c^onicas e equa˘c~oes quadr aticas - unesp · par abolas elipses hip erboles equa˘c~oes quadr...
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ParabolasElipses
HiperbolesEquacoes quadraticas
Equacoes Parametricas
Conicas e Equacoes Quadraticas
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela
Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP
Araraquara, SP - 2017
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
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HiperbolesEquacoes quadraticas
Equacoes Parametricas
1 Parabolas
2 Elipses
3 Hiperboles
4 Equacoes quadraticas
5 Equacoes Parametricas
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HiperbolesEquacoes quadraticas
Equacoes Parametricas
Introducao
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HiperbolesEquacoes quadraticas
Equacoes Parametricas
Parabolas
Conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto fixo (Foco)e de uma reta (reta diretriz) fixa no plano.
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Equacoes Parametricas
Parabolas com vertices na origem: forma padrao
d(P,F ) =√
x2 + (y − p)2
d(P,Q) =√
(y + p)2
Igualando d(P,F ) = d(P,Q):
y =x2
4p⇔ x2 = 4py
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Equacoes Parametricas
Parabolas com vertices na origem: forma padrao
Equacao Foco Diretriz Eixo Concavidade
x2 = 4py (0, p) y = −p y para cima
x2 = −4py (0,−p) y = p y para baixo
y2 = 4px (p, 0) x = −p x para a direita
y2 = −4px (−p, 0) x = p x para a esquerda
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Exemplo 1: Determinar o foco e a diretriz da parabola y 2 = 10x
Forma padrao: y2 = 4px .
Entao 4p = 10⇒ p =5
2
F = (5
2, 0) e x = −5
2
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Elipses
Distancia a dois pontos fixos (Focos) do plano tem soma constante.
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Elipses de centro na origem (0, 0)
E o lugar geometrico dos pontos do plano cujas distancias a doispontos fixos (Focos) do plano tem soma constante.
x2
a2+
y2
b2= 1
Focos sobre o eixo x : a > b, focos em (±c, 0), c =√a2 − b2
e vertices em (±a, 0) . Tem-se que a e o semi-eixo maior e b osemi-eixo menor.
Focos sobre o eixo y : b > a, focos em (0,±c), c =√a2 − b2
e vertices em (0,±b) . Tem-se que a e o semi-eixo menor e b osemi-eixo maior.
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Exemplo 2
Elipse com focosno eixo x
x2
16+
y2
9= 1
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Exemplo 3
Elipse com focosno eixo y
x2
9+
y2
16= 1
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HiperbolesEquacoes quadraticas
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Hiperbole de centro na origem
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Exemplo 4
Hiperbole com fo-cos no eixo x
x2
4− y2
5= 1
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Exemplo 5
Hiperbole com fo-cos no eixo y
y2
4− x2
5= 1
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Rotacao dos eixos coordenados
x = OM = OP cos(θ + α)y = MP = OP sen(θ + α)
x ′ = OM ′ = OP cos θy ′ = M ′P = OP senθ
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Rotacao dos eixos coordenados
x = OP cos θ︸ ︷︷ ︸x ′
cosα− OP senθ︸ ︷︷ ︸y ′
senα = x ′ cosα− y ′ senα
y = OP cos θ︸ ︷︷ ︸x ′
senα + OP senθ︸ ︷︷ ︸y ′
cosα = x ′ senα + y ′ cosα
ou x
y
=
cosα − senα
senα cosα
x ′
y ′
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Exemplo 6: hiperbole 2xy = 9
Rotacao dos eixos coordenadospor um angulo π/4 radianos:
x =
√2
2x ′ −
√2
2y ′
y =
√2
2x ′ +
√2
2y ′
2
√2
2(x ′ − y ′)
√2
2(x ′ + y ′) = 9
x ′2
32− y ′2
32= 1
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Angulo de rotacao para eliminar o termo misto
Quando aplicamos as equacoes de rotacao
x = x ′ cosα− y ′ senα e y = x ′ senα + y ′ cosα
a equacao quadratica Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx +Ey +F = 0 obtemosuma nova equacao A′x ′2 + B ′x ′y ′ + C ′y ′2 + D ′x ′ + E ′y ′ + F ′ = 0,onde o termo misto tem coeficiente dado por
B ′ = B cos 2α + (C − A) sen2α.
B ′ = 0⇔ tg2α =B
A− C,
sendo α o angulo de rotacao para eliminar o termo misto.
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Exemplo 7
Determinar o angulo de rotacao α para eliminar o termo misto daequacao quadratica 2x2 +
√3xy + y2 − 10 = 0.
Solucao:
A = 2, B =√
3 e C = 1⇒ tg2α =
√3
2− 1=√
3
2α =π
3⇒ α =
π
6 x
y
=
√3
2 −12
12
√3
2
x ′
y ′
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Continuacao do Exemplo 7
Substituindo
x =
√3
2x ′ − 1
2y ′ e y =
1
2x ′ +
√3
2y ′
na equacao quadratica dada obtem-se
5
2x ′2 +
1
2y ′2 − 10 = 0⇔ x ′2
4+
y ′2
20= 1
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Resumindo...
Quando aplicamos as equacoes de rotacao
x = x ′ cosα− y ′ senα e y = x ′ senα + y ′ cosα,
a equacao quadratica
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
obtemos uma nova equacao
A′x ′2 + B ′x ′y ′ + C ′y ′2 + D ′x ′ + E ′y ′ + F ′ = 0
Se tg 2α = BA−C , entao o termo misto tem coeficiente dado por
B ′ = 0.
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Analise da equacao quadratica
Obtida a nova equacao
A′x ′2 + C ′y ′2 + D ′x ′ + E ′y ′ + F ′ = 0
tem-se:
Parabola: A′ = 0 ou C ′ = 0, isto e A′C ′ = 0
Elipse: A′ e C ′ tem o mesmo sinal, isto e A′C ′ > 0
Hiperbole: A′ e C ′ tem o sinais opostos, isto e A′C ′ < 0
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Teste do discriminante
Pode ser verificado que para toda a rotacao de eixos tem-se
B2 − 4AC = B ′2 − 4A′C ′ = −4A′C ′
Portanto:
Parabola: B2 − 4AC = 0
Elipse: B2 − 4AC < 0
Hiperbole: B2 − 4AC > 0
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Exemplo 8
Determinar o tipo de conica representado pelas seguintes equacoes:
a) 3x2 − 6xy + 3y2 + 2x − 7 = 0
b) x2 + xy + y2 − 1 = 0
c) xy − y2 − 5y + 1 = 0
a) B2 − 4AC = (−6)2 − 4 · 3 · 3 = 36− 36 (parabola)b) B2 − 4AC = 1− 4 · 1 · 1 = −3 < 0 (elipse)c) B2 − 4AC = 1− 4(0)(−1) = 1 > 0 (hiperbole)
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Exemplo 8: continuacao
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Exemplo 9
Identifique a curva dada pela equacao parametrica x = t, y = t2,−∞ < t <∞.
Solucao:
Identificamos a curva eliminando t:
t = x ⇒ y = t2 = x2
Tem-se uma parabola.
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Exemplo 10
Identifique a curva dada por x = sec t, y = tgt, −π/2 < t < π/2.
Solucao:
Eliminando t:
sec2 t − tg2t = 1⇒ x2 − y2 = 1
Tem-se o ramo direito de uma hiperbole. Observe que x = sec t > 0no intervalo −π/2 < t < π/2.
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Exercıcios
1) A parabola y2 = 8x e transladada de 2 unidades para baixo e 1unidade para a direita. Determine a equacao, o foco, o vertice ea diretriz da nova parabola. Esboce as parabolas.
2) A elipsex2
16+
y2
9= 1 e transladada de 4 unidades para a direita
e 3 unidades para cima. Determine a equacao, os focos, o verticee o centro da nova elipse. Esboce as elipses.
3) A hiperbolex2
16− y2
9= 1 e transladada de 2 unidades para a
direita. Determine a equacao, o centro, os focos e as assıntotasda nova hiperbole. Esboce as hiperboles.
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Exercıcios
4) Esboce a regiao do plano xy cujas coordenadas satisfazem a desi-gualdade 9x2 + 16y2 ≤ 144
5) Esboce a regiao do plano xy cujas coordenadas satisfazem a desi-gualdade x2 + y2 ≥ 1 e 4x2 + 9y2 ≤ 36
6) Aplique uma rotacao nos eixos coordenados para mudar a equacaox2 + xy + y2 = 1 para uma equacao sem o termo misto xy .
7) Decida se a equacao x2 + 4xy + 4y2 + 6x + 12y + 9 = 0 representauma parabola, uma elipse ou uma hiperbole. Fatore a equacao em(x + 2y)(x + 2y + 6) = −9 para mostrar que o grafico e uma reta(Sugestao: faca z = x + 2y para obter a equacao da reta)
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