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Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik 2 6.5-1
5. Kritische Drehzahl
z
y
c/4
c/4
c/4
c/4
m
O O S
ex
y
Ω
● Aufgabenstellung:
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5. Kritische Drehzahl
– Der starre Körper mit der Masse m dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω um die ortsfeste z-Achse.
– Der Körper ist elastisch gelagert, wobei die Steifigkeit der Lagerung in allen Richtungen in der xy-Ebene den gleichen Wert hat.
– Der Schwerpunkt des Körpers hat den Abstand e von der Drehachse.
– Gesucht ist die Auslenkung u des starren Körpers im sta-tischen Gleichgewicht.
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5. Kritische Drehzahl
● Statisches Gleichgewicht:– Das statische Gleichgewicht wird in einem mitrotierenden
Koordinatensystem Oξηζ untersucht, dessen ζ-Achse mit der ortsfesten z-Achse übereinstimmt.
– Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass der Schwer-punkt auf der ξ-Achse liegt.
– Der Ursprung des mitrotierenden Koordinatensystems liegt auf der Drehachse.
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5. Kritische Drehzahl
– Gleichgewicht in der ausgelenkten Lage:
u
e
S
O FZ
FF
ξ
η
F Z=m2ue
F F=c u
−F FF Z=0
● Zentrifugalkraft:
● Federkraft:
● Gleichgewicht:
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5. Kritische Drehzahl
– Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt für die statische Auslenkung:
– Mit gilt:
−cum2ue =0 u=
m2ec−m
2
c2=cm
ue=
/c 2
1−/c 2
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5. Kritische Drehzahl
ue=
/c 2
1−/c 2
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5. Kritische Drehzahl
F Z /c=0,50
F Z /c=0,75
F Z /c=1,25
F Z /c=1,50
F F
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5. Kritische Drehzahl
● Kritische Drehzahl:– Die Drehzahl
wird als kritische Drehzahl bezeichnet.
– Die kritische Winkelgeschwindigkeit Ωc stimmt mit der
Eigenkreisfrequenz des elastisch gelagerten starren Kör-pers überein.
nc=c
2
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5. Kritische Drehzahl
– Unterkritischer Bereich:● Die Drehzahl ist kleiner als die kritische Drehzahl.● Die statische Auslenkung ist positiv.● Die statische Auslenkung nimmt mit zunehmender Drehzahl
zu.– Kritische Drehzahl:
● Wenn die Drehzahl mit der kritischen Drehzahl überein-stimmt, wird die statische Auslenkung unendlich groß.
● Ein Betrieb mit der kritischen Drehzahl führt zur Zerstörung des Bauteils.
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5. Kritische Drehzahl
– Überkritischer Bereich:● Die Drehzahl ist größer als die kritische Drehzahl.● Die statische Auslenkung ist negativ.● Die statische Auslenkung nimmt mit zunehmender Drehzahl
ab.
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5. Kritische Drehzahl
● Selbstzentrierung:– Für sehr große Drehzahlen gilt:
– Die statische Verschiebung stellt sich so ein, dass der
Schwerpunkt auf der Drehachse liegt.– Dieser Effekt wird als Selbstzentrierung bezeichnet.
lim∞
ue= lim
∞
/c 2
1−/c 2=−1
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5. Kritische Drehzahl
– Bauteile, bei denen sich eine statische Unwucht nicht vermeiden lässt, werden weich gelagert und überkritisch betrieben.
– Beim Ein- und Ausschalten muss der kritische Bereich schnell durchfahren werden.
– Beispiel: Waschmaschine
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5. Kritische Drehzahl
● Biegewellen:– Eine starre Scheibe sitzt auf einer elastischen Welle, die um
die z-Achse rotiert.
z
y
L/2 L/2
EIEI
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5. Kritische Drehzahl
– Anstelle der Lagersteifigkeit ist die Biegesteifigkeit für die Auslenkung der Welle an der Stelle, an der sich die Scheibe befindet, zu nehmen.
– Für eine beidseitig gelenkig gelagerte Welle, bei der sich die Scheibe in der Mitte befindet, gilt z.B.
– Die kritische Drehzahl bei Biegewellen wird als biegekri-tische Drehzahl bezeichnet.
c=48 EIL3
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5. Kritische Drehzahl
– Überkritisch laufende Wellen wurden zuerst von Gustav de Laval im Jahre 1883 experimentell untersucht.
– Der theoretische Nachweis für die Stabilität wurde von Föppl (1895) und Stodola (1904) erbracht.
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5. Kritische Drehzahl
● Stabilität:– Zur Untersuchung der Stabilität wird die Bewegungsglei-
chung im mitrotierenden Bezugssystem verwendet.– Es muss untersucht werden, wie das System auf eine
kleine Störung der statischen Ruhelage reagiert.– Im mitrotierenden Bezugssystem lautet die Bewegungsglei-
chung:
– Für die Relativbeschleunigung gilt:– Die einzige äußere Kraft ist die Federkraft:
mar=FF fFc
ar=u bv b
F=−c u bv b
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5. Kritische Drehzahl
– Wenn das Bauteil mit einer konstanten Winkelgeschwindig-keit rotiert, stimmt die Führungskraft mit der Zentrifugalkraft überein:
– Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:– Für den Ortsvektor des Schwerpunkts gilt:
– Damit berechnet sich die Zentrifugalkraft zu
F f=−m××r S
=b
rS=eu bv b
F f=−m2b×[b×eubv b ]
=−m2 b×[ eu b−v b ]
=m2[ eu bv b ]
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5. Kritische Drehzahl
– Für die Corioliskraft gilt:
– Damit lautet die Bewegungsgleichung:
– In der statischen Ruhelage gilt:
– Für den gestörten Zustand gilt:
F c=−2m× vSB
=−2mb×u bv b =−2m ub−v b
mu = −c−m2 u 2m v m2e
m v = −c−m2 v − 2mu
u=uS=const. und v=0
ut =uSut und v t =v t
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5. Kritische Drehzahl
– Mit folgt:
– Lösungsansatz:– Eingesetzt:
c−m2 uS=m
2e
m u − 2m v c−m2 u =0
m v 2m u c−m2 v =0
ut =U expi t , v t =V exp it
[c−m 2
2 ]U − 2i mV = 0
2 imU [c−m 2
2 ]V = 0
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5. Kritische Drehzahl
– Mit folgt:
– Dieses homogene Gleichungssystem hat nur dann von Null verschiedene Lösungen, wenn die Determinante Null ist:
– Daraus folgt die charakteristische Gleichung
c /m=c2
[c2−
2−
2−2i
2 i c2−
2−
2][UV ]=[00]
∣c2−
2−
2−2i
2 i c2−
2−
2∣=0
[ c2−
2 −2 ]2−42
2=0
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5. Kritische Drehzahl
– Die charakteristische Gleichung lässt sich umformen zu
– Die ersten beiden Lösungen berechnen sich aus
zu– Die verbleibenden beiden Lösungen berechnen sich aus
zu
c2−
2−
2=2
22−c
2−
2 =0
[ c2−
2 −2 ]2=42
2
1 /2=−±2c
2−
2=−±c
c2−
2−
2=−2
2−2−c
2−
2 =0
3/4=±2c
2−
2=±c
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5. Kritische Drehzahl
– Für Ω ≠ Ωc existieren immer vier verschiedene reelle Lö-
sungen.– Damit bleibt die Störung beschränkt. Das System ist stabil.
– Für Ω = Ωc gibt es keine statische Gleichgewichtslage. Die
Bewegungsgleichungen vereinfachen zu
– Integration der zweiten Gleichung ergibt:
u = 2c v c2e
v = −2c u
v=−2cuC 1
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5. Kritische Drehzahl
– Einsetzen in die erste Gleichung führt auf
– Diese Gleichung hat die Lösung
– Daraus folgt:
u=2c −2cuC 1 c2e u4c
2u=2cC1c2e
ut =U s sin 2c t U c cos2c t 2cC1c
2e
4c2
v t =U s cos2C t −U c sin 2c t −2cC1c
2e
2c
tC2
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5. Kritische Drehzahl
– Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt
– Aus folgt: – Damit lautet die Lösung:
– Die Verschiebung v(t) nimmt unbeschränkt zu.
−2CC1−c2ec
2e=0 C1=0
ut =U s sin 2c t U c cos2c t e4
v t =U s cos2c t −1−U c sin 2c t −e2c t
v 0=0 C 2=−U s