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5. Schwingungen und Wellen5.1. Allgemeine Schwingungslehre
Schwingungen Universalphänomen
• Mechanik• Akustik• Elektrodynamik• Atomphysik
5.1.1. Harmonische Schwingung
q abstrakte „Auslenkung”
V(q) Potential mit Minimum in q0 ( o.B.d.A. q0 0 , V(q0) 0 )
kleine Auslenkungen Taylorentwicklung um q0 0
3221 qOq0Vq0V0VqV
0 0 k 0
qkqV 221 harmonisches Potential ( Parabel )
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qkqV 221 harmonisches Potential ( Parabel )
q
V(q)
2qqV
qkqVqF Hookesches Gesetz
Bewegungsgleichung:
qFq
positive Prop.-Konstante 2
0qωq 2 Schwingungsgleichung
tωsinAtq harmonische Schwingung
Amplitude Anfangsphase Tπ2νπ2ω
PeriodeFrequenz
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Beispiel: Federpendel
Ruhelage x = 0
m
Auslenkung xF D x
xq xDFxm
0xx m
D 2ω
m1
mDω mπ2T D
m
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φ m g
φ
m
L
Fm g sin
φ
Beispiel: Fadenpendel
q sinmgFLm
0sinL
g 2ω
anharmonische Schwingung! ≪ 1 harmonische Näherung sin
L1
Lgω Lπ2T g
L
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5.1.2. Überlagerung von Schwingungen
a) Eindimensionale Systeme
i) Schwingungen gleicher Frequenz:
22
11
tωsinbqtωsinaq
tωsincqqq 21
1 2: c a b 2 a konstruktive Interferenz
1 2 : c a b 0 destruktive Interferenz
a b
a b
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ii) Schwingungen unterschiedlicher Frequenz:
tωcosaqtωcosaq 2211
tcostcosa2qqq 2ωω
2ωω
212121
schnelle Schwingung mittlerer Frequenz
langsame Amplituden-Schwingung, Schwebung
ωω
4πT
21S
ωω
4πT
21S
Schwebung
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Periode T
t
f(t)
iii) Fourierzerlegung (allgemeine periodische Schwingungen)
Fundamentalfrequenz:T
2πω
Ttftf
Fourierzerlegung: tωncosaatf 1n
nn0
Grundschwingung: n 1, 1
Oberwellen (Harmonische): n 2, n n
2n
2n2
1
aa
1Klirrfaktor:
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b) Zweidimensionale Systeme, Lissajous-Figuren
Überlagerte x- & y-Schwingungen mit Frequenzen x, y xy ee
Beispiel: Fadenpendel yxgL
yx ˆy,ˆx,ωωω
i) x y : tωsinby,tωsinax
Tafelrechnung Ellipse
22
2
2
2
sinyxba
cos2
b
y
a
x
x/a
y/b
π20 π
20
x/a
y/b
b
y
a
x
0y/b
x/a
1 2
by2
ax
2π
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i) x y: i.a. keine geschlossenen Kurven
Ausnahme: rationale Zahln
m
T
T
m
n
ω
ω
y
x
y
x
n, m teilerfremd
Periode der Schwingung: yx TmTnT
geschlossene Lissajous-Figur mit n Maxima in x und m in y
Demo-Experiment
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5.1.3. Gedämpfte Schwingung
Stokes-Reibung 0qωqγ2qqF 20R
20
2tλtλ ωγγλmitebeatq
Lösung (Theorie-VL) durch Ansatz:tλeq
Interpretation: Re (Dämpfungszeitkonstanten)1 D1
Im Oszillationsfrequenz
Lösungstypen: 0: Schwingfall 0: Kriechfall 0: aperiodischer Grenzfall
Demo-Versuch: Waltenhofen-Pendel
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20
2tλtλ ωγγλmitebeatq
< ω0: Schwingfall 00
220
tγ
ωfür γ ω γωω
φtωsineq(t)
Dämpfungszeit: γ1
Dτ
D0γτlim
> ω0: Kriechfall
20
2
tλtλ
ωγγλ
ebeaq(t)
kein Schwingtermmax. 1 Überschwinger
20ω
γ2maxDτ
γ
= ω0: aperiodischer Grenzfall ( spezielle Lösungsform)
tγetbaq(t) kein Schwingtermmax. 1 Überschwingerschnellste Dämpfung
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5.1.4. Gekoppelte Systeme
φ1
m
Lφ2
m
L
D
gekoppelte Differentialgleichungen
Beispiel: gekoppelte Pendel ( Bild )
0Mtd
d
2
1
2
12
2
mD
Lg
mD
mD
mD
Lg
M
Lösungsweg: Wahl von Normalkoordinaten, derart dass M diagonal
entkoppelte eindim. Schwingungen in Normalkoordinaten
hier:
mD2
Lg22Lg22
2121
ωmit 0ξωωmit 0ξω
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Veranschaulichung der Normalmoden 2121
ξ -Mode
0ξ , 21
ω Lg2
ξ -Mode
0ξ , 21
ω mD2
Lg2
Überlagerung der Moden Schwebung Demo-Experiment
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5.1.5. Erzwungene Schwingung und Resonanz
Schwinger angeregt durch Fext(t); oft tωcosFtF 0ext
Statischer Grenzfall ( ω 0 ): 20
00G ωm
F
D
Fxx
Beispiel: Schwingfall ( 0 )
γ2
1
2
ττ DE
D
Energie-Dämpfungszeit:
m
γ
tωcosFF 0ext
MD
0ω
( 2#Schwingungen in τD )
Güte: ED0
0 τωγ2
ωQ
E
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tωcosFtFqωqγ2q 0ext20 Differentialgleichung:
Lösungsstrategie ( Theorie-VL):
q(t) Einschwingen Stationäre Schwingung
rechte Seite 0 inhomogene Dgl.
• allgemeine Lösg. der hom. Dgl.
• stirbt mit D aus
• abhängig von Anfangsbed.
0tωcoseq 11tγ t
2201 γωω
• spezielle Lösg. der inhom. Dgl.
• stationäre Schwingung
• unabhängig von Anfangsbed.
ωtωcosωAq
schwingt mit von Fext
Phase zwischen q und Fext
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π
|x|
|A|
G
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
20
0ωω
Q1
0,25
0,700
1/Q
Q
4
1,43
2
1dB3
Die Resonanzkurven A() und :
Feder-dominiert
Masse-dominiert
20
2 ωω
ω2γtan
2
02 ωω
ω2γtan
ω2γωω
ω
x
A
2220
2
20
G
ω2γωω
ω
x
A
2220
2
20
G
Resonanzfrequenz ω2γωω 022
0R
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Beispiel: Waschmaschine
Schleudergang (An-/ Auslaufphase)
Wäsche Unwucht Fext = F0·cos(ωt)
Wäsche Unwucht Fext = F0·cos(ωt)
ω
Eigenfrequenz der Wackelbewegung: ω0
Eigenfrequenz der Wackelbewegung: ω0
ω = ω0: Resonante
Wackelbewegung
ω = ω0: Resonante
Wackelbewegung
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5.2. Wellenlehre und Akustik5.2.1. Wellenausbreitung
a) Ebene Wellen
Beispiel: Kette gekoppelter Schwinger
z
transversale Auslenkung: ξ(z,t)
Schwingungstransport
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Erinnerung an Theorie-VL:
z
ξ(z,t)
Kontinuumsübergang
2
2
22
2
td
ξ
v
1
zd
ξ
Wellengleichung:
Allgemeine Lösung: mit beliebiger Funktion f tvzf
Phase der Welle: tvzφ Interpretation: tv.constz.consttvzconst.φ ein Punkt fester Phase läuft mit Geschwindigkeit v in z-Richtung
Def.: v heißt Phasengeschwindigkeit
Für v 0 ○ läuft f (z v t ) in (z)-Richtung
○ läuft f (z v t ) in (z)-Richtung
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Verallgemeinerung: mehrere Dimensionen
2
2
2 td
ξ
v
1ξΔ
Wellengleichung:
2
2
2
2
2
2
zyxΔ
z.B. 2-dim. Wasserwellen, 3-dim Schallwellen,
Def.: Wellen, bei denen die Flächen konstanter Phase Ebenen sind, heißen ebene Wellen
Ebene Welle: tvreft,rξ k
ke
Phasenflächen
Beispiel: tvzft,rξ
Die allgemeine Lösung der Wellengleichung kann (u.a.) als Überlagerung ebener Wellen dargestellt werden.
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Wellentypen: i) Harmonische ebene Welle
ξ
t
Periode T 1/ν
ξ
z
Wellenlänge λ
t festt fest
z festz fest
2πλk 2πλk
2πTω 2πTω
tzkcosA
zktωcosAξ
kω
Kreisfrequenz
Frequenz
T 1 Periode
Wellenlänge
Wellenzahl
π2ων
λπ2k
v
Dispersionsrelation
kvω
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ii) longitudinale / transversale mechanische Wellen
t festt fest
z
Transversalwelle Polarisations-richtung
z
Longitudinalwelle
iii) elektrische Feldstärke (Licht, Funksignale, )
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iv) zirkular / elliptisch polarisierte Welle
z
y
x
tz,ξ
Schraubenlinie
eeeBeAtz,ξ zktωiΔiyx
eeeBeAtz,ξ zktωiΔiyx
Zirkulare Polarisation: 2
πΔ,BA
2
πΔ,BA
komplexe Schreibweise (physikalische Anteil Realteil):
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3-dim Kugelwelle
rktωsinrktωsin
tr,ξrArA
einaus
b) Kugelwellen radiale Ausbreitung
Anregungs-zentrum
Kugelsymmetrie verwende Kugelkoordinaten symmetrischer Lösungstyp
Analog: 2-dim Kreiswellen in Polarkoordinaten
4
π4π
rkπ2
00
rkcosBrksinAtωsin
krYBkrJAtωsintr,ξ
r
J0, Y0 Besselfunktionen
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5.2.2. InterferenzWellengleichung ist linear in Superpositionsprinzip gültig
Wellen überlagern sich additiv Interferenzeffekte
Stationäre Interferenzmuster falls
const.(t)
Realisierung: Stroboskopische Beleuchtung mit vλ
ν1T
Beispiel: Wasserwellen
ii) Zwei phasenstarre Erreger (Spitzen)
i) Interferenz mit reflektierter Welle
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5.2.3. Reflexion und BrechungHuygensches Prinzip (isotrope Medien): Die Wellenfortpflanzung kann durch eine Superposition phasengleicher Kugelwellen (Elementarwellen) von jedem Punkt einer Phasenfläche beschrieben werden. Die Einhüllende der Elementarwellen ergibt die Phasenfläche zu einem späteren Zeitpunkt.
Ebene Welle als Überlagerung
von Kreiswellen
Kreiswelle als Überlagerung
von Kreiswellen
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Folgerung a) Reflexion an ebener Wand
ebene Wand
EinEin AusAus
ebene Welle
α α
Einfallswinkel Ausfallswinkel
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Folgerung b) Brechung an Grenzflächen
α
β
Medium 1: v1
Medium 2: v2
v
v
sinβ
sinα
2
1 v
v
sinβ
sinα
2
1
Brechungsgesetz
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Folgerung c) Stehende Wellen
z
Medium 1Medium 2
11 k
ωv
22 k
ωv zktωcosA 1
Reflexion & PhasensprungTransmission
φzktωcosB 1
Spezialfall: Totalreflexion A B
φzktωcoszktωcosAξ
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Totalreflexion A B 2
φ2φ zkcostωcosA2
φzktωcoszktωcosAξ
zeitabhängige Amplitude
feste räumliche Form stehende Welle
Stehende Welle:
z
Feste räumliche Form
KnotenKnoten BäucheBäuche
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Totalreflexion A B 2
φ2φ zkcostωcosA2
φzktωcoszktωcosAξ
zeitabhängige Amplitude
feste räumliche Form stehende Welle
πφ0ξ0z
Fall 1: festes Ende
z 0
z
Fall 2: offenes Ende
z 0
z
0φ0ξ0z
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5.2.4. Beugung Wellenablenkung durch Hindernisse
Ebene Welle
λ
dα
Beugungsmuster im UnendlichenBeugungsmuster im Unendlichen
α
I2·
0. Ordnung
1. Ordnung
2. Ordnungdα
λ/2d/2
d
λαΔsinαΔ
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d
λαΔsinαΔ
Folgerung:
Unschärferelation: λαΔd
Ortsunschärfe Winkelunschärfe
Position und Ausbreitungsrichtung einer Welle können nicht gleich-zeitig beliebig genau festgelegt werden.
Folgerung: Beugungseffekte () nur wichtig falls d ≲ . Für d ≫ wirken Hindernisse wie geometrische Begrenzungen.
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5.2.5. Schalla) Schall in Festkörpern:Elastische Longitudinalwelle
Elastische Rückstellkräfte Wellen
zt
Unendlicher Stab mitDichte: ρ
Elastizitätsmodul: E
z
ρ
Ev
z
ξ
ρ
E
t
ξ2
2
2
2
Schallgeschwindigkeit
zzt
z
Elastische Transversalwelle
ρ
Gv
z
ξ
ρ
G
t
ξ2
2
2
2
Unendlicher Stab mitDichte: ρ
Torsionsmodul: G
Schallgeschwindigkeit
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b) Schall in Gasen (Flüssigkeiten):keine Scherkräfte nur longitudinale Druckwellen
longitudinale Auslenkung (z-Richtung)
K Kompressionsmodul2
2
2
2
z
ξ
ρ
K
t
ξ
Folgerung: Schallgeschwindigkeitρ
Kv
≲ 1 kHz T const. K p GasdruckBoyle-Mariotte
isotherm
kein Wärmeaustausch
≳ 1 kHz adiabatisch K p
Adiabatenindex:
4,1C
Cκ
V
p Luftvgl. Kap. 6
Also:
νhadiabatisc
0νisotherm v
ρpκ
ρp
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Beispiel: Kundtsche Staubfiguren
ν
d LGlasrohr in Luft
Metallstab
Feste Einspannung
L/2Piezo-Kristall
Koppel-Platte
z
L
longitudinale Grundschwingung des Stabes
Pulver Gas / 2
Schallbauch Schallknoten
Tafelrechnung
E
K
ρ
ρ
2L
λ
v
v
Gas
StabGas
Stab
Gas
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Spezialgebiet: Akustik Lehre vom hörbaren Schall (16 Hz 16 kHz)
Einige wichtigen Begriffe:
I Schallleistung pro Fläche (z.B. Trommelfell)
Imin() Hörschwelle bei der Frequenz
Lst Lautstärke νI
νIlg10Lst
min10 Phon1Lst
Referenzwert: mW10kHz1I 212min
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5.2.6. Doppler-Effekt
Quelle bewegt( vQ < v )
Quelle bewegt( vQ < v ) Beobachter bewegtBeobachter bewegt
vQ
Q B
T T
B < 0
Q
0 0
B
vBv
νB > ν0
1
νν
v
v0
B Q
1
νν
v
v0
B Q
1νν vv
0BB 1νν v
v0B
B
Relativgeschwindigkeit ≪ v Resultat für beide Fälle gleich
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Quelle mit Überschallgeschwindigkeit:
Quelle bewegt( vQ > v )
Quelle bewegt( vQ > v )
vQ > v
Q B
v
vsinβ
Q
v
vsinβ
Q
Machscher Kegel
eben
e (Sch
ock)W
elle
βv·Δt
vQ·Δt
Anwendungen:• Überschallknall• Bugwelle eines Schiffes• Cherenkovstrahlung
geladener Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit