浮屋根との連成を考慮した大型液体貯槽の地震時

スロッシング応答とその抑止策

研究課題番号 17360278

研究代表者 松 井 徹 哉

(名城大学理工学部教授)

平成 17 年度～平成 19 年度 科学研究費補助金

基盤研究(B) 研究成果報告書

平成 20 年 5 月

Tank Model and Set-up of High-speed Micro Cameras

Resonance at the natural frequencies of the fundamental and 2nd-order modes

Time Histories and Fourier Amplitude Spectra of Displacement at the Wave Front

(Single-deck Type Roof of Model L)

Time Histories and Fourier Amplitude Spectra of Displacement at the Roof Center

(Single-deck Type Roof of Model S)

Bi-harmonic resonance at twice the fundamental natural frequency

3D Plot of Bi-harmonic Resonance Oscillation

Floating Roof Model (Single-deck Type)

- 2 -

- 3 -

目 次

はしがき 1

1. 液体貯槽の構造と地震被害 7

1.1 液体貯槽の分類と構造 7

1.2 地震による液体貯槽の主な被害パターン 8

1.3 液体貯槽のスロッシング被害事例 9

参考文献 14

2. 剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根を有する円筒液体貯槽のスロッシング理論 15

2.1 序 15

2.2 理論解 16

2.3 解析例 21

2.4 結語 28

参考文献 28

付録：積分公式 28

3. シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽のスロッシング理論 30

3.1 序 30

3.2 理論解 30

3.3 解析例 36

3.4 結語 42

参考文献 42

付録：ポンツーンの運動方程式 43

4. センターポンツーン付シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽のスロッシング

理論 45

4.1 序 45

4.2 理論解 45

4.3 解析例 53

4.4 結語 56

参考文献 56

付録：センターポンツーンの運動方程式 57

5. 直交異方性浮屋根を有する円筒液体貯槽のスロッシング理論―FEM と解析解の結合解

法― 58

5.1 序 58

5.2 FEM と解析解の結合解法 58

- 4 -

5.3 解析例 62

5.4 結語 67

参考文献 68

付録：浮屋根のリング平板要素によるモデル化 68

6. 応答スペクトル法による円筒液体貯槽浮屋根のスロッシング応答予測 70

6.1 序 70

6.2 境界値問題 70

6.3 空中固有モード展開に基づく浮屋根－液体連成振動解析 72

6.4 液中固有モード展開に基づく浮屋根－液体連成振動解析 73

6.5 応答スペクトルによるモーダル・アナリシス 75

6.6 解析例および考察 75

6.7 結語 80

参考文献 80

7. 模型振動実験による円筒液体貯槽浮屋根のスロッシング理論の検証 81

8. 頂部開口型円筒液体貯槽における浮屋根の強風時スロッシング応答 93

9. 研究の総括 111

謝辞

- 1 -

はしがき

スロッシング（液面動揺）は地震動によって生じる液体貯槽に特有の現象である。過去の大地

震，例えば 1964 年のアラスカ地震，新潟地震，1983 年の日本海中部地震，1999 年のトルコ・

コジャエリ地震，台湾・集集地震，2003 年の十勝沖地震などでは，貯液の溢流，浮屋根の損傷・

沈没，浮屋根の揺動に伴うゲージポール，ガイドポール，ローリングラダー（回転梯子），配管な

どの付属設備の破損，浮屋根の側板や付属設備への衝突による火災（全面火災，リング火災）な

ど，スロッシングに起因すると考えられる液体貯槽の被害が多発している。特に 2003 年の十勝沖

地震では，苫小牧地区の石油貯槽 7 基でスロッシングにより浮屋根が沈没し，2 基（うち 1 基は浮屋根

が沈没した貯槽）で火災が発生するという甚大な被害に見舞われた。スロッシングにより浮屋根が沈

没し油面が大気に晒されるという極めて危険な事態に至った被害はわが国では初めてのことである。

沈没した貯槽の浮屋根はいずれも中央の曲げ剛性の極めて低いデッキ部と外周の剛性の比較的高いポ

ンツーン部（浮室）から成るシングルデッキ型浮屋根である。ポンツーン部にはスロッシング波圧に

より座屈した痕跡が残されており，損傷した浮室に原油が浸入し徐々に浮力を失って沈没に至ったと

推測されるが，その原因については未解明のところも多い。 液体貯槽のスロッシング固有周期は 3～12 秒の範囲にあり，通常の耐震設計の対象となる構造

物の固有周期と比較するとかなり長周期である。このスロッシングを励起するのは地震動に含ま

れるやや長周期成分と呼ばれる深さ数 km 程度までの地下構造に依存する表面波である。発生が

危惧されている南海トラフ地震などの海溝型巨大地震による地震動は，内陸直下で発生する衝撃

型の地震と比較して震動継続時間が長く，地域特有の深部地下構造によるやや長周期の表面波が

励起されやすいという特徴があることが最近の地震動予測や強震観測記録によって明らかにされ，

超高層建築物，免震建築物や大型液体貯槽などの長周期構造物への影響が懸念されるところとな

っている。

2003 年十勝沖地震の苫小牧における最大地動加速度は EW 方向に 76cm/s2，NS 方向に 69cm/s2

を記録している。加速度としては決して大きくはないが，速度応答スペクトルを見ると周期 5～8

秒にピークを有するやや長周期成分が卓越した地震動であることが特徴的である。その大きさは

従来の消防法規定（昭和 58 年自治省告示第 119 号）に定める設計用速度応答スペクトル 100cm/s

を大きく上回るものであった。同様の長周期地震動は，南海トラフ地震などの海溝型巨大地震が

発生した際には，関東・濃尾・大阪平野など，日本全国のあらゆる大型平野で発生する可能性が

あり，石油コンビナートの多くがこれら大型平野の臨海部に位置している状況を考えると，一刻

も早い対応が求められるところである。このような状況を受けて，2005 年には地域補正係数の導

入を盛り込んだ消防法告示の改正（平成 17 年総務省告示第 30 号）がなされ，設計用速度応答ス

ペクトルが従来の 2 倍程度に高められるとともに，旧告示では特に規定のなかった浮屋根の耐震

強度について，新たに長周期地震動を考慮した耐震強度評価による技術基準が加えられたことに

より，既存貯槽を含む液体貯槽浮屋根の耐震性能評価および耐震補強が喫緊の課題となっている。

以上のような背景の下，本研究では，スロッシングによる被害が特に集中している大型浮屋根式

液体貯槽を対象に，長周期地震動がスロッシング応答に及ぼす影響を，浮屋根と内部液体との連

成を考慮した動的相互作用解析および模型振動実験により明らかにするとともに，合理的な浮屋

根の耐震性能評価法および耐震補強法を提案することを目的としている。

- 2 -

自由液面を有する液体貯槽のスロッシングに関しては，線形ポテンシャル理論に基づく評価式

がすでに整備されている。これらは微小振幅波の仮定の下に導出されたものであるが，相当に大

波高でも成立することが実験などにより確かめられており，スロッシング波高や貯槽側壁に作用

する動液圧の推定式として設計指針にも広く採用されている。一方，浮屋根が存在する場合につ

いては，浮屋根が液面の変位を拘束する効果を減衰定数のみに集約させ，自由液面の場合の算定

式を代用することにより波高や動液圧の予測を行っているのが現状であり，浮屋根と内部液体と

の動的相互作用が設計において考慮されることは極めてまれである。従来，浮屋根は付属物とし

て取り扱われ強度検討の対象からは除外されていたため，設計時に浮屋根の挙動については十分

検討されることはなく，このことが浮屋根式貯槽の被害を大きくしていると考えられる。そこで

本研究では，浮屋根式液体貯槽のスロッシング挙動を浮屋根と内部液体との連成を考慮した動的

相互作用解析および模型振動実験により明らかにし，従来検討対象から除外されていた浮屋根の

挙動や貯槽本体への影響を定量的に把握するとともに，合理的な浮屋根の耐震性能評価法および

耐震補強法を提案することを目的とした。

以下に，本報告書の構成と各節の概要を記載しておく。

本報告書は全 9 節から構成される。

1 節では，浮屋根式液体貯槽の構造と過去の大地震による被害事例を報告し，本研究の目的と

意義を再認識する。

2 節では，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根を有する剛な平底円筒液体貯槽を対象に，浮

屋根と内部液体との連成作用を考慮した地震時スロッシング応答の解析解を，線形ポテンシャル

理論に基づき導出し，浮屋根の剛性や質量がスロッシング応答に及ぼす影響を検討する。 3 節では，前節の理論を拡張し，内部デッキと外周ポンツーンから成るシングルデッキ型浮屋

根貯槽に適用できる解を提示する。デッキ部を等厚の等方弾性平板，ポンツーン部を弾性曲線ば

りと仮定し，浮屋根の変位をデッキ・ポンツーン連成系の空中固有振動モードに展開することに

よって，ベッセル関数を含む陽な解表現を導く。さらに，解析例により浮屋根の形式（シングル

デッキ，ダブルデッキ）や剛性がスロッシング応答に及ぼす影響を検討する。

4 節では，大型液体貯槽への適用を念頭に，センターポンツーン付シングルデッキ型浮屋根を

有する円筒貯槽のスロッシング解を導き，センターポンツーンの有無がスロッシング応答に及ぼ

す影響について検討する。

5 節では，実用的観点から，前節までの理論をより実際的な形状の浮屋根にも適用できるよう

に拡張する。多様な形状の浮屋根にも適用できるように，ここでは，浮屋根を FEM（有限要素法）

によりモデル化し，その変位解の基底関数となる空中固有振動モードを固有振動解析により求め

た後，液体－弾性体連成振動解析を解析的に実行する結合解法を提案する。さらに，1983 年日本

海中部地震や 2003 年十勝沖地震でスロッシング被害が多発したシングルデッキ型浮屋根の耐震補

強対策の一つとして，リブ補強の効果を検討する。

6 節では，応答スペクトル法の適用を目的として，前節までの成果を発展させる。空中固有振

動モードを用いて表現された液体－浮屋根連成系の応答を液中固有振動モードに展開する方法を

論じ，対角化された液体－浮屋根連成系の運動方程式を導く。さらに，応答スペクトルによるモ

ーダル・アナリシスの手法を適用して最大応答値の予測を行い，時刻歴応答解析との比較により

その妥当性を検証する。

- 3 -

7 節では，線形ポテンシャル理論に基づくスロッシング解の妥当性の検証を目的として行われ

た模型振動実験の結果を報告する。貯槽模型として内径 780mm のアクリル製円筒模型（実機

100,000kl タンクの 1/100 縮小模型）を，浮屋根模型として外周ポンツーンのみ（自由液面を模擬），

均一板（ダブルデッキ型浮屋根を模擬）および内部デッキと外周ポンツーンから成るシングルデ

ッキ型浮屋根の 3 種類のアクリル製（一部塩化ビニル製）模型を用い，自由振動実験および地震

波加振実験を行う。高速度カメラを用いて連続撮影された浮屋根面上の各計測点の変位をモーシ

ョン･キャプチャー処理によりディジタル波形に変換し，理論波形と比較して，理論の妥当性を検

証する。

8 節では，風洞実験により得られた頂部開口型円筒液体貯槽の浮屋根面に作用する風圧力のデ

ータを利用して，強風時の浮屋根のスロッシング応答のシミュレーションを行う。浮屋根を剛性・

質量分布の一様な等方性平板と仮定し，線形ポテンシャル理論を適用して，浮屋根と液体の連成

作用を考慮した解析解を導き，浮屋根のスロッシング応答に及ぼす風荷重の影響について考察す

る。

9 節では，3 ヵ年の研究成果を総括し，今後の課題をまとめる。

- 4 -

研究組織

研究代表者：松井徹哉（名城大学理工学部建築学科 教授）

研究分担者：武藤 厚（名城大学理工学部建築学科 教授）

研究協力者：永谷隆志（名城大学大学院理工学研究科修士課程建築学専攻 大学院生）

若狭拓夫（名城大学大学院理工学研究科修士課程建築学専攻 大学院生）

（所属等は平成 20 年 3 月現在）

交付決定額（配分額） （金額単位：円）

直接経費 間接経費 合　計

平成17年度 6,700,000 0 6,700,000平成18年度 1,200,000 0 1,200,000平成19年度 1,000,000 300000 1,300,000

総　計 8,900,000 300000 9,200,000

研究発表

(1)学術論文

1) 松井徹哉：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答の解析解，日本建築学会構造

系論文集，第 594 号，pp.167-173，2005.8

2) 松井徹哉：シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答，日

本建築学会構造系論文集，第 607 号，pp.101-108，2006.9

3) 松井徹哉：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答の実用解，第 12 回日本地震工

学シンポジウム論文集，pp.1470-1473，2006.11

4) 松井徹哉：シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答―デ

ッキ・ポンツーン連成系の空中モード展開に基づく解表現―，日本建築学会構造系論文集，

第 612 号，pp.87-94，2007.2

5) 松井徹哉：センターポンツーン付シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽の地震時

スロッシング応答，日本建築学会構造系論文集，第 615 号，pp.119-126，2007.5

6) 松井徹哉：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答―FEM と解析解の結合解法―，

日本建築学会構造系論文集，第 619 号，pp.81-88，2007.9

7) T. Matsui: Sloshing in a Cylindrical Liquid Storage Tank with a Floating Roof under Seismic

Excitation, Journal of Pressure Vessel Technology, Transactions of the ASME, Vol. 129, Issue 4,

pp.557-566, November 2007

8) 松井徹哉：応答スペクトル法による円筒液体貯槽浮屋根の地震時スロッシング応答の予測，

日本建築学会構造系論文集，第 627 号，pp.741-748，2008.5

9) T. Matsui: Sloshing in a Cylindrical Liquid Storage Tank with a Single-deck Type Floating Roof

under Seismic Excitation, Journal of Pressure Vessel Technology, Transactions of the ASME, to be

published

(2)学会発表等

1) 松井徹哉：浮屋根との連成を考慮した大型液体貯槽の地震時スロッシング応答，第 55 回理論応

- 5 -

用力学講演会講演論文集（特別講演），Vol.55，pp.1-6，2006.1

2) 永谷隆志，松井徹哉，若狭拓夫：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答の実用

解―その 1 収束性の検討―，日本建築学会大会学術講演梗概集，A-2，pp.327-328，2006.9

3) 若狭拓夫，松井徹哉，永谷隆志：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答の実用

解―その 2 実用解の提示―，日本建築学会大会学術講演梗概集，A-2，pp.329-330，2006.9

4) 永谷隆志，松井徹哉，若狭拓夫：センターポンツーン付シングルデッキ型浮屋根を有する

円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答（その 1）デッキ・ポンツーン連成系の空中モード

展開，日本建築学会東海支部研究報告，第 45 号，pp.189-192，2007.2

5) 若狭拓夫，松井徹哉，永谷隆志：センターポンツーン付シングルデッキ型浮屋根を有する

円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答（その 2）解の導出と解析例，日本建築学会東海支

部研究報告，第 45 号，pp.193-196，2007.2

6) 松井徹哉：長周期地震動を受ける円筒貯槽浮屋根のスロッシング応答に及ぼすリブ補強効果

のポテンシャル理論解に基づく検討，第 56 回理論応用力学講演会講演論文集，Vol.56，

pp.347-348，2007.3

7) 松井徹哉：シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答―デ

ッキ・ポンツーン連成系の空中モード展開に基づく解表現―，名城大学理工学部研究報告，

第 47 号，pp.142-149，2007.3

8) 松井徹哉：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答―FEM と解析解の結合解法―，

名城大学総合研究所総合学術研究論文集，第 6 号，pp.87-96，2007.3

9) T. Matsui: Sloshing and Dynamic Interaction between Liquid and Floating Roof in a Cylindrical

Liquid Storage Tank Subjected to Seismic Excitation, Proceedings of ECCOMAS Thematic

Conference on Computational Methods in Structural Dynamics and Earthquake Engineering,

Rethymno, Crete, Greece, June 2007

10) T. Matsui: Sloshing in a Cylindrical Liquid Storage Tank with a Single-deck Type Floating Roof

under Seismic Excitation, Proceedings of the ASME Pressure Vessels and Piping Division

Conference, PVP2007-26249, San Antonio, Texas, U.S.A, July 2007

11) 松井徹哉，永谷隆志，若狭拓夫：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答―その 1

FEM と解析解の結合解法―，日本建築学会大会学術講演梗概集，A-2，pp.321-322，2007.9

12) 若狭拓夫，松井徹哉，永谷隆志：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答―その 2

浮屋根のリング平板要素によるモデル化と解析例―，日本建築学会大会学術講演梗概集，

A-2，pp.323-324，2007.9

13) 古池秀伸，松井徹哉，永谷隆志，若狭拓夫：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング

応答―その 3 リブ補強浮屋根への適用例―，日本建築学会大会学術講演梗概集，A-2，

pp.325-326，2007.9

14) 吉川和秀，松井徹哉，内藤幸雄：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答解析―

減衰に関する検討―，日本建築学会大会学術講演梗概集，A-2，pp.327-328，2007.9

15) T. Matsui: Prediction of Sloshing and Seismic Response of a Floating Roof in a Cylindrical Liquid

Storage Tank by the Response Spectrum Method, Proceedings of the Australian Earthquake

Engineering Society Conference, Wollongong, Australia, Paper No.36, November 2007

- 6 -

16) T. Nagaya, T. Matsui, T. Wakasa: Model Tests on Sloshing of a Floating Roof in a Cylindrical Liquid

Storage Tank under Seismic Excitation, Proceedings of the ASME Pressure Vessels and Piping

Division Conference, Chicago, Illinois, U.S.A, PVP2008-61675, July 2008, to be published

17) T. Matsui, Y. Uematsu, K. Kondo, T. Wakasa, T. Nagaya: Wind Effects on Sloshing of a Floating

Roof in a Cylindrical Liquid Storage Tank,” Proceedings of the ASME Pressure Vessels and Piping

Division Conference, Chicago, Illinois, U.S.A, PVP2008-61688, July 2008, to be published

18) 松井徹哉，永谷隆志，若狭拓夫：浮屋根と液体の連成を考慮した円筒液体貯槽の地震時ス

ロッシング解の実験による検証―その 1 自由振動実験―，日本建築学会大会学術講演梗概

集，A-2，2008.9（発表予定）

19) 永谷隆志，松井徹哉，若狭拓夫：浮屋根と液体の連成を考慮した円筒液体貯槽の地震時ス

ロッシング解の実験による検証―その 2 地震応答実験―，日本建築学会大会学術講演梗概

集，A-2，2008.9（発表予定）

(3)図書

1) 日本建築学会：長周期地震動と建築物の耐震性，丸善，2007.12（総ページ数 408，pp.272-294

を分担執筆）

- 7 -

1. 液体貯槽の構造と地震被害

1.1 液体貯槽の分類と構造[1]

主として石油類の貯蔵に用いられる縦型円筒液体貯槽は，屋根の形状によって固定屋根式（コ

ーン･ルーフ･タンク CRT，ドーム･ルーフ・タンク DRT），浮屋根式およびそれらを併用した固定

屋根付浮屋根式（カバート・フローティング・ルーフ・タンク CFRT）とに分類される。固定屋

根式は，揮発損失が比較的少ない重油，灯油，軽油などの貯蔵に多く用いられ，一般に容量約

40,000kl 以下の小規模のものに採用されている。貯槽の直径が大きくなるに従い，屋根自重が増

して支持方法が困難となるため，大規模な貯槽への適用には困難である。浮屋根式は大規模貯槽

への適用が可能であり、原油やナフサなど揮発損失を考慮する必要のある石油類の貯蔵に多く用

いられる。屋根と側板の間のシール部からの雨水が侵入するので、貯蔵液体の品質保証が要求さ

れるものには採用されない。揮発損失が多く，貯蔵液に雨水の混入を避けたい場合等には固定屋

根付浮屋根式が多く用いられる。表 1-1 は液体貯槽の屋根形状による分類とその特徴を示したも

のである。このうち本研究で扱う液体貯槽は浮屋根式貯槽である。

表 1-1 液体貯槽の屋根形状による分類[2]

図 1-1 は浮屋根式円筒液体貯槽の構造を示したもので，屋根板（デッキ）が 1 枚のものをシン

グルデッキ型，2 枚のものをダブルデッキ型と呼ぶ（図 1-2）。シングルデッキの場合の浮力はデ

ッキ周囲にあるポンツーンと呼ばれる浮室で与えられる。また，側板付近の相対する 2 つの支持

図 1-1 浮屋根式液体貯槽の構造[2]

- 8 -

棒（ゲージ，ガイドポール）で屋根の回転を防止している。屋根上の雨水はルーフドレン排水口

から液中の配管を通って外部に排出される。 1.2 地震による液体貯槽の主な被害パターン

地震による液体貯槽の主な被害は，地震動の周期によって次の 2 つのパターンに大別される。

(1) 短周期地震動（周期 0.1～1.0 秒）による貯槽本体－内部液体連成振動(Bulging)に起因する

被害

側板下部の座屈，側板・底板接合部の破断 貯槽の傾斜・沈下・横ずれ・転倒，アンカーボルトの引き抜け

など，主として貯槽本体の下部で生ずる被害

(2) 長周期地震動（周期 3～10 数秒）による内部液体の液面動揺(Sloshing)に起因する被害

貯液の溢流，浮屋根面上への漏出 固定屋根および屋根板・側板接合部の破損・変形 浮屋根のデッキ板やポンツーンの座屈・破断，沈没

表 1-2 過去の主な地震による液体貯槽の被害事例 地震 年代 バルジングによる被害 スロッシングによる被害

アラスカ地震 1964 象の足座屈火災，浮屋根の座屈およびその付属設備の破損，固定屋根の陥没，屋根板・側板接合部の破損

新潟地震 1964 貯液の溢流，全面火災

サンフェルナンド地震

1971 象の足座屈，側板・底板接合部の破断

浮屋根の回転・沈没

宮城県沖地震 1978 側板・底板接合部の破断による貯液の大量流失

浮屋根面上への貯液の漏出，付属設備の損傷

日本海中部地震 1983 貯液の溢流，リング火災，浮屋根の座屈・破断，付属設備の損傷

チリ地震 1985 象の足座屈 貯液の溢流，浮屋根･付属設備の変形

ロマプリエータ地震

1989 象の足座屈，側板・底板接合部の破断

トルコ・コジャエリ地震

1999 浮屋根の沈没，火災

台湾・集集地震 1999浮屋根の座屈，側板破壊による貯液の漏洩，固定式屋根の屋根板･側板接合部の破損

十勝沖地震 2003 浮屋根の沈没，リング火災，全面火災

ダブルデッキ

(b)ダブルデッキ型

シングルデッキ

ポンツーン

(a)シングルデッキ型

図 1-2 浮屋根の形式

- 9 -

浮屋根の衝突によるゲージポール・ガイドポール・ローリングラダー(回転梯子)など

の付属設備の変形・破損 浮屋根の側板，付属設備への衝突に伴うリング火災，全面火災

など，主として貯槽上部で発生する被害

過去の主な地震における液体貯槽の被害例を表 1-2 にまとめる。

1.3 液体貯槽のスロッシング被害事例

過去，日本国内・国外において，多くのスロッシング被害が確認された。本節では，その中で

も，国内で戦後初めてスロッシング被害を経験した 1964 年新潟地震，浮屋根の座屈やリング火災

が発生した 1983 年日本海中部地震，日本で初めて浮屋根が沈没しタンクの全面火災に発展する被

害を受けた 2003 年十勝沖地震について，文献[1~8]より引用して記述する。

1.3.1 1964 年新潟地震

新潟地震は，1964 年（昭和 39 年）6 月 16 日，午後 1 時 02 分，新潟県粟島南方沖 40 km を震源

とする M7.5 の地震である。この地震では，震源に近い新潟市周辺において震度 6 を観測し，昭和

大橋の橋脚の落下，液状化現象による県営アパートの転倒，大規模な津波の発生，各種ライフラ

イン，交通網の寸断など，甚大な被害が発生した。

石油タンクでは，昭和石油新潟精油所（以下，昭和石油と呼ぶ）の石油タンクにて 360 時間（約

15 日間）にもわたる火災が発生するなど，大きな被害を受けた。また，火災以外にも多様な被害

が発生し，地震時の危険物施設の対策を考える上で欠くことができない地震といえる。

昭和石油の概要

昭和石油は信濃川の右岸河口部付近で，新潟市の東北端部に位置し，直接日本海に面した地域

にある。地質的に見ると，信濃川及び阿賀野川の二つの河川に挟まれた地域で，両河川の河口堆

積物が地表面下数百メートルの深さまで及んでいる。また，地表面においては日本海からの卓越

風により形成された砂丘が数条有り，昭和石油はこれらの砂丘のうち最も海岸に近いものの北側

斜面下に位置している。

工場内は，昭和 38 年に完成したいわゆる「新工場」と，昭和 26 年頃からあった「旧工場」と

に大別できる。図 1-3 に示される A 地区が「新工場」であり，B，C，D 地区が「旧工場」にあ

たる。

新工場における被害

新工場付近にあるタンクは，いずれも震源地の方向にある南北方向に動揺した。新工場に位置

する原油タンク 5 基，製品タンク 10 基の浮屋根は，地震の影響を受けて，それぞれ動揺し，特に

容量 30,000kl（直径 51.5m×高さ 14.5m）タンクでは，地盤沈下の影響等により，地震と共に浮屋

根が 3～4 回側板より上方に動揺し，同時に原油が上部から側板にそって周囲に溢流し，4 回目ぐ

らいの動揺時に火災が発生した（第 1 発火点）。その後，容量 45,000kl（直径 62m×高さ 16.5m）タ

ンク 2基，容量 30,000klタンクのうち残りの 2基も同様に，ほぼ同時に火災を起こした（図 1-4(a)）。

火災によりタンクに常備していた消火ボンベも一瞬のうちに火に包まれたため，消化ボンベの使

用ができず，初期消火に失敗した。その結果，タンクは 6 月 29 日 17 時まで燃え続け，その間に

流出した原油の火によって，加熱炉，廃熱ボイラーなど大多数の装置が類焼した。

- 10 -

図 1-3 昭和石油新潟精油所および隣接地区[4]

新工場タンクにおける発火の発生の原因は摩擦熱，あるいは衝撃による火花の発生だと考えら

れている。地震発生と同時に，浮屋根はスロッシングにより激しく動揺した。その結果浮屋根と

側壁上部の付属設備との激しい衝突，浮屋根と側部との間の激しい摩擦が生じた。これにより，

大きな摩擦熱や火花が発生し，タンクに引火，炎上に至ったと推測される。

旧工場における被害

旧工場では，地震と共に 1,000kl タンク（地震発生当時 964kl 貯蔵）の引線パイプが側面から折

れ，そこからガソリンが外部に流出した。また，他のタンクにおいても地震により大きく揺れ，

満量のタンクは屋根の破損個所より流出した。さらに，14 時頃の津波により 50cm の浸水をし，

流出した油が浮遊し極めて危険な状態となった。その後，隣接する敷地との境界付近で火災が発

生し，一部の施設を残して，旧工場のほとんどが全焼した。さらに敷地外へと延焼し，332 世帯

の一般民家が類焼し，1,400 人の被災者を出す結果となった（図 1-4(b)）。

新潟地震の被害を教訓として，消火設備の耐震性の向上，周辺付属物の火花の発生しない材料

への仕様変更（例えばシール部を金属製からソフトタッチのシールなどに変更），液状化対策など

(a)新工場火災の状況[4]

図 1-4 新潟地震による被害事例

(b)旧工場火災による類焼[3]

- 11 -

が重要との認識が広まり，法令等の改正が行われた。しかし，液状化現象の観測や橋梁の落下な

ど，スロッシング被害以外に特徴的な被害例が記録されたため，多くの研究者はそちらに注目し，

長周期地震動の問題について取り上げられることは少なかった。

1.3.2 1983 年日本海中部地震

日本海中部地震は，1983 年(昭和 58 年) 5 月 26 日，午前 11 時 59 分，秋田県能代市西方沖 80 km

を震源とする M7.7 の地震である。この地震では，秋田県秋田市・青森県むつ市・青森県西津軽郡

深浦町で震度 5 を記録した。この地震では，日本海側で 10 メートルを超える津波が記録されてい

る。日本海中部地震は地震被害よりむしろ，津波による被害で知られる地震である。

石油タンク関連では，秋田市内の東北電力秋田火力発電所内の原油貯槽タンクで火災が発生し

た。また，新潟においては石油タンクの石油の溢流を起こした。

秋田火力発電所における被害

12 時 01 分頃，地震発生と同時に，火力発電所内の燃料タンクのうちの一基（直径 50 m ×高さ 20

m；ダブルデッキ型浮屋根）において火災が発生した（図 1-5(a)）。この時，地震によりウェザー

シールドの破損や，電気設備の定期点検により電源遮断状態であったことが重なり，初期消火に

失敗した。しかし，幸いにもリング火災に留まり，地震発生から約 2 時間 30 分後の午後 2 時 29

分には鎮火した。

火災に至った原因として，側壁と内部設備の間で摩擦が発生し，その摩擦により出火したと考

えられる。今回の屋外タンク火災の経験から，屋外タンクにおいては機能上やむ得ない場合を除

き，側板と浮屋根の間には設備を設置しないこと，また損傷を受けても着火源とならないような

配慮が必要と言える。

その他地域における被害

日本海中部地震においては，苫小牧，函館，室蘭，むつ小川原，男鹿，秋田北部および新潟地

区において，スロッシングが発生した。各地区の最大スロッシング波高を，表 1-3 に示す。これ

らの地区の中で，被害の大きかったのは秋田北部および新潟地区である。秋田北部においては先

に述べたタンク火災のほか，ルーフデッキの変形・溶接破断・亀裂・損傷，ウェザーシールドの

折れ曲がり損傷など，タンク付属設備の損傷が確認されている。また，新潟地区においてはシン

グルデッキ型浮屋根において，ポンツーン部の座屈・亀裂の発生（図 1-5(b)），浮屋根面上への内

容液（油）の飛散，シングルデッキの変形，タンク付属設備の損傷などが確認されている。

(a)石油タンクの火災[5] (b)ポンツーンの座屈[7]

図 1-5 日本海中部地震によるスロッシング被害

- 12 -

表 1-3 日本海中部地震による最大スロッシング波高[7] 地区名 最大波高

苫小牧 2.00 m函館 0.60 m

　室蘭 0.40 mむつ小川原 0.73 m

男鹿 0.57 m秋田北部 3.50 m

新潟 4.50 m

1.3.3 2003 年十勝沖地震

2003 年十勝沖地震は，2003 年(平成 15 年) 9 月 26 日，午前 4 時 50 分，北海道襟裳岬東南東沖

80 km を震源とする M8.0 の地震である。この地震では，特急列車の脱線や道路・橋梁が多数破損

し，道東の交通が全面的にストップし，復旧に時間を有した。また，この地震においては，苫小

牧市にある出光興産北海道製油所で石油タンクの浮屋根の沈没・タンク全面火災の発生など，甚

大な被害が発生した（図 1-6）。

地震動の特徴

2003 年十勝沖地震において，苫小牧 K-NET 観測点で観測された地震波（HKD129030926450

NS&EW）を図 1-7 に示す。この波形を見ればわかるように，地震波の最大加速度は NS 方向に

(b)タンク全面火災[2] (a)浮屋根の沈没[2]

図 1-6 十勝沖地震によるスロッシング被害

(a)加速度時刻歴波形 (b)速度応答スペクトル 図 1-7 十勝沖地震苫小牧地区計測波（K-NET 観測点）

- 13 -

87cm/s2，EW 方向に 73cm/s2 と決して大きくはないが，周期 5～8 sec に速度応答スペクトルのピ

ークを有するやや長周期が卓越した地震動であった。また，この周期における速度応答スペクト

ルは当時の消防法[9]の想定値である 100 cm/s を大きく上回るものであった。

浮屋根の沈没被害

出光興産北海道製油所所有の石油貯槽のうち 7 基において，浮屋根の沈没が確認された（図

1-6(a)）。これら沈没した浮屋根には，ポンツーン部に座屈によるものと思われる亀裂が存在した

（図 1-8）。

沈没のメカニズムは以下のように考えられている。まず，沈没に先だちポンツーン部が座屈し，

亀裂が発生する。その亀裂から，ポンツーン内部に内容液が徐々に流入する。そして，ポンツー

ンの浮力が失われ，沈没に至ったと考えられている。しかし，浮屋根の沈没のメカニズムは推定

されているものの，ポンツーンの座屈の要因は未だ特定されていない。

タンク火災・炎上被害

出光興産北海道製油所所有の石油貯槽のうち 2 基（うち 1 基は浮屋根が沈没した貯槽）におい

て火災が発生した。この 2 基の出火原因は，それぞれ異なる。以下に出火原因を述べる。

第 1 火災は，地震発生直後の午前 4 時 51 分頃に発生した。炎上した貯槽は直径 42.7m，高さ 24.9m

のシングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽であった。鎮火したのは，火災発生から約 7 時

間後の 12 時 9 分であった。

火災に至った原因として，地震により液面がスロッシングにより大きく動揺し，貯槽内容液（原

油）が浮屋根面上に滞留した。また，揺動により浮屋根と貯槽付属設備が衝突あるいは付属設備

の落下時の衝撃・摩擦により火花が発生し，着火源となったことで炎上したと考えられている。

第 2 火災は，地震発生から 2 日後の 9 月 28 日 10 時 45 分頃に発生した。炎上した貯槽は直径

42.7m，高さ 24.39m のシングルデッキ型浮屋根式円筒液体貯槽であった。鎮火したのは，火災発

生から約 2 日後の 9 月 30 日 6 時 55 分であった。

図 1-8 シングルデッキ型浮屋根ポンツーンの座屈[8]

- 14 -

火災に至った原因として，まず浮屋根が沈没したことが遠因としてあげられる（図 1-6(a)）。浮

屋根が沈没し，油面が大気に晒されたため，内容液の揮発を防ぐための応急措置として液面に消

火剤が撒かれた。この消火剤が，強風により液面を移動することに伴う摩擦・沈殿の際に帯電し，

側壁との間で電位差が発生，その後，側壁と消化剤の間にて静電気による火花が発生し，それが

着火源となり炎上したと考えられている。浮屋根が沈没し油面が大気に晒されるという極めて危

険な事態に至った被害は，国内では初めての事例であり，その原因の究明が急がれている。

この地震によるスロッシング被害は，長周期地震動による甚大な被害の一例として注目され，

大型液体貯槽などの長周期構造物の長周期地震動に対する安全性の検討が早急の課題となった。

また，この地震を契機として，消防法告示が改正されるとともに[10]，土木学会と日本建築学会の

共同による「巨大地震対応共同連絡会」が設立され，それを支える研究体制として，土木学会に

「巨大地震災害への対応特別委員会」が，日本建築学会に「東海地震等巨大災害への対応特別調

査委員会」が設置された。

参考文献

[1] 太田外氣晴，座間信作：巨大地震と大規模構造物，共立出版，2005

[2] 出 光 石 油 ： タ ン ク 火 災 の 原 因 と 再 発 防 止 へ の 取 り 組 み ，

http://www.idemitsu.co.jp/factory/hokkaido/safety/acc/index.html

[3] 新潟地震の記録. 新潟日報社，1964

[4] 消防庁編：新潟地震火災に関する研究，全国加除法令出版，1965

[5] 自治省消防署, 財団法人消防化学総合センター：昭和 58 年(1983 年) 日本海中部地震調査報

告書, 1983

[6] 日本建築学会：1982 年浦河沖地震・1983 年日本海中部地震災害調査報告，1984

[7] 土木学会：1983 年日本海中部地震調査報告, 1986

[8] 危険物保安技術協会：屋外タンク貯蔵所浮屋根審査基準検討会報告書，2005

[9] 自治省告示第 99 号：危険物の規制に関する技術上の基準の細目を定める告示，1974

[10] 総務省告示第 30 号：危険物の規制に関する技術上の基準の細目を定める告示の一部を改正

する件，2005

- 15 -

2. 剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根を有する円筒液体貯槽のスロッシング理論

[1, 2]

2.1 序

自由液面を有する液体貯槽のスロッシングについては，研究の歴史は古く，1954 年には Senda

and Nakagawa [3]が線形ポテンシャル理論解を提示している。この解は微小振幅波の仮定の下に導

出されたものであるが，相当に大波高でも成立することが実験などにより確かめられており，ス

ロッシング波高・周期や貯槽側壁に作用する動液圧の算定式として設計指針[4]にも広く採用され

ている。一方，浮屋根が存在する場合については，浮屋根が液面の変位を拘束する効果を減衰定

数のみに集約させ，自由液面の算定式を代用して波高や動液圧の推定を行っているのが現状であ

り，浮屋根の効果や浮屋根に生じる応力を内部液体との連成作用を考慮して検討することは，通

常の設計では行われていない。従来，浮屋根は付属物として取り扱われ強度検討の対象からは除

外されていたため，設計時に浮屋根の挙動については十分に検討されることはなく，このことが

浮屋根式貯槽の被害を大きくしている一因とも考えられる。上記のような被害を防止し安全な貯

槽を設計するためには，浮屋根の挙動を弾性体と内部液体との連成振動として捉え，浮屋根に生

じる応力を正確に算定し安全性を確認するプロセスが導入される必要がある。

このような観点から浮屋根式液体貯槽のスロッシング挙動を理論的に解明しようと試みた研究

には，古くは Nakagawa [5]や新潟地震のタンク火災を契機として行われた山本[6]の研究がある。

これら初期の研究では浮屋根を質量の無視し得る剛体板と仮定し，ポテンシャル理論を適用して

内部液体との連成振動問題を解いている。浮屋根を質量のある弾性体として扱い液体との連成振

動問題を解いたのは Sakai et al. [7]が最初であり，境界積分型の変分原理を利用してリッツ法（有

限要素法）により解析する手法を提案し，浮屋根の存在が固有振動性状に与える影響について詳

細な解析と実験を行っている。またこの手法を適用して半地下式石油備蓄タンクの浮屋根応力の

算定を行い[8]，日本海中部地震や十勝沖地震における浮屋根被害の分析を試みている[9]。一方最

近では，汎用の有限要素解析ソフトを利用して，浮屋根と内部液体との連成振動を，座屈・塑性

化，大変形，有限振幅波高などの構造・流体の非線形効果をも含めて詳細に解析することも行わ

れている[10, 11]。このように現在では，浮屋根式液体貯槽のスロッシング応答を理論的に予測す

るための解析ツールは十分に整えられている状況にはあるが，計算に多大な労力を必要とする非

線形詳細解析はスロッシング基本性状のパラメトリックな把握や初期設計段階での予備的な検討

には必ずしも適さない。たとえ線形理論の範囲内であっても，浮屋根と内部液体との連成振動を

解析的に表現した解があれば，基本性状の把握や初期設計段階での検討に有用であると思われる

が，このような理論解を提示した研究は見当たらない。

本節では，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根を有する剛な平底円筒液体貯槽を対象に，浮

屋根と内部液体との連成作用を考慮した地震時スロッシング応答の解析解を，線形ポテンシャル

理論に基づき導出する。さらに，解析例により浮屋根の剛性や質量がスロッシング応答に及ぼす

影響を検討する。

- 16 -

2.2 理論解

2.2.1 浮屋根がない場合

浮屋根がある場合との対比を容易にするため，まず浮屋根がない場合のポテンシャル理論解を

導出しておく。

図 2-1 に示すような平底円筒液体貯槽の地震時液面動揺問題を扱う。貯槽は剛体であると仮定

し，その半径を R ，液体の深さを H とする。貯槽底面の中心に原点をもつ円筒座標系 ( , , )r zθ を z

軸が鉛直上向きになるようにとる。内容液は理想流体で線形ポテンシャル理論が成立すると仮定

すると， 0θ = の方向に水平地動加速度 ( ) ( )g gx t tα= を受ける場合の速度ポテンシャルφ の境界値問

題は次のように記述される。

2 0φ∇ = 流体領域で (1a)

( )cosgx trφ θ∂

=∂

側壁 r R= で (1b)

0zφ∂

=∂

底面 0z = で (1c)

2

2 0gt zφ φ∂ ∂

+ =∂ ∂

液面 z H= で (1d)

ここに， ⋅は時間 t に関する微分を示し， g は重力加速度である。

ラプラス方程式(1a)，側壁条件(1b)および底面条件(1c)を満たす速度ポテンシャルφ の解は次式

で与えられる。

11

( ) ( )cosh cosg i i ii

z rx t r A t JR R

φ ε ε θ∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ (2)

ここに， 1J は 1 次の第 1 種ベッセル関数， iε は ( )1 0iJ ε′ = の正の実根である。

図 2-1 貯槽の形状と座標系

- 17 -

自由表面条件(1d)は，(2)より

21

1

( ) ( ) ( ) cosh 0g i i i i ii

H rt r A t A t JR R

α ε ε∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ + Ω =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ (3)

と書ける。ここに， iΩ は次式で与えられる i 次のスロッシング固有円振動数である。

tanhi i ig HR R

ε ε⎛ ⎞Ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4)

(3)の左辺に ( ) ( )1 ir R J r Rε を掛け，0 1r R u≤ = ≤ にわたって積分し，付録のベッセル関数の直交

関係(A1)を利用すれば，未定係数 iA に対して次式を得る。

( )2

21

2 1 1( ) ( ) ( )1 cosh

i i i gi i

i

A t A t t RHJR

αε ε ε

+ Ω = −− ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

(5)

(2)と(5)を組み合わせれば，速度ポテンシャルφ の解は

( )1

21 1

cosh2( ) ( ) cos

1 cosh

i i

g ii i i

i

z rJR Rx t r x t RH JR

ε εφ θ

ε εε

∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= +

− ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ (6)

で表される。ここに， ix は次の微分方程式の解として与えられる i 次の代表変位である。

)()()( 2 txtxtx giii −=Ω+ (7)

減衰を考慮する場合には，(7)の代わりに

2( ) 2 ( ) ( ) ( )i i i i i i gx t x t x t x tς+ Ω + Ω = − (8)

を用いる。ここに， iς は i 次の粘性減衰定数である。

液面の変位η は，(6)より

( )1

21 1

1 1 2( ) ( ) cos1

i

g ii i iz H

rJRx t r x t R

g t g J

εφη θ

ε ε

∞

==

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥= − = − +⎜ ⎟∂ −⎢ ⎥⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ (9)

で与えられる。

2.2.2 浮屋根がある場合

浮屋根がある場合，速度ポテンシャルφ の境界値問題は次のように記述される。

2 0φ∇ = 流体領域で (10a)

( )cosgx trφ θ∂

=∂

側壁 r R= で (10b)

- 18 -

0zφ∂

=∂

底面 0z = で (10c)

( )w tzφ∂

=∂

液面 z H= で (10d)

ここに， ( )w t は浮屋根の鉛直変位を表す。

浮屋根面に働く動液圧 p は，線形化されたベルヌーイ式により

z H

p gwtφρ ρ

=

⎛ ⎞∂= − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(11)

で与えられる。ここに， ρ は流体密度を示す。

浮屋根は剛性・質量が一様な等方弾性平板であると仮定する。浮屋根の運動方程式は，減衰を

無視すれば，次式で表される。

4mw D w p+ ∇ = (12)

ここに，m は浮屋根の単位面積当たりの質量を， D は浮屋根の曲げ剛性を示す。

浮屋根および液面の運動の振幅は微小で線形重ね合わせが成り立つものと仮定し，浮屋根の変

位 ( )w t を剛体モード 0 cosZ θ と空中での固有弾性振動モード cosnZ θ ( )1,2, ,n = ∞… の重ね合わせ

によって，次式のように表現する。

0

( ) ( ) cosn nn

w t t Zξ θ∞

=

= ∑ (13)

ここに

0 1 1, ( 1)n n n n nr r rZ Z J I nR R R

α κ β κ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(14)

で， 1I は 1 次の第 1 種変形ベッセル関数を示す。また nκ は無次元化波数であり，浮屋根の空中に

おける n次固有円振動数 nω と次式によって関係づけられる。

44 2n n

mRD

κ ω= (15)

nκ および nα と nβ の振幅比は自由端条件から導かれる次の同次方程式が非自明解を有する条件よ

り定められる。

11 12

21 22

00

n

n

c cc c

αβ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (16)

ここに

( ) ( ) ( )211 1 1 1n n n n nc J J Jκ κ νκ κ ν κ′′ ′= + −

( ) ( ) ( )212 1 1 1n n n n nc I I Iκ κ νκ κ ν κ′′ ′= + −

- 19 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 221 1 1 1 13 3n n n n n n nc J k J J Jκ κ κ κ ν κ ν κ′′′ ′′ ′= + − − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 222 1 1 1 13 3n n n n n n nc I k I I Iκ κ κ κ ν κ ν κ′′′ ′′ ′= + − − + − (17)

で，ν はポアソン比である。

ラプラス方程式(10a)，側壁条件(10b)および底面条件(10c)は浮屋根がない場合の(1a-c)と全く同

じであるから，これらを満たす速度ポテンシャルφ の解は(2)と同じ形に表される。

(2)，(13)を(10d)に代入すれば，液面の運動学的条件は

2

11 0

( ) cosh ( )ii i i n n

i n

H rA t J t Zg R R

ε ε ξ∞ ∞

= =

Ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ (18)

と表される。(18)の両辺に ( ) ( )1 ir R J r Rε を掛け， 0 1r R u≤ = ≤ にわたって積分し，さらにベッ

セル関数の直交関係(A1)を利用すれば，未定係数 iA に対して

( )2 2

01

2 1 1( ) ( )1 cosh

i in nni i i

i

gA t a tH JR

ξε εε

∞

=

=− Ω⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (19)

を得る。ここに

( ) ( )2 1

101

iin n i

i

a uZ J u duJ

εε

ε= ∫

であり，(14)を代入し付録の積分公式(A2)~(A4)を用いれば

0 1ia = ， ( ) ( )21 12 2 2 2 ( 1)n n

in i n n ni n i n

a J I nα β

ε κ κ κε κ ε κ

⎡ ⎤′ ′= + ≥⎢ ⎥− +⎣ ⎦

(20)

となる。 (19)を(2)に代入すれば，速度ポテンシャルφ の解は

( )1

2 21 01

cosh2( ) ( ) cos

1 cosh

i i

g in ni ni i i

i

z rJg R Rx t r a t

H JR

ε εφ ξ θ

ε εε

∞ ∞

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= +

− Ω ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ (21)

と表される。

(11)に(13)，(21)を代入すれば，浮屋根面に作用する動液圧は

( )1

2 21 0 01

2( ) ( ) ( ) cos1

i

g in n n ni n ni i i

rJg Rp x t r a t g Z t

J

ερ ξ ξ θ

ε ε

∞ ∞ ∞

= = =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= − + +

− Ω⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ (22)

で与えられる。

(12)に(13)，(22)を代入すれば，浮屋根の運動方程式は

- 20 -

( )1

22 2

0 1 0 01

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

i

n n n n g in n n nn i n ni i i

rJg Rm t t Z x t r a t g Z t

J

εξ ω ξ ρ ξ ρ ξ

ε ε

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎡ ⎤+ = − + −⎣ ⎦ − Ω⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑ (23)

と書き表される。

(23)の両辺に ( ) nr R Z を掛け，0 1r R u≤ = ≤ にわたって積分し，さらにモードの直交性を利用し

て整理すれば

( ) 2

0( ) ( ) ( )nl n nl l n n n n g

l

gt t x tm

ρδ μ ξ ω ξ γ∞

=

⎛ ⎞Δ + + + Δ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (24)

を得る。ここに， nlδ はクロネッカ記号を示し，

1 2

0n nuZ duΔ = ∫ ，( ) ( )

1

12 2 01 1

2 11nl il n i

i i i i

g a uZ J u dum Jρμ ε

ε ε

∞

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

− Ω⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ ，

1 2

0n nR u Z du

mργ = ∫

である。上式に(14)，(20)を代入しベッセル関数の積分公式[12]を用いれば， nΔ ， nlμ ， nγ はそれ

ぞれ次のように表される。

014

Δ =

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )221 0 2 1 2 2 1

12

n nn n n n n n n n n

n

J J J J I J Iα β

α κ κ κ κ κ κ κκ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = − + +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( ){ } ( ) ( )221 0 2

1 ( 1)2 n n n nI I I nβ κ κ κ⎡ ⎤+ − ≥⎢ ⎥⎣ ⎦

(25)

( ) 22 21

21nl in il

i ii i

g a amρμ

ε ε

∞

=

=Ω−

∑ (26)

0 4Rm

ργ = ， 0nγ = ( 1)n ≥ (27)

運動方程式(24)において，左辺の nlμ は液体の付加質量を g mρ は浮力変化に伴う復元力を，そ

れぞれ nm Δ で除して正規化したものに対応している。ここでは，空中の固有振動モードを用いて

展開しているため，通常のモード分解法のようにモードごとに独立した式にはならない。液体中

の固有振動特性は(24)の右辺を 0 とおいた自由振動方程式を解くことによって得られる。

(24)は非減衰の運動方程式であるが，適当な減衰（剛性比例型減衰あるいはレーリー型減衰など）

を考慮してこれを解けば，モード変位 ( )n tξ が得られる。モード変位 ( )n tξ が得られれば，これを(13)，

(21)および(22)に代入することによって，浮屋根変位 w，速度ポテンシャルφ および動液圧 p の解

が得られる。

キルヒホッフの平板理論によれば，浮屋根面の曲率とねじり率は

2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1, ,r rw w w w w

r r r r r r rθ θκ κ κθ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (28)

で与えられる。(28)に(13)，(14)を代入すれば

- 21 -

2

1 11

( ) cosnr n n n n n

n

r rt J IR R Rκ

κ ξ α κ β κ θ∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∑

2 21

( ) cosnn n n n n

n

r rt J IRr R Rθκ

κ ξ α κ β κ θ∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

2 21

( ) sinnr n n n n n

n

r rt J IRr R Rθκ

κ ξ α κ β κ θ∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ (29)

が得られ，曲げモーメントとねじりモーメントは

( ), ( ), (1 )r r r r rM D M D M Dθ θ θ θ θκ νκ κ νκ ν κ= − + = − + = − − (30)

により算定される。

2.2.3 剛体近似解

運動方程式(24)において剛体モードのみを採用することによって，Nakagawa [3]，山本[4]による

剛体近似解を得ることができる。このとき浮屋根に作用する動液圧は次式で与えられる。

( )1

0 02 21 1

2( ) ( ) ( ) cos1

i

gi i i i

rJg grRp x t r t t

J R

ερ ξ ξ θ

ε ε

∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= − + +

− Ω⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ (31)

これを外力と見なせば，浮屋根の弾性変位は静的つり合い方程式

4D w p∇ = (32)

を解くことによって得られる。(32)に(13)を代入し，両辺に ( ) nr R Z を掛け，0 1r R u≤ = ≤ にわた

って積分すれば， ( 1)n nξ ≥ に対して

002

nn

n n

Rm

μρξ ξω

= −Δ

(33)

を得る。浮屋根面の曲率，ねじり率と曲げモーメント，ねじりモーメントは，(33)を(29)，(30)に

代入することによって算定される。

2.3 解析例

2.3.1 解析モデル

解析例として用いたモデル貯槽の諸元を表 2-1 に示す。これらは実機 40,000kl タンクおよび

100,000kl タンクの諸元を参考に設定したモデルであり，浮屋根モデルとして，上下デッキ板と縦

リムで構成されるダブルデッキ型浮屋根を想定し，簡単のため，縦リムの寄与は無視できるもの

として曲げ剛性の算定を行っている。解析では，浮屋根の曲げ剛性と質量を変化させ，その他の

パラメータは一定としている。 以下では，各モデルを浮屋根の曲げ剛性と質量の値によって表 2-2 に示すようなモデル記号を

用いて区別することにする。

- 22 -

表2-1 モデル貯槽の諸元 Small tank Large tank

貯槽半径 25 m 40 m液体深さ 15 m 20 m液体密度 850 kg/m3 850 kg/m3

700 mm* 800 mm*500 mm** 600 mm**

上下デッキ厚 4.5 mm 4.5 mmポアッソン比 0.3 0.3

2.464×105 kN-m* 3.223×105 kN-m*1.251×105 kN-m** 1.806×105 kN-m**

120 kg/m2 120 kg/m2

180 kg/m2 180 kg/m2

減衰定数（自由液面モード） 0.001 0.001減衰定数（弾性モード） 0.01 0.01採用モード数（自由液面モード） 6 6採用モード数（弾性モード） 5 5

浮屋根断面総厚

浮屋根曲げ剛性

浮屋根質量（単位面積当たり）

表 2-2 モデル記号一覧

120 kg/m2 180 kg/m2

2.464×105 kN-m DRL-25 DRH-251.251×105 kN-m DFL-25 DFH-253.223×105 kN-m DRL-40 DRH-401.806×105 kN-m DFL-40 DFH-40

浮屋根曲げ剛性浮屋根質量

Small tank

Large tank

2.3.2 自由振動解析

自由振動方程式の固有値解析により得られた各モデルの固有周期（液体中）を図 2-2，図 2-3 に

示す。1 次固有周期はモデルによらずほぼ一定で，自由液面の 1 次固有周期とほぼ一致する。浮

屋根の存在は 2 次以上の固有周期に影響し，浮屋根の剛性が増加するほど固有周期は短くなる。

浮屋根の質量が液体の付加質量に比べて小さいため，浮屋根質量の影響は剛性の影響に比べると

小さい。これらの傾向はいずれも Sakai et al. [7]の研究結果と符合している。

なお，Sakai et al.はダブルデッキ形式浮屋根の下板の局部変形を考慮した固有振動解析も行って

図2-2 固有周期 (R=25m, H=15m) 図2-3 固有周期 (R=40m, H=20m)

- 23 -

いる。その結果によると，3 次以上のモードでは下板の局部変形の影響が無視できず，固有周期

は本解析例のように一枚板と仮定した場合よりもかなり長くなるが，2 次までのモードにはその

影響は現れない。

2.3.3 地震応答解析

入力地震動として 2003 年十勝沖地震の際に苫小牧 K-NET 観測点で観測された地震波

（HKD1290309260450EW）を採用し，時刻歴応答解析を行った。時刻歴応答解析には地震継続時

間 300s に対して時間間隔を 0.01s としてニューマークの β 法（平均加速度法 β =1/4）を採用した。

また減衰は剛性比例型とし，1 次モード（液体中）に対して表 2-1 に示す減衰定数を用いた。

入力地動加速度，液面（屋根面）変位，浮屋根面動液圧および半径方向曲げモーメントの時刻

歴波形を DRL-25 モデルおよび DRL-40 モデルについて図 2-4，図 2-5 に，対応するフーリエ振幅

スペクトルを図 2-6，図 2-7 に示す。

入力地震動のフーリエ振幅スペクトルを見ると，5～8s の長周期成分が卓越した地振動であるこ

とが分かる。本解析例の場合，自由液面のスロッシング固有周期は，DRL-25 モデルの場合，1 次

が 8.25s，2 次が 4.35s，DRL-40 モデルの場合，1 次が 10.97s，2 次が 5.52s であるに対して，浮屋

根の固有周期は，DRL-25 モデルの場合，1 次が 8.25s，2 次が 0.77s，DRL-40 モデルの場合，1 次

が 10.95s，2 次が 2.04s である。液面変位では浮屋根の有無にかかわらず 1 次モード成分が卓越し

ているが，径の大きい DRL-40 モデルで自由液面の場合は 2 次モードの影響も無視できない。一

図2-4 応答の時刻歴波形（DRL-25モデル） 図2-5 応答の時刻歴波形（DRL-40モデル）

- 24 -

方，動液圧や曲げモーメントにおいても，DRL-25 モデルの場合，1 次モードが支配的であるが，

DRL-40 モデルの場合は，2 次モード成分の寄与も顕著である。

時刻歴波形を見ると，液面変位は地震動の主要動が去った後も減衰せず，1 次モード主体の振

動を長時間継続している。DRL-25 モデルの場合，動液圧や曲げモーメントも 1 次モード主体の振

動が支配的であるが，DRL-40 モデルの場合は，地震動の主要動が作用している間は主として 2

図2-6 応答のフーリエ振幅スペクトル（DRL-25モデル）

図2-7 応答のフーリエ振幅スペクトル（DRL-40モデル）

- 25 -

次モードで振動し，主要動が去った後は液面変位と同周期の 1 次モードの振動だけが残り，最大

振幅は 2 次モードが卓越している地震動の主要動が作用している間に生じている。

図2-8 最大応答振幅のθ=0に沿う分布 (Small tank: R=25m, H=15m)

図2-9 最大応答振幅のθ=0に沿う分布 (Large tank: R=40m, H=20m)

- 26 -

各モデルの液面変位，浮屋根面動液圧および曲げモーメントの最大応答値の 0θ = に沿う分布を

比較して図 2-8，図 2-9 に示す。

剛性の比較的低い DFL-40 モデル，DFH-40 モデルにわずかな弾性変形の兆候が見られる以外は，

浮屋根はほぼ剛体的に変位している。浮屋根による拘束効果により貯槽内部の液面変位は自由液

面の変位よりもかなり小さくなるが，側壁における変位は自由液面の場合と大差ない。

動液圧と曲げモーメントは，Small tank では浮屋根剛性が低くなるほど大きくなるが，Large tank

では剛性にかかわらずほぼ同一である。動液圧は 0.3 ~ 0.4r R = 付近で最大となり，その後 r の増

加とともに減少して 0.8r R = 付近で正負を反転して端部 1r R = まで単調増加する分布性状を示

す（図 2-8，図 2-9 は各点の最大応答の絶対値を示しているので，各時刻の瞬間的な応答分布性状

はこの図からは読み取れない）。曲げモーメントも 0.4r R = 付近で最大値をとる。全体的に半径方

向曲げモーメント rM の方が周方向曲げモーメント Mθ よりも大きく， rM は Mθ の約 1.5 倍になっ

ている。

浮屋根の質量は液体の付加質量に比べて小さいため，浮屋根の質量が応答に及ぼす影響は剛性

の影響に比べると全般的にきわめて小さい。

2.3.4 断面検定例

以上の結果から分かるように，浮屋根の断面を決定する主要な応力は半径方向曲げモーメント

rM による曲げ応力である。いま，上下デッキ板厚を t ，浮屋根の総厚を d とし，圧縮側の有効板

厚を局部座屈の影響を考慮して 3t に減ずると仮定して，単位幅当たりの有効断面係数 eZ を算定

すると， 3eZ td となり，曲げ応力度は曲げモーメントをこれで除して， r r eM Zσ = ， eM Zθ θσ =

により算定される。このようにして算定された各モデルの有効断面係数 eZ が表 2-3 に，半径方向

表 2-3 有効断面係数*

DRL-25，DRH-25 4.5 mm 700 mm 1050 mm2

DFL-25，DFH-25 4.5 mm 500 mm 750 mm2

DRL-40，DRH-40 4.5 mm 800 mm 1200 mm2

DFL-40，DFH-40 4.5 mm 600 mm 900 mm2

モデル記号 有効断面係数浮屋根断面総厚上下デッキ板厚

*局部座屈の影響を考慮して圧縮側有効断面を 1/3 に低減して算定

図2-10 最大曲げ応力度のθ =0に沿う分布 (Small tank: R=25m, H=15m)

図2-11 最大曲げ応力度のθ =0に沿う分布 (Large tank: R=40m, H=20m)

- 27 -

曲げ応力度 rσ の最大振幅分布が図 2-10，図 2-11 に示されている。鋼材の降伏応力度と比較しうる

大きさの曲げ応力が発生していることに注意しなければならない。

2.3.5 剛体近似による簡易解析

剛体近似による簡易解析の精度を検討するために，精算法と簡易法による動液圧と曲げモーメ

ントの計算結果の比較を，DRL-25 モデルおよび DRL-40 モデルについて，図 2-12～図 2-15 に示

す。最大応答振幅分布を比較すると，簡易解析は動液圧や曲げモーメントを過小評価することが

分かる。さらに時刻歴波形を比較すると，簡易解析では 2 次モードの周期（DRL-25 モデルでは

0.77s，DRL-40 モデルでは 2.04s）で振動する成分を見過ごしていることが分かる。

図2-12 精算法と簡易法による時刻歴波形の

比較（DRL-25モデル） 図2-13 精算法と簡易法による時刻歴波形の

比較（DRL-40モデル）

図2-14 精算法と簡易法による最大応答

振幅分布の比較（DRL-25モデル） 図2-15 精算法と簡易法による最大応答

振幅分布の比較（DRL-40モデル）

- 28 -

2.4 結語

剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根を有する剛な平底円筒液体貯槽を対象に，浮屋根と内部

液体との連成作用を考慮した地震時スロッシング応答の解析解を線形ポテンシャル理論に基づい

て導出した。さらに適用例として，実機 40,000kl および 100,000kl タンク相当のモデルに対する解

析結果を示し，浮屋根の剛性や質量がスロッシング応答に及ぼす影響を検討した。提示された解

はベッセル関数を含む陽な関数形で表示されており，スロッシング基本性状のパラメトリックな

把握や初期設計段階での予備的な検討に役立つものと考える。

参考文献

[1] 松井徹哉：浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答の解析解，日本建築学会構造系

論文集，第 594 号，pp.167-173，2005

[2] T. Matsui: Sloshing in a Cylindrical Liquid Storage Tank with a Floating Roof under Seismic

Excitation, Journal of Pressure Vessel Technology, Transactions of the ASME, Vol. 129, Issue 4,

pp.557-566, November 2007

[3] K. Senda and K. Nakagawa: On the Vibration of an Elevated Water Tank (I), Technical Reports of

Osaka University, Vol.4, No.117, 1954

[4] 日本建築学会：容器構造設計指針・同解説，1996

[5] K. Nakagawa: On the Vibration of an Elevated Water Tank (II), Technical Reports of Osaka

University, Vol.5, No.170, 1955

[6] 山本善之：地震による石油タンクの液面の動揺と衝撃圧，高圧力，第 3 巻，第 1 号，pp.2-8，

1965

[7] F. Sakai, M. Nishimura and H. Ogawa: Sloshing Behavior of Floating-Roof Oil Storage Tanks,

Computers and Structures, Vol.19, No.1-2, pp.183-192，1984

[8] 池田澄人，藤波昌，酒井守雄，愛屋憲一，坂井藤一，西村正弘：半地下式石油備蓄タンクの

設計について，川崎重工技報，76 号，pp.59-66，1980

[9] 坂井藤一：2003 年十勝沖地震における浮屋根式タンクの被害について，JSSC，No.52，pp.20-25，

2004

[10] 西口英夫，伊藤雅文，保延宏行，加納俊哉：長周期地震動による大容量石油タンクのスロッ

シング挙動解析と安全性評価，火力原子力協会誌，Vol.56，No. 581，2005

[11] 危険物保安技術協会：屋外タンク貯蔵所浮屋根審査基準検討会報告書，2005

[12] 森口繁一，宇田川銈久，一松信：数学公式Ⅲ―特殊関数―，岩波書店，1960

[13] 犬井鉄郎：偏微分方程式とその応用，コロナ社，1957

付録：積分公式

解の導出に用いた積分公式を以下に掲げておく。

iε を ( )1 0iJ ε′ = の正の実根とすると，次のような直交関係が成り立つ([13]，p.168，式(8.10))。

- 29 -

( ) ( ) ( ){ }21 12

1 10

1 1120

ii j i

J i juJ u J u du

i j

εε ε ε

⎧ ⎛ ⎞− =⎪ ⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠

⎪ ≠⎩

∫ (A1)

ベッセル関数の積分公式[12]より

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 120

1 1 1i i i i

i i i

u J u du J J Jε ε ε εε ε ε

′= = −∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 0 1 1 02 20

1m i m m i i m i

i m

uJ u J u du J J J Jκ ε κ κ ε ε κ εε κ

⎡ ⎤= −⎣ ⎦−∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 0 1 1 02 20

1m i m m i i m i

i m

uI u J u du I J I Jκ ε κ κ ε ε κ εε κ

⎡ ⎤= −⎣ ⎦+∫

上式に

( ) ( ) ( )11 0 0i

i ii

JJ J

εε ε

ε′ = − = , i.e., ( ) ( )1

0i

ii

JJ

εε

ε=

の関係を用いれば

( ) ( )1 2

1 120

1i i

i

u J u du Jε εε

=∫ (A2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 0 1 12 20

1m i m m m i

i m

uJ u J u du J J Jκ ε κ κ κ εε κ

⎡ ⎤= −⎣ ⎦−∫ ( ) ( )1 12 2m

m ii m

J Jκ

κ εε κ

′=−

(A3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 0 1 12 20

1m i m m m i

i m

uI u J u du I I Jκ ε κ κ κ εε κ

⎡ ⎤= −⎣ ⎦+∫ ( ) ( )1 12 2m

m ii m

I Jκ

κ εε κ

′=+

(A4)

を得る。

- 30 -

3. シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽のスロッシング理論[1-3]

3.1 序

浮屋根を有する液体貯槽のスロッシングに関しては，浮屋根を質量の無視し得る剛体板と仮定

しポテンシャル理論を適用して内部液体との連成振動問題を解いた Nakagawa[4]，山本[5]の研究

や，浮屋根を質量のある弾性体として扱い液体との連成振動問題を境界積分型の変分原理に基づ

きリッツ法（有限要素法）により解いた坂井ら[6-8]の研究がある。さらに最近では，汎用の有限

要素解析ソフトを利用して，浮屋根と内部液体との連成振動を，座屈・塑性化，大変形，有限振

幅波高などの構造・流体非線形効果をも含めて詳細に解析することも行われている[9, 10]。このよ

うに現在では，浮屋根式液体貯槽のスロッシング応答を理論的に予測するための解析ツールは十

分に整えられている状況にはあるが，計算に多大な労力を必要とする非線形詳細解析はスロッシ

ング基本性状のパラメトリックな把握や初期設計段階での予備的な検討には必ずしも適さない。

たとえ線形理論の範囲内であっても，浮屋根と内部液体との連成振動を解析的に表現した解があ

れば，基本性状の把握や初期設計段階での検討に有用であると思われるが，このような理論解を

提示した研究は見当たらない。

このような観点から，前節では，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根を有する剛な平底円筒

液体貯槽を対象に，浮屋根と内部液体との連成作用を考慮した地震時スロッシング応答の解析解

を線形ポテンシャル理論に基づき導出している。この解はダブルデッキ型浮屋根のスロッシング

応答を近似的に表現するものであるが，内部デッキと外周ポンツーンから成るシングルデッキ型

の浮屋根には適用できない。本節では，デッキ部を等厚の等方弾性平板，ポンツーン部を弾性曲

線ばりと仮定することにより，シングルデッキ型浮屋根にも適用できる形の解を導出する。さら

に，解析例により浮屋根の形式や剛性がスロッシング応答に及ぼす影響を検討する。

3.2 理論解

3.2.1 境界値問題

図 3-1 に示すような平底円筒液体貯槽の地震時液面動揺問題を扱う。貯槽は剛体であると仮定

し，その半径を R ，液体の深さを H とする。液面は中央の剛性の低いデッキ部と外周の剛性の比

較的高いポンツーン部とで構成されるシングルデッキ型の浮屋根で覆われており，浮屋根と液面

は常に接触していると仮定する。デッキ部は等厚の等方弾性平板であると仮定し，その半径を dR ，

単位面積当たりの質量をm，曲げ剛性を D ，ポアッソン比をν とする。ポンツーン部は弾性曲線

ばりであると仮定し，その曲率半径を pR ，単位長さ当たりの質量を M ，ねじり慣性モーメント

をT ，曲げ剛性を EI ，ねじり剛性をGJ とする。

貯槽底面の中心に原点をもつ円筒座標系 ( , , )r zθ を z 軸が鉛直上向きになるようにとる。内容液

は理想流体で線形ポテンシャル理論が成立すると仮定すると， 0θ = の方向に水平地動変位 ( )gx t

を受けた場合の速度ポテンシャルφ の境界値問題は次のように記述される。

2 0φ∇ = 流体内で (1a)

( )cosgx trφ θ∂

=∂

側壁 r R= で (1b)

- 31 -

0zφ∂

=∂

底面 0z = で (1c)

wzφ∂

=∂

デッキ下面 z H= ， dr R≤ で (1d)

( )pW r Rzφ ψ∂

= + −∂

ポンツーン下面 z H= ， dR r R≤ ≤ で (1e)

ここに，w はデッキ部の鉛直変位を，W とψ はポンツーン部の鉛直変位とねじり回転角を（図 3-2），⋅は時間 t に関する微分を示す。

浮屋根面に働く動液圧 p は，線形化されたベルヌーイ式により

z H

p gwtφρ ρ

=

∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ dr R≤ で (2a)

( )pz H

p g W r Rtφρ ρ ψ

=

∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − + −⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂⎝ ⎠ dR r R≤ ≤ で (2b)

で与えられる。ここに， ρ は流体密度， g は重力加速度である。

w とW ，ψ は次の運動方程式を満足しなければならない（付録参照）。

4dmw D w p r R+ ∇ = ≤ で (3)

ψ

W

ψ

Deckz

Pontoon

図 3-2 浮屋根の変位成分

図 3-1 貯槽形状と座標系

- 32 -

2 2 2

3 2 2 3 2

1

p p p p

EI W GJ WMWR R R R

ψ ψθ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 3 12d

d

Rd

Rp pr R

R w w w w wD prdrR r r r r r r r R

ννθ θ

=

⎡ ⎧ ⎫ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ − ∂− + − − − − =⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎩ ⎭ ⎦

∫ (4)

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

d

d

p p p p p r R

RGJ W EI W w w wT DR R R R R r r r r

ψ ψ ψ νθ θ θ

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 3 12d

d

RdpR

p pr R

R w w w w weD p r R rdrR r r r r r r r R

ννθ θ

=

⎡ ⎧ ⎫ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ − ∂+ + − − − − = −⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎩ ⎭ ⎦

∫ (5)

ここに， p de R R= − はポンツーンの材軸からデッキ端までの偏心距離を示す。

w とW ，ψ はまた次の変形の連続条件を満足しなければならない。

( ) ( )d

p dr Rw W R R ψ

== − − ，

dr R

wr

ψ=

⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(6)

3.2.2 浮屋根変位の固有モード展開

デッキ部の変位 wとポンツーン部の変位W ，ψ を，デッキ・ポンツーン連成系の剛体モードお

よび空中固有振動モードの重ね合わせによって，次式のように表現する。

0

( , , ) ( ) ( )cosl ll

w r t t Z rθ ξ θ∞

=

= ∑ (7)

0

( , ) ( )cosl ll

W t tθ ξ θ∞

=

= Ξ∑ ，0

( , ) ( )cosl ll

t tψ θ ξ θ∞

=

= Ψ∑ (8)

ここに

0Z r R= ， ( ) ( )1 1l l l d l l dZ J r R I r Rα κ β κ= + ( 1)l ≥ (9)

( )d

l l l r RZ e dZ dr

=⎡ ⎤Ξ = +⎣ ⎦ ， ( )

dl l r R

dZ dr=

Ψ = (10)

で， 1J は 1 次の第 1 種ベッセル関数を， 1I は 1 次の第 1 種変形ベッセル関数を示す。また lκ は無

次元化波数で，デッキ・ポンツーン連成系の空中における l 次の固有円振動数 lω と次式によって

関係づけられる。

44 2dl l

mRD

κ ω= (11)

lκ および lα と lβ の振幅比は，(4)，(5)の外力項を 0 とおいたポンツーンの自由振動方程式に

(7)~(10)を代入し整理して得られる次の同次方程式が非自明解を有する条件より定められる。

11 12

21 22

00

l

l

c cc c

αβ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (12)

ここに

- 33 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

211 1 1 22 3

21 1

1 1l l l l l ld p

ll p l l

d

D EI GJc J J JR R

MR J e JR

κ ν κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= + − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

212 1 1 22 3

21 1

1 1l l l l l ld p

ll p l l

d

D EI GJc I I IR R

MR I e IR

κ ν κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= − + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

221 1 1 22 3

2 21 1

(1 ) 1l l l l l ld p

p ll l l

d d

D EI GJc J J JR R

RT e M J eMJ

R R

ν κ κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= − − + − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )222 1 1 22 3(1 ) 1l l l l l l

d p

D EI GJc I I IR R

ν κ κ κ ν κ κ κ+⎡ ⎤′= − − + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 21 1

p ll l l

d d

RT e M I eMI

R Rκ

ω κ κ⎡ ⎤′− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(13)

3.2.3 速度ポテンシャルの解表現

連続方程式(1a)，側壁条件(1b)および底面条件(1c)を満たす速度ポテンシャルφ の解は次式で与

えられる。

( ) ( )11

( ) ( )cosh cosg i i ii

x t r A t z R J r Rφ ε ε θ∞

=

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (14)

ここに， iε は ( )1 iJ ε′ の零点である。

(7)，(8)，(14)を(1d)，(1e)に代入すれば，液面の運動学的条件は

( ) ( )2

11 0

( ) cosh ( ) ( )ii i i l l

i lA t H R J r R Z r t

gε ε ξ

∞ ∞

= =

Ω=∑ ∑ dr R≤ で (15a)

( ) ( ) ( )2

11 0

( ) cosh ( )ii i i l p l l

i lA t H R J r R r R t

gε ε ξ

∞ ∞

= =

Ω ⎡ ⎤= Ξ + − Ψ⎣ ⎦∑ ∑ dR r R≤ ≤ で (15b)

と表される。ここに， iΩ は次式で与えられる自由液面の i 次のスロッシング固有円振動数である。

( )tanhi i ig H RR

ε εΩ = (16)

(15)の両辺に ( ) ( )1 ir R J r Rε を掛け 0 1r R u≤ = ≤ にわたって積分し，ベッセル関数の直交関係

[11]を利用すれば，未定関数 ( )iA t に対して

( ) ( )2 201

2 1 1( ) ( )1 coshi il l

li i i i

gA t a tH R J

ξε ε ε

∞

=

=Ω − ∑ (17)

を得る。ここに

- 34 -

( )2 1

0 0 101

( ) 1ii i

i

a Z J u uduJ

εε

ε= =∫

( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ ( ) ( )}

2 1

1 101

22

0 1 1 02 21

( ) ( )d

d

R Riil l i l p l iR R

i

i l dl l i i l i

i i l

a Z J u udu r R J u uduJ

RJ J J J

J R

εε ε

ε

ε ακ κ ε ε κ ε

ε ε κ

⎡ ⎤= + Ξ + − Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎛ ⎞= −⎢ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎣

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )2

0 1 1 02 2l d

l l i i l i l p l ii l

RI J I J R S

Rβ

κ κ ε ε κ εε κ

⎛ ⎞+ − + Ξ − Ψ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

( ) ( )2

2 2d

l i ii

RR J JR

ε εε

⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎥+Ψ −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭⎦ (18)

i i dR Rε ε= (19)

( )1

1d

i iR RS uJ u duε= ∫ (20)

で， iS は数値積分により評価される。

(17)を(14)に代入すれば，速度ポテンシャルφ の解は

( )( )

( )( )

12 2

1 01

cosh2( ) ( ) cos1 cosh

i ig il l

i li i i i

z R J r Rgx t r a tH R J

ε εφ ξ θ

ε ε ε

∞ ∞

= =

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

Ω −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ (21)

で表される。

また(2)に(7)，(8)，(21)を代入すれば，浮屋根面に作用する動液圧は

( )( )

12 2

1 0 01

2( ) ( ) ( ) cos1

ig il l l l d

i l li i i

J r Rgp x t r a t g Z t r RJε

ρ ξ ξ θε ε

∞ ∞ ∞

= = =

⎡ ⎤= − + + ≤⎢ ⎥

Ω −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ で (22a)

( )( ) ( ){ }1

2 21 0 01

2( ) ( ) ( ) cos1

ig il l l p l l

i l li i i

J r Rgp x t r a t g r R tJε

ρ ξ ξ θε ε

∞ ∞ ∞

= = =

⎡ ⎤= − + + Ξ + − Ψ⎢ ⎥

Ω −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑

dR r R≤ ≤ で (22b)

で与えられる。

3.2.4 運動方程式の解

運動方程式(3)，(4)，(5)を次の重み付き残差方程式に置き換えて解く。

( )2 4

0 0

dRd mw D w p w rdr

πθ δ⎡ ⎤+ ∇ −⎣ ⎦∫ ∫

2 2 22

2 2 2 2 20

1p

p p p p

EI W GJ WMR WR R R R

πψ ψ

θ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 32d

d

R

d Rr R

w w w w wDR prdr Wdr r r r r r r

νν δ θθ θ

=

⎡ ⎧ ⎫ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ − ∂− + − − − − −⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎩ ⎭ ⎦

∫

2 2 2 22

2 2 2 2 20

1 1 1

d

p dp p p p r R

GJ W EI W w w wTR DRR R R R r r r r

πψ ψ ψ ν

θ θ θ=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

- 35 -

( ) ( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 32 0d

d

R

d pRr R

w w w w weDR p r R rdr dr r r r r r r

νν δψ θθ θ

=

⎡ ⎧ ⎫ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ − ∂+ + − − − − − − =⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎩ ⎭ ⎦

∫ (23)

上式は(3)，(4)，(5)をオイラー方程式とするラグランジェ関数が平衡点では極値をとるというハミ

ルトンの原理[12]を表現したものにほかならない。

(23)に(7)，(8)，(22)を代入し r とθ に関する積分を実行し，さらにモードの直交性

0ˆdR

n l p n l p n l nl nm Z Z rdr MR TR Mδ+ Ξ Ξ + Ψ Ψ =∫ (24)

を利用して整理すれば，任意の nδξ ( 0,1, , )n = ∞ に対して(23)が成立する条件から，モード変位 nξ

を定める運動方程式が次のように得られる。

( ) ( )2

0

ˆ ˆ( ) ( ) ( )nl n nl l nl n n nl l n gl

M t M K t x tδ μ ξ δ ω ξ γ∞

=

⎡ ⎤+ + + = −⎣ ⎦∑ ( 0,1, , )n = ∞ (25)

ここに， nlδ はクロネッカ記号を示し，

2 2 2ˆn d n p n p nM mR MR TR= Δ + Ξ + Ψ (26)

( )220 02 0

1 14

dR

dd

Z rdr R RR

Δ = =∫

( ){ } ( ) ( )22 21 0 22 0

1 12

dR

n n n n n nd

Z rdr J J JR

α κ κ κ⎡ ⎤Δ = = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )221 2 2 1 1 0 2

12

n nn n n n n n n n

n

J I J I I I Iα β

κ κ κ κ β κ κ κκ

⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( 1)n ≥ (27)

( )2

2 2 21

21nl in il

i i i i

gR a aμ ρε ε

∞

=

=Ω −

∑ (28)

( ){ } ( ){ }0

d

d

R R

nl n l n p n l p lRK g Z Z rdr r R r R rdrρ ⎡ ⎤= + Ξ + − Ψ Ξ + − Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )22 4 3 2

ˆ 2nl n p n l p p p n lg M m MR m R R TR mρ δ ⎤⎡= + Φ − Ξ Ξ + Φ − Φ + Φ − Ψ Ψ⎣ ⎦ (29)

2 30 00

4R

Z r dr Rγ ρ ρ= =∫

( ){ }2 2

0

d

d

R R

n n n p nRZ r dr r R r drγ ρ ⎡ ⎤= + Ξ + − Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( ){ } ( )32 2 3 4d n n n n n n p n nR J I Rρ κ α κ β κ⎡ ⎤= + + Φ Ξ − Ψ + Φ Ψ⎣ ⎦ ( 1)n ≥ (30)

2 2

2 2dR R−

Φ = ，3 3

3 3dR R−

Φ = ，4 4

4 4dR R−

Φ = (31)

運動方程式(25)において，左辺の nlμ は液体の付加質量係数を， nlK は浮力変化に伴う静的復元

力係数を表す。

(25)は非減衰の運動方程式であるが，適当な減衰（剛性比例型減衰あるいはレーリー型減衰など）

を考慮してこれを解けば，モード変位 ( )n tξ ( 1, 2, , )n = ∞ の解が得られる。

- 36 -

3.2.5 解の最終表示

モード変位 ( )n tξ が得られれば，それらを(7)，(8)，(21)および(22)に代入することによって浮屋

根変位w ，W ，ψ ，速度ポテンシャルφ および動液圧 p の解が得られる。

キルヒホッフの平板理論によれば，デッキ面の曲率とねじり率は

2

2rw

rκ ∂

=∂

，2

2 2

1 1w wr r rθκ

θ∂ ∂

= +∂ ∂

，θθ

κ θ ∂∂

−∂∂

∂=

wrr

wrr 2

2 11 (32)

で与えられる。(32)に(7)，(9)を代入すると

2

1 11

( ) cosnr n n n n n

n d d d

r rt J IR R Rκ

κ ξ α κ β κ θ∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

2 21

( ) cosnn n n n n

n d d d

r rt J IR r R Rθκ

κ ξ α κ β κ θ∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑

2 21

( ) sinnr n n n n n

n d d d

r rt J IR r R Rθκ

κ ξ α κ β κ θ∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ (33)

となり，曲げモーメントとねじりモーメントは

( ), ( ), (1 )r r r r rm D m D m Dθ θ θ θ θκ νκ κ νκ ν κ= − + = − + = − − (34)

により算定される。

またポンツーンに生じる曲げモーメントとねじりモーメントは，(A7)，(A8)より

( )21

( ) cosl l p lnp

EIM t RRθ ξ θ

∞

=

= Ξ − Ψ∑ ， ( )21

( ) sint l l p lnp

GJM t RR

ξ θ∞

=

= Ξ − Ψ∑ (35)

により算定される。

3.3 解析例

3.3.1 解析モデル

解析例として用いたモデル貯槽の諸元を表 3-1，表 3-2 に示す。これらは実機 40,000kl タンク

および 100,000kl タンクを参考に設定したモデルで，ダブルデッキ型浮屋根を近似した剛性・質量

分布が一様な等方性浮屋根（以下，ダブルデッキ型浮屋根と呼称）を D-25，D-40 モデル（前節の

DRL-25, DRL-40 モデルと同じ），シングルデッキ型浮屋根を S-25，S-40 モデルとした。さらに，

浮屋根剛性の影響を検討するために，D-25，D-40 モデルのデッキ部の曲げ剛性を 1/n にした

D1/n-25，D1/n-40モデル，S-25，S-40モデルのポンツーン部の曲げ・ねじれ剛性を 1/nにしたS1/n-25，

S1/n-40 モデルについても解析を行った。なお，表中の有効断面係数の値は後に曲げ応力度の算定

に用いるもので，これらは局部座屈の影響を考慮して圧縮側有効断面を低減した値である。

解析に採用したモード数を表 3-1，表 3-2 に示す。シングルデッキ型の場合，デッキ部とポンツ

ーン部とで剛性が極端に異なることから，後述のように，デッキとポンツーンとの接続部近傍で

圧力やデッキ端部の曲げ応力度が急激に変化し，収束解を得るのに必要なモード数は，剛性の変

化が比較的緩やかなダブルデッキ型に比べて著しく増加している。

- 37 -

3.3.2 自由振動解析

自由振動方程式の固有値解析により得られた各モデルの固有周期（液体中）の解析結果を図 3-3，

図 3-4 に示す。1 次固有周期はモデルによらずほぼ一定で，自由液面の 1 次固有周期とほぼ一致す

る。ダブルデッキの場合，浮屋根の存在は 2 次以上の固有周期に影響し，浮屋根の剛性が増加す

るほど固有周期は短くなるが，シングルデッキでは浮屋根の影響は小さく，各次の固有周期は自

由液面の固有周期よりもわずかに長くなる程度である。これらの傾向はいずれも Sakai et al. [6]の

研究結果と符合している。

表 3-2 モデル貯槽の諸元（シングルデッキ型浮屋根） モデル記号 S-25 S-40貯槽半径 25 m 40 m液体深さ 15 m 20 m液体密度 850 kg/m3 850 kg/m3

テッキ厚さ 4.5 mm 4.5 mmポンツーン断面幅 3 m 5 mポンツーン断面高さ 700 mm 800 mmポンツーン上下単板厚 4.5 mm 4.5 mmポンツーン内外リム厚 12 mm 12 mmポンツーン有効断面係数 3930 mm3 5717 mm3

デッキ曲げ剛性 1.719 kN-m 1.719 kN-mポンツーン曲げ剛性 0.809×106 kN-m2 1.671×106 kN-m2

ポンツーンねじり剛性 1.036×106 kN-m2 2.259×106 kN-m2

デッキ部質量 58 kg/m2 58 kg/m2

ポンツーン質量 558 kg/m 819 kg/mポンツーン質量慣性モーメント 783 kg-m 2815 kg-mポアッソン比 0.3 0.3減衰定数（自由液面モード） 0.001 0.001減衰定数（弾性モード） 0.005 0.005採用モード数（自由液面モード） 30 30採用モード数（弾性モード） 29 29

表 3-1 モデル貯槽の諸元（等方性浮屋根） モデル記号 D-25 D-40貯槽半径 25 m 40 m液体深さ 15 m 20 m液体密度 850 kg/m3 850 kg/m3

デッキ総厚 700 mm 800 mmデッキ有効断面係数 1050 mm3 1200 mm3

デッキ曲げ剛性 2.464×105 kN-m 3.223×105 kN-mデッキ質量 120 kg/m2 120 kg/m2

ポアッソン比 0.3 0.3減衰定数（自由液面モード） 0.001 0.001減衰定数（弾性モード） 0.010 0.010採用モード数（自由液面モード） 6 6採用モード数（弾性モード） 5 5

- 38 -

3.3.3 地震応答解析

入力地震動として 2003 年十勝沖地震の際に苫小牧 K-NET 観測点で観測された地震波

（HKD1290309260450EW）を採用し，時刻歴応答解析を行った。時刻歴応答解析には地震継続時

間 300s に対して時間間隔を 0.01s としてニューマークの β 法（平均加速度法 β =1/4）を採用した。

また減衰は剛性比例型とし，1 次モード（液体中）に対して表 3-1，表 3-2 に示す減衰定数を用い

た。

入力地動加速度，液面（屋根面）変位，浮屋根面動液圧および曲げ応力度の時刻歴波形を S-25

モデルおよび S-40 モデルについて図 3-5，図 3-6 に，対応するフーリエ振幅スペクトルを図 3-7，

図 3-8 に示す。ここで，曲げ応力度は曲げモーメントを表 3-1，表 3-2 に示す有効断面係数で除し

て求めたものである。

本解析例の場合，自由液面のスロッシング固有周期は，S-25 モデルの場合，1 次が 8.25s，2 次

が 4.35s，S-40 モデルの場合，1 次が 10.97s，2 次が 5.52s であるに対して，浮屋根の固有周期は，

S-25 モデルの場合，1 次が 8.28s，2 次が 4.39s，S-40 モデルの場合，1 次が 10.99s，2 次が 5.56s

であり，浮屋根の存在によって固有周期はほとんど影響を受けない。応答のフーリエ振幅スペク

トルを見ると，全ての応答に対して 1 次モード成分が卓越しているのが観察されるが，径の大き

い S-40 モデルでは 2 次モードの影響も無視できない。特に曲げ応力度においてその影響が顕著で

あり，ポンツーンの周方向曲げ応力度では，2 次モードの寄与がむしろ支配的である。

時刻歴波形を見ると，液面（屋根面）変位は地震動の主要動が去った後も減衰せず，1 次モー

ド主体の振動を長時間継続している。S-25 モデルの場合，動液圧や曲げモーメントも 1 次モード

主体の振動が支配的であるが，S-40 モデルの場合は，地震動の主要動が作用している間は主とし

て 2 次モードで振動し，主要動が去った後は液面変位と同周期の 1 次モードの振動だけが残り，

最大振幅は 2 次モードが卓越している地震動の主要動が作用している間に生じている。

各モデルの液面変位，浮屋根面動液圧および曲げ応力度の最大応答振幅値の 0θ = に沿う分布を

図 3-9，図 3-10 に示す。

ダブルデッキ型浮屋根の場合，剛性の高い D-25，D1/2-25，D1/5-25 モデルや D-40 モデルでは，

浮屋根はほぼ剛体的に変位し，浮屋根による拘束効果によって自由液面の場合よりもかなり小さ

な変位になっているが，剛性の比較的低い D1/2-40，D1/5-40 モデルでは弾性変形が顕著になり，

図3-3 固有周期 (R=25m, H=15m) 図3-4 固有周期 (R=40m, H=20m)

- 39 -

剛性の低下とともに徐々に自由液面の変位に近づいて行く傾向が見られる。動液圧や曲げ応力度

も浮屋根剛性によって影響を受けるが，その影響には一定の傾向は認められない。動液圧は

0.3 ~ 0.4r R = 付近および端部 1r R = で，曲げ応力度は 0.4r R = 付近で最大値をとる。全体的に

半径方向曲げ応力度 rσ の方が周方向曲げ応力度 θσ よりも大きく， rσ は θσ の約 1.5 倍になってお

り，D-40，D1/2-40 モデルでは通常の鋼材の降伏点応力に達するほどの大きさになっている。

シングルデッキ型浮屋根の場合，浮屋根による拘束効果はきわめて小さく，ポンツーンの剛性

にかかわらず自由液面変位に近い変位分布性状を示している。動液圧分布は剛性の高いポンツー

ン部に集中しており，デッキ部の曲げ応力度も，ポンツーン部との接続部に鋼材の降伏点応力に

達する程の大きな半径方向曲げ応力が発生しているほかは，全体的に小さい。ポンツーン部の周

方向曲げ応力度はポンツーンの剛性によってほとんど影響を受けず，S1/5-25 モデルや S1/5-40 モ

デルでも高々降伏点応力の 10%程度で小さい。

1983 年日本海中部地震や 2003 年十勝沖地震で発生したシングルデッキ型浮屋根のポンツーン

図3-5 応答の時刻歴波形（S-25モデル） 図3-6 応答の時刻歴波形（S-40モデル）

- 40 -

の座屈はポンツーンに生じる周方向曲げモーメントが原因であるとの見解が示されていたが[8,

13]，最近の有限要素法による非線形詳細解析の結果[9]によると，この周方向曲げモーメントの値

はポンツーンを座屈させるほどの大きさではなく，むしろデッキ面の大変形に伴う膜応力効果や

液面の有限変位によるポンツーンの楕円化が座屈を誘発したとの可能性も示唆されており，本解

析結果は後者の正当性を裏付けるものとなっている。

図3-7 応答のフーリエ振幅スペクトル（S-25モデル）

図3-8 応答のフーリエ振幅スペクトル（S-40モデル）

- 41 -

図3-9 最大応答振幅のθ =0に沿う分布 (Small tank: R=25m, H=15m)

図3-10 最大応答振幅のθ =0に沿う分布 (Large tank: R=40m, H=20m)

- 42 -

3.4 結語

シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽を対象に，浮屋根と内部液体との連成作用を考

慮した地震時スロッシング応答の解析解を線形ポテンシャル理論に基づいて導出した。さらに適

用例として，実機 40,000kl および 100,000kl タンク相当のモデルに対する解析結果を示し，浮屋

根の形式（シングルデッキ，ダブルデッキ）や剛性がスロッシング応答に及ぼす影響を検討した。

提示された解はベッセル関数を含む陽な関数形で表示されており，スロッシング基本性状のパラ

メトリックな把握や初期設計段階での予備的な検討に役立つものと考える。しかし，1983 年日本

海中部地震や 2003 年十勝沖地震で発生したシングルデッキ型浮屋根のポンツーンの座屈の原因

については特定することができず，課題として残された。デッキ面の大変形に伴う膜応力効果や

液面の有限変位など，構造と流体の非線形性を考慮した理論の構築が今後望まれる。

参考文献

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[2] 松井徹哉：シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽の地震時スロッシング応答―デッ

キ・ポンツーン連成系の空中モード展開に基づく解表現―，日本建築学会構造系論文集，第

612 号，pp.87-94，2007.2

[3] T. Matsui: Sloshing in a Cylindrical Liquid Storage Tank with a Single-deck Type Floating Roof

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published)

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University, Vol.5, No.170, pp.317-336, 1955

[5] 山本善之：地震による石油タンクの液面の動揺と衝撃圧，高圧力，第 3 巻，第 1 号，pp.2-8，

1965.1

[6] F. Sakai, M. Nishimura and H. Ogawa: Sloshing Behavior of Floating-Roof Oil Storage Tanks,

Computers and Structures, Vol.19, No.1-2, pp.183-192, 1984

[7] 池田澄人，藤波昌，酒井守雄，愛屋憲一，坂井藤一，西村正弘：半地下式石油備蓄タンクの

設計について，川崎重工技報，76 号，pp.59-66，1980.10

[8] 坂井藤一：2003 年十勝沖地震における浮屋根式タンクの被害について，JSSC，No.52，pp.20-25，

2004.4

[9] 危険物保安技術協会：屋外タンク貯蔵所浮屋根審査基準検討会報告書，2005.1

[10] 西口英夫，伊藤雅文，保延宏行，加納俊哉：長周期地震動による大容量石油タンクのスロッ

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[11] 犬井鉄郎：偏微分方程式とその応用，コロナ社，1957

[12] Y.C.ファン著（大橋義夫，村上澄男，神谷紀生訳)：固体の力学／理論，培風館，1980

[13] 寺前哲夫，阪野賢治，浜中順一，辻達男，桜井英世：過大なスロッシングを受けるタンク浮

屋根の最終強度，石川島播磨技報，第 24 巻，第 6 号，pp.12-16，1984.11

[14] 倉西正嗣：応用弾性学，共立出版，1953

- 43 -

付録：ポンツーンの運動方程式

ポンツーンを曲線ばりと考え，その微小要素 pR dθ に働く断面力・モーメントおよび外力成分を

図 3-11 のように定義する。ここに，Qθ は面外せん断力を，Mθ と tM は円周方向曲げモーメント

とねじりモーメントを， zF と rM は外力の鉛直方向成分とねじり回転成分をそれぞれ示す。

この微小要素に働く鉛直方向の力の平衡方程式は

( ) 0p z pQ

MR W F Rθ

θ∂

− − =∂

(A1)

と書ける。θ = 一定の軸まわりのモーメントの平衡条件より

1 t

p p

M MQ

R Rθ

θ θ∂

= −∂

(A2)

(A2)を(A1)に代入し整理すると

2

2 2 2

1 1 0tz

p p

M MMW F

R Rθ

θ θ∂ ∂

− + − =∂ ∂

(A3)

また =r 一定の軸まわりのモーメントの平衡条件より

1 0tr

p p

M MT M

R Rθψ

θ∂

− − − =∂

(A4)

を得る。

ポンツーンに作用する外力は，デッキ反力 rV ， rM と流体圧 p である。ポンツーン内端 dr R= を

デッキ反力の作用位置と考えると， zF と rM は偏心を考慮して

1d

Rdz r R

p p

RF V prdr

R R= − + ∫ (A5)

( ) ( )1d

Rdr r r pR

p p

RM M eV p r R rdr

R R= + + −∫ (A6)

となる。

図 3-11 ポンツーンの微小要素に働く断面力･モーメントと外力成分

Mθ

MM dθ

θ θθ

∂+

∂

tMQθ

QQ dθ

θ θθ

∂+

∂t

tM

M dθθ

∂+

∂rM

zF

- 44 -

ポンツーンの鉛直方向変位W と材軸周りの回転角ψ を図 B のように定義すると，これらの変位

成分と曲げモーメントMθ およびねじりモーメント tM との間には次の関係が成り立つ[14]。

2

2

1

p p

EI WMR Rθ ψ

θ

⎛ ⎞∂= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(A7)

tp p

GJ WMR R

ψθ

⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

(A8)

キルヒホッフの平板理論によると，デッキ端に作用するモーメント反力 rM と鉛直反力 rV は，

デッキの鉛直変位w を用いて，それぞれ次式のように表される。

2 2

2 2 2

1 1

d

r

r R

w w wM Dr r r r

νθ

=

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(A9)

( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 32d

rr R

w w w w wV Dr r r r r r r

ννθ θ

=

⎡ ⎫ ⎤⎧∂ ∂ ∂ ∂ − ∂= − + − − − −⎢ ⎨ ⎬ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎩ ⎭ ⎦⎣

(A10)

(A5)～(A10)を(A3)，(A4)に代入し整理すると，ポンツーン部の運動方程式が (4)，(5)のように

書き表される。

- 45 -

4. センターポンツーン付シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽のスロッ

シング理論[1]

4.1 序

前々節では，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根を有する剛な平底円筒液体貯槽を対象に，

浮屋根と内部液体との連成作用を考慮した地震時スロッシング応答の解析解を線形ポテンシャル

理論に基づき導出した。さらに前節では，デッキ部を等厚の等方弾性平板，ポンツーン部を弾性

曲線ばりと仮定することにより，内部デッキと外周ポンツーンから成るシングルデッキ型浮屋根

貯槽に適用できる解を提示した。本節では，大型液体貯槽への適用を念頭に，センターポンツー

ン付シングルデッキ型浮屋根を有する円筒貯槽のスロッシング解を導き，センターポンツーンの

有無がスロッシング応答に及ぼす影響について検討する。ちなみに，容量 100,000kl（直径 80m）

クラスの大型貯槽では，外周ポンツーンだけでは浮力を確保することが困難であるため，外周ポ

ンツーンの断面幅（4~5m）とほぼ同程度の半径のセンターポンツーンが付設される場合が多い。

4.2 理論解

4.2.1 境界値問題

図 4-1 に示すような平底円筒液体貯槽の地震時液面動揺問題を扱う。貯槽は剛体であると仮定

し，その半径を R ，液体の深さを H とする。液面は外周および中央の剛性の比較的高いポンツー

ン部と中間の剛性の極めて低いデッキ部とで構成されるシングルデッキ型の浮屋根で覆われてお

り，浮屋根と液面は常に接触していると仮定する。デッキ部は等厚の等方弾性平板であると仮定

し，その半径を dR ，単位面積当たりの質量をm，曲げ剛性を D ，ポアッソン比をν とする。外周

ポンツーンは弾性曲線ばりであると仮定し，その曲率半径を pR ，単位長さ当たりの質量を M ，ね

じり慣性モーメントをT ，曲げ剛性を EI ，ねじり剛性をGJ とする。また，中央のポンツーン（セ

ンターポンツーンと呼称）は剛な円板であると仮定し，その半径を cR ，回転慣性モーメントを cT

とする。なお，センターポンツーンを剛体とする仮定については，径が小さく剛性の高い浮屋根

が剛体的に変位することから妥当であると判断される。

貯槽底面の中心に原点をもつ円筒座標系 ( , , )r zθ を z 軸が鉛直上向きになるようにとる。内容液

は理想流体で線形ポテンシャル理論が成立すると仮定すると， 0θ = の方向に水平地動変位 ( )gx t

を受けた場合の速度ポテンシャルφ の境界値問題は次のように記述される。

2 0φ∇ = 流体内で (1a)

( )cosgx trφ θ∂

=∂

側壁 r R= で (1b)

0zφ∂

=∂

底面 0z = で (1c)

coscrzφ ψ θ∂

=∂

センターポンツーン下面 z H= ， cr R≤ で (1d)

wzφ∂

=∂

デッキ下面 z H= ， c dR r R≤ ≤ で (1e)

- 46 -

( )pW r Rzφ ψ∂

= + −∂

外周ポンツーン下面 z H= ， dR r R≤ ≤ で (1f)

ここに，w はデッキ部の鉛直変位を， cψ はセンターポンツーンの回転角を，W とψ は外周ポンツ

ーンの鉛直変位とねじり回転角をそれぞれ表し（図 2）， ⋅は時間 t に関する微分である。

浮屋根面に働く動液圧 p は，線形化されたベルヌーイ式により

cos

[ ( ) ]

c c

c dz H

p d

g r r R

gw R r Rpt

g W r R R r R

ρ ψ θ

φ ρρ

ρ ψ

=

≤⎧⎪⎪∂ ⎪⎛ ⎞ ≤ ≤= − − ⎨⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎪⎪

+ − ≤ ≤⎪⎩

で

で

で

(2)

で与えられる。ここに， ρ は流体密度， g は重力加速度である。

w とW ，ψ ， cψ は次の運動方程式を満足しなければならない（前節および本節付録参照）。

4c dmw D w p R r R+ ∇ = ≤ ≤ で (3)

2 2 2

3 2 2 3 2

1

p p p p

EI W GJ WMWR R R R

ψ ψθ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 3 12d

d

RdR

p pr R

R w w w w wD prdrR r r r r r r r R

ννθ θ

=

⎡ ⎤⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ − ∂− + − − − − =⎢ ⎥⎨ ⎬

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦∫ (4)

図 4-1 貯槽形状と座標系

図 4-2 浮屋根の変位成分

- 47 -

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

d

d

p p p p p r R

RGJ W EI W w w wT DR R R R R r r r r

ψ ψ ψ νθ θ θ

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 3 12d

d

RdpR

p pr R

R w w w w weD p r R rdrR r r r r r r r R

ννθ θ

=

⎡ ⎤⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ − ∂+ + − − − − = −⎢ ⎥⎨ ⎬

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦∫ (5)

( )

2 22

2 2 20

3 2 3 22

3 2 2 2 3 20

1 1 cos

1 1 32 cos

c

c

c c c

r R

c cr R

w w wT D R dr r r r

w w w w wDR R dr r r r r r r

π

π

ψ ν θ θθ

νν θ θθ θ

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂− + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎧ ⎫ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ − ∂+ + − − − −⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎩ ⎭ ⎦

∫

∫

2

0 0coscR

pr rdrdπ

θ θ= ∫ ∫ (6)

ここに， p de R R= − はポンツーンの材軸からデッキ端までの偏心距離を示す。

w とW ，ψ ， cψ はまた次の変形の連続条件を満足しなければならない。

( ) ( ) coscc

r R c cr Rw r w R ψ θ==

∂ ∂ = = (7)

( ) ( )d

p dr Rw W R R ψ

== − − ， ( )

dr Rw r ψ

=∂ ∂ = (8)

4.2.2 浮屋根変位の固有モード展開

デッキ部の変位 wとポンツーン部の変位W ，ψ ， cψ を，デッキ・ポンツ ーン連成系の剛体モ

ードおよび空中固有振動モードの重ね合わせによって，次式のように表現する。

0

( , , ) ( ) ( )cosl ll

w r t Z r tθ ξ θ∞

=

= ∑ (9)

0

( , ) ( )cosl ll

W t tθ ξ θ∞

=

= Ξ∑ ，0

( , ) ( )cosl ll

t tψ θ ξ θ∞

=

= Ψ∑ (10)

0

( ) ( )c l ll

t tψ ξ∞

=

= Λ∑ (11)

ここに

0rZR

= ， 1 1 1 1l l l l

l l l l ld d d d

r r r rZ J Y I K

R R R Rκ κ κ κ

α β γ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( 1)l ≥ (12)

d

ll l

r R

dZZ e

dr =

⎛ ⎞Ξ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

，d

ll

r R

dZdr =

⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(13)

c c

l ll

cr R r R

dZ Zdr R= =

⎛ ⎞⎛ ⎞Λ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(14)

で， 1J および 1Y は 1 次の第 1 種および第 2 種ベッセル関数を， 1I および 1K は 1 次の第 1 種および

第 2 種変形ベッセル関数を示す。また lκ は無次元化波数で，デッキ・ポンツーン連成系の空中に

おける l 次の固有円振動数 lω と次式によって関係づけられる。

- 48 -

44 2dl l

mRD

κ ω= (15)

lκ および lα ， lβ ， lγ ， lδ の振幅比は， (4)～(6)の外力項を 0 とおいたポンツーンの自由振動方

程式と剛体変位条件(7)に(9)~(14)を代入し整理して得られる次の同次方程式が非自明解を有する

条件より定められる。

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

0000

l

l

l

l

c c c cc c c cc c c cc c c c

αβγδ

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(16)

ここに

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

211 1 1 22 3

21 1

1 1l l l l l ld p

ll p l l

d

D EI GJc J J JR R

MR J e JR

κ ν κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= + − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

212 1 1 22 3

21 1

1 1l l l l l ld p

ll p l l

d

D EI GJc Y Y YR R

MR Y e YR

κ ν κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= + − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

213 1 1 22 3

21 1

1 1l l l l l ld p

ll p l l

d

D EI GJc I I IR R

MR I e IR

κ ν κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= − + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

214 1 1 22 3

21 1

1 1l l l l l ld p

ll p l l

d

D EI GJc K K KR R

MR K e KR

κ ν κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= − + − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

221 1 1 22 3

2 21 1

(1 ) 1l l l l l ld p

p ll l l

d d

D EI GJc J J JR R

RT e M J eMJ

R R

ν κ κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= − − + − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

222 1 1 22 3

2 21 1

(1 ) 1l l l l l ld p

p ll l l

d d

D EI GJc Y Y YR R

RT e M Y eMY

R R

ν κ κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= − − + − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

223 1 1 22 3

2 21 1

(1 ) 1l l l l l ld p

p ll l l

d d

D EI GJc I I IR R

RT e M I eMI

R R

ν κ κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= − − + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

- 49 -

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

224 1 1 22 3

2 21 1

(1 ) 1l l l l l ld p

p ll l l

d d

D EI GJc K K KR R

RT e M K eMK

R R

ν κ κ κ ν κ κ κ

κω κ κ

+⎡ ⎤′= − − + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤′− + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2

231 1 1 12 2

l cl l l l l

d c

D Tc J J J

R Rκ

λκ λκ λκ ω λκπ

⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2

232 1 1 12 2

l cl l l l l

d c

D Tc Y Y Y

R Rκ

λκ λκ λκ ω λκπ

⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2

233 1 1 12 2

l cl l l l l

d c

D Tc I I I

R Rκ

λκ λκ λκ ω λκπ

⎡ ⎤′= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2

234 1 1 12 2

l cl l l l l

d c

D Tc K K K

R Rκ

λκ λκ λκ ω λκπ

⎡ ⎤′= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )41 1 1l l lc J Jλκ λκ λκ′= −

( ) ( )42 1 1l l lc Y Yλκ λκ λκ′= −

( ) ( )43 1 1l l lc I Iλκ λκ λκ′= −

( ) ( )44 1 1l l lc K Kλκ λκ λκ′= − (17)

c dR Rλ = (18)

4.2.3 速度ポテンシャルの解表現

連続方程式(1a)，側壁条件(1b)および底面条件(1c)を満たす速度ポテンシャルφ の解は次式で与

えられる。

( ) ( )11

( ) ( )cosh cosg i i ii

x t r A t z R J r Rφ ε ε θ∞

=

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (19)

ここに， iε は ( )1 iJ ε′ の零点である。

(9)～(11)，(19)を(1d)～(1f)に代入すれば，液面の運動学的条件は

( ) ( )

( )

02

11 0

0

( )

( ) cosh ( ) ( )

( )

l l cl

ii i i l l c d

i l

l p l l dl

r t r R

A t H R J r R Z r t R r Rg

r R t R r R

ξ

ε ε ξ

ξ

∞

=

∞ ∞

= =

∞

=

⎧Λ ≤⎪

⎪⎪Ω

= ≤ ≤⎨⎪⎪

⎡ ⎤Ξ + − Ψ ≤ ≤⎪ ⎣ ⎦⎩

∑

∑ ∑

∑

で

で

で

(20)

と表される。ここに， iΩ は次式で与えられる自由液面の i 次のスロッシング固有円振動数である。

( )tanhi i ig H RR

ε εΩ = (21)

(20)の両辺に ( ) ( )1 ir R J r Rε を掛け 0 1r R u≤ = ≤ にわたって積分し，ベッセル関数の直交関係

[2]を利用すれば，未定関数 ( )iA t に対して

- 50 -

( ) ( )2 201

2 1 1( ) ( )1 coshi il l

li i i i

gA t a tH R J

ξε ε ε

∞

=

=Ω − ∑ (22)

を得る。ここに

( )2 1

0 0 101

( ) 1ii i

i

a Z J u uduJ

εε

ε= =∫

( ) ( ){ }2 1

1 1 101

( ) ( ) ( )c d

c d

R R R Riil l i l i l p l iR R R R

i

a r J u udu Z J u udu r R J u uduJ

εε ε ε

ε⎡ ⎤= Λ + + Ξ + − Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ){ ( ) ( )}

( ) ( ){ ( ) ( )}

2

0 1 1 02 21

0 1 1 02 2

i ll l i i l i

i i l

ll l i i l i

i l

J J J JJ

J J J J

ε ακ κ ε ε κ ε

ε ε κ

α λκ λκ λε ε λκ λε

ε κ

⎡= −⎢ −⎣

− −−

( ) ( ){ ( ) ( )}

( ) ( ){ ( ) ( )}

0 1 1 02 2

0 1 1 02 2

ll l i i l i

i l

ll l i i l i

i l

Y J Y J

Y J Y J

βκ κ ε ε κ ε

ε κβ λ

κ λκ λε ε λκ εε κ

+ −−

− −−

( ) ( ) ( ) ( ){ }0 1 1 02 2l

l l i i l ii l

I J I Jγ

κ κ ε ε κ εε κ

+ −+

( ) ( ) ( ) ( ){ }0 1 1 02 2l

l l i i l ii l

I J I Jγ λ

κ λκ λε ε λκ λεε κ

− −+

( ) ( ) ( ) ( ){ }0 1 1 02 2l

l l i i l ii l

K J K Jδ

κ κ ε ε κ εε κ

− ++

( ) ( ) ( ) ( ){ }0 1 1 02 2l

l l i i l ii l

K J K Jδ λ

κ λκ ε ε λκ λεε κ

⎤+ + ⎥+ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 2

2 2 21 1

( )i d il p l i l i i l i

i i i i

RR RR S J J JJ R J

ε λεε ε λε

ε ε ε ε

⎤⎡ ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎥⎢+ Ξ − Ψ + Ψ − + Λ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎥⎢ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ (23)

i i dR Rε ε= (24)

( )1

1d

i iR RS u J u duε= ∫ (25)

で， iS は数値積分により評価される。

(22)を(19)に代入すれば，速度ポテンシャルφ の解は

( )( )

( )( )

12 2

1 01

cosh2( ) ( ) cos1 cosh

i ig il l

i li i i i

z R J r Rgx t r a tH R J

ε εφ ξ θ

ε ε ε

∞ ∞

= =

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

Ω −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ (26)

で表される。

(2)に(9)～(11)，(26)を代入すれば，浮屋根面に作用する動液圧 p は

( )( )

12 2

1 01

2( ) ( ) cos1

ig il l

i li i i

J r Rgp x t r a tJε

ρ ξ θε ε

∞ ∞

= =

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

Ω −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑

- 51 -

( )

0

0

0

( )cos

( )cos

( )cos

l l cl

l l c dl

l p l l dl

g r t r R

g Z t R r R

g r R t R r R

ρ ξ θ

ρ ξ θ

ρ ξ θ

∞

=

∞

=

∞

=

⎧Λ ≤⎪

⎪⎪

− ≤ ≤⎨⎪⎪

⎡ ⎤Ξ + − Ψ ≤ ≤⎪ ⎣ ⎦⎩

∑

∑

∑ で

で

で (27)

で与えられる。

4.2.4 運動方程式の解

運動方程式(3)，(4)，(5)，(6)を次の重み付き残差方程式に置き換えて解く。

( )2 4

0

d

c

R

Rd mw D w p w rdr

πθ δ⎡ ⎤+ ∇ −⎣ ⎦∫ ∫

2 2 22

2 2 2 2 20

1p

p p p p

EI W GJ WMR WR R R R

πψ ψ

θ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 32d

d

R

d Rr R

w w w w wDR prdr Wdr r r r r r r

νν δ θθ θ

=

⎡ ⎧ ⎫ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ − ∂− + − − − − −⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎩ ⎭ ⎦

∫

2 2 2 22

2 2 2 2 20

1 1 1

d

p dp p p p r R

GJ W EI W w w wTR DRR R R R r r r r

πψ ψ ψ ν

θ θ θ=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

( ) ( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 32d

d

R

d pRr R

w w w w weDR p r R rdr dr r r r r r r

νν δψ θθ θ

=

⎡ ⎧ ⎫ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ − ∂+ + − − − − − −⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎩ ⎭ ⎦

∫

2 22

2 2 20

1 1 cosc

c c c

r R

w w wT D R dr r r r

πψ ν θ θ

θ=

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

( )3 2 3 22

3 2 2 2 3 20

1 1 32 cosc

c c

r R

w w w w wDR R dr r r r r r r

π νν θ θθ θ

=

⎡ ⎤⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ − ∂+ + − − − −⎢ ⎥⎨ ⎬

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦∫

2

0 0cos 0cR

cpr rdrdπ

θ θ δψ− =∫ ∫ (28)

上式は(3)，(4)，(5)，(6)をオイラー方程式とするラグランジェ関数が平衡点では極値をとるという

ハミルトンの原理[3]を表現したものにほかならない。

(28)に(9)～(14)，(27)を代入し r とθ に関する積分を実行し，さらにモードの直交性

( ) ˆd

c

R

n l p n l p n l c n l nl nRm Z Z rdr MR TR T Mπ δ+ Ξ Ξ + Ψ Ψ + Λ Λ =∫ (29)

を利用して整理すれば，任意の nδξ に対して(28)が成立する条件から，モード変位 nξ ( 0,1, , )n = ∞

を定める運動方程式が次のように得られる。

( ) ( )2

0

ˆ ˆ( ) ( ) ( )nl n nl l nl n n nl l n gl

M t M K t x tδ μ ξ δ ω ξ∞

=

⎡ ⎤+ + + = −Γ⎣ ⎦∑ ( 0,1, , )n = ∞ (30)

ここに， nlδ はクロネッカ記号を示し，

( )2 2 2 2ˆn d n p n p n c nM mR MR TR T π= Δ + Ξ + Ψ + Λ (31)

- 52 -

( )( )22 40 02

1 1 14

d

c

R

dRd

Z rdr R RR

λΔ = = −∫

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

22

2 22 2 21 0 2 1 0 2

1

1 12 2

d

c

R

n nRd

n n n n n n n n

Z rdrR

J J J J J Jα κ κ κ α λ λκ λκ λκ

Δ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0 2 2 0

21 1 0 2 2 0

1 221 22

n n n n n n n n

n n n n n n n n

J Y J Y J Y

J Y J Y J Y

α β κ κ κ κ κ κ

α β λ λκ λκ λκ λκ λκ λκ

⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

⎡ ⎤− − −⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 2 1 1 2 2 1n n n n

n n n n n n n nn n

J I J I J I J Iα γ α γ λ

κ κ κ κ λκ λκ λκ λκκ κ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 2 1 1 2 2 1n n n n

n n n n n n n nn n

J K J K J K J Kα δ α δ λ

κ κ κ κ λκ λκ λκ λκκ κ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )2 22 2 21 0 2 1 0 2

1 12 2n n n n n n n nY Y Y Y Y Yβ κ κ κ β λ λκ λκ λκ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 2 1 1 2 2 1n n n n

n n n n n n n nn n

Y I Y I Y I Y Iβ γ β γ λ

κ κ κ κ λκ λκ λκ λκκ κ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 2 1 1 2 2 1n n n n

n n n n n n n nn n

Y K Y K Y K Y Kβ δ β δ λ

κ κ κ κ λκ λκ λκ λκκ κ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )2 22 2 21 0 2 1 0 2

1 12 2n n n n n n n nI I I I I Iγ κ κ κ γ λ λκ λκ λκ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0 2 2 0

2

1 1 0 2 2 0

22

2

n nn n n n n n

n nn n n n n n

n

I K I K I K

I K I K I K

γ δκ κ κ κ κ κ

γ δ λλκ λκ λκ λκ λκ λκ

κ

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )2 22 2 21 0 2 1 0 2

1 12 2n n n n n n n nK K K K K Kδ κ κ κ δ λ λκ λκ λκ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( 1)n ≥

(32)

( )2

2 2 21

21nl in il

i i i i

gR a aμ ρε ε

∞

=

=Ω −

∑ (33)

( ){ } ( ){ }( ) ( )

2

0

22 4 3 2

ˆ 2

c d

c d

R R R

nl n l n l n p n l p lR R

nl n p n l p p p n l

K g r rdr Z Z rdr r R r R rdr

g M m MR m R R TR m

ρ

ρ δ

⎡ ⎤⎤= Λ Λ + + Ξ + − Ψ Ξ + − Ψ⎢ ⎥⎥⎦⎣ ⎦⎡= + Φ − Ξ Ξ + Φ − Φ + Φ − Ψ Ψ⎣

∫ ∫ ∫

{ }4 4 ( )c c n lR T mπ ⎤+ − Λ Λ ⎦ (34)

2 30 00

4R

Z r dr Rρ ρΓ = =∫

( ){ }2 2 2

0

c d

c d

R R R

n n n n p nR Rr r dr Z r dr r R r drρ ⎡ ⎤Γ = Λ + + Ξ + − Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( )( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( )

2 3 2 32 2 2 2

2 3 2 32 2 2 2

n n n d n n n n d n

n n n d n n n n d n

J J R Y Y R

I I R K K R

ρ α κ λ λκ κ β κ λ λκ κ

γ κ λ λκ κ δ κ λ λκ κ

⎡= − + −⎣

+ − + −

( ) ( )43 4 4n p n n c nR R ⎤+ Φ Ξ − Ψ + Φ Ψ + Λ ⎦ ( 1)n ≥ (35)

- 53 -

2 2

2 2dR R−

Φ = ，3 3

3 3dR R−

Φ = ，4 4

4 4dR R−

Φ = (36)

運動方程式(30)において，左辺の nlμ は液体の付加質量係数を， nlK は浮力変化に伴う静的復元

力係数を表す。(30)は空中構造物の非減衰運動方程式に液体との連成項 nlμ ， nlK が付加された形

の標準的な多自由度系運動方程式であり，適当な減衰（剛性比例型減衰あるいはレーリー型減衰

など）を考慮してこれを解くことは容易である。

4.2.5 解の最終表示

運動方程式(30)を解いてモード変位 ( )n tξ が得られれば，それらを(9)～(11)，(26)および(27)に代

入することによって浮屋根変位 w ，W ，ψ ， cψ ，速度ポテンシャルφ および動液圧 p の解が得ら

れる。

キルヒホッフの平板理論によれば，デッキ面の曲率とねじり率は

2

2rw

rκ ∂

=∂

，2

2 2

1 1w wr r rθκ

θ∂ ∂

= +∂ ∂

，θθ

κ θ ∂∂

−∂∂

∂=

wrr

wrr 2

2 11 (37)

で与えられる。(37)に(9)を代入すると，

2

21

( ) coslr n

n

d Zt

drκ ξ θ

∞

=

= ∑ ， 21

1 1( ) cosll l

l

dZt Z

r dr rθκ ξ θ∞

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

21

1 1( ) sinlr l l

l

dZt Z

r dr rθκ ξ θ∞

=

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (38)

となり，曲げモーメントとねじりモーメントは

( ), ( ),r r rm D m Dθ θ θκ νκ κ νκ= − + = − + (1 )r rm Dθ θν κ= − − (39)

により算定される。

また外周ポンツーンに生じる曲げモーメントとねじりモーメントは

( )21

( ) cosl l p lnp

EIM t RRθ ξ θ

∞

=

= Ξ − Ψ∑ ， ( )21

( ) sint l l p lnp

GJM t RR

ξ θ∞

=

= Ξ − Ψ∑ (40)

により算定される（前節付録参照）。

4.3 解析例

4.3.1 解析モデル

解析例として用いたモデル貯槽の諸元を表 1 に示す。これは前節で検討した実機 100,000kl タン

ク相当のモデルにセンターポンツーンを付加したもので，センターポンツーンの諸元も実機相当

のものを想定している。ここではこれを S-40CP モデル，比較のため検討したセンターポンツーン

のないモデルを S-40 モデル（前節の S-40 モデルと同じ）と呼称する。なお，表中のポンツーン

の有効断面係数の値は後に曲げ応力度の算定に用いるもので，これらは局部座屈の影響を考慮し

て圧縮側有効断面を低減した値である。

- 54 -

表 4-1 モデル貯槽の諸元 モデル記号 S-40 S-40CP貯槽半径 40 m 40 m液体深さ 20 m 20 m液体密度 850 kg/m3 850 kg/m3

テッキ部厚さ 4.5 mm 4.5 mm外周ポンツーン断面幅 5 m 5 m外周ポンツーン断面高さ 800 mm 800 mm外周ポンツーン上下単板有効厚 4.5 mm 4.5 mm外周ポンツーン内外リム厚 12 mm 12 mm外周ポンツーン有効断面係数 5717 mm3 5717 mm3

センターポンツーン半径 ‐ 5 mセンターポンツーン断面高さ ‐ 800 mmセンターポンツーン上下単板有効厚 ‐ 4.5 mmセンターポンツーン外リム厚 ‐ 12 mmデッキ部曲げ剛性 1.719 kN-m 1.719 kN-m外周ポンツーン曲げ剛性 1.671×106 kN-m2 1.671×106 kN-m2

外周ポンツーンねじり剛性 2.259×106 kN-m2 2.259×106 kN-m2

デッキ部質量（単位面積当り） 58 kg/m2 58 kg/m2

外周ポンツーン質量（単位長さ当り）

819 kg/m 819 kg/m

外周ポンツーン質量慣性モーメント（単位長さ当り） 2815 kg-m2/m 2815 kg-m2/m

センターポンツーン質量慣性モーメント

‐ 104,090 kg-m2

ポアッソン比 0.3 0.3減衰定数（自由液面モード） 0.001 0.001減衰定数（弾性モード） 0.005 0.005採用モード数（自由液面モード） 30 30採用モード数（弾性モード） 29 29

4.3.2 自由振動解析

自由振動方程式の固有値解析により得られた各モデルの固有周期（液体中）の解析結果を，自

由液面モードの固有周期と比較して，表 2 に示す。浮屋根の固有周期はセンターポンツーンの有

無によって影響されず，各次の固有周期は自由液面の固有周期にほぼ等しい。

表 4-2 固有周期（液体中）の比較 次数 自由液面 S-40モデル S-40CPモデル

1 10.97 s 11.00 s 11.00 s2 5.52 5.56 5.563 4.34 4.37 4.414 3.71 3.72 3.805 3.29 3.28 3.426 2.99 2.96 3.11

4.3.3 地震応答解析

入力地震動として 2003 年十勝沖地震の際に苫小牧 K-NET 観測点で観測された地震波

（HKD1290309260450EW）を採用し，時刻歴応答解析を行った。時刻歴応答解析には時間間隔を

- 55 -

図 4-4 応答のフーリエ振幅スペクトル (S-40CP モデル)

図 4-3 応答の時刻歴波形 (S-40CP モデル)

図 4-5 最大応答値のθ =0 に沿う分布 （S-40 CP モデルと S-40 モデルの比較）

- 56 -

0.01s，継続時間を 300s としてニューマークの β 法（平均加速度法，β =1/4）を採用した。また減

衰は剛性比例型とし，1 次モード（液体中）に対して表 1 に示す減衰定数を用いた。

外周ポンツーン外端における液面（屋根面）変位，浮屋根面動液圧，外周ポンツーンとの接続

部におけるデッキ部半径方向曲げひずみおよび外周ポンツーン周方向曲げひずみの時刻歴波形と

対応する フーリエ振幅スペクトルを，S-40CP モデルについて図 4-3，図 4-4 に示す。

フーリエ振幅スペクトルを見ると，外周ポンツーン周方向曲げひずみを除く全ての応答におい

て 1 次モード成分が卓越しているが，2 次モードの存在も無視できないことが分かる。特に曲げ

ひずみにおいてその傾向が著しく，外周ポンツーン周方向曲げひずみでは，2 次モードの寄与が

むしろ支配的である。

時刻歴波形を見ると，液面（屋根面）変位は地震動の主要動が去った後も減衰せず，1 次モー

ド主体の振動を長時間継続しているのに対して，動液圧や曲げひずみは地震動の主要動が作用し

ている間は高次モード成分を含んだ形の振動をし，主要動が去った後は液面変位と同周期の 1 次

モードの振動だけが残り，最大振幅は地震動の主要動が作用している間に生じている。

S-40CP モデル（センターポンツーンあり）と S-40 モデル（センターポンツーンなし）の液面

（屋根面）変位，動液圧および曲げひずみの最大応答値の 0θ = に沿う分布を比較して図 4-5 に示

す。

シングルデッキ型浮屋根の場合，浮屋根による拘束効果は極めて小さく，センターポンツーン

の有無にかかわらず，自由液面変位に近い変位分布性状を示している。センターポンツーンの影

響は，その直下の動液圧分布とそれに接続するデッキ端部の半径方向曲げひずみに顕著に現れて

いる。すなわち，動液圧分布は剛性の高いポンツーン部に集中している。デッキ部にはポンツー

ンとの接続部に鋼材の降伏点ひずみに達する大きな半径方向曲げひずみが発生しており，設計に

おいては十分な配慮が必要である。しかし，全体的な応答性状に及ぼすセンターポンツーンの影

響は小さい。

4.4 結語

センターポンツーン付シングルデッキ型浮屋根を有する大型円筒液体貯槽の地震時スロッシン

グ応答の解析解を，線形ポテンシャル理論に基づき導出した。さらに適用例として，実機 100,000kl

タンク相当のモデルに対する解析結果を示し，センターポンツーンの有無がスロッシング応答に

及ぼす影響について検討した。その結果，センターポンツーンの影響はその直下の動液圧分布と

それに接続するデッキ端部の半径方向曲げ応力度に顕著に現れるが，固有周期や全体的な応答性

状に及ぼす影響は小さいことが明らかにされた。

参考文献

[1] 松井徹哉：センターポンツーン付シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽の地震時ス

ロッシング応答，日本建築学会構造系論文集，第 615 号，pp.119-126，2007.5

[2] 犬井鉄郎：偏微分方程式とその応用，コロナ社，1957

[3] Y.C.ファン著（大橋義夫，村上澄男，神谷紀生訳）：固体の力学／理論，培風館，1980

- 57 -

付録：センターポンツーンの運動方程式

センターポンツーンを剛な円板と仮定すると，その運動方程式は図 4-6 より

( )2 2

0 0 0cos cos 0cR

c c r r c cT M V R R d pr rdrdπ π

ψ θ θ θ θ+ − − =∫ ∫ ∫ (A1)

で表される。ここに， rM と rV はデッキ端に作用するモーメント反力と鉛直反力であり，デッキ

の鉛直変位 wを用いて，それぞれ次式のように表される。

2 2

2 2 2

1 1

d

r

r R

w w wM Dr r r r

νθ

=

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(A2)

( )3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

1 1 32d

rr R

w w w w wV Dr r r r r r r

ννθ θ

=

⎡ ⎫ ⎤⎧∂ ∂ ∂ ∂ − ∂= − + − − − −⎢ ⎨ ⎬ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎩ ⎭ ⎦⎣

(A3)

(A2)，(A3)を(A1)に代入し整理すると，センターポンツーンの運動方程式が(6)のように書き表

される。

図 4-6 センターポンツーンの力の平衡図

- 58 -

5. 直交異方性浮屋根を有する円筒液体貯槽のスロッシング理論―FEM と解析解の結

合解法―[1]

5.1 序

前節までに，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根およびシングルデッキ型浮屋根を有する剛

な平底円筒液体貯槽を対象に，浮屋根と内部液体との連成作用を考慮した地震時スロッシング応

答の解析解を線形ポテンシャル理論に基づき導出した。本節では，実用的観点から，これをより

実際的な形状の浮屋根にも適用できるように拡張し，2003 年十勝沖地震でスロッシング被害が多

発したシングルデッキ型浮屋根の耐震補強対策の一つとして，リブ補強の効果を検討する。

リブ補強された浮屋根の弾性特性は一般に直交異方性となるため，浮屋根を等方弾性平板と仮

定した前節までの解析解をそのまま適用することはできない。多様な形状の浮屋根にも適用でき

るように，ここでは，浮屋根を FEM（有限要素法）によりモデル化し，その変位解の基底関数と

なる空中固有振動モードを固有振動解析により求めた後，液体－弾性体連成振動解析を解析的に

実行する結合解法を提案する。弾性体としての浮屋根と液体との連成振動問題に FEM を適用した

既往の研究としては，Sakai et al. [2]の先駆的研究があるが，本解法は FEM を空中固有振動解析に

のみ用いるので，既存の構造解析ソフトウェアを利用できるという実用上の利点がある。

5.2 FEM と解析解の結合解法

5.2.1 境界値問題

図 5-1 に示すような平底円筒液体貯槽の地震時液面動揺問題を扱う。貯槽は剛体であると仮定

し，その半径を R ，液体の深さを H とする。液面は浮屋根で覆われており，浮屋根と液面は常に

接触していると仮定する。貯槽底面の中心に原点をもつ円筒座標系 ( , , )r zθ を z 軸が鉛直上向きに

なるようにとる。内容液は理想流体で線形ポテンシャル理論が成立すると仮定すると， 0=θ の方

向に水平地動変位 )(txg を受けた場合の速度ポテンシャルφ の境界値問題は次のように記述される。

図 5-1 貯槽の形状と座標系

- 59 -

2 0φ∇ = 流体内で (1a)

( )cosgx trφ θ∂

=∂

側壁 Rr = で (1b)

0zφ∂

=∂

底面 0=z で (1c)

wzφ∂

=∂

液面 z H= で (1d)

ここに， w は浮屋根の鉛直変位を， ⋅は時間 t に関する微分を示す。

線形重ね合わせの原理が成り立つと仮定し，浮屋根の変位 w を空中固有振動モード ( )cosnZ r θ

の重ね合わせによって次式のように表現する。

0

( , , ) ( ) ( )cosN

n nn

w r t t Z rθ ξ θ=

= ∑ (2)

ここに， 0Z は剛体モード， ( 1)nZ n ≥ は弾性振動モードに対応し， ( )n tξ はモード変位， N は採用

モード数である。

浮屋根の運動方程式は，減衰項を無視すれば，次式で与えられる（減衰の扱いについては後に

議論する）。

2

0

( ) ( ) cosN

n n n nn

m t t Z pξ ω ξ θ=

⎡ ⎤+ =⎣ ⎦∑ (3)

ここに， m は浮屋根の単位面積当たりの質量， nω （ただし 0 0ω = ）は空中における固有円振動

数である。

浮屋根面に働く動液圧 p は，線形化されたベルヌーイ式により

z H

p gwtφρ ρ

=

∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (4)

で与えられる。ここに， ρ は流体密度， g は重力加速度である。

5.2.2 浮屋根の空中固有振動解析

浮屋根を FEM によりモデル化し固有振動解析を行って，空中における固有振動数と固有振動モ

ードを求める。この目的には FEM 解析に関する既往の成果が利用できる。ここでは，リブ補強さ

れた浮屋根を直交異方性平板と仮定し，曲げモーメント ,rM Mθ ，ねじりモーメント rM θ と変位 w の

関係および等価曲げ剛性 ,rD Dθ を次式により評価できるものとする[3]。

2 2

12 2 2

1 1r r

w w wM D Dr r r r θ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

， 2 2

12 2 2

1 1w w wM D Dr r r rθ θ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

2

2

1 1r r

w wM Dr r rθ θ θ θ

⎛ ⎞∂ ∂= − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(5)

等方弾性平板の場合，曲げおよびねじれ剛性は

- 60 -

3

12 , , (1 )12(1 )r r

EhD D D D D D Dθ θν νν

= = = = = −−

(6)

で与えられる。ここに， E はヤング係数，ν はポアッソン比， hは板厚を示す。

図 5-2 に示すようなリブ補強板では，等価曲げ剛性は

,r r rD EI B= ,D E I Bθ θ θ= 1 0D (7)

で与えられる。ここに， ,rB Bθ は半径 r および円周θ 方向のリブ間隔を， ,rI Iθ は 1 リブ間隔当た

りの有効断面（図 5-2 の射影部）の中立軸（図心を通る軸）に関する断面 2 次モーメントを示す。

なお，ねじり剛性 rD θ は ,rD Dθ と比べて十分小さいとして無視する。

シングルデッキ型浮屋根のデッキ板やポンツーンの上下単板，あるいはダブルデッキ型浮屋根

の上下単板の厚さは，通常 4.5mm 程度と極めて薄く，断面の終局モーメントに達する以前に，局

部座屈を起こして剛性や耐力が低下する可能性がある。その場合，全断面を有効と考えると（図

2a），曲げ剛性や曲げ強度を過大評価することになる。局部座屈の影響を考慮する便宜的な方法と

して，圧縮側断面の有効幅を低減する考え方（図 5-2b）がある[4]。ここでは，浮屋根面に作用す

る動液圧や曲げモーメントは剛性が増加するほど大きくなることに注意し，安全側の評価として，

曲げ剛性の算定には全断面を有効と仮定し，曲げ応力度の検定には，圧縮側断面の有効幅を低減

した有効断面係数を採用することとする。

5.2.3 浮屋根と液体との連成振動解析

連続方程式(1a)，側壁条件(1b)および底面条件(1c)を満たす速度ポテンシャルφ の解は次式で与

えられる。

( ) ( )11

( ) cos ( )cosh cosI

g i i ii

x t r A t z R J r Rφ θ ε ε θ=

= + ∑ (8)

ここに， 1J は 1 次の第 1 種ベッセル関数， iε は ( )1 iJ ε′ の零点， I は自由液面モードの採用項数で

図 5-2 リブ付断面の有効幅

(a)全断面有効

(b)局部座屈考慮

- 61 -

ある。

(2)，(8)を(1d)に代入すれば，液面の運動学的条件は

( ) ( )2

11 0

( ) cosh ( )I N

ii i i n n

i nA t H R J r R Z t

gε ε ξ

= =

Ω=∑ ∑ (9)

と表される。ここに， iΩ は次式で与えられる自由液面の i 次のスロッシング固有円振動数である。

( )tanhi i ig H RR

ε εΩ = (10)

(9)の両辺に ( ) ( )1 ir R J r Rε を掛け， 10 ≤=≤ uRr にわたって積分し，ベッセル関数の直交関係

[5]を利用すれば，未定関数 ( )iA t に対して

( ) ( )2 201

2 1 1( ) ( )1 cosh

N

i in nni i i i

gA t a tH R J

ξε ε ε =

=− Ω ∑ ( 1, 2, , )i I= (11)

を得る。ここに

( )2 1

101

( )iin n i

i

a Z J u uduJ

εε

ε= ∫ (12)

で， nZ は FEM による固有振動解析より得られた浮屋根の空中固有振動モードである。通常，FEM

では離散点（節点）でのモード値が得られるだけなので，要素内の nZ の値を内挿関数（変位関数）

によって補間し（付録参照），要素ごとの数値積分により(12)の積分を評価することになる。

(11)を(8)に代入すれば，速度ポテンシャルφ の解は

( )( )

( )( )

12 2

1 01

cosh2( ) cos ( )cos1 cosh

I Ni i

g in ni ni i i i

z R J r Rgx t r a tH R J

ε εφ θ ξ θ

ε ε ε= =

= +Ω −∑ ∑ (13)

で表される。

また(4)に(2)，(13)を代入すれば，浮屋根面に作用する動液圧 p は

( )( )

12 2

1 0 01

2( ) ( ) ( ) cos1

I Ni

g in n n ni n nii i

J r Rgp x t r a t g Z tJε

ρ ξ ξ θεε

∞

= = =

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

Ω −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ (14)

で与えられる。

(14)を(3)に代入すれば，浮屋根の運動方程式は

{ }2

0( ) ( )

N

n n n nn

m Z t tξ ω ξ=

+∑ ( )( )

12 2

1 0 01

2( ) ( ) ( )1

I N Ni

g in n n ni n ni i i

J r R gx t r a t g Z tJε

ρ ξ ξε ε= = =

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

− Ω⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ (15)

と表される。(15)の両辺に nrZ を掛け 0 r R≤ ≤ にわたって積分し，さらにモードの直交性を利用し

て整理すれば，モード変位 ( )n tξ を定める運動方程式として

( ) ( )2

0

ˆ ˆ( ) ( ) ( )N

nl n nl l nl n n nl l n gl

M t M K t x tδ μ ξ δ ω ξ γ=

⎡ ⎤+ + + = −⎣ ⎦∑ ( 0,1, , )n N= (16)

- 62 -

を得る。ここに， nlδ はクロネッカ記号を示し，

2

0ˆ R

n nM mZ rdr= ∫ (17)

( )2

2 2 21

21

N

nl in ili i i i

gR a aμ ρε ε=

=Ω −

∑ (18)

0

R

nl n lK g Z Z rdrρ= ∫ (19)

2

0

R

n nZ r drγ ρ= ∫ (20)

である。積分は(12)と同様に，要素ごとの数値積分により評価される。

運動方程式(16)において， ˆnM はモード有効質量を， nlμ は液体の付加質量係数を， nlK は浮力変

化に伴う静的復元力係数を， nγ は刺激係数をそれぞれ表す。(16)は空中構造物の非減衰運動方程

式に液体との連成項 nlμ ， nlK が付加された形の標準的な多自由度系運動方程式であり，適当な減

衰（剛性比例型減衰あるいはレーリー型減衰など）を考慮してこれを解くことは容易である。

(16)を解いてモード変位 ( )n tξ が得られれば，それらを(2)，(13)および(14)に代入することによっ

て浮屋根変位 w ，速度ポテンシャルφ および動液圧 p の解が得られる。

浮屋根の曲げモーメント ,rM Mθ およびねじりモーメント rM θ の解は，(2)を(5)に代入して，次

式で与えられる。

2

12 21

2

12 21

21

1( ) cos

1( ) cos

1( ) sin

n n nr n r

n

n n nn

n

n nr n r

n

d Z dZ ZM t D D

dr r dr r

dZ Z d ZM t D D

r dr r dr

dZ ZM t D

r dr r

θ θ

θ θ

ξ θ

ξ θ

ξ θ

∞

=

∞

=

∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

∑

(21)

この算定は FEM 解析における標準的な手続きに従えばよい（付録参照）。

以上の解法の流れをまとめると，次のようになる。

1. 浮屋根を FEM によりモデル化する。

2. 固有振動解析を行い，空中における固有円振動数 nω と固有振動モード nZ の節点値を求める。

3. 運動方程式の係数 , , ,n nl nl nM Kμ γ を要素ごとの数値積分により求める〔(17)~(20)および(12)

参照〕。

4. 運動方程式(16)を解いて，モード変位 ( )n tξ の時刻歴応答を求める。

5. (2)，(14)，(21)にモード変位 ( )n tξ ，モード加速度 ( )n tξ を代入して，浮屋根変位 w，圧力 p ，

曲げモーメント ,rM Mθ およびねじりモーメント rM θ などの物理量の応答を求める。

5.3 解析例

5.3.1 解析モデル

FEM－解析解結合解法の妥当性の検証と補強効果の検討を目的として，数値解析を行った。解

析例として用いたモデル貯槽の諸元を表 5-1，表 5-2 に，浮屋根モデルの概略図を図 5-3 に示す。

- 63 -

これらは実機 100,000kl タンクを想定したモデルで，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根モデル

を U-40 モデル，外周と中心部にポンツーンを有するシングルデッキ型浮屋根モデルを S-40CP モ

デルと呼称する。さらに S-40CP モデルのデッキ部に図 5-4 に示すような T 型リブ補強を行ったモ

デル（ポンツーンあり）を T-40 モデル，これと同じリブ配置のダブルデッキ型浮屋根モデル（ポ

ンツーンなし）を D-40 モデルと呼称する。

表 5-1 モデル貯槽の諸元（U-40 モデル） 貯槽半径 40 m液体深さ 20 m液体密度 850 kg/m3

テッキ部厚さ 80 cmデッキ部曲げ剛性 3.223×105 kN-mデッキ部質量（単位面積当り） 120 kg/m2

ヤング係数 206 Gpaポアッソン比 0.3降伏応力度 235 MPa

表 5-2 モデル貯槽の諸元（S-40CP モデル） 貯槽半径 40 m液体深さ 20 m液体密度 850 kg/m3

テッキ部厚さ 4.5 mm外周ポンツーン断面幅 5 m外周ポンツーン断面高さ 80 cm外周ポンツーン上下単板有効厚 4.5 mm外周ポンツーン内外リム厚 12 mm外周ポンツーン有効断面係数 5717 mm3

センターポンツーン半径 5 mセンターポンツーン断面高さ 80 cmセンターポンツーン上下単板有効厚

4.5 mm

センターポンツーン外リム厚 12 mmセンターポンツーン有効断面係数

5717 mm3

デッキ部曲げ剛性 1.719 kN-m外周ポンツーン曲げ剛性 1.671×106 kN-m2

外周ポンツーンねじり剛性 2.259×106 kN-m2

デッキ部質量（単位面積当り） 58 kg/m2

外周ポンツーン質量（単位長さ当り）

819 kg/m

外周ポンツーン質量慣性モーメント（単位長さ当り）

2815 kg-m2/m

センターポンツーン質量慣性モーメント

104090 kg-m2

ヤング係数 206 Gpaポアッソン比 0.3降伏応力度 235 Mpa

図 5-3 浮屋根モデルの概略図

図 5-4 補強の詳細（単位 mm）

- 64 -

表 5-3 要素分割数と採用モード数

自由液面モード 弾性モードU-40 8, 12 6 5

S-40CP 40#1, 46#2 40 39T-40 8 6 5D-40 8 6 5

採用モード数モデル記号

半径方向要素分割数

#1 40 均等分割 #2 40 均等分割した後，外周およびセンターポンツーンに

隣接するデッキ部の要素のみさらに 4 均等分割，計 46分割

FEM による浮屋根のモデル化には，形状の軸対称性を考慮したリング平板要素を使用し，θ 方

向に cosθ 展開， r 方向に 3 次多項式の変位関数を仮定した（付録参照）。各要素上の数値積分には

ガウスの 3 点公式を用いた。解析に用いた要素分割数と採用モード数を表 5-3 に示す。S-40CP モ

デルの場合，デッキ部とポンツーン部とで剛性が極端に異なることから，後述のように，内部デ

ッキと外周ポンツーンおよびセンターポンツーンとの接続部近傍で圧力やデッキ端部の曲げ応力

度が急激に変化し，収束解を得るのに必要な要素分割数と採用モード数は，剛性の変化が比較的

緩やかな U-40 モデルや T-40 モデル，D-40 モデルに比べて著しく増加している。

入力地震動として 2003 年十勝沖地震の際に苫小牧 K-NET 観測点で観測された地震波

（HKD1290309260450EW）を採用し，時刻歴応答解析を行った。時刻歴応答解析には時間間隔を

0.01s，継続時間を 163.84s としてニューマークの β 法（平均加速度法 β =1/4）を適用した。減衰

は剛性比例型とし，1 次モード（液体中）に対して 0.5%（S-40CP モデル）および 1.0%（U-40 モ

デル，T-40 モデル，D-40 モデル）の減衰定数を用いた。

5.3.2 解析解との比較による妥当性の検証

FEM－解析解結合解法の妥当性を検証するために，すでに解析解が得られている U-40 モデルと

S-40CP モデルについて，結合解と解析解の比較を行った。固有周期の比較を図 5-5 に，浮屋根変

位 w ，動液圧 p ，半径方向および周方向最外縁曲げ応力度（曲げモーメント ,rM Mθ を有効断面係

数で除して算定）の最大応答値の 0θ = に沿う分布（各点の時刻歴応答の最大値を包絡した曲線）

の比較を図 5-6，図 5-7 に示す。なお，U-40 モデルおよび S-40CP モデルのデッキ部の曲げ応力度

図 5-5 固有周期―FEM と解析解の比較―

- 65 -

図 5-6 最大応答値の 0θ = に沿う分布（U-40 モデル）―解析解との比較―

図 5-7 最大応答値の 0θ = に沿う分布（S-40CP モデル）―解析解との比較―

- 66 -

の算定には全断面が有効と仮定し（図 5-2a），S-40CP モデルのポンツーン部の曲げ応力度の算定

には，局部座屈の影響を考慮して圧縮側断面の有効幅を低減した有効断面係数（図 5-2b）を用い

ている。外周ポンツーンおよびセンターポンツーンとの接続部近傍で急激に変化する S-40CP モデ

ルのデッキ端部の曲げ応力度やポンツーン直下の動液圧に若干の不一致が見られるものの，両者

は良く一致しており，本結合解法の妥当性を確認することができる。なお，センターポンツーン

直下の動液圧の不一致は，結合解ではセンターポンツーンを弾性板と仮定しているのに対して，

解析解ではセンターポンツーンを剛体と仮定しているためと考えられたが，センターポンツーン

の剛性を 100 倍にして計算しても値が変わらなかったことから，この不一致は離散化誤差が原因

であると判断される。

5.3.3 補強効果の検討例

補強効果の検討例として，シングルデッキ型浮屋根 S-40CP モデルとこれに T 型リブ補強を行

った T-40 モデルおよびこれと同じリブ配置のダブルデッキ型浮屋根 D-40 モデルについて，解析

結果の比較を行った。固有周期（液体中）の比較を図 5-8 に，浮屋根変位 w ， 動液圧 p ，半径方

向および周方向最外縁曲げ応力度の最大応答値の 0θ = に沿う分布の比較を図 9 に示す。なお，

S-40CP モデルについては解析解を示す。また S-40CP モデルのポンツーン部および T-40 モデル，

D-40 モデルの曲げ応力度の算定には，局部座屈の影響を考慮して圧縮側断面の有効幅を低減した

有効断面係数（図 2b）を用いている。

図 5-8 を見ると，S-40CP モデルの固有周期は各モードともに自由液面の場合とほとんど変わら

ないが，T-40 モデルや D-40 モデルでは，2 次より高次の固有周期が自由液面や S-40CP モデルに

比べてかなり短くなっている。図 9 の最大応答値の分布はこの結果を反映したものとなっている。

すなわち，S-40CP モデルの屋根面変位は自由液面変位と大差はないが，T-40 モデルや D-40 モデ

ルでは，高次モードの寄与が相対的に小さくなり，1 次モード主体の剛体的な変位分布性状を示

すとともに，1983 年日本海中部地震や 2003 年十勝沖地震で多発したポンツーン座屈の誘因と見ら

れているデッキ部の過大変形やポンツーンとの接続部で急激に増加するデッキ端部の過大曲げ応

力度が補強によって抑制されていることが分かる。しかし，補強による剛性の増加に伴って，浮

屋根面に働く動液圧や曲げ応力度はシングルデッキの場合よりも増加する傾向にあるので，補強

設計に当たっては応力度が許容応力度以下にとどまっていることの確認が重要になる。

図 5-8 固有周期―補強効果の検討―

- 67 -

曲げ応力度の値は有効断面係数の採り方に依存する。特にダブルデッキの場合，圧縮側と引張

側とで有効断面幅が著しく異なるために，中立軸が引張側に偏りやすく，有効断面係数はリブ間

隔や中間補剛材の間隔に敏感に反応する。本解析例の場合，半径方向に比べて周方向のリブ間隔

が広いため，D-40 モデルの周方向の有効断面係数は T-40 モデルよりもかなり小さくなっている。

半径方向曲げ応力度では D-40 モデルと T-40 モデルの間に有意な差がないのに，周方向曲げ応力

度では D-40 モデルが T-40 モデルに比べて大きくなっているのはそのためである。いずれにして

も，補強に当たっては，曲げ応力度を正確に予測するとともに，リブ補剛材や中間補剛材を適切

に配置して，応力度が許容応力度を超えないように断面設計することが望まれる。

5.4 結語

浮屋根式円筒液体貯槽のスロッシング解析法として，浮屋根を FEM（有限要素法）によりモデ

ル化し，その変位解の基底関数となる空中固有振動モードを固有振動解析により求めた後，液体

－弾性体連成振動解析を線形ポテンシャル理論に基づき解析的に実行する結合解法を提案した。

さらにリブ補強された浮屋根にそれを適用し，補強の効果を検討した。本解法は 2003 年十勝沖地

震で問題提起された既存貯槽浮屋根の耐震補強法の検討や新しい貯槽浮屋根の設計に貴重な手段

を提供するものとなろう。

図 5-9 最大応答値の 0θ = に沿う分布―補強効果の検討―

- 68 -

参考文献

[1] 松井徹哉：センターポンツーン付シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽の地震時ス

ロッシング応答，日本建築学会構造系論文集，第 615 号，pp.119-126，2007.5

[2] F. Sakai, M. Nishimura and H. Ogawa: Sloshing Behavior of Floating-Roof Oil Storage Tanks,

Computers and Structures, Vol.19, No.1-2, pp.183-192, 1984

[3] S.P. Timoshenko and P. Woinowsky-Krieger: Theory of Plates and Shells, 2nd ed., McGraw-Hill,

1959

[4] 日本建築学会：鋼構造設計規準―許容応力度設計法―，2005.9

[5] 犬井鉄郎：偏微分方程式とその応用，コロナ社，1957

付録：浮屋根のリング平板要素によるモデル化

浮屋根を図 5-10 に示すように有限個のリング平板要素に分割する。 j 番目の要素の両端の節円

を j ， 1j + とし，それぞれの半径を jr ， 1jr + とする。

FEM 固有振動解析により得られた節円 j のモード値を cosjnZ θ ，その r 方向の勾配を cosjnβ θ と

すると，要素 j 内の任意点のモード値 ( )nZ r は，内挿関数 [ ]L を用いて，次のように表される。

[ ]{ }( ( )) ( )n jZ r Lη η ς= (A1)

ここに

{ } T

, 1 , 1j nj nj n j n jZ Zς β β+ +⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (A2)

[ ] ( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 3( ) 1 3 2 2 3 2L η η η η η η η η η η⎡ ⎤= − + Δ − + − −Δ −⎣ ⎦ (A3)

1 1( ) (1 ) (0 1),j j j jr r r r rη η η η+ += − + ≤ ≤ Δ = − (A4)

(A1)を(2)，(21)に代入すると，要素 j 内の任意点の浮屋根変位および曲げモーメント，ねじりモ

ーメントがそれぞれ次のように表される。

図 5-10 浮屋根のリング平板要素によるモデル化

- 69 -

[ ]{ }0

cos , ( )N

n jn

w w w t Lθ ξ ς=

= = ∑ (A5)

[ ][ ]{ }0

coscos , ( )sin

r r r N

n jn

r r r

M M MM M M t D BM M M

θ θ θ

θ θ θ

θθ ξ ςθ =

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∑ (A6)

ここに

[ ]B =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2

2 2 2 2

2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2

6 12 4 6 6 12 2 6

6 6 ( ) 1 4 3 6 6 ( ) 2 3

1 3 2 2 3 2

2 6 6 ( ) 2 1 4 3 2 6 6 ( ) 2 2 3

2 1 3 2 2 2 2 3 2 2

r r r r

r r r r

r r r r

r r r r

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

⎡ − Δ − Δ − + Δ − Δ⎢

− Δ − + − − + Δ −

+ − + +Δ − + + − +Δ − +

− + Δ − + − Δ − +

− − + − Δ − + − − − Δ − +⎣

⎤⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

(A7)

[ ]1

1

00

0 0

r

r

D DD D D

Dθ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(A8)

- 70 -

6. 応答スペクトル法による円筒液体貯槽浮屋根のスロッシング応答予測[1]

6.1 序

前節までに，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根およびシングルデッキ型浮屋根を有する剛

な平底円筒液体貯槽を対象に，浮屋根と内部液体との連成作用を考慮した地震時スロッシング応

答の解析解を線形ポテンシャル理論に基づき導出し，さらに FEM（有限要素法）と解析解の結合

解法を提案して，多様な形状の浮屋根にも適用できるように拡張を図ってきた。しかし，それら

は時刻歴応答解析を行うことを前提としており，特定の入力地震動に対する応答を予測するには

適しているが，入力地震動の特性に左右されない普遍的な応答性状の把握や設計用応答スペクト

ルを用いた最大応答値の予測には応答スペクトル法の適用が便利である。

本節では，応答スペクトル法による円筒液体貯槽浮屋根の地震時スロッシング応答の予測を目

的として，前節までの成果を発展させる。周知のように，応答スペクトルによるモーダル・アナ

リシスを行うには，液体－浮屋根連成系の応答を直交モードに展開し運動方程式を対角化してお

く必要があるが，前節までは浮屋根変位の基底関数として空中固有振動モードを用いていたため，

液体－浮屋根連成系の運動方程式はモードごとに独立した式にはなっていない。本節では，空中

固有振動モードを用いて表現された液体－浮屋根連成系の応答を液中固有振動モードに展開する

方法を論じ，対角化された液体－浮屋根連成系の運動方程式を導く。さらに，応答スペクトルに

よるモーダル・アナリシスの手法を適用して最大応答値の予測を行い，時刻歴応答解析との比較

によりその妥当性を検証する。

6.2 境界値問題

図 6-1 に示すような平底円筒液体貯槽の地震時液面動揺問題を扱う。貯槽は剛体であると仮定

し，その半径を R ，液体の深さを H とする。液面は浮屋根で覆われており，浮屋根と液面は常に

接触していると仮定する。貯槽底面の中心に原点をもつ円筒座標系 ( , , )r zθ を z 軸が鉛直上向きに

図 6-1 貯槽の形状と座標系

- 71 -

なるようにとる。内容液は理想流体で線形ポテンシャル理論が成立すると仮定すると， 0θ = の方

向に水平地動変位 ( )gx t を受けた場合の速度ポテンシャルφ の境界値問題は次のように記述され

る。

2 0φ∇ = 流体内で (1a)

( )cosgx trφ θ∂

=∂

側壁 Rr = で (1b)

0zφ∂

=∂

底面 0=z で (1c)

wzφ∂

=∂

液面 z H= で (1d)

ここに， w は浮屋根の鉛直変位を， ⋅は時間 t に関する微分を示す。

線形重ね合わせの原理が成り立つと仮定し，浮屋根の変位 w を空中固有振動モード ( )cosnZ r θ の

重ね合わせによって次式のように表現する。

0

( , , ) ( ) ( )cosN

n nn

w r t t Z rθ ξ θ=

= ∑ (2)

ここに， 0Z は剛体モード， ( 1)nZ n ≥ は弾性振動モードに対応し， ( )n tξ はモード変位， N は採用

モード数である。

浮屋根の運動方程式は，減衰項を無視すれば，次式で与えられる。

2

0

( ) ( ) cosN

n n n nn

m t t Z pξ ω ξ θ=

⎡ ⎤+ =⎣ ⎦∑ (3)

ここに，m は浮屋根の単位面積当たりの質量， nω は空中における固有円振動数（ただし 0 0ω = ）

である。

浮屋根面に働く動液圧 p は，線形化されたベルヌーイ式により

z H

p gwtφρ ρ

=

∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (4)

で与えられる。ここに， ρ は流体密度， g は重力加速度である。

浮屋根を直交異方性平板と仮定すれば，曲げモーメント ,rM Mθ ，ねじりモーメント rM θ と変位

w の関係は次式によって与えられる[2]。 2 2

12 2 2

1 1r r

w w wM D Dr r r r θ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

，

2 2

12 2 2

1 1w w wM D Dr r r rθ θ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

2

2

1 1r r

w wM Dr r rθ θ θ θ

⎛ ⎞∂ ∂= − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(5)

ここに， ,rD ,Dθ 1D は曲げ剛性を， rD θ はねじり剛性を示す。(5)に(2)を代入すれば，次式が得ら

れる。

- 72 -

2

12 21

2

12 21

21

1( ) cos

1( ) cos

1( ) sin

n n nr n r

n

n n nn

n

n nr n r

n

d Z dZ ZM t D D

dr r dr r

dZ Z d ZM t D D

r dr r dr

dZ ZM t D

r dr r

θ θ

θ θ

ξ θ

ξ θ

ξ θ

∞

=

∞

=

∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

∑

(6)

6.3 空中固有モード展開に基づく浮屋根－液体連成振動解析

連続方程式(1a)，側壁条件(1b) ，底面条件(1c)および自由表面の運動学的条件(1d)を満たす速度

ポテンシャルφ の解は次式で与えられる（誘導の詳細については，前節までを参照）。

( ) cosgx t rφ θ=( )( )

( )( )

12 2

1 01

cosh2 ( )cos1 cosh

I Ni i

in ni ni i i i

z R J r Rg a tH R J

ε εξ θ

ε ε ε= =

+Ω −∑ ∑ (7)

ここに

( )2 1

101

( )iin n i

i

a Z J u uduJ

εε

ε= ∫ (8)

で， 1J は 1 次の第 1 種ベッセル関数， iε は ( )1 iJ ε′ の零点， I は自由液面モードの採用項数， iΩ は

次式で与えられる自由液面の i 次のスロッシング固有円振動数である。

( )tanhi i ig H RR

ε εΩ = (9)

(2)，(7)を(4)に代入し，さらに (3)に代入すれば，浮屋根の運動方程式は

{ }2

0

( ) ( )N

n n n nn

m Z t tξ ω ξ=

+∑ ( )( )

12 2

1 0 01

2( ) ( ) ( )1

I N Ni

g in n n ni n nii i

J r R gx t r a t g Z tJε

ρ ξ ξεε= = =

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

− Ω⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ (10)

と表される。(10)の両辺に nrZ を掛け 0 r R≤ ≤ にわたって積分し，さらにモードの直交性を利用し

て整理すれば，モード変位 ( )n tξ を定める運動方程式として

( ) ( )2

0

( ) ( ) ( )N

nl n nl l nl n n nl l n gl

M t M K t x tδ μ ξ δ ω ξ γ=

⎡ ⎤+ + + = −⎣ ⎦∑ ( 0,1, , )n N= (11)

を得る。ここに， nlδ はクロネッカ記号を示し，

2

0

R

n nM mZ rdr= ∫ (12)

( )2

2 2 21

21

N

nl in ili i i i

gR a aμ ρε ε=

=Ω −

∑ (13)

0

R

nl n lK g Z Z rdrρ= ∫ (14)

2

0

R

n nZ r drγ ρ= ∫ (15)

- 73 -

である。(8)，(12)，(14)および(15)の積分は解析的にあるいは数値積分により評価される（詳細に

ついては，前節までを参照）。

運動方程式(11)において， nM はモード有効質量を， nlμ は液体の付加質量係数を， nlK は浮力変

化に伴う静的復元力係数を， nγ は刺激係数をそれぞれ表す。(11)は空中構造物の非減衰運動方程

式に液体との連成項 nlμ ， nlK が付加された形の標準的な多自由度系運動方程式であり，適当な減

衰（剛性比例型減衰あるいはレーリー型減衰など）を考慮してこれを解くことは容易である。

(11)を解いてモード変位 ( )n tξ が得られれば，それらを(2)および(6)に代入することによって浮屋

根変位 w および曲げモーメント rM ， Mθ ，ねじりモーメント rM θ などの物理量の解が得られる。

6.4 液中固有モード展開に基づく浮屋根－液体連成振動解析

前小節では，浮屋根の変位を空中固有振動モードに展開したため，運動方程式(11)は通常のモー

ド分解法のようにモードごとに独立した式になっていない。特定の入力地震動に対して時刻歴応

答解析を行って応答を求めるのであれば，これで十分であるが，応答スペクトル法を適用するに

は，液中固有振動モードに展開して対角化された運動方程式を導いておく必要がある。

(11)はモード変位 ( )n tξ を未知量とするものの，物理変位を未知量とする一般的な多自由度系運

動方程式と式の形が同じであり，質量・剛性マトリックスも対称であることから，通常のモード

分解法におけると同様に， ( )n tξ を固有モード（直交関数系）に展開すれば，これを対角化するこ

とができる。

(11)の右辺を 0とおいた自由振動方程式を解いて得られる液中における j 次固有円振動数を ˆ jω ，

対応する固有モードを jnΛ とする。ここで， jnΛ が一般固有値問題

( ) ( )2 2

0

ˆ 0N

nl n nl j nl n n nl jll

M M Kδ μ ω δ ω=

⎡ ⎤− + + + Λ =⎣ ⎦∑ ( 0,1, , )n N= (16)

の解であることに注意すれば，質量・剛性マトリックスの対称性により，次のモードの直交性が

成立することは明らかである。

( )0 0

0ˆ ˆ

N N

jn nl n nl kln l j j

j kM

M j kδ μ

μ= =

≠⎧⎪Λ + Λ = ⎨+ =⎪⎩

∑∑ (17)

( )22

0 0

0ˆˆ ˆ( )

N N

jn nl n n nl kln l j j j

j kM K

M j kδ ω

ω μ= =

≠⎧⎪Λ + Λ = ⎨+ =⎪⎩

∑∑ (18)

ここに

0

ˆN

j jn n jnn

M M=

= Λ Λ∑ (19)

0 0

ˆN N

j jn nl jln l

μ μ= =

= Λ Λ∑∑ (20)

は液中固有振動モードに対応するモード質量およびモード付加質量である。この証明については，

大抵の振動学の教科書[3]に詳述されているので，ここでは割愛する。

- 74 -

ここからの手順は通常のモード分解法の場合と全く同様である。まず，空中固有振動モードに

対応するモード変位 ( )n tξ を固有モード jnΛ の重ね合わせによって，次式のように表す。

1

( ) ( )J

n jn jj

t tξ ζ=

= Λ∑ (21)

ここに， ( )j tζ は液中固有振動モードに対応するモード変位， ( )J N≤ は採用モード数である。

(21)を(11)に代入し， jnΛ を前から乗じて nに関して総和をとり，さらにモードの直交性 (17)，

(18)を利用すれば，(11)は次のような J 個の対角化された式に帰着される。

2ˆ ˆ( ) ( ) ( )j j j j gt t x tζ ω ζ γ+ = − ( 1, 2, , )j J= (22)

ここに

0

1ˆˆ ˆ

N

j jn nnj jM

γ γμ =

= Λ+

∑ (23)

は刺激係数である。

減衰項を付加すれば，(22)は次のように書き換えられる。

2ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) ( ) ( )j j j j j j j gt h t t x tζ ω ζ ω ζ γ+ + = − ( 1, 2, , )j J= (24)

ここに， ˆjh は j 次のモード減衰定数を示す。

(24)を解いてモード変位 ( )j tζ が得られれば，それらを(21)に代入し，さらに(2)および(6)に代入

することによって，浮屋根変位 w および曲げモーメント rM ， Mθ ，ねじりモーメント rM θ などの

物理量の解が次のように表記される。

1

ˆ( , , ) ( ) ( )cosJ

j jj

w r t t Z rθ ζ θ=

= ∑ (25)

2

12 21

2

12 21

21

ˆ ˆ ˆ1( ) cos

ˆ ˆ ˆ1( ) cos

ˆ ˆ1( ) sin

Jj j j

r j rj

Jj j j

jj

Jj j

r j rj

d Z dZ ZM t D D

dr r dr r

dZ Z d ZM t D D

r dr r dr

dZ ZM t D

r dr r

θ θ

θ θ

ζ θ

ζ θ

ζ θ

=

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − + −

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − − +

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

∑

(26)

ここに

0

ˆ ( ) ( )N

j jn nn

Z r Z r=

= Λ∑ (27)

で， ˆ ( )cosjZ r θ が液中固有振動モードに対応する。

- 75 -

6.5 応答スペクトルによるモーダル・アナリシス

運動方程式(24)はモードごとに独立した式になっているので，応答スペクトルによるモーダル・

アナリシスが可能となる。すなわち，応答スペクトルを用いて各次モードの最大応答値を求め，

それらを重ね合わせることにより全応答の最大値を予測することができる。

浮屋根変位 w および曲げモーメント rM ， Mθ ，ねじりモーメント rM θ の j 次モードの最大応答

値は，入力地震動の応答スペクトルを用いて，それぞれ次式のように表される。

ˆˆ ˆˆ( ) cos ( , )j j j D j jw Z S T hγ θ= ⋅ (28)

2

12 2

ˆ ˆ ˆ1 ˆˆˆ( ) cos ( , )j j jr j j r D j j

d Z dZ ZM D D S T h

dr r dr rγ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + − ⋅

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2

12 2

ˆ ˆ ˆ1 ˆˆˆ( ) cos ( , )j j jj j D j j

dZ Z d ZM D D S T h

r dr r drθ θγ θ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − + ⋅

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (29)

2

ˆ ˆ1 ˆˆˆ( ) sin ( , )j jr j j r D j j

dZ ZM D S T h

r dr rθ θγ θ⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

ここに， ( , )DS T h は固有周期T ，減衰定数 hの関数として与えられた入力地震動の変位応答スペク

トルであり， ˆ ˆ2j jT π ω= は j 次の固有周期（液中）である。

最大モード応答値の重ね合わせ法には，2 乗和平方根法（SRSS 法）と固有振動数が近接する場

合にも適用できる完全 2 次結合法（CQC 法）[4]がある。たとえば，浮屋根変位 w の全応答の最大

値の推定値は，SRSS 法によれば

2max

1| ( )

J

jj

w w=

= ∑ (30)

また CQC 法によれば

max1 1

| ( ) ( )J J

jk j kj k

w c w w= =

= ∑∑ (31)

によって評価できる。ここに

3 2

2 2 2 2 2 2

8 ( )(1 ) 4 (1 ) 4( )

j k j jk k jkjk

jk j k jk jk j k jk

h h h hc

h h h hβ β

β β β β

+=

− + + + + (32)

はモード間の相関係数を表し， ˆ ˆjk j kβ ω ω= である。曲げモーメント，ねじりモーメントの最大値

についても同様に表記される。

6.6 解析例および考察

応答スペクトル法の妥当性を検証するために，時刻歴応答解析との比較を行った。解析例とし

て用いたモデル貯槽の諸元を表 6-1，表 6-2 に示す。これらは実機 40,000kl タンクおよび 100,000kl

タンクを想定したモデルで，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根モデル（ダブルデッキ型浮屋

- 76 -

表 6-1 モデル貯槽の諸元（等方性浮屋根） モデル記号 U-25 U-40貯槽半径 25 m 40 m液体深さ 15 m 20 m液体密度 850 kg/m3 850 kg/m3

デッキ総厚 700 mm 800 mmデッキ有効断面係数 1050 mm3 1200 mm3

デッキ曲げ剛性 2.464×105 kN-m 3.223×105 kN-mデッキ質量 120 kg/m2 120 kg/m2

ポアッソン比 0.3 0.3減衰定数 1.0% 1.0%

表 6-2 モデル貯槽の諸元（シングルデッキ型浮屋根）

モデル記号 S-25 S-40貯槽半径 25 m 40 m液体深さ 15 m 20 m液体密度 850 kg/m3 850 kg/m3

テッキ厚さ 4.5 mm 4.5 mmポンツーン断面幅 3 m 5 mポンツーン断面高さ 700 mm 800 mmポンツーン上下単板厚 4.5 mm 4.5 mmポンツーン内外リム厚 12 mm 12 mmポンツーン有効断面係数 3930 mm3 5717 mm3

デッキ曲げ剛性 1.719 kN-m 1.719 kN-mポンツーン曲げ剛性 0.809×106 kN-m2 1.671×106 kN-m2

ポンツーンねじり剛性 1.036×106 kN-m2 2.259×106 kN-m2

デッキ部質量 58 kg/m2 58 kg/m2

ポンツーン質量 558 kg/m 819 kg/mポンツーン質量慣性モーメント

783 kg-m 2815 kg-m

ポアッソン比 0.3 0.3減衰定数 0.5% 0.5%

根を近似）を U-25 モデル，U-40 モデル，外周にポンツーンを有するシングルデッキ型浮屋根モ

デルを S-25 モデル, S-40 モデルと呼称する。

入力地震動として 2003 年十勝沖地震の際に苫小牧 K-NET 観測点で観測された地震波

（HKD1290309260450EW）を採用した。その加速度時刻歴波形と速度応答スペクトル（0.5%減衰

時）を図 6-2 に示す。時刻歴応答解析には時間間隔を 0.01s，継続時間を 300s としてニューマーク

の β 法（平均加速度法 β =1/4）を採用した。減衰は剛性比例型とし，1 次モード（液中）に対して

図 6-2 入力地震動の加速度時刻歴波形と速度応答スペクトル

- 77 -

図 6-3 採用モード数と最大応答値の関係（U-25 モデル） (a)屋根面変位 ( )r R= ，(b)半径方向曲げ応力度 ( 0.4 )r R= ，(c)周方向曲げ応力度 ( 0.4 )r R=

図 6-4 採用モード数と最大応答値の関係（U-40 モデル） (a)屋根面変位 ( )r R= ，(b)半径方向曲げ応力度 ( 0.4 )r R= ，(c)周方向曲げ応力度 ( 0.4 )r R=

図 6-5 採用モード数と最大応答値の関係（S-25 モデル） (a)屋根面変位 ( )r R= ，(b)デッキ外端部半径方向曲げ応力度，(c)ポンツーン周方向曲げ応力度

図 6-6 採用モード数と最大応答値の関係（S-40 モデル） (a)屋根面変位 ( )r R= ，(b)デッキ外端部半径方向曲げ応力度，(c)ポンツーン周方向曲げ応力度

- 78 -

1.0%（U-25/U-40 モデル）および 0.5%（S-25/S-40 モデル）の減衰定数を用いた。

応答スペクトル法の収束性を検討するために，採用モード数を順次変化させた場合の応答スペ

クトル法（SRSS 法および CQC 法）による屋根面変位および曲げ応力度の最大応答予測値を，図

6-3～図 6-6 に示す。また S-25/ S-40 モデルについては、各次の最大モード応答値を図 6-7，図 6-8

に示す。図中の曲げ応力度は，曲げモーメントを表 6-1，表 6-2 に示す有効断面係数で除して算定

した値である。図より，収束解を得るのに必要なモード数は，U-25/U-40 モデルでは 2 次モードま

で，S-25/S-40 モデルの屋根面変位では 3 次モードまでで十分であるのに対し，S-25/S-40 モデルの

曲げ応力度では，30 次程度までの高次モードを必要とすることが分かる。これは，剛性・質量分

布が一様な U-25/U-40 モデルでは，屋根面変位や曲げ応力度も低次モード主体の滑らかな分布を

呈するのに対し，デッキ部とポンツーン部で剛性・質量が極端に異なる S-25/S-40 モデルでは，両

者の接続部近傍で急変する曲げ応力度を正確に表現するために，高次モードを必要とするからで

ある。特に，S-25/S-40 モデルのポンツーン周方向曲げ応力度が 24 次から 30 次の間で急激に上昇

しているのは，図 6-7，図 6-8 からも明らかなように，これらの次数にポンツーンの弾性振動を励

起するモードが多く含まれていることによる。

応答スペクトル法の妥当性を検証するために，応答スペクトル法による屋根面変位および曲げ

応力度の最大応答予測値の 0θ = （地震動の入力方向）に沿う分布を時刻歴応答解析の結果と比較

して，図 6-9～図 6-12 に示す。図より，U-25/U-40 モデルの屋根面変位，曲げ応力度および S-25/ S-40

モデルの屋根面変位では，SRSS 法と CQC 法による予測値がほぼ完全に一致し，ともに時刻歴応

答解析の良い近似値になっているのに対し，S-25/S-40 モデルの曲げ応力度では，SRSS 法が誤っ

図 6-7 各次の最大モード応答（S-25 モデル） (a)屋根面変位 ( )r R= ，(b)デッキ外端部半径方向曲げ応力度，(c)ポンツーン周方向曲げ応力度

図 6-8 各次の最大モード応答（S-40 モデル） (a)屋根面変位 ( )r R= ，(b)デッキ外端部半径方向曲げ応力度，(c)ポンツーン周方向曲げ応力度

- 79 -

図 6-9 最大応答値の 0θ = に沿う分布（U-25 モデル）―時刻歴応答解析との比較― (a)屋根面変位，(b)半径方向曲げ応力度，(c)周方向曲げ応力度

図 6-10 最大応答値の 0θ = に沿う分布（U-40 モデル）―時刻歴応答解析との比較― (a) 屋根面変位，(b)半径方向曲げ応力度，(c)周方向曲げ応力度

図 6-11 最大応答値の 0θ = に沿う分布（S-25 モデル）―時刻歴応答解析との比較― (a)屋根面変位，(b)半径方向曲げ応力度，(c)周方向曲げ応力度

図 6-12 最大応答値の 0θ = に沿う分布（S-40 モデル）―時刻歴応答解析との比較― (a)屋根面変位，(b)半径方向曲げ応力度，(c)周方向曲げ応力度

（図中，破線のように見えるのは，点線（SRSS）と一点鎖線（CQC）が重なっているためである。）

- 80 -

た予測値を与える一方，CQC 法が時刻歴応答解析により近い結果を与えることが分かる。この結

果より，固有周期が接近した多次のモードの重ね合わせを必要とする S-25/S-40 モデルの曲げ応力

度の予測には，モード間の相関を考慮できる CQC 法の適用が望ましいということになる。

6.7 結語

長周期地震動を受ける浮屋根式円筒液体貯槽のスロッシング応答を応答スペクトル法により予

測する手法を提案し，その有効性を時刻歴応答解析との比較により検証した。限られた範囲の検

討ではあるが，本研究の結果得られた結論は以下のように要約される。

• 収束解を得るのに必要なモード数は，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根では 2 次モード

までで十分であるが，シングルデッキ型浮屋根では，デッキ･ポンツーン接続部近傍で急変す

る曲げ応力度を正確に予測するために 30次程度までの高次モードの重ね合わせが必要となる。

• 等方性浮屋根の屋根面変位，曲げ応力度およびシングルデッキ型浮屋根の屋根面変位では，

SRSS 法と CQC 法による予測値がほぼ完全に一致し，ともに時刻歴応答解析の良い近似値と

なる。

• シングルデッキ型浮屋根の曲げ応力度では，SRSS 法は誤った予測値を与え，モード間の相関

を考慮できる CQC 法の適用が望ましい。

本手法の適用により，入力地震動の特性に左右されない普遍的な応答性状の把握や設計用応答

スペクトルを用いた最大応答値の予測が可能となる。

参考文献

[1] 松井徹哉：応答スペクトル法による円筒液体貯槽浮屋根の地震時スロッシング応答の予測，

日本建築学会構造系論文集，第615号，pp.119-126，2007.5

[2] S.P. Timoshenko and P. Woinowsky-Krieger: Theory of Plates and Shells, 2nd ed., McGraw-Hill,

1959

[3] 例えば，柴田明徳：最新耐震構造解析，森北出版，1981

[4] Der Kiureghian, A.: A Response Spectrum Method for Random Vibration Analysis of MDF Systems,

Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.9, pp.419-435, 1981

- 81 -

7. 模型振動実験による円筒液体貯槽浮屋根のスロッシング理論の検証[1]

MODEL TESTS ON SLOSHING OF A FLOATING ROOF IN A CYLINDRICAL LIQUID STORAGE TANK UNDER SEISMIC EXCITATION ABSTRACT

Shaking table tests are carried out to validate the analytical solutions for the sloshing of a floating roof

in a cylindrical liquid storage tank under seismic excitation. The experimental tank is a 1/100 scaled model

of typical oil-storage tank of 100,000m3 capacity, made of acrylic tube of 800mm in diameter. The tests are

performed using three types of floating roof model: (1) a roof composed of a pontoon ring only, (2) a roof

composed of uniform isotropic plate, and (3) a single-deck type roof composed of an inner deck and an

outer pontoon. The motion capture system using high-speed micro cameras is employed to measure the

roof displacement over the whole roof surface. The test results are compared with the analytical solutions

based on linear potential theory. Overall agreement is confirmed between theory and experiment, while

nonlinear bi-harmonic resonance oscillation is observed to occur in certain cases.

Keywords: shaking table test, liquid storage tank, floating roof, sloshing, fluid-structure interaction,

potential theory

INTRODUCTION Sloshing of contained liquid is one of the major considerations in the design of liquid storage tanks. In

the past major earthquakes many tanks have been subjected to serious damages which may be attributed to

liquid sloshing. Especially during the September 2003 Tokachi-oki earthquake, seven oil-storage tanks of

floating-roof type located at Tomakomai, Hokkaido, Japan were seriously damaged (Hatayama et al. [2]).

Damages include the sinking of the floating roof, which led one of the seven tanks to a whole surface fire,

as observed also in the 1999 Kocaeli earthquake, Turkey (The Japan Society of Civil Engineers [3]).

Although the failure of the floating roof and the fire of oil-storage tanks have been observed frequently,

e.g., during the 1964 Niigata earthquake and the 1983 Nihonkai-chubu earthquake, the sinking of the

floating roof caused by sloshing has never been experienced so far in Japan. It was a very dangerous

situation that the oil surface was directly exposed to the air.

After the 2003 Tokachi-oki earthquake, the Fire and Disaster Management Agency of Japan [4] has

issued the amended Notification of the Fire Defense Law, in which the design spectrum for sloshing was

increased to almost twice the spectrum in the past Notification. In addition, the standard for the seismic

design of floating roofs under long-period ground motion, which has never been included in the past

Notification, has been newly regulated. This requires the evaluation of earthquake-resistance capacity of

the floating roof of many existing as well as newly designed tanks and raising it up to the level requested

by the amended Notification. Thus, there is a rapidly increasing demand for predicting the sloshing

response of floating roofs under long-period seismic excitation.

- 82 -

In the earlier papers by Matsui [5, 6], analytical solutions have been presented for the sloshing of a

floating roof in a cylindrical liquid storage tank under seismic excitation. Explicit solutions have been

obtained for two types of floating roof: (a) a floating roof composed of uniform isotropic plate, which may

be a rational approximation to a double-deck type floating roof, and (b) a single-deck type floating roof

composed of an inner deck with relatively small bending stiffness and an outer pontoon with relatively

large stiffness. The dynamic interaction between the liquid and the floating roof was taken into account

exactly within the framework of linear potential theory.

In the present paper, shaking table tests are carried out to confirm the validity of the analytical

solutions based on the linear potential theory. The experimental tank is a 1/100 scaled model of typical

oil-storage tank of 100,000m3 capacity, made of acrylic tube of 800mm in diameter. The motion capture

system using high-speed micro cameras is employed to measure the roof displacement over the whole roof

surface. The test results are compared with the analytical solutions to be validated.

TEST PROCEDURE

Experimental Model The principal dimensions of the experimental tank are shown in Table 1 and Fig. 1. The tank is made of

acrylic tube of 800mm in diameter, 10mm thick and 800mm high and filled with water to a depth of

400mm. The tests are carried out using three types of floating roof model: (1) a roof composed of a

pontoon ring only (which is referred to as “free surface” hereafter), (2) a roof composed of uniform

isotropic plate (which is referred to as “double-deck type roof” hereafter), and (3) a “single-deck type roof”

composed of an inner deck and an outer pontoon. The floating roofs are made of acrylic plate of 2mm thick

except the inner deck of the single-deck type roof made of polyvinyl chloride sheet of 0.1mm thick. To

provide buoyancy a number of Styrofoam blocks of 1mm thick are attached to the lower surface of the

double-deck type roof and of the pontoon of the single-deck type roof, as shown in Photo 1. Due to their

light weight and low bending stiffness compared with those of acrylic plates the effect of the Styrofoam

blocks on the response is ignored in the analysis later.

Fig. 1 Experimental Tank

770 mm

2 m

m

45 mm0.1 mm

Single-deck Type Roof

800 mm

780 mm

400

mm

Tank

770 mm

2 m

m

Double-deck Type Roof

- 83 -

Table 1 Principal Dimensions of Tank Model Outer diameter of tank 800 mm Inside diameter of tank 780 mmLiquid depth 400 mmMass density of liquid 1000 kg/m3

Diameter of floating roof 770 mmThickness of deck (double-deck) 2 mmThickness of inner deck (single-deck) 0.1 mmThickness of pontoon (single-deck) 2 mmWidth of pontoon (single-deck) 45 mmMass density of deck (double-deck) 1244 kg/m3

Mass density of inner deck (single-deck) 2836 kg/m3

Mass density of pontoon (single-deck) 1206 kg/m3

Young's modulus of acrylite 2.90 Gpa

Measurement System of Roof Displacements Three high-speed micro cameras are set up at the top of tank as shown in Photo 2 to catch the 3D

movement of the targets marked by white-colored small circles on the black-painted surface of the floating

roof. The motion capture system is employed to obtain the digitized time-series data of roof displacement

over the whole roof surface, measured simultaneously at the frame rate of an integral sub-multiple of 60fps

(10, 12, 15, 20, 30 and 60fps) with the restriction of 262 frames in storage capacity. The arrangement of the

measuring points is shown in Fig.2.

Photo 1 Floating Roof Models Single-deck Type Double-deck Type Roof

Photo 2 Set Up of High-speed Micro Cameras

Fig. 2 Arrangement of Measuring Points

Single-deck Type RoofDouble-deck Type Free Surface

Ground

r θ

R

- 84 -

FREE-OSCILLATION TESTS Free-oscillation tests have been carried out to measure the natural period, damping ratio and

free-oscillation mode of the floating roof models in liquid. The free-oscillation was generated by pulling up

and down the string attached to an edge of the roof and releasing it after the oscillation was fully

developed. Six tests have been performed for each floating roof type under the test conditions shown in

Table 2. The frame rate was determined to be an integral sub-multiple of 60fps by taking into consideration

the range of natural frequencies to be measured and the storage capacity of the motion capture system.

The measured time histories of free-oscillation ( )y t were fitted by the least-square method to

{ }( ) exp( ) cos( ) sin( )d dy t t A t B tβ ω ω= − + (1)

where t denotes the time, and dω denotes the damped natural circular frequency of the roof. The

coefficients A , B , β and dω ≤ can be determined to minimize the error norms between the measured

and fitted time histories of oscillation. Once these coefficients have been determined, the natural period T

and damping ratio h can be evaluated from

2 dT π ω= , 2 2dh β ω β= + (2)

Table 2 Test Conditions for Free-oscillation Tests

Frame rate (fps) Duration time (s)Test 1 / Test 4 15 17.5Test 2 / Test 5 12 21.8Test 3 / Test 6 10 26.2

Table 3 Natural Periods Evaluated from Free-oscillation Tests (s)

Free surface Double-deck Single-deckTest 1 0.950 0.951 0.951Test 2 0.950 0.947 0.952Test 3 0.951 0.950 0.951Test 4 0.951 0.953 0.953Test 5 0.950 Failed 0.951Test 6 0.950 0.950 0.951Average 0.950 0.950 0.952Analysis 0.945 0.946 0.947

Table 4 Damping Ratios Evaluated from Free-oscillation Tests

Free surface Double-deck Single-deckTest 1 0.00229 0.01130 0.00323Test 2 0.00234 0.01060 0.00336Test 3 0.00243 0.01070 0.00340Test 4 0.00198 0.01180 0.00319Test 5 0.00245 Failed 0.00368Test 6 0.00199 0.01120 0.00342Average 0.00225 0.01110 0.00338

- 85 -

The corresponding free-oscillation mode can be obtained from the amplitude ratio of least-square fitted

free-oscillation curve at each measuring point.

Figure 3 shows examples of the measured and least-square fitted time histories of free oscillation.

Complete agreement is observed between the measured and fitted oscillation curves, illustrating the validity

and high accuracy of the least-square fitting.

The natural periods and damping ratios evaluated from free-oscillation tests are shown in Tables 3 and

4. These are the averages of those values obtained from the free-oscillation curve of every measuring point.

In Table 3 the fundamental natural periods predicted by the analytical solutions (Matsui [4, 5]) are also

shown for comparison. It can be observed that the variance of the natural period of each test is quite small

and that the measured natural periods are very close to the analytical solutions, confirming the validity of

the linear potential theory. The variance of damping ratios is also found to be small. It can be noted that the

damping values depend strongly on the type of floating roof. They are lowest in the case of free surface,

and the single-deck type roof provides lower damping than the double-deck type roof.

The free-oscillation modes evaluated from free-oscillation tests are plotted and compared with the

analytical solutions in Figs. 4 and 5, where r R and θ denote the radial coordinate normalized by the

radius R of the floating roof and the circumferential coordinate, respectively. Again satisfactory

agreement is observed between theory and experiment, confirming the validity of the linear potential

theory.

Fig. 3 Measured and Least-square Fitted Time Histories of Free-oscillation

Free Surface

Single-deck Type Roof

Double-deck Type Roof

- 86 -

SEISMIC OSCILLATION TESTS

Seismic oscillation tests were carried out to measure the sloshing response of the floating roof models

under seismic ground motion. The earthquake wave recorded at the K-NET Tomakomai station during the

2003 Tokachi-oki earthquake (HKD1290309260450EW) was selected as an input ground motion. Three

tests have been performed for each floating roof type under the test conditions shown in Table 5.

The experimental tank was designed to be a 1/100 scaled model of typical oil-storage tank of

100,000m3 capacity (80m in diameter), but it is possible to consider tanks of other size by adjusting the

time scale of ground motion. It is well-known that the law of similarity is satisfied by ' 't t L L= , where

t and L denote the time and characteristic dimension in real scale, while 't and 'L denote the

corresponding quantities in model scale. In the present study two tank sizes, referred to as “model L” and

“model S” hereafter, are considered by reducing the time scale as shown in Table 6.

Figure 6 shows an example of time histories and corresponding velocity response spectra of the target

and generated ground motions in the case of free surface of model L. It can be observed that the target

wave is generated on the shaking table with high accuracy over the whole range of periods. Earthquake response analysis was performed by using the table motions generated on the shaking table

as input ground motions. Newmark’s method (the average acceleration method) was adopted with the

sampling period and the duration time shown in Table 7. The Rayleigh damping as well as the stiffness-

Double-deck Type Roof Single-deck Type Roof Fig. 5 Circumferential Free-oscillation Modes

Double-deck Type Roof Single-deck Type Roof

Fig. 4 Radial Free-oscillation Modes

- 87 -

Table 5 Test Conditions for Seismic Oscillation Tests Frame rate (fps) Duration time (s)

Test 1 15 17.5Test 2 12 21.8Test 3 10 26.2

Table 6 Model Scales Corresponding to Real Tank

Model Time scale Dimensionscale

Diameter/Liquiddepth of real tank

Model L 1/10 1/100 80m/40mModel S 1/7.91 1/62.5 50m/25m

Table 7 Parameters in Time History Analysis

Model Sampling period (s) Duration time (s)Model L 1/160 51.2Model S 1/187.5 43.7

proportional damping were assumed for each mode using the measured damping ratios shown in Table 4

for the fundamental and second modes in liquid. 6 free surface modes and 5 elastic vibration modes in air

were adopted for the double-deck type roof, while 30 free surface modes and 29 elastic vibration modes in

air for the single-deck type roof. It should be noted that a larger number of modes are needed to express the

pressure and the bending moment in the deck of the single-deck type floating roof, which increase rapidly

as approaching to the connection between the deck and the pontoon. For more details, see Matsui [5, 6]. Figures 7 and 8 show the comparison between the measured and simulated maximum amplitudes of

roof displacement along the radius parallel to the direction of ground motion. Quite good agreement is

observed between theory and experiment except the slight discrepancies along the outer circumference.

Fig. 6 Time Histories and Velocity Response Spectra of Target and Generated Ground Motions (Free Surface of Model L)

- 88 -

Figures 9 - 14 show the time histories and corresponding Fourier amplitude spectra of roof

displacement at the wave front, together with the natural frequencies evaluated from the analytical

Double-deck Type Roof

Single-deck Type Roof

Fig. 8 Maximum Amplitude of Displacement along the Radius Parallel to the Direction of

Ground Motion (Model S)

Double-deck Type Roof

Fig. 7 Maximum Amplitude of Displacement along the Radius Parallel to the Direction of

Ground Motion (Model L)

Single-deck Type Roof Single-deck Type Roof

Fig. 10 Time Histories and Fourier Amplitude Spectra of Displacement at the Wave Front

(Free Surface of Model S)

Fig. 9 Time Histories and Fourier Amplitude Spectra of Displacement at the Wave Front

(Free Surface of Model L)

- 89 -

solutions. In the case of model L quite good agreement is observed between analysis and experiment. On

the other hand, in the case of Model S it can be observed that the analysis gives somewhat higher

Fig.11 Time Histories and Fourier Amplitude Spectra of Displacement at the Wave Front

(Double-deck Type Roof of Model L)

Fig. 12 Time Histories and Fourier Amplitude Spectra of Displacement at the Wave Front

(Double-deck Type Roof of Model S)

Fig. 13 Time Histories and Fourier Amplitude Spectra of Displacement at the Wave Front

(Single-deck Type Roof of Model L)

Fig. 14 Time Histories and Fourier Amplitude Spectra of Displacement at the Wave Front

(Single-deck Type Roof of Model S)

- 90 -

predictions than the experiment. The oscillation after the main earthquake motion has passed decays more

slowly in the analytical curve than in the experimental one. As a possible reason for these discrepancies it

can be considered that the damping ratio for model S is higher than that evaluated by the free-oscillation

tests due to its amplitude-dependent nature. This may be justified by the fact that the roof displacement of

model S amounts to 50mm, which is beyond the range of displacement in the free-oscillation tests (see Fig.

3).

From the figures of the Fourier amplitude spectra shown in Figs. 9 – 14, it can be observed that the

contribution of the fundamental mode is dominant in most cases. In these cases the difference between the

Rayleigh damping and the stiffness-proportional damping cannot be recognized. However, in the case of

the free surface and the single-deck type roof of model L, it can be noted that the contribution of the second

mode can never be ignored. In these cases the Rayleigh damping gives better predictions than the

stiffness-proportional damping.

Figure 15 show the time histories and corresponding Fourier amplitude spectra of displacement

measured at the center of the single-deck type roof of Model S. According to the linear theory, the roof

oscillates with only a component with the number of circumferential waves 1, resulting in zero

displacement at the center of the roof. However, the measured displacement at the center of the roof is

found to be as high as 7mm which can never be ignored, and has the peak of Fourier amplitude spectrum at

2.09Hz which is just twice the fundamental natural frequency (1.05Hz). This implies the occurrence of

nonlinear bi-harmonic resonance oscillation, as discussed by Ohmori, et al. [7] for the case of free surface.

It is well-known that the bi-harmonic resonance oscillation occurs when the natural frequencies of modes

Fig. 17 3D Plot of Measured Bi-harmonic Resonance Oscillation Mode

(Single-deck Type Roof of Model S)

Fig. 16 Fourier Coefficients of Displacement Expanded around the Circumference (Single-deck Type Roof of Model S)

Fig. 15 Time Histories and Fourier Amplitude Spectra of Displacement at the Center of Roof

(Single-deck Type Roof of Model S)

- 91 -

Table 8 Computed Natural Frequencies of Single-deck Type Floating Roof Model (Hz)

n =0 n =1 n =21 1.56 1.06 1.392 2.11 1.84 2.073 2.55 2.33 2.52

Number of radial halfwaves

Number of circumferential waves

with the number of circumferential waves 0 and/or 2 coincide with twice the fundamental natural frequency

with the number of circumferential waves 1. This is just the case in the singe-deck type floating roof model

as shown in Table 8, where the natural frequencies of modes with the number of circumferential waves 0

and 2 and the number of radial half waves 2 are close to twice the fundamental natural frequency of mode

with the number of circumferential waves 1 and the number of radial half waves 1. In order to confirm the

occurrence of bi-harmonic resonance oscillation, Fig. 16 shows the Fourier coefficients of the roof

displacement expanded around the circumference. In addition to the linear component with the number of

circumferential waves 1 which is dominant, the components with the number of circumferential waves 0

and 2 can be recognized. The bi-harmonic resonance oscillation mode can be observed clearly in Fig. 17,

showing the 3D plot of the measured roof displacement band-pass filtered between the frequencies of 2.0

and 2.2Hz.Such a nonlinear oscillation mode can also be observed in model L although not so significantly

as in model S.

CONCLUSIONS Shaking table tests using a small-scale model have been carried out to validate the analytical solutions

for the sloshing of a floating roof in a cylindrical liquid storage tank under seismic excitation. The tests

have been performed using three types of floating roof model: (1) a roof composed of a pontoon ring only,

(2) a roof composed of uniform isotropic plate, and (3) a single-deck type roof composed of an inner deck

and an outer pontoon. The test results were compared with the analytical solutions based on linear potential

theory. Overall agreement was confirmed between theory and experiment, while nonlinear bi-harmonic

resonance oscillation was observed to occur in certain cases. The theoretical prediction of such nonlinear

oscillations will be a matter of further research.

Finally, the conclusions obtained from the present experimental study can be summarized as follows:

• The analytical solutions for the fundamental natural periods and the corresponding free-oscillation

modes coincide well with those measured by the free-oscillation tests.

• The damping ratios evaluated from the free-oscillation tests depend strongly on the type of floating roof.

They are lowest in the case of free surface, and the single-deck type roof provides lower damping than

the double-deck type roof.

• The analytical solutions for the roof displacement also coincide well with those measured by the seismic

oscillation tests if the damping ratios are properly assumed.

• To the roof displacement the contribution of the fundamental mode is dominant in most cases. However,

in the case of the free surface and the single-deck type roof of larger diameter, the contribution of the

- 92 -

second mode can never be ignored. In these cases the Rayleigh damping gives better predictions than

the stiffness-proportional damping.

• As the roof displacement increases, the nonlinear bi-harmonic resonance oscillation with the number of

circumferential waves 0 and 2 can occur at twice the fundamental natural frequency with the number of

circumferential waves 1.

ACKNOWLEDGMENTS This work has been carried out as a part of research project in the Advanced Research Center for

Seismic Experiments and Computations, Meijo University. The financial support by the Grant-in-Aid for

Scientific Research from the Japan Society of Promotion of Science (through Grant No. 17360278) and

from Meijo University Research Institute is also greatly acknowledged. The strong motion data was

provided by the K-NET of National Institute for Earth Science and Disaster Prevention, Japan.

REFERENCES

[1] T. Nagaya, T. Matsui, T. Wakasa: Model Tests on Sloshing of a Floating Roof in a Cylindrical Liquid

Storage Tank under Seismic Excitation, Proceedings of the ASME Pressure Vessels and Piping

Division Conference, Chicago, Illinois, U.S.A, PVP2008-61675, July 2008, to be published

[2] Hatayama, K., Zama, S., Nishi, H., Yamada, M., Hirokawa, M., and Inoue, R.: The Damages of Oil

Storage Tanks during the 2003 Tokachi-oki Earthquake and the Long Period Ground Motions,

Proceedings of the JSCE-AIJ Joint Symposium on Huge Subduction Earthquakes -Wide Area Strong

Ground Motion Prediction-, pp.7-18, 2005, in Japanese

[3] The Japan Society of Civil Engineers: The 1999 Kocaeli Earthquake, Turkey-Investigation into

Damage to Civil Engineering Structures-, the Japan Society of Civil Engineers, Tokyo, 1999

[4] The Fire and Disaster Management Agency: On the Enforcement of the Ministerial Ordinance Which

Amends a Part of the Rule Concerning the Control of Hazardous Materials, Notification 14, 2005, in

Japanese

[5] Matsui, T.: Sloshing in a Cylindrical Liquid Storage Tank With a Floating Roof Under Seismic

Excitation, Journal of Pressure Vessel Technology, Transactions of the ASME, Vol. 129, No.4,

pp.557-566, November 2007

[6] Matsui, T.: Sloshing in a Cylindrical Liquid Storage Tank With a Single-deck Type Floating Roof

Under Seismic Excitation, Proceedings of the ASME Pressure Vessels and Piping Division Conference,

San Antonio, Texas, PVP2007-26249, July 2007

[7] Ohmori, H., Hibino, H., Kato, K., and Matsui, T.: Nonlinear Sloshing of Cylindrical Liquid Storages,

Proceedings of the IASS Symposium on Shells, Membranes and Space Frames, Osaka, Vol.1, pp.

97-104, 1986

- 93 -

8. 頂部開口型円筒液体貯槽における浮屋根の強風時スロッシング応答[1]

WIND EFFECTS ON SLOSHING OF A FLOATING ROOF IN AN OPEN-TOPPED CYLINDRICAL LIQUID STORAGE TANK ABSTRACT

Sloshing of a floating roof in an open-topped cylindrical liquid storage tank under wind loads is

investigated analytically. Wind tunnel test in a turbulent boundary layer is carried out to measure the wind

pressure distributing over the roof surface. The measured data for the wind pressure is then utilized to

predict the wind-induced dynamic response of the floating roof, which is idealized herein as an isotropic

elastic plate of uniform stiffness and mass. The dynamic interaction between the liquid and the floating roof

is taken into account exactly within the framework of linear potential theory. Numerical results are

presented which illustrate the significant effect of wind loads on the sloshing response of the floating roof.

Keywords: liquid storage tank, floating roof, wind load, sloshing, fluid-structure interaction, wind tunnel

test

INTRODUCTION Sloshing of contained liquid is one of the major considerations in the design of liquid storage tanks. In

the past major earthquakes many tanks have been subjected to serious damages which may be attributed to

liquid sloshing. Damages include the failure of floating roofs followed by the whole-surface fire or the ring

fire of tanks as observed frequently, e.g., during the 1964 Niigata earthquake and the 1983 Nihonkai-chubu

earthquake. What is most dangerous is the sinking of floating roofs followed by the whole surface fire

observed at the first time during the 1999 Kocaeli earthquake and the 2003 Tokachi-oki earthquake. Learnt

from these experiences, extensive studies have been performed to predict the sloshing of floating-roof type

liquid storage tanks under earthquake excitation (e.g., Nakagawa [2], Yamamoto [3], Sakai et al. [4],

Nishiguchi et al. [5], Yamauchi et al. [6], Matsui [7, 8]). However, there has been scarcely any information

on the wind loads and their effects on the sloshing of the floating roof in a storage tank.

Recently, wind tunnel test in a turbulent boundary layer has been carried out by Uematsu et al. [9] to

measure the wind pressure distributing over the floating roof in an open-topped cylindrical liquid storage

tank. With these data in hand, the present paper aims to investigate the effect of wind loads on the sloshing

of the floating roof analytically. The measured data for the wind pressure is utilized to predict the

wind-induced dynamic response of the floating roof, which is idealized herein as an isotropic elastic plate

of uniform stiffness and mass. The dynamic interaction between the liquid and the floating roof is taken

into account exactly within the framework of linear potential theory (Matsui [7, 8]). Numerical results are

presented to investigate the effect of wind loads on the sloshing response of the floating roof.

- 94 -

MATHEMATICAL SOLUTION

Boundary Value Problem

Sloshing in an open-topped cylindrical liquid storage tank of radius R with flat bottom is considered

here. The tank is partially filled with liquid to a height H . The liquid surface is covered by a floating roof

composed of an isotropic elastic plate with uniform stiffness and mass. The tank wall may be assumed to be

rigid with reasonable accuracy because the natural periods of shell vibration modes are much shorter than

the natural periods of sloshing modes. A cylindrical coordinate system ( , , )r zθ is defined as shown in Fig.

1 with an origin at the center of the tank bottom and the z -axis vertically upwards. The tank is subjected

to wind pressure ( )wp t over the floating roof due to the wind blowing in the direction 0θ = .

The liquid is assumed to be inviscid, incompressible and irrotational. Then the liquid motion may be

completely defined by a velocity potential functionφ , for which the boundary-value problem can be

defined as

2 0φ∇ = in a liquid region (1a)

0rφ∂

=∂

at the tank wall r R= (1b)

0zφ∂

=∂

at the tank bottom 0z = (1c)

wzφ∂

=∂

at the liquid surface z H= (1d)

where w denotes the vertical displacement of the floating roof, and the dot denotes the derivative with

respect to time t .

Fig. 1 Tank Geometry and Coordinate System

- 95 -

The hydrodynamic pressure p on the floating roof can be evaluated from linearized Belnoulli’s

equation

z H

p gwtφρ ρ

=

⎛ ⎞∂= − −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(2)

where ρ denotes the mass density of liquid, and g denotes the acceleration of gravity.

Neglecting the damping terms, the equation of motion of the floating roof can be written as

4wmw D w p p+ ∇ = − (3)

where m denotes the mass density of the floating roof per unit surface area, and D denotes the bending

rigidity of the floating roof.

Modal Decomposition of Displacements The validity of the superposition principle is assumed for both the displacement of the floating roof and

the liquid motion. Then the vertical displacement ( )w t of the floating roof can be represented as a linear

superposition of the rigid-body modes 0 0Z , 01 cosZ θ and the free elastic vibration modes coslnZ nθ

( 1, 2, , ; 0,1, , )l n= ∞ = ∞… … in air

0 0

( ) ( ) cosln lnn l

w t t Z nξ θ∞ ∞

= =

= ∑∑ (4)

where ( )ln tξ denotes the modal displacement corresponding to the mode coslnZ nθ with the number of

radial half waves l and the number of circumferential waves n . The radial mode shape lnZ can be

given by

00 1Z = , 01rZR

= , ( 1)ln ln n ln ln n lnr rZ J I lR R

α κ β κ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5)

where nJ denotes the Bessel function of the first kind of order n , nI denotes the modified Bessel

function of the first kind of order n , and lnκ is the wave number which may be related to the natural

circular frequency lnω of order ( , )l n by

44 2ln ln

mRD

κ ω= (6)

The wave number lnκ and the amplitude ratio of lnα to lnβ can be determined from the requirement

that the homogeneous equations representing the stress-free conditions along the roof edge have the

non-trivial solutions

11 12

21 22

00

ln

ln

c cc c

αβ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (7)

where

( ) ( ) ( )2 211 ln n ln ln n ln n lnc J J n Jκ κ νκ κ ν κ′′ ′= + −

- 96 -

( ) ( ) ( )2 212 ln n ln ln n ln n lnc I I n Iκ κ νκ κ ν κ′′ ′= + −

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )3 2 2 221 1 2 3ln n ln ln n ln ln n ln n lnc J J n J n Jκ κ κ κ κ ν κ ν κ′′′ ′′ ′= + − + − + −

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )3 2 2 222 1 2 3ln n ln ln n ln ln n ln n lnc I I n I n Iκ κ κ κ κ ν κ ν κ′′′ ′′ ′= + − + − + − (8)

ν denoting Poisson’s ratio.

Velocity Potential and Pressure

The solution for the potential φ that satisfies the Laplace equation (1a), the wall condition (1b) and

the bottom condition (1c) is given by

0 1

( )cosh cosin in n inn i

z rA t J nR R

φ ε ε θ∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑∑ (9)

where inε denotes the i -th positive root of ( ) 0n inJ ε′ = .

On substitution of Eqs. (4) and (9) into Eq. (1d), the kinematic condition at the liquid surface can be

expressed as

2

1 0( ) cosh ( )in

in in n in ln lni l

H rA t J t Zg R R

ε ε ξ∞ ∞

= =

Ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ (10)

where inΩ denotes the natural circular frequency of free surface mode of order ( , )i n given by

tanhin in ing HR R

ε ε⎛ ⎞Ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(11)

On multiplying ( ) ( )n inr R J r Rε on the both sides of Eq. (10), integration with respect to u r R=

over 0 1u≤ ≤ and making use of the orthogonality relation of the Bessel function, Eq. (A1), the unknown

coefficient inA is determined in the form

( )2 2 20

2 1 1( ) ( )cosh

in iln lnlin n in in

in

gA t a tHn JR

ξε εε

∞

=

=− Ω⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (12)

where

( ) ( )2 1

0in

iln ln n inn in

a uZ J u duJ

εε

ε= ∫ (13)

After substitution of Eq. (5) into Eq. (13) and making use of Eqs. (A2) - (A4) in the appendix, ina can be

obtained in explicit forms

00 010, 1,i ia a= = ( ) ( )22 2 2 2 ( 1)ln ln

iln in ln n ln n lnin ln in ln

a J I lα β

ε κ κ κε κ ε κ

⎡ ⎤′ ′= + ≥⎢ ⎥− +⎣ ⎦

(14)

On substitution of Eq. (12) into Eq. (9), the solution for the potential φ can be obtained in the form

- 97 -

( )( )

( )( )2 2 2

0 1

cosh2cosh

in n in

n i in in in n in

z R J r Rgn H R J

ε εφ

ε ε ε

∞ ∞

= =

=− Ω∑∑

0

( )cosiln lnl

a t nξ θ∞

=

⋅∑ (15)

The hydrodynamic pressure on the floating roof can then be evaluated by substitution of Eqs. (4) and (15)

into Eq. (2)

( )( )2 2 2

0 1 0

2 ( )n iniln ln

n i lin in n in

J r Rgp a tn J

ερ ξ

ε ε

∞ ∞ ∞

= = =

⎡= − ⎢

− Ω⎢⎣∑ ∑ ∑

0( ) cosln ln

lg Z t nρ ξ θ

∞

=

⎤+ ⎥

⎦∑ (16)

Equations of Motion

The final step to the solution is to determine the unknown modal displacements ( )ln tξ involved in

Eqs. (15) and (16). This is achieved by solving the equation of motion of the floating roof, as described

below.

The wind pressure wp on the floating roof can be expanded conveniently into Fourier series in θ

0

( , , ) ( , )cosw nn

p r t p r t nθ θ∞

=

= ∑ (17)

where the wind pressure distribution is assumed to be symmetric with respect to the axis 0θ = , which is

parallel to the wind direction.

On substitution of Eqs. (4), (16) and (17) into Eq. (3), the equation of motion of the floating roof can

be written as

2

0

( ) ( )ln ln ln ln nl

m t t Z pξ ω ξ∞

=

⎡ ⎤+ = −⎣ ⎦∑ ( )( )2 2 2

1 0 0

2 ( ) ( )n iniln ln ln ln

i l lin in n in

J r Rg a t g Z tn J

ερ ξ ρ ξ

ε ε

∞ ∞ ∞

= = =

− −− Ω∑ ∑ ∑

( 0,1, , )n = ∞… (18)

On multiplying ( ) lnr R Z on the both sides of Eq. (18), integration with respect to u r R= over 0 1u≤ ≤

and making use of an orthogonal relation of the free vibration modes yield

( ) 2

0( ) ( )lk kn lkn kn ln ln ln ln

k

gt tm

ρδ μ ξ ω ξ γ∞

=

⎛ ⎞Δ + + + Δ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (19)

where lkδ denotes the Kronecker delta defined by

0 ( )lk l kδ = ≠ , 1 ( )lk l kδ = =

and

1 2

0ln lnuZ duΔ = ∫ (20)

( ) ( )1

2 2 2 01 0

2 1lkn ikn ln n in

i kin in n in

g a uZ J u dum n Jρμ ε

ε ε

∞ ∞

= =

=− Ω∑ ∑ ∫ (21)

1

0

1ln ln nuZ p du

mγ = ∫ (22)

- 98 -

After substitution of Eqs. (5) and (13) into Eqs. (20) and (21), and making use of the integral formulas for

the Bessel functions (Abramowitz and Stegun [10]), lnΔ and lknμ can be obtained in explicit forms

01 1 4Δ =

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )221 1 1 1

12

ln lnln ln n ln n ln n n n ln n ln n ln n ln

ln

J J J J I J Iα β

α κ κ κ κ κ κ κκ− + + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = − + +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( ){ } ( ) ( )221 1

1 ( 1)2 ln n ln n ln n lnI I I lβ κ κ κ− +

⎡ ⎤+ − ≥⎢ ⎥⎣ ⎦ (23)

( )n 22 2 21

2lk iln ikn

i inin in

g a am nρμ

ε ε

∞

=

=Ω−

∑ (24)

lnγ can be evaluated by numerical integration of Eq. (22).

In the equation of motion (19), lknμ and g mρ denote the added mass due to liquid and the

hydrostatic restoring force coefficient due to change of buoyancy, respectively, normalized by the mass

density m of the floating roof. Note that in the present formulation use has been made of the free

vibration modes in air, and consequently, the equation of motion for each mode is not uncoupled with each

other. The free vibration characteristics of the floating roof in liquid can be evaluated by solving the

homogeneous equation of motion (19) without the forcing term.

In the foregoing formulation no damping effects have be taken into account to derive the equation of

motion (19). By adding a proper damping term (e.g. Rayleigh damping or stiffness-proportional damping),

it is now possible to consider the damping effects such as material damping, drag fluid forces and friction

forces along the side wall. In the numerical examples discussed below the stiffness-proportional damping is

assumed using the damping ratio 0.01 for the fundamental mode in liquid with the number of

circumferential waves n =1.

Final Solutions

Once the modal displacements ( )ln tξ have been obtained by solving the equation of motion (19),

these can be substituted into Eqs. (4), (15) and (16) to evaluate the displacement w of the floating roof,

the velocity potential φ and the hydrodynamic pressure p on the floating roof, respectively.

According to Kirchhoff’s theory of elastic plates, the relations between the displacement and the

curvatures and twist of the floating roof are given by

2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1, ,r rw w w w w

r r r r r r rθ θκ κ κθ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (25)

Substitution of Eqs. (4) and (5) into Eq. (25) yields

2

0 1( ) cosln

r ln ln n ln ln n lnn l

r rt J I nR R R

κκ ξ α κ β κ θ

∞ ∞

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∑∑

2

20 1

( ) lnln ln n ln n ln

n l

r n rt J JRr R r Rθκ

κ ξ α κ κ∞ ∞

= =

⎡ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= −⎢ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎩ ⎭⎣

∑∑

2

2 coslnln n ln n ln

r n rI I nRr R r Rκ

β κ κ θ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞′+ − ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎩ ⎭⎦

- 99 -

20 1

1( ) lnr ln ln n ln n ln

n l

r rt n J JRr R r Rθκ

κ ξ α κ κ∞ ∞

= =

⎡ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= − −⎨ ⎬⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎣

∑∑

2

1 sinlnln n ln n ln

r rn I I nRr R r Rκ

β κ κ θ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞′+ −⎨ ⎬⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎦ (26)

The bending and twisting moments in the floating roof can then be evaluated from

( ), ( )r r rM D M Dθ θ θκ νκ κ νκ= − + = − + , (1 )r rM Dθ θν κ= − − (27)

WIND TUNNEL TEST

Test Conditions and Apparatus Wind tunnel test has been carried out in a boundary layer wind tunnel at Kajima Technical Research

Institute to measure the wind pressure distributing over the floating roof in an open-topped cylindrical tank.

The test conditions and the particulars of the test apparatus are shown in Table 1, and the arrangement of

measuring points in Fig. 2 and Table 2. The test apparatus is an open-topped cylinder of 250 mm in

diameter, 125mm high and 6mm thick. The floating roof of 236mm in diameter with a pontoon ring of

15mm wide and 2mm thick was pasted to the side wall, adjusting the liquid depth varying from 2 to 110mm

(Cases A - E). The tests have been performed twice for each liquid depth. As the displacement of the roof is

completely restraint, the aerodynamic wind-structure interaction effect is not included in the measured

pressure. For more details of wind tunnel test, see Uematsu et al. [9].

Table 1 Test Conditions and Apparatus Geometric scale of wind tunnel flow 1/300Mean wind velocity at the top of tank 10 m/sExponent in power distribution law 0.15Outer diameter of tank 250 mmInside diameter of tank 238 mmDiameter of floating roof 236 mmHeight of tank 125 mmLiquid depth (Case A) 2 mmLiquid depth (Case B) 27.85 mmLiquid depth (Case C) 64.5 mmLiquid depth (Case D) 101.15 mmLiquid depth (Case E) 110 mmSampling period 0.001 sDuration time 32.768 s

Measurement of Wind Pressure Wind pressures were measured at 97 points on the roof surface by means of pressure sensors, as shown

in Fig. 2. The pressure measured at each point was normalized by the velocity pressure measured at the top

of model tank to obtain the wind pressure coefficient. The design wind pressure is then evaluated by

multiplying the measured wind pressure coefficient by the design velocity pressure at the top of tank.

The law of similarity between the model and real scales can be satisfied by

- 100 -

'' '

t L Vt L V

= (28)

where t , L and V denote the time, characteristic length and mean wind velocity at the top of tank in

real scale, and 't , 'L and 'V denote the corresponding quantities in model scale. Equation (28) is

used later to evaluate the sampling period in real scale.

WIND RESPONSE ANALYSIS

Tank Model The principal parameters of the tank model analyzed here are presented in Table 3. This is a model of

typical oil-storage tank of 40,000m3 capacity of 50m in diameter and 25m high. The liquid depth is varied

parametrically from 0.4 to 22m (Cases A - E). The floating roof is considered to consist of the upper and

lower decks connected by the rims. It is assumed for simplicity that the contribution of the rims to the

bending rigidity can be ignored. The effective cross-sectional coefficient is evaluated by taking into

consideration the effect of local buckling at the compressive side.

The wind parameters assumed in the analysis are shown in Table 4, where the basic wind velocity, the

mean wind velocity at the top of tank and the design velocity pressure are evaluated by assuming the design

Fig. 2 Arrangement of Measuring Points on Floating Roof

Table 2 Radial Coordinates of Measuring Points Points r (mm) r/R f *1-24 109 0.91625-48 83.25 0.749-72 54.5 0.573-96 35.75 0.397 0 0

* fR : Radius of floating roof

- 101 -

Table 3 Principal Parameters of Tank Diameter of tank 50 m Height of tank 25 mLiquid depth (Case A) 0.4 mLiquid depth (Case B) 5.57 mLiquid depth (Case C) 12.9 mLiquid depth (Case D) 20.23 mLiquid depth (Case E) 22 mMass density of liquid 850 kg/m3

Total height of roof section 700 mmThickness of upper and lower decks 4.5 mmEffective cross-sectional coefficient ofroof section (per unit width)

1050 mm2

Bending rigidity of roof 2.464×105 kN-mMass density of roof 100 kg/m2

Poisson's ratio 0.3Damping ratio 0.01

Table 4 Wind Parameters Geometric scale of wind tunnel flow 1/200*Basic wind velocity 38 m/s Exponent in power distribution law 0.10*Design return period 100 yearsMean wind velocity at the top of tank 51.3 m/sDesign velocity pressure 1607 PaSampling period 0.039 sDuration time 1278 s

return period of 100 years. These evaluations are based on the recommendations for wind loads on

buildings published by Architectural Institute of Japan [11].

Free-vibration Characteristics Prior to wind response analysis, free-vibration analysis of Eq. (19) has been performed to obtain the

natural periods of the floating roof in liquid. The modal numbers were truncated at 6 for the free surface

mode (subscript i in Eq. (15)), 5 for the radial elastic mode (subscript l in Eq. (15)) and 12 for the

circumferential mode (subscript n in Eq. (15)), after confirming the convergence. A part of the results are

presented in Table 5 for the case of H =12.9m (Case C).

Table 5 Natural Periods in Liquid (H=12.9m) (s)

n =0 n =1 n =2 n =3 n =4 n =5l =1 1.949 8.581 3.365 1.396 0.722 0.432l =2 0.688 0.766 0.401 0.246 0.165 0.118l =3 0.362 0.212 0.139 0.099 0.074 0.057l =4 0.133 0.092 0.067 0.051 0.041 0.033l =5 0.065 0.049 0.038 0.031 0.025 0.021

* These values are somewhat different from those adopted in the wave tunnel test shown in Table 1, but the effect of these changes may be considered to be slight.

- 102 -

Wind Pressure Distribution Figures 3 and 4 illustrate an example of time-history and corresponding power spectrum density of

wind pressure at the center of roof in real scale. It can be observed that the negative (upward) wind

pressure acts with the mean pressure around 1kPa and the maximum negative pressure around 2.3kPa. It

can be noted that the wind pressure has sufficient energy over a range of natural periods of the floating roof

presented in Table 5 to excite significant sloshing response.

Figure 5 displays the contours of the mean and maximum wind pressure distributing over the roof

surface. These are the averages of two test results for each liquid depth. Negative wind pressure is observed

almost allover the roof surface. The magnitude of the wind pressure is not so affected by the liquid depth,

taking the mean pressure around 1.0-1.2kPa and the maximum negative pressure around 2.5kPa. The effect

of the liquid depth is found to be significant on the distribution of the wind pressure. For the liquid depth

shallower than the half-filled case the maximum pressure arises around the center of the roof, while it

moves to the windward direction as the liquid depth approaches to the fully-filled case.

Wind-induced Dynamic Response

Time-history analysis has been performed to predict the sloshing response of the floating roof under

wind loads. Newmark’s method (the average acceleration method) was adopted with the time interval

tΔ =0.039s for the duration time dT =1278s. The stiffness-proportional damping was assumed using the

damping ratio 0.01 for the fundamental mode in liquid with the number of circumferential waves n =1.

The wind pressure distributing over the roof surface was evaluated by multiplying the measured

pressure coefficients by the design velocity pressure given in Table 4, and then expanded into finite Fourier

series around the circumference. The Fourier series was truncated at n =12, after confirming that the

Fig. 4 Power Spectrum Density of Wind Pressure at the Center of Roof (H=12.9m)

Fig. 3 Time History of Wind Pressure at the Center of Roof (H=12.9m)

- 103 -

Fig. 5 Mean and Maximum Wind Pressure H=22m

H=20.23m

H=12.9m

H=5.57m

H=0.4m

- 104 -

original wind pressure can be reproduced by Fourier composition. In view of symmetry with respect to the

wind direction θ =0, only the cosine coefficients were adopted in the analysis. The integration of Eq. (22)

has been evaluated numerically by dividing the integral region 0 1u≤ ≤ into 10 segments to each of

which Gaussian 2 point formula was applied.

Figures 6 - 9 show the time-histories and corresponding Fourier amplitude spectra of roof

displacement, hydrodynamic liquid pressure and bending stresses at the center and the windward edge

( r =11.9m, θ =0) of the roof. The bending stresses were evaluated by dividing the bending moments by

the effective cross-sectional coefficient shown in Table 3. It can be observed that the contribution of the

fundamental mode with the number of circumferential waves n =1 at the period 8.581s is dominant to the

roof displacement, while the contribution of the fundamental modes with n =0 at the period 3.365s, n =2

at the period 1.949s and n =3 at the period 1.396s are significant to the liquid pressure and the bending

stresses.

Figure 10 displays the contours of the mean and maximum amplitudes of roof displacement

distributing over the roof surface. These are the averages from two test results for each liquid depth. The

positive (upward) roof displacement is observed almost allover the roof surface. The roof displacement

takes the maximum value at the windward edge, decreases as moving to the central portion of the roof and

again increases as approaching to the leeward edge. The roof displacement tends to increase as the liquid

Fig. 6 Time Histories of Response at the Center of Roof (H=12.9m)

Fig. 7 Time Histories of Response at the Windward Edge (H=12.9m)

- 105 -

depth increases.

Figure 11 displays the contours of the mean and maximum amplitudes of Mises’s stress distributing

over the roof surface. These are the averages from two test results for each liquid depth. The significant

bending stress is observed almost allover the roof surface. For the liquid depth shallower than the half-filled

case the maximum bending stress arises around the center of the roof, while it moves to the windward

direction as the liquid depth approaches to the fully-filled case. The bending stress tends to increase as the

liquid depth increases, amounting to around 120-130Mpa for the fully-filled case, which is about half the

yielding stress of the steel.

Fig. 8 Fourier Amplitude Spectra of Response at the Center of Roof (H=12.9m)

Fig. 9 Fourier Amplitude Spectra of Response at the Windward Edge (H=12.9m)

- 106 -

Fig. 10 Mean and Maximum Roof Displacement H=22m

H=20.23m

H=12.9m

H=5.57m

H=0.4m

- 107 -

Fig. 11 Mean and Maximum Mises’s Stress H=22m

H=20.23m

H=12.9m

H=5.57m

H=0.4m

- 108 -

Comparison with Earthquake Response Earthquake response analysis was also performed for the purpose of comparison. As an input ground

motion acting in the direction θ =0, the EW component of the 2003 Tokachi-oki earthquake recorded at

Tomakomai K-NET Station (HKD 1290309260450EW) was used with tΔ =0.01s and dT =300s.

The comparison has been made in Fig.12 between the maximum amplitudes of roof displacement and

Mises’s stress due to wind and earthquake excitations. The roof displacement due to wind is found to be

much smaller than that due to earthquake, whereas the significant bending stresses amounting to half the

yielding stress of the steel can be observed due to wind, which exceed the stresses due to earthquake. This

is because the displacement due to earthquake is dominated by the rigid-body mode which produces no

bending stress, while the displacement due to wind loads includes the elastic modes which give rise to large

bending stresses. Furthermore, while the maximum bending stresses due to earthquake arise around

/r R =0.4, the distribution of stresses due to wind loads is spreading almost allover the roof surface. The

reason for this is because, while only the natural modes with the number of circumferential waves n =1

contribute to the earthquake response, the other modes, particularly with the number of circumferential

waves n =0, n =2 and n =3, contribute to the wind-induced response, as observed in Figs. 8 and 9. This

result seems to suggest the importance of considering the wind effects in the design of floating roofs.

CONCLUSIONS Wind tunnel test in a turbulent boundary layer has been carried out to measure the wind pressure

distributing over the floating roof in an open-topped cylindrical liquid storage tank. The measured data was

then utilized to predict the wind-induced dynamic response of the floating roof, which was idealized as an

isotropic elastic plate of uniform stiffness and mass. An important finding in the present study is that,

although the roof displacement due to wind loads is much smaller than that due to earthquake, the

significant bending stresses arise due to wind loads, which exceed the stresses due to earthquake. This

Fig. 12 Comparison between Wind and Earthquake Responses (H=22m)

- 109 -

result seems to suggest the importance of considering the wind effects in the design of floating roofs.

ACKNOWLEDGMENTS

This work has been carried out as a part of research project in the Advanced Research Center for

Seismic Experiments and Computations, Meijo University. The strong motion data was provided by the

K-NET of National Institute for Earth Science and Disaster Prevention, Japan.

REFERENCES [1] T. Matsui, Y. Uematsu, K. Kondo, T. Wakasa, T. Nagaya: Wind Effects on Sloshing of a Floating Roof

in a Cylindrical Liquid Storage Tank, Proceedings of the ASME Pressure Vessels and Piping Division

Conference, Chicago, Illinois, U.S.A, PVP2008-61688, July 2008, to be published

[2] Nakagawa, K.: On the Vibration of an Elevated Water Tank II, Technical Reports of Osaka University,

Vol. 5 , No. 170, pp.317-336, 1955

[3] Yamamoto, Y.: The Liquid Sloshing and the Impulsive Pressures of Oil Storage Tanks due to

Earthquakes, Journal of High Pressure Institute of Japan, Vol. 3 , No. 1, pp.2-8, 1965, in Japanese

[4] Sakai, F., Nishimura, M., and Ogawa H.: Sloshing Behavior of Floating-Roof Oil Storage Tanks,

Computers and Structures, Vol. 19 , No. 1-2, pp.183-192, 1984

[5] Nishiguchi, H., Ito, M., Honobe, H., and Kanoh, T.: Sloshing Action Analysis and Safety Evaluation of

the Oil Tank by the Long Period Earthquake Motion, The Thermal and Nuclear Power, Vol. 56, No.

581, pp.89-94, 2005, in Japanese

[6] Yamauchi, Y., Kamei, A., Zama, S., and Uchida, Y.: Seismic Design of Floating Roof of Oil Storage

Tanks Under Liquid Sloshing, Proceedings of the ASME Pressure Vessels and Piping Division

Conference, Vancouver, Canada, PVP2006-ICPVT11-93280, 2006

[7] Matsui, T.: Sloshing in a Cylindrical Liquid Storage Tank With a Floating Roof Under Seismic

Excitation, Journal of Pressure Vessel Technology, Transactions of the ASME, Vol. 129, No. 4,

pp.557-566, 2007

[8] Matsui, T.: Sloshing in a Cylindrical Liquid Storage Tank With a Single-deck Type Floating Roof

Under Seismic Excitation, Proceedings of the ASME Pressure Vessels and Piping Division Conference,

San Antonio, Texas, PVP2007-26249, 2007

[9] Uematsu, Y., Koo, C., and Kondo, K.: Wind Loads on Open-topped Storage Tanks, Proceedings of

BBAA 6th International Colloquium on Bluff Bodies Aerodynamics and Applications, Milano, Italy,

2008

[10] Abramowitz, M., and Stegun, I. A.: Handbook of Mathematical Functions, 9th ed., Dover, New York,

1972

[11] Architectural Institute of Japan: Recommendations for Loads on Buildings, 4th ed., Architectural

Institute of Japan, Tokyo, 2004

APPENDIX

Let the i -th positive root of ( ) 0n inJ ε′ = be denoted by inε , the following orthogonality relation

- 110 -

exists (Abramowitz and Stegun [10])

( ) ( ) ( ){ }2 2

12

0

1 12

0

n inn in n jn in

n J i juJ u J u du

i j

εε ε ε

⎧ ⎛ ⎞− =⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠

⎪ ≠⎩

∫ (A1)

The integral formulas of the Bessel functions (Abramowitz and Stegun [10]) read

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 20

1 1nn in n in n in n in

in in in

nu J u du J J Jε ε ε εε ε ε

++ ′= = −∫

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1 12 2

1n ln n in

ln n ln n in in n ln n inin ln

uJ u J u du

J J J J

κ ε

κ κ ε ε κ εε κ − −⎡ ⎤= −⎣ ⎦−

∫

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1 12 2

1n ln n in

ln n ln n in in n ln n inin ln

uI u J u du

I J I J

κ ε

κ κ ε ε κ εε κ − −⎡ ⎤= −⎣ ⎦+

∫

Noting that

( ) ( ) ( )1 0n in n in n in inJ J nJε ε ε ε−′ = − = i.e., ( ) ( )1n in n in inJ nJε ε ε− =

the following integral formulas can be obtained

( ) ( ) ( )1 1

1 20

1nn in n in n in

in in

nu J u du J Jε ε εε ε

++= =∫ (A2)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1 12 2

1n ln n in

ln n ln n in in n ln n inin ln

uJ u J u du

J J J J

κ ε

κ κ ε ε κ εε κ − −⎡ ⎤= −⎣ ⎦−

∫

( ) ( ) ( )12 2

1ln n ln n ln n in

in ln

J nJ Jκ κ κ εε κ −⎡ ⎤= −⎣ ⎦−

( ) ( )2 2ln

n ln n inin ln

J Jκ

κ εε κ

′=−

(A3)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1 12 2

1n ln n in

ln n ln n in in n ln n inin ln

uI u J u du

I J I J

κ ε

κ κ ε ε κ εε κ − −⎡ ⎤= −⎣ ⎦+

∫

( ) ( ) ( )12 2

1ln n ln n ln n in

in ln

I nI Jκ κ κ εε κ −⎡ ⎤= −⎣ ⎦+

( ) ( )2 2ln

n ln n inin ln

I Jκ

κ εε κ

′=+

(A4)

- 111 -

9. 研究の総括

本研究では，スロッシングによる被害が特に集中している大型浮屋根式液体貯槽を対象に，長

周期地震動がスロッシング応答に及ぼす影響を，浮屋根と内部液体との連成を考慮した動的相互

作用解析および模型振動実験により明らかにし，合理的な浮屋根の耐震性能評価法および耐震補

強法を提案することを目的とした。 3 ヵ年の研究成果を以下に要約し，本研究の総括とする。

フェーズ 1：線形ポテンシャル理論解の導出（平成 17 年度）

剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根（ダブルデッキ型浮屋根を近似）およびシングルデッキ

型浮屋根を有する円筒液体貯槽を対象に，浮屋根と内部液体との連成作用を考慮した地震時スロ

ッシング応答の解析解を線形ポテンシャル理論に基づき導出し，浮屋根の形式（ダブルデッキ，

シングルデッキ）や剛性・質量がスロッシング応答に及ぼす影響を検討した。研究結果から得ら

れた知見は以下のように要約される。

1) 浮屋根の１次固有周期は浮屋根の形式によらずほぼ一定で，自由液面の 1 次固有周期とほ

ぼ一致する。ダブルデッキ型浮屋根の場合，2 次以上の固有周期は浮屋根の剛性の増加と

ともに短くなるが，シングルデッキ型浮屋根では浮屋根の影響は小さく，各次の固有周期

は自由液面の場合とほとんど変わらない。

2) ダブルデッキ型浮屋根の場合，浮屋根はほぼ剛体的に変位する。浮屋根内部では浮屋根に

よる拘束効果によって自由液面の場合よりもかなり小さな液面変位になるが，側壁におけ

る変位は自由液面の場合と大差ない。シングルデッキ型浮屋根の場合は，浮屋根による拘

束効果は極めて小さく，ポンツーンの剛性にかかわらず自由液面に近い液面変位分布とな

る。

3) ダブルデッキ型浮屋根の場合，動液圧や曲げ応力度は中心から半径の 0.4 倍付近で最大値

をとる。断面の厚さが十分であれば，曲げ応力度は通常の鋼材の降伏点応力を超えること

はない。シングルデッキ型浮屋根では，動液圧分布は剛性の高いポンツーン部に集中し，

デッキ部とポンツーン部との接続部に鋼材の降伏点応力に達する大きな曲げ応力が発生す

る。

4) シングルデッキ型浮屋根のポンツーンの座屈を誘発する原因と考えられていたポンツーン

の円周方向曲げ応力度は，線形ポテンシャル理論解によれば，ポンツーンを座屈させる程

の大きさにはならない。

5) 以上の結果を踏まえると，2003 年十勝沖地震で発生した浮屋根の損傷，沈没等のスロッシ

ング被害を防止するためには，シングルデッキ型浮屋根をダブルデッキ型に改修すること

が望ましい。

フェーズ 2：線形ポテンシャル理論解の応用（平成 18 年度）

シングルデッキ型浮屋根を有する円筒液体貯槽を対象に，浮屋根と内部液体との連成作用を考

慮した地震時スロッシング応答の解析解を線形ポテンシャル理論に基づき導出した。浮屋根の変

位をデッキ・ポンツーン連成系の空中固有振動モードに展開することによって，前年度提出の解

- 112 -

をより簡潔な解表現に改めるとともに，浮屋根の剛性・質量やセンターポンツーンの有無がスロ

ッシング応答に及ぼす影響を検討した。さらに，任意の形状と剛性・質量分布を有する浮屋根に

も適用できる解法として FEM（有限要素法）と解析解の結合解法を提案し，リブ補強型浮屋根に

適用して補強の効果を確認した。研究結果から得られた知見は以下のように要約される。 1) シングルデッキ型浮屋根の場合，浮屋根による拘束効果は極めて小さく，ポンツーンの剛

性にかかわらず自由液面に近い液面変位分布となる。ダブルデッキ型およびリブ補強型浮

屋根の場合は，浮屋根はほぼ剛体的に変位し，浮屋根による拘束効果によって中央部では

自由液面の場合よりもかなり小さな液面変位になる。

2) シングルデッキ型浮屋根の場合，動液圧分布は剛性の高いポンツーン部に集中し，デッキ

部とポンツーン部との接続部に鋼材の降伏点応力に達する大きな曲げ応力が発生する。ダ

ブルデッキ型およびリブ補強型浮屋根では，動液圧や曲げ応力度はシングルデッキ型浮屋

根の場合よりも増加するが，断面の厚さが十分であれば，曲げ応力度は通常の鋼材の降伏

点応力を超えることはない。

3) 以上の結果を踏まえると，2003 年十勝沖地震で発生した浮屋根の沈没等のスロッシング

被害を防止するためには，シングルデッキ型浮屋根をダブルデッキ型あるいはリブ補強型

浮屋根に改修することが望ましい。その際，補強の効果を検討するには，本研究で提案し

た FEM と解析解の結合解法が有効である。

フェーズ 3：模型振動実験による線形ポテンシャル理論解の検証（平成 19 年度）

前年度までに導出した線形ポテンシャル理論に基づく浮屋根式円筒液体貯槽の地震時スロッシ

ング解の妥当性の検証を目的として，縮小模型による振動実験を実施した。貯槽模型として内径

780mm のアクリル製円筒貯槽（実機 100,000kl タンクの 1/100 縮小模型）を，浮屋根模型として外

周ポンツーンのみ（自由液面を模擬），均一板（ダブルデッキ型浮屋根を模擬），および内部デッ

キと外周ポンツーンから成るシングルデッキ型浮屋根の 3 種類のアクリル製（一部塩化ビニル製）

模型を用い，自由振動実験および地震波加振実験を行った。実験結果と解析解の比較から得られ

た結論は以下のように要約される。 1) 自由振動実験により得られた浮屋根の 1 次固有周期および固有振動モードは解析解と良く

一致し，解析解の妥当性が検証された。

2) 自由振動実験により推定された減衰定数は，自由液面が 0.2%で最も低く，以下シングルデ

ッキ型浮屋根 0.3%，ダブルデッキ型浮屋根 1.1%となり，一般に設計で用いられている自由

液面 0.1%，シングルデッキ型浮屋根 0.5%，ダブルデッキ型浮屋根 1.0%に近い値となった。

3) 地震波加振実験により得られたダブルデッキ型浮屋根の変位応答は解析解と良く一致し，

解析解の妥当性が検証された。

4) 地震波加振実験により得られたシングルデッキ型浮屋根の変位応答は解析解と概ね一致し

たが，円周方向フーリエ展開次数 1 の線形応答に加え，線形理論では応答が 0 となるべき

屋根中心点付近で，1 次固有振動数の 2 倍の振動数で振動する円周方向フーリエ展開次数 0

および 2 の非線形倍調波共振モードの発生が確認され，シングルデッキ型浮屋根において

は液体の非線形性を考慮することの必要性が指摘された。

- 113 -

今後の展望

本研究では，剛性・質量分布の一様な等方性浮屋根およびシングルデッキ型浮屋根を有する剛

な平底円筒液体貯槽を対象に，浮屋根と内部液体との連成作用を考慮した地震時スロッシング応

答の解析解を線形ポテンシャル理論に基づき導出し，その妥当性を模型振動実験により検証した。

また有限要素法と解析解の結合解法を提案し，ダブルデッキ型浮屋根やリブ補強浮屋根などのよ

り実際的な形状の浮屋根にも対応できるように拡張を図った。線形ポテンシャル理論に基づくこ

れらの理論解は，剛性・質量分布が比較的均一なダブルデッキ型浮屋根やリブ補強浮屋根に対し

ては，ほぼ妥当な結果を与えることが実験により検証されたが，一方において，1983 年日本海中

部地震や 2005 年十勝沖地震でスロッシング被害が多発したシングルデッキ型浮屋根においては，

デッキ部の楕円化やポンツーンの座屈など，浮屋根や液体の非線形性（デッキ面の大変形に伴う

膜応力効果や液面の有限変位など）を考慮しないと説明できない現象が存在することが明らかに

された。特に，これまでポンツーンの座屈を誘発する原因と考えられていたポンツーンの円周方

向曲げモーメントが，線形ポテンシャル理論解によれば，ポンツーンを座屈させる程の大きさに

はならず，その原因の究明が課題として残された。浮屋根と側壁との接合部シールの摩擦の影響

を含めた適切な減衰定数の設定法も，今後検討すべき重要な課題である。

本研究では線形ポテンシャル理論が成立することを前提として理論解を提示したが，さらに継

続的な理論的・実験的検討を重ね，その妥当性と適用限界を明らかにし，実現象を再現できる解

析理論として完成させるとともに，合理的な浮屋根の耐震性能評価法および補強法の提案に結び

つけることが今後の課題である。幸いにして，平成 20～23 年度科学研究費補助金基盤研究（B）

（研究課題名：浮屋根と液体の非線形性を考慮した大型液体貯槽の地震時スロッシング理論の体系化）

の援助が約束されているので，引き続き残された課題の解決に挑戦してゆく所存である。

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謝辞

本研究は日本建築学会の東海地震等巨大災害への対応特別調査委員会建築構造物小委員会容器

構造 WG およびそれを引き継いだ容器構造小委員会容器構造の地震荷重・応答評価 WG での議論

が動機付けとなったものである。貴重なご助言と資料提供を頂いた内藤幸雄主査（鹿島技術研究

所）をはじめとする委員各位，特に多数の貴重な文献をご提供頂いた坂井藤一委員（FS 技術研究

所），実機見学の機会と浮屋根図面のご提供を頂いた西口英夫委員（東京電力）および解析プログ

ラムの開発に全面的なご協力を頂いた故・吉川和秀委員（鹿島建設）に深甚なる謝意を表する。

本研究を遂行するに当たり有益な討論を賜った横浜国立大学安心・安全の科学研究教育センタ

ー石油タンク安全管理学分野研究プロジェクト「陸上タンクに係る戦略的操業管理に関する技術

検討―課題 3：やや長周期地震動に対する石油タンクのスロッシング応答特性の解明と浮屋根の

強度信頼性評価システムの確立―」の河野和間教授をはじめとするスタッフ各位，ならびに風洞

実験データを快くご提供頂いた東北大学未来科学研究所の植松康教授および鹿島技術研究所の近

藤宏二博士に感謝の意を表する。

本研究には，本科学研究費補助金のほかに，平成 18 年度名城大学総合研究所学術研究奨励助成

制度研究成果展開事業費および平成 19~23 年度文部科学省私立大学学術研究高度化推進事業ハイ

テク・リサーチ・センター整備事業（プロジェクト名：制震構造化等の新しい概念による構造物

の耐震性能向上プロジェクト）の援助が得られた。

地震応答解析には，独立行政法人防災科学技術研究所の強震観測網 K-NET 公開波を使用させて

頂いた。

振動実験の実施に当たっては，名城大学理工学部建築学科松井研究室に所属した多くの学生諸

君の協力を得た。

末筆ながら記して謝意を表する。