5. financijska matematika. financijska... · 243 financijska matematika 5. financijska matematika...
TRANSCRIPT
243 Financijska matematika
5. Financijska matematika
Financijska matematika se bavi rješavanjem gospodarskih i društvenih problema
primjenom postotnog i složenog kamatnog računa. Prvo uvodimo osnovne pojmove,
a potom objašnjavamo kako se rješavaju pojedini problemi pomoću financijske
matematike, kao što su račun rente, otplate zajma, potrošačkog kredita, i sl.
5.1. Osnovni pojmovi i terminologija
Definicija 5.1. Vjerovnik ili zajmodavac je bankarska institucija, pravna ili fizička
osoba koja je posudila novac drugoj bankarskoj instituciji, pravnoj ili fizičkoj osobi.
Dužnik je bankarska institucija, pravna ili fizička osoba koja je posudila novac od
druge financijske institucije, pravne ili fizičke osobe. Vjerovnik na posuđeni novac
obračunava i naplaćuje kamate od dužnika, dok dužnik na posuđeni novac plaća
kamate vjerovniku.
Definicija 5.2. Naknadu koju dužnik plaća za upotrebu posuđenog novca od
vjerovnika na osnovi zakonskih propisa ili ugovora nazivamo kamatama.
Definicija 5.3. Iznos kamata na 100 novčanih jedinica duga za neku vremensku
jedinicu (obično kalendarsku godinu) nazivamo kamatnom stopom.1 Vremensku
jedinicu na koju se odnosi obračun kamata nazivamo obračunskom vremenskom
jedinicom ili jediničnim periodom. U praksi se kao obračunska vremenska jedinica
koristi kalendarska godina, polugodište, kvartal (tromjesečje), mjesec, a čak i dan.
Kamatna stopa se ugovara između vjerovnika i dužnika za određenu vremensku
jedinicu, a to je najčešće godina dana, a može se ugovoriti konstantna ili promjenljiva
kamatna stopa.
Postoje dva osnovna načina obračuna kamata: (1) obračun kamata na kraju
jediničnog perioda u odnosu na glavnicu s početka tog obračunskog perioda, koji
nazivamo dekurzivnim načinom obračuna kamata, i (2) obračun kamata na početku
jediničnog perioda u odnosu na glavnicu s kraja obračunskog perioda, koji nazivamo
anticipativnim načinom obračuna kamata. Kod nas se najčešće koristi dekurzivni
način obračuna kamata.
Kod anticipativnog načina obračuna kamata, kamate se obračunavaju na početku
jediničnog perioda na glavnicu (iznos kredita) po anticipativnoj kamatnoj stopi q, pri
čemu dužnik odmah plaća kamate, a na kraju jediničnog perioda dužan je vratiti
glavnicu, dok se kod dekurzivnog načina obračuna kamata, kamate također
1 U literaturi se upotrebljava je i termin kamatnjak, ali se u praksi češće koristi termin kamatna stopa, pa ćemo ga i mi u daljnjem tekstu koristiti.
244 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
obračunavaju na glavnicu, ali po dekurzivnoj kamatnoj stopi p, a plaćaju se na kraju
jediničnog perioda zajedno s glavnicom.
Uvedimo sljedeće oznake:
- C = iznos zajma,
- q = anticipativna kamatna stopa,
- Ka = iznos anticipativnih kamata,
- C ' = iznos zajma nakon plaćanja anticipativnih kamata
- p = dekurzivna kamatna stopa,
- Kd = iznos dekurzivnih kamata,
- C1 = iznos zajma s kamatama na kraju jediničnog perioda obračuna
kamata. Primjer 5.1. Pretpostavimo da smo posudili iznos od 100000 kn na godinu dana uz
godišnju kamatnu stopu 8. Izračunajmo koliko i kada moramo vratiti vjerovniku ako
je obračun kamata godišnji i: a) anticipativan, b) dekurzivan.
Rješenje. a) C = 100000, q = 8, Ka = ? C ' = ?
Iznos anticipativnih kamata računamo po obrascu
,100
a
CqK
pa imamo
100000 88000.
100aK
Iznos zajma nakon plaćanja anticipativnih kamata dobivamo primjenom obrasca
' 1 ,100 100
a
Cq qC C K C C
.
pa imamo
8' 100000 1 100000 0,92 92000
100C
Dakle, danas trebamo platiti iznos 8000aK , a istekom roka od jedne godine iznos
glavnice C = 100000 kn.
b) C = 100000, p = 8, Kd = ? C1 = C + Kd = ?
Dekurzivne kamate računamo po obrascu
,100
d
CpK
245 Financijska matematika
pa imamo
100000 88000.
100dK
Dužnik na kraju jediničnog perioda treba platiti
1
81 100000 1 100000 1,08 108000,
100 100 100d
Cp pC C K C C
tj. iznos glavnice C = 100000 zajedno s kamatama Kd = 8000, ukupno C1 = 108000
kn.
Primjer 5.2. Izračunajmo iznos koji moramo danas posuditi ako nam je potrebno
100000 kn na godinu dana uz godišnji i anticipativan način obračuna kamata i
godišnju kamatnu stopu 4. Koliko iznose ukupne anticipativne kamate?
Rješenje. – 100000,aC K 4
100 100a
Cq CK
,
4100000
100
CC
41 100000
100C
100000104166,67
0,96C . Ukupne anticipativne kamate
računamo kao
100000 104166,67 100000 4166,67.aK C
Dakle, potrebno je posuditi 104166,67 kn. Ukupne anticipativne kamate iznose
4166,67 kn.
Razlikujemo jednostavni i složeni kamatni račun. U sljedećem poglavlju ćemo uvesti
ova dva pojma te prikazati osnove njihove primjene.
5.2. Jednostavni i složeni kamatni račun
Definicija 5.4. Kamatni račun u kojem se kamate obračunavaju na istu glavnicu u
cijelom razdoblju ukamaćivanja2 nazivamo jednostavnim kamatnim računom.
Propozicija 5.1. Neka se kamate obračunavaju po jednostavnom kamatnom računu
uz fiksnu kamatnu stopu p u svakom obračunskom periodu uz dekurzivni način
obračuna kamata. Tada vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog perioda iznosi:
0 1 .100
n
pnC C
(5.1)
Dokaz. Kamate za i-ti jedinični period iznose
2 Razdoblje ukamaćivanja je period za koji treba obračunati kamate.
246 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
0 , 1,..., ,100
i
C pK i n (5.2)
a ukupne kamate za svih n jediničnih perioda iznose
0
1
,100
n
i
i
C pnK K
(5.3)
pa je tražena konačna vrijednost iznosa C0
00 0 0 1 ,
100 100n
C pn pnC C K C C
(5.4)
što je trebalo dokazati.
Primjer 5.2. Banka je poduzeću posudila iznos od 40000 kuna na period od 2 godine
uz kamatnu stopu p = 5, pri čemu se primjenjuje jednostavni kamatni račun uz
dekurzivni način obračuna kamata. Odredimo iznos koji će poduzeće morati vratiti
banci na kraju ugovorenog perioda te odredimo koliko iznose ukupne kamate.
Rješenje. C0 = 40000, n = 2, p = 5, pa primjenom relacije (5.1) dobivamo iznos koji
poduzeće treba vratiti na kraju druge godine:
2
5 240000 1 40000 4000 44000
100C
kuna.
Ukupne kamate dobivamo primjenom relacije (5.3):
40000 5 24000
100K
kuna.
Propozicija 5.2. Neka se kamate obračunavaju po jednostavnom kamatnom računu
uz varijabilnu kamatnu stopu pi, i {1, 2, …, n}, u i-tom jediničnom periodu i neka
je obračun kamata dekurzivan. Vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog perioda
iznosit će
1 2 10 0
...1 1 .
100 100
n
i
n in
pp p p
C C C
(5.5)
Dokaz: Kamate za i-ti jedinični period iznose
0 , 1,..., ,100
ii
C pK i n (5.6)
247 Financijska matematika
a ukupne kamate su
0 0
1 1 1
,100 100
n n ni
i i
i i i
C p CK K p
(5.7)
pa konačna vrijednost iznosa C0 izgleda kao
0 10 0 0
1
1 ,100 100
n
ini
n i
i
pC
C C K C p C
(5.8)
što je i trebalo dokazati.
Primjer 5.2. Banka je poduzeću posudila iznos od 40000 kuna na period od 4 godine,
pri čemu kamatna stopa za prvu godinu iznosi 4%, a za preostale tri godine povećava
se za 0,25 po aritmetičkoj progresiji. Primjenjuje se jednostavni kamatni račun i
dekurzivni način obračuna kamata. Odredimo koliko iznose ukupne kamate i iznos
koji će poduzeće morati vratiti na kraju četvrte godine?
Rješenje: Kamatna stopa po godinama iznosi p1 = 4, p2 = 4,25, p3 = 4,5, p4 = 4,75.
Ukupne kamate izračunavamo primjenom relacije (5.7):
40000(4 4,25 4,5 4,75) 400 17,5 7000
100K ,
dok iznos na kraju četvrte godine dobivamo zbrajanjem iznosa C0 i ukupnih kamata
K, ili direktnom primjenom relacije (5.5). Dakle,
4 40000 7000 47000,C
odnosno
4
4 4,25 4,5 4,7540000 1 47000.
100C
Definicija 5.5. Složeni kamatni račun uz dekurzivno ukamaćivanje je obračun kamata
na način da se na kraju prvog jediničnog perioda glavnici pridodaju kamate za taj
jedinični period; na kraju drugog jediničnog perioda obračunavaju se kamate za taj
jedinični period s tim da se kao osnovica za obračun kamata uzima glavnica uvećana
za kamate iz prvog jediničnog perioda, na kraju trećeg jediničnog perioda
obračunavaju se kamate na glavnicu uvećanu za kamate iz prvog i drugog jediničnog
perioda, itd. Na analogan način se radi sve dok se kamate ne obračunaju i za n-ti
jedinični period.
248 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Propozicija 5.3. Neka se kamate obračunavaju po složenom kamatnom računu uz
fiksnu kamatnu stopu p u svakom jediničnom periodu i neka je način obračuna kamata
dekurzivan. Tada vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog perioda iznosi:
0 1 .100
n
n
pC C
(5.9)
Dokaz. Na početku prvog jediničnog perioda imamo C0.
Na kraju prvog jediničnog perioda odnosno na početku drugog jediničnog perioda
imamo
01 0 0 1 .
100 100
C p pC C C
Na kraju drugog odnosno na početku trećeg jediničnog perioda imamo
2
2 0 0 01 1 1 .100 100 100 100
p p p pC C C C
Matematičkom se indukcijom može dokazati da je vrijednost glavnice C0 na kraju n-
tog jediničnog perioda
1 1
0 0 01 1 1 .100 100 100 100
n n n
n
p p p pC C C C
1100
pr nazivamo dekurzivnim kamatnim faktorom. Dakle, ako na početku prvog
jediničnog perioda uložimo C0, na kraju n-tog jediničnog perioda imat ćemo
0 .n
nC C r (5.10)
Ukupne kamate (I)3 su jednake
0 0 0 1 .n nI C r C C r (5.11)
Pritom nr nazivamo faktorom akumulacije.
Primjer 5.3. Izračunajmo na koju će vrijednost narasti iznos od 100000 kn na kraju
pete godine od danas i kolike su ukupne kamate ako je godišnja kamatna stopa p = 8,
a obračun kamata godišnji, složen i dekurzivan.
Rješenje. Imamo: C0 = 100000, p = 8, n = 5, C5 = ? Primjenom relacije (5.9) dobivamo
3 Kod složenog kamatnog računa ukupne kamate označavamo s I.
249 Financijska matematika
5
5
5
8100000 1 100000 1,08 100000 1,469328077 146932,81
100C
,
a primjenom relacije (5.11) dobivamo ukupne kamate
5 0 146932,81 100000 46932,81I C C .
Propozicija 5.4. Neka se kamate obračunavaju po složenom kamatnom računu uz
varijabilnu kamatnu stopu pi, i {1, 2, …, n} u i-tom jediničnom periodu i neka je
način obračuna kamata dekurzivan. Tada vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog
jediničnog perioda iznosi
0 1 2 0
1
... ,n
n n i
i
C C rr r C r
(5.12)
gdje je 1 , 1,2,..., ,100
ii
pr i n dekurzivni kamatni faktor za i-ti jedinični
obračunski period.
U ovom slučaju ukupne kamate iznose
0 0
1
1 .n
n i
i
I C C C r
(5.13)
Primjer 5.4. Izračunajmo na koji će iznos narasti iznos od 100000 kn za razdoblje od
5 godina ako godišnja kamatna stopa u prvoj godini iznosi p1 = 8, a u naredne četiri
godine se uvećava za 0,25 godišnje po aritmetičkoj progresiji, te koliko iznose ukupne
kamate, ako se obračunavaju godišnje složene kamate i ako je obračun kamata
dekurzivan.
Rješenje. Imamo C0 = 100 000, p1 = 8, p2 = 8,25, p3 = 8,5, p4 = 8,75, p5 = 9, n = 5
5 ?. C Vrijednost C5 dobivamo primjenom relacije (5.12):
5 1 2 3 4 5100000 100000 1,08 1,0825 1,085 1,0875 1,09
100000 1,503616775 150361,68,
C r r r r r
a ukupne kamate dobivamo primjenom relacije (5.13):
150361,68 100000 50361,68I .
Propozicija 5.5. Neka se kamate obračunavaju po složenom kamatnom računu uz
fiksnu kamatnu stopu p u svakom jediničnom periodu i neka je način obračuna kamata
dekurzivan te neka je poznata vrijednost uplate nakon n godina. Tada vrijednost
iznosa Cn na početku prvog jediničnog perioda iznosi:
250 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
0
11 .
100
n
n
n n n n
pC C C r C
r
(5.14)
Dokaz: Iz relacije
0 1 ,100
n
n
pC C
dobivamo
0 1 ,100
n
n nn n n
p CC C C r
r
a to je i trebalo pokazati.
Veličinu 1nr
nazivamo diskontnim kamatnim faktorom.
Primjer 5.5. Neka osoba želi danas uložiti u banku određeni iznos da bi nakon 10
godina raspolagala iznosom od 100000 kuna. Odredimo iznos koji ta osoba treba
uložiti u banku, ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan, a kamatna stopa
je fiksna i iznosi 3.
Rješenje. Imamo C10 = 100000, n = 10, p = 3, C0 = ?
Primjenom formule (5.14) dobivamo
0 10 10
1 100000 100000100000 74409,39.
1,03 1,34391637931
100
C
Dakle, dana osoba uz zadane uvjete danas treba uložiti u banku iznos od 74409,39
kuna da bi nakon 10 godina raspolagala s iznosom od 100000 kuna.
5.3. Relativna i konformna kamatna stopa
Kamatna stopa se najčešće zadaje kao godišnja kamatna stopa, a obračun kamata je
često zadan kao polugodišnji, kvartalni ili mjesečni.
Ako zadanu godišnju kamatnu stopu p podijelimo s brojem obračunskih perioda u
tijeku jedne godine m dobivamo relativnu kamatnu stopu
.r
pp
m (5.15)
Međutim, ako su kamate na određeni iznos obračunane po složenom kamatnom
računu po stopi p jedanput godišnje jednake kamatama obračunanim m puta godišnje
251 Financijska matematika
na isti iznos, tada kažemo da se koristi konformna kamatna stopa, koja je kod
dekurzivnog načina obračuna kamata jednaka
' 100 1 1 .100
mp
p
(5.16)
Izvedimo izraz (5.16). Ako nam je zadana godišnja kamatna stopa p, onda je
dekurzivni godišnji kamatni faktor r dan sa 1 .100
pr Neka je broj obračuna
kamata tijekom godine jednak m. Tada je odgovarajući kamatni faktor '
1 ,100
m
pr
pri čemu je p' dekurzivna konformna kamatna stopa. Dekurzivni konformni kamatni
faktor rm računamo iz relacije
0 0 1 .100
m m mm m m
pC r C r r r r
Prema tome, imamo
'1 1 ,
100 100m
p p
odakle se lako dobije
' 100 1 1 .100
mp
p
Primjer 5.6. Izračunajmo relativnu i konformnu kamatnu stopu ako je godišnja
kamatna stopa p = 4,8, a obračun kamata je mjesečni.
Rješenje. Relativnu kamatnu stopu dobivamo primjenom relacije (5.15), tj.
4,80,4,
12r
pp
m
dok konformnu kamatnu stopu dobivamo primjenom relacije (5.16), tj.
124,8
' 100 1 1 100 1 1 100 0,0039146 0,3915100 100
mp
p
Kamatna stopa p’ ima svojstvo da su uz njenu primjenu m puta tijekom godine ukupne
složene kamate jednake kamatama dobivenim primjenom nominalne kamatne stope p
jedanput godišnje.
252 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
U slučaju kad se primjenjuje relativna kamatna stopa kažemo da se primjenjuje
proporcionalna metoda obračuna kamata, dok kad se primjenjuje konformna
kamatna stopa kažemo da se primjenjuje konformna metoda obračuna kamata.
Ako je poznata konformna kamatna stopa, iz relacije (5.16) jednostavno računamo
nominalnu kamatnu stopu p, tj.
'100 1 1 .
100
mp
p
(5.17)
5.4. Neprekidno ukamaćivanje
Ako se obračun kamata obavlja neprekidno, to jest ako između dva obračuna kamata
i njihovog pribrajanja kapitalu nema vremenskog diskontinuiteta, kažemo da se radi
o neprekidnom ukamaćivanju.
Neprekidnim ukamaćivanjem možemo izračunati prirodni prirast, jer je rast u stvari
ukamaćivanje u beskonačno malim vremenskim jedinicama.
Propozicija 5.6. Neka se radi o prirodnom rastu, a početna vrijednost C0 se ukamaćuje
po složenom kamatnom računu uz nominalnu kamatnu stopu p za jedinični period
ukamaćivanja. Tada se vrijednost kapitala na kraju n-tog jediničnog perioda računa
formulom:
1000 .
np
nC C e (5.18)
Dokaz. Konačnu vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog perioda računamo
formulom
0 1 .100
n
n
pC C
Ukoliko koristimo jedinični period kraći od jedne godine i pri tome upotrebljavamo
relativnu kamatnu stopu, onda je
0 1 .100
nm
nm
pC C
m
Ako pretpostavimo da se broj jediničnih perioda m povećava prema beskonačnosti,
tada je
253 Financijska matematika
0 0
100100
0 0
1000
lim 1 lim 1100 100
1
1 11001 lim 1 lim 1
,100
,
nm nm
nm m
nptnp
t
t t
np
p pC C C
m m
p
m tC C
tp t tt m
C e
(5.19)
pošto je
1lim 1 .
t
te
t
Primjer 5.7. Izračunajmo na koliko će narasti drvna masa u nekoj šumi za narednih
10 godina, ako trenutna drvna masa iznosi 100000 m3, a predviđa se godišnji prirast
po stopi p = 5.
Rješenje. Imamo: neprekidno ukamaćivanje, C0 = 100000, p = 5, n = 10, C10 = ?
Primjenom relacije (5.18) dobivamo
10 5 1
100 210 100000 100000 100000 1,648721271 164872,13C e e
.
Dakle, postojeća drvna masa od 100000 m3 za 10 godina narast će na 164872,13 m3.
5.5. Konačna i sadašnja vrijednost više uplata
Periodične uplate odnosno isplate nazivamo rentama i označavamo s R. Uplate
odnosno isplate mogu biti na početku ili na kraju jediničnih razdoblja4, koja mogu, ali
ne moraju odgovarati obračunskim razdobljima. Obračun kamata može biti
anticipativan ili dekurzivan, a kamatna stopa može biti konstantna tijekom perioda
uplata odnosno isplata, a može biti i promjenljiva. Uplate također mogu biti
konstantne tijekom perioda uplaćivanja, a mogu biti i promjenljive.
Mi ćemo se ovdje baviti izračunavanjem konačne i sadašnje vrijednosti više uplata uz
sljedeće uvjete:
1. uplate su konstantne u svim jediničnim periodima uplaćivanja,
2. kamatna stopa je konstantna za sve jedinične periode uplaćivanja,
3. identični su jedinični period uplaćivanja i jedinični period obračuna kamata,
4 Uplate na početku jediničnog perioda nazivamo prenumerando ili anticipativnim uplatama, a uplate na kraju jediničnog perioda nazivamo postnumerando ili dekurzivnim uplatama.
254 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
3. obračun kamata je dekurzivan.
5.5.1. Konačna vrijednost više uplata početkom svakog jediničnog
perioda
Vrijednost n nominalno jednakih iznosa R, uplaćenih početkom svakog jediničnog
perioda, na kraju n-tog razdoblja jednaka je (vidi sliku 5.1)
1 2 1 2
2 1
... ( ... 1)
(1 ... ).
n n n n
n
n n
S Rr Rr Rr Rr Rr r r r
Rr r r r
(5.20)
Članovi izraza u zagradi relacije (5.20) čine geometrijski niz on n članova kod kojeg
je prvi član a1 = 1, a kvocijent q = r. Koristeći formulu za zbroj prvih n članova
geometrijskog niza
1
1,
1
n
n
qS a
q
(5.21)
nalazimo da je tražena konačna vrijednost
1.
1
n
n
rS R r
r
(5.22)
Slika 5.1. Konačna vrijednost više uplata početkom jediničnog perioda
Primjer 5.8. Neka osoba ulagat će u banku početkom svake godine u idućih 5 godina
iznose po 12000 kn. Izračunajmo iznos s kojim će osoba raspolagati na kraju pete
godine, ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan, a banka obračunava
2,85% godišnjih kamata?
Rješenje: R = 12000, n = 5, p = 2,85, S5 = ? Budući da je 2,85
1 1,0285100
r ,
primjenom formule (5.22) dobivamo
R
R
1 2 3
R
R
R
n-1 n …
Rrn
Rrn-1
Rrn-2
Rr2
Rr
255 Financijska matematika
5
5
1,0285 112000 1.0285 65329,15
1,0285 1S
.
Dakle, osoba će nakon 5 godina raspolagati s iznosom od 65 329,15 kuna.
5.5.2. Sadašnja vrijednost više uplata početkom jediničnog perioda
Sadašnja vrijednost (vrijednost na početku prvog razdoblja) n nominalno jednakih
iznosa R uplaćenih početkom svakog jediničnog perioda jednaka je (vidi sliku 5.2)
' 1 2
2 1 1... ... 1 .n n
n n n n
R R R RA R r r r
r r r r
(5.23)
Članovi izraza u zagradi relacije (5.23) čine geometrijski niz od n članova kod kojeg
je prvi član a1 = 1, a kvocijent q = r. Koristeći formulu (5.21) za zbroj prvih n članova
geometrijskog niza nalazimo da je tražena sadašnja vrijednost
'
1
1.
1n
n
n
R rA
r r
(5.24)
Slika 5.2. Sadašnja vrijednost više uplata početkom jediničnog perioda
Primjer 5.25. Izračunajmo koliki iznos treba uložiti u banku da bi na osnovi tog uloga
u idućih 5 godina početkom svake godine mogli podizati po 12000 kuna? Obračun
kamata je složen, godišnji i dekurzivan, a banka primjenjuje fiksnu godišnju kamatnu
stopu p = 2,85.
Rješenje. R = 12000, n = 5, p = 2,85, '
5A = ? Budući da je 2,85
1 1,0285100
r ,
primjenom formule (5.24) dobivamo
5
5'
5 1
12000 1,0285 156765,64.
1,0285 1,0285 1A
R
R
R
R
1 2 3 n-1 n …
R
Rr-1
Rr-2
Rrn-2
Rrn-1
R
256 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Dakle, danas je potrebno uložiti u banku iznos od 56765,64 kn, da bi se u idućih 5
godina početkom svake godine moglo podizati iz banke iznos od 12000 kn.
5.6. Konačna i sadašnja vrijednost više uplata krajem
jediničnog perioda
5.6.1. Konačna vrijednost više uplata krajem svakog jediničnog perioda
Vrijednost n nominalno jednakih iznosa R, uplaćenih krajem svakog jediničnog
perioda, na kraju n-tog razdoblja jednaka je (vidi sliku 5.3)
' 1 2 1 2... ... 1 .n n n n
nS Rr Rr Rr R R r r r
(5.25)
Članovi izraza u zagradi relacije (5.25) čine geometrijski niz on n članova kod kojeg
je prvi član a1 = 1, a kvocijent q = r. Koristeći formulu (5.21) za zbroj prvih n članova
geometrijskog niza
nalazimo da je tražena konačna vrijednost
' 1.
1n
nrS R
r
(5.26)
Slika 5.3. Konačna vrijednost više uplata krajem svakog jediničnog perioda
Primjer 5.26. Neka osoba ulagat će u poslovnu banku krajem svake godine u idućih
5 godina po 12000 kn. Izračunajmo s kolikim iznosom će osoba raspolagati na kraju
pete godine ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan, a banka obračunava
2,85% godišnjih kamata?
Rješenje. R = 12000, n = 5, p = 2,85, ' ?nS Budući da je 2,85
1 1,0285100
r ,
primjenom formule (5.26) dobivamo
1 2 3
R
R
R
n-1 n …
Rrn-1
Rrn-2
Rr2
Rr
R
R
R
257 Financijska matematika
5
5' 1,0285 1
12000 63518,87.1,0285 1
S
Dakle, uz dane uvjete osoba će nakon 5 godina raspolagati s iznosom od 63518,87
kuna.
5.6.2. Sadašnja vrijednost više uplata krajem svakog jediničnog perioda
Sadašnja vrijednost n nominalno jednakih iznosa R uplaćenih krajem svakog
jediničnog perioda jednaka je (vidi sliku 5.4)
1 2 2
2 2 1... ... 1 .n n
n n n n n
R R R R R RA r r r r
r r r r r r
(5.27)
Članovi izraza u zagradi relacije (5.27) čine geometrijski niz od n članova kod kojeg
je prvi član a1 = 1, a kvocijent q = r. Koristeći formulu (5.21) za zbroj prvih n članova
geometrijskog niza nalazimo da je tražena sadašnja vrijednost
1.
( 1)
n
n n
rA R
r r
(5.28)
Slika 5.4. Sadašnja vrijednost više uplata krajem jediničnog perioda
Primjer 5.27. Izračunajmo koliki iznos treba danas uložiti u banku da bi na osnovi
tog uloga u idućih 5 godina krajem svake godine mogli podizati po 12000 kn?
Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan, a banka primjenjuje fiksnu godišnju
kamatnu stopu p = 2,85.
Rješenje. R = 12000, n = 5, p = 2,85, A5 = ? Budući da je 2,85
1 1,0285100
r ,
primjenom formule (5.28) dobivamo
5
5 5
1,0285 112000 55192,65.
1,0285 (1,0285 1)A
R
R
R
R
1 2 3 n-1 n …
R
Rr-2
Rr-n+2
Rr-n+1
Rr-n
Rr-1
258 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Dakle, uz dane uvjete, da bi neka osoba primala krajem svakog jediničnog perioda od
5 godina po 12000 kuna, ona danas mora uplatiti iznos od 55192,65 kuna.
5.7 Otplata zajma
Odobravanjem zajmova bave se banke i ostale financijske institucije, a odobravaju ga
na temelju ugovora o zajmu.
U ugovoru o zajmu definirani su sljedeći uvjeti:
- iznos zajma,
- vrijeme (rokovi) i način otplate zajma,
- kamatna stopa za redovne i zatezne kamate,
- poček (grace period), odnosno period nakon kojeg počinje otplaćivanje
zajma,
Otplata odnosno amortizacija zajma vodi se pregledno prema rokovima otplate, pri
čemu se za svaki rok računa nominalni iznos anuiteta, kamate, otplatna kvota i ostatak
duga.
Objasnimo pojmove otplatna kvota i anuitet.
Otplatna kvota je dio zajma kojim se otplaćuje osnovni dug. Anuitet je iznos koji
periodično plaća korisnik zajma, a sastoji se od otplatne kvote i složenih kamata.
Postoji više različitih modela otplate zajma, a možemo ih svrstati u dvije skupine:
- modeli s primarno danim anuitetima i
- modeli s primarno danim otplatnim kvotama.
5.7.1. Otplata zajma jednakim anuitetima
Otplata zajma jednakim anuitetima je najčešće primjenjivani model otplate zajma.
Postoji više varijanti ovog modela otplate zajma. Ovdje ćemo izložiti model zasnovan
na sljedećim pretpostavkama:
- obračun kamata je složen i dekurzivan,
- anuiteti su nominalno jednaki i dospijevaju krajem svakog jediničnog perioda
otplate zajma,
- duljina jediničnog perioda ukamaćivanja jednaka je duljini jediničnog perioda
otplate zajma,
- kamatna stopa je stalna u cijelom periodu amortizacije zajma.
Uvedimo sljedeće oznake:
C – nominalni iznos odobrenog zajma,
a – iznos nominalno jednakih anuiteta,
n – broj jediničnih perioda amortizacije zajma,
Ii – iznos kamata za i-ti jedinični period (i {1, 2, …, n},
259 Financijska matematika
Ri – iznos otplatne kvote za i-ti jedinični period otplate zajma,
Ci – ostatak duga na kraju i-tog jediničnog perioda amortizacije zajma,
p – fiksna dekurzivna kamatna stopa za jedinični period otplate zajma.
Pretpostavimo da se zajam u iznosu C otplaćuje nominalno jednakim anuitetima na
kraju svakog od n jediničnih perioda otplate zajma uz stalnu kamatnu stopu p. Dakle,
iznos zajma je jednak zbroju sadašnjih vrijednosti svih periodičnih uplata (anuiteta)
krajem svakog otplatnog razdoblja (vidi sliku 5.5), tj.
2 1
1... ,
1
n
n n n
a a a a a rC
r r r r r r
(5.29)
odakle računamo anuitet kao
( 1).
1
n
n
r ra C
r
(5.30)
Slika 5.5. Otplata zajma jednakim anuitetima
Primjer 5.28. Zajam je odobren poduzeću na 5 godina uz 5% godišnjih dekurzivnih
kamata i otplaćuje se nominalno jednakim anuitetima krajem godine u iznosu od po
12000a kn. Odredimo iznos zajma.
Rješenje. a = 12000, n = 5, p = 5, C = ? Pošto je 5
1 1,05100
r primjenom formule
(5.29) dobivamo
5
5
1,05 112000 51953,72.
1,05 (1,05 1)C
Dakle, uz dane uvjete zajam iznosi 51953,72 kuna.
C
a
3 1 2
a
a
a a
a
3 n-1 n …
ar-2
ar-1
a
ar-n+2
ar-n+1
aR-n
260 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Primjer 5.29. Zajam od 100000 kn odobren je poduzeću na 5 godina uz 5% godišnjih
dekurzivnih kamata i plaćanjem nominalno jednakih anuiteta krajem godine.
Odredimo iznos nominalno jednakog godišnjeg anuiteta i sastavimo otplatnu tablicu.
Rješenje. C = 100000, n = 5, p = 5, a = ?. Pošto je 5
1 1,05100
r , primjenom
formule (5.30) dobivamo
5
5
1.05 (1.05 1)100000 23097,48.
1.05 1a
Tablica 5.1. Plan otplate zajma iz primjera 5.29
Kraj i-tog
perioda
Anuitet (ai) Kamate (Ii) Otplatne kvote
(Ri)
Ostatak duga
(Ci)
0 - - - 100000,00
1 23097,48 5000,00 18097,48 81902,52
2 23097,48 4095,13 19002,35 62900,17
3 23097,48 3145,01 19952,47 42947,70
4 23097,48 2147,39 20950,09 21997,61
5 23097,48 1099,87 21997,61 0,00
Ukupno 115487,40 15487,40 100000,00 -
Objasnimo sada način na koji smo izračunali elemente tablice 5.1.
Kamate za i-ti period računamo primjenom jednostavnog kamatnog računa na osnovi
formule
1 ,100
ii
C pI i {1, 2, …, n}. (5.31)
Dakle, kamate za period 1 iznose
01
100000 55000,00.
100 100
C pI
Otplatnu kvotu za i-ti period dobivamo iz formule
,i iR a I i {1, 2, …, n} (5.32)
pa, prema tome, za period 1 otplatna kvota će biti
R1 = a – I1 = 23097,45 – 5000,00 = 18097,45.
Ostatak duga na kraju i-tog perioda dobivamo iz formule
Ci = Ci-1 – Ri, i {1, 2, …, n}. (5.33)
261 Financijska matematika
Dakle, ostatak duga na kraju perioda 1 iznosi
C1 = C0 – R1 = 100000,00 – 18097,45 = 81902,55.
Analogno izračunavamo kamate, otplatnu kvotu i ostatak duga za period 2, tj.
12
81902,55 54095,13,
100 100
C pI
R2 = a – I2 = 23097,45 – 4095,13 = 19002,32, C2
= C1 – R2 = 81902,55 – 19002,32 = 62900,23. Na sličan način računamo kamate,
otplatnu kvotu i ostatak duga za periode 3, 4 i 5.
Nakon sastavljanja plana otplate zajma korisno je izvršiti provjeru točnosti
izračunanih podataka. Tako, zbroj otplatnih kvota mora biti jednak iznosu zajma, a
ukupan zbroj anuiteta treba biti jednak zbroju svih otplatnih kvota i svih kamata.
Također, ostatak duga iz perioda n – 1 treba biti jednak otplatnoj kvoti iz perioda n.
5.7.2. Otplata zajma jednakim otplatnim kvotama
Postoji više modela otplate zajma jednakim otplatnim kvotama. Mi ćemo ovdje
izložiti model zasnovan na sljedećim pretpostavkama:
- obračun kamata je složen i dekurzivan,
- otplatne kvote su nominalno jednake, a anuiteti dospijevaju krajem svakog
jediničnog perioda otplate zajma,
- duljina jediničnog perioda ukamaćivanja jednaka je duljini jediničnog perioda
otplate zajma,
- kamatna stopa je stalna u cijelom periodu amortizacije zajma.
Budući da je iznos otplatnih kvota jednak zajmu, uz navedene pretpostavke iznos
nominalno jednakih otplatnih kvota je
.C
Rn
(5.34)
Primjer 5.30. Zajam u iznosu 100000 kn odobren je poduzeću na 5 godina uz 5%
godišnjih dekurzivnih kamata i plaćanjem anuiteta krajem godine. Zajam se
amortizira nominalno jednakim otplatnim kvotama. Sastavimo plan otplate zajma.
Rješenje. C = 100000, n = 5, p = 5, R = ? Primjenom formule (5.34) računamo otplatnu
kvotu
10000020000,00.
5
CR
n
Plan otplate zajma prikazan je u tablici 5.2.
Tablica 5.2. Plan otplate zajma iz primjera 5.30
262 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Kraj i-tog
perioda
Anuitet (ai) Kamate (Ii) Otplatne kvote
(Ri)
Ostatak duga
(Ci)
0 - - - 100000,00
1 25000,00 5000,00 20000,00 80000,00
2 24000,00 4000,00 20000,00 60000,00
3 23000,00 3000,00 20000,00 40000,00
4 22000,00 2000,00 20000,00 20000,00
5 21000,00 1000,00 20000,00 0,00
Ukupno 115000,00 15000,00 100000,00 -
Kamate za i-ti period računamo primjenom jednostavnog kamatnog računa na osnovi
formule (5.31)
Dakle, kamate za period 1 iznose
01
100000 55000,00.
100 100
C pI
Anuitet za i-ti period dobivamo iz formule
,i ia R I i {1, 2, …, n} (5.32)
pa, prema tome, za period 1 anuitet će biti
a1 = R + I1 = 20000,00 + 5000,00 = 25000,00.
Ostatak duga na kraju i-tog perioda dobivamo iz formule (5.33).
Dakle, ostatak duga na kraju perioda 1 iznosi
C1 = C0 – R1 = 100000,00 – 20000,00 = 80000,00.
Analogno izračunavamo kamate, otplatnu kvotu i ostatak duga za period 2, tj.
12
80000 54000,00,
100 100
C pI
a2 = R + I2 = 20000,00 + 4000,00 = 24000,00,
2 1 2– 80000,00 – 20000,00 60000,00.C C R Na sličan način računamo kamate,
otplatnu kvotu i ostatak duga za periode 3, 4 i 5.
Provjera točnosti izračuna je identična provjeri točnosti izračuna plana otplate zajma
jednakim anuitetima.
5.7.3. Konverzija zajma
Prilikom davanja zajma ugovorom između davatelja i primatelja (korisnika) zajma
reguliraju se uvjeti otplate zajma: iznos zajma, rokovi otplate zajma, visina kamatne
stope i način obračuna kamata. Na temelju tih elemenata sastavlja se plan otplate
263 Financijska matematika
zajma. Međutim, u određenim slučajevima može se dogoditi da jedna od ugovornih
strana (najčešće primatelj zajma), zbog nastanka nepredviđenih okolnosti, zatraži od
druge strane promjenu uvjeta otplate neotplaćenog dijela zajma. Obično primatelj
zajma traži produljenje otplate ostatka duga i (ili) smanjenje visine kamatne stope.
Može se tražiti i određivanje perioda u kojem dužnik ne bi vraćao dug (poček), da bi
nakon isteka tog perioda nastavio s vraćanjem duga. Ukoliko se davatelj i primatelj
zajma dogovore o novim uvjetima otplate ostatka duga, kažemo da se radi o konverziji
zajma. O konverziji zajma sastavlja se poseban ugovor između davatelja i primatelja
zajma, a sastavni dio tog ugovora je plan otplate ostatka zajma nakon konverzije.
Postupak konverzije zajma je relativno jednostavan. Na dan ugovaranja novih uvjeta
otplate ostatka duga sastavlja se nova tablica otplate neotplaćenog zajma uzimajući u
obzir novougovorene uvjete otplate. Sada je iznos zajma jednak ostatku duga, a pri
sastavljanju tablice koriste se uvjeti iz ugovora o konverziji zajma. Tijekom otplate
zajma, davatelj i primatelj zajma mogu ugovoriti više konverzija zajma. Postupak
konverzije zajma ćemo prikazati na nekoliko primjera.
Primjer 5.31. Poduzeću je odobren zajam u iznosu od 100000 kn na period od 5
godina i otplatu zajma jednakim godišnjim anuitetima krajem godine, uz fiksnu
godišnju kamatnu stopu 8 i dekurzivni način obračuna kamata. Na kraju druge godine,
davatelj i primatelj zajma su se dogovorili da se otplata duga produlji za još dvije
godine i da se kamatna stopa smanji na 5. Sastavimo plan otplate zajma za period prije
i nakon konverzije zajma.
Rješenje. C = 100000, n = 5, p = 8, r = 1,08, a = ? Primjenom formule (5.30) dobivamo
5
5
1.08 (1.08 1)100000 25045,65.
1.08 1a
Tablica 5.3. Plan otplate zajma prije i poslije konverzije za primjer 5.31
Kraj i-tog
perioda
Anuitet (ai) Kamate (Ii) Otplatne kvote
(Ri)
Ostatak duga
(Ci)
0 - - - 100000,00
1 25045,65 8000,00 17045,65 82954,35
2 25045,65 6636,35 18409,30 64545,05
3 14908,28 3227,25 11681,03 52864,02
4 14908,28 2643,20 12265,08 40598,94
5 14908,28 2029,95 12878,33 27720,61
6 14908,28 1386,03 13522,25 14198,36
7 14908,28 709,92 14198,36 0,00
Ukupno 124632,70 24632,70 100000,00 -
264 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Nakon dvije godine otplate zajma, ostalo je za otplatiti još 64545,05 kn. Novi uvjeti
otplate zajma su: ' 64545,05C , n' = 5, p' = 5, a' = ? Primjenom formule (5.30)
dobivamo
5
5
1.05 (1.05 1)' 64545,05 14908,28.
1.05 1a
Kamate, otplatna kvota i ostatak duga za treću godinu iznose
23
64545,05 53227,25,
100 100
C pI
3 14908,28 – 3227, 25 11681,03,R
3 64545,05 –11681,03 52864,02.C Na analogan način računamo kamate, otplatnu
kvotu i ostatak duga za preostale godine otplate zajma.
Primjer 5.32.Poduzeću je odobren zajam u iznosu od 100000 kn na period od 5
godina uz godišnju kamatnu stopu 8, otplatu zajma krajem godine jednakim otplatnim
kvotama i dekurzivni način obračuna kamata. Nakon otplaćenog trećeg anuiteta
dužnik i vjerovnik su se dogovorili da se ostatak duga otplati upotrebom istog modela
otplate, s tim da se kamatna stopa smanji na 5, a vrijeme otplate produlji za 3 godine.
Sastavimo otplatnu tablicu prije i poslije konverzije.
Rješenje. C = 100000, n = 5, p = 8, R = ?. Primjenom formule (5.34) dobivamo
10000020000
5R . Plan otplate zajma prije i nakon konverzije prikazan je u tablici
5.4.
Tablica 5.4. Plan otplate zajma prije i nakon konverzije za primjer 5.32
Kraj i-tog
perioda
Anuitet (ai) Kamate (Ii) Otplatne kvote
(Ri)
Ostatak duga
(Ci)
0 - - - 100000,00
1 28000,00 8000,00 20000,00 80000,00
2 26400,00 6400,00 20000,00 60000,00
3 24800,00 4800,00 20000,00 40000,00
4 10000,00 2000,00 8000,00 32000,00
5 9600,00 1600,00 8000,00 24000,00
6 9200,00 1200,00 8000,00 16000,00
7 8800,00 800,00 8000,00 8000,00
8 8400,00 400,00 8000,00 0,00
Ukupno 125200,00 25200,00 100000,00 -
Nakon tri godine otplaćivanja zajma od 100000 kn ostalo je za otplatiti 40000 kn.
Nova otplatna kvota izgleda kao
265 Financijska matematika
400008000
5R .
Kamate, anuitet i ostatak duga za otplatu neotplaćenog duga nakon konverzije
izračunali smo primjenom formula (5.31), (5.32) i (5.33).
5.8. Potrošački kredit
Potrošački kredit je namjenski, kratkoročni i neproizvodni kredit, odobren
potrošačima radi financiranja nabave trajnih potrošnih dobara i nematerijalnih usluga.
Potrošački se kredit, u pravilu, odobrava na period do godinu dana, s tim da se kamate
obračunavaju anticipativno, na početku svakog mjeseca na ostatak duga.
Odobravanje potrošačkog kredita vrši se na način da se od iznosa odobrenog
potrošačkog kredita C (vrijednost potrošnog dobra odnosno neproizvodne usluge)
obračuna i oduzima udio (učešće) u gotovini U, izražen u postotku p od iznosa
odobrenog potrošačkog kredita C, čime se određuje stvarni iznos kredita C1. Na iznos
C1 obračunaju se i dodaju ukupne kamate K, koje se računaju po anticipativnoj
kamatnoj stopi q, čime se utvrđuje ukupan iznos duga C2. Kamate se računaju za svaki
mjesec upotrebom jednostavnog kamatnog računa i anticipativnog načina obračuna
kamata po modelu jednakih otplatnih kvota. Na kraju se dijeljenjem ukupnog iznosa
duga C2 s brojem rata (mjeseci) m dobije iznos konstantne mjesečne rate R.
U praksi obračun kamata i izračunavanje konstantne mjesečne rate izgleda kako
slijedi. Učešće se računa po sljedećem obrascu:
100
C pU
, (5.35)
Stvarni iznos kredita C1 dobivamo kao
1 1 .100 100
C p pC C U C C
(5.36)
Na iznos stvarnog kredita (duga) C1 obračunavaju se ukupne kamate po jednostavnom
kamatnom računu uz “prosječnu” stopu k korištenjem relativne mjesečne kamatne
stope, na sljedeći način:
1 ,100
C kK (5.37)
gdje je k anticipativni kamatni koeficijent, tj.
( 1),
24
m qk
(5.38)
266 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Kada ukupne kamate K dodamo stvarnom iznosu kredita C1, dobivamo ukupan iznos
duga, tj.
12 1 1 1 1
( 1)(1 ) 1 .
100 100 2400
C k k m qC C K C C C
(5.39)
Mjesečnu ratu dobivamo dijeljenjem ukupnog iznosa duga C2 s brojem mjeseci (rata)
otplate potrošačkog kredita, tj.
2 .C
Rm
(5.40)
Izvedimo formulu (5.39).
Ako se potrošački kredit otplaćuje po modelu jednakih otplatnih kvota uz
anticipativno računanje kamata za svaki mjesec, anticipativne kamate za prvi mjesec
se računaju primjenom jednostavnog kamatnog računa na ukupan iznos duga C1, a za
svaki preostali mjesec na iznos duga iz prethodnog mjeseca umanjenog za otplatnu
kvotu za taj mjesec.
Ako se kamate računaju po anticipativnoj godišnjoj kamatnoj stopi q, odnosno po
relativnoj mjesečnoj kamatnoj stopi 12
q, kamate za prvi mjesec iznose:
11
1200
C qK
.
Pošto je krajem prvog mjeseca došlo do otplate jedne od m jednakih otplatnih kvota
1CO
m , kamate za drugi mjesec se računaju na sljedeći način:
1 12 1 1
1 11 1 .
1200 1200 1200
C q q C qK C C
m m m
Kamate za treći, m-1. i m-ti mjesec računaju se na sljedeći način:
1 13 1 1
1 22 1 2 1 ,
1200 1200 1200
..............................................................................................
C q q C qK C C
m m m
1 11 1 1
1 2( 2) 1 ( 2) .
1200 1200 1200m
C q q C qK C m C m
m m m
1 11 1
1 1( 1) 1 ( 1) .
1200 1200 1200m
C q q C qK C m C m
m m m
267 Financijska matematika
Ukupan iznos kamata za period odobravanja potrošačkog kredita jednak je zbroju svih
pojedinačnih kamata, tj.
K = K1 + K2 + … + Km,
odnosno
1 1 2 2 11 1 1 ... .
1200
C qK
m m m m
Izraz
1 2 2 11 1 1 ...
m m m m
predstavlja zbroj prvih m članova aritmetičkog niza kod kojeg je prvi član a1 = 1, m-
ti član am = 1
m , a razlika d =
1
m . Koristeći se formulom za računanje zbroja prvih
m članova aritmetičkog niza
sm = 1( )2
m
ma a ,
nalazimo da je
1 11
2 2m
m ms
m
.
Prema tome, ukupne kamate će biti
1 11 ( 1).
1200 2 24 100
C q m C m qK
Ako uzmemo da je
( 1)
24
m qk
dobivamo formulu za računanje ukupnih anticipativnih kamata
1 ,100
C kK
a to je i trebalo pokazati.
Primjer 3.33. Neka je osoba kupila od trgovačkog poduzeća sobni namještaj vrijedan
30000 kn na kredit. Odredimo ukupne kamate K i mjesečnu ratu R ako učešće u
268 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
gotovini iznosi 10%, a kredit treba vratiti u 12 mjesečnih rata uz 8% godišnjih
anticipativnih kamata.
Rješenje. C = 30000, m = 12, p = 10, q = 8, K = ?, R = ? Iznos učešća dobivamo
primjenom formule (5.35), a stvarni iznos kredita C1 dobivamo promjenom formule
(5.36), tj.
1030000 3000,
100U
1 30000 3000 27000C .
Anticipativni kamatni koeficijent k računamo primjenom formule (5.38), a ukupne
kamate primjenom formule (5.37). Dakle, imamo
(12 1) 8 13,
24 3k
1327000
3 1170.100
K
Ukupan iznos duga C2 dobivamo pomoću formule (5.39), a iznos mjesečne rate
pomoću formule (5.40). Dakle, imamo
2 27000 1170 28170,C 28170
2347,50.12
R
Prema tome, ukupne kamate iznose 1170 kn, a mjesečna rata iznosi 2347,50 kn.
5.9. Zadaci za vježbu
1. Posudili smo iznos od 150000 kn na period od godinu dana uz godišnju kamatnu
stopu 8. Izračunajte koliko i kada moramo vratiti vjerovniku ako je obračun kamata
godišnji i: a) anticipativan, b) dekurzivan.
2. Koliki iznos moramo danas posuditi ako nam je potrebno 30000 kn na godinu dana
uz godišnji i anticipativni način obračuna kamata i godišnju kamatnu stopu 5?
3. Neka je osoba posudila određeni iznos na godinu dana uz godišnji obračun kamata
s kamatnom stopom 8,75. Ako ukupne godišnje kamate iznose 2625 kn, izračunajte
iznos koji je ta osoba posudila. Kako izgleda otplata duga u slučaju dekurzivnog, a
kako u slučaju anticipativnog načina obračuna kamata.
4. Iznos od 80000 kn oročen je u banci uz godišnju kamatnu stopu 6. Izračunajte iznos
s kojim će ta osoba raspolagati na kraju osme godine ako je obračun kamata
jednostavan, godišnji i dekurzivan. Koliko iznose ukupne jednostavne kamate?
5. Izračunajte vrijednost uloga od 90000 kn na kraju prve, treće i šeste godine
ukamaćivanja, ako je fiksna godišnja kamatna stopa 8, a obračun kamata složen,
godišnji i dekurzivan.
269 Financijska matematika
6. Izračunajte konačnu vrijednost iznosa od 270000 kn nakon 15 godina
ukamaćivanja, ako je fiksna godišnja kamatna stopa 3,75, a obračun kamata je složen,
godišnji i dekurzivan.
7. Izračunajte koliko je vremena potrebno da se iznos od 120000 kn uložen u banku
uz fiksnu godišnju kamatnu stopu 10 poveća na 257230,66 kn, ako je obračun kamata
složen, godišnji i dekurzivan.
8. Izračunajte vrijednost iznosa od 30000 kn uloženog u banku uz godišnju kamatnu
stopu 6 nakon 5 godina ako je obračun kamata složen, dekurzivan i: a) mjesečni, b)
tromjesečni, c) polugodišnji? Iznose izračunajte koristeći (1) proporcionalnu te (2)
konformnu metodu obračuna kamata.
9. Trenutno stanje drvne mase u nekoj zemlji iznosi 685 milijuna m3. Ako je prirast
drvne mase jednu godinu ranije iznosio 22 milijuna m3, izračunajte prosječnu godišnju
stopu rasta drvne mase. Koristeći izračunanu prosječnu godišnju stopu rasta,
izračunajte stanje drvne mase na kraju 10-te godine.
10. Prosječni godišnji prirast drvne mase u nekoj šumi je 2,85%. Izračunajte iznos
drvne mase nakon 20 godina, ako je procijenjeno da danas u šumi ima 150000 m3
drvne mase.
11. Izračunajte konačnu vrijednost iznosa od 270000 kn na kraju desete godine
ukamaćivanja, ako kamatna stopa u prvih 5 godina iznosi 2,85, a u preostalih 5 godina
3,75. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.
12. Neka osoba na štednom računu ima 75000 kn. Ako planira početkom druge i treće
godine uložiti iznose od po 15000 kn, a krajem treće godine podići iznos od 100000
kn, izračunajte koji će iznos imati na računu na kraju pete godine od danas, ako
godišnja kamatna stopa u prve dvije godine iznosi 3,75, a u sljedećim godinama 4,00.
Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.
13. Netko će početkom sljedećih 3 godine ulagati u banku po 12000 kn. Izračunajte
iznos s kojim će ta osoba raspolagati na osnovi navedenih uplata nakon treće i četvrte
godine od danas ako je: a) godišnja kamatna stopa 4,25, b) godišnja kamatna stopa u
prve dvije godine 4,25, a u trećoj i četvrtoj 4,50. Obračun kamata je složen godišnji i
dekurzivan.
14. Neka osoba je uložila u banku iznos temeljem kojeg će sljedećih 5 godina
početkom svake godine primati iznos od 60000 kn. Izračunajte iznos koji bi danas
uložila ako je: a) godišnja kamatna stopa 4,25, b) godišnja kamatna stopa u prvoj
godini 4,25, a u svim ostalim 4,5. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.
15. Izračunajte iznos koji moramo danas uložiti u banku da bismo temeljem tog iznosa
mogli primati godišnje rente od 6000 kn krajem sljedećih 5 godina, te 8000 kn krajem
270 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
dodatnih 5 godina, ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan, a godišnja
kamatna stopa je 5.
16. Netko ulaže krajem svake godine 5500 kn kroz sljedećih 5 godina. Izračunajte
iznos koji će imati u banci na kraju desete godine od danas, ako je banka u prve dvije
godine primjenjivala godišnju kamatnu stopu 4, a u preostalom razdoblju godišnju
kamatnu stopu 4,50. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.
17. Odobren je zajam od 300000 kn s rokom otplate od 5 godina uz 4 % godišnjih
dekurzivnih kamata po modelu nominalno jednakih anuiteta koji dospijevaju krajem
godine. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan. Sastavite plan otplate ovog
zajma.
18. Odobren je zajam od 300000 kn s rokom otplate od 5 godina, uz 4% godišnjih
dekurzivnih kamata po modelu nominalno jednakih otplatnih kvota, plaćanjem
anuiteta krajem godine. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan. Sastavite
plan otplate ovog zajma.
19. Odobren je potrošački kredit u iznosu od 60000 kn na 5 mjeseci uz anticipativnu
kamatnu stopu 6. Ako je učešće u gotovini 20%, izračunajte otplatne kvote.
20. Napišite strukturu potrošačkog kredita odobrenog na iznos od 75000 kn ako je
udio u gotovini 15%, anticipativna godišnja kamatna stopa 10, a vrijeme otplate 20
mjeseci.
5.10. Pitanja za provjeru znanja
1. Definirajte pojam vjerovnika i dužnika te pojam kamata i kamatne stope.
2. Navedite i objasnite dva osnovna načina obračuna kamata.
3. Definirajte pojam jednostavnog kamatnog računa.
4. Izvedite obrazac za izračunavanje vrijednosti iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog
perioda kod jednostavnog kamatnog računa i dekurzivnog načina obračuna kamata uz
fiksnu kamatnu stopu tijekom perioda ukamaćivanja.
5. Izvedite obrazac za izračunavanje vrijednosti iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog
perioda kod jednostavnog kamatnog računa i dekurzivnog načina obračuna kamata uz
varijabilnu kamatnu stopu pi, i {1, 2, …, n} u i-tom jediničnom periodu.
6. Definirajte pojam složenog kamatnog računa.
7. Izvedite obrazac za vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog perioda kod
složenog kamatnog računa i dekurzivnog načina obračuna kamata, uz fiksnu kamatnu
stopu tijekom perioda ukamaćivanja.
8. Što je dekurzivni kamatni faktor i kako se izračunava?
271 Financijska matematika
9. Izvedite obrazac za vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog perioda kod
složenog kamatnog računa i dekurzivnog načina obračuna kamata uz varijabilnu
kamatnu stopu pi, i {1, 2, …, n} u i-tom jediničnom periodu.
10. Izvedite obrazac za sadašnju vrijednost iznosa Cn kod složenog kamatnog računa
i dekurzivnog načina obračuna kamata uz fiksnu kamatnu stopu tijekom perioda
ukamaćivanja.
11. Definirajte relativnu i konformnu kamatnu stopu.
12. Izvedite obrazac za vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog perioda kod
neprekidnog ukamaćivanja, ako se primjenjuje složeni kamatni račun i dekurzivni
način obračuna kamata uz konstantnu relativnu kamatnu stopu tijekom perioda
ukamaćivanja.
13. Izvedite obrazac za konačnu vrijednost više uplata R početkom svakog jediničnog
perioda, ako se primjenjuje složeni kamatni račun i dekurzivni način obračuna kamata
uz konstantnu kamatnu stopu tijekom perioda ukamaćivanja. Nacrtajte pripadnu
skicu.
14. Izvedite obrazac za sadašnju vrijednost više uplata R početkom svakog jediničnog
perioda, ako se primjenjuje složeni kamatni račun i dekurzivni način obračuna kamata
uz konstantnu kamatnu stopu tijekom perioda ukamaćivanja. Nacrtajte pripadnu
skicu.
15. Izvedite obrazac za konačnu vrijednost više uplata R krajem svakog jediničnog
perioda, ako se primjenjuje složeni kamatni račun i dekurzivni način obračuna kamata
uz konstantnu kamatnu stopu tijekom perioda ukamaćivanja. Nacrtajte pripadnu
skicu.
16. Izvedite obrazac za sadašnju vrijednost više uplata R krajem svakog jediničnog
perioda, ako se primjenjuje složeni kamatni račun i dekurzivni način obračuna kamata
uz konstantnu kamatnu stopu tijekom perioda ukamaćivanja. Nacrtajte pripadnu
skicu.
17. Definirajte otplatu zajma po modelu jednakih anuiteta. Izvedite obrazac za
izračunavanje anuiteta i skicirajte otplatnu tablicu.
18. Definirajte otplatu zajma po modelu jednakih otplatnih kvota i skicirajte otplatnu
tablicu.
19. Što je konverzija zajma i kako se provodi?
20. Definirajte potrošački kredit. Izvedite obrazac za izračunavanje kamata kod
potrošačkog kredita.