1

1

5. Técnicas de Respuesta en FrecuenciaCapítulo 10Sistemas de Control para Ingeniería (3º Ed.)Norman Nise

2

5. Técnicas de Respuesta en Frecuencia

5.1. Introducción5.2. Expresiones analíticas de la respuesta en frecuencia5.3. Gráfica de la respuesta en frecuencia5.4. Aproximaciones asintóticas: Traza de Bode5.5. Introducción al criterio de Nyquist5.6. Criterio de Nyquist5.7. Aplicación del criterio de Nyquist para determinar la estabilidad5.8. Estabilidad por medio del diagrama de Nyquist5.9. Margen de ganancia y margen de fase por medio del diagrama de

Nyquist5.10. Estabilidad, margen de ganancia y margen de fase por medio de

trazas de Bode5.11. Relación entre respuestas transitoria en lazo cerrado y respuesta

en frecuencia5.12. Características del error en estado estable a partir de la

respuesta en frecuencia

3

En el estado estable, las entradas senoidales a un sistema lineal generan respuestas senoidales de la misma frecuencia. Las respuestas difieren en amplitud y ángulo de fase respecto a la entrada. Estas diferencias son funciones de la frecuencia.

5.1. Introducción2(s-1)

(s+3)(s+1)

Zero-PoleSine Wave

Scope

4

Las ondas senoidales se pueden representar por medio de números complejos llamados fasores.

La magnitud del número complejo es la amplitud de la senoide

El ángulo del número complejo es la fase de la senoide

( ) 1111 cos φφω ∠=+ MtM

Un sistema se puede representar por un número complejo, definido de modo que el producto del fasor de entrada y la función del sistema producen la representación fasorial de la salida

2

5

Respuesta en frecuencia senoidal:a. sistema;b. función de transferencia;c. formas de onda de entrada y salida

6

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ωφωφωωωφω +∠=∠ ii MMM 00

( ) ( )( )ωωω

i

O

MM

M =

( ) ( )ωφω iiM ∠Entrada:

Salida:

Sistema:

( ) ( )ωφω 00 ∠M

( ) ( )ωφω ∠M

( ) ( ) ( )ωφωφωφ iO −=

M(ω): Magnitud de la respuesta en frecuencia

Φ(ω): Fase de la respuesta en frecuencia

7

Se define la magnitud de la respuesta en frecuencia como el cociente entre las magnitudes de la senoide de salida y la de entrada

Se define la fase de la respuesta en frecuencia como el ángulo de fase entre la salida y la entrada

( ) ( )( )ωωω

i

O

MM

M = ( ) ( ) ( )ωφωφωφ iO −=

8

5.2. Expresiones analíticas de la respuesta en frecuenciaEntrada:

( ) ( )[ ]ABtBAtBsentAtr 122 tancoscos −−+=+= ωωω

1) En forma polar:iiM φ∠

22 BAM i += ( )ABi1tan−−=φ

2) En forma rectangular:

jBA −

3) Usando la fórmula de Euler: ijieM φ

Representaciones del fasor de entrada:

Trasformada de Laplase de la señal de entrada r(t)

3

9

( )

( ) ( )

( )

2

2

*2 1

1212

2

i G

i G

s j

j ji G

ji G

As BK G ss j

A jB G j

M e M e

M MK e

K K

→+ ω

φ φ

φ +φ

+ ω=+ ω

= − ω

=

=

=

( )

( ) ( )

( )

1

1

1212

2

i G

i G

s j

j ji G

ji G

As BK G ss j

A jB G j

M e M e

M MK e

→− ω

− φ − φ

− φ +φ

+ ω=− ω

= + − ω

=

=

( ) ( )( ) ( )

( )1 2 Términos_de_fracción_parcial_de_

As BC s G ss j s jK K G s

s j s j

+ ω=+ ω − ω

= + ++ ω − ω

K*1 es el complejo

conjugado de K1

( )ωjGM G =

( )_G ángulo G jφ = ω

( )ωφ jGM GG =∠

10

( )ωω js

Kjs

KsCSS −+

+= 21

( )( ) ( )

2 2i G i Gj ji G i G

SS

M M M Me eC s

s j s j

− φ +φ φ +φ

= ++ ω − ω

La respuesta en estado estable es la parte de la expansión en fracciones parciales que proviene de los polos de la forma de onda de entrada

( )( ) ( )

( )( )

2

cos

cos

i G i Gj t j t

i G

i G i G

O O

O O

e ec t M M

M M t

M tM

− ω +φ +φ ω +φ +φ⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ω + φ + φ

= ω + φ= ∠φ

Antitrasformando

O i G

O i G

DondeM M M=φ = φ + φ

11

( ) ( ) ( )( )O O i i G GM M Mω ∠φ ω = ∠φ ∠φ

( )G GM G j∠φ = ω

( ) ( ) s jG j G s → ωω =

O i GM M M= O i Gφ = φ + φ

( ) OG

i

MM M

Mω = = ( ) O i Gφ ω = φ − φ = φ

Dada una función G(s) se puede obtener su respuesta en frecuencia reemplazando s por jω, variando ω y obteniendo la magnitud y fase para cada ω

12

5.3. Gráfica de la respuesta en frecuencia

( ) ( )ωφωω GGMjG ∠= )( se puede graficar de varias formas:

1. Como una función de la frecuencia, con gráficas separadas de magnitud y fase

2. Como una gráfica polar, donde la longitud del fasor es la magnitud, y el ángulo del fasor, la fase

Cuando se grafica la magnitud y fase por separado, la curva de magnitud se puede graficar en decibeles (dB) contra logω, donde dB=20logM. La curva de fase se grafica cono ángulo contra logω

4

13

Los datos para realizar las gráficas se pueden obtener utilizando vectores sobre el plano s, trazado desde los polos y ceros de G(s) hasta el eje imaginario.

La respuesta en magnitud, a una frecuencia particular, es el producto de las longitudes de los vectores desde los ceros de G(s) dividido entre el producto de las longitudes de los vectores desde los polos de G(s), trazados desde puntos del eje imaginario.

La respuesta en fase es la suma de los ángulos desde los ceros de G(s) menos la suma de los ángulos desde los polos de G(s) trazados desde puntos sobre el eje imaginario

Trazado de la respuesta en frecuencia a partir de las ubicaciones de polos y ceros en lazo abierto sobre el plano s

14

Ejemplo:Gráficas de respuesta en frecuencia de magnitud y fase para

( ) ( )1 2G j jω = ω +

( ) ( ) ( )41 2 +== ωωω MjG

( ) ( ) ( )2tan 1 ωωϕωφ −−==j

( ) ( )41log20log20 2 += ωωM

( ) ( )2tan 1 ωωϕ −−=

( ) ( ) ( )2tan41 12 ωωωφω −−∠+=∠M

Sustituir s por jw

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 24 4 4

j jG j − ω ωω = = −ω + ω + ω +

Multiplicar y dividir por (2-jw)

La magnitud y fase

Tomando logaritmos

( )2/1)( += ssG

15

Trazas de Bode

Las curvas del logaritmo de la magnitud y fase de respuesta en frecuencia, como funciones de logω, se llaman trazas de Bode o diagramas de Bode

El trazado de las gráficas de Bode se pueden aproximar como una secuencia de líneas rectas.

5.4. Aproximaciones asintóticas: trazas de Bode

16

Aproximaciones asintóticas: trazas de Bode

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )n

mk

pspspsszszszsK

sG++++++

=......

21

21

Si se conoce la magnitud de la respuesta de cada término polo y cero, se puede hallar la magnitud total de la respuesta.

El proceso se simplifica si se trabaja con el logaritmo de la magnitud,puesto que la magnitud de las respuestas de los términos de ceros se suman, y la magnitud de las respuestas de los términos de polos se restan.

Magnitud de la respuesta en frecuencia

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ωjs

pspspsszszszsK

sGn

mk →

++++++

=...

...

21

21

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2

20 log 20 log 20 log 20 log ... 20 log

20 log 20 log ... 20 logm

n

G j K s z s z s z

s p s p s p s j

ω = + + + + + + +

− + − + − − + → ω

5

17

La fase de la respuesta es la suma de las curvas de fase de la respuesta en frecuencia de los términos de ceros menos la suma de las curvas de fase de respuesta en frecuencia de los términos de los polos.

Como la respuesta de fase es la suma de los términos individuales, las aproximaciones de líneas rectas a estas respuestas individuales simplifican la adición gráfica

Fase de la respuesta en frecuencia

18

Trazas de bode para G(s)=(s+a)

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= 1

ajaajjG ωωω

A bajas frecuencias, cuando ω se aproxima a cero

( ) ajG ≈ω aM log20log20 =

A altas frecuencias, donde ω >>a

( )

90º

90º

jG j aa

aa

ω⎛ ⎞ω ≈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

ω⎛ ⎞≈ ∠⎜ ⎟⎝ ⎠

≈ ω∠

∞<< ωa

La aproximación de alta frecuencia es igual a la aproximación de baja frecuencia cuando ω=a y aumenta para ω>a

20 log 20log 20 log

20log

M aaω= +

= ω

( ) º0∠=≈ aajG ω

19

Respuesta en Magnitud:

Si se grafica en dB, 20logM, contra logω, la ecuación anterior es una línea: y=20x

Se denomina década a 10 veces la frecuencia inicial.

En cada década, 20logω aumenta en 20dB

Cada duplicación (octava) de frecuencia produce que 20logωaumente en 6dB, la línea se levanta con una pendiente de 6dB/octava, donde una octava es el doble de la frecuencia

En cada octava (doble) la curaba aumenta 6 dB

20

Respuesta en Fase:

A la respuesta de corte, a:

( ) ( ) ( ) ajajaGa

jaajjG +=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= 1ωωω

la fase es de 45º

A baja frecuencia: la fase es 0º.

A altas frecuencias: la fase es 90º

( ) ajG ≈ω( ) º90º90 ∠=∠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≈ ωωωω

aa

ajajG

6

21

Para trazar la curva, se empieza una década (1/10) debajo de la frecuencia de corte, 0.1a, con una fase de 0º

Se traza una línea de pendiente +45º/década que pase por 45ºa la frecuencia de corte a y continuando a 90º una década arriba de la frecuencia de corte 10a.

22

Trazas de Bode de (s + a): a. traza de magnitud; b. traza de fase.

23

Normalización en magnitud y escalado en frecuenciaLa normalización y escalado ayudan en las siguientes aplicaciones:

1. Cuando se comparten diferentes gráficas de respuesta en frecuencia de primero y segundo orden, cada gráfica tendrá la misma asíntota de baja frecuencia después de la normalización , y la misma frecuencia de corte después de escalar.

2. Cuando se trace la respuesta en frecuencia de una función , cada factor del numerador y denominador tendrá la misma asíntota de baja frecuencia después de la normalización. Esta asíntota común de baja frecuencia facilita agregar componentes para obtener la traza de Bode

24

Normalización de (s+a)( ) ( )[ ]1+=+ asaas

ass =1

La frecuencia se convierte en escala al definir una nueva variable de frecuencia:

La magnitud se divide en la cantidad a para tener 0 dB a la frecuencia de corte.

La función normalizada y escalada es:

Para obtener la respuesta original de frecuencia, la magnitud y la frecuencia se multiplican por la cantidad a

( )11 +s

7

25

Información de respuesta en frecuencia asintótica y real, normalizada y escalada para (s + a)

26

La curva real de magnitud nunca es mayor que 3.01dB desde las asíntotas. Esta máxima diferencia ocurre a a frecuencia de corte.

La diferencia máxima para la curva de fase es 5.71º, se presenta una década antes de la frecuencia de corte por arriba de la asíntota, y por abajo

27

Respuesta de magnitud asintótica normalizada real y escalada de (s + a)

28

Respuesta de fase asintótica normalizada real y escalada de (s + a)

8

29

Trazado de Bode para G(s)=1/(s+a)

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

=1

11)(

asaas

sG

Asíntota de baja frecuencia: haciendo que s se aproxime a cero( )a1log20

La traza de Bode es constante hasta la frecuencia a rad/s

Asíntota de alta frecuencia: Se hace que s se aproxime a ∞

( ) º901º90

111 −∠=−∠=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= → ωωωω ω

a

a

aja

asa

jG js

ωω log20log201log20log20 −=−=aa

M

30

La aproximación de alta frecuencia es igual a la aproximación de baja frecuencia cuando ω=a, y se reduce para ω>a

La traza de Bode de magnitud logarítmica se reduce a razón de 20 dB/década

La fase empieza en 0º, llega a -90º a altas frecuencias, pasando por -45º a la frecuencia de corte.

31

Respuesta de magnitud asintótica, normalizada y escalada de 1/(s+a)

32

Respuesta de fase asintótica, normalizada y escalada de 1/(s+a)

9

33

Traza de Bode de G(s)=s( ) ssG = ωjs = ( ) ωω jjG =

ωlog20Magnitud:

Es una recta trazada con pendiente +20dB/década que pasa por cero dBcuando ω=1

Fase:

Es una constante +90º

34

Traza de Bode de G(s)=1/s

Magnitud:

Recta con pendiente -20 dB/década que pasa por 0 dB en ω=1

Fase:

Constante de -90º

35 36

EjemploTrace las gráficas de Bode para el sistema de la figura, donde G(s)=K(s+3)/[s(s+1)(s+2)]

10

37

La gráfica de Bode es la suma de las trazas de Bode para cada término de primer orden.

Es conveniente usar la gráfica normalizada por cada uno de los términos, de modo que la asíntota de baja frecuencia de cada término, excepto el polo en el origen, esté en 0 dB, facilitando la suma de los componentes de la gráfica de Bode

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=1

21

132

3

sss

sKsG

Frecuencias de corte: 1, 2, y 3

38

Magnitud:

La traza de magnitud comienza una década debajo de la frecuencia de corte más baja y se prolonga una década arriba de la frecuencia de corte mas alta

Para baja frecuencia: Para ω=0.1 ( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=1

21

132

3

sss

sKsG

( ) KKjG 151.0231.0 =≈

El efecto de K es subir la curva de magnitud o bajar la curva una cantidad 20logK. K no tiene efecto en la curva de fase

39

Magnitud:La gráfica de Bode en magnitud para K=1 empieza en ω=0.1 con un valor 20log15=23.52dBSe reduce -20dB/década por el término s del denominadorEn ω=1 el término (s+1) del denominador produce -20 db/década adicional

Total=-40dB/década

En ω=2 el término ((s/2)+1) del denominador produce -20dB/décadaadicional

Total=-60dB/décadaEn ω=3 el término ((s/3)+1) del denominador produce +20dB/décadaadicional

Total=-40dB/décadaFase:Los quiebres se producen una década abajo y una década arriba de cada frecuencia de corte

40

Traza de Bode en Magnitud: aportación de pendiente desde cada polo y cero del ejemplo

11

41

Traza de Bode de Fase: aportación de pendiente desde cada polo y cero del ejemplo

42

Trazas de Bode para

( ) 22 2 nn sssG ωξω ++=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++= 122 2

2222

nnnnn

sssssGω

ξω

ωωξω

Para bajas frecuencias( ) º022 ∠=≈ nnsG ωω

( ) 2log20log20log20 njGM ωω ==

Magnitud a baja frecuencia:

Para altas frecuencias:( ) 2ssG ≈

( ) º18022 ∠=−≈ ωωωjG( ) ωωω log40log20log20log20 2 === jGM

Recta con pendiente 40dB/década

43

La asíntota de baja frecuencia

y la asíntota de alta frecuencia

Son iguales cuando

es la frecuencia de corte para el polinomio de segundo grado

nωω =

( ) º022 ∠=≈ nnsG ωω

( ) ωωω log40log20log20log20 2 === jGM

nω

Normalización y escalado:

Se normaliza en magnitud dividiendo por y se escala en frecuencia dividiendo por

Se grafica , donde

2nω

nω

nss ω=1( ) 12 121

21 ++= sssG

nξω

44

G(s1) en baja frecuencia:

Magnitud: 0 dB

Frecuencia de corte 1 rad/s

Fase: 0º

G(s1) en alta frecuencia:

Fase: 180º

Fase a la frecuencia ωn:

( ) 12 121

21 ++= sssG

nξω

( ) ( ) ωξωωωωξωω nnnn jssjG 22 2222 +−=++=

12

45

Haciendo ω= ωn, ( ) 22 njjG ξωω =

Fase a la frecuencia natural no amortiguada es +90º

La gráfica de fase escalada por ωn aumenta 90º/década de 0.1 a 10 y pasa por 90º en 1

46

ζω22 +s

Asíntotas de Bode para a. magnitud;b. fase

47

Correcciones a las trazas de Bode de segundo orden

Para el sistema de segundo orden las diferencias en las trazas de magnitud y fase de Bode reales y aproximadas por asíntotas dependen del valor de ξ

( ) 22 2 nn sssG ωξω ++=

( ) ( )222 2 ωξωωω nnM +−=

221 2

tanωωωξω

−= −

n

nFase

48

Información para gráficas del logaritmo de la magnitud y fase, normalizadas y escaladas para(s2 + 2ζωns + ωn

2). Mag = 20 log(M/ωn

2) (la tabla continúa)

Freq.ω/ωn

Mag(dB)

ζ = 0.1

Phase(deg)

ζ = 0.1

Mag(dB)

ζ = 0.2

Phase(deg)

ζ = 0.2

Mag(dB)

ζ = 0.3

Phase(deg)

ζ = 0.3

13

49

(continuación)

Freq.ω/ωn

Mag(dB)

ζ = 0.5

Phase(deg)

ζ = 0.5

Mag(dB)

ζ = 0.7

Phase(deg)

ζ = 0.7

Mag(dB)ζ = 1

Phase(deg)ζ = 1

50

Respuesta del logaritmo de la magnitud, normalizada y escalada para

51

Respuestas de fase escaladas para

52

Trazas de Bode para

( ) ( )22 21 nnsssG ωξω ++=Magnitud:

A bajas frecuencias la magnitud en dB es 0dB

A la frecuencia natural no amortiguada ωn se reduce a razón de -40 dB/década

Fase:

A bajas frecuencias la fase es 0º

A 0.1 ωn se empieza a reducir -90º/década y continúa hasta 10 ωn , donde se nivela a -180º

14

53

Información para gráficas del logaritmo de la magnitud y fase, normalizadas y escaladas, para 1/(s2 + 2ζωns + ωn

2). Mag = 20 log(M/ωn

2) (la tabla continúa)

Freq.ω/ωn

Mag(dB)

ζ = 0.1

Phase(deg)

ζ = 0.1

Mag(dB)

ζ = 0.2

Phase(deg)

ζ = 0.2

Mag(dB)

ζ = 0.3

Phase(deg)

ζ = 0.3

54

(continuación)

Freq.ω/ωn

Mag(dB)

ζ = 0.5

Phase(deg)

ζ = 0.5

Mag(dB)

ζ = 0.7

Phase(deg)

ζ = 0.7

Mag(dB)ζ = 1

Phase(deg)ζ = 1

55

Respuesta del logaritmo de la magnitud normalizada y escalada para

56

Respuesta de fase escalada para

15

57

Ejemplo:Trace las gráficas de Bode del logaritmo de la magnitud y fase de G(s) para el sistema con realimentación unitaria de la figura, donde G(s)=(s+3)/[(s+2)(s2+2s+25)]

58

G(s)=(s+3)/[(s+2)(s2+2s+25)]

Se convierte G(s) para mostrar los componentes normalizados que tienen ganancia unitaria a baja frecuencia.

El término de segundo orden se normaliza al factorizar 2nω

122

2

++ ss

nn ωξ

ω

( ) ( )( ) 2 2

1 13 33 3

2 25 502 21 1 1 12 25 25 2 25 25

s s

G ss s s ss s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resulta

59

Traza de Bode en magnitud para G(s) =(s + 3)/[(s + 2)(s2 + 2s + 25)]:a. componentes;b. combinación

60

Pendientes de diagrama de magnitud del ejemplo

16

61

Pendientes de diagrama de fase para el ejemplo

62

Traza de fase de Bode para G(s) = (s + 3)/[(s +2)(s2 + 2s + 25)]:a. componentes;b. combinada

63

5.5. Introducción al criterio de Nyquist

El criterio de Nyquist relaciona la estabilidad de un sistema en lazo cerrado con

* la respuesta en frecuencia en lazo abierto

* con la ubicación del polo en lazo abierto

El concepto es similar al concepto de lugar de las raíces en donde se parte de la ubicación de los polos y ceros en lazo abierto y se deduce la ubicación de los polos en lazo cerrado

64

Conclusiones de las ecuaciones anteriores:

1. Los polos de 1+G(s)H(s) son los mismos que los polos de G(s)H(s), el sistema en lazo abierto

2. Los ceros de 1+G(s)H(s) son los mismos que los polos de T(s), el sistema en lazo cerrado

Deducción del criterio de Nyquist

( )G

G

DN

sG = ( )H

H

DNsH =

( ) ( )HG

HG

DDNN

sHsG =

( ) ( )HG

HGHG

HG

HG

DDNNDD

DDNN

sHsG+

=+=+ 11

( ) ( )( ) ( ) HGHG

HG

NNDDDN

sHsGsGsT

+=

+=

1

1

1

1

2

2

2

17

65

MapeoSi se toma un número complejo en el plano s y se sustituye en una función, F(s), resulta en otro número complejo. Este proceso se llama mapeo

Ejemplo:

Al sustituir s=4+j3 en la función (s2+2s+1) da 16+j30.

Se dice que

4+j3

se mapea en

16+j30

por medio de la función

(s2+2s+1). 66

Mapeo de ContornoConsidere el conjunto de puntos, llamado contorno A, ilustrado en la figura siguiente como el contorno A. También supóngase que

El contorno A se puede mapear mediante F(s) en el contorno B al sustituir cada punto del contorno A en la función F(s) y graficar los números complejos resultantes

( ) ( )( )( )( )...

...

21

21

pspszszs

sF−−−−

=

67

Ejemplos de mapeos de contorno

68

Ejemplos de mapeos de contorno

Si se supone una dirección en el sentido de las agujas del relojpara mapear los puntos sobre el contorno A

Entonces el contorno B se mapea en la dirección de las agujas del reloj si F(s) tiene sólo ceros

18

69

Ejemplos de mapeos de contorno

Si se supone una dirección en el sentido de las agujas del relojpara mapear los puntos sobre el contorno A

Entonces el contorno B se mapea en la dirección contraria a las agujas del reloj si F(s) tienesólo polos

70

Si se supone una dirección en el sentido de las agujas del reloj para mapear los puntos sobre el contorno A, entonces el contorno B se mapea en la dirección de las agujas del reloj si F(s) tiene sólo ceros, y en la dirección contraria al giro de las agujas del reloj si F(s) tiene sólo polos.

Si el polo o cero de F(s) está encerrado por el contorno A, el mapeo encierra al origen.

Si hay tantos polos como ceros, entonces la rotación de polo y cero se cancela, y el mapeo no encierra al origen

71

Deducción del criterio de Nyquist

Supongamos que F(s)=1+G(s)H(s), con la imagen de polos y ceros como se muestra en la figura

Cuando nos movemos alrededor del contorno A en el sentido de las agujas del reloj, cada vector (de polo o cero) que se encuentre dentro del contorno A parecerá experimentar una rotación completa.

72

Cada vector trazado desde polos y ceros de 1+G(s)H(s) que existe fuera del contorno A parecerá oscilar y regresar a su posición previa, experimentando un cambio angular de 0º

Cada factor de polo o cero de 1+G(s)H(s), cuyo vector experimente una rotación completa alrededor del contorno A, debe dar un cambio 360º en la resultante, R, o un rotación completa del mapeo del contorno B

19

73

Si nos movemos en la dirección de las agujas del reloj, a lo largo del contorno A, cada cero dentro del contorno A da una rotación en el sentido de las agujas del reloj, mientras que cada polo dentro del contorno A da una rotación en el sentido contrario de las agujas del reloj, dado que está en el denominador de la ecuación:

( ) ( )( )( )( )...

...

21

21

pspszszssF

−−−−

=74

N=P-Zdonde

•N es igual al número de rotaciones en el sentido contrario a las agujas del reloj del contorno B alrededor del origen;

•P es igual al número de polos de 1+G(s)H(s) dentro del contorno A

•Z es igual al número de ceros de 1+G(s)H(s) dentro del contorno A

Los ceros (Z) de 1+G(s)H(s) son los polos del sistema en lazo cerradoP: Número de polos en lazo abiertoZ: Número de polos en lazo cerrado

N=P-Z, nos dice que el número de polos en lazo cerrado dentro del contorno (número ceros Z en lazo abierto) es igual al número de polos en lazo abierto de G(s)H(s) dentro del contorno, menos el número de rotaciones en el sentido contrario a las agujas del reloj del mapeo alrededor del origen.

75

Si se prolonga el contorno para incluir todo el semiplano derecho, se puede contar el número de polos en lazo cerrado en el semiplano derecho, del contorno A, y determinar la estabilidad de un sistema.

Si en lugar de mapear los polos y ceros de 1+G(s)H(s), se mapean los polos y ceros de G(s)H(S), el contorno resultante es el mismo, excepto que está trasladado una unidad a la izquierda; así, contamos rotaciones alrededor de -1 en lugar de rotaciones alrededor del origen

76

ENUNCIADO DEL CRITERIO DE NYQUIST

Si un contorno, A, que encierra todo el semiplano derecho se mapea por medio de G(s)H(s), entonces el número de polos en lazo cerrado, Z, del semiplano derecho es igual al número de polos en lazo abierto, P, que estén en el semiplano derecho menos el número de revoluciones en el sentido de las agujas del reloj, N, alrededor de -1 del mapeo; es decir,

Z = P - N.El mapeo se llama diagrama de Nyquist o traza de Nyquist de G(s)H(s)

20

77

Contorno que encierra al semiplano derecho para determinar la estabilidad

78

Ejemplos de mapeo:a. contorno no encierra polos en lazo cerrado;b. contorno encierra polos en lazo cerrado

El contorno no encierra polos en lazo cerrado;ESTABLE

El contorno encierra polos en lazo cerrado;INESTALE

79

Ejemplo a) el contorno A no encierra polos en lazo cerrado, es decir ceros de 1+G(s)H(s). Luego el contorno se mapeapor medio de G(s)H(s) en un diagrama que no encierra a -1. En consecuencia, P=0, N=0 y Z=P-N=0.

Como Z es el número de polos en lazo cerrado dentro del contorno A, que encierra el semiplano derecho, este sistema no tiene polos en el semiplano derecho y es estable

80

Ejemplo b) muestra un contorno A que, si bien no encierra polos en lazo abierto, genera dos cercos de -1 en el sentido de las agujas del reloj. Así, P=0, N=-2, Z=P-N=0-(-2)=2, y el sistema es inestable; tiene dos polos en lazo cerrado en el semiplano derecho dado queZ=2.

Nota: recordar que cercos en sentido agujas del reloj implican valor negativo para N

21

81

Trazado del Diagrama de Nyquist

El contorno que encierra el semiplano derecho se puede transformar por medio de la función G(s)H(s) al sustituir los puntos a lo largo del contorno en G(s)H(s)

Los puntos a lo largo de la prolongación positiva del eje imaginario dan la respuesta en frecuencia polar de G(s)H(s)

Se pueden realizar aproximaciones a G(s)H(s) para puntos alrededor del semicírculo infinito si se supone que los vectores inician en el origen. Por lo tanto, su longitud es infinita y sus ángulos se evalúan fácilmente

82

Problema:Trace el diagrama de Nyquist para el sistema de la figura

Fig 1

83

El diagrama de Nyquistse grafica al sustituir los puntos del contorno a) de la figura siguiente en

G(s)=

500/[(s+1)(s+3)(s+10)]

Fig 2

84

Cada término de polo o cero de G(s) de la Fig 1b) es un vector de la Fig 2a) y 2b) .

El vector resultante, R, hallado en cualquier punto a lo largo del contorno es el producto de los vectores de cero divididos entre el producto de los vectores de polo (ver Fig 2c))

La magnitud de la resultante es el producto de las longitudes decero divido entre el producto de las longitudes de polo

El ángulo de la resultante es la suma de los ángulos de los ceros menos la suma de los ángulos de los polos

22

85

Cuando nos movemos en el sentido de las agujas del reloj alrededor del contorno del punto A al punto C en la Fig 2a) el ángulo pasa de 0º a -3x90°=-270° o de A´ a C´ en la Fig 2c)

Cuando nos movemos de A a C, la magnitud cambia como el producto de las longitudes de cero divido entre el producto de las longitudes de polo. Entonces, la resultante pasa de un valor finito a frecuencia cero (en el punto A de la Fig2a) hay tres longitudes finitas de polo) a magnitud cero a frecuencia infinita en el punto C (en el punto C de la Fig 2a) existen tres longitudes infinitas de polo)

1) Mapeo de A a C (eje imaginario positivo)

86

2) Mapeo de C a D

Los vectores giran en el sentido de las agujas del reloj, cada uno 180°. La resultante experimenta una rotación en el sentido de las agujas del reloj de 3x180°, comenzando en el punto C´ y terminando en el punto D´ de la Fig 2c)

En el punto C los ángulos son todos 90°. Por lo tanto la resultante es

, que se encuentra como C´ en la Fig 2c)

El punto´, , se transforma en el punto D´

°−∠ 2700

( ) °+∠= 2700sG

87

3) Mapeo de D a A (eje imaginario negativo)

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2322

32

32

433014433014500

433014500

1031500

ωωωωωω

ωωωω ω

−++−−−+−=

−++−=

+++= →

jjsss

jG js

El eje imaginario se puede mapear al ver que la parte real de G(jω)H(jω) es una función par mientras que la parte imaginaria de El eje imaginario se puede mapear al ver que la parte imaginaria de G(jω)H(jω) es una función impar.

El mapeo del eje imaginario negativo es la imagen espejo del mapeo del eje imaginario positivo.

El mapeo de la sección del contorno de los puntos D a A se traza como la imagen espejo alrededor del eje real del mapeo de los puntos de A a C. 88

Si existen polos de G(s)H(s) que se encuentran sobre el contorno, para trazar el diagrama de Nyquist, el contorno debe desviarse alrededor de cada polo en lazo abierto que se encuentre sobre su trayectoria.

La desviación puede ser a la derecha del polo, o hacia la izquierda

La desviación debe ser infinitesimal

23

89

Desviación alrededor de polos en lazo abierto:a. polos sobre el contorno;b. desviación derecha;c. desviación izquierda

90

Ejemplo:Trace el diagrama de Nyquist del sistema con realimentación unitaria, donde G(s)=(s+2)/s2

a. Contorno del ejemplo;b. Diagrama de Nyquist para el ejemplo

91

Tramo A-BEn el punto A, los dos polos en lazo abierto en el origen aportan 2x90º=180º y el cero aporta 0º. El ángulo total en A es de -180º.

Cerca del origen, la función es infinita en magnitud debido a la cercana proximidad a los dos polos en lazo abierto. El punto A se transforma en el punto A´, ubicado en el infinito a un ángulo de -180º

El movimiento de A a B produce un cambio de +90º, sólo desde el cero. Los polos permanecen iguales. El mapeo cambia en +90ºen el sentido contrario a las agujas del reloj. El vector pasa de -180º en A´a -90º en B´. La magnitud cambió de infinita a cero porque en el punto B hay una longitud infinita desde cero dividido entre dos longitudes infinitas desde los polos

92

TRAMO B-C-DLa longitud de la función permanece en cero (la longitud infinita desde el cero dividida entre dos longitudes infinitas desde los polos en el origen). Al pasar de B a D, el vector del cero y los dos vectores de los polos cambian -180º cada uno. El vector mapeado experimenta un cambio neto de +180º, que es el cambio angular del cero menos la suma de los cambios angulares de los polos {-180-[2(-180)]}=+180º

24

93

TRAMO D-EEs una imagen espejo del mapeo de A a B

TRAMO E-F-ALa magnitud resultante se aproxima al infinito. El ángulo del cero no cambia, pero cada polo cambia en +180º. Este cambio produce una modificación en la función de -2x180º=-360º. El mapeo de E´a A´se muestra como infinita en longitud y girando -360º

94

5.8. Estabilidad por medio del diagrama de NyquistEjemplo:

¿Para que valores de la ganancia K es estable el sistema?

Cuando la ganancia K varía, se pude visualizar el diagrama de Nyquist expandiéndose o contrayéndose como un globo. Este movimiento podría mover el diagrama de Nyquist más allá del punto -1, cambiando la estabilidad del sistema.

Desde otra perspectiva, podemos considerar el diagrama de Nyquistpermaneciendo estacionario, y el punto -1 moviéndose a lo largo del eje real. Para hacer esto, hacemos la ganancia igual a la unidad y ponemos el punto crítico en -1/K en lugar de -1.

95

Si el diagrama de Nyquist cruza el eje real en -1, entonces G(jω)H(jω)=-1, la variable s es un polo en lazo cerrado del sistema. La frecuencia a la que el diagrama de Nyquist corta al punto -1 es la misma a la que el lugar geométrico de las raíces cruza el eje jω. Por lo tanto,

el sistema es marginalmente estable si el diagrama de Nyquistcruza el eje real en -1.

Resumen:

Si el sistema en lazo abierto contiene una ganancia variable, K,se hace K=1 y se traza el diagrama de Nyquist. Considere que el punto crítico está en -1/K en lugar de en -1. Ajuste el valor de K para obtener estabilidad, con base en el criterio de Nyquist.

96

Ejemplo:

25

97

Para este sistema, como P=2, el punto crítico debe estar encerrado por el diagrama de Nyquist para obtener N=2 y un sistema estable.

Una reducción en ganancia colocaría al punto crítico fuera del diagrama de Nyquist donde N=0, dando Z=2, un sistema inestable.

98

Problema: Para el sistema con realimentación unitaria, donde G(s)=K/[S(S+3)(S+5)], encuentre el margen de ganancia, K, para estabilidad, inestabilidad, y el valor de ganancia para estabilidad marginal. Para la estabilidad marginal, también encuentre la frecuencia de oscilación. Use el criterio de Nyquist.

Se hace K=1 y se traza el diagrama de Nyquist

Para los puntos sobre el eje imaginario

( ) ( ) ( )( )( )( )2224

32

11564

15853 ωωω

ωωωωωω −+

−−−=++

===

jsss

KjHjGjs

K

En ω=0,

( ) ( ) ∞−−= jjHjG 0356.0ωω

99

Se encuentra el punto donde el diagrama de Nyquist cruza la parte negativa del eje real. Igualando a cero la parte imaginaria de la ecuación anterior, se encuentra . Al sustituir este valor de ω de nuevo en la ecuación, resulta la parte real de -0.0083. Por último, a

15=ω

∞=ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) º27001 3 −∠=∞== ∞→ jsHsGjHjG jsωω

100

a. Contorno del Ejemplo;b. Diagrama de Nyquist

26

101

Del contorno de Nyquist de la figura a), P=0; para obtener estabilidad, N debe ser igual a cero.

De la figura b) el sistema es estable si el punto crítico se encuentra fuera del contorno (N=0), de modo que

Z=P-N=0

K se puede aumentar en 1/0.0083=120.5 antes que el diagrama de Nyquist encierre el punto -1.

Para obtener estabilidad, K<120.5

Para estabilidad marginal, K=120.5. A esta ganancia, el diagrama de Nyquist cruza -1, y la frecuencia do oscilación es srad /15

102

Estabilidad por medio del mapeo de sólo la parte positiva del eje jω

Es posible simplificar la evaluación de la estabilidad con el uso de sólo el mapeo de la parte positiva del eje jω.

Considere el sistema de la figura

El sistema es estable a bajos valores de ganancia e inestable a valores altos

103

Como el contorno no encierra polos en lazo abierto (P=0), el criterio de Nyquist dice que no se deben tener encierros (N=0) del punto crítico -1 para que el sistema sea estable (Z=0)

Los encierros del punto crítico se pueden determinar a partir sólo del mapeo de la parte positiva del eje jω.

Si la ganancia es pequeña, el mapeo pasa a la derecha de -1, y el sistema es estable.

Si la ganancia es grande, el mapeo pasa a la izquierda de -1, y el sistema es inestable

104

ENUNCIADO ALTERNATIVO DEL CRITERIO DE NYQUIST

El sistema es estable para el margen de ganancia en lazo, K, que asegure que la magnitud en lazo abierto es menor que la unidad a esa frecuencia, donde el ángulo de fase es 180° (lo que es equivalente a -180°)

27

105

Ejemplo:

El sistema de la figura siguiente es inestable a bajos valores de ganancia y estable a valores altos

106

El contorno encierra dos polos en lazo abierto (P=2)

Para que haya estabilidad (Z=0) se necesitan dos encierros del punto crítico -1 en el sentido contrario a las agujas del reloj (N=2)

En este caso, el sistema es estable si la magnitud en lazo abierto es mayor que la unidad a esa frecuencia, donde el ángulo de fase es 180° (o bien, lo que es equivalente a -180°)

107

Resumen:

Primero se determina la estabilidad a partir del criterio de Nyquist

Luego se interpreta el criterio de Nyquist y se determina si la transformación, de sólo el eje positivo, debe tener una ganancia menor que la unidad a 180°

Si el diagrama de Nyquist cruza -180° a múltiples frecuencias, determina la interpretación a partir del criterio de Nyquist

108

5.9. Margen de ganancia y margen de fase por medio del diagrama de Nyquist

28

109

Margen de ganancia, GM :El margen de ganancia es el cambio en ganancia en

lazo abierto, expresado en decibeles (dB), necesario para que a 180° de desfasamiento haga inestable el sistema en lazo cerrado

Margen de fase, ΦM:El margen de fase es el cambio en desfasamiento en

lazo abierto necesario a una ganancia unitario, para hacer inestable el sistema en lazo cerrado

110

5.10. Estabilidad, margen de ganancia y margen de fase por medio de las trazas de Bode

111

El Margen de Ganancia se encuentra utilizando la traza de fase para hallar la frecuencia, ωGM , donde el ángulo de fase es 180°. A esta frecuencia veamos la traza de magnitud para determinar el margen de ganancia, GM , que es la ganancia necesaria para elevar la curva de magnitud a 0 dB

El Margen de Fase se encuentra mediante el uso de la curva de magnitud para hallar la frecuencia, ωΦM , donde la ganancia es 0 dB. Sobre la curva de fase a esa frecuencia, el margen de fase, ΦM , es la diferencia entre el valor de fase y 180°

112

5.11. Relación entre las respuestas transitoria en lazo cerrado y en frecuencia en lazo abierto

( )( ) ( ) 22

2

2 nn

n

sssT

sRsC

ωξωω

++==

( ) ( )n

n

sssG

ξωω

2

2

+=

Magnitud Respuesta en Frecuencia en Lazo Cerrado

( ) ( ) 22222

2

4 ωωξωωωω

nn

njTM+−

==

29

113

212

1

ξξ −=Mp

Relación entre el valor de pico de la respuesta de magnitud en lazo cerrado y el factor de

amortiguamiento relativo

221 ξωω −= np

114

Pico de respuesta en frecuencia en lazo cerrado contra sobrepaso en porcentaje, para un sistema de dos polos

115

Velocidad de respuesta y respuesta en frecuencia en lazo cerrado

( ) 24421 242 +−+−= ξξξωω nBW

( ) 244214 242 +−+−= ξξξξ

ωs

BW T

( ) 244211

242

2+−+−

−= ξξξ

ξπω

p

BWT

Ancho de Banda de la respuesta en lazo cerrado: se define como la frecuencia, ωBW a la que la curva de respuesta de magnitud está 3 dB debajo de su valor a frecuencia cero.

Se debe encontrar la frecuencia para la cual (es decir -3 dB)

21=M

116

30

117

Factor de amortiguamiento relativo a partir del margen de fase (pp. 647)

Considere un sistema con realimentación unitaria cuya función en lazo abierto

( ) ( )n

n

sssG

ξωω

2

2

+=

da la función de transferencia de lazo cerrado, de segundo orden

( ) 22

2

2 nn

n

sssT

ωξωω

++=

Para obtener el margen de fase, primero se halla la frecuencia a la cual ( ) 1=ωjG

( ) 122

2

=+−

=ωξωω

ωωn

n

jjG

118

La frecuencia que satisface es( ) 1=ωjG

421 412 ξξωω ++−= n

El ángulo de fase de G(jω) a esta frecuencia es

( )ξ

ξξξωωω

2142

tan902

tan9042

111 ++−−−=−−=∠ −−

n

jG

La diferencia entre este ángulo y -180º es el margen de fase, ΦM

142

2tan2

142tan90

42

142

1

++−=

++−−=Φ −−

ξξ

ξξ

ξξM

119

La ecuación anterior se grafica para mostrar la relación entre el margen de fase y el factor de amortiguamiento relativo

120

Velocidad de la respuesta a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto

El ancho de banda en lazo cerrado, ωBW (es decir, la frecuencia a la que la respuesta de magnitud en lazo cerrado es -3dB), es igual a la que la respuesta de magnitud en lazo abierto está entre -6 y -7.5 dB, si la respuesta de fase en lazo abierto está entre -135º y -225º

Con el uso de la aproximación de un sistema de segundo orden, las ecuaciones

( ) 244214 242 +−+−= ξξξξ

ωs

BW T( ) 24421

1242

2+−+−

−= ξξξ

ξπω

p

BWT

Se pueden usar, junto con el factor de amortiguamiento relativo deseado, ζ, para hallar el tiempo de asentamiento y tiempo de pico, respectivamente

31

121

Ganancia en lazo abierto contra ángulo de fase en lazo abierto, para ganancia en lazo cerrado de -3dB

122

2.12. Características de error en estado estable para la respuesta en frecuencia

Forma de usar las trazas de Bode para hallar los valores de las constantes de error estático para sistemas equivalentes con realimentación unitaria

Kp para sistemas tipo 0

Kv para sistemas tipo 1

Ka para sistemas tipo 2

123 124

Preguntas de repaso

32

125

1. Mencione cuatro ventajas de técnicas de respuesta en frecuencia sobre el lugar geométrico de las raíces.

2. Defina la respuesta en frecuencia en aplicada a un sistema físico.3. Mencione dos formas de de graficar la respuesta en frecuencia.4. Brevemente describa como obtener analíticamente la respuesta en

frecuencia. 5. Defina las trazas de bode.6. ¿Cuánto de una pendiente aporta cada polo de un sistema a la traza

de bode en magnitud?7. En una traza de Bode en magnitud, ¿que valor de pendiente a altas

frecuencias exhibirá un sistema con solo cuatro polos y sin ceros?8. En una traza de Bode en magnitud, ¿que valor de pendiente a altas

frecuencias exhibirá un sistema con cuatro polos y dos ceros? 9. Describa la respuesta de fase asintótica de un sistema con un solo

polo en -2. 10. ¿Cuál es la diferencia principal entre las trazas de Bode en magnitud

para sistemas de primer orden y los sistemas de segundo orden?11. Para un sistema con tres polos en -4, ¿cuál es la diferencia máxima

entre la aproximación asintótica y la respuesta real de magnitud? 12. Brevemente exprese el criterio de Nyquist.

126

13. ¿Qué nos dice el criterio de Nyquist?14. ¿Cuál es el diagrama de Nyquist? 15. ¿Por qué es que el criterio de Nyquist se llama método de respuesta

en frecuencia?16. Al trazar el diagrama de Nyquist, ¿qué debe hacerse con polos en

lazo abierto sobre el eje imaginario?17. ¿Qué simplificación al criterio de Nyquist se puede hacer, por lo

general, para sistemas que son estables en lazo abierto?18. ¿Qué simplificación al criterio de Nyquist se puede hacer, por lo

general, para sistemas que son inestables en lazo abierto? 19. Defina el margen de ganancia. 20. Defina el margen de fase. 21. Mencione dos características diferentes de respuesta en frecuencia

que se puedan usar para determinar la respuesta transitoria de un sistema.

22. Brevemente explique cómo hallar la constante de error estático a partir de la traza de Bode en magnitud.

127

FIN