Фигуры из квадратиков

Работа Коган Александры СергеевныРуководитель проекта:

Митусова Светлана Викторовна

Фигуры из квадратиков• Фигурой из квадратиков мы называем фигуру, которую

можно сложить из квадратиков одного размера. При этом квадратики могут соединяться только сторона к стороне.

• Две фигуры считаются одинаковыми, если одна переходит в другую «не выходя из плоскости».

Задачи

• Нахождение фигур, состоящих из 1, 2, 3, 4 и 5 квадратиков.• Оценка числа фигур, состоящих из произвольного числа

квадратиков.• «Сложи квадрат» и «выложи паркет». Связь между

задачами о заполнением квадрата и выкладыванием паркета одинаковыми фигурами из квадратиков. На рисунке пример заполнения квадрата фигурами из трех квадратиков (в виде буквы Г).

• Графические ключи• Архитектура и строительство• Пэчворк• Игры

Применения

Предварительные сведения. Комбинаторика• Комбинат рикао́� (Комбинаторный анализ) — раздел

математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка).

• В нашей работе мы используем формулу числа сочетаний.

Предварительные сведения. Факториал и число перестановок

• Факториалом числа n называется произведения всех чисел от 1 до n включительно 1×2×…× (n-1)×n, обозначается n!

n!=1×2×…× (n-1)×n.• Число перестановок из n элементов равно n!

Предварительные сведения. Число сочетаний

• Число сочетаний из n по k - число способов выбрать k элементов из n элементов

Фигуры, состоящие из 1, 2, 3, 4, 5 квадратиков

Вывод: Число фигур с возрастанием количества квадратиков быстро растёт.

Оценка числа фигур из n квадратиков

• Любая фигура из 6 квадратиков помещается в квадрат 6×6. Потому, что максимальная по длине фигура – «паровозик» умещается в квадрат 6×6.

Оценка числа фигур из n квадратиков

• Сложить фигуру из 6 квадратиков - это всё равно, что выбрать 6 квадратиков из квадрата 6×6 определённым образом.

• Не каждый выбор 6 квадратиков дает фигуру из квадратиков

Оценка числа фигур из n квадратиков

• Таким образом, получаем оценку для n=6

• Обобщая для произвольного n,

𝑆𝑛 < 𝐶𝑛2𝑛 (1)

Оценка числа фигур из n квадратиков

• В квадрат 5×5 будут помещаться все фигуры из 6 квадратиков, кроме «паровозика»

Оценка числа фигур из n квадратиков

• Сложить фигуру из 6 квадратиков (кроме «паровозика») - это всё равно, что выбрать 6 квадратиков из квадрата 5×5 определённым образом.

• Не каждый выбор 6 квадратиков дает фигуру из квадратиков

Оценка числа фигур из n квадратиков

• Таким образом, получаем оценку для n=6

• Обобщая для произвольного n,

𝑆𝑛 < 𝐶ሺ𝑛−1ሻ2𝑛 ሺ2ሻ

Оценка числа фигур из n квадратиков

• Число способов выбрать n элементов из (n-1)2 меньше, чем число способов выбрать n из n2, т.е.

• Вывод:

точнее

𝐶ሺ𝑛−1ሻ2𝑛 < 𝐶𝑛2 ,𝑛

𝑆𝑛 < 𝐶𝑛2𝑛 (1)

𝑆𝑛 < 𝐶ሺ𝑛−1ሻ2𝑛 ሺ2ሻ

«Сложи квадрат»

• Для 1≤n≤3 из всех фигур можно выложить квадрат.

«Сложи квадрат»

• Начиная с n=4 есть фигуры из которых нельзя сложить квадрат.

Паркет

• Паркетом в математике называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий.

«Сложи квадрат» и «собери паркет»

• Если фигурами можно замостить квадрат, то тем более можно выложить паркет – заполняя плоскость квадратами.

• Обратное неверно. • Начиная с n=4 есть фигуры из которых нельзя выложить

квадрат, но можно паркет.

«Сложи квадрат» и «собери паркет»

• Начиная с n=7 есть фигуры, из которых нельзя выложить не только квадрат, но и паркет.

• Существует 3 класса фигур: 1.Можно сложить и квадрат и паркет.2.Нельзя квадрат, но можно паркет.3.Нельзя выложить паркет (и тем более, квадрат)

«Сложи квадрат» и «собери паркет»

• Найдены фигуры, состоящие из n=1, 2, 3, 4 и 5 квадратиков. Сделан вывод о быстром росте числа фигур c ростом n.

• Оценка числа фигур, состоящих из произвольного числа квадратиков с применением комбинаторных формул.

• «Сложи квадрат» и «выложи паркет»: найдена связь между задачами о заполнением квадрата и выкладыванием паркета одинаковыми фигурами из квадратиков. Все фигуры из квадратиков были подробно классифицированы.

Выводы

Спасибо за внимание !