton tera que transmitir seu momento atodo o atomo, nao apenas o eletron. Desta forma, a massa do eletron acima me deve ser substituıdapela massa do atomo ma, que e muito maior do que a massa de um unico eletron. Mesmo para oatomo de hidrogenio, com apenas um proton no nucleo, temos ma = 1800me. Portanto, quandoo espalhamento acontece nesses eletrons, temos uma variacao ∆λ muito menor do que no caso deeletron livre. De fato podemos aproximar

∆λ ≈ 0→ λ ≈ λ0 (Eletron preso ao atomo) (6.64)

Portanto, ao observar os fotons espalhados, esperamos alguns deles com o mesmo comprimentode onda incidente, e outros com o comprimento diferindo do incidente pela Eq. 6.63. Foi exatamenteisso que Compton observou.

6.5 Ondas de de Broglie

Por volta de 1920’s, estava entao claro que a radiacao, ate entao vista classicamente como uma onda,apresentava propriedades corpusculares, com energia que depende de sua frequencia e, similarmentemomento linear que depende de seu comprimento de onda:

Eγ = hν e pγ =h

λ(Fotons) (6.65)

Em 1924, de Broglie propos que, similarmente, partıculas como eletrons, ate entao vistos clas-sicamente como corpusculos, deveriam apresentar propriedades ondulatorias, tendo associados um

6.5. ONDAS DE DE BROGLIE 85

comprimento de onda que depende de seu momento linear, com exatamente a mesma relacao querelaciona momento e comprimento de onda da radiacao.

λ =h

p(Partıculas) (6.66)

Essa proposta foi verificada experimentalmente, e deu a de Broglie o premio Nobel em 1929. Ouseja, de Broglie ganhou o premio Nobel por converter a equacao p = h/λ em λ = h/p e interpretarisso de maneira correta !

Exemplo 1Considere um foton de radiacao visıvel, e.g. vermelha e λ = 700nm= 7.0× 10−7m. Temos

p =h

λ=

6.63× 10−34J.s7× 10−7m

= 9.47× 10−28 Kg m/s (6.67)

Exemplo 2Considere um eletron (me = 9.11×10−31Kg) com uma velocidade ve = 2×108m/s= 2c/3. Este

eletron tem velocidade comparavel a da luz e e portanto relativıstico. Vamos usar as expressoesrelativısticas para calcular sua energia e seu momento. Temos

E2 = p2c2 +m2c4, ou E = mc2γ (6.68)p = mγv (6.69)K = E −mc2 = mc2(γ − 1) (6.70)

onde γ = 1/√

1− β2 e β = v/c (6.71)

Para β = 2/3, temos γ ≈ 1.34. E para o eletron, temos

mec2 = 8.18× 10−14J = 5.11× 105eV = 511 keV. (6.72)E = 1.1× 10−13J = 684 keV (6.73)p = mγv = 1.8× 10−22kg m/s (6.74)K = 2.74× 10−14J = 174keV (6.75)

Note que o momento do eletron e muito menor do que o de um foton de luz vermelha. Temosentao o comprimento de onda

λ =h

p=

6.63× 10−34J.s1.8× 10−22 kg m/s

= 3.7× 10−12 m = 3.7× 10−3nm (6.76)

De fato, esse comprimento de onda e 100 vezes menor do que o raio de Bohr

Exemplo 3Considere agora um eletron com energia cinetica K = 54eV. Como essa energia e muito menor

que a energia de repouco do eletron, ele e nao- relativıstico, i.e. v c. Quando este e o caso,temos β ≈ 0, γ ≈ 1, e as expressoes se reduzem as classicas:

p ≈ mv (6.77)

K ≈ mv2

2=

p2

2m(6.78)

E ≈ mc2 +mv2

2≈ mc2 (6.79)


das quais temos

p =√

2mK (6.80)

Portanto, para o eletron, temos

p = 3.82× 10−24kg m/s (6.81)

λ =6.63× 10−34J.s

3.82× 10−24kg m/s= 1.68× 10−10m = 0.168nm (6.82)

Exemplo 4Considere agora uma pessoa de massa 70 kg andando a 10 m/s. Temos

p = mv = 700 kg m/s (6.83)

λ =6.63× 10−34J.s

700kg m/s= 9.5× 10−37m (6.84)

6.5.1 Atomo de Bohr Revisitado

Com o comprimento de onda de de Broglie associado a partıculas, podemos re-interpretar a condicaode quantizacao do atomo de Bohr.

Tınhamos visto que a quantizacao das energias no atomo resultava da quantizacao do momentoangular do eletron em orbita L = mvr = n~. Mas se o eletron tem um comprimento de ondaassociado λ = h/p = h/mv, por consistencia, suas orbitas devem ter uma circunferencia quecontenha um numero inteiro de comprimentos de onda do eletron, ou seja:

2πr = nλ onde n e um inteiro.

= nh

mv

→ mvr = nh

2π→ L = n~ (6.85)

ou seja, a interpretacao de de Broglie, de que podemos associar ondas a partıculas, leva a condicaode quantizacao do momento angular que Bohr precisou impor para deduzir as orbitas e energiasdos estados estacionarios.

6.6 Interferencia de Eletrons

6.6.1 Experimento de Davisson-Germer

Se eletrons tem propriedades ondulatorias e um comprimento de onda associado, eles devem sofrerefeitos de interferencia e difracao em fendas similares a radiacao. No caso da luz, o espacamentoentre os mınimos de difracao por uma fenda de tamanho a era dado por

∆θ ≈ λ

a(6.86)

e, portanto, os efeitos de difracao so sao observados quando λ ≈ a, ou seja, quando a largurada fenda e da ordem do comprimento de onda da luz. Para luz vermelha, temos λ ≈ 700nm= 7× 10−7m.

6.6. INTERFERENCIA DE ELETRONS 87

Por outro lado, para eletrons de energia ∼ 54 eV, temos λe ≈ 1.7× 10−10m, ou seja proximo aotamanho do atomo (lembre raio de Bohr a0 ≈ 0.5×10−10m). Portanto precisamos de uma ”fenda”delargura proxima ao tamanho do atomo para medirmos efeitos de interferencia significativos nesteseletrons. Qualquer fenda usual sera muito maior do que isso, o que torna essa experiencia nao taofacil de se fazer como para a luz. Uma possibilidade e usar cristais, em que os atomos se arranjam demaneira ordenada, e a luz pode ”difratar”pelo espaco entre os atomos, que e da ordem de 10−10m.

Em 1927, Davisson e Germer fizeram uma experiencia que comprovou o carater ondulatorio deeletrons, usando cristais de nıquel. Por esse feito, Davisson ganhou o premio Nobel em 1937. Oaparatus experimental usado e mostrado na Fig. 6.9

Figura 6.9: Aparato do experimento de Davisson-Germer feito em 1927. (Young)

Figura 6.10: Experimento de Davisson-Germer em 1927. Eletrons incidem so-bre atomos de cristal de nıquel e sao es-palhados em todas as direcoes. No anguloθ = 50o, os eletrons interferem construtiva-mente. (Young)

Um fio de tungstenio aquecido fornece eletrons, quesao acelerados em um potencial ∆V . Portanto os eletronstem energia cinetica e momento (nao-relativistico):

K = e∆V (6.87)p =

√2mK =

√2me∆V (6.88)

De acordo com de Broglie, eles tem comprimento de onda

λ =h√

2me∆V(6.89)

Para ∆V = 54V, o eletron tem energiaK = e∆V = 54eV,e comprimento de onda predito

λ = 1.68× 10−10m (6.90)

Esse eletrons colidem com os atomos do cristal denıquel, sendo espalhados em todas as direcoes. NaFig. 7.1, mostra-se eletrons espalhados fazendo angulo deθ = 50o com a direcao de incidencia. Como o cristal temestrutura relativamente rıgida, o eletron incide e se es-palha com a mesma energia (e mesmo comprimento deonda).


Figura 6.11: Intensidade de eletrons no ex-perimento de Davisson-Germer. O pico emθ = 50o e explicado pela interferencia cons-trutiva dos eletrons nesse angulo, e demons-tra a sua natureza ondulatoria. (Young)

Os atomos funcionam como uma rede de difracao. Ex-perimentos anteriores de difracao de raios X neste mesmocristal haviam indicado que o espacamento entre seusatomos era dado por d = 2.15× 10−10m.

Davisson e Germer fizeram entao um grafico da in-tensidade espalhada dos eletrons ( numero de eletronsespalhados) em funcao do angulo de espalhamento θ, ob-tendo um pico em θ = 50o quando ∆V = 54V. Se oseletrons sao de fato ondas que interferem, deve ocorrerum maximo no angulo θ tal que:

d sin θ = λ (6.91)

ou seja, quando a diferenca de caminho entre dois raiosespalhados de atomos adjacentes do cristal e igual a umcomprimento de onda do eletron.

Para d = 2.15× 10−10m e θ = 50o, eles obtiveram

λ = 1.68× 10−10m (6.92)

em excelente acordo com o valor predito, e mostrando portanto que o pico observado era devido anatureza ondulatoria do eletron.

6.6.2 Fenda Dupla com Eletrons

Como os eletrons tem propriedades ondulatorias, o experimento de fenda dupla com incidencia deeletrons, ao inves de radiacao, deve gerar um padrao de interferencia similar.

Figura 6.12: Padrao de interferencia de uma onda classica (esquerda) e de uma partıcula classica (direita).Para a onda classica existe um padrao de interferencia na intensidade resultante quando ambas as fendasestao abertas. Ja no caso da partıcula classica, a distribuicao de partıculas e a superposicao dos casos decada fenda individual, nao havendo intereferencia. (Nussenzveig)

Na Fig. 6.12, mostramos a intensidade de ondas classicas apos passarem por uma fenda duplae a densidade de probabilidade de partıculas classicas ao serem ejetadas sobre a mesma fenda.

No caso de ondas classicas, quando fechamos e.g a fenda 2, obtemos um padrao de intensidadeconcentrado na regiao da fenda 1, e vice-versa. Mas quando abrimos ambas as fendas o padrao

6.6. INTERFERENCIA DE ELETRONS 89

resultante e de intereferencia:

I1 = E21 e I2 = E2

2 (6.93)I12 = (E1 + E2)2 = I1 + I2 + 2I1I2 cos ∆ (6.94)

E interessante notar que isso acontece mesmo se jogarmos um foton da radiacao por vez. Ouseja, cada foton interfere consigo mesmo, nao necessariamente com outros. Assim, devemos concluirque cada foton passa por ambas as fendas ao mesmo tempo.

Ja no caso de partıculas classicas, podemos falar da distribuicao de partıculas, ou da probabili-dade de elas estarem em certa posicao na tela de observacao. Neste caso, temos as probabilidadesP1 e P2 para as fendas individuais. No caso de as duas fendas abertas, a probabilidade resultantee a soma dos padroes de cada fenda:

P12 = P1 + P2 (6.95)

Figura 6.13: Padrao de interferencia de um eletron quando ele so e detectado na tela de observacao (esquerda)e quando ele e detectado nas fendas para verificar por qual delas ele passou. No primeiro caso o eletron sofreinterferencia, passando por ambas as fendas exatamente como a radiacao. Ja no segundo, o eletron age comouma partıcula classica, ja que a observacao o forca a ”passar”por apenas uma das fendas. (Nussenzveig)

Na Fig. 6.13, mostramos o experimento de fenda fupla, mas injetando eletrons, produzidos porum fio aquecido.

No primeiro caso (esquerda), os eletrons sao detectados apenas na tela de observacao, e oresultado para suas probabilidades sao identicos as intensidades de ondas classicas. Ou seja, comcada uma das fendas abertas, tem-se as probabilidades individuais P1 e P2, enquanto no caso de asduas fendas abertas, ocorre interferencia dos eletrons, gerando o padrao de interferencia. Novamenteisso acontece mesmo que enviemos um eletron de cada vez. Isso implica que o eletron de fato passapor ambas as fendas, pois so assim ele sofreria interferencia consigo proprio. Portanto, deve existiruma funcao ψ(x) cujo quadrado da a probabilidade P (x), i.e. que faca o papel do campo eletricodas onda eletromagnetica, ou seja

P1 = |ψ1|2 e P2 = |ψ2|2 (6.96)P12 = |ψ1 + ψ2|2 6= P1 + P2 (6.97)

Essa funcao de onda de fato e o principal objeto de estudo na mecanica quantica. Vamos voltara ela no proximo capıtulo quando iremos introduzir a equacao que descreve essa funcao.

Ja no segundo caso (direita), os eletrons sao detectados na propria fenda, para sabermos porqual delas ele ”passou”antes de que ele chegue a tela de observacao final. Neste caso, o que se


verifica e que o padrao de interferencia observado anteriormente desaparece, e o que se observa e opadrao de probabilidades de particulas classicas, i.e.

P12 = P1 + P2 (6.98)

A explicacao para isso e o chamado colapso da funcao de onda. No momento em que observamosalgo com carater ondulatorio (radiacao, eletrons), nos forcamos essa entidade a mostrar o seu caratercorpuscular. Em termos da funcao de onda, dizemos que a funcao de onda (que era algo espalhadono espaco) colapsou para a posicao de detecao (algo localizado).

Na mecanica quantica, a propria observacao ”afeta”o resultado do que esta sendo observado.As naturezas ondulatorias e corpusculares, tanto de eletrons ou de fotons, se mostram em diferentessituacoes, mas nao ao mesmo tempo.

6.7 Princıpio de Incerteza de Heisenberg

A interferencia de eletrons em fenda dupla mostra claramente que a observacao de partıculasquanticas afeta suas propriedades, i.e. a observacao interfere no observado. A incapacidade de medirsem interferir e um ponto fundamental da teoria quantica, que indica que, em escalas atomicas,dominadas pela Fısica Quantica, so poderemos fazer uma descricao estatıstica ou probabilıstica daspropriedades de uma partıcula ou de um sistema.

Enquanto na mecanica classica podemos sempre encontrar a posicao e a velocidade de umapartıcula com precisao infinita, na fısica quantica veremos que isso nao e possivel. Um exemplosimples dessa limitacao e imaginar que temos um eletron ”parado”o qual desejamos medir suaposicao e velocidade. Para fazer essa medida, devemos jogar um foton no eletron para ”ver”ondeele esta. Mas assim que fazemos isso (ou mais geralmente, medimos o eletron de qualquer outraforma, sempre interagindo com ele de alguma forma), mudamos a velocidade do eletron (e tambemsua posicao).

6.7.1 Difracao de Eletrons

Figura 6.14: Difracao de um eletron por umafenda de largura a. (Nussenzveig)

Vamos considerar a difracao de eletrons por umafenda de largura a para ter uma estimativa maisquantitativa desta limitacao.

Pela Eq. 4.32, tambem valida para eletrons, oprimeiro mınimo acontece quando

2π2λa sin θ = π → θ ≈ sin θ =

λ

a(6.99)

Por outro lado,

tan θ =pypx→ py = px tan θ ≈ pxθ = px

λ

a

→ py ≈pxλ

a(6.100)

So podemos ter o padrao de difracao se nao medirmos a posicao por onde eletron passa nafenda. Assim, mesmo que o eletron tenha inicialmente momento apenas na direcao x, ao passar

6.7. PRINCIPIO DE INCERTEZA DE HEISENBERG 91

pela fenda nao sabemos sob qual angulo θ ele ira parar na tela, ou seja, nao sabemos o valor de pyadquirido ao difratar. Como ∼ 90% dos eletrons estao dentro do primeiro maximo, a incerteza empy e pelo menos

∆py ≥ py ≈pxλ

a(6.101)

Mas por de Broglie, λ = h/px, e portanto

∆py ≥pxh

pxa→ ∆pya ≥ h (6.102)

Por fim, como a incerteza na coordenada y e a largura da fenda, ∆y = a, temos

∆py∆y ≥ h (6.103)

6.7.2 Incerteza Posicao-Momento

O princıpio de incerteza de Heisenberg generaliza o resultado anterior para qualquer situacao e dizque:

∆x∆p ≥ ~2, ~ =

h

2π(6.104)

ou seja, em qualquer experimento, as incertezas na posicao e no momento linear de uma partıcula/sistemaso podem ter incertezas tais que a desigualdade acima seja valida. Em particular, se medimos aposicao com precisao infinita ∆x = 0 isso implica total desconhecimento do momento ∆p = ∞ evice-versa.

6.7.3 Incerteza Energia-Tempo

Existe tambem um principio de incerteza associada a energia de um sistema e o tempo em que osistema existe nesta energia. Podemos derivar esta relacao de modo euristico considerando umaparticula livre, para a qual a energia e igual a energia cinetica:

E = K =mv2

2, p = mv (6.105)

Temos, do principio de incerteza de Heisenberg

∆p ≥ ~2∆x

=~

2v∆t(6.106)

Por outro lado,

∆E = mv∆v = v∆p ≥ v ~2v∆t

=~

2∆t(6.107)

portanto

∆E∆t ≥ ~2

(6.108)

Interpretacao: Nao e possıvel saber a energia de um sistema com precisao ∆E maior do que~/2∆t onde ∆t e o tempo de existencia do sistema.


6.7.4 Funcao de Onda

A natureza ondulatoria (que gera efeitos de interferencia) e o princıpio de incerteza nos dizem queexistem incertezas intrınsecas na natureza. Portanto, na descricao fundamental feita pela mecanicaquantica nao podemos esperar descrever os fenomenos com precisao absoluta, mas apenas de formaestatıstica.

Como vimos na interferencia por fenda dupla de eletrons, a probabilidade P (x) de o eletronestar em certa posicao e o analogo da intensidade I(x) na intereferencia de radiacao. Como I = E2

e isso gera inteferencia, deve haver uma funcao ψ que faz o papel do campo eletrico, i.e. umaamplitude de probabilidade, tal que P (x) = |ψ(x)|2.

Esta funcao ψ(x) e chamada funcao de onda, e e ela que caracteriza o estado dos sistemas fısicosquanticos. Podemos tambem ter uma funcao de onda φ(p) associada a probabilidades do momentolinear. Temos portanto:

ψ(x): amplitude de probabilidade de encontrar uma partıcula/sistema na posicao x.φ(p): amplitude de probabilidade de encontrar uma partıcula/sistema no momento p.

Como

p =h

λ=

h

2π2πλ

= ~k (6.109)

podemos associar um vetor de onda ~k ao momento linear ~p = ~~k.O formalismo da mecanica quantica mostra que essas funcoes ψ(x) e φ(p) estao relacionadas pela

Transformada de Fourier. A ideia e que qualquer funcao pode ser expandida em senos, cossenosou eikx. Neste sentido, ψ(x) e uma superposicao de eikx com coeficientes φ(p) de varios p’s, evice-versa.

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞

e−ikxψ(x)dx, k = p/~ (6.110)

ou, em termos do momento:

φ(p) =1√2π~

∫ ∞−∞

e−ipx/~ψ(x)dx (6.111)

ψ(x) =1√2π~

∫ ∞−∞

eipx/~φ(p)dp (6.112)

Exemplo: Onda plana com momento p0 e comprimento de onda λ0 bem determinados:

ψ(x) =1√2π~

eik0x =1√2π~

eip0x/~ (6.113)

Neste caso a funcao de onda no espaco de momentos fica

φ(p) =1√2π~

∫ ∞−∞

e−ipx/~ψ(x)dx

=1√2π~

∫ ∞−∞

e−ipx/~1√2π~

eip0x/~dx

=1

2π~

∫ ∞−∞

e−i(p−p0)x/~dx

= δ(p− p0) (6.114)

6.7. PRINCIPIO DE INCERTEZA DE HEISENBERG 93

i.e. o momento e bem localizado, mas temos incerteza infinita na posicao da partıcula, ja que ψ(x)oscila em todo o espaco.

Exemplo: Onda localizada com posicao x0 bem determinada:

ψ(x) = δ(x− x0) (6.115)

Neste caso φ(p) fica

φ(p) =1√2π~

∫ ∞−∞

e−ipx/~ψ(x)dx

=1√2π~

∫ ∞−∞

e−ipx/~δ(x− x0)dx

=1√2π~

e−ipx0/~ (6.116)

i.e. a posicao e bem localizada, mas temos incerteza infinita no momento da partıcula, ja que φ(p)oscila em todo os momentos.

Exemplo: Pacote Gaussiano. Este caso corresponde a uma situacao intermediaria entre as duasanteriores, em que conhecemos a posicao da partıcula (e.g. x = 0) com incerteza ∆x distribuıdade acordo com uma distribuicao normal (Gaussiana). Portanto

P (x) = |ψ(x)|2 =1√

2π∆x2e−

x2

2∆x2 (6.117)

o que implica

ψ(x) =1

(2π∆x2)1/4e−

x2

4∆x2 (6.118)

e portanto

φ(p) =1√2π~

∫ ∞−∞

e−ipx/~ψ(x)dx

=1√2π~

1(2π∆x2)1/4

∫ ∞−∞

e−ikxe−ax2dx, a =

14∆x2

(6.119)

A integral acima fica ∫ ∞−∞

e−ikxe−ax2dx =

√π

ae−

k2

4a (6.120)

e como

k2

4a=p2/~2

∆x2(6.121)

temos


φ(p) =1√2π~

1(2π∆x2)1/4

√π(4∆x2)e

− p2

(~/∆x)2

=(

4∆x2

2π~2

)1/4

e− p2

4(~/2∆x)2 (6.122)

que e uma distribuicao normal com incerteza ∆p dada por:

∆p =~

2∆x(6.123)

ou seja,

∆x∆p =~2

(6.124)

Ou seja, o pacote Gaussiano satura a desigualdade do principio de incerteza. Qualquer outradistribuicao tera ∆x∆p necessariamente maior do que ~/2.

Essa e uma propriedade geral de Transformadas de Fourier de funcoes, i.e. a transformada deuma funcao bem localizada e deslocalizada e vice-versa. Esse fato permite entender o prin’cıpio deincerteza de um ponto de vista mais matematico.

Capıtulo 7

A Equacao de Schrodinger

7.1 Funcoes de Onda

Na mecanica quantica, a natureza ondulatoria dos fenomenos faz que tenhamos que descreve-lospor meio de uma funcao de onda Ψ(x, t). Mas o que e exatamente a funcao de onda?

A interpretacao correta da funcao de onda foi dada por Max Born, de que ela e uma amplitudede densidade de probabilidade, ou seja:

P (x, t) = |Ψ(x, t)|2 = Ψ?(x, t)Ψ(x, t) (7.1)

e a probabilidade de encontrar a partıcula na posicao x no tempo t. Max Born ganhou o premioNobel de 1954 por esta interpretacao. Mas como podemos encontrar a funcao de onda de umsistema? Ela e descrita pela Eq. de Schrodinger, que veremos a seguir.

7.2 Operadores Posicao, Momento e Energia

Na mecanica quantica, a posicao x e momento p sao promovidas a operadores X, P

X = x (7.2)

P = −i~ d

dx(7.3)

que atuam em uma funcao de onda

XΨ = xΨ (7.4)

PΨ = −i~dΨdx

(7.5)

A energia E tambem e promovida a um operador H. No caso comum em que a energia e dada pelaenergia cinetica mais uma energia potencial, o operador H e dado pela mesma funcao classica, maspromovendo x e p a operadores como acima:

H = H(X,P ) =P 2

2m+ U(X) (7.6)

95

96 CAPITULO 7. A EQUACAO DE SCHRODINGER

ou seja:

H =1

2m

(−i~ d

dx

)2

+ U(x)

= − ~2

2md2

dx2+ U(x) (7.7)

Se a funcao de onda Ψ e um auto-estado (auto-vetor) do operador H, com auto-valor E, temos

HΨ = EΨ (7.8)

7.2.1 Valores Medios

Com a interpretacao de que P (x) = |ψ|2 = ψ?ψ, podemos calcular valores medios de grandezas(posicao, momento, etc) no estado descrito por ψ. Por exemplo, os valores medios de x e x2 saodados por

〈x〉 =∫x P (x)dx =

∫x ψ?(x)ψ(x)dx (7.9)

〈x2〉 =∫x2 P (x)dx =

∫x2 ψ?(x)ψ(x)dx (7.10)

7.3 Equacao de Schrodinger

Em 1926, Schrodinger propos uma equacao que descreve a evolucao temporal da funcao de onda deum sistema com operador energia H definido. Por esse feito, Schrodinger ganharia o premio Nobelem 1933. A equacao de Schrodinger e dada por

i~∂Ψ(x, t)∂t

= HΨ(x, t) (Eq. Schrodinger) (7.11)

Essa equacao e a lei fundamental da mecanica quantica. Ela e equivalente a 2a Lei de NewtonF = ma que descreve a evolucao temporal da posicao de um sistema. Aqui a descricao e feitapara a funcao de onda, que da a amplitude de probabilidade do sistema. Vamos assumir casosestacionarios, em que H nao depende do tempo. Podemos assumir que a funcao de onda se separa:

Ψ(x, t) = ψ(x)ψt(t) (7.12)

a equacao acima fica

i~∂

∂t[ψ(x)ψt(t)] = H[ψ(x)ψt(t)]

→ i~ψ(x)dψt(t)dt

= ψt(t)[− ~2

2md2ψ(x)dx2

+ U(x)ψ(x)]

(7.13)

Dividindo esta equacao por ψ(x)ψt(t), obtemos:

i~1

ψt(t)dψt(t)dt

=1

ψ(x)

[− ~2

2md2ψ(x)dx2

+ U(x)ψ(x)]

(7.14)

7.3. EQUACAO DE SCHRODINGER 97

Como o lado esquerdo depende apenas do tempo t, enquanto o lado direito depende apenas da posi-cao x, a unica maneira de serem iguais e que sejam ambos iguais a uma constante, que identificamoscom a energia E. As equacoes ficam

i~dψt(t)dt

= Eψt(t) (Eq. Schrodinger dependente do tempo) (7.15)

− ~2

2md2ψ(x)dx2

+ U(x)ψ(x) = Eψ(x) (Eq. Schrodinger independente do tempo) (7.16)

A solucao da primeira equacao e dada trivialmente por

ψt(t) = e−iEt/~ (7.17)

Para encontrar ψ(x), bem como os nıveis de energia E, precisamos resolver a equacao HΨ = EΨ:

− ~2

2md2ψ

dx2+ [U(x)− E]ψ = 0 (7.18)

que pode ser escrita como

d2ψ

dx2+

2m~2

[E − U(x)]ψ = 0 (7.19)

Portanto so precisamos especificar a energia potencial U(x) do sistema para encontrar seus estadospossıveis resolvendo a equacao acima.

As solucoes sao portanto da forma

Ψ(x, t) = ψ(x)e−iE/~ (7.20)→ Ψ?(x, t) = ψ(x)?eiE/~ (7.21)

e tem probabilidade

P (x, t) = Ψ?(x, t)Ψ(x, t) = ψ(x)?ψ(x) = |ψ(x)|2 (7.22)

ou seja, independente do tempo. Portanto, no caso em que a energia H e a probabilidade P naodependem do tempo, as solucoes sao chamadas de estados estacionarios.

7.3.1 Condicoes de Contorno

Sendo ψ relacionada com a probabilidade em certo ponto do espaco, ela deve obviamente ser umafuncao contınua e definida em todos os pontos do espaco. Pela Eq. de Schrodinger, podemosconcluir o comportamento das derivadas de ψ. Temos entao que:

1) ψ deve ser sempre contınua e finita em todos os pontos.2) Se U(x) e finita no ponto x, entao d2ψ/dx2 deve ser finita, o que implica que dψ/dx deve ser

contınua em x.3) Se U(x) e infinita no ponto x, entao d2ψ/dx2 tambem sera infinita neste ponto, e dψ/dx

podera ser descontınua em x.

Para o que nos interessa nos problemas a seguir, temos entao que φ e dφ/dx sao semprecontınuas, exceto quando U(x) for infinita, e neste caso dφ/dx podera ser descontınua.


7.4 Partıcula Livre

O caso mais simples e o de uma partıcula livre, i.e. com energia potencial nula, U(x) = 0:

d2ψ

dx2+

2mE~2

ψ = 0 (7.23)

cuja solucao fica

ψ(x) = φ+eikx + φ−e

−ikx, onde k =p

~=√

2mE~

(7.24)

e φ+ e φ− sao constantes, que dao pesos as solucoes com momento p e −p, respectivamente, parauma dada energia E. Juntamente com a parte temporal, a solucao completa fica

Ψ(x, t) = φ+ei(kx−ωt) + φ−e

−i(kx+ωt) (7.25)

k =p

~=√

2mE~

e ω =E

~(7.26)

que e uma onda plana. Note que k = p/~ → λ = h/p, exatamente como sugerido por de Broglie.Alem disso, E = ~ω = hν, similar a hipotese de Planck/Einstein. Outra forma de expressar asolucao em ondas planas seria em termos de senos e cossenos, i.e.:

ψ(x) = A sin(kx) +B sin(kx) (7.27)

7.4.1 Pacote de Ondas

Combinacoes lineares destas solucoes tambem sao solucoes e podem ser usadas para obter pacotesde ondas com localizacao no espaco ou no momento linear. De fato, senos, cossenos ou eikx formamuma base completa que pode ser usada para expressar qualquer solucao, e.g. series e transformadasde Fourier.

Por exemplo, podemos obter uma funcao de onda periodica em x = L como

ψ(x) =∞∑n=0

φ+(kn)eiknx +∞∑n=0

φ−(kn)e−iknx =∞∑

n=−∞φ(kn)eiknx (7.28)

onde φ(kn) = φ+ para n > 0 e φ− para n < 0, e o coeficiente de Fourier de ψ. A periodicidadeimplica φ(0) = φ(L), ou seja kn = n2π/L. Portanto:

eikmxψ(x) =∞∑

n=−∞φ(kn)ei(kn−km)x =

∞∑n=−∞

φ(kn)ei2π(n−m)x/L (7.29)

∫ L

0dxeikmxψ(x) =

∞∑n=−∞

φ(kn)∫ L

0dxei2π(n−m)x/L =

∞∑n=−∞

φ(kn) (Lδnm) (7.30)

Ou seja,

φ(km) =1L

∫ L

0dxeikmxψ(x) (7.31)

7.5. PARTICULA NA CAIXA 99

Para uma funcao nao periodica, basta tomar o limite L → ∞. Como n e inteiro, ∆n = 1, e oespacamento ∆kn = ∆n2π/L = 2π/L→ 0, e kn = k fica contınua:

ψ(x) = limL→∞

∆kn→0

∞∑n=−∞

∆nφ(kn)eiknx = limL→∞

∆kn→0

L

2π

∞∑n=−∞

∆knφ(kn)eiknx (7.32)

=L

2π

∫dkφ(k)eikx (7.33)

Redefinindo φ(k)→√

2πφ(k)/L (o que podiamos ter feito desde a Eq. 7.24), ficamos com

ψ(x) =1√2π

∫dkφ(k)eikx (7.34)

φ(k) =1√2π

∫dxφ(x)e−ikx (7.35)

ou em termos de p = ~k, e φ(p) = φ(k)/√

~ temos

ψ(x) =1√2π~

∫dpφ(p)eip/~x (7.36)

φ(p) =1√2π~

∫dxφ(x)e−ip/~x (7.37)

7.5 Partıcula na Caixa

Figura 7.1: Particula em uma caixa.

Considere agora uma partıcula em uma caixa, queconsiste em uma partıcula sujeita ao seguinte energiapotencial

U(x) =

∞ x < 0 (Regiao I)0 0 < x < L (Regiao II)∞ x > L (Regiao III)

(7.38)

ou seja, a partıcula esta livre (U = 0) na regiao II,que corresponde a regiao dentro da caixa, enquantonas regioes I e III, i.e. fora da caixa a energia poten-cial e infinita, de tal forma que, qualquer que seja aenergia E da partıcula, e impossıvel ela estar nessasregioes.

A solucao para ψ(x) neste caso sera parecida coma particula livre, mas, como veremos, as condicoes defronteira do problema determinarao a quantizacao daenergia do sistema.

Nas regioes I e III, temos que

ψI(x) = ψIII(x) = 0 (7.39)

Ja na regiao II, a partıcula satisfaz a Eq. de Schrodinger para uma partıcula livre:

d2ψIIdx2

+2mE

~2ψII = 0 (7.40)


Com solucao dada em termos de e±ik ou similarmente, senos e cossenos:

ψII(x) = A sin(kx) +B cos(kx) (7.41)

k = =√

2mE~

ou E =k2~2

2m(7.42)

Agora usamos as condicoes de contorno que ψ deve satisfazer. Neste caso, as condicoes saoapenas em ψ, que deve ser contınua nos pontos x = 0, L. Como U(x = 0, L) = ∞, dψ/dx nao enecessariamente contınua nesses pontos.

Pela continuidade de ψ(x) em x = 0, temos:

0 = ψI(0) = ψII(0) = A sin(0) +B cos(0) = B (7.43)→ B = 0 (7.44)

Portanto, temos que

ψII(x) = A sin(kx) (7.45)

A continuidade de ψ(x) em x = L implica

ψII(L) = A sin(kL) = ψIII(L) = 0 (7.46)→ kL = nπ com n inteiro. (7.47)

ou seja, sao apenas possıveis valores de k tais que k = nπ/L. Pela Eq. 7.36, isso implica que asenergia possıveis sao dadas por:

En =(nπL

)2 ~2

2m(7.48)

→ En =n2π2~2

2mL2, (n = 1, 2, 3, ...) (7.49)

Ja as funcoes de onda possıveis em II ficam (omitindo o ındice II):

ψn(x) = A sin(nπxL

)(7.50)

Neste exemplo, vemos algo que acontece com frequencia na mecanica quantica: as condicoesde contorno na funcao de onda gera a quantizacao dos nıveis de energia. Apenas funcoes de ondasque se ”encaixem”nessas condicoes sao possıveis, e somente as energia associadas sao permitidas,sendo todas as outras proibidas. Ja tınhamos visto este efeito quando falamos da radiacao termicade corpo negro dentro de uma caixa e contamos os estados possıveis da radiacao nesta caixa. Asituacao aqui e similar, mas ao inves de termos a onda eletromagnetica, temos a funcao de ondaquantica do sistema, que tambem tem natureza ondulatoria. Esquematicamente, temos entao:

Natureza ondulatoria + condicoes de contorno confinantes → quantizacao dos nıveis de energia

Por fim, precisamos normalizar a funcao de onda. Como P (x) = |ψ(x)|2 e a integral destaprobabilidade em todo espaco deve ser 1, temos:

7.6. BARREIRA DE POTENCIAL E TUNELAMENTO 101

∫ ∞0

P (x)dx =∫ ∞

0|ψ(x)|2dx = 1 (7.51)

o que implica

1 = A2

∫ L

0sin2

(nπxL

)dx

= A2

∫ L

0

1− cos(

2nπxL

)2

dx

= A2

[x

2− L

4nπsin(

2nπxL

)]L0

= A2L

2(7.52)

e portanto

A =

√2L

(7.53)

Assim,

ψn(x) =

√2L

sin(nπxL

)(7.54)

Temos ∆x ≈ L/2 e ∆p = p2 − p1 = ~(k2 − k1) = ~π/L. Portanto

∆x∆p ≈ ~π2>

~2

(7.55)

e verificamos que o princıpio de incerteza e satisfeito neste caso.

7.6 Barreira de Potencial e Tunelamento

Figura 7.2: Barreira de potencial.

Considere agora uma partıcula em uma barreira depotencial. Neste caso:

U(x) =

0 x < −a (Regiao I)U0 −a < x < a (Regiao II)0 x > a (Regiao III)

(7.56)

Vamos considerar apenas o caso em que E < U0,i.e. a energia total da partıcula e menor do quea energia potencial da barreira. Portanto, se elacomeca do lado esquerdo (x < −a), classicamenteseria impossıvel ela entrar na regiao II, ja que paraisso deveria ter energia cinetica negativa !


Entretanto, como veremos, na mecanica quantica, existe uma probabilidade nao nula de aparticula, nao apenas passar para a regiao II, mas ate mesmo chegar a regiao III. Quando issoocorre, dizemos que a particula sofreu tunelamento. A ideia e que ela fez um ”tunel secreto”e passoupara uma regiao classicamente proibida. Jogando um numero grande de partıculas, eventualmenteuma delas vai tunelar, pela lei da probabilidade.

A Eq. de Schrodinger e dada por

d2ψ

dx2+

2m~2

(E − U(x))ψ = 0 (7.57)

e aqui vamos impor a continuidade tanto de ψ quanto de dψ/dx em x = ±a.Para as regioes I e III, a partıcula e livre temos

d2ψ

dx2= −k2ψ → Solucoes : eikx, e−ikx, com k2 =

2mE~2

(Regioes I e III) (7.58)

E para a regiao II, temos um potencial constante. Como (U0 − E) > 0, temos

d2ψ

dx2= (k0)2ψ → Solucoes : ek

′x, ek0x, com k20 =

2m(U0 − E)~2

(Regiao II) (7.59)

Note que k2 + k20 = 2mU0/~2. A solucao completa fica:

ψ(x) =

Aeikx +Be−ikx x < −a (Regiao I)Ce−k0x +Dek0x −a < x < a (Regiao II)Eeikx + Fe−ikx x > a (Regiao III)

(7.60)

e sua derivada e

dψ(x)dx

=

ikAeikx − ikBe−ikx x < −a (Regiao I)−k0Ce

−k0x + k0Dek0x −a < x < a (Regiao II)

ikEeikx − ikFe−ikx x > a (Regiao III)(7.61)

Condicoes de contorno em x = −a:

ψI(−a) = ψII(−a)Ae−ika +Beika = Cek0a +De−k0a × (ik)

ik(Ae−ika +Beika) = ik(Cek0a +De−k0a) (7.62)

e

dψIdx

(−a) =dψIIdx

(−a)

ik(Ae−ika −Beika) = −k0(Cek0a −De−k0a) (7.63)

7.6. BARREIRA DE POTENCIAL E TUNELAMENTO 103

Somando a Eq. 7.62 com a Eq. 7.63, temos

2ikAe−ika = (ik − k0)Cek0a + (ik + k0)Ee−k0a

→ A =12

(1− k0

ik

)ek0a+ikaC +

12

(1 +

k0

ik

)e−k0a+ikaD (7.64)

Da Eq. 7.62, temos

Beika = Cek0a +De−k0a −Ae−ika

= Cek0a +De−k0a −[

12

(1− k0

ik

)ek0aC +

12

(1 +

k0

ik

)e−k0aD

]→ B =

12

(1 +

k0

ik

)ek0a−ikaC +

12

(1− k0

ik

)e−k0a−ikaD (7.65)

Em forma matricial, temos

(AB

)=

12

(

1 + ik0k

)ek0a+ika

(1− ik0

k

)e−k0a+ika

(1− ik0

k

)ek0a−ika

(1 + ik0

k

)e−k0a−ika

( CD

)= M1

(CD

)(7.66)

Similarmente, as condicoes de contorno em x = a dao

(CD

)=

12

(

1− ikk0

)ek0a+ika

(1 + ik

k0

)ek0a−ika

(1 + ik

k0

)e−k0a+ika

(1− ik

k0

)e−k0a−ika

( EF

)= M2

(EF

)(7.67)

Portanto, combinando os resultados, temos(AB

)= M1M2

(EF

)(7.68)

onde

M1M2 =

[cosh(2k0a) + iε

2 sinh(2k0a)]ei2ka iη

2 sinh(2k0a)

− iη2 sinh(2k0a)

[cosh(2k0a)− iε

2 sinh(2k0a)]e−i2ka

(7.69)

onde

ε =k0

k− k

k0

η =k0

k+

k

k0(7.70)

Note que

η2 − ε2 = 4 (7.71)


Vamos assumir que G = 0, caso que representa uma onda incidente da esquerda para a direitae transmitida a regiao II e III, onde se move apenas para a direita. Neste caso

A =[cosh(2k0a) +

iε

2sinh(2k0a)

]ei2kaF (7.72)

e temos

F

A=

e−2ika

cosh(2k0a) + iε2 sinh(2k0a)

(7.73)

Podemos calcular entao o coeficiente de transmissao T = |F/A|2:

T =1

cosh2(2k0a) + ε2

4 sinh2(2k0a)

=[(1 + sinh2(2k0a)) +

ε2

4sinh2(2k0a)

]−1

=[1 +

(1 +

ε2

4

)sinh2(2k0a)

]−1

(7.74)

Mas

4 + ε2

4=η2

4=

14

(k2

0 + k2

kk0

)2

=14

(2mU0/~2√

2mE/~2√

2m(U0 − E)/~2

)2

=U2

0

4E(U0 − E)(7.75)

Portanto

T =(

1 +U2

0

4E(U0 − E)sinh2(2k0a)

)−1

(7.76)

Para uma barreira muito alta U0 E, temos (k0a)2 = 2m(U0 − E)a2/~2 1, e temos

sinh(2k0a) ≈ e2k0a

2 1 (7.77)

Portanto

T ≈(

U20

4E(U0 − E)e4k0a

)−1

→ T ≈ 16E(U0 − E)U2

0

e−4k0a (7.78)

o que indica que quando a barreira e muito alta, a transmissao e exponenciamente suprimida. Masela ainda acontece, e com um numero grande de partıculas, eventualmente uma chegara da regiaoI a III, o que classicamente seria sempre impossıvel.

7.7. OSCILADOR HARMONICO SIMPLES 105

7.7 Oscilador Harmonico Simples

No caso do Oscilador Harmonico Simples (OHS) unidimensional, a energia potencial e

U(x) =mω2x2

2(7.79)

e a Eq. de Schrodinger fica:

d2ψ

dx2+

2m~2

(E − mω2

2x2

)ψ = 0 (7.80)

ou

d2ψ

dx2+(

2mE~2− m2ω2

~2x2

)ψ = 0 (7.81)

Para simplificar a equacao, vamos propor uma mudanca de variavel x = by, com b sem unidades.Como d/dx = (1/b)d/dy e d/dx2 = (1/b2)d/dy2, a equacao fica

d2ψ

dy2+(

2mEb2

~2− m2ω2b4

~2y2

)ψ = 0 (7.82)

Portanto escolhemos

b2 =~mω

(7.83)

ε =mEb2

~2=

E

~ω(7.84)

e temos

d2ψ

dy2+(2ε− y2

)ψ = 0 (7.85)

Examinamos agora a equacao e sua solucao em casos limite. No limite y →∞, temos

d2ψ

dy2− y2ψ = 0 (7.86)

cuja solucao neste limite y →∞ e:

ψ = Ayme±y2/2 , (7.87)

como podemos checar:

dψ

dy= Amym−1e±y

2/2 ±Aym+1e±y2/2 (7.88)

d2ψ

dy2= Am(m− 1)ym−2e±y

2/2 ±Amyme±y2/2 ±A(m+ 1)yme±y2/2 +Aym+2e±y

2/2

= Am(m− 1)ym−2e±y2/2 ±A(2m+ 1)myme±y

2/2 +Aym+2e±y2/2

= Aym+2e±y2/2

[1± 2m+ 1

y2+m(m− 1)

y4

]y →∞

−→ Aym+2e±y2/2 = y2ψ (7.89)


Obviamente, devemos descartar a exponencial positiva, ja que ela nao permite que a integralde |ψ|2 seja finita. Portanto

ψ(x) = Ayme−y2/2 y →∞ (7.90)

No limite y → 0, temos

d2ψ

dy2+ 2εψ = 0 (7.91)

cuja solucao e

ψ = A cos(√

2εy) +B sin(√

2εy) (7.92)

que, consistentemente, no limite y → 0 fica

ψ = A+ cy +O(y2) (7.93)

Portanto, podemos propor uma solucao geral da forma

ψ = u(y)e−y2/2 (7.94)

onde

u(y) =ym y →∞A+ cy y → 0

(7.95)

Note que a proposta ψ = u(y)e−y2/2 permite que, em princıpio, tenhamos u(y) = ymey

2para

y →∞, pois isso leva a ψ = ymey2/2, que tambem e solucao formal da equacao. Mas sabemos que

essa solucao nao e fisicamente aceitavel, e estamos descartando essa possibilidade.Incluindo esse anzatz, obtemos uma equacao para u(y):

d2u

dy2− 2y

du

dy+ (2ε− 1)u = 0 . (7.96)

Assumindo para u(y) uma solucao em serie de potencias, temos:

u(y) =∞∑n=0

Cnyn (7.97)

→ du

dy=

∞∑n=1

nCnyn−1 (7.98)

→ d2u

dy2=

∞∑n=2

n(n− 1)Cnyn−2 =∞∑k=0

(k + 2)(k + 1)Ck+2yk (k = n− 2) (7.99)

e substituindo essa expansao na equacao, obtemos

∞∑n=0

Cn+2(n+ 2)(n+ 1)yn −∞∑n=0

Cn2nyn +∞∑n=0

Cn(2ε− 1)yn = 0 (7.100)

→∞∑n=0

[Cn+2(n+ 2)(n+ 1)− Cn(2n− 2ε+ 1)] yn = 0 (7.101)


A igualdade implica que o termo entre colchetes deve ser identicamente nulo para qualquer n,o que da uma relacao de recorrencia para os coeficientes Cn:

Cn+2 =2n− 2ε+ 1

(n+ 2)(n+ 1)Cn (7.102)

Como a equacao e de segunda ordem, temos duas constantes arbitrarias, C0 e C1. Umasvez especificadas essas constantes, todas as outras sao determinadas pela relacao de recorrenciaEq. 7.102. Portanto

u(y) = C0 + C1y + C2y2 + C3y3 + C4y4 + C5y5 + ...

= [C0 + C2y2 + C4y

4...] + [C1y + C3y3 + C5y

5...]

= C0

[1 +

C2

C0y2 +

C4

C2

C2

C0y4...

]+ C1

[y +

C3

C1y3 +

C5

C3

C3

C1y5...

](7.103)

Quando n→∞, temos

Cn+2 →2nCn n→∞ (7.104)

Mas a serie de ymey2

da

ymey2

= ym∑k

y2k

k!=∑k

1k!y2k+m =

∑n

1[(n−m)/2]!

yn (7.105)

onde mudamos n = 2k +m. Portanto

Cn =1

[(n−m)/2]!(7.106)

e temos

Cn+2

Cn=

[(n−m)/2]![(n+ 2−m)/2]!

=[(n−m)/2]!

[(n+ 2−m)/2][(n+ 2−m)/2− 1]!

=[(n−m)/2]!

[(n+ 2−m)/2][(n−m)/2]!=

1(n−m+ 2)/2

→ 2n

(n→∞) (7.107)

Portanto, a serie de u(y) cresce da mesma forma que ymey2, o que implica ψ = u(y)e−y

2/2 ∼ymey

2/2, que e exatamente a solucao que havıamos descartado anteriormente, por |ψ|2 nao integrara valor finito ! Mais uma vez precisamos descartar esta solucao de alguma forma.

A unica alternativa para que o comportamento no infinito nao seja a de u ∼ ymey2, mas sim

de u ∼ ym e que a serie acima seja truncada em algum valor de n = m, i.e. Cn = 0 para algumn = m. Se isso ocorrer, pela Eq. 7.102 Cn+2 = 0 e todos os coeficientes se anulam para n > m, ouseja, a serie passa a ser um polinomio de ordem m e nao uma exponencial.

Isso ocorre se

2n− 2ε+ 1 = 0 → ε =12

+ n (7.108)

ou seja, como ε = E/hω, temos que a energia e quantizada:

En =(

12

+ n

)hω (7.109)


Ja para as funcoes de onda temos que u(y) sera um polinomio de ordem n. Podemos dividir assolucoes em:

1. C0 = 0 −→ u(y) = C1y + C3y3 + ...+ Cny

n, n ımpare u(y = 0) = 0, i.e. ψ(x = 0) = 0

2. C1 = 0 −→ u(y) = C0 + C2y2 + ...+ Cny

n, n pare du/dy(y = 0) = 0, i.e. dψ/dx(x = 0) = 0

Para n par tomamos C1 = 0, e para n impar C0 = 0 . Usando a relacao,

Cj+2 =2j + 1− 2ε

(j + 2)(j + 1)Cj =

2j + 1− (2n+ 1)(j + 2)(j + 1)

Cj =2(j − n)

(j + 2)(j + 1)Cj (7.110)

obtemos os seguintes polinomios:

• n = 0→ u(y) = C0

• n = 1→ u(y) = C1y

• n = 2→ u(y) = C0 + C2y2 = C0 − 2C0 = C0(1− 2y2)

• n = 3→ u(y) = C1y + C3y3 = C1y − 2

3C1y3 = C1(y − 2

3y3)

Figura 7.3: Auto-funcoes ψn(x) do osciladorharmonico quantico para n = 0, 1, 2, 3. Os pontos± x0 indicam o deslocamento maximo do osciladorclassico. Quanticamente, o caso x > x0 e permitido,embora seja exponencialmente suprimido. (Eisberg)

Essas solucoes sao proporcionais aos chama-dos polinomios de Hermite Hn(y):

H0(y) = 1 (7.111)H1(y) = 2y (7.112)H2(y) = −2(1− 2y2) (7.113)

H3(y) = −12(y − 23y3) (7.114)

H4(y) = 12(1− 4y2 +43y4) (7.115)

cujas propriedades matematicas sao bem conhe-cidas. Por exemplo, eles satisfazem a relacao derecorrencia

Hn+1(y) = 2yHn − 2nHn−1 (7.116)

Portanto, as solucoes ficam

ψn(y) = AnHn(y)e−y2/2, y =

x

b=(mω

~

)1/2x

A constante An e tal que∫|ψn(x)|2dx = 1, de forma que a solucao final fica

ψn(x) =(

mω

π~22n(n!)2

)1/4

Hn

[(mω~

)1/2x

]exp

(−mωx

2

2~

)(7.117)

As auto-funcoes do oscilador harmonico sao mostradas para n = 0, 1, 2, 3 na Fig. 7.3.


7.7.1 Estado Fundamental

O caso n = 0 e possıvel e corresponde ao estado fundamental de mais baixa energia no oscilador

E0 =12

~ω (7.118)

ψ0(x) =(mωπ~

)1/4exp

(−mωx

2

2~

)(7.119)

Ou seja, a energia mınima nao e nula, diferentemente do caso classico. Alem disso, a funcao deonda e um pacote gaussiano com ∆x =

√~/2mω.

7.7.2 Funcao de onda dos momentos

A funcao de onda dos momentos φ(p) pode ser obtida pelas ψ(x) via transformada de Fourier, comomostrado anteriormente. Mas no caso do oscilador, existe uma maneira mais simples de obter oresultado. A energia do oscilador e

E =P 2

2m+mω2X2

2(7.120)

Mas se mudarmos X → P ′/mω e equivalentemente P → mωX ′, temos

P 2

2m=

(mωX ′)2

2m=mω2(X ′)2

2(7.121)

mω2X2

2=

(mω2(P ′/mω)2

2=

(P ′)2

2m(7.122)

(7.123)

ou seja, o problema e totalmente equivalente ao original nessas novas variaveis. Assim, podemosobter a funcao de onda simplesmente mudando x → p/mω e normalizando apropriadamente. Porexemplo, para o estado fundamental, temos

φ0(p) =(

1π~mω

)1/4

exp(− p2

2~mω

)(7.124)

ou seja, ∆p =√

~mω. Portanto,

∆x∆p =

√~

2mω

√~mω =

~2

(7.125)

como esperado para o pacote gaussiano.

7.7.3 Relacao com o caso classico

No caso do oscilador classico, o ponto x0 de maxima deflexao do oscilador (onde a velocidade enula), e dado por

E =mv2

2+mω2x2

2=mω2x2

0

2(7.126)


Desta relacao, temos que a velocidade e dada por

v = ω(x20 − x2)1/2 (7.127)

E como E = (12 + n)~ω, e x2 = b2y2 = ~y2/mω, temos

mω2x20 = 2E = (2n+ 1)~ω → x2

0 = (2n+ 1)~mω

(7.128)

→ x0 = ±(2n+ 1)1/2

(~mω

)1/2

ou y0 = ±(2n+ 1)1/2 (7.129)

Na fısica classica, a partıcula nunca tem x > x0, ja que isso violaria a conservacao de energia,mas na fısica quantica, pode ocorrer x > x0. No estado fundamental, x0 = ~/mω e a probabilidadede encontrar a partıcula com posicao x e

P0(x) = |ψ0(x)|2 =(mωπ~

)1/2exp

(−mωx

2

~

)=

(1πx2

0

)1/4

exp(−x

2

x20

)(7.130)

ou seja, a probabilidade de ter x > x0 decai exponencialmente, como no tunelamento de umabarreira, mas nao e nula.

Classicamente, a probabilidade Pclas(x) de encontrar uma partıcula em certa posicao x e pro-porcional ao tempo que ela passa em x, i.e. e inversamente proporcional a velocidade da partıculanaquele ponto:

Pclas(x) ∝ 1v(x)

=1

ω(x0 − x)2(7.131)

Figura 7.4: Probabilidade P100 = |ψ100|2 do oscila-dor para n = 100. A linha pontilhada indica o limiteclassico da Eq. 7.131, para o qual o valor medio de|ψn(x)|2 converge quando n→∞. (Griffiths)

Note que, quanticamente, o estado fundamen-tal tem comportamento exatemente oposto, i.e.maior probabilidade em x = 0 e nao em x = x0.Para n→∞, temos x2

0 = 2n~/mω e

Pn(x) ∝ H2n

[(mω~

)1/2x

]exp

(−mωx

2

~

)∝ H2

n

[√2n xx0

]exp

(−2n x2

x20

)(7.132)

e para n → ∞, vemos que os polinomios deHermite oscilam muito, e a probabilidade de quex > x0 fica muito pequena devido ao termo 2n nasupressao exponencial. Alem disso o valor mediode Pn(x), que e o que pode ser medido na pratica,converge para o valor classico da Eq. 7.131, comoindicado na Fig. 7.4 para n = 100.

E por isso que, em situacoes cotidianas, em que n de fato e muito grande, osciladores comopendulos parecem ter as propriedades classicas usuais, sem efeitos quanticos. Mas para osciladoresatomicos, as propriedades quanticas sao importantes e, por vezes, dominantes.

Capıtulo 8

Fısica Atomica

8.1 Equacao de Schrodinger em 3 Dimensoes

Generalizando a representacao do operador momento do caso unidimensional, temos:

Px = −i~ d

dx(1D) (8.1)

→ ~P = −i~(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)= −i~~∇ (3D) (8.2)

e a Eq. de Schrodinger independente do tempo em 3 dimensoes fica

∇2ψ(~x) +2m~2

[E − U(~x)]ψ(~x) = 0 (8.3)

onde a funcao de onda ψ(~x) = ψ(x, y, z).

8.2 Potencial Central

Vamos agora considerar a Eq. de Schrodinger quando a energia potencial depende apenas de umacoordenada radial r em coordenadas esfericas:

U(~x) = U(r, θ, φ) = U(r) (8.4)

No caso especıfico do atomo de Hidrogenio, temos

U(r) = − e2

4πε0r, (8.5)

mas grande parte da discussao a seguir vale para qualquer sistema com um potencial central.Dada a simetria esferica do problema, e conveniente trabalhar em coordenadas esfericas ~x = (r, θ, φ),

nas quais o laplaciano e dado por:

∇2 =1r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2

∂φ2(8.6)

Vamos assumir que a funcao de onda ψ(r, θ, φ) em coordenadas esfericas, pode ser escrita comoo produto de funcoes de cada variavel:

ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ) . (8.7)

111

112 CAPITULO 8. FISICA ATOMICA

Substituindo essa forma funcional na Eq. de Schrodinger, temos

1r2

∂

∂r

(r2∂RΘΦ

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂RΘΦ∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2RΘΦ∂φ2

+2m~2

[E − U(r)]RΘΦ = 0

ΘΦr2

d

dr

(r2dR

dr

)+

RΦr2 sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘdθ

)+

RΘr2 sin2 θ

d2Φdφ2

+2m~2

[E − U(r)]RΘΦ = 0

onde as derivadas parciais se tornaram derivadas totais, pois atuam em funcoes apenas das variaveiscorrespondentes. Multiplicando esta equacao por r2 sin2 θ/(RΘΦ), temos

sin2 θ

R

d

dr

(r2dR

dr

)+

sin θΘ

d

dθ

(sin θ

dΘdθ

)+

1Φd2Φdφ2

+2m~2r2 sin2 θ [E − U(r)] = 0 (8.8)

ou

sin2 θ

R

d

dr

(r2dR

dr

)+

sin θΘ

d

dθ

(sin θ

dΘdθ

)+

2m~2r2 sin2 θ [E − U(r)] = − 1

Φd2Φdφ2

(8.9)

O lado direito e funcao apenas de φ, enquanto o lado esquerdo e funcao apenas de r e θ. A unicamaneira desta igualdade ser verdadeira e que ambos os lados sejam iguais a uma constante comum,que designaremos m2, e entao:

− 1Φd2Φdφ2

= m2 (8.10)

ou seja,

d2Φdφ2

= −m2Φ (8.11)

e

sin2 θ

R

d

dr

(r2dR

dr

)+

sin θΘ

d

dθ

(sin θ

dΘdθ

)+

2m~2r2 sin2 θ [E − U(r)] = m2

1R

d

dr

(r2dR

dr

)+

1Θ sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘ∂θ

)+

2m~2r2 [E − U(r)] =

m2

sin2 θ

ou

1R

d

dr

(r2dR

dr

)+

2m~2r2 [E − U(r)] =

m2

sin2 θ− 1

Θ sin θd

dθ

(sin θ

dΘ∂θ

)(8.12)

Agora o lado esquerdo depende apenas de r, enquanto o lado dirieto depende apenas de φ, eportanto ambos os lados devem ser iguais a uma nova constante. Por conveniencia, e por ja sabero que ha por vir a seguir, vamos chamar essa constante de l(l + 1), e assim:

m2

sin2 θ− 1

Θ sin θd

dθ

(sin θ

dΘ∂θ

)= l(l + 1) (8.13)

ou

− 1sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘdθ

)+m2Θsin2 θ

= l(l + 1)Θ (8.14)

8.3. SOLUCOES DAS EQUACOES ANGULARES 113

e

1R

d

dr

(r2dR

dr

)+

2m~2r2 [E − U(r)] = l(l + 1) (8.15)

ou

1r2

d

dr

(r2dR

dr

)+

2m~2

[E − U(r)− ~2l(l + 1)

2mr2

]R = 0 (8.16)

Com a separacao de variaveis, transformamos uma equacao com 3 derivadas parciais em 3 equacoesordinarias de uma variavel cada.

8.3 Solucoes das Equacoes Angulares

Vamos comecar com a primeira equacao

d2Φ(φ)dφ2

= −m2Φ(φ) (8.17)

cuja solucao e

Φ(φ) = eimφ (8.18)

Como os angulos φ = 0 e φ = 2π sao os mesmos, devemos ter:

Φ(0) = Φ(2π) (8.19)

ou seja

eim0 = eim2π

1 = cos(m2π) + i sin(m2π) (8.20)

Esta condicao implica que m deve ser um numero inteiro (cos(m2π) = 1 e sin(m2π) = 0), ou seja:

|m| = 0, 1, 2, 3, ... (8.21)

Ja para a segunda equacao, temos

− 1sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘdθ

)+m2Θsin2 θ

= l(l + 1)Θ

→ 1sin θ

d

dθ

(sin2 θ

sin θdΘdθ

)+[l(l − 1)− m2Θ

sin2 θ

]Θ = 0

(8.22)

Fazendo a mudanca de variavel:

z = cos θ, dz = − sin θdθ, sin2 θ = 1− z2 (8.23)


a equacao se torna

d

dz

[(1− z2)

dΘdz

]+[l(l + 1)− m2

1− z2

]Θ = 0 (8.24)

ou

(1− z2)d2Θdz2− 2z

dΘdz

+[l(l + 1)− m2

1− z2

]Θ = 0 (8.25)

Essa e a Equacao de Legendre associada. Para obter sua solucao, considere primeiro a Equa cao deLegendre, obtida com m = 0:

(1− z2)d2Pldz2

− 2zdPldz

+ l(l + 1)Pl = 0 (8.26)

Pode-se mostrar que a solu cao que procuramos e dada por:

Θ(z) = Plm(z) = (1− z2)|m|/2d|m|Pl(z)dz|m|

(8.27)

ou seja, para encontrar a solucao que procuramos, i.e. os polinomios de Legendre associados Plm,basta encontrar os polinomios de Legendre Pl que sasisfazem a Eq. 8.25, e deriva-los |m| vezes deacordo com a Eq. 8.27.

Para isso, similarmente ao caso do oscilador harmonico, propomos uma solucao em serie depotencias:

Pl(z) =∞∑j=0

ajzj (8.28)

Substituindo essa expansao na equacao diferencial, obtemos uma relacao de recorrencia:

aj+2 =j(j + 1)− l(l + 1)

(j + 2)(j + 1)aj (8.29)

e vemos que para j → ∞, temos aj+2 → aj . Portanto, quando j → ∞, essa serie tem termosconstantes e diverge, i.e. Pl(z) =∞ em e.g. z = 1, o que daria funcoes de onda infinitas. A unicamaneira de evitar isso e impor que a serie termine. Isso ocorre se l for um inteiro da forma:

l = 0, 1, 2, 3, ... (8.30)

pois o coeficiente aj+2 = 0 quando j = l. Usando a Eq. 8.29, obtermos os polinomios de Legendre:

P0(z) = 1 (8.31)P1(z) = z (8.32)P2(z) = 1− 3z2 (8.33)P3(z) = 3z − 5z3 (8.34)

e a partir deles, podemos obter os polinomios de Legendre associados Plm, por diferenciacao de Pl,|m| vezes. Como Pl e um polinomio de ordem l, podemos diferencia-lo no maximo l vezes antes deobter uma constante. Portanto |m| < l, ou seja, para cada valor de l, m pode ser

|m| = l, l − 1, l − 2, l − 3, ..., 0 (8.35)

8.4. MOMENTO ANGULAR 115

ou

m = ±l,±(l − 2),±(l − 3), ...0 (8.36)

Por exemplo, se l = 3, temos que os valores possıves de m sao m = 0,±1,±2,±3. Os polinomiosde Legendre Associados ficam:

P00 = 1 (8.37)P10 = z, P1±1 = (1− z2)1/2 (8.38)P20 = 1− 3z2, P2±1 = (1− z2)1/2z, P2±2 = 1− z2 (8.39)

(8.40)

A parte angular total da func ao de onda e proporcional aos chamados Harmonicos Esfericos:

Ylm(θ, φ) ∝ Θ(θ)Φ(φ) = eimφPlm(cos θ) (8.41)

Portanto, para especificar a parte angular da funcao de onda, precisamos especificar doisnumeros quanticos l e m, sendo que m se relaciona com l pela equacao acima. Mas qual o significadofısico desses numeros?

8.4 Momento Angular

Com as definicoes dos operadores posicao e momento:

X = x, Y = y, Z = z (8.42)

Px = −i~ ∂

∂x, Py = −i~ ∂

∂y, Pz = −i~ ∂

∂z(8.43)

podemos definir operadores momento angular ~L = (Lx, Ly, Lz) da maneira usual, e mudar paracoordenadas esfericas:

Lx = Y Pz − ZPy = −i~(y∂

∂z− z ∂

∂y

)= i~

(sinφ

∂

∂θ+ cosφ cot θ

∂

∂φ

)(8.44)

Ly = ZPx −XPz = −i~(z∂

∂x− x ∂

∂z

)= i~

(− cosφ

∂

∂θ+ sinφ cot θ

∂

∂φ

)(8.45)

Lz = XPy − Y Pz = −i~(x∂

∂y− y ∂

∂x

)= −i~ ∂

∂φ(8.46)

Pode-se mostrar ainda que L2 = L2x + L2

y + L2z fica, em coordenadas esfericas:

L2 = −~2

[1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1sin2 θ

∂2

∂φ2

](8.47)

L2z = −~2 ∂

2

∂φ2(8.48)

Vamos supor que existam funcoes A(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) que sejam autofuncoes de L2 e Lz, ou seja:

−~2 ∂2

∂φ2A = L2

zA (A = ΘΦ)

→ d2Φdφ2

= −L2z

~2Φ (8.49)


Essa e exatamente a equacao que resolvemos na secao anterior com m = Lz/~, ou

Lz = m~ (8.50)

Portanto, o numero quantico m representa a componente z do momento angular em unidades de~, i.e. Lz e quantizado como um numero inteiro m vezes ~ !

Por outro lado:

−~2

[1

sin θ∂A

∂θ

(sin θ

∂A

∂θ

)+

1sin2 θ

∂2A

∂φ2

]= L2A (A = ΘΦ)

→ − 1sin θ

dΘdθ

(sin θ

dΘdθ

)+m2Θsin2 θ

=L2

~2Θ (8.51)

que e identica a equacao da secao anterior com l(l + 1) = L2/~2, ou

L2 = l(l + 1)~2 (8.52)→ L =

√l(l + 1)~ (8.53)

Portanto, o numero quantico l e tal que o momento angular total e quantizado em unidades de ~como acima. Isso quase corresponde a quantizacao imposta por Bohr, mas nao exatamente. Noteque como |mmax| = l, temos que necessariamente L > Lz, ja que l(l + 1) > l2 = m2

max. Qualitati-vamente, isso ocorre porque nao podemos saber as tres componentes Lx, Ly, Lz simultaneamente.Caso L = Lz fosse possıvel, saberıamos que Lx = Ly = 0 exatamente. As relacoes de incerteza deL sao consequencia de sua dependencia em x e p e das relacoes de incerteza destas.

8.5 Solucao da Equacao Radial

So falta agora resolver a equacao radial para o potencial especıfico do atomo de Hidrogenio:

U(r) = − e2

4πε0r(8.54)

ou seja,

1r2

d

dr

(r2dR

dr

)+

2me

~2

[E +

e2

4πε0r− ~2l(l + 1)

2mer2

]R = 0 (8.55)

Iniciamos com as mudancas de variaveis:

ρ = 2βr (8.56)

β2 =2meE

~2(8.57)

n =mee

2

4πε0~2β(8.58)

em termos das quais, a equacao fica

8.5. SOLUCAO DA EQUACAO RADIAL 117

1ρ2

d

dρ

(ρ2dR

dρ

)+[−1

4− l(l + 1)

ρ2+n

ρ

]R = 0 (8.59)

Quando ρ→∞, temos

1ρ2

d

dρ

(ρ2dR

dρ

)=R

4(ρ→∞) (8.60)

cuja solucao neste limite e

R(ρ) = e−ρ2/2 (ρ→∞) (8.61)

Portanto, propomos a solucao geral como

R(ρ) = e−ρ/2F (ρ) (8.62)

Substituindo na equacao, obtemos uma equacao para F (ρ):

d2F

dρ2+(

2ρ− 1)dF

dρ+[n− 1ρ− l(l + 1)

ρ2

]F = 0 (8.63)

Propomos uma solucao em series:

F (ρ) = ρs∞∑j=0

ajρj , s ≥ 0 (8.64)

onde o termo ρs garante que F (0) e finita, ja que os proprios coeficientes da equacao diferencialparecem divergir em ρ = 0. Substituindo na equacao, obtemos

[s(s+ 1)− l(l + 1)] a0ρs−2 +

∞∑j=0

[(s+ j + 1)(s+ j + 2)− l(l + 1)] aj+1 − (s+ j + 1− n)aj ρs+j−1 = 0

e para que a igualdade valha para todo valor de ρ, devemos ter

s(s+ 1)− l(l + 1) = 0 (8.65)

aj+1 =s+ j + 1− n

(s+ j + 1)(s+ j + 2)− l(l + 1)aj (8.66)

A primeira condicao implica s = l ou s = −(l + 1). Mas como s > 0 tomamos s = l. Assim

aj+1 =l + j + 1− n

(l + j + 1)(l + j + 2)− l(l + 1)aj (8.67)

Novamente, para j → ∞, temos aj+1 → aj/j, que e o mesmo comportamento de eρ e faz F (ρ) =eρ/2 →∞. Portanto, a serie deve ser truncada tornando F (ρ) um polinomio. Isso ocorre desde quen seja um numero inteiro com valores:

n = l + 1, l + 2, l + 3, ... (8.68)


Sabendo que n e um numero inteiro, temos entao para a energia E:

E = −β2~2

2m= − me4

(4πε0)22~2n2(8.69)

ou seja, com ~ = h/2π

En = − me4

8n2h2ε20(8.70)

que e exatamente o espectro de energias obtido por Bohr.Portanto, as energias do eletron no atomo dependem apenas do numero quantico n. Ja os

numeros quanticos l e m caracterizam o estado do eletron, determinando seu momento angulartotal e a componente z do momento angular.

Denominamos o polinomio da serie de Lnl, ja que eles dependem de n e l, e sao chamadospolinomios de Laguerre associados. A solucao radial fica entao:

Rnl(ρ) = e−ρ/2Fnl(ρ) = e−ρ/2ρlLnl(ρ) (8.71)

Por fim, temos

ρ = 2βr = 2(−2mE

~2

)1/2

r = 2(

2m~2

me4

8n2h2ε20

)1/2

r =me2

~nhε0r = 2

πme2

nh2ε0r (8.72)

ou com a definicao do raio de Bohr:

a0 =h2ε0πme2

(8.73)

temos

ρ =2rna0

(8.74)

e

Rnl(r) = e−r/na0

(2rna0

)lLnl

(2rna0

)(8.75)

8.6 Solucao final

Por fim, a solucao final das autofuncoes do atomo de Hidrogenio fica

ψnlm(r, θ, φ) ∝ Rnl(r)Ylm(θ, φ) (8.76)

onde, portanto, os numeros quanticos n , l e m caracterizam o estado (funcao de onda) do eletronno atomo de hidrogenio. Eles sao dados por:

n = 1, 2, 3, ... (8.77)

Para cada valor de n, temos

l = 0, 1, 2, ..., (n− 2), (n− 1) (8.78)

E para cada valor de l, temos

m = 0,±1,±2, ...,±l (8.79)

Portanto, para cada valor de n, temos n valores para l. E para cada valor de l, temos 2l+ 1 valoresde m.

8.6. SOLUCAO FINAL 119

8.6.1 Estado Fundamental

O estado mais simples corresponde a n = 1, em cujo caso l = 0 e m = 0. Neste caso, a energia e

E0 = − me4

8h2ε20= −13.6 eV (8.80)

E para nlm = 100, temos R10 ∝ e−r/na0 e Y00 ∝ const. Assim, normalizando, temos:

ψ100 =

√1πa3

0

e−r/a0 (8.81)

e a densidade de probabilidade de encontrar o eletron em um volume dV e

P100dV = |ψ100|2(r2 sin θdθdφdr) (8.82)

Portanto a probabilidde de encontrar o eletron em um raio r em torno de dr e

P100dr = |ψ100|2(4πr2)dr =4a3

0

r2 e−2r/a0dr (8.83)

Podemos encontrar o ponto rmax onde P100 e maxima, i.e.:

dP100

dr=

4a3

0

e−3r/a0(2r − 2r2

a0) = 0 → r = a0 (8.84)

Ou seja, quando o eletron esta no estado fundamental, o raio mais provavel de encontra-lo e defato o raio de Bohr. A probabilidade P100 esta mostrada na Fig. 8.1.

Figura 8.1: Densidade de probabilidade P100(r) do eletron no atomo de Hidrogenio no estado fundamental(n, lm,= 1, 0, 0). O maximo ocorre no raio de Bohr a0. (Serway)


8.7 Series Espectrais

Figura 8.2: Transicao de um eletron donıvel i para o nivel f , emitindo um fotonde comprimento de onda λ. (Serway)

As energias possıveis do modelo de Bohr explicaram ob-servacoes feitas anos antes acerca do espectro do atomo deHidrogenio. Com a obtencao por Schrodinger dessas mes-mas energias, a Eq. de Schrodinger ganhou credibilidadena descricao de fenomenos quanticos.

Com os nıveis energeticos quantizados, as possıveistransicoes eletronicas, bem como os fotons emitidos nessastransicoes tambem ficavam restringidos. Com os nıveis

En = − me4

8ε20h2n2= −13.6 eV

n2(8.85)

os fotons de energia E = hν = hc/λ podiam ter compri-mentos de onda dados por

hc

λif= ∆Eif = Ei − Ef =

me4

8ε20h2

(1n2f

− 1n2i

)(8.86)

ou seja

1λif

= R

(1n2f

− 1n2i

)(8.87)

onde a constante de Rydberg R e

R =me4

8ε20h3c= 1.097× 107m−1 (8.88)

Podemos entao classificar as emissoes possiveis no atomo em series de acordo com o valor de nf .

Serie nf LuzLyman 1 UltravioletaBalmer 2 Visivel e Ultravioleta

Paschen 3 InfravermelhoBrackett 4 Infravermelho

Pfund 5 Infravermelho

Tabela 8.1: Series espectrais do atomo deHidrogenio. Cada valor de nf da origem auma serie de possıveis emissoes para valoresni > nf .

Em particular, a serie de Balmer (nf = 2), quetem os 4 primeiros comprimentos de onda no visıvel(Hα, Hβ, Hγ , Hδ), ja havia sido obtida em 1885:

ni = 3 → λ = 656.3 nm (vermelha) : Hα

ni = 4 → λ = 486.1 nm (azul/verde) : Hβ

...

ni = ∞ → λ = 364.6 nm : H∞

Foi tentando explicar esses numeros que Bohr conce-beu seu modelo atomico, imaginando que a quantizacaodo que ”sai”do atomo deveria estar conectada a quan-tizacao do que esta ”dentro”do atomo.

Capıtulo 9

Estatıstica Quantica

9.1 Partıculas Identicas

Classicamente, 2 partıculas sao sempre distinguıveis: podemos seguir suas trajetorias e sempredizer qual e qual. Quanticamente, duas partıculas identicas, e.g. dois eletrons, sao indistinguıveis:se trocarmos dois eletrons de posicao, o sistema continua identico a antes da troca.

Suponha que a partıcula 1 esta no estado ψa(x1) e a partıcula 2 no estado ψb(x2):

ψa(x1) : partıcula com numero quantico a, na posicao x1 (9.1)ψb(x2) : partıcula com numero quantico b, na posicao x2 (9.2)

Se essas 2 partıculas nao interagem, classicamente o estado do sistema de 2 partıculas seria:

ψ(x1, x2) = ψa(x1)ψb(x2) (Partıculas Distinguıveis) (9.3)

Neste caso, quando trocamos as partıculas de posicao, i.e. x1 ↔ x2, obtemos um novo estadodistinguıvel do anterior:

ψ(x2, x1) = ψa(x2)ψb(x1) 6= ψ(x1, x2) (9.4)

Mas como as partıculas sao identicas, a mudanca x1 ↔ x2 deve produzir um estado indistinguıveldo estado inicial ψ(x1, x2), ou seja o novo estado ψ(x2, x1) e dado por

ψ(x2, x1) = c ψ(x1, x2), c = const. (9.5)

pois a constante muda apenas a ”fase”, ou a normalizacao, da funcao de onda. Por outro lado, semudarmos as posicoes novamente x2 ↔ x1, obtemos:

ψ(x1, x2) = c ψ(x2, x1) = c2ψ(x1, x2), (9.6)

ou seja

c = ±1 (9.7)

Portanto, quando mudamos as partıculas de posicao, a funcao de onda tem apenas duas opcoes: 1)permanecer exatamente igual ou 2) mudar de sinal.

121

122 CAPITULO 9. ESTATISTICA QUANTICA

Obviamente, a funcao de onda expressa na Eq. 9.3 nao se encaixa em nenhum desses casos, jaque la a troca de partıculas produz um novo estado, distinguıvel daquele antes da troca. Portanto,para partıculas identicas, a funcao de onda do sistema de 2 partıculas deve ter uma das duas formas:

ψS(x1, x2) =1√2

[ψa(x1)ψb(x2) + ψa(x2)ψb(x1)] (Simetrica) (9.8)

ψA(x1, x2) =1√2

[ψa(x1)ψb(x2)− ψa(x2)ψb(x1)] (Anti-simetrica) (9.9)

Essas duas possibilidades tem as propriedades de que:

ψS(x2, x1) = ψS(x1, x2) (9.10)ψA(x2, x1) = −ψA(x1, x2) (9.11)

Uma partıcula deve escolher de uma vez por todas se tera funcao de onda simetrica ou anti-simetrica. Suponha que uma dada partıcula (e.g. um eletron) tivesse funcoes de onda tanto ψS comoψA. Neste caso, ela teria tambem combinacoes lineares αψS+βψA, que nao sao nem simetricas, nemanti-simetricas, gerando uma contradicao. Portanto, se medirmos que uma partıcula tem funcaode onda simetrica, sabemos que esta e uma propriedade intrınsica dela.

9.1.1 Estatıstica de Spin: Bosons e Fermions

As partıculas elementares possuem propriedades intrınsecas, e.g. massa, carga. Uma dessas pro-priedades e o spin, que e uma especie de momento angular intrınseco. Verifica-se na natureza queas partıculas possuem sempre spin inteiro (0,1,...) ou semi-inteiro (1/2, 3/2, ...) em unidades de ~.

Por outro lado, partıculas com funcoes de onda simetricas ψS sao chamadas bosons, e partıculascom funcoes de onda anti-simetricas ψA sao chamadas fermions. Exemplos de bosons incluem ofoton (spin 0), os mesons (spin 0, 1) e os gluons (spin 1). Exemplos de fermions incluem barions,como protons e neutrons e tambem eletrons (spin 1/2).

Um fato da natureza e que todos os bosons tem spin inteiro, enquanto todos os fermions temspin semi-inteiro. Esse fato pode ser demonstrado no contexto da Teoria Quantica de Campos, queunifica a Teoria Quantica e a Relatividade Especial. Portanto:

Fermions : Funcao de onda anti-simetrica ψA, spin semi-inteiro n~/2, e.g. eletron (9.12)Bosons : Funcao de onda simetrica ψS , spin inteiro n~, e.g. foton (9.13)

9.1.2 Princıpio de Exclusao de Pauli

Suponha que temos 2 fermions, e.g. dois eletrons, com uma funcao de onda anti-simetrica:

ψA(x1, x2) ∝ ψa(x1)ψb(x2)− ψa(x2)ψb(x1) (9.14)

Suponha agora que os 2 fermions estao no mesmo estado quantico, i.e. a = b. Neste caso, terıamos:

ψA(x1, x2) ∝ ψa(x1)ψa(x2)− ψa(x2)ψa(x1) = 0 (9.15)

ou seja, e impossıvel ter dois fermions com o mesmo estado quantico. Similarmente, suponha queos 2 fermions tem estados quanticos diferentes, mas ocupam posicoes espaciais muito proximas, i.e.x1 ≈ x2. Neste caso:

ψA(x1, x2) ∝ ψa(x1)ψb(x1)− ψa(x1)ψb(x1) = 0 (9.16)

ou seja, dois fermions nao podem ocupar o mesmo lugar no espaco. Isso determina a posicoes e osestados de eletrons nos atomos, ja que eles nao podem ter o mesmo estado quantico.

9.1. PARTICULAS IDENTICAS 123

9.1.3 Spin e Tabela Periodica

A funcao de onda total e a funcao de onda espacial vezes a funcao de onda do spin da partıcula.Portanto, se 2 eletrons tem os mesmos numeros quanticos n l e m, eles necessariamente devem terspins diferentes, e.g. +~/2 ou −~/2. A tabela periodica de elementos quımicos e explicada comeletrons ocupando os nıveis energeticos disponıveis, respeitando o Princıpio de Pauli.

9.1.4 Partıculas Classicas e Quanticas

Considere um gas com apenas 2 partıculas A e B, que podem existir em 3 estados 1,2,3.

Estatıstica Classica: Neste caso, temos particulas sao distinguıveis e qualquer numero departıculas pode estar em qualquer estado. As 9 configuracoes possıveis sao mostradas na Tab. 9.1As partıculas satisfazem a Estatıstica de Maxwell-Boltzmann (MB)

1 2 3AB

ABAB

A BB AA BB A

A BB A

Tabela 9.1: Configuracoes de 2 partıculas A,B em 3 estados, na estatıstica classica de Maxwell-Boltzmann.

Estatıstica de Bosons: Neste caso, as partıculas so identicas (A=B) e qualquer numero departıculas pode estar em qualquer estado. As 6 configuracoes possıveis sao mostradas na Tab. 9.2As partıculas satisfazem a Estatıstitica de Bose-Einstein (BE).

1 2 3AA

AAAA

A AA A

A A

Tabela 9.2: Configuracoes de 2 partıculas identicas em 3 estados, na estatıstica de Bose-Einstein.

Estatıstica de Fermions: Neste caso, as partıculas sao identicas (A=B) e pode haver nomaximo 1 partıcula em cada estado (Princıpio de Exclusao). As 3 configuracoes possıveis saomostradas na Tab. 9.3 As partıculas satisfazem a Estatıstitica de Fermi-Dirac (FD).


1 2 3A AA A

A A

Tabela 9.3: Configuracoes de 2 partıculas identicas em 3 estados, na estatıstica de Fermi-Dirac.

Para cada uma destas estatısticas, podemos calcular a razao P , definida:

P =Numero de configuracoes com 2 partıculas no mesmo estado

Numero de configuracoes com 2 partıculas em estados diferentes(9.17)

Temos:

PMB =36

=12

(9.18)

PBE =33

= 1 (9.19)

PFD =03

= 0 (9.20)

Portanto, relativamente a estatıstica classica de Maxwell-Boltzmann, podemos concluir:

Bose-Einstein: Tendencia das partıculas se aglomerarem no mesmo estado (e.g. condensadode Bose-Einstein a baixas temperaturas).

Fermi-Dirac: Tendencia das partıculas se ”repelirem”no mesmo estado, ou ocuparem estadosdiferentes: princıpio de exclusao (e.g. atomos, anas brancas).

9.2 Estatıstica Quantica: Ensemble Grand-Canonico

No caso quantico, uma configuracao pode ser representada por

(N1, N2, ...., Nr, ...) : configuracao (9.21)

onde temos Nr partıculas no estado r, com energia εr cada uma. Gostarıamos de saber o numeromedio Nr de partıculas no estado r.

No caso classico de um gas ideal, os estados eram contınuos e vimos que

N(v) ∝ e−βmv2/2 ou N(E) ∝ e−βE (9.22)

No caso quantico, precisamos retornar as medias calculadas usando a distribuicao grand-canonica:

P (Er, Nr) = Ce−β(Er−µNr) (9.23)

Com Nr partıculas no estado r, cada uma com energia εr, temos que a energia total Er noestado r e dada por:

Er = Nrεr (9.24)

9.2. ESTATISTICA QUANTICA: ENSEMBLE GRAND-CANONICO 125

Assim,

P (Er, Nr) = Ce−β(εr−µ)Nr = Ce−βε′rNr (9.25)

ε′r = εr − µ (9.26)

e o numero medio no estado r fica

Nr =∑

sNre−βε′sNs∑

s e−βε′sNs

(9.27)

onde a soma e feita sobre todas as configuracoes possıveis do sistema. Temos entao

Nr =− 1β

∂∂ε′r

∑∞s=1 e

−βε′sNs∑∞s=1 e

−βε′sNs= − 1

β

1Zg

∂Zg∂ε′r

= − 1β

∂ lnZg∂ε′r

(9.28)

onde a funcao de grand-particao Zg e

Zg =∞∑s=1

e−βε′sNs . (9.29)

Com as energias ε′s fixadas pelos estados quanticos, as diferentes configuracoes sao obtidas variandoos numeros (N1, N2, ..., Nr, ...) de 0 a ∞ e temos, equivalentemente:

Nr =

∑N1,N2,...Nr,...

Nre−β(ε′1N1+ε′2N2+....ε′rNr+...)∑

N1,N2,...Nr,...e−β(ε′1N1+ε′2N2+....ε′rNr+...)

=

∑NrNre

−βε′rNr∑

Ns 6=Nr e−β(ε′1N1+ε′2N2+....)∑

Nre−βε′rNr

∑Ns 6=Nr e

−β(ε′1N1+ε′2N2+....)

(9.30)

O somatorio em Ns 6= Nr se cancela, e obtemos

Nr =

∑∞Nr=1Nre

−βε′rNr∑∞Nr=1 e

−βε′rNr=− 1β

∂∂ε′r

∑∞Nr=1 e

−βε′rNr∑∞Nr=1 e

−βε′rNr= − 1

β

∂ lnSr∂ε′r

(9.31)

onde a soma Sr e feita apenas no estado r:

Sr =∞∑

Nr=1

(e−βε

′r

)Nr(9.32)

enquanto a funcao de particao e feita em todas as configuracoes:

Zg =∑

N1,N2,...Nr,...

e−β(ε′1N1+ε′2N2+....ε′rNr+...) (9.33)

9.2.1 Distribuicao de Fermi-Dirac

No caso de fermions, Nr = 0, 1 apenas e

Sr =∑

Nr=0,1

(e−βε

′r

)Nr= 1 + e−βε

′r (9.34)


Portanto

Nr = − 1β

∂

∂ε′rln(1 + e−βε

′r) = − 1

β

−βe−βε′r1 + e−βε′r

=1

eβε′r + 1(9.35)

ou seja,

Nr =1

eβ(εr−µ) + 1Fermi-Dirac (9.36)

Figura 9.1: Distribuicao de Fermi-Dirac para diferen-tes temperaturas. A energia de Fermi neste caso eεF = 1eV. No zero absoluto, todos os estados comε < εF estao ocupados, enquanto os estados ε > εFestao vazios.

Vejamos o que ocorre quando a temperaturade um sistema de Fermions abaixa. Neste caso,T → 0, i.e. β →∞ e temos

eβ(ε−µ) =

0 se ε < µ(T = 0)∞ se ε > µ(T = 0)

(9.37)

Definimos a Energia de Fermi εF = µ(T = 0),e temos entao que

N(ε) =1

eβ(ε−εF ) + 1=

1 se ε < εF0 se ε > εF

(9.38)

ou seja, em T = 0, todos os estados com ε < εFsao ocupados, e os estados com ε > εF ficamvazios. A medida que T aumenta, os estadoscom ε > εF tambem vao sendo ocupados.

9.2.2 Distribuicao de Bose-Einstein

No caso de bosons, Nr = 0, 1, ...,∞ e devemos calcular o somatorio:

Sr =∞∑

Nr=0

(e−βε

′r

)Nr= 1 + e−βε

′r + e−2βε′r + e−3βε′r + ... (9.39)

Portanto

e−βε′rSr = e−βε

′r + e−2βε′r + e−3βε′r + ... (9.40)

e subtraindo as duas equacoes, apos cancelamentos, obtemos

Sr − e−βε′rSr = 1→ Sr =

11− e−βε′r

(9.41)

Assim

Nr = − 1β

∂

∂ε′rln(1− e−βε′r)−1 =

1β

βe−βε′r

1− e−βε′r=

1eβε′r − 1

(9.42)

ou seja,

Nr =1

eβ(εr−µ) − 1Bose-Einstein (9.43)

9.2. ESTATISTICA QUANTICA: ENSEMBLE GRAND-CANONICO 127

Fotons

No caso particular de fotons, a energia pode variar independente do numero de partıculas, ja quefotons podem ser criados/destruıdos sem restricao. Isso implica µ = 0, ou seja obtemos novamentea distribuicao de Planck:

Nr =1

eβεr − 1Distribuicao de Planck (Fotons) (9.44)

9.2.3 Distribuicao de Maxwell-Boltzmann

No caso de partıculas distinguıveis, a troca de partıculas entre estados distintos gera novas con-figuracoes. Entretanto a troca de partıculas no mesmo estado nao gera uma nova configuracao.Assim, para cada 1 configuracao (N1, N2, ...) do caso de bosons, temos

N !N1!N2!....

(9.45)

configuracoes no caso classico, onde N =∑

rNr e o numero total de partıculas do sistema. Por-tanto, a funcao de grand-particao fica

Zg =∑

N1,N2,...Nr,...

N !N1!N2!....

e−β(ε′1N1+ε′2N2+....ε′rNr+...)

=∑

N1,N2,...Nr,...

N !N1!N2!....

(e−βε′1)N1(e−βε

′2)N2 ... (9.46)

Usando a expansao binomial:

(a+ b+ c+ ...)N =∑

N1,N2,...,Nr,...

N !N1!N2!....

aN1bN2cN3 ..., onde∑r

Nr = N (9.47)

temos entao

Zg = (e−βε′1 + e−βε

′2 + ...)N =

(∑r

e−βε′r

)N(9.48)

Portanto

lnZg = N ln

(∑r

e−βε′r

)(9.49)

e temos

Nr = − 1β

∂ lnZg∂ε′r

= −Nβ

−βe−βε′r∑r e−βε′r

= Ne−βε

′r∑

r e−βε′r

(9.50)

Inserindo ε′r = εr − µ e cancelando e−βµ no numerador e denominador, temos

Nr = Ne−βεr∑r e−βεr Maxwell-Boltzmann (9.51)

e obviamente ∑r

Nr = N (9.52)

Ou seja, reobtemos o resultado da estatıstica classica, mesmo com estados quanticos.


9.2.4 Limite Classico

Somando as partıculas nos varios estados, obtemos o numero total N de partıculas

N =∑r

Nr =∑r

1eβ(εr−µ) ± 1

(9.53)

Mesmo no caso de fotons, em que este numero nao e fixo, ainda assim ele deve se manter finito.No limite de baixas densidades, temos N 1 o que implica que cada Nr 1, e eβε

′r 1.

Ja no limite de altas temperaturas, β → 0, e os termos de energias εr mais altas, i.e. Nr comr mais alto, tendem a contribuir para a somatoria. Para que N continue sendo finito novamente epreciso que Nr 1, o que ocorre com µ(T ) negativo o suficiente e implica eβε

′r 1.

Portanto em baixas densidades e/ou altas temperaturas, ambas as distribuicoes quanticas (BEe FD) se aproximam de

Nr =1

eβε′r ± 1≈ e−βε′r (MB) (9.54)

i.e. as distribuicoes de BE e de FD se reduzem a distribuicao classica de MB.

9.2.5 Comparacao

Figura 9.2: Comparacao entre as distribuicoes deMaxwell-Boltzmann (classica), Bose-Einstein (bosons)e Fermi-Dirac (fermions). Para βε→∞, as tres distri-buicoes coincidem. Para βε → 0, bosons tendem a seaglomerar no estado fundamental, enquanto fermionsdevem respeitar o principio de Exclusao.

Comparamos as 3 distribuicoes na Fig. 9.2.Relativamente a distribuicao de Maxwell-Boltzmann, a distribuic !ao de Bose-Einsteinesta sempre acima, enquanto a distribuicao deFermi-Dirac esta sempre abaixo.

Como vimos, em altas energias (ε→∞) oualtas temperaturas (β → ∞) as distribuicoesde FD e BE se reduzem a de MB, ou seja, as 3distribuicoes coincidem.

Ja em baixas temperaturas as distribuicoesse diferenciam muito. A distribuicao de BE(e tambem a de MB) faz com que todas aspartıculas tendam a ocupar o estado fundamen-tal de mais baixa energia do sistema, fazendocom que N(ε = 0) → ∞. Ja a distribuicaode FD deve respeitar o princıpio de Exclusao eportanto N(ε) ≤ 1, fazendo com que os estadossejam mais homogeneamente ocupados.

9.3. ESTATISTICA QUANTICA: ENSEMBLE MICRO-CANONICO 129

9.3 Estatıstica Quantica: Ensemble Micro-Canonico

Vamos agora re-obter as distribuicoes de MB, FD e BE usando o ensemble microcanonico, i.e.explicitamente contando todas as configuracoes possıveis em cada caso. O estado de equilibrioe aquele que maximiza o numero de configuracoes (estado mais provavel), ou similarmente, quemaximiza a entropia do sistema.

9.3.1 Configuracoes

Suponha que tenhamos estados degenerados, i.e. estados distintintos mas com a mesma energia.Vimos que isso ocorre, por exemplo, no atomo de Hidrogenio, onde os estados eram caracterizadospor 4 numeros quanticos (n, l,m,mz), mas a energia dependia apenas de n. Portanto, havia variosestados do eletron com a mesma energia.

Vamos supor entao que temos di estados com energia εi e que vamos distribuir Ni partıculasnesses di estados:

ε1︷︸︸︷•| • | • |...| • | | |︸︷︷︸d1 estados | | |N1 partıculas ••••

ε2︷︸︸︷•| • | • |...| • | | |︸︷︷︸d2 estados | | |N2 partıculas ••••

...

εi︷︸︸︷•| • | • | |...| • | | |︸︷︷︸di estados | | |Ni partıculas ••••

...

O caso nao-degenerado corresponde a di = 1. Os numeros de estados di sao fixos e determinadospela mecanica quantica do sistema especıfico que estamos considerando.

O numero de partıculas Ni ocupando estes estados no entanto pode variar e definir diferentesconfiguracoes do sistema. Estamos interessados em saber o numero de configuracoes Ω possıveiscom N1 partıculas com energia ε1 cada, N2 partıculas com energia ε2 e assim por diante, mas comenergia total e numero total de partıculas fixados, i.e.

Ω(N1, N2, ..., Ni, ...) com∑i

Ni = N e∑i

Niεi = E (9.55)

Vamos considerar as varias estatısticas para calcular o numero de configuracoes acima.

Distinguıveis

Vamos considerar primeiro o caso da estatıstica classica, em que as partıculas sao distinguıveis epode haver qualquer numero de partıculas em qualquer estado. Uma configuracao tıpica nos nıveisde energia εi e mostrada abaixo:

εi︷︸︸︷•| × ♦4||...|| | |N︸︷︷︸di estados | | | | | |Ni partıculas •×♦4N

- Para preencher os estados de energia ε1, devemosi) Escolher N1 partıculas entre as N possiveis. O numero de maneiras de fazer isso e(

NN1

)=

N !N1! (N −N1)!

(9.56)


ii) Distribuir as N1 partıculas entre os d1 estados. Cada uma das N1 partıculas tera d1 escolhas,ja que elas podem inclusive ocupar os mesmos estados. Portanto o numero de maneiras de fazerisso e

(d1)N1 (9.57)

Portanto, o numero de maneiras de ter N1 partıculas nos d1 estados de ε1 e:

ε1 : Ω(N1) =N ! dN1

1

N1! (N −N1)!(9.58)

Por exemplo, se d1 = 3 estados e N1 = 2 partıculas, as configuracoes possıveis para ε1 sao as 9 jamostradas na Tab 9.1, ou similarmente:

• × | | : (AB, 0, 0)| • ×| : (0, AB, 0)| | • × : (0, 0, AB)•| × | : (A,B, 0)×| • | : (B,A, 0)•| |× : (A, 0, B)×| |• : (B, 0, A)| • |× : (0, A,B)| × |• : (0, B,A)

De fato, com N = 2, N1 = 2 e d1 = 3, temos Ω(N1) = 2!32/2!(0)! = 9.

- Para os estados de energia ε2, procedemos da mesma forma, mas como ja usamos N1 partıculas,somente (N −N1) estao disponıveis. Portanto, fazendo N → N −−1, temos:

ε2 : Ω(N2) =(N −N1)! dN2

2

N2! (N −N1 −N2)!(9.59)

- Procedemos similarmente para todas as energias εi. O numero total de configuracoes possıveise obtido entao multiplicando:

Ω(N1, N2, ...) = Ω(N1)Ω(N2)...

=N ! dN1

1

N1! (N −N1)!(N −N1)! dN2

2

N2! (N −N1 −N2)!... = N !

dN11 dN2

2 ...

N1!N2!...(9.60)

ou seja

Ω(N1, N2, ...) = N !∞∏n=1

dNnnNn!

(9.61)


Bosons

Para bosons a tarefa e mais facil, ja que as partıculas sao identicas. Portanto, nao precisamos”escolher”Ni partıculas dentre as N disponıveis, ja que todas produzirao uma mesma configuracao.Isso elimina o passo i) do caso anterior. A unica coisa a se determinar e o numero de manei-ras de distribuir as Ni partıculas identicas em di estados. Podemos pensar que temos Ni bolasrepresentando partıculas identicas e di − 1 particoes que limitam os di estados:

εi︷︸︸︷• • • • • • • • •...•︸︷︷︸

Ni particulas

| | | | | | |...|︸︷︷︸di−1 particoes

Por exemplo, uma configuracao tıpica para bosons e mostrada abaixo:

εi︷︸︸︷• • •| • | | • •|...| • | | |•︸︷︷︸

di estados | | |Ni partıculas ••••

(9.62)

- O numero de configuracoes possıveis para a energia ε1 e o numero de permutacoes do conjuntode N1 + d1 − 1 objetos, sendo N1 identicos e d1 − 1 identicos, ou seja:

ε1 : Ω(N1) =(N1 + d1 − 1)!N1! (d1 − 1)!

(9.63)

Por exemplo, se d1 = 3 estados (d1−1 = 2 particoes) e N1 = 2 partıculas, as configuracoes possıveispara ε1 sao as 6 ja mostradas na Tab 9.2, ou similarmente::

• • | | : (AA, 0, 0)| • •| : (0, AA, 0)| | • • : (0, 0, AA)•| • | : (A,A, 0)•| |• : (A, 0, A)| • |• : (0, A,A)

De fato Ω(N1) = (2 + 3− 1)!/2!(3− 1)! = 4!/2!2! = 6.

- O mesmo se aplica para os estados de energia ε2 e todas as outras, e o numero total deconfiguracoes fica:

Ω(N1, N2, ...) =∞∏n=1

(Nn + dn − 1)!Nn!(dn − 1)!

(9.64)


Fermions

Para fermions a situacao e parecida com a de bosons, mas as partıculas devem satisfazer o princıpiode exclusao, i.e. pode haver no maximo uma partıcula por estado.

Uma configuracao tıpica para fermions e mostrada abaixo:εi︷︸︸︷

•| | • | • | • | | |...| • | |•︸︷︷︸di estados | | |Ni partıculas ••••

(9.65)

- O numero de maneiras de preencher os estados de energia ε1 e igual ao numero de combinacoesdos d1 estados disponıveis em grupos de N1 estados completos, ou seja:

ε1 : Ω(N1) =(d1

N1

)=

d1!N1! (d1 −N1)!

(9.66)

Por exemplo, se d1 = 3 estados (d1−1 = 2 particoes) e N1 = 2 partıculas, as configuracoes possıveispara ε1 sao as 3 ja mostradas na Tab 9.3, ou similarmente:

•| • | : (A,A, 0)•| |• : (A, 0, A)| • |• : (0, A,A)

De fato Ω(N1) = 3!/2!(3− 2)! = 3.- Para os estados de energia ε2, procedemos da mesma forma, mas como ja usamos N1 partıculas,

somente (N −N1) estao disponıveis. Portanto, fazendo N → N −N − 1, temos:

ε2 : Ω(N2) =(N −N1)! dN2

2

N2! (N −N1 −N2)!(9.67)

- O mesmo se aplica para os estados de energia ε2 e todas as outras, e o numero total deconfiguracoes fica:

Ω(N1, N2, ...) =∞∏n=1

dn!Nn!(dn −Nn)!

(9.68)

9.3.2 Distribuicao de Equilibrio

A distribuicao de estados mais provavel e aquela que contem o maior numero de configuracoes, ouseja e aquela que maximiza a funcao Ω(N1, N2, ...), ou similarmente seu logaritmo ln Ω(N1, N2, ...)(a entropia do sistema), sujeitos a vınculos de energia e numero total de partıculas:∑

n

Nn = N,∑n

Nnεn = E (9.69)

Esta maximizacao pode ser feita pelo metodo de multiplicadores de Lagrange. Maximizar ln Ω(N1, N2, ...)sujeito aos vınculos acima e equivalente a maximizar a funcao G(N1, N2, ..., α, β):

G(N1, N2, ...) = ln Ω(N1, N2, ...) + α

[N −

∞∑n=1

Nn

]+ β

[E −

∞∑n=1

Nnεn

](9.70)


onde α e β sao multiplicadores de Lagrange. De fato, o maximo de G ocorre quando:

∂G

∂Nn= 0 e

∂G

∂α=∂G

∂β= 0 (9.71)

A primeira condicao garante que ln Ω e maxima e determina a distribuicao Nn em que isso ocorre.As outras duas condicoes garantem que os vınculos sao satisfeitos.

9.3.3 Distribuicao Maxwell-Boltzmann

No caso de partıculas distinguıveis, temos

G = lnN ! +∞∑n=1

(Nn ln dn − lnNn!) + α

[N −

∞∑n=1

Nn

]+ β

[E −

∞∑n=1

Nnεn

](9.72)

Para Nn 1 podemos usar a approximacao de Stirling:

lnNn! ≈ Nn lnNn −Nn (Nn 1, Stirling) (9.73)

obtendo

G = lnN ! + αN + βE +∞∑n=1

[Nn ln dn −Nn lnNn +Nn − αNn + βεnNn] (9.74)

Portanto

∂G

∂Nn= ln dn − lnNn − 1 + 1− α− βεn = 0 (9.75)

o que implica

Nn = dne−(α+βεn) (Maxwell-Boltzmann) (9.76)

ou seja, re-obtemos a distribuicao de Maxwell-Boltzmann.

9.3.4 Distribuicao de Bose-Einstein

No caso de bosons, temos

G =∞∑n=1

[ln(Nn + dn − 1)− lnNn!− ln(dn − 1)!] + α

[N −

∞∑n=1

Nn

]+ β

[E −

∞∑n=1

Nnεn

]

ou seja

G ≈∞∑n=1

[(Nn + dn − 1) ln(Nn + dn − 1)− (Nn + dn − 1)−Nn lnNn −Nn − αNn − βεnNn]

−∞∑n=1

[ln(dn − 1)!] + αN + βE


Portanto

∂G

∂Nn= ln(Nn + dn − 1)− lnNn − α− βεn = 0

(9.77)

o que implica

ln(

1 +dn − 1Nn

)= α+ βεn → dn − 1

Nn= eα+βεn − 1 (9.78)

ou seja

Nn =dn − 1

eα+βεn − 1(Bose-Einstein) (9.79)

ou seja, re-obtemos a distribuicao de Bose-Einstein. Note que a constante dn−1 pode ser absorvidana normalizacao da distribuicao.

Distribuicao de Fotons

alpha=0 No caso de fotons, nao existe o vinculo no numero de particulas. Portanto, tudo e igualao caso geral de bosons, mas com α = 0:

Nn ∝dn − 1eβεn − 1

(Bose-Einstein) (9.80)

ou seja, re-obtemos a distribuicao de Bose-Einstein. Note que a constante dn−1 pode ser absorvidana normalizacao da distribuicao.

9.3.5 Distribuicao de Fermi-Dirac

No caso de fermions, temos

G =∞∑n=1

[ln dn!− lnNn!− ln(dn −Nn)!] + α

[N −

∞∑n=1

Nn

]+ β

[E −

∞∑n=1

Nnεn

]

Assumindo Nn 1 e tambem dn Nn, temos

G ≈∞∑n=1

[−Nn lnNn − (dn −Nn) ln(dn −Nn) + (dn −Nn)−Nn − αNn − βεnNn]

+∞∑n=1

[ln dn!] + αN + βE

Portanto

∂G

∂Nn= − lnNn + ln(dn −Nn)− α− βεn = 0

(9.81)

9.4. APLICACOES 135

o que implica

ln(dnNn− 1)

= α+ βεn → dnNn

= eα+βεn + 1 (9.82)

ou seja

Nn =dn

eα+βεn + 1(Fermi-Dirac) (9.83)

ou seja, re-obtemos a distribuicao de Fermi-Dirac. Novamente a constante dn pode ser absorvidana normalizacao da distribuicao.

9.4 Aplicacoes

9.4.1 Gas de Bosons

Considere um gas de bosons, e.g. um gas de fotons, mas vamos manter µ 6= 0 para generalidade.Temos

Nr =1

eβ(εr−µ) − 1(9.84)

e o numero total de partıculas e

N =∑r

Nr =∑n

N(εn)Ω(εn)∆n (9.85)

onde Ω(εn) e o numero de estados com energia εn e ∆n ≈ 1. Supondo bosons em uma caixaquadrada de comprimento L, os estados de energia sao:

εn =h2n2

8mL2, onde n2 = n2

x + n2y + n2

z (9.86)

O numero de estados e contado por n, e em um intervalo ∆n ≈ dn fica:

Ω(εn)dn =4πn2

8dn =

πn2

2dn =

πn

2(ndn) (9.87)

Como

ε =h2n2

8mL2ou n =

(8mL2

h2

)1/2

ε1/2

→ dε =h2

8mL22ndn ou ndn =

(8mL2

h2

)dε

2

Portanto

Ω(n)dn =π

2

(8mL2

h2

)1/2

ε1/2(

8mL2

h2

)dε

2=π

4

(8mL2

h2

)3/2

ε1/2dε =4πL3

h3(2m3)1/2ε1/2dε

e com V = L3, temos

Ω(ε)dε =4πVh3

(2m3)1/2ε1/2dε (9.88)


Assim, o numero de partıculas fica

N =∑n

N(εn)Ω(εn)∆n→∫ ∞

0N(ε)Ω(ε)dε

=4πVh3

(2m3)1/2

∫ ∞0

ε1/2

eβ(ε−µ) − 1dε (9.89)

A integral da

N =(2πmkBT )3/2

h3V eβµ

(1 +

123/2

eβµ +1

33/2e2βµ + ...

)(9.90)

Para m,T grande, devemos ter eβµ → 0, pois N e fixo. Isso ocorre se µ→ −∞. Neste caso, temos

N ≈ (2πmkBT )3/2

h3V eβµ ou eβµ ≈ Nh3

(2πmkBT )3/2V(9.91)

Ja a energia total e dada por

E =∫ ∞

0N(ε)Ω(ε) ε dε =

4πVh3

(2m3)1/2

∫ ∞0

ε3/2

eβ(ε−µ) − 1dε

≈ (2πmkBT )3/2

h3V

(32kBT

)eβµ

(1 +

125/2

eβµ +1

35/2e2βµ + ...

)(9.92)

Para m,T grandes, temos entao

E

N≈ 3

2kBT

(1 +

125/2

eβµ)(

1− 123/2

eβµ)

=32kBT

1−

123/2

− 125/2︸︷︷︸

1/22/5

eβµ

(9.93)

ou

E

N≈ 3

2kBT︸︷︷︸

Classico

1 − 125/2

Nh3

V (2πmkBT )3/2︸︷︷︸correcao quantica de 1a ordem

(9.94)

Portanto a energia media de um gas de bosons a altas temperaturas e menor do que a de um gasclassico, ja que os bosons tendem a se aglomerar em energias mais baixas, diminuindo a energiamedia.

Condensado de Bose-Einstein

Para que N(εr) ≥ 0 para todos os estados, devemos ter

eβ(εr−µ) ≥ 1 → µ ≤ ε (9.95)

Se εmin = ε0 ≈ 0, entao

µ ≤ 0 (9.96)

9.4. APLICACOES 137

Mas µ = µ(T ), e existe uma temperatura crıtica Tc na qual µ = 0. Ela e determinada por

N =(2πmkBTc)3/2

h3V

(1 +

123/2

+1

33/2+ ...

)(9.97)

Pode-se mostrar que para T < Tc, a partıculas tendem a se aglomerar no estado fundamental ε0:condensado de Bose-Einstein. Esse efeito foi verificado experimentalmente em 1995 por Cornell,Ketterle e Wieman, que ganharam o premio Nobel em 2001.

9.4.2 Gas de Fermions

Considere agora um gas de fermions, e.g. um gas de eletrons livres. De fato, em um condutormetalico, os eletrons nas camadas exteriores (banda de conducao) estao fracamente ligados aonucleo e sao approximadamente livres (eletrons de conducao).

Como eletrons tem 2 possibilidades de spin (±~/2), o numero de estados e multiplicado por 2relativamente ao de bosons:

Ω(ε)dε =8πVh3

(2m3)1/2ε1/2dε (9.98)

Assim, o numero de partıculas fica

N =∫ ∞

0N(ε)Ω(ε)dε

=8πVh3

(2m3)1/2

∫ ∞0

ε1/2

eβ(ε−εF ) + 1dε (9.99)

Para T → 0, β →∞ e

N(ε) =

1 se ε < εF0 se ε > εF

(9.100)

Portanto

N =8πVh3

(2m3)1/2

∫ εF

0ε1/2dε =

16πV (2m3)1/2

3h3ε3/2F (9.101)

ou

εF =h2

8m

(3NπV

)2/3

(Energia de Fermi) (9.102)

Para a energia, temos

E =∫ ∞

0N(ε)Ω(ε) ε dε

=8πVh3

(2m3)1/2

∫ εF

0ε3/2dε =

16πV (2m3)1/2

5h3ε5/2F (9.103)

Portanto,

E

N=

35εF (9.104)


ou

E =35N

[h2

8m

(3NπV

)2/3]

(9.105)

O gas de fermions exerce uma pressao nas paredes de um recipiente, quando se expande de dV :

dE = −23E

V︸︷︷︸−P

dV = −PdV = −dW (9.106)

ou seja

P =23E

V=

23

35N

V

[h2

8m

(3NπV

)2/3]

→ P =25h2

8m

(3π

)2/3(NV

)5/3

(Pressao de Degenerescencia) (9.107)

Anas Brancas

Estrelas passam a primeira parte de sua existencia usando a energia liberada nas reacoes nuclearesno seu interior. Essas reacoes de fusao nuclear liberam uma quantidade enorme de energia eproduzem uma pressao sobre o material estelar para fora da estrela. Esta pressao balanceia aatracao gravitacional que tende a fazer o material estelar colapsar para o centro.

A medida que os combustıveis usuais das reacoes nucleares (hidrogenio, helio, ...) se esgotam,a estrela passa a fundir e produzir elementos mais pesados. Eventualmente a fusao nao e maisfavoravel energeticamente, pois a energia de ligacao por nucleon passa a diminuir nos produtos.

Neste ponto, se a estrela nao for muito massiva, ela se expande e perde suas camadas externas,restando apenas um nucleo estelar muito denso. A estrela passa a se chamar uma ana branca. Comonao ha mais reacoes nucleares, a ana branca balanceia a gravidade com a pressao de degenerescenciados eletrons, que e muito alta devido a alta densidade.

A estrela pode co-existir desta forma por um perıodo indefinido. Quanto maior a massa daestrela, maior a sua densidade e maior a sua pressao de degenerescencia. Entretanto, o aumento damassa tambem implica aumento da gravidade, e existe uma massa limite (limite de Chandrasekhar)que a pressao de degenerescencia consegue suportar.

Eventualmente, a ana branca pode ganhar massa de uma estrela companheira (e.g. um sistemabinario), e ultrapassar o limite de Chandrasekhar. Se isso ocorrer, a gravidade ganha da pressao dedegenerescencia e a estrela comeca a colapsar. A sua temperatura entao comeca a aumentar muito,o que acaba dando inıcio a reacoes nucleares, que ate entao eram improvaveis. Essas reacoes saomuito violentas e, de fato, fazem a estrela explodir e expelir seu material para o meio inter-estelarproximo a estrela. Essa explosao e chamada supernova do tipo IA.

Em 1998, os astronomos Riess, Schmidt e Perlmutter usaram medidas de luminosidade e redshiftde supernovas IA para mostrar que a expansao do universo esta ocorrendo de forma acelerada. Estasimportantes medidas deram origem a chamada era da cosmologia de prescisao, que busca entenderas causas desta aceleracao cosmica via medidas astronomicas precisas. Por esse trabalho, Riess,Schmidt e Perlmutter ganharam o premio Nobel em 2011.

4320293 otica e f sica moderna - uspfma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320293_2011/4320293.pdfcap tulo 1...

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