Fysiikan perusteetLiikkeet

Antti Haarto 22.05.2012

www.turkuamk.fi

Suureita

• Aika : tunnus t, yksikkö: sekunti = s

• Paikka: tunnus x, y, r, …; yksikkö: metri = m

– Paikka on vektorisuure

– Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) voidaan ilmoittaa suoralla olevan pisteen paikkakoordinaatin (esim. x) avulla.

• Siirtymä on paikan muutos. Tunnus: ∆x, ∆y, ∆r, …

www.turkuamk.fi

0xxx −=∆

• Nopeus: tunnus v, yksikkö m/s

• Vektorisuure

• Keskinopeusvk on siirtymä jaettuna siihen käytetyllä ajalla

• Keskinopeus EI kerro minkälaista liike on ollut ajan hetkien t0 ja t välillä.

• Keskinopeuden etumerkki ilmaisee keskimääräisen kulkusuunnan.� Jos –, niin negatiivisen x-akselin suuntaan� Jos +, niin positiivisen x-akselin suuntaan

www.turkuamk.fi

0

0

tt

xx

t

xvk −

−=∆∆=

• Keskivauhti uk on rataa pitkin kuljettu kokonaismatka sjaettuna siihen käytetyllä ajalla t.

• Matkan ja siirtymän itseisarvot eivät ole yhtä suuret, jos liikkeen suunta vaihtelee!

• Kiihtyvyys a onvektorisuure.

• Suoraviivaisessa liikkeessä suunta ilmoitetaan etumerkin avulla (hidastuvuus).

• Keskikiihtyvyys ak on nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä ajalla

www.turkuamk.fi

t

suk =

0

0

tt

vv

t

vak −

−=∆∆=

Esimerkki keskivauhdista

Autolla käydään 450 km päässä. Menomatkalla keskivauhti on 75 km/h ja paluumatkalla 90 km/h. Laske edestakaisen matkan keskivauhti.

www.turkuamk.fi

t

suk = eli

aikakäytetty

matka kokoon iKeskivauht

km 900 km 4502on matka Koko =⋅

h 0,6km/h 75

km 450 :aika Menomatkan

11

11 ===⇒=

kk u

st

t

su

h 0,5km/h 90

km 450 :aikan Paluumatka

22

22 ===⇒=

kk u

st

t

su

km/h 82km/h 8,81h 5,0h 6,0

km 900 :iKeskivauht ≈≈

+==

t

suk

Tasainen liike

• Kappaleen liikkeen sanotaan olevan tasaista, kun kappaleen siirtymät yhtä pitkinä aikaväleinä ovat yhtä suuret.

• Kappaleen nopeus on vakio.

• Kuvaaja tx-koordinaatistossa suora.

www.turkuamk.fi

www.turkuamk.fi

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12

t /s

x/m

Muuttuva liike

• Muuttuvassa liikkeessäkappaleen siirtymä yhtä pitkinä aikaväleinä vaihtelee.

• Kuvaaja tx-koordinaatistossa käyrä, EI suora.

www.turkuamk.fi

www.turkuamk.fi

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

x/ m

t / s

Hetkellinen nopeus

• Keskinopeudestaei selviä, miten nopeus vaihtelee valittuna aikana.

• Hetkellinen nopeustai nopeusv ilmoittaa kappaleen nopeuden mielivaltaisella hetkellä.

• Nopeus saadaan, kun lasketaan keskinopeus erittäin pienellä aikavälillä.

• Nopeus on paikan x derivaatta ajan t suhteen (paikan aikaderivaatta).

www.turkuamk.fi

t

x

t

xv

t d

dlim

0

=∆∆=

→∆

Nopeuden graafinen tulkinta

• Nopeus voidaan selvittää tx-koordinaatistoon piirretystä kuvaajasta.

• Jos kuvaaja on suora, niin nopeus on suoran kulmakerroin.

• Jos kuvaaja on käyrä, niin nopeus on käyrää sivuavan suoran, tangentin, kulmakerroin

www.turkuamk.fi

0

0

tt

xx

t

xv

−−=

∆∆=

www.turkuamk.fi

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

x/ m

t / s

www.turkuamk.fi

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

x/ m

t / s

www.turkuamk.fi

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

x/ m

t / s

www.turkuamk.fi

m/s 0,2s 2 - s 10

m 2 - m 18 ≈=∆∆=

t

xv

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

x/ m

t / s

• Virheiden pienentämiseksi pisteet (x, t) ja (x0, t0) kannattaa valita riittävältä etäisyydeltä toisistaan.

• Nopeuden (kulmakertoimen) etumerkki kertoo nopeuden suunnan.

� Jos +, niin positiivisen x-akselin suuntaan

� Jos –, niin negatiivisen x-akselin suuntaan

www.turkuamk.fi

Kiihtyvyyden graafinen tulkinta

• Keskikiihtyvyys ak oli nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä ajalla

• Hetkellinen kiihtyvyys saadaan kuten hetkellinen nopeus

• Kiihtyvyys on nopeuden v derivaatta ajan t suhteen (nopeuden aikaderivaatta).

www.turkuamk.fi

t

v

t

va

t d

dlim

0

=∆∆=

→∆

0

0

tt

vv

t

vak −

−=∆∆=

• Kiihtyvyys voidaan selvittää tv-koordinaatistoon piirretystä kuvaajasta.

• Jos kuvaaja on suora, niin kiihtyvyys on suoran kulmakerroin.

• Jos kuvaaja on käyrä, niin kiihtyvyys on käyrää sivuavan suoran, tangentin, kulmakerroin

• Samalla tavalla saatiin nopeus tx-koordinaatistoonpiirretystä kuvaajasta

www.turkuamk.fi

0

0

tt

vv

t

va

−−=

∆∆=

Siirtymä ja nopeuden muutos fysikaalisena pinta-alana

• Siirtymä voidaan selvittää kuvaajasta, jossa on esitetty nopeus ajan funktiona.

• Kun kappaleen nopeus on vakio, niin kuvaaja on vaakasuora viiva.

www.turkuamk.fi

www.turkuamk.fi

tvxt

xv ∆=∆⇒

∆∆=

v

v

tt1 t2

x∆

12 ttt −=∆

• Siirtymä oli kuvaajan osan alle jäävän suorakulmion ”pinta-ala” (fysikaalinen pinta-ala).

• Yleisemmin: Siirtymä on nopeuskäyrän ja aika-akselin väliin jäävä ”pinta-ala”.

• Huomioi! Aika-akselin alapuolinen ”pinta-ala” on negatiivinen.

• Huomioi! Saadaan vain siirtymä, EI paikkaa.

www.turkuamk.fi

∫=∆2

1

d)(t

t

ttvx

Nopeuden muutos

• Vastaavalla tavalla kuin siirtymä saadaan nopeuden muutos∆v kiihtyvyyskäyrän ja aika-akselin väliin jäävänä ”pinta-alana”.

• Huomioi! Aika-akselin alapuolinen ”pinta-ala” on negatiivinen.

• Huomioi! Saadaan vain nopeuden muutos, EI nopeutta

www.turkuamk.fi

∫=∆2

1

d)(t

t

ttav

Esim. Laske siirtymä ajanhetkien 0 s ja 12 s välillä.

www.turkuamk.fi

m 12

s 5 m/s 42

1 - s 2 m/s 4

2

1 s 3 m/s 4 s 2

2

m/s 4 m/s 2

=

⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+=∆x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14

v/ m

/s

t / s

Tasaisesti muuttuva liike

• Kappale on tasaisessa muuttuvassa suoraviivaisessa liikkeessä, jos kappaleen kiihtyvyys on vakio

– Vapaa putoaminen

– Varattu hiukkanen tasaisessa sähkökentässä

– Voimassa yleensä vain lyhyen matkan!

• Keskikiihtyvyys voidaan korvata vakiolla

www.turkuamk.fi

0

0

tt

vv

t

vaa k −

−=∆∆==

• Yksinkertaistetaan yhtälöä siten, että kappaleen ohittaessa origoa:

• t0 = 0; x0 = 0;

• Silloin edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa

• Yhtälön kuvaaja tv-koordinaatistossa on suora, jonka kulmakerroin on kiihtyvyys

www.turkuamk.fi

atvvt

vva

+=⇔

−=

0

0

• Jos ja VAIN JOS kiihtyvyys on vakio, niin keskinopeus

• Silloin kappaleen paikka mielivaltaisella hetkellä

• Sijoittamalla nopeuden v lauseke edelliseen saadaan

www.turkuamk.fi

221

0 attvx +=

tvv

tvx k 20 +==

20 vv

vk

+=

atvv += 0

Edellinen yhtälö kuvaajan avulla

www.turkuamk.fi

221

0 attvx +=

00 t

v

v0

v0t

t

v0

at

v

v = v0 + at

at212_

• Usein tarvitaan yhtälöä, jossa ei ole mukana aikaa t

• Tällainen saadaan yhdistelemällä edellisiä yhtälöitä

• ja

www.turkuamk.fi

axvv 220

2 +=⇒

atvv += 02

21

0 attvx +=

Esimerkki tasaisesti muuttuvasta liikkeestä

Auto lähtee liikennevaloista vakio kiihtyvyydellä 1,50 m/s2.

a) Mikä on auton nopeus 8,00 s lähdön jälkeen?

b) Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut 8,00 s aikana?

www.turkuamk.fi

s 00,8

m/s 00,0

m/s 50,1

0

2

==

=

t

v

a

m/s 12,0 s 8,00m/s 1,50 m/s 0,00 a) 20 =⋅+=+= atvv

m 48,0 s) 8,00(m/s 1,50 s 8,00 m/s 0,00 b) 22212

21

0 =⋅⋅+⋅=+= attvs

Vapaa putoamisliike

• Kappale on vapaassa putoamisliikkeessä, kun siihen ei vaikuta muita voimia kuin painovoima

• Putoamiskiihtyvyys

• g = 9,81 m/s2 laskutehtävissä

• mittauksissa Turussa 9,82 m/s2

• Lyhyillä matkoilla voidaan g:n arvoa pitää vakiona

www.turkuamk.fi

• Tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt ovat voimassa myös vapaassa putoamisliikkeessä

• Kiihtyvyyden suunta on alaspäin: a = -g

www.turkuamk.fi

gtvv −= 0

tvv

y2

0 +=

221

0 gttvy −=

gyvv 220

2 −=

Heittoliike

• Pystytasossa (2 akselia) tapahtuvaa liikettä

• Vain Maan vetovoima vaikuttaa kiihtyvyydellä g = ay ≈ –9,81 m/s2

• Ilmanvastusta ei siis huomioida

• Tasaisen etenemisliikkeen (vaakasuoraan) ja vapaan putoamisliikkeen (pystysuoraan) yhdistelmä

– Toisistaan riippumattomia

– Aika yhdistää

www.turkuamk.fi

mg

g

• Oletetaan, että kappale lähtee aina origosta (x0 = 0 ja y0 = 0)

• Koordinaatiston valinta tarvittaessa

• Yleensä tiedetään alkuvauhti v0 ja lähtökulma θ0

www.turkuamk.fi

• Alkunopeuden komponentit

• Nopeuden komponentit ajan t kuluttua

• Kappaleen asema ajan t kuluttua (lähtöpaikka origo)

www.turkuamk.fi

000

000

sin

cos

θθ

vv

vv

y

x

==

gtvgtvv

vvv

yy

xx

−=−===

000

000

sin

cos

θθ

221

002

21

0

000

sin

cos

gttvgttvy

tvtvx

y

x

−⋅=−=

⋅==

θθ

• Lentoaika on se aika, jonka kuluttua kappale on palannut lähtökorkeudelle

• Nousuaika lakikorkeuteen

• on puolet lentoajasta • Symmetrinen lento, koska ei ilmanvastusta

www.turkuamk.fi

g

vt 00 sin2 θ=

g

vtn

00 sinθ=

• Kantama R on matka vaakasuunnassa, jonka kappale liikkuu lentoajassa

• Maksimi saavutetaan, kun θ0 = 45º

• Vain jos kappale on palannut lähtökorkeudelle!

www.turkuamk.fi

g

v

g

v

g

vvtvR x

)2sin(sincos2

sin2cos

02000

20

00000

θθθ

θθ

==

==

www.turkuamk.fi

• Huomioi!

• Kantaman ja lentoajan kaavoja voi käyttää vain poikkeustapauksissa

• Tavallisesti lasketaan ensin aika joko tunnetun korkeuseron tai tunnetun etäisyyden avulla.

• Korkeuseroa käytettäessä aika joudutaan ratkaisemaan toisen asteen yhtälöllä

• Kun aika on ratkaistu, voidaan sen avulla ratkaista joko etäisyys tai korkeusero

www.turkuamk.fi

Esimerkki heittoliikkeestä

Samppanjapullon korkkia avatessa se osuu ikkunaan 2,5 m etäisyydelle vaakasuunnassa. Korkin lähtökulma on 55° ja lähtövauhti 6,5 m/s. Laske kuinka korkealla korkki käy ja kuinka korkealle ikkunaan korkki osuu lähtöpisteeseen verrattuna.

www.turkuamk.fi

m/s 32,5sin :(y) alkuvauhti

m/s 73,3cos :(x) alkuvauhti

000

000

≈=≈=

θθ

vv

vv

y

x

s 167,0 :aika0

0 ≈=⇒=x

x v

xttvx

m 4,1m 365,1 :ikkunassa korkeus 221

0 ≈≈−= gttvy y

s 543,00 :huipulleradan aika 00 ≈=⇒=−=

g

vtgtvv y

nnyy

m 4,1m 446,1 : slakikorkeu 221

0 ≈≈−= nny gttvy