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Exercices De Mathematiques

sans Solutions

Omran Kouba

le 2 Janvier 2004

Introduction

L’assimilation totale des notions et des techniques nouvelles passe obligatoirement

par l’exercice, c’est pour cette raison que nous avons rassembler dans ce facicule les

exercices et les problemes poses en 2ieme Annees durant l’annee scolaire 1991-1992.

En preparant ces exercices nous avions comme objectif une meilleure comprehension

du cours. Nous esperons fournir ainsi a nos etudiants un outil de travail profitable.

O MRANKOUBA

i

Table Des Matieres

Analyse

Nombres reels et Suites numeriques.

Topologie de IR et Limites et Continuite.

Derivation.

Fonctions convexes, Fonctions usuelles.

Developpements limites.

Etude de fonctions.

Series numeriques.

Calcul de primitives.

Integration.

Etude metrique des courbes.

Equations differentielles lineaires.

Algebre

Vocabulaire des fonctions, et combinatoire.

Groupes et groupes finis.

L’ensemble des entiers relatifs ZZ.

Le groupe symetrique Sn.

Les nombres complexes.

Polynomes.

Fractions rationnelles.

Espaces vectoriels et Applications lineaires.

Matrices.

Systemes lineaires,Determinants.

Espaces euclidiens.

ii

Problemes

1. Suites numeriques.

2. Etude de f(x)− 12f(2x) = ∆(x).

3. Sous groupes de (IR,+).

4. I. Homographies, II. Majoration des derivees.

5. I. Arithmetique, II. Suites.

6. I. Calcul de limite, II. Nombres Complexes.

7. I. Polynomes, II. Fonctions.

8. I. Decomposition en elements simples, II. Etude de fonctions .

9. I. Courbes polaires, paramcetrees, II. Primitives .

10. I. Algebre lineaire, II. Primitives III. Geometreie .

11. I. Espaces euclidiens, II. Equations diffrentielles .

12. Groupes d’ordre p2 .

13. I. Groupes, II. Suites.

14. I. Algebre generale, II. Derivation.

15. I. Developpements limites, II. Etude de series, de fonctions.

16. I. Etude d’endomorphismes, II. Courbes polaires.

17. I. Matrices, II. Integration.

18. I. Geometrie, II. Espaces euclidiens, III. Matrices.

19. Polynomes de Laguerre.

20. Ensembles et Applications .

iii

NOMBRES REELS ET SUITES NUMERIQUES

EXERCICE .1 Soient n ∈ IN∗, x1, . . . , xn ∈ IR tels que

n∑

k=1

xk =n∑

k=1

x2k = n

Montrer que pour tout k ∈ 1, . . . , n, xk = 1.

EXERCICE .2 Pour a ∈ [1, +∞[, simplifier√

a + 2√

a− 1 +√

a− 2√

a− 1

EXERCICE .3 Soient n ∈ IN∗, x1, . . . , xn ∈ [−1, 1] tels quen∑

k=1

xk = 0. Montrer que

∣∣∣∣∣n∑

k=1

k xk

∣∣∣∣∣ ≤ E(n2

4).

EXERCICE .4 Montrer que

∀ n ≥ 2,1√

4n + 1<

1.3 . . . (2n− 1)2.4 . . . .(2n)

<1√

3n + 1

∀ n ≥ 1,

n∑

k=1

√k <

4n + 36

√n

EXERCICE .5 Soient n ∈ IN∗, (a1, a2, . . . , an) ∈ IRn+, (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn ; tels que

a1 > a2 > . . . > anet ∀ k,k∑

i=1

ai <k∑

i=1

bi. Montrr quen∑

k=1

a2k <

n∑k=1

b2k.

EXERCICE .6 Montrer les assertions suivantes:

– ∀ n ∈ IN∗, ∀ x ∈ IR, E

(E(nx)

n

)= E(x).

– ∀ x ∈ IR, 0 ≤ E(2x)− 2E(x) ≤ 1.

– ∀ n ∈ IN∗, ∀ x ∈ IR,n−1∑k=0

E(x +k

n) = E(nx).

– ∀ n ∈ IN∗, E(√

n +√

n + 1) = E(√

4n + 2).

EXERCICE .7 Trouver la borne superieure et la borne inferieure de l’ensemble

1n

+ (−1)n, n ∈ IN∗

.

1

2 Exercices d’Analyse

EXERCICE .8 Pour n ≥ 1 on pose Sn =n∑

k=1

1n + k

.

1. Montrer que Snn≥1 est une suite croissante, majoree. Que peut-on en deduire ?

2. Montrer que pour tout n ≥ 1 et tout 0 ≤ x ≤ 1n , on a

[nLog (1 +1n

)]x ≤ Log (1 + x) ≤ x

En deduire que

Log 2 ≤ Sn +12n

≤ Log 2nLog (1 + 1

n )

et calculer limn→∞ Sn.

EXERCICE .9 On considere les trois suites

un =n∑

k=0

1k!

, vn = un +1

n.n!et wn =

(1 +

1n

)n

1. Montrer que unn≥1 est croissante, vnn≥1 est decroissante et qu’il existe ` ∈ IR tel

que ` = lim un = lim vn.( Cette limite n’est autre que le nombre e).

2. Montrer que

un+1 − un ≤ e− un ≤ vn − un

vn − vn+1 ≤ vn − e ≤ vn − un+3

En deduire que

limn→∞

(n + 1)! (e− un) = 1 et limn→∞

(n + 3)! (vn − e) = 1.

3. En notant que Cpn ≤ np

p! , montrer que wn ≤ un.

4. . En remarquant que, pour r ≤ n, on a

0 ≤ un − wn ≤r∑

p=0

( 1p!− Cp

n

np

)+

n∑r+1

1p!

montrer que wn converge aussi vers e.

5∗. Montrer, en utilisant 1. que e est irrationnel(i.e. e 6∈ Q/ ).

Nombres reels et Suites numeriques 3

EXERCICE .10

i. Montrer que ∀ x ≥ 0, 1 + x ≤ ex.

ii. Montrer que la fonction x 7→ xe−x est decroissante sur [1 ,+∞ [. En deduire que si

n ≥ 1 on a

∀ x ∈ [0,1n

], 1 + x ≥ (1 +1n

) e−1/n ex

iii. Considerons la suite (vn)n≥1 definie par

vn =n∏

p=1

(1 +p

n2) = (1 +

1n2

)(1 +2n2

) · · · (1 +n

n2)

Montrer, en utlisant les inegalites de (i.) et de (ii.), que la suite (vn)n≥1 est convergente,

et determiner sa limite.

EXERCICE .11

1. Montrer que

∀ n ≥ 1, ∀ x ∈ [0,+∞[, xn(n + 1− nx) ≤ 1

2. Montrer que

∀ a, b > 0,n+1√

anb ≤ na + b

n + 1(∗)

3. Pour x > 0, on pose an(x) = n( n√

x−1). Montrer que pour tout x > 0 la suite an(x)n

est decroissante (on pourra utiliser (∗)).4. En deduire que pour tout x ≥ 1 la suite an(x)n converge vers une limite que l’on note

λ(x).

5. Montrer que pour tout x ∈]0, 1[ la suite an(x)n converge aussi vers une limite que

l’on note encore λ(x).

6. Calculer an(xy) − an(x) − an(y) en fonction de n, an(x) et an(y). En deduire que

λ(xy) = λ(x) + λ(y) pour tout x, y > 0.

7. Montrer que la fonction λ est croissante.

8. Montrer que ∀ x, y ≥ 1, |an(x)− an(y)| ≤ |x− y|. En deduire que |1− an(e)| ≤|(1 + 1/n)n − e|, puis que λ(e) = 1.

9. Montrer que

limn→∞

n( n√

x− 1) = Logx.


EXERCICE .12 Etudier les deux suites :

un = n2( n√

n + 1− n√

n), vn = (2− 1n

)(2− 2n

) . . . (2− n− 1n

).

EXERCICE .13 Soit unn une suite de nombres complexes telle que ∀ n, un 6= 0. Montrer

que

limn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = ` ∈ [0, 1[ implique limn→∞

un = 0

Application : Etudier les suites :

un =an

np; un =

an

n!; un =

n!nn

un =an

(1 + a)(1 + a2) · · · (1 + an)

EXERCICE .14 On pose

un =( 1n

)n +( 2n

)n + · · ·+ (n− 1n

)n

Montrer que limn→∞ un = 1/(e− 1).

EXERCICE .15 Soit (un)n une suite a termes positifs. On suppose que

∀ (n, p) ∈ IN∗ × IN∗ un ≤ p

n+

1p

Montrer que limn→∞

un = 0.

EXERCICE .16 On considere les deux suites (Sn)n≥1 et (Rn)n≥1 avec

Sn =n∑

k=1

1k

, Rn = Sn − Logn.

1. Montrer que pour tout x ∈]− 1, +∞[, on a

x

1 + x≤ Log (1 + x) ≤ x

2. En deduire que

∀ (m,n) ∈ IN∗2 0 < m < n =⇒ 0 ≤ Rm −Rn ≤ 1m− 1

n

3. Conclure qu’il existe un nombre γ ∈ [0, 1] tel que

Sn − Log n− γ = O(1n

).


EXERCICE .17 soit (un)n une suite de reels strictement positifs. Montrer que

limn→∞

un+1

un≤ lim

n→∞n√

un ≤ limn→∞

n√

un ≤ limn→∞

un+1

un

En deduire que si la suiteun+1

unconverge vers une limite `, alors la suite n

√un converge

aussi vers `.

Application: Calculer les limites des suites suivantes:

n√

Cn2n, n

√nn

n!,

n

√n(n + 1) · · · (n + n)

nn,

n

√1× 3× · · · × (2n + 1)

nn,

1n2

n

√(3n)!n!

.

EXERCICE .18 (lemme de Cesaro).

Soit (an)n≥1 une suite de IR+∗ telle que lim

n→∞

n∑

k=1

ak = +∞. Si (bn)n≥1 est une suite de

|C, On note

Bn =∑n

k=1 akbk∑nk=1 ak

1. On suppose que pour tout n, bn ∈ IR. Montrer que

limn→∞

bn ≤ limn→∞

Bn ≤ limn→∞

Bn ≤ limn→∞

bn

2. On suppose que la suite bn converge vers λ ∈ |C. Montrer que la suite Bn converge aussi

vers λ.

EXERCICE .19 Soit (an)n une suite a termes positifs. On pose Sn =n∑

k=1

a2k. On suppose

que limn→∞

anSn = 1. Montrer que limn→∞

3√

3nan = 1. (On pourra utiliser le lemme de Cesaro).

EXERCICE .20 Soit (xn)n la suite a termes positifs definie par

x0 > 0, xn+1 = xn +1x2

n

Demontrer que

limn→∞

xn3√

3n= 1.

Donner un equivalent de xn− 3√

3n au voisinage de +∞.(On pourra utiliser le lemme Cesaro).

Generaliser ce resultat pour la suite

x0 > 0, xn+1 = xn +1

xk+1n

(k ∈ IN∗).


EXERCICE .21 Soit unn une suite de nombres complexes ; et soit vnn une suite

strictement croissante de reels positifs qui tend vers +∞. On pose

Sn =un+1 − un

vn+1 − vn; Rn =

un

vn

i. On suppose dans cette question que ∀ n, un ∈ IR. Montrer que

limn→∞

Sn ≤ limn→∞

Rn ≤ limn→∞

Rn ≤ limn→∞

Sn.

ii. On ne suppose plus que unn est reelle. Montrer que si Snn converge alors Rnn

converge et vers la meme limite.

EXERCICE .22 Soit unn une suite reelle a termes strictement positifs. On pose

An =u1 + u2 + · · ·+ un

nun, et Bn =

u1 + 2u2 + · · ·+ nun

n2un.

On pose t = limn→∞

An et s = limn→∞

An. Montrer que, si 0 < t ≤ s < +∞, alors

t

1 + s≤ lim

n→∞Bn ≤ lim

n→∞Bn ≤ s

1 + t.

(on pourra commencer par montrer que limn→∞

n2un = +∞). Etudier le cas particulier

un = 1 + α(−1)n, ou 0 < α < 1.

EXERCICE .23 Etudier les suites recurrentes suivantes:

a > 0, u0 > 0, un+1 =12(un +

a

un).

a > 0, u0 > 0, un+1 =u3

n + 3aun

3u2n + a

.

a > 0, u0 ∈]0, 2a [, un+1 = 2un − au2

n.

a > 0, u0 ∈]0,√

3a[, un+1 =12un

(3− u2

n

a

).

u0 > − 32 , un+1 =

√2un + 3.

a > 0, u0 ∈ IR, un+1 =a(1 + a2)1 + u2

n

.

a > 0, u0 > 0, un+1 =1p

((p− 1)un +

a

up−1n

). p ∈ IN, p ≥ 2.


EXERCICE .24 Trouver les racines de l’equation sin 2x = x a 10−8 pres.

EXERCICE .25 Soit x0 ∈ IR+∗ on definit la suite recurrente

∀ n ≥ 0 xn+1 = xn +1xn

Montrer que limn→∞ xn −√

x20 + 2n = 0, en donnant un encadrement simple ( en fonction

de n et de x0) de xn −√

x20 + 2n.

EXERCICE .26 Soit u0 = a > 0 et u1 = b > 0. On considere la suite recurrente definie par

∀ n ≥ 1 un+1 =un

1 + unun−1

Montrer que

un − 1√2n

= O(1n

).

EXERCICE .27 Soit u0 = 0 et On considere la suite recurrente definie par

∀ n ≥ 1 un =√

n + un−1

Montrer que

limn→∞

un −√

n =12.

EXERCICE .28 Pour n ≥ 0, on pose an =12

+

√n +

14. Soit la suite recurrente (xn)n≥0

definie par

x0 = 1, xn+1 = 1 +n + 1xn

1. Montrer que

∀n ≥ 1, 1 +n

an−1≤ an+1

∀n ≥ 0, 1 +n

an= an

2. Montrer que ∀n ≥ 0, an ≤ xn ≤ an+1.

3. En deduire une majoration de |xn −√

n− 1/2|.4. Est-ce que la suite (xn)n≥0 est monotone ?


EXERCICE .29 Soit (an)n≥1 une suite reelle telle que

∀n,m an+m ≤ an + am

On pose λ = infan

n, n ∈ IN∗

∈ [−∞,+∞[. Montrer que la suite

(an

n

)n≥1

tend vers

λ quand n tend vers l’infini.

EXERCICE .30 Soit (an)n≥1 une suite reelle telle que

∀n,m an + am − 1 ≤ an+m ≤ an + am + 1

1. Soit k ∈ IN∗, on pose V(k)n = 2−na2nk. En considerant V

(k)n+1−V

(k)n , montrer que la suite

(V (k)n )n≥0 converge. On note sa limite λk.

2. Montrer que λk = kλ1.

3. En deduire que ∀m ∈ IN∗, mλ1 − 1 ≤ am ≤ mλ1 + 1.

O MRANKOUBA

TOPOLOGIE DE IR, LIMITES ET CONTINUITE

EXERCICE .1 Donner un exemple de partie A de IR pour laquelle les sept ensembles A,

A,A,

A,

A,

A,

A soient deux a deux distincts.

EXERCICE .2 Soient A,B deux parties de IR. Montrer que (A \B) =A \B.

EXERCICE .3 Soient A un ouvert de IR, B une partie de IR. Montrer que A ∩B = A ∩B.

EXERCICE .4 Soient U, V deux ouverts de IR. Montrer que

U = V = IR =⇒ U ∩ V = IR.

EXERCICE .5 Soit U un ouvert de IR. Montrer que∀ (x, y) ∈ U × U

x + y

2∈ U

=⇒ U est un intervalle.

EXERCICE .6 Soit A une partie de IR. On dit que a ∈ IR est un point d’accumulation de

A. Si tout voisinage de a rencontre A\a. c’est a dire

∀V ∈ V(a), V ∩ (A\a) 6= Ø.

On appelle l’ensemble des points d’accumulation de A, l’ensemble derive de A, et on note

cet ensemble A′.

i. Montrer que toute partie infinie et bornee de IR admet un point d’accumulation.

ii. Montrer que si A ⊂ IR, alors A′ est ferme.

iii. Soit A et B deux parties de IR, prouver que (A ∪B)′ = A′ ∪B′ et (A ∩B)′ ⊂ A′ ∩B′.

Prouver par un exemple que l’inclusion peut etre stricte.

iv. Soit

A =

1m

+1n

: (m,n) ∈ IN∗ × IN∗

.

9


determiner sup A, inf A, A′. On montrera que, si p ∈ IN∗ et ε <1

p(p + 1),

A ∩ ] 1p + 1

+ ε,1p

[

est fini.

EXERCICE .7 Soit G un sous groupe du groupe additif (IR, +). On suppose que G 6= 0.On designe par E l’ensemble des elements strictement positifs de G.

1. Montrer que E admet une borne inferieure b.

2. On suppose que b > 0. Montrer que G = bZZ.

3. On suppose que b = 0. Montrer que G est dense dans IR.

EXERCICE .8 Soit xnn une suite reelle qui converge vers a. Montrer que l’ensemble

A = xn : n ∈ IN ∪ a est compact.

EXERCICE .9 Soient A et B deux parties compactes de IR. Montrer que de toute suite a

valeurs dans A×B on peut extraire une sous-suite convergente dans A×B.

EXERCICE .10 Soit A une partie compacte de IR, et f : A → A une fonction qui verifie

∀ (x, y) ∈ A×A, |x− y| ≤ |f(x)− f(y)|

Montrer que ∀ (x, y) ∈ A × A, |x− y| = |f(x)− f(y)|, (On pourra utiliser l’exercice

precedent).

EXERCICE .11 Soit A une partie compacte de IR, et f : A → A une fonction qui verifie

∀ (x, y) ∈ A×A, x 6= y =⇒ ( |f(x)− f(y)| < |x− y|)

Montrer qu’il existe un unique point x ∈ A tel que f(x) = x. Montrer, de plus, que la suite

reccurente

x0 ∈ A, xn+1 = f(xn)

converge vers le point fixe de f .

Topologie de IR, Limites et Continuite 11

EXERCICE .12 Etudier, en tout point de IR, la continuite des applications suivantes:

a. f : IR −→ IR, f(x) = E(x) +√

x− E(x).

b. g : IR −→ IR, g(x) = x +√

x− E(x).

c. h : IR −→ IR, h(x) =

x2 si x ∈ Q/

x si x ∈ IR \Q/

EXERCICE .13 Trouver toutes les applications f dans chacun des cas suivants:

a. f : IR −→ IR, continue en 0, et ∀x ∈ IR, f(2x) = f(x) cos x.

b. f : IR −→ IR, continue en −1, et ∀x ∈ IR, f(2x + 1) = f(x).

c. f : IR −→ IR, continue, et ∀ (x, y) ∈ IR2, f(x + y) = f(x) + f(y).

EXERCICE .14 Trouver toutes les fonctions continues f : IR −→ IR telles que

f(x + y

2) =

12(f(x) + f(y)).

Est-ce que l’on peut remplacer la condition de continuite par une autre plus faible ?

EXERCICE .15 Determiner toutes les fonctions continues f : IR −→ IR telles que

∀ (x, y) ∈ IR2, f(x + y)f(x− y) = [f(x)f(y)]2.

EXERCICE .16

a. Donner un exemple d’application f : IR −→ IR, non constante, telle que: ∀x ∈IR, f(x2) = f(x).

b. Soit f : IR −→ IR une application continue en 0 et 1, et telle que: ∀x ∈ IR, f(x2) = f(x).

Montrer que f est constante.

EXERCICE .17 Trouver tous les couples (f, g) d’applications continues de IR dans IR telles

que

∀ (x, y) ∈ IR2,

f(x + y) = f(x) + f(g(y))

g(x + y) = g(x) + g(f(y))

EXERCICE .18 Soit (p, q) ∈ IR∗2+ et f : [0, 1] −→ IR une application continue telle que

f(0) 6= f(1). Montrer qu’il existe x0 ∈]0, 1[ tel que: pf(0) + qf(1) = (p + q)f(x0).


EXERCICE .19 Soit f : [0, 1] −→ IR une fonction continue telle que f(0) = f(1), et soit

p ∈ IN∗. Montrer qu’il existe x ∈ [0, 1− 1p] tel que f(x) = f(x +

1p).

EXERCICE .20 Soit f : [0, 1] −→ IR une fonction continue telle que f([0, 1]) ⊂[0, 1].Montrer qu’il existe x ∈ [0, 1] tel que f(x) = x.

EXERCICE .21 Soient f : [0, 1] −→ IR, et g : [0, 1] −→ IR deux fonctions continues telles

que f([0, 1]) ⊂ [0, 1], g([0, 1]) ⊂ [0, 1], et fg = gf . Montrer qu’il existe x ∈ [0, 1] tel que

f(x) = g(x).

EXERCICE .22 Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] une application continue.

a. Montrer que, pour tout n ∈ IN∗, il existe an ∈ [0, 1] tel que f(an) = (an)n.

b. On suppose f strictement decroissante ; montrer que , pour chaque n ∈ IN∗, an est

unique, et etudier la suite (an)n∈IN∗ .

EXERCICE .23 Soit f : I −→ IR une fonction continue sur l’intervalle I. On suppose que

f est injective. Montrer que f est strictement monotone.

EXERCICE .24 Soit f : IR −→ IR une fonction continue au point x0 ∈ IR, et telle que

∃c ∈ IR+∗ , ∀ x, y ∈ IR, |f(x + y)− f(x)− f(y)| ≤ c

Montrer qu’il exist a ∈ IR tel que

∀x ∈ IR, |f(x)− ax| ≤ c.

EXERCICE .25 Soit f : IR −→ IR une fonction croissante. Montrer qu’il existe g : IR −→ IR

continue telle que g ≥ f .

EXERCICE .26 Soit f :]0, +∞[−→ IR une fonction croissante. Montrer que si x 7→ f(x)x

est decroissante, alors f est continue.

EXERCICE .27 Soit f : IR −→ IR une fonction uniformement continue. Montrer qu’il existe

a, b ∈ IR+∗ tels que ∀ x ∈ IR, |f(x)| ≤ a |x|+ b.

Topologie de IR, Limites et Continuite 13

EXERCICE .28 Trouver une fonction continue et bornee sur IR, qui n’est pas uniformement

continue.

EXERCICE .29 Montrer que l’application f : IR −→ IR : x 7→ 3√

x est uniformement

continue.

EXERCICE .30 Calculer les limites suivantes:

a) limx→0

xE

(1x

), b) lim

x→+∞xE

(1x

), c) lim

x>→ 0

√xE

(1x

),

d) limx→+∞

E(x)x

, e) limx→0

E(1/x) + x

E(1/x)− x, f) lim

x→+∞

(3√

x3 + 1− (x + 1))

,

g) limx→+∞

x

(√x +

√x + 1−

√x +

√x− 1

), h) lim

x→+∞

(√x2 + x + 1− (x + 1)

),

i) limx→+∞

(√x +

√x +

√x +

√x−√x

), j) lim

x→+∞x3/4

(4√

x + 1− 4√

x− 1)

,

EXERCICE .31 Soit f : [1,+∞[−→ IR, la fonction definie par

f(x) =xx

E(x)E(x).

Est-ce que f admet une limite en +∞ ?

EXERCICE .32 Soit f : IR −→ IR une fonction continue, telle que limx→+∞

f(x), et limx→−∞

f(x)

existent dans IR. Montrer que f est uniformement continue.

EXERCICE .33 Soit f : IR+ −→ IR une fonction continue, telle que limx→+∞

f(x) = f(0).

Montrer que f atteint ses bornes superieure et inferieure sur IR+.

EXERCICE .34 Soient f : [0,+∞[−→ IR une fonction continue, et a ∈ IR+. On suppose que

limx→+∞

f(a + x)− f(x) = ` ∈ IR. Montrer que limx→+∞

f(x)x

=`

a. Est-ce qu’on peut remplacer

l’hypothese f continue par f croissante ?


EXERCICE .35 Soient f : [0, +∞[−→ IR+ une fonction croissante, et a > 1. On suppose

que limx→+∞

f(ax)− f(x) = ` ∈ IR. Montrer que limx→+∞

f(x)Log(x)

=`

Log(a).

EXERCICE .36 Soient f : [0, +∞[−→ [0, +∞[ une fonction continue, telle que

x > 0, y > 0 =⇒ f(x + y) ≤ f(x) + f(y).

Montrer que limt→+∞

f(t)t

existe et vaut inft>0

f(t)t

.

EXERCICE .37 Soit f une fonction croissante sur [0,1] a valeurs dans [0,1]. Montrer que

f admet au moins un point fixe.

EXERCICE .38 Montrer que toute fonction lipschitzienne est la difference de deux fonctions

croissantes.

EXERCICE .39 Soit f : IR −→ IR, l’application definie par ∀x ∈ IR, f(x) =x

1 + |x| .Montrer que f realise une bijection de IR dans ]−1, +1[, et donner f−1(y), pour y ∈ ]−1, 1[.

O MRANKOUBA

DERIVATION

EXERCICE .1 L’application x 7→ cos√

x est-elle derivable a droite en 0 ?

EXERCICE .2 Determiner (a, x0) ∈ IR× IR∗+ pour que l’application

f :]0, +∞[−→ IR : x 7→

a√

x si x ∈ ]0, x0[

x2 + 12 si x ∈ ]x0,+∞[

soit de classe C1 sur ]0, +∞[.

EXERCICE .3 Soit g : IR −→ IR : g(x) =16(|x + 2|3 − |x|3). Montrer que g est de classe

C2 sur IR. Etudier et tracer le graphe de g.

EXERCICE .4 Calculer la derivee n-ieme de la fonction f , dans les cas suivants

f(t) = et√

3 sin t, f(t) = tn−1e1/t

f(t) = (1 + 3t− t2)et, f(t) = cos3 t sin2 t

EXERCICE .5 Soient α ∈ IR, et fα : IR∗+ −→ IR l’application definie par fα(x) = xαLog x.

Montrer que, pour tout n ∈ IN, il existe (an, bn) ∈ IR2 tel que: ∀x ∈ IR∗+, f(n)α (x) =

xα−n(anLog x + bn). Calculer an, bn en fonction de n.

EXERCICE .6 Soit f : IR −→ IR une fontion de classe C∞. Montrer que, pour t 6= 0, on adn

dtn[tn−1f(

1t)] =

(−1)n

tn+1f (n)(

1t).

EXERCICE .7 On considere f(t) =1√

1 + t2.

1. Montrer que , pour tout n ∈ IN il existe un polynome Pn de degre n tel que

f (n)(t) =Pn(t)

(1 + t2)n√

1 + t2.

2. Montrer que la suite Pnn verifie

Pn+1 = (1 + X2)P ′n − (2n + 1)XPn

Pn+1 + (2n + 1)XPn + n2(1 + X2)Pn−1 = 0

(1 + X2)P ′′n − (2n− 1)XP ′n + n2Pn = 0

3. Trouver une relation de recurrence permettant le calcul des coefficients de Pn.

15


EXERCICE .8 Soient a ∈ IR∗+ et f : [0, a] −→ IR une application de classe C1 telle que

f(0) = f ′(0) = 0 et f(a)f ′(a) < 0. Montrer qu’il existe c ∈]0, a[ tel que f ′(c) = 0.

EXERCICE .9 Soient a ∈ IR et f : [a,+∞[−→ IR une application continue sur [a, +∞[,

derivable sur ]a,+∞[ telle que f(a) = 0 et limx→+∞

f(x) = 0. Montrer qu’il existe c ∈]a,+∞[

tel que f ′(c) = 0.

EXERCICE .10 Soit f : [0, 1] −→ IR une fonction derivable. On suppose que f ′(0) < 0 <

f ′(1). Montrer qu’il existe c ∈]0, 1[ tel que f ′(c) = 0. En deduire que l’image d’un intervalle

par la derivee d’une fonction derivable sur cet intervalle est un intervalle.

EXERCICE .11 Soit (a, h) ∈ IR+ × IR∗+, pour chacune des fonctions f : [a, a + h] −→ IR

suivantes, montrer qu’il existe un unique θ ∈]0, 1[ tel que f(a + h) = f(a) + hf ′(a + θh),

calculer θ en fonction de a et h, et determiner la limite de θ quand h tend vers 0, a etant

fixe:

1. f : x 7→ √x 2. f : x 7→ xn, (n ∈ IN) 3. f : x 7→ 1

x(a > 0)

EXERCICE .12 Soit f : [0, +∞[−→ IR une fonction continue en 0. On suppose qu’il existe

c ∈ IR+∗ \1 telle que la limite lim

t→0

f(ct)− f(t)t

existe. Montrer que f est derivable en 0.

EXERCICE .13 Soit f : [−a,+a] −→ IR de classe C2. Montrer que

∀ t ∈ [−a,+a], |f ′(t)| ≤ 12a|f(a)− f(−a)|+ a2 + t2

2asup

[−a,+a]

|f ′′| .

EXERCICE .14 Soit f : IR −→ IR+ de classe C2 telle qu’il existe M ∈ IR verifiant

∀ t ∈ IR, |f ′′(t)| ≤ M .

1. Montrer que ∀ x, y f(x) + yf ′(x) +12y2M ≥ 0.

2. En deduire que ∀ t, |f ′(t)| ≤√

2Mf(t).

EXERCICE .15 Soit g : [a, b] −→ IR(ou |C) de classe C1. Montrer que

g(b)− g(a) = limn→+∞

b− a

n

n−1∑

k=0

g′(a + kb− a

n).

Derivation 17

EXERCICE .16 Soient g : [0, 1] −→ IR croissante de classe C1, et f : [0, a] −→ IR derivable

en 0, telle que f(0) = 0. Montrer que

limn→+∞

n∑p=1

f(1n

g′(p

n)) = f ′(0)[g(1)− g(0)].

Application. Soit f : [0, a] −→ IR derivable en 0, telle que f(0) = 0. Calculer

limn→+∞

n∑p=1

f(k

n2), et lim

n→+∞

n∑p=1

f(1

p + n)

EXERCICE .17 Soit f : IR∗+ −→ IR une application derivable, telle que limx→+∞

(f(x) +

f ′(x)) = ` (` ∈ IR). Montrer que limx→+∞

f(x) = `.

EXERCICE .18 Soient (a, b) ∈ IR2, tel que a < b, x0 ∈]a, b[, f : [a, b] −→ IR une application

de classe C1 sur [a, b], deux fois derivable sur ]a, b[. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que:

f(x0) = f(a) + (x0 − a)f(b)− f(a)

b− a+

(x0 − a)(x0 − b)2

f ′′(c).

EXERCICE .19 Soient (a, h) ∈ IR× IR∗+, f : [a, a + h] −→ IR une application de classe C3

sur [a, a + h]. Montrer qu’il existe θ ∈]0, 1[ tel que:

f(a + h) = f(a) +h

2(f ′(a) + f ′(a + h))− h3

12f ′′′(a + θh).

EXERCICE .20 Soient (a, b) ∈ IR2, tel que a < b, x0 ∈]a, b[, f : [a, b] −→ IR une application

de classe C2 sur [a, b], trois fois derivable sur ]a, b[. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que:

f(b) = f(a) + (b− a)f ′(

a + b

2

)+

(b− a)3

24f ′′′(c).


EXERCICE .21

i. Montrer qu’il existe un unique polynome U ∈ IR[X] de degre ≤ 3 verifiant U(0) =

0, U ′(0) = 0, U(1) = 1, U ′(1) = 0.

ii. Montrer de meme qu’il existe un unique polynome V ∈ IR[X] de degre ≤ 3 verifiant

V (0) = 0, V ′(0) = 0, V (1) = 0, V ′(1) = 1.

iii. Soit P un polynome a coefficients reels de degre inferieur ou egale a 3. On pose

Q(X) = P (1)U(X) + P ′(1)V (X) + P (0)U(1−X)− P ′(0)V (1−X). Montrer que l’on

a P = Q.

iv. Soit f : [0, 1] −→ IR de classe C4. On definit le polynome Pf ∈ IR[X] par

Pf (X) = f(1)U(X) + f ′(1)V (X) + f(0)U(1−X)− f ′(0)V (1−X).

1. Soit x ∈]0, 1[, et soit φ : [0, 1] −→ IR la fonction de classe C4 definie par

φ(t) = f(t)− Pf (t)− t2(1− t)2

24A

ou A est determine par la condition φ(x) = 0.

α. Montrer qu’il existe t1 ∈]0, x[, et t2 ∈]x, 1[ tels que φ′(t1) = φ′(t2) = 0, et

calculer φ′(0), φ′(1).

β. En deduire qu’il existe c ∈]0, 1[ tel que φ(4)(c) = 0.

2. Conclure que

∀ x ∈ [0, 1], |f(x)− Pf (x)| ≤ x2(1− x)2

24sup

t∈[0,1]

∣∣∣f (4)(t)∣∣∣ .

3. Application. On pose f(x) =√

1 + 3x, expliciter le polynome Pf (x), et donner une

valeur approximative de√

2 en precisant une majoration de l’erreur commise.

EXERCICE .22 Soit f : IR∗ −→ IR la fonction definie par

f(t) =(1 +

t2

6) sin t− (t +

t3

2) cos t

t5.

Montrer que limt→0

f(t) existe et la calculer.

EXERCICE .23 Soient (x, y) ∈ IR∗2+ . Montrer(

1 +x

y

)y

< ex <

(1 +

x

y

)x+y

.

EXERCICE .24 Determiner inf(x,y)∈IR∗2+

√x + y

(1√x

+1√y

).

O MRANKOUBA

FONCTIONS CONVEXES, FONCTIONS USUELLES

EXERCICE .1 Soit f : IR −→ IR une fonction convexe et majoree. Montrer que f est

constante.

EXERCICE .2

a. Montrer, pour tout t ∈]0, 1[,

∀ (u, v) ∈ IR+, utv1−t ≤ tu + (1− t)v

avec egalite si, et seulement si, u = v.

b. En deduire que, pour tout (a1, . . . , an) ∈ (IR+)n et tout (b1, . . . , bn) ∈ (IR+)n,

n∑

k=1

akbk ≤(

n∑

k=1

a1/tk

)t (n∑

k=1

b1/(1−t)k

)1−t

.

etudier le cas d’egalite.(Inegalite de Holder).

c. Utiliser ce qui precede pour montrer que pour tout p ∈]1, +∞[, et tout (a1, . . . , an) ∈(IR+)n et (b1, . . . , bn) ∈ (IR+)n, on a

(n∑

k=1

(ak + bk)p

)1/p

≤(

n∑

k=1

apk

)1/p

+

(n∑

k=1

bpk

)1/p

.

(Inegalite de Minkowski).

d. Soient (x1, . . . , xn) ∈ (IR+)n, et t ∈ IR+∗ . On pose ψ(t) =

(1n

n∑

k=1

xtk

)1/t

. Montrer que

– si 0 < s < t, n1t − 1

s ψ(t) ≤ ψ(s) ≤ ψ(t).

– limt

>→ 0

ψ(t) = n√

x1 . . . xn.

– limt→+∞

ψ(t) = max (x1, . . . , xn).

EXERCICE .3 Simplifier les expressions suivantes:

Arg ch

√ch x + 1

2; Arg ch (4x3 − 3x); Log

√1 + th x

1− th x− x; Arg th

√ch x− 1ch x + 1

;

19


EXERCICE .4 Demontrer les egalites suivantes:

Arc sin45

+ Arc sin513

+ Arc sin1665

=π

2.

3Arc tg (2−√

3) = Arc tg12

+ Arc tg13

.

5Arc tg17

+ 2Arc tg379

=π

4.

EXERCICE .5 Demontrer les relations suivantes, en precisant au besoin les domaines de

validite.

Arc tg (sh x) = Arc cos1

ch x; Arg th (tg x) = Arg th (sin 2x) ;

Exercice 6. Calculer les derivees des fontions f definies par:

f(t) = Arc sin (2t√

1− t2); f(t) = Arc tg

√1− t

1 + t; f(t) = Arc tg

12t2

.

EXERCICE .6 Etudier et representer grafiquement les fonctions:

t 7→ Arc sint +

√1− t2

2; t 7→ Arc tg

2t

1− t2− Arc tg t; t 7→ Arg th

1 + 3th t

3 + th t

EXERCICE .7 Discuter suivant les valeurs de a ∈ IR+∗ l’equation exp(−ae−ax) = x.

EXERCICE .8 Si |x| ≤ 1/2, on peut mettre Log (1 + x) sous la forme x− x2

2+ x3u(x).

Determiner la borne inferieure et la borne superieure de u(x) lorsque x parcourt l’intervalle

[−1/2, 1/2].

EXERCICE .9 Soit z = x + iy ∈ |C, exprimer simplement |cos z|2 et |sin z|2 a l’aide des

fonctions hyperboliques et circulaires de x et y. En deduire les solutions dans |C de cos z = 0

et de sin z = 0.

O MRANKOUBA

DEVELOPPEMENTS LIMITES

EXERCICE .1 Calculer les developpements limites a l’ordre 3 au voisinage de 0 des fonctions

suivantes (eventuellement prolongees par continuite en 0).

1. f(x) = log∣∣∣∣log (1 + x)

x

∣∣∣∣.2. f(x) = (1 + x)1/x.

3. f(x) = (1 + 2x)1/(1+x).

4. f(x) = (1 + sin x)1/x.

5. f(x) =

√1 +

√1 +

√1 + x.

EXERCICE .2 Calculer les developpements limites a l’ordre 5 au voisinage de 0 des fonctions

suivantes (eventuellement prolongees par continuite en 0).

1. f(x) =√

1 +√

1 + x2.

2. f(x) = log (sin x

x).

3. f(x) = log (tg (x +π

4)).

4. f(x) = sin(log (1 + x)).

5. f(x) = (cos x)1+sin x.

6. f(x) =x− cosα

1− 2x cosα + x2.

EXERCICE .3 Determiner les limites au point 0 des fonctions definies de la maniere

suivante:

1. f(x) =tg x− sin x

sin x(cos 2x− cosx).

2. f(x) =1 + 2 cos2 x− 3 3

√cos 2x

sin4 x.

3. f(x) = (cos x)log |x|.

4. f(x) =(log cos x)2

x(sinx− tg x).

5. f(x) = (exp√

x2 + x4 − sin x)log x.

6. f(x) =1

(ch x)1/ sin2 x.

21


7. f(x) =1x

(1

th x− 1

tg x).

8. f(x) =xsin x − (sinx)x

xsh x − (sh x)x.

9. f(x) =2(1− cosx) sin x− x3(1− x2)1/4

sin5 x− x5.

10. f(x) =esin x − etg x

sin x− tgx.

11. f(x) =(1 + sin x)1/x − e1−x/2

(1 + tg x)1/x − e1−x/2.

EXERCICE .4 Former le developpemnet limite, a l’ordre et au voisinage indique, de la

fonction definie par la formule suivante:

1. ordre 4 voisinage de 0 f(x) = Logthx

x

2. ordre 2 voisinage de 0 f(x) = Log (1 + x +√

4 + x)

3. ordre 4 voisinage de 0 f(x) = Log (√

1 + x +√

1− x)

4. ordre 2 voisinage de 0 f(x) =(

sin x

x

)3/x2

5. ordre 5 voisinage de 0 f(x) = Arc sin (π sin x)

6. ordre 16 voisinage de 0 f(x) = (sh x− sinx)2(tgx− th x)3

7. ordre 3 voisinage deπ

4f(x) = tg x

8. ordre 3 voisinage deπ

4f(x) =

√tgx

9. ordre 4 voisinage de 0 f(x) = (1 + sin x)cos x

10. ordre 5 voisinage de 0 f(x) = Arc tg(

2(1− x)1 + 4x

)

EXERCICE .5 Determiner les limites en +∞ des fonctions definies de la maniere suivante:

1. f(x) = x1/(1+2log x).

2. f(x) = x2e1/x − 3√

x6 + 3x5 + x4.

3. f(x) =(

log (1 + x)log x

)x

.

4. f(x) = x2

[(1 +

1x

)x

− 4(

1 +12x

)2x

+ 3(

1 +13x

)3x].

Developpements limites 23

EXERCICE .6 Determiner a, b, c, d pour que f(x) soit un infiniment petit d’ordre maximum

et en donner un equivalent:

1. f(x) = tgx

2+ 4log cos

x

2− a

π − x− b− clog (π − x) quand x → π.

2. f(x) = a cos x + b cos 2x + c cos 3x + d cos 4x quand x → 0.

3. f(x) = Arc tg x− ax + bx3

1 + cx2quand x → 0.

4. f(x) = cosx− 1 + ax2

1 + bx2quand x → 0.

EXERCICE .7 Montrer que, pour tout x ∈ [0,π

2[, tg x + th x ≥ 2x. On definit, alors,

f(x) =√

x(tg x + th x− 2x)

Trouver un developpement limite a l’ordre 9 au voisinage de 0.

EXERCICE .8 Determiner la partie principale au voisinage de 0, de la fonction definie par

f(x) = sin (sh x)− sh (sin x)

EXERCICE .9 Determiner la limite au point 0 de la fonction f definie sur ]0, 1[ par

f(x) =(xx − (sinx)x − x3/6)

x4log x.

EXERCICE .10 Soit f la fonction definie sur ]0,π

2[ par la relation

f(x) =1x

Arc cossin x

x.

1. Montrer que l’on peut prolonger f en une fonction g continue sur [0,π

2[.

2. Montrer que g admet un developpement limite a tout ordre au voisinage de 0.

3. Calculer le developpement limite a l’ordre 5 au voisinage de 0.


EXERCICE .11 Pour x ∈]− 1, 1[, on considere les deux fonctions suivantes:

f(x) = Log1 + x

1− x; g(x) =

30x− 8x3

15− 9x2.

1. Trouver un developpement limite a l’ordre 7 au voisinage de 0 de f et de g.

En deduire limx→0

f(x)− g(x)x7

.

2. On pose h(x) = f(x) − g(x). Ecrire h′(x) sous la formeP (x)Q(x)

, ou P et Q sont des

polynomes. En deduire l’existence d’une constante A telle que

∀x ∈]0,

1√2

[, 0 ≤ h′(x) ≤ Ax6

(On demande de donner une majoration de A.)

3. Utiliser ce qui precede pour montrer que

∀x ∈]0,

1√2

[, 0 ≤ h(x) ≤ Ax7

4. On pose α = Log43

et β = Log98.

– Exprimer Log 2 et Log 3 en fonction de α et de β.

– Trouver x1 et x2 tels que f(x1) = α et f(x2) = β.

– En deduire deux nombres rationnels r1 et r2 qui representent une approximation

de Log 2 et Log 3 respectivement, en precisant une majoration de l’erreur commise.

EXERCICE .12 On pose

fλ(x) = e−x − (x− λ)2 + λ

(x + λ)2 + λ.

Determiner une valeur λ0 telle que limx→0

fλ0(x)x

= 0. Calculer ensuite limx→0

fλ0(x)x5

.

O MRANKOUBA

ETUDE DE FONCTIONS

EXERCICE .1 Etudier et representer graphiquement les fonctions definies par:

1. f(x) = (x− 1) e1/(x+1) ; 2. f(x) = (x3 − x2) e1/x ;

3. f(x) = xx2−x ; 4. f(x) = (1 + sin x)1/ sin x ;

5. f(x) =√

1− x2 Arc tg x ; 6. f(x) =1 + x2

x3Arc tg x− 1

x2;

7. f(x) = (x2 − 1) Log (1 + 1/x) ; 8. f(x) = (x + 2− 1/x) Arc tg x ;

9. f(x) = e1/x√

x(x + 2) ; 10. f(x) =1 + x2

1− xe1/x ;

11. f(x) = x ex/(x2−1) ; 12. f(x) =x2

1 + xe1/x ;

13. f(x) = 3√

x3 + 3x2 + x ; 14. f(x) = exp( x2

x2 − 1)

;

15. f(x) = 3√

x3 − 3x + 2 ; 16. f(x) =2(x− 1)2√

4x2 + 2x + 1e1/x ;

17. f(x) = 3√

x3 + 1 + 3√

x3 − 1 ; 18. f(x) = ch x cos x ;

19. f(x) = Arc tgx

x− 1− 4x2

2x− 1; 20. f(x) =

√x2 − 1− x ;

21. f(x) =cos 3x

cos 2x; 22. f(x) = Arc sin

(x + 1)2

2(1 + x2);

23. f(x) = Arc tg

√1− cosx

1 + sin x; 24. f(x) = Arc tg

x +√

1− x2

x−√1− x2;

25. f(x) =Arc sin x

4x2 − 1; 26. f(x) =

Arc sin√

x√x(1− x)

;

27. f(x) = ch x + cos λx (λ ∈ IR) ; 28. f(x) = log1− x

1− λx(λ ∈ IR) ;

29. f(x) = ( ch x + λ sh x)1/x (λ ∈ IR) ; 30. f(x) = λ(λx) (λ ∈ IR∗+) ;

31. f(x) = |tg x|cos x ; 32. f(x) = |tgx|sin x.

25


EXERCICE .2 Par convention, pour tout reel A, 3√

A designe l’unique reel B verifiant

B3 = A.

1. Soient a et b deux reels positifs ou nuls. On pose:

m(a, b) =2a + b

3, g(a, b) = 3

√a2b.

En calculant m3(a, b)−g3(a, b), trouver le signe de m(a, b)−g(a, b) lorsque a est different

de b. Donner une condition necessaire et suffisante tres simple pour que m(a, b) = g(a, b).

2. Dans cette question et dans toute la suite de l’exercice, on designe par x un reel

appartenant a l’intervalle ]− π

2,π

2[. On pose

1. f1(x) =3 sinx

2 + cos x; 2. f2(x) =

13(8 sin

x

2− sin x);

3. f3(x) = 3√

sin2 x tgx; 4. f4(x) =13(2 sin x + tg x).

Calculer les devloppements limites, a l’ordre 5, de f1(x), f2(x), f3(x), f4(x) au voisinage

de 0.

En deduire l’existence d’un reel strictement positif η tel qu’on ait, pour tout x ∈]0, η[,

l’inegalite:

f1(x) < f2(x) < x < f3(x) < f4(x).

3. On suppose ici que 0 < x <π

2. quel est le signe de f4(x)− f3(x).

4. On pose: u(x) = 3(2 + cos x) (f2(x)− f1(x)). Montrer qu’il existe des reels α, β, γ, δ,

que l’on calculera, tels que:

u(x) = α sin 2x + β sin3x

2+ γ sin x + δ sin

x

2.

Calculer u′(x) et verifier que u′(x) = P (cosx

2) ou P est un polynome de degre 4.

Expliciter P et le decomposer en un produit de facteurs reels. En deduire le signe de

u′(x), et pour 0 < x <π

2, celui de f2(x)− f1(x).

5. On pose v(x) = x − f2(x). Calculer v′(x) et montrer que v′(x) = Q(cos

x

2

)ou Q est

un polynome. En deduire le signe de v′(x), et pour 0 < x <π

2, celui de v(x).

6. On pose w(x) = f3(x) − x. Calculer w′(x) et montrer que son signe est celui d’une

expression trigonometrique simple. En deduire, pour 0 < x <π

2, le signe de w(x).

Etude de fonctions 27

EXERCICE .3 Etudier les courbes parametrees t −→ M(t) =[

x(t)y(t)

]suivantes (trace,

branches infinies, points stationnaires, points multiples de la trajectoire):

1. x(t) = t− t3 ; y(t) = t2 − t4 ;

2. x(t) =t + t2

1 + t4; y(t) =

t2 + t3

1 + t4;

3. x(t) =3t3 − 2t

4(1− t2); y(t) =

t4

2(1− t2);

4. x(t) =t + 2

t(t2 − 1); y(t) =

t

1− t2;

5. x(t) = cos 4t ; y(t) = cos 5t ;

6 . x(t) = t2 +2t

; y(t) = t2 +1t2

;

7 . x(t) =t

t2 − 1; y(t) =

t2

t− 1;

8 . x(t) =t3

t2 − 9; y(t) = t(t− 2) ;

9 . x(t) = tg t + sin t ; y(t) =1

cos t;

10. x(t) =√

t2 + 3t ; y(t) =√

t2 − 2t ;

11. x(t) = (t + 1) exp(1

t2 − 1) ; y(t) = (t− 1) exp(

1t2 − 1

) ;

12. x(t) = cos 3t ; y(t) = cos t + sin t ;

13. y(t) =√

1 + 2t√

1− t2 ; x(t) =√

1− 2t√

1− t2 ;

14. x(t) =t2 + 3t− 2t2 − 3t + 2

; y(t) =t2 + t + 2t2 − t− 2

;

15. x(t) = (t− 1)2 Arc tg1t

; y(t) = −t + Arc sin2t

t2 + 1;

16. x(t) = sin t ; y(t) =cos2 t

2− cos t.

EXERCICE .4 Etudier l’arc parametre represente par

x(t) =1− 2t− t2

1− t; y(t) =

2− 3t− t2

1− t.


EXERCICE .5 Soit Γ la courbe definie dans le plan affine euclidien E rapporte a un repere

orthonorme defini par les relations:

x(t) =t2 + 1t3 − 1

; y(t) =2t

t3 − 1.

1. Construire la courbe Γ en donnant a t toutes les valeurs reelles possibles.

2. Soit D une droite d’equation ux + vy + 1 = 0. Determiner le nombre de points

d’intersection de cette droite D avec la courbe Γ.

3. Etant donne trois points M1, M2, M3 definis par les valeurs t1, t2, t3 du parametre t ;

a quelle condition ces points sont-ils alignes ?

4. Soit toujours D une droite d’equation ux+vy+1 = 0. Determiner la condition necessaire

et suffisante pour laquelle cette droite est tangente a Γ.

5. Est-ce que cette courbe admet des points d’inflexion ? Quelle est la tangente en chacun

de ces points ?

EXERCICE .6 Soit Γ l’arc parametre defini par x(t) = at2; y(t) = at3.

1. Determiner le Lieu des points d’ou on peut mener a Γ deux tangentes orthogonales.

2. Determiner le Lieu des points d’ou on peut mener a Γ trois tangentes telles que

le centre du cercle circonscrit au triangle forme par les points de contact soit centre sur le

support de Γ.

EXERCICE .7 Construire la courbe parametrree en coordonnees polaires definie par

θ(t) = t− 2 sin t

ρ(t) = tg t

EXERCICE .8 Soit C un cardioıde d’equation ρ = a(1 + cos θ). Determiner le lieu du point

d’intersection des tangentes a C en deux points alignes avec le point de rebroussement.

Etude de fonctions 29

EXERCICE .9 Considerons la courbe C definie en coordonnees polaires par r = f(θ), ou

f(θ) =2

cos θ + cos 3θ=

1cos θ cos 2θ

1. Montrer que la courbe C presente une symetrie, preciser la, et l’utiliser pour reduire le

domaine d’etude.

2. Etudier les branches infinies et les asymptotes a la courbe en precisant la position de la

courbe par rapport a elles.

3. Donner un tableau represetant les variations de r sur le domaine d’etudes. Preciser sur

ce meme tableau le signe de r.

4. Etudier la concavite de la courbe par rapport a l’origine, En determinant les points

d’inflexion eventuels.

5. Donner un trace precis de la courbe C.

EXERCICE .10 Construire les courbes definies en coordonnees polaires par ρ = f(θ), ou

f(θ) admet successivement les expressions suivantes:

1. f(θ) = sin 2θ 2. f(θ) = sin 3θ ;

3. f(θ) = sin 4θ 4. f(θ) = sinθ

2;

5. f(θ) = sinθ

46. f(θ) = tg 2θ ;

7. f(θ) = tg 3θ 8. f(θ) = tgθ

2;

9. f(θ) = tgθ

310. f(θ) = tg

2θ

3;

11. f(θ) = tg2θ

512. f(θ) =

sin 2θ/3sin θ + cos θ

;

13. f(θ) = cos θ − cos 2θ 14. f(θ) = cos θ − cos 4θ ;

15. f(θ) =√

1− sin 2θ +√

1 + sin 2θ 16. f(θ) =1√

1− sin 2θ +√

1 + sin 2θ;

17. f(θ) =sin 2θ

sin(θ − π/3)18. f(θ) =

θ − 1θ + 1

;

19. f(θ) = exp(cos 2θ)− 2 cos 4θ 20. f(θ) = sin 2θ + 1 ;

21. f(θ) =1

2− cos 2θ22. f(θ) =

1cos θ

+ 1 .


EXERCICE .11 Construire la courbe parametrree en coordonnees polaires definie par

θ(t) = t− 2 sin t

ρ(t) = tg t


f(θ) =2

cos θ + cos 3θ=

1cos θ cos 2θ


domaine d’etude.








EXERCICE .13 Soit C un cardioıde d’equation ρ = a(1+cos θ). Determiner le lieu du point

d’intersection des tangentes a C en deux points alignes avec le point de rebroussement.

EXERCICE .14 Montrer que l’on peut mener a la cardioıde d’equation ρ = a(1 + cos θ)

trois tangentes de direction donnee δ. Etudier, quand δ varie, l’Aire Aδ du triangle forme

par les points de contact. Determiner aussi le lieu de l’isobarycentre mδ de ces points.

EXERCICE .15 Determiner le lieu des projections orthogonales de du pole O sur les

tangentes a la spirale logarithmique d’equation ρ = aemθ.

EXERCICE .16 Determiner le lieu des points par les quels passent deux tangentes

orthogonales a chacune des courbes d’equations polaires : ρ = aemθ, ρ = a(1 + cos θ) et

enfin ρ(1 + e cos θ) = p.

EXERCICE .17 Determiner le lieu. quand λ varie, des points de contact des tangentes a la

conique (Cλ) ρ(1 + e cos θ) = λ, (e fixe) qui contiennent le point donne O + ai.

O MRANKOUBA

SERIES NUMERIQUES

EXERCICE .1 Etudier les series de termes generaux:

vn =(1 +

1n + 1

)2n − (1 +

2n + a2

)n; vn =(

Arc tg n

Arc tg (n + 1)

)n3

;

vn = (cosa

n+ sin

b

n)n − eax(1 +

b

n); vn = (

√n2 + an + 2−

√n2 + bn + 1)n;

vn = tg(

πn

4n + 1

)− cos

π

n; vn = tg

1n

+ Logn2 +

√n

n2 − n;

vn =(

Logn

Log (n + 1)

)n2

; vn =√

n4 + 2n + 1−√

n4 + kn.

vn =1

nα

n∑p=1

(Log p)2; vn =√

n!n∏

p=1

sin1√p.

EXERCICE .2 Soit p un entier plus grand que 2, et (an)n∈IN une suite decroissante de reels

positifs. Montrer que les series∑

an et∑

bn ou bn = pnapn sont de meme nature. Etudier∑

n≥2

1n( log n)β

.

EXERCICE .3 Montrer les assertions suivantes:

1. Soient∑

un,∑

vn sont deux series a termes positifs convergentes. Alors∑√

unvn

converge.

2. Soit∑

un une serie convergente a termes positifs. Alors ∃K > 0, tel que

∀n ≥ 1,

n∑p=1

√up ≤ K

√n

3. Soit∑

un une serie a termes positifs telle que∑

n2u2n converge. Alors

∑un converge.

4. Soit (un)n≥0 une suite decroissante a termes positifs telle que la serie∑

un converge.

Alors limn→+∞

nun = 0.

5. Soient (an)n≥1 une suite de relles positifs tendant vers l’infinie, (xn)n≥1 une suite de

reels telle que∑ xn

anconverge. Alors lim

n→+∞1an

n∑

k=1

xk = 0.

31


EXERCICE .4 Determiner (a, b) ∈ IR2 pour que la serie de terme general un = Log n +

aLog (n + 1) + bLog (n + 2) converge et calculer sa somme.

EXERCICE .5

1. Soient f et g deux fonctions ayant un developpement limite du premier ordre en 0 de

la forme f(x) = a + bx + o(x) ; g(x) = a + b′x + o(x) ou b 6= b′. Que peut-on dire du

signe de (f − g)(x) pour x assez petit positif.

2. Trouver le developpement limite devn+1

vnau premier ordre en

1n

lorsque vn =1nλ

ou

λ 6= 0 pour n tendant vers l’infinie.

3. Soit (un)n∈IN une suite a termes strictement positifs. On pose

L = limn→∞

n( un

un+1− 1

), l = lim

n→∞n( un

un+1− 1

)

Montrer que, si L < 1 alors la serie∑

un diverge, et que si l > 1 alors la serie∑

un

converge. Que ce passe-t-il si l ≤ 1 ≤ L ?

EXERCICE .6 Soit (an)n≥1 une suite de reels strictement positifs. On note Sn =n∑

k=0

ak,

et on suppose que la serie∑

an diverge. Montrer que la serie∑

n

( ak

Sαn

)si et seulement si

α > 1.

EXERCICE .7 Soit (an)n≥1 une suite de reels strictement positifs. On note

vn =an

(1 + a0) · · · (1 + an)

1. Montrer que la serie∑

vn converge.

2. Montrer que+∞∑n=0

vn = 1 ⇐⇒ La serie∑

an diverge.

EXERCICE .8 Soit f : [1,+∞[−→ IR∗+ de classe C1, telle que limt→+∞

f ′(t)f(t)

= −∞. Etudier

la convergence de∑

f(n). On pose Sn =+∞∑

k=n+1

f(k). Trouver un equivalent de Sn.

Series numeriques 33

EXERCICE .9 Montrer que la serie de terme general an = Arc tg (n + a) − Arc tg n

est convergente. Si f(a) designe sa somme, trouver un equivalent de f(a) au voisinage de

l’infinie.

EXERCICE .10 Soit (un)n≥0 une suite a termes strictement positifs. On suppose qu’il

existe α > 1 tel queun+1

un≤

(n

n + 1

)α

.

Montrer que∑

un converge. Appliquer le resultat a un =1.3.5 . . . (2n− 1)

2.4.6 . . . (2n)1

2n + 1.

EXERCICE .11 Soit a un reel strictement positif. On considere la serie de terme general

vn =(n + 1)(n + 2) · · · (n + n)

annn=

n∏

k=1

n + k

an

1. Montrer qu’il existe λ ∈ IR+∗ tel que

si a > λ la serie∑

vn converge.

si a < λ la serie∑

vn diverge.

2. Dans cette question on suppose que a = λ.

— Montrer que la serie∑

n≥1

Logvn+1

vnconverge.

— En deduire que la suite (vn)n≥1 ne tend pas vers 0. Conclure.

EXERCICE .12 Pour 0 < a < 1, q ∈ IN, et n ∈ IN, on pose

uq(a, n) =1− (1− aq)n

1− a.

1. Montrer que∑

q uq(a, n) converge. On note

Sn(a) =∞∑

q=1

uq(a, n).

2. Montrer que

limn→∞

Sn(a)Log n

= 1.

EXERCICE .13 Etudier la convergence de la serie∑

un de terme general

un = cos(πn2 log

n

n− 1)

O MRANKOUBA

CALCUL DE PRIMITIVES

EXERCICE .1 Calculer les primitives des fonctions definies par:

1. f(x) =5x3 + 9x2 − 22x− 8

x3 − 4x; 2. f(x) =

1(x + 1)(x + 2)2(x + 3)3

;

3. f(x) =1

x4 − 8x3 + 25x2 − 36x + 20; 4. f(x) =

1(1 + x)(1 + x2)(1 + x3)

;

5. f(x) =1

(1 + x3)(1 + x5); 6. f(x) =

x4 + x2 + 1(x2 + x + 1)3

;

7. f(x) =(x2 − 1)2

(x− 2)(x2 + 1)3; 8. f(x) =

1(x2 + 1)(x2 + 4)(x2 + 9)

;

9. f(x) =1

(2 + cos x− 2 sin x) sin x; 10. f(x) =

15 + 3 cos x + sin x

;

11. f(x) =1

(2 cos2 x− 1) sin x; 12. f(x) =

sin2 x cosx

sinx + cos x;

13. f(x) =1

cos4 x sin2 x; 14. f(x) =

sin x

1 + sin x;

15. f(x) =sin x

cos2 x− cosx; 16. f(x) =

sin x

cos2 x + tg 2x;

17. f(x) =sin3 x

1 + cos x; 18. f(x) =

1cos 5x− cosx

;

19. f(x) =1

sinn x; 20. f(x) = tgnx ;

21. f(x) = 3√

x(2 +√

x)2 ; 22. f(x) =1

3√

x2(1 + 3√

x2);

23. f(x) =

√1 + 3

√x

3√

x2; 24. f(x) =

3√

1 + 4√

x√x

;

25. f(x) =1

x(1 + 3√

x)2; 26. f(x) =

1x4√

1 + x2;

27. f(x) = x1/3(2 + x2/3)1/4 ; 28. f(x) = x5(1 + x2)2/3 ;

29. f(x) = x−11(1 + x4)−1/2 ; 30. f(x) =1x3

5

√x

x + 1;

31. f(x) =x + 3

√x + 6

√x

x(1 + 3√

x); 32. f(x) =

√x + 3

√x

4√

x5 − 6√

x7.

35


33. f(x) =1

2x + x2/3(x− 1)1/3; 34. f(x) =

2(2− x)2

3

√2− x

2 + x;

35. f(x) =1

x4 − 8x3 + 25x2 − 36x + 20; 36. f(x) =

14√

(x− 1)3(x + 2)5;

37. f(x) =1

(1− x)√

1− x2; 38. f(x) =

√1 + x3

x4;

39. f(x) =√

1 + x− 3√

1 + x√1 + x + 3

√1 + x

; 40. f(x) =

√1 +

√1− x2

√1− x2

;

41. f(x) =1√

4− (ex + 1)2; 42. f(x) = 3

√2x+1 ;

43. f(x) = ex√

2 tg 3x ; 44. f(x) = Arc tg

√1 + x

3 + x;

45. f(x) =√

1 + x log x ; 46. f(x) =√

1− x2

x4Arc sin x ;

47. f(x) =x3 Arc cos x√

1− x2; 48. f(x) = 3

√x− 1x + 1

.

EXERCICE .2 Soient (m,n) ∈ (IN∗)2, on suppose que m < n.Determiner une primitive

Fn,m de la fonction

fn,m(x) =x2m−1

1 + x2n

Calculer ensuite limx→+∞

Fn,m(x)− Fn,m(0).

EXERCICE .3 Soit Fn une primitive de

fn(x) =1

(1 + x4)n

Donner une relation de recurrence permettant de calculer Fn. Montrer que pour tout n ∈ IN∗

la limite In lorsque x tend vers l’infinie de Fn(x)− Fn(0) existe. Calculer In.

O MRANKOUBA

INTEGRATION

EXERCICE .1 Soient E un ensemble, Ann≥0 une suite de parties de E. On pose

limn→∞

An =⋂

n≥0

( ⋃

k≥n

Ak

), lim

n→∞An =

⋃

n≥0

( ⋂

k≥n

Ak

).

1. Montrer quelim

n→∞An =x ∈ E | x appartient a une infinite de Ak’s

limn→∞

An =x ∈ E | x appartient a tous les Ak’s a partir d’un certain rang2. Soit E = IR,on pose pour n ≥ 1 A2n = [−1, 2 + 1/n[, et A2n+1 =] − 2 − 1/n, 1].

Determiner limn→∞

An, limn→∞

An.

3. Montrer que

limn→∞

An ⊂ limn→∞

An, E \ limn→∞

An = limn→∞

(E \An)

limn→∞

(An ∪Bn) = limn→∞

An ∪ limn→∞

Bn

limn→∞

An ∩ limn→∞

Bn ⊂ limn→∞

(An ∩Bn) ⊂ limn→∞

An ∩ limn→∞

Bn

EXERCICE .2 On dit qu’un ensemble M de parties d’un ensemble E est une classe

monotone quand pour toute suite croissante (resp. decroissante) Ann≥0 de M, ∪An (resp.

∩An) appartient a M. Soit A une algebre de parties de E (i.e. Ø ∈ A et A est stable par

reunion finie et par passage au complementaire).

1. Montrer qu’il existe une plus petite classe monotone M0 contenant A.( qu’on appelle

engendree par A).

On veut demontrer que M0 est la tribu T (A) engendree par A.

2. Notons M1 (resp. M2) l’ensemble des M ∈M0 tels que M ∪A ∈M0, pour tout A ∈ A(resp. pour tout A ∈M0). Montrer que M1 = M0 puis que M2 = M0.

3. En utilisant une methode similaire montrer que M0 est stable par passage au

complementaire. Conclure.

Application: Si µ et ν sont deux mesures sur BIR coıncidant sur les intervalles, alors

elles sont egales.

37


EXERCICE .3 Soit Tn la tribu sur [0, 1[ engendree par les intervalles Ik = I(n)k = [

k

2n,k + 12n

[

ou k = 0, 1, . . . , 2n − 1.

1. Decrire Tn. Quel est le nombre de ses elements.

2. Montrer que les fonctions mesurables de ([0, 1[, Tn) dans IR sont toutes de la forme

∑

0≤k<2n

αk1IIk

.

3. On pose f`(x) = E(2`x) pour ` = 0, 1, . . . , n. Montrer que f` est Tn-mesurable. Exprimer

f` comme dans 2.

4. On pose ε`(x) = f`(x) − 2f`−1(x), pour ` = 1, . . . , n. Montrer que ε` est la fonction

indicatrice d’un ensemble A` qu’on determinera.

EXERCICE .4 Soit fnn≥0 une suite de fonctions boreliennes de IR dans IR. On pose pour

x ∈ IR

h(x) = limn→∞

fn(x), g(x) = limn→∞

fn(x).

1. Montrer que h : IR −→ IR et g : IR −→ IR sont boreliennes.

2. Montrer que x ∈ IR | fn(x)n≥0 converge est un borelien.

EXERCICE .5

I

On se propose dans cette partie de demontrer qu’il existe une bijection entre IN et toute

partie infinie de Q/ .

1. Si n ∈ IN, on pose x(n) = E(√

1 + 8n + 12

) ou E(y) designe la partie entiere de y. On

definit aussi

Θ1(n) =x(n)[x(n) + 1]

2− 1− n, et Θ2(n) = n + 1− x(n)[x(n)− 1]

2.

Montrer que

∀ n ∈ IN, Θ1(n) ∈ IN, et Θ2(n) ∈ IN∗.

2. Si (α, β) ∈ IN × IN∗, on pose Ψ(α, β) =(α + β)(α + β − 1)

2+ β − 1. Montrer que

∀ (α, β) ∈ IN× IN∗, Ψ(α, β) ∈ IN.

Integration 39

3. On considere alors les deux applications:

Φ : IN −→ IN× IN∗ : n 7→ Φ(n) = (Θ1(n),Θ2(n))

Ψ : IN× IN∗ −→ IN : (α, β) 7→ Ψ(α, β)

Montrer que ΨΦ = IIN, et ΦΨ = IIN×IN∗ .

4. On considere l’application Λ : IN −→ Q/ definie par

Λ(n) =

Θ1(p)Θ2(p)

si n = 2p

−Θ1(p)Θ2(p)

si n = 2p + 1

Montrer que Λ est surjective.

5. Deduire de ce qui precede, qu’il existe une bijection entre IN et Q/ .

6. Deduire qu’il existe aussi une bijection entre IN et toute partie infinie A de Q/ .

II

On se propose de demontrer dans cette partie que tout ouvert non vide de IR est reunion

d’une suite d’intervalles ouverts deux a deux disjoints.

Soit O un ouvert non vide de IR. On definit sur O la relation binaire :

xRy ⇐⇒ (∃I intervalle ouvert : x, y ∈ I ⊂ O).

1. Montrer que R est une relation d’equivalence.

2. Montrer que les classes d’equivalence modulo R sont des intervalles ouverts.

3. Montrer qu’il existe une partie A ⊂ Q/ telle que

∀ (q, p) ∈ A×A, p 6= q =⇒ p ∩ q = Ø

O = ∪q∈A

q

Ou q designe la classe de q modulo R.

4. En utilisant I, montrer qu’il existe une suite d’intervalles ouverts Inn deux a deux

disjoints avec O = ∪n≥0

In.


EXERCICE .6 Montrer que pour tout ε > 0, il existe un ouvert O dense dans IR de mesure

de Lebesgue inferieure a ε.

EXERCICE .7 Soit Enn≥0 une suite d’ensembles mesurables de (X, T , µ) tels que∑

µ(En) < +∞. Montrer que

µ(x ∈ X | x appartient a une infinite de En’s) = 0.

EXERCICE .8 Soit (X,A, µ) un espace mesure tel que µ(X) < +∞. Soit Ann≥0 une

suite d’elements de A.

1. Etablir que

µ( limn→∞

An) ≥ limn→∞

µ(An), µ( limn→∞

An) ≤ limn→∞

µ(An).

2. Supposons que pour tout x ∈ X on a: limn→∞

1IAn(x) = 1IA(x). Montrer que limn→∞

µ(An) =

µ(A). Est-ce que ce resultat subsiste si µ(X) = +∞ ?

3. Montrer que si∑

µ(An) < +∞, il existe N ∈ A tel que µ(N) = 0 et tel que pour tout

x 6∈ N , limn→∞

1IAn(x) = 0.

4. Montrer par un contre-exemple que si l’on sait seulement que µ(An) tend vers 0, alors

1IAn peut bien ne tendre vers 0 en aucun point.

EXERCICE .9 Soit n un entier strictement positif. On note INn = [1, n] ∩ IN, et P(n)k

l’ensemble des parties de INn qui sont de cardinal k.

1. Montrer par recurrence sur n que pour tout a1, a2, . . . , an dans IR, et pour tout x ∈ IR,

l’on an∏

k=1

(1 + xak) = 1 +n∑

k=1

∑

B∈P(n)k

∏

i∈B

ai

xk.

2. Soient E un ensemble fini, P(E) l’ensemble des parties de E. On considere aussi Fl’ensemble des fonctions f : E −→ 0, 1. A une partie A ⊂ E on associe l’element 1IA

de F defini par

1IA(x) =

1 si x ∈ A

0 si x 6∈ A

Integration 41

a. Montrer que l’application Φ : P(E) −→ F : A 7→ 1IA est une bijection.

b. Montrer que

• 1IA∩B = 1IA.1IB .

• 1IE\A = 1− 1IA.

• 1IA∪B = 1IA + 1IB − 1IA.1IB .

c. Soient A1, A2, . . . , An des parties de E, On note A =⋃n

k=1 Ak = A1∪A2∪· · ·∪An.

Montrer 1IA = 1−n∏

k=1

(1− 1IAk). En deduire que

1IA =n∑

k=1

(−1)k−1

∑

B∈P(n)k

∏

i∈B

1IAi

.

Dans la suite µ designe une mesure positive sur P(E).

3. Montrer que, si A1, A2, . . . , An sont des parties de E, alors

µ(n⋃

k=1

Ak) =n∑

k=1

(−1)k−1

∑

B∈P(n)k

µ(⋂

i∈B

Ai)

.

4. Soient A1, A2, . . . , An des parties de E. On note Gs, (0 ≤ s ≤ n), l’ensemble des elements

de E qui appartiennent a exactement s ensembles parmis les Akk. Montrer que

µ(Gs) =n∑

k=s

(−1)k−sCsk

∑

B∈P(n)k

µ(⋂

i∈B

Ai)

.

(On pourrait commencer par montrer que si Λ est une partie a s elements de INn et si

GΛ est l’ensemble des elements de E qui appartiennent a Ak si k ∈ Λ et a E \ Ak si

k 6∈ Λ, alors

µ(GΛ) =n−s∑

k=0

(−1)k

∑

B∈P(Λ′)k

µ(⋂

i∈B∪Λ

Ai)

ou P(Λ′)k est l’ensemble des parties a k elements de INn \ Λ.)


5. Soient A1, A2, . . . , An des parties de E. On note Hs, (0 ≤ s ≤ n), l’ensemble des

elements de E qui appartiennent a au moins s ensembles parmis les Akk. Montrer

que

µ(Hs) =n∑

k=s

(−1)k−sCs−1k−1

∑

B∈P(n)k

µ(⋂

i∈B

Ai)

.

6. Soient B ⊂ INn une partie de cardinal k, Sn le groupe symetrique. Montrer que

Card (σ ∈ Sn : ∀ i ∈ B, σ(i) = i) = (n− k)!.

7. Pour j ∈ INn on note Aj l’ensemble des permutations σ ∈ Sn qui laissent fixe l’element

j: Aj = σ ∈ Sn : σ(j) = j. On dit qu’une permutation σ contient une rencontre en j

si σ(j) = j. Calculer le nombre rn (respectivement, gn(s), hn(s)) des permutations qui

ne contiennent pas de rencontre, (respectivement, contiennent exactement s rencontres,

contiennent au moins s rencontres).

EXERCICE .10 On dit qu’une mesure µ sur P(IR) est invariante par translation si

µ(t + A) = µ(A) pour toute partie A de IR et tout nombre reel t. ( rappelons que

t+A = t+x | x ∈ A). Montrer que si µ est une mesure sur P(IR) invariante par translation

et bornee sur les intervalles, alors elle est nulle. (indication : Soit E un ensemble ayant un

element, et un seul, dans chaque classe d’equivalence modulo la relation x< y ⇐⇒ x−y ∈ Q/

sur les elements de IR. Observer que les q + Eq∈ Q/ sont deux a deux disjoints. En deduire

qu’ils sont de mesure nulle. Puis remarquer que IR =⋃

q∈ Q/ (q + E )).

EXERCICE .11 Soit g : X −→ IR. On munit X de la tribu T (g) = g−1(BIR). Montrer

que toute fonction T (g)-mesurable de X dans IR est de la forme hg ou h est une fonction

borelienne de IR dans IR.

EXERCICE .12 Montrer qu’une fonction croissante de IR dans IR est borelienne.

EXERCICE .13 Soit A la partie de IR formee par les x de IR pour lesquels il existe une

infinite de (p, q) ∈ ZZ× IN∗ tels que∣∣∣∣x−

p

q

∣∣∣∣ <1q3

. Montrer que la mesure de Lebesgue de A

est 0.

Integration 43

EXERCICE .14 Soit f :]0, +∞[−→ IR une fonction localement integrable. On suppose que

limx

>→ 0

f(x) = d0 existe, et que limx→+∞

f(x) = d∞ existe. Montrer que pour tout (a, b) ∈ (IR∗+)2

si t 7→ f(at)− f(bt)t

est integrable sur IR+, alors

∫ ∞

0

f(at)− f(bt)t

dt = (d0 − d∞)Logb

a.

EXERCICE .15 Soient a > b > 0, pour x ∈ IR on pose

I(x) =∫ ∞

0

e−at − e−bt

tcos xt dt

Montrer que I(x) est bien definie pour tout x ∈ IR. Calculer I(x). ( On pourra deriver

sous le signe somme).

EXERCICE .16 Soit f : [a, b] −→ IR∗+ une fonction continue. Montrer que

limn→+∞

(∫ b

a

(f(t))n dt

)1/n

= supt∈[a,b]

f(t).

limn→+∞

[1

b− a

∫ b

a

(f(t))1/n dt

]n

= exp

(1

b− a

∫ b

a

log f(t) dt

).

EXERCICE .17 Calculer les limites des suites suivantes:

1.n∑

k=1

log (1 +k

n) log (

k + n

n + k − 1).

2.n∑

k=1

k

n√

n (√

n +√

n + k).

3.n∑

k=1

1√4n2 + (−1)kk2

.


EXERCICE .18 Soit f : [0, a[−→ IR une fonction nulle en 0, derivable a droite en 0, et soit

g : [0, 1] −→ IR+ une fonction continue. Montrer que

limn→∞

n∑p=1

f(1n

g(p

n)) = f ′d(0)

∫ 1

0

g(t) dt

Application: Montrer que

limn→∞

n∏p=1

(1 +1n

g(p

n)) = exp

( ∫ 1

0

g(t) dt

).

et calculer

limn→∞

n∑p=1

(ch (

1√n + p

)− 1).

EXERCICE .19 Utiliser les sommes de Riemann pour evaluer

I(z) =∫ 2π

0

dt

z − eit, |z| 6= 1.

Calculer aussi, pour p ∈ IN∗,

Ip(z) =∫ 2π

0

dt

(z − eit)p, |z| 6= 1.

EXERCICE .20 Soit f : [a, b] −→ IR une fonction integrable telle que f(a + b− x) = f(x).

Montrer que ∫ b

a

xf(x) dx =a + b

2

∫ b

a

f(x) dx

Application :∫ π

0

x sin x

1 + cos2 xdx, et

∫ π

0

x

1 + sin xdx.

EXERCICE .21 Soit f : [a, b] −→ IR une fonction de classe C1, telle que f(a) = f(b) = 0.

Montrer qu’il existe ξ ∈ [a, b] tel que

4(b− a)2

∫ b

a

f(t) dt ≤ |f ′(ξ)| .

Integration 45

EXERCICE .22 Calculer

I =∫ ∞

0

dx

1 + x4, J =

∫ ∞

0

x2dx

1 + x4.

EXERCICE .23 Soit f : [a, b] −→ IR une fonction croissante, et soit ε > 0. Montrer qu’il

existe deux fonctions croissantes et continues h, g telles que

∀ x ∈ [a, b], h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) et∫ b

a

(g(x)− h(x)) dx < ε.

EXERCICE .24 On se propose dans cet exercice de calculer I =∫ ∞

0

e−x2dx. Considerons

les integrales suivantes:

Wn =∫ π/2

0

sinn x dx, In =∫ 1

0

(1− x2)n dx, Jn =∫ ∞

0

dx

(1 + x2)n

1. Calculer In et Jn en fonction de Wn.

2. Montrer que ∀ x ∈ [0, 1], 1 − x2 ≤ e−x2et que ∀ x ∈ [0, +∞], e−x2 ≤ 1

1 + x2. En

deduire que

In ≤ I√n≤ Jn.

3. Trouver une relation entre Wn+2 et Wn, et montrer que pour tout n ≥ 1 on a

nWnWn−1 = π/2.

4. En deduire la valeur de I.

EXERCICE .25 Soit a > 0, on pose In(a) =∫ ∞

0

e−ax sinn x dx. Calculer In(a).

EXERCICE .26 Soit x ∈ IR\−1, 1, on pose I(x) =∫ π

0

log (1− 2x cos t + x2) dt. Calculer

I(x).

EXERCICE .27 Pour x ∈ IR on pose I(x) =∫ ∞

0

1− cos xt

t2e−t dt. Montrer que I(x) est

definie pour tout x ∈ IR. Calculer I(x) en derivant sous le signe somme.


EXERCICE .28 Pour x ∈ IR+ on pose

J(x) =∫ π/2

0

dt√sin2 t + x2 cos2 t

, K(x) =∫ π/2

0

cos t dt√sin2 t + x2 cos2 t

.

1. Montrer que J(x) − K(x) converge vers Log 2 quand x tend vers 0 avec des valeurs

positives.

2. Calculer K(x) pour x ∈]0, 1[.

3. En deduire limx→0

(J(x) + Log x).

EXERCICE .29 Pour (x, y) ∈ (IR+)2 \ (0, 0) on pose

A(x, y) =2π

∫ π/2

0

Log (x sin2 θ + y cos2 θ) dθ

1. Montrer que A(x, y) = A(y, x), et que A

((x + y

2)2

, xy

)= 2A(x, y).

2. On considere les deux suites unn≥0 et vnn≥0 definies par

u0 = x, v0 = y, , un+1 = (un + vn

2)2, vn+1 = vnun.

Montrer que pour tout n ≥ 1 l’on a

12n

Log vn ≤ A(u0, v0) ≤ 12n

Log un.

3. En considerant les deux suites Snn≥0 et Tnn≥0 definies par

Sn =√

un +√

vn, Tn =√

un −√vn

calculer limn→∞

12n

Log vn, et limn→∞

12n

Log un. En deduire la valeur de A(x, y).

EXERCICE .30 Soit F (x) =∫ π/2

0

(sin t)x dt.

1. Montrer que F est bien definie et continue sur ]− 1,+∞[.

2. Calculer limx→∞

F (x).

3. En considerant J(x) =∫ π/2

0

(sin t)x cos t dt, demontrer que

F (x) =1

x + 1+ log 2 + ε(x + 1)

ou limt→0

ε(t) = 0.∗4. Determiner un equivalent de F (x) au voisinage de +∞.

Integration 47

EXERCICE .31 Soit f : [a, b] −→ [f(a), f(b)] une fonction continue strictement croissante.

1. Montrer que pour tout α, β ∈ [f(a), f(b)] on a∫ β

α

f−1(t) dt = βf−1(β)− αf−1(α)−∫ f−1(β)

f−1(α)

f(t) dt.

2. Soit g : IR+ −→ IR+ une bijection continue. Montrer que, pour tout a, b ∈ IR+

ab ≤∫ b

0

g(s) ds +∫ a

0

g−1(s) ds.

EXERCICE .32 Soit f : [0, 1] −→ IR une fonction de classe C1, et soit τ ∈]0, 1[. On pose

In(f, τ) =n−1∑

k=0

f(k + τ

n)− n

∫ 1

0

f(t) dt.

Montrer que In(f, τ) admet une limite α lorsque l’on fait tendre n vers l’infini. Montrer

aussi que si f est de classe C2, alors n(In(f, τ) − α) admet une limite β lorsque l’on fait

tendre n vers l’infini. Determiner α et β en fonction de τ , f , et f ′.

EXERCICE .33 Soit h : IR −→ IR une fonction mesurable bornee et T -periodique. Soit

f : IR −→ IR une fonction integrable sur IR. Montrer que

limν→∞

∫

IR

f(t)h(νt) dt =

(1T

∫ T

0

h(t) dt

) (∫

IR

f(t) dt

).

(On pourrait commencer par le cas ou f est la fonction indicatrice d’un intervalle.)

EXERCICE .34

1. Soit ϕ : [0,π

2] −→ IR une fonction de classe C1, telle que ϕ(0) = 0. En considerant la

fonction

g(x) = (ϕ2(x)cotg x)′ + (ϕ′(x)− ϕ(x)cotgx)2

montrer que ∫ π/2

0

ϕ2(x) dx ≤∫ π/2

0

ϕ′2(x) dx.

Montrer qu’il y a egalite si, et seulement si, ϕ est de la forme x 7→ λ sin x.

2. Montrer que pour toute fonction f : [a, b] −→ IR de classe C1, on a∫ b

a

(f(x)− f(a))2 dx ≤ 4(b− a)2

π2

∫ b

a

f ′2(x) dx

avec egalite si, et seulement si, f est de la forme x 7→ µ + λ sin(

π

2x− a

b− a

).


EXERCICE .35 On considere les deux suites:

vn =(−1)n

2n + 1, Vn =

n∑

k=0

vk (n ≥ 0).

1. En utilisant1

1 + x2=

n∑

k=0

(−x2)k +(−x2)n+1

1 + x2, montrer que lim

n→∞Vn =

π

4.

2. Montrer qu’il existe une constante M telle que, pour t ∈ IR∗+,on a∣∣∣∣∫ 1

0

xt

1 + x2dx− π

4

∣∣∣∣ ≤ Mt.

3. En deduire limν→∞

ν

∫ 1

0

xν

1 + x2νdx =

π

4.

EXERCICE .36 Soient z ∈ |C tel que Re(z) ∈]0, 1[, λ ∈]− π, π[, et t ∈ IR∗+. On note

g(z, λ, t) =tz−1

1 + teiλ.

1. Montrer que t 7→ g(z, λ, t) est integrable sur IR∗+. On pose alors

f(z, λ) =∫ +∞

0

g(z, λ, t) dt

2. Prouver que la fonction Fz : ] − π, π[−→ |C, λ 7→ f(z, λ) est derivable. En deduire que

H(z, λ) = eiλzf(z, λ) ne depend pas de λ, et prouver enfin que

f(z, λ) =πe−iλz

sinπz.

Indication: Utiliser, apres l’avoir prouvee, la relation

sin λzH(z, λ) =12i

∫ +∞

0

tz−1

(1

1 + te−iλ− 1

1 + teiλ

)dt

=∫ +∞

cotgλ

(u sin λ− cos λ)z

1 + u2du (si λ > 0).

3. Prouver que∫ +∞

0

tz

1 + 2t cosλ + t2dt =

π

sin λ.sin λz

sin πz, et que si a ∈ |C \ IR−, alors

∫ +∞

0

tz−1

t + adt =

πaz−1

sin πz.

Integration 49

EXERCICE .37 Soit f : [0, 1] −→ IR+ une fonction continue.

1. On pose In =∫ 1

0

xnf(x) dx. Montrer que limn→∞

In = 0.

2. Montrer que limn→∞

nIn = f(1).

3. On suppose que f ∈ Cm([0, 1]). Montrer que

∣∣∣∣∣In−1 −m−1∑

k=0

(−1)k

n(n + 1) · · · (n + k)f (k)(1)

∣∣∣∣∣ ≤1

n(n + 1) · · · (n + m)sup[0,1]

∣∣∣f (m)∣∣∣ .

4. Deduire un developpement asymptotique a l’ordre 3 en1n

de

π

4−

n−1∑

k=1

(−1)k−1

2k − 1.

EXERCICE .38 (inegalite de Holder)

1. Montrer que ∀u, v ∈ IR∗+, et ∀t ∈]0, 1[, on a

utv1−t ≤ tu + (1− t)v.

2. Soient p, q ∈]1,+∞[, avec p−1 + q−1 = 1. Soient f, g deux fonctions positives et

mesurables, telles que fp ∈ L1(Ω, µ) et gq ∈ L1(Ω, µ). Montrer que fg ∈ L1(Ω, µ)

et ∫fg dµ ≤

(∫fp dµ

)1/p (∫gq dµ

)1/q

.

3. Soit f : IR+ −→ IR+ une fonction continue a support compact (i.e. x : f(x) 6= 0 est

compact). On pose pour x ∈ IR∗+, g(x) =1x

∫ x

0

f(t) dt.

a. Trouver limx→0

g(x) et limx→+∞

g(x).

b. Montrer que g est derivable sur IR∗+, et que xg′ + g = f .

c. Soit p ∈]1, +∞[, en effectuant une integration par parties et en utilisant l’inegalite

de Holder, montrer que

∫ +∞

0

(g(x))p dx ≤(

p

p− 1

)p ∫ +∞

0

(f(x))p.


EXERCICE .39 Pour n ∈ IN∗, on pose In =∫ 1

0

√1 + n2x2(n−1) dx. (C’est la longueur de

la courbe qui represente x 7→ xn sur [0, 1]). On note aussi pour y ∈ IR∗+,

J(y) =∫ y

0

dt

1 + t +√

1 + t2.

1. Montrer que In = 2− 2n− 1

J(n) +2

n− 1

∫ 1

0

J(nxn−1) dx.

2. Montrer que limn→∞

∫ 1

0

J(nxn−1) dx = 0.

3. En deduire limn→∞

n(In − 2)− Log n.

EXERCICE .40 On pose f(t) =t sin t

1− cos t. Le but de cet exercice est le calcul de

J =∫ π

0

f(t) dt.

1. Montrer que pour tout t ∈]0, π], 0 ≤ f(t) ≤ 2, et que f est prolongeable par continuite

en 0.

2. Calculer H(a) =∫ π

0

dt

1− a cos tpour 0 ≤ a < 1.

3. Calculer K(x) =∫ π

0

t sin t

(1− x cos t)2dt pour 0 ≤ x < 1.

4. Determiner une primitive de x 7→ 1x√

1− x2sur ]0, 1[.

5. On pose pour 0 ≤ x < 1 :

ϕ(x) =∫ π

0

t sin t

1− x cos tdt.

Calculer ϕ(0), puis demontrer les inegalites

|ϕ(x)− J | ≤2(1− x)∫ π

0

dt

1− x cos t.

|ϕ(x)− ϕ(0)| ≤ πx

1− x.

6. Demontrer que sur ]0, 1[, ϕ est solution de l’equation differentielle: xy′ + y = K(x). En

deduire ϕ puis la valeur de J .

Integration 51

EXERCICE .41

1. Soit n ∈ IN∗. Montrer que t 7→ 1ch nt

est integrable sur IR+. On note I(n) =∫ +∞

0

1ch nt

dt.

2. Calculer I(1) et I(2).

3. Trouver une relation de recurrence entre I(n) et I(n− 2). En deduire I(n).

4. Soient n,m ∈ IN avec 0 ≤ m < n. Montrer que t 7→ sh mt

ch ntest integrable sur IR+. On

note J(n,m) =∫ +∞

0

sh mt

ch ntdt.

5. Trouver une relation de recurrence entre J(n,m) et J(n − 2,m − 2), pour n ≥ 3, et

m ≥ 2.

6. Calculer J(n, 0), J(n, 1) et J(n, 2).

7. En deduire J(n,m), pour tout n > m ≥ 0.

EXERCICE .42 On pose, pour x ≥ −1, G(x) =∫ π/2

0

Log (1 + x sin2 t) dt.

1. Montrer que G est continue sur [−1, +∞[ et derivable sur ]− 1, +∞[.

2. Calculer G′(x) pour x ∈]− 1,+∞[.

3. En deduire la valeur de G(x), (x ≥ −1).

EXERCICE .43

I

1. Soit α ∈ IR∗+. Montrer que t 7→ tα−1e−t est integrable sur IR+. On note Γ(α) =∫ +∞

0

tα−1e−t.

2. Montrer que, pour tout α ∈ IR∗+, Γ(α + 1) = αΓ(α). Donner la valeur de Γ(n + 1),

n ∈ IN.

3. On pose

gn(t) = 1I[0,n](t)(

1− t

n

)n

, γn(α) =∫ n

0

gn(t)tα−1 dt.

– Montrer que ∀t ∈ IR+, gn(t) ≤ gn+1(t) ≤ e−t.

– En deduire que limn→∞

γn(α) = Γ(α).


4. En effectuant des integrations par parties, montrer que

γn(α) =nαn!

α(α + 1) · · · (α + n− 1)(α + n)

=e−αt(n)

α

n∏

k=1

(1 +α

k) e−

α

k

.

ou t(n) =n∑

k=1

1k− Logn.

5. Montrer qu’il existe une constante δ telle que

1Γ(α)

= limn→∞

αeαδn∏

k=1

(1 +

α

k

)e−

α

k .

6. Dans cette question on suppose que α ∈]0, 1[. Montrer que

1Γ(α)Γ(1− α)

= limn→∞

α

n∏

k=1

(1− α2

k2

).

II

1. Montrer, pour n ≥ 0, que

12i

[(1 +

iX

2n + 1

)2n+1

−(

1− iX

2n + 1

)2n+1]

= X

n∏

k=1

1− X2

(2n + 1)2 tg2 πk

2n + 1

.

2. En deduire que, pour tout x dans ]0, π[, sin x = limn→+∞

xn∏

k=1

(1− x2

π2k2

).

3. En utilisant la premiere partie, montrer que

∀α ∈]0, 1[, Γ(α)Γ(1− α) =π

sin πα.

4. Montrer en particulier que∫ +∞

−∞e−u2

du = Γ(12) =

√π.

5. On pose

an(α) = 2α α + 2n + 12n + 1

γn(α

2)γn(

1 + α

2)

γ2n(α).

Montrer que an(α) ne depend pas de α. En deduire que

Γ(α

2

)Γ

(1 + α

2

)= 21−α

√π Γ(α).

Integration 53

EXERCICE .44

I

1. Soit t ∈ IR et k ∈ IN∗. Calculern∑

k=−n

e−iπkt. Montrer que

∫ 1/2

0

sin(2n + 1)πt

sinπtdt =

∫ 1

1/2

sin(2n + 1)πt

sinπtdt =

12.

2. Soit g une fonction continue sur [a, b] de IR. Montrer que limm→∞

∫ b

a

g(t) sin mt dt = 0.

3. Soit f : [0, 1] −→ |C une fonction continue, derivable a droite en 0 et a gauche en 1. On

pose

Sn =n∑

k=−n

∫ 1

0

f(t) e−2iπkt dt.

Montrer que

Sn =∫ 1

0

f(t)sin(2n + 1)πt

sinπtdt.

En prolongeant par continuite les deux fonctions]0,

12

]−→ |C, t 7→ f(t)− f(0)

sinπtet

[12, 1

[−→ |C, t 7→ f(t)− f(1)

sin πt, calculer la limite de la suite (Sn)n∈IN∗ .

4. Soient f : IR −→ |C une fonction derivable et p ∈ IN∗. Montrer que

12f(0) + f(1) + · · ·+ f(p− 1) +

12f(p) = lim

n→∞

(n∑

k=−n

∫ p

0

f(t) e−2iπkt dt

).

II

1. On pose

α(x) =∫ x

0

cos t2 dt, β(x) =∫ x

0

sin t2 dt, γp(x) =∫ x

0

e2iπpt2 dt.

Montrer que α(x), β(x) et γp(x) admettent des limites finies lorsque x tend vers l’infini.

On note ces limites α, β et γp respectivement. Exprimer γp en fonction de α , β et p.

2. Montrer que, pour k ∈ ZZ,

∫ 1

0

e2iπp(x2−kx) dx = (−i)pk2∫ k/2

(k−2)/2

e2iπpu2du.


En deduire limn→∞

(n∑

k=−n

∫ 1

0

e2iπp(x2−kx) dx

)en fonction de α , β et p.

3. En applicant le resultat du I.4. a la fonction f : t 7→ exp(2iπt2/p), calculer la somme

de Gauss Gp =p−1∑

k=0

e2iπk2

p pour tout p ≥ 1, et determiner explicitement les valeurs des

integrales de Fresnel α et β.

EXERCICE .45 Pour α element de IR+, t element de IR, on definit l’application fα,t de

IR∗+ dans IR par:

fα,t(x) =xαe−tx

1 + x2.

I

1. Determiner l’ensemble C des couples (α, t) elements de IR+ × IR tels que x 7→ fα,t(x)

soit integrable sur IR+.

Si (α, t) ∈ C, on note φα(t) l’integrale∫ +∞

0

fα,t(x) dx, et l’on definit ainsi une

application φα d’un intervalle de IR dans IR. Par exemple φ0 est definie sur IR+.

2 a. Soit α ∈ IR+. Montrer que φα est derivable sur IR∗+ avec

∀ t ∈ IR∗+, φ′α(t) = φα+1(t)

b. Deduire de ce qui precede que φ0 est de classe C∞ sur IR∗+, et que l’on a

∀ t ∈ IR∗+, φ′′0(t) + φ0(t) =1t

(1)

3 a. Montrer pour t ∈ IR∗+, les inegalites :

∀ a ∈ IR∗+, |φ0(t)− φ0(0)| ≤ 12ta2 + Arc tg

1a

(2)

φ0(t) ≤ 1t

(3)

b. En deduire que φ0 est continue sur IR+, et que limt→∞

φ0(t) = 0.

4. Montrer que l’ensemble E des applications deux fois derivables de IR∗+ dans IR qui

verifient:

(P)

∀ t ∈ IR∗+, φ′′0(t) + φ0(t) = 1/t,

limt→∞

φ0(t) = 0.

a exactement un element.

Integration 55

II

1. Soient u, x des elements de IR∗+ tels que u < x, et v un reel. On pose

Fu,v(x) =∫ x

u

sin(t− v)t

dt.

Montrer que Fu,v(x) admet une limite finie (notee F (u, v)) quand x tend vers +∞, et

que

F (u, v) =cos (u− v)

u−

∫ +∞

u

cos (x− v)x2

dx.

2. Montrer que f : IR∗+ −→ IR definie par f(t) = F (t, t), est de classe C∞, et que

∀ t ∈ IR∗+, f ′′(t) + f(t) =1t. (4)

∀ t ∈ IR∗+, f(t) =1t−

∫ +∞

0

cosx

(t + x)2dx. (5)

limt→∞

f(t) = 0. (6)

Que peut-on en deduire ?

3. Pour x ∈ IR∗+, on pose h(x) =∫ x

0

sin t

tdt. Montrer que h(x) converge vers une limite γ

quand x tend vers l’infini. Montrer aussi que f(t) tend vers γ quand t tend vers 0+.

4. Conclure que γ = π/2. En deduire les valeurs de∫ +∞

0

sin4 x

x2dx,

∫ +∞

0

sin4 x

x4dx.

EXERCICE .46 Pour x ∈ IR+, on pose

f(x) =∫ ∞

0

e−xt2

1 + t2dt

1. Demontrer que f est definie et continue sur IR+, et que limx→∞

f(x) = 0. (On appliquera

par exemple le theoreme de convergence dominee).

2. Demontrer que f est derivable sur IR∗+ ( On appliquera le theoreme de derivation sur

des intervalles de la forme [a,+∞[ avec a > 0 ), et que l’on a

f ′(x)− f(x) +C√x

= 0, C =∫ +∞

0

e−u2du

3. Resoudre cette equation et en deduire la valeur de C.


EXERCICE .47

I

Pour n ∈ IN, on note In =π/2∫0

sinn t dt.

1. Former une relation entre In et In−2 pour n ≥ 2.

2. En deduire la valeur de I2n et de I2n+1.

3. En remarquant que ∀ n ∈ IN, I2n+2 ≤ I2n+1 ≤ I2n, etablir la formule de Wallis:

limn→∞

(2nn!)2

(2n)!√

2n=

√π

2(W )

4. Pour n ∈ IN, on note

an =n! en

nn√

net un = Log

(an+1

an

)

a. Montrer que la suite

(n∑

k=1

uk

)

n≥1

converge.

b. En deduire que la suite ann≥1 converge vers un reel ` > 0.

c. Calculer ` en utilisant le rapport a2n/a2n et (W ).

d. En deduire la formule de Stirling:

limn→∞

n!nne−n

√2πn

= 1 (S)

II

Dans cette partie on se propose de demontrer, pour tout n ∈ IN, l’inegalite suivante:

n∑

k=0

nk

k!>

en

2.

On note φ : [0, 1[−→ IR l’application definie par

φ(x) = Log1 + x

1− x− 2x

et pour n ∈ IN, fn : IR −→ IR l’application definie par fn(x) = xne−x.

1. Montrer que ∀ x ∈]0, 1[, φ(x) > 0.

2. En deduire que ∀ x ∈]0, n], fn(n + x) > fn(n− x).

3. Montrer quen∫0

fn(t) dt <2n∫n

fn(t) dt.

Integration 57

4. Montrer que

∀ x ∈ IR+

x∫

0

fn(t) dt = n!

(1− e−x

n∑

k=0

xk

k!

)

5. En deduire que pour n fixe limx→∞

x∫0

fn(t) dt = n!.

6. Etablirn∑

k=0

nk

k!>

en

2.

III

Dans cette partie on se propose de demontrer que

limn→∞

e−nn∑

k=0

nk

k!=

12.

1. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a (1− x)ex ≤ e−x2/2.

2. On note gn(x) = 1I[0,√

n](x)(1− x√

n

)nex√

n.

a. Montrer que ∀ x ∈ IR, gn(x) ≤ e−x2/2.

b. Montrer que

∀ x ∈ IR, limn→∞

gn(x) = e−x2/2.

c. Utiliser le theoreme de convergence dominee pour en deduire, que

limn→∞

∫ √n

0

(1− x√

n

)nex√

n dx =√

π

2.

0n admet le resultat connu∞∫0

e−x2/2 dx =√

π/2.

3. En deduire la limite de la suite Inn definie par In =√

n1∫0

(1− t)nent dt.

4. Montrer que

In =en

nn√

n

∫ n

0

fn(u) du

ou fn est la fonction definie dans II.

5. En utilisant II.4 et la formule de Stirling (S), deduire que

limn→∞

e−nn∑

k=0

nk

k!=

12.


EXERCICE .48 Soient (m,n) ∈ (IN∗)2, on suppose que m < n.

1. Determiner une primitive Fn,m de la fonction

fn,m(x) =x2m−1

1 + x2n

Calculer ensuite limx→+∞

Fn,m(x)− Fn,m(0).

2. En deduire que

∫ +∞

0

x2m−1

1 + x2ndx =

π

2n sin(πm/n)0 < m < n.

3. En effectuant un changement de variable convenable montrer que, pour α ∈ Q/ ∩ ]0, 1[

I(α) =∫ +∞

0

xα−1

1 + xdx =

π

sin πα.

Calculer, ensuite, I(α) pour α ∈ ]0, 1[.

4. Pour q ∈ IN∗,(m,n) ∈ (IN∗)2, avec m < n, on pose

J(n,m, q) =∫ ∞

0

tm−1

(1 + tn)qdt.

Trouver une relation simple entre J(n,m, q + 1) et J(n,m, q). En deduire J(n,m, q).

O MRANKOUBA

ETUDE METRIQUE DES COURBES

EXERCICE .1 Montrer que les deux arcs parametres definies dans le plan euclidien par

ρ = a sin 2θ (0 ≤ θ ≤ π/2);

x = 2a cos t, y = a sin t (0 ≤ t ≤ π/2);

ont la meme longueur.

EXERCICE .2 Determiner la longueur d’un arc parametre dont le support dans le plan

euclidien a pour equation:

y2(a2 − y2) = 8a2x2.

EXERCICE .3 Dans le plan euclidien, on considere l’arc de lemniscate d’equation ρ =

a√

cos 2θ (a > 0 donne, θ ∈ [0, π/4]). Soit `(u, v) la longueur de l’arc de cette courbe obtenu

pour θ ∈ [u, v], (0 ≤ u ≤ v ≤ π/4). On donne θ1, θ2 deux reels tels que 0 ≤ θ1 ≤ θ2 ≤ π/4.

Demontrer

`(0, θ1) = `(θ2, π/4) ⇐⇒ cos θ1 cos θ2 =√

2/2.

EXERCICE .4 Determiner la longueur de la courbe

f : [0, 2π] −→ IR2 : t 7→

x(t) = 3− 2 cos t− cos 2t

y(t) = 2 sin t− sin 2t

EXERCICE .5 Chercher la longueur de l’arc OM(t) ou M(t) decrit la courbe

x(t) = 2t3 + 3t2

y(t) = 3t2 + 6t

59


EXERCICE .6 Dans le plan euclidien IR2, on considere l’arc parametre

f :[0,

π

2

]−→ IR2 : t 7→

a cos t

b sin t

(a > 0, b > 0 donnes). soit t et t′ deux parametres tels que 0 < t < t′ < π/2 et tg t.tg t′ = b/a.

– Montrer que les normales aux points f(t) et f(t′) sont a la meme distance d de l’origine

O.

– Montrer que L(f |[0,t]) + L(f |[0,t′]) + d = L(f).

EXERCICE .7 On considere l’arche de cycloıde Γ :

x(t) = t− sin t

y(t) = 1− cos t(t ∈ [0, 2π])

de sommet S(π, 2). Montrer que le point I intersection de la normale en M(t) avec Ox, et le

point J intersection de la tangente avec y = 2 ont le meme abscisse. Montrer en suite que, si

S est pris comme origine des abscisses curvilignes, l’abscisse curviligne s de M et la mesure

algebrique de −−→MJ sur la tangente orientee par t, sont liees par la relation −s = 2MJ . On

suppose Γ orientee dans le sens des t croissants.

EXERCICE .8 Trouver l’equation du plan osculateur a la courbe de IR3 donnee par

x(t) = t, y(t) = t2 + a, z(t) = t3 + 3at, (a ∈ IR)

EXERCICE .9 Trouver l’equation du plan osculateur a la courbe de IR3 donnee par

x(t) = 3t, y(t) = 3t2, z(t) = 2t3

Determiner l’ensemble des points M de l’espace par les quels passent trois plans

osculateurs a la courbe ; et montrer que le plan passant par les points de contact de ces

plans avec la courbe passe par M .

Etude metrique des courbes 61

EXERCICE .10 Determiner le rayon de courbure et le centre de courbure en un point des

arcs parametres definies par

y = 1/(a + ch1x

), ρ = thθ

2, ρ =

11− θ2

x = (1 + cos2 t) sin t

y = sin2 t cos t,

x = t− sh t ch t

y = 2 ch t,

x = cos2 t + Log |t|

y = sin t cos t

EXERCICE .11 Soit (H) une hyperbole equilatere de centre O et M son point courant. On

appelle H la projection de O sur la tangente en M a (H), K le centre de courbure en M

et N le second point d’intersection de la normale en M a (H) avec (H). CalculerOH.MK

OM2

ainsi queMK

MN.

EXERCICE .12 Montrer que les centres de courbure aux points de la courbe ρ = aθ situes

sur la droite θ = π/2 et differentes de O appartiennent a deux coniques que l’on determinera.

EXERCICE .13 determiner le triedre de Frenet ainsi que la courbure et la torsion de l’arc

parametre γ dans les cas suivants :

γ : IR −→ IR3 : t 7→ (sh t, ch t, t)

γ : IR −→ IR3 : t 7→ (at2, at3,916

at4)

γ : IR −→ IR3 : t 7→ (a sin t, a cos t, bt)

γ : IR −→ IR3 : t 7→ (4a cos3 t, 4a sin3 t, 3a cos 2t)

EXERCICE .14 Chercher la developpee:

– d’une cardioıde ρ = a(1− cos θ) ;

– d’une ellipse t 7→ (a cos t, b sin t) ou (a > b) ;

– d’une parabole y2 = 2px

– d’une cissoıde droite: x = at2/(1 + t2), y = tx.

– d’une strophoıde droite: x = a(1− t2)/(1 + t2), y = tx.

EXERCICE .15 Construire les developpantes des arcs definies par:

x = 3at2

y = 2at3

x = a cos3 t

y = a sin3 t


EXERCICE .16 Le plan affine euclidien reel est rapporte au repere orthonorme direct

(O,−→i ,−→j ), on note Ox et Oy les axes de coordonnees associes. Dans la suite on suppose

a ∈ IR∗+.

On note (C) la courbe representative de la fonction f : IR −→ IR : f(x) = a ch (x/a) ;

M(x) (ou M s’il n’y a pas d’ambiguite) reptresente le point de (C) d’abscisse x ; on note

s(x) l’abscisse curviligne de M(x) sur (C), d’origine M(0), et de meme signe que x.

On definit le vecteur unitaire −→τ de la tangente oriente a (C) en M par −→τ =d−−→OM

ds; le

rayon de courbure et le centre de courbure en M a (C) sont notes R et I respctivement ; On

designe par N le point d’intersection de Ox et de la normale en M a (C), par P la projection

orthogonale de M sur Ox et par B la projection orthogonale de P sur la tangente en M a

(C).1.

– Calculer s(x) ; trouver une relation entre f(x), s(x), et a.

– Calculer ||−−→PB|| en fonction de a, et ||−−→BM || en fonction de s(x).

– Calculer l’aire du domaine plan limite par les axes Ox, Oy, la droite (MP ) et la

courbe (C) entre M(0) et M . comparer cette aire a celle du triangle PMB.

2. Montrer que les points I et N sont symetriques par rapport a M . Trouver une relation

entre −−→MN , f(x) et a.

3. Trouver une relation entre s(x), R(x) et a.

4. On considere les points variables M1(x1) et M2(x2) de (C), en lesquels les tangentes a

(C) sont perpendiculaires.

– Montrer que s(x1)s(x2) est constant et trouver sa valeur en fonction de a.

– Montrer que1

R(x1)+

1R(x2)

est constant et trouver sa valeur en fonction de a.

O MRANKOUBA

EQUATIONS DIFFERENTIELLES

EXERCICE .1 Etudier sur IR les equations differentielles suivantes:

1. (1− t2)y′ − ty = 1 ; 2. t2y′ + y = 1 ;

3. t(t2 − 1)y′ + 2y = t2 ; 4. (t2 − 1)y′ − 4ty = 1 ;

5. y′ sin3 t− 2y cos t = 0 ; 6. ty′ + 2y = t/(1 + t2) .

EXERCICE .2 Soit λ ∈ |C∗ et T un reel > 0. Montrer que l’equation differentielle lineaire

y′ + λy = ϕ, ou ϕ : IR −→ |C est une fonction donnee continue et T -periodique, possede en

general une et une seule solution T -periodique, qu’on explicitera. Que se passe-t-il dans les

cas exceptionnels ?

EXERCICE .3 Resoudre les systemes differentiels suivants:

1.

x′ = 4x− 2y

y′ = x + y; 2.

x′ = 2x + y

y′ = 3x + 4y

3.

x′ = x + 8y + et

y′ = 2x + y + e−3t; 4.

2x′ + y′ − 3x− y = t

x′ + y′ − 4x− y = et

5.

x′ = x + y − 3

y′ = −2x + 3y + 1

y(0) = x(0) = 0

; 6.

x′ = y + tg2 t− 1

y′ = −x + tg t

7.

x′ = 2y − x

y′ = 4y − 3x + e3t/(e2t + 1); 8.

x′ = y + t2

y′ = x− t2

63


EXERCICE .4 Resoudre les equations differentielles suivantes:

1. y′′ − 3y′ + 2y = sin x ; 2. y′′ − 5y′ + 4y = 4x2e2x ;

3. y′′ − 9y = e3x cosx ; 4. y′′ + 4y′ + 4y = xe2x ;

5. y′′ − 8y′ + 20y = 5xe4x sin 2x ; 6. y′′ − 2y′ + y = ex/x ;

7. y′′ + 3y′ + 2y = 1/(1 + ex ) ; 8. y′′ + y = 1/(sin x) ;

9. y′′ + 4y = 2 tg x ; 10. y′′ + 2y′ + y = 3e−x√

1 + x ;

11. y′′ + y = 2/(cos3 x) ; 12. y′′ + 2y′ + 5y = e−x(cos2 x + tg x) .

EXERCICE .5 Resoudre le probleme differentiel suivant:

y′′ − 5y′ + 4y = 32x2 + 16 cos x

y(0) = 0, y′(0) = 0.

EXERCICE .6 Soit E un espace vectoriel et u une application lineaire de E dans E telle

que pour tout x dans E il existe un entier n(x) telle que un(x) = 0 pour tout n ≥ n(x) ( un

designe l’endomorphisme obtenu en iterant n fois u: un = uu · · · u︸︷︷︸n fois

).

1. Pour x dans E on pose v(x) =n(x)∑

k=0

uk(x). Montrer que v est un endomorphisme de E.

2. Demontrer que l’endomorphisme (iE − u) admet v pour inverse.(iE etant l’identite de

E).

Dans toute la suite, on prend pour E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients

reels IR[X], et pour u l’endomorphisme definie par u(P ) = −P ′′.

3. Soit Q ∈ E donne. Montrer que l’equation

y′′(x) + y(x) = Q(x) (∗)

admet une et une seule solution polynomiale t 7→ R(t). Expliciter R en fonction de Q

et de ses derivees successives.( Utiliser 1. et 2.).

Equations Differentielles 65

4. On suppose maintenant que Q est a coefficients dans ZZ. Montrer que

a. R est a coefficients dans ZZ.

b. Si xn divise Q(x) alors n! divise R(0).

5. En utilisant la methode de variation de la constante, montrer que toute solution y de

(∗) (pas forcement polynomiale) verifie

y(π) + y(0) =∫ π

0

Q(x) sin x dx

6. On suppose que Q verifie ∀ x ∈ IR, Q(π − x) = Q(x).

a. Montrer que la solution R de (∗) definie au 3. est un polynome qui verifie

∀ x ∈ IR, R(π − x) = R(x).

b. Montrer que l’on a |R(0)| ≤ π2 .M, ou M = sup0≤x≤π/2 |Q(x)| .

7. On pose Qn(x) = xn(π − x)n. Montrer que Rn(0) 6= 0 ou Rn est la solution de (∗)definie au 3. avec Qn comme second membre.

8. On se propose de demontrer (par l’absurde) que π est irrationnel. Si l’on suppose que

π =p

q, montrer en utilisant ce qui precede que

qnRn(0)n!

est un entier non nul. Utiliser

6.b. pour obtenir une contradiction. Conclure.

O MRANKOUBA

VOCABULAIRE DES FONCTIONS, ET COMBINATOIRE

EXERCICE .1 On note P(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E. Montrer qu’il n’existe

pas d’application surjective f : E → P(E).

EXERCICE .2 Soient f : E → F , g : F → G, deux applications.

1. On suppose que gf est injective. Montrer que f est aussi injective.

2. On suppose que gf est surjective. Montrer que g est aussi sujective.

EXERCICE .3 Soient f : E → F , g : F → G, h : G → E, des applications. On suppose que

hgf et gfh sont injectives, et que fhg est surjective. Montrer que f, g, h sont bijectives.

EXERCICE .4 Calculer le nombre des lois de composition internes commutatives sur un

ensemble de cardinal n.

EXERCICE .5 On considere dans un plan, un polygone convexe de n sommets, A1, . . . , An.

En se limitant au cas le plus general, trouver le nombre des points d’intersection des segments

diagonaux.

EXERCICE .6 ∗ Calculer le nombre de fonctions croissantes de 1, . . . , p dans 1, . . . , n.

EXERCICE .7 Sur les trois axes d’un repere affine (O, i, j, k), on considere les points A,B, C

tels que OA = n i, OB = n j, OC = nk, (n ∈ IN). Calculer le nombre des points a

coordonnees entieres interieures au tetraedre OABC.

67

68 Exercices d’Algbre

EXERCICE .8 Soit A un ensemble fini de cardinal n. R une relation d’equivalence ayant k

classes d’equivalence. m est le cardinal de graphe de R. Montrer que n2 ≤ km.

EXERCICE .9 Soit A l’ensemble 1, . . . , n. On note P(A) l’ensemble des parties de A.

Calculer les sommes suivantes :∑

X∈P(A)

Card (X)

∑

(X,Y )∈P(A)×P(A)

Card (X ∩ Y )

∑

(X,Y )∈P(A)×P(A)

Card (X ∪ Y )

O MRANKOUBA

GROUPES ET GROUPES FINIS

EXERCICE .1 Soient (G, ∗) un groupe, et φ : G → E une bijection. On definit, pour

x, y ∈ E

x>y = φ(φ−1(x) ∗ φ−1(y))

Montrer que (E,>) est un groupe isomorphe a (G, ∗).

Application: φ : IR → IR : x 7→ x3, et ψ : (IR∗, ·) → IR \ 1 : x 7→ 1− x.

EXERCICE .2 Sur l’ensemble P(E) des parties d’un ensemble E, on considere la loi

A>B = (A ∪ (E \B)) ∩ (B ∪ (E \A)).

Montrer que (P(E),>) est un groupe abelien.

EXERCICE .3 Soit G un groupe. On suppose qu’il existe k ∈ IN∗ tel que ∀ a ∈ G, ∀ b ∈

G, ∀ j ∈ k − 1, k, k + 1, (ab)j = ajbj . Montrer que G est abelien.

EXERCICE .4 Soit G un ensemble avec une loi de composition interne ∗ telle que

1. ∗ est associative.

2. ∃ e ∈ G : ∀x ∈ G, x ∗ e = x.

3. ∀x ∈ G, ∃x′ ∈ G : x ∗ x′ = e.

Montrer que G est un groupe ( Si z = x′ ∗ x calculer z ∗ z).

EXERCICE .5 Soit (G, ·) un groupe fini d’ordre impaire. Montrer que l’application

ϕ : G −→ G : x 7→ x2

est surjective, en deduire qu’elle est bijective.

69


EXERCICE .6 On definit, dans IR2, la loi de composition interne, notee ∗, par

∀ (x, y, x′, y′) ∈ IR4, (x, y) ∗ (x′, y′) = (xx′, xy′ + y)

1. Montrer que ∗ est associative, et qu’elle admet un element neutre.

2. Determiner l’ensemble L des elements de IR2 symetrisables pour la loi ∗. Quelle est la

structure de (L, ∗) ?

3. Soit (x0, y0) ∈ IR2. Montrer que l’ensemble G des elements de L qui commutent avec

(x0, y0) est un sous-groupe de (L, ∗).

EXERCICE .7 Soit (B, ) le groupe des bijections de |C dans |C, et n un entier superieure

ou egal a 3. On designe par r et s les deux elements de B definis par

∀ z ∈ |C r(z) = z.e2iπ/n, s(z) = z

1. Montrer que rn = e = id |C, s2 = e, rsr = s et ∀ p ∈ ZZ, rps = sr−p.

2. Demontrer que D = rhsk | (h, k) ∈ ZZ2 est un sous-groupe de B. En deduire que

∀ f ∈ D, ∃! (h, k) ∈ 0, 1, · · · , n− 1 × 0, 1 : f = rhsk

3. Quel est l’ordre de D ?

EXERCICE .8 Soit (G, +) un groupe commutatif, H un sous ensemble non vide de G qui

verifie

∀ (x, y) ∈ H2, x + y ∈ H

1. Montrer que H∗ = x− y | (x, y) ∈ H2 est un sous groupe de G.

2. Montrer que si G est fini, H est un sous-groupe de G.

EXERCICE .9 Montrer que les groupes (IR∗, ·) et (Q/∗, ·) ne sont pas isomorphes.

EXERCICE .10 Soit H un sous groupe de ZZ2 = ZZ × ZZ. Montrer qu’il existe a ∈ ZZ2 et

b ∈ ZZ2 tels que

H = na + mb ∈ ZZ2 : n ∈ ZZ, et m ∈ ZZ.

Groupes et Groupes finis 71

EXERCICE .11 Soit G un groupe fini. On suppose que ∀ a ∈ G, a2 = e (l’element neutre).

1. Monrer que G est abelien.

2. Montrer qu’il existe p ∈ IN tel que G soit isomorphe a (ZZ/2ZZ)p.

EXERCICE .12 Montrer que tout groupe d’ordre premier est isomorphe a (ZZ/pZZ, +).

EXERCICE .13 Soit (G, .) un groupe fini d’ordre n. Montrer que ∀ x ∈ G xn = e.

EXERCICE .14 Soient g1, g2 deux elements d’un groupe G. Montrer que ord(g1g2) =

ord(g2g1).

EXERCICE .15 Soit g un element d’un groupe G. On suppose que ord(g) = n < ∞.

Montrer que pour tout m ∈ IN∗ l’ordre de gm est n/PGCD(n,m).

EXERCICE .16 Soit g1, g2 deux elements d’un groupe G. On suppose que ord(g1)= n1 < ∞

et que ord(g2)= n2 < ∞. Montrer que si PGCD (n1, n2) = 1 et si g1 et g2 commutent alors

ord(g1g2)= n1n2.

EXERCICE .17 Soit g un element d’un groupe G d’ordre n1n2, avec PGCD (n1, n2) = 1.

Montrer qu’il existe g1 et g2 dans G tels que g = g1g2 = g2g1 et ord(g1)= n1, ord(g2)= n2.

EXERCICE .18 Montrer que tout sous groupe d’un groupe cyclique est cyclique.

O MRANKOUBA

ANNEAUX, L’ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS ZZ

EXERCICE .1 Soit A un anneau tel que pour tout a, b ∈ A l’on a (ab)2 = a2b2. Montrer

que A est commutatif.

EXERCICE .2 Montrer que ∀ n ∈ ZZ, PGCD(15n2 + 8n + 6, 30n2 + 21n + 13) = 1

EXERCICE .3 On definit les entiers an, bn par an +√

2bn = (1 +√

2)n pour tout n ∈ ZZ.

Montrer que ∀ n, PGCD(an, bn) = 1.

EXERCICE .4 Soient a, b, c ∈ IN∗, on pose d = PGCD(b, c). Montrer que

PGCD(ab − 1, ac − 1) = ad − 1

Montrer aussi que

(ac − 1)(ab − 1) (ad − 1)(am − 1)

Ou m = PPCM(b, c).

EXERCICE .5 Montrer que ∀ n ∈ IN 7 222n − 2 et 7 222n+1 − 4. En deduire que

∀ n ∈ IN 7 422n

+ 222n

+ 1.

EXERCICE .6 Montrer que ∀ n ∈ IN 9 22n + 6n− 1.

EXERCICE .7 Montrer que pour tout n ∈ IN, 121 ne divise pas n2 + 3n + 5.

EXERCICE .8 Soient n, p, q ∈ ZZ, avec p un nombre premier. Montrer que

p2 | n2 + (p− 2q)n + q2 =⇒ p | q.

(Noter que n2 + (p− 2q)n + q2 = (n− q)(n + p− q) + pq).

73


EXERCICE .9 Montrer que PGCD(n3 + n, 2n + 1) = 1 ⇐⇒ n− 2 6∈ 5ZZ.

EXERCICE .10 Determiner les entiers n tels que n + 1 n2 + 1.

EXERCICE .11 Determiner les entiers n tels que n− 3 n3 − 3.

EXERCICE .12 Montrer que 7 a2 + b2 =⇒ 7 a et 7 b

EXERCICE .13 Montrer que ∀ k ∈ IN 3k+1 23k

+ 1

EXERCICE .14 Montrer que ∀ a, b ∈ IN, avec a > b,a2 + b2

a2 − b26∈ IN.

EXERCICE .15 Calculer PGCD(2599, 1921, 1242).

EXERCICE .16 On considere les deux nombres b = 60809 et a = 58483.

i. Calculer le PGCD de a et b. On note d =PGCD(b, a).

ii. Trouver s, t ∈ IN tels que sb− ta = d.

EXERCICE .17 Pour n ∈ IN, on definit Fn = 22n

+ 1.

i. Montrer que si m > n alors 22n+1 − 1 Fm − 2. En deduire que Fn Fm − 2.

ii. Montrer que si m 6= n alors PGCD(Fn, Fm) = 1.

iii. Deduire de ce qui precede qu’il y a une infinite de nombres premiers.

EXERCICE .18 Trouver une factorisation de 46127 en produit de nombres premier. On

pourra commencer par chercher b et a tels que 46127 = b2 − a2.

EXERCICE .19 Determiner le plus petit entier positif n tel que n/2 soit un carre, n/3 soit

un cube, et n/5 soit une puissance cinquieme.

EXERCICE .20 Soient p un nombre premier different de 2, a un entier plus grand que 2.

Montrer que si p | a + 1, alors pk+1 | apk

+ 1.

Anneaux, L’ensemble des entiers relatifs ZZ 75

EXERCICE .21 On considere la suite de nombres entiers Unn≥0 definie par

U0 = 0, U1 = 1, Un+2 = Un+1 + Un

i. Montrer que ∀ n ∈ IN PGCD(Un+1, Un) = 1.

ii. Montrer que ∀ (n, p) ∈ IN∗×IN∗, Un+p−1 = Un−1Up−1+UnUp.( On pourra raisonner

par recurrence sur p).

iii. Soient a, b, c ∈ IN∗. Montrer que si a et c sont premiers entre eux, alors PGCD(bc, a) =

PGCD(b, a).

iv. Deduire de ce qui precede que ∀ n ≥ 0, ∀ q > 0, ∀ r ≥ 0 on a

PGCD(Uqn+r, Un) = PGCD(U(q−1)n+r, Un).

puis que

PGCD(Uqn+r, Un) = PGCD(Un, Ur).

v. Soit m,n ∈ IN, et d = PGCD(m,n). Montrer que PGCD(Um, Un) = Ud.

EXERCICE .22 Trouver le reste de la division euclidienne de a par b dans les cas suivants

a 56 58 (1945)8 510 512 (1945)12 (2001)2001 7355 7355

b 7 7 7 11 11 11 26 10 100

EXERCICE .23 Montrer que10∑

k=1

1010k

= 5 mod 7.

EXERCICE .24 Si ord (a) = 3 dans (ZZ/pZZ)∗, alors ord (a + 1) = 6 dans (ZZ/pZZ)∗.

EXERCICE .25 Soit Un le groupe des elements inversibles de ZZ/2nZZ, (n ≥ 3). Montrer

que

a. Card (Un))=2n−1.

b. 52n−3= 2n−1 + 1 ( mod 2n).

c. 5 d’ordre 2n−2 dans Un.

d. x ∈ Un ⇐⇒ (x = 5k) ou (x = −5k), 0 ≤ k < 2n−2.

e. Un est isomorphe a ZZ/2ZZ× ZZ/2n−2ZZ.


EXERCICE .26 Montrer que si (a, b, c) ∈ ZZ3

a3 + b3 + c3 = 0 mod 7 =⇒ abc = 0 mod 7

EXERCICE .27 Resoudre

¦ 91x = 84 mod 143

¦ 91x = 84 mod 147

¦

x = 2 mod 12x = 3 mod 13x = 5 mod 7

¦

3x = 2 mod 55x = 2 mod 1217x = 8 mod 19

EXERCICE .28 Soient n ∈ IN∗, et a un entier positif plus grand que 2. Montrer que

n |φ(an − 1).

EXERCICE .29 Soit m ∈ IN∗. Montrer que

(m− 1)! = −1 mod m ⇐⇒ m est premier.

EXERCICE .30 Soit p un nombre premier different de 2. Montrer que

p ∈ 1 + 4ZZ ⇐⇒ ∃n ∈ IN, tel que p |n2 + 1.

EXERCICE .31

1. Soient p, q deux nombres premiers impairs. Montrer que si q | ap − 1 alors q | a − 1 ou

q = 2kp + 1.

2. Montrer que 217 − 1 est premier et que 229 − 1 ne l’est pas.

O MRANKOUBA

LE GROUPE SYMETRIQUE Sn

EXERCICE .1 Montrer que si n ≥ 2 alors les transpositions (1, i) : i = 2, · · · , n engendrent Sn.

EXERCICE .2 Montrer que si n ≥ 2 alors les transpositions (i, i+1) : i = 1, · · · , n−1 engendrent Sn.

EXERCICE .3 Montrer que si n ≥ 2 alors Sn est engendre par

τ = (1, 2), et cn =(

1 2 · · · n− 1 n2 3 · · · n 1

).

EXERCICE .4 Trouver les permutations σ ∈ Sn qui sont permutables avec cn =

(1, 2, · · · , n) ∈ Sn, (i.e. qui verifient σcn = cnσ).

EXERCICE .5 Soit s ∈ S10 la permutation uv, ou

u = (1, 2, 3, 4, 5), v = (6, 7, 8, 9, 10).

Montrer que σ ∈ S10 : σs = sσ est un sous-groupe d’ordre 50 de S10. Pouvez vous

generaliser ce resultat.

EXERCICE .6 Soit n ≥ 3. On se propose de demontrer que les 3-cycles engendrent le

groupe alterne An.

1. Soient a, b, c, d ∈ 1, 2, · · · , n calculer (a, b)(c, d), en distinguant les differents cas.

2. Montrer que toute permutation paire peut se mettre sous la forme d’un produit de

3-cycles. Conclure.

EXERCICE .7 Soit σ = (a1, a2, · · · , ak) un k-cycle de Sn, et u ∈ Sn. Montrer que

uσu−1 = (u(a1), u(a2), · · · , u(ak)). En deduire que si n ≥ 5, pour tout σ, σ′ deux 3-cycles,

il existe u ∈ An tel que σ′ = uσu−1.

77


EXERCICE .8 Montrer que dans Sn tout k-cycle est produit d’au moins k−1 transpositions.

EXERCICE .9 Montrer que tout groupe fini d’ordre n est isomorphe a un sous groupe de

Sn.

O MRANKOUBA

LES NOMBRES COMPLEXES

EXERCICE .1 Soient P = z ∈ |C | Im (z) > 0 et D = z ∈ |C | |z| < 1 . Montrer que

f : z 7→ z − i

z + iest une bijection de P sur D.

EXERCICE .2 Soit a ∈ |C tel que |a| < 1 determiner le transforme du cercle centre en 0 et

de rayon 1, U = z ∈ |C | |z| = 1 , par l’application ϕa : z 7→ z − a

1− az.

EXERCICE .3 Montrer:

∀ (z1, z2) ∈ |C∗ × |C, (|z1 + z2| = |z1 − z2| ⇐⇒ (∃λ ∈ IR, z2 = iλz1))

EXERCICE .4 Soit (a, b) ∈ |C2 tel que |a| = |b| = 1, a 6= b. Montrer

∀ z ∈ |C,z + abz − (a + b)

a− b∈ iIR

EXERCICE .5 Montrer:

∀x ∈ |C \ [−1,+1], ∃! z ∈ |C,

x = (z + 1/z)/2

|z| > 1

EXERCICE .6 Calculer∑

0≤2k≤n

(−1)k3kC2kn , pour n ∈ IN.

EXERCICE .7 Calculer les sommesp∑

k=1

cos(2k − 1)θ et 1 + 2p∑

k=1

cos 2kθ.

EXERCICE .8 Montrer ∀n ∈ IN∗,n∑

k=1

|cos k| ≥ n

4.

EXERCICE .9 Donner une expression simple, pour p ∈ IN∗ et 2n > p, de

2n−1∑q=0

cos2p(x +qπ

2n).

79


EXERCICE .10 Exprimer sous forme simple, pour x ∈ IR, et n ∈ IN∗, les sommes suivantes:

Un(x) =n∑

k=0

Ckn cos kx, et Vn(x) =

n∑

k=0

Ckn sin kx.

EXERCICE .11 Donner une expression simple des sommes

Sn =n∑

k=0

cos3 kx, Tn = 1 +n−1∑

k=1

cos kx

cosk x.

EXERCICE .12 Pour x ∈ IR, n ∈ IN∗, et p ∈ IN∗, trouver une methode permettant de

calculer simplement les sommes:

Sn,p(x) =n∑

k=0

kp cos kx, Tn,p(x) =n∑

k=0

kp sin kx.

Application p = 2, p = 3.

EXERCICE .13 Exprimer simplement Sn =n∑

k=1

1cos kx cos(k + 1)x

.

EXERCICE .14 Calculer simplement

n−1∑

k=0

3k sin3(α

3k+1),

n∑

k=0

12k

tg(α

2k).

EXERCICE .15 Calculer sous forme algebrique les racines cubiques de1 + i√

2.

EXERCICE .16 Montrer que sinπ

5=

√5−√5

8.

EXERCICE .17 Pour n ∈ IN∗, on pose ω = exp(2πi

n). Calculer, pour tout k ∈ ZZ, la somme

n−1∑p=0

ωkp. Si, d’autre part, S =n−1∑p=0

ωp2, calculer |S|2.

EXERCICE .18 Resoudre le systeme a deux inconnues reelles

x6 − 15x4y2 + 15x2y4 − y6 = 1

3x4 − 10x2y2 + 3y4 = 0

Les nombres complexes 81

EXERCICE .19 Montrer

– ∀ (a, b) ∈ |C2, |ab| ≤∣∣∣∣a + b

2

∣∣∣∣2

+∣∣∣∣a− b

2

∣∣∣∣2

.

– ∀ (a, b) ∈ |C2, |a|+ |b| ≤ |a + b|+ |a− b|, et etudier les cas d’egalite.

EXERCICE .20 Soient n ∈ IN∗, (z1, . . . , zn) ∈ |Cn ; montrer

∣∣∣∣∣n∑

k=1

zk

∣∣∣∣∣

1 +

∣∣∣∣∣n∑

k=1

zk

∣∣∣∣∣

≤n∑

k=1

|zk|1 + |zk| .

EXERCICE .21 Soient a, b, c ∈ |C. Montrer qu’une condition necessaire et suffisante pour

que les points d’affixes a, b, c forment un triangle equilatere est que

(a + b + c

3

)2

=a2 + b2 + c2

3.

EXERCICE .22 Determiner la figure geometrique formee par les points d’affixes a, b, c, d

tels que a + c = b + d, a− c = i(b− d), en deduire qu’il existe z ∈ |C tel que

(z − a)4 = (z − b)4 = (z − c)4 = (z − d)4.

EXERCICE .23 Soit ABC un triangle, et soient A′, B′, C ′ trois points tels que les triangles

ACB′, BAC ′, CBA′ soient equilateres. Montrer que le triangle forme par les barycentres

des triangles ACB′, BAC ′, CBA′ est equilatere.

EXERCICE .24 Soit l’equation z3 + pz + q = 0, avec p, q ∈ IR. Trouver une condition

necessaire et suffisante pour que cette equation ait une racine de module 1.

EXERCICE .25 Trouver la condition necessaire et suffisante que doivent verifier p et q,

pour que les images des trois racines de l’equation z3 + pz + q = 0 forment un triangle

rectangle isocele. Resoudre z3 + 12iz − 40(1− i) = 0.


EXERCICE .26 Soient A(1, 0), B(−1, 0) et M d’affixe z ∈ |C. On construit, a l’exterieur

du triangle ABM , trois triangles rectangles isoceles AMP , ABC, BMQ d’hypotenuses

AM , AB, BM , et on note G(M) le centre de gravite du triangle CPQ. Reconnaıtre la

transformation geometrique M 7→ G(M) et en preciser les elements caracteristiques.

EXERCICE .27 Soit b, c ∈ ZZ tels que b2 − 4c < 0. Considerons α l’une des racines de

l’equation z2 − bz + c = 0. On pose ZZ[α] =p + qα ∈ |C : (p, q) ∈ ZZ2

.

i. Montrer que ZZ[α] est un sous-anneaux de |C. Est-ce que α appartient a ZZ[α].

ii. Soit N : ZZ[α] −→ |C, definie par

N(p + qα) = (p + qα)(p + qα).

Montrer que ∀ x ∈ ZZ[α], N(x) ∈ IN, et que ∀ x, y ∈ ZZ[α], N(xy) = N(x)N(y).

iii. Soit U(ZZ[α]) le groupe des elements inversibles de ZZ[α].

a. Determiner N(U(ZZ[α])).

b. En deduire que p + qα ∈ U(ZZ[α]) =⇒ q2(4c− b2) ≤ 4.

c. Montrer que si 4c− b2 6∈ 3, 4, alors U(ZZ[α]) = +1,−1.d. Expliciter les elements de U(ZZ[α]) dans les cas 4c− b2 = 3 et 4c− b2 = 4.

O MRANKOUBA

LES POLYNOMES

EXERCICE .1 Montrer quen∑

k=0

(Ckn)2 = Cn

2n. (On pourra ecrire de deux manieres le

polynome : (X + 1)2n.).

EXERCICE .2 Effectuer la division euclidienne de A par B dans les cas suivants:

A = X4 + 3X2 + X + 1 ; B = 2X2 + X + 1A = Xn sin φ−X sin nφ + sin(n− 1)φ ; B = X2 − 2X cos φ + 1A = X2n − 2Xn cosnφ + 1 ; B = X2 − 2X cos φ + 1

EXERCICE .3 Calculer le PGCD de A et B dans les cas suivants:

A = 2X4 + 11X3 + 10X2 − 5X − 3 ; B = 2X3 + 5X2 + 5X + 3A = X5 − 2X4 + 2X3 − 3X2 + 2 ; B = X4 − 2X3 + 7X2 − 4X + 10

EXERCICE .4 Determiner les restes de la division euclidienne de (X − 3)2n +(X − 2)n− 2

par:a) (X − 3)(X − 2); b) (X − 3)3;c) (X − 2)2; d) (X − 3)2(X − 2)2.

EXERCICE .5 Pour quelles valeurs de n le polynome P (X) = (Xn +1)n−Xn est divisible

par X2 + X + 1.

EXERCICE .6 Pour quelles valeurs de n le polynome P (X) = (X + 1)n − Xn − 1 est

divisible par (X2 + X + 1)2.

EXERCICE .7 Montrer que pour tout P ∈ K[X] le polynome P (X)−X divise P (P (X))−X.

EXERCICE .8 Soient α, β, γ ∈ IN. Montrer que

P (X) = (1 + X)6α+1 − (1 + X)6β+2 + (1 + X)6γ+3

est divisible par Q(X) = 1 + X + X2.

83


EXERCICE .9 Exhiber deux polynomes. U et V de IR[X], verifiant deg U < n, deg V < m

et

XmU(X) + (1−X)nV (X) = 1

Montrer qu’il existe deux reels α, β:

(1−X)V ′(X)− nV (X) = αXm−1 et XU ′(X) + mU(X) = β(1−X)n−1.

EXERCICE .10 Soient α 6= β deux reels. Exhiber deux polynomes U et V de IR[X] de

degre au plus egale a 2n− 1 et tels que (X − α)2nU(X) + (X − β)2nV (X) = 1. (On pourra

developper (X − α−X + β)4n−1).

EXERCICE .11 Factoriser (X + i)n − (X − i)n. En deduire une expression de

m∏

k=1

(4 + cotg2 kπ

2m + 1)

EXERCICE .12 Montrer que, si α 6= 0,

X2n − 2Xn cosnα + 1 =n−1∏

k=0

(X2 − 2X cos(α +

2kπ

n) + 1

).

En deduire une expression simple de la quantite

n−1∏

k=0

(cos θ − cos(α +

2kπ

n))

.

EXERCICE .13 Resoudre l’equation: (z + 1)n = cos 2na + i sin 2na (a reel donne, n entier

donne) d’inconnue z ∈ |C. En deduire une expression simple de

Pn(a) =n−1∏

k=0

sin(

a +kπ

n

).

Les polynomes 85

EXERCICE .14 Montrer, pour n ≥ 0,

12i

[(1 +

iX

2n + 1

)2n+1

−(

1− iX

2n + 1

)2n+1]

= X

n∏

k=0

(1− X2

(2n + 1)2 tg2 πk2n+1

)(∗)

En deduire que, pour tout x dans IR, sin x = limn→+∞

xn∏

k=1

(1− x2

π2k2

).

Utiliser (∗) pour calculer aussi

n∑

k=1

cotg2 πk

2n + 1;

n∑

k=1

sin−2 πk

2n + 1

En deduire la valeur de limn→+∞

n∑

k=1

1k2

.

EXERCICE .15 Soient m, n ∈ IN∗, on pose δ = PGCD(n,m), et µ = PPCM(n,m). Montrer

que PGCD(Xn − an, Xm − am) = Xδ − aδ. En deduire que (Xm − am)(Xn − an) divise

(Xδ − aδ)(Xµ − aµ).

EXERCICE .16 Montrer que dans Q/ [X], il n’existe qu’un polynome Pn tel que Pn − P ′n =

Xn.

EXERCICE .17 Soit α =1 + i

√7

2, et soit P le polynome de |C[X] defini par

P (X) = X3 + αX2 − αX − 1

1. Montrer que P (X) divise P (X2).

2. Soit a une racine de P dans |C. Montrer que pour tout n ∈ IN, a2n

est une racine de P .

3. En deduire que toutes les racines de P dans |C sont de module 1.

4. Soit a une racine de P dans |C. Montrer que (a, a2, a4) est un systeme de racines de P .

Montrer que a8 = a.

5. Soit (x1, x2, x3) un systeme de racines de P , et soit ω = e2πi/7. Montrer que l’ensemble

x1, x2, x3 est egale soit a ω, ω2, ω4, soit a ω3, ω5, ω6. A quoi est egale la partie

imaginaire de x1 + x2 + x3 ?

6. Quelles sont les racines de P , et leurs ordres de multiplicite respectifs ?


EXERCICE .18 Soit ZZ[X] le sous-anneau de Q/ [X] forme des polynomes a coefficients dans

ZZ. Si P =n∑

k=0

akXk ∈ ZZ[X], on note C(P ) = PGCD(a0, a1, · · · , an) et on appelle cette

quantite le contenue de P . On dit qu’un polynome P ∈ ZZ[X] est primitif si C(P ) = 1.

1. Montrer que le produit de deux polynomes primitifs de ZZ[X] est aussi un polynome

primitif.

2. Montrer que, ∀ P, Q ∈ ZZ[X], C(P )C(Q) = C(PQ).

3. Soit P un polynome primitif de ZZ[X]. Montrer que P est irreductible dans Q/ [X] si et

seulement s’il est irreductible dans ZZ[X]. (i.e. il n’est pas egale au produit de deux

polynomes de ZZ[X] de degres respectifs strictement inferieurs a celui de P ).

EXERCICE .19 Montrer que le polynome P (X) = X3 +3X−1 est irreductible dans Q/ [X].

EXERCICE .20 Factoriser dans Q/ [X] le polynome P (X) = X5 + X + 1.

EXERCICE .21 Trouver les triplets (P,Q,R) de |C[X] × |C[X] × |C[X] qui verifient

P 2 + Q2 = R2.

EXERCICE .22 Determiner P ∈ Q/ [X] de degre n, sachant que (X−1)p divise P (X)+a et

(X + 1)q divise P (X)− a, ou p, q ∈ IN∗ et verifient p + q = 1 + n. Application: Determiner

P lorsque n = 7 et p = q = 4.

EXERCICE .23 (Polynomes de Tchebychev).

1. Montrer qu’il existe un unique polynome Tn de degre n ∈ IN tel que Tn(cos θ) = cosnθ

pour tout θ ∈ IR. Quel est le coefficient de Xn dans Tn. On definit aussi Un =1

n + 1T ′n+1. Quelle est la valeur de Un(cos θ) en fonction de θ.

2. Determiner les zeros de Tn et de Un. Montrer en pariculier qu’ils sont tous dans ]−1, 1[.

3. Demontrer les relations suivantes, pour tout n ≥ 1:

Tn+1(X) =XTn(X)− (1−X2)Un−1(X)

Un(X) =XUn−1(X) + Tn(X)

Les polynomes 87

4. Montrer que les polynomes Tn et Un verifient les equations differentielles suivantes:

(1− x2)T ′′n (x)− xT ′n(x) + n2Tn(x) = 0.

(1− x2)U ′′n (x)− 3xU ′

n(x) + n(n + 2)Un(x) = 0.

En deduire le calcul des coefficients de Tn.

5. Montrer que les polynomes Tn et Un verifient les relations de recurence suivantes:

Tn+1(x) = 2xTn(x) + Tn−1(x) avec T0(x) = 1, T1(x) = x.

Un+1(x) = 2xUn(x) + Un−1(x) avec U0(x) = 1, U1(x) = 2x.

6. On pose Vn(x) =dn

dxn

((1− x2)n−1/2

). Montrer

nVn(x) = (2n + 1)[(1− x2)V ′n(x)− (n + 1)xVn(x)].

On pose Wn(x) = λn

√1− x2Vn(x). Montrer que l’on peut choisir λn pour que Wn = Tn.

En deduire une nouvelle expression de Tn.

∗7. Soit f une fonction de classe Cn sur [−1, 1]. Montrer en effectuant des integrations par

parties successives que

∫ 1

−1

Tn(x)√1− x2

f(x) dx =∫ 1

−1

(1− x2)n

√1− x2

f (n)(x) dx.

En deduire que pour tout n ≥ 1, on a

∫ π

0

f(cos θ) cos nθ dθ =2n n!(2n)!

∫ π

0

f (n)(cos θ) sin2n θ dθ.

Etudier le cas f = Tm.

EXERCICE .24 Dans |C l’equation x3 + px + q = 0 (q 6= 0) admet trois racines a, b, c.

1. Quel est le nombre des valeurs prises par la sommea

b+

b

c+

c

a?

2. Former l’equation algebrique admettant ces valeurs pour racines.


EXERCICE .25 Soit le polynome x3 + px + q = 0 (q 6= 0) de |C[X], de racines a, b, c.

Calculera2 + b2

c2+

b2 + c2

a2+

c2 + a2

b2.

EXERCICE .26 Determiner le nombre complexe λ de telle sorte que l’equation

Z4 − 2Z2 + λZ + 3

ait deux racines dont le produit soit 1. Resoudre alors cette equation.

O MRANKOUBA

FRACTIONS RATIONNELLES

EXERCICE .1 Decomposer en elements simples dans |C(X) les fractions rationnelles

suivantes (n et m sont des entiers naturels non nuls):

1(X2 − 1)2

;1

(X − 2)2(X − 3)3;

1(X − a)n(X − b)m

;X2n

(X2 + 1)n;

1(X − 1)(X − 2) · · · (X − n)

;1

(X + 1)7 −X7 − 1;

EXERCICE .2 Decomposer en elements simples dans IR(X) les fractions rationnelles

suivantes (n est un entier naturel non nul):

X2

X4 − 2 cos(α)X2 + 1, (α ∈ IR);

1X8 + X4 + 1

;

X2 −X + 4(X − 1)4(X2 + X + 1)2

;1

(X3 − 1)3;

1(X4 − 1)2

;1

(X2 − 1)n;

X6 −X2 + 1(X − 1)3

;X7 + 5

(X2 + X + 1)2(X + 2)3;

X5 + 64(X2 + 2X + 4)3

;1X

+1!

X(X + 1)+ · · ·+ n!

X(X + 1) · · · (X + n);

EXERCICE .3 Calculer les derivees n-iemes des fractions rationnelles suivantes de |C(X):

1X(X + 1) · · · (X + m)

;1

X2 − 2 cos(α)X + 1;

1X2 − 2sh (α)X − 1

89


EXERCICE .4 Simplifier les sommes de fractions rationnelles suivantes:

1.n∑

k=0

1(X + k)(X + k + 1)

;

2.n∑

k=0

1(X + k)(X + k + 1)(X + k + 2)

;

3.n∑

k=0

2k

(X + 2k)(X + 2k+1).

EXERCICE .5 Decomposer en elements simples dans IR(X) la fraction rationnelle

F (X) =X3 + 2X + 1

(X − 1)2(X2 + 1)4

EXERCICE .6 Soit f :]− 1,+1[−→ IR la fonction definie par

f(x) = Arc tg(

1− x

1 + x

)2

1. Montrer qu’il existe une fraction rationnelle F (X) ∈ IR(X) telle que f ′(t) = F (t) pour

tout t ∈]− 1,+1[. Decomposer F (X) en elements simples dans IR(X).

2. Deduire de ce qui precede qu’il existe α, β ∈ IR tels que

∀ x ∈]− 1, +1[, f(x) =π

4+ Arc tgαx + Arc tg βx

3. Donner un developpement limite a l’ordre n de la fonction f au voisinage de 0.

4. Reprendre l’etude precedente pour la fonction g :]− 1, +1[−→ IR definie par

g(x) = Arc tg(

1− x

1 + x

)m

(m ∈ IN \ 0, 1, 2).

EXERCICE .7 Pour tout k ∈ ZZ, on pose αk = exp(

2iπk

n

).

1. Verifier:n∑

k=1

1X − αk

=nXn−1

Xn − 1,

n∑

k=1

αk

X − αk=

n

Xn − 1.

2. Simplifier: F (X) =n∑

k=1

X3

(X − αk)2, G(X) =

n∑

k=1

X2 − αk−2X + αk+2

(X − αk)2.

EXERCICE .8 Soit n ∈ IN∗. Il existe F ∈ IR(X) telle que:

∀ϕ ∈ IR, th nϕ = F ( th ϕ).

Decomposer en elements simples la fraction rationnelle F .

O MRANKOUBA

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES

EXERCICE .1 Soit E = IR[X] l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels. On

considere une suite de polynomes Pnn≥0 de degres deux a deux distincts. Montrer que la

suite Pnn≥0 est libre.

EXERCICE .2 Dans l’espace vectoriel des application continues de ]0, 1[ 7→ IR. Etudier la

dependance lineaire du systeme f, ff, fff ou f = log (1 + x).

EXERCICE .3 Dans l’espace vectoriel des application continues de IR 7→ IR. Etudier la

dependance lineaire de la famille fαα∈IR ou fα(x) = |x− α|.

EXERCICE .4 Dans l’espace vectoriel des application continues de IR 7→ IR. Etudier

la dependance lineaire de la famille fαα∈IR+ ou fα(x) = cos αx. ( On pourra calculer

limT→+∞

1T

∫ T

0

cos αx cosβx dx).

EXERCICE .5 Soient α1, α2, . . . , αn des reels, non nuls, et soit (λ0, λ1, . . . , λn) un element

de IRn+1 distinct de (0, 0, . . . , 0). Par recurrence sur n, montrer que, dans l’ensemble IR+∗ ,

la fonction x 7→ λ0 + λ1xα1 + · · ·+ λnxαn ne s’annule qu’en un nombre fini de points.

Soit alors un ensemble A et f une application de A dans IR+∗ , telle que f(A) soit

une partie infinie de IR+∗ . Montrer que la famille fαα∈IR est libre dans F(A, IR), l’espace

vectoriel des applications de A dans IR.

EXERCICE .6 Soit E un espace vectoriel reel de dimension n. Soit f ∈ L(E), et x0 ∈ E\0.On suppose que fk(x0)k=1,2,...,n forme une base de E. Montrer que f est bijective et qu’il

existe (a1, a2, . . . , an) ∈ IRn tel que fn + anfn−1 + · · ·+ a1I = 0.

EXERCICE .7 Soit E un K-espace vectoriel et p un projecteur de E. Montrer qu’un

endomorphisme u de E commute avec p si et seulement si Ker (p) et Im (p) sont stables par

u.

91


EXERCICE .8 Soit E un IR-espace vectoriel et p et q deux projecteurs de E.

1. Montrer qu’une condition necessaire et suffisante pour que p + q soit un projecteur est

que pq + qp = 0 ce qui est encore equivalent a pq = qp = 0.

2. L’endomorphisme p + q etant un projecteur, montrer que

Im (p + q) = Im (p)⊕ Im (q)

Determiner Ker (p + q).

EXERCICE .9 Soient u un endomorphisme de |Cm tel que un = I |Cm , E un sous-espace de

|Cm stable par u, p une projection de |Cm sur E. On pose

q =1n

n−1∑

k=0

ukpun−k.

Montrer que q est un projecteur et que Ker (q) est supplementaire de E stable par u.

EXERCICE .10 Soient E et F des K-espaces vectoriels de dimension finie, V (resp. W ) un

sous espace de E (resp. F ). On considere l’espace

LV,W (E, F ) = u ∈ L(E,F ) | V ⊂ Ker u, et Im u ⊂ W

Montrer qu’il s’agit d’un sous-espace de L(E, F ) et calculer sa dimension.

EXERCICE .11 Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et u ∈ L(E) un

endomorphisme de E. Montrer que l’ensemble des endomorphismes v de E tels que

uv = vu = 0 est un sous-espace de L(E) de dimension (dim Ker u)2.

EXERCICE .12 Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E ; montrer les equiva-

lences:Ker f ∩ Im f = 0 ⇐⇒ Ker f2 = Ker f

f2(E) = f(E) ⇐⇒ E = Ker f + Im f.

Espaces vectoriels et Applications lineaires 93

EXERCICE .13 Soient E, F,G trois K-espaces vectoriels de dimension finie, f une

application lineaire de E dans F , g une application lineaire de F dans G. Montrer que

rg f + rg g − dim F ≤ rg (gf) ≤ inf( rg f, rg g).

D’une maniere analogue si f et g sont deux applications lineaires de E dans F alors

| rg f − rg f | ≤ rg (f + g) ≤ rg f + rg g.

EXERCICE .14 Soient u ∈ L(E, F ), n = dim E, N = Ker u. Etablir:

1. Pour tout sous-espace G de E: dim u(G) = dim G− dim(N ∩G).

2. Pour tout sous-espace H de F : dimu−1(H) = n + dim(H ∩ u(E))− rg u.

EXERCICE .15 Suites exactes – Soient E0, . . . , En, des K-espaces vectoriels. On dit que

le diagramme:

E0

f1−−−→E1

f2−−−→· · ·fn−1−−−→En−1

fn−−−→En (1)

est une suite exacte si: Im fk = Ker fk+1, (1 ≤ k ≤ n− 1).

1. Etant donnes la suite exacte (1) et l’espace vectoriel trivial O = 0, a quelle condition

peut-on prolonger (1) en une suite exacte:

Of0−−−→E0

f1−−−→· · ·fn−1−−−→En−1

fn−−−→En

fn+1−−−→O.

En supposant que cette condition est realisee et que les Ek sont de dimension finie,

verifier:n∑

k=0

(−1)k dim Ek = 0.

2. Soient E′ et E′′ deux sous-espaces d’un K-espace vectoriel E. Exhiber une suite exacte:

O−−−→E′ ∩ E′′ f−−−→E′ × E′′ g−−−→E′ + E′′−−−→O.

En deduire que, si E′ et E′′ sont de dimension finie:

dim(E′ ∩ E′′) + dim(E′ + E′′) = dim(E′) + dim(E′′).


EXERCICE .16 Soient E un espace vectoriel, a ∈ E\0. Trouver les f ∈ L(E), tels que

le systeme a, x, f(x) soit lie.

EXERCICE .17 Dans un espace vectoriel de dimension finie n, on considere deux sous-

espaces A et B de meme dimension r. Montrer qu’il existe un sous-espace C de E tel que

A⊕ C = B ⊕ C = E.( On pourra raisonner par recurrence sur r).

EXERCICE .18 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On appelle drapeau de E

toute famille de sous-espaces de E qui est de la forme Ei0≤i≤n et verifie:

i. E0 ⊂ E1 ⊂ . . . ⊂ En.

ii. dim Ei = i pour tout i ∈ 0, . . . , n.Soient Ei0≤i≤n et E′

i0≤i≤n deux drapeaux de E.

1. a. Soit i ∈ 1, . . . , n ; on lui associe:

j = σ(i) = inf k ∈ 1, . . . , n | E′i + Ek = E′

i−1 + Ek.

Verifier que j existe et appartient a 1, . . . , n.Verifier que E′

i \ E′i−1 et Ej \ Ej−1 ont un element commun.

b. Montrer que l’application σ est une permutation de 1, . . . , n.2. Montrer qu’il existe une base (e1, . . . , en) de E telle que, pour tout i ∈ 1, . . . , n,

(e1, . . . , ei) soit une base de Ei et (eσ(1), . . . , eσ(i)) une base de E′i.

EXERCICE .19 On considere le systeme de quatre vecteurs v1, v2, v3, v4 de IR5 defini par

v1 =

13

−2−1

2

, v2 =

2−3

14

−2

, v3 =

3−2

13

−1

, v4 =

313

−10−3

8

1. Determiner le rang du systeme v1, v2, v3, v4 et trouver les relations liant ces vecteurs

s’ils ne sont pas lineairement independants.

2. Soit l’application lineaire Φ : IR4 −→ IR5 definie par

Φ(x1, x2, x3, x4) = x1v1 + x2v2 + x3v3 + x4v4

Quelle est la dimension de Ker Φ ?

O MRANKOUBA

MATRICES

EXERCICE .1

1. Soient n ∈ IN∗ et T : Mn(IR) −→ (Mn(IR))∗ qui associe a chaque matrice M ∈Mn(IR),

la forme lineaire TM (X) = tr(MX) sur Mn(IR). Demontrer que T est un isomorphisme

d’espaces vectoriels.

2. Soit ϕ ∈ (Mn(IR))∗ telle que ϕ(MN) = ϕ(NM) pour toutes les matrices M, N de

Mn(IR). On note M0 la matrice telle que ϕ = TM0 . Demontrer que

∀ M ∈Mn(IR), M0M = MM0.

En deduire que ϕ = λtr, pour un certain λ ∈ IR.

3. Trouver la dimension de vect MN −NM | M, N ∈Mn(IR).EXERCICE .2 Soient α, β deux reels distincts, et soit M ∈Mn(IR) telle que

M2 − (α + β)M + αβIn = 0, M 6= αIn, M 6= βIn.

1. Montrer que l’espace vectoriel V (M) engendre par M et In est de dimension 2.

2. Trouver les matrices N ∈ V (M) telles que N 6= 0, N 6= In et N2 = N . On en trouvera

deux notees A et B. Verifier que AB = BA = 0, et montrer que A et B forment une base

de V (M). Montrer que V (M) est une IR-sous-algebre de Mn(IR) et que si C ∈ V (M)

est inversible alors C−1 ∈ V (M).

EXERCICE .3 Soit A =[

a bc d

]une matrice carree a coefficients dans un anneau

commutatif. Montrer que A2 − (a + d)A + (ad− bc)I2 = 0.

EXERCICE .4 Soient A,B ∈M3(IR) definies par

A =

−1 0 1

1 −1 00 1 −1

, B =

−1 1 0

0 −1 11 0 −1

On designe par E l’ensemble des matrices de la forme xA + yB ou x, y ∈ IR.

1. Calculer (A + B)k pour k ∈ IN.

2. Montrer que la matrice xA + yB n’est pas inversible dans M3(IR).

3. Montrer que l’addition et la multiplication des matrices font de E un corps, preciser

l’element unite et donner l’expression de l’inverse de E de la matrice xA + yB.

4. Montrer que E est isomorphe a |C.

95


EXERCICE .5 On considere l’espace vectoriel E = IRp, p ≥ 2 muni d’une base B =

e1, . . . , ep.Soit u l’endomorphisme de E qui a tout vecteur x ∈ E de coordonnees (x1, x2, . . . , xp)

sur la base B associe le vecteur y ∈ E de coordonnees (y1, y2, . . . , yp) telles que:

∀ i ∈ 1, 2, . . . , p, yi =1

p− 1

∑

j∈1,2,...,p\ixj

1. Determiner la matrice A = Mat(u,B,B).

2. Notons I, J respectivement la matrice identite d’ordre p, et la matrice carree d’ordre p

dont tous les coefficients valent 1.

a. Calculer Jn pour tout n ∈ IN∗.

b. Montrer qu’il existe an et bn (que l’on determinera), tels que pour tout n ∈ IN on

ait An = anA + bnI.

c. Montrer que A est inversible, determiner A−1.

d. Montrer qu’il existe λ1 et λ2 dans IR tels que (A− λ1I)(A− λ2I) = 0.

3. Soit C =p− 1

pA +

1pI. Montrer que C est la matrice d’une projection q dans la base B.

Determiner son image E1 et son noyau E2. Trouver une base E1 de E1 et une base E2 de

E2. Ecrire la matrice A = Mat(u, E , E) ou E = E1 ∪ E2. Trouver une matrice inversible

Q telle que A = QAQ−1.

EXERCICE .6 Soient e = (e1, . . . , en) la base canonique de IRn ; et σ ∈ Sn une permutation

de l’ensemble 1, 2, . . . , n. On considere l’endomprphisme pσ de IRn dans IRn qui au vecteur

x1...

xn

associe le vecteur

xσ(1)

...xσ(n)

.

1. Exprimer en utilisant le symbole de Kronicker la matrice P σ de pσ dans la base e.

2. Soit M = (mij) ∈Mn(IR), calculer PσM , MP σ, P σM(P σ)−1.

3. Montrer que les matrices A, B suivantes sont semblables

A =

1 4 2 33 2 4 14 1 3 22 3 1 4

, B =

2 3 1 44 1 3 23 2 4 11 4 2 3

.

Matrices 97

EXERCICE .7 Soient X, Y deux vecteurs de IRn. On suppose que

tX = [x1, x2, . . . , xn] , tY = [y1, y2, . . . , yn]

avecn∑

k=1

x2k = 1,

n∑

k=1

y2k = 1,

n∑

k=1

xkyk = θ.

On pose M = aX tX + bY tY ou a, b ∈ IR. Montrer qu’il existe λ, µ tels que

M3 + λM2 + µM = 0.

Application: Etudier le cas de la matrice M dont le coefficient aij est egale a α si i + j

est pair et a β si i + j est impair.

EXERCICE .8 Soient P le polynome defini par P (X) = X3 − 2X2 −X + 1, A la matrice

A =

1 1 11 1 01 0 0

1. Determiner la valeur de P (A) ; polynome de la matrice A.

2. Montrer que l’equation P (x) = 0 admet 3 racines reelles r1 < r2 < r3. On donnera les

valeurs des parties entieres respectives e1,e2,e3.

3. On introduit la division euclidienne de Xn (n ∈ IN∗) par P (X), soit

Xn = P (X)Qn(X) + Rn(X).

Montrer que l’on a Rn(X) = (r1)nV1(X) + (r2)nV2(X) + (r3)nV3(X), ou les Vj ,

j = 1, 2, 3, sont des polynomes de degre 2.

Exprimer An a l’aide de ces polynomes.

4. soit z1, z2, z3 des racines carrees complexes de r1, r2, r3. Dans l’expression de Rn trouvee

dans la question precedente, on remplace (r1)n, (r2)n, (r3)n par z1, z2, z3. on obtient ainsi

un polynome S(X) de degre 2. Calculer (S(r1))2, (S(r2))2, (S(r1))2.

5. Montrer que ce calcul permet de determiner des matrices B, a coefficients complexes

eventuellemet, telles que B2 = A. Combien en trouve-t-on au plus ?


EXERCICE .9 Pour a ∈ IR, on considere la matrice Ma ∈ Mn(IR) definie par M = (mij)

avec

mij =

Ci−1j−1 aj−i si j ≥ i

0 si j < i

1. Montrer que l’ensemble G = Ma ∈ Mn(IR) : a ∈ IR est un sous groupe de GLn(IR),

qui est isomorphe a IR.

2. Soient A = (aij), B = (bij) deux elements de Mn(IR) tels que aij = 0 si i ≥ j, et

bij = 0 si i ≥ j − s ou (s ∈ 0, 1, . . . , n − 1) ; on note C = AB = (cij). Montrer que

cij = 0 si i ≥ j − (s + 1). En deduire que (Ma − I)n = 0.

3. Montrer que, pour tout polynome de degre strictement inferieur a n, on a

P (X) =n∑

k=1

(−1)k−1CknP (X + ka)

4. Soient 0 < p ≤ n des entiers naturels. On note Sn,p le nombre des surjections d’un

ensemble a n elements dans un ensemble a p elements. Montrer que

pn =n∑

k=1

Ckp Sn,k.

(On pourrait evaluer de deux manieres le nombre d’applications de 1, 2, . . . , n dans

1, 2, . . . , p).En deduire Sn,p. Calculer en particulier Sn+1,n, et Sn+2,n.

EXERCICE .10 Si m est un entier non nul, on note |Cm[X] l’espace vectoriel des polynomes

a coefficients complexes de degre strictement inferieure a m. Dans tout le probleme on fixe

deux entiers m, n.

1. Pour 1 ≤ k ≤ n + m, on definit l’element ek de |Cn[X]× |Cm[X] par

ek =

(Xn−k, 0) si 1 ≤ k ≤ n

(0, Xn+m−k) si n < k ≤ n + m

Montrer que E = ek1≤k≤n+m est une base de |Cn[X]× |Cm[X].

2. Soient P (X) =m∑

k=0

akXk ∈ |C[X] avec am 6= 0, et Q(X) =n∑

k=0

bkXk ∈ |C[X] avec

bn 6= 0. Considerons l’application Φ qui a tout couple (S(X), T (X)) de |Cn[X]× |Cm[X]

associe le polynome S(X).P (X) + T (X).Q(x).

Matrices 99

a. Montrer que Φ est une application lineaire de |Cn[X]× |Cm[X] dans |Cn+m[X].

b. Soit ∆(X) le PGCD de P (X) et Q(X), et soit d le degre de ∆(X). Alors

P (X) = ∆(X)P1(X), et Q(X) = ∆(X)Q1(X).

– Montrer que P1(X) et Q1(X) sont premiers entre eux.

– Montrer ensuite que

Ker Φ =(−λ(X)Q1(X), λ(X)P1(X)); avec λ(X) ∈ |Cd[X]

.

– Quelle est la dimension de Ker Φ ?

c. Soit F = (Xn+m−1, Xn+m−2, . . . , X, 1) la base canonique de |Cn+m[X] (dans

l’ordre decroissante des degres). Ecrire la matrice M = Mat(Φ, E ,F) de Φ dans les

bases E ,F .

d. Deduire de ce qui precede que le rang de la matrice M(P (X), Q(X)) de Mn+m( |C)

definie par

M((P (X), Q(X)) =

n︷︸︸︷

am 0 . . . . . . 0

am−1 am. . .

......

. . . . . . . . ....

.... . . . . . 0

a1 am

a0 a1 am−1

0 a0. . .

.... . . . . . . . .

...... a0 a1

0 . . . . . . 0 a0

m︷︸︸︷bn 0 . . . . . . 0

bn−1 bn. . .

......

. . . . . . . . ....

.... . . . . . 0

b1 bn

b0 b1 bn−1

0 b0. . .

.... . . . . . . . .

...... b0 b1

0 . . . . . . 0 b0

est egale au degre du PPCM(P (X), Q(X)).

3. On conserve les notations de 2. On appelle le resultant de P (X) et de Q(X) le nombre

R(P, Q) = det M((P (X), Q(X)). Montrer que P et Q sont premiers entre eux si, et

seulement si, R(P, Q) 6= 0.


4. On appelle discriminant d’un polynome P le nombre D(P ) = R(P, P ′).

a. Calculer D(P ) ou P (X) = X3 + pX + q.

b. Montrer qu’une condition necessaire et suffisante pour que les polynomes aX2 +

bX +c et a′X2 +b′X +c′ aient au moins une racine commune est que (ac′−ca′)2 =

(ab′ − ba′)(bc′ − cb′).

5. On conserve toujours les notations de 2. Pour un polynome U(X) de |C[X] et

pour a ∈ |C, on note τa(U)(X) = U(X + a). Considerons les quatre applications

lineaires suivantes:

Ψ : |Cn[X]× |Cm[X] −→ |Cn[X]× |Cm[X] : (S, T ) 7→ (τ−a(S), τ−a(T ))

Φ1 : |Cn[X]× |Cm[X] −→ |Cn+m[X] : (S, T ) 7→ S.τ−a(P ) + T.Q

Θ : |Cn+m[X] −→ |Cn+m[X] : U 7→ τa(U)

Φ2 : |Cn[X]× |Cm[X] −→ |Cn+m[X] : (S, T ) 7→ S.P + T.τ−a(Q)

a. Montrer que Φ2 = ΘΦ1Ψ. En deduire que R(P, τa(Q)) = R(τ−a(P ), Q).

b. Calculer R(P, X) ; et montrer que R(P, X.Q) = (−1)mP (0)R(P, Q).

c. Utiliser a. pour montrer que R(P, (X − a)Q) = (−1)mP (a)R(P, Q).

d. Montrer que

R(P,

n∏

k=1

(X − αk)) = (−1)mnn∏

k=1

P (αk)

R(m∏

j=1

(X − βj),n∏

k=1

(X − αk)) = (−1)mn∏

k,j

(αk − βj)

O MRANKOUBA

SYSTEMES LINEAIRES ET DETERMINANTS

EXERCICE .1 Etudier, suivant les valeurs des parametres, les systems lineaires:

x + y + z = m + 1mx + y + (m− 1)z = mx + my + z = 1

ax + by + z = 1x + aby + z = bx + by + az = 1

2(a + 1)x + 3y + az = a + 44(a− 1)x + (a + 1)y + (2a− 1)z = 2a + 2(5a− 4)x + (a + 1)y + (3a− 4)z = a− 1

EXERCICE .2 Etudier suivant les valeurs de λ, µ ∈ |C le systeme lineaire

λx + y + z + t = 1x + λy + z + t = µx + y + λz + t = µ2

x + y + z + λt = µ3

EXERCICE .3 Determiner les inverses des matrices suivantes

10 9 19 10 51 5 9

1 2 3 44 1 2 33 4 1 22 3 4 1

1 2 6 82 5 15 236 15 46 738 23 73 130

1 −3 1 22 −5 2 52 −7 1 70 3 −1 6

1 1 1 120 21 22 23190 210 231 2531140 1330 1540 1771

EXERCICE .4 Etudier le systeme lineaire

x1 + x2 + · · · + xn = 1x1 + 2x2 + . . . + nxn = 0x1 + 22x2 + . . . + n2xn = 0...

......

x1 + 2n−1x2 + · · · + nn−1xn = 0

101


EXERCICE .5 Montrer que pour tout n ∈ IN∗ la matrice suivante est inversible

10!

11!

. . .1n!

11!

12!

. . .1

(n + 1)!...

.... . .

...1n!

1(n + 1)!

. . .1

(2n)!

EXERCICE .6

1. Soient X, Y deux matrices de Mn×1(IR). On pose γ = tY.X. Trouver une condition

necessaire et suffisante sur γ pour que la matrice I + X tY soit inversible, et calculer

son inverse dans ce cas.

2. Soit M une matrice inversible de Mn(IR), et soit N = M +X tY . Trouver une condition

necessaire et suffisante sur le nombre tY M−1X pour que N soit inversible, et calculer

N−1 dans ce cas.

3. On pose

M =

2 3 6 21 2 3 1−3 −6 0 −20 4 8 1

, N =

2.01 3 5.99 1.981 2 3 1−3 −6 0 −20 4 8 1

Determiner M−1. En deduire N−1. Dire comment faut-il modifier l’element a24 = 1 de

M pour qu’elle devienne non-inversible.

EXERCICE .7 Soit A la matrice d’ordre 4 suivante

A =

2 1 0 26 6 1 72 16 6 92 4 8 22

1. Trouver une matrice triangulaire superieure U , et une matrice triangulaire inferieure L

dont tous les elements diagonaux sonts egaux a 1, telles que A = L.U

2. Calculer les inverses de L et de U en deduire A−1.

Systemes lineaires et Determinants 103

EXERCICE .8 Calculer les determinants des matrices suivantes

2 1 4 3 53 4 0 5 03 4 5 2 11 5 2 4 34 6 0 7 0

,

1 1 3 42 0 0 83 0 0 24 4 7 5

EXERCICE .9 Soit A = (aij) ∈ Mn(IR) definie par aij = a si i > j,aij = b si i < j, et

aii = xi. En supposant que a 6= b calculer det A. Etudier le cas a = b.(On pourrait introduire

la fonction f(t) = (x1 − t)(x2 − t) · · · (xn − t)).

EXERCICE .10 Soit A = (aij) ∈Mn(IR) definie par aij = |i− j|. Calculer det A.

EXERCICE .11 Soit A = (aij) ∈ Mn(IR) definie par aij = Si∧j , ou i ∧ j est le plus petit

des nombres i et j, et S1, S2, . . . , Sn sont des nombres reels. Calculer det A.

Application : Sk =k(k + 1)

2.

EXERCICE .12 Soit M une matrice carree d’ordre n sur un corps IK. Supposons que A

s’ecrit sous la forme

M =[

A BC D

]

ou A ∈Mp(IK), D ∈Mq(IK), B ∈Mp×q(IK), et C ∈Mq×p(IK).(p + q = n).

1. Demontrer que si A est inversible alors, det M = det A · det(D − C ·A−1 ·B).

2. Demontrer que si D est inversible alors, det M = det D · det(A−B ·D−1 · C).

3. Soit 1 ≤ p ≤ n deux nombres entiers. Soient A ∈Mn×p(IK), et B ∈Mp×n(IK). Montrer

que pour tout x ∈ IK on a,

det(xIn + AB) = xn−p det(xIp + BA)


EXERCICE .13 soient a1, a2, . . . , an et b1, b2, . . . , bn des nombres complexes tels que

∀ i, j ai + bj 6= 0. On appelle Matrice de Cauchy associee a (a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn),

la matrice C = (cij) ∈Mn( |C) definie par cij =1

ai + bj. Calculer det C.

Application: Etudier le cas de la matrice de Hilbert ai = bi = i− 1/2.

EXERCICE .14 On considere pour b > 0 et a ∈ IR∗ la matrice An(a, b) d’ordre n definie

par An(a, b) = (aij) avec aii = 2b, pour 1 ≤ i ≤ n ; aij = a, si |i− j| = 1 et aij = 0 dans les

autres cas.

1. On pose ∆n = ∆n(a, b) = det An(a, b).

a. Montrer que si b = |a| alors ∆n = (n + 1)bn.

b. Montrer que si b 6= |a| alors

∆n =1

2√

b2 − a2

((b +

√b2 − a2)n+1 − (b−

√b2 − a2)n+1

).

deduire que si |a| < b alors pour tout n > 1, ∆n > 0.

c. Montrer que ∆n = 0 si, et seulement si,

b

a=

cos

πk

n + 1| k = 1, . . . , n

.

On suppose desormais que |a| ≤ b.

2. a. Montrer qu’il existe des reels ν1, . . . , νn−1 ; µ1, . . . , µn tels que si

L =

1 0 · · · · · · · · · 0

ν1 1 0...

0 ν2. . . . . .

...... 0

. . . . . . 0...

.... . . . . . 1 0

0 · · · · · · 0 νn−1 1

; U =

µ1 a 0 · · · · · · 0

0 µ2 a 0...

... 0. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . 0... 0 µn−1 a0 · · · · · · · · · 0 µn

alors L.U = An(a, b). Exprimer les (µi) et les (νi) en fonction de a et de la suite (∆i).

Systemes lineaires et Determinants 105

b. Montrer qu’il existe une matrice diagonale D qu’on determinera telle que An(a, b) =

L.D.tL.

3. Soit M = (Cij) une matrice carree d’ordre n, telle que Cij = δi,j+1.mj

mj+1ou m1, . . . ,mn

sont des reels non nuls et δi,k est le symbole de Kronicker qui vaut 1 si i = k et 0 si

i 6= k. Montrer que l’element de la ligne i et de la colonne j de Mk est δi,j+k.mj

mj+k.

En deduire l’inverse de I + aM pour a 6= 0.

4. Utiliser 3. pour Calculer L−1.

5. En deduire que A−1 = (ρij) avec

ρij =∆i−1∆j−1

(−a)i+j

n∑

k=i∨j

(a)2k

∆k∆k−1ou i ∨ j = max(i, j)

6. Montrer que ∀ i ≥ 1,

∆i+1

∆i− ∆i

∆i−1= − (a)2i

∆i∆i−1

7. On pose i ∨ j = max(i, j), i ∧ j = min(i, j). Montrer finalement que

ρij = (−a)|i−j|∆i∧j−1.∆n−i∨j

∆n

8. Calculer explicitement (Mn(−1, 1))−1.

EXERCICE .15 On considere la matrice suivante

A =

1 −1 2 4−1 5 0 −42 0 6 104 −4 10 29

1. Montrer qu’il existe une matrice triangulaire inferieure a coefficients diagonaux positifs

S telle que A = S.tS.

2. Montrer que S est inversible et calculer S−1.

item3. En deduire que A est inversible et calculer A−1.


EXERCICE .16 Soit n un entier positif superieur au egale a 2. On note ω = exp(2iπ

n) et

on considere la matrice A = (Ωij) d’ordre n definie par Ωij = ω(i−1)(j−1).

1. Calculer A−1.

2. Soit (a0, a1, . . . , an−1) On note C(a0, a1, . . . , an−1) la matrice d’ordre n suivante

a0 a1 a2 · · · · · · an−1

a1 a2 · · · · · · an−1 a0

a2 · · · · · · an−1 a0 a1

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

an−1 a0 a1 · · · · · · an−2

Calculer A.C(a0, a1, . . . , an−1).A. En deduire det C(a0, a1, . . . , an−1).

O MRANKOUBA

ESPACES EUCLIDIENS

EXERCICE .1 Soient (E, 〈., .〉) un espace prehilbertien, (e1, e2, . . . , en) des vecteurs de E

verifant

1. ∀ i, ||ei|| = 1 ;

2. ∀x ∈ E,n∑

i=1

|〈x, ei〉|2 = ||x||2.Montrer que (e1, e2, . . . , en) est une base orthonormee de E.

EXERCICE .2 Soient (E, 〈., .〉) un espace prehilbertien, (x1, x2, . . . , xn) des vecteurs de E.

1. Montrer que∑

i<j

||xi − xj ||2 = n

n∑

i=1

||xi||2 −∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣n∑

i=1

xi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

2

.

2. On suppose que pour tout i, ||xi|| ≤ R, et que pour tout couple (i, j) avec i 6= j,

||xi − xj || ≥ 2. Montrer que R ≥√

2(n− 1)/n.

EXERCICE .3 Soit (E, 〈., .〉) un espace prehilbertien. Pour r ∈ IR+, on note B(0, r) = x ∈E | ||x|| ≤ r, et pour x, et y de E, on note [x, y] = x + λ(y − x) ∈ E | 0 ≤ λ ≤ 1. Soit

(a, b) ∈ IR2+. Montrer que

[x, y] ⊂ B(0, a + b) \B(0, a) =⇒ ||x− y|| ≤ 2√

b2 + 2ba.

EXERCICE .4 E designe IR4 muni du produit scalaire usuel. Determiner la projection

orthogonale de E sur le sous-espace F defini par

F =

(x1, x2, x3, x4) :

4∑

i=1

xi = x1 + x3 − x2 − x4 = 0

.

EXERCICE .5 E designe IR4 muni du produit scalaire usuel. Determiner la symetrie

orthogonale de E par rapport au sous-espace F defini par

F =

(x1, x2, x3, x4) :

4∑

i=1

xi =4∑

i=1

ixi = 0

.

107


EXERCICE .6 Determiner

inf(a,b)∈IR2

∫ 1

0

x2 |Logx− ax− b|2 dx.

EXERCICE .7 Soient (E, 〈., .〉E), (H, 〈., .〉H) deux espaces prehilbertiens, et f : E −→ H

une application telle que

1. f(0) = 0.

2. ∀ (x, y) ∈ E × E, ||f(x)− f(y)||H = ||x− y||E .

Montrer que f est lineaire. (On pourrait considerer le milieu de [x, y].)

EXERCICE .8 Soit (E, 〈., .〉) un espace prehilbertien. On pose, pour (x, y) ∈ E × E,

d(x, y) =||x− y||√

1 + ||x||2√

1 + ||y||2

On se propose de demontrer que ∀ (x, y, z) ∈ E × E × E, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

1. Montrer que si (λ, µ) ∈ IR2, et si (u, v) ∈ E × E, tels que ||u|| = ||v|| = 1, alors

||λu− µv|| = ||λv − µu||.2. Montrer que pour tout (x, y) ∈ E × E

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣y

||y||2 −x

||x||2∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =||x− y||||x||||y|| .

3. On considere E = E × IR muni du produit scalaire 〈(x, α), (y, β)〉 = 〈x, y〉 + αβ, et

f : E −→ E : x 7→ (x, 1). Exprimer d(x, y) en fonction de f(x) et f(y). Conclure.

EXERCICE .9 Soit (E, 〈., .〉) un espace prehilbertien. p une projection de E.(i.e. p2 = p).

Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes

1. p est orthogonale.

2. p∗ = p.

3. Ker p ⊂ ( Im p)⊥.

4. ∀x ∈ E, ||p(x)|| ≤ ||x||.

EXERCICE .10 Soit A une matrice symetrique definie positive d’ordre n. Montrer

∀ (X,Y ) ∈Mn×1(IR), (tXY )2 ≤ (tXAX)(tY A−1Y )

Espaces Euclidiens 109

EXERCICE .11 Soit A une matrice symetrique positive d’ordre n. Montrer que

sup1≤i,j≤n

|aij | = sup1≤i≤n

aii.

EXERCICE .12 Soient S1, S2 deux matrices symetriques. Montrer que

S1S2 est symetrique ⇐⇒ S1S2 = S2S1.

EXERCICE .13 Soient S1, S2, . . . Sn des matrices symetriques positives. Montrer quen∑

k=1

Sk = 0 ⇐⇒ S1 = S2 = . . . = Sn = 0.

EXERCICE .14 Soient S1, S2, . . . Sm des matrices symetriques. Montrer quem∑

k=1

Sk =m∑

k=1

S2k = mIn ⇐⇒ S1 = S2 = . . . = Sm = In.

EXERCICE .15 Montrer qu’il n’existe pas de matrices symetriques definies positives A,B, C

telles que A + B = C et A−1 + B−1 = C−1.

EXERCICE .16 Soit O = (aij) une matrice orthogonale. Montrer que

∑

1≤i,j≤n

|aij | ≤ n√

n,

∣∣∣∣∣∣∑

1≤i,j≤n

aij

∣∣∣∣∣∣≤ n.

EXERCICE .17 Montrer que la matrice A d’ordre n definie par aij = min(i, j) est

symetrique definie positive.

EXERCICE .18 Montrer que la matrice symetrique A d’ordre n definie par aij = i(n+1−j)

pour i ≤ j est symetrique definie positive.

EXERCICE .19 Soient (E, 〈., .〉) un espace euclidien, P une projection orthogonale de E

et (e1, e2, . . . , en) une base orthonormale de E. Montrer que

n∑

k=1

||P (ek)||2 = rg (P ).


EXERCICE .20 Soit (E, 〈., .〉) un espace euclidien, T ∈ L(E) Montrer que

1. ( Im T )⊥ = Ker T ∗.

2. ( Ker T )⊥ = Im T ∗.

EXERCICE .21 E (resp. En) designe l’espace de polynomes reels (resp. de degre inferieur

ou egal a n). On munit E (resp. En) du produit scalaire

〈P, Q〉 =∫ +∞

−∞P (x).Q(x)e−x2

dx.

I

Soit µ : E −→ E : P 7→ P ′′ − 2XP ′.

1. Montrer que µ = µ∗, et que µ(En) ⊂ En.

On note alors µn : En −→ En : P 7→ P ′′ − 2XP ′.

2. En ecrivant la matrice de µn + 2nIn dans la base canonique de En, montrer que

Ker (µn + 2nIn) = λPn : λ ∈ IR ou Pn est un polynome unitaire de degre n.

3. Montrer que Pnn∈IN est un systeme orthogonale de E.

II

On pose Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxn

(e−x2

).

1. Montrer que, pour tout n, H ′n(x) = 2xHn(x)−Hn+1(x).

2. Montrer que, pour tout n, Hn est un polynome de degre n.( Hn est dit le n-ieme

polynome de Hermite).

3. Montrer que, pour tout Q ∈ E, 〈Q,Hn〉 = 〈Q(n), 1〉.( On pourrait effectuer des

integrations par parties successives).

4. Montrer que Hn est un systeme orthogonale de E ; Trouver ||Hn||.5. Montrer que, pour tout n, il existe αn 6= 0, tel que Hn = αnPn. En deduire que

H ′′n − 2XH ′

n + 2nHn = 0.

O MRANKOUBA

Institut Superieur des Sciences Appliqueeset de Technologie

Devoir surveille de MathematiquesDeuxieme Annee

EXERCICE .1 Etudier les assertions suivantes, et preciser celles qui sont vraies et celles

qui sont fausses en justifiant a chaque fois votre reponse.

1. Soit (un)n≥0 une suite de nombres reels.

a. Si (un)n≥0 est croissante et si (un+1−un) converge vers 0, alors (un)n≥0 converge.

b. Si (un)n≥0 est croissante et si un+1 − un ≤ 1n2

, alors (un)n≥0 converge.

c. Si (un)n≥0 est bornee et si (un+1 − un) est monotone, alors (un)n≥0 converge.

d. Si (un)n≥0 est bornee et si (un+1 − un) converge vers 0, alors (un)n≥0 converge.

2. Soit (un)n≥0 une suite croissante de nombres reels.

a. Si (u2n − un)n≥0 converge vers 0, alors (un)n≥0 converge.

b. Si u2n − un ≤ 1n

, alors (un)n≥0 converge.

EXERCICE .2 Pour x ∈ IR+∗ , on pose

f(x) = (x +12)Log (1 +

1x

)− 1.

Pour n ∈ IN∗, on pose

Sn = (n +12)Log n− n− Log (n!).

1. Montrer que, pour tout t ∈ [0, 1[, l’on a

2t +23t3 ≤ Log

1 + t

1− t≤ 2t +

23

t3

1− t2.

2. Montrer que, pour tout x ∈]0,+∞[, l’on a

13(2x + 1)2

≤ f(x) ≤ 112x(x + 1)

.

(On pourrait utiliser 1. avec un t convenablement choisi.)

111

112 n.1 : Suites

3. En deduire que, pour tout x ∈]0, +∞[,

16

(1

2x + 1− 1

2x + 3

)≤ f(x) ≤ 1

12

(1x− 1

x + 1

).

4. Montrer que

Sm − Sn =m−1∑

k=n

f(k) pour (m > n ≥ 1).

5. En deduire que, pour m > n ≥ 1

16

(1

2n + 1− 1

2m + 1

)≤ Sm − Sn ≤ 1

12

(1n− 1

m

).

6. Conclure qu’il existe une constante β telle que,

16(2n + 1)

≤ β − Sn ≤ 112n

pour (n > 0).

Et calculer

limn→∞

n!√nnne−n

en fonction de β. (On verra plus tard que cette limite vaut√

2π).

O MRANKOUBA



Si x ∈ IR, E(x) designe la partie entiere de x. On pose, pour x ∈ IR,

∆(x) =∣∣∣∣x− E(x− 1

2)− 1

∣∣∣∣ .

1. Montrer que ∆ definit une fonction periodique de IR dans IR de periode 1.

2. Calculer limx

>→ 1/2

∆(x), et limx

<→ 1/2

∆(x). Que peut-on en deduire ?

3. Exprimer simplement ∆(x) pour x ∈ [0, 1],(on distinguera les cas x ∈ [0, 1/2] et

x ∈ [1/2, 1]). Tracer le graphe de ∆.

4. Pour x ∈ IR, on pose fn(x) =n−1∑k=0

2−k∆(2kx). Montrer que, pour tout x ∈ IR, la suite

fn(x)n converge vers une limite que l’on note dans la suite f(x).

5. Montrer que la fonction f est bornee, periodique de periode 1, et verifie

∀ x ∈ IR, f(x)− 12f(2x) = ∆(x).

6. Soit h : IR → IR, une fonction bornee telle que, ∀ x ∈ IR, h(x) − 12h(2x) = ∆(x).

Montrer que ∀ m ≥ 1,∀ x ∈ IR, fm(x) = h(x)− h(2mx)2m

. En deduire que f = h.

7. Soit δ(x) = ∆(x) +12∆(2x). Tracer le graphe de δ.

8. Montrer que ∀ x ∈ IR, f2m(x) =m−1∑

k=0

2−2kδ(22kx). En deduire que supIR

f(x) ≤ 2/3.

9. Montrer que f2m(13) =

23(1− 4−m), ( On pourra commencer par calculer le reste de la

division de 22k par 3). En deduire la valeur de supIR

f(x).

10. Montrer que f est continue sur IR.

O MRANKOUBA

113



Dans tout le probleme E(x) designe la partie entiere de x.

Soit G un sous-groupe de (IR,+) different de 0. On note b = inf(G ∩ IR+∗ ).

1. Montrer que si b > 0 alors G = bk | k ∈ ZZ .2. On suppose que b = 0. Soient (x, y) ∈ IR2 avec x < y.

a. Montrer qu’il existe g ∈ G tel que 0 < g < (y − x)/2.

b. On pose k = E

(y

g

)− 1. Montrer que kg ∈]x, y [∩G.

c. En deduire que G est dense dans IR.

3. Soit θ ∈ IR+∗ on note Z[θ] l’ensemble

n + mθ | (n,m) ∈ ZZ2

.

a. Montrer que Z[θ] est un sous groupe de (IR, +).

b. Montrer que Z[θ] est dense dans IR si, et seulement si, θ 6∈ Q/ .

4. On suppose dans cette question que θ ∈ IR+ \ Q/ , et on note N [θ] l’ensemble

n + mθ | (n,m) ∈ IN× ZZ . Soit ε > 0.

a. Montrer qu’il existe λε ∈ N [θ] tel que 0 < |λε| < ε.

b. Montrer que si λε < 0, alors il existe µε ∈ N [θ] avec 0 < µε < ε. (On pourrait

considerer k = E(θ/ |λε|).c. Montrer de meme que si λε > 0, alors il existe µε ∈ N [θ] avec 0 > µε > −ε.

d. Montrer que pour tout x ∈ IR, ]x− ε, x + ε[∩N [θ] 6= Ø. Que peut-on en deduire ?

5. Soient f : IR −→ IR est une fonction continue, A une partie dense dans IR. Montrer que

f(A) est une partie dense dans f(IR).

6. Montrer en utilisant ce que precede que sin(n) | n ∈ IN est dense dans [−1, +1].

O MRANKOUBA

114



PROBLEME I

On dit qu’une partie A ⊂ |C est un H-cercle, si et seulement si, il existe a, b ∈ |C et

k ∈ IR+∗ tels que A = z : |z − a| = k |z − b|.

1. Soit C le cercle de centre γ et de rayon ρ, et soit a ∈ |C verifiant |a− γ| < ρ. On pose

b = γ +ρ2

|a− γ|2 (a− γ). Montrer que

C = z : |z − a| = |a− γ|ρ

|z − b|.

2. Soit D la droite d’equation αz + αz = λ, et a 6∈ D. On pose b =λ− αa

α. Montrer que

D = z : |z − a| = |z − b|.

3. En deduire qu’une partie A ⊂ |C est un H-cercle , si et seulement si, elle est une droite

ou un cercle.

4. Montrer que l’image d’un H-cercle par une similitude directe est un H-cercle.

Dans la suite |C designe |C∪ ∞, et on suppose que ∞ appartient a toutes les droites.

5. Soit I : |C −→ |C definie par

I(z) =

1z

si z ∈ |C\0

0 si z = ∞

∞ si z = 0

Montrer que l’image par I de tout H-cercle est aussi un H-cercle.

115

116 n.4 : I. Homographies, II. Majoration des derivees

6. Soient a, b, d ∈ |C tels que ad 6= b, et soit ψ : |C −→ |C definie par

ψ(z) =

az + b

z + dsi z ∈ |C\−d

a si z = ∞

∞ si z = −d

Montrer que ψ est la composee de I et de quelques similitudes directes. En deduire que

l’image par ψ de tout H-cercle est aussi un H-cercle.( si S est une similitude directe, on

convient que S(∞) = ∞).

PROBLEME II

Soit f : IR −→ IR une fonction de classe C2 (i.e. f ∈ C2(IR)). On note, pour k = 0, 1

ou 2,

Mk(f) = supx∈IR

∣∣∣f (k)(x)∣∣∣ ∈ IR+.

On note aussi E l’ensemble f ∈ C2(IR) | M0(f) < +∞, M2(f) < +∞. Si α ∈ IR+∗ ,

on designe par Eα l’ensemble f ∈ E | [M1(f)]2 ≤ αM0(f)M2(f). On se propose de

demontrer que min α ∈ IR+∗ | Eα = E = 2.

1. Soient f ∈ E , a ∈ IR+∗ , et x ∈ IR. En exprimant f(x− a) (resp. f(x + a)) en fonction de

a, f(x), f ′(x) et f ′′. Montrer que

|f ′(x)| ≤ 1aM0(f) +

a

2M2(f).

2. Choisir a qui rend minimum la quantite1aM0(f) +

a

2M2(f).

3. En deduire que E2 = E .

4. Pour x ∈ IR, On pose

h(x) = (−1)E(x)

((x− E(x))3 − 3

2(x− E(x))2 +

14

).

Ou E(x) designe la partie entiere de x.

a. Montrer que h est periodique et admet 2 pour periode. Montrer que pour t ∈ [0, 1],

h(t) = h(−t), en deduire que h est une fonction paire.

b. Determiner h, h′, h′′ sur [−1, 1], dessiner les graphes de ces fonctions et montrer

que h ∈ E .

n.4 : I. Homographies, II. Majoration des derivees 117

Pour n ∈ IN \ 0, 1, on note, dans la suite du probleme,

gn(t) = n

(h(t +

1n

)− h(t))

.

h etant la fonction definie dans 4.

5. Montrer que, pour tout n ≥ 2, M0(gn) ≤ 3/4 et M1(gn) ≤ 3.

6. Calculer limn→+∞

gn(12); lim

n→+∞g′n(0). En deduire lim

n→+∞M0(gn); lim

n→+∞M1(gn).

7. Expliciter g′′n sur chacun des intervalles [−1,− 1n

[, [− 1n

, 0[, [0, 1 − 1n

[ et [1 − 1n

, 1[. En

deduire la valeur de M2(gn) pour tout n ≥ 2.

8. Supposons que Eα = E . En utilisant la fonction gn. Montrer que α ≥ 2 et conclure.

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 On considere les deux nombres b = 60809 et a = 58483.

1. Calculer le PGCD de a et b. On note d =PGCD(b, a).

2. Trouver s, t ∈ IN tels que sb− ta = d.

3. Trouver u, v ∈ IN tels que ua− vb = d.

4. Resoudre le systeme

x = 0 mod bx = 1 mod a

EXERCICE .2 Pour n ∈ IN, on definit Fn = 22n

+ 1.

1. Montrer que si m > n alors 22n+1 − 1 Fm − 2. En deduire que Fn Fm − 2.

2. Montrer que si m 6= n alors PGCD(Fn, Fm) = 1.

3. Deduire de ce qui precede qu’il y a une infinite de nombres premiers.

4. Soit p un nombre premier qui divise Fn. Montrer que 2n+1 p− 1.

EXERCICE .3 On considere la suite de nombres entiers Unn≥0 definie par

U0 = 0, U1 = 1, Un+2 = Un+1 + Un

1. Montrer que ∀ n ∈ IN PGCD(Un+1, Un) = 1.

2. Montrer que ∀ (n, p) ∈ IN∗×IN∗, Un+p−1 = Un−1Up−1+UnUp.( On pourra raisonner

par recurrence sur p).

3. Soient a, b, c ∈ IN∗. Montrer que si a et c sont premiers entre eux, alors PGCD(bc, a) =

PGCD(b, a).

4. Deduire de ce qui precede que ∀ n ≥ 0, ∀ q > 0, ∀ r ≥ 0 on a

PGCD(Uqn+r, Un) = PGCD(U(q−1)n+r, Un).

puis que

PGCD(Uqn+r, Un) = PGCD(Un, Ur).

5. Soit m,n ∈ IN, et d = PGCD(m,n). Montrer que PGCD(Um, Un) = Ud.

118

n.5 : I. Arithmetique, II. Suites 119

EXERCICE .4

1. Montrer que ∀ x ≥ 0, 1 + x ≤ ex.

2. Montrer que la fonction x 7→ xe−x est decroissante sur [1 ,+∞ [. En deduire que si

n ≥ 1 on a

∀ x ∈ [0,1n

], 1 + x ≥ (1 +1n

) e−1/n ex

3. Considerons la suite (vn)n≥1 definie par

vn =n∏

p=1

(1 +p

n2) = (1 +

1n2

)(1 +2n2

) · · · (1 +n

n2)

Montrer, en utlisant les inegalites de (1.) et de (2.), que la suite (vn)n≥1 est

convergente, et determiner sa limite.

EXERCICE .5

I. On considere la fonction f(x) = x3 − 3x + 1. En faisant une etude sommaire de

cette fonction, montrer que l’equation f(x) = 0 a trois racines r1 < r2 < r3, avec

r1 ∈ [−2,−3/2] et r3 ∈ [3/2, 2].

II. On considere la suite (xn)n definie par

x0 = 2, xn+1 = 3√

3xn − 1.

ı. Montrer que ∀ n ∈ IN, xn ∈ [3/2, 2], et que la suite (xn)n est monotone.

ıı. Montrer que la suite (xn)n converge vers une racine ` de f(x) = 0. Preciser laquelle.

ııı. Montrer que ∀ n ∈ IN, |xn − `| ≤ 12(49)n. Combien de termes de la suite (xn)n il

faudrait calculer pour obtenir une valeur approchee de ` a 10−6 pres.

III. On considere la suite (yn)n definie par

y0 = 2, yn+1 = 3√

3yn + 1.

ı. Montrer que ∀ n ∈ IN, yn ∈ [3/2, 2], et que la suite (yn)n est monotone.

ıı. Montrer que la suite (yn)n converge vers une limite `′ telle que −`′ soit une racine

de f(x) = 0. Preciser laquelle.

ııı. Montrer que ∀ n ∈ IN, |yn − `′| ≤ 12(49)n.

IV. Donner des valeurs approchees des racines r1, r2, r3 de f a 10−6 pres.

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 Soit f : IR∗ −→ IR la fonction definie par

f(t) =(1 +

t2

6) sin t− (t +

t3

2) cos t

t5.

Montrer que limt→0

f(t) existe et la calculer.

EXERCICE .2 On donne des reels r > 0 et α =5π

4et on note u le nombre complexe de

module r et d’argument α.

I. On construit les points An du plan repondant aux conditions:

• A0 est le point d’affixe 0.

• A1 est le point d’affixe i.

• Pour tout entier n superieur ou egale a 2, le point An est l’image de An−2 par

la similitude directe Sn, ou Sn est la composee de la rotation Rn de centre

An−1 et d’angle α et de l’homothetie hn de centre An−1 et de rapport r (i.e.

Sn est la similitude directe de centre An−1 de rapport r et d’angle α). On note

zn l’affixe du point An.

1. Ecrire pour tout entier n ≥ 2 une relation entre zn, zn−1, zn−2.

2. Montrer que ∀ n ≥ 2, zn − zn−1 = (−u)n−1i.

3. Determiner l’expression de l’affixe zn de An en fonction de n et de u.

II. 1. Montrer qu’il existe une unique similitude directe S, telle que

A1 = S(A0) et A2 = S(A1)

Preciser le centre de S.

2. Montrer que ∀ n ∈ IN, An+1 = S(An). Dans la suite on note S0 pour designer

l’application identite, et pour tout n ∈ IN, on pose Sn+1 = SSn.

120

n.6 : I. Calcul de limite, II. Nombres Complexes 121

3. Montrer que S4 est une homothetie.

4. En deduire que les points An sont elements d’un ensemble forme par la reunion de

quatre droites que l’on precisera.

III. On suppose maintenant r =√

22

. On appelle ω l’affixe du centre Ω de la similitude S.

1. Demontrer que pour tout n ∈ IN, les vecteurs−−−−→ΩAn+1 et

−−−−−→AnAn+1 sont orthogonaux.

2. Calculer |ω − zn| en fonction de n et de |ω|. En deduire limn→∞

|ω − zn|.

3. Pour tout n ∈ IN, calculer Ln =n∑

k=0

|zk − zk+1|. Etudier la limite de la suite (Ln)n

quand n tend vers +∞.

EXERCICE .3 Soient D1,D2,D3 les trois ensembles, definis par:

D1 =z ∈ |C : z + z = 0 ;D2 =z ∈ |C : z − z = 0 ;D3 =z ∈ |C : z − z = 2i.

1. Faire une figure representant ces ensembles.

2. Montrer que pour tout z1 ∈ D1, il existe z2 ∈ D2 et z3 ∈ D3, tels que les points

A1, A2, A3 d’affixes respectifs z1, z2, z3 forment un triangle equilatere direct (A1A2A3)

(on exprimera z2 et z3 en fonction de z1).

3. Montrer qu’il existe un point B tel que, lorsque A1 decrit la droite D1, la droite passant

par A2 et A3 passe toujours par B.

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 On considere dans IR[X] le polynome P (X) = X4 − 3X + 20.

ı. Determiner α, β, γ ∈ IR+, tels que P (X) = (X2 + α)2 − (3βX + γ)2 (On commencera

par determiner β2).

ıı. Factoriser P en produit de facteurs irreductibles dans IR[X]. En deduire une factorisa-

tion de P en produit de facteurs irreductibles dans |C[X].

ııı. Montrer qu’il existe un cercle C, qu’on demande de determiner, qui contient toutes les

racines de P .

EXERCICE .2 Calculer, dans IR[X], le PGCD des deux polynomes suivants:

A(X) =X7 + 9X6 + 26X5 + 32X4 + 47X3 + 50X2 − 7X − 10

B(X) =X6 + 7X5 + 11X4 + 2X3 + 25X2 − 17X − 13.

EXERCICE .3 On considere les deux fonctions g et h definies par

g :]0, +∞[−→ IR, g(x) =x√

x

6−√x + sin(

√x)

h :]−∞, 0[−→ IR, h(x) =x√−x

6−√−x + sh(

√−x).

ı. Montrer que g et h sont 2-fois derivables et calculer leurs derivees premieres et secondes.

ıı. On definit la fonction

f : IR −→ IR, f(x) =

g(x) si x > 0,0 si x = 0,

h(x) si x < 0.

Montrer que f est 2-fois derivable sur IR.

122

n.7 : I. Polynomes, II. Fonctions 123

EXERCICE .4 On considere la fonction f : IR\1, 3 −→ IR definie par

f(x) =−x2 + 8x− 12x2 − 4x + 3

.

ı. Etudier et tracer le graphe de la fonction f .

ıı. Montrer que pour tout r ∈ IR, l’ensemble f−1(r) contient en general deux elements.

Precisez le (ou les) cas d’exception.

ııı. Montrer que f−1(f(a)) ou a ∈ IR\1, 3 contient en general deux elements. Calculer-

les en fonction de a, en precisant le (ou les) cas d’exception.

ıv. On considere l’appliction g : IR\1, 3 −→ IR definie par

g(x) = Maxf−1(f(x)) .

Etudier et tracer le graphe de g. On montrera notamment que g est prolongable par

continuite en x = 1, et x = 3.

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 Decomposer en elements simples dans IR(X) la fraction rationnelle

F (X) =X3 + 2X + 1

(X − 1)2(X2 + 1)4

EXERCICE .2 Soit f :]− 1,+1[−→ IR la fonction definie par

f(x) = Arc tg(

1− x

1 + x

)2

1. Montrer qu’il existe une fraction rationnelle F (X) ∈ IR(X) telle que f ′(t) = F (t) pour

tout t ∈]− 1,+1[. Decomposer F (X) en elements simples dans IR(X).

2. Deduire de ce qui precede qu’il existe α, β ∈ IR tels que

∀ x ∈]− 1, +1[, f(x) =π

4+ Arc tgαx + Arc tg βx

3. Donner un developpement limite a l’ordre n de la fonction f au voisinage de 0.

EXERCICE .3 Pour x ∈ IR \ −1, on considere les deux fonctions

h1(x) = Arc tg

√∣∣∣∣1− x

1 + x

∣∣∣∣

h2(x) =

−1

2Arc sin (x) si x ∈]− 1,+1]

−12Arc sin (

1x

) si |x| > 1

Montrer qu’il existe une relation simple entre h1 et h2. (On pourrait calculer les derivees).

124

n.8 : I. Decomposition en elements simples, II. Etude de fonctions 125

EXERCICE .4 On considere la fonction f definie par

f(x) =

− x2

2Arc sin (x) si |x| ≤ 1

− x2

2Arc sin (

1x

) si |x| > 1

1. Etudier la parite de f .

2. Montrer que ∀ x ≥ 1, f(x) +x

2< 0.

3. Montrer que limx→+∞

f(x) +x

2= 0.

4. Soit g(x) = Arc sin x− 1x

, pour x ∈ [0, 1]. En etudiant la monotonie de g, montrer qu’il

existe un unique α ∈]0, 1[ tel que g(α) = 0. ( On ne demande pas de determiner α).

En deduire le signe de f(x) +x

2sur l’intervalle ]0, 1[. ( On distinguera les cas x < α et

x > α).

5. Montrer que f est strictement decroissante sur [0, 1]. Calculer limx

<→ 1

f ′(x), si elle sxiste.

6. Soit h la fonction definie sur ]1, +∞[ par la relation f ′(x) = −xh(x). En etudiant la

fonction h, montrer qu’elle s’annule une seule fois sur ]1, +∞[ en un point β ∈]1,√

2[,

et que h garde un signe constant sur chacun des intervalles ]1, β[ et ]β, +∞[. ( On ne

demande pas de determiner β).

En deduire une etude du signe de f ′ sur ]1,+∞[.

7. Utiliser ce qui precede pour etudier les variations de f , et donner une representation

graphique de son graphe.

On donne α ≈ 0.67 ; β ≈ 1.1.

O MRANKOUBA




f(θ) =2

cos θ + cos 3θ=

1cos θ cos 2θ


domaine d’etude.








EXERCICE .2 Soient

x(t) =t2 + 3t− 2t2 − 3t + 2

= 1 + 2(4

t− 2− 1

t− 1)

y(t) =t2 + t + 2t2 − t− 2

= 1 +23(

4t− 2

− 1t + 1

)

Etudier et tracer la courbe parametrees t −→ M(t) =[

x(t)y(t)

]en precisant notamment

les asymptotes, la position de la courbe par rapport aux asymptotes, l’intersection de la

courbe avec les asymptotes, les points stationnaires (ou singuliers) eventuels,et les points


EXERCICE .3 Calculer les primitives des fonctions definies par:

f(x) =x3

(x3 − 1)2, g(x) =

1(2 + cos x− 2 sinx) sin x

, h(x) = 3√

x3√

1 +√

x.

O MRANKOUBA

126



EXERCICE .1 On definit la suite de polynomes (Pn)n≥0 de IR[X] par

P0(X) = 1, P1(X) = X, Pn(X) =1n!

X(X − n)n−1 pour n ≥ 2.

1. Verifier que pour tout n ≥ 1, P ′n(X) = Pn−1(X − 1). En deduire que

∀ k ∈ IN, ∀ n ≥ k, P (k)n (X) = Pn−k(X − k)

(Ici P(k)n designe la derivee d’ordre k de Pn. On convient que P (0) = P ).

2. Montrer que, ∀ k ∈ IN, ∀ n > k, P(k)n (k) = 0, et determiner P

(n)n (X).

Dans la suite m designe un entier superieure a zero donne. E = IRm[X] l’espace vectoriel

des polynomes de degre inferieure ou egale a m.

3. Montrer que P0, P1, . . . , Pm forment une base de E.

4. Montrer que ∀ Q ∈ E, Q(X) =m∑

k=0

Q(k)(k)Pk(X).

5. En deduire que ∀ a ∈ IR, Pm(X + a) =m∑

k=0

Pm−k(a)Pk(X).

EXERCICE .2 Soit A la matrice d’ordre 4 suivante

A =

2 1 0 26 6 1 72 16 6 92 4 8 22

1. Trouver une matrice triangulaire superieure U , et une matrice triangulaire inferieure L

dont tous les elements diagonaux sonts egaux a 1, telles que A = L.U

2. Calculer les inverses de L et de U en deduire A−1.

127

128 n.10 : I. Algebre lineaire, II. Primitives III. Geometreie

EXERCICE .3 Calculer les primitives des fonctions suivantes:

f(x) =x

(x + 1)5(1 + x + x2)2, g(x) =

cos(√

x) + sin(√

x)√x sin(2

√x)

.

EXERCICE .4 determiner le triedre de Frenet ainsi que la courbure et la torsion de l’arc

parametre γ dans les cas suivants :

γ : IR −→ IR3 : t 7→ (sh t, ch t, t)

γ : IR −→ IR3 : t 7→ (at2, at3,916

at4)

EXERCICE .5 Chercher la longueur de l’arc OM(t) ou M(t) decrit la courbe

x(t) = 2t3 + 3t2

y(t) = 3t2 + 6t

EXERCICE .6 On considere le plan affine euclidien rapporte a un repere orthonorme

(O,−→i ,−→j ) et identifie a IR2.

Soit C l’arc geometrique defini par la representation parametrique:

F : [0, 4π] ←− IR2 : t 7→

t + sin t− 4 sin(t/2)

3 + cos t− 4 cos(t/2)

.

1. Quelle est la longueur de l’arc C ?

2. Soit t ∈]0, 4π[ et soit M = f(t).

– Quel est le rayon de courbure de C en M ?

– Exprimer les coordonnees de I, le centre de courbure au point M .

3. Quelle est la developpee Γ de C. reconnaıtre Γ.

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 On donne dans IR4: e1 = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), e2 = (1/2,−1/2,−1/2, 1/2).

On designe par D1 et D2 les droites vectorielles IRe1 et IRe2 puis par H le sous-espace

vectoriel engendre par (e1, e2).

1. Soit a = (3,−1, 2, 4). Trouver la projection orthogonale b de a sur H et calculer la

distance δ de a a H.

2. Former la matrice Si de la symetrie orthogonale par rapport a Di ou i = 1 ou 2, sur la

base canonique de IR4.

3. On pose A = S1.S2. Montrer que A est la matrice d’une symetrie orthogonale.

4. Trouver le noyau de A+I4. En deduire la matrice de la symetrie orthogonale par rapport

a H et preciser ce que represente A.

5. Trouver la matrice de la projection orthogonale sur H (dans la base canonique) et

verifier le resultat de 1. concernant b.

EXERCICE .2 Soient E un espace euclidien, s et t deux symetries orthogonales de E.

Demontrer que les enonces suivants sont equivalents:

ı. st est une symetrie vectorielle.

ıı. st est une symetrie vectorielle orthogonale.

ııı. st = ts.

EXERCICE .3 Soit B = ei1≤n, une base orthonormale de IRn, n ≥ 3. On designe par

si la symetrie orthogonale par rapport a la droite IR.ei et par H le sous-espace vectoriel

engendre par e1 et e2.

1. Former sur la base B les matrices S1 et S2 de s1 et s2, et calculer les produits A = S1.S2,

A′ = S2.S1.

129

130 n.11 : I. Espaces euclidiens, II. Equations diffrentielles

2. Montrer −s1s2 est la symetrie orthogonale par rapport a H et dire ce qu’est

l’endomorphime s1s2.

EXERCICE .4 On considere l’equation differetielle suivante

(t2 − 1)y′ + ty = t3 − t (E)

1. Determiner les solutions de E sur chacun des intervalles ]−∞,−1[, ]− 1, 1[, ]1, +∞[.

2. Determiner les solutions de E definies sur IR.

3. Soit α ∈ IR. On note Ψα la solution de E definie sur ]−1, 1[ telle que Ψα(0) = α. Tracer,

sur le meme graphique, le graphe de Ψα pour α ∈ 0,−1/3,−2/3,−2.EXERCICE .5 Resoudre le probleme differentiel suivant:

y′′ − 5y′ + 4y = 32x2 + 16 cos x

y(0) = 0, y′(0) = 0.

EXERCICE .6 Resoudre le systeme lineaire suivant:

x + y + z + t = 22x + 3y + 4z + 5t = 64x − y − 5z − 8t = 16x + 5y + 3z + t = 5

O MRANKOUBA



Dans tout le probleme, p designe un nombre premier donne.

Le but de ce probleme est de demontrer que tout groupe fini d’ordre p2 est commutatif.

I

Soit (G, ·) un groupe. Pour z ∈ G, on appelle stabilisateur de z l’ensemble

stab (z) = g ∈ G | gzg−1 = z.

Et on appelle orbite de z l’ensemble

O(z) = h−1zh |h ∈ G.

On se propose dans cette partie de demontrer que, si G est fini et si z est un element

de G, alors

Card (O(z))Card (stab (z)) = Card (G). (∗)

1. Montrer que stab (z) est un sous-groupe de G.

12. On considere la relation binaire <z sur G definie par

x<z y ⇐⇒ xy−1 ∈ stab (z)

Montrer que <z est une relation d’equivalence.

3. Notons G/<z l’ensemble des classes d’equivalence pour la relation <z. Montrer que

a. Si A ∈ G/<z (i.e. A est une classe d’equivalence), alors

Card (A) = Card (stab (z)).

b. Pour h−1zh ∈ O(z), on pose Φ(h−1zh) = [h] ( classe de h). Montrer que Φ definit

une application de O(z) dans G/<z et que cette application est bijective.

4. Conclure.

131

132 n.12 : Groupes d’ordre p2

II

Soit (G, ·) un groupe. On appelle le centre de G l’ensemble

ZG = z ∈ G | ∀ g ∈ G, gz = zg.1. Montrer que ZG est un sous-groupe de G, et que G = ZG si, et seulement si, G est

commutatif.

2. On considere la relation binaire < sur G definie par

x< y ⇐⇒ ∃g ∈ G, gxg−1 = y

Montrer que < est une relation d’equivalence.

3. Montrer que si z ∈ G, alors [z]< = O(z).

4. Montrer que Card (O(z)) = 1 ⇐⇒ z ∈ ZG.

5. On suppose que G est fini et non commutatif. Montrer qu’il existe z1, z2, . . . , zm dans

G \ ZG tels que

Card (G) = Card (ZG) +m∑

k=1

Card (O(zk)).

6. On suppose que Card (G) = pn. Montrer, en utilisant le resultat (∗) de la partie I. et

II.4., que si z 6∈ ZG alors p divise Card (O(z)).

7. Conclure que si Card (G) = pn, alors p divise Card (ZG).( On pourrait utiliser 5. et

6).

III

Soit (G, ·) un groupe de cardinal p2. Il s’agit de demontrer que G est commutatif. On

va raisonner par l’absurde, on suppose donc que Card (ZG) < p2.

1. Montrer que Card (ZG) = p, (Utiliser II.7.).

2. On considere la relation d’equivalence < sur G definie par

x < y ⇐⇒ xy−1 ∈ ZG.

Notons G/ZG l’ensemble des classes d’equivalence pour la relation <. Soient A et B

deux elements de G/ZG, montrer que [x.y]< ne depend pas du choix de x dans A et de

y dans B. On note cette classe A ∗B. Montrer que (G/ZG, ∗) est un groupe de cardinal

p. Il est donc cyclique.

3. Soit h ∈ G tel que [h]< soit un generateur de (G/ZG, ∗). Montrer que tout element de G

s’ecrit sous la forme zhr avec z ∈ ZG et r ∈ ZZ. Puis que G est commutatif et conclure.O MRANKOUBA



EXERCICE .1 Soit (G, ·) un groupe fini, e son element neutre.

1. Notons A = x ∈ G |x2 6= e, et definissons la relation binaire < sur A:

x< y ⇐⇒ y ∈ x, x−1.

a. Montrer que < est une relation d’equivalence.

b. Montrer que ∀x ∈ A, Card ([x]<) = 2.

c. Montrer que Card (A) est pair.

2. On suppose que le groupe G est de cardinal pair. Montrer que le cardinal de l’ensemble

x ∈ G |x2 = e est pair.

3. En deduire que tout groupe fini d’ordre pair contient un sous groupe d’ordre 2.

EXERCICE .2 Pour n ≥ 3, on pose

vn =n∑

k=3

1kLog k

; un = Log Log n− vn.

1. Montrer que ∀ y ∈ IR+,y

1 + y≤ Log (1 + y) ≤ y.

2. On note pour x > 1, f(x) = Log Log (1 + x)− LogLog (x).

a. Montrer que f(x) = Log (1 + y) avec y = [Log (1 + 1/x)] /Log (x).

b. Utiliser 1. deux fois pour conclure que

∀ x > 1,1

(1 + x)Log (1 + x)≤ f(x) ≤ 1

xLog (x).

3. En deduire que pour 3 ≤ n < m, on a 0 ≤ um − un ≤ 1nLogn

− 1mLogm

.

4. Montrer qu’il existe δ ∈ IR tel que pour n ≥ 3,on a 0 ≤ δ − un ≤ 1nLog n

.

5. Pour m ≥ 2, on pose Im =m2∑

k=m+1

1kLog k

. Montrer que limm→+∞

Im = Log 2.

133

134 n.13 : I. Groupes, II. Suites

EXERCICE .3

1. Montrer que l’equation 1+x−x3 = 0 admet une unique solution reelle r qui appartient

a [1, 3/2].(On pourrait etudier la fonction f(x) = 1 + x− x3)

2. On se propose de determiner r. Pour x ∈ IR∗+,on pose g(x) =

√1 +

1x

, et on considere

la suite

x0 = 1

xn+1 = g(xn)

a. Montrer que ∀n ∈ IN, xn ∈ [1, 3/2].

b. Montrer que ∀x, y ∈ [1, 3/2], |g(x)− g(y)| ≤ |x− y|2

.

c. En deduire que ∀n ≥ 0, |xn+1 − xn| ≤ 2−(n+1).

d. Montrer que 0 ≤ n < m =⇒ |xm − xn| ≤ 2−n.

e. Conclure que la suite (xn)n≥0 converge vers une limite ` ∈ [1, 3/2], et que ` = r la

racine de l’equation de 1.

f. Montrer que ∀n ≥ 1, |xn − r| ≤ |xn−1 − xn| .g. Determiner une valeur approchee de r a 10−6 pres. On presentera les resultats sous

forme d’un tableau contenat n, xn et |xn−1 − xn|.

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 Soit S l’ensemble des solutions x ∈ ZZ du systeme

x = 1 mod 6x = 6 mod 35x = 35 mod 143

Determiner x0 ∈ S tel que |x0| = min|x| : x ∈ S.

EXERCICE .2 Soit (a, µ, ν) ∈]− 1, +∞[×IR× IR. On considere la fonction

g :]− 1, +∞[−→ IR : g(x) =

Log (1 + x) si x ∈ ]− 1, a]ν(x− 1)2 + µ si x ∈ ]a,+∞[

On suppose que g est de classe C2. Determiner a, µ, ν.

EXERCICE .3 Soit (A1A2A3A4) un quadrilatere convexe du plan. Sur les cotes A1A2,

A2A3, A3A4, A4A1 exterieurement a ce quadrilatere, on construit quatre carres de centres

respectifs B1, B2, B3, B4. On se propose de demontrer que les milieux C1, C2, C3, C4 de B1B2,

B2B3, B3B4, B4B1 respectivement forment un carre.

On note z1, z2, z3, z4 les affixes des points A1, A2, A3, A4 respectivement.

1. Calculer les affixes w1, w2, w3, w4 des points B1, B2, B3, B4 .

2. Calculer les affixes v1, v2, v3, v4 des points C1, C2, C3, C4 .

3. Soit Ω =14(v1 + v2 + v3 + v4). montrer que vk − Ω = (i)k−1(v1 − Ω) (k = 2, 3, 4).

4. Conclure.

EXERCICE .4

1. Soient A,B ∈ IR[X] definis par

A(X) =X6 + 3X5 + 2X4 + 6X3 + X2 + 2X − 3

B(X) =X5 + 4X4 + 5X3 + 8X2 + 8X + 6.

Calculer D(X) = PGCD (A(X), B(X)).

2. Trouver U, V ∈ IR[X] tels que UA + V B = D.

135

136 n.14 : I. Algebre generale, II. Derivation

EXERCICE .5 Simplifier l’expression suivante

2 arc tgx + arc tg7− 2x− 7x2

1 + 14x− x2.

EXERCICE .6 Soient (a, b) ∈ IR2, tel que a < b, et f : [a, b] −→ IR une application de

classe C2 sur [a, b]. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que:

f(a) + f(b)2

= f(a + b

2) +

(b− a)2

8f ′′(c).

PROBLEME

I

1. Soient α ∈]1, +∞[. Montrer, pour tout x ∈ IR∗+,

1(x + 1)α

≤ 1α− 1

(1

xα−1− 1

(x + 1)α−1

)≤ 1

xα.

2. On note bm(α) =m∑

k=1

1kα

. (m ∈ IN∗, α ∈]1, +∞[).

– Montrer que la suite bm(α)m≥1 converge. On note sa limite b(α).

– Montrer que, pour tout n ∈ IN∗,

1(α− 1)nα−1

− 1nα

≤ b(α)− bn(α) ≤ 1(α− 1)nα−1

.

II

1. Montrer qu’il existe un polynome et un seul P , verifiant

P (1) = P ′(1) = P ′′(1) = 0;P ′(0) = 0;P (4) = 1.

Reponse: P (X) =172

(X − 1)3(3X + 1).

2. Trouver un polynome Q de degre 5, tel que Q′ = P .

3. Soit F : [0, 1] −→ IR une fonction de classe C1, telle que ∀x ∈ [0, 1] F ′(x) = P (x)g(x),

ou g : [0, 1] −→ IR est une fonction continue. Montrer

− 1180

M ≤ F (1)− F (0) ≤ − 1180

m.

n.14 : I. Algebre generale, II. Derivation 137

ou l’on a pose M = supt∈[0,1]

g(t), m = inft∈[0,1]

g(t). ( On pourrait considerer la fonction

ψ(t) = F (t)− F (0)− (Q(t)−Q(0))A, avec A = m ou A = M).

4. Soit f : [0, 2] −→ IR une fonction de classe C5. On note g(x) = f(1 + x)− f(1− x), et

F (x) =4∑

k=0

(−1)kP (4−k)(x)g(k)(x).

Montrer que F est une fonction de classe C1 sur [0, 1], calculer F ′, puis montrer qu’il

existe ξ ∈ [0, 1] tel que

f(2)− f(0)− 13

(f ′(2) + 4f ′(1) + f ′(0)) = − 1180

[f (5)(1 + ξ) + f (5)(1− ξ)].

III

On note, pour n ≥ 1,

an =2√

n−n∑

k=1

1√k

.

An =√

n + 1 +√

n +16

(1√n− 1√

n + 1

)−

n∑

k=1

1√k

.

1. Montrer que la suite An − ann≥1 converge.

2. En considerant f(x) =√

x + n. Montrer, pour n ≥ 1, que

− 7192

1n9/2

≤ An+1 −An ≤ − 7192

1(n + 1)9/2

.

3. Montrer que pour tout m > n,

7192

(bm(

92)− bn(

92))≤ An −Am ≤ 7

192

(bm(

92)− bn(

92))

+7

1921

n9/2

(Pour la notation bn(α) voir I).

4. En deduire que la suite Ann≥1 converge vers une limite δ, et que si l’on pose

Bn = An − 196n3

√n

alors

|Bn − δ| ≤ 7192n4

√n

.

Donner un encadrement de Bn − δ pour n = 4, 9, 16, puis donner la valeur de δ a 10−6

pres.

5. Que peut-on dire concernant la suite ann≥1 ?O MRANKOUBA



EXERCICE .1 Discuter, suivant les valeurs de a, b et c dans IR, la convergence de la serie

de terme general

un = n2

(Log (n2 + n + a)− bLogn− 1

n + c

).

EXERCICE .2 On considere la fraction rationnelle suivante:

F (X) =4X2 + 17X + 17

(X + 1)(X + 2)2(X + 3)2.

1. Montrer que La serie∑

un avec un = F (n) est convergente.

2. Decomposer en elements simples dans IR(X) la fraction rationnelle F .

3. En deduire la valeur de la somme∞∑

n=0un.

EXERCICE .3 On considere la fonction

f(x) =

√∣∣∣∣(x + 1)(x2 − x + 2)

x + 2

∣∣∣∣.

On se propose d’etudier f et de tracer la courbe C representative de f .

1. Donner l’ensemble de definition de f et de sa derivee f ′.

2. Determiner les branches infinies de la courbe representative de f . (On precisera la

position de la courbe par rapport aux asymptotes eventuelles.)

3. Mettre x 7→ f(x)f ′(x) sous forme d’une fraction rationnelle simple.

En deduire le tableau de variation de f .

4. Etudier l’intersection de la courbe C avec les asymptotes.

5. Mettre x 7→ (f(x))3f ′′(x) sous forme d’une fraction rationnelle simple.

En deduire les points d’inflexion de f .

6. Effectuer un trace complet de la courbe C.

138

n.15 : I. Developpements limites, II. Etude de series, de fonctions 139

EXERCICE .4 Calculer les primitives des fonctions suivantes:

f(x) =1

(x− 1)(x2 + 1)2.

g(x) =1

(1 + 4 cos x + 7 sin x) cos x.

h(x) =

√1 + 3

√x

x.

EXERCICE .5 On considere la la courbe parametree definie par:

x(t) = t +4t

y(t) = −t +1

4− t

1. Determiner l’ensemble de definition de t 7→ M(t) =

x(t)

y(t)

.

2. Etudier les branches infinies de la courbe.( asymptotes, position de la courbe par rapport

aux asymptotes, intersection de la courbe avec les asymptotes).

3. Donner le tableau de variation.

4. Determiner les points multiples (s’il y en a).

5. Donner une expression aussi simple que possible de x′(t)y′′(t)− y′(t)x′′(t). En deduire

les points d’inflexion de la courbe.

6. Donner un trace precis.

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 Soit En l’espace vectoriel des polynomes reels de degre inferieur ou egale a

n.( n > 2).

1. Quelle est la dimension de En ? ( Justifier votre reponse).

2. On pose Q0(X) = 1, et Qk(X) = X(X + 1) · · · (X + k − 1) pour k ∈ 1, 2, . . . , n.Montrer que Q0, Q1, . . . , Qn est une base de En.

3. Si P (X) ∈ En, on note Φ(P ) le polynome defini par

Φ(P ) = P (X + 1) + P (X − 1)− 2P (X).

a. Calculer Φ(Qk), pour k ∈ 0, 1, 2, . . . , n.b. Montrer que Φ est un endomorphisme de En.

c. Utiliser a. pour demontrer que Im Φ = En−2.

d. Montrer que si t 7→ P (t) est une fonction polynomiale periodique, alors P ∈ E0.

e. En deduire que Ker Φ = E1.

EXERCICE .2 Soit E un espace vectoriel de dimension m. On note IE l’application identite

de E.

1. On considere un endomorphisme S ∈ L(E) tel que SS = IE et S 6∈ IE ,−IE. On

pose E1 = Ker (IE − S), et E2 = Ker (IE + S).

a. Montrer que E1 = Im (IE + S), et que E2 = Im (IE − S).

b. Montrer que E = E1 ⊕ E2 et que E1 6= 0, E2 6= 0.c. Montrer qu’il existe une base (e1, . . . , em) de E et un entier r ∈ 1, 2, . . . , m − 1

tels que

S(ei) =

ei si i ≤ r

−ei si r < i ≤ m

140

n.16 : I. Etude d’endomorphismes, II. Courbes polaires 141

2. E designe IRn[X] l’espace vectoriel des polynomes reels de degre inferieur ou egal a n.

Soient a, b ∈ IR,(a 6= b). Pour P ∈ E, on note

S(P )(X) = (X − a)n P

(X − b

X − a

).

a. On pose vk = (X − 1)k, k = 0, 1, . . . , n. Calculer S(vk). En deduire que S definit

un isomorphisme de E. Exprimer S(vk) sur la base vj0≤j≤n.

b. On note wk = (X − a)n−k(X − b)k, k = 0, 1, . . . , n. Montrer que wj0≤j≤n forme

une base de E.

c. Trouver une condition necessaire et suffisante sur (a, b) pour que SS = IE .

d. On suppose que (a, b) = (1, 0).

– Donner une base de E1 = Ker (IE − S), et de E2 = Ker (IE + S).

– Determiner en fonction de n la dimension de E1 et celle de E2.

EXERCICE .3 On se propose d’etudier la courbe C determinee en coordonnees polaires par

ρ = f(θ) ou

f(θ) =cos (θ/2)

1− 2 cos (θ/2).

1. Donner l’ensemble de definition D de f . Sur quel intervalle suffit-il d’etudier f pour

obtenir la courbe C ?

On note C1 la partie de C decrite lorsque θ parcourt D ∩ [0, 2π]. Dire comment obtenir

C a partir de C1.

2. Etudier les branches infinies de C1 ; et determiner la position de la courbe C1 par rapport

aux asymptotes au voisinage de l’infini.

3. Donner un tableau precisant le signe de ρ′, les variations de ρ, le signe de ρ et les

tangentes aux points importants.

4. Montrer que la recherche des points d’inflexion revient a resoudre une equation

P (cos (θ/2)) = 0 ou P est un polynome de troisieme degre. Etudier P et montrer

qu’il admet une et une seule racine reelle α et que α ∈]2/3, 4/5[. En deduire que C1

admet un seul point d’inflexion en θ0 ∈]0, π/2[. (On exprimera θ0 en fonction de α).

142 n.16 : I. Etude d’endomorphismes, II. Courbes polaires

5. Tracer C. Quel est le nombre de points multiples de C ? ( On ne demande pas de les

determiner).

EXERCICE .4

I

1. Etudier les limites suivantes:

a.Log sin2 θ

cos2 θpour θ −→ π/2.

b. −(tg 2θ)(Log sin θ) pour θ −→ π/2 et θ −→ 0 avec des valeurs positives.

2. Montrer que sur ]0, π[, cos2 θ + Log sin2 θ ≤ 0. En deduire le sens des variations de la

fonction θ −→ −(tg 2θ)(Log sin θ) sur l’intervalle ]0, π/2[.

3. Application: Tracer la courbe d’equation polaire

ρ = (sin θ)−tg 2θ, θ ∈ [0, π/2].

II

1. Determiner les extremums de F : θ −→ sin2 θ cos θ sur l’intervalle [0, π/2], et faire un

tableau de variation.

2. Determiner le nombre de solutions sur [0, π/2] de l’equation F (θ) = 1/4. En donner des

valeurs approchees a 10−2 pres.

3. Application: Tracer la courbe d’equation polaire

ρ = (sin θ)2 θ ∈ [0, π/2].

Preciser les coordonees (exactes) du point a tangente parallele a Oy. Donner des valeurs

approchees des ordonnees des points d’abscisse 1/4.

4. Trouver une primitive de√

1 + 3u2 sur IR, le resultat devra etre donne en fonction de

u au moyen des fonctions √ et Log .

Application: Sachant que la longueur ` de la courbe de 3. est donnee par

` =∫ π/2

0

||Tθ|| dt

ou ||Tθ|| est la longueur du vecteur tangente Tθ a la courbe en θ. Determiner `.

n.16 : I. Etude d’endomorphismes, II. Courbes polaires 143

III

On designe par α un reel quelconque et par Cα la courbe d’equation polaire:

ρ = (sin θ)−α θ ∈]0, π[.

1. Montrer que Cα est symetrique par rapport a Oy.

2. Reconnaıtre et tracer les courbes: C−1,C0,C1.

3. Discuter suivant la valeur de α l’allure de Cα pour θ −→ 0 avec des valeurs positives.

4. Montrer que pour α ∈ IR∗+ \ 1, la courbe Cα a un point d’inflexion et un seul Iα dans

D = (x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0.a. Determiner les coordonnees de Iα en fonction de α.

b. Trouver le lieu de Iα(par son equation polaire).

5. Utiliser ce qui precede pour tracer sommairement C2. Donner les coordonnees des points

d’inflextion.

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 Pour λ ∈ IR on note Aλ la matrice

Aλ =

1 +λ2

2−λ2

2λ

λ2

21− λ2

2λ

λ −λ 1

On note aussi G l’ensemble Aλ | λ ∈ IR.1. Demontrer que toute matrice de G s’ecrit de maniere unique sous la forme I+λB+

λ2

2C,

ou I designe la matrice unite deM3(IR) et B, C deux matrices deM3(IR) independantes

de λ.

2. Calculer BC,CB, B2, C2, B3, C3.

3. Trouver une relation simple entre Aλ, Aµ et Aλ+µ.

4. En deduire que G muni de la loi de multiplication de matrices est un groupe commutatif.

5. Calculer (Aλ)n en fonction de (Aλ)2, Aλ, n et I.

EXERCICE .2 On note E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients complexes de degre

inferieur ou egal a 4.

On considere les deux endomorphismes suivants de E :

d : E −→ E :P (X) 7→ P ′(X).

δ : E −→ E :P (X) 7→ P (X + 1)− P (X).

1. Soit B1 la base de E definie par:

e0 = 1, e1 = X, ek =X(X − 1) · · · (X − k + 1)

k!, (2 ≤ k ≤ 4).

a. Ecrire la matrice ∆ de δ dans la base B1.(i.e. ∆ = Mat (δ,B1)).

b. Calculer ∆2, ∆3 et ∆4.

c. Ecrire la matrice D de d dans la base B1.(i.e. D = Mat (d,B1)).

144

n.17 : I. Matrices, II. Integration 145

d. En deduire une expression de d en fonction de δ, δ2, δ3 et δ4.

2. Soit B2 la base de E definie par:

f0 = 1, f1 = X, f2 =X2

2, f3 =

X3

6, f4 =

X4

24.

a. Ecrire la matrice ∆ de δ dans la base B2.(i.e. ∆ = Mat (δ,B2)).

b. Ecrire la matrice D de d dans la base B2.(i.e. D = Mat (d,B2)).

c. Calculer D2, D3 et D4.

d. En deduire une expression de δ en fonction de d, d2, d3 et d4.

EXERCICE .3 Pour t ∈ [0, π/2[ et x ∈ [0, π/2], on pose

f(t, x) =Log (1 + cos x cos t)

cos t

1. Montrer que pour tout x ∈ [0, π/2], la fonction t 7→ f(t, x) est prolongeable en une

fonction continue sur [0, π/2].

Dans la suite du probleme, on pose pour x ∈ [0, π/2], F (x) =∫ π/2

0

f(t, x) dt.

2. Montrer que F est continue et derivable sur [0, π/2].

3. Calculer F ′(x) pour x ∈ [0, π/2].

4. En deduire une expression simple de F (x) pour x ∈ [0, π/2].

5. Utiliser ce qui precede pour evaluer l’integrale suivante:

∫ 1

0

Log (1 + u)u√

1− u2du.

EXERCICE .4 Soit f une fonction reelle de classe C2 sur [0, 1] telle que f(0) = f(1) = 0.

1. En effectuant une intgration par parties, montrer que

−f(x) = (1− x)∫ x

0

tf ′′(t) dt + x

∫ 1

x

(1− t)f ′′(t) dt

2. En deduire que pour tout x ∈ [0, 1] l’on a

f(x) ≥ −x(1− x)2

supt∈[0,1]

f ′′(t).

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 On considere la courbe Γλ definie par la parametrisation:

IR −→ IR2 : t 7→ M(t) =

t +shλ− sh t

ch t

1 + sh λ.sh t

ch t

ou λ ∈ IR est un parametre.

1. Quelle relation y a-t-il entre Γλ et Γ−λ ?

2. Montrer qu’il existe un point Pλ et un seul ou la tangente a la courbe Γλ est parallele

a Oy. Quelle est la courbe decrite par Pλ lorsque λ varie dans IR.

3. Montrer qu’il existe un point Nλ et un seul ou la courbe Γλ n’est pas regulier en ce

point. Quelle est la courbe decrite par Nλ lorsque λ varie dans IR.

4. On note Γ−λ (resp.Γ+λ ) la partie de la courbe Γλ decrite lorsque t varie dans ] −∞, λ[

(resp. ]λ,+∞[). Montrer que Γ−λ et Γ+λ sont des courbes biregulieres et determiner leurs

developpees.

EXERCICE .2 On note E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels muni du

produit scalaire:

〈P, Q〉 =∫ 1

0

P (x).Q(x) dx.

1. Trouver une base du sous-espace F des polynomes de degre inferieur ou egale a 3 qui

s’annulent en 0 et en 1.

2. Donner une base orthonormale de F .

3. Donner la projection orthogonale de Xn sur F .

4. Donner la symetrie orthogonale de Xn par rapport a F .

146

n.18 : I. Geometrie, II. Espaces euclidiens, III. Matrices 147

EXERCICE .3 Soit, pour n un entier ≥ 2, An = (aij) ∈Mn+1(IR) la matrice reelle d’ordre

n + 1 definie par aij = 0 si |i− j| 6= 1, aii+1 = i pour i ∈ 1, 2, . . . , n, aj+1j = n + 1 − j

pour j ∈ 1, 2, . . . , n.

An =

0 1 0 · · · · · · · · · 0

n 0 2...

0 n− 1 0. . .

......

. . . . . . . . ....

.... . . 0 n− 1 0

... 2 0 n0 · · · · · · · · · 0 1 0

1. On suppose n = 5. Montrer que A5 est inversible et calculer A−15 .( On pourrait resoudre

A5X = Y ).

2. On note En = IRn[X] l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels de degre

inferieur ou egal a n. On considere les deux bases de En:

E : (e1, e2, . . . , en+1) ou ek = Xk−1 ; k = 1, 2, . . . , n + 1.

F : (f1, f2, . . . , fn+1) ou fk = (X − 1)k−1(X + 1)n−k+1 ; k = 1, 2, . . . , n + 1.

enfin si P ∈ En on pose D(P ) = nXP + (1−X2)P ′.

a. Montrer que si P ∈ En alors D(P ) ∈ En.

b. Ecrire Mat(D, E) et Mat(D,F) les matrices de D dans les bases E et F respec-

tivement.

c. En deduire une expression simple de det An.

d. Donner une condition necessaire et suffisante sur n pour que An soit inversible.

3. On suppose que n = 2p + 1.

a. Montrer qu’il existe un polynome P0 et un seul dans En tel que D(P0) = 1.

b. Montrer que deg P0 = n.

c. Montrer que P0 est impair (i.e. P (−X) = −P (X)).

d. On pose P0 =p∑

k=0

αkX2k+1. Trouver une relation de recurrence qui permet de

determiner successivement α0, α1, . . . , αp. En deduire αk en fonction de k.

(Reponse: αk = 22k (−1)k

2k + 1Ck

p

Ck2k

).

e. En posant P0 =2p+1∑k=0

βk(X − 1)k(X + 1)2p+1−k. Determiner β0, β1, . . . , β2p+1. (On

pourrait commencer par exprimer 1 sur la base F en ecrivant 2 = (X+1)−(X−1)).

148 n.18 : I. Geometrie, II. Espaces euclidiens, III. Matrices

f. En deduire l’identite:

(X + 1

2

)2p+1 2p+1∑

k=0

Ck2p+1

2p + 1− 2k

(1−X

1 + X

)k

=p∑

k=0

(−1)k

2k + 1Ck

p

Ck2k

22kX2k+1

4. Integrer, sur ]− 1, 1[, l’equation differentielle

(2p + 1)xy + (1− x2)y′ = 1.

En deduire une expression de P0(x), (x ∈]− 1, 1[) contenant une integrale.

5. Utiliser ce qui precede pour calculer

∫ θ

0

dt

(cos t)2p+2pour − π

2< θ <

π

2.

O MRANKOUBA



On note E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels.

I

1. Montrer que pour tout n ∈ IN la fonction t 7→ tn e−t est integrable sur IR+. On pose

In =+∞∫0

tn e−t dt. Etablir une relation de recurrence entre In et In−1. En deduire la

valeur de In.

2. Soit l’equation differentielle

(1− x)y′ − λy = 0 (1)

y une fonction inconnue de la variable reelle x et λ ∈ IR.

a. Determiner les solutions de (1) sur ]−∞, 1[.

b. Pour quelle valeur de λ les solutions ainsi definies sont elles des polynomes de

degree n ? Ces polynomes sont-ils alors des solutions sur IR de (1) ?

II

Si P ∈ E on pose L(P )(x) =+∞∫0

P (tx) e−t dt.

1. Calculer L(Xn), ( n ∈ IN ).

2. Montrer que L est un endomorphisme de E. Donner Ker L.

3. Soit Q =n∑

k=0

akXk. Montrer qu’il existe un unique P , que l’on demande de determiner,

tel que L(P ) = Q.

4. Soit P ∈ E. Comparer les polynomes:

a. X(L(P ))′ et L(XP ′).

b. (L(P ))′ et L((XP ′)′). (On Pourrait commencer par etudier le cas P = Xn).

149

150 n.19 : Polynomes de Laguerre

III

Si P ∈ E on pose D(P ) = XP ′′ + (1−X)P ′.

1. Montrer que D est un endomorphisme de E.

2. Soit λ ∈ IR. On considere l’equation

D(P ) = λP (2)

ou P est un element inconnu de E.

a. Montrer que si P est une solution de (2), L(P ) est une solution d’une equation

differentielle que l’on precisera.

b. Pour quelles valeurs de λ, (2) a-t-elle des solutions dans E ?

3. Soit n ∈ IN.

a. Montrer qu’il existe un polynome Ln et un seul verifiant

D(Ln) + nLn = 0, Ln(0) = 1

Preciser les expressions de L(Ln) et de Ln.

b. Montrer que Ln(x) =1n!

ex(xne−x

)(n).

IV

Si (P, Q) ∈ E × E on pose

〈P,Q〉 =∫ +∞

0

P (t).Q(t) e−t dt.

1. Montrer qu’on definit ainsi un produit scalaire sur E.

2. a. Calculer la derivee de x 7→ xe−xP ′(x). En deduire une expression nouvelle de D(P ).

b. Montrer que pour (P, Q) ∈ E × E on a 〈D(P ), Q〉 = 〈P,D(Q)〉.c. En deduire la valeur de 〈Lp, Lq〉 pour p 6= q.

3. On note fn,k(x) = (xne−x)(n−k) pour 0 < k ≤ n.

a. Montrer que fn,k(0) = limx→∞

fn,k(x) = 0.

b. En deduire par recurrence sur k que

〈Ln, Q〉 =(−1)k

n!

∫ +∞

0

fn,k(t)Q(k)(t) dt

et puis que

〈Ln, Q〉 =(−1)n

n!〈Xn, Q(n)〉

ou Q est un element quelconque de E.

4. Utiliser ce qui precede pour calculer 〈Ln, Ln〉 pour tout n ∈ IN.

n.19 : Polynomes de Laguerre 151

V

Dans cette partie n est un entier ≥ 1 fixe.

1. Montrer qu’il existe des reels α0, α1, . . . , αn+1 tels que

XLn =n+1∑

k=0

αkLk

2. Montrer que, si k < n− 1 alors αk = 0.

3. Calculer αn+1 et αn−1.

4. Calculer αn en donnant a x une valeur particuliere.

5. En deduire une relation de recurrence permettant d’exprimer Ln+1 en fonction de Ln

et Ln−1.

O MRANKOUBA



EXERCICE .1 Soient E et F deux ensembles.Montrer que f : E → F est injective si, et

seulement si, ∀ (X,Y ) ∈ E2, f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y ).

EXERCICE .2 On appelle application croissante de l’ensemble ordonne (E,≤E) dans

l’ensemble ordonne (F,≤F ), toute application f : E → F telle que :

∀ (x, y) ∈ E2, x ≤E y =⇒ f(x) ≤F f(y)

Si f est bijective croissante f−1 est elle une application croissante ? Justifier.

EXERCICE .3 Theoremre de Cantor-Bernstien

Soient E et F deux ensembles tels qu’il existe une injection f : E → F et une injection

g : F → E. On veut montrer qu’il existe une bijection ϕ : E → F .

On considere h : E → E definie par h = gf , et on pose G = E \ g(F ). On appelle F ,

le sous-ensemble de P(E) constitue des parties X de E telles que G ∪ h(X) ⊂ X.

1. Montrer que F est non vide et stable par intersection quelconque (i.e. si (Xi)i∈I est une

famille d’elements de F , alors⋂

i∈I

Xi ∈ F).

2. Montrer que si X ∈ F , alors G ∪ h(X) ∈ F .

3. On pose A =⋂

X∈FX, B = E \A, A′ = f(A), et B′ = g−1(B). Montrer que:

A′ ∩B′ = Ø, et que A′ ∪B′ = F

On pourra considerer l’image d’un element de F par g.

4. Montrer que l’application ϕ : E → F definie par :

ϕ(x) =

f(x) pour x ∈ A

g−1(x) pour x ∈ B

est une bijection.

152

n.20 : Ensembles et Applications 153

EXERCICE .4 On definit la relation suivante sur P(IN) :

∀A,B ⊂ IN, A ∼ B ⇐⇒ ∃ϕ : IN → IN bijective telle que ϕ(A) = B.

1. a. Demonter que ∼ est une relation d’equivalence.

b. Prouver que :

A ∼ B ⇐⇒ A ∼ B ou (A = IN \A).

c. Prouver que :

A ∼ B ⇐⇒ A et A sont respectivement equipotent a B et B.

2. Soit A ⊂ IN, et A la classe d’equivalence de A.

a. Si A est fini de cardinal n, montrer que A = B ⊂ IN; Card (B) = n.b. Si A est infinie et A fini, decrire A.

c. Si A, A,B, B sont infinis, montrer que A ∼ B.

3. On note E l’ensemble quotient P(IN)/ ∼, et on d’efinit une relation sur E :

∀A,B ∈ E , A ≤ B ⇐⇒ ∃A ∈ A et B ∈ B telles que A ⊂ B.

a. Demontrer que ≤ est une relation d’ordre sur E . Pour l’antisymetrie vous pouvez

utiliser le theoreme de Cantor-Bernstein.

b. Demontrer que l’ordre est total.

c. E a-t-il la propriete de la borne superieure ?

O MRANKOUBA

45772 a

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